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6: Die Laplace-Transformation - Mathematik

6: Die Laplace-Transformation - Mathematik


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Die Laplace-Transformation kann auch zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden und reduziert eine lineare Differentialgleichung auf eine algebraische Gleichung, die dann nach den formalen Regeln der Algebra gelöst werden kann.

  • 6.1: Die Laplace-Transformation
    Die Laplace-Transformation erweist sich als sehr effiziente Methode, um bestimmte ODE-Probleme zu lösen. Insbesondere kann die Transformation eine Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung umwandeln. Wenn die algebraische Gleichung gelöst werden kann, liefert uns die Anwendung der inversen Transformation unsere gewünschte Lösung.
  • 6.2: Transformationen von Derivaten und ODEs
    Das Verfahren für Gleichungen mit linearen konstanten Koeffizienten ist wie folgt. Wir nehmen eine gewöhnliche Differentialgleichung in der Zeitvariablen t . Wir wenden die Laplace-Transformation an, um die Gleichung im Frequenzbereich in eine algebraische (nicht differentielle) Gleichung umzuwandeln. Wir lösen die Gleichung nach X(s) . Dann nehmen wir, wenn möglich, die inverse Transformation, um x(t) zu finden. Leider hat nicht jede Funktion eine Laplace-Transformation, nicht jede Gleichung kann auf diese Weise gelöst werden.
  • 6.3: Faltung
    Die Laplace-Transformation eines Produkts ist nicht das Produkt der Transformationen. Stattdessen führen wir die Faltung zweier Funktionen von t ein, um eine weitere Funktion von t zu erzeugen.
  • 6.4: Dirac-Delta und Impulsantwort
    In Anwendungen untersuchen wir oft ein physikalisches System, indem wir einen kurzen Impuls eingeben und dann sehen, was das System tut. Das resultierende Verhalten wird oft als Impulsantwort bezeichnet.
  • 6.E: Die Laplace-Transformation (Übungen)
    Dies sind Hausaufgaben zu Libls "Differential Equations for Engineering" Textmap. Dies ist ein Lehrbuch für einen einsemestrigen ersten Kurs über Differentialgleichungen, der sich an Studenten der Ingenieurwissenschaften richtet. Voraussetzung für den Kurs ist die Grundrechnungssequenz.

Differentialgleichungen #6: Laplace-Transformationen und Lösen von Differentialgleichungen

Im letzten Beitrag Differential Equations #5: An Intro to Laplace Transforms haben wir das Konzept der Verwendung von Laplace-Transformationen und inversen Laplace-Transformationen vorgestellt.

Zwei Laplace-Transformationen, die wir beachten müssen:
L( f'(t) ) = s * F(s) - f(0)
L( f"(t) ) = s^2 * F(s) - s * f(0) - f'(0)

Das Vorhandensein von f(0) und f'(0) zeigt an, dass geeignete Bedingungen verwendet werden können, um die Differentialgleichung zu lösen.

So lösen Sie die Differentialgleichung mit der Laplace-Transformation:

1. Führen Sie für jeden Term eine Laplace-Transformation durch. Erinnere dich daran
L(y(x)) = F(s)
L(y'(x)) = s*F(s) - y(0)
L(y"(x)) = s^2*F(s) - s*y(0) - y'(0)

2. Löse nach F(s) auf. Verwenden Sie bei Bedarf algebraische Manipulation, um F(s) in eine funktionierende Form zu bringen.

3. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation für F(s). Die endgültige Lösung lautet:
y(x) = L⁻¹(F(s))

In unseren Beispielen kürze ich F(s) zu F.

L(y') = s*F - y(0) = s*F - 3
L(2*y) = 2*F
L(e^x) = 1/(s-1)

Auflösen nach F ergibt:
F = 1/((s-1)*(s+3)) + 3/(s+3)
= (3*s - 2)/((s-1)*(s+3))
= (1/3)/(s-1) + (8/3)/(s+3) (durch partielle Zerlegung von Fraktionen)

Endgültige Antwort y(x) = 1/3 * e^-x + 8/3 * e^(2*x)

L(y") = s^2*F - s*y(0) - y'(0) = s^2*F - s
L(-y) = -L(y) = -(s*F - y(0)) = -s*F + 1
L(e^x) = 1/(s-1)

Dann:
s^2*F - s - s*F + 1 = 1/(s-1)
F*(s^2 - s) = 1/(s-1) + s - 1
F = 1/((s-1)*(s^2 - s) + (s-1)/(s^2 - s)
F = 1/(s^3 - 2*s^2 + s) + (s-1)/(s^3 - 2*s^2 + s)

Da s^3 - 2*s^2 + s = s * (s^2 - 2*s + 1) = s * (s - 1)^2,

F = 1/(s * (s-1)^2) + 1/s
F = (1 + s^2 - 2*s + 1)/(s * (s-1)^2)
F = (s^2 - 2*s + 2)/(s * (s-1)^2)

Durch partielle Zerlegung von Fraktionen:
F = 2/s - 1/(s-1) + 1/(s-1)^2

Durch inverse Laplace-Transformation:
L⁻¹(F) = y = 2 - e^x + x*e^x

L(y') = s*F - π/2
L(y) = s*F
L(sin x) = 1/(s^2 + 1)

(s*F - π/2) + F = 1/(s^2 + 1)
(s + 1) * F = 1/(s^2 + 1) + π/2
F = 1/((s^2 + 1)*(s + 1)) + π/(2*(s+1))

Vereinfachung und teilweise Zerlegung von Brüchen:
F = 1/2 * 1/(s+1) - 1/2 * (s-1)/(s^2 +1) + π/2 * 1/(s+1)
F = (1/2 + π/2) * 1/(s+1) - 1/2 * 1/(s^2 + 1) + 1/2 * 1/(s^2 + 1)

L⁻¹(F) =
(1/2 + π/2)*e^-x - 1/2 * cos x + 1/2 * sin x

s*F - 2 + 2*F = 2/s^3
(s + 2) * F = 2/s^3 + 2
F = (2 + 2*s^3)/(s^3 * (s+2))
F = 1/s^3 - 1/2 * 1/s^2 + 1/4 * 1/s + 7/4 * 1/(s+2)

y = 1/2 * x^2 - 1/2 * x + 1/4 + 7/4 * e^(-2*x)

In unserem nächsten Blog werden wir uns ansehen, wie uns Laplace-Transformationen bei der Lösung von Differentialgleichungssystemen helfen.


