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12.4: Krümmungs- und Normalenvektoren einer Kurve - Mathematik

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Für eine parametrisch definierte Kurve hatten wir die Definition der Bogenlänge. Wir haben den zusätzlichen Vorteil der Notation mit vektorwertigen Funktionen, da die Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Ableitungen nur die Größe des Geschwindigkeitsvektors ist.

Definition: Bogenlänge

Lassen

[ extbf{r}(t) = x(t), hat{ extbf{i}} + y(t), hat{ extbf{j}} + z(t), Hut{ extbf{k}} ]

eine differenzierbare vektorwertige Funktion auf [a,b] sein. Dann ist die Bogenlänge (s) definiert durch

[ s=int_{a}^{b}sqrt{ left(frac{dx}{dt} ight)^2+left(frac{dy}{dt} ight)^2+ left(frac{dz}{dt} ight)^2}, dt = int _a^b left|v(t) ight| ,dt .]

Beispiel (PageIndex{1})

Nehme an, dass

[ extbf{r}(t) = 3t,hat{ extbf{i}} + 2,hat{ extbf{j}} + t^2,hat{ extbf{k} } ]

Stellen Sie das Integral ein, das die Bogenlänge der Kurve von 2 bis 3 definiert. Verwenden Sie dann einen Taschenrechner oder Computer, um die Bogenlänge zu approximieren.

Lösung

Wir verwenden die Bogenlängenformel

[ s = int_2^3 sqrt{9 + 0 + 4t^2} , dt = int_2^3 sqrt{9+4t^2} , dt .]

Beachten Sie, dass wir dieses Integral von Hand machen könnten, indem wir (t = 9/2 an, q) lassen, aber die Frage forderte uns nur auf, eine Maschine zu verwenden, um das Integral anzunähern:

[ s = 5,8386 .]

Parametrierung nach Bogenlänge

Denken Sie daran, dass vektorwertige Funktionen wie parametrische Gleichungen nicht nur den Weg des Partikels beschreiben, sondern auch, wie sich das Partikel bewegt. Unter allen Darstellungen einer Kurve gibt es eine "einfachste". Wenn sich das Teilchen mit der konstanten Geschwindigkeit von einer Einheit pro Sekunde fortbewegt, dann sagen wir, dass die Kurve parametriert nach Bogenlänge. Wir haben dieses Konzept bereits bei der Definition von Radiant gesehen. Auf einem Einheitskreis ist ein Bogenmaß eine Bogenlänge um den Kreis. Wenn wir "am einfachsten" sagen, meinen wir keineswegs, dass die Gleichungen einfach zu finden sind, sondern dass die Dynamik des Teilchens einfach ist. Um uns bei der Parametrierung nach Bogenlänge zu helfen, definieren wir die Bogenlängenfunktion.

Definition: Bogenlängenfunktion

Wenn ( extbf{r}(t)) eine differenzierbare vektorwertige Funktion ist, dann gilt Bogenlängenfunktion ist definiert durch

[ s(t) = int_0^t || extbf{v}(u) || , du. ]

Anmerkung: Bis zum zweiter fundamentaler Satz der Infinitesimalrechnung, wir haben

[ s'(t) = ||v(t)|| .]

Wenn eine vektorwertige Funktion durch die Bogenlänge parametriert wird, dann

[ s(t) = t .]

Wenn wir eine vektorwertige Funktion(r(t)) mit der Bogenlänge s(t) haben, dann können wir eine neue Variable einführen

[ s = s^{-1}(t) .]

Damit die vektorwertige Funktion (r(s)) eine Bogenlänge von hat

[ sleft(s^{-1}(t) ight) = t .]

und (r(s)) werden durch die Bogenlänge parametrisiert. Leider ist dieser Prozess normalerweise aus zwei Gründen unmöglich.

  1. Das Integral, das die Bogenlänge definiert, beinhaltet eine Quadratwurzel im Integranden; dieses Integral ist normalerweise nicht zu bestimmen.
  2. Selbst wenn das Integral ausgewertet werden kann, ist es oft unmöglich, die Umkehrung einer Funktion zu finden. Es gibt einige spezielle Kurven, die durch die Bogenlänge parametrisiert werden können, und eine wird unten gezeigt.

Beispiel (PageIndex{2}): Parametrieren nach Bogenlänge

Finden Sie die Bogenlängenparametrierung der Helix definiert durch

[ extbf{r}(t) = cos,that{ extbf{i}} + sin,that{ extbf{j}} + that{ extbf{k} } .]

Lösung

Finden Sie zuerst die Bogenlängenfunktion

[ s(t) = int_0^t sqrt{sin^2 u + cos^2u + 1}, dt = int_0^t sqrt{2},dt = sqrt{2} , t .]

Auflösen nach (t) ergibt

[ t= dfrac{s}{sqrt2} .]

Setzen Sie nun wieder in die Positionsgleichung ein, um zu erhalten

[ extbf{r}(s) = cosdfrac{s}{sqrt2},hat{ extbf{i}} + sindfrac{s}{sqrt2},hat{ extbf{j}} + dfrac{s}{sqrt2} , hat{ extbf{k}} .]

Konzepte: Krümmung und Normalvektor

Stellen Sie sich ein Auto vor, das auf einer kurvigen Straße fährt. Je enger die Kurve, desto schwieriger ist das Fahren. In Mathematik haben wir eine Zahl, die Krümmung, das beschreibt diese "Dichtigkeit". Wenn die Krümmung null ist, sieht die Kurve in der Nähe dieses Punktes wie eine Linie aus. Wenn die Krümmung eine große Zahl ist, dann weist die Kurve eine scharfe Krümmung auf.

Abbildung (PageIndex{1}): Das untere Bild ist ein Teil einer Kurve (mathbf{r}(t)). Rote Pfeile repräsentieren Einheitstangensvektoren (mathbf{hat{T}}) und blaue Pfeile repräsentieren Einheitsnormalenvektoren (mathbf{hat{N}}).

Bevor wir lernen, was eine Krümmung einer Kurve ist und wie man den Wert dieser Krümmung findet, müssen wir zuerst etwas über erfahren Einheitstangensvektor. Wie der Name schon sagt, sind Einheitstangentenvektoren Einheitsvektoren (Vektoren mit der Länge 1), die an bestimmten Punkten die Kurve tangieren. Da Tangentenlinien an einem bestimmten Punkt einer Kurve als Linien definiert sind, die die Kurve an einem bestimmten Punkt kaum berühren, können wir ableiten, dass Tangentenlinien oder -vektoren Steigungen haben, die der momentanen Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt entsprechen. Mit anderen Worten,

[ mathbf{T} = frac{dmathbf{r}}{dt}mathrm{,}]

was bedeutet

[ mathbf{hat{T}} = frac{mathbf{T}}{left | mathbf{T} ight |}= frac{dmathbf{r}/dt}{left | dmathbf{r}/dt ight|} .]

Basierend auf dem, was wir zuvor gelernt haben, wissen wir, dass (frac{dmathbf{r}}{dt} = mathbf{v}), wobei (mathbf{v}) die Geschwindigkeit ist, bei der a Punkt bewegt sich zu einem bestimmten Zeitpunkt. Außerdem ist der Absolutwert des Geschwindigkeitsvektors der Geschwindigkeitsvektor der Kurve, d. h. (left | frac{dmathbf{r}}{dt} ight | = frac{ds}{dt} ) . Die Formel für den Einheitstangensvektor kann also vereinfacht werden zu:

[mathbf{hat{T}} = frac{mathrm{Geschwindigkeit}}{mathrm{Geschwindigkeit}} = frac{dmathbf{r}/dt}{ds/dt} .]

Und nun denken wir über den Einheitstangensvektor nach, wenn die Kurve anhand der Bogenlänge erklärt wird, also (r(s)) statt (r(t)). Das heisst:

[mathbf{T} = frac{dmathbf{r}}{ds}]

[ ext{und }mathbf{hat{T}} = frac{dmathbf{r}/ds}{ds/ds} = frac{dmathbf{r}}{ds} . ]

Mit diesen Informationen lernen wir, was Krümmung wirklich ist und wie wir die Krümmung berechnen können, die als (kappa) bezeichnet wird.

Krümmung einer Kurve

Die Krümmung ist ein Maß dafür, wie stark die Kurve von einer geraden Linie abweicht. Mit anderen Worten, die Krümmung einer Kurve an einem Punkt ist ein Maß dafür, wie stark sich die Änderung einer Kurve an einem Punkt ändert, d.h. die Krümmung ist die Größe der zweiten Ableitung der Kurve an einem bestimmten Punkt (angenommen, die Kurve wird in Bezug auf die Bogenlänge (s) definiert, um die Sache zu vereinfachen). Das heisst:

[k= links | frac{d^2mathbf{r}}{ds^2} ight | .]

Da wir wissen, dass (mathbf{hat{T}} = dmathbf{r} / ds), können wir eine Gleichung für (kappa) in Form von (mathbf{hat{ T}}):

[k= links | frac{dmathbf{hat{T}}}{ds} ight | .]

Trotzdem wissen wir, dass die meisten Kurven in parametrischen Gleichungen in Form einer Dummy-Variablen geschrieben werden, am häufigsten (t). Nehmen wir also an, dass die Kurve in Bezug auf (t) vorliegt, sodass (mathbf{r}(t)) eine Kurve ist. In einem solchen Fall müssen wir eine andere Gleichung formulieren, um die Krümmung zu finden, ohne Ableitungen in Bezug auf (s) zu bilden.

