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12: Polynome - Mathematik


Als Polynome bekannte Ausdrücke werden in der Algebra häufig verwendet. Die Anwendung dieser Ausdrücke ist für viele Karrieren unerlässlich, darunter Wirtschaftswissenschaftler, Ingenieure und Wissenschaftler. In diesem Kapitel erfahren wir, was Polynome sind und wie man sie durch grundlegende mathematische Operationen manipuliert.

  • 12.1: Polynome addieren und subtrahieren
    In diesem Abschnitt werden wir mit Polynomen arbeiten, die in jedem Term nur eine Variable haben. Der Grad eines Polynoms und der Grad seiner Terme werden durch die Exponenten der Variablen bestimmt. Das Arbeiten mit Polynomen ist einfacher, wenn Sie die Begriffe in absteigender Gradreihenfolge auflisten. Wenn ein Polynom auf diese Weise geschrieben wird, spricht man von Standardform. Das Addieren und Subtrahieren von Polynomen kann man sich als einfaches Addieren und Subtrahieren ähnlicher Terme vorstellen.
  • 12.2: Multiplikationseigenschaften von Exponenten verwenden (Teil 1)
    In diesem Abschnitt beginnen wir mit der Arbeit mit variablen Ausdrücken, die Exponenten enthalten. Denken Sie daran, dass ein Exponent eine wiederholte Multiplikation derselben Größe anzeigt. Sie haben gesehen, dass Sie beim Kombinieren ähnlicher Terme durch Addieren und Subtrahieren dieselbe Basis mit demselben Exponenten haben müssen. Aber wenn Sie multiplizieren und dividieren, können die Exponenten unterschiedlich sein, und manchmal können auch die Basen unterschiedlich sein. Wir leiten die Eigenschaften von Exponenten ab, indem wir in mehreren Beispielen nach Mustern suchen.
  • 12.3: Multiplikationseigenschaften von Exponenten verwenden (Teil 2)
    Alle Exponenteneigenschaften gelten für alle reellen Zahlen, aber im Moment verwenden wir nur ganzzahlige Exponenten. Die Produkteigenschaft von Exponenten ermöglicht es uns, Ausdrücke mit ähnlichen Basen zu multiplizieren, indem wir ihre Exponenten addieren. Die Potenzeigenschaft von Exponenten besagt, dass man die Exponenten multiplizieren muss, um eine Potenz zu potenzieren. Schließlich beschreibt die Produkt-Potenz-Eigenschaft von Exponenten, wie das Potenzieren eines Produkts durch Potenzieren jedes Faktors erreicht wird.
  • 12.4: Polynome multiplizieren (Teil 1)
    In diesem Abschnitt beginnen wir mit der Multiplikation von Polynomen mit Grad eins, zwei und/oder drei. Genauso wie es verschiedene Möglichkeiten gibt, die Multiplikation von Zahlen darzustellen, gibt es mehrere Methoden, die verwendet werden können, um ein Polynom mit einem anderen Polynom zu multiplizieren. Die Verteilungseigenschaft ist die erste Methode, die Sie bereits kennengelernt und verwendet haben, um das Produkt zweier beliebiger Polynome zu finden.
  • 12.5: Polynome multiplizieren (Teil 2)
    Die FOIL-Methode ist normalerweise die schnellste Methode zur Multiplikation zweier Binome, funktioniert aber nur bei Binomialen. Wenn Sie ein Binomial mit einem Binomial multiplizieren, erhalten Sie vier Terme. Manchmal können Sie ähnliche Terme kombinieren, um ein Trinom zu erhalten, aber manchmal gibt es keine ähnlichen Terme zum Kombinieren. Eine andere Methode, die für alle Polynome funktioniert, ist die Vertikale Methode. Es ist der Methode sehr ähnlich, mit der Sie ganze Zahlen multiplizieren.
  • 12.6: Monome dividieren (Teil 1)
    In diesem Abschnitt werden wir uns die Exponenteneigenschaften für die Division ansehen. Ein Sonderfall der Quotienteneigenschaft liegt vor, wenn die Exponenten von Zähler und Nenner gleich sind. Es führt uns zur Definition des Exponenten Null, die besagt, dass a^0 = 1 ist, wenn a eine Zahl ungleich Null ist. Jede Zahl ungleich Null potenziert ist 1. Der Quotient zu einer Potenz von Exponenten besagt dass man, um einen Bruch zu potenzieren, Zähler und Nenner potenziert.
  • 12.7: Monome dividieren (Teil 2)
    Wir haben jetzt alle Eigenschaften von Exponenten gesehen. Wir werden sie verwenden, um Monome zu teilen. Später werden Sie sie verwenden, um Polynome zu dividieren. Wenn wir Monome mit mehr als einer Variablen dividieren, schreiben wir für jede Variable einen Bruch. Wenn Sie sich mit dem Verfahren vertraut gemacht und es mehrmals Schritt für Schritt geübt haben, können Sie möglicherweise einen Bruch in einem Schritt vereinfachen.
  • 12.8: Ganzzahlige Exponenten und wissenschaftliche Notation (Teil 1)
    Der negative Exponent sagt uns, dass wir den Ausdruck neu schreiben sollen, indem wir den Kehrwert der Basis nehmen und dann das Vorzeichen des Exponenten ändern. Jeder Ausdruck mit negativen Exponenten wird nicht als einfachste Form betrachtet. Wir verwenden die Definition eines negativen Exponenten und andere Eigenschaften von Exponenten, um einen Ausdruck mit nur positiven Exponenten zu schreiben.
  • 12.9: Ganzzahlige Exponenten und wissenschaftliche Notation (Teil 2)
    Wenn eine Zahl als Produkt zweier Zahlen geschrieben wird, wobei der erste Faktor eine Zahl größer oder gleich eins, aber kleiner als 10 ist und der zweite Faktor eine Potenz von 10 in Exponentialform ist, heißt sie in wissenschaftliche Schreibweise. Es ist üblich, × als Multiplikationszeichen zu verwenden, obwohl wir dieses Zeichen an anderer Stelle in der Algebra vermeiden. Die wissenschaftliche Notation ist eine nützliche Methode, um sehr große oder sehr kleine Zahlen zu schreiben. Es wird häufig in den Wissenschaften verwendet, um Berechnungen zu erleichtern.
  • 12.10: Einführung in das Faktorisieren von Polynomen
    Früher haben wir Faktoren miteinander multipliziert, um ein Produkt zu erhalten. Jetzt werden wir diesen Prozess umkehren; Wir beginnen mit einem Produkt und zerlegen es dann in seine Faktoren. Die Aufteilung eines Produkts in Faktoren wird als Factoring bezeichnet. In der Sprache der Algebra haben wir Zahlen faktorisiert, um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von zwei oder mehr Zahlen zu finden. Jetzt werden wir Ausdrücke faktorisieren und den größten gemeinsamen Faktor von zwei oder mehr Ausdrücken finden. Die Methode, die wir verwenden, ähnelt der Methode, mit der wir das LCM gefunden haben.
  • 12.E: Polynome (Übungen)
  • 12.S: Polynome (Zusammenfassung)

Abbildung 10.1 - Die Bahnen von Raketen werden mit Polynomen berechnet. (Kredit: NASA, Public Domain)


Kapitel 5: Polynome

Ein Ausdruck, der eine oder mehrere Variablen mit unterschiedlichen Potenzen und Koeffizienten umfasst.

(ein_x^ + ldots + a_2x^ <2>+ a_<1>x + a_<0>, ext < wobei >n in mathbb_0)

Ein Polynom mit einem Term.

Beispiel: (7a^<2>b ext < oder >15xyz^<2>).

Ein Polynom mit zwei Termen.

Zum Beispiel (2x + 5z ext < oder >26 - g^<2>k).

Ein Polynom mit drei Termen.

