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5.6.E: Probleme mit dem Satz von Tayior - Mathematik


Übung (PageIndex{1})

Vervollständige die Beweise der Sätze (1,1^{prime},) und 2.

Übung (PageIndex{2})

Überprüfe Anmerkung 1 und die Beispiele (b) und (left(mathrm{b}^{prime prime} ight)).

Übung (PageIndex{3})

Unter (g(t)=(a-t)^{s}, s>0,) in ((6),) finde
[
R_{n}=frac{f^{(n+1)}(q)}{n ! s}(x-p)^{s}(x-q)^{n+1-s} quad( ext { Schloemilch-Roche Rest }).
]
Man erhält daraus (left(5^{prime} ight)) und (left(5^{prime prime} ight)).

Übung (PageIndex{4})

Beweisen Sie, dass (P_{n}) (wie definiert) das einzige Polynom vom Grad (n) mit
[
f^{(k)}(p)=P_{n}^{(k)}(p), quad k=0,1, ldots, n .
]
[Hinweis: Differenzieren Sie (P_{n} n) mal, um zu überprüfen, ob es diese Eigenschaft erfüllt.
Angenommen, dies gilt für die Eindeutigkeit auch für
[
P(x)=sum_{k=0}^{n} a_{k}(x-p)^{k} .
]
Differenziere (P n) mal, um zu zeigen, dass
[
P^{(k)}(p)=f^{(k)}(p)=a_{k} k ! ,
]
(left. ext { also } P=P_{n} . ext { (Warum?) } ight])

Übung (PageIndex{5})

Beweisen Sie mit (P_{n}) wie definiert, dass, wenn (f) (n) mal differenzierbar bei (p,) ist, dann
[
f(x)-P_{n}(x)=oleft((x-p)^{n} ight) ext { as } x ightarrow p
]
(Theorem von Taylor mit Peano-Restterm).
[Hinweis: Sei (R(x)=f(x)-P_{n}(x)) und
[
delta(x)=frac{R(x)}{(x-p)^{n}} ext { mit } delta(p)=0 .
]
Beweisen Sie mit der "vereinfachten" L'Hôpital-Regel (Aufgabe 3 in (§3) ) wiederholt (n)-mal (left. ext { that } lim _{x ightarrow p} delta (x)=0 . echts])

Übung (PageIndex{6})

Verwenden Sie Satz (1^{prime}) mit (p=0), um die folgenden Entwicklungen zu verifizieren, und beweisen Sie, dass (lim_{n ightarrowinfty} R_{n}=0) gilt.
(a) (sin x=x-frac{x^{3}}{3 !}+frac{x^{5}}{5 !}-cdots-frac{(-1)^ {m} x^{2 m-1}}{(2 m-1) !}+frac{(-1)^{m} x^{2 m+1}}{(2 m+1) ! } cos heta_{m}x)
für alle (xin E^{1}) ;
(b) (cos x=1-frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{4}}{4 !}-cdots+frac{(-1)^{ m} x^{2 m}}{(2 m) !}-frac{(-1)^{m} x^{2 m+2}}{(2 m+2) !} sin heta_ {m} x) für
alle (x in E^{1} .)
[Hinweise: Sei (f(x)=sin x) und (g(x)=cos x .) Induktion zeigt, dass
[
f^{(n)}(x)=sinleft(x+frac{npi}{2} ight) ext{ und } g^{(n)}(x)=cosleft (x+frac{npi}{2} ight) .
]
Beweisen Sie mit der Formel (left(5^{prime} ight),), dass
[
left|R_{n}(x) ight| leqleft|frac{x^{n+1}}{(n+1) !} ight| ightarrow 0 .
]
Tatsächlich ist (x^{n} / n !) der allgemeine Term einer konvergenten Reihe
[
left.sum frac{x^{n}}{n !} quad ext { (siehe Kapitel } ​​4, §13, ext { Beispiel }(mathrm{d}) ight).
]
(left. ext { Also } x^{n} / n ! ightarrow 0 ext { nach Satz } 4 ext { des gleichen Abschnitts. } ight])

Übung (PageIndex{7})

Für alle (s in E^{1}) und (n in N,) definiere
[
left(egin{array}{l}{s} {n}end{array} ight)=frac{s(s-1) cdots(s-n+1)}{n ! } ext { with }left(egin{array}{l}{s} {0}end{array} ight)=1 .
]
Dann beweise folgendes.
(i) (lim _{n ightarrow infty} nleft(egin{array}{l}{s} {n}end{array} ight)=0) falls ( s>0),
(ii) (lim_{n ightarrowinfty}left(egin{array}{l}{s} {n}end{array} ight)=0) falls (s >-1),
(iii) Für alle festen (s in E^{1}) und (x in(-1,1)).
[
lim _{n ightarrow infty}left(egin{array}{l}{s} {n}end{array} ight) n x^{n}=0 ;
]
daher
[
lim _{n ightarrow infty}left(egin{array}{c}{s} {n}end{array} ight) x^{n}=0 .
]
(left[ ext { Hinweise: }(mathrm{i}) ext { Sei } a_{n}=left|nleft(egin{array}{l}{s} {n }end{array} ight) ight| . ext { Überprüfen Sie, dass } ight.)
[
a_{n}=|s|left|1-frac{s}{1} ight|left|1-frac{s}{2} ight| cdotsleft|1-frac{s}{n-1} ight| .
]
Falls (s>0,left{a_{n} ight} downarrow) für (n>s+1,) so setzen wir (L=lim a_{n}= lim a_{2 n} geq 0 .) (Erklären Sie!)
Beweise das
[
frac{a_{2 n}}{a_{n}}]
also für große (n),
[
frac{a_{2 n}}{a_{n}}]
Bei festem (varepsilon) sei (n ightarrowinfty) zu (Lleqleft(e^{-frac{1}{2} s}+varepsilon ight) L .) Dann erhalte mit (varepsilon ightarrow 0,) (L e^{frac{1}{2} s} leq L).
(left. ext { As } e^{frac{1}{2} s}>1 ext { (für } s>0 ight),) impliziert dies (L=0,) wie behauptet.
(ii) Für (s>-1, s+1>0,) also nach ((i)),
[
(n+1)left(egin{array}{c}{s+1} {n+1}end{array} ight) ightarrow 0 ; ext { d. h. }(s+1)left(egin{array}{c}{s} {n}end{array} ight) ightarrow 0 . quad( ext { Warum? })
]
(iii) Verwenden Sie den Verhältnistest, um zu zeigen, dass die Reihe (sumleft(egin{array}{l}{s} {n}end{array} ight) nx^{n}) konvergiert, wenn (|x|<1).
( ext { Dann gilt Satz } 4 ext { von Kapitel } ​​4, §13 .])