Erstens wissen wir das

[ k= links | frac{dmathbf{hat{T}}}{ds} ight | ]

Mit der Kettenregel erhalten wir

[ k= links | frac {dmathbf{hat{T}}}{dt} cdot frac{dt}{ds} ight | ]

[= frac{1}{left | ds/dt ight |} left |frac{dmathbf{hat{T}}}{dt} ight | ]

deshalb

[k=frac{1}{left | mathbf{v} ight |} left | frac{dmathbf{hat{T}}}{dt} ight |. ]

Definition der Krümmung (Wiederholung)

Formaler gesagt, wenn ( extbf{T}(t)) die Einheitstangensvektor dann ist die Krümmung (k) mit der Geschwindigkeit definiert, mit der die Einheitstangensvektor ändert sich in Bezug auf die Bogenlänge.

[ k = ||dfrac{d}{ds} ( extbf{T}(t)) || = || extbf{r}''(s)||]

Wie bereits erwähnt, ist dies keine praktische Definition, da eine Parametrisierung nach Bogenlänge normalerweise nicht möglich ist. Stattdessen verwenden wir die Kettenregel, um zu erhalten

[ ||dfrac{d}{ds} ( extbf{T}(t)) || = || extbf{T}'(t) dfrac{dt}{ds}|| ]

[ dfrac{|| extbf{T}'(t)|| }{ ||dfrac{ds}{dt}|| } = dfrac{ || extbf{T}'(t)||}{ || extbf{r}'(t)||}. ]

Diese Formel ist praktischer zu verwenden, aber immer noch umständlich. ( extbf{T}'(t)) ist normalerweise ein Durcheinander. Stattdessen können wir aus der Formel für den Normalenvektor borgen, um die Krümmung zu erhalten

[ K(t) = dfrac{ ||r'(t) imes r''(t)||}{||r'(t)||^3}. ]

Normalvektor einer Kurve

Ein Einheitsnormalenvektor einer Kurve steht per Definition senkrecht auf der Kurve an einem bestimmten Punkt. Dies bedeutet, dass ein Normalenvektor einer Kurve an einem bestimmten Punkt senkrecht zum Tangentenvektor an demselben Punkt steht. Außerdem zeigt ein Normalenvektor zum Krümmungsmittelpunkt und die Ableitung des Tangentenvektors zeigt ebenfalls zum Krümmungsmittelpunkt. Zusammenfassend ist der Normalenvektor einer Kurve die Ableitung des Tangentenvektors einer Kurve.

[mathbf{N} = frac{dmathbf{hat{T}}}{ds}mathrm{ oder } frac{dmathbf{hat{T}}}{dt}]

Um den Einheitsnormalenvektor zu finden, dividieren wir einfach den Normalenvektor durch seinen Betrag:

[mathbf{hat{N}} = frac{dmathbf{hat{T}}/ds}{left | dmathbf{hat{T}}/ds ight |}mathrm{ oder } frac{dmathbf{hat{T}}/dt}{left | dmathbf{hat{T}}/dt ight |} .]

Beachten Sie, dass (left|dmathbf{hat{T}}/ds ight|) durch (kappa) ersetzt werden kann, so dass:

[mathbf{hat{N}} = frac{1}{kappa} frac{dmathbf{hat{T}}}{ds} ]

[daher mathbf{hat{N}} = frac{1}{kappa} frac{dmathbf{hat{T}}}{ds} mathrm{ oder } frac{d mathbf{hat{T}}/dt}{left | dmathbf{hat{T}}/dt ight |} .]

Beispiel (PageIndex{3})

Finden Sie die Krümmung bei (t=frac{pi}{2}) falls

[ r(t) = cos,t,hat{ extbf{i}} - frac{1}{t} hat{ extbf{j}} + sin, t, Hut{ extbf{k}} .]

Lösung

Wir nehmen Ableitungen [ extbf{r}'(t) = -sin, t, hat{ extbf{i}} + frac{1}{t^2}, hat{ extbf {j}} + cos,t,hat{ extbf{k}}]

[ extbf{r}''(t) = -cos, t,hat{ extbf{i}} - frac{2}{t^3}, hat{ extbf{j }} - sin, t, hat{ extbf{k}} . ]

Einsetzen von (t=frac{pi}{2}) ergibt

[egin{align} extbf{r}' left(frac{pi}{2} ight) &= -hat{ extbf{i}} + dfrac{4}{pi^ 2} ,hat{ extbf{j}} &= -dfrac{16}{pi^3}, hat{ extbf{j}} - hat{ extbf{k}} end{ausrichten}]

[ extbf{r}''left(frac{pi}{2} ight) .]

Nehmen Sie nun das Kreuzprodukt, um zu erhalten

[ extbf{r}'(pi/2) imes extbf{r}''(pi/2) = -dfrac{4}{pi^2} , hat{ extbf{ i}} -hat{ extbf{j}} + dfrac{16}{pi^3}, hat{ extbf{k}}]

Schließlich fügen wir diese Informationen in die Krümmungsformel ein, um zu erhalten

[ dfrac{sqrt{dfrac{16}{pi^4}+1+dfrac{256}{pi^6}}}{left(sqrt{1+dfrac{16}{ pi^4}} ight)^3} ungefähr 0,952 . ]

Krümmung einer ebenen Kurve

Liegt eine Kurve nur in der xy-Ebene und wird durch die Funktion (y = f(t)) definiert, dann gibt es eine einfachere Formel für die Krümmung. Wir können die Kurve parametrisieren durch

[ extbf{r}(t) = t, hat{ extbf{i}} + f(t), hat{ extbf{j}} .]

Wir haben

[ extbf{r}'(t) = hat{ extbf{i}} + f'(t), hat{ extbf{j}}]

[ extbf{r}''(t) = f ''(t) , hat{ extbf{j}} .]

Ihr Kreuzprodukt ist einfach

[r'(t) imes r''(t) = f''(t) hat{ extbf{k}} ]

die Größe hat

[ || extbf{r}'(t) imes r''(t)|| = |f''(t)| . ]

Die Krümmungsformel gibt

Definition: Krümmung der Ebenenkurve

[ K(t) = dfrac{|f''(t)|}{ left[1+left(f'(t) ight)^2 ight]^{3/2}}. ]

Beispiel (PageIndex{4})

Finden Sie die Krümmung für die Kurve [ y = sin, x ].

Lösung

Wir haben

[ f '(x) = cos , x ] [ f ''(x) = -sin , x .]

Einsetzen in die Krümmungsformel ergibt [ K(t) = dfrac{|-sin, t|}{[1+cos^2t]^{3/2}}]

Der oskulierende Kreis

In der Berechnung des ersten Jahres haben wir gesehen, wie man eine Kurve mit einer Linie, Parabel usw. approximiert. Stattdessen können wir die beste Anpassung finden Kreis am Punkt der Kurve. Wenn (P) ein Punkt auf der Kurve ist, dann hat der am besten passende Kreis die gleiche Krümmung wie die Kurve und geht durch den Punkt (P). Wir werden sehen, dass die Krümmung eines Kreises eine Konstante (1/r) ist, wobei (r) der Radius des Kreises ist. Der Mittelpunkt des Schmiegkreises liegt auf der Linie, die den Normalenvektor zum Kreis enthält. Insbesondere das Zentrum kann durch Hinzufügen gefunden werden

[ OP + 1/K N . ]

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie die Gleichung des Schmiegkreises zu (y = x^2) bei (x = -1).

Die normale Komponente der Beschleunigung erneut besucht

Wie hängt die Normalkomponente der Beschleunigung mit der Krümmung zusammen? Wenn Sie sich erinnern, sagt uns die Normalkomponente der Beschleunigung, wie schnell das Teilchen seine Richtung ändert. Wenn eine Kurve eine starke Krümmung (hohe Krümmung) hat, erfolgt die Richtungsänderung schneller. Wir zeigen nun, dass zwischen der Normalkomponente der Beschleunigung und der Krümmung ein eindeutiger Zusammenhang besteht.

[ extbf{a}(t) = a_{ extbf{T}} extbf{T}(t) + a_{ extbf{N}} extbf{N}(t) ]

Wir haben

[ extbf{a}(t) = extbf{r}''(t) = dfrac{d}{dt} ( extbf{r}'(t)) = dfrac{d}{dt} left(|| extbf{r}'(t)|| extbf{T}(t) ight) = dfrac{d}{dt} left(||r'(t)||) textbf{T}(t) + ||r'(t)|| extbf{T}'(t) ight) ]

[ = s''(t) extbf{T}(t) + s' extbf{T}'(t) = s''(t) extbf{T}(t) + s'|| textbf{T}'(t)|| extbf{N}(t) = s''(t) extbf{T}(t) + ks'^2 extbf{N}(t) .]

Damit ist die Tangentialkomponente der Beschleunigung (s''(t)) und die Normalkomponente (k(t)s'^2(t)).

Übung (PageIndex{3})

Bestimmen Sie die Tangential- und Normalkomponente von ( extbf{r}(t) = t, hat{ extbf{i}}- 2t, hat{ extbf{j}} + t^2 , Hut{ extbf{k}}).


12.4: Krümmungs- und Normalenvektoren einer Kurve - Mathematik

In diesem Abschnitt wollen wir kurz auf die Krümmung einer glatten Kurve (erinnern Sie sich, dass für eine glatte Kurve (vec r'left( t ight)) stetig ist und (vec r'left( t ight) e 0) . Die Krümmung misst, wie schnell eine Kurve die Richtung an einem bestimmten Punkt ändert.

