Artikel

1.1.6: Skalierung und Fläche - Mathematik

1.1.6: Skalierung und Fläche - Mathematik


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Lektion

Lassen Sie uns skalierte Formen bauen und ihre Bereiche untersuchen.

Übung (PageIndex{1}): Skalieren eines Musterblocks

Verwenden Sie die Applets, um die Musterblöcke zu erkunden. Arbeiten Sie mit Ihrer Gruppe zusammen, um die in jeder Frage beschriebenen skalierten Kopien zu erstellen.

  1. Wie viele blaue Rautenblöcke braucht man, um eine maßstabsgetreue Kopie von Abbildung A zu bauen:
    1. Wo ist jede Seite doppelt so lang?
    2. Wo ist jede Seite dreimal so lang?
    3. Wo ist jede Seite 4-mal so lang?
  2. Wie viele grüne Dreiecksblöcke werden benötigt, um eine skalierte Kopie von Abbildung B zu erstellen:
    1. Wo ist jede Seite doppelt so lang?
    2. Wo ist jede Seite dreimal so lang?
    3. Verwenden Sie einen Skalierungsfaktor von 4?
  3. Wie viele rote Trapezblöcke braucht man, um eine maßstabsgetreue Kopie von Abbildung C zu bauen:
    1. Verwenden Sie einen Skalierungsfaktor von 2?
    2. Verwenden Sie einen Skalierungsfaktor von 3?
    3. Verwenden Sie einen Skalierungsfaktor von 4?
  4. Machen Sie eine Vorhersage: Wie viele Blöcke würden benötigt, um skalierte Kopien dieser Formen mit einem Skalierungsfaktor von 5 zu erstellen? Verwenden Sie einen Skalierungsfaktor von 6? Seien Sie bereit, Ihre Argumentation zu erläutern.

Übung (PageIndex{2}): Mehr Musterblöcke skalieren

Ihr Lehrer wird Ihrer Gruppe eine dieser Figuren zuweisen, die jeweils aus Blöcken in Originalgröße bestehen.

  1. Bewegen Sie im Applet den Schieberegler, um eine skalierte Kopie Ihrer zugewiesenen Form mit einem Skalierungsfaktor von 2 anzuzeigen. Verwenden Sie die Blöcke in Originalgröße, um eine Figur zu erstellen, die ihr entspricht. Wie viele Blöcke hat es gedauert?
  2. Ihr Klassenkamerad denkt, dass die skalierten Kopien in der vorherigen Aufgabe jeweils 4 Blöcke benötigen, um sie zu erstellen. Stimmst du zu oder nicht? Erklären Sie Ihre Argumentation.
  3. Bewegen Sie den Schieberegler, um eine skalierte Kopie Ihrer zugewiesenen Form mit einem Skalierungsfaktor von 3 anzuzeigen. Beginnen Sie mit dem Bauen einer Figur mit den Blöcken in Originalgröße, die ihr entsprechen. Hören Sie auf, wenn Sie sicher sagen können, wie viele Blöcke es dauern würde. Notieren Sie Ihre Antwort.
  4. Vorhersage: Wie viele Blöcke würden benötigt, um skalierte Kopien mit den Skalierungsfaktoren 4, 5 und 6 zu erstellen? Erklären oder zeigen Sie Ihre Argumentation.
  5. Inwiefern ist das Muster in dieser Aktivität das gleiche wie das Muster, das Sie in der vorherigen Aktivität gesehen haben? Wo ist der Unterschied?

Bist du bereit für mehr?

  1. Wie viele Blöcke würden Sie brauchen, um eine skalierte Kopie eines gelben Sechsecks zu bauen, bei dem jede Seite doppelt so lang ist? Dreimal so lang?
  2. Finden Sie eine Möglichkeit, diese skalierten Kopien zu erstellen.
  3. Sehen Sie ein Muster für die Anzahl der Blöcke, die zum Erstellen dieser skalierten Kopien verwendet werden? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Aufgabe (PageIndex{3}): Fläche skalierter Parallelogramme und Dreiecke

  1. Ihr Lehrer wird Ihnen eine Zahl mit Maßangaben in Zentimetern geben. Was ist der Bereich deiner Figur? Woher weißt du das?
  2. Arbeiten Sie mit Ihrem Partner zusammen, um skalierte Kopien Ihrer Figur zu zeichnen, indem Sie jeden Skalierungsfaktor in der Tabelle verwenden. Vervollständigen Sie die Tabelle mit den Maßen Ihrer maßstabsgetreuen Kopien.
    SkalierungsfaktorBasis (cm)Höhe (cm)Fläche (cm2)
    (1)
    (2)
    (3)
    (frac{1}{2})
    (frac{1}{3})
    Tabelle (PageIndex{1})
  3. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer Gruppe, die mit einer anderen Figur gearbeitet hat. Was ist das Gleiche an Ihren Antworten? Was ist anders?
  4. Wenn Sie maßstabsgetreue Kopien Ihrer Figur mit den folgenden Skalierungsfaktoren zeichnen würden, wie groß wären ihre Flächen? Besprechen Sie Ihr Denken. Wenn Sie anderer Meinung sind, arbeiten Sie daran, eine Einigung zu erzielen. Seien Sie bereit, Ihre Argumentation zu erläutern.
SkalierungsfaktorFläche (cm2)
(5)
(frac{3}{5})
Tabelle (PageIndex{2})

Zusammenfassung

Die Skalierung wirkt sich unterschiedlich auf Längen und Flächen aus. Wenn wir eine skalierte Kopie erstellen, werden alle Originallängen mit dem Skalierungsfaktor multipliziert. Wenn wir eine Kopie eines Rechtecks ​​mit Seitenlängen von 2 Einheiten und 4 Einheiten mit einem Skalierungsfaktor von 3 erstellen, beträgt die Seitenlänge der Kopie 6 Einheiten und 12 Einheiten, da (2cdot 3=6) und (4cdot 3=12).

Der Bereich der Kopie ändert sich jedoch um den Faktor (Skalierungsfaktor)2. Wenn jede Seitenlänge der Kopie dreimal länger ist als die Originalseitenlänge, dann ist die Fläche der Kopie 9-mal die Fläche des Originals, weil (3cdot 3) oder (3^{2 }), gleich 9.

In diesem Beispiel beträgt die Fläche des ursprünglichen Rechtecks ​​8 Einheiten2 und der Bereich der skalierten Kopie beträgt 72 Einheiten2, denn (9cdot 8=72). Wir sehen, dass das große Rechteck von 9 Kopien des kleinen Rechtecks ​​bedeckt ist, ohne Lücken oder Überlappungen. Wir können dies auch überprüfen, indem wir die Seitenlängen des großen Rechtecks ​​multiplizieren: (6cdot 12=72).

