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4.5: Zusammenfassung der Kurvenskizze - Mathematik

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Lernziele

  • Erklären Sie, wie sich das Vorzeichen der ersten Ableitung auf die Form des Funktionsgraphen auswirkt.
  • Geben Sie den Test der ersten Ableitung für kritische Punkte an.
  • Verwenden Sie Konkavität und Wendepunkte, um zu erklären, wie sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf die Form eines Funktionsgraphen auswirkt.
  • Erklären Sie den Konkavitätstest für eine Funktion über einem offenen Intervall.
  • Erklären Sie die Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer ersten und zweiten Ableitung.
  • Geben Sie den zweiten Ableitungstest für lokale Extrema an.

Weiter oben in diesem Kapitel haben wir festgestellt, dass, wenn eine Funktion (f) ein lokales Extremum an einem Punkt (c) hat, (c) ein kritischer Punkt von (f) sein muss. Es ist jedoch nicht garantiert, dass eine Funktion an einem kritischen Punkt ein lokales Extremum hat. Zum Beispiel hat (f(x)=x^3) einen kritischen Punkt bei (x=0), da (f'(x)=3x^2) bei (x=0) Null ist ), aber (f) hat kein lokales Extremum bei (x=0). Mit den Ergebnissen aus dem vorherigen Abschnitt können wir nun feststellen, ob ein kritischer Punkt einer Funktion tatsächlich einem lokalen Extremwert entspricht. In diesem Abschnitt sehen wir auch, wie die zweite Ableitung Informationen über die Form eines Graphen liefert, indem sie beschreibt, ob der Graph einer Funktion nach oben oder nach unten krümmt.

Der erste Ableitungstest

Korollar (3) des Mittelwertsatzes zeigte, dass, wenn die Ableitung einer Funktion über ein Intervall (I) positiv ist, die Funktion über (I) ansteigt. Andererseits, wenn die Ableitung der Funktion über ein Intervall (I) negativ ist, dann nimmt die Funktion über (I) ab, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Eine stetige Funktion (f) hat genau dann ein lokales Maximum im Punkt (c), wenn (f) im Punkt (c) von ansteigend zu fallend wechselt. In ähnlicher Weise hat (f) genau dann ein lokales Minimum bei (c), wenn (f) bei (c) von fallend zu ansteigend wechselt. Wenn (f) eine stetige Funktion über ein Intervall (I) ist, das (c) enthält und über (I) differenzierbar ist, außer möglicherweise bei (c), ist der einzige Weg (f) kann am Punkt (c) von ansteigend zu absteigend (oder umgekehrt) wechseln, wenn (f') das Vorzeichen ändert, wenn (x) durch (c) anwächst. Wenn (f) an (c) differenzierbar ist, ist die einzige Möglichkeit, dass (f'). kann das Vorzeichen ändern, wenn (x) durch (c) anwächst, wenn (f'(c)=0). Daher ist für eine Funktion (f), die über ein Intervall (I), das (c) enthält, stetig und über (I) differenzierbar, außer möglicherweise bei (c), der einzige Weg ( f) kann von steigender zu fallender (oder umgekehrt) wechseln, wenn (f'(c)=0) oder (f'(c)) undefiniert ist. Folglich suchen wir zum Auffinden lokaler Extrema für eine Funktion (f) nach Punkten (c) im Bereich von (f) mit (f'(c)=0) oder (f '(c)) ist undefiniert. Denken Sie daran, dass solche Punkte kritische Punkte von (f) genannt werden.

Beachten Sie, dass (f) an einem kritischen Punkt keine lokalen Extrema haben muss. Die kritischen Punkte sind nur Kandidaten für lokale Extrema. In Abbildung (PageIndex{2}) zeigen wir, dass eine stetige Funktion (f) mit einem lokalen Extremum an einem kritischen Punkt auftreten muss, aber eine Funktion darf an einem kritischen Punkt kein lokales Extremum haben . Wir zeigen, dass, wenn (f) an einem kritischen Punkt ein lokales Extremum hat, das Vorzeichen von (f') wechselt, wenn (x) durch diesen Punkt ansteigt.

Mit Abbildung (PageIndex{2}) fassen wir die wichtigsten Ergebnisse zu lokalen Extrema zusammen.

  • Wenn eine stetige Funktion (f) ein lokales Extremum hat, muss sie an einem kritischen Punkt (c) auftreten.
  • Die Funktion hat im kritischen Punkt (c) genau dann ein lokales Extremum, wenn die Ableitung (f') das Vorzeichen wechselt, wenn (x) durch (c) wächst.
  • Um zu testen, ob eine Funktion an einem kritischen Punkt (c) ein lokales Extremum hat, müssen wir daher das Vorzeichen von (f'(x)) links und rechts von (c) bestimmen.

Dieses Ergebnis wird als . bezeichnet Test der ersten Ableitung.

