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5.2: Einführung in Dezimalzahlen - Mathematik

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Denken Sie daran, dass ganze Zahlen mit . konstruiert werden Ziffern.

Die Ziffern

Der Satz

[ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} onumber onumber]

heißt die Menge von Ziffern.

Als Beispiel wird die ganze Zahl 55.555 ("fünfundfünfzigtausendfünfhundertfünfundfünfzig") unter Verwendung einer einzelnen Ziffer gebildet. Die Position der Ziffer 5 bestimmt jedoch ihren Wert in der Zahl 55.555. Das erste Auftreten des

Tabelle 5.1: Stellenwert.

Ziffer 5 tritt an der Zehntausenderstelle auf, ihr Wert ist also 5 Zehntausend oder 50.000. Das nächste Vorkommen der Ziffer 5 steht an der Tausenderstelle, ihr Wert ist also 5 Tausend oder 5000. Tatsächlich ist die ganze Zahl 55.555 in erweiterter Form

50000 + 5000 + 500 + 50 + 5,

die den Wert der Ziffer 5 an jeder Stelle widerspiegelt.

Dezimalschreibweise

In Tabelle 5.1 ist der Stellenwert jedes Mal, wenn Sie eine Spalte nach links verschieben, zehnmal größer als der Stellenwert der vorhergehenden Spalte. Umgekehrt beträgt der Stellenwert jedes Mal, wenn Sie eine Spalte nach rechts verschieben, 1/10 des Stellenwerts der vorhergehenden Spalte.

Betrachten Sie nun die Dezimalzahl 12.3456, die aus drei Teilen besteht: dem Ganzzahlteil, dem Dezimalpunkt und dem Bruchteil.

Der ganzzahlige Teil der Dezimalzahl ist der Teil, der streng links vom Dezimalpunkt liegt, und der Stellenwert jeder Ziffer im ganzzahligen Teil wird durch die in Tabelle 5.1 gezeigten Spalten angegeben.

Der Nachkommateil der Dezimalzahl ist der Teil, der genau rechts vom Dezimalpunkt liegt. Wie wir in Tabelle 5.1 gesehen haben, hat jede Spalte einen Wert gleich 1/10 des Wertes der Spalte, die direkt links davon liegt. Es sollte daher nicht überraschen, dass:

  • Die erste Spalte rechts vom Komma hat den Stellenwert 1/10 (Zehntel).
  • Die zweite Spalte rechts vom Komma hat den Stellenwert 1/100 (Hundertstel).
  • Die dritte Spalte rechts vom Komma hat den Stellenwert 1/1000 (Tausendstel).
  • Die vierte Spalte rechts vom Komma hat den Stellenwert 1/10000 (Zehntausendstel).

Diese Ergebnisse sind für die Dezimalzahl 12.3456 in Tabelle 5.2 zusammengefasst.

Tabelle 5.2: Stellenwert.

Dezimalzahlen aussprechen

Die Dezimalzahl 12.3456 setzt sich zusammen aus 1 Zehner, 2 Einer, 3 Zehntel, 4 Hundertstel, 5 Tausendstel und 6 Zehntausendstel (siehe Tabelle 5.2) und kann in . geschrieben werden erweiterte Form wie

[12.3456 = 10 + 2 + frac{3}{10} + frac{4}{100} + frac{5}{1000} + frac{6}{10000}. onumber]

Beachten Sie, dass die ganzen Zahlen kombiniert werden können und die Brüche mit einem gemeinsamen Nenner geschrieben und summiert werden können.

[ egin{aligned} 12.3456 & = 12 + frac{3 cdot extcolor{red}{1000}}{10 cdot extcolor{red}{1000}} + frac{4 cdot extcolor{ rot}{100}}{100 cdot extcolor{red}{100}} + frac{5 cdot extcolor{red}{10}}{1000 cdot extcolor{10}} + frac{6 }{10000} & = 12 + frac{3000}{10000} + frac{400}{10000} + frac{50}{10000} + frac{6}{10000} & = 12 + frac{3456}{10000} end{ausgerichtet} onumber]

Das Ergebnis sagt uns, wie man die Zahl 12.3456 ausspricht. Es wird „zwölf und dreitausendvierhundertsechsundfünfzig Zehntausendstel“ ausgesprochen.

Beispiel 1

Setze die Dezimalzahl 1,234,56 in expandierter Form, kombiniere dann den ganzen Zahlenteil und summiere den Bruchteil über einen gemeinsamen Nenner. Verwenden Sie das Ergebnis, um die Dezimalzahl auszusprechen.

Lösung

In erweiterter Form,

[1, 234,56 = 1.000 + 200 + 30 + 4 + frac{5}{10} + frac{6}{100} onumber]

Summiere die ganzen Zahlenteile. Drücken Sie die Bruchteile als äquivalente Brüche aus und kombinieren Sie sie auf einem gemeinsamen Nenner.

[ egin{aligned} = 1.234 + frac{5 cdot extcolor{10}}{10 cdot extcolor{red}{10}} + frac{6}{100} = 1.234 + frac{50}{100} + frac{6}{100} = 1, 234 + frac{56}{100} end{ausgerichtet} onumber]

Daher wird 1.234,56 „eintausendzweihundertvierunddreißig und sechsundfünfzig Hundertstel“ ausgesprochen.

Übung

Platziere die Dezimalzahl 3.502,23 in expandierter Form, kombiniere dann den ganzen Zahlenteil und addiere den Bruchteil über einen gemeinsamen Nenner.

Antworten

(3.502 + frac{23}{100})

Beispiel 2

Setze die Dezimalzahl 56.128 in expandierter Form ein, kombiniere dann den ganzen Zahlenteil und summiere den Bruchteil über einen gemeinsamen Nenner. Verwenden Sie das Ergebnis, um die Dezimalzahl auszusprechen.

Lösung

In erweiterter Form,

[56.128 = 50 + 6 + frac{1}{10} + frac{2}{100} + frac{8}{1000} onumber]

Summiere die ganzen Zahlenteile. Drücken Sie die Bruchteile als äquivalente Brüche aus und kombinieren Sie sie auf einem gemeinsamen Nenner.

[ egin{aligned} = 56 + frac{1 cdot extcolor{red}{100}}{10 cdot extcolor{red}{100}} + frac{2 cdot extcolor{red} {10}}{100 cdot extcolor{red}{10}} + frac{8}{1000} = 56 + frac{100}{1000} + frac{20}{1000} + frac{8}{1000} = 56 + frac{128}{1000} end{ausgerichtet} onumber ]

Somit wird 56,128 „sechsundfünfzig und einhundertachtundzwanzig Tausendstel“ ausgesprochen.

Übung

Platziere die Dezimalzahl 235,568 in expandierter Form, kombiniere dann den ganzen Zahlenteil und summiere den Bruchteil über einen gemeinsamen Nenner.

Antworten

(235 + frac{568}{1000})

Die Diskussion und das Beispiel führen zu folgendem Ergebnis.

So lesen Sie eine Dezimalzahl

  1. Sprechen Sie den ganzen Zahlenteil links von der Dezimalstelle wie jede ganze Zahl aus.
  2. Sagen Sie das Wort „und“ für den Dezimalpunkt.
  3. Geben Sie den Nachkommateil rechts von der Dezimalstelle wie jede ganze Zahl an, gefolgt vom Stellenwert der Ziffer in der Spalte ganz rechts.

Beispiel 3

Sprechen Sie die Dezimalzahl 34.12 aus.

Lösung

Die Ziffer ganz rechts im Bruchteil von 34,12 steht in der Hundertstelspalte. Somit wird 34,12 „vierunddreißig und zwölf Hundertstel“ ausgesprochen.

Übung

28,73 . aussprechen

Antworten

„Achtundzwanzig und dreiundsiebzig Hundertstel“

Wichtiger Punkt

Bei der Aussprache von Dezimalzahlen wird der Dezimalpunkt als „und“ gelesen. Keine andere Instanz des Wortes „und“ sollte in der Aussprache vorkommen.

Beispiel 4

Erklären Sie, warum „vierhundertvierunddreißig und zwei Zehntel“ eine falsche Aussprache der Dezimalzahl 434.2 ist.

Lösung

Der Dezimalpunkt wird als „und“ gelesen. In der Aussprache ist kein anderes Vorkommen des Wortes „und“ erlaubt. Die richtige Aussprache sollte „vierhundertvierunddreißig und zwei Zehntel“ lauten.

Übung

286,9 aussprechen.

Antworten

"Vierhundertvierunddreißig und zwei Zehntel"

Beispiel 5

Sprechen Sie die Dezimalzahl 5,678,123 aus.

Lösung

Die Ziffer ganz rechts im Nachkommateil von 5.678,123 steht in der Tausendstelspalte. Daher wird 5,678,123 ausgesprochen „5tausendsechshundertachtundsiebzig und einhundertdreiundzwanzig Tausendstel“.

Übung

Sprechen Sie 7, 002.207 . aus

Antworten

Antwort: "Siebentausendzwei und zweihundertsiebentausendstel."