Längen sind eindimensional, daher ändern sie sich in einer skalierten Kopie um den Skalierungsfaktor. Die Fläche ist zweidimensional, ändert sich also um die Quadrat des Skalierungsfaktors. Wir können sehen, dass dies für ein Rechteck mit der Länge (l) und der Breite (w) gilt. Wenn wir das Rechteck mit einem Skalierungsfaktor von (s) skalieren, erhalten wir ein Rechteck mit der Länge (scdot l) und der Breite (scdot w). Die Fläche des skalierten Rechtecks ​​ist (A=(scdot l)cdot (scdot w)), also (A=(s^{2})cdot (lcdot w)) . Die Tatsache, dass die Fläche mit dem Quadrat des Skalierungsfaktors multipliziert wird, gilt auch für skalierte Kopien anderer zweidimensionaler Figuren, nicht nur für Rechtecke.

Glossareinträge

Definition: Bereich

Fläche ist die Anzahl der Quadrateinheiten, die eine zweidimensionale Region ohne Lücken oder Überlappungen abdecken.

Zum Beispiel beträgt die Fläche der Region A 8 Quadrateinheiten. Die Fläche des schattierten Bereichs von B ist (frac{1}{2}) Quadrateinheit.

Definition: entsprechend

Wenn ein Teil einer Originalfigur mit einem Teil einer Kopie übereinstimmt, nennen wir sie entsprechende Teile. Dies können Punkte, Segmente, Winkel oder Abstände sein.

Zum Beispiel entspricht Punkt (B) im ersten Dreieck dem Punkt (E) im zweiten Dreieck. Segment (AC) entspricht Segment (DF).

Definition: Gegenseitig

Die Division von 1 durch eine Zahl ergibt den Kehrwert dieser Zahl. Zum Beispiel ist der Kehrwert von 12 (frac{1}{12}), und der Kehrwert von (frac{2}{5}) ist (frac{5}{2}) .

Definition: Skalierungsfaktor

Um eine skalierte Kopie zu erstellen, multiplizieren wir alle Längen in der Originalfigur mit derselben Zahl. Diese Zahl wird als Skalierungsfaktor bezeichnet.

In diesem Beispiel beträgt der Skalierungsfaktor 1,5, da (4cdot (1.5)=6), (5cdot (1.5)=7.5) und (6cdot (1.5)=9) .

Definition: Skalierte Kopie

Eine skalierte Kopie ist eine Kopie einer Figur, bei der jede Länge der Originalfigur mit derselben Zahl multipliziert wird.

Dreieck (DEF) ist beispielsweise eine skalierte Kopie von Dreieck (ABC). Jede Seitenlänge des Dreiecks (ABC) wurde mit 1,5 multipliziert, um die entsprechende Seitenlänge des Dreiecks (DEF) zu erhalten.

Trainieren

Übung (PageIndex{4})

Zeichnen Sie auf dem Raster eine skalierte Kopie von Polygon Q mit einem Skalierungsfaktor von 2. Vergleichen Sie den Umfang und die Fläche des neuen Polygons mit denen von Q.

Übung (PageIndex{5})

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Fläche von 36 Quadrateinheiten.

Wenn Sie mit den Skalierungsfaktoren in der Tabelle skalierte Kopien dieses Dreiecks zeichnen, welche Flächen werden diese skalierten Kopien haben? Erklären oder zeigen Sie Ihre Argumentation.

Skalierungsfaktor Bereich (Einheiten2)
(1)(36)
(2)
(3)
(5)
(frac{1}{2})
(frac{2}{3})
Tabelle (PageIndex{3})

Übung (PageIndex{6})

Diego zeichnete eine skalierte Version eines Polygon P und beschriftete es mit Q.

Wenn die Fläche von Polygon P 72 Quadrateinheiten beträgt, welchen Skalierungsfaktor hat Diego verwendet, um von P nach Q zu gehen? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Übung (PageIndex{7})

Hier ist ein unbeschriftetes Polygon, zusammen mit seinen skalierten Kopien Polygone A–D. Bestimmen Sie für jede Kopie den Skalierungsfaktor. Erkläre, woher du das weißt.

(Ab Einheit 1.1.2)

Übung (PageIndex{8})

Lösen Sie jede Gleichung im Kopf.

  1. (frac{1}{7}cdot x=1)
  2. (xcdotfrac{1}{11}=1)
  3. (1divfrac{1}{5}=x)

(Ab Einheit 1.1.5)


Fläche und Umfang eines Rechteckrechners

Zielsetzung :
Finden Sie die Fläche des Rechtecks ​​für gegebene Eingabedaten?

Formel :
Fläche = Länge x Breite

Lösung:
Fläche = 5 x 10
Fläche = 50 Zoll²

  1. Geben Sie die Länge und Breite eines Rechtecks ​​in das Feld ein. Diese Werte müssen positive reelle Zahlen oder Parameter sein. Beachten Sie, dass die Länge eines Segments immer positiv ist
  2. Drücken Sie die Taste "GENERATE WORK", um die Berechnung durchzuführen
  3. Der Rechteckrechner gibt den Umfang, die Fläche und die diagonale Länge eines Rechtecks ​​an.

wobei $a$ und $b$ die Länge bzw. Breite des Rechtecks ​​sind.

Bereich der Rechteckformel: Die Fläche eines Rechtecks ​​wird durch die folgende Formel bestimmt

wobei $a$ und $b$ die Länge bzw. Breite des Rechtecks ​​sind.

Länge der Diagonale der Rechteckformel: Die Diagonale eines Rechtecks ​​wird durch die folgende Formel bestimmt


6.3 Fläche skalierter Parallelogramme und Dreiecke

  1. Ihr Lehrer wird Ihnen eine Zahl mit Maßangaben in Zentimetern geben. Welche Fläche hat deine Figur? Woher weißt du das?
  2. Arbeiten Sie mit Ihrem Partner zusammen, um skalierte Kopien Ihrer Figur zu zeichnen, indem Sie jeden Skalierungsfaktor in der Tabelle verwenden. Vervollständigen Sie die Tabelle mit den Maßen Ihrer skalierten Kopien.
    SkalierungsfaktorBasis (cm)Höhe (cm)Fläche (cm 2 )
    1
    2
    3
    frac
    frac
  3. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer Gruppe, die mit einer anderen Figur gearbeitet hat. Was ist das Gleiche an Ihren Antworten? Was ist anders?
  4. Wenn Sie maßstabsgetreue Kopien Ihrer Figur mit den folgenden Skalierungsfaktoren zeichnen würden, wie groß wären ihre Flächen? Besprechen Sie Ihr Denken. Wenn Sie anderer Meinung sind, arbeiten Sie daran, eine Einigung zu erzielen. Seien Sie bereit, Ihre Argumentation zu erläutern.
    SkalierungsfaktorFläche (cm 2 )
    5
    frac

Grundmultiplikation

Es ist praktisch, sich den Logarithmus als gemeinsamen Logarithmus (zur Basis 10) und die Länge des Rechenschiebers als eine Einheit vorzustellen, aber Sie können sich auch vorstellen Log was den natürlichen Logarithmus bedeutet, und die Länge des Rechenschiebers ist log(10) Einheiten.