Es gibt mehrere Formeln, um die Krümmung einer Kurve zu bestimmen. Die formale Definition der Krümmung lautet:

wobei (vec T) die Einheitstangente und (s) die Bogenlänge ist. Denken Sie daran, dass wir in einem vorherigen Abschnitt gesehen haben, wie man eine Kurve neu parametriert, um sie in Bezug auf die Bogenlänge zu erhalten.

Im Allgemeinen ist die formale Definition der Krümmung nicht einfach zu verwenden, daher gibt es zwei alternative Formeln, die wir verwenden können. Hier sind sie.

Diese sind vielleicht auch nicht besonders einfach zu handhaben, aber zumindest müssen wir die Einheitstangente nicht umparametrieren.

Zurück in dem Abschnitt, als wir den Tangentenvektor eingeführt haben, haben wir die Tangenten- und Einheitstangensvektoren für diese Funktion berechnet. Diese waren,

[Startvec r'left( t ight) & = leftlangle <1,3cos t, - 3sin t> ight angle vec Tleft( t ight) & = linkslangle <>>,frac<3> <>>cos t, - frac<3> < >>sin t> ight angle end]

Die Ableitung des Einheitstangens ist

[vec T'left( t ight) = leftlangle <0, - frac<3> <>>sin t, - frac<3> <>>cos t> ight angle]

Die Beträge der beiden Vektoren sind

In diesem Fall ist die Krümmung konstant. Dies bedeutet, dass die Kurve an jedem Punkt entlang der Kurve die Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit ändert. Wenn man sich daran erinnert, dass diese Kurve eine Helix ist, ist dieses Ergebnis sinnvoll.

In diesem Fall wäre die zweite Form der Krümmung wahrscheinlich am einfachsten. Hier sind die ersten paar Derivate.

[vec r'left( t ight) = 2t,vec i + ,vec khspace<0.25in>hspace<0.25in>vec r''left( t ight) = 2,vec i]

Als nächstes benötigen wir das Kreuzprodukt.

Die Krümmung bei jedem Wert von (t) ist dann

Es gibt einen Sonderfall, den wir hier ebenfalls betrachten können. Angenommen wir haben eine Kurve gegeben durch (y = fleft( x ight)) und wir wollen ihre Krümmung finden.

Wie wir beim ersten Betrachten von Vektorfunktionen gesehen haben, können wir dies wie folgt schreiben:

[vec rleft( x ight) = x,vec i + fleft( x ight)vec j]

Wenn wir dann die zweite Formel für die Krümmung verwenden, erhalten wir die folgende Formel für die Krümmung.


12.4: Krümmungs- und Normalenvektoren einer Kurve - Mathematik

Eine weitere nützliche Operation: Finden Sie bei zwei Vektoren einen dritten Vektor senkrecht zu den ersten beiden. Es gibt natürlich unendlich viele solcher Vektoren unterschiedlicher Länge. Lassen Sie uns dennoch einen finden. Angenommen $ds <f A>=langle a_1,a_2,a_3 angle$ und $ds <f B>=langle b_1,b_2,b_3 angle$. Wir suchen einen Vektor $ds <f v>= langle v_1,v_2,v_3 angle$ mit $<f v>cdot<f A>=<f v>cdot<f B>=0$ oder $eqalign< a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3&=0,cr b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3&=0.cr >$ Multipliziere die erste Gleichung mit $ds b_3$ und die zweite mit $ds a_3$ und subtrahiere, um $eqalign< b_3a_1v_1+b_3a_2v_2+b_3a_3v_3&=0cr a_3b_1v_1+a_3b_2v_2+a_3b_3v_3&=0cr (a_1b_3-b_1a_3)b_0cr a_3b_1v_1+a_3b_2v_2+a_3b_3v_3&=0cr (a_1b_3-b_1a_3)b_0cr (a_1b_3-b_1a_3)b_0&zgr; diese Gleichung in zwei Variablen hat viele Lösungen, eine besonders einfach zu sehende ist $ds v_1=a_2b_3-b_2a_3$, $ds v_2=b_1a_3-a_1b_3$. Wiedereinsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen und Auflösen nach $ds v_3$ ergibt $ds v_3=a_1b_2-b_1a_2$.

Es stellt sich heraus, dass diese spezielle Antwort auf das Problem einige nette Eigenschaften hat, und sie wird mit einem Namen gewürdigt: the Kreuzprodukt: $ <f A> imes <f B>= langle a_2b_3-b_2a_3,b_1a_3-a_1b_3,a_1b_2-b_1a_2 angle. $ Obwohl dieser Vektor ein schönes Muster hat, kann es etwas schwierig sein, sich hier ein praktisches Merkzeichen zu merken. Die Determinante einer zwei mal zwei Matrix ist $left|matrix ight|=ad-cb.$ Dies wird auf die Determinante einer drei mal drei Matrix erweitert: $eqalign< left|matrix ight|&=xleft|matrix ight|-yleft|matrix ight|+zleft|matrix ight|cr &=x(a_2b_3-b_2a_3)-y(a_1b_3-b_1a_3)+z(a_1b_2-b_1a_2)cr &=x(a_2b_3-b_2a_3)+y(b_1a_3-a_1b_3)+z(a_1b_2-b_1a_2 ).cr> $ Jede der zwei mal zwei Matrizen wird gebildet, indem die oberste Zeile und eine Spalte der drei mal drei Matrix gelöscht werden, die Subtraktion des mittleren Termes muss auch auswendig gelernt werden. Es ist hier nicht der Ort, die Verwendungsmöglichkeiten der Determinante zu rühmen, es genügt zu sagen, dass Determinanten außerordentlich nützlich und wichtig sind. Hier wollen wir es lediglich als Gedächtnisstütze verwenden. Sie werden bemerkt haben, dass die drei Ausdrücke in Klammern in der letzten Zeile genau die drei Koordinaten des Kreuzprodukts sind, das $x$, $y$, $z$ durch $f i$, $f j$, $ ersetzt. bf k$ gibt uns $eqalign< left|matrix<<f i>&<f j>&<f k>cr a_1&a_2&a_3cr b_1&b_2&b_3cr> ight| &=(a_2b_3-b_2a_3)<f i>-(a_1b_3-b_1a_3)<f j>+(a_1b_2-b_1a_2)<f k>cr &=(a_2b_3-b_2a_3)<f i>+( b_1a_3-a_1b_3)<f j>+(a_1b_2-b_1a_2)<f k>cr &=langle a_2b_3-b_2a_3,b_1a_3-a_1b_3,a_1b_2-b_1a_2 anglecr &=<f A> imes <f B>.cr> $

Gegeben $f A$ und $f B$ gibt es typischerweise zwei mögliche Richtungen und eine unendliche Anzahl von Größen, die einen Vektor senkrecht zu $f A$ und $f B$ ergeben. Da wir einen bestimmten ausgewählt haben, sollten wir die Größe und Richtung untersuchen.

Wir wissen, wie man die Größe von $<f A> imes<f B>$ berechnet, es ist ein bisschen chaotisch, aber nicht schwierig. Etwas einfacher ist es, zunächst mit dem Quadrat des Betrags zu arbeiten, um die Quadratwurzel zu vermeiden: $eqalign< |<f A> imes<f B>|^2&= (a_2b_3-b_2a_3)^2 +(b_1a_3-a_1b_3)^2+(a_1b_2-b_1a_2)^2cr &=a_2^2b_3^2-2a_2b_3b_2a_3+b_2^2a_3^2+b_1^2a_3^2-2b_1a_3a_1b_3+a_1+2b_3 .^ 2b_2^2-2a_1b_2b_1a_2+b_1^2a_2^2cr >$ Obwohl es alles andere als offensichtlich ist, kann dieser hässliche Ausdruck vereinfacht werden: $eqalign< |<f A> imes<f B>|^2& = (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2cr &=|<f A>|^2 |<f B>|^2-(<f A>cdot<f B>)^2cr &=|<f A>|^2|<f B>|^2-| <f A>|^2|<f B>|^2cos^2 hetacr &=|<f A>|^2|<f B>|^2(1-cos ^2 heta)cr &=|<f A>|^2|<f B>|^2sin^2 hetacr |<f A> imes<f B>|& =|<f A>||<f B>|sin hetacr >$ Der Betrag von $<f A> imes<f B>$ ist also dem Skalarprodukt sehr ähnlich. Beachten Sie insbesondere, dass, wenn $f A$ parallel zu $f B$ ist, der Winkel zwischen ihnen null ist, also $sin heta=0$, also $|<f A> imes<f B>|=0$, und ebenso wenn sie antiparallel sind, $sin heta=0$ und $|<f A> imes<f B>|=0$. Umgekehrt, wenn $|<f A> imes<f B>|=0$ und $|<f A>|$ und $|<f B>|$ nicht null sind, muss $ sin heta=0$, also ist $f A$ parallel oder antiparallel zu $f B$.

Hier ist eine merkwürdige Tatsache zu dieser Größe, die sich später als sehr nützlich herausstellt: Gegeben zwei Vektoren können wir sie Schwanz an Schwanz anordnen und ein Parallelogramm bilden, wie in Abbildung 12.4.1. Die Höhe des Parallelogramms $h$ ist $|<f A>|sin heta$ und die Basis ist $|<f B>|$, also ist die Fläche des Parallelogramms $|< bf A>||<f B>|sin heta$, genau der Betrag von $|<f A> imes<f B>|$.