Übung (PageIndex{8})

Fortlaufende Probleme 6 und (7,) beweisen, dass
[
(1+x)^{s}=sum_{k=0}^{n}left(egin{array}{l}{s} {k}end{array} ight) x^ {k}+R_{n}(x) ,
]
wobei (R_{n}(x) ightarrow 0) wenn entweder (|x|<1,) oder (x=1) und (s>-1,) oder (x= -1) und (s>0 .)
[Hinweise: (a) Wenn (0leq x leq 1,) verwende (left(5^{prime} ight)) für
[
R_{n-1}(x)=left(egin{array}{c}{s} {n}end{array} ight) x^{n}left(1+ heta_{ n} x ight)^{sn}, quad 0< heta_{n}<1 . ext { (Überprüfen!) }
]
Leiten Sie ab, dass (left|R_{n-1}(x) ight|leqleft|left(egin{array}{c}{s} {n}end{array} ight ) x^{n} ight| ightarrow 0 .) Verwenden Sie Problem 7(( ext { iii) if }|x|<1 ext { or Problem } 7( ext { ii })) if (x=1).
(b) Wenn (-1 leq x<0,) schreibe (left(5^{prime prime} ight)) als
[
R_{n-1}(x)=left(egin{array}{c}{s} {n}end{array} ight) nx^{n}left(1+ heta_{ n}^{prime} x ight) s^{-1}left(frac{1- heta_{n}^{prime}}{1+ heta_{n}^{prime} x } ight)^{n-1} . ext { (Überprüfen!) }
]
Da (-1 leq x<0,) ist der letzte Bruch (leq 1 .) (Warum?)
[
left(1+ heta_{n}^{prime} x ight)^{s-1} leq 1 ext { if } s>1, ext { and } leq(1+x)^ {s-1} ext { if } s leq 1 .
]
Bei festem (x) sind diese Ausdrücke also beschränkt, während (left(egin{array}{c}{s} {n}end{array} ight) nx^{n} ightarrow 0) nach Problem 7((mathrm{i})) (left. ext { or }( ext { iii}) . ext { Leite daraus } R_{n-1} rightarrow 0, ext { also } R_{n} ightarrow 0 . ight])

Übung (PageIndex{9})

Beweise das
[
ln (1+x)=sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} frac{x^{k}}{k}+R_{n}(x) ,
]
wobei (lim_{n ightarrowinfty} R_{n}(x)=0) falls (-1[Hinweise: Falls (0leq x leq 1,) die Formel (left(5^{prime} ight)) verwenden.
Wenn (-1[
R_{n}(x)=frac{ln (1+x)}{(-1)^{n}}left(frac{1- heta_{n}}{1+ heta_{n } x} cdot x ight)^{n} .
]
( ext { Verfahren Sie wie in Aufgabe } 8.])

Übung (PageIndex{10})

Beweisen Sie, dass wenn (f : E^{1} ightarrow E^{*}) von der Klasse (mathrm{CD}^{1}) auf ([a, b]) ist und wenn (-infty[
fleft(x_{0} ight)>frac{f(b)-f(a)}{b-a}left(x_{0}-a ight)+f(a) ;
]
d.h. die Kurve (y=f(x)) liegt über der Sekante durch ((a, f(a))) und ((b, f(b)) .)
[Hinweis: Diese Formel entspricht
[
frac{fleft(x_{0} ight)-f(a)}{x_{0}-a}>frac{f(b)-f(a)}{b-a} ,
]
dh der Durchschnitt von (f^{prime}) auf (left[a, x_{0} ight]) ist strikt größer als der Durchschnitt von (f^{prime}) auf ([a, b],) (left. ext { was folgt, weil } f^{prime} ext { abnimmt auf }(a, b) .( ext { Explain! }) ight ])

Übung (PageIndex{11})

Beweisen Sie, dass wenn (a, b, r,) und (s) positive reelle Zahlen sind und (r+s=1,) dann
[
a^{r} b^{s} leq r a+s b .
]
(Diese Ungleichung ist wichtig für die Theorie der sogenannten (L^{p}) -Räume.)
[Hinweise: Wenn (a=b) ist, ist alles trivial.
Nehmen Sie daher (a[
a = (r + s) a < r a + s b < b .
]
Verwenden Sie Aufgabe 10 mit (x_{0}=r a+s b in(a, b)) und
[
f(x)=lnx, f^{primeprime}(x)=-frac{1}{x^{2}}<0 .
]
Überprüfen Sie, dass
[
x_{0}-a=x_{0}-(r+s) a=s(b-a)
]
und (r cdot ln a=(1-s) ln a ;) folgern daraus, dass
[
r cdot ln a+s cdot ln b-ln a=s(ln b-ln a)=s(f(b)-f(a)) .
]
Nach Substitutionen erhalten
[
left.fleft(x_{0} ight)=ln (r a+sb)>r cdot ln a+s cdot ln b=ln left(a^{r} b^ {s} ight) . ight]
]