Beispiel 6

Sprechen Sie die Dezimalzahl 995.4325 aus.

Lösung

Die Ziffer ganz rechts im Bruchteil von 995,4325 steht in der Zehntausendstel-Spalte. Daher wird 995,4325 „neunhundertfünfundneunzig und viertausenddreihundertfünfundzwanzig Zehntausendstel“ ausgesprochen.

Übung

Sprich 500.1205 aus.

Antworten

Antwort: "Fünfhunderteintausendzweihundertfünfzehntausendstel."

Dezimalzahlen zu Brüchen

Da wir jetzt die Möglichkeit haben, Dezimalzahlen auszusprechen, ist es eine einfache Übung, eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln.1 Zum Beispiel wird 134,12 „einhundertvierunddreißig und zwölf Hundertstel“ ausgesprochen, sodass es leicht als gemischter Bruch geschrieben werden kann.

[134.12 = 134 frac{12}{100} onumber]

Aber dieser gemischte Bruch kann in einen unechten Bruch geändert werden.

[ egin{ausgerichtet} 134 frac{12}{100} & = frac{100 cdot 134 + 12}{100} & = frac{13400 + 12}{100} * = frac{13412}{100} end{ausgerichtet} onumber ]

Beachten Sie, dass der Zähler unsere ursprüngliche Zahl ohne Dezimalpunkt ist. Die ursprüngliche Zahl hat zwei Dezimalstellen und der Nenner des letzten unechten Bruches enthält zwei Nullen.

Diese Diskussion führt zu folgendem Ergebnis.

1Das Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen wird in Abschnitt 5.5 behandelt.

Dezimalzahlen in unechte Brüche ändern

Um eine Dezimalzahl in einen unechten Bruch zu ändern, gehen Sie wie folgt vor:

  1. Erstellen Sie einen Bruch.
  2. Setzen Sie die Dezimalzahl ohne Dezimalpunkt in den Zähler.
  3. Zählen Sie die Anzahl der Dezimalstellen. Setze eine gleiche Anzahl von Nullen in den Nenner.

Beispiel 7

Ändern Sie die folgenden Dezimalzahlen in unechte Brüche: (a) 1,2345 und (b) 27,198.

Lösung

Setzen Sie die Zahl jeweils ohne Dezimalpunkt in den Zähler ein. Fügen Sie im Nenner eine Anzahl von Nullen hinzu, die der Anzahl der Dezimalstellen entspricht.

a) Die Dezimalzahl 1.2345 hat vier Nachkommastellen. Daher,

[1.2345 = frac{12345}{10000} onumber]

b) Die Dezimalzahl 27.198 hat drei Nachkommastellen. Daher,

[27.198 = frac{27198}{1000} onumber]

Übung

Ändere 17.205 in einen unechten Bruch.

Antworten

(frac{17205}{100})

Beispiel 8

Ändern Sie jede der folgenden Dezimalzahlen in auf die niedrigsten Terme reduzierte Brüche: (a) 0,35 und (b) 0,125.

Lösung

Setzen Sie jede Zahl ohne Dezimalpunkt in den Zähler ein. Setzen Sie in den Nenner eine Anzahl von Nullen, die der Anzahl der Dezimalstellen entspricht. Reduzieren Sie auf die niedrigsten Bedingungen.

a) Platziere zuerst 35 über 100.

[0.35 = frac{35}{100} onumber]

Wir können Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler dividieren.

[ egin{aligned} = frac{35 div 5}{100 div 5} ~ & extcolor{red}{ ext{ Dividiere Zähler und Nenner durch 5.}} = frac{7} {20} ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfache Zähler und Nenner.}} end{aligned} onumber ]

b) Platziere zuerst 125 über 1000.

[0.125 = frac{125}{1000} onumber]

Primfaktor und löschen Sie gemeinsame Faktoren.

[ egin{aligned} = frac{5 cdot 5 cdot 5}{2 cdot 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 cdot 5} ~ & extcolor{red}{ ext{ Primfaktor Zähler und Nenner.}} = frac{ cancel{5} cdot cancel{5} cdot cancel{5}}{2 cdot 2 cdot 2 cdot cancel{5} cdot cancel{5} cdot cancel{5}} ~ & extcolor{red}{ ext{ Streiche gemeinsame Faktoren.}} = frac{1}{8} ~ & extcolor{red}{ ext { Vereinfachen.}} end{aligned} onumber ]

Übung

Ändern Sie 0,375 in einen Bruch, der auf die niedrigsten Terme reduziert wird.

Antworten

3/8

Rundung

Die Regeln zum Runden von Dezimalzahlen sind fast identisch mit den Regeln zum Runden ganzer Zahlen. Zuerst ein bisschen Terminologie.

Rundungsziffer und Prüfziffer

Die Ziffer an der Stelle, auf die gerundet werden soll, heißt Rundungsziffer und die unmittelbar rechts folgende Ziffer heißt Prüfung Ziffer.

Wenn wir die Dezimalzahl 12.254 auf das nächste Hundertstel runden möchten, dann ist die Rundungsziffer 5 und die Testziffer 4.

Wenn wir die Regeln zum Runden ganzer Zahlen verwenden würden, würden wir alle Ziffern rechts von der Rundungsziffer durch Nullen ersetzen, um die folgende Näherung zu erhalten, da die Prüfziffer 4 kleiner als 5 ist.

12.254 ≈ 12.250

Allerdings, weil

[12.250 = 12 frac{250}{1000} = 12 frac{25}{100}, onumber]

die nachgestellte Null am Ende des Nachkommateils ist irrelevant. Daher haben wir kürzen jede Ziffer nach der Rundungsziffer und verwenden Sie die folgende Näherung.

12.254 ≈ 12.25

Wichtige Beobachtung

Das Löschen von Nullen am Ende des Nachkommateils einer Dezimalzahl ändert ihren Wert nicht.

Die obige Diskussion motiviert den folgenden Algorithmus zum Runden von Dezimalzahlen.

Dezimalzahlen runden

Suchen Sie die Rundungsziffer und der Prüfziffer.

  • Wenn die Testziffer größer oder gleich 5 ist, addieren Sie 1 zur Rundungsziffer und kürzen Sie alle Ziffern rechts von der Rundungsziffer.
  • Wenn die Testziffer kleiner als 5 ist, kürzen Sie einfach alle Ziffern rechts von der Rundungsziffer.

Beispiel 9

Runde 8,7463 auf das nächste Hundertstel.

Lösung

Suchen Sie die Rundungsziffer an der Hundertstelstelle und die Testziffer direkt rechts davon.

Da die Testziffer größer als 5 ist, addieren Sie 1 zur Rundungsziffer und kürzen Sie alle Ziffern rechts von der Rundungsziffer. Daher auf das nächste Hundertstel:

8.7463 ≈ 8.75

Übung

Runde 9.2768 auf das nächste Hundertstel.

Antworten

9.28

Beispiel 10

Runde 113,246 auf das nächste Zehntel.

Lösung

Suchen Sie die Rundungsziffer an der Zehntelstelle und die Testziffer direkt rechts davon.

Da die Testziffer kleiner als 5 ist, schneiden Sie alle Ziffern rechts von der Rundungsziffer ab. Daher auf das nächste Zehntel:

113.246 ≈ 113.2

Übung

Runde 58,748 auf das nächste Zehntel.

Antworten

58.7

Dezimalstellen vergleichen

Wir können zwei positive Dezimalzahlen vergleichen, indem wir die Ziffern an jeder Stelle vergleichen, während wir uns von links nach rechts bewegen, Stelle für Stelle. Angenommen, wir möchten die Dezimalzahlen 5,234 und 5,2357 vergleichen. Fügen Sie zuerst der Dezimalzahl mit den weniger Nachkommastellen genügend nachgestellte Nullen hinzu, damit die Zahlen die gleiche Anzahl von Nachkommastellen haben. Beachten Sie in diesem Fall, dass

[ 5,234 = 5 frac{234}{1000} = 5 frac{2340}{10000} = 5,2340. onumber]

Wichtige Beobachtung

Das Hinzufügen von Nullen am Ende des Nachkommateils einer Dezimalzahl ändert ihren Wert nicht.

Als nächstes richten Sie die Zahlen wie folgt aus.

Wenn Sie die Spalten von links nach rechts durchsuchen, erscheint die erste Stelle mit unterschiedlichen Ziffern an der Tausendstelstelle, wobei die Ziffer 5 die zweite Zahl ist, die größer ist als die Ziffer 4 in der ersten Zahl an derselben Stelle. Da 5 größer als 4 ist, ist die zweite Zahl größer als die erste. Das ist:

5.234 < 5.2357

Diese Diskussion schlägt den folgenden Algorithmus vor.

Vergleichen von positiven Dezimalzahlen

  1. Fügen Sie so viele nachfolgende Nullen hinzu, dass beide Zahlen die gleiche Anzahl von Dezimalstellen haben.
  2. Vergleichen Sie die Ziffern an jeder Stelle von links nach rechts.
  3. Sobald Sie zwei unterschiedliche Stellen an derselben Stelle finden, ist die Dezimalzahl mit der größten Stelle an dieser Stelle die größere Zahl.