Zum Beispiel (a - b + c ext < oder >4x^2 + 17xy - y^3).

Der Grad, auch Ordnung genannt, eines univariaten Polynoms ist der Wert des höchsten Exponenten im Polynom.

Zum Beispiel hat (7p - 12p^2 + 3p^5 + 8) den Grad ( ext<5>).

Es ist wichtig zu beachten, dass die Definition eines Polynoms besagt, dass alle Exponenten der Variablen Elemente der Menge der natürlichen Zahlen sein müssen. Wenn ein Ausdruck Terme mit Exponenten enthält, die keine natürlichen Zahlen sind, ist er kein Polynom.

Die folgenden Beispiele sind keine Polynome:


Ausgearbeitetes Beispiel 4: Lange Division

Verwenden Sie die lange Divisionsmethode, um den Quotienten (Q(x)) und den Rest (R(x)) zu bestimmen, wenn (a(x) = 2x^ <3>- x^ <2>- 6x + 16) wird durch (b(x) = x - 1) geteilt. Schreiben Sie Ihre Antwort in der Form (a(x) = b(x) cdot Q(x) + R(x)).

Schreibe die bekannten und unbekannten Ausdrücke auf

Verwenden Sie die lange Divisionsmethode, um (Q(x)) und (R(x)) zu bestimmen

Stellen Sie sicher, dass (a(x)) und (b(x)) in absteigender Reihenfolge der Exponenten geschrieben sind. Fehlt in (a(x)) ein Term mit einem bestimmten Grad, dann schreiben Sie den Term mit einem Koeffizienten von ( ext<0>).

Start & 2x^ <2>+ x - 5 x-1 & | overline <2x^<3>- x^ <2>- 6x + 16 > - & left( underline <2x^<3>- 2x^<2>> ight) & ext < >0 + x^ <2>- 6x & ext < >- left( underline - x> ight) & ext < >quad quad 0 -5x + 16 & ext < >quad quad - left( underline <-5x + 5> ight) & ext < >quad quad qquad 0 + 11 end

Schreibe die endgültige Antwort

Die synthetische Division ist eine einfachere und effizientere Methode zum Dividieren von Polynomen. Es erlaubt uns, den Quotienten und den Rest zu bestimmen, indem wir die Koeffizienten der Terme in jedem der Polynome betrachten, ohne die Variable und den Exponenten für jeden Term neu schreiben zu müssen. Fehlt in (a(x)) ein Term mit einem bestimmten Grad, dann schreiben Sie den Term mit einem Koeffizienten von ( ext<0>). Zum Beispiel sollte (a(x) = 5x^ <3>+ 6x - 1) als (a(x) = 5x^ <3>+ 0x^ <2>+ 6x - 1) geschrieben werden.

Beachten Sie, dass für die synthetische Division:

  • die Koeffizienten des Dividenden ((a(x))) werden unter die waagerechte Linie geschrieben.
  • die Koeffizienten des Quotienten ((Q(x))) werden über die horizontale Linie geschrieben.
  • wir addieren Koeffizienten, anstatt sie zu subtrahieren, wie es bei der langen Division der Fall ist
  • wir verwenden das entgegengesetzte Vorzeichen des Divisors ((b(x))), der Divisor ist ((x - 1)) und wir verwenden ( ext<+1>).
  • der Koeffizient des (x)-Terms im Divisor ist ( ext<1>), also (q_<2>= a_<3>).

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Polynomiale Regression

Dieser Artikel ist eine Erklärung der Mathematik, die für unsere polynomiale Regressionsklasse verwendet wird.

Einfach ausgedrückt ist die polynomiale Regression ein Versuch, eine Polynomfunktion zu erstellen, die einen Satz von Datenpunkten approximiert. Dies lässt sich anhand eines visuellen Beispiels leichter demonstrieren.

In diesem Diagramm haben wir 20 Datenpunkte, die als blaue Quadrate angezeigt werden. Sie wurden in einem X/Y-Diagramm aufgetragen. Die orange Linie ist unsere Näherung. Ein solches Szenario ist keine Seltenheit, wenn Daten mit Ungenauigkeiten von einem Gerät gelesen werden. Mit genügend Datenpunkten können die Ungenauigkeiten marginalisiert werden. Dies ist in physikalischen Experimenten nützlich, wenn ein Phänomen modelliert wird. Oft gibt es eine Gleichung und die Koeffizienten müssen durch Messung bestimmt werden. Wenn die Gleichung eine Polynomfunktion ist, kann die Polynomregression verwendet werden.

Die polynomielle Regression ist eine von mehreren Methoden der Kurvenanpassung. Bei der polynomialen Regression werden die Daten mithilfe einer Polynomfunktion approximiert. Ein Polynom ist eine Funktion der Form f( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 ⋯ cnein x nein wo nein ist der Grad des Polynoms und c ist eine Menge von Koeffizienten.

Die meisten Leute haben polynomiale Regression durchgeführt, sie aber nicht bei diesem Namen genannt. Ein Polynom vom Grad 0 ist nur eine Konstante, weil f( x ) = c0 x 0 = c0. Ebenso gibt das Ausführen einer polynomialen Regression mit einem Grad von 0 für einen Datensatz einen einzelnen konstanten Wert zurück. Es ist das gleiche wie der mittlere Durchschnitt dieser Daten. Dies ist sinnvoll, da der Durchschnitt eine Annäherung aller Datenpunkte ist.

Hier haben wir ein Diagramm mit 11 Datenpunkten und der Durchschnitt ist mit einer dicken blauen Linie bei 0 hervorgehoben. Die Durchschnittslinie folgt meist dem Pfad der Datenpunkte. Somit ist der Mittelwert eine Form der Kurvenanpassung und wahrscheinlich die einfachste.

Die lineare Regression ist eine polynomielle Regression vom Grad 1 und hat im Allgemeinen die Form ja = ich x + b wo ich ist die Steigung, und b ist der y-Achsenabschnitt. Es könnte genauso gut geschrieben werden f( x ) = c0 + c1 x mit c1 die Steigung sein und c0 der y-Schnittpunkt.

Hier sehen wir die lineare Regressionslinie, die entlang der Datenpunkte verläuft und sich den Daten annähert. Mittelwert und lineare Regression sind die häufigsten Formen der polynomiellen Regression, aber nicht die einzigen.

Die quadratische Regression ist ein Polynom zweiten Grades und nicht annähernd so verbreitet. Jetzt wird die Regression nichtlinear und die Daten sind nicht auf gerade Linien beschränkt.

Hier sehen wir Daten mit einer quadratischen Regressionstrendlinie. Die Idee ist also einfach: Finden Sie eine Linie, die am besten zu den Daten passt. Finden Sie insbesondere die Koeffizienten für ein Polynom, das am besten zu den Daten passt. Um zu verstehen, wie dies funktioniert, müssen wir die für die Berechnung verwendete Mathematik untersuchen.

Die Mathematik hinter der polynomischen Regression

In diesem Abschnitt wird versucht, die Mathematik hinter der polynomischen Regression zu erklären. Es erfordert ein solides Verständnis der Algebra, der grundlegenden linearen Algebra (mit Matrizen zum Lösen von Gleichungssystemen) und einiger Analysis (partielle Ableitungen und Summationen). Die Algebra wird erarbeitet, die Berechnung von Matrizen und Ableitungen jedoch nicht. Jemand mit Zugang zu einem Computeralgebra-System (wie WolframAlpha) sollte daher in der Lage sein, der Mathematik zu folgen, nur Algebra zu kennen und die mathematischen Funktionen auf höherer Ebene wie eine Blackbox zu behandeln.