  1. Der reelle Zahlenstrahl ist unendlich und Rechenschieber haben eine endliche Länge. Daher können alle Skalen nur einen Teil des reellen Zahlenstrahls darstellen. Auf dem C und D-Skalen, beliebige Zahl x wird als Zahl zwischen 1 und 10 angezeigt und wird nur bis zu einem Faktor bestimmt, der eine ganzzahlige Potenz von . ist 10. Mit anderen Worten, Ihr Rechenschieber zeigt normalerweise nicht die Position des Dezimalpunkts an. Sie sollten Ihr Problem gut genug verstehen, damit Sie wissen, wo Sie es platzieren können. Der Rechenschieber sagt Ihnen auch nicht das Vorzeichen Ihres Ergebnisses.
  2. Im Vergleich zu einem Taschenrechner ist ein Rechenschieber in seiner Genauigkeit stark eingeschränkt. Sie können eine Zahl normalerweise nur mit zwei oder drei Dezimalstellen eingeben und lesen.

Waage

Alle anderen Skalen auf einem Rechenschieber beziehen sich auf die C und D Waage. Im Folgenden finden Sie eine Liste von Skalen, die häufig auf Rechenschiebern zu finden sind. Für jede Skala listen wir den Namen auf (wie C), die zugrunde liegende Funktion (wie ) und einige Erklärungen oder Kommentare.

CI, DI CI ist auf der Folie, DI auf dem Körper.

CF, DF CF ist auf der Folie, DF auf dem Körper.

CIF, DIF CIF ist auf der Folie, DIF auf dem Körper.

A, B EIN ist auf dem Körper, B ist auf der Folie.

R , W Kann mit tiefgestellten Zeichen versehen sein, um und zu unterscheiden, und mit einem Strich versehen, um die Position auf dem Körper oder der Folie zu unterscheiden. Diese Skalen sind mit R . bezeichnet (Wurzel) oder W (Wurzel). Das Radikalsymbol kann auch verwendet werden.

K Diese Skala tritt normalerweise allein auf und nicht als Mitglied eines Paares. LL, E oder Dies ist eine der Skalen, die den Dezimalpunkt anzeigen. Normalerweise gibt es mehrere Skalen, wie

L Die einzige Skala auf einem Rechenschieber mit konstanter Schrittweite. Normalerweise auf der Folie. Wenn es eine solche Skala auf der Folie und eine auf dem Körper gäbe, könnten sie für die Zusatz von Zahlen.

S , Listet den Winkel auf, für den von . Auf Rechenschiebern werden alle Winkel in Grad gemessen und liegen im Intervall . Die Skala listet normalerweise sowohl und auf, wobei die Identität verwendet wird

T , Ähnlich dem S Rahmen. ist im Intervall , ist in und . Es kann eine ähnliche Skala in dem Intervall geben, in welchem ​​Fall Indizes verwendet werden können, um die Skalen zu unterscheiden.

ST Zeigt den Winkel (in Grad) im Einheitskreis für einen Bogen der Länge an, wobei im Intervall liegt. Bei solch kleinen Bögen sind innerhalb der Genauigkeit eines Rechenschiebers der Winkel (gemessen im Bogenmaß), der Sinus und der Tangens alle gleich.

P für im Intervall. Die pythagoräische Skala.

H für im Intervall. Es kann eine weitere Skala für in geben und die beiden Skalen können durch Indizes unterschieden werden.

Sch ist die Umkehrung des hyperbolischen Sinus. ist im Intervall Wenn eine Skala vorhanden ist, können die Skalen durch Indizes unterschieden werden.

CH ist die Umkehrung des hyperbolischen Kosinus. ist im Intervall.

Das ist die Umkehrung des hyperbolischen Tangens. ist im Intervall.

Tabelle 1: Gemeinsame Skalen

Eine Variable

Allgemeiner gesagt, wenn Sie eine Zahl auf einer Skala wählen, die der Funktion entspricht (wie in Tabelle 1 aufgeführt), und Sie die entsprechende Zahl auf einer der Funktion entsprechenden Skala ablesen, dann

wo ist die Umkehrfunktion von . Die Zeilen der Tabellen 2 und 3 entsprechen , die Spalten .


Beachten Sie, dass dies nicht die Zahl unter dem Haaransatz auf der C-Skala ist, es sei denn, Sie beginnen auf dieser Skala!

Tabelle 2: Eine Variable Konvertierung

Tabelle 3: Mehr eine Variable Konvertierung

Beim Lesen der Tabellen 2 und 3 gibt es einige Vorbehalte. Beispielsweise müssen sie möglicherweise in einem bestimmten Intervall liegen, und die Tabellen unterscheiden nicht zwischen verschiedenen Versionen derselben Skala, z. B. den verschiedenen LL-Skalen. Für die S-Skala betrachten wir nur die inverse Sinusfunktion, nicht die inverse Kosinusfunktion. Bevor Sie Ihren Rechenschieber wie in den Tabellen vorgeschlagen verwenden, müssen Sie sich also genau überlegen, was Sie tun, was sowieso nie schadet. Der Schriftsatz einiger dieser Formeln ist etwas eigenwillig. Sie wurden größtenteils maschinell generiert, und ich wollte keine zusätzlichen Fehler durch übermäßiges manuelles Bearbeiten einführen.

Wie aus den Tabellen deutlich hervorgeht, erhalten Sie genau diese Zahl zurück, wenn Sie den Haaransatz über eine beliebige Zahl auf einer beliebigen Skala bewegen und die Zahl auf derselben Skala direkt unter dem Haaransatz ablesen!

Zwei Variablen

Natürlich wird die Anzahl der Möglichkeiten durch das Verschieben des Schlittens enorm erweitert. Wir betrachten zwei Verfahren PLUS und MINUS mit den Skalen 1, 2 und 3. Skalen 1 und 3 befinden sich am Körper, Skala 2 befindet sich auf dem Objektträger.

