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1.6.4.7: Daten ändern - Grundlagen von Transformationen - Mathematik

1.6.4.7: Daten ändern - Grundlagen von Transformationen - Mathematik



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In komplizierten Studien mit vielen Datentypen: Messungen und Ränge, Prozentsätze und Zählungen, parametrisch, nichtparametrisch und nominal, ist es sinnvoll, sie zu vereinheitlichen. Eine andere, gängigere Methode besteht darin, diskrete Daten als kontinuierlich zu behandeln – dies ist normalerweise sicher, kann aber manchmal zu unangenehmen Überraschungen führen.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, Messdaten in Ranglisten umzuwandeln. Die R-Funktion cut() ermöglicht es, diese Operation auszuführen und geordnete Faktoren zu erstellen.

Was völlig inakzeptabel ist, ist die Umwandlung allgemeiner Nominaldaten in Ränge. Wenn Werte von Natur aus nicht geordnet sind, kann das Auferlegen einer künstlichen Ordnung die Ergebnisse bedeutungslos machen.

Daten werden oft transformiert, um sie parametrisch zu machen und Standardabweichungen zu homogenisieren. Verteilungen mit langen Schwänzen oder nur etwas glockenförmig (wie in Abbildung 4.2.5) könnten sein log-transformiert. Es ist vielleicht die häufigste Transformation.

Es gibt sogar ein spezielles Argument plot(..., log="axis"), bei dem "axis" durch x oder y ersetzt werden sollte und in (natürlicher) logarithmischer Skala dargestellt wird. Eine andere Variante besteht darin, den Logarithmus einfach im laufenden Betrieb zu berechnen, wie plot(log(...).

Betrachten Sie einige weit verbreitete Transformationen und ihre Auswirkungen in R (wir gehen davon aus, dass Ihre Messungen in den Vektordaten aufgezeichnet werden):

  • Logarithmisch: log(Daten + 1). Es kann Verteilungen mit positiver Schiefe (rechtsseitig) normalisieren, Beziehungen zwischen Variablen näher an die Linearität bringen und Varianzen ausgleichen. Es kann keine Nullen verarbeiten, deshalb haben wir eine einzelne Ziffer hinzugefügt.
  • Quadratwurzel: sqrt (Daten). Es ist in seinen Auswirkungen der logarithmischen ähnlich, kann aber nicht mit Negativen umgehen.
  • Invers: 1/(Daten + 1). Dieser stabilisiert Varianzen, kann mit Nullen nicht umgehen.
  • Quadrat: Daten^2. Gehört zusammen mit Quadratwurzel zur Familie der Machttransformationen. Es kann Daten mit Daten mit negativer Schiefe (linksseitig) normalisieren, Beziehungen zwischen Variablen näher an die Linearität bringen und Varianzen ausgleichen.
  • Logit: log(p/(1-p)). Es wird hauptsächlich bei Proportionen verwendet, um S-förmige oder sigmoide Kurven zu linearisieren. Zusammen mit logit werden diese Datentypen manchmal mit der Arkussinus-Transformation behandelt, die asin(sqrt(p)) ist. In beiden Fällen muss p zwischen 0 und 1 liegen.

Behalten Sie beim Arbeiten mit mehreren Variablen deren Dimensionen im Auge. Versuchen Sie, sie nicht zu verwechseln, indem Sie eine Variable in Millimetern und eine andere in Zentimetern aufzeichnen. Nichtsdestotrotz können in multivariaten Statistiken sogar Daten, die in gemeinsamen Einheiten gemessen werden, einen anderen Charakter haben. In diesem Fall sind Variablen oft standardisiert, z.B. mit der Funktion scale() auf den gleichen Mittelwert und/oder die gleiche Varianz gebracht. Eingebettete Baumdaten sind ein gutes Beispiel:

Code (PageIndex{1}) (R):

Am Ende der Erklärung der Datentypen empfehlen wir eine kleine Tabelle, die für die Bestimmung des Datentyps hilfreich sein kann (Abbildung (PageIndex{1})).

Abbildung (PageIndex{1}) Wie man die Art der Daten erkennt.

Essential Math for Data Science: Neue Kapitel

Zuerst habe ich die Struktur des Buches geändert: Ein erstes Kapitel über grundlegende Algebra wurde entfernt. Ein Teil des alten Kapitels 02 wurde in den Teil der linearen Algebra zusammengeführt.

Ich habe das Inhaltsverzeichnis umstrukturiert: Ich habe einige Inhalte über sehr grundlegende Mathematik (wie etwa eine Gleichung oder eine Funktion) entfernt, um mehr Platz für etwas fortgeschrittenere Inhalte zu haben. Das Teil Statistik und Wahrscheinlichkeit steht jetzt am Anfang des Buches (gerade nach einem ersten Teil über Infinitesimalrechnung). Sehen Sie sich das neue Inhaltsverzeichnis unten an, um weitere Informationen zu erhalten.

Hier das Inhaltsverzeichnis. Klicken Sie auf die Kapitel, um zu sehen, was drin ist.