Die polynomielle Regression ist ein überbestimmtes Gleichungssystem, das die Methode der kleinsten Quadrate als Methode zur Approximation einer Antwort verwendet. Um dies zu verstehen, betrachten wir zunächst ein Gleichungssystem, das nicht überbestimmt ist. Wir können damit beginnen, eine Linienfunktion zu konstruieren, die zwei Punkte schneidet: (0.1, 0.1) und (0.6, 0.8). Lassen Sie uns zunächst das Problem algebraisch lösen. Denken Sie an die Gleichung für eine Linie:

In dieser Gleichung gibt es zwei Unbekannte: ich und b. Bei zwei Unbekannten brauchen wir zwei Lösungen. Diese haben wir aus den beiden gegebenen Datenpunkten. Lassen Sie uns also zwei Gleichungen aus diesen Daten erstellen:

Um nun nach dem System aufzulösen, können wir mit der obersten Gleichung beginnen und nach einer der Unbekannten auflösen. Lass uns wählen b:

Mit b bekannt, setzen wir die Lösung in die untere Gleichung ein:

Jetzt haben wir eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten, die wir auflösen können:

Nun das ich bekannt ist, können wir eine unserer ursprünglichen Gleichungen wählen und nach auflösen b. Wir wählen die oberste Gleichung und lösen nach b.

Also mit ich und b bekannt, lässt sich unsere ursprüngliche Gleichung in die Linienfunktion umwandeln:

Dies ist ein Gleichungssystem, und dies ist ein schönes Lehrbuchbeispiel dafür, wie man es algebraisch löst. Anstatt den algebraischen Ansatz zu verwenden, können wir dieses System auch mit Matrizen und linearer Algebra lösen. Der Grund, warum wir Matrixmathematik verwenden, besteht darin, Polynome höherer Ordnung zu vereinfachen, und wir werden zu letzteren kommen. Ordnen wir zunächst das Gleichungssystem um und fügen wir den redundanten Multiplikator von 1 vor dem b Koeffizient.

Nun können wir das System in Matrixform bringen:

Und mit linearer Algebra können wir lösen.

Hier verwende ich Matrixinversion, um nach den konstanten Termen aufzulösen. Sie könnten die Gleichung mit einer erweiterten Matrix aufstellen und die Gaußsche Elimination wie folgt verwenden:

Oder lösen Sie das System mit der Cramerschen Regel.

Unabhängig davon sind die Ergebnisse die gleichen, aber die Verwendung der Matrixdarstellung erleichtert die Anwendung der Mathematik auf Polynome höherer Ordnung.

Nun zum überbestimmten System. Nehmen wir an, wir haben jetzt 3 Datenpunkte statt zwei, und diese Punkte sind: (0,1, 0,1), (0,35, 0,45) und (0,6, 0,8).

Am Ende haben wir 3 Gleichungen und zwei Unbekannte. Das sind zu viele Daten. Wenn diese Punkte auf derselben Linie liegen, könnten wir einfach eine der Gleichungen ignorieren. Wenn dies jedoch nicht der Fall ist, benötigen wir eine Methode zur Berechnung von Koeffizienten, die alle unsere Datenpunkte berücksichtigt. Hier kommen die kleinsten Quadrate ins Spiel.

Um einen Ansatz der kleinsten Quadrate durchzuführen, müssen wir eine Residuenfunktion definieren. Dies ist eine Funktion, die den Fehlerbetrag zwischen unseren wahren Daten und den von unserer Schätzfunktion erzeugten angibt. Nehmen wir als sehr einfaches Beispiel an, wir haben den Datenpunkt (10,8) und unsere Linienfunktion ist ja = 2 x - 12. Füllen Sie dies aus für x = 10 und wir erhalten ja = 2 (10) - 12 = 6. Das Residuum ist die Differenz zwischen dem beobachteten Wert (8) und dem geschätzten Wert (6) oder 8 &ndash 6 = 2. Für jeden Punkt (xich, jaich) in der Zeile wäre das Residuum:

Wo ich ist der Index in die Menge bekannter Datenpunkte. Wir können dies für alle bekannten Datenpunkte verallgemeinern:

Tatsächlich können wir es für jede Funktion verallgemeinern:

Betrachten wir nun, dass wir eine Menge von Datenpunkten haben. Was sagt uns der Rest? Nun, für jeden Datenpunkt bezeichnet das Residuum den Fehlerbetrag zwischen unserer Schätzung und den wahren Daten. Wie sieht es mit dem Gesamtfehler aus? Um dies zu erhalten, könnten wir einfach den Fehler für alle Datenpunkte aufsummieren. Der Fehler kann jedoch positiv oder negativ sein. Wir könnten also am Ende viele Fehler haben, die gleichmäßig zwischen negativen und positiven Werten verteilt sind. Wenn unser Fehler beispielsweise (6, -8, 2) wäre, wäre unsere Gesamtfehlersumme 0. Dies gibt also keinen guten Hinweis auf einen Fehler. Wir könnten den absoluten Wert aller Fehler summieren. Der Absolutwert entspricht:

Dann würde unsere (6, -8, 2) absolute Fehlersumme 16 ergeben, und das ist eher das, was wir wollen. Da wir nur eine Fehleranzeige wollen, können wir die Quadratwurzel weglassen, da die Quadratfunktion ausreicht, um den gesuchten immer positiven Wert zu erzeugen.Es gibt noch einen anderen Grund, nur das Quadrat zu verwenden, der später klar wird.

Nun, da wir eine Funktion haben, die das Residuum misst, was machen wir damit? Nun, wenn wir versuchen, eine Funktion zu erstellen, die einen Datensatz modelliert, möchten wir, dass das Residuum so klein wie möglich ist und wir möchten es minimieren. Dies würde eine Funktion erzeugen, die so wenig wie möglich von den beobachteten Daten abweicht.

Um dies zu minimieren, müssen wir in der Lage sein, die Koeffizienten der Funktion zu modifizieren, da die Koeffizienten die Variablen sind, die wir manipulieren müssen, um die beste Anpassung zu finden. In unserer Linienfunktion ja = m x + b, die Koeffizienten sind ich und b. Das Quadrieren der Residuen hat einen zusätzlichen Vorteil und das Quadrat der Residuen bildet eine Parabel. Um zu sehen, warum dies nützlich ist, betrachten Sie ein Polynom 1. Grades mit drei bekannten Punkten (10, 8, 11). Machen wir die Funktion:

Du wirst bemerken x wird nicht verwendet, aber das ist legitim. Verwenden Sie dies, um die Residuenfunktion zu konstruieren:

Und erweitern Sie dies für unsere Daten:

Wenn wir alles multiplizieren und ähnliche Begriffe sammeln, erhalten wir:

Stellen Sie nun diese Funktion graphisch dar, aber verwenden Sie c0 als Variable:

Der Graph ist eine Parabel. Eine Parabel hat immer einen und nur einen niedrigsten Punkt und den Scheitelpunkt. Der niedrigste Punkt ist der Punkt mit dem geringsten Fehler. Wenn wir also Koeffizienten finden, die den Scheitelpunkt ergeben, haben wir die Koeffizienten, die den geringsten Fehler erzeugen.

Es ist einfach, den Scheitelpunkt einer Parabel für eine Funktion mit einem einzigen Koeffizienten zu finden. Nehmen Sie die Ableitung der Funktion und finden Sie heraus, wo diese Funktion gleich Null ist. Dies funktioniert, weil jedes Mal, wenn die Ableitung einer Funktion gleich Null ist, dieser Punkt entweder ein lokales Maximum oder Minimum ist. Eine Parabel hat nur einen solchen Punkt: das Minimum.