Erster Ableitungstest

Angenommen, (f) sei eine stetige Funktion über ein Intervall (I), das einen kritischen Punkt (c) enthält. Wenn (f) über (I) differenzierbar ist, außer möglicherweise im Punkt (c), dann erfüllt (f(c)) eine der folgenden Beschreibungen:

  1. Wenn (f') das Vorzeichen von positiv ändert, wenn (xc), dann ist (f(c)) ein lokales Maximum von (f).
  2. Wenn (f') das Vorzeichen von negativ bei (xc), dann ist (f(c)) ein lokales Minimum von (f).
  3. Hat (f') das gleiche Vorzeichen für (xc), dann ist (f(c)) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum von (f )

Sehen wir uns nun an, wie diese Strategie verwendet wird, um alle lokalen Extrema für bestimmte Funktionen zu lokalisieren.

Beispiel (PageIndex{1}): Verwenden des ersten Ableitungstests, um lokale Extrema zu finden

Verwenden Sie den Test der ersten Ableitung, um die Lage aller lokalen Extrema für (f(x)=x^3−3x^2−9x−1.) zu finden. Verwenden Sie ein grafisches Dienstprogramm, um Ihre Ergebnisse zu bestätigen.

Lösung

Schritt 1. Die Ableitung ist (f'(x)=3x^2−6x−9.) Um die kritischen Punkte zu finden, müssen wir herausfinden wo (f'(x)=0.) Faktorisieren des Polynoms , schließen wir, dass die kritischen Punkte erfüllen müssen

[3(x^2−2x−3)=3(x−3)(x+1)=0. keine Nummer]

Daher sind die kritischen Punkte (x=3,−1.) Unterteile nun das Intervall ((−∞,∞)) in die kleineren Intervalle ((−∞,−1),(−1,3 )) und ((3,∞).)

Schritt 2. Da (f') eine stetige Funktion ist, genügt es, um das Vorzeichen von (f'(x)) über jedes Teilintervall zu bestimmen, einen Punkt über jedem der Intervalle ((−∞, −1),(−1,3)) und ((3,∞)) und bestimmen Sie das Vorzeichen von (f') an jedem dieser Punkte. Wählen wir zum Beispiel (x=−2), (x=0) und (x=4) als Testpunkte.

Tabelle: (PageIndex{1}): Erster Ableitungstest für (f(x)=x^3−3x^2−9x−1.)
IntervallTestpunktVorzeichen von (f'(x)=3(x−3)(x+1)) am TestpunktFazit
((−∞,−1))(x=−2)(+)(−)(−)=+(f) nimmt zu.
((−1,3))(x=0)(+)(−)(+)=+(f) nimmt zu.
((3,∞))(x=4)(+)(+)(+)=+(f) nimmt zu.

Schritt 3. Da (f') das Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt, wenn (x) durch (1) wächst, hat (f) ein lokales Maximum bei (x=−1). Da (f') das Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt, wenn (x) durch (3) wächst, hat (f) ein lokales Minimum bei (x=3). Diese Analyseergebnisse stimmen mit der folgenden Grafik überein.

Übung (PageIndex{1})

Verwenden Sie den Test der ersten Ableitung, um alle lokalen Extrema für (f(x)=−x^3+frac{3}{2}x^2+18x.) zu finden.

Hinweis

Finden Sie alle kritischen Punkte von (f) und bestimmen Sie die Vorzeichen von (f'(x)) über bestimmte Intervalle, die durch die kritischen Punkte bestimmt werden.

Antworten

(f) hat ein lokales Minimum bei (−2) und ein lokales Maximum bei (3).

Beispiel (PageIndex{2}): Verwendung des ersten Ableitungstests

Verwenden Sie den Test der ersten Ableitung, um die Lage aller lokalen Extrema für (f(x)=5x^{1/3}−x^{5/3} zu finden.) Verwenden Sie ein grafisches Dienstprogramm, um Ihre Ergebnisse zu bestätigen.

Lösung

Schritt 1. Die Ableitung ist

[f'(x)=frac{5}{3}x^{−2/3}−frac{5}{3}x^{2/3}=frac{5}{3x^{ 2/3}}−frac{5x^{2/3}}{3}=frac{5−5x^{4/3}}{3x^{2/3}}=frac{5(1 −x^{4/3})}{3x^{2/3}}. onumber]

Die Ableitung (f'(x)=0) wenn (1−x^{4/3}=0.) Daher gilt (f'(x)=0) bei (x=±1 ). Die Ableitung (f'(x)) ist bei (x=0.) undefiniert. Daher haben wir drei kritische Punkte: (x=0), (x=1) und (x =−1). Unterteile also das Intervall ((−∞,∞)) in die kleineren Intervalle ((−∞,−1),,(−1,0),,(0,1)) und ((1,∞)).

Schritt 2: Da (f') über jedes Teilintervall stetig ist, genügt es, in jedem der Intervalle aus Schritt 1 einen Testpunkt (x) zu wählen und das Vorzeichen von (f') an jedem von . zu bestimmen diese Punkte. Die Punkte (x=−2,,x=−frac{1}{2},,x=frac{1}{2}) und (x=2) sind Testpunkte für diese Intervalle.

