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4: Exponenten - Mathematik


4: Exponenten - Mathematik

Was sind Exponenten in Mathematik? - Mathefragen der 7. Klasse mit detaillierten Lösungen

Was sind Exponenten in Mathematik? Mathe-Beispiele und Algebra-Fragen der Klasse 7 werden zusammen mit detaillierten Lösungen präsentiert. Detaillierte Lösungen und Erklärungen sind enthalten.

Was sind Exponenten in der Mathematik und wo werden sie verwendet?
Beispiele: Exponenten in Mathematik werden verwendet
a) Um eine wiederholte Multiplikation einer Zahl mit sich selbst darzustellen, wie unten gezeigt.

.

Zum Beispiel kann 5 5 5 als 5 3 geschrieben werden.
Daher heißt 5 5 5 = 5 3 , 5 die Basis und 3 ist der Exponent oder die Potenz.
b) Große Zahlen in vereinfachter Form darstellen.
Beispiel: 100.000 = 10 10 10 10 10 = 10 5
c) Kleine Zahlen in vereinfachter Form darstellen.
Beispiel: 0,00001 = 1 / 100.000 = 1 / 10 5 = 10 -5
d) Um Flächeneinheiten zu schreiben.
Die Fläche eines Quadrats mit 1 Meter Seitenlänge ist: 1 Meter 1 Meter = (1 1) (Meter Meter)
= 1 Meter 2
(lesen Sie "Meter 2 " als Quadratmeter, Einheit der Fläche)
e) Um Volumeneinheiten zu schreiben.
Das Volumen eines Würfels mit 1 Meter Seitenlänge beträgt: 1 Meter 1 Meter 1 Meter 1
= (1 1 1)(Meter Meter Meter)
= 1 Meter 3
(lesen Sie "Meter 3" als Kubikmeter, Volumeneinheit)
f) Um Präfixe darzustellen, die mit Maßeinheiten wie Gramm, Meter verwendet werden.
Kilo bedeutet 1000 = 10 3
Beispiel: 1 Kilogramm = 10 3 Gramm = 1000 Gramm
Mega bedeutet 1000.000 = 10 6
Beispiel: 1 Megabyte = 10 6 Byte = 1000.000 Byte
Giga bedeutet 100.000.000 = 10 9
Beispiel: 1 Gigabyte = 10 9 Byte = 100.000.000 Byte

    Schreiben Sie Folgendes mit Exponenten:
    a) 8 8 8 8
    b) 10 10 10 10 10 10 10
    c) A A A
    d) Meter Meter
    e) Zentimeter Zentimeter Zentimeter


Mathespiele mit Exponenten für Kinder der 4. bis 7. Klasse

Exponenten- und Power-Mathe-Spiele für Kinder in der 1. Klasse, 2. Klasse, 3. Klasse, 4. Klasse, 5. Klasse, 6. Klasse und 7. Klasse. Mit Exponenten- und Kräftespielen: Exponenten und Kräften Rallye-Spiele, Exponenten und Kräften schleudern den Lehrer, Exponenten und Kräften Konzentrationsspiel, Exponenten und Kräften Schlangen und Leitern, Exponenten und Kräften Krokodil-Brettspiel, Exponenten und Kräften Piratenspiel, Exponenten und Kräften Katapultspiel , Exponent und Kräfte-Zeit-Herausforderungs-Quiz, Exponent und Kräfte-Klick-Kartenspiele, Exponent und Kräfte-Pirat auf See, Exponent und Kräfte-Mond-Shoot-Spiel, Exponent und Kräfte-En-Garde-Duell-Spiel, Exponent und Kräfte-Walk-The-Plank-Spiel usw.

Exponents Krokodilspiel


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Exponents Piratenspiel


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Macht Memory-Spiel


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Roots-Krokodilspiel


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Roots-Piratenspiel


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Das Fach Mathematik war für Kinder schon immer ein sehr seltsames Fach, weil sie es entweder hassen oder faszinierend und sehr leicht verständlich finden. Der Hauptgrund, warum es für viele Kinder langweilig und schwierig ist, ist, dass sie beim Erlernen von Zahlen keine wirkliche Unterhaltung finden und dies ein Gefühl von Langeweile und Frustration erzeugt, das von diesem Zeitpunkt an mit dem Thema verbunden ist. Es scheint, dass die einzige Möglichkeit, dies zu ändern, darin besteht, eine Methode zu entwickeln, die Mathematik mit Spaß verbindet, und was gibt es Besseres, als Videospiele zu verwenden, um dies zu erreichen.


Ein anderes Beispiel

Was ist das folgende Äquivalent in der Exponentennotation?

Dies entspricht 2 hoch 5/4.

Wenn wir wollen, können wir den obigen Ausdruck noch weiter manipulieren. Beginnen Sie damit, dass Sie erkennen, dass 5/4 1 + 1/4 entspricht.

Mit den Exponenteneigenschaften aus Lektion 29 können wir sie in zwei Ausdrücke mit der Basis 2 aufteilen.

Lassen Sie von dort die Potenz von 1 fallen, da dies nicht notwendig ist, und schreiben Sie die 1/4-Potenz als Wurzelindex von 4 um. Sie können auch das Multiplikationssymbol weglassen.


Was sind Exponenten?

Exponenten sind Potenzen oder Indizes. Sie werden häufig bei algebraischen Problemen verwendet, und aus diesem Grund ist es wichtig, sie zu lernen, um das Studium der Algebra zu erleichtern. Beginnen wir zunächst damit, die Teile einer Exponentialzahl zu studieren.

Ein Exponentialausdruck besteht aus zwei Teilen, nämlich der Basis, die als b bezeichnet wird, und dem Exponenten, der als n bezeichnet wird. Die allgemeine Form eines Exponentialausdrucks ist b n . Zum Beispiel kann 3 x 3 x 3 x 3 in Exponentialform als 3 4 geschrieben werden, wobei 3 die Basis und 4 der Exponent ist.

Die Basis ist die erste Komponente einer Exponentialzahl. Die Basis ist im Grunde eine Zahl oder Variable, die wiederholt mit sich selbst multipliziert wird. Während der Exponent das zweite Element ist, das in der oberen rechten Ecke der Basis positioniert ist. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.


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Es gibt zwei speziell benannte Potenzen: "in der zweiten Potenz" wird im Allgemeinen als "quadratisch" ausgesprochen und "in der dritten Potenz" wird im Allgemeinen als "Würfel" ausgesprochen. So wird „5 3“ allgemein als „fünf gewürfelt“ ausgesprochen.

Wenn wir mit Zahlen umgehen, vereinfachen wir normalerweise nur, wir beschäftigen uns lieber mit "27" als mit "3 3". Aber bei Variablen brauchen wir die Exponenten, weil wir uns lieber mit " x 6 " als mit " x&zwjx&zwjx&zwjx&zwjx&zwjx ".

Exponenten haben einige Regeln, die wir zum Vereinfachen von Ausdrücken verwenden können.

Vereinfachen (x 3 )(x 4 ) .

Um dies zu vereinfachen, kann ich in Bezug darauf denken, was diese Exponenten bedeuten. "Zur dritten" bedeutet "drei Kopien multiplizieren" und "bis zur vierten" bedeutet "vier Kopien multiplizieren". Mit dieser Tatsache kann ich die beiden Faktoren "erweitern" und dann rückwärts zur vereinfachten Form arbeiten. Zuerst erweitere ich:

Jetzt kann ich die Klammern entfernen und alle Faktoren zusammenfassen:

Dies sind sieben Kopien der Variablen. "Sieben Kopien multiplizieren" bedeutet "in die siebte Potenz", also kann dies wie folgt formuliert werden:

Zusammenfassend sind die Schritte wie folgt:

Dann ist die vereinfachte Form von (x 3 )(x 4) ist:

Beachten Sie, dass x 7 ist auch gleich x (3+4) . Dies demonstriert die erste grundlegende Exponentenregel:

Immer wenn Sie zwei Terme mit derselben Basis multiplizieren, können Sie die Exponenten addieren:

Wir können jedoch NICHT vereinfachen (x 4 )(ja 3 ) , weil die Basen unterschiedlich sind: (x 4 )(ja 3 ) = x&zwjx&zwjx&zwjxyyy = (x 4 )(ja 3 ) . Nichts verbindet.

Vereinfachen (ein 5 b 3 ) (ein b 7 ) .

Jetzt, da ich die Regel kenne (nämlich, dass ich die Kräfte auf derselben Basis hinzufügen kann), kann ich damit beginnen, die Basen zu verschieben, um alle gleichen Basen nebeneinander zu bekommen:

Jetzt möchte ich die Befugnisse auf der hinzufügen ein 's und die b s. Allerdings ist die zweite ein scheint keine Macht zu haben. Was füge ich zu diesem Begriff hinzu?

Alles, was im technischen Sinne keine Macht hat, wird "in die Potenz 1 erhoben". Alles hoch 1 ist nur es selbst, da es eine Kopie seiner selbst "multipliziert". Der obige Ausdruck kann also umgeschrieben werden als:

Zusammenfassend würde meine Hand-In-Arbeit so aussehen:

Im folgenden Beispiel gibt es zwei Kräfte, wobei eine Kraft gewissermaßen "innerhalb" der anderen ist.