Beginnen Sie in unserem Beispiel mit der Ableitung:

Und setze dies gleich Null:

Der Koeffizient, der am besten zu diesen Daten passt, ist also c0 = 9 2/3. Unsere Funktion lautet dann:

Wir haben gerade ein 0-Grad-Polynom mit Hilfe der kleinsten Quadrate gelöst, und unser Koeffizient ist der Durchschnitt unseres Datensatzes:

Wie bereits erwähnt, ist der Mittelwert eine polynomische Regression mit einem Polynom von 0 Grad. Der Grund, warum dieses Beispiel ausgearbeitet wurde, war, dass es leicht zu visualisieren ist. Eine Funktion mit mehr als einem Koeffizienten erzeugt eine mehrdimensionale Gleichung. Zum Beispiel hat die Linienfunktion zwei Koeffizienten, ich und b. Die Restquadratfunktion erzeugt ein Paraboloid.

Dies ist der Graph eines einfachen Paraboloids. Es gibt immer noch ein Gesamtminimum&ndash den Boden der Schalenform&ndash, aber es gibt zwei Variablen, um das Minimum zu finden. Dies gilt für Funktionen mit drei oder mehr Koeffizienten, aber wir können diese nicht grafisch darstellen, um eine Demonstration zu machen.

Um das Minimum dieser Probleme zu finden, kann die Ableitung immer noch verwendet werden, aber wir müssen in Bezug auf jeden Koeffizienten partielle Ableitungen verwenden. Daraus ergibt sich für jeden Koeffizienten eine Gleichung, und das ist sinnvoll. Um ein Gleichungssystem zu lösen, benötigen wir für jeden unbekannten Term eine Gleichung. Und mit dieser Methode bekommen wir genau das.

Für die Linienfunktion benötigen wir die partielle Ableitung nach ich und in Bezug auf b. Lassen Sie uns dieses Setup für das Residuum für eine überbestimmte Funktion ausführen. Zuerst die Linienfunktion:

Nun die Restquadratsumme, wenn es nein bekannte Punkte:

Lassen Sie uns dies mit den drei zuvor erwähnten bekannten Punkten durcharbeiten: (0.1,0.1), (0.35,0.45) und (0.6,0.8)

Zum Minimieren müssen wir die partielle Ableitung der Funktion r bezüglich der beiden Koeffizienten, ich und b.

Setzen Sie nun diese partiellen Ableitungen gleich Null:

Wir haben jetzt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Mit ein wenig Umordnung können wir dies in Matrixform bringen. Zuerst verschwindet die 6, indem sie in die andere Seite geteilt wird:

Als nächstes verschieben wir die Konstante auf die rechte Seite:

Platziere nun die Gleichungen in einer Matrix:

In diesem Beispiel haben alle Punkte die gleiche Steigung und den gleichen Schnittpunkt. Unten ist ein Diagramm der 3 Datenpunkte und die Regressionslinie mit der berechneten Steigung und dem Achsenabschnitt ich und b beziehungsweise.

Wir hätten einfach eine der Gleichungen fallen lassen und zum gleichen Ergebnis kommen können. Diese Methode funktioniert jedoch, wenn jeder der Punkte leicht von der Steigung und dem Schnittpunkt abweicht, und berechnet Werte für ich und b so dass sie die kleinste Restmenge haben.

Während die obigen Schritte für unseren einen Satz von Punkten funktionieren, versuchen wir, eine verallgemeinerte Version der Regressionsgleichung für die Linienfunktion zu erstellen. Wir beginnen wieder mit der Summe des Residuenquadrats:

Nehmen Sie die partielle Ableitung der Funktion r bezüglich der beiden Koeffizienten, ich und b.

Setzen Sie diese partiellen Ableitungen gleich Null:

Es sieht ein wenig chaotisch aus, aber wir haben tatsächlich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wir können dies in eine Matrix umwandeln, damit es gelöst werden kann. Dazu sind einige Umordnungen erforderlich. Zuerst einige Erweiterungen:

Verschieben Sie die Konstanten aus den Summationen:

Wir können die Summation der Konstanten 1 reduzieren:

Verschieben Sie alle Teile, die mit ja zur rechten Seite der Gleichung:

Von hier aus ist es einfach, die Gleichungen in Matrixform zu platzieren:

Die 2 kann ausgeklammert werden und hebt auf beiden Seiten auf.

Was uns bleibt, ist genau die Matrixdefinition der linearen Regression. Um dies zu testen, verwenden wir die drei Datenpunkte von oben: (0.1,0.1), (0.35,0.45) und (0.6,0.8). Zuerst benötigen wir die berechneten Daten:

Tragen Sie nun diese Daten in die Matrix ein:

Beide Methoden stimmen also miteinander überein. Wir können diesen Vorgang für ein Polynom beliebiger Gradzahl wiederholen. Versuchen wir es mit einem Polynom 2. Grades, um die Ergebnisse für die quadratische Regression zu erhalten.

Zuerst die quadratische Funktion:

Nun die Summe der Quadrate für nein bekannte Datenpunkte:

Es gibt drei partielle Ableitungen, da es drei Koeffizienten gibt.

Setze die partiellen Ableitungen gleich null.

Eliminiere die 2, teile die Summen und bewege dich ja Nach rechts:

Konstanten reduzieren und herausziehen:

Und in Matrixform übersetzen:

Wir erhalten die Ergebnisse für die quadratische Regression in Matrixform. Es gibt eine Musterbildung, die wir durch Verallgemeinerung der partiellen Ableitung deutlicher sehen können:

Wo ich der Grad des Polynoms ist und nein ist die Anzahl der bekannten Datenpunkte. Dies führt, wenn Sie der Mathematik folgen, zu einer verallgemeinerten Matrix:

Dies ist die Matrixdarstellung der Polynomregression für Polynome beliebigen Grades. Und das ist es. Ein überbestimmtes System wird gelöst, indem eine Residuenfunktion erzeugt wird, das Quadrat des Residuums, das eine Parabel/Paraboloid bildet, summiert und die Koeffizienten durch Ermitteln des Minimums der Parabel/Paraboloid gefunden werden.

Implementierung

Es gibt zwei Probleme, die sich auf die vollständige Implementierung der polynomialen Regression auswirken. Zuerst wird das Gleichungssystem gelöst. In Software funktioniert die Verwendung einer erweiterten Matrix und anschließender Gaußscher Elimination gut, aber die auf dem Papier so trivialen Zeilenoperationen werden in Software etwas komplizierter.

Das zweite Problem betrifft nur Polynome höheren Grades. Die Summen werden sehr groß. Zum Beispiel benötigt ein Polynom 2. Grades (quadratisch) eine Summe von x 4 . Ein Polynom 3. Grades benötigt x 6 und ein Polynom 8. Grades bis zu x 16 . Diese Summen werden schnell groß (oder sehr klein) und können Ergebnisse haben, die über das hinausgehen, was in herkömmlichen Gleitkommazahlen gespeichert werden kann. Um dies zu bewältigen, muss die Implementierung eine Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit verwenden.


Faktorisieren von Polynomen

Wenn Zahlen miteinander multipliziert werden, heißt jede der Zahlen, die multipliziert werden, um das Produkt zu erhalten, a Faktor. Manchmal ist es wünschenswert, ein Polynom als Produkt bestimmter seiner Faktoren zu schreiben. Diese Operation heißt Factoring. Hier interessieren wir uns für die Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.

Ein Polynom heißt komplett faktorisiert wenn es als Produkt von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten ausgedrückt wird und keiner der Faktoren noch als Produkt zweier Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten geschrieben werden kann.

Es folgt eine Diskussion der Faktorisierung einiger spezieller Polynome.

Gemeinsame Faktoren für alle Begriffe

Das größter gemeinsamer Teiler (GCF) einer Menge von ganzen Zahlen ist als die größte ganze Zahl definiert, die jede Zahl dieser Menge von ganzen Zahlen teilt.

Der GCF kann wie folgt abgerufen werden:

1. Zerlegen Sie die ganzen Zahlen in ihre Primfaktoren.

2. Schreiben Sie die Faktoren in Exponentenform.

3. Nimm die gemeinsamen Basen jeweils auf ihren niedrigsten Exponenten.

Finden Sie den GCF von 30, 45, 60.