Beispiel 11

Vergleiche 4.25 und 4.227.

Lösung

Fügen Sie der ersten Dezimalzahl eine nachgestellte Null hinzu und richten Sie die Zahlen wie folgt aus.

Der erste Unterschied liegt an der Hundertstelstelle, wobei die Ziffer 5 der ersten Zahl größer ist als die Ziffer 2 an derselben Stelle der zweiten Zahl. Daher ist die erste Zahl größer als die zweite; das ist:

4.25 > 4.227

Übung

Vergleiche 8.34 und 8.348.

Antworten

8.34 < 8.348

Beim Vergleich negativer Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag die kleinere Zahl. Daher müssen wir unseren Algorithmus zum Vergleichen negativer Dezimalzahlen anpassen.

Vergleichen von negativen Dezimalzahlen

  1. Fügen Sie so viele nachfolgende Nullen hinzu, dass beide Zahlen die gleiche Anzahl von Dezimalstellen haben.
  2. Vergleichen Sie die Ziffern an jeder Stelle von links nach rechts.
  3. Sobald Sie zwei unterschiedliche Stellen an derselben Stelle finden, ist die Dezimalzahl mit der größten Stelle an dieser Stelle die kleinere Zahl.

Beispiel 12

Vergleiche −4,25 und −4,227.

Lösung

Fügen Sie der ersten Dezimalzahl eine nachgestellte Null hinzu und richten Sie die Zahlen wie folgt aus.

Der erste Unterschied liegt an der Hundertstelstelle, wobei die Ziffer 5 der ersten Zahl größer ist als die Ziffer 2 an derselben Stelle der zweiten Zahl. Daher ist die erste Zahl kleiner als die zweite; das ist:

−4.25 < −4.227

Übung

Vergleiche −7,86 und −7,85.

Antworten

−7.86 < −7.85

Übungen

1. Welche Ziffer steht in der Zehnerspalte der Zahl 4.552.0908?

2. Welche Ziffer steht in der Tausendstelspalte der Zahl 7.881.6127?

3. Welche Ziffer steht in der Zehnerspalte der Zahl 4,408.2148?

4. Welche Ziffer steht in der Zehnerspalte der Zahl 9.279.0075?

5. Welche Ziffer steht in der Zehntausendstelspalte der Zahl 2.709,5097?

6. Welche Ziffer steht in der Hundertstelspalte der Zahl 1.743.1634?

7. Welche Ziffer steht in der Hundertstelspalte der Zahl 3.501.4456?

8. Welche Ziffer steht in der Zehntausendstelspalte der Zahl 9.214,3625?

9. Welche Ziffer steht in der Hundertstelspalte der Zahl 5.705.2193?

10. Welche Ziffer steht in der Hundertstelspalte der Zahl 7.135.2755?

11. Welche Ziffer steht in der Zehnerspalte der Zahl 8.129.3075?

12. Welche Ziffer steht in der Tausendstelspalte der Zahl 6.971,4289?


Schreiben Sie in den Übungen 13-20 die angegebene Dezimalzahl in expandierter Form.

13. 46.139

14. 68.392

15. 643.19

16. 815.64

17. 14.829

18. 45.913

19. 658.71

20. 619.38


Befolgen Sie in den Übungen 21-28 das in den Beispielen 1 und 2 gezeigte Verfahren, um die Dezimalzahl in erweiterter Form zu schreiben, kombinieren Sie dann den ganzen Zahlenteil und summieren Sie den Bruchteil über einen gemeinsamen Nenner.

21. 32.187

22. 35.491

23. 36.754

24. 89.357

25. 596.71

26. 754.23

27. 527.49

28. 496.15


Sprechen Sie in den Übungen 29-40 die angegebene Dezimalzahl aus. Schreiben Sie Ihre Antwort in Worten auf.

29. 0.9837

30. 0.6879

31. 0.2653

32. 0.8934

33. 925.47

34. 974.35

35. 83.427

36. 32.759

37. 63.729

38. 85.327

39. 826.57

40. 384.72


Wandeln Sie in den Übungen 41-52 die angegebene Dezimalzahl in einen gemischten Bruch um. Tun nicht vereinfachen Sie Ihre Antwort.

41. 98.1

42. 625.591

43. 781.7

44. 219.999

45. 915.239

46. 676.037

47. 560.453

48. 710.9

49. 414.939

50. 120.58

51. 446.73

52. 653.877


Wandeln Sie in den Übungen 53-60 die angegebene Dezimalzahl in einen unechten Bruch um. Tun nicht vereinfachen Sie Ihre Antwort.

53. 8.7

54. 3.1

55. 5.47

56. 5.27

57. 2.133

58. 2.893

59. 3.9

60. 1.271


Wandeln Sie in den Übungen 61-68 die angegebene Dezimalzahl in einen Bruch um. Reduzieren Sie Ihre Antwort auf die niedrigsten Begriffe.

61. 0.35

62. 0.38

63. 0.06

64. 0.84

65. 0.98

66. 0.88

67. 0.72

68. 0.78


69. Runde 79,369 auf das nächste Hundertstel.

70. Runde 54.797 auf das nächste Hundertstel.

71. Runde 71,2427 auf das nächste Tausendstel.

72. Runde 59.2125 auf das nächste Tausendstel.

73. Runde 29.379 auf das nächste Zehntel.

74. Runde 42.841 auf das nächste Zehntel.

75. Runde 89,3033 auf das nächste Tausendstel.

76. Runde 9.0052 auf das nächste Tausendstel.

77. Runde 20.655 auf das nächste Zehntel.

78. Runde 53,967 auf das nächste Zehntel.

79. Runde 19.854 auf das nächste Hundertstel.

80. Runde 49.397 auf das nächste Hundertstel.


Bestimmen Sie in den Übungen 81-92, welche der beiden gegebenen Aussagen wahr ist.

81. 0,30387617 < 0,3036562 oder 0,30387617 > 0,3036562

82. 8.5934 < 8.554 oder 8.5934 > 8.554

83. –0,034 < –0,040493 oder –0,034 > –0,040493

84. −0,081284 < −0,08118 oder −0,081284 > −0,08118

85. −8.3527 < −8.36553 oder −8.3527 > −8.36553

86. −0,00786 < −0,0051385 oder −0,00786 > −0,0051385

87. 18,62192 < 18,6293549 oder 18,62192 > 18,6293549

88. 514.873553 < 514.86374 oder 514.873553 > 514.86374

89. 36,8298 < 36,8266595 oder 36,8298 > 36,8266595

90. 0,000681 < 0,00043174 oder 0,000681 > 0,00043174

91. −15.188392 < −15.187157 oder −15.188392 > −15.187157

92. −0.049785 < −0.012916 oder −0.049785 > −0.012916


93. Schreiben Sie die Dezimalzahl in Wörtern.

i) Ein kürzlich entdeckter blauer Diamant von 7,03 Karat, der bei Sotheby's versteigert wurde.

ii) Das neu gestartete europäische Planck-Teleskop wird 1,75 Jahre im Orbit bleiben und die Strahlung des Urknalls messen.

iii) Die Sonne besteht aus 0,9985 der Masse unseres Sonnensystems.

iv) Tonpartikel sind klein – nur 0,0001 Zoll.

94. Lichtgeschwindigkeit. Der Brechungsindex für ein bestimmtes Material ist ein Wert, der angibt, wie oft sich eine Lichtwelle in diesem bestimmten Material langsamer ausbreitet als im Vakuum des Weltraums.

i) Ordnen Sie die Materialien nach ihrem Brechungsindex vom niedrigsten zum höchsten an.

ii) Wie viel Mal langsamer ist eine Lichtwelle in einem Diamanten im Vergleich zu einem Vakuum?

MaterialBrechungsindex
Diamant2.417
Vakuum1.0000
Plexiglas1.51
Luft1.0003
Wasser1.333
Zirkon1.923
Kronenglas1.52
Eis1.31

95. Kürzerer Tag? Wissenschaftler des Jet Propulsion Laboratory der NASA berechneten, dass das Erdbeben in Chile die Länge eines Tages auf der Erde um 1,26 Millionstel Sekunden verkürzt haben könnte.

i) Schreiben Sie diese Zahl vollständig als Dezimalzahl.

ii) Tatsächliche Beobachtungen der Tageslänge sind auf fünf Millionstel Sekunden genau. Schreiben Sie diesen Bruch als Dezimalzahl.

iii) Vergleichen Sie die beiden obigen Dezimalstellen und bestimmen Sie, welche kleiner ist. Glauben Sie, dass Wissenschaftler die berechnete Verlangsamung der Erde beobachten und messen können?