Vereinfachen (x 2 ) 4

Zur Vereinfachung kann ich zunächst daran denken, was die Exponenten bedeuten. Das "bis zur vierten" auf der Außenseite bedeutet, dass ich vier Kopien der Basis multipliziere, die sich in den Klammern befindet. In diesem Fall ist die Basis der vierten Potenz x 2. Wenn ich vier Kopien dieser Basis multipliziere, erhalte ich:

Jeder Faktor in der obigen Erweiterung "multipliziert zwei Kopien" der Variablen. Dies erweitert sich als:

Wenn ich die Klammern entferne, erhalte ich:

Dies ist eine Zeichenfolge von acht Kopien der Variablen. "Acht Kopien multiplizieren" bedeutet "hoch acht", also bedeutet dies:

Beachten Sie, dass (x 2 ) 4 = x 8 , und dass 2 &mal 4 = 8 ist. Dies demonstriert die zweite Exponentenregel:

Immer wenn Sie einen Exponentenausdruck haben, der potenziert wird, können Sie vereinfachen, indem Sie die äußere Potenz mit der inneren Potenz multiplizieren:

Wenn Sie ein Produkt in Klammern und eine Potenz in den Klammern haben, dann geht die Potenz auf jedes Element darin. Beispielsweise:

Achtung: Diese Regel funktioniert NICHT, wenn Sie eine Summe oder Differenz in Klammern haben. Exponenten "verteilen" im Gegensatz zur Multiplikation NICHT über die Addition.

Bei gegebenem (3 + 4) 2 zum Beispiel erliegen Sie NICHT der Versuchung zu sagen: "Hey, das entspricht 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 ", weil das falsch ist. Eigentlich (3 + 4) 2 = (7) 2 = 49 , nicht 25 .

Schreiben Sie im Zweifelsfall den Ausdruck entsprechend der Definition der Potenz auf. Zum Beispiel gegeben (x &ndash 2) 2 , versuchen Sie nicht, dies in Ihrem Kopf zu tun. Schreiben Sie es stattdessen aus "quadratisch" bedeutet "zwei Kopien von multiplizieren", also:

Der Fehler, fälschlicherweise zu versuchen, den Exponenten zu "verteilen", wird am häufigsten gemacht, wenn der Schüler versucht, alles in seinem Kopf zu machen, anstatt seine Arbeit zu zeigen. Machen Sie die Dinge ordentlich, und Sie werden diesen Fehler nicht so wahrscheinlich machen.

Vereinfachen (ein 2 b 3 c) 4

Jetzt, da ich die Regel über Potenzen über Potenzen kenne, kann ich die 4 auf jeden der darin enthaltenen Faktoren durchgehen. (Das muss ich mir merken, mit dem c , in Klammern steht "hoch 1".)

Es gibt eine weitere Regel, die zu diesem Zeitpunkt in Ihrem Kurs behandelt werden kann oder nicht:

Alles hoch Null ist einfach „1“ (solange das "Alles" es selbst nicht Null ist).

Diese Regel wird auf der nächsten Seite erklärt. In der Praxis bedeutet diese Regel jedoch, dass einige Übungen möglicherweise viel einfacher sind, als sie auf den ersten Blick erscheinen:

Vereinfachen [(3x 4 ja 7 z 12 ) 5 (&ndash5x 9 ja 3 z 4 ) 2 ] 0

Wen interessiert das Zeug in den eckigen Klammern? Ich sicher nicht, denn die Nullleistung von außen bedeutet, dass der Wert des gesamten Dings nur 1 beträgt. Ha!

Übrigens, sobald Ihre Klasse "zu Null macht", sollten Sie erwarten von eine Übung wie die obige beim nächsten Test. Dies ist eine häufige Fangfrage, mit der Sie viel von Ihrer begrenzten Zeit verschwenden können, aber sie funktioniert nur, wenn Sie nicht aufpassen.

Sie können das Mathway-Widget unten verwenden, um das Vereinfachen von Ausdrücken mit Exponenten zu üben. Probieren Sie die eingegebene Übung aus oder geben Sie Ihre eigene Übung ein. Klicken Sie dann auf die Schaltfläche, um Ihre Antwort mit der von Mathway zu vergleichen. (Oder überspringen Sie das Widget und fahren Sie mit der Lektion fort oder sehen Sie sich hier viele funktionierende Beispiele an.)

Klicken Sie hier, um direkt zur Mathway-Website zu gelangen, wenn Sie sich die Software ansehen oder weitere Informationen erhalten möchten.


Exponenteneigenschaften

Jede Basis, die nicht null ist, potenziert mit 0 ist 1.

0 0 ist ein Sonderfall, der keine eindeutige Antwort hat. Am häufigsten wird er als gleich 1 bezeichnet oder als undefiniert bezeichnet.

Jede reelle Zahl kann der Koeffizient einer "unsichtbaren" Variablen hoch 0 sein. Außerdem ist jeder Term hoch 1 sich selbst, also lassen wir die Potenz weg, da sie nicht notwendig ist.

0 hoch genommen mit jeder Potenz größer als 0 ist 0. 0 hoch genommen mit einem negativen Exponenten ist undefiniert.

Jede Zahl hoch 1 ist gleich sich selbst. 1 hoch eine beliebige Zahl ist gleich 1.

Positive Zahlen in beliebiger Potenz bleiben immer positiv. Negative Zahlen, die gerade potenziert werden, werden positiv. Negative Zahlen, die zu einer ungeraden Zahl erhöht werden, bleiben negativ.

-4 4 = -(4) 4 = -(4 × 4 × 4 × 4) = -256

Wegen der Reihenfolge der Operationen ist es wichtig zu überprüfen, wo das negative Vorzeichen in einem Exponenten ist. Wenn das negative Vorzeichen außerhalb der Klammern liegt, ist der Exponent negativ, es sei denn, es gibt ein zusätzliches negatives Vorzeichen, um ihn zu versetzen.


Exponenten

Videos und Lösungen, mit denen Schüler der 6. Klasse lernen, was Exponenten sind und wie man Exponenten verwendet.

New York State Common Core Math Modul 4, Klasse 6, Lektion 5

Schülerergebnisse aus Lektion 5

Die Schüler entdecken, dass 3x = x + x + x nicht dasselbe wie x 3 ist, das x &bull x &bull x ist.

Die Schüler verstehen, dass eine Basiszahl durch eine positive ganze Zahl, einen positiven Bruch oder eine positive Dezimalzahl dargestellt werden kann und dass wir für jede Zahl b bm als m Faktoren von b definieren, wobei b die Basis ist und m der Exponent oder die Potenz genannt wird von B.

Achten Sie bei der Auswertung dieser Ausdrücke darauf, wie Sie zu Ihren Antworten gelangen.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 +4 + 4 + 4
9 + 9 + 9 + 9 + 9
10 + 10 + 10 + 10 + 10

Multiplikation ist eine schnellere Methode, um Zahlen zu addieren, wenn die Summanden gleich sind.

Wenn wir fünf Zehnergruppen addieren, verwenden wir eine Abkürzung und eine andere Notation, die Multiplikation genannt wird.
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 10 &mal 5 = 50.

Wenn Multiplikation ein effizienterer Weg ist, Additionsprobleme darzustellen, die die wiederholte Addition desselben Addends beinhalten, glauben Sie, dass es einen effizienteren Weg geben könnte, die wiederholte Multiplikation desselben Faktors darzustellen, wie in 10 x 10 x 10 x 10 x 10.

Wenn wir 5 Gruppen von 10 addieren, schreiben wir 5 &mal 10, aber wenn wir 5 Kopien von 10 multiplizieren, schreiben wir 10 5 . Die Multiplikation mit 5 im Zusammenhang mit der Addition entspricht also genau dem Exponenten im Zusammenhang mit der Multiplikation.

Der sich wiederholende Faktor heißt Base und der Exponent heißt auch Leistung .

Für in die zweite Potenz erhobene Zahlen gibt es einen speziellen Namen. Wenn eine Zahl in die zweite Potenz gestellt wird, heißt sie kariert .

Es gibt auch einen speziellen Namen für Zahlen, die in die dritte Potenz erhoben werden. Wenn eine Zahl in die dritte Potenz erhoben wird, heißt sie gewürfelt .

Beispiele
Schreiben Sie jeden Ausdruck in Exponentialform.
1. 5 &mal 5 &mal 5 &mal 5 &mal 5
2. 2 &mal 2 &mal 2 &mal 2
Schreiben Sie jeden Ausdruck in erweiterter Form.
3. 8 3
4. 10 6
5. g 3

Was ist der Unterschied zwischen 3g und g 3 ?

Die Basiszahl kann in Dezimal- oder Bruchform geschrieben werden.
(3.8) 4
(2/3) 2

1. Tragen Sie die fehlenden Ausdrücke für jede Zeile ein. Verwenden Sie für ganze Zahlen und Dezimalbasen einen Taschenrechner, um die Standardform der Zahl zu finden. Für Bruchbasen lassen Sie Ihre Antwort als Bruch.