Inhaltsverzeichnis

TEIL 1. Infinitesimalrechnung

Fläche unter der Kurve

2.1.2 Mathematische Definition von Derivaten

2.1.3 Ableitungen linearer und nichtlinearer Funktionen

2.1.5 Partielle Ableitungen und Gradienten

2.2.3 Mathematische Definition

2.3.2 Ableitung der Kostenfunktion

2.3.3 Gradientenabstieg implementieren

2.3.4 MSE-Kostenfunktion mit zwei Parametern

TEIL 2. Statistik und Wahrscheinlichkeit

Gemeinsame und marginale Wahrscheinlichkeit

3.1.1 Varianz und Standardabweichung

3.1.2 Kovarianz und Korrelation

3.2.1 Definitionen und Notation

3.2.2 Diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen

3.3.1 Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen

3.3.2 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen

2.3.3 Gradientenabstieg implementieren

2.3.4 MSE-Kostenfunktion mit zwei Parametern

3.4.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.6.1 Diskrete Zufallsvariablen

3.6.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen

3.6.3 Varianz von Zufallsvariablen

3.7.1 Kontinuierliche Verteilung

3.7.2 Diskrete Verteilung

Gaußsche Verteilungen

4.4.2 Grafische Darstellung

4.5.1 Mathematische Definition

4.6.1 Ableitung aus der Poisson-Verteilung

Bayes'sche Inferenz

5.1.1 Mathematische Formulierung

5.1.3 Bayessche Interpretation

5.1.4 Satz von Bayes mit Verteilungen

5.2.1 Einführung und Notation

5.2.2 Finden der Parameter der Verteilung

5.2.3 Schätzung der maximalen Wahrscheinlichkeit

5.3.4 Kullback-Leibler Divergenz (KL Divergenz)

5.4.1 Vorteile der Bayes'schen Inferenz

TEIL 3. Lineare Algebra

L1 Regularisierung. Wirkung von Lambda.

6.1.1 Geometrische und Koordinatenvektoren

6.2.1 Skalarmultiplikation

6.4.2 Geometrische Interpretation: Projektionen

6.5.2 Einfluss der Regularisierung auf die polynomiale Regression

6.5.3 Unterschiede zwischen $L^1$ und $L^2$ Regularisierung

Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren

7.2.1 Addition und Skalarmultiplikation

7.3.1 Matrizen mit Vektoren

7.3.3 Transponieren eines Matrixprodukts

7.5.1 Bilder als mehrdimensionale Arrays

Alle linearen Kombinationen zweier Vektoren

8.1.2 Lineare Transformationen als Vektoren und Matrizen

8.1.3 Geometrische Interpretation

8.2.2 Alle Kombinationen von Vektoren

8.3.2 Unterräume einer Matrix

8.4.1 Geometrische Interpretation

8.5.2 Lineare Kombination von Basisvektoren

Projektion eines Vektors auf eine Ebene

9.1.4 Darstellung linearer Gleichungen mit Matrizen

9.2.1 Überbestimmte Gleichungssysteme

9.2.2 Unterbestimmte Gleichungssysteme

9.3.1 Gleichungssysteme lösen

9.3.2 Projektionen auf approximative unlösbare Systeme

9.3.3 Projektionen auf eine Linie

9.3.4 Projektionen auf eine Ebene

9.4.1 Lineare Regression unter Verwendung der Normalgleichung

9.4.2 Beziehung zwischen kleinsten Quadraten und der Normalgleichung

Hauptkomponentenanalyse von Hörproben.

10.2.1 Linearkombinationen der Basisvektoren

10.2.2 Die Änderung der Basismatrix

10.2.3 Beispiel: Basis eines Vektors ändern

10.3.1 Transformationsmatrix

10.3.2 Transformationsmatrix auf anderer Basis

10.4.1 Erster Schritt: Basiswechsel

10.4.2 Eigenvektoren und Eigenwerte

10.4.4 Eigenzerlegung symmetrischer Matrizen

10.5.2 Audio sinnvoll machen

SVD-Geometrie

11.1.1 Unterschiedliche Eingabe- und Ausgaberäume

11.1.2 Festlegung der Basen

11.1.3 Eigenzerlegung ist nur für quadratische Matrizen

11.2.1 Von der Eigenzerlegung zur SVD

11.2.2 Singuläre Vektoren und singuläre Werte

11.2.3 Finden der singulären Vektoren und der singulären Werte

11.3.1 Zweidimensionales Beispiel

11.3.2 Vergleich mit Eigenzerlegung

11.3.3 Dreidimensionales Beispiel

11.4.1 Vollständiges SVD, dünnes SVD und abgeschnittenes SVD

11.4.2 Zerlegung in Rang-Eins-Matrizen

Ich hoffe, dass Sie diesen Inhalt nützlich finden! Zögern Sie nicht, mich zu kontaktieren, wenn Sie Fragen, Wünsche oder Feedback haben!