PLUS: Wählen Sie u auf Skala 1 (auf dem Körper), richten Sie es mit dem Index von Skala 2 (auf dem Schieber) aus, bewegen Sie den Haaransatz auf Skala 2 auf v und lesen Sie das Ergebnis auf Skala 3 (auf dem Körper) darunter ab der Haaransatz. Wenn beispielsweise die beteiligten Skalen D , C und D sind, wäre das Ergebnis das Produkt uv .

MINUS: Wählen Sie u auf Skala 1 aus, richten Sie es mit v auf Skala 2 auf dem Schieber aus, bewegen Sie den Haaransatz zum Index von Skala 2 und lesen Sie das Ergebnis auf Skala 3 am Körper unterhalb des Haaransatzes ab. Wenn die beteiligten Skalen beispielsweise wieder D , C und D sind, ist das Ergebnis der Quotient, .

Was passiert, wenn wir andere Skalen verwenden? Unter der Annahme eines (sehr hypothetischen) Rechenschiebers, der alle oben aufgeführten Skalen sowohl auf dem Hauptteil als auch auf der Folie aufweist, können Sie mit diesen beiden Verfahren 3.540 verschiedene Ausdrücke auf 4.394 verschiedene Arten auswerten. Tabelle 4 enthält sechs Beispiele. Klicken Sie hier, um eine ähnlich organisierte PDF-Datei (mit mehreren hundert Seiten) zu sehen, die alle Möglichkeiten zeigt.

Im Allgemeinen, wenn die Funktion der Skala 1 entspricht (wieder in Tabelle 1 aufgeführt), die Funktion der Skala 2 und die Funktion der Skala 3, dann ist das Ergebnis, das Sie auf Skala 3 ablesen,

wobei die Basis des Logarithmus die Länge des Rechenschiebers und exp die Umkehrfunktion von log ist. Das Symbol zeigt an, ob das Plus- oder das Minus-Verfahren verwendet wird.

Reihe Eintrag Formel Variation Ergebnis Maßstab 1 Maßstab 2 Maßstab 3 +/-
1 1 1 1 CD CD CD +
2 15 2 1 CD CD CD -
3 2403 1803 1 LL CD LL +
4 139 26 2 CD CDI H +
5 287 83 1 CD AB W -
6 424 168 1 CD LL S -

Tabelle 4: Berechnungen mit zwei Variablen

Die ersten drei Zeilen von Tabelle 4 zeigen die gängigsten Operationen auf einem Rechenschieber: Produkt, Quotient und Leistung.

Die letzten drei Zeilen zeigen weniger gebräuchliche Formeln, die ausgewertet werden können. Somit folgt die Berechnung gemäß der vierten Zeile der PLUS-Prozedur, wobei die Skalen 1, 2 und 3 D, CI bzw. H sind. Die erste Zahl in dieser Zeile, 139, gibt den Eintrag in der PDF-Tabelle an, 26 bedeutet, dass es sich um die 26. eindeutige Formel in der Tabelle handelt, und 2 bedeutet, dass dies die zweite Möglichkeit ist, diese spezielle Formel auszuwerten. Diese Zahlen sind für das Beispiel nicht wichtig, aber sie veranschaulichen die Organisation der PDF-Tabelle. Vorbehalte gelten noch mehr als für die eine Variable Tabelle 2 und 3 oben. Die Variablen müssen in bestimmten Bereichen liegen, und Sie müssen möglicherweise überlegt sein, mit welcher Variante der entsprechenden Skala Sie Ihr Ergebnis ablesen.

Natürlich sind in Rechenschieberhandbüchern nicht Tausende von Formeln aufgeführt. Sie beschreiben grundlegende Prinzipien und dann können die Leute herausfinden, wie man Rechenschieber für ihre speziellen Anwendungen am besten nutzt. Es gibt einfachere Berechnungsmethoden, aber wenn Sie solche Ausdrücke viele Male auswerten müssen, werden Sie irgendwann die Abkürzung finden. Sobald Sie es haben, können Sie Ihre Freunde und Kollegen beeindrucken!

Das letzte Beispiel in Tabelle 4 erfordert ein LL auf der Folie skalieren. Als ich zur High School ging, war unser Rechenschieber für Arbeitspferde der Aristo Scholar 903. Eine Version davon hat einen Körper und einen Cursor mit einer Seite, aber einen Schieber mit zwei Seiten. Die Rückseite der Folie zeigt mehrere LL-Skalen. Bevor Sie diese Berechnung durchführen, müssen Sie den Schieber also umdrehen. Dies gibt Ihnen einen sehr seltsamen Rechenschieber ohne C-Skala. Seit Jahren habe ich mich gefragt, für welche Art von Anwendung man den Aristo Scholar drehen möchte, und nachdem ich diese Webseite geschrieben habe, weiß ich es!

Drei Variablen

Mit den hier angenommenen 13 Skalen gibt es 24.314 verschiedene solcher Ausdrücke, die 2.143 gedruckte Seiten füllen, die Sie hier ansehen oder herunterladen können. Die vier Spalten nach dem mathematischen Ausdruck geben die verwendeten Skalen 1, 2, 3 und 4 an.

Ausgefeilte Multiplikation und Division

Quadratische Gleichungen

Wie oben besprochen, können Rechenschieber eine Sache, die Taschenrechner nicht können, das Erstellen von Tabellen. Hier ist eine faszinierende Anwendung dieser Idee, die ich in den Post Versalog Slide Rule Instructions, Frederick Post Company, 1963, gefunden habe. Dieses lesbare kleine Buch beschreibt sehr viele Anwendungen von Rechenschiebern.

Angenommen, wir wollen die Wurzeln der Gleichung finden

Nehmen wir an, das ist positiv und die Wurzeln sind real. Wenn es negativ ist, ignorieren wir diese Tatsache und sorgen uns später um die Anzeichen der Lösungen. Als Übung möchten Sie vielleicht herausfinden, was passiert, wenn die Wurzeln der quadratischen Gleichung komplex sind. Wenn die Lösungen sind und wir haben

Wir wollen also zwei Zahlen finden und diese addieren und multiplizieren mit . Wir verschieben den Haaransatz auf der D-Skala und platzieren den Anfang oder das Ende des Objektträgers unter dem Haaransatz (je nachdem, was die kleinere Projektion des Objektträgers über den Körper hinaus bewirkt). Nun ist das Produkt eines beliebigen Zahlenpaares auf der D- und CI-Skala (oder auf der DF- und CIF-Skala) gleich . Ihr Rechenschieber enthält jetzt eine Tabelle mit Zahlenpaaren, die alle das gleiche Produkt haben. Alles, was Sie noch tun müssen, ist, den Haaransatz zu verschieben, bis wir ein Zahlenpaar auf den D- und CI-Skalen (oder DF- und CIF-Skalen) finden, die zu addieren. Die Summen gedanklich zu berechnen, während wir den Haaransatz bewegen, ist eine angenehme Übung, die keine externe Hilfe erfordert. Sobald wir das Zahlenpaar haben, können wir das Vorzeichen der Wurzeln aus den Vorzeichen von und berechnen.