Die gemeinsamen Basen sind 3 und 5.

Der kleinste Exponent von 3 ist 1 und von 5 ist 1 .

Der größte gemeinsame Faktor einer Menge von Monomen kann gefunden werden, indem man das Produkt des GCF der Koeffizienten der Monome und der gemeinsamen Literalbasen bildet. jeweils zu seinem niedrigsten Exponenten.

Ermitteln Sie den GCF von 9x^(3)y^(2) , 12x^4y , -15x^5 .

Die gemeinsamen Basen sind 3 und x .

Der kleinste Exponent von 3 ist 1 und von x ist 3 .

Finden Sie den GCF von 6a^4(x - y)^2 , 9a^3(x - y)^3 , 12a^2(x - y)^4 .

Die gemeinsamen Basen sind 3 , a und (x - y).

Der kleinste Exponent von 3 ist 1, von a ist 2 und von (x - y) ist 2 .

Hinweis Da (1 – x) = – (x – 1) ist, ist der GCF von a(x – 1), b(1 – x) entweder (x – 1) oder (1 – x) .

Wenn die Terme eines Polynoms einen gemeinsamen Faktor haben, gilt das Distributivgesetz,

ab_1+ab_2+ab_3+. +ab_n=a(b_1+b_2+b_3+.b_n)

wird verwendet, um das Polynom zu faktorisieren. Ein Faktor ist der größte gemeinsame Faktor aller Terme des Polynoms. Der andere Faktor ist der gesamte Quotient, den man erhält, indem man jeden Term des Polynoms durch den gemeinsamen Faktor dividiert, d.h.

ab_1+ab_2+ab_3+. +ab_n=a((ab_1)/a+(ab_2)/a+(ab_3)/a. +(ab_n)/a)

Faktorisieren Sie den Ausdruck 3a^2 - a .

Der größte gemeinsame Faktor ist ein .

Faktorisieren Sie das Polynom 6x^(3)y^(2) + 12x^(2)y^(2) - 24xy^(2) .

Der größte gemeinsame Faktor ist 6xy^2 .

6x^(3)y^(2) + 12x^(2)y^(2) - 24xy^(2) = 6xy^2((6x^(3)y^(2))/(6xy^2) +(12x^(2)y^(2))/(6xy^2)-(24xy^2)/(6xy^2)

Faktorisieren Sie das Polynom 4x^2(2x - 1) - 8x(2x - 1)^2 .

Der größte gemeinsame Faktor ist 4x(2x - 1) .

4x^2(2x - 1) - 8x(2x - 1)^2 = 4x(2x - 1)[(4x^2(2x-1))/(4x(2x-1))-(8x(2x- 1)^2)/(4x(2x-1))

So löst unser Faktorisierungsrechner das obige Problem. Sie können sehen, dass ähnliche Probleme gelöst wurden, indem Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen" klicken.

Faktorisieren eines Binomials

Die Methoden zum Faktorisieren von Polynomen werden entsprechend der Anzahl der Terme im zu faktorisierenden Polynom vorgestellt.

Ein Monom liegt bereits in faktorisierter Form vor, daher ist die erste Art von Polynom, die für die Faktorisierung in Betracht gezogen wird, ein Binomial. Hier werden wir die Faktorisierung einer Art von Binomialen diskutieren.

Quadrate und Quadratwurzeln

Die Quadrate der Zahlen 3 , 5^2 , a , x^2 und b^3

sind 3^2 , 5^4 , a^2 , x^4 und b^6

Die 3 , 5^2 , a , x^2 und b^3 heißen die Quadratwurzeln von 3^2 , 5^4 , a^2 , x^4 bzw. b^6 .

Die Quadratwurzel einer Zahl a wird bezeichnet mit . Das &radikal heißt a Wurzelzeichen, die 2 heißt die Index, und das a heißt das Radikand. Wenn kein Index geschrieben ist, wird der Index 2 impliziert.

Obwohl das Quadrat von (+ 3) und (- 3) 9 ist, meinen wir, wenn wir über die Quadratwurzel von 9 sprechen, die positive Zahl 3 und nicht die negative Zahl (-3) .

Eine Zahl heißt a Perfektes Viereck wenn seine Quadratwurzel eine rationale Zahl ist.

Die Quadratwurzel einer bestimmten Zahl kann gefunden werden, indem man die Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt, sie in Exponentenform schreibt und dann jede Basis auf die Hälfte ihres ursprünglichen Exponenten nimmt (wenn wir eine Zahl quadrieren, multiplizieren wir ihren Exponenten um 2).

1. Wurzel(64) = Wurzel(2^6) = 2^3 = 8

2. Wurzel(144) = Wurzel(2^(4)*3^(2) = 2^2*3^1 = 12

Wenn a eine buchstäbliche Zahl ist und n N , wir definieren root(a^(2n)) als (root(a))^(2n) = a^n . Wenn der Exponent nicht durch 2 teilbar ist, ist die Zahl kein perfektes Quadrat.

1. Wurzel(a^4) = a^2

2. Wurzel(x^(2)y^(6)) = xy^3

3. Wurzel(4x^(2)y^(4)) = 2xy^2

Die Zahlen 2, 3, 5, 7, 8, 10 usw. sind keine perfekten Quadratzahlen. Das bedeutet, dass es keine rationalen Zahlen gibt, deren Quadrate 2 , 3 , 5 usw. sind.

Die Quadratwurzeln von Zahlen, die keine perfekten Quadrate sind, heißen irrationale Zahlen.

Differenz von zwei Quadraten

Das Produkt der beiden Faktoren (a + b)(a - b) ist a^2 - b^2 , die Differenz zweier perfekter quadratischer Terme. Die Faktoren der Differenz zweier Quadrate sind die Summe und die Differenz der jeweiligen Quadratwurzeln der beiden Quadrate.

Die Quadratwurzel von 9a^2 ist 3a und von 4 ist 2 .
Daher 9a^2 - 4=(3a + 2)(3a - 2)

Hinweis Denken Sie daran, das Polynom vollständig zu faktorisieren.

Faktor x^4 - 81y^4 vollständig.

Hinweis Bevor Sie prüfen, ob das Binomial eine Differenz von zwei Quadraten ist, prüfen Sie, ob ein gemeinsamer Faktor vorhanden ist. Dies ist immer die erste Operation, die durchgeführt wird.

Hinweis (a + b) (a - b) = (a - b) (a + b)

Faktorisieren eines Trinoms

Das Faktorisieren von Trinomen wird in zwei Fälle unterteilt:

1. Wenn das Trinom die Form x^2 + bx + c hat, b , c &isin ich, b!=0 , c!=0 .

2. Wenn das Trinom die Form ax^2 + bx + c hat, ist a!=1 , a , b , c &isin ich, b!=0 , c!=0 .

Trinome der Form , b, c &isin ich, und b &ne 0, c &ne 0

Betrachten Sie die folgenden Produkte:

Wir stellen die folgenden Beziehungen zwischen den Produkten und ihren Faktoren fest:

1. Der erste Term in jedem Faktor ist die Quadratwurzel des Quadratterms im Trinom.

2. Das Produkt der zweiten Terme der Faktoren ist der dritte Term im Trinom.

3. Die Summe der zweiten Terme, vorzeichenbehaftete Zahlen, ist der Koeffizient des mittleren Termes im Trinom.

Hinweis &emsp&emspUm die zweiten Terme in den Faktoren zu finden, suchen Sie nach zwei vorzeichenbehafteten Zahlen, deren Produkt der dritte Term im Trinom und deren Summe der Koeffizient des mittleren Termes im Trinom ist.