Vorteile und Herausforderungen der Datentransformation

Die Transformation von Daten bietet mehrere Vorteile:

  • Daten werden transformiert, um sie besser zu organisieren. Transformierte Daten können sowohl für Menschen als auch für Computer einfacher zu verwenden sein.
  • Korrekt formatierte und validierte Daten verbessern die Datenqualität und schützen Anwendungen vor potenziellen Landminen wie Nullwerten, unerwarteten Duplikaten, falscher Indizierung und inkompatiblen Formaten.
  • Die Datentransformation erleichtert die Kompatibilität zwischen Anwendungen, Systemen und Datentypen. Daten, die für mehrere Zwecke verwendet werden, müssen möglicherweise auf unterschiedliche Weise transformiert werden.

Es gibt jedoch Herausforderungen bei der effektiven Datentransformation:

  • Datentransformation kann teuer sein. Die Kosten hängen von der spezifischen Infrastruktur, Software und Tools ab, die zur Datenverarbeitung verwendet werden. Zu den Ausgaben können Kosten im Zusammenhang mit Lizenzierung, Computerressourcen und Einstellung des erforderlichen Personals gehören.
  • Datentransformationsprozesse können ressourcenintensiv sein. Das Durchführen von Transformationen in einem lokalen Data Warehouse nach dem Laden oder das Transformieren von Daten vor dem Einspeisen in Anwendungen kann eine Rechenlast verursachen, die andere Vorgänge verlangsamt. Wenn Sie ein Cloud-basiertes Data Warehouse verwenden, können Sie die Transformationen nach dem Laden durchführen, da die Plattform bedarfsgerecht skaliert werden kann.
  • Mangelnde Fachkenntnis und Nachlässigkeit können bei der Transformation zu Problemen führen. Datenanalysten ohne entsprechende Fachkenntnisse werden Tippfehler oder falsche Daten seltener bemerken, da sie mit dem Bereich der genauen und zulässigen Werte weniger vertraut sind. Beispielsweise kann jemand, der mit medizinischen Daten arbeitet und mit relevanten Begriffen nicht vertraut ist, Krankheitsnamen, die einem einzelnen Wert zugeordnet werden sollten, nicht markieren oder Rechtschreibfehler bemerken.
  • Unternehmen können Transformationen durchführen, die nicht ihren Anforderungen entsprechen. Ein Unternehmen kann Informationen nur für eine Anwendung in ein bestimmtes Format ändern, um dann die Informationen für eine andere Anwendung in ihr vorheriges Format zurückzusetzen.

Desmos 2 – Transformationen von Graphen

Von Mark Dawes (Januar 2019)

Wenn Sie neu bei Desmos sind, möchten Sie vielleicht zuerst meinen früheren Blog Desmos – die Grundlagen lesen.

In diesem Blog werden Möglichkeiten untersucht, wie Sie Desmos (www.desmos.com) verwenden können, um Transformationen von Graphen am GCSE und in Mathematik auf A-Niveau zu lehren. Dies ist kein Unterrichtsplan, aber die Ideen hier könnten leicht im Unterricht verwendet werden. Es gibt eine Reihe verschiedener Alternativen (z. B. die Verwendung von Schiebereglern, die Verknüpfung von Grafiken mit Tabellen und die Verwendung von Funktionsnotation), die für verschiedene Klassen oder auf verschiedenen Niveaus geeignet sein können . Ich habe die Dinge, die ich der Klasse vorschlage, in Form von Anweisungen aufgeschrieben. Es gibt Alternativen, die auch funktionieren, daher sind dies nur Vorschläge.

Ausgangspunkt: Graphen nach oben und unten verschieben

Ich denke, es lohnt sich, dafür Zeit zu investieren, auch wenn es den Schülern wahrscheinlich bereits bekannt ist (aus ihrer Arbeit mit y = mx+c), um neue Verknüpfungen zu ermöglichen und zu erkunden, _warum_ Graphen einziehen wie sie es tun.

Geben Sie diese beiden Grafiken ein. Bitten Sie die Schüler zu beschreiben, wie man die rote Grafik in die blaue umwandelt. Stellen Sie sicher, dass jeder Punkt auf der roten Kurve um 2 (vertikal) nach oben verschoben wurde. Das ist nicht immer klar: Für manche Schüler sieht die blaue Kurve so aus, als wäre sie durch Zusammendrücken der roten Kurve nach innen entstanden.

Fragen Sie, was mit dem blauen Graphen passieren würde, wenn die blaue Gleichung y = x 2 + 3 oder y = x 2 – 1 oder … wäre. Bearbeiten Sie jedes Mal die blaue Gleichung und die Schüler können sehen, ob sie richtig liegen.

Löschen Sie nun die blaue Grafik und klicken Sie auf das Zahnrad:

und wählen Sie „in Tabelle umwandeln“:

Es wird jetzt so aussehen:

Wenn Sie auf den gelb markierten Teil klicken und dann x^2+2 eingeben, sehen Sie Folgendes:

Um die blaue Kurve zu zeichnen, klicken Sie erneut auf das Zahnrad und dann auf den blauen Punkt in der Tabellenüberschrift und schalten Sie die Schaltfläche „Linien“ ein (hervorgehoben):

Verwenden Sie dies, um zu zeigen, _warum_ die Kurve um 2 nach oben verschoben wurde.

Es ist ziemlich schön, dass es jetzt Punkte für die Punkte in der Tabelle gibt, damit wir deutlicher sehen können, dass sich jeder Punkt um 2 nach oben bewegt hat.