2. Schreiben Sie &ldquofive cubed&rdquo in allen drei Formen: Exponentialform, geschrieben als Produktserie, Standardform.

3. Schreiben Sie &ldquovierzehn und sieben Zehntel zum Quadrat&rdquo in alle drei Formen.

4. Ein Schüler dachte, zwei hoch drei sei gleich sechs. Welchen Fehler haben sie Ihrer Meinung nach gemacht und wie würden Sie ihnen helfen, ihren Fehler zu beheben?

Exponentielle Notation für ganzzahlige Exponenten : Sei eine ganze Zahl ungleich Null. Für jede Zahl b ist der Ausdruck b m das Produkt von m Faktoren von b.

Die Zahl b heißt Basis und m heißt Exponent oder Potenz von b.

Wenn m 1 ist, bedeutet „das Produkt eines Faktors von &rdquo nur b, d. h. b 1 = b. Das Erhöhen einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl zur Potenz von 0 wird als 1 definiert, d. h. b 0 = 1 für alle b &ne 0.


Lektion 5 Beispiele und Übungen

Beispiele 1 - 5
Gehen Sie zurück zu den Beispielen 1ִ und verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Ausdrücke auszuwerten.

Die Basiszahl kann auch ein Bruch sein. Wandeln Sie die Dezimalzahlen in den Beispielen 7 und 8 in Brüche um und werten Sie sie aus. Hinterlassen Sie Ihre Antwort als Bruch.

2. Schreiben Sie 10 3 als Multiplikationsausdruck mit wiederholten Faktoren.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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Inhalt

Der Begriff Leistung (Latein: potentia, potestas, dignitas) ist eine Fehlübersetzung [4] [5] des altgriechischen δύναμις (dúnamis, hier: "Verstärkung" [4] ) verwendet vom griechischen Mathematiker Euklid für das Quadrat einer Linie, [6] in Anlehnung an Hippokrates von Chios. [7] Archimedes entdeckte und bewies das Exponentengesetz, 10 ein ⋅ 10 b = 10 ein+b , notwendig, um Potenzen von 10 zu manipulieren. [8] [ bessere Quelle benötigt ] Im 9. Jahrhundert verwendete der persische Mathematiker Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī die Begriffe مَال (ml, „Besitz“, „Eigentum“) für ein Quadrat – die Muslime, „wie die meisten Mathematiker dieser und früherer Zeit, dachten an eine quadrierte Zahl als Darstellung einer Fläche, insbesondere von Land, also Eigentum“ [9] – und (kaʿbah, "Würfel") für einen Würfel, den spätere islamische Mathematiker in mathematischer Schreibweise als Buchstaben darstellten Mama (m) und kāf (k) bis zum 15. Jahrhundert, wie im Werk von Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī zu sehen ist. [10]

Im späten 16. Jahrhundert verwendete Jost Bürgi römische Ziffern für Exponenten. [11]

Nicolas Chuquet verwendete im 15. Jahrhundert eine Form der exponentiellen Notation, die später im 16. Jahrhundert von Henricus Grammateus und Michael Stifel verwendet wurde. Das Wort Exponent wurde 1544 von Michael Stifel geprägt. [12] [13] Samuel Jeake führte den Begriff ein Indizes 1696. [6] Im 16. Jahrhundert verwendete Robert Recorde die Begriffe Quadrat, Würfel, zenzizenzic (vierte Potenz), sursolid (fünfte), zenzicube (sechs), zweiter sursolid (siebter) und zenzizenzizenzic (achte). [9] Biquadrat wurde auch verwendet, um auf die vierte Potenz zu verweisen.

Anfang des 17. Jahrhunderts wurde die erste Form unserer modernen exponentiellen Notation von René Descartes in seinem Text mit dem Titel . eingeführt La Géométrie dort wird die Notation in Buch I eingeführt. [14]

Einige Mathematiker (wie Isaac Newton) verwendeten Exponenten nur für Potenzen größer als zwei und zogen es vor, Quadrate als wiederholte Multiplikationen darzustellen. So schreiben sie Polynome zum Beispiel als Axt + bxx + cx 3 + d .

Ein weiteres historisches Synonym, Involution, ist heute selten [15] und sollte nicht mit seiner häufigeren Bedeutung verwechselt werden.

"Betrachten Sie Exponentialfunktionen oder Potenzen, bei denen der Exponent selbst eine Variable ist. Es ist klar, dass Größen dieser Art keine algebraischen Funktionen sind, da in diesen die Exponenten konstant sein müssen." [16]

Mit dieser Einführung transzendenter Funktionen legte Euler den Grundstein für die moderne Einführung des natürlichen Logarithmus – als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion, f(x) = e x .

Der Ausdruck b 2 = bb heißt "das Quadrat von b" oder "b quadriert", weil die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge b ist b 2 .

Ähnlich ist der Ausdruck b 3 = bbb heißt "der Würfel von b" oder "b gewürfelt", weil das Volumen eines Würfels mit Seitenlänge b ist b 3 .

Wenn es eine positive ganze Zahl ist, gibt der Exponent an, wie viele Kopien der Basis miteinander multipliziert werden. Beispiel: 3 5 = 3 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243 . Die Basis 3 kommt bei der Multiplikation 5 mal vor, weil der Exponent 5 ist. Hier ist 243 der 5. Potenz von 3, oder 3 zur 5. Potenz erhoben raised.

Das Wort "erhöht" wird normalerweise weggelassen, manchmal auch "Macht", so dass 3 5 einfach "3 bis 5" oder "3 bis 5" gelesen werden kann. Daher ist die Exponentiation b nein kann ausgedrückt werden als "b hoch nein", "b zum neinMacht", "b zum neinJuni", oder am kurzsten als "b zum nein".

Eine Formel mit verschachtelter Exponentiation wie 3 5 7 (was 3 (5 7 ) und nicht (3 5 ) 7 bedeutet) heißt a Turm der Mächte, oder einfach a Turm.

Die Potenzierungsoperation mit ganzzahligen Exponenten kann direkt aus elementaren arithmetischen Operationen definiert werden.

Positive Exponenten Bearbeiten

Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten können durch den Basisfall definiert werden [17]

Die Assoziativität der Multiplikation impliziert, dass für alle positiven ganzen Zahlen m und n

Nullexponent Bearbeiten

Jede Zahl ungleich Null hoch 0 ist 1 : [18] [2]

Eine Interpretation einer solchen Macht ist als leeres Produkt.

Der Fall von 0 0 ist komplizierter, und die Entscheidung, ob und welcher Wert zugewiesen wird, kann vom Kontext abhängen. Weitere Informationen finden Sie unter Null hoch Null.

Negative Exponenten Bearbeiten

Die folgende Identität gilt für jede ganze Zahl n und nicht null b :

Das Erhöhen von 0 auf einen negativen Exponenten ist undefiniert, kann aber unter bestimmten Umständen als unendlich interpretiert werden ( ).

Die obige Identität kann durch eine Definition abgeleitet werden, die darauf abzielt, den Exponentenbereich auf negative ganze Zahlen zu erweitern.

Für b ungleich Null und positives n kann die obige Rekursionsbeziehung umgeschrieben werden als

Indem diese Beziehung als gültig für alle ganzzahligen n und von null verschiedenen b definiert wird, folgt

und allgemeiner für jedes von null verschiedene b und jede nicht negative ganze Zahl n ,

Dies ist dann leicht für jede ganze Zahl n wahr.

Identitäten und Eigenschaften Bearbeiten

Die folgenden Identitäten gelten für alle ganzzahligen Exponenten, sofern die Basis nicht Null ist: [2]

Im Gegensatz zu Addition und Multiplikation:

  • Die Exponentiation ist nicht kommutativ. Zum Beispiel 2 3 = 8 ≠ 3 2 = 9 .
  • Exponentiation ist nicht assoziativ. Zum Beispiel (2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 , wohingegen 2 (3 4 ) = 2 81 = 2 417 851 639 229 258 349 412 352 . Ohne Klammern ist die konventionelle Reihenfolge der Operationen für die serielle Exponentiation in hochgestellter Notation von oben nach unten (oder Recht-assoziativ), nicht von unten nach oben [19][20][21][22] (oder links-assoziativ). Das heißt, b p q = b ( p q ) , >=b^ ight)>,>

was im Allgemeinen anders ist als

Potenzen einer Summe Bearbeiten

Die Potenzen einer Summe lassen sich normalerweise aus den Potenzen der Summanden nach der Binomialformel berechnen

Diese Formel ist jedoch nur wahr, wenn die Summanden kommutieren (d. h. dass ab = ba ), was impliziert wird, wenn sie zu einer kommutativen Struktur gehören. Andernfalls, wenn a und b beispielsweise quadratische Matrizen gleicher Größe sind, kann diese Formel nicht verwendet werden. Daraus folgt, dass in der Computeralgebra viele Algorithmen mit ganzzahligen Exponenten geändert werden müssen, wenn die Potenzierungsbasen nicht kommutieren. Einige Allzweck-Computeralgebrasysteme verwenden eine andere Notation (manchmal ^^ anstelle von ^ ) für die Exponentiation mit nicht kommutierenden Basen, die dann als bezeichnet wird nichtkommutative Exponentiation.