Eingabeargumente

F — Eingabe symbolischer Ausdruck | symbolische Funktion | symbolischer Vektor | symbolische Matrix

Eingabe, angegeben als symbolischer Ausdruck, Funktion, Vektor oder Matrix.

Var — Unabhängige Variable t (Standard) | symbolische Variable

Unabhängige Variable, angegeben als symbolische Variable. Diese Variable wird oft als "Zeitvariable" oder "Raumvariable" bezeichnet. Wenn Sie die Variable nicht angeben, verwendet laplace standardmäßig t . Wenn f nicht t enthält, verwendet laplace die Funktion symvar, um die unabhängige Variable zu bestimmen.

TransVar — Transformationsvariable s (Standard) | z | symbolische Variable | symbolischer Ausdruck | symbolischer Vektor | symbolische Matrix

Transformationsvariable, angegeben als symbolische Variable, Ausdruck, Vektor oder Matrix. Diese Variable wird oft als "komplexe Frequenzvariable" bezeichnet. Wenn Sie die Variable nicht angeben, verwendet laplace standardmäßig s . Wenn s die unabhängige Variable von f ist, verwendet laplace z .


MATH 307 N: Einführung in Differentialgleichungen

Mittwochs und freitags arbeiten die Schüler in Kleingruppen an Problemen und Konzepten, manchmal arbeitet die ganze Klasse zusammen. Es gibt mehrere Montagsferien und montags finden vier Prüfungen statt. Die restlichen Montags werden ebenfalls Gruppenarbeit sein. Donnerstags treffen Sie sich in kleineren Gruppen (Abschnitte von 40 Studierenden) mit dem Studienassistenten des Studiengangs. Viele dieser Tage werden mit Übungsaufgaben zur Prüfungsvorbereitung verbracht.

Aufgrund dieser Unterrichtsstruktur müssen die Schüler vor jedem Unterricht die relevanten Abschnitte des Buches lesen und ein oder zwei Online-Lesetests pro Woche absolvieren. Kommen Sie in die Klasse und bereiten Sie sich darauf vor, am Ende jeder Klasse an Material zum Lesen zu arbeiten, geben Sie Ihre Arbeit ab (in einer Gruppe von 2, 3 oder 4 Personen). Es wird auch regelmäßig WebAssign-Probleme geben, die online gestellt werden.

Der Zeitplan für eine typische Woche:

  • Sonntagabend (oder früher): Vervollständigen Sie die WebAssign-Probleme, die in direktem Zusammenhang mit . stehen
  • Montagsklasse: eine Prüfung
  • Mittwochmorgen (oder früher): Absolvieren Sie ein Lesequiz
  • Mittwochsklasse: Beteiligen Sie sich an den Problemen und Diskussionen des Tages
  • Donnerstagsabschnitte: Prüfungsvorbereitung, Wiederholung, Hausaufgabenvorbereitung usw.
  • Freitagmorgen (oder früher): Absolviere ein Lesequiz
  • Freitagsklasse: Nimm an den Problemen und Diskussionen des Tages teil

Kursmaterialien:

  • Einführung in Differentialgleichungen, 10. Auflage, von Boyce &. DiPrima. Wir werden die Kapitel 1, 2, 3 und 6 behandeln.
  • WebAssign: Sie müssen einen WebAssign-Zugangscode für 22,95 USD erwerben.
  • Mathlets: kostenlose Online-Ressource.
  • allgemeine UW Math 307 Webseite, einschließlich Prüfungsarchiv exam

Geschäftszeiten:

John Palmieri: PDL C-442, [email protected], 543-1785. Freitag 10:30-12:00 Uhr, vorbeikommen und nach Vereinbarung.

TA: Sean Griffin, PDL C-552, [email protected] Montag 8:30-9:20 und Freitag 3:00-4:00.

Benotung:

  • Lese-Quiz: 15% (niedrigster Wert)
  • Klasseninterne Probleme: 15 % (zwei niedrigste fallen lassen)
  • WebAssign-Probleme: 20 % (niedrigster Wert)
  • Prüfungen: 30% (niedrigster Fall)
  • Finale: 20%

Zugang und Unterkünfte:

Wenn Sie bereits eine Unterkunft mit Disability Resources for Students (DRS) eingerichtet haben, teilen Sie mir bitte Ihre genehmigten Unterkünfte so schnell wie möglich mit, damit wir Ihre Bedürfnisse in diesem Kurs besprechen können.

Wenn Sie noch keine Dienste über DRS eingerichtet haben, aber einen vorübergehenden Gesundheitszustand oder eine dauerhafte Behinderung haben, die eine Unterbringung erfordert (Bedingungen umfassen, aber nicht beschränkt auf: psychische Gesundheit, Aufmerksamkeits-, Lern-, Seh-, Hör-, körperliche oder gesundheitliche Auswirkungen), Sie können sich gerne an DRS unter 206-543-8924 oder [email protected] oder Behinderung.uw.edu wenden. DRS bietet Ressourcen und koordiniert angemessene Vorkehrungen für Studierende mit Behinderungen und/oder vorübergehenden Gesundheitsproblemen. Angemessene Vorkehrungen werden durch einen interaktiven Prozess zwischen Ihnen, Ihrem/Ihren Ausbildern und DRS getroffen. Es ist die Politik und Praxis der University of Washington, inklusive und zugängliche Lernumgebungen im Einklang mit Bundes- und Landesrecht zu schaffen.