Betonen Sie, dass wir für den roten Graphen das x-Quadrat berechnet und dieses gegen den x-Wert aufgetragen haben. Für den blauen Graphen haben wir das x-Quadrat berechnet, aber 2 dazu addiert, bevor wir ihn gegen den x-Wert aufgetragen haben, sodass die y-Koordinate jedes Punktes um 2 größer ist als früher und der Graph sich daher um . nach oben bewegt hat 2.

Verwenden von f(x)

Dies kann als eine Möglichkeit verwendet werden, um einige der Stärken der Funktionsnotation aufzuzeigen. Es könnte zusätzlich zu dem, was zuvor getan wurde, oder stattdessen verwendet werden.

Ich habe dies anhand des Graphen von f(x) = x 3 veranschaulicht. Wie ich in meinem vorherigen Beitrag erwähnt habe, ist eines der wenigen Dinge, die ich an Desmos nicht mag, dass es den Graphen von y = f(x) glücklich zeichnet, ohne gefragt zu werden.

Der nächste Screenshot zeigt einen sehr ähnlichen Satz von Transformationen, der wiederum die Wertetabelle mit dem Diagramm verknüpft (wobei die Wertetabelle wie oben erstellt wird).

Alle vorherigen Dinge (wie das Ändern des '+2' am Ende der Tabellenüberschrift) können auch hier durchgeführt werden.

Eines der brillanten Dinge an dieser Version ist, dass, wenn das ursprüngliche f(x) geändert wird (zum Beispiel in x 3 + 2x 2 ), sich auch alles andere ändert, einschließlich der Tabelle und aller Grafiken. Dies kann verwendet werden, um guter Effekt, um zu zeigen, dass _alle_ Graphen um 2 nach oben rücken, wenn '+2' am Ende steht.

Verwenden eines Schiebereglers

Wenn Sie y = x 2 + eingeben, fragt Desmos, ob Sie „Schieberegler hinzufügen“ möchten. Drücken Sie einfach die Eingabetaste und es geschieht automatisch.

Klicken Sie auf das Zahnrad, wenn Sie die Empfindlichkeit des Schiebereglers ändern möchten.

Dies kann verwendet werden, um anzuzeigen, dass sich die Grafik nach oben und unten bewegt, wenn sich der Wert von „a“ ändert. Es funktioniert auch gut mit der f(x)-Form der Algebra.

Mögliches Missverständnis

Beachten Sie, dass sich einige Schüler an die Vorstellung gewöhnen, dass „die Zahl am Ende“ dasselbe ist wie „der y-Achsenabschnitt“. Zum Beispiel ist in y = mx + c das ‘+c’ tatsächlich der y-Achsenabschnitt, und das gleiche gilt für y = ax 2 + bx + c und für jedes andere Polynom. Dies ist jedoch nicht immer der Fall, und das ist ein Grund dafür, den Schieberegler im obigen Abschnitt „a“ statt „c“ zu nennen. Es wäre nützlich, einige Beispiele zu verwenden, bei denen die hinzugefügte Zahl nicht der y-Achsenabschnitt ist, wie z. B. y = 1/x + 1 (die überhaupt keinen y-Achsenabschnitt hat) und y = 2 x + 1 und y = cos(x) + 1 (beide haben y-Achsenabschnitt von 2).

Ich habe dieses Trigogramm hinzugefügt, um daran zu erinnern, wie man Desmos in Grad ändert und die Skala ändert. Klicken Sie auf den Schraubenschlüssel auf der rechten Seite und ändern Sie die Werte wie abgebildet:

Verschieben von Grafiken nach links und rechts

Für viele Schüler fühlt es sich an, als ob diese Version „in die falsche Richtung“ geht. Dieser nächste Screenshot zeigt mehrere Ideen gleichzeitig. (Dies geht auch mit y = x 3 und y = (x+1) 3 .)

Ich beginne gerne mit etwas Nicht-Standard, bei dem es keine wiederholten Werte für f(x) gibt, um spätere Verwirrung zu vermeiden. Lassen Sie dann Desmos die Tabelle wie zuvor erstellen und zeichnen Sie die Kurve.

Lenken Sie die Aufmerksamkeit der Schüler auf die Tabelle. In beiden Spalten tauchen die gleichen Werte auf. Warum sind sie so verschoben, wie sie sind? Im ursprünglichen Graphen zeichnen wir bei x = 0 den Wert von f(0). Aber in der Version mit f(x + 1), um die gleiche y-Koordinate (die in diesem Fall f(0) ist) zu erhalten, müssen wir x -1 sein und müssen es also an einer Stelle nach . zeichnen links. In der Tabelle sehen wir jedes Mal, dass die Werte von f(x+1) jetzt um 1 nach links verschoben erscheinen.

Wir können viele der gleichen Dinge wie zuvor tun, z. B. einen Schieberegler einfügen (diesmal vielleicht mit y = f(x + b)).

Ausblenden der eigentlichen Funktion

Es kann sehr gut funktionieren, den Schülern eine Funktion zu geben, die sie nicht erkennen, und sie aufzufordern, diese mit ihrem Transformationswissen zu transformieren, ohne dass sie versuchen, Klammern zu ersetzen oder zu erweitern.