Kombinatorische Interpretation Bearbeiten

Für nichtnegative ganze Zahlen n und m ist der Wert von nein ich ist die Anzahl der Funktionen von einer Menge von m Elementen bis zu einer Menge von n Elementen (siehe Kardinalexponentiation). Solche Funktionen können als m-Tupel aus einer n-Element-Menge (oder als m-Buchstaben-Wörter aus einem n-Buchstaben-Alphabet) dargestellt werden. Einige Beispiele für bestimmte Werte von m und n sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

nein ich Das nein ich mögliche m-Tupel von Elementen aus der Menge <1, . nein>
0 5 = 0 keiner
1 4 = 1 (1,1,1,1)
2 3 = 8 (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)
3 2 = 9 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
4 1 = 4 (1),(2),(3),(4)
5 0 = 1 ()

Besondere Basen Bearbeiten

Zehnerpotenzen Bearbeiten

Im Zahlensystem zur Basis zehn (dezimal) werden ganzzahlige Potenzen von 10 als Ziffer 1 geschrieben, gefolgt von oder vorangestellt von einer Anzahl von Nullen, die durch das Vorzeichen und die Größe des Exponenten bestimmt wird. Zum Beispiel 10 3 = 1000 und 10 −4 = 0,0001 .

Die Potenzierung mit der Basis 10 wird in der wissenschaftlichen Schreibweise verwendet, um große oder kleine Zahlen zu bezeichnen. Zum Beispiel kann 299 792 458 m/s (die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, in Metern pro Sekunde) als 2.997 924 58 × 10 8 m/s geschrieben und dann als 2.998 × 10 8 m/s angenähert werden.

SI-Präfixe, die auf Zehnerpotenzen basieren, werden auch verwendet, um kleine oder große Mengen zu beschreiben. Das Präfix Kilo bedeutet beispielsweise 10 3 = 1000 , also ist ein Kilometer 1000 m .

Dreierpotenzen Bearbeiten

Zweierpotenzen Bearbeiten

Die ersten negativen Potenzen von 2 werden häufig verwendet und haben spezielle Namen, z. B.: Hälfte und Quartal.

Potenzen von 2 treten in der Mengenlehre auf, da eine Menge mit nein Mitglieder haben eine Potenzmenge, die Menge aller ihrer Teilmengen, die 2 . hat nein Mitglieder.

In der Informatik sind ganzzahlige Potenzen von 2 wichtig. Die positiven ganzzahligen Potenzen 2 nein geben Sie die Anzahl der möglichen Werte für an . an nein -Bit Integer-Binärzahl zum Beispiel kann ein Byte 2 8 = 256 verschiedene Werte annehmen. Das binäre Zahlensystem drückt jede Zahl als Summe von Potenzen von 2 aus und bezeichnet sie als Folge von 0 und 1 , getrennt durch einen Binärpunkt, wobei 1 eine Potenz von 2 angibt, die in der Summe erscheint der Exponent wird durch die bestimmt Stelle dieser 1 : die nichtnegativen Exponenten sind der Rang der 1 links vom Punkt (beginnend mit 0 ), und die negativen Exponenten werden durch den Rang rechts vom Punkt bestimmt.

Kräfte aus einem Bearbeiten

Die Kräfte von einem sind alle eins: 1 nein = 1 .

Nullpotenzen Bearbeiten

Wenn der Exponent n positiv ist ( nein > 0 ), die n-te Potenz von Null ist Null: 0 nein = 0 .

Wenn der Exponent n negativ ist ( nein < 0 ), die n-te Potenz von Null 0 nein ist undefiniert, weil es gleich 1 / 0 − n > mit -nein > 0 , und dies wäre 1 / 0 gemäß oben.

Der Ausdruck 0 0 ist entweder als 1 definiert oder er bleibt undefiniert (siehe Null hoch Null).

Kräfte der negativen Eins Bearbeiten

Wenn nein eine gerade ganze Zahl ist, dann (−1) nein = 1 .

Wenn nein eine ungerade ganze Zahl ist, dann (−1) nein = −1 .

Aus diesem Grund sind Potenzen von −1 nützlich, um alternierende Sequenzen auszudrücken. Für eine ähnliche Diskussion der Potenzen der komplexen Zahl ich , siehe § Potenzen komplexer Zahlen.

Große Exponenten Bearbeiten

Der Grenzwert einer Folge von Potenzen einer Zahl größer als eins divergiert, mit anderen Worten, die Folge wächst unbegrenzt:

b nein → ∞ als nein → ∞ wenn b >1

Dies kann gelesen werden als "b hoch nein neigt zu +∞ as nein neigt ins Unendliche, wenn b ist größer als eins".

Potenzen einer Zahl mit einem Absolutwert kleiner als eins gehen gegen Null:

b nein → 0 als nein → ∞ wenn | b | < 1

Jede Potenz von Eins ist immer Eins:

b nein = 1 für alle nein wenn b = 1

Potenzen von –1 wechseln zwischen 1 und –1 als nein wechselt zwischen gerade und ungerade und neigt somit zu keiner Grenze, da nein wächst.

Wenn b < –1 , b nein , wechselt zwischen größeren und größeren positiven und negativen Zahlen als nein wechselt zwischen gerade und ungerade und neigt somit zu keiner Grenze, da nein wächst.

Wenn die potenzierte Zahl variiert, während sie gegen 1 tendiert, während der Exponent gegen Unendlich strebt, dann ist die Grenze nicht unbedingt eine der oben genannten. Ein besonders wichtiger Fall ist

(1 + 1/nein) neine wie nein → ∞

Andere Grenzen, insbesondere solche von Ausdrücken, die eine unbestimmte Form annehmen, werden in § Grenzen der Befugnisse unten beschrieben.

Leistungsfunktionen Bearbeiten

Liste der ganzzahligen Potenzen Bearbeiten

nein nein 2 nein 3 nein 4 nein 5 nein 6 nein 7 nein 8 nein 9 nein 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Ein neinWurzel einer Zahl b ist eine Zahl x so dass x nein = b .

Wenn b ist eine positive reelle Zahl und nein eine positive ganze Zahl ist, dann gibt es genau eine positive reelle Lösung von x nein = b . Diese Lösung heißt Schulleiter neinWurzel von b. Es wird bezeichnet neinb , wobei √ der ist Radikale Symbol alternativ das Prinzipal neinWurzel von b darf geschrieben werden b 1/nein . Zum Beispiel: 9 1/2 = √ 9 = 3 und 8 1/3 = 3 √ 8 = 2 .

Wenn b gleich 0 ist, die Gleichung x nein = b hat eine Lösung, nämlich x = 0 .

Wenn nein ist gerade und b ist positiv, dann x nein = b hat zwei reelle Lösungen, nämlich die positive und die negative neinth Wurzeln von b, das ist, b 1/nein > 0 und -(b 1/nein ) < 0.

Wenn nein ist gerade und b negativ ist, hat die Gleichung keine Lösung in reellen Zahlen.

Wenn nein ist dann seltsam x nein = b hat genau eine reelle Lösung, die positiv ist, wenn b ist positiv ( b 1/nein > 0 ) und negativ, wenn b ist negativ ( b 1/nein <0).

Eine positive reelle Zahl nehmen b zu einem rationalen Exponenten du/v, wo du eine ganze Zahl ist und v eine positive ganze Zahl ist, und nur die Hauptwurzeln betrachtend, ergibt

Eine negative reelle Zahl nehmen b zu einer rationalen Macht du/v, wo du/v ist in niedrigsten Termen, liefert ein positives reelles Ergebnis, wenn du ist gerade, und daher v ist seltsam, denn dann b du positiv ist und ein negatives reelles Ergebnis liefert, wenn du und v sind beide seltsam, denn dann b du ist negativ. Der Fall von sogar v (und daher ungerade du) kann innerhalb der reellen Zahlen nicht so behandelt werden, da es keine reelle Zahl gibt x so dass x 2k = −1 , der Wert von b du/v in diesem Fall muss die imaginäre Einheit verwendet werden ich, wie ausführlicher im Abschnitt § Potenzen komplexer Zahlen beschrieben.

Somit haben wir (−27) 1/3 = −3 und (−27) 2/3 = 9 . Die Zahl 4 hat zwei 3/2-Potenzen, nämlich 8 und −8, jedoch verwendet die Notation 4 3/2 per Konvention die Hauptwurzel, und ergibt 8. Für die Verwendung der v-te Wurzel die du/v-te Kraft wird auch die . genannt v/du-te Wurzel und für gerade v der Begriff Hauptwurzel bezeichnet auch das positive Ergebnis.