Wie sieht es mit der Richtung des Kreuzprodukts aus? Bemerkenswerterweise gibt es eine einfache Regel, die die Richtung beschreibt. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an: Sei $<f A>=langle a,0,0 angle$, $<f B>=langle b,c,0 angle$. Wenn die Vektoren mit Enden im Ursprung platziert werden, liegt $f A$ entlang der $x$-Achse und $f B$ liegt in der $x$-$y$-Ebene, also wissen wir, dass das Kreuzprodukt zeigt entweder hoch oder runter. Das Kreuzprodukt ist $eqalign< <f A> imes <f B>=left|matrix<<f i>&<f j>&<f k>cr a&0&0cr b&c&0 cr> echts| &=langle 0,0,ac angle.cr> $ Wie vorhergesagt ist dies ein nach oben oder unten weisender Vektor, je nach Vorzeichen von $ac$. Angenommen, $a>0$, also hängt das Vorzeichen nur von $c$ ab: wenn $c>0$, $ac>0$ und der Vektor nach oben zeigt, wenn $c 0$, zeigt der Vektor nach unten, während bei $a 0$ und $c>0$ oder $a Satz 12.4.1 Wenn $<f u>$, $<f v>$ und $<f w>$ Vektoren sind und $a$ reell Nummer, dann


12.4: Krümmungs- und Normalenvektoren einer Kurve - Mathematik

In diesem Abschnitt wollen wir uns eine Anwendung von Ableitungen für Vektorfunktionen ansehen. Eigentlich gibt es ein paar Anwendungen, aber sie alle brauchen wieder die erste.

In der Vergangenheit haben wir uns die Tatsache zunutze gemacht, dass die Ableitung einer Funktion die Steigung der Tangente war. Mit Vektorfunktionen erhalten wir mit einer Ausnahme genau das gleiche Ergebnis.

Gegeben die Vektorfunktion (vec rleft( t ight)), nennen wir (vec r'left( t ight)) die Tangentenvektor vorausgesetzt es existiert und vorausgesetzt (vec r'left( t ight) e vec 0). Die Tangente an (vec rleft(t ight)) bei (P) ist dann die Linie, die durch den Punkt (P) geht und parallel zum Tangentenvektor (vec r'links(t echts)). Beachten Sie, dass wir wirklich (vec r'left( t ight) e vec 0) benötigen, um einen Tangentenvektor zu haben. Wenn wir [vec r'left(t ight) = vec 0] hätten, hätten wir einen Vektor, der keine Größe hat und uns daher keine Richtung der Tangente geben könnte.

Vorausgesetzt (vec r'left( t ight) e vec 0), ist die Einheitstangensvektor zur Kurve ist gegeben durch,

Während die Komponenten des Einheits-Tangens-Vektors gelegentlich etwas unordentlich sein können, müssen wir den Einheits-Tangens-Vektor anstelle des Tangens-Vektors verwenden.

Erstens meinen wir mit allgemeiner Formel, dass wir kein bestimmtes (t) einfügen und daher eine Formel finden, die wir zu einem späteren Zeitpunkt verwenden können, wenn wir die Tangente an einem beliebigen Punkt finden möchten auf der Kurve. Abgesehen davon gibt es an dieser Stelle wirklich nicht viel zu tun, außer die Arbeit zu erledigen.

Hier ist der Tangentenvektor an die Kurve.

[vec r'left(t ight) = 2t,vec i + 2cos t,vec j - 2sin t,vec k]

Um den Einheitstangensvektor zu erhalten, benötigen wir die Länge des Tangentenvektors.

Der Einheitstangensvektor ist dann

Zuerst brauchen wir den Tangensvektor und da dies die Funktion ist, mit der wir im vorherigen Beispiel gearbeitet haben, können wir einfach den Tangentenvektor aus diesem Beispiel wiederverwenden und (t = frac<3>) einfügen.

[vec r'left( <3>> ight) = frac<<2pi >><3>,vec i + 2cos left( < frac<3>> ight),vec j - 2sin left( <3>> ight),vec k = frac<<2 pi >><3>,vec i + vec j - sqrt 3 ,vec k]

Wir brauchen auch den Punkt auf der Linie bei (t = frac<3>), also

[vec rleft( <3>> ight) = frac<<>><9>,vec i + sqrt 3 , vec j + ,vec k]

Die Vektorgleichung der Geraden lautet dann

[vec rleft( t ight) = leftlangle >><9>,sqrt 3 ,1> ight angle + tleftlangle ><3>,1, - sqrt 3 > ight angle]

Bevor wir fortfahren, lassen Sie uns ein paar Dinge zum vorherigen Beispiel beachten. Erstens hätten wir den Einheitstangensvektor verwenden können, wenn wir es für den Parallelvektor gewollt hätten. Dies hätte jedoch eine kompliziertere Gleichung für die Tangente ergeben.

Beachten Sie zweitens, dass wir (vec rleft( t ight)) verwendet haben, um die Tangente darzustellen, obwohl wir dies auch für die Funktion verwendet haben. Seien Sie deswegen nicht aufgeregt. Das (vec rleft( t ight)) ist hier ähnlich wie (y) bei normalen Funktionen. Bei normalen Funktionen ist (y) der generische Buchstabe, den wir verwendet haben, um Funktionen darzustellen, und (vec rleft( t ight)) wird bei Vektorfunktionen in der Regel auf die gleiche Weise verwendet.

Als nächstes müssen wir über die Einheit normal und der binormal Vektoren.

Der Einheitsnormalenvektor ist definiert als

Die Einheitsnormale ist orthogonal (oder normal oder senkrecht) zum Einheitstangensvektor und damit auch zur Kurve. Wir haben bereits Normalenvektoren gesehen, als wir uns mit Ebenengleichungen beschäftigten. Sie werden mit einiger Regelmäßigkeit in mehreren Calculus III-Themen auftauchen.

Die Definition des Einheitsnormalenvektors erscheint auf den ersten Blick immer etwas mysteriös. Es folgt direkt aus der folgenden Tatsache.

Angenommen, (vec rleft( t ight)) ist ein Vektor mit (left| ight| = c) für alle (t). Dann ist (vec r'left( t ight)) orthogonal zu (vec rleft( t ight)).

Diese Tatsache zu beweisen ist ziemlich einfach. Aus der Tatsachenaussage und der Beziehung zwischen der Größe eines Vektors und dem Skalarprodukt ergibt sich folgendes.

Da dies für alle (t) gilt, können wir sehen, dass

Wenn wir uns auch an die Tatsache aus dem vorherigen Abschnitt über die Unterscheidung eines Punktprodukts erinnern, sehen wir, dass

[frac<

>left( ight) = vec r'left( t ight), centerdot ,vec rleft( t ight) + vec rleft( t ight),centerdot ,vec r'left( t ight) = 2vec r'left( t ight),centerdot ,vec rleft(t ight)]

Oder, wenn wir all dies zusammenfügen, erhalten wir,

[2vec r'left( t ight),centerdot ,vec rleft( t ight) = 0hspace<0.25in>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25 in>hspace<0.25in>vec r'left( t ight),centerdot ,vec rleft( t ight) = 0]

Daher ist (vec r'left( t ight)) orthogonal zu (vec rleft( t ight)).

Daraus ergibt sich dann direkt die Definition der Einheitsnormalen. Da (vec Tleft( t ight)) ein Einheitsvektor ist, wissen wir, dass (left| ight| = 1) für alle (t) und damit ist nach der Tatsache (vec T'left( t ight)) orthogonal zu (vec Tleft( t ight)). Da jedoch (vec Tleft( t ight)) tangential zur Kurve ist, muss (vec T'left( t ight)) auch orthogonal oder normal zur Kurve sein und sei somit ein Normalenvektor für die Kurve. Dann müssen wir nur noch durch (left| ight|) dividieren, um einen Einheitsnormalenvektor zu erhalten.

Als nächstes ist der binormale Vektor. Der binormale Vektor ist definiert als

Da der binormale Vektor als das Kreuzprodukt der Einheitstangente und des Einheitsnormalenvektors definiert ist, wissen wir dann, dass der binormale Vektor sowohl zum Tangentenvektor als auch zum Normalenvektor orthogonal ist.

Wir brauchen zuerst den Einheitstangensvektor, also erhalten Sie zuerst den Tangentenvektor und seine Größe.

Der Einheitstangensvektor ist dann

Der Einheitsnormalenvektor erfordert nun die Ableitung der Einheittangente und ihrer Größe.


2.3 Binormaler Vektor und Torsion

In Sekten. 2.1 und 2.2 haben wir die zueinander orthogonalen Tangenten- und Normalenvektoren eingeführt, die in der Schmiegebene liegen. Lassen Sie uns einen binormalen Einheitsvektor definieren, der eine rechtsgängige Schraube bildet, d.h.

Da ein Einheitsvektor ist, haben wir . Daher ist parallel zur Gleichrichtungsebene ( ) und kann daher als Linearkombination von und ausgedrückt werden:

Der Koeffizient wird Torsion genannt und misst, wie stark die Kurve von der Schmiegebene abweicht. Indem wir das Skalarprodukt mit nehmen, erhalten wir die Torsion der Kurve an einem Krümmungspunkt ungleich Null

Die Torsion für einen beliebigen Geschwindigkeitsverlauf ist gegeben durch

Während die Krümmung außer bei ebenen Kurven nur dem Betrag nach bestimmt wird, wird die Torsion sowohl dem Betrag als auch dem Vorzeichen nach bestimmt. Die Torsion ist positiv, wenn die Drehung der Schmiegfläche in Richtung einer sich in Richtung aufsteigend bewegenden Rechtsschraube erfolgt. Wenn die Torsion an allen Punkten null ist, ist die Kurve eben.

