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5.1.1: Interpretieren negativer Zahlen - Mathematik

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Lektion

Sehen wir uns an, was wir über Zahlen mit Vorzeichen wissen.

Übung (PageIndex{1}): Verwenden des Thermometers

Hier ist ein Wetterthermometer. Drei der Zahlen wurden weggelassen.

  1. Welche Zahlen gehören in die Kästchen?
  2. Welche Temperatur zeigt das Thermometer an?

Aufgabe (PageIndex{2}): Bruchteile eines Grades

  1. Welche Temperatur wird auf jedem Thermometer angezeigt?
  2. Welches Thermometer zeigt die höchste Temperatur an?
  3. Welches Thermometer zeigt die niedrigste Temperatur an?
  4. Angenommen, die Außentemperatur ist (-4^{circ} ext{C}). Ist das kälter oder wärmer als die kälteste angezeigte Temperatur? Woher weißt du das?

Übung (PageIndex{3}): Möwen steigen, Haie schwimmen

Hier ist ein Bild von einigen Meerestieren. Der Zahlenstrahl auf der linken Seite zeigt die vertikale Position jedes Tieres über oder unter dem Meeresspiegel in Metern an.

  1. Wie weit über oder unter dem Meeresspiegel ist jedes Tier? Messen Sie auf Augenhöhe.
  2. Ein Mobulastrahl befindet sich 3 Meter über der Meeresoberfläche. Wie vergleicht sich seine vertikale Position mit der Höhe oder Tiefe von:
    Der springende Delfin?
    Die fliegende Möwe?
    Der Oktopus?
  3. Ein Albatros befindet sich 5 Meter über der Meeresoberfläche. Wie vergleicht sich seine vertikale Position mit der Höhe oder Tiefe von:
    Der springende Delfin?
    Die fliegende Möwe?
    Der Oktopus?
  4. Ein Clownfisch befindet sich 2 Meter unter der Meeresoberfläche. Wie verhält sich seine vertikale Position im Vergleich zur Höhe oder Tiefe von:
    Der springende Delfin?
    Die fliegende Möwe?
    Der Oktopus?
  5. Der vertikale Abstand eines neuen Delfins vom Delfin im Bild beträgt 3 Meter. Wie weit ist er von der Meeresoberfläche entfernt?

Bist du bereit für mehr?

Der Nordpol liegt mitten im Ozean. Eine Person auf Meereshöhe am Nordpol wäre 3.949 Meilen vom Erdmittelpunkt entfernt. Der Meeresboden unterhalb des Nordpols liegt auf einer Höhe von etwa -2,7 Meilen. Die Höhe des Südpols beträgt etwa 1,7 Meilen. Wie weit ist eine Person am Südpol von einem U-Boot am Meeresboden unterhalb des Nordpols entfernt?

Übung (PageIndex{4}): Kartensortierung: Rationale Zahlen

  1. Ihr Lehrer gibt Ihrer Gruppe ein Kartenset. Ordne die Karten vom kleinsten zum größten.
  2. Machen Sie hier eine Pause, damit Ihr Lehrer Ihre Arbeit überprüfen kann. Dann gibt Ihnen Ihr Lehrer einen zweiten Kartensatz.
  3. Fügen Sie den neuen Kartensatz zum ersten Satz hinzu, sodass alle Karten von der kleinsten zur größten geordnet sind.

Zusammenfassung

Wir können benutzen positive Zahlen und negative Zahlen Temperatur und Höhe darzustellen.

Wenn Zahlen Temperaturen darstellen, zeigen positive Zahlen Temperaturen an, die wärmer als Null sind, und negative Zahlen zeigen Temperaturen an, die kälter als Null sind. Dieses Thermometer zeigt eine Temperatur von -1 Grad Celsius an, die wir (-1^{circ} ext{C}) schreiben.

Wenn Zahlen Höhen darstellen, zeigen positive Zahlen Positionen über dem Meeresspiegel an und negative Zahlen zeigen Positionen unterhalb des Meeresspiegels an.

Wir können die Reihenfolge der vorzeichenbehafteten Zahlen auf einem Zahlenstrahl sehen.

Eine Zahl ist immer kleiner als die Zahlen rechts davon. Also (-7<-3).