Diese Zeichenmehrdeutigkeit muss bei der Anwendung der Machtidentitäten beachtet werden. Beispielsweise:

ist eindeutig falsch. Das Problem beginnt bereits in der ersten Gleichheit mit der Einführung von a Standard Notation für eine inhärent mehrdeutige Situation – nach einer geraden Wurzel fragen – und sich einfach fälschlicherweise auf nur eine verlassen, die konventionell oder Schulleiter Interpretation. Das gleiche Problem tritt auch bei einer falsch eingeführten Surd-Notation auf, die von Natur aus ein positives Ergebnis erzwingt:

Im Allgemeinen treten bei komplexen Zahlen die gleichen Probleme auf wie im Abschnitt § Ausfall von Potenz- und Logarithmus-Identitäten beschrieben.

Die Exponentiation auf reelle Potenzen positiver reeller Zahlen kann entweder durch Erweiterung der rationalen Potenzen auf reelle Potenzen durch Stetigkeit oder häufiger wie in § Potenzen über Logarithmen unten angegeben definiert werden. Das Ergebnis ist immer eine positive reelle Zahl, und die oben gezeigten Identitäten und Eigenschaften für ganzzahlige Exponenten gelten auch für positive reelle Basen mit nicht ganzzahligen Exponenten.

Andererseits ist die Exponentiation einer reellen Potenz einer negativen reellen Zahl viel schwieriger konsistent zu definieren, da sie nichtreell sein und mehrere Werte haben kann (siehe § Reelle Exponenten mit negativer Basis). Man kann einen dieser Werte wählen, der als Hauptwert bezeichnet wird, aber es gibt keine Wahl des Hauptwerts, für den eine Identität wie

ist wahr siehe § Ausfall von Macht und Logarithmus-Identitäten. Daher wird die Exponentiation mit einer Basis, die keine positive reelle Zahl ist, im Allgemeinen als mehrwertige Funktion angesehen.

Grenzen rationaler Exponenten Bearbeiten

Da jede irrationale Zahl als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen ausgedrückt werden kann, ist die Potenzierung einer positiven reellen Zahl b mit einem beliebigen reellen Exponenten x kann durch Stetigkeit mit der Regel definiert werden [24]

wo die Grenze wie r kommt nah an x wird nur über rationale Werte von r. Diese Grenze existiert nur für positive b. Das (ε, δ)-Definition von Grenzwert verwendet wird, bedeutet dies zu zeigen, dass für jede gewünschte Genauigkeit des Ergebnisses b x man kann ein ausreichend kleines Intervall um x herum wählen, damit alle rationalen Potenzen im Intervall innerhalb der gewünschten Genauigkeit liegen.

Zum Beispiel, wenn x = π , die nicht terminierende Dezimaldarstellung π = 3,14159… kann (aufgrund der strikten Monotonie der rationalen Potenz) verwendet werden, um die durch rationale Potenzen begrenzten Intervalle zu erhalten

Die Exponentialfunktion Bearbeiten

Die wichtige mathematische Konstante e, manchmal auch Eulersche Zahl genannt, ist ungefähr gleich 2,718 und ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Obwohl die Potenzierung von e prinzipiell wie die Potenzierung jeder anderen reellen Zahl behandelt werden könnten, erweisen sich solche Exponentialfunktionen als besonders elegante und nützliche Eigenschaften. Diese Eigenschaften ermöglichen unter anderem Exponentialfunktionen von e auf natürliche Weise auf andere Arten von Exponenten, wie komplexe Zahlen oder sogar Matrizen, verallgemeinert werden, während die bekannte Bedeutung der Exponentiation mit rationalen Exponenten übereinstimmt.

Folglich ist die Notation e x bezeichnet normalerweise eine verallgemeinerte Potenzierungsdefinition namens Exponentialfunktion, exp(x), die auf viele äquivalente Weisen definiert werden kann, zum Beispiel durch

Unter anderen Eigenschaften erfüllt exp die exponentielle Identität

exp (x + y) = exp ⁡ (x) ⋅ exp ⁡ (y).

Die Exponentialfunktion ist für alle ganzzahligen, gebrochenen, reellen und komplexen Werte von definiert x. Tatsächlich ist die Matrixexponentialfunktion für quadratische Matrizen wohldefiniert (in diesem Fall gilt diese Exponentialidentität nur, wenn x und ja kommutieren) und ist nützlich zum Lösen von Systemen linearer Differentialgleichungen.

Da exp(1) gleich ist e, und exp(x) diese exponentielle Identität erfüllt, folgt sofort exp(x) stimmt mit der wiederholten Multiplikationsdefinition von . überein e x für ganze Zahl x, und daraus folgt auch, dass rationale Potenzen wie üblich (positive) Wurzeln bezeichnen, also exp(x) stimmt mit dem überein e x Definitionen im vorherigen Abschnitt für alle realen x durch Kontinuität.

Potenzen über Logarithmen Bearbeiten

Wann e x ist als Exponentialfunktion definiert, b x kann für andere positive reelle Zahlen b definiert werden durch e x . Insbesondere der natürliche Logarithmus ln(x) ist die Umkehrung der Exponentialfunktion e x . Es ist definiert für b > 0 und erfüllt

Wenn b x besteht darin, die Logarithmus- und Exponentenregeln beizubehalten, dann muss man haben

Dies kann als alternative Definition der reellen Potenz verwendet werden b x und stimmt mit der obigen Definition überein, die rationale Exponenten und Stetigkeit verwendet. Die Definition der Exponentiation unter Verwendung von Logarithmen ist im Zusammenhang mit komplexen Zahlen üblicher, wie unten erörtert.

Reelle Exponenten mit negativen Basen Bearbeiten

Potenzen einer positiven reellen Zahl sind immer positive reelle Zahlen. Die Lösung von x 2 = 4 kann jedoch entweder 2 oder −2 sein. Der Hauptwert von 4 1/2 ist 2, aber -2 ist auch eine gültige Quadratwurzel. Wenn die Definition der Exponentiation reeller Zahlen erweitert wird, um negative Ergebnisse zuzulassen, dann verhält sich das Ergebnis nicht mehr gut.

Weder die Logarithmusmethode noch die rationale Exponentenmethode können verwendet werden, um zu definieren b r als reelle Zahl für eine negative reelle Zahl b und eine beliebige reelle Zahl r. Tatsächlich, e r ist für jede reelle Zahl positiv r, also ln(b) ist nicht als reelle Zahl für . definiert b ≤ 0 .

Die Methode des rationalen Exponenten kann nicht für negative Werte von verwendet werden b weil es auf Kontinuität setzt. Die Funktion f(r) = b r hat eine eindeutige kontinuierliche Erweiterung [24] von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen für jede numbers b >0 . Aber wenn b < 0 , die Funktion f ist auf der Menge der rationalen Zahlen nicht einmal stetig r für die es definiert ist.

Betrachten Sie zum Beispiel b = −1 . Das neinWurzel von −1 ist −1 für jede ungerade natürliche Zahl nein. Also wenn nein ist eine ungerade positive ganze Zahl, (−1) (ich/nein) = −1 falls ich ungerade ist und (−1) (ich/nein) = 1 wenn ich ist eben. Damit ist die Menge der rationalen Zahlen q wofür (−1) q = 1 ist dicht in den rationalen Zahlen, ebenso wie die Menge von q for which (−1) q = −1 . This means that the function (−1) q is not continuous at any rational number q where it is defined.

On the other hand, arbitrary complex powers of negative numbers b can be defined by choosing a complex logarithm of b.

Irrational exponents Edit

Wenn b is a positive real algebraic number, and x is a rational number, it has been shown above that b x is an algebraic number. This remains true even if one accepts any algebraic number for b, with the only difference that b x may take several values (a finite number, see below), which are all algebraic. The Gelfond–Schneider theorem provides some information on the nature of b x wann x is irrational (that is, not rational). It states:

Wenn b is an algebraic number different from 0 and 1, and x an irrational algebraic number, then all values of b x (there are infinitely many) are transcendental (that is, not algebraic).

If b is a positive real number, and z is any complex number, the power b z ist definiert durch

wo x = ln(b) is the unique real solution to the equation e x = b , and the complex power of e is defined by the exponential function, which is the unique function of a complex variable that is equal to its derivative and takes the value 1 for x = 0 .

As, in general, b z is not a real number, an expression such as (b z ) w is not defined by the previous definition. It must be interpreted via the rules for powers of complex numbers, and, unless z is real or w is integer, does not generally equal b zw , as one might expect.

There are various definitions of the exponential function but they extend compatibly to complex numbers and satisfy the exponential property. For any complex numbers z und w, the exponential function satisfies e z + w = e z e w =e^e^> . In particular, for any complex number z = x + i y

This formula links problems in trigonometry and algebra.

Therefore, for any complex number z = x + i y ,

Series definition Edit

The exponential function being equal to its derivative and satisfying e 0 = 1 , =1,> its Taylor series must be

This infinite series, which is often taken as the definition of the exponential function e z for arbitrary complex exponents, is absolutely convergent for all complex numbers z.