Hinweis &emsp&emspWenn das Vorzeichen des dritten Termes im Trinom Plus ist, haben die beiden vorzeichenbehafteten Zahlen gleiche Vorzeichen und sind gleich dem Vorzeichen des mittleren Termes im Trinom.

Hinweis&emsp&emsp Wenn das Vorzeichen des dritten Termes im Trinom minus ist, haben die beiden vorzeichenbehafteten Zahlen unterschiedliche Vorzeichen und die größere hat numerisch das Vorzeichen des mittleren Termes im Trinom.

Der erste Term jedes Faktors ist root(x^2) = x

Da das Vorzeichen des letzten Termes (+15) Plus ist, haben die beiden vorzeichenbehafteten Zahlen in den Faktoren gleiche Vorzeichen.

Da das Vorzeichen des Mittelterms (+8x) plus ist, sind die beiden vorzeichenbehafteten Zahlen positiv.

Wir suchen nach zwei natürlichen Zahlen, deren Produkt 15 ist und deren Summe 8 ist. Die beiden Zahlen sind 3 und 5.

Der erste Term jedes Faktors ist root(x^2) = x

Da das Vorzeichen des letzten Termes (+24) Plus ist, haben die beiden vorzeichenbehafteten Zahlen in den Faktoren gleiche Vorzeichen.

Da das Vorzeichen des mittleren Termes (-10x) minus ist, sind die beiden vorzeichenbehafteten Zahlen negativ.

Wir suchen nach zwei natürlichen Zahlen, deren Produkt 24 und deren Summe 10 ist. Die beiden Zahlen sind 4 und 6.

Da das Vorzeichen des letzten Termes (-36) ein Minus ist, haben die beiden Zahlen in den Faktoren unterschiedliche Vorzeichen.

Da das Vorzeichen des mittleren Termes (-5x) minus ist, hat die numerisch größere Zahl das negative Vorzeichen.

x^2-5x-36 = ( x + kleinere Zahl)( x - größere Zahl)

Wir suchen nach zwei natürlichen Zahlen, deren Produkt 36 und deren Differenz 5 beträgt. Die beiden Zahlen sind 4 und 9.

Sie können unten überprüfen, wie unser Faktorisierungsrechner das obige Trinom faktorisiert. Sie können ähnliche Probleme sehen, die gelöst wurden, indem Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen" klicken.

Da das Vorzeichen des letzten Termes (-28) ein Minus ist, haben die beiden Zahlen in den Faktoren unterschiedliche Vorzeichen.

Da das Vorzeichen des mittleren Termes (+3x) Plus ist, hat die numerisch größere Zahl das Pluszeichen.

x^2+3x-28 = ( x + größere Zahl)( x - kleinere Zahl)

Wir suchen nach zwei natürlichen Zahlen, deren Produkt 28 ist und deren Differenz 3 ist. Die beiden Zahlen sind 4 und 7.

(x - y)^2 - 3(x - y) - 10 hat die Form a^2 - 3a - 10 , deren Faktoren (a - 5)(a + 2) sind.

Daher (x - y)^2 - 3(x - y) - 10 = [(x - y) - 5][(x - y) + 2

Hinweis Wenn der dritte Term des Trinoms eine große Zahl ist und seine Faktoren nicht offensichtlich sind, schreibe die Zahl als Produkt seiner Primfaktoren und bilde dann Produkte

von Faktoren mit Kombinationen der Primzahlen.

Hinweis (x + a) (x + b) = (x + b) (x + a)

Trinome der Form , a &ne 1, a, b, c &isin ich, b &ne 0, c &ne 0

Der erste Faktor links enthält den gemeinsamen Faktor 2 :

Außerdem enthält das erweiterte Produkt den gemeinsamen Faktor 2 :

Wenn ein Faktor eines Produkts einen gemeinsamen Faktor enthält, enthält das erweiterte Produkt im Allgemeinen auch diesen gemeinsamen Faktor.

Wenn andererseits kein Faktor in einem Produkt (x + 5)(3x - 2) einen gemeinsamen Faktor enthält, dann hat das expandierte Produkt 3x^2 + 13x - 10 keinen gemeinsamen Faktor. Umgekehrt, wenn die Bedingungen eines Produkts keinen gemeinsamen Faktor haben, dann auch keiner seiner Faktoren.

Um zu lernen, wie man ein Trinom der Form ax^2 + bx + c faktorisiert, schauen wir uns zunächst an, wie wir zwei Faktoren miteinander multiplizieren, um ein Produkt dieser Form zu erhalten.

Wir multiplizieren (2x + 3) (4x - 5) wie folgt:

Gehen wir dieselbe Multiplikation noch einmal durch, wie in Abbildung 6.1 gezeigt.

Die gekreuzten Pfeile wir werden uns beziehen als Schere.

Auf der linken Seite der Schere, sind Faktoren von 8x^2 , dem ersten Term des Trinoms.

Auf der rechten Seite der Schere, sind Faktoren von -15 , dem dritten Term des Trinoms.

Die Summe der Produkte in Pfeilrichtung,

ist der mittlere Term des Trinoms.

Das folgende Beispiel veranschaulicht die Verwendung der Schere beim Faktorisieren eines Trinoms

Finden Sie alle möglichen Paare von Faktoren, deren Produkt der erste Term von ist, das Trinom jeder Faktor muss die Quadratwurzel der Literalzahl enthalten. Schreiben Sie diese Faktoren auf die linke Seite der Schere.

Finden Sie alle möglichen Faktorenpaare, deren Produkt der dritte Term des Trinoms ist, ohne die Vorzeichen zu beachten, und schreiben Sie sie rechts an die Schere.

Schreiben Sie alle möglichen Anordnungen mit den Faktoren des ersten Termes und den Faktoren des dritten Termes.

Die gerade gezeigten acht Scheren geben alle möglichen Anordnungen der Faktoren des ersten Termes des Trinoms und der Faktoren des dritten Termes des Trinoms wieder.

Die Terme oben auf der Schere bilden den ersten Faktor des Produkts und die Terme auf der Unterseite der Schere bilden den zweiten Faktor des Produkts.

Da es keinen gemeinsamen Faktor im Trinom gibt. Es sollte keinen gemeinsamen Faktor zwischen den Begriffen am oberen Ende der Schere oder einen gemeinsamen Faktor zwischen den Begriffen am unteren Ende der Schere geben. Wenn die Begriffe oben oder unten in einer Anordnung einen gemeinsamen Faktor haben. diese Anordnung kann nicht die richtige sein. Anordnungen (1) , (3) , (4) , (5) , (6) und (7) haben gemeinsame Faktoren, und wir eliminieren sie.

Die Kandidaten sind nun auf zwei Arrangements beschränkt.

Der Mittelterm des Trinoms. das ist die Summe der Produkte in Pfeilrichtung. zeigt an, welche Anordnung die richtige ist.

Da die erste Anordnung x und 36x für den mittleren Term ergibt, was keine Summe von -5x ergeben kann, ist die erste Anordnung nicht die richtige. Die zweite Anordnung ergibt 9x und 4x für den mittleren Begriff, und indem wir 9x mit einem Minuszeichen und 4x mit einem Pluszeichen nehmen, erhalten wir -9x + 4x = -5x .

Daher ist die richtige Anordnung

Die Faktoren des ersten Termes des Trinoms werden immer positiv angenommen. Um also zu -9x zu gelangen, muss die 3 auf der rechten Seite der Schere negativ und die 2 positiv genommen werden, um +4x zu erhalten. Die komplette Anordnung ist

Daher 6x^2 - 5x - 6 = (2x - 3)(3x + 2)

Hinweis Wenn das Trinom einen gemeinsamen Faktor hat, faktorisieren Sie ihn zuerst, bevor Sie versuchen, mit der Schere zu faktorisieren.

Hinweis Es gibt keinen Grund, eine Anordnung mit einem gemeinsamen Faktor zwischen den oberen Termen oder einem gemeinsamen Faktor zwischen den unteren Termen zu schreiben.