Übung (PageIndex{12})

Verwenden Sie den Satz von Taylor (Satz 1'), um die folgenden Ungleichungen zu beweisen:
(a) (sqrt[3]{1+x}<1+frac{x}{3}) falls (x>-1, x eq 0).
(b) (cos x>1-frac{1}{2} x^{2}) falls (x eq 0).
(c) (frac{x}{1+x^{2}}0).
(d) (x>sin x>x-frac{1}{6} x^{3}) falls (x>0).


Taylors Theorem

In der Berechnung, Taylors Theorem gibt eine Näherung von a k-mal differenzierbare Funktion um einen gegebenen Punkt durch ein Polynom vom Grad k, genannt die kth-Ordnung Taylor-Polynom. Für eine glatte Funktion ist das Taylor-Polynom die Trunkierung in der Ordnung k der Taylorreihe der Funktion. Das Taylor-Polynom erster Ordnung ist die lineare Approximation der Funktion, und das Taylor-Polynom zweiter Ordnung wird oft als bezeichnet quadratische Näherung. [1] Es gibt mehrere Versionen des Taylor-Theorems, von denen einige explizite Schätzungen des Approximationsfehlers der Funktion durch ihr Taylor-Polynom geben.

Taylors Theorem ist nach dem Mathematiker Brook Taylor benannt, der 1715 eine Version davon formulierte, [2] obwohl eine frühere Version des Ergebnisses bereits 1671 von James Gregory erwähnt wurde. [3]

Der Satz von Taylor wird in Einführungskursen in die Analysis gelehrt und ist eines der zentralen elementaren Werkzeuge der mathematischen Analysis. Es gibt einfache arithmetische Formeln, um die Werte vieler transzendenter Funktionen wie der Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen genau zu berechnen. Es ist der Ausgangspunkt für das Studium analytischer Funktionen und ist grundlegend in verschiedenen Bereichen der Mathematik sowie in der numerischen Analysis und der mathematischen Physik. Der Satz von Taylor lässt sich auch auf multivariate und vektorwertige Funktionen verallgemeinern.


Der Rest R n + 1 ( x ) R_(x) R n + 1 ​ ( x ) wie oben angegeben ist an iteriertes Integral, oder ein Vielfaches Integral, das man in der Mehrvariablenrechnung antreffen würde. Dies mag dazu beigetragen haben, dass der Satz von Taylor selten auf diese Weise gelehrt wird.

und das ist bekannt als integrale Form des Restes.

Nach dem "realen" Mittelwertsatz kann dieses Integral durch den irgendwann erreichten "Mittelwert" ersetzt werden ξ ∈ ( a , x ) xiin (a,x) ξ ∈ ( a , x ) , multipliziert um die Länge x − a xa x − a . Damit erhalten wir den Rest in Form von Cauchy:

Dies ist der Roche-Schlömilch-Form des Rests sehr ähnlich, aber nicht ganz gleich.

Es sollte auch erwähnt werden, dass die Integralform typischerweise durch aufeinanderfolgende Anwendungen der Integration von Teilen abgeleitet wird, wodurch vermieden wird, jemals mehrere Integrale zu erwähnen. Es kann jedoch als derselbe Beweis angesehen werden (bis auf Homotopie in gewissem Sinne), da die Integration nach Teilen im Wesentlichen sagt, dass man eine bestimmte Fläche entweder durch Integrieren über die Variable x x x oder über die Variable y y y berechnen könnte.


5.6.E: Probleme mit dem Satz von Tayior - Mathematik

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Frage 1

Lösung zu Frage 1

ein)
f(0) = 1 und f(2π) = 1, daher f(0) = f(2π)
f ist kontinuierlich auf [0 , 2π]
Funktion f ist differenzierbar in (0 , 2π)
Funktion f erfüllt alle Bedingungen des Satzes von Rolle
b)
Funktion g hat einen V-förmigen Graphen mit Scheitelpunkt bei x = 2 und ist daher bei x = 2 nicht differenzierbar.
Funktion g erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle
c)
Funktion h ist bei x = 0 undefiniert.
Die Funktion h erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle.
d)
k(x) = |sin(x)| , für x in [0 , 2π]
Der Graph der Funktion k ist unten gezeigt und zeigt, dass die Funktion k bei x = π nicht differenzierbar ist.
Die Funktion k erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle.

Abbildung 4. Graph von k(x) = |sin(x)| , für x in [0 , 2π]


Brook Taylor

Brook Taylor's Vater war John Taylor und seine Mutter war Olivia Tempest. John Taylor war der Sohn von Natheniel Taylor, der Recorder von Colchester war und Bedfordshire in Oliver Cromwells Assembly vertrat, während Olivia Tempest die Tochter von Sir John Tempest war. Brook wurde daher in eine Familie hineingeboren, die am Rande des Adels stand und sicherlich ziemlich wohlhabend war.