Bevor Sie mit der Projektion in die Klasse beginnen, erstellen Sie oben in einer Desmos-Datei eine unbekannte Funktion, wie zum Beispiel:

Drücken Sie die Eingabetaste so oft, dass die Funktion oben auf dem Bildschirm verschwindet.

Wir können deutlich sehen, dass der orange Graph um 2 nach links und um 1 nach oben verschoben wurde, um den blauen Graphen zu bilden.

Vertikal strecken

Ich habe mit f(x) angefangen und sowohl die Tabelle als auch den Graphen gezeichnet. Für y = 3f(x) wurde das, was früher als y-Koordinate aufgetragen wurde, vor dem Auftragen mit 3 multipliziert. Dies bedeutet, dass alles, was zuvor einen y-Wert von Null hatte, immer noch einen y-Wert von Null hat, alles, was zuvor positiv war, dreimal so groß war und alles, was negativ war, immer noch negativ ist, aber mit 3 multipliziert wurde von oben nach unten um den Faktor 3 gestreckt: alle Punkte sind dreimal so weit von der x-Achse entfernt.

Ich habe die Tabelle um weitere Werte erweitert. Das geht ganz einfach: Klicken Sie in die x-Spalte (ursprünglich ist der erste Wert -2 – klicken Sie darauf) und geben Sie ein, was Sie wollen. Wenn Sie die Eingabetaste drücken, wird eine neue leere Zeile erstellt, in die Sie tippen können.

Mögliches Missverständnis

Ich wäre vorsichtig, hier mit f(x) = x 2 zu beginnen. Dieser Graph berührt die x-Achse nur einmal und befindet sich überall sonst über der x-Achse. Dies kann zu dem Missverständnis führen, dass eine Dehnung den Graphen nur _nach oben_ zieht.

Mehrere Schieberegler

Wir können alle drei bisher betrachteten Transformationen mit mehreren Schiebereglern kombinieren (geben Sie einfach die Buchstaben ein: Desmos fügt die Schieberegler für Sie hinzu). Beachten Sie, dass unsere Schüler nichts Komplizierteres als diese Transformationen kombinieren müssen.

Dieser Screenshot zeigt, dass es um 2 nach links verschoben, um den Faktor 3,5 nach oben und unten gestreckt und dann um 2 nach oben verschoben wurde. (Zur Überlegung: spielt die Reihenfolge eine Rolle? Manchmal …!)

Quetschen nach innen

Wenn wir f(x) in f(2x) transformieren, scheint es einigen Schülern wiederum, dass die Dinge „falsch herum“ passieren, weil der Graph um den Faktor 2 „nach innen gequetscht“ wird.

Das liegt daran, dass wenn wir y = f(2x) zeichnen, was früher bei x = 2 aufgetragen wurde, als wir y = f(x) hatten, wird jetzt bei x = 1 aufgetragen. Für y = f(2x) wird alles halb so groß Abstand von der y-Achse wie zuvor.

Negatives verstehen

Der letzte Transformationstyp, den wir uns ansehen werden, ist, was passiert, wenn y = -f(x) oder y = f(-x) gilt. Schüler finden diese oft verwirrend, insbesondere weil sie mit bestimmten Funktionen (wie f(x) = sin(x) und f(x) = x 3 , bekannt als „ungerade Funktionen“) gleich aussehen.

Wenn wir y = f(x) und y = -f(x) vergleichen, wissen wir, dass wir in beiden Fällen f(x) berechnen, aber dass wir im zweiten Fall den berechneten Wert nicht darstellen, sondern Plotten Sie stattdessen die negative Version. Auch hier kann die Tabelle dies zeigen und hilft zu erklären, warum dies eine Spiegelung in der x-Achse ergibt.

Wenn wir y = f(x) und y = f(-x) vergleichen, können wir sehen, dass das, was früher bei einem positiven Wert von x geplottet wurde, jetzt als negative Version von x geplottet wird (und umgekehrt). Dies hilft uns zu sehen, dass wir uns in der y-Achse spiegeln.

Wählen Sie Ihre Grafiken mit Bedacht!

Ein letzter Gedanke ist, dass es zu viele Möglichkeiten gibt, welche Grafik verwendet werden soll, um eine bestimmte Transformation zu demonstrieren oder zu diskutieren. Überlegen Sie sorgfältig, welche Sie in einer bestimmten Situation verwenden. Zum Beispiel: -sin(x) = sin(-x), was bei der Demonstration der negativen Transformationen möglicherweise nicht hilfreich ist. cos(x) = cos (-x), daher ist es möglicherweise nicht hilfreich, die Reflexion in der y-Achse anhand dieses ersten Beispiels zu diskutieren (dasselbe gilt für x 2 und (-x) 2 ).

Trig-Funktionen können jedoch für die Multiplikationstransformationen hilfreich sein, da 2sin(x) sich sehr von sin(2x) unterscheidet, aber für die Links-Rechts-Übersetzung möglicherweise nicht so nützlich sind, da sie periodisch sind.