Wann z is purely imaginary, that is, z = iy for a real number ja, the series above becomes

which (because it converges absolutely) may be reordered to

The real and the imaginary parts of this expression are Taylor expansions of cosine and sine respectively, centered at zero, implying Euler's formula:

Limit definition Edit

Periodicity Edit

That is, the complex exponential function e z = exp ⁡ ( z ) = exp ⁡ ( z + 2 k π i ) =exp(z)=exp(z+2kpi i)> for any integer k is a periodic function with period 2 π i .

Examples Edit

Integer powers of nonzero complex numbers are defined by repeated multiplication or division as above. Wenn ich is the imaginary unit and nein is an integer, then ich nein equals 1, ich, −1, or −ich, according to whether the integer nein is congruent to 0, 1, 2, or 3 modulo 4. Because of this, the powers of ich are useful for expressing sequences of period 4.

Complex powers of positive reals are defined via e x as in section Complex exponents with positive real bases above. These are continuous functions.

Trying to extend these functions to the general case of noninteger powers of complex numbers that are not positive reals leads to difficulties. Either we define discontinuous functions or multivalued functions. Neither of these options is entirely satisfactory.

The rational power of a complex number must be the solution to an algebraic equation. Therefore, it always has a finite number of possible values. Beispielsweise, w = z 1/2 must be a solution to the equation w 2 = z . But if w is a solution, then so is −w, because (−1) 2 = 1 . A unique but somewhat arbitrary solution called the principal value can be chosen using a general rule which also applies for nonrational powers.

Complex powers and logarithms are more naturally handled as single valued functions on a Riemann surface. Single valued versions are defined by choosing a sheet. The value has a discontinuity along a branch cut. Choosing one out of many solutions as the principal value leaves us with functions that are not continuous, and the usual rules for manipulating powers can lead us astray.

Any nonrational power of a complex number has an infinite number of possible values because of the multi-valued nature of the complex logarithm. The principal value is a single value chosen from these by a rule which, amongst its other properties, ensures powers of complex numbers with a positive real part and zero imaginary part give the same value as does the rule defined above for the corresponding real base.

Exponentiating a real number to a complex power is formally a different operation from that for the corresponding complex number. However, in the common case of a positive real number the principal value is the same.

The powers of negative real numbers are not always defined and are discontinuous even where defined. In fact, they are only defined when the exponent is a rational number with the denominator being an odd integer. When dealing with complex numbers the complex number operation is normally used instead.

Complex exponents with complex bases Edit

For complex numbers w und z mit w ≠ 0 , the notation w z is ambiguous in the same sense that log w is.

To obtain a value of w z , first choose a logarithm of w call it log w . Such a choice may be the principal value Log w (the default, if no other specification is given), or perhaps a value given by some other branch of log w fixed in advance. Then, using the complex exponential function one defines

because this agrees with the earlier definition in the case where w is a positive real number and the (real) principal value of log w wird eingesetzt.

Wenn z is an integer, then the value of w z is independent of the choice of log w , and it agrees with the earlier definition of exponentiation with an integer exponent.

Wenn z is a rational number ich/nein in lowest terms with nein > 0 , then the countably infinitely many choices of log w yield only nein different values for w z these values are the nein complex solutions so to the equation so nein = w ich .

Wenn z is an irrational number, then the countably infinitely many choices of log w lead to infinitely many distinct values for w z .

The computation of complex powers is facilitated by converting the base w to polar form, as described in detail below.

A similar construction is employed in quaternions.

Complex roots of unity Edit

A complex number w so dass w nein = 1 for a positive integer nein ist ein neinth root of unity. Geometrically, the neinth roots of unity lie on the unit circle of the complex plane at the vertices of a regular nein-gon with one vertex on the real number 1.

Wenn w nein = 1 but w k ≠ 1 for all natural numbers k such that 0 < k < nein , dann w heißt a primitive neinth root of unity. The negative unit −1 is the only primitive square root of unity. The imaginary unit ich is one of the two primitive 4th roots of unity the other one is −ich.

The other neinth roots of unity are given by

Roots of arbitrary complex numbers Edit

Although there are infinitely many possible values for a general complex logarithm, there are only a finite number of values for the power w q in the important special case where q = 1/nein und nein ist eine positive ganze Zahl. These are the nein th roots von w they are solutions of the equation z n = w . As with real roots, a second root is also called a square root and a third root is also called a cube root.

It is usual in mathematics to define w 1/nein as the principal value of the root, which is, conventionally, the nein th root whose argument has the smallest absolute value. Wann w is a positive real number, this is coherent with the usual convention of defining w 1/nein as the unique positive real nein th root. Auf der anderen Seite, wenn w is a negative real number, and n is an odd integer, the unique real nein th root is not one of the two nein th roots whose argument has the smallest absolute value. In this case, the meaning of w 1/nein may depend on the context, and some care may be needed for avoiding errors.

The set of nein th roots of a complex number w is obtained by multiplying the principal value w 1/nein by each of the nein th roots of unity. For example, the fourth roots of 16 are 2, −2, 2 ich , and −2 ich , because the principal value of the fourth root of 16 is 2 and the fourth roots of unity are 1, −1, ich , and − ich .

Computing complex powers Edit

It is often easier to compute complex powers by writing the number to be exponentiated in polar form. Every complex number z can be written in the polar form

wo r is a nonnegative real number and θ is the (real) argument of z. The polar form has a simple geometric interpretation: if a complex number du + iv is thought of as representing a point (du, v) in the complex plane using Cartesian coordinates, then (r, θ) is the same point in polar coordinates. Das ist, r is the "radius" r 2 = du 2 + v 2 and θ is the "angle" θ = atan2(v, du) . The polar angle θ is ambiguous since any integer multiple of 2π could be added to θ without changing the location of the point. Each choice of θ gives in general a different possible value of the power. A branch cut can be used to choose a specific value. The principal value (the most common branch cut), corresponds to θ chosen in the interval (−π, π] . For complex numbers with a positive real part and zero imaginary part using the principal value gives the same result as using the corresponding real number.

In order to compute the complex power w z , write w in polar form:

Wenn z is decomposed as c + di , then the formula for w z can be written more explicitly as

This final formula allows complex powers to be computed easily from decompositions of the base into polar form and the exponent into Cartesian form. It is shown here both in polar form and in Cartesian form (via Euler's identity).

The following examples use the principal value, the branch cut which causes θ to be in the interval (−π, π] . To compute ich ich , write ich in polar and Cartesian forms:

Similarly, to find (−2) 3 + 4ich , compute the polar form of −2:

and use the formula above to compute

The value of a complex power depends on the branch used. For example, if the polar form ich = 1e 5πi/2 is used to compute ich ich , the power is found to be e −5π/2 the principal value of ich ich , computed above, is e −π/2 . The set of all possible values for ich ich is given by [28]

So there is an infinity of values that are possible candidates for the value of ich ich , one for each integer k. All of them have a zero imaginary part, so one can say ich ich has an infinity of valid real values.

Failure of power and logarithm identities Edit

Some identities for powers and logarithms for positive real numbers will fail for complex numbers, no matter how complex powers and complex logarithms are defined as single-valued functions. Beispielsweise:

  • The identity log(bx ) = x ⋅ log b holds whenever b is a positive real number and x is a real number. But for the principal branch of the complex logarithm one has i π = log ⁡ ( − 1 ) = log ⁡ [ ( − i ) 2 ] ≠ 2 log ⁡ ( − i ) = 2 ( − i π 2 ) = − i π ight] eq 2log(-i)=2left(-<2>> ight)=-ipi >

Regardless of which branch of the logarithm is used, a similar failure of the identity will exist. The best that can be said (if only using this result) is that:

This identity does not hold even when considering log as a multivalued function. The possible values of log(w z ) contain those of z ⋅ log w as a subset. Using Log(w) for the principal value of log(w) and m , n as any integers the possible values of both sides are:

On the other hand, when x is an integer, the identities are valid for all nonzero complex numbers.

Monoids Edit

Exponentiation with integer exponents can be defined in any multiplicative monoid. [30] A monoid is an algebraic structure consisting of a set X together with a rule for composition ("multiplication") satisfying an associative law and a multiplicative identity, denoted by 1. Exponentiation is defined inductively by

Monoids include many structures of importance in mathematics, including groups and rings (under multiplication), with more specific examples of the latter being matrix rings and fields.

Matrices and linear operators Edit

Wenn EIN is a square matrix, then the product of EIN with itself nein times is called the matrix power. Also A 0 > is defined to be the identity matrix, [32] and if EIN is invertible, then A − n = ( A − 1 ) n =left(A^<-1> ight)^> .

These examples are for discrete exponents of linear operators, but in many circumstances it is also desirable to define powers of such operators with continuous exponents. This is the starting point of the mathematical theory of semigroups. [34] Just as computing matrix powers with discrete exponents solves discrete dynamical systems, so does computing matrix powers with continuous exponents solve systems with continuous dynamics. Examples include approaches to solving the heat equation, Schrödinger equation, wave equation, and other partial differential equations including a time evolution. The special case of exponentiating the derivative operator to a non-integer power is called the fractional derivative which, together with the fractional integral, is one of the basic operations of the fractional calculus.