Kursübersicht:

Wochen 1-3: Kapitel 1 und 2, grundlegende Modellierung und Gleichungen erster Ordnung. Ausführlicher:

  • Woche 1: Abschnitte 1.1, 1.2
  • Woche 2: Prüfung 1, Abschnitte 2.1, 2.3, 2.5
  • Woche 3: Abschnitte 2.5 (Fortsetzung), 2.7

Wochen 4-7: Kapitel 3, Lineare Gleichungen zweiter Ordnung. Ausführlicher:

  • Woche 4: Prüfung 2, Abschnitt 3.1
  • Woche 5: Lesen komplexer Zahlen, Abschnitte 3.3, 3.4
  • Woche 6: Abschnitte 3.5, 3.7
  • Woche 7: Prüfung 3, Abschnitte 3.7 (Fortsetzung), 3.8

Wochen 8-10: Kapitel 6, Laplace verwandelt sich. Ausführlicher:

  • Woche 8: Abschnitte 6.1, 6.2
  • Woche 9: Prüfung 4, Abschnitte 6.2 (Fortsetzung), 6.3
  • Woche 10: Abschnitte 6.4, 6.5

Prüfungen:

  • 8. Januar: Prüfung 1. Keine Notizen oder Taschenrechner erlaubt.
  • 22. Januar: Prüfung 2
  • 5. Februar: Prüfung 3
  • 26. Februar: Prüfung 4
  • 12. März: Abschlussprüfung (2:30-4:20)

Wenn ich mich jemals entscheide, Taschenrechner in Prüfungen zuzulassen, werden nur wissenschaftliche Taschenrechner (wie der TI-30 IIS) zugelassen: keine Grafikrechner usw.


6: Die Laplace-Transformation - Mathematik

Laplace-Transformation . Dirichlet-Bedingungen. Abschnittsweise stetige (oder stückweise stetige) Funktion. Funktion der exponentiellen Ordnung. Stückweise reguläre Funktion. Inverse Laplace-Transformation. Eigenschaften von Laplace-Transformationen. Anfangs- und Endwertsätze.          

Verwendung von Laplace-Transformationen. Laplace-Transformationen finden breite Anwendung beim Lösen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, linearen Integro-Differentialgleichungen mit konstantem Koeffizienten, Integralgleichungen vom Faltungstyp, Differenzengleichungen, Differential-Differenzgleichungen und vielen Randwertproblemen.

Dirichlet-Bedingungen. Die folgenden Bedingungen für eine über ein Intervall [a, b] definierte Funktion werden als Dirichlet-Bedingungen bezeichnet:

(a) sie ist bis auf eine endliche Anzahl von Unstetigkeiten stetig

(b) es hat nur endlich viele Maxima und Minima.  

Def. Abschnittsweise stetige (oder stückweise stetige) Funktion. Eine Funktion f (x) heißt abschnittsweise stetig (oder stückweise stetig) auf einem Intervall a x b, wenn das Intervall in eine endliche Anzahl von Intervallen unterteilt werden kann, in denen die Funktion jeweils stetig ist und endliche rechte und linke Grenzen hat. Siehe Abb. 1. Die Anforderung, dass eine Funktion auf einem Intervall [a, b] abschnittsweise stetig ist, entspricht der Anforderung, dass sie die Dirichlet-Bedingungen für das Intervall erfüllt.

Def. Laplace-Transformation. Sei F(t) eine reellwertige Funktion der reellen Variablen t, die auf dem positiven Teil der reellen Achse t 0 definiert ist. Dann ist die Laplace-Transformation von F(t), bezeichnet mit L [F(t)], definiert als

wobei s im Allgemeinen reell ist, aber für einige Überlegungen als komplex angesehen werden muss.

 Damit die Laplace-Transformation existiert, das uneigentliche Integral

muss für einen bestimmten Wertebereich von s konvergieren. Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz dieses Integrals ist, dass F(t) von exponentieller Ordnung ist.

Hinweis. Bei der Laplace-Transformation von Funktionen wird stillschweigend angenommen, dass die Funktion nur auf dem positiven Teil der reellen Achse t 0 definiert ist und im negativen Teil der Achse undefiniert oder null ist.

Def. Funktion der exponentiellen Ordnung. Eine Funktion F(t) heißt von exponentieller Ordnung, wenn es reelle Konstanten α, M und T gibt, so dass

Wenn Bedingung 3) gilt für α = α1, dann gilt es natürlich für alle α’er größer als α1. Die größte untere Grenze α0 der Menge aller α’er, für die 3) erfüllt ist, heißt Konvergenzabszisse von F(t).  

Aus 3) kann man sehen, dass, wenn eine Funktion von exponentieller Ordnung ist, ihr absoluter Wert nicht als t → ∞ beschränkt bleiben muss, aber er darf nicht schneller ansteigen als ein konstantes Vielfaches einer einfachen Exponentialfunktion von t.

Def. Stückweise reguläre Funktion. Eine stückweise reguläre Funktion ist eine auf der positiven reellen Achse t 0 definierte Funktion, die in jedem endlichen Teilintervall dieser Achse (jedem endlichen Teilintervall der positiven reellen Achse 0 t ) abschnittsweise stetig ist.

Satz 1. Sei F(t) eine stückweise reguläre Funktion, die auf der positiven reellen Achse t 0 definiert ist. Sei F(x) von exponentieller Ordnung. Dann ist seine Laplace-Transformation f(s) existiert für alle s > α0, wo α0 ist die Abszisse der Konvergenz von f(t).

Inverse Laplace-Transformation. Sei F(t) eine stückweise reguläre Funktion, die auf der positiven reellen Achse t 0 definiert ist. Sei F(x) von exponentieller Ordnung. Dann ist die Laplace-Transformation

von F(t) existiert in der Halbebene der komplexen Variablen s, für die der Realteil von s größer ist als die Konvergenzabszisse α0 von F(t) d. h. R(s) > α0. Außerdem existiert in dieser Halbebene auch die inverse Laplace-Transformation L -1 [f(s)] und ist gegeben durch

wo α > α0. Dieser Integrationsweg stellt einen rechts von allen Singularitäten von liegenden Weg dar f (s).


Laplace-Transformation

Der Kurs ist kostenlos, sich anzumelden und zu lernen. Wenn Sie jedoch ein Zertifikat wünschen, müssen Sie sich anmelden und die von uns durchgeführte beaufsichtigte Prüfung persönlich in einem der dafür vorgesehenen Prüfungszentren schreiben.
Die Prüfung ist optional gegen eine Gebühr von Rs 1000/- (nur tausend Rupien).
Datum und Uhrzeit der Prüfungen: 26. September 2021 Vormittagssitzung 9 bis 12 Uhr Nachmittagssitzung 14 bis 17 Uhr.
Registrierungs-URL: Ankündigungen werden gemacht, wenn das Registrierungsformular für Registrierungen geöffnet ist.
Das Online-Anmeldeformular muss ausgefüllt und die Prüfungsgebühr für die Zertifizierungsprüfung bezahlt werden. Weitere Details werden bekannt gegeben, wenn das Prüfungsanmeldungsformular veröffentlicht wird. Wenn es Änderungen gibt, werden diese dann erwähnt.
Bitte überprüfen Sie das Formular für weitere Informationen zu den Städten, in denen die Prüfungen abgehalten werden, den Bedingungen, denen Sie beim Ausfüllen des Formulars zustimmen usw.