Kostenlose Mathe-Arbeitsblätter für Klasse 6

Dies ist eine umfassende Sammlung kostenlos druckbarer Mathe-Arbeitsblätter für die sechste Klasse, geordnet nach Themen wie Multiplikation, Division, Exponenten, Stellenwert, algebraisches Denken, Dezimalzahlen, Maßeinheiten, Verhältnis, Prozent, Primfaktorzerlegung, GCF, LCM, Brüche, Ganzzahlen , und Geometrie. Sie werden nach dem Zufallsprinzip generiert, können von Ihrem Browser aus gedruckt werden und enthalten den Antwortschlüssel. Die Arbeitsblätter unterstützen jedes Matheprogramm der 6. Klasse, passen aber besonders gut zum Mathe-Lehrplan der 6. Klasse von IXL.

Die Arbeitsblätter werden jedes Mal zufällig generiert, wenn Sie auf die unten stehenden Links klicken. Sie können auch eine neue, andere erhalten, indem Sie einfach die Seite in Ihrem Browser aktualisieren (drücken Sie F5).

Sie können sie direkt aus Ihrem Browserfenster ausdrucken, aber prüfen Sie zuerst, wie sie in der "Druckvorschau" aussehen. Wenn das Arbeitsblatt nicht auf die Seite passt, passen Sie die Ränder, Kopf- und Fußzeile in den Einstellungen für die Seiteneinrichtung Ihres Browsers an. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die "Skala" in der Druckvorschau auf 95 % oder 90 % einzustellen. Einige Browser und Drucker verfügen über die Option "An Druck anpassen", die das Arbeitsblatt automatisch skaliert, damit es in den bedruckbaren Bereich passt.

Alle Arbeitsblätter werden mit einem Antwortschlüssel auf der 2. Seite der Datei geliefert.

Multiplikation und Division und etwas Rückblick

  • 1-stelliger Divisor, 5-stelliger Dividenden, kein Rest
  • 1-stelliger Divisor, 5-stelliger Dividenden, mit Rest
  • 1-stelliger Divisor, 6-stelliger Dividenden, kein Rest
  • 1-stelliger Divisor, 6-stelliger Dividenden, mit Rest
  • 1-stelliger Divisor, 7-stelliger Dividenden, kein Rest
  • 1-stelliger Divisor, 7-stelliger Dividenden, mit Rest
  • 2-stelliger Divisor, 5-stelliger Dividenden, kein Rest
  • 2-stelliger Divisor, 5-stelliger Dividenden, mit Rest
  • 2-stelliger Divisor, 6-stelliger Dividenden, kein Rest
  • 2-stelliger Divisor, 6-stelliger Dividenden, mit Rest
  • 2-stelliger Divisor, 7-stelliger Dividenden, kein Rest
  • 2-stelliger Divisor, 7-stelliger Dividenden, mit Rest
  • 3-stelliger Divisor, 6-stelliger Dividenden, kein Rest
  • 3-stelliger Divisor, 6-stelliger Dividenden, mit Rest
  • 3-stelliger Divisor, 7-stelliger Dividenden, kein Rest
  • 3-stelliger Divisor, 7-stelliger Dividenden, mit Rest
    (0-2 Dezimalstellen)
  • Teilen Sie eine ganze Zahl oder eine Dezimalzahl durch eine ganze Zahl, müssen Sie dem Dividenden Nullen hinzufügen und die Antworten auf drei Dezimalstellen runden

Konvertieren Sie Maßeinheiten mit langer Division und Multiplikation

Mathe-Herausforderung für die Grundschulklasse von Edward Zaccaro

Ein gutes Buch zum Problemlösen mit sehr abwechslungsreichen Wortaufgaben und Lösungsstrategien. Enthält Kapitel zu: Sequenzen, Problemlösung, Geld, Prozente, algebraisches Denken, negative Zahlen, Logik, Verhältnisse, Wahrscheinlichkeit, Messungen, Brüche, Division. Die Fragen jedes Kapitels sind in vier Stufen unterteilt: leicht, etwas herausfordernd, herausfordernd und sehr herausfordernd.

Exponenten

Stellenwert/Rundung

    (bis zu 9 Stellen) (bis zu 12 Stellen)
  • Schreiben Sie eine Zahl in erweiterter Form in Normalform (bis zu 9-stellig), die Teile sind verschlüsselt
  • Schreiben Sie eine in erweiterter Form angegebene Zahl in Normalform (bis zu 12 Stellen), die Teile werden verschlüsselt (bis zu 6 Dezimalstellen), die Teile werden verschlüsselt
    - Rundung auf die unterstrichene Ziffer, bis zur Rundung auf die nächste Million - Rundung auf die unterstrichene Ziffer, bis zur Rundung auf die nächste Billion

Algebra

Schlüssel zu Algebra-Arbeitsbüchern

Key to Algebra bietet eine einzigartige, bewährte Möglichkeit, Ihren Schülern Algebra vorzustellen. Neue Konzepte werden in einfacher Sprache erklärt und Beispiele sind leicht verständlich. Wortaufgaben beziehen Algebra auf vertraute Situationen und helfen den Schülern, abstrakte Konzepte zu verstehen. Die Studierenden entwickeln Verständnis, indem sie Gleichungen und Ungleichungen intuitiv lösen, bevor formale Lösungen eingeführt werden. Die Schüler beginnen ihr Studium der Algebra in den Büchern 1-4 und verwenden nur ganze Zahlen. Die Bücher 5-7 führen rationale Zahlen und Ausdrücke ein. Die Bücher 8-10 erweitern die Abdeckung auf das System der reellen Zahlen.

Brüche vs. Dezimalzahlen

Dezimaladdition und -subtraktion

Schlüssel zu Dezimal-Arbeitsmappen

Dies ist eine Arbeitsbuchreihe von Key Curriculum Press, die mit grundlegenden Konzepten und Operationen auf Dezimalzahlen beginnt. Dann behandeln die Bücher die reale Verwendung von Dezimalzahlen in Preisgestaltung, Sport, Metriken, Taschenrechnern und Wissenschaft.

Das Set enthält die Bücher 1-4.