Finite fields Edit

A field is an algebraic structure in which multiplication, addition, subtraction, and division are all well-defined and satisfy their familiar properties. The real numbers, for example, form a field, as do the complex numbers and rational numbers. Unlike these familiar examples of fields, which are all infinite sets, some fields have only finitely many elements. The simplest example is the field with two elements F 2 = < 0 , 1 >=<0,1>> with addition defined by 0 + 1 = 1 + 0 = 1 and 0 + 0 = 1 + 1 = 0 , and multiplication 0 ⋅ 0 = 1 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 0 and 1 ⋅ 1 = 1 .

Exponentiation in finite fields has applications in public key cryptography. For example, the Diffie–Hellman key exchange uses the fact that exponentiation is computationally inexpensive in finite fields, whereas the discrete logarithm (the inverse of exponentiation) is computationally expensive.

In abstract algebra Edit

Exponentiation for integer exponents can be defined for quite general structures in abstract algebra.

Lassen X be a set with a power-associative binary operation which is written multiplicatively. Dann x nein is defined for any element x von X and any nonzero natural number nein as the product of nein copies of x, which is recursively defined by

One has the following properties

If the operation has a two-sided identity element 1, then x 0 is defined to be equal to 1 for any x: [ Zitat benötigt ]

If the operation also has two-sided inverses and is associative, then the magma is a group. The inverse of x can be denoted by x −1 and follows all the usual rules for exponents:

If the multiplication operation is commutative (as, for instance, in abelian groups), then the following holds:

If the binary operation is written additively, as it often is for abelian groups, then "exponentiation is repeated multiplication" can be reinterpreted as "multiplication is repeated addition". Thus, each of the laws of exponentiation above has an analogue among laws of multiplication.

When there are several power-associative binary operations defined on a set, any of which might be iterated, it is common to indicate which operation is being repeated by placing its symbol in the superscript. So, xnein ist x ∗ . ∗ x , while x #nein ist x # . # x , whatever the operations ∗ and # might be.

Superscript notation is also used, especially in group theory, to indicate conjugation. Das ist, G ha = ha −1 gh , wo G und ha are elements of some group. Although conjugation obeys some of the same laws as exponentiation, it is not an example of repeated multiplication in any sense. A quandle is an algebraic structure in which these laws of conjugation play a central role.

Over sets Edit

Wenn nein is a natural number, and EIN is an arbitrary set, then the expression EIN nein is often used to denote the set of ordered nein-tuples of elements of EIN. This is equivalent to letting EIN nein denote the set of functions from the set <0, 1, 2, . nein − 1> to the set EIN das nein-tuple (ein0, ein1, ein2, . einnein−1) represents the function that sends ich zu einich.

For an infinite cardinal number κ and a set EIN, die Notation EIN κ is also used to denote the set of all functions from a set of size κ to EIN. This is sometimes written κ EIN to distinguish it from cardinal exponentiation, defined below.

This generalized exponential can also be defined for operations on sets or for sets with extra structure. For example, in linear algebra, it makes sense to index direct sums of vector spaces over arbitrary index sets. That is, we can speak of

where each Vich is a vector space.

Then if Vich = V for each ich, the resulting direct sum can be written in exponential notation as VNein , or simply V Nein with the understanding that the direct sum is the default. We can again replace the set Nein with a cardinal number nein zu bekommen V nein , although without choosing a specific standard set with cardinality nein, this is defined only up to isomorphism. Taking V to be the field R of real numbers (thought of as a vector space over itself) and nein to be some natural number, we get the vector space that is most commonly studied in linear algebra, the real vector space R nein .

If the base of the exponentiation operation is a set, the exponentiation operation is the Cartesian product unless otherwise stated. Since multiple Cartesian products produce an nein-tuple, which can be represented by a function on a set of appropriate cardinality, S Nein becomes simply the set of all functions from Nein zu S in this case:

This fits in with the exponentiation of cardinal numbers, in the sense that | S Nein | = | S | | Nein | , where | X | is the cardinality of X. When "2" is defined as <0, 1 >, we have | 2 X | = 2 | X | , where 2 X , usually denoted by P(X), is the power set of X each subset Y von X corresponds uniquely to a function on X taking the value 1 for xY and 0 for xY .

In category theory Edit

In a Cartesian closed category, the exponential operation can be used to raise an arbitrary object to the power of another object. This generalizes the Cartesian product in the category of sets. If 0 is an initial object in a Cartesian closed category, then the exponential object 0 0 is isomorphic to any terminal object 1.

Of cardinal and ordinal numbers Edit

In set theory, there are exponential operations for cardinal and ordinal numbers.

Wenn κ und λ are cardinal numbers, the expression κ λ represents the cardinality of the set of functions from any set of cardinality λ to any set of cardinality κ. [35] If κ und λ are finite, then this agrees with the ordinary arithmetic exponential operation. For example, the set of 3-tuples of elements from a 2-element set has cardinality 8 = 2 3 . In cardinal arithmetic, κ 0 is always 1 (even if κ is an infinite cardinal or zero).

Exponentiation of cardinal numbers is distinct from exponentiation of ordinal numbers, which is defined by a limit process involving transfinite induction.

Just as exponentiation of natural numbers is motivated by repeated multiplication, it is possible to define an operation based on repeated exponentiation this operation is sometimes called hyper-4 or tetration. Iterating tetration leads to another operation, and so on, a concept named hyperoperation. This sequence of operations is expressed by the Ackermann function and Knuth's up-arrow notation. Genauso wie die Potenzierung schneller wächst als die Multiplikation, die schneller wächst als die Addition, wächst die Tetrade schneller als die Potenzierung. Ausgewertet bei (3, 3) ergeben die Funktionen Addition, Multiplikation, Exponentiation und Tetrade 6, 9, 27 bzw. 7 625 597 484 987 ( = 3 27 = 3 3 3 = 3 3 ).

Null hoch Null gibt eine Reihe von Beispielen für Grenzen, die die unbestimmte Form 0 0 haben. Die Grenzwerte in diesen Beispielen existieren, haben aber unterschiedliche Werte, was zeigt, dass die Zwei-Variablen-Funktion x ja hat keine Begrenzung am Punkt (0, 0) . Man kann sich überlegen, an welchen Stellen diese Funktion einen Grenzwert hat.

Betrachten Sie genauer die Funktion f(x, ja) = x ja definiert auf D = <(x, ja) ∈ R 2 : x >0>. Dann D kann als Teilmenge von angesehen werden R 2 (also die Menge aller Paare (x, ja) mit x , ja zur erweiterten reellen Zahlengeraden gehörend R = [−∞, +∞] , ausgestattet mit der Produkttopologie), die die Punkte enthält, an denen die Funktion f hat eine Grenze.

Tatsächlich, f hat an allen Sammelpunkten eine Grenze von D , außer (0, 0) , (+∞, 0) , (1, +∞) und (1, −∞) . [36] Damit kann man also die Potenzen definieren x ja durch Stetigkeit immer dann, wenn 0 ≤ x ≤ +∞ , −∞ ≤ y ≤ +∞ , außer 0 0 , (+∞) 0 , 1 +∞ und 1 −∞ , die unbestimmte Formen bleiben.

Unter dieser Definition durch Stetigkeit erhalten wir:

  • x +∞ = +∞ und x −∞ = 0 , wenn 1 < x ≤ +∞ .
  • x +∞ = 0 und x −∞ = +∞ , wenn 0 ≤ x <1.
  • 0 ja = 0 und (+∞) ja = +∞ , wenn 0 < ja ≤ +∞ .
  • 0 ja = +∞ und (+∞) ja = 0 , wenn −∞ ≤ ja < 0 .

Diese Befugnisse werden erhalten, indem die Grenzen von x ja zum positiv Werte von x . Diese Methode erlaubt keine Definition von x ja wann x < 0 , da Paare (x, ja) mit x < 0 sind keine Häufungspunkte von D .

Auf der anderen Seite, wenn nein eine ganze Zahl ist, ist die Potenz x nein ist bereits für alle Werte von aussagekräftig x , auch negative. Dies kann die Definition 0 . machen nein = +∞ oben erhalten für negativ nein problematisch, wenn nein ist seltsam, da in diesem Fall x nein → +∞ als x tendiert durch positive Werte gegen 0, aber nicht durch negative.

Computer b nein Die Verwendung einer iterierten Multiplikation erfordert nein − 1 Multiplikationsoperationen, kann aber effizienter berechnet werden, wie das folgende Beispiel zeigt. Um 2 100 zu berechnen, beachten Sie, dass 100 = 64 + 32 + 4 ist. Berechnen Sie folgendes der Reihe nach:

  1. 2 2 = 4
  2. (2 2 ) 2 = 2 4 = 16.
  3. (2 4 ) 2 = 2 8 = 256.
  4. (2 8 ) 2 = 2 16 = 65 536 .
  5. (2 16 ) 2 = 2 32 = 4 294 967 296 .
  6. (2 32 ) 2 = 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 .
  7. 2 64 2 32 2 4 = 2 100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 .

Diese Reihe von Schritten erfordert nur 8 Multiplikationsoperationen (das letzte Produkt oben erfordert 2 Multiplikationen) anstelle von 99.