KRITERIEN, UM EIN ZERTIFIKAT ZU ERHALTEN

Durchschnittliche Aufgabenpunktzahl = 25 % des Durchschnitts der besten 3 Aufgaben der insgesamt 4 im Kurs gegebenen Aufgaben.
Prüfungspunktzahl = 75 % der beaufsichtigten Zertifizierungsprüfungspunktzahl von 100

Endnote = Durchschnittliche Punktzahl der Aufgaben + Prüfungsnote

SIE SIND NUR FÜR EIN ZERTIFIKAT BERECHTIGT, WENN EIN DURCHSCHNITTLICHER AUFTRAGSWERT >=10/25 UND DER PRÜFUNGSWERT >= 30/75. Wenn eines der 2 Kriterien nicht erfüllt ist, erhalten Sie das Zertifikat nicht, auch wenn die Endnote >= 40/100.

Das Zertifikat enthält Ihren Namen, Ihr Foto und die Punktzahl in der Abschlussprüfung mit der Trennung. Es wird die Logos von NPTEL und IIT Madras tragen. Es wird unter nptel.ac.in/noc e-überprüfbar sein.

Es wird nur das E-Zertifikat zur Verfügung gestellt. Gedruckte Exemplare werden nicht versandt.

Nochmals vielen Dank für Ihr Interesse an unseren Online-Kursen und Zertifizierungen. Fröhliches Lernen.


Entwicklungsmathematik

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Faktoren - wesentliche Grundlagen
Grafiken - Grundlegendes
Messung - von mm bis m
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Primzahlen - sprich über ungerade!
Standardform - wissenschaftlich gesprochen


Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ist eine weit verbreitete Integraltransformation mit vielen Anwendungen in Physik und Technik. Bezeichnet ( displaystylemathcal links ) ist es ein linearer Operator einer Funktion f(t) mit einem reellen Argument t (t ≥ 0), der sie in eine Funktion F(s) mit einem komplexen Argument s umwandelt. Diese Transformation ist im Wesentlichen bijektiv für die meisten praktischen Anwendungen, die entsprechenden Paare von f(t) und F(s) werden in Tabellen abgeglichen. Die Laplace-Transformation hat die nützliche Eigenschaft, dass viele Beziehungen und Operationen über die Originale f(t) einfacheren Beziehungen und Operationen über die Bilder F(s) entsprechen.[1] Sie ist nach Pierre-Simon Laplace benannt, der die Transformation in seiner Arbeit zur Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt hat.

Die Laplace-Transformation ist mit der Fourier-Transformation verwandt, aber während die Fourier-Transformation eine Funktion oder ein Signal als eine Reihe von Schwingungsmoden (Frequenzen) ausdrückt, löst die Laplace-Transformation eine Funktion in ihre Momente auf. Wie die Fourier-Transformation wird die Laplace-Transformation zum Lösen von Differential- und Integralgleichungen verwendet. In der Physik und im Ingenieurwesen wird es zur Analyse von linearen zeitinvarianten Systemen wie elektrischen Schaltkreisen, harmonischen Oszillatoren, optischen Geräten und mechanischen Systemen verwendet. In solchen Analysen wird die Laplace-Transformation oft als Transformation vom Zeitbereich interpretiert, in dem Eingaben und Ausgaben Funktionen der Zeit sind, in den Frequenzbereich, wo dieselben Eingaben und Ausgaben Funktionen komplexer Kreisfrequenz sind, im Bogenmaß pro Zeiteinheit. Bei einer einfachen mathematischen oder funktionalen Beschreibung einer Eingabe oder Ausgabe eines Systems bietet die Laplace-Transformation eine alternative Funktionsbeschreibung, die häufig den Prozess der Analyse des Verhaltens des Systems oder die Synthese eines neuen Systems basierend auf einer Reihe von Spezifikationen vereinfacht.

Die Laplace-Transformation ist nach dem Mathematiker und Astronomen Pierre-Simon Laplace benannt, der in seiner Arbeit zur Wahrscheinlichkeitstheorie eine ähnliche Transformation (jetzt Z-Transformation genannt) verwendet hat. Die gegenwärtige weit verbreitete Verwendung der Transformation erfolgte kurz nach dem Zweiten Weltkrieg, obwohl sie im 19. Jahrhundert von Abel, Lerch, Heaviside, Bromwich verwendet wurde. Die ältere Geschichte ähnlicher Transformationen ist wie folgt. Leonhard Euler untersuchte ab 1744 Integrale der Form

( z = int X(x) e^, dx quad ext< und >quad z = int X(x) x^A , dx )

als Lösungen von Differentialgleichungen, ging der Sache aber nicht sehr weit nach.[2] Joseph Louis Lagrange war ein Bewunderer von Euler und untersuchte in seiner Arbeit zur Integration von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen Ausdrücke der Form

die einige moderne Historiker innerhalb der modernen Laplace-Transformationstheorie interpretiert haben.[3] [4]

Diese Arten von Integralen scheinen erstmals 1782 Laplaces Aufmerksamkeit erregt zu haben, wo er im Sinne Eulers die Integrale selbst als Lösungen von Gleichungen verwendet.[5] 1785 machte Laplace jedoch den entscheidenden Schritt nach vorne, als er nicht nur nach einer Lösung in Form eines Integrals suchte, sondern begann, die Transformationen im später populären Sinne anzuwenden. Er benutzte ein Integral der Form:

ähnlich einer Mellin-Transformation, um die gesamte Differenzengleichung zu transformieren, um nach Lösungen der transformierten Gleichung zu suchen. Anschließend wandte er die Laplace-Transformation auf dieselbe Weise an und begann, einige ihrer Eigenschaften abzuleiten, wobei er ihre potenzielle Leistungsfähigkeit zu schätzen begann.[6]

Laplace erkannte auch, dass Joseph Fouriers Methode der Fourier-Reihen zum Lösen der Diffusionsgleichung nur auf einen begrenzten Raumbereich anwendbar war, da die Lösungen periodisch waren. 1809 wandte Laplace seine Transformation an, um Lösungen zu finden, die sich unbegrenzt im Raum verbreiteten.[7]
Formale Definition

Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t), definiert für alle reellen Zahlen t ≥ 0, ist die Funktion F(s), definiert durch:

Der Parameter s ist eine komplexe Zahl:

( s = sigma + i omega, , ) mit reellen Zahlen σ und ω.