Hinweis Wenn der Koeffizient des ersten Termes oder des dritten Termes des Trinoms eine große Zahl ist, schreibe die Zahl als Produkt seiner Primfaktoren und bilde Produkte der Faktoren unter Verwendung von Kombinationen der Primzahlen.

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1. Warum sollte man NCERT Books for Class 10 Mathe Kapitel 2 lesen?

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2. Wo kann ich NCERT Books for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials PDF kostenlos herunterladen?

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Anmerkungen zu Ch 2 Polynomen| Klasse 10. Mathe

Polynome: Ein Ausdruck der Form p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . + aneinx n wobei anein ≠ 0 heißt Polynom in der Variablen x vom Grad n. wo ein0, ein2 . einnein sind reelle Zahlen und jede Potenz von x ist eine nicht negative ganze Zahl. Beispiel: 3x 2 + 5x + 3 ist ein Polynom vom Grad zwei, das keine negative ganze Zahl ist.
√x + 5 ist kein Polynom, da der Grad von x keine nicht negative ganze Zahl ist.

• Polynome der Grade 1, 2 und 3 werden als lineare, quadratische bzw. kubische Polynome bezeichnet.
(i) ax + b ist ein Polynom vom Grad 1, das als lineares Polynom bezeichnet wird.
(ii) ax 2 + bx + c ist ein Polynom vom Grad 2, das quadratisches Polynom genannt wird.
(iii) ax 3 + bx 2 + cx + d ist ein kubisches Polynom 3. Grades.

Nullpolynom: Ein Polynom vom Grad Null heißt Nullpolynom. Oder,
Ein Polynom, das nur einen konstanten Term enthält, heißt Nullpolynom.
Beispiel: 5, ax 0 + 3

Nullpunkt eines Polynoms: Eine reelle Zahl k heißt Null eines Polynoms p(x), wenn p(k) = 0.
Beispiel: -3/2 heißt Nullpunkt eines Polynoms p(x) = 2x + 3, weil p(-3/2) = 2x + 3.
(i) Ein lineares Polynom hat höchstens eine Nullstelle.
(ii) Ein quadratisches Polynom hat höchstens zwei Nullstellen.
(iii) Ein kubisches Polynom hat höchstens drei Nullstellen.
(iv) Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.

Für quadratisches Polynom: Wenn α,β Nullstellen des Polynoms p(x) = ax 2 + bx + c sind, dann gilt:
(i) Summe der Nullen = α + β = -b / a = (-Koeffizient von x) / (Koeffizient von x 2 )
(ii) Produkt der Nullstellen = α.β = c / a = (konstanter Term) / (Koeffizient von x 2 )
(iii) Ein quadratisches Polynom, dessen Nullstellen α und β sind, ist gegeben durch:
p(x) = k[x 2 - (α+β)x + αβ] wobei k eine beliebige reelle Zahl ist.

Für kubisches Polynom: Wenn α,β und γ Nullstellen des Polynoms p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d sind, dann gilt:
(i) α + β + γ = -b / a = (-Koeffizient von x 2 ) / (Koeffizient von x 3 )
(ii) αβ + βγ + γα = c / a = (konstanter Term von x) / (Koeffizient von x 3 )
(iii) α.β.γ = -d / a = (-konstanter Term) / (Koeffizient von x 3 )
(iv) Ein kubisches Polynom, dessen Nullstellen α, β und γ sind, ist gegeben durch:
p(x) = k[x 3 - (α+β+γ)x 2 + (αβ+βγ+γα)x - αβγ] wobei k eine beliebige reelle Zahl ist.

Divisionsalgorithmus: Wenn p(x) und g(x) zwei beliebige Polynome mit g(x) ≠ 0 sind, dann können wir Polynome q(x) und r(x) finden, so dass:
p(x) = g(x) × q(x) + r(x), wobei r(x) = 0 oder Grad r(x) < Grad g(x).


12: Polynome - Mathematik

In diesem Abschnitt beginnen wir mit Polynomen. Polynome werden in so ziemlich jedem Abschnitt jedes Kapitels im Rest dieses Materials auftauchen und daher ist es wichtig, dass Sie sie verstehen.

Wir starten mit Polynome in einer Variablen. Polynome in einer Variablen sind algebraische Ausdrücke, die aus Termen der Form (a) wobei (n) nicht negativ ist (d.h. positive oder null) ganze Zahl und (a) ist eine reelle Zahl und heißt Koeffizient des Begriffs. Das Grad eines Polynoms in einer Variablen ist der größte Exponent im Polynom.

Beachten Sie, dass wir oft den Teil „in einer Variablen“ weglassen und einfach Polynom sagen.

Hier sind Beispiele für Polynome und ihre Grade.

Ein Polynom muss also nicht alle Potenzen von (x) enthalten, wie wir im ersten Beispiel sehen. Polynome können auch aus einem einzigen Term bestehen, wie wir im dritten und fünften Beispiel sehen.

Das letzte Beispiel sollten wir wohl noch ein wenig besprechen. Dies ist wirklich ein Polynom, auch wenn es nicht so aussieht. Denken Sie daran, dass ein Polynom jeder algebraische Ausdruck ist, der aus Termen der Form (a). Eine andere Möglichkeit, das letzte Beispiel zu schreiben, ist

Auf diese Weise geschrieben macht es klar, dass der Exponent auf (x) eine Null ist (dies erklärt auch den Grad…) und so können wir sehen, dass es wirklich ein Polynom in einer Variablen ist.

Hier sind einige Beispiele für Dinge, die keine Polynome sind.

Der erste ist kein Polynom, da er einen negativen Exponenten hat und alle Exponenten in einem Polynom positiv sein müssen.

Um zu sehen, warum das zweite kein Polynom ist, schreiben wir es ein wenig um.

Indem wir die Wurzel in die Exponentenform umwandeln, sehen wir, dass es im algebraischen Ausdruck eine rationale Wurzel gibt. Alle Exponenten im algebraischen Ausdruck müssen nicht negative ganze Zahlen sein, damit der algebraische Ausdruck ein Polynom ist. Als allgemeine Faustregel gilt, dass ein algebraischer Ausdruck mit einem Radikal kein Polynom ist.

Schreiben wir auch das dritte um, um zu sehen, warum es kein Polynom ist.

Dieser algebraische Ausdruck hat also wirklich einen negativen Exponenten und wir wissen, dass das nicht erlaubt ist. Eine weitere Faustregel lautet, dass der algebraische Ausdruck kein Polynom ist, wenn der Nenner eines Bruchs Variablen enthält.

Beachten Sie, dass dies nicht bedeutet, dass Radikale und Brüche in Polynomen nicht zulässig sind. Sie können die Variablen einfach nicht einbeziehen. Das Folgende ist zum Beispiel ein Polynom

Es gibt viele Radikale und Brüche in diesem algebraischen Ausdruck, aber die Nenner der Brüche sind nur Zahlen und die Radikanden jedes Radikals sind nur Zahlen. Jedes (x) im algebraischen Ausdruck erscheint im Zähler und der Exponent ist eine positive (oder null) ganze Zahl. Daher ist dies ein Polynom.

Werfen wir als nächstes einen kurzen Blick auf Polynome in zwei Variablen. Polynome in zwei Variablen sind algebraische Ausdrücke, die aus Termen der Form (a). Der Grad jedes Termes in einem Polynom in zwei Variablen ist die Summe der Exponenten in jedem Term und der Grad des Polynoms ist die größte solche Summe.

Hier sind einige Beispiele für Polynome in zwei Variablen und ihre Grade.