Im Allgemeinen ist die Anzahl der Multiplikationsoperationen erforderlich, um b nein kann auf Θ(log nein) unter Verwendung von Potenzierung durch Quadrieren oder (allgemeiner) Additionsketten-Exponentiation. Suche nach minimal Folge von Multiplikationen (die Additionskette minimaler Länge für den Exponenten) für b nein ist ein schwieriges Problem, für das derzeit keine effizienten Algorithmen bekannt sind (siehe Teilsummenproblem), aber viele einigermaßen effiziente heuristische Algorithmen stehen zur Verfügung. [37]

Das Platzieren einer ganzzahligen hochgestellten Zahl nach dem Namen oder Symbol einer Funktion, als ob die Funktion potenziert würde, bezieht sich im Allgemeinen eher auf eine wiederholte Funktionszusammensetzung als auf eine wiederholte Multiplikation. [38] [39] [40] Somit f 3 (x) kann bedeuten f(f(f(x))) [41] insbesondere, f −1 (x) bezeichnet normalerweise die Umkehrfunktion von f . Diese Notation wurde von Hans Heinrich Bürmann eingeführt [ Zitat benötigt ] [39] [40] und John Frederick William Herschel. [38] [39] [40] Iterierte Funktionen sind für das Studium von Fraktalen und dynamischen Systemen von Interesse. Babbage war der erste, der das Problem des Findens einer funktionalen Quadratwurzel untersuchte f 1/2 (x) .

Um die Exponentiation von der Funktionskomposition zu unterscheiden, ist es üblich, den Exponentialexponenten nach der Klammer zu schreiben, die das Argument der Funktion einschließt, d.h. f(x) 3 bedeutet (f(x)) 3 , und f(x) –1 bedeutet 1/f(x) .

Aus historischen Gründen und wegen der Mehrdeutigkeit, die durch das Nichteinschließen von Argumenten in Klammern entsteht, hat ein hochgestellter Text nach einem speziell auf die trigonometrische und hyperbolische Funktion angewendeten Funktionsnamen eine abweichende Bedeutung: Ein positiver Exponent auf die Abkürzung der Funktion bedeutet, dass das Ergebnis erhöht wird hoch [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [20] [40] während ein Exponent von −1 immer noch die Umkehrfunktion bezeichnet. [40] Das heißt, Sünde 2 x ist nur eine Kurzform zu schreiben (sünde x) 2 = Sünde(x) 2 ohne Klammern, [16] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [20] wobei sin −1 x bezieht sich auf die Umkehrfunktion des Sinus, auch Arcsin genannt x . Jede trigonometrische und hyperbolische Funktion hat ihren eigenen Namen und eine eigene Abkürzung sowohl für den Kehrwert (zum Beispiel 1/(sin x) = (sünde x) −1 = Sünde(x) −1 = csc x ) und seine Umkehrung (zum Beispiel cosh −1 x = arcosh x ). Eine ähnliche Konvention existiert für Logarithmen, [40] wobei heute log 2 x bedeutet normalerweise (log x) 2 , nicht log log x . [40]

Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, haben einige Mathematiker [ Zitat benötigt ] wählen Sie ∘, um die kompositorische Bedeutung zu bezeichnen, Schreiben fnein (x) für die n-te Iteration der Funktion f(x) , wie zum Beispiel in f ∘3 (x) Bedeutung f(f(f(x))). Für den gleichen Zweck, f [nein] (x) wurde von Benjamin Peirce [55] [40] verwendet, während Alfred Pringsheim und Jules Molk vorgeschlagen haben nein f(x) stattdessen. [56] [40] [Anm. 1]

Programmiersprachen drücken die Exponentiation im Allgemeinen entweder als Infix-Operator oder als (Präfix-)Funktion aus, da es sich um lineare Notationen handelt, die keine hochgestellten Zeichen unterstützen:

  • x ↑ y : Algol, Commodore BASIC, TRS-80 Level II/III BASIC. [57][58]
  • x ^ y : AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (und seine Ableitungen), TI-BASIC, bc (für ganzzahlige Exponenten), Haskell (für nichtnegative ganzzahlige Exponenten) , Lua und die meisten Computeralgebrasysteme. Widersprüchliche Verwendungen des Symbols ^ umfassen: XOR (in POSIX Shell arithmetische Expansion, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby und Tcl), Indirektion (Pascal) und String and Verkettung (OCaml und Standard ML).
  • x ^^ y : Haskell (für gebrochene Basis, ganzzahlige Exponenten), D.
  • x ** y : Ada, Z-Shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F#, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (für Gleitkomma-Exponenten), Turing, VHDL.
  • pown x y : F# (für ganzzahlige Basis, ganzzahliger Exponent).
  • x⋆y: APL.

Viele andere Programmiersprachen haben keine syntaktische Unterstützung für die Exponentiation, bieten jedoch Bibliotheksfunktionen:

  • pow(x, y) : C, C++.
  • Math.Pow(x, y) : C#.
  • math:pow(X, Y) : Erlang.
  • Math.pow(x, y) : Java.
  • [Math]::Pow(x, y) : PowerShell.
  • (expt x y) : Gemeinsames Lisp.

Für bestimmte Exponenten gibt es spezielle Berechnungsmethoden x ja viel schneller als durch generische Potenzierung. Diese Fälle umfassen kleine positive und negative ganze Zahlen (bevorzugen Sie x · x Über x 2 bevorzugen 1/x Über x −1 ) und Wurzeln (bevorzugen Sie sqrt(x) Über x 0,5, bevorzuge cbrt (x) Über x 1/3 ).


4: Exponents - Mathematics

Powers or exponents are mathematical text symbols (we will talk later about their meaning) that people had been texting from the times when ASCII encoding was developed. And you can type them right from your keyboard. I'll show you how to do it by using different techniques depending on your Operating System and tastes.

Power of maths of powers

Exponentiation is a mathematical operation, written as bⁿ, involving two numbers, the base b and the exponent (or index or power) nein. Wann nein is a positive integer, exponentiation corresponds to repeated multiplication in other words, is product of a number b multiplied by itself nein mal.

The exponent is usually shown as a superscript to the right of the base. The exponentiation bⁿ can be read as: b raised to the n-th power, b raised to the power of nein, oder b raised by the exponent of nein, most briefly as b zum nein. Some exponents have their own pronunciation: for example, is usually read as b squared and wie b cubed.

The power bⁿ can be defined also when nein is a negative integer, for nonzero b. No natural extension to all real b und nein exists, but when the base b is a positive real number, bⁿ can be defined for all real and even complex exponents nein via the exponential function e x .

Also this index symbols are used in chemistry to denote chemical elements (ex. ²⁴⁰ᶠPu, ⁵⁸𝔌o).

How to input power symbols

Choose your system to find out.

From Keyboard

Alt Codes

Shortcut technique that works on Desktops and most Laptops running MS Windows. You press Alt and, while holding it, type a code on Num Pad while it's turned on. Please, read a guide if you're running a laptop. You can type many frequently used symbols with this method.

Shift States

Configure your keyboard layout in Windows so that you can type all additional symbols you want as easy as any other text. Takes about 5-10 minutes to set things up, but you'll be typing like a boss. You can assign infinity symbols and any other text characters to your keyboard using this technique.

Character Map

CharMap allows you to view and use all characters and symbols available in all fonts (some examples of fonts are "Arial", "Times New Roman", "Webdings") installed on your computer. You can input power signs using it.

Emoji on iOS (iPhone, iPad and iPod touch)

Character Palette

Character Palette allows you to view and use all characters and symbols, including power signs, available in all fonts (some examples of fonts are "Arial", "Times New Roman", "Webdings") installed on your computer.

From Keyboard

Unicode hex code Symbol Unicode hex code Symbol Unicode hex code Symbol
2070 00B9 ¹ 00B2 ²
00B3 ³ 2074 2075
2076 2077 2078
2079 207A 207B
207c 207D 207E
207F 1D2C 1D2D
1D2F 1D2F 1D30
1D31 1D32 1D33
1D34 1D35 1D36
1D37 1D38 1D39
1D3A 1D3B 1D3C
1D3D 1D3E 1D3F ᴿ
1D40 1D41 1D42
1D43 1D44 1D45
1D46 1D47 1D48
1D49 1D4A 1D4B
1D4C 1D4D 1D4E
1D4F 1D50 1D51
1D52 1D53 1D54
1D55 1D56 1D57
1D58 1D59 1D5B

There actually are 3 different ways to type symbols on Linux with a keyboard. But only third and fourth level chooser keys and unicode hex codes can produce mathematical power text symbols.

Character map

Character map allows you to view and use all characters and symbols available in all fonts (some examples of fonts are "Arial", "Times New Roman", "Webdings") installed on your computer. It can also help you lookup Unicode codes for entering symbols with keyboard.

Following is a list of HTML and JavaScript entities for power symbols. In Javascript you should write like a = "this u2669 symbol" if you want to include a special symbol in a string.


Schau das Video: Matematik 4 - Trigonometri - Trigonometriska samband del 1 (Januar 2022).