Tabelle: (PageIndex{2}): Erster Ableitungstest für (f(x)=5x^{1/3}−x^{5/3}.)
IntervallTestpunktVorzeichen von (f'(x)=frac{5(1−x^{4/3})}{3x^{2/3}}) am TestpunktFazit
((−∞,−1))(x=−2)(frac{(+)(−)}{+}=−)(f) nimmt ab.
((−1,0))(x=−frac{1}{2})(frac{(+)(+)}{+}=+)(f) nimmt zu.
((0,1))(x=frac{1}{2})(frac{(+)(+)}{+}=+)(f) nimmt zu.
((1,∞))(x=2)(frac{(+)(−)}{+}=−)(f) nimmt ab.

Schritt 3: Da (f) über das Intervall ((−∞,−1)) abnimmt und über das Intervall ((−1,0) zunimmt), hat (f) ein lokales Minimum bei (x=−1). Da (f) über das Intervall ((−1,0)) und das Intervall ((0,1)) wächst, hat (f) kein lokales Extremum bei (x= 0). Da (f) über das Intervall ((0,1)) zunimmt und über das Intervall ((1,∞) abnimmt, hat (f) ein lokales Maximum bei (x=1 ). Die Analyseergebnisse stimmen mit der folgenden Grafik überein.

Übung (PageIndex{2})

Verwenden Sie den Test der ersten Ableitung, um alle lokalen Extrema für ((x)=dfrac{3}{x−1}) zu finden.

Hinweis

Der einzige kritische Punkt von (f) ist (x=1.)

Antworten

(f) hat keine lokalen Extrema, weil (f') bei (x=1) das Vorzeichen nicht ändert.

Konkavität und Wendepunkte

Wir wissen jetzt, wie man bestimmt, wo eine Funktion zu- oder abnimmt. Es gibt jedoch noch ein weiteres Problem bezüglich der Form des Graphen einer Funktion. Wenn sich der Graph krümmt, krümmt er sich nach oben oder nach unten? Dieser Begriff wird als . bezeichnet Konkavität der Funktion.

Abbildung (PageIndex{4a}) zeigt eine Funktion (f) mit einem nach oben gekrümmten Graphen. Mit zunehmendem (x) nimmt die Steigung der Tangente zu. Da also die Ableitung mit steigendem (x) zunimmt, ist (f') eine steigende Funktion. Wir sagen, diese Funktion (f) ist nach oben konkav. Abbildung (PageIndex{4b}) zeigt eine nach unten gekrümmte Funktion (f). Mit zunehmendem (x) nimmt die Steigung der Tangente ab. Da die Ableitung mit steigendem (x) abnimmt, ist (f') eine fallende Funktion. Wir sagen, diese Funktion (f) ist nach unten konkav.

Definition: Konkavitätstest

Sei (f) eine Funktion, die über ein offenes Intervall (I) differenzierbar ist. Wenn (f') über (I) wächst, sagen wir (f) ist nach oben konkav über (I). Wenn (f') über (I) abnimmt, sagen wir (f) ist nach unten konkav über (I).

Wie können wir im Allgemeinen ihre Konkavität bestimmen, ohne den Graphen einer Funktion (f) zu haben? Definitionsgemäß ist eine Funktion (f) nach oben konkav, wenn (f') wächst. Aus Korollar (3) wissen wir, dass, wenn (f') eine differenzierbare Funktion ist, (f') steigend ist, wenn seine Ableitung (f''(x)>0) ist. Daher ist eine Funktion (f), die zweimal differenzierbar ist, nach oben konkav, wenn (f''(x)>0). Ebenso ist eine Funktion (f) nach unten konkav, wenn (f') abnimmt. Wir wissen, dass eine differenzierbare Funktion (f') abnehmend ist, wenn ihre Ableitung (f''(x)<0) ist. Daher ist eine zweimal differenzierbare Funktion (f) nach unten konkav, wenn (f''(x)<0). Die Anwendung dieser Logik wird als Konkavitätstest.

Test auf Konkavität

Sei (f) eine Funktion, die über ein Intervall (I) zweimal differenzierbar ist.

  1. Wenn (f''(x)>0) für alle (x∈I) gilt, dann ist (f) konkav über (I)
  2. Wenn (f''(x)<0) für alle (x∈I,) gilt, dann ist (f) nach unten konkav über (I).

Wir schließen daraus, dass wir die Konkavität einer Funktion (f) bestimmen können, indem wir die zweite Ableitung von (f) betrachten. Außerdem beobachten wir, dass eine Funktion (f) die Konkavität wechseln kann (Abbildung (PageIndex{6})). Eine stetige Funktion kann die Konkavität jedoch nur an einem Punkt (x) wechseln, wenn (f''(x)=0) oder (f''(x)) undefiniert ist. Um die Intervalle zu bestimmen, in denen eine Funktion (f) nach oben und nach unten konkav ist, suchen wir daher nach den Werten von (x) mit (f''(x)=0) oder (f' '(x)) ist undefiniert. Wenn wir diese Punkte bestimmt haben, teilen wir den Bereich von (f) in kleinere Intervalle auf und bestimmen das Vorzeichen von (f'') über jedes dieser kleineren Intervalle. Wenn (f'') das Vorzeichen ändert, wenn wir einen Punkt (x) passieren, dann ändert (f) die Konkavität. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass eine Funktion (f) die Konkavität an einem Punkt (x) nicht ändern darf, selbst wenn (f''(x)=0) oder (f''(x)) ist nicht definiert. Wenn jedoch (f) die Konkavität an einem Punkt (a) ändert und (f) an (a) stetig ist, sagen wir den Punkt ((a,f(a)) ) ist ein Wendepunkt aus).