Die Bedeutung des Integrals hängt von den interessierenden Funktionen ab. Eine notwendige Bedingung für die Existenz des Integrals ist, dass ƒ auf [0,∞ lokal integrierbar sein muss. Für lokal integrierbare Funktionen, die im Unendlichen zerfallen oder vom exponentiellen Typ sind, kann das Integral als (echtes) Lebesgue-Integral verstanden werden. Für viele Anwendungen ist es jedoch notwendig, es als bedingt konvergentes uneigentliches Integral bei ∞ zu betrachten. Noch allgemeiner kann das Integral in einem schwachen Sinne verstanden werden, worauf weiter unten eingegangen wird.

Man kann die Laplace-Transformation eines endlichen Borel-Maßes μ durch das Lebesgue-Integral definieren[8]

Ein wichtiger Spezialfall ist, wo μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder noch genauer die Dirac-Deltafunktion ist. In der Operationsrechnung wird die Laplace-Transformation eines Maßes oft so behandelt, als ob das Maß von einer Verteilungsfunktion ƒ stammt. Um Verwechslungen zu vermeiden, schreibt man in diesem Fall oft

wobei die untere Grenze von 0− eine Kurzschreibweise für ist

Diese Grenze unterstreicht, dass jede Punktmasse, die sich bei 0 befindet, vollständig von der Laplace-Transformation erfasst wird. Obwohl es beim Lebesgue-Integral nicht notwendig ist, einen solchen Grenzwert zu nehmen, erscheint er im Zusammenhang mit der Laplace-Stieltjes-Transformation natürlicher.
Wahrscheinlichkeitstheorie

In reiner und angewandter Wahrscheinlichkeit wird die Laplace-Transformation durch einen Erwartungswert definiert. Wenn X eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ƒ ist, dann ist die Laplace-Transformation von given durch den Erwartungswert

Durch Sprachmissbrauch wird dies als Laplace-Transformation der Zufallsvariablen X selbst bezeichnet. Das Ersetzen von s durch −t ergibt die momenterzeugende Funktion von X. Die Laplace-Transformation hat Anwendungen in der gesamten Wahrscheinlichkeitstheorie, einschließlich der Zeiten des ersten Durchgangs von stochastischen Prozessen wie Markov-Ketten und der Erneuerungstheorie.
Bilaterale Laplace-Transformation
Hauptartikel: Zweiseitige Laplace-Transformation

Wenn man ohne Einschränkung "die Laplace-Transformation" sagt, ist normalerweise die einseitige oder einseitige Transformation gemeint. Die Laplace-Transformation kann alternativ als bilaterale Laplace-Transformation oder zweiseitige Laplace-Transformation definiert werden, indem die Integrationsgrenzen auf die gesamte reelle Achse erweitert werden. Wenn dies getan wird, wird die gemeinsame unilaterale Transformation einfach zu einem Spezialfall der bilateralen Transformation, bei der die Definition der zu transformierenden Funktion mit der Heaviside-Stufenfunktion multipliziert wird.

Die bilaterale Laplace-Transformation ist wie folgt definiert:

Inverse Laplace-Transformation
Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie unter Inverse Laplace-Transformation.

Die inverse Laplace-Transformation wird durch das folgende komplexe Integral gegeben, das unter verschiedenen Namen bekannt ist (das Bromwich-Integral, das Fourier-Mellin-Integral und die inverse Formel von Mellin):

wobei gamma eine reelle Zahl ist, so dass der Konturweg der Integration im Konvergenzbereich von F(s) liegt. Eine alternative Formel für die inverse Laplace-Transformation ist die Inversionsformel von Post.
Konvergenzregion

Wenn ƒ eine lokal integrierbare Funktion (oder allgemeiner ein Borel-Maß lokal beschränkter Variation) ist, dann konvergiert die Laplace-Transformation F(s) von ƒ unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert

existiert. Die Laplace-Transformation konvergiert absolut, wenn das Integral

existiert (als echtes Lebesgue-Integral). Die Laplace-Transformation wird üblicherweise als bedingt konvergent verstanden, dh sie konvergiert im ersteren statt im letzteren Sinne.

Die Menge von Werten, für die F(s) absolut konvergiert, hat entweder die Form Re > a oder sonst Re ≥ a, wobei a eine erweiterte reelle Konstante ist, −∞ ≤ a ≤ ∞. (Dies folgt aus dem Satz der dominierten Konvergenz.) Die Konstante a ist als Abszisse der absoluten Konvergenz bekannt und hängt vom Wachstumsverhalten von ƒ(t) ab.[9] Analog konvergiert die zweiseitige Transformation absolut in einem Streifen der Form a < Re < b, und möglicherweise einschließlich der Zeilen Re = a oder Re = b.[10] Die Teilmenge der Werte von s, für die die Laplace-Transformation absolut konvergiert, wird als Bereich der absoluten Konvergenz oder als Bereich der absoluten Konvergenz bezeichnet. Im zweiseitigen Fall wird er manchmal als Streifen der absoluten Konvergenz bezeichnet. Die Laplace-Transformation ist im Bereich der absoluten Konvergenz analytisch.

In ähnlicher Weise ist die Menge von Werten, für die F(s) (bedingt oder absolut) konvergiert, als bedingter Konvergenzbereich oder einfach als Konvergenzbereich (ROC) bekannt. Konvergiert die Laplace-Transformation (bedingt) bei s = s0, dann konvergiert sie automatisch für alle s mit Re > Re. Daher ist der Konvergenzbereich eine Halbebene der Form Re > a, eventuell mit einigen Punkten der Grenzlinie Re = ein. Im Konvergenzbereich Re > Re, kann die Laplace-Transformation von ƒ durch partielle Integration als Integral ausgedrückt werden

Das heißt, im Konvergenzbereich kann F(s) effektiv als die absolut konvergente Laplace-Transformation einer anderen Funktion ausgedrückt werden. Insbesondere ist es analytisch.