Antworten

1. 0

3. 2

5. 7

7. 4

9. 1

11. 3

13. (40 + 6 + 1 10 + frac{3}{100} + frac{9}{1000})

15. (600 + 40 + 3 + frac{1}{10} + frac{9}{100})

17. (10 + 4 + frac{8}{10} + frac{2}{100} + frac{9}{1000})

19. (600 + 50 + 8 + frac{7}{10} + frac{1}{100})

21. (32 + frac{187}{1000})

23. (36 + frac{754}{1000})

25. (596 + frac{71}{100})

27. (527 + frac{49}{100})

29. neuntausendachthundertsiebenunddreißig Zehntausendstel

31. zweitausendsechshundertdreiundfünfzig Zehntausendstel

33. neunhundertfünfundzwanzig und siebenundvierzig Hundertstel

35. dreiundachtzig und vierhundertsiebenundzwanzig Tausendstel

37. dreiundsechzig und siebenhundertneunundzwanzig Tausendstel

39. achthundertsechsundzwanzig und siebenundfünfzig Hundertstel

41. (98 frac{1}{10})

43. (781 frac{7}{10})

45. (915 frac{239}{1000})

47. (560 frac{453}{1000})

49. (414 frac{939}{1000})

51. (446 frac{73}{100})

53. (frac{87}{10})

55. (frac{547}{100})

57. (frac{2133}{1000})

59. (frac{39}{10}|)

61. (frac{7}{20})

63. (frac{3}{50})

65. (frac{49}{50}|)

67. (frac{18}{25})

69. 79.37

71. 71.243

73. 29.4

75. 89.303

77. 20.7

79. 19.85

81. 0.30387617 > 0.3036562

83. −0.034 > −0.040493

85. −8.3527 > −8.36553

87. 18.62192 < 18.6293549

89. 36.8298 > 36.8266595

91. −15.188392 < −15.187157

93.

i) sieben und drei Hundertstel

ii) eins und fünfundsiebzig Hundertstel

iii) neuntausendneunhundertfünfundachtzig Zehntausendstel

iv) ein Zehntausendstel Zoll

95.

i) 0,000000126

ii) 0,000005

iii) 0,00000126 < 0,000005; Wissenschaftler könnten die berechnete Änderung der Tageslänge nicht messen.


Rechneraddition von Dezimalstellen

Der Taschenrechner führt grundlegende und erweiterte Operationen mit Dezimalzahlen, reellen Zahlen und ganzen Zahlen durch. Es zeigt auch detaillierte Schritt-für-Schritt-Informationen zum Berechnungsverfahren. Lösen Sie Probleme mit zwei, drei oder mehr Dezimalstellen in einem Ausdruck. Addieren, subtrahieren und multiplizieren Sie Dezimalzahlen Schritt für Schritt. Dieser Rechner verwendet Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division für Berechnungen mit positiven oder negativen Dezimalzahlen, ganzen Zahlen, reellen Zahlen und ganzen Zahlen. Dieser Online-Dezimalrechner hilft Ihnen zu verstehen, wie Sie Dezimalzahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. Der Rechner folgt den bekannten Regeln für Reihenfolge der Operationen. Die gebräuchlichsten Mnemoniken zum Erinnern an diese Reihenfolge von Operationen sind:
PEMDAS - Klammern, Exponenten, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion.
SCHLAFZIMMER - Klammern, Exponenten, Division, Multiplikation, Addition, Subtraktion
BODMAS - Klammern, Of or Order, Division, Multiplikation, Addition, Subtraktion.
GEMDAS - Gruppierungssymbole - Klammern ()<>, Exponenten, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion.
Seien Sie vorsichtig, tun Sie es immer Multiplikation und Division Vor Addition und Subtraktion. Einige Operatoren (+ und -) und (* und /) haben die gleiche Priorität und müssen dann von links nach rechts ausgewertet werden.


Dezimalstellen

Diese SMILE-Ressource enthält zwei Pakete mit Spielen, Untersuchungen, Arbeitsblättern und praktischen Aktivitäten, die das Lehren und Erlernen von Dezimalzahlen unterstützen, vom Lesen von Dezimalzahlen von einer Skala bis zum Multiplizieren von zwei Dezimalzahlen ohne Taschenrechner.

Dezimalstellen Pack eins enthält fünfzehn Arbeitskarten mit Aktivitäten, die das Ablesen von Dezimalzahlen von einer Skala, das Identifizieren von Dezimalzahlen in verschiedenen Formen, das Addieren von Dezimalzahlen auf eine Dezimalstelle, das Bilden von Folgen mit Dezimalzahlen, eine Dezimaladditionssuche und das Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen mit zehn umfassen.

Dezimalstellen Pack zwei enthält acht Arbeitskarten mit etwas anspruchsvolleren Aufgaben, bei denen die Schüler Brüche mit ihrem Dezimaläquivalent vergleichen, Dezimalzahlen subtrahieren, mit Dezimalzahlen multiplizieren und Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

SMILE (Secondary Mathematics Individualized Learning Experiment) wurde ursprünglich in den 1970er Jahren als eine Reihe praktischer Aktivitäten für Schüler der Sekundarstufe von praktizierenden Lehrern entwickelt. Es wurde ein vollständig individualisiertes Programm, das auf einem Netzwerk von Aktivitätskarten und Bewertungen basiert.

Zugehörige Ressourcen umfassen Antworten auf alle Karten sowie Testbücher und Antworten.


Inhalt

Viele Zahlensysteme der alten Zivilisationen verwenden die Zehn und ihre Kräfte zur Darstellung von Zahlen, wahrscheinlich weil es zehn Finger an zwei Händen gibt und die Menschen begannen, mit ihren Fingern zu zählen. Beispiele sind zuerst die ägyptischen Zahlen, dann die Brahmi-Zahlen, griechische Zahlen, hebräische Zahlen, römische Zahlen und chinesische Zahlen. Sehr große Zahlen waren in diesen alten Zahlensystemen schwer darzustellen, und nur die besten Mathematiker waren in der Lage, große Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren. Diese Schwierigkeiten wurden mit der Einführung des hindu-arabischen Zahlensystems zur Darstellung von ganzen Zahlen vollständig gelöst. Dieses System wurde erweitert, um einige nicht ganzzahlige Zahlen darzustellen, genannt Dezimalbrüche oder Dezimal Zahlen, zum Bilden der dezimales Zahlensystem.

Zum Schreiben von Zahlen verwendet das Dezimalsystem zehn Dezimalstellen, ein Dezimalzeichen und bei negativen Zahlen ein Minuszeichen "−". Die Dezimalstellen sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 [7] das Dezimaltrennzeichen ist der Punkt " . " in vielen Ländern, [4] [8] aber auch ein Komma " , " in anderen Ländern. [5]

Um eine nicht negative Zahl darzustellen, besteht eine Dezimalzahl aus

  • entweder eine (endliche) Ziffernfolge (wie "2017"), wobei die gesamte Folge eine ganze Zahl darstellt, a m a m − 1 … a 0 ein_ldots a_<0>>
  • oder ein Dezimalzeichen, das zwei Ziffernfolgen trennt (z. B. "20.70828")

Wenn ich > 0 , d. h. wenn die erste Folge mindestens zwei Ziffern enthält, wird im Allgemeinen angenommen, dass die erste Ziffer einich ist nicht null. Unter bestimmten Umständen kann es nützlich sein, links eine oder mehrere Nullen zu haben, dies ändert nichts an dem durch die Dezimalstelle dargestellten Wert: zum Beispiel 3,14 = 03,14 = 003,14 . Ähnlich ist es, wenn die letzte Ziffer rechts vom Dezimalzeichen Null ist – das heißt, wenn bnein = 0 – kann umgekehrt entfernt werden, nachgestellte Nullen können nach dem Dezimalzeichen hinzugefügt werden, ohne die dargestellte Zahl zu ändern [Anmerkung 1], z. B. 15 = 15,0 = 15,00 und 5,2 = 5,20 = 5,200 .

Um eine negative Zahl darzustellen, wird ein Minuszeichen vor gesetzt einich .

Das ganzzahliger Teil oder Bestandteil einer Dezimalzahl ist die ganze Zahl, die links vom Dezimaltrennzeichen steht (siehe auch Trunkierung). Bei einer nicht negativen Dezimalzahl ist dies die größte ganze Zahl, die nicht größer als die Dezimalzahl ist. Der Teil vom Dezimaltrennzeichen rechts ist der Bruchteil, die der Differenz zwischen der Zahl und ihrem ganzzahligen Teil entspricht.

Wenn der ganzzahlige Teil einer Zahl Null ist, kann es, typischerweise bei der Berechnung, vorkommen, dass der ganzzahlige Teil nicht geschrieben wird (zum Beispiel 0,1234 anstelle von 0,1234). Beim normalen Schreiben wird dies wegen der Verwechslungsgefahr zwischen dem Dezimalzeichen und anderen Satzzeichen im Allgemeinen vermieden.

Kurz gesagt hängt der Beitrag jeder Ziffer zum Wert einer Zahl von ihrer Position in der Zahl ab. Das heißt, das Dezimalsystem ist ein Positionszahlensystem.