Wir gebrauchen Absolutwert um zu beschreiben, wie weit eine Zahl von 0 entfernt ist. Die Zahlen 15 und -15 sind beide 15 Einheiten von 0 entfernt, also (|15|=15) und (|-15|=15). Wir rufen 15 und -15 . an Gegensätze. Sie befinden sich auf der Zahlengeraden auf gegenüberliegenden Seiten von 0, aber im gleichen Abstand von 0.

Glossareinträge

Definition: Absoluter Wert

Der Absolutwert einer Zahl ist ihr Abstand von 0 auf dem Zahlenstrahl.

Der Absolutwert von -7 ist 7, weil er 7 Einheiten von 0 entfernt ist. Der Absolutwert von 5 ist 5, weil er 5 Einheiten von 0 entfernt ist.

Definition: Negative Zahl

Eine negative Zahl ist eine Zahl, die kleiner als Null ist. Auf einem horizontalen Zahlenstrahl werden normalerweise negative Zahlen links von 0 angezeigt.

Definition: Positive Zahl

Eine positive Zahl ist eine Zahl, die größer als Null ist. Auf einem horizontalen Zahlenstrahl werden positive Zahlen normalerweise rechts von 0 angezeigt.

Trainieren

Übung (PageIndex{5})

Es war (-5^{circ} ext{C}) in Kopenhagen und (-12^{circ} ext{C}) in Oslo. Welche Stadt war kälter?

Übung (PageIndex{6})

  1. Ein Fisch befindet sich 12 Meter unter der Meeresoberfläche. Wie hoch ist seine Höhe?
  2. Ein Seevogel befindet sich 28 Meter über der Meeresoberfläche. Wie hoch ist seine Höhe?
  3. Wenn sich der Vogel direkt über dem Fisch befindet, wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Übung (PageIndex{7})

Vergleichen Sie mit >, = oder <.

  1. (3) _____ (-3)
  2. (12) _____ (24)
  3. (-12) _____ (-24)
  4. (5) _____ (-(-5))
  5. (7.2) _____ (7)
  6. (-7.2) _____ (-7)
  7. (-1,5) _____ (frac{-3}{2})
  8. (frac{-4}{5}) _____ (frac{-5}{4})
  9. (frac{-3}{5}) _____ (frac{-6}{10})
  10. (frac{-2}{3}) _____ (frac{1}{3})

Übung (PageIndex{8})

Han möchte ein 30-Dollar-Ticket für ein Spiel kaufen, aber die Vorbestellungstickets sind ausverkauft. Er weiß, dass am Spieltag mehr Tickets verkauft werden, mit einem Aufschlag von 200%. Wie viel sollte Han erwarten, für das Ticket zu zahlen, wenn er es am Tag des Spiels kauft?

(Ab Lektion 4.2.2)

Übung (PageIndex{9})

Eine Art grüne Farbe wird hergestellt, indem 2 Tassen Gelb mit 3,5 Tassen Blau gemischt werden.

  1. Finden Sie eine Mischung, die den gleichen Grünton ergibt, aber eine kleinere Menge.
  2. Finden Sie eine Mischung, die den gleichen Grünton, aber eine größere Menge ergibt.
  3. Finden Sie eine Mischung, die einen anderen Grünton ergibt, der blauer ist.
  4. Finden Sie eine Mischung, die einen anderen Grünton ergibt, der eher gelb ist.

(aus Einheit 2.1.1)


Was ist eine negative Zahl?

Ich versuche, zu einer abstrakten Definition einer negativen Zahl zu gelangen, die zum Grundkonzept der Addition/Subtraktion passen würde.

Es gibt hier Fragen zum Multiplizieren und Dividieren negativer Zahlen, die wirklich auf diese grundlegende Frage hinweisen.

Die übliche Analogie ist die der Geldschulden. Diese Analogie ist nützlich, und ich möchte davon das grundlegende Konzept der 'negativen Zahl' abstrahieren. Andere Analogien, die eine andere Perspektive bieten können, wären ebenfalls hilfreich. Aber das Ziel ist es, aus diesen Analogien das Grundkonzept zu destillieren.