Über den Zusammenhang zwischen den Zerfallseigenschaften von ƒ und den Eigenschaften der Laplace-Transformation im Konvergenzbereich gibt es eine Vielzahl von Sätzen in Form von Paley-Wiener-Theoremen.

In technischen Anwendungen ist eine Funktion, die einem linearen zeitinvarianten (LTI)-System entspricht, stabil, wenn jede begrenzte Eingabe eine begrenzte Ausgabe erzeugt. Dies entspricht der absoluten Konvergenz der Laplace-Transformation der Impulsantwortfunktion im Bereich Re ≥ 0. Als Ergebnis sind LTI-Systeme stabil, sofern die Pole der Laplace-Transformation der Impulsantwortfunktion einen negativen Realteil haben.
Eigenschaften und Sätze

Die Laplace-Transformation hat eine Reihe von Eigenschaften, die sie für die Analyse linearer dynamischer Systeme nützlich machen. Der wichtigste Vorteil besteht darin, dass Differentiation und Integration zu einer Multiplikation bzw. Division mit s werden (ähnlich wie bei Logarithmen, bei denen die Multiplikation von Zahlen durch die Addition ihrer Logarithmen ersetzt wird). Wegen dieser Eigenschaft wird die Laplace-Variable s im L-Bereich auch als Operatorvariable bezeichnet: entweder Ableitungsoperator oder (für s−1) Integrationsoperator. Die Transformation verwandelt Integralgleichungen und Differentialgleichungen in Polynomgleichungen, die viel einfacher zu lösen sind. Nach der Lösung kehrt die Verwendung der inversen Laplace-Transformation in den Zeitbereich zurück.

Gegeben sind die Funktionen f(t) und g(t) und ihre jeweiligen Laplace-Transformationen F(s) und G(s):

die folgende Tabelle ist eine Liste der Eigenschaften der einseitigen Laplace-Transformation:[11]

Eigenschaften der einseitigen Laplace-Transformation
Zeitbereich 's'-Domain Kommentar
Linearität ( a f(t) + b g(t) ) ( a F(s) + b G(s) ) Kann mit grundlegenden Integrationsregeln bewiesen werden.
Frequenzdifferenzierung (t f(t) ) (-F'(s) ) ( F', ) ist die erste Ableitung von ( F, )
Frequenzdifferenzierung ( t^ f(t) ) ( -1)^ F^<(n)>(s) ) Allgemeinere Form, nein Ableitung von F(s).
Unterscheidung (f'(t) ) (F(s) - f(0) ) ƒ Es wird angenommen, dass es sich um eine differenzierbare Funktion handelt, und ihre Ableitung wird als exponentiell angenommen. Diese erhält man dann durch partielle Integration
Zweite Differenzierung ( f''(t) ) ( s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) ) ƒ wird angenommen, dass sie zweimal differenzierbar ist und die zweite Ableitung exponentiell ist. Folgt durch Anwenden der Differentiation-Eigenschaft auf ( f'(t), )
Allgemeine Unterscheidung ( f^<(n)>(t) ) ( s^n F(s) - s^ f(0) - cdots - f^<(n - 1)>(0) ) ƒ wird angenommen, dass nein-mal differenzierbar, mit nein Ableitung vom Exponentialtyp. Folgen Sie durch mathematische Induktion.
Frequenzintegration (frak ) ( int_s^infty F(sigma), dsigma )
Integration ( int_0^t f( au), d au = (u * f)(t)) ( <1 über s>F(s) u(t)) (u(t) ) ist die Heaviside-Stufenfunktion. Hinweis ( (u * f)(t)) ist die Faltung von ( u(t) ) und ( f(t) )
Zeitskalierung ( f(at) ) ( frac<1> <|a|>F left ( Recht ))
Frequenzverschiebung ( e^ f(t) ) ( F(s - a) )
Zeitverschiebung ( f(t - a) u(t - a)) ( e^ <-als>F(s) ) ( u(t)) ist die Heaviside-Stufenfunktion
Multiplikation ( f(t) g(t) ) ( frac<1><2pi i>lim_int_^F(sigma)G(s-sigma),dsigma ) die Integration erfolgt entlang der vertikalen Linie ( Re(sigma)=c), die vollständig im Konvergenzbereich von liegt F. [12]
Faltung ( (f * g)(t) = int_0^t f( au)g(t- au),d au ) ( F(s) cdot G(s) ) ƒ(t) und G(t) werden um Null erweitert für t < 0 in der Definition der Faltung.
Komplexe Konjugation ( f^*(t)) ( F^*(s^*))
Kreuzkorrelation ( f(t)Stern g(t)) ( F^*(-s^*)cdot G(s))
Periodische Funktion ( f(t) ) (<1 over 1 - e^<-Ts>> int_0^T e^ <-st>f(t),dt ) ( f(t) ) ist eine periodische Funktion der Periode ( T), so dass ( ​​f(t) = f(t + T), forall tge 0. ) Dies ist das Ergebnis von die Zeitverschiebungseigenschaft und die geometrische Reihe.

( f(infty)=lim_ ) , wenn alle Pole von sF(s) in der linken Halbebene liegen.
Der Endwertsatz ist nützlich, da er das Langzeitverhalten angibt, ohne dass partielle Bruchzerlegungen oder andere schwierige Algebra durchgeführt werden müssen. Liegen die Pole einer Funktion in der rechten Ebene (z.B. e^t oder sin(t)), ist das Verhalten dieser Formel undefiniert.