Dezimalmultiplikation

Geistige Multiplikation

Dezimaldivision

Maßeinheiten

Handelsübliches System

Konvertieren Sie Maßeinheiten mit langer Division und Multiplikation (Papier und Bleistift) oder Kopfrechnen

Umrechnen mit einem Taschenrechner mit Dezimalstellen

  • Konvertieren Sie zwischen Zoll, Fuß und Yard - verwenden Sie einen Taschenrechner
  • Konvertieren Sie zwischen Meilen, Yards und Fuß 1 - verwenden Sie einen Taschenrechner
  • Konvertieren Sie zwischen Meilen, Yards und Fuß 2 - verwenden Sie einen Taschenrechner
  • Konvertieren Sie Tonnen, Pfund und Unzen mit Dezimalzahlen - verwenden Sie einen Taschenrechner
  • Konvertieren Sie zwischen verschiedenen gebräuchlichen Einheiten mit Dezimalstellen - verwenden Sie einen Taschenrechner
  • Konvertieren Sie zwischen mm, cm und m - mit Dezimalzahlen
  • Konvertieren Sie zwischen mm, cm, m und km - mit Dezimalzahlen
  • Zwischen ml & l und g & kg umrechnen - mit Dezimalstellen
  • Alle oben genannten metrischen Einheiten - gemischte Praxis - mit Dezimalzahlen
  • Metrisches System: zwischen den Längeneinheiten umrechnen (mm, cm, dm, m, dam, hm, km)
  • Metrisches System: zwischen den Gewichtseinheiten umrechnen (mg, cg, dg, g, dag, hg, kg)
  • Metrisches System: Umrechnung zwischen den Volumeneinheiten (ml, cl, dl, L, dal, hl, kl)
  • Metrisches System: Umrechnen zwischen den Einheiten Länge, Gewicht und Volumen

Verhältnis

Prozent

Primfaktorzerlegung, GCF und LCM

Addition und Subtraktion von Brüchen

Bruchmultiplikation

Bei allen Bruchmultiplikations- und Divisionsproblemen hilft es, vor dem Multiplizieren zu vereinfachen.

Bruchteilung

Wandeln Sie Brüche in gemischte Zahlen um und vv

Vereinfachen oder äquivalente Brüche

Brüche vs. Dezimalzahlen

Ganzzahlen

Koordinatennetz

Addition und Subtraktion

Das Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen geht über die Common Core Standards für die 6. Klasse hinaus, aber einige Lehrpläne oder Standards können sie in der 6. Klasse enthalten.

Multiplikation & Division

Multiplikation und Division von ganzen Zahlen gehen über die Common Core Standards für die 6. Klasse hinaus, aber die Links zu den Arbeitsblättern sind der Vollständigkeit halber hier enthalten, da einige Lehrpläne oder Standards sie in der 6. Klasse enthalten können.

Geometrie

Bereich- Diese Arbeitsblätter werden im Koordinatenraster erstellt.

Volumen und Fläche

Da diese Arbeitsblätter unten Bilder unterschiedlicher Größe enthalten, überprüfen Sie bitte vor dem Drucken, wie das Arbeitsblatt in der Druckvorschau aussieht. Wenn es nicht passt, können Sie es entweder skaliert drucken (z. B. bei 90%) oder eine andere erstellen, indem Sie die Arbeitsblattseite aktualisieren (F5), bis Sie eine passende Seite erhalten.

  • Bestimme das Volumen eines rechteckigen Prismas mit gebrochenen Kantenlängen (einfach: Hälften, Drittel und Viertel, der ganzzahlige Teil ist maximal 1)
  • Bestimme das Volumen eines rechteckigen Prismas mit gebrochenen Kantenlängen (einfach: Hälften, Drittel und Viertel, der ganzzahlige Teil ist maximal 2)
  • Bestimme das Volumen eines rechteckigen Prismas mit gebrochenen Kantenlängen (Aufgabe: Brüche bis Sechstel)
  • Ermitteln des Volumens oder der Oberfläche von rechteckigen Prismen (einfach)
  • Ermitteln des Volumens oder der Oberfläche von rechteckigen Prismen (mit Dezimalzahlen)
  • Problemlösung: Volumen/Oberfläche/Kantenlänge des Würfels ermitteln, wenn Oberfläche oder Volumen gegeben ist

Formelfläche eines Zylinders

Auf dieser Seite werden die Eigenschaften eines geraden Kreiszylinders untersucht. Ein Zylinder hat einen Radius (r) und eine Höhe (h) (siehe Bild unten).

Diese Form ähnelt einer Dose. Die Oberfläche ist die Fläche des oberen und unteren Kreises (die gleich sind) und die Fläche des Rechtecks ​​(Etikett, das sich um die Dose wickelt).

Die Zylinderflächenformel

Das Bild unten zeigt, wie die Formel für die Fläche eines Zylinders einfach die Summe der Flächen des oberen und unteren Kreises plus der Fläche eines Rechtecks ​​ist. Dieses Rechteck ist, wie der Zylinder aussehen würde, wenn wir ihn „entwirren“.

Unten ist ein Bild der allgemeinen Formel für die Fläche.

Übungsaufgaben auf der Fläche eines Zylinders

Aufgabe 1

Welche Fläche hat der Zylinder mit Radius 2 und Höhe 6?

Zeige die Antwort

Aufgabe 2

Welche Fläche hat der Zylinder mit Radius 3 und Höhe 5?

Zeige die Antwort

Aufgabe 3

Welche Fläche hat der Zylinder mit Radius 6 und Höhe 7?

Zeige die Antwort


Liste der Bereichsarbeitsblätter

Die Kinder der 2. und 3. Klasse erweitern die Praxis mit dieser interessanten Sammlung von PDF-Arbeitsblättern zum Finden der Fläche durch Zählen von Einheitsquadraten. Hier eingeschlossene Flächenübungen zum Zählen der Quadrate in den unregelmäßigen Figuren und rechteckigen Formen.

Geben Sie dem Lernen einen Vorsprung, indem Sie die Fläche eines quadratischen Arbeitsblatts ermitteln. Berechnen Sie die Fläche der Quadrate mit der Formel, bestimmen Sie die Seitenlängen, bestimmen Sie die Länge der Diagonalen und berechnen Sie auch den Umfang mit der Fläche.

Stärken Sie mit diesen PDF-Arbeitsblättern mit Themen wie dem Bestimmen des Bereichs von Rechtecken, dem Bereich von geradlinigen Formen, rechteckigen Pfaden und dem Lösen von Textaufgaben Ihre Fähigkeiten zum Ermitteln der Fläche eines Rechtecks. Empfohlen für Klasse 3, Klasse 4, Klasse 5 und höher.

Erweitern Sie Ihre Praxis beim Finden des Bereichs mit unseren Arbeitsblättern für den Bereich der geradlinigen Figuren! Mit zwei oder mehr sich nicht überlappenden Rechtecken, aus denen sie bestehen, erfordern diese geradlinigen Formen das Hinzufügen der Flächen dieser nicht überlappenden Teile, um ihre Fläche zu erreichen.