1.6.4.7: Daten ändern - Grundlagen von Transformationen - Mathematik

Transformationen spielen eine sehr wichtige Rolle bei der Manipulation von Objekten auf dem Bildschirm. Es sollte beachtet werden, dass hier die Algorithmen in Code implementiert werden und die eingebauten Funktionen nicht verwendet werden, um ein gutes Verständnis der Funktionsweise der Algorithmen zu vermitteln.
Beachten Sie auch, dass alle Transformationen implementiert sind in 2D.
Es gibt drei grundlegende Arten von Transformationen in der Computergrafik:
1. Übersetzung
2. Drehung
3. Skalierung

  1. Übersetzung : Translation bezieht sich auf das Bewegen eines Objekts an eine andere Position auf dem Bildschirm.
  2. Drehung : Drehung bezieht sich auf das Drehen eines Punktes.
  3. Skalierung : Skalierung bezieht sich auf das Vergrößern und Verkleinern eines Objekts in verschiedenen Maßstäben über Achsen hinweg.

Hinweis: Wenn kombinierte Transformationen angewendet werden sollen, folgen Sie der Reihenfolge: übersetzen, drehen, skalieren


Unsere Dozenten und Studenten erforschen neue Ideen in der Mathematik und ihren Anwendungen.

Kommende Veranstaltungen

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DMCA-Beschwerde

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Senden Sie Ihre Beschwerde an unseren benannten Vertreter unter:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Road, Suite 300
St. Louis, MO 63105


Lektion 7: Transformationen und Interaktionen

In den Lektionen 4 und 6 haben wir Werkzeuge zum Erkennen von Problemen mit einem linearen Regressionsmodell kennengelernt. Sobald wir Probleme mit dem Modell identifiziert haben, haben wir eine Reihe von Optionen:

  • Wenn wichtige Prädiktorvariablen werden weggelassen, sehen Sie, ob das Hinzufügen der weggelassenen Prädiktoren das Modell verbessert.
  • Ist der Mittelwert der Antwort keine lineare Funktion der Prädiktoren, versuchen Sie eine andere Funktion. Beispielsweise beinhaltet die polynomiale Regression die Transformation einer oder mehrerer Prädiktorvariablen, während sie innerhalb des Rahmens der multiplen linearen Regression bleibt. Bei einem anderen Beispiel ermöglicht das Anwenden einer logarithmischen Transformation auf die Antwortvariable auch eine nichtlineare Beziehung zwischen der Antwort und den Prädiktoren, während sie innerhalb des multiplen linearen Regressionsrahmens bleibt.
  • Wenn es gibt ungleiche Fehlervarianzen, versuchen Sie, die Antwort- und/oder Prädiktorvariablen zu transformieren oder verwenden Sie "gewichtete Kleinste-Quadrate-Regression“ (siehe Lektion 10).
  • Wenn ein Ausreißer vorhanden ist, prüfen Sie, ob ein Datenaufzeichnungsfehler vorliegt, probieren Sie ein anderes Modell aus, sammeln Sie nach Möglichkeit mehr Daten oder versuchen Sie es mit einem "robustes Schätzverfahren“ (wird in diesem Kurs nicht berücksichtigt).
  • Wenn Fehlerterme sind nicht unabhängig, versuchen Sie ein "Zeitreihenmodell“ (siehe Lektion 10).

Die Transformation von Antwort- und/oder Prädiktorvariablen hat daher das Potenzial, eine Reihe von Modellproblemen zu beheben. Solche Datentransformationen stehen im Mittelpunkt dieser Lektion.

Um die grundlegenden Ideen hinter Datentransformationen vorzustellen, betrachten wir zunächst ein einfaches lineares Regressionsmodell, in dem:

  • Wir transformieren den Prädiktor (x) nur Werte.
  • Wir transformieren die Antwort (ja) nur Werte.
  • Wir transformieren sowohl den Prädiktor (x) Werte und Antwort (ja) Werte.

Es ist leicht zu verstehen, wie Transformationen im Kontext der einfachen linearen Regression funktionieren, da wir alles in einem Streudiagramm von . sehen können ja gegen x. Diese Grundideen gelten jedoch genauso gut für multiple lineare Regressionsmodelle. Bei mehreren Prädiktoren können wir nicht mehr alles in einem einzelnen Streudiagramm sehen, daher verwenden wir jetzt Residuendiagramme als Orientierungshilfe.

Sie werden feststellen, dass die Datentransformation definitiv einen "Trial-and-Error"-Ansatz erfordert. Beim Erstellen des Modells versuchen wir eine Transformation und prüfen dann, ob die Transformation die Probleme mit dem Modell beseitigt hat. Wenn es nicht hilft, versuchen wir eine andere Transformation und so weiter. Wir setzen diesen zyklischen Prozess fort, bis wir ein geeignetes und anwendbares Modell erstellt haben. Das heißt, der Prozess der Modellerstellung umfasst die Modellformulierung, die Modellschätzung und die Modellbewertung:

  • Modellbau
    • Modellformulierung
    • Modellschätzung
    • Modellbewertung

    Wir verlassen den Modellbildungsprozess erst, wenn wir uns davon überzeugt haben, dass das Modell die vier Bedingungen ("LINE") des linearen Regressionsmodells erfüllt. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass es oft mehr als ein praktikables Modell gibt. Das Modell, das Sie wählen, und das Modell, das ein Kollege wählt, können unterschiedlich sein und sind dennoch gleichermaßen geeignet. Wichtig ist, dass das von Ihnen gewählte Modell:

    • ist nicht allzu kompliziert
    • die vier Bedingungen des linearen Regressionsmodells erfüllt und
    • ermöglicht Ihnen die Beantwortung Ihrer Forschungsfrage.