Taylor wuchs in einem Haushalt auf, in dem sein Vater als strenger Zuchtmeister regierte, aber er war ein Mann von Kultur mit Interesse an Malerei und Musik. Obwohl John Taylor einige negative Einflüsse auf seinen Sohn hatte, hatte er auch einige positive, insbesondere seine Liebe zur Musik und Malerei. Brook Taylor wuchs nicht nur zu einem versierten Musiker und Maler auf, sondern wandte seine mathematischen Fähigkeiten später in seinem Leben auf beide Bereiche an.

Da Taylors Familie wohlhabend war, konnte sie es sich leisten, Privatlehrer für ihren Sohn zu haben, und tatsächlich war diese Heimausbildung alles, was Brook vor seinem Eintritt in das St. John's College in Cambridge am 3. Zu dieser Zeit hatte er gute Kenntnisse in Klassik und Mathematik. In Cambridge beschäftigte sich Taylor intensiv mit Mathematik. Er schloss sein Studium mit einem LL.B. im Jahr 1709, aber zu diesem Zeitpunkt hatte er bereits seine erste wichtige mathematische Arbeit geschrieben (1708), die jedoch erst 1714 veröffentlicht wurde. Wir wissen etwas über die Einzelheiten von Taylors Gedanken zu verschiedenen mathematischen Problemen aus Briefen, die er mit Machin und Keill zu Beginn seiner Studienjahre austauschte.

1712 wurde Taylor in die Royal Society gewählt. Dies war am 3. April, und es war eindeutig eine Wahl, die mehr auf dem Fachwissen beruhte, das Machin, Keill und anderen bekannt war, als auf seinen veröffentlichten Ergebnissen. Taylor schrieb zum Beispiel 1712 an Machin und lieferte eine Lösung für ein Problem, das Keplers zweites Gesetz der Planetenbewegung betrifft. Ebenfalls 1712 wurde Taylor in den Ausschuss berufen, der darüber entscheiden sollte, ob die Behauptung von Newton oder Leibniz, die Infinitesimalrechnung erfunden zu haben, richtig war.

Der Artikel, auf den wir oben als 1708 geschrieben Bezug genommen haben, wurde in der . veröffentlicht Philosophische Transaktionen der Royal Society im Jahr 1714. Die Arbeit gibt eine Lösung für das Problem des Schwingungszentrums eines Körpers und führte zu einem Prioritätsstreit mit Johann Bernoulli. Über Streitigkeiten zwischen Taylor und Johann Bernoulli werden wir weiter unten noch etwas mehr sagen. Zurück zum Papier, es ist ein mechanisches Papier, das stark auf Newtons Ansatz zur Differentialrechnung beruht.

Das Jahr 1714 markiert auch das Jahr, in dem Taylor zum Sekretär der Royal Society gewählt wurde. Es war eine Position, die Taylor vom 14. Januar dieses Jahres bis zum 21. Oktober 1718 innehatte, als er teils aus gesundheitlichen Gründen, teils wegen seines Desinteresses an der eher anspruchsvollen Position zurücktrat. Die Zeit, in der Taylor Sekretär der Royal Society war, ist seine mathematisch produktivste Zeit. Zwei Bücher, die 1715 erschienen, Methodus inkrementorum directa et inversa und Geradlinige Perspektive sind in der Geschichte der Mathematik von großer Bedeutung. Das erste dieser Bücher enthält das, was heute als Taylor-Reihe bekannt ist, obwohl sie erst 1785 als diese bekannt wurde. Zweite Auflagen würden 1717 bzw. 1719 erscheinen. Auf den Inhalt dieser Arbeiten gehen wir im Folgenden ausführlich ein.

Taylor machte mehrere Besuche in Frankreich. Diese wurden teils aus gesundheitlichen Gründen gemacht und teils um die dort gewonnenen Freunde zu besuchen. Er traf Pierre Rémond de Montmort und korrespondierte mit ihm nach seiner Rückkehr zu verschiedenen mathematischen Themen. Insbesondere diskutierten sie unendliche Reihen und Wahrscheinlichkeit. Taylor korrespondierte auch mit de Moivre über Wahrscheinlichkeit, und manchmal gab es eine Dreierdiskussion zwischen diesen Mathematikern.

Zwischen 1712 und 1724 veröffentlichte Taylor dreizehn Artikel zu so unterschiedlichen Themen wie Experimenten zu Kapillarwirkung, Magnetismus und Thermometern. Er berichtete von einem Experiment zur Entdeckung des Gesetzes der magnetischen Anziehung (1715) und einer verbesserten Methode zur Approximation der Wurzeln einer Gleichung durch eine neue Methode zur Berechnung von Logarithmen (1717). Sein Leben jedoch erlitt ab 1721 eine Reihe persönlicher Tragödien. In diesem Jahr heiratete er Miss Brydges aus Wallington in Surrey. Obwohl sie aus einer guten Familie stammte, war es keine Familie mit Geld und Taylors Vater lehnte die Heirat stark ab. Die Folge war, dass die Beziehungen zwischen Taylor und seinem Vater zusammenbrachen und es bis 1723 keinen Kontakt zwischen Vater und Sohn gab. In diesem Jahr starb Taylors Frau bei der Geburt. Das Kind, das ihr erstes gewesen wäre, starb ebenfalls.

Nach der Tragödie des Verlustes seiner Frau und seines Kindes kehrte Taylor zu seinem Vater zurück und die Beziehungen zwischen den beiden wurden wiederhergestellt. Zwei Jahre später, 1725, heiratete Taylor erneut Sabetta Sawbridge aus Olantigh in Kent. Diese Ehe hatte die Zustimmung von Taylors Vater, der vier Jahre später am 4. April 1729 starb. Taylor erbte den Besitz seines Vaters von Bifons, aber eine weitere Tragödie sollte zuschlagen, als seine zweite Frau Sabetta im folgenden Jahr im Kindbett starb. Bei dieser Gelegenheit überlebte das Kind, eine Tochter Elizabeth.