Bei der Beantwortung der Frage könnte man darüber sprechen, was eine Zahl ist. Es scheint, dass "negativ" ein Adjektiv ist, das eine Zahl beschreibt. Ich möchte jedoch davon ausgehen, dass das Konzept der 'Zahl' allgemein verstanden wird, also müssen wir nicht zu tief darin gehen.

Was ist eine negative Zahl? Bitte geben Sie Ihre Gedanken.


Negative Zahlen

Heutzutage verwenden wir in vielen Zusammenhängen negative Zahlen und erscheinen uns daher ganz natürlich. Das liegt daran, dass uns beigebracht wurde, Zahlen als eine kontinuierliche Zahlenlinie zu sehen, die sich sowohl in positiver als auch in negativer Richtung von Null aus erstreckt. Für uns ist -3 genauso real wie +3, aber das war nicht immer der Fall. Negative Zahlen haben sich erst vor kurzem als Teil des Zahlensystems durchgesetzt, das Mathematiker verwenden dürfen. Während ein Großteil der sehr fortgeschrittenen Mathematik von alten Zivilisationen entwickelt wurde, hatten Mathematiker in den meisten Kulturen kein Verständnis dafür, was eine negative Zahl bedeuten könnte. In diesem Artikel werden wir einige der frühesten Erscheinungen negativer Zahlen untersuchen und wie sich die Einstellung dazu im Laufe der Jahrhunderte verändert hat.

Zu den ersten Menschen, die negative Zahlen in Berechnungen verwendeten, gehörten die alten Chinesen. Sie verwendeten Zählstäbe, um Berechnungen durchzuführen, mit roten Stäben für positive Zahlen und schwarzen Stäben für negative Zahlen. Das folgende Beispiel zeigt einige chinesische Zahlen, die durch Stäbchen dargestellt werden, und das Diagramm rechts zeigt, welche Zahlen diese Symbole darstellen.

Obwohl also jeder die Subtraktion gerne zuließ und den Begriff der Schulden verstehen konnte, dauerte es Jahrhunderte, bis Mathematiker verstanden oder akzeptierten, dass negative Zahlen als eigenständige Zahlen existieren können. Im Jahr 1759 schrieb Francis Meseres diese negativen Zahlen:

"die ganzen Lehren der Gleichungen zu verdunkeln und die Dinge, die ihrer Natur nach zu offensichtlich und einfach sind, zu verdunkeln. Es wäre daher wünschenswert gewesen, dass die negativen Wurzeln in der Algebra nie zugelassen oder verworfen wurden" .

Noch 1803 machte sich der berühmte französische Mathematiker Carnot Sorgen um die Realität negativer Zahlen:

"um wirklich eine isolierte negative Größe zu erhalten, müsste man eine effektive Größe von Null abschneiden, etwas von Nichts entfernen: unmögliche Operation. Wie kann man sich also eine isolierte negative Größe vorstellen?"

Einige Mathematiker im 17. Jahrhundert entdeckten, dass negative Zahlen ihren Nutzen haben. Vorausgesetzt, sie machten sich keine Gedanken darüber, was negative Zahlen bedeuten und insbesondere was die Quadratwurzeln negativer Zahlen bedeuten, stellten sie fest, dass sie einige sehr knifflige Gleichungen wie kubische und quartische Gleichungen lösen konnten. Obwohl die Zwischenschritte einer Berechnung möglicherweise negative Zahlen beinhalteten, kam die Lösung oft als reelle, positive Zahl heraus, was genau das war, was sie wollten.

Seitdem haben Mathematiker und Wissenschaftler alle möglichen Verwendungen für negative Zahlen gefunden. Wir erkennen jetzt, dass eine negative Antwort in vielen Fällen eine echte, sinnvolle Lösung sein kann und richtungsweisend gedacht werden kann. Wenn ich zum Beispiel berechnen wollte, wie viele Schritte Robert vorwärts gemacht hat und die Antwort -5 ist, dann bedeutet dies, dass er 5 Schritte rückwärts gegangen ist. Der erste Mensch, der den Zusammenhang zwischen negativen Zahlen und Richtung erkannte, war John Wallis, ein Mathematiker im 17. Jahrhundert. Er war der erste, der die Idee einer Zahlenlinie als geometrische Darstellung des Zahlensystems hatte. Verwirrenderweise dachte er jedoch auch, dass negative Zahlen größer als unendlich seien!