Definition: Wendepunkt

Wenn (f) in (a) stetig ist und (f) die Konkavität an (a) ändert, ist der Punkt ((a, ,f(a))) an Wendepunkt aus).

Beispiel (PageIndex{3}): Prüfung auf Konkavität

Bestimmen Sie für die Funktion (f(x)=x^3−6x^2+9x+30,) alle Intervalle, in denen (f) nach oben konkav ist und alle Intervalle, in denen (f) nach unten konkav ist. Listen Sie alle Wendepunkte für (f) auf. Verwenden Sie ein grafisches Dienstprogramm, um Ihre Ergebnisse zu bestätigen.

Lösung

Um die Konkavität zu bestimmen, müssen wir die zweite Ableitung (f''(x)) finden. Die erste Ableitung ist (f'(x)=3x^2−12x+9,) also ist die zweite Ableitung (f''(x)=6x−12.) Wenn die Funktion die Konkavität ändert, tritt dies entweder auf, wenn (f''(x)=0) oder (f''(x)) undefiniert ist. Da (f'') für alle reellen Zahlen (x) definiert ist, brauchen wir nur zu finden, wo (f''(x)=0). Wenn wir die Gleichung (6x−12=0) lösen, sehen wir, dass (x=2) die einzige Stelle ist, an der (f) die Konkavität ändern kann. Wir testen nun Punkte über den Intervallen ((−∞,2)) und ((2,∞)), um die Konkavität von (f) zu bestimmen. Die Punkte (x=0) und (x=3) sind Testpunkte für diese Intervalle.

Tabelle: (PageIndex{3}): Test auf Konkavität für (f(x)=x^3−6x^2+9x+30.)
IntervallTestpunktVorzeichen von (f''(x)=6x−12) am TestpunktFazit
((−∞,2))(x=0)(f) ist nach unten konkav
((2,∞))(x=3)+(f) ist nach oben konkav

Wir schließen daraus, dass (f) über das Intervall ((−∞,2)) nach unten konkav und über das Intervall ((2, up)) nach oben konkav ist. Da (f) die Konkavität bei (x=2) ändert, ist der Punkt ((2,f(2))=(2,32)) ein Wendepunkt. Abbildung (PageIndex{7}) bestätigt die Analyseergebnisse.

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie für (f(x)=−x^3+frac{3}{2}x^2+18x) alle Intervalle, in denen (f) konkav ist, und alle Intervalle, in denen (f) ist nach unten konkav.

Hinweis

Finden Sie, wo (f''(x)=0)

Antworten

(f) ist konkav über dem Intervall ((−∞,frac{1}{2})) und nach unten konkav über dem Intervall ((frac{1}{2},∞))

Wir fassen nun in Tabelle (PageIndex{4}) die Informationen zusammen, die die erste und zweite Ableitung einer Funktion (f) über den Graphen von (f) liefern, und veranschaulichen diese Informationen in Abbildung (PageIndex{8}).

Tabelle: (PageIndex{4}): Was uns Ableitungen über Graphen sagen
Abmelden')Abmelden'')Ist (f) steigend oder fallend?Konkavität
PositivPositivZunehmendKonkav nach oben
PositivNegativZunehmendKonkav nach unten
NegativPositivAbnehmendKonkav nach oben
NegativNegativAbnehmendKonkav nach unten

Der zweite Ableitungstest

Der Test der ersten Ableitung bietet ein analytisches Werkzeug zum Auffinden lokaler Extrema, aber die zweite Ableitung kann auch verwendet werden, um Extremwerte zu lokalisieren. Die Verwendung der zweiten Ableitung kann manchmal eine einfachere Methode sein als die Verwendung der ersten Ableitung.

Wir wissen, dass eine stetige Funktion mit einem lokalen Extremum an einem kritischen Punkt auftreten muss. Eine Funktion muss jedoch an einem kritischen Punkt kein lokales Extremum haben. Hier untersuchen wir, wie die Test der zweiten Ableitung kann verwendet werden, um zu bestimmen, ob eine Funktion an einem kritischen Punkt ein lokales Extremum hat. Sei (f) eine zweimal differenzierbare Funktion mit (f'(a)=0) und (f'') ist stetig über ein offenes Intervall (I) mit (a) . Angenommen (f''(a)<0). Da (f'') über (I, f''(x)<0) für alle (x∈I) stetig ist (Abbildung (PageIndex{9})). Dann ist nach Korollar (3) (f') eine abnehmende Funktion über (I). Wegen (f'(a)=0) schließen wir, dass für alle (x∈I, ,f'(x)>0) gilt, falls (xa).Daher hat nach dem Test der ersten Ableitung (f) ein lokales Maximum bei (x=a).