    Vergessen Sie nicht, dass die Datenanalyse ein kunstvoll Wissenschaft! Es geht darum, subjektive Entscheidungen mit sehr objektiven Werkzeugen zu treffen!


    Die Projektionsmatrix

    Wir sind jetzt im Camera Space. Dies bedeutet, dass nach all diesen Transformationen ein Scheitelpunkt mit x==0 und y==0 in der Mitte des Bildschirms gerendert werden sollte. Aber wir können nicht nur die x- und y-Koordinaten verwenden, um zu bestimmen, wo ein Objekt auf dem Bildschirm platziert werden soll: Auch seine Entfernung zur Kamera (z) zählt! Bei zwei Scheitelpunkten mit ähnlichen x- und y-Koordinaten befindet sich der Scheitelpunkt mit der größten z-Koordinate weiter in der Mitte des Bildschirms als der andere.

    Dies wird als perspektivische Projektion bezeichnet:

    Und zum Glück für uns kann eine 4x4-Matrix diese Projektion 1 darstellen:

    Wir gingen von Camera Space (alle Scheitelpunkte relativ zur Kamera definiert) zu Homogeneous Space (alle Scheitelpunkte in einem kleinen Würfel definiert. Alles innerhalb des Würfels ist auf dem Bildschirm).

    Hier ist ein weiteres Diagramm, damit Sie besser verstehen, was mit diesem Projektionsmaterial passiert. Vor der Projektion haben wir unsere blauen Objekte im Kameraraum, und die rote Form stellt den Kegelstumpf der Kamera dar: den Teil der Szene, den die Kamera tatsächlich sehen kann.

    Die Multiplikation von allem mit der Projektionsmatrix hat folgenden Effekt:

    In diesem Bild ist der Kegelstumpf jetzt ein perfekter Würfel (zwischen -1 und 1 auf allen Achsen, es ist ein bisschen schwer zu sehen), und alle blauen Objekte wurden auf die gleiche Weise verformt. Somit sind die Objekte, die sich in der Nähe der Kamera befinden (= in der Nähe der nicht sichtbaren Fläche des Würfels), groß, die anderen kleiner. Scheint wie im echten Leben!

    Mal sehen, wie es „hinter“ dem Frustum aussieht:

    Hier erhalten Sie Ihr Bild! Es ist nur ein bisschen zu quadratisch, daher wird eine weitere mathematische Transformation angewendet (diese ist automatisch, Sie müssen es nicht selbst im Shader tun), um dies an die tatsächliche Fenstergröße anzupassen:


    1.6.4.7: Daten ändern - Grundlagen von Transformationen - Mathematik

    In diesem Abschnitt werden wir sehen, wie die Kenntnis einiger relativ einfacher Graphen uns helfen kann, einige kompliziertere Graphen darzustellen. Zusammenfassend heißen die Methoden, die wir uns in diesem Abschnitt ansehen werden Transformationen.

    Vertikale Verschiebungen

    Die erste Transformation, die wir uns ansehen, ist eine vertikale Verschiebung.

    Gegeben ist der Graph von (fleft( x ight)) der Graph von (gleft( x ight) = fleft( x ight) + c) der Graph von (f left( x ight)) um (c) Einheiten nach oben verschoben, wenn (c) positiv ist und oder um (c) Einheiten nach unten, wenn (c) negativ ist.

    Wenn wir also (fleft( x ight)) grafisch darstellen können, ist es ziemlich einfach, den Graphen von (gleft( x ight)) zu erhalten. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

    Das erste, was Sie hier tun müssen, ist die Funktion ohne die Konstante zu zeichnen, was zu diesem Zeitpunkt für Sie ziemlich einfach sein sollte. Dann entsprechend verschieben.

    In diesem Fall müssen wir zuerst () (die gepunktete Linie im Diagramm unten) und nehmen Sie diese dann auf und verschieben Sie sie um 3. Koordinatenweise bedeutet dies, dass 3 zu allen (y)-Koordinaten von Punkten auf ().

    Hier ist die Skizze dazu.

    Okay, in diesem Fall werden wir den Graphen von (sqrt x ) (die gestrichelte Linie im Graphen unten) um 5 nach unten verschieben. Auch hier bedeutet dies aus Koordinatensicht, dass wir 5 vom (y) Koordinaten von Punkten auf (sqrt x ).

    Vertikale Verschiebungen sind also nicht so schlimm, wenn wir zuerst die "Basis" -Funktion grafisch darstellen können. Beachten Sie auch, dass Sie, wenn Sie sich nicht sicher sind, ob Sie den Graphen in den vorherigen Beispielen glauben, nur ein paar Werte von (x) in die Funktion einfügen und überprüfen müssen, ob es sich tatsächlich um die richtigen Graphen handelt .