Allgemeiner gesagt eine Dezimalzahl mit nein Ziffern nach dem Trennzeichen stellen den Bruch mit Nenner 10 . dar nein , deren Zähler die ganze Zahl ist, die durch Entfernen des Trennzeichens erhalten wird.

Daraus folgt, dass eine Zahl genau dann ein Dezimalbruch ist, wenn sie eine endliche Dezimaldarstellung hat.

Als vollständig gekürzter Bruch ausgedrückt, sind die Dezimalzahlen diejenigen, deren Nenner ein Produkt aus einer Potenz von 2 und einer Potenz von 5 ist. Somit sind die kleinsten Nenner von Dezimalzahlen

Dezimalzahlen erlauben keine exakte Darstellung für alle reellen Zahlen, z.B. für die reelle Zahl . Dennoch erlauben sie es, jede reelle Zahl mit jeder gewünschten Genauigkeit zu approximieren, z. B. nähert sich die Dezimalzahl 3,14159 dem reellen π an, da sie weniger als 10 −5 Abweichung hat, so dass Dezimalzahlen in Wissenschaft, Technik und im täglichen Leben weit verbreitet sind.

Genauer gesagt gibt es für jede reelle Zahl x und jede positive ganze Zahl n zwei Dezimalstellen L und du mit höchstens nein Ziffern nach dem Komma, so dass Lxdu und (duL) = 10 −nein .

Zahlen werden sehr oft als Ergebnis von Messungen erhalten. Da Messungen einer Messunsicherheit mit bekannter Obergrenze unterliegen, wird das Ergebnis einer Messung durch eine Dezimalzahl mit . gut dargestellt nein Stellen nach dem Komma, sobald der absolute Messfehler nach oben durch 10 − . begrenzt istnein . In der Praxis werden Messergebnisse oft mit einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen angegeben, die die Fehlergrenzen angeben. Obwohl z. B. 0,080 und 0,08 dieselbe Zahl bezeichnen, deutet die Dezimalzahl 0,080 auf eine Messung mit einem Fehler von weniger als 0,001 hin, während die Zahl 0,08 einen durch 0,01 begrenzten absoluten Fehler anzeigt. In beiden Fällen könnte der wahre Wert der Messgröße beispielsweise 0,0803 oder 0,0796 betragen (siehe auch signifikante Zahlen).

Für eine reelle Zahl x und eine ganze Zahl nein ≥ 0 , lass [x]nein bezeichnet die (endliche) Dezimalentwicklung der größten Zahl, die nicht größer ist als x das hat genau n Stellen nach dem Komma. Lassen dich bezeichnet die letzte Ziffer von [x]ich . Es ist einfach zu sehen, dass [x]nein erhalten Sie durch Anhängen dnein rechts von [x]nein−1 . So hat man

und der Unterschied von [x]nein−1 und [x]nein beläuft sich auf

was entweder 0 ist, wenn dnein = 0 , oder wird beliebig klein als nein tendiert ins Unendliche. Nach der Definition eines Grenzwertes x ist die Grenze von [x]nein wann nein tendiert ins Unendliche. Dies wird geschrieben als x = lim n → ∞ [ x ] n < extstyle x=lim _[x]_> oder

was heißt an unendliche Dezimalentwicklung von x .

Ein solcher Dezimalbruch, d. h.: dnein = 0 für nein > Nein , kann in seine äquivalente unendliche Dezimalentwicklung umgewandelt werden, indem man dNein durch dNein − 1 und Ersetzen aller nachfolgenden 0s durch 9s (siehe 0.999. ).

Zusammenfassend hat jede reelle Zahl, die kein Dezimalbruch ist, eine eindeutige unendliche Dezimalentwicklung. Jeder Dezimalbruch hat genau zwei unendliche Dezimalentwicklungen, von denen eine nur Nullen nach einer Stelle enthält, was durch die obige Definition von [x]nein , und der andere enthält nur 9er nach einer Stelle, die durch die Definition von [x]nein als die größte Zahl, die ist Weniger als x, mit genau nein Ziffern nach dem Dezimalzeichen.

Rationale Zahlen Bearbeiten

Die lange Division ermöglicht die Berechnung der unendlichen Dezimalentwicklung einer rationalen Zahl. Wenn die rationale Zahl ein Dezimalbruch ist, endet die Division schließlich und erzeugt eine Dezimalzahl, die durch Hinzufügen von unendlich vielen Nullen in eine unendliche Erweiterung verlängert werden kann. Wenn die rationale Zahl kein Dezimalbruch ist, kann die Division unbegrenzt fortgesetzt werden. Da jedoch alle aufeinanderfolgenden Reste kleiner als der Divisor sind, gibt es nur endlich viele mögliche Reste, und nach einer gewissen Stelle muss dieselbe Ziffernfolge im Quotienten unendlich wiederholt werden. Das heißt, man hat a wiederholende Dezimalzahl. Beispielsweise,

Das Umgekehrte gilt auch: Wenn sich an einem Punkt in der dezimalen Darstellung einer Zahl die gleiche Ziffernfolge endlos wiederholt, ist die Zahl rational.

Die meisten modernen Computerhardware- und -softwaresysteme verwenden im Allgemeinen intern eine binäre Darstellung (obwohl viele frühe Computer, wie der ENIAC oder der IBM 650, intern eine Dezimaldarstellung verwendeten). [10] Für die externe Verwendung durch Computerspezialisten wird diese binäre Darstellung manchmal in den entsprechenden Oktal- oder Hexadezimalsystemen dargestellt.

Für die meisten Zwecke werden Binärwerte jedoch in oder aus den äquivalenten Dezimalwerten zur Darstellung oder Eingabe von Menschen umgewandelt, Computerprogramme drücken Literale standardmäßig dezimal aus. (123.1 zum Beispiel wird in einem Computerprogramm als solches geschrieben, obwohl viele Computersprachen diese Zahl nicht genau codieren können.)

Sowohl Computerhardware als auch -software verwenden auch interne Darstellungen, die effektiv dezimal sind, um Dezimalwerte zu speichern und zu rechnen. Oft wird diese Arithmetik mit Daten durchgeführt, die mit einer Variante von binär kodierten Dezimalzahlen kodiert sind, [11] [12] insbesondere in Datenbankimplementierungen, aber es werden auch andere Dezimaldarstellungen verwendet (einschließlich dezimaler Gleitkommazahlen wie in neueren Revisionen der IEEE 754-Standard für Gleitkomma-Arithmetik). [13]

Dezimalarithmetik wird in Computern verwendet, damit dezimale Bruchergebnisse beim Addieren (oder Subtrahieren) von Werten mit einer festen Länge ihres Bruchteils immer mit derselben Genauigkeit berechnet werden. Dies ist besonders wichtig für Finanzrechnungen, die z.B. für Buchhaltungszwecke ganzzahlige Vielfache der kleinsten Währungseinheit in ihren Ergebnissen benötigen. Dies ist in binär nicht möglich, da die negativen Potenzen von 10 keine endliche binäre Bruchdarstellung haben und im Allgemeinen für Multiplikation (oder Division) unmöglich ist. [14] [15] Siehe Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit für genaue Berechnungen.

Viele alte Kulturen berechneten mit Zahlen auf der Grundlage von zehn, manchmal argumentierten sie, weil menschliche Hände typischerweise zehn Finger/Ziffern haben. [16] Standardisierte Gewichte, die in der Industal-Zivilisation (ca. 3300-1300 v. Chr.) verwendet wurden, basierten auf den Verhältnissen: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20 , 50, 100, 200 und 500, während ihr standardisiertes Lineal – das Mohenjo-Daro-Herrscher – wurde in zehn gleiche Teile geteilt. [17] [18] [19] Ägyptische Hieroglyphen, die seit etwa 3000 v. Chr. nachweisbar sind, verwendeten ein rein dezimales System, [20] ebenso wie die kretischen Hieroglyphen (ca. 1625-1500 v das ägyptische Modell. [21] [22] The decimal system was handed down to the consecutive Bronze Age cultures of Greece, including Linear A (c. 18th century BCE−1450 BCE) and Linear B (c. 1375−1200 BCE) – the number system of classical Greece also used powers of ten, including, Roman numerals, an intermediate base of 5. [23] Notably, the polymath Archimedes (c. 287–212 BCE) invented a decimal positional system in his Sand Reckoner which was based on 10 8 [23] and later led the German mathematician Carl Friedrich Gauss to lament what heights science would have already reached in his days if Archimedes had fully realized the potential of his ingenious discovery. [24] Hittite hieroglyphs (since 15th century BCE) were also strictly decimal. [25]

Some non-mathematical ancient texts such as the Vedas, dating back to 1700–900 BCE make use of decimals and mathematical decimal fractions. [26]

The Egyptian hieratic numerals, the Greek alphabet numerals, the Hebrew alphabet numerals, the Roman numerals, the Chinese numerals and early Indian Brahmi numerals are all non-positional decimal systems, and required large numbers of symbols. For instance, Egyptian numerals used different symbols for 10, 20 to 90, 100, 200 to 900, 1000, 2000, 3000, 4000, to 10,000. [27] The world's earliest positional decimal system was the Chinese rod calculus. [28]