Beweis der Laplace-Transformation der Ableitung einer Funktion

Es ist oft praktisch, die Differenzierungseigenschaft der Laplace-Transformation zu verwenden, um die Transformation der Ableitung einer Funktion zu ermitteln. Dies lässt sich aus dem Grundausdruck für eine Laplace-Transformation wie folgt ableiten:

und im bilateralen Fall

wobei fn die n-te Ableitung von f ist, kann dann mit einem induktiven Argument festgestellt werden.
Auswertung unechter Integrale

Sei ( mathcallinks=F(s), ) dann (siehe Tabelle oben)

Mit ( s o 0, ) erhalten wir die Identität

Ein weiteres Beispiel ist das Dirichlet-Integral.
Beziehung zu anderen Transformationen
Laplace-Stieltjes-Transformation

Die (einseitige) Laplace-Stieltjes-Transformation einer Funktion g : R → R ist definiert durch das Lebesgue-Stieltjes-Integral

Es wird angenommen, dass die Funktion g von beschränkter Variation ist. Falls g die Stammfunktion von ƒ ist:

dann fallen die Laplace-Stieltjes-Transformation von g und die Laplace-Transformation von ƒ zusammen. Im Allgemeinen ist die Laplace-Stieltjes-Transformation die Laplace-Transformation des Stieltjes-Maßes, das g zugeordnet ist. In der Praxis besteht der einzige Unterschied zwischen den beiden Transformationen darin, dass man sich die Laplace-Transformation so vorstellt, dass sie mit der Dichtefunktion des Maßes arbeitet, während man sich die Laplace-Stieltjes-Transformation als mit ihrer kumulativen Verteilungsfunktion operierend vorstellt.[13]
Fourier-Transformation

Die kontinuierliche Fourier-Transformation entspricht der Auswertung der bilateralen Laplace-Transformation mit dem imaginären Argument s = iω oder s = 2πfi :

Dieser Ausdruck schließt den Skalierungsfaktor ( 1/sqrt <2 pi>) aus, der oft in Definitionen der Fourier-Transformation enthalten ist. Diese Beziehung zwischen der Laplace- und Fourier-Transformation wird häufig verwendet, um das Frequenzspektrum eines Signals oder dynamischen Systems zu bestimmen.

Die obige Beziehung gilt genau dann und nur dann, wenn der Konvergenzbereich (ROC) von F(s) die imaginäre Achse = 0 enthält. Zum Beispiel hat die Funktion f(t) = cos(ω0t) eine Laplace-Transformation F(s) = s/(s2 + ω02), deren ROC Re(s) > 0 ist. Da s = iω ein Pol von F(s) ist, liefert das Einsetzen von s = iω in F(s) nicht die Fourier-Transformation von f(t)u(t), die proportional zur Dirac-Deltafunktion δ(ω-ω0) ist.

Eine Beziehung der Form

hält unter viel schwächeren Bedingungen. Dies gilt beispielsweise für das obige Beispiel, sofern die Grenze als schwache Grenze von Maßnahmen verstanden wird (siehe vage Topologie). Allgemeine Bedingungen bezüglich des Grenzwertes der Laplace-Transformation einer Funktion auf dem Rand zur Fourier-Transformation haben die Form von Paley-Wiener-Theoremen.
Mellin-Transformation

Die Mellin-Transformation und ihre Umkehrung sind durch eine einfache Änderung der Variablen mit der zweiseitigen Laplace-Transformation verbunden. Wenn in der Mellin-Transformation

setzen wir θ = e-t erhalten wir eine zweiseitige Laplace-Transformation.
Z-Transformation

Die einseitige oder einseitige Z-Transformation ist einfach die Laplace-Transformation eines ideal abgetasteten Signals mit der Substitution von

wobei ( T = 1/f_s ) die Abtastperiode (in Zeiteinheiten, z. B. Sekunden) und ( f_s ) die Abtastrate (in Abtastungen pro Sekunde oder Hertz) ist.

ein Abtastimpulszug (auch Dirac-Kamm genannt) sein und

( Start x_q(t) & stackrel><=> x(t) Delta_T(t) = x(t) sum_^ delta(t - n T) & = sum_^ x(n T) delta(t - n T) = sum_^ x[n] delta(t - n T) end )

be the continuous-time representation of the sampled ( x(t) )

( x[n] stackrel><=> x(nT) ) are the discrete samples of ( x(t) ) .

The Laplace transform of the sampled signal x_q(t) is

( egin X_q(s) & = int_<0^->^infty x_q(t) e^ <-s t>,dt & = int_<0^->^infty ( sum_^infty x[n] delta(t - n T) e^ <-s t>, dt & = sum_^infty x[n] int_<0^->^infty ( delta(t - n T) e^ <-s t>, dt & = sum_^infty x[n] e^<-n s T>. end )

This is precisely the definition of the unilateral Z-transform of the discrete function ( x[n] )

with the substitution of z leftarrow ( e^ . )

Comparing the last two equations, we find the relationship between the unilateral Z-transform and the Laplace transform of the sampled signal:

The similarity between the Z and Laplace transforms is expanded upon in the theory of time scale calculus.
Borel transform

The integral form of the Borel transform

is a special case of the Laplace transform for ƒ an entire function of exponential type, meaning that

for some constants A and B. The generalized Borel transform allows a different weighting function to be used, rather than the exponential function, to transform functions not of exponential type. Nachbin's theorem gives necessary and sufficient conditions for the Borel transform to be well defined.
Fundamental relationships

Since an ordinary Laplace transform can be written as a special case of a two-sided transform, and since the two-sided transform can be written as the sum of two one-sided transforms, the theory of the Laplace-, Fourier-, Mellin-, and Z-transforms are at bottom the same subject. However, a different point of view and different characteristic problems are associated with each of these four major integral transforms.
Table of selected Laplace transforms

The following table provides Laplace transforms for many common functions of a single variable[14][15]. For definitions and explanations, see the Explanatory Notes at the end of the table.

Because the Laplace transform is a linear operator:

The Laplace transform of a sum is the sum of Laplace transforms of each term.

The Laplace transform of a multiple of a function is that multiple times the Laplace transformation of that function.

Using this linearity, and various trigonometric, hyperbolic, and Complex number (etc.) properties and/or identities, some Laplace transforms can be obtained from others quicker than by using the definition directly.

The unilateral Laplace transform takes as input a function whose time domain is the non-negative reals, which is why all of the time domain functions in the table below are multiples of the Heaviside step function, u(t). The entries of the table that involve a time delay τ are required to be causal (meaning that τ > 0). A causal system is a system where the impulse response h(t) is zero for all time t prior to t = 0. In general, the region of convergence for causal systems is not the same as that of anticausal systems.