Beispiel 2.3.1 Eine kreisförmige Helix in parametrischer Darstellung ist gegeben durch . Abbildung 2.7 zeigt eine Kreishelix mit z. Die parametrische Geschwindigkeit lässt sich leicht als berechnen, was eine Konstante ist. Daher ist die Kurve regelmäßig und ihre Bogenlänge ist


Lehrplan

Kapitel 1, Berechnung des euklidischen Raums §1.1 Euklidischer Raum §1.2 Tangentialvektoren §1.3 Richtungsableitungen §1.4 Kurven in &reell 3 §1.5 1-Formen §1.6 Differentialformen §1.7 Abbildungen

Kapitel 2, Frame-Felder §2.1 Punktprodukt §2.2 Kurven §2.3 Die Frenet-Formeln §2.4 Beliebige Geschwindigkeitskurven §2.5 Kovariante Ableitungen §2.6 Frame-Felder §2.7 Verbindungsformen

Zwischenprüfung 1, 24. Februar Mittwoch

Kapitel 4, Berechnung auf einer Fläche §4.1 Flächen in &real 3 §4.2 Flächenberechnungen §4.3 Differenzierbare Funktionen und Tangentenvektoren §4.4 Differentialformen auf einer Fläche §4.5 Abbildungen von Flächen §4.6 Integration von Formen §4.7 Topologische Eigenschaften ------>

Kapitel 5, Formoperatoren §5.1 Der Formoperator von M &sub &real 3 §5.2 Normale Krümmung §5.3 Gaußsche Krümmung §5.4 Berechnungstechniken §5.5 Der implizite Fall -------> §5.6 Spezialkurven in einer Fläche §5.7 Flächen der Rotation. ------>

Zwischenprüfung 2, 14. April

Kapitel 6, Geometrie von Oberflächen in &real 3 §2.8 Die Strukturgleichungen §6.1 Die Fundamentalgleichungen §6.2 Formberechnungen §6.3 Einige globale Sätze §6.4 Isometrien und lokale Isometrien §6.5 Intrinsische Geometrie von Oberflächen in &real 3 §6 .6 Orthogonale Koordinaten §6.7 Integration und Orientierung §6.8 Gesamtkrümmung §6.9 Kongruenz von Flächen. --------> Kapitel 7, Riemannsche Geometrie §7.6 Der Satz von Gauß-Bonnet. -------->


Kapitel 16 Vektorrechnung

- Vektorfelder
- Skizzieren von Vektorfeldern
- Verlaufsfelder

- Bogenlänge einer Kurve
- Linienintegrale von Skalarfunktionen
- Linienintegrale von Vektorfeldern

Aktivität:Papierband

- Fundamentalsatz für Linienintegrale
- Konservative Vektorfelder
- Unabhängigkeit des Pfades
- Theoreme zur Bestimmung der Erhaltung

- Positive Kurvenorientierung
- Satz von Green
- Erweiterter Satz von Green

- Curl eines Vektorfeldes
- Divergenz eines Vektorfeldes
- Laplace-Betreiber

- Parametrische Oberflächen
- Oberflächen parametrieren
- Oberflächen der Revolution
- Tangentiale Ebenen an parametrische Oberflächen
- Oberfläche parametrischer Oberflächen

- Oberflächenintegrale von Skalarfunktionen
- Anwendungen
- Orientierte Oberflächen
- Einheitsnormale Vektoren
- Oberflächenintegrale von Vektorfeldern


Lehrplan und Checkliste für Prüfung 1

Hier finden Sie einen detaillierten Lehrplan und eine abschnittsweise Checkliste mit Themen, Konzepten, Formeln und Techniken, mit denen Sie vertraut sein sollten. Obwohl diese Liste die wichtigsten Punkte der relevanten Abschnitte Ihres Lehrbuchs enthält, deckt sie möglicherweise nicht alle Details des Kursmaterials ab. Beziehen Sie sich auch auf die Lernziele am Anfang jedes Abschnitts, lesen Sie das Lehrbuch noch einmal und wiederholen Sie Ihre Unterrichtsnotizen und Vorlesungsfolien und wiederholen Sie die entsprechenden Hausaufgaben. Alles, was im Unterricht behandelt wird (mit den wenigen oben aufgeführten Ausnahmen) und die Hausaufgaben sind prüfungsrelevant.

  • 12.1 und 12.2: Vektoren
    • Vectors (in particular in 2 and 3 dimensions) magnitude/length, direction, coordinates/components, vectors versus scalars, right-hand rule
    • Addition of vectors (geometric and algebraic interpretation)
    • Multiplication of vectors by scalars (geometric and algebraic interpretation)
    • Unit vectors finding a unit vector in a given direction (normalizing a given vector)
    • Standard basis unit vectors
    • Algebraic and geometric definitions
    • Properties of the dot product
    • Angle formula
    • Vector projection of one vector onto another (projeinb)
    • Algebraic and geometric definitions, computation of 3x3 determinants, right-hand rule
    • Geometric properties of cross product
    • Algebraic properties of cross product
    • Area of a parallelogram
    • Volume of a parallelepiped
    • Parametric equation of a line or line segment
    • Equations of a plane
    • Normal vector of a plane
    • Functions of several variables
    • Domain and range
    • Graph
    • Level curves and level surfaces
    • Limits and continuity
    • Definition of partial derivatives (ordinary derivatives of functions of a single variable, and limit definition), and notations
    • Interpretations: slopes of tangent lines to traces of the graph, and rate of change
    • Higher order partial derivatives
    • Clairaut's Theorem
    • Equations of tangent planes to graphs of functions of two variables
    • Differentiable functions
    • Linearization and linear approximation of function of several variables
    • Explicit form of chain rule and tree diagrams
    • Gradient of a function of several variables
    • Geometric interpretation of the gradient vector in 2D and 3D, relation to level curves and level surfaces
    • Directional derivative: definition, rate-of-change interpretation, and dot product formula
    • Application of the gradient to computation of tangent planes and normal lines to level surfaces of the form F(x,y,z)=k

    Exercises 12.2

    Ex 12.2.1 Draw the vector $langle 3,-1 angle$ with its tail at the origin.

    Ex 12.2.2 Draw the vector $langle 3,-1,2 angle$ with its tail at the origin.

    Ex 12.2.3 Let $<f A>$ be the vector with tail at the origin and head at $(1,2)$ let $<f B>$ be the vector with tail at the origin and head at $(3,1)$. Draw $<f A>$ and $<f B>$ and a vector $<f C>$ with tail at $(1,2)$ and head at $(3,1)$. Draw $f C$ with its tail at the origin.

    Ex 12.2.4 Let $<f A>$ be the vector with tail at the origin and head at $(-1,2)$ let $<f B>$ be the vector with tail at the origin and head at $(3,3)$. Draw $<f A>$ and $<f B>$ and a vector $<f C>$ with tail at $(-1,2)$ and head at $(3,3)$. Draw $f C$ with its tail at the origin.

    Ex 12.2.5 Let $<f A>$ be the vector with tail at the origin and head at $(5,2)$ let $<f B>$ be the vector with tail at the origin and head at $(1,5)$. Draw $<f A>$ and $<f B>$ and a vector $<f C>$ with tail at $(5,2)$ and head at $(1,5)$. Draw $f C$ with its tail at the origin.

    Ex 12.2.11 Let $P=(4,5,6)$, $Q=(1,2,-5)$. Find $ds overrightarrow$. Find a vector with the same direction as $ds overrightarrow$ but with length 1. Find a vector with the same direction as $ds overrightarrow$ but with length 4. (answer)

    Ex 12.2.12 If $A, B$, and $C$ are three points, find $ds overrightarrow+ overrightarrow+ overrightarrow$. (answer)

    Ex 12.2.13 Consider the 12 vectors that have their tails at the center of a clock and their respective heads at each of the 12 digits. What is the sum of these vectors? What if we remove the vector corresponding to 4 o'clock? What if, instead, all vectors have their tails at 12 o'clock, and their heads on the remaining digits? (answer)

    Ex 12.2.14 Let $f a$ and $f b$ be nonzero vectors in two dimensions that are not parallel or anti-parallel. Show, algebraically, that if $f c$ is any two dimensional vector, there are scalars $s$ and $t$ such that $<f c>=s<f a>+t<f b>$.

    Ex 12.2.15 Does the statement in the previous exercise hold if the vectors $f a$, $f b$, and $f c$ are three dimensional vectors? Explain.


    Lecture 2: Tangential & Normal Vectors

    Download the video from iTunes U or the Internet Archive.

    Video Description: Herb Gross explains how a vector is tangent to a curve at a point as a function of arc length. Likewise, he explains how a vector is normal to a curve as a function of the derivative of the tangent with regard to arc length and curvature. Prof. Gross presents an example tracking the velocity and acceleration of a particle moving along a curve. Finally, he discusses similar issues and examples for 3-dimensional curves (binormal).

    Instructor/speaker: Prof. Herbert Gross

    Lecture 1: Vector Functions.

    Lecture 2: Tangential & Nor.

    Lecture 3: Polar Coordinates

    Lecture 4: Vectors in Polar.

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    PROFESSOR: Hi. Our lesson today involves a rather subtle difference between a curve and a coordinate system. In other words, given a curve, that curve has a certain shape, has a certain position, independently of where our coordinate axes are if we're using Cartesian coordinates, or whether we're using other coordinate systems, or what have you, but the equation of the curve may very well depend on what coordinate system we're using.

    The thing that we would like to do in this particular lecture is to hit a very important highlight that comes up-- well, you can motivate it from a purely mathematical point of view, but physically there's an even more natural interpretation. And basically what the thing hinges on is this: If you're given a curve in space-- we'll start with a curve in the plane, but it applies to curves in space as well. Given that curve in the plane, does that curve have certain properties regardless of whether you know what your coordinate system is or not?