    Horizontale Verschiebungen

    Diese sind auch ziemlich einfach, obwohl wir ein bisschen vorsichtig sein müssen.

    Gegeben sei der Graph von (fleft( x ight)) der Graph von (gleft( x ight) = fleft( ight)) ist der Graph von (fleft( x ight)) nach links um (c) Einheiten verschoben, wenn (c) positiv ist und oder nach rechts um (c) Einheiten, wenn (c) ist negativ.

    Jetzt müssen wir hier vorsichtig sein. Ein positives (c) verschiebt einen Graphen in die negative Richtung und ein negatives (c) verschiebt einen Graphen in die positive Richtung. Sie sind genau das Gegenteil von vertikalen Verschiebungen und es ist leicht, diese umzudrehen und falsch zu verschieben, wenn wir nicht aufpassen.

    Okay, mit diesen müssen wir zuerst die „Basis“-Funktion identifizieren. Das ist die Funktion, die verschoben wird. In diesem Fall sieht es so aus, als würden wir (fleft( x ight) = . verschieben ). Das können wir dann sehen,

    In diesem Fall (c = 2) und damit verschieben wir den Graphen von (fleft( x ight) = ) (die gepunktete Linie in der Grafik unten) und verschieben Sie sie um 2 Einheiten nach links. Dies bedeutet, dass 2 von den (x)-Koordinaten aller Punkte auf (fleft( x ight) = . abgezogen wird ).

    Hier ist die Grafik für dieses Problem.

    In diesem Fall sieht es so aus, als wäre die Basisfunktion (sqrt x ) und sie sieht auch aus wie (c = - 4) und so verschieben wir den Graphen von (sqrt x ) (die gestrichelte Linie in der Grafik unten) um 4 Einheiten nach rechts. In Bezug auf die Koordinaten bedeutet dies, dass wir 4 zur (x)-Koordinate aller Punkte auf (sqrt x ) hinzufügen werden.

    Hier ist die Skizze für diese Funktion.

    Vertikale und horizontale Verschiebungen

    Jetzt können wir auch die beiden Schichten, die wir gerade fertig gemacht haben, zu einem einzigen Problem kombinieren. Wenn wir den Graphen von (fleft( x ight)) kennen, ist der Graph von (gleft( x ight) = fleft( ight) + k) wird der Graph von (fleft( x ight)) sein, der um (c) Einheiten nach links oder rechts verschoben wird, abhängig vom Vorzeichen von (c) und nach oben oder unten um (k) Einheiten abhängig vom Vorzeichen von (k).

    Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

    In diesem Teil sieht es so aus, als ob die Basisfunktion () und es sieht so aus, als ob dies um 2 nach rechts verschoben wird (da (c = - 2)) und um 4 nach oben verschoben wird (da (k = 4)). Hier ist die Skizze dieser Funktion.

    Für diesen Teil verschieben wir (left| x ight|) nach links um 3 (da (c = 3)) und 5 nach unten (da (k = - 5)). Hier ist die Skizze dieser Funktion.

    Reflexionen

    Die letzte Reihe von Transformationen, die wir uns in diesem Abschnitt ansehen werden, sind keine Verschiebungen, sondern sie werden Reflexionen genannt, und es gibt zwei davon.

    Reflexion an der (x)-Achse

    Gegeben den Graphen von (fleft( x ight)) dann ist der Graph von (gleft( x ight) = - fleft( x ight)) der Graph von (f links( x echts)) reflektiert um die (x)-Achse. Dies bedeutet, dass die Vorzeichen an allen (y)-Koordinaten in das entgegengesetzte Vorzeichen geändert werden.

    Reflection about the (y)-axis

    Given the graph of (fleft( x ight)) then the graph of (gleft( x ight) = fleft( < - x> ight)) is the graph of (fleft( x ight)) reflected about the (y)-axis. This means that the signs on the all the (x) coordinates are changed to the opposite sign.

    Here is an example of each.

    Based on the placement of the minus sign (d.h. it’s outside the square and NOT inside the square, or ( ight)^2>) ) it looks like we will be reflecting () about the (x)-axis. So, again, the means that all we do is change the sign on all the (y) coordinates.

    Here is the sketch of this graph.

    Now with this one let’s first address the minus sign under the square root in more general terms. We know that we can’t take the square roots of negative numbers, however the presence of that minus sign doesn’t necessarily cause problems. We won’t be able to plug positive values of (x) into the function since that would give square roots of negative numbers. However, if (x) were negative, then the negative of a negative number is positive and that is okay. Beispielsweise,

    [hleft( < - 4> ight) = sqrt < - left( < - 4> ight)> = sqrt 4 = 2]

    So, don’t get all worried about that minus sign.

    Now, let’s address the reflection here. Since the minus sign is under the square root as opposed to in front of it we are doing a reflection about the (y)-axis. This means that we’ll need to change all the signs of points on (sqrt x ).

    Note as well that this syncs up with our discussion on this minus sign at the start of this part.

    Here is the graph for this function.


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