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Positive und negative Zahlen – Was Zahlen bedeuten

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Wir verwenden Zahlen, um anzuzeigen, wie viele oder wie viel es von etwas gibt:

  • Menschen haben 2 Augen
  • Es gibt 5 Zehen an einem Fuß
  • Die Woche hat 7 Tage
  • Es gibt 12 Zoll in einem Yard
  • Sie haben 15 Pfennige in Ihrer Tasche. und so weiter

Wir verwenden positive Zahlen, um diese Dinge zu zeigen. Bis jetzt haben wir wahrscheinlich nicht "positive Zahlen" gesagt, sondern nur "Zahlen".

Wir zeigen positive Zahlen mit einem + Zeichen
+5 bedeutet positive fünf
Normalerweise sagen wir nicht "positiv", obwohl wir das so meinen.
5 ist das gleiche wie +5

Verwenden negativer Zahlen

  • Die Temperatur ist 12 Grad kälter als gestern
  • Ich schulde meiner Schwester 6 Dollar
  • Mein Freund möchte 10 Kilo abnehmen
  • Das Auto fuhr 5 Meilen pro Stunde unter der Geschwindigkeitsbegrenzung

Negative Zahlen sind kleiner als Null

Auch für diese Dinge brauchen wir Zahlen. Wir verwenden negative Zahlen.

Wir zeigen negative Zahlen mit einem - Vorzeichen
-7 bedeutet minus sieben
Manchmal sagen die Leute "minus sieben" statt "negative sieben" - beide meinen dasselbe

Mit negativen Zahlen können wir Werte anzeigen, ohne viele Wörter zu verwenden. Negative Zahlen sind für Berechnungen nützlich.


Positive und negative ganze Zahlen werden nicht nur in einfachen mathematischen Operationen verwendet, sondern können auch in realen Situationen verwendet werden. Die Temperatur ist eine der Anwendungen der Lektion.

Null ist weder positiv noch negativ.

  • Eine Zahl ist positiv wenn die Zahl über Null liegt.
  • Positive Zahlen werden ohne Vorzeichen oder mit einem „+“-Zeichen davor geschrieben.
  • Sie werden auf einem Zahlenstrahl von Null nach rechts hochgezählt.
  • Eine Zahl ist Negativ wenn die Zahl unter Null ist.
  • Negative Zahlen werden immer mit einem „-“-Zeichen davor geschrieben.
  • Sie werden auf einem Zahlenstrahl von Null nach links heruntergezählt.

Positive Zahlen werden höher, je weiter wir uns nach rechts bewegen, sodass 5 mehr als 2 ist. Negative Zahlen werden niedriger, je weiter wir uns nach links bewegen, sodass -5 kleiner als -2 ist.


5.1.1: Interpretieren negativer Zahlen - Mathematik

Es ist überraschender, weniger offensichtlich und vielleicht ziemlich kontraintuitiv, dass die Menge der natürlichen Zahlen auch der Menge der rationalen Zahlen entspricht. Um zu zeigen, dass diese Mengen tatsächlich äquivalent sind, müssen wir die rationalen Zahlen ordnen. Der folgende Beweis stammt von George Cantor. Betrachten wir der Einfachheit halber nur die positiven rationalen Zahlen. (Um negative rationale Zahlen zu integrieren, können wir zum Beispiel gerade natürliche Zahlen mit positiven rationalen Zahlen und ungerade natürliche Zahlen mit negativen rationalen Zahlen paaren.)

(Positive) rationale Zahlen haben die Form p/q, wobei p und q natürliche Zahlen sind. Diese können in einer Tabelle angeordnet werden:

Natürlich sind nicht alle Einträge dieser Tabelle verschieden. Beispielsweise

Im nächsten Schritt löschen wir daher alle rationalen Zahlen, die nichttriviale gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner haben.