    Or in still other words, can you measure the shape of the curve, can you measure the speed along the curve as a particle traverses it, if you had never heard of the x- and y-coordinate system? And what this leads to is a new system of vectors by which we study motion in space called tangential and normal vectors when we're dealing in the plane. And there's a third number called the binormal vector, which we'll talk about later when we deal in three-dimensional space.

    Any rate, just for brevity, I call this lecture "Tangential and Normal Vectors". And the idea is something like this. We're given a curve C. Now, given this particular curve C, it happens that we have a Cartesian coordinate system here. And it also happens that we prefer, at least as we've done things in the past, we write everything in terms of i and j components.

    Notice that if a person were restricted to his universe being the curve C, i and j have no basic meaning to him. What does have a basic meaning to him, as he's moving along this curve, I would imagine, would be what?-- what is his motion tangential to the curve? In other words, if you want to look at this from a calculus point of view, if this is a smooth curve, in a sufficiently small neighborhood of this point, you cannot distinguish between the curve and the tangent line. And consequently, one could interpret that at a given instance the motion was always along the straight line tangential to the curve.

    What this leads to is the notion of inventing what we call a unit tangent vector, which I'll call T. And what is that tangent vector? It's not a constant, mind you. It shifts with position as you move along the curve. What is constant is its magnitude. It has constant magnitude 1.

    I guess what I'm trying to say, in sort of a surrealistic or metamathematical way, is that T plays to a person who's living on the curve C the same role that i plays to a person living in our ordinary space, but somehow or other he sees T as a constant vector as he moves along the curve If he visualizes the curve as being a straight line. He always sees it tangential to his motion.

    Now, in the same way that j was a 90-degree positive rotation of i, one would like to mimic the i and j Cartesian coordinate system by inventing another unit vector, which is again what?-- a positive 90-degree rotation of T. And we'll call that vector N.

    So that now we have a new system of coordinates, T and N, new system of variables, or vectors, whereby we can now study motion along a curve in a very natural way. In other words, we talk about the unit tangent direction and the unit normal direction. And we have this thing now established.

    What we would like to do is to see what happens in our study of kinematics, motion in the plane, motion in space, if we work in terms of tangential and normal components now rather than in terms of i and j components. The first thing that we'd probably like to do is figure out how in the world do you compute T?

    Well, for example, let's take a particular application. Let's take the example that we were dealing with last time where we had the radius vector R-- in other the scalar function t, where t denoted time-- and we were dealing what?-- motion in space where the radius vector R was a function of t. And remember what we showed last time?

    We showed that the dR/dt, the velocity vector, has its what? Its direction is always tangent to the curve. We proved that last time. Well, as long as the dR/dt is always tangent to the curve, what prevents it from being a unit tangent vector?

    Well, nothing prevents it from being a tangent vector, because it's already tangent to the curve. All that could go wrong is that the magnitude of the dR/dt is not 1. Well, look at that again-- a very simple point to fix up-- namely, if the magnitude of the dR/dt is not 1, suppose we divide that vector by its magnitude? We have already seen that given any non-zero vector, if you divide that vector by its magnitude, you get the unit vector in the same direction as the vector that you started with.

    In other words, if I take the vector dR/dt, which is already tangential to the curve at the given point, and I divide that by the magnitude of the dR/dt, then I automatically get the unit tangent vector. Is that clear? Well, since nobody says no, I assume it is clear.

    Look it. We also showed last time that the magnitude of dR/dt is speed along the curve. Speed along the curve happens to be called ds/dt. So, again, another name for the unit tangent vector is dR/dt divided by ds/dt.

    By the chain rule, we can cancel dt. And by the way, notice the chain rule applies for vector functions like this, the same as it did in part one of our course, by virtue of what we showed in the last unit-- namely, that every formula for derivatives that was true for scalar functions also happens to be true for what?-- vector functions of a scalar variable. At any rate, notice then by the chain rule, another way of saying T is that it's the derivative of a position vector R with respect to the arc length s.

    I'd like to make one comment on this. It's important enough so that I will also make this comment in the notes as well when we're doing the exercises. The point is there are many textbooks that will define T by saying it's dR/ds. Now, 999 times out of 1,000-- in fact, 999 times out of 998 even-- you will never be given R as a function of arc length in the real world. In the real world, R is a function of some parameter, usually time.

    And the trouble that happens is if you try to use this definition, you find yourself trying to convert things into s, and this makes sort of a mess for you. The thing I would like to show you-- and, by the way, this does not depend on t standing for time. If t is any variable-- and we show this in the notes in the exercises again-- if t is any scalar, if you differentiate R with respect to that scalar, and divide that result by the magnitude of this vector, you wind up with the unit tangent vector.

    In other words, in a real life problem, do not worry about converting R into a function of s. Simply differentiate R as it stands with respect to the given variable, divide by the magnitude of the derivative, and, presto, you have the unit tangent vector.

    Of course, you may ask, if it's so simple to do what I just said, why is it that every book defines it this way? The answer is rather interesting, and that is, we have just mentioned that we would like to believe that the shape of a curve depends only on the curve itself, not on how we parameterize it. The beauty of this particular definition simply says the natural parameter is arc length-- namely, arc length doesn't depend on any coordinate system.

    Given the curve, start at any point you want, and you can measure the arc length. So s is a very natural parameter that does not depend on the coordinate system. In other words, by defining the unit tangent vector to be dR/ds, you have a beautiful philosophically pure mathematical definition, because you have a definition which does not depend on any coordinate system or any unnatural parameter. But in practice, this is the way we compute the unit tangent vector.

    The question that comes up is how do you find the vector N? And I'm going to show you the traditional way of doing this before I jazz it up with a more modern approach. Let's look at T over here. Let's call phi the angle that the unit tangent vector makes with the curve here. Notice that in terms of this diagram, since the unit tangent vector has magnitude 1, the i component of it will be cosine phi and the j component will be sine phi.

    In other words, T is equal to cos(phi) i plus sin(phi) j. Let's just differentiate. See, T is a function of phi here. Let's just take the derivative of T with respect to phi, and we get right away-- Remember, now, we're getting the mileage out of this basic definition of derivative. That hasn't changed since last time. We just differentiate term by term here.

    We get minus sin(phi) i plus cos(phi) j. Right away we observe that dT/d(phi) is still a unit vector. You see it's components are minus sin(phi) and cos(phi), so its magnitude is still 1. And its slope is cos(phi) over minus sin(phi) , which is the negative reciprocal of the slope here.

    In other words, what this shows us through the traditional approach is that whatever vector the dT/d(phi) is, it's a unit vector perpendicular to T. By the way, what that tells us right away is that dT d phi must be either plus N or minus N before we go any further. Warum? Because we already saw that positive N, the vector that we called N, was a positive 90-degree rotation of T. If we only knew that dT d phi was a positive 90-degree rotation rather than a negative 90-degree rotation, we'd be home free.

    And, again, the beauty of trigonometry, in the non-surveyor's sense of the word, analytically is this-- that sort of having a premonition of what we'd like to be true, we simply verify the trigonometric identities that the cosine of phi plus 90 degrees is minus sine phi, and the sine of phi plus 90 degrees is cosine phi, so that dT d phi is what? It's [cos(phi) + 90 degrees] i, + [sin(phi) + 90 degrees] j.

    And if we now compare this with this, we notice that we have exactly the same expression, except that the angle has been increased by a positive 90 degrees. In other words, dT d phi is a positive 90-degree rotation of T. Consequently, dT d phi is the vector that was called N. OK? That's dT d phi.

    Now, let's go back to our kinematics. We have T and N now. Let's talk about our velocity vector v, where R is still some function of time. By definition, v is dR/dt. That isn't going to change. V was dR/dt last time. It's going to be dR/dt this time. It's going to be dR/dt whenever we want to use it.

    The only difference is that instead of expressing this in terms of i and j, we now want to express it in terms of T and N. And notice that since v has as its direction the direction of the tangent line, and as its magnitude ds/dt-- we saw that last time-- notice that in terms of T, v is just a scalar multiple of the unit tangent vector T. And what scalar multiple is it? It's ds/dt. All right. All that says is what? That v is the vector in the direction of T whose magnitude is ds/dt, which is speed along the curve.

    I now want to find a. a is acceleration. It's the same acceleration that I was talking about before. It's dv/dt. The only thing that's going to change now is I am not going to change the acceleration vector. I am going to change how it looks, because now I'm going to try to find it in terms of T and N components.

    So what do I do here? Look at this expression for v. ds/dt is speed along the curve. That changes from time to time, in general. The unit tangent vector T is also a variable function of T, unless T happens to be a straight line through the origin-- namely, notice that the unit tangent vector, even though it always has unit length, changes its direction as we move along the curve.

    So in other words, both of these factors are functions of T. Consequently, to differentiate this with respect to T, we must use the product rule. And the fact that all of our differentiation formulas are true for vector and scalar combinations as well as the scalars, I now use the regular product rule-- namely, it's the derivative of the first factor times the second, plus the first factor times the derivative of the second.

    And I now have a expressed in terms of two vectors, T and the derivative of the unit vector T with respect to time t. And somehow or other, all that's wrong here is I would like to get this thing expressed in terms of N. You see, when I'm working with T and N components, I want my answer to depend on T and N.