  • ( u(t) ,) represents the Heaviside step function.
  • ( delta(t) ,) represents the Dirac delta function.
  • ( Gamma (z) ,) represents the Gamma function.
  • ( gamma ,) is the Euler–Mascheroni constant.
  • ( t , ), a real number, typically represents time,
    although it can represent irgendein independent dimension.
  • (s , ) is the complex angular frequency, and ( extrm < s >) is its real part.
  • ( alpha ,), ( eta , ), ( au , ), and (omega , ) are real numbers.
  • ( n) is an integer.

s-Domain equivalent circuits and impedances

The Laplace transform is often used in circuit analysis, and simple conversions to the s-Domain of circuit elements can be made. Circuit elements can be transformed into impedances, very similar to phasor impedances.

Here is a summary of equivalents:

Note that the resistor is exactly the same in the time domain and the s-Domain. The sources are put in if there are initial conditions on the circuit elements. For example, if a capacitor has an initial voltage across it, or if the inductor has an initial current through it, the sources inserted in the s-Domain account for that.

The equivalents for current and voltage sources are simply derived from the transformations in the table above.
Examples: How to apply the properties and theorems

The Laplace transform is used frequently in engineering and physics the output of a linear time invariant system can be calculated by convolving its unit impulse response with the input signal. Performing this calculation in Laplace space turns the convolution into a multiplication the latter being easier to solve because of its algebraic form. For more information, see control theory.

The Laplace transform can also be used to solve differential equations and is used extensively in electrical engineering. The Laplace transform reduces a linear differential equation to an algebraic equation, which can then be solved by the formal rules of algebra. The original differential equation can then be solved by applying the inverse Laplace transform. The English electrical engineer Oliver Heaviside first proposed a similar scheme, although without using the Laplace transform and the resulting operational calculus is credited as the Heaviside calculus.
Example 1: Solving a differential equation

In nuclear physics, the following fundamental relationship governs radioactive decay: the number of radioactive atoms N in a sample of a radioactive isotope decays at a rate proportional to N. This leads to the first order linear differential equation

where λ is the decay constant. The Laplace transform can be used to solve this equation.

Rearranging the equation to one side, we have

Next, we take the Laplace transform of both sides of the equation:

( left( s ilde(s) - N_o ight) + lambda ilde(s) = 0 )

Finally, we take the inverse Laplace transform to find the general solution

which is indeed the correct form for radioactive decay.
Example 2: Deriving the complex impedance for a capacitor

In the theory of electrical circuits, the current flow in a capacitor is proportional to the capacitance and rate of change in the electrical potential (in SI units). Symbolically, this is expressed by the differential equation

where C is the capacitance (in farads) of the capacitor, i = i(t) is the electric current (in amperes) through the capacitor as a function of time, and v = v(t) is the voltage (in volts) across the terminals of the capacitor, also as a function of time.

Taking the Laplace transform of this equation, we obtain

( I(s) = C left( s V(s) - V_o ight) )

The definition of the complex impedance Z (in ohms) is the ratio of the complex voltage V divided by the complex current I while holding the initial state Vo at zero:

Using this definition and the previous equation, we find:

which is the correct expression for the complex impedance of a capacitor.
Example 3: Method of partial fraction expansion

Consider a linear time-invariant system with transfer function

The impulse response is simply the inverse Laplace transform of this transfer function:

To evaluate this inverse transform, we begin by expanding H(s) using the method of partial fraction expansion:

The unknown constants P and R are the residues located at the corresponding poles of the transfer function. Each residue represents the relative contribution of that singularity to the transfer function's overall shape. By the residue theorem, the inverse Laplace transform depends only upon the poles and their residues. To find the residue P, we multiply both sides of the equation by s + α to get

Then by letting s = −α, the contribution from R vanishes and all that is left is

Similarly, the residue R is given by

and so the substitution of R and P into the expanded expression for H(s) gives

Finally, using the linearity property and the known transform for exponential decay (see Item #3 in the Table of Laplace Transforms, above), we can take the inverse Laplace transform of H(s) to obtain:

which is the impulse response of the system.

The same result can be achieved using the convolution property as if the system is a series of filters with transfer functions of 1/(s+a) and 1/(s+b). That is, the inverse of

Example 4: Mixing sines, cosines, and exponentials
Time function Laplace transform
( e^<-alpha t>left[cos<(omega t)>+left(frac<eta-alpha> ight)sin<(omega t)> ight]u(t) frac <(s+alpha)^2+omega^2>)

Starting with the Laplace transform

we find the inverse transform by first adding and subtracting the same constant α to the numerator:

By the shift-in-frequency property, we have

Finally, using the Laplace transforms for sine and cosine (see the table, above), we have

Starting with the Laplace transform,

we find the inverse by first rearranging terms in the fraction:

We are now able to take the inverse Laplace transform of our terms:

This is just the sine of the sum of the arguments, yielding:

We can apply similar logic to find that

Example 6: Inferring spatial structure of astronomical object from frequency spectrum

The wide and general applicability of the Laplace transform and its inverse is illustrated by an application in astronomy which provides some information on the spatial distribution of matter of an astronomical source of radiofrequency thermal radiation too distant to resolve as more than a point, given its flux density spectrum, rather than relating the time domain with the spectrum (frequency domain).

Assuming certain properties of the object, e.g. spherical shape and constant temperature, calculations based on carrying out an inverse Laplace transformation on the spectrum of the object can produce the only possible model of the distribution of matter in it (density as a function of distance from the center) consistent with the spectrum[18]. When independent information on the structure of an object is available, the inverse Laplace transform method has been found to be in good agreement.
See also

Pierre-Simon Laplace
Laplace transform applied to differential equations
Moment-generating function
Z-transform (discrete equivalent of the Laplace transform)
Fourier transform
Sumudu transform or Laplace–Carson transform
Analog signal processing
Continuous-repayment mortgage
Hardy–Littlewood tauberian theorem
Bernstein's theorem on monotone functions
Symbolic integration

^ Korn & Korn 1967, §8.1
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Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, pp. 171–234.


Laplace Transform



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Calculating a Laplace Transform
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Laplace Transform of Function cos ωt is

Laplace Transform of cosine wave Function cos ωt is:

  1. s/( s 2 + ω 2 )
  2. s/( s 2 – ω 2 )
  3. ω/( s 2 + ω 2 )
  4. ω/( s 2 – ω 2 )

Correct answer: 1. s/( s 2 + ω 2 )

Laplace Transform of cos Function cos ωt is s/( s 2 + ω 2 )