Angenommen, es existiert ein Punkt (b) mit (f'(b)=0), aber (f''(b)>0). Da (f'') über ein offenes Intervall (I) mit (b) stetig ist, gilt (f''(x)>0) für alle (x∈I) (Abbildung (PageIndex{9})). Dann ist nach Korollar (3) (f') eine wachsende Funktion über (I). Wegen (f'(b)=0) schließen wir, dass für alle (x∈I) (f'(x)<0) gilt, falls (x0), wenn (x>b). Daher hat nach dem Test der ersten Ableitung (f) ein lokales Minimum bei (x=b.)

Zweiter Ableitungstest

Angenommen (f'(c)=0) und (f'') ist über ein Intervall, das (c) enthält, stetig.

  1. Wenn (f''(c)>0), dann hat (f) ein lokales Minimum bei (c).
  2. Wenn (f''(c)<0), dann hat (f) ein lokales Maximum bei (c).
  3. Wenn (f''(c)=0,) dann ist der Test nicht schlüssig.

Beachten Sie, dass für Fall iii. wenn (f''(c)=0), dann kann (f) ein lokales Maximum, lokales Minimum oder keines von beiden an (c) haben. Zum Beispiel haben die Funktionen (f(x)=x^3, ; f(x)=x^4,) und (f(x)=−x^4) alle kritische Punkte bei ( x=0). In jedem Fall ist die zweite Ableitung bei (x=0) null. Die Funktion (f(x)=x^4) hat jedoch ein lokales Minimum bei (x=0), während die Funktion (f(x)=−x^4) ein lokales Maximum bei (x), und die Funktion (f(x)=x^3) hat kein lokales Extremum bei (x=0).

Schauen wir uns nun an, wie der zweite Ableitungstest verwendet wird, um zu bestimmen, ob (f) ein lokales Maximum oder lokales Minimum an einem kritischen Punkt (c) hat, wo (f'(c)=0.)

Beispiel (PageIndex{4}): Verwendung des zweiten Ableitungstests

Verwenden Sie die zweite Ableitung, um den Ort aller lokalen Extrema für (f(x)=x^5−5x^3.) zu finden.

Lösung

Um den zweiten Ableitungstest anzuwenden, müssen wir zuerst kritische Punkte (c) finden, wo (f'(c)=0). Die Ableitung ist (f'(x)=5x^4−15x^2). Daher gilt (f'(x)=5x^4−15x^2=5x^2(x^2−3)=0) wenn (x=0,,±sqrt{3}).

Um zu bestimmen, ob (f) an einem dieser Punkte ein lokales Extremum hat, müssen wir das Vorzeichen von (f'') an diesen Punkten auswerten. Die zweite Ableitung ist

(f''(x)=20x^3−30x=10x(2x^2−3).)

In der folgenden Tabelle bewerten wir die zweite Ableitung an jedem der kritischen Punkte und verwenden den zweiten Ableitungstest, um zu bestimmen, ob (f) an einem dieser Punkte ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum hat.

Tabelle: (PageIndex{5}): Zweiter Ableitungstest für (f(x)=x^5−5x^3.)
(x)(f''(x))Fazit
(−sqrt{3})(−30sqrt{3})Lokales Maximum
(0)(0)Der Test der zweiten Ableitung ist nicht schlüssig
(sqrt{3})(30sqrt{3})Lokales Minimum

Durch den zweiten Ableitungstest schließen wir, dass (f) ein lokales Maximum bei (x=−sqrt{3}) und (f) ein lokales Minimum bei (x=sqrt{3 }). Der Test der zweiten Ableitung ist bei (x=0) nicht schlüssig. Um zu bestimmen, ob (f) ein lokales Extrema bei (x=0,) hat, wenden wir den Test der ersten Ableitung an. Um das Vorzeichen von (f'(x)=5x^2(x^2−3)) für (x∈(−sqrt{3},0)) und (x∈(0, sqrt{3})), seien (x=−1) und (x=1) die beiden Testpunkte. Da (f'(−1)<0) und (f'(1)<0), schließen wir, dass (f) in beiden Intervallen abnimmt und daher (f) nicht haben lokale Extrema bei (x=0), wie in der folgenden Grafik gezeigt.

Übung (PageIndex{4})

Betrachten Sie die Funktion (f(x)=x^3−(frac{3}{2})x^2−18x). Die Punkte (c=3,,−2) erfüllen (f'(c)=0). Verwenden Sie den Test der zweiten Ableitung, um zu bestimmen, ob (f) an diesen Punkten ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum hat.

Hinweis

(f''(x)=6x−3)

Antworten

(f) hat ein lokales Maximum bei (−2) und ein lokales Minimum bei (3).

Wir haben jetzt die Werkzeuge entwickelt, die wir brauchen, um zu bestimmen, wo eine Funktion an- und abfällt, und wir haben uns ein Verständnis für die Grundform des Graphen angeeignet. Im nächsten Abschnitt diskutieren wir, was mit einer Funktion als (x→±∞.) passiert. An diesem Punkt haben wir genügend Werkzeuge, um genaue Graphen einer großen Vielfalt von Funktionen zu erstellen.