History of decimal fractions Edit

Decimal fractions were first developed and used by the Chinese in the end of 4th century BCE, [29] and then spread to the Middle East and from there to Europe. [28] [30] The written Chinese decimal fractions were non-positional. [30] However, counting rod fractions were positional. [28]

J. Lennart Berggren notes that positional decimal fractions appear for the first time in a book by the Arab mathematician Abu'l-Hasan al-Uqlidisi written in the 10th century. [32] The Jewish mathematician Immanuel Bonfils used decimal fractions around 1350, anticipating Simon Stevin, but did not develop any notation to represent them. [33] The Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī claimed to have discovered decimal fractions himself in the 15th century. [32] Al Khwarizmi introduced fraction to Islamic countries in the early 9th century a Chinese author has alleged that his fraction presentation was an exact copy of traditional Chinese mathematical fraction from Sunzi Suanjing. [28] This form of fraction with numerator on top and denominator at bottom without a horizontal bar was also used by al-Uqlidisi and by al-Kāshī in his work "Arithmetic Key". [28] [34]

A forerunner of modern European decimal notation was introduced by Simon Stevin in the 16th century. [35]

Natural languages Edit

A method of expressing every possible natural number using a set of ten symbols emerged in India. Several Indian languages show a straightforward decimal system. Many Indo-Aryan and Dravidian languages have numbers between 10 and 20 expressed in a regular pattern of addition to 10. [36]

The Hungarian language also uses a straightforward decimal system. All numbers between 10 and 20 are formed regularly (e.g. 11 is expressed as "tizenegy" literally "one on ten"), as with those between 20 and 100 (23 as "huszonhárom" = "three on twenty").

A straightforward decimal rank system with a word for each order (10 十 , 100 百 , 1000 千 , 10,000 万 ), and in which 11 is expressed as ten-one and 23 as two-ten-three, and 89,345 is expressed as 8 (ten thousands) 万 9 (thousand) 千 3 (hundred) 百 4 (tens) 十 5 is found in Chinese, and in Vietnamese with a few irregularities. Japanese, Korean, and Thai have imported the Chinese decimal system. Many other languages with a decimal system have special words for the numbers between 10 and 20, and decades. For example, in English 11 is "eleven" not "ten-one" or "one-teen".

Incan languages such as Quechua and Aymara have an almost straightforward decimal system, in which 11 is expressed as ten with one and 23 as two-ten with three.

Some psychologists suggest irregularities of the English names of numerals may hinder children's counting ability. [37]


Einheitenressourcen

Place Value Through Ten-Thousands

Student Reference Book pages 200, 201

Baseball Multiplication
(Student Reference Book, page 274-277)

Reading, Writing, and Ordering Numbers
(CCSS Ed.)

Reading, Writing and Ordering Numbers
(3rd Ed.)

Student Reference Book pages 302, 303

Student Reference Book page 304

Number Top-It
(Student Reference Book, page 304)

Application: The U.S. Census

Student Reference Book page 194

Number Top-It
(Student Reference Book, page 304)

Number Top-It (7-Digit Numbers)
(Student Reference Book, page 304)

Exploring Estimates and Polygons
(CCSS Ed.)

Explorations: Exploring Estimates and Polygons
(3rd Ed.)

Model Decimals with Base-10 Blocks

Student Reference Book pages 33-36

Student Reference Book pages 33-35

Tenths and Hundredths of a Meter

Student Reference Book pages 137-140

Application: Rainfall
(CCSS Ed.)

Application: Rainfall
(3rd Ed.)

Student Reference Book pages 137-140

Number Top-It (Decimals)
(Student Reference Book, page 305)

Student Reference Book pages 35, 36

Baseball Multiplication
(Student Reference Book, page 274-277)

Sunrise-Sunset Line Graphs

Student Reference Book pages 60, 61, 63, 190, 191

Mathematik im Alltag für Eltern: Was Sie wissen müssen, um Ihrem Kind zum Erfolg zu verhelfen

Das Mathematikprojekt der University of Chicago School

University of Chicago Press


More examples showing how to write decimals in words.

25.578  is read twenty-five and five hundred seventy-eight thousandths.

7000.14  is read seven thousand and fourteen hundredths.

0.002  is read two thousandths.

Notice that for the example right above, there is no need to say zero and two thousandths. 

250.00035  is read two hundred fifty and thirty five hundred-thousandths.

10.061  is read ten and sixty-one thousandths.

7001.01  is read seven thousand, one and one hundredth.

0.0020  is read twenty ten-thousandths.

Notice again that there is no need to say zero and twenty ten-thousandths. 

488.53846 is read four hundred eighty-eight and fifty-three thousand, eight hundred forty-six hundred-thousandths.


Lesson 2: Adding and Subtracting Decimals

Adding and subtracting with decimals

Adding und subtracting decimals happens a lot in real life. You may find that you need to add up the cost of your groceries to see if you have enough money to pay for them. Or perhaps you need to subtract the cost of a bill from your bank account.

When you&aposre adding or subtracting decimal numbers, it&aposs important to set up the expression correctly. Das numbers need to be in a certain place, and so do the decimals.

Click through the slideshow below to learn how to set up these expressions.

First, let&aposs set up an addition expression: 21.4 plus 6.82 .

Just like with any addition example, we&aposre going to stack one number on top of the other.

But instead of lining our numbers up on the right.

But instead of lining our numbers up on the right. we&aposre going to line up the decimal points.

No matter how many numbers are on either side of the decimal point, we&aposll always line up the decimal points before adding.

Once we have the decimal points lined up, our decimals are ready to be added.

When we subtract decimals, we&aposll set up the decimals in the same way. Let&aposs set up this example.

Instead of lining up our two numbers on the right, we&aposll line up the two decimal points.

And now our decimals are ready to be subtracted.

Adding decimal numbers

Now that we know how to set up problems with decimals, let&aposs practice by solving a few. First, we&aposll work on adding. If you feel comfortable adding larger numbers, you&aposre ready to add decimal numbers.

Click through the slideshow to learn how to add decimals.

Let&aposs try solving this problem: 1.9 + 2.15 .

First, we&aposll make sure the decimals are lined up.

We&aposll start by adding the digits farthest to the Recht. In this case, we have nothing on top and 5 on the bottom.

Nothing plus 5 equals 5 . We&aposll write 5 beneath the line.

Now we&aposll add the next set of digits to the left: 9 and 1 .

9 + 1 equals 10 , but there&aposs no room to write both digits in 10 underneath the 9 and 1 . We&aposll have to carry.

We learned how to carry numbers in the lesson on Adding Two- and Three-Digit Numbers.

We&aposll write the right digit, 0 , unter the line.

We&aposll write the right digit, 0 , unter the line. then we&aposll carry the left digit, 1 , up to the next set of digits in the problem.

Now we&aposll write the decimal point. We&aposll place it directly beneath the other two decimal points.

Next, we&aposll move left to add the next set of digits: 1 and 2 . Since we carried the 1 , we&aposll add it too.

1 + 1 + 2 equals 4 . We&aposll write 4 below the line.

We&aposre done. 1.9 + 2.15 = 4.05 . We can read this answer as four and five-hundredths.

Let&aposs try it with a money problem: $51.99 + $25.32 .

We&aposll make sure our decimal points are lined up properly.

As always, we&aposll start by adding the digits on the right. Here, that&aposs 9 and 2 .

9 + 2 equals 11 , so it looks like we&aposll have to carry.

The 1 on the Recht stays underneath the 9 and the 2 .

We&aposll carry the 1 on the left and place it above the next set of digits to the left.

Now we&aposll move left to add the next set of digits. Since we carried the 1 , we&aposll add it too.

We&aposll put the 3 unter the digits we added.

We&aposll carry the 1 and place it above the next column to the left.

Now it&aposs time to write the decimal point. Remember to place it directly beneath the other two decimal points.

Next, we&aposll move left and add the next set of digits. We&aposll make sure to add the 1 we carried.

1 + 1 + 5 = 7 . We&aposll write 7 beneath the line.

To finish, we&aposll add the next column to the left: 5 and 2 .

5 + 2 equals 7 . We&aposll write 7 underneath the 2 .

We&aposll finish by writing the dollar sign ( $ ).

We&aposre done. $51.99 + $25.32 = $77.31 . We can read this answer as seventy-seven dollars and thirty-one cents.

Try This!

Try solving these problems to practice adding decimal numbers.

Subtracting Decimal Numbers

On the previous page, you saw that adding numbers with decimals is a lot like adding other numbers. The same is true for subtracting numbers with decimals. If you can subtract large numbers, you can subtract numbers with decimals too!

Click through the slideshow to learn how to subtract decimals.

Let&aposs try to solve this problem: 41.2 - 3.09 .