    Now, here's where I become very shrewd. And, by the way, this is an insight that, if you're going to pick it up at all, you're either born with it or you pick it up with experience. But you just have to work with these things. There are tricks, if you want. I guess the novice calls them "tricks." The expert calls it "keen analytical insight,"

    The point is I want to get an N out of this thing. I already know how to express N in terms of dT d phi. In fact, N is dT d phi. So what I do is I take dT/dt and say, let me write it so I can get a dT d phi factor out of this. I also want everything to be in terms of arc length so I can ultimately have an answer which doesn't depend on a coordinate system.

    So what I really do is I use the chain rule to express this factor in terms of what?-- these three factors. You see, according to the chain rule, the d(phi) here cancels the d(phi) here, the ds here cancels the ds here, and all I'm saying is that dT/dt can be written as dT d phi times d(phi)/ds times ds/dt.

    Now we're in very good shape, you see. dT/d(phi) we already know is N. And ds/dt we already know can go with this. And the only new thing that we have to worry about is what is d(phi)/ds.

    See, again what so often happens, you apply logic, you get to a certain inescapable conclusion, and then if you have brand new terms, you have a choice between doing what?-- saying I don't like the new terms, I'm going to throw them away, or saying I like the result, I had better interpret what this new term means.

    All I want to show you is, is that the d(phi)/ds has a very natural interpretation-- namely, what is d(phi)/ds? Let me tell you what it's called first. It's usually denoted by the Greek letter kappa, and it's called curvature. Its reciprocal, 1 over kappa, is usually denoted by rho, and it's called the radius of curvature. And I give you plenty of drill on the stuff. I just want to mention what these words are now.

    In fact, part of the drill is that d(phi)/ds is not a very convenient thing to compute. Usually you're given y as some function of x. And many of the drill problems that we have in calculus ask questions like, how do you express d(phi)/ds in terms of y, dy, dx, et cetera? Those are problems that we can get into in more detail as we do the exercises. But all I wanted to do in this lecture is to show you why d(phi)/ds is such a natural thing.

    Look at the curve s. As you move along this curve, notice that the change in phi with respect to s in a way tells you how the shape of the curve is changing. In other words, d(phi)/ds measures how-- what could be a more infactual word than curvature? See, as phi changes as you move along the curve, that's measuring how your curvature is changing.

    As an extreme case, notice if the curve where a straight line, d(phi)/ds would be 0 because phi would be a constant. d(phi)/ds would be 0, and the curvature of a straight line should be 0. At any rate, one defines d(phi)/ds to be the curvature.

    And, in fact, to play it safely, since s can have two different senses-- in other words, why couldn't somebody else say why don't you go this way along the curve, I don't know what the sense is? Usually what one does to play it safe is we put the absolute value signs around d(phi)/ds and just call the magnitude the curvature.

    And the punch line is that once I call d(phi)/ds the curvature, what I wind up with is what? Just substituting in here now, the acceleration vector is d^2s/dt^2 * T + kappa * (ds/dt)^2 * N.

    By the way, this entire recipe is derived in the text. I have you do it again as a learning exercise because I want you to practice with this. And I make additional comments on this in the notes. The textbook makes additional comments on it in the text, which is where you'd expect it to be.

    And all I want you to see is that this is the same acceleration vector that we were talking about in the last lecture, only now we're talking about how it looks in terms of tangential and normal components instead of i and j components. OK? And what's so good about tangential and normal? What's so good about tangential and normal is that you're now moving along the curve rather than with respect to some isolated x- and y-coordinate system.

    By the way, in the last unit we showed a rather interesting result, that if T was any vector function of the scalar x, and the magnitude of T was a constant, then dT/dx was perpendicular to T. That was an exercise in the last unit.

    Now, the interesting point is that the modern approach to calculus says this-- why should we single out the xy-plane? After all, you can be given a particle moving through space, or you can be using a different coordinate system. The natural parameter is arc length. Consequently, the modern approach never talks about the angle phi or anything like this. The modern approach simply says this-- define the unit tangent vector as before.

    Because the magnitude of T is a constant, since dT/ds is already perpendicular to T, let's define a second vector N to be dT/ds divided by its magnitude. Again, the same old trick. What have we done here? We have simply taken dT/ds, which we know is perpendicular to T-- any scalar multiple of the dT/ds will still be perpendicular to T-- but now this is what? It's a unit vector because we've divided this vector by its magnitude. Therefore, N is a unit vector.

    And where is it? It's perpendicular to T. If we now cross-multiply, notice that dT/ds is equal to the magnitude of dT/ds * N. See, just cross-multiply. I now claim that the magnitude of dT/ds is just d(phi)/ds. Now, why is that?

    I guess I should have planned this better, but let me come back to the previous board over here. Notice that since T is a constant vector, since T is a constant vector, how does it change? It can't change in magnitude because it has constant magnitude. Therefore, its only change must be due to direction alone.

    But the direction of T is measured by phi. In other words, if dT/ds is changing at all-- in other words, if this is a variable, it must be changing only in direction, because the magnitude of T is always 1. In other words, T cannot change in magnitude. It must therefore change only in direction. In other words, the magnitude of dT/ds is the same as the magnitude of d(phi)/ds.

    Recall that we just defined the magnitude of d(phi)/ds to be kappa, and therefore dT/ds is kappa N, the same way as in the traditional approach. The beauty of this approach is that we're no longer restricted to the xy-plane. We're not restricted to any plane. We're not restricted to any coordinate system. We can now, in fact, generalize this to go out into three dimensions.

    And, in fact, some of you will probably have enough difficulty with what we've done so far that you won't want to go into three dimensions. What I've done is I have made up an optional unit that follows this one, a unit which has no lecture. It simply has a batch of exercises for those who have mastered the material in this unit and would like to see what happens in three-dimensional space. And, after all, when you deal with real life orbit-type problems and things like this, notice that you do need the geometry of three-dimensional space for this.

    If you so desire, you can then do the optional unit. That's why it's called optional. You can skip it if you want. There's no loss of continuity if you should skip it, but in that optional unit I devote computational drill to what happens when our curve happens to be a three-dimensional space curve-- in other words, a curve that winds through space.

    Notice, by the way, that in the same way as before, I can write R(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, where that is the vector form of the curve in Cartesian coordinates given in scalar form by the three equations, x is some function of t, y is some function of t, z is some function of t. Again, my claim is that if I just take the dR/ds, I still have the unit tangent vector.

    And to see that, just notice what we're saying here. This is a space curve now. I've taken a small segment of it. Here's R, here's R plus delta R, so this difference is delta R. Look what happens as you take delta R and divide it by delta s.

    First of all, the direction of delta R does become the direction of the tangent line as delta s approaches 0. So certainly we can believe that the direction of dR/ds is going to be the tangential direction. Also, if we invoke the result of geometry that we talked about in part one of our course, when we talk about sin(theta) over theta as theta approaches 0, the length of the arc is approximately the length of the chord for small segments. So, therefore, delta R over delta s in magnitude approaches 1.

    In other words, dR/ds is still the unit tangent vector, the same as before. Again from a computational point of view, to find dR/ds you do not rewrite this in terms of s. You simply do what? You take dR/dt, the same as before, divide by its magnitude, and you automatically have dR/ds.

    Similarly, once T is given, to find N you simply differentiate T with respect to s and divide it by its magnitude. And again notice, even though I've written it again, if you look back to the first third of our blackboard, this is the same definition for N as before, because our original definition did not specify that the curve had to be in a particular plane. See? The same general definition.

    So I now have T and N. Now what do T and N do? T and N determine a plane. It's a plane which we call the osculating plane to the curve. That's the plane which sort of touches the curve at that particular moment. Remember, this curve is winding through space.

    And, again, this is done in more detail in the notes. Not quite as elegantly as going like this, but the idea is you have this plane that's shifting along with the curve. The only thing that's missing that causes new complications when you deal in three-dimensional space is that in the same way that T and N take the place of i and j in two-space, you need something that takes the place of k in three-dimensional space.

    What we do is-- again look at the structure-- we mimic how k is related to i and j and invent a new vector called the binormal, hence abbreviated B, which is simply defined to be T cross N, the vector that you get by rotating the unit vector T into the unit vector N through the smaller-- namely, the positive 90-degree-- angle.

    Now what is B? B is perpendicular to both T and N. In other words, B is a vector which is perpendicular to the osculating plane. Since B always has a constant magnitude, because T and N are always perpendicular-- see, B always has magnitude 1-- the point is that dB/ds, the magnitude of dB/ds, measures the twist of the curve.

    In other words, here's this tangent plane following a point, a particle, along the curve. And what you're saying is how fast the direction of that tangent plane is changing is measured by dB/ds. That is called the "twist." I call it the "twist." I put it in quotation marks because nobody else calls it the "twist." The formal name is the "torsion." See? This is called the torsion. I talk about that more in the notes.

    The point being, by the way, that notice that if dB/ds happens to be 0-- in other words, if B happens to be constant-- then the curve lies in the plane. We certainly recognize that. For example, if the curve happens to be in the xy-plane, notice that if T and N were i and j, i cross j would just be k, B would then be a constant. The derivative of a constant with respect to any variable is 0, and, therefore, when the curve does lie in the plane, the torsion, the twist, is 0.

    In other words, the torsion does for three-dimensional space what the curvature in a sense does for two-dimensional space. At any rate, our main aim is to get you familiar with some vector calculus, and if in doing this we can also help you learn how to use this stuff in some physical applications, that happens to be frosting on the cake.

    Next time, we are going to talk about the fact that we still have to invent additional coordinate systems, that i and j isn't enough, T and N isn't enough. Next time we're going to show why we need polar coordinates, but we'll worry about that next time. Until next time then, goodbye.