Schlüssel Konzepte

  • Wenn (c) ein kritischer Punkt von (f) ist und (f'(x)>0) für (xc), dann hat (f) ein lokales Maximum bei (c).
  • Wenn (c) ein kritischer Punkt von (f) ist und (f'(x)<0) für (x0) für (x>c,) dann hat (f) ein lokales Minimum bei (c).
  • Wenn (f''(x)>0) über einem Intervall (I) ist, dann ist (f) konkav über (I).
  • Wenn (f''(x)<0) über einem Intervall (I) ist, dann ist (f) nach unten über (I) konkav.
  • Wenn (f'(c)=0) und (f''(c)>0), dann hat (f) ein lokales Minimum bei (c).
  • Wenn (f'(c)=0) und (f''(c)<0), dann hat (f) ein lokales Maximum bei (c).
  • Wenn (f'(c)=0) und (f''(c)=0), dann bewerte (f'(x)) an einem Testpunkt (x) links von (c) und einen Testpunkt (x) rechts von (c), um zu bestimmen, ob (f) ein lokales Extremum bei (c) hat.

Glossar

nach unten konkav
wenn (f) über ein Intervall (I) differenzierbar ist und (f') über (I) abnimmt, dann ist (f) über (I) nach unten konkav
nach oben konkav
wenn (f) über ein Intervall (I) differenzierbar ist und (f') über (I) wächst, dann ist (f) über (I) konkav
Konkavität
die Aufwärts- oder Abwärtskurve des Graphen einer Funktion
Konkavitätstest
angenommen (f) ist zweimal über ein Intervall (I) differenzierbar; wenn (f''>0) über (I), dann ist (f) konkav über (I); wenn (f''<) über (I), dann ist (f) nach unten über (I) konkav
Test der ersten Ableitung
sei (f) eine stetige Funktion über ein Intervall (I), das einen kritischen Punkt (c) enthält, so dass (f) über (I) differenzierbar ist, außer möglicherweise bei (c) ; wenn (f') das Vorzeichen von positiv zu negativ ändert, wenn (x) durch (c) wächst, dann hat (f) ein lokales Maximum bei (c); wenn (f') das Vorzeichen von negativ zu positiv ändert, wenn (x) durch (c) wächst, dann hat (f) ein lokales Minimum bei (c); wenn (f') das Vorzeichen nicht ändert, wenn (x) durch (c) wächst, dann hat (f) kein lokales Extremum bei (c)
Wendepunkt
wenn (f) in (c) stetig ist und (f) die Konkavität an (c) ändert, ist der Punkt ((c,f(c))) ein Wendepunkt von ( f)
Test der zweiten Ableitung
angenommen (f'(c)=0) und (f')' ist über ein Intervall, das (c) enthält, stetig; wenn (f''(c)>0), dann hat (f) ein lokales Minimum bei (c); wenn (f''(c)<0), dann hat (f) ein lokales Maximum bei (c); wenn (f''(c)=0), dann ist der Test nicht schlüssig

Mitwirkende und Namensnennungen

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


Kurvenskizzen

Die folgenden Schritte werden beim Kurvenskizzieren durchgeführt:

(1.) Domäne

Finden Sie den Bereich der Funktion und bestimmen Sie die Unstetigkeitspunkte (falls vorhanden).

(2.) Achsenabschnitte

Bestimmen Sie, wenn möglich, die Schnittpunkte (x-) und (y-) der Funktion. Um den (x-)-Achsenabschnitt zu finden, setzen wir (y = 0) und lösen die Gleichung nach (x.). Auf ähnliche Weise setzen wir (x = 0), um (y- )abfangen. Finden Sie die Intervalle, in denen die Funktion ein konstantes Vorzeichen hat (left( echts und links.Recht).)

(3.) Symmetrie

Bestimmen Sie, ob die Funktion gerade , ungerade oder keines ist, und überprüfen Sie die Periodizität der Funktion. Wenn (fleft( < – x> ight) = fleft( x ight)) für alle (x) in der Domäne gilt, dann gilt (fleft( x ight) ) ist gerade und symmetrisch zur (y-)-Achse. Wenn (fleft( < – x> ight) = -fleft( x ight)) für alle (x) in der Domäne gilt, dann gilt (fleft( x ight) ) ist ungerade und symmetrisch zum Ursprung.

(4.) Asymptoten

Finden Sie die vertikalen, horizontalen und schrägen (schrägen) Asymptoten der Funktion.

(5.) Intervalle der Zunahme und Abnahme

Berechnen Sie die erste Ableitung (f^primeleft( x ight)) und finden Sie die kritischen Punkte der Funktion. (Denken Sie daran, dass kritische Punkte die Punkte sind, an denen die erste Ableitung Null ist oder nicht existiert.) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion ansteigt und abfällt, indem Sie den Test der ersten Ableitung verwenden.