First, we&aposll make sure the expression is set up correctly. Here, 41.2 is the larger number, so we&aposll put it on top.

The decimal points are lined up.

As always, we’ll begin with the digits farthest to the Recht. Here, we have nothing on top and 9 on the bottom.

We can’t take 9 away from nothing . We&aposll need to place a digit nach dem 41.2 so we can subtract from it.

The value of our number won&apost change if we use the digit that means nothing: 0 . We&aposll place a 0 after 41.2 .

Now we can subtract the digits on the right. 0 is smaller than 9 , so we’ll need to borrow to make 0 larger.

We learned how to borrow in the lesson on Subtracting Two- and Three-Digit Numbers.

We&aposll borrow from the digit to the left of 0 . Here, it&aposs 2 . We&aposll take 1 from it.

2 - 1 = 1 . To help us remember we subtracted 1, we&aposll cross out the 2 and write 1 above it.

Then we&aposll place the 1 we took next to the 0 .

10 is larger than 9 , which means we can subtract. We&aposll solve for 10 - 9 .

10 - 9 = 1 . We&aposll write 1 beneath the line.

Now we&aposll move left to subtract the next set of digits: 1 - 0 .

1 - 0 = 1 . We&aposll write 1 beneath the line.

Now it&aposs time to write the decimal point. We&aposll place it directly beneath the other two decimal points.

Now we&aposll find the difference of the next set of digits to the left: 1 - 3 .

Because 1 is smaller than 3, it looks like we&aposll need to borrow again. We need to make the 1 larger.

We&aposll borrow from the digit to the left of 1 . Here, we&aposll borrow 1 from the 4 .

4 - 1 = 3 . We&aposll write 3 above the 4 .

Then we&aposll place the 1 we took next to the 1 .

11 is larger than 3 , which means we can subtract. We&aposll solve for 11 - 3 .

11 - 3 = 8 . We&aposll write 8 beneath the line.

Finally, we&aposll move to the left to subtract the last set of digits. The top digit is 3 , but there&aposs nothing beneath it.

3 minus nothing equals 3 , so we&aposll write 3 beneath the line.

41.2 - 3.09 = 38.11 . We can read this as thirty-eight and eleven-hundredths.

Let&aposs try subtracting money. Let&aposs see if we can solve $14.76 - $3.86 .

First, let&aposs make sure the expression is set up correctly. The larger number is on top, and the decimal points are lined up.

As always, let&aposs start by finding the difference of the digits on the right. Here, that&aposs 6 - 6 .

6 - 6 = 0 . We&aposll write 0 beneath the line.

We&aposll move left to the next set of digits: 7 and 8 . 7 is smaller than 8 , so we&aposll borrow to make 7 larger.

Let&aposs look at the digit to the left of 7 . Here, it&aposs 4 . We&aposll take 1 from it.

4 - 1 = 3 . We&aposll cross out the 4 and write 3 above it.

Then we&aposll place the 1 we took next to the 7 .

Now it&aposs time to subtract. We&aposll solve for 17 - 8 .

17 - 8 = 9 . We&aposll write 9 beneath the line.

We&aposll put a decimal point directly beneath the other two decimal points.

Next, we&aposll move left to find the difference of the next set of digits. Here, that&aposs 3 - 3 .

3 - 3 = 0 . We&aposll write 0 below the line.

Finally, we&aposll move left zu subtract the last set of digits. The top digit is 1 , but there&aposs nothing beneath it.

1 minus nothing equals 1 . We&aposll write 1 beneath the line.

Next, we&aposll write a dollar sign ( $ ) to the left of the 1 .

$14.76 - $3.86 = $10.90 . We can read this as ten dollars and ninety cents.


Estimating Decimal Products

Example 1: If gasoline costs $6.50 per gallon and your gas tank holds 15.5 gallons, then about how much will you pay to fill your tank?

Analysis: The phrase about how much indicates that we need to estimate. To solve this problem, we will estimate the product of these decimal factors. There are many strategies that we could use. Let's try the two strategies shown below.

Strategy 1: Round both factors to the nearest one.

The estimated product is $112.

Strategy 2: Round one factor up and one factor down.

The estimated product is $100.

Answer: Using the first estimation strategy, it will cost about $112 to fill your gas tank. Using the second estimation strategy, it will cost about $100 to to fill your gas tank.

In the example above, the ones digit of each factor is close to 5. The factor 15.5 is about halfway between 10 and 20, and the factor 6.5 is about halfway between 0 and 10. Thus, it is easier to round one factor up and one factor down (10 x 10) than to round each decimal to the nearest one (16 x 7). The actual answer is $100.75, so both estimates are reasonable. However, for this problem, the second strategy was easier to use.

There are other estimation strategies we can use. The compatible numbers strategy makes it easy to do mental arithmetic.

Definition: Compatible numbers are numbers that are close in value to the actual numbers and which make it easy to do mental arithmetic. When estimating with compatible numbers, you generally choose numbers that you can work with mentally.

Example 2: Estimate the product: 46.5 x 2.4

Analysis: If we round each decimal factor to the nearest one, we would get 47 x 2. The factor 46.5 is close to 50 and the factor 2.4 is close to 2. Therefore, choosing compatible numbers 50 and 2 would make it easier to multiply mentally.

Estimate: Strategy 3: Use compatible numbers to estimate the product.

Answer: The estimated product of 46.5 and 2.4 is 100.

In Example 2, each factor was changed to a compatible number. The numbers 50 and 2 are compatible since they make it easy to multiply mentally. So far, we have tried three different strategies for estimating decimal products. Let's look at an example that uses a fourth strategy.

Example 3: Estimate the product: 74.8 x 5.7

Analysis: If we round each decimal factor to the nearest one, we would get 75 x 6. These numbers are not easy to multiply. Let's try another strategy.

Estimate: Strategy 4: Round both factors down and then both factors up
to find a range for the product.

Answer: The product of 74.8 and 5.7 ranges from 350 to 480.

Note that in Example 3, we used one strategy that consisted of two parts. We know that the product of 74.8 and 5.7 can be no less than 350 and no more than 480. This is because 70 and 5 are both less than the actual factors and 80 and 6 are both greater than the actual factors. Thus, we can be certain that the product ranges from 350 to 480.

In each of the examples above, rounding a decimal to the nearest one was not the preferred strategy. This is because you can end up with numbers that are not easy to multiply, such as 16 x 7. For the balance of this lesson, we will focus on the following strategies for estimating decimal products:

  • Round one factor up and one factor down to estimate the product.
  • Use compatible numbers to estimate the product.
  • Round both factors down and then both factors up to find a range for the product.

In Examples 4 though 6, we will analyze each problem to determine which of these estimation strategies is easiest to use.

Example 4: Estimate the product: 65.3 x 44.8

Analysis: The ones digit of each factor is close to 5. The factor 65.3 is about halfway between 60 and 70, and the factor 44.8 is about halfway between 40 and 50.

Strategy: Round one factor up and one factor down to estimate the product.

Answer: The estimated product of 65.3 and 44.8 is 2,800.

When we round one factor up and one factor down, we round to the tens place. (If we rounded to the ones place, that would give us 65 x 45, and these numbers are not easy to multiply.)

Example 5: Estimate the product: 53.9 x 32.1

Analysis: The ones digit of each factor is not close to 5, so rounding one factor up and one factor down is not a good strategy for this problem. With compatible numbers, we use numbers such as 50 and 30 to make the arithmetic easy. However, 50 and 30 are both less than the actual factors, so we will get an underestimate. Instead, we will round both factors down and then both factors up to find a range for the product.

Strategy: Round both factors down and then both factors up to find a range for the product.

Estimate: Round both factors down

Answer: The product of 53.9 and 32.1 ranges from 1,500 to 2,400.

In Example 5, we know that the product of 53.9 and 32.1 can be no less than 1,500 and no more than 2,400. This is because 50 and 30 are both less than the actual factors and 60 and 40 are both greater than the actual factors. Thus, we can be certain that the product ranges from 1,500 to 2,400. The actual answer is 1,730.19, so using this strategy gave us a reasonable estimate. (If we had used compatible numbers 50 and 30, our estimated product would have been 1,500, which is an underestimate.)

Example 6: Estimate the product: 26.4 x 2.7.

Analysis: The factor 26.4 is close to 25 and the factor 2.7 is close to 3.

Strategy: Use compatible numbers to estimate the product.

Answer: The estimated product of 26.4 and 2.7 is 75.

In Example 6, each factor was changed to a compatible number. The numbers 25 and 3 are compatible since they make it easy to multiply mentally.

Example 7: A jar of candy costs $3.25. Eric estimated that he would have to pay $24 for 8 jars. If the actual cost is $26, did he overestimate or underestimate? Erkläre deine Antwort.

Answer: Eric underestimated because his estimated product of $24 was lower than the actual cost of $26.

Example 8: A blank DVD costs $2.89. Sarah estimated that she would have to pay $18 for 6 DVDs. If the actual cost is $17.34, did she overestimate or underestimate? Erkläre deine Antwort.