Taylor fügte der Mathematik einen neuen Zweig hinzu, der heute als "Kalkül der endlichen Differenzen" bezeichnet wird, erfand die Integration nach Teilen und entdeckte die berühmte Reihe, die als Taylorsche Expansion bekannt ist. Diese Ideen erscheinen in seinem Buch Methodus inkrementorum directa et inversa von 1715 wie oben erwähnt. Tatsächlich erscheint Taylors erste Erwähnung einer Version dessen, was heute als Taylors Theorem bezeichnet wird, in einem Brief, den er am 26. Juli 1712 an Machin schrieb. In diesem Brief erklärt Taylor sorgfältig, woher er die Idee hat.

Es war, schrieb Taylor, aufgrund eines Kommentars, den Machin in Child's Coffeehouse gemacht hatte, als er kommentierte, "Sir Isaac Newton's series" zu verwenden, um Keplers Problem zu lösen, und auch "Dr. Tatsächlich gibt es zwei Versionen von Taylors Theorem, die in der Abhandlung von 1715 enthalten sind, die für einen modernen Leser gleichwertig erscheinen, die aber, wie der Autor von [ 8 ] überzeugend argumentiert, unterschiedlich motiviert waren. Taylor leitete die Version, die als Proposition 11 auftritt, zunächst als Verallgemeinerung von Halleys Methode zur Approximation von Wurzeln der Kepler-Gleichung her, entdeckte jedoch bald, dass sie eine Folge der Bernoulli-Reihe war. Dies ist die Version, die von dem oben beschriebenen Coffeehouse-Gespräch inspiriert wurde. Die zweite Version tritt als Korollar 2 zu Proposition 7 auf und wurde als Methode zur Erweiterung von Lösungen von Fluktuationsgleichungen in unendlichen Reihen gedacht.

Wir dürfen nicht den Eindruck erwecken, als hätte Taylor dieses Ergebnis als erster entdeckt. James Gregory, Newton, Leibniz, Johann Bernoulli und de Moivre hatten alle Varianten von Taylors Theorem entdeckt. Gregory zum Beispiel wusste das

und seine Methoden werden in [13] diskutiert. Die Unterschiede in Newtons Vorstellungen von Taylor-Reihen und denen von Gregory werden in [ 15 ] diskutiert. Alle diese Mathematiker hatten ihre Entdeckungen unabhängig gemacht, und auch Taylors Arbeit war unabhängig von der der anderen. Die Bedeutung des Satzes von Taylor blieb bis 1772 unerkannt, als Lagrange ihn zum Grundprinzip der Differentialrechnung erklärte. Der Begriff "Taylors Serie" scheint von Lhuilier 1786 zum ersten Mal verwendet worden zu sein.

Mehr über Taylors Serie finden Sie unter DIESEM LINK.

Es gibt noch andere wichtige Ideen, die in der Methodus inkrementorum directa et inversa von 1715, die damals nicht als wichtig anerkannt wurden. Dazu gehören singuläre Lösungen von Differentialgleichungen, eine Formel für die Änderung von Variablen und eine Möglichkeit, die Ableitung einer Funktion mit der Ableitung der Umkehrfunktion in Beziehung zu setzen. Ebenfalls enthalten ist eine Diskussion über vibrierende Saiten, ein Interesse, das mit ziemlicher Sicherheit von Taylors früher Liebe zur Musik herrührt.

Taylor versuchte in seinen Studien über schwingende Saiten nicht, Bewegungsgleichungen aufzustellen, sondern betrachtete die Schwingung einer flexiblen Saite im Hinblick auf die Isochronie des Pendels. Er versuchte, die Form der schwingenden Saite und die Länge des isochronen Pendels zu finden, anstatt seine Bewegungsgleichungen zu finden. Eine weitere Diskussion dieser Ideen findet sich in [14].

Taylor entwickelte auch die Grundprinzipien der Perspektive in Geradlinige Perspektive (1715) . Die zweite Auflage hat einen anderen Titel und heißt Neue Prinzipien der linearen Perspektive. Die Arbeit gibt eine erste allgemeine Behandlung von Fluchtpunkten. Taylor hatte einen sehr mathematischen Zugang zu diesem Thema und machte keine Zugeständnisse an Künstler, die die Ideen von grundlegender Bedeutung für sie hätten finden sollen. Manchmal ist es sogar für einen Mathematiker sehr schwierig, Taylors Ergebnisse zu verstehen. Der Begriff "lineare Perspektive" wurde von Taylor in dieser Arbeit erfunden und er definierte den Fluchtpunkt einer Linie, die nicht parallel zur Bildebene ist, als den Punkt, an dem eine Linie durch das Auge parallel zur gegebenen Linie die Ebene schneidet das Bild. Er definierte auch die Fluchtlinie zu einer gegebenen Ebene, nicht parallel zur Bildebene, als Schnittpunkt der Ebene durch das Auge parallel zur gegebenen Ebene. Er hat die Begriffe Fluchtpunkt und Fluchtlinie nicht erfunden, aber er war einer der ersten, der ihre Bedeutung betonte. Der Hauptsatz in Taylors Theorie der linearen Perspektive ist, dass die Projektion einer geraden Linie, die nicht parallel zur Bildebene ist, durch ihren Schnittpunkt und ihren Fluchtpunkt geht.