(6.) Lokales Maximum und Minimum

Verwenden Sie den Test der ersten oder zweiten Ableitung, um die kritischen Punkte als lokales Maximum oder lokales Minimum zu klassifizieren. Berechnen Sie die (y-)-Werte der lokalen Extrema.

(7.) Konkavität/Konvexität und Wendepunkte

Bestimmen Sie mit dem zweiten Ableitungstest die Wendepunkte (an denen (f^left( x ight) = 0)). Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion nach oben konvex ist (left(left( x ight) lt 0> ight)) und konvex nach unten (left(left( x ight) gt 0> ight).)

(8.) Graph der Funktion

Skizzieren Sie einen Graphen von (fleft( x ight)) mit allen oben erhaltenen Informationen.


4.5: Zusammenfassung der Kurvenskizze - Mathematik

Kursübersicht: Wenn Sie den Graphen einer Funktion zeichnen und dann einen Punkt auf dem Graphen auswählen, sollten Sie in der Lage sein, die Tangente an diesem Punkt zum Graphen zu zeichnen. Sie können dann die Steigung dieser Tangente schätzen, indem Sie den Quotienten der Steigung über den Lauf nehmen. Die schöne Idee ist, dass man für die meisten durch eine Formel gegebenen Funktionen eine andere Formel (die so genannte Ableitung) finden kann, die es Ihnen ermöglicht, die genau Wert der Steigung an einem beliebigen Punkt der Funktion. Dies mag auf den ersten Blick keine große Sache sein, aber bedenken Sie, dass an Punkten, an denen eine glatte Funktion einen maximalen oder minimalen Wert erreicht, die Steigung der Tangente 0 sein muss genau maximale und minimale Werte, die von einer glatten Funktion erreicht werden, indem ihre Ableitung verwendet wird, um die Stellen zu lokalisieren, an denen die Funktion eine flache Tangente hat. Man kann sich wahrscheinlich vorstellen, dass dies eine wichtige Idee ist. Zum Beispiel möchte ein Ökonom möglicherweise die Anzahl der zu produzierenden Einheiten bestimmen, um den Gewinn zu maximieren.

In Math 120 werden wir mit der Einführung von Tangentenlinien und ihren Einsatzmöglichkeiten beginnen. Anschließend lernen wir die Werkzeuge kennen, die zur Berechnung der Ableitung benötigt werden. Sobald wir ein gründliches Verständnis der Ableitung und ihrer Berechnung haben, werden wir ihre Anwendungen untersuchen. Schließlich sprechen wir über eine Methode zur Berechnung der genau Bereich zwischen einer gegebenen Funktion und der x-Achse zwischen zwei beliebigen Fixpunkten. Diese Methode (Integration genannt) ist überraschenderweise mit der Ableitung verknüpft. Wenn Sie Math 120 verlassen, werden Sie Konzepte und Ideen aus der Infinitesimalrechnung mitnehmen, die später sowohl in der Mathematik als auch in anderen Bereichen angewendet werden können.

Notwendiger Hintergrund: Einige von Ihnen hatten schon einmal Kalkül. Diejenigen unter Ihnen, die es nicht getan haben, brauchen sich jedoch nicht zu beunruhigen: In der Vergangenheit haben es Schüler ohne Infinitesimalrechnung genauso gut gemacht wie diejenigen mit diesem. Um in Math 120 gut abzuschneiden, ist ein solider Hintergrund in der Vorkalkulation erforderlich.

Klassen und Rezitationssitzungen: Klasse trifft MWF von 12:30 bis 1:20 Uhr in Baker A53. Ihr Teaching Assistant (TA) wird auch zwei wöchentliche Rezitationssitzungen abhalten. Ich empfehle Ihnen dringend, an diesen Rezitationssitzungen teilzunehmen, da sie einen integralen Bestandteil des Kurses darstellen und in erster Linie der Vertiefung der materiellen und Arbeitsprobleme gewidmet sind, die den Hausaufgaben einigermaßen ähnlich sind. Klicken Sie hier, um weitere Informationen zu Ihrem TA und den Rezitationssitzungen zu erhalten.

Büro: Entwöhnen 7130 Telefon:268-2545 Email:[email protected]

Website des Kurses: www.math.cmu.edu/

Geschäftszeiten: Montag von 13:30-2:30, Dienstag von 12:00-1:00 und nach Vereinbarung.

Hilfe: Neben Vorlesungen, Rezitationen und Sprechzeiten betreibt die Universität sonntag-mittwochs abends von 20:30 bis 23:00 Uhr ein begehbares Peer Tutoring Center in der Mudge Library und im Donner Reading Room. Individualisierte Nachhilfe und andere Hilfeoptionen sind auch über die akademische Entwicklung verfügbar.

Hausaufgaben: Hausaufgabenübungen sind ein wesentlicher Bestandteil des Kurses. Es ist schwierig, den Stoff zu verstehen und die Prüfungen gut zu bestehen, ohne die Hausaufgaben sorgfältig zu bearbeiten. Es wird empfohlen, die Hausaufgaben mit Ihren Kollegen zu besprechen, aber das Kopieren von Teilen der Hausaufgaben einer anderen Person ist nicht gestattet. Bitte denken Sie über die gestellten Probleme, Ihre Strategien und die Gültigkeit Ihrer Logik und Erklärungen nach.