Answer: Sarah overestimated because her estimated product of $18 was higher than the actual cost of $17.34.

Example 9: Ken multiplied 7.8 by 8.3 and got a product of 647.4. Use estimation to determine whether his answer is reasonable or unreasonable. Erkläre deine Antwort.

Answer: Ken’s answer of 647.4 is unreasonable since 8 x 8 = 64.

Example 10: Jill multiplied 21.4 by 9.6 and got a product of 205.44. Use estimation to determine whether her answer is reasonable or unreasonable. Erkläre deine Antwort.

Answer: Jill’s answer of 205.44 is reasonable since 20 x 10 = 200.

Summary: In this lesson, we learned how to estimate decimal products using three different strategies. Estimates will vary depending on the strategy used. The goal is use the strategy that gives us a reasonable estimate, and which makes it easy to multiply. We also determined if an estimated product was an overestimate or an underestimate by comparing it with the actual answer. Lastly, we used estimation to determine if an answer was reasonable or unreasonable.

Übungen

Directions: Read each question below. You may use paper and pencil to help you estimate. Select your answer by clicking on its button. Feedback to your answer is provided in the RESULTS BOX. If you make a mistake, choose a different button.


Multiplying Decimals by Decimals

In the video below, I explain the rule for multiplying decimals (put as many decimal digits in the answer as there are in the factors.) I explain where this rule comes from, using fraction multiplication. The lesson continues below the video.

You have learned to think of multiplication by a whole number, such as 3 × 4 or 8 × 0.6, as repeated
addition. However, this concept does not work when neither of the factors is a whole number, as in
0.83 × 1.43 or 2/3 × 7/11. Instead, when you multiply decimals or fractions, think of it as finding
"a certain part of&rdquo the other factor. In this sense, the symbol &ldquo×&rdquo translates to &ldquoof.&rdquo

Beispiel. 0.1 × 80 means finding one-tenth &ldquoof&rdquo 80. That is simply 8.

Beispiel. 0.4 × 80 means finding four-tenths &ldquoof&rdquo 80. Since one-tenth of 80 is 8, then 0.4 of 80 is four times as much, or 32.

Beispiel. 0.02 × 3,000 means finding two-hundredths of 3,000. Since one-hundredth of 3,000 is 30, then 0.02 of 3,000 is two times as much, or 60.

1. Write as a multiplication using a decimal, and solve. Remember, "of" translates into "×". Verwenden Sie die
top problem in each box to help you solve the bottom one.

_______ × _______ = _______

f. six-hundredths of 4,000

2. Solve. Use the top problem in each box to help you solve the bottom one.

ein. Find 0.1 × 30 ________

b. Find 0.1 × 400 _________

c. Find 0.01 × 600 _________

d. Find 0.1 × 520 ________

e. Find 0.001 × 5,000 _________

f. Find 0.01 × 800 _________

3. Answer. You do not have to calculate.

ein. You have learned that 0.1 × 246 means one-tenth of 246.
Will the result of 0.1 × 246 be more or less than 246?

b. Also, 0.1 × 0.8 means one-tenth of 0.8.
Will the result of 0.1 × 0.8 be more or less than 0.8?

c. Will the result of 1.9 × 928 be more or less than 928?

Scaling means expanding or shrinking something by some factor.

This red stick is 40 pixels long.
Let&rsquos scale it to be four times as long:

We can write a multiplication "equation":

Using pixels, 4 × 40 px = 160 px.

Now let&rsquos scale the red stick to be
0.4 (four-tenths) as long as it is at first:

Notice, it shrank! We can write:

In pixels, 0.4 × 40 px = 16 px.

The number we multiply by (4 and 0.4 above) is called the scaling factor.

If the scaling factor is more than 1, such as 2.3, the resulting stick is longer than the original one.
If the scaling factor is less than 1, such as 0.5 or 0.66, the resulting stick is shorter.

4. The stick is being shrunk. How long will it be in pixels? Compare the problems.

Let’s expand this stick (40 px) to be 1.2 times as long: &rarr

We can write a multiplication: 1.2 × =

To calculate how long it is in pixels, let’s first figure out what 0.2 of 40 is.
Since one-tenth of 40 is 4, then 0.2 of 40 is double that, or 8.
Then, 1.2 × 40 px would be 1 × 40 px and 0.2 × 40 px, or 40 + 8 = 48 pixels.

5. The red stick is 50 pixels long. It is being expanded oder shrunk. Fill in the blanks.

6. Tell if the resulting stick after being "multiplied" will be shorter or longer than the original.

Half of 5 is 2.5, or 0.5 × 5 = 2.5. This resembles the familiar multiplication 5 × 5 = 25!

One-tenth of 20 is 2, so three-tenths of 20 is 6. We can write 0.3 × 20 = 6.
This resembles the familiar multiplication 3 × 2 = 6!

1) Multiply as if there were no decimal points.

7. Fill in Anita’s reasoning.

ein. To calculate 0.8 × 0.8, I first multiply 8 × 8 = 64. The answer to 0.8 × 0.8 has to be slightly
smaller
than 0.8, because scaling anything by 0.8 is close to the original, but somewhat smaller.
So, 0.8 × 0.8 can&rsquot be 64, and it cannot be 6.4, but it is _________!

b. 0.1 × 5.6 has to be 1/10 of the size of 5.6. So, it cannot be 56. Could it be 5.6? No, because
1 × 5.6 = 5.6. So, 0.1 × 5.6 has to equal __________.

The shortcut to decimal multiplication

1) Multiply as if there were no decimal points.

Example 2. 12 × 2 × 0.3 × 0.2

8. Multiply zuerst as if there were NO decimal points. Then add the decimal point to the answer.

g. 2.1 × 0.2 × 0.5 = _________

h. 0.4 × 4 × 0.2 = _________

d. 3 × 0.2 × 0.5 = _______

e. 300 × 0.009 = ________

g. 0.6 × 0.2 × 0.5 = ________

h. 600 × 0.004 = __________

If you buy 0.8 kg, you do the same: multiply the price by 0.8.

To find 0.8 × $1.20, first multiply without the decimal point: 8 × 120 = 960. The factors have
1 and 2 decimal digits, so the answer must have three decimal digits: 0.960. We can omit the final
zero, and give the answer as .96.

11. Find the total cost. Write a multiplication.

ein. Ribbon costs $1.10 per meter, and you buy 0.4 meters.

b. Nuts cost $8 per pound. You buy 0.3 pounds.

c. A phone call costs $7 per hour. You talk for 1.2 hours.

d. Lace costs $2.20 per meter, and you buy 1.5 meters.

This lesson is taken from Maria Miller's book Math Mammoth Decimals 2, and posted at www.HomeschoolMath.net with permission from the author. Copyright © Maria Miller. It addresses the Common Core Standard for 5th grade 5.NBT.7.

Math Mammoth Decimals 2

A self-teaching worktext for 5th-6th grade that covers the four operations with decimals up to three decimal digits, concentrating on decimal multiplication and division. The book also covers place value, comparing, rounding, addition and subtraction of decimals. There are a lot of mental math problems.


Decimal Exponents

Decimal exponents are simply an expansion of that topic. Mastering decimal exponents is essential for many superior mathematical applications. Mechanical and aeronautical engineering equations frequently require calculations involving decimal exponents. For the most part in engineering trade calculators can solve problems with decimal exponents, but as with any other mathematical procedure, it is significant to learn how to do the calculations manually to completely understand the results. Example for decimal exponents 20.5 and the result is 1.414.
Example Problem for Decimal Exponents:

Product for decimal exponents:

The both terms have same base, am.an = am+n

The both terms have same base, a^m.a^n = a^m+n

Practice Problem for Decimal Exponents:

Convert decimal exponent to rational exponent:

Change the decimal exponent to a rational exponent. If the decimal exponent is 0.4, the rational correspondent will be 4/10. Dropping the fraction by factorization simplifies it to 2/5, since the prime factor 𔄚” can be separated out of both the numerator and denominator.
Solve the numerator part of the problem. In this case, the problem started as 2^(0.4), which can be rewritten as 2^2/5. The numerator of the exponent is 𔄚,” so the solution to this branch of the problem is 2^2.
The entire problem by solving the denominator portion. In this suitable example, the denominator is 𔄝.”The complete whole solution is fifth root of four.
So the final result is fifth root of four.

This is the final result for 5^1.5
Between, if you have problem on these topics Laws of Exponents, please browse expert math related websites for more help on what are exponents.

Change the decimal exponent to a rational exponent. If the decimal exponent is 1.5, the rational correspondent will be 3/2. Dropping the fraction by factorization simplifies as it is 3/2,
Solve the numerator part of the problem. In this case, the problem started as 5^(1.5), which can be rewritten as 5^3/2. The numerator of the exponent is 𔄚,” so the solution to this branch of the problem is 5^3.
The entire problem by solving the denominator portion. In this suitable example, the denominator is 2. The complete solution is root of 125.


Schau das Video: Einführung in Dezimalzahlen (Kann 2022).