In dieser Art von Polynomen muss nicht jeder Term sowohl (x)'s als auch (y)'s enthalten, tatsächlich brauchen sie, wie wir im letzten Beispiel sehen, keine Terme, die . enthalten sowohl (x)'s als auch (y)'s. Der Grad des Polynoms kann auch von Termen stammen, die nur eine Variable beinhalten. Beachten Sie auch, dass mehrere Begriffe den gleichen Grad haben können.

Wir können auch über Polynome in drei Variablen oder vier Variablen oder so vielen Variablen sprechen, wie wir benötigen. Die überwiegende Mehrheit der Polynome, die wir in diesem Kurs sehen werden, sind Polynome in einer Variablen und daher werden die meisten Beispiele im Rest dieses Abschnitts Polynome in einer Variablen sein.

Als nächstes müssen wir einige Terminologien aus dem Weg räumen. EIN Monom ist ein Polynom, das aus genau einem Term besteht. EIN Binomial- ist ein Polynom, das aus genau zwei Termen besteht. Schließlich a trinomial ist ein Polynom, das aus genau drei Termen besteht. Wir werden diese Begriffe hin und wieder verwenden, sodass Sie wahrscheinlich zumindest ein wenig mit ihnen vertraut sind.

Jetzt müssen wir über das Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren von Polynomen sprechen. Sie werden bemerken, dass wir die Division von Polynomen weggelassen haben. Dies wird in einem späteren Abschnitt besprochen, in dem wir häufig die Polynomdivision verwenden werden.

Bevor wir diese Diskussion beginnen, müssen wir uns an das Verteilungsgesetz erinnern. Dies wird im Rest dieses Abschnitts wiederholt verwendet. Hier gilt das Verteilungsgesetz.

Wir beginnen mit dem Addieren und Subtrahieren von Polynomen. Dies geschieht wahrscheinlich am besten mit ein paar Beispielen.

Das erste, was wir tun sollten, ist, die Operation aufzuschreiben, zu der wir aufgefordert werden.

[links( <6- 10 + x - 45> ight) + left( <13- 9x + 4> echts)]

In diesem Fall sind die Klammern nicht erforderlich, da wir die beiden Polynome addieren. Sie sind einfach dazu da, die Operation, die wir durchführen, zu verdeutlichen. Um zwei Polynome zu addieren, tun wir nur kombiniere ähnliche Begriffe. Das bedeutet, dass wir für jeden Term mit demselben Exponenten den Koeffizienten dieses Termes addieren oder subtrahieren.

Lassen Sie uns noch einmal die Operation aufschreiben, die wir hier durchführen. Wir müssen auch sehr vorsichtig mit der Reihenfolge sein, in der wir die Dinge aufschreiben. Hier ist die Operation

Diesmal sind die Klammern um den zweiten Term unbedingt erforderlich. Wir subtrahieren das gesamte Polynom und die Klammer muss vorhanden sein, um sicherzustellen, dass wir tatsächlich das gesamte Polynom subtrahieren.

Bei der Subtraktion machen wir als erstes Verteile das Minuszeichen durch die Klammer. Das bedeutet, dass wir bei jedem Term im zweiten Polynom das Vorzeichen ändern. Beachten Sie, dass wir hier nur eine „-1“ mit dem zweiten Polynom unter Verwendung des Distributivgesetzes multiplizieren. Nachdem wir das Minus durch die Klammern verteilt haben, kombinieren wir wieder ähnliche Terme.

Hier ist die Arbeit für dieses Problem.

Beachten Sie, dass manchmal ein Begriff nach dem Durchkämmen ähnlicher Begriffe wie das (x) hier vollständig herausfällt. Dies wird gelegentlich passieren, also sei nicht aufgeregt, wenn es passiert.

Kommen wir nun zur Multiplikation von Polynomen. Auch hier ist es am besten, dies in einem Beispiel zu tun.

  1. (4left( <- 6x + 2> echts))
  2. (left( <3x + 5> ight)left( Recht))
  3. (links( <4- x> echts)links( <6 - 3x> echts))
  4. (left( <3x + 7y> ight)left( Recht))
  5. (left( <2x + 3> ight)left( <- x + 1> echts))

Dies ist nichts anderes als eine schnelle Anwendung des Verteilungsgesetzes.

[left( <3x + 5> ight)left( ight)]Dieses wird die FOIL-Methode verwenden, um diese beiden Binome zu multiplizieren.

Denken Sie daran, dass die FOIL-Methode nur funktioniert, wenn zwei Binome multipliziert werden. Wenn eines der Polynome kein Binomial ist, funktioniert die FOIL-Methode nicht.

Beachten Sie auch, dass wir hier nur jeden Term im zweiten Polynom mit jedem Term im ersten Polynom multiplizieren. Das Akronym FOIL ist einfach eine bequeme Möglichkeit, sich daran zu erinnern.

Auch hier werden wir dieses nur FOILIEREN.

[links( <4- x> echts)links( <6 - 3x> echts) = 24 - 12 - 6x + 3 = - 12 + 27 - 6x]

Wir können immer noch Binomie FOILIEREN, die mehr als eine Variable beinhalten, also regen Sie sich nicht über solche Probleme auf, wenn sie auftreten.

[left( <3x + 7y> ight)left( echts) = 3 - 6xy + 7xy - 14 = 3 + xy - 14]

In diesem Fall funktioniert die FOIL-Methode nicht, da das zweite Polynom kein Binomial ist. Denken Sie jedoch daran, dass das Akronym FOIL nur eine Möglichkeit war, sich daran zu erinnern, dass wir jeden Term im zweiten Polynom mit jedem Term im ersten Polynom multiplizieren.

Das ist alles, was wir hier tun müssen.

[left( <2x + 3> ight)left( <- x + 1> echts) = 2 - 2 + 2x + 3 - 3x + 3 = 2 + -x + 3]

Lassen Sie uns an einer weiteren Reihe von Beispielen arbeiten, die einige schöne Formeln für einige spezielle Produkte veranschaulichen. Wir geben die Formeln nach dem Beispiel an.

Wir können FOIL in diesem Fall verwenden, also lass uns das tun.

[left( <3x + 5> ight)left( <3x - 5> ight) = 9 - 15x + 15x - 25 = 9 - 25]

In diesem Fall fallen die mittleren Terme weg.

Denken Sie daran, dass ( ​​<4^2>= left( 4 ight)left( 4 ight) = 16). Das Quadrieren mit Polynomen funktioniert genauso. In diesem Fall haben wir also

[ ight)^2> = left( <2x + 6> ight)left( <2x + 6> ight) = 4 + 12x + 12x + 36 = 4 + 24x + 36]

Dieser ist fast identisch mit dem vorherigen Teil.

[ ight)^2> = left( <1 - 7x> ight)left( <1 - 7x> ight) = 1 - 7x - 7x + 49 = 1 - 14x + 49]

Dieser Teil soll uns daran erinnern, dass wir mit Koeffizienten vorsichtig sein müssen. Wenn wir einen Koeffizienten haben, MÜSSEN wir zuerst die Potenzierung durchführen und dann den Koeffizienten multiplizieren.

[4 echts)^2> = 4links( echts links( echts) = 4links( <+ 6x + 9> echts) = 4 + 24x + 36]

Sie können einen Koeffizienten nur dann mit Klammern multiplizieren, wenn in der Klammer ein Exponent von „1“ steht. Wenn es einen anderen Exponenten gibt, können Sie den Koeffizienten NICHT durch die Klammern multiplizieren.

Nur um den Punkt zu veranschaulichen.

Dies ist eindeutig nicht dasselbe wie die richtige Antwort, also seien Sie vorsichtig!

Die Teile dieses Beispiels verwenden alle eines der folgenden Spezialprodukte.

Achten Sie darauf, die folgenden Fehler nicht zu machen!

Dies sind sehr häufige Fehler, die Schüler oft machen, wenn sie zum ersten Mal lernen, wie man Polynome multipliziert.


12: Polynome - Mathematik

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