Es gibt auch das interessante inverse Problem, die Position des Auges zu finden, um das Bild aus dem vom Künstler beabsichtigten Standpunkt zu sehen. Taylor war nicht der erste, der dieses inverse Problem diskutierte, aber er leistete innovative Beiträge zur Theorie solcher perspektivischer Probleme. Man könnte diese Arbeit durchaus als Grundlage für die Theorie der deskriptiven und projektiven Geometrie betrachten.

Taylor forderte die "nichtenglischen Mathematiker" auf, ein gewisses Differential zu integrieren. Diese Herausforderung muss man als Teil der Auseinandersetzung zwischen den Newtonianern und den Leibnitzianern sehen. Conte diskutiert in [ 7 ] die Antworten von Johann Bernoulli und Giulio Fagnano auf Taylors Herausforderung. Wir haben oben die Argumente zwischen Johann Bernoulli und Taylor erwähnt. Taylor konnte, obwohl er nicht alle Argumente gewann, durchaus mit Johann Bernoulli unter ziemlich gleichen Bedingungen streiten. Jones beschreibt diese Argumente in [1]:-


Das Paradigma des Erfinders

Suchen Sie immer nach neuen Problemen, insbesondere nachdem Sie eines erfolgreich gelöst haben - Sie können viel mehr bekommen, als Sie ursprünglich erwartet hatten.

Satzpaare, bei denen eine eine klare Verallgemeinerung einer anderen darstellt, während die beiden tatsächlich äquivalent sind.

    Der Zwischenwertsatz - Das Ortsprinzip (Bolzano Theorem) Der Satz von Rolle - Der Mittelwertsatz Existenz einer Tangente parallel zu einer Sehne - Existenz einer Tangente parallel zur x-Achse. Binomialsatz für (1 + x) n und (x + y) n Die Maclaurin- und Taylor-Reihe. Zwei Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers Der Satz von Pythagoras und die Kosinusregel Der Satz von Pythagoras und sein Sonderfall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks Der Satz von Pythagoras und die Verallgemeinerung von Larry Hoehn Kombinieren von Teilen von 2 und N Quadraten zu einem einzigen Quadrat Messung von eingeschriebenen und (allgemeiner) ) Sekantenwinkel Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von disjunkten Ereignissen und einem beliebigen Paar von Ereignissen Schmetterlingssatz in orthodiagonalen und beliebigen Vierecken Satz von Pascal in Ellipse und Kreis

Es gibt Fälle, in denen eine allgemeinere Aussage die Merkmale des ursprünglichen Problems hervorhebt, die ansonsten nicht offensichtlich sind, und dadurch eine Lösung buchstabiert, die in beiden Fällen funktioniert.

Aussagenpaare, bei denen die eine eine klare Verallgemeinerung einer anderen ist und die allgemeinere Aussage nicht schwerer zu beweisen ist.

    Theorem von Bottema und Verallgemeinerung von McWorter Butterfly-Theorem Butterflies in a Pencil of Conics Satz von Carnot und Satz von Wallace. Konzyklische Zirkumzentren: Eine dynamische Sicht. Konzyklische Zirkumzentren: Eine Fortsetzung. Finden Sie eine Ebene durch einen Punkt außerhalb eines Oktaeders, so dass die Ebene das Volumen des Oktaeders halbiert - gleiche Aussage, aber ersetzen Sie das Oktaeder durch einen Körper mit einem Symmetriezentrum Ein feines Merkmal des Stern-Brocot-Baums Vier Konstruktionsprobleme Lucas' Satz und seine Variante Matrixgruppen Satz von Napoleon und ein Satz über ähnliche Dreiecke Vier Zapfen, die ein Quadrat bilden Über den Flächenunterschied Eine trigonometrische Formel und ihre Folgen Satz des Pythagoras und das Parallelogramm Gesetz Satz des Pythagoras - Allgemeiner Satz des Pythagoras Asymmetrischer Propeller und mehrere seiner Verallgemeinerungen Eine Konstruktion Problem, das mehrere scheinbar nicht verwandte Lösungen kombiniert Zwei-Parameter-Lösungen für drei fast Fermat-Gleichungen Drei Kreise mit Mittelpunkten auf ihren paarweisen Radikalachsen Quadratwurzeln und Dreiecksungleichung Miguel Ochoas van Schooten is a Slanted Viviani Scalar Product Optimization Barycenter of Cevian Trangle verallgemeinert das Kriterium von Marian Dinca.

Aussagenpaare, bei denen eine allgemeinere Aussage direkt durch eine spezifischere impliziert wird.

Probleme, die eine sinnvolle Verallgemeinerung zulassen.

    In einer Ebene mit 3n Punkten. Ist es möglich, n Dreiecke mit Scheitelpunkten an diesen Punkten zu zeichnen, sodass keine zwei von ihnen Punkte gemeinsam haben? Linien in einem Dreieck, die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Der Satz von Ceva. 5109094x171709440000 = 21!, finde x.
      Eine Zahl wird mit 81 Einsen geschrieben. Beweisen Sie, dass sie ein Vielfaches von 81 ist. Beweisen Sie, dass die Zahl 1010101. 0101, 81 Einsen und 80 abwechselnde Nullen, ein Vielfaches von 81 ist.
    Gegeben ein 1x1-Quadrat. Ist es möglich, sich nicht schneidende Kreise so einzufügen, dass die Summe ihrer Radien 1996 ist? Kriterien der Teilbarkeit durch 9 und 11. Das Spiel von Fünfzehn und Rätsel auf Graphen Weierstraß Produktungleichung Der kleine Satz von Fermat und der Satz von Euler

Probleme, die mehr als eine Verallgemeinerung zulassen.