Dieser Satz von Arbeitsblättern konzentriert sich auf das Finden der Fläche von Dreiecken und enthält Dreiecke, deren Abmessungen als ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche angegeben werden, die auch eine Umrechnung in bestimmte Einheiten beinhalten. Ca. Klassenstufen: 5. Klasse, 6. Klasse und 7. Klasse.

Die Arbeitsblätter für die Fläche eines Parallelogramms umfassen ausreichende Fähigkeiten, um die Fläche eines Parallelogramms zu finden, den Wert der fehlenden Abmessungen - Grundfläche oder Höhe - zu berechnen, zu üben, die Fläche durch Umrechnen in bestimmte Einheiten zu finden und vieles mehr. Die Übungen werden als geometrische Illustrationen und auch im Word-Format präsentiert.

Diese Sammlung von Flächenarbeitsblättern umfasst eine Vielzahl von PDFs, um die Fläche von Trapezen zu finden, deren Abmessungen als ganze Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen angegeben werden. Bestimmen Sie die fehlenden Parameter, indem Sie die Werte in den Formeln ersetzen, lösen Sie auch Übungen mit Einheitenumrechnungen.

Um zu betonen, wie man die Fläche einer Raute findet, enthalten die Arbeitsblätter hier unzählige PDFs, um dasselbe mit Dimensionen zu üben, die als ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche dargestellt werden. Finden Sie die Diagonallängen, fehlende Parameter, berechnen Sie die Fläche, lernen Sie, in eine bestimmte Einheit umzurechnen und vieles mehr.

Verbessern Sie die Effizienz beim Auffinden des Drachenbereichs mit diesen druckbaren Arbeitsblättern mit Illustrationen und Übungen im Word-Format. Berechnen Sie die Fläche des Drachens, finden Sie die fehlenden Diagonallängen anhand der Fläche und vieles mehr!

Berechnen Sie die Fläche von Vierecken, deren Abmessungen als ganze Zahlen und Brüche dargestellt werden. Die Arbeitsblätter zur Fläche eines Vierecks bestehen aus Übungen zu Rechtecken, Trapezen, Drachen in Form von Illustrationen, zu Rastern und im Wortformat. Üben Sie dabei die Umrechnung in eine vorgegebene Einheit.

Bestätigen Sie das Konzept, die Fläche eines Kreises zu ermitteln, indem Sie diese Übungsblätter verwenden. Lernen Sie, die Fläche oder den Umfang mit dem angegebenen Radius oder Durchmesser zu finden, die Fläche und den Umfang zu berechnen, den Radius und den Durchmesser aus der angegebenen Fläche oder dem angegebenen Umfang zu berechnen und vieles mehr.

Ein Annulus ist der Bereich, der zwischen zwei konzentrischen Kreisen eingeschlossen ist. Wie wäre es mit der Berechnung ihrer Fläche? Schließen Sie diesen kompakten Satz druckbarer Arbeitsblätter an und üben Sie die Berechnung der Fläche dieser Kreisringe!

Die Kinder der 5., 6. und 7. Klasse können ihre Fähigkeiten im Auffinden des Bereichs der Mischformen stärken, indem sie diese Arbeitsblätter zum Ausdrucken üben.

Bauen Sie diese Arbeitsblätter für die Fläche von Polygonen mit Beispielen und entsprechenden Übungen ein, um die Fläche von regelmäßigen Polygonen wie Dreiecken, Vierecken und unregelmäßigen Polygonen unter Verwendung der angegebenen Seitenlängen, des Umfangs und des Apothems zu bestimmen. Zum Üben stehen kostenlose Arbeitsblätter zur Verfügung.

Die Arbeitsblätter für zusammengesetzte Formen bestehen aus einer Kombination von zwei oder mehr geometrischen Formen, finden Sie die Fläche der schattierten Teile durch Addieren oder Subtrahieren der angegebenen Flächen, berechnen Sie die Fläche von geradlinigen Formen (unregelmäßige Figuren) und rechteckigen Pfaden. Dieses Übungsset ist ideal für die 4. bis 7. Klasse.

Entwickeln Sie mit diesen Übungs-PDFs Übung im Finden der Fläche eines Kreissegments. Entsprechende Übungen zur Ermittlung der Fläche des Dreiecks und der Fläche des Sektors mit einem der angegebenen Parameter helfen den Schülern, die Berechnung der Fläche des Segments im Handumdrehen zu meistern.


Geometrie des vertikalen Bildes

Um die Flugplanung von Missionen zu verstehen, müssen Sie die Geometrie des Bildes verstehen, wie es in der Kamera entsteht. Die Größe des CCD-Arrays und die Objektivbrennweite in Verbindung mit der Flughöhe (über Grund) bestimmen den Abbildungsmaßstab bzw. die Bodenauflösung des Bildes. Daher ist es für die Arbeit des Flugplaners unerlässlich, alle diese Informationen verstanden und verfügbar zu haben, bevor mit der Planung einer Mission begonnen wird.

In der Photogrammetrie beschäftigen wir uns normalerweise mit drei Arten von Bildern (Fotografie). Sie werden in Bezug auf den Winkel definiert, den die optische Achse der Kamera mit der Vertikalen (Nadir) bildet:

  1. echte vertikale Fotografie: ±0º vom Nadir
  2. geneigte oder fast vertikale Fotografie > 0º, aber weniger als ±3º – Am häufigsten verwendet –
  3. Schrägfotografie: zwischen ±35º Grad und ±55º vom Nadir

Für die Zwecke dieses Kurses konzentrieren wir uns nur auf die ersten beiden Arten, nämlich vertikale und fast vertikale Fotografie.

Abbildung 4.3 veranschaulicht die grundlegende Geometrie eines vertikalen Fotos oder Bildes. Unter vertikalem Foto oder Bild verstehen wir ein Bild, das mit einer auf den Boden gerichteten Kamera aufgenommen wurde. Wenn sich das Flugzeug bewegt, bewegt sich auch die Kamera, und dies macht es unmöglich, ein echtes vertikales Bild aufzunehmen. Daher erlaubt die vertikale Bildschärfe eine Abweichung von einigen Grad vom Tiefpunkt (der Linie, die den vorderen Punkt des Objektivs und den Punkt auf dem Boden, der sich genau unter dem Flugzeug befindet) verbindet. Zusammenfassend ist ein vertikales Bild ein Bild, das entweder direkt auf den Boden oder einige Grad zu beiden Seiten des Flugzeugs blickt.