Um diese Zahlen schließlich mit 1, 2, 3, . wir beginnen in der nordwestlichen Ecke der Tabelle, gehen eine Reihe nach unten, gehen diagonal in nordöstlicher Richtung nach oben, bis wir die erste Reihe erreichen, gehen eine Spalte nach rechts, gehen zurück in Richtung Südwesten South bis wir die erste Spalte treffen, und fahren Sie auf diese Weise fort:


Prozentrechnung mit negativen Zahlen

Angenommen, Sie haben 2 Zahlen. Sie möchten sie zusammenfassen und den Prozentsatz jeder Zahl auf dieser Summe berechnen. Sagen wir 4 und 6. Also trägt 4 40% und 6 60% zu ihrer Summe bei 10.

Was passiert bei negativen Zahlen?

Ich habe einige einfache Nachforschungen angestellt, und in den relevanten Artikeln versucht jemand, die prozentualen Änderungen von einer Zahl zur anderen zu berechnen. Wie Finanzwachstumsberichte.

Meine Frage ist eher, wie viel jede Komponentennummer prozentual zur Summe beiträgt. Das Problem tritt auf, wenn eine der Zahlen negativ ist. Betrachten Sie den trivialen Fall 1 und -1. Die Summe ist 0. Bei der Berechnung des Prozentsatzes (1/0) * 100 erhalten Sie bereits einen Divisionsfehler durch Null.

Die Lösung, die der meiner Forschung entspricht, besteht darin, die Differenz zwischen den beiden Zahlen als Basis zu verwenden. Die Differenz von 1 und -1 ist also 2. Also trägt 1 zu (1/2)*100 = 50% bei.

Was ist mit -1? Verwenden Sie die absolute Funktion. (abs(-1) / 2 ) * 100 = 50%.

Die Differenzmethode funktioniert gut, wenn Sie nur zwei Zahlen haben. Was ist, wenn Sie mit mehreren arbeiten? Meine Freundin hat mir diese Frage tatsächlich gestellt. Angenommen, Sie haben 6 Zahlen und möchten den prozentualen Beitrag jeder Zahl zu ihrer Summe berechnen.

Mein Vorschlag? Absolut alles. Der prozentuale Beitrag von n1 ist
abs(n1) / ( abs(n1) + abs(n2) + abs(n3) + abs(n4) + abs(n5) + abs(n6) ) * 100

Dann stellte mein Freund eine Killerfrage. Was ist, wenn alle Zahlen Null sind? Wie hoch ist dann der Prozentsatz für jede Zahl (obwohl jede Zahl Null ist)?

Es ist für eine Berichtsanwendung, und mein Freund fragte sich, wie man die Prozentsätze berechnet. Nun ist auch die Summe einer Reihe von Nullen Null. Sie haben die Division durch null Fehler getroffen. Auch die Absolute-Everything-Methode schlägt fehl, da jede Zahl Null ist, also gibt es nichts zu “absolute”.

Da es keine definierte Methode zur Berechnung gibt, wenn alle Zahlen Null sind, habe ich die beiden offensichtlichen Lösungen angegeben. Die erste ist, dass, da jede Zahl Null ist und die Summe Null ist, jede Null zu 100 % zur Nullsumme beigetragen hat. Die zweite ist, da jede Zahl Null ist, hat daher jede 0% beigetragen.

Mein Freund hat sich für die zweite Lösung entschieden. Der zwingendste Grund für diese Wahl war, dass es einfacher ist, dem Benutzer die Logik hinter dieser Wahl zu erklären. Es ist ein Edge-Case. Wenn es keine richtige Antwort gibt, wählen Sie die Antwort, die einfacher zu erklären ist.

AKTUALISIEREN: Steve hat 2 weitere alternative Lösungen angegeben.

AKTUALISIEREN: Ich habe einen Artikel geschrieben, um die Verwirrung einiger Leser zu erklären. Wie kann ein Produkt mit schlechter Leistung den höchsten Prozentsatz zum Endergebnis eines Unternehmens beitragen? Lesen Sie hier die Erklärung.

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Lösung des SVM-Optimierungsproblems – Soft Margin SVM

Das Problem mit Hard Margin SVM ist, dass es nur für linear trennbare Daten funktioniert. Dies wäre jedoch in der realen Welt nicht der Fall. Es ist sehr wahrscheinlich, dass die Daten in praktischen Fällen ein gewisses Rauschen enthalten und möglicherweise nicht linear trennbar sind. Wir werden uns ansehen, wie Soft Margin SVM mit diesem Problem umgeht.