    Satz des Pythagoras Napoleons Satz Fermatpunkt und Verallgemeinerungen Ein Problem in Erweiterungsfeldern Schmetterlingssatz Ein Gleichungssystem, das nach Verallgemeinerung bettelt

Wir sehen also, dass Verallgemeinerung sehr nützlich und oft angenehm ist. Es ist ein großartiges Vehikel, um neue Fakten zu entdecken. Wenn die Option nicht aktiviert ist, kann die Generalisierung jedoch zu fehlerhaften Ergebnissen führen. Ich würde solche Situationen nennen


5.6.E: Probleme mit dem Satz von Tayior - Mathematik

Treffen:
M-F 9:30-10:20 um 380-380Y (M-Do Vorlesung, F TA Abschnitt)

Lehrer:
Jonathan Luk (jluk AT Stanford DOT edu)
Büro: 382-Z
Sprechzeiten: Di.-15.30 Uhr oder nach Vereinbarung

Lehrassistent:
Alexander Dunlap (ajdunl2 AT Stanford DOT edu)
Büro: 380-J
Sprechzeiten: M 17:15-19:15 Uhr 380-J, W 17:35-19:35 Uhr 380-J, F 10:30-12:20 Uhr Sapp 105 oder nach Vereinbarung

Lehrbuch:
Eine Einführung in die multivariable Mathematik von Leon Simon
(Wenn Sie nicht auf dem Campus sind, müssen Sie zuerst Ihren Browser konfigurieren.)

Lehrplan finden Sie hier.

Zeitplan finden Sie hier.

Zwischenzeugnisse:
Mittelfristige 1 Lösungen (erstes Quartil 15, Median 19,5, drittes Quartil 25,7 Mittelwert 19,4)
Mittelfrist 2 (Teil 1) Mittelfrist 2 (Teil 2) Lösungen (erstes Quartil 23,125, Median 26,5, drittes Quartil 28,875 Mittelwert 25,6)

Endverteilung (von 40):
(erstes Quartil 25,56, Median 30, drittes Quartil 34,19 Mittelwert 28,98)


Taylors Theorem

Taylors Theorem (ohne Restterm) wurde 1712 von Taylor entwickelt und 1715 veröffentlicht, obwohl Gregory dieses Ergebnis tatsächlich fast 40 Jahre zuvor erhalten hatte. Tatsächlich schrieb Gregory am 15. Februar 1671 an John Collins, den Sekretär der Royal Society, um ihm das Ergebnis mitzuteilen. Die eigentlichen Notizen, in denen Gregory das Theorem entdeckt zu haben scheint, befinden sich auf der Rückseite eines Briefes, den Gregory am 30. Januar 1671 von einem Edinburgher Buchhändler erhalten hatte, der in der Bibliothek der University of St. Andrews aufbewahrt wird (P. Clive , pers. Mitt., 08.09.2005).

Aber erst fast ein Jahrhundert nach Taylors Veröffentlichung leiteten Lagrange und Cauchy Näherungen des Restterms nach endlich vielen Termen ab (Moritz 1937). Diese Formen werden jetzt Lagrange-Rest und Cauchy-Rest genannt.

Die meisten modernen Beweise basieren auf Cox (1851), der elementarer ist als der von Cauchy und Lagrange (Moritz 1937), und den Pringsheim (1900) als "an Einfachheit und Stärke kaum zu wünschen übrig lässt" (Moritz 1937 .). ).

Cox, H. Cambridge und Dublin Math. J. 6, 80, 1851.

Dehn, M. und Hellinger, D. "Bestimmte mathematische Errungenschaften von James Gregory." Amer. Mathematik. Monatlich 50, 149-163, 1943.

Jeffreys, H. und Jeffreys, B.S. "Taylors Theorem". ".1.133 in Methoden der mathematischen Physik, 3. Aufl. Cambridge, England: Cambridge University Press, S. 50-51, 1988.

Malet, A. Studien zu James Gregorie (1638-1675). Ph.D. These. Princeton, NJ: Princeton University, 1989.

Malet, A. "James Gregorie über Tangenten und die 'Taylor'-Regel für Serienerweiterungen." Archiv für Geschichte der exakten Wissenschaft 46, 97-137, 1993-1994.

Moritz, R. E. "Eine Anmerkung zum Satz von Taylor." Amer. Mathematik. Monatlich 44, 31-33, 1937.

Pringsheim, A. "Zur Geschichte des Taylorschen Lehrsatzes." Bibliotheca Math. 1, 433-479, 1900.


Näherung der Taylor-Reihe

In einigen Fällen, bei technischen oder realen technischen Problemen, sind wir nicht daran interessiert, die genaue Lösung eines Problems zu finden. Wenn wir eine ausreichend gute Näherung haben, können wir davon ausgehen, dass wir die Lösung des Problems gefunden haben.

Wenn wir zum Beispiel die trigonometrische Funktion berechnen wollen f(x)=sünde(x) Mit einem Taschenrechner haben wir zwei Möglichkeiten:

  • Verwenden Sie die tatsächliche trigonometrische Funktion Sünde(x), wenn der Taschenrechner die Funktion eingebettet hat (verfügbar, wenn es sich um einen wissenschaftlichen Taschenrechner handelt)
  • verwenden ein Polynom als Annäherung an die Sünde(x) Funktion und berechnen Sie das Ergebnis mit einem beliebigen Taschenrechner oder sogar von Hand

Im Allgemeinen ist jede mathematische Funktion f(x), kann mit einigen Einschränkungen durch ein Polynom angenähert werden P(x):

Näherungssatz von Weierstrass

Lassen Sie uns zunächst aufschreiben, wie sich das Theorem anhört. Danach werden wir versuchen, es ein wenig zu erklären.