    Funding for the publication of this video was provided by the Gabriella and Paul Rosenbaum Foundation. Help OCW continue to provide free and open access to MIT courses by making a donation at ocw.mit.edu/donate.

    Study Guide for Lecture 2: Tangential & Normal Vectors

    To complete the reading assignments, see the Supplementary Notes in the Study Materials section.


    Math 215 Examples

    Let (vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle) be a curve. Then the vector-valued function (vec r'(t) = langle x'(t), y'(t), z'(t) angle) gives a tangent vector to the curve at any time (t). Das unit tangent vector is [vec T(t) = frac<||vec r'(t)||>.]

    Note that the unit tangent vector is just the derivative (vec r'(t)) normalized. While (vec r'(t)) depends on the parameterization, (vec T(t)) does not (as long as both parameterizations move through the curve in the same direction). If (||vec r'(t)||=1) for all (t) (i.e., (vec r'(t) = vec T(t))), then we say that (r(t)) is the unit speed parameterization of the curve.

    The unit tangent vectors are graphically intuitive, as we are used to thinking about tangent lines of curves:

    Normal Vectors

    At any time (t), the vector-valued function (vec T'(t)) gives a vector orthogonal to the unit tangent (vec T(t)). Das unit normal vector is [vec N(t) = frac<||vec T'(t)||>.]

    Note that, for an arbitrary vector-valued function (vec s(t)), it is nicht generally true that (vec s'(t)) and (vec s(t)) are normal to each other. However, if (vec s(t)) is a unit speed parameterization (i.e., if (||vec s(t)||=1) for all (t)), then (vec s'(t)) and (vec s(t)) are indeed normal. This is the situation in the definition of normal vectors: since (||vec T(t)||=1), (vec T'(t)) and (vec T(t)) are orthogonal. Note, though, that just because (vec T(t)) is always a unit vector, (vec T'(t)) is nicht necessarily a unit vector. Hence to get the unit tangent (vec N(t)), we must normalize (vec T'(t)).

    Graphically, the normal vector points "inward," as seen in the following animation:

    Binormal Vectors

    Das binormal vector is [vec B(t) = vec T(t) imes vec N(t).]

    As a cross product, (vec B(t)) is automatically orthogonal to both (vec T(t)) and (vec N(t)). Since (vec T(t)) and (vec N(t)) are orthogonal and are both unit vectors, (vec B(t)) is also a unit vector.

    Normal Planes

    At any point (t), the plane through the point (vec r(t)) and normal to the tangent vector (vec T(t)) is called the normal plane to the curve at (t). The unit normal vector (vec N(t)) and the binormal vector (vec B(t)) are both orthogonal to (vec B(t)), and hence they both lie in the normal plane:

    The binormal vector, then, is uniquely determined up to sign as the unit vector lying in the normal plane and orthogonal to the normal vector.

    TNB Frames

    For any (t=t_0), we now have three vectors, (vec T(t_0)), (vec N(t_0)), and (vec B(t_0)), all orthogonal, and all unit vectors. These define an orthonormal basis for the 3-dimensions coordinate system: for any vector (vec v), we can write it as [ vec v = (vec vcdot vec T(t_0)) vec T(t_0) + (vec vcdot vec N(t_0)) vec N(t_0) + (vec vcdot vec B(t_0)) vec B(t_0). ] This basis is called the TNB frame of the curve at (t=t_0). The animation below shows the TNB frame of a curve at each point.

    Illustrated Example

    Find the unit normal vector and an equation for the normal plane for (vec r(t) = langle t, t^2, t^3 angle) at (t=2).

    Worked Solution

    We start by finding (vec r'(t)): [ vec r'(t) = langle 1, 2t, 3t^2 angle. ] The magnitude of this vector is [ ||vec r'(t)|| = sqrt <1^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2>= sqrt<1+4t^2+9t^4>, ] so we have [ vec T(t) = frac <||vec r'(t)||>= leftlangle frac<1>>, frac<2t>>, frac<3t^2>> ight angle. ] At this point, we could plug in (t=2) to find the unit tangent vector at this point. Unfortunately, in order to find the unit normal vector, we need to differentiate (vec T(t)), so we can't plug in (t=2) yet. So we proceed with finding (vec T'(t)). Noting that [ frac

    left(sqrt<1+4t^2+9t^4> ight) = frac<8t+36t^3><2sqrt<1+4t^2+9t^4>>, ] we have [ vec T'(t) = leftlangle frac<-frac<8t+36t^3><2sqrt<1+4t^2+9t^4>>><1+4t^2+9t^4>, frac<2sqrt<1+4t^2+9t^4>-2tfrac<8t+36t^3><2sqrt<1+4t^2+9t^4>>><1+4t^2+9t^4>, frac<6tsqrt<1+4t^2+9t^4>-3t^2frac<8t+36t^3><2sqrt<1+4t^2+9t^4>>> <1+4t^2+9t^4> ight angle ]

    Fortunately, we are now done with messy calculations. Even though (vec N(t)) is defined as the unit vector in this direction, we can plug (t=2) into (vec T'(t)) and then normalize. So first we plug in (t=2) [egin vec T'(2) &= leftlangle frac<-frac<304><2sqrt<161>>><161>, frac<2sqrt<161>-4frac<304><2sqrt<161>>><161>, frac<12sqrt<161>-12frac<304><2sqrt<161>>> <161> ight angle &approx langle -0.074, -0.14, 0.053 angle. end] This vector has length (sqrt<(-0.074)^2+(-0.14)^2+0.053^2>approx 0.17), so we have [ vec N(2) = frac <||vec T'(2)||>= frac<1><0.17>langle -0.074, -0.14, 0.053 angle = langle -0.45, -0.74, 0.32 angle ] as the desired unit normal vector.

    To find the equation for the normal plane, we do not actually need this normal vector. Since the normal plane is the plane orthogonal to the tangent vector (any tangent vector, not just the unit tangent -- only the direction matters), we can write down the equation immediately as the plane through the point (vec r(2) = langle 2,4,8 angle) orthogonal to the vector (T(2) = langle 1,4,12 angle), yielding the equation [ (x-2)+4(y-4)+12(z-8)=0. ]

    Visualizing the Example

    Shown below is the normal plane (as well as the full TNB frame) of the curve at (t=2):

    Further Questions

    1. In the image of the example above, which vector is the unit tangent, which is the unit normal, and which is the binormal vector?
    2. With (vec r(t)) as in the example, are there any times (t) when (vec r'(t) = vec T(t))? (Note that this is unmöglich grafisch aus dem obigen Bild zu sehen. Warum?)
    3. In den Key Concepts-Animationen oben variieren die Vektoren im Allgemeinen glatt, wenn wir durch die Kurve streichen, aber manchmal springen sie plötzlich. Warum tritt dies auf?
    4. Im Allgemeinen, wenn (vec r(t)) die Einheitsgeschwindigkeit ist, warum ist dann (vec r'(t)) immer orthogonal zu (vec r(t))?
    5. Wir haben oben bemerkt, dass (vec B(t) = vec T(t) imes vec N(t)) automatisch ein Einheitsvektor ist, weil (vec T(t)) und (vec N(t)) sind orthogonale Einheitsvektoren. Geben Sie ein Beispiel für zwei Vektoren (vec v) und (vec u), die orthogonal sind, wobei (vec v imesvec u) kein Einheitsvektor ist. Geben Sie dann ein anderes Beispiel für zwei Vektoren (vec v) und (vec u), die Einheitsvektoren sind, wobei (vec v imesvec u) kein Einheitsvektor ist.
    6. Wir sagten auch, dass wir für jede Zeit (t=t_0) jeden Vektor (vec v) in Bezug auf seine TNB-Komponenten [ vec v = ( vec vcdot vec T(t_0)) vec T(t_0) + (vec vcdot vec N(t_0)) vec N(t_0) + (vec vcdot vec B(t_0) ) vec B(t_0). ] Betrachten Sie die Vektoren [egin vec e_1 &= langle 1, 0, 0 angle vec e_2 &= langle 1, 1, 0 angle vec e_3 &= langle 1, 1, 1 angle, end] und sei (vec v = langle 2, 0, -3 angle). Beachten Sie, dass (vec e_1), (vec e_2) und (vec e_3) nicht orthogonal sind und (vec e_2) und (vec e_3) keine Einheitsvektoren sind . Stimmt noch [ vec v = (vec vcdot vec e_1)vec e_1 + (vec vcdot vec e_2)vec e_2 + (vec vcdot vec e_3) vec e_3? ] Ist es möglich, Konstanten (a), (b) und (c) zu finden, so dass [ vec v = avec e_1 + bvec e_2 + cvec e_3 ist? ]

    Verwenden der Mathematica-Demo

    Alle Grafiken auf dieser Seite wurden mit dem Mathematica-Notebook 13_3TNBFrames.nb erstellt.

    Dieses Notizbuch generiert Bilder und Animationen wie auf dieser Seite für jede Kurve.

    Verwenden Sie als Übung das Notizbuch, um Ihre Antwort auf Frage 2 visuell zu demonstrieren.

    Untersuchen Sie andere Kurven (vec r(t)) und ihre TNB-Rahmen. Die Normalebene haben wir bereits als die Ebene definiert, in der sowohl der Einheitsnormalen- als auch der Binormalenvektor liegen. Es gibt zwei weitere Ebenen, die durch den TNB-Rahmen definiert sind. Wie sehen Sie aus? (Die Ebene, in der sowohl die Einheitstangente als auch die Einheitsnormalenvektoren liegen, wird oft als Schmiegebene bezeichnet.)


    Schau das Video: Regning med vektorer (Kann 2022).