Grundsätzlich ist der Trick, den Soft Margin SVM verwendet, sehr einfach, er fügt den Einschränkungen des Optimierungsproblems Slack-Variablen hinzu. Die Einschränkungen werden jetzt:

Durch Hinzufügen der Schlupfvariablen ist es beim Minimieren der Zielfunktion möglich, die Einschränkung zu erfüllen, selbst wenn das Beispiel die ursprüngliche Einschränkung nicht erfüllt. Das Problem ist, dass wir immer einen ausreichend großen Wert von wählen können, damit alle Beispiele die Einschränkungen erfüllen.

Eine Technik, um dies zu handhaben, ist die Regularisierung. Zum Beispiel könnten wir die L1-Regularisierung verwenden, um große Werte von zu bestrafen. Das regularisierte Optimierungsproblem lautet:

Außerdem wollen wir sicherstellen, dass wir die Zielfunktion nicht minimieren, indem wir negative Werte von wählen. Wir fügen die Einschränkungen hinzu. Wir fügen auch einen Regularisierungsparameter C hinzu, um zu bestimmen, wie wichtig es sein sollte, d. h. wie sehr wir vermeiden möchten, dass jedes Trainingsbeispiel falsch klassifiziert wird. Das regularisierte Optimierungsproblem lautet:

Wenn wir die Lagrange-Multiplikatormethode wie oben verwenden und die ganze harte Mathematik durchführen, könnte das Optimierungsproblem in ein duales Problem umgewandelt werden:

Hier wurde die Einschränkung auf geändert.

Regularisierungsparameter C

Was macht also der Regularisierungsparameter C? Wie gesagt, es bestimmt, wie wichtig es sein sollte. Ein kleineres C betont die Bedeutung von und ein größeres C verringert die Bedeutung von .

Eine andere Denkweise von C ist, dass Sie die Kontrolle darüber haben, wie die SVM mit Fehlern umgeht. Wenn wir C auf positiv unendlich setzen, erhalten wir das gleiche Ergebnis wie bei der Hard-Margin-SVM. Im Gegenteil, wenn wir C auf 0 setzen, gibt es keine Einschränkung mehr und wir erhalten eine Hyperebene, die nichts klassifiziert. Die Faustregeln lauten: kleine Werte von C führen zu einer größeren Marge, auf Kosten einiger Fehlklassifikationen ergeben große Werte von C den Klassifikator Hard Margin und tolerieren keine Einschränkungsverletzung. Wir müssen einen Wert von C finden, der die Lösung nicht durch die verrauschten Daten beeinflusst.


Zahlen: Negative Zahlen

Frau, dunkles Haar, orangefarbener Pullover: Negative Zahlen, wissen Sie, wir haben es normalerweise mit Temperaturen, mit Kontoauszügen und sogar mit Aufzügen zu tun.

Männlich, dunkles Haar, gestreifte Tunika: Ein Beispiel für negative Zahlen, leider gelegentlich mein Kontostand.

Wenn ich also mehr rausgehe als reinkomme, dann hast du offensichtlich Schulden.

Männlicher Küchenarbeiter, blonde Haare, weiße Tunika: Hier haben wir den Gefrierschrank, der -19 ist, was gut ist, weil er unter -18 arbeiten muss.

Frau, dunkles Haar, gestreiftes Hemd: Wir haben einen Stromzähler, den wir immer versuchen, aufzufüllen, wenn er leer ist, aber wenn Sie ihn übergehen lassen, geht er in den Notfall, also - £7 und das wird dann vom nächsten Geldbetrag abgezogen, den Sie auf Ihren Schlüssel legen.

Wenn Sie also 20 € aufladen, erhalten Sie beim nächsten Mal nur 13 €.

Eine negative Zahl ist eine Zahl kleiner als Null. Sie werden meist verwendet, um Temperaturen unter dem Gefrierpunkt anzuzeigen.


Schau das Video: Negative Zahlen. Einführung mit Zahlenstrahl. Mathematik. Lehrerschmidt (August 2022).