Maßstab des vertikalen Bildes

As the sun's rays hit the ground, they reflect back toward the camera, and some actually enter the camera through the lens. This physical phenomenon enables us to express the ground-image relation using trigonometric principles. In Figure 4.3, ground point A is projected at image location a' and ground point B is projected at image location b' on the film. From such geometry, the film four corners a' b' c' d' cover an area on the ground represented by the square ABCD. Such relations not only enable us to compute the ground coverage of a photograph (image) but also enable us to compute the scale of such a photograph or image.

The scale of an image is the ratio of the distance on the image to the corresponding distance on the ground. In Figure 4.4, the distance on the ground AB will be projected on the image on line ab, therefore, the image scale can be computed using the following formula:

Equation 1: scale = distance ab distance AB

Analyzing the two triangles (the small triangle with base ab and the large triangle with base AB) of Figure 4.4, one can also conclude, using the similarity of triangles principle, that the scale is also equal to:

Equation 2: scale = lens focal length (f) Flying height (H)

Scale is expressed either in a unitless ratio such as 1/12,000 (or 1:12,000) or in pronounced units ratio such as 1 in. = 1,000 ft (or 1”=1,000’).

Examples on Scale Computations

The following two examples will walk you step by step through the process of computing scales for imagery produced from a film-based camera and from a digital camera. In digital cameras, the scale does not play any role in defining the image quality, as is the case with film-based camera. In digital cameras, we use the Ground Sampling Distance (GSD) to describe the resolution quality of the image while in film-based cameras we use the film scale.

Scale from Film Camera

Aerial photographs were acquired from an altitude of 6,000 ft AMT (Above Mean Terrain) with a film-based aerial camera with lens focal length of 6 inches. Determine the scale of the resulting photography.

From Figure 4.4 and equations 1 & 2,

Scale = lens focal length (f) Flying height (H) = distance ab distance AB

Scale = 6 in. 6 , 000 ft x 12 in/ft = distance ab distance AB

Scale from Digital Camera

Aerial imagery was acquired with a digital aerial camera with lens focal length of 100 mm and CCD size of 0.010 mm (or 10 microns). The resulting imagery had a ground resolution of 30 cm (1 ft). Determine the scale of the resulting imagery.

From Figure 4.4 and equation 1, assume that the distance ab represents the physical size of one pixel or CCD, which is 0.010 mm, and the distance AB is the ground coverage of the same pixel or 30 cm.

Scale = distance ab distance AB

Scale = 0.010 mm 30 cm x 10 mm/cm = 0.010 300 = 1 300 / 0.010 = 1 30 , 000

Practice Scale Computation Example:

Aerial imagery was acquired with a digital aerial camera with lens focal length of 50 mm and CCD size of 0.020 mm (or 20 microns). The resulting imagery had a ground resolution of 60 cm (2 ft). Determine the scale of the resulting imagery.

Scale = 0.020 mm 60 cm x 10 mm/cm = 0.020 600 = 1 30 , 000

Imagery Overlap

Imagery acquired for photogrammetric processing is flown with two types of overlap: Forward Lap and Side Lap. The following two subsections will describe each type of imagery overlap.

Forward Lap

Forward lap, which is also called end lap, is a term used in photogrammetry to describe the amount of image overlap intentionally introduced between successive photos along a flight line (see Figure 4.5). Flight 3 illustrates an aircraft equipped with a mapping aerial camera taking two overlapping photographs. The centers of the two photographs are separated in the air with a distance B. Distance B is also called air base. Each photograph of Figure 4.5 covers a distance on the ground equal to G. The overlapping coverage of the two photographs on the ground is what we call forward lap.

This type of overlap is used to form stereo-pairs for stereo viewing and processing. The forward lap is measured as a percentage of the total image coverage. Typical value for the forward lap for photogrammetric work is 60%. Because of the light weight of the UAS, we expect substantial air dynamic and therefore substantial rotations of the camera (i.e., crab) therefore, I recommend the amount of forward lap to be at least 70%.

Side Lap

Side lap is a term used in photogrammetry to describe the amount of overlap between images from adjacent flight lines (see Figure 4.6). Figure 4.6 illustrates an aircraft taking two overlapping photographs from two adjacent flight lines. The distance in the air between the two flight lines (W) is called lines spacing.

This type of overlap is needed to make sure that there are no gaps in the coverage. The side lap is measured as a percentage of the total image coverage. The typical value for the side lap for photogrammetric work is 30%. However, because of the light weight of the UAS, we expect substantial air dynamic and therefore substantial rotations of the camera (i.e. crab), and therefore I recommend using at least 40% side lap.

Image Ground Coverage

Ground coverage of an image is the area on the ground (the square ABCD of Figure 4.3) covered by the four corners of the photograph a'b'c'd' of Figure 4.3. Ground coverage of a photograph is determined by the camera internal geometry (focal length and the size of the CCD array) and the flying altitude above ground elevation.

Example on Image Ground Coverage:

A digital camera has an array size of 12,000 pixels by 6,000 pixels (Figure 4.7). If the physical CCD size is 0.010 mm (10 um) camera, how much area in acres will each image cover on the ground if the resulting ground resolution (GSD) of a pixel is 1 foot?

Ground coverage across the width (W) of the array = 12,000 pixels x 1 ft/pixel = 12,000 ft

Ground coverage across the height (L) of the array= 6,000 pixels x 1 ft/pixel = 6,000 ft

Covered area per image = W x L = 12 , 000 ft x 6 , 000 ft = 72 , 000 , 000 ft 2 = 72 , 000 , 000 43 , 560 = 1652.892 acres


News & Updates

Monday March 29th, 2021 Spelling Distance Learning Assignments Hey all,
So today something that has been in the works for a while and I think it's (finally) ready for the public.
Now on the Spelling Worksheet Maker you'll see an option for 'Distance Learning'.
Just click on that and instead of outputing worksheets it'll generate distance learning assignments.
And as a bonus, any previously created spelling list is compatible with the distance learning option. Huzzah!

I've been testing and tweaking it for a few months now, so I'm absolutely 100% positive there are no bugs or glitches.
That being said. when you find any bug or glitches please let me know in the comments. :P

Easter Coloring Sheets Also just in time for easter there are a few coloring sheets available here:
Coloring Sheets

Robert Smith (Admin)
[email protected]


Reducing the Scale Factor

The methods above to convert a measurement assume the scale factor is in the form of 1:n oder 1/n, which means some additional work is needed if the ratio is 2:3, for example. When the scale factor is not in an even 1:n ratio, you’ll need to reduce it to 1:n.

Use our ratio calculator to reduce a ratio. You can also reduce a ratio by dividing both the numerator and the denominator by the numerator.

Beispielsweise: reduce 2/3 by dividing both numbers by 2, which would be 1/1.5 or 1:1.5.