Satz: Für eine gegebene Funktion f(x), die definiert und stetig auf dem Intervall [a, b], es gibt immer ein Polynom P(x), auch definiert auf dem Intervall [a, b], mit der Eigenschaft:

[links | f(x)-P(x) echts | < varepsilon]

für jeden x ∈ [a, b]. und ein gegebenes > 0.

Bild: Polynomielle Approximation einer Funktion f(x)

Der Satz besagt, dass für jede Funktion f(x), die stetig und zwischen den Punkten definiert ist ein und b, es gibt immer ein Polynom P(x), which can approximate the function f(x) with a small error ε, in the same interval [a, b].

Taylor’s polynomials

Beispiel: Let’s approximate the function f(x)=sin(x) with a polynomial of order 3, around the point x0 = 0. Using the determined polynomial, approximate the value of sin(0.1).

Explanation : “around the point x0” means that f (n) (x0) = P (n) (x0), which means that the evaluation of the function and its derivatives in the point x0 is equal to the evaluation of the polynomial and its derivatives.

Step 1. Write the polynomial of order 3.

Step 2. Calculate the 3 rd order derivatives of P(x). We need them in order to find out the values of the coefficients ein0, ein1, ein2 und ein3.

Step 3. Calculate P (n) (x0).

Step 4. Calculate the 3 rd order derivatives of f(x).

Step 5. Calculate f (n) (x0).

Step 7. Write the final form of the approximation polynomial

Step 8. Approximate the value of sin(0.1) using the polynomial.

[f(0.1)=sin(0.1)cong P(0.1)=0.1-frac<1> <6>cdot 0.1^<3>approx 0.0998333]

Using Scilab we can compute sin(0.1) just to compare with the approximation result:

As you can see, the approximation with the polynomial P(x) is quite accurate, the result being equal up to the 7 th decimal.

Accuracy of the approximation

Since the approximation is done around the point x0, evaluating the polynomial in x0 gives pretty good results. But what happens if we move away from x0, how accurate the approximation will still be?

To evaluate the polynomial for several points around x0, we are going to use a Scilab script.

What the Scilab script does:

  • defines the polynomial P(x) as a function
  • defines the range of x points from -π/2 up to π/2, using π/10 increments
  • calculates the relative error e(x) zwischen Sünde(x) und P(x)
  • plots the values of Sünde(x) und P(x)
  • plots the relative error for each x Punkt

The relative error e(x), in percentage, is calculated as:

[e(x) = left | 1-frac ight | cdot 100]

Running the Scilab script will plot the following:

Image: Taylor approximation of sin(x) – Scilab plot

As you can see, the polynomial approximation of Sünde(x) is quite accurate around x0 but starts to diverge as we move toward the margins of the interval. For the extreme points, -π/2 und π/2, the relative error is around 7.5%.

In order to increase the accuracy of the polynomial approximation we need to increase the order of the polynomial. The higher the degree of the polynomial the better the approximation for a wider interval.

Image: Taylor approximation of sin(x) for P(x) of degree 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 12

Taylor’s theorem

The polynomial P(x) used in the example above is a specific case of a Taylor series for function approximation.

Theorem : Any function f(x) can be written as:

mit P(x) being Taylor’s polynomial und R(x) being Taylor’s remainder:

P(x) can be written is a short form, as:

  • f ∈ C n ([a, b]) – which means that f(x) is continuous and derivable on an interval [a, b]
  • f (n+1) ∈ [a, b] – which means that all n+1 derivatives of f(x) exist in [a, b]
  • x0 ∈ [a, b] – which means that x0 is a point between ein und b
  • ξ(x) ∈ (a, b) – which means that there is a point ξ zwischen ein und b which is greater than ein and smaller than b

Beispiel. For the function f(x), defined as:

  1. find the Taylor polynomial of order 3 around x0 = 0.
  2. approximate the value of √1.1
  3. find the maximum error for the approximation

Step 1. Calculate the 3 rd order derivatives of f(x).

Step 2. Calculate f (n) (x0).

Step 3 (solves a). Calculate Taylor’s polynomial P3(x)

Step 4 (solves b). Approximate the value of √1.1

1.1 = 1 + 0.1, which means that x=0.1.

To verify our result let’s use Scilab function sqrt() :

Step 5. Calculate the 4 th derivative of f(x).

Step 6. Calculate the 4 th derivative of f(ξ).

Step 7 (solves c). Calculate R3(x) for a given ξ.

ξ must be chosen in such a way that the 4 th derivative of f(ξ) has maximum value. In our case this makes ξ = 0.

This means that the error of the polynomial approximation will not exceed 3.91·10 -6 .

Examples with Scilab programming

Let’s use Scilab to calculate the Taylor series approximations for a couple of functions. To visualise the impact of the order of the approximation polynomial, we’ll use Scilab plot() function. For the functions f(x) und P(x) given below, we’ll plot the exact solution and Taylor approximation using a Scilab script.

Beispiel 1. Exponential function f(x)=e x .

The Scilab script will define a custom Scilab function for P(x).

The output of the Scilab script is plotted below, together with an animation of the same approximation.

Image: Taylor approximation of exp(x)

Image: Taylor approximation of exp(x) – animation

Beispiel 2. Natural logarithm function f(x)=ln(1+x).

The Scilab script will define a custom Scilab function for P(x).

The output of the Scilab script is plotted below.

Image: Taylor approximation of ln(1+x)

In order to try out other functions and their Taylor series approximation, redefine the P(x,n) function from the Scilab script.


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