Die Hausaufgaben sind dienstags zu Beginn der Rezitation fällig. Hausaufgaben, die nach Beginn der Rezitation am Dienstag abgegeben werden, aber vor der Veröffentlichung der Lösungen am Mittwochnachmittag erhalten die halbe Punktzahl (mit einem Sternchen für die volle Punktzahl, wenn die Kursnote grenzwertig ist). Verspätete (oder frühe) Hausaufgaben können in Wean 6113 im Postfach Ihres TA abgegeben werden, aber Sie müssen Ihren TA zuerst mit einer kurzen Erklärung per E-Mail auf diese Tatsache aufmerksam machen. Für Hausaufgaben, die ohne Begründung oder nach Aushängen der Lösungen am Mittwochnachmittag abgegeben werden, wird keine Gutschrift gewährt.

Regelmäßig werden auch Online-Hausaufgaben vergeben, die über webassign verwaltet werden. Die Schüler gehen auf www.webassign.net und geben den Klassenschlüssel ein, den ich im Unterricht ausgebe, um die Online-Hausaufgaben zu bearbeiten. Eine Anleitung zur Anmeldung finden Sie hier: Anmeldung.

Text: Calculus: Early Transcendentals, 8. Auflage, von James Stewart .

Zwischenzeugnisse: Es gibt drei klasseninterne Midterms und eine kumulative Abschlussprüfung. Die Termine der Zwischenprüfungen sind wie folgt:

Halbzeit 1: Mittwoch, 10. Februar

Halbzeit 2: Freitag, 18. März

Halbzeit 3: Mittwoch, 13. April

Benotung: Ihre Kursnote wird wie folgt ermittelt:

Jeder der beiden hohen Midterm-Scores: 20 %
Der niedrige Midterm-Score: 15%
Hausaufgaben: 15%
Abschlussprüfung: 30%

Die höchstmöglichen Cutoff-Werte betragen 90 % für A, 80 % für B, 70 % für C und 60 % für D. Diese Cutoffs können leicht gesenkt, aber nicht erhöht werden.

Rechner: Wir empfehlen Ihnen, sich beim Durcharbeiten Ihrer Hausaufgaben nicht zu sehr auf einen Grafikrechner zu verlassen. Verwenden Sie den Rechner, um prüfen Ihre Grafiken, wenn Sie müssen. Die Verwendung eines Qualitätsrechners kann sich jedoch als sehr hilfreich erweisen, um eine ganze Reihe von Themen im Kurs von Grenzen und sukzessive Approximation bis hin zur grafischen Darstellung zu verstehen. Taschenrechner sind während der Prüfungen nicht erlaubt.


Herbst 2019 - MATH 151 D100

Konzipiert für Studierende der Fachrichtungen Mathematik, Physik, Chemie, Informatik und Ingenieurwissenschaften. Logarithmische und Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, Umkehrfunktionen. Grenzen, Kontinuität und Ableitungen. Differenzierungstechniken, einschließlich logarithmischer und impliziter Differenzierung. Der Mittelwertsatz. Anwendungen der Differentiation einschließlich Extrema, Kurvenskizzen, Newton-Methode. Einführung in die Modellierung mit Differentialgleichungen. Polarkoordinaten, parametrische Kurven. Quantitativ.

KURSDETAILS:

MATH151 besteht aus 3 Stunden Vorlesung pro Woche.
In den Vorlesungen befinden sich sowohl MATH151- als auch MATH150-Studenten im selben Raum.
Studierende, die in MATH150 eingeschrieben sind, müssen sich für ein 1-stündiges Seminar anmelden,
Studenten, die in MATH151 eingeschrieben sind, tun dies nicht.

Kapitel 1 - Funktionen und Modelle
1.1 Vier Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen
1.2 Mathematische Modelle: Ein Katalog wesentlicher Funktionen
1.3 Neue Funktionen aus alten Funktionen
1.4 Exponentialfunktionen
1.5 Umkehrfunktionen und Logarithmen

Kapitel 2 - Limits und Derivate
2.1 Tangenten- und Geschwindigkeitsprobleme
2.2 Grenzwert einer Funktion
2.3 Berechnung von Limits mit Hilfe der Limitgesetze
2.5 Kontinuität
2.6 Grenzen bei unendlichen horizontalen Asymptoten
2.7 Derivate und Änderungsraten
2.8 Die Ableitung als Funktion

Kapitel 3 - Differenzierungsregeln
3.1 Ableitungen von Polynomen und Exponentialfunktionen
3.2 Produkt- und Quotientenregeln
3.3 Ableitungen trigonometrischer Funktionen
3.4 Die Kettenregel
3.5 Implizite Differenzierung
3.6 Ableitungen logarithmischer Funktionen
3.7 Veränderungsraten in den Natur- und Sozialwissenschaften
3.8 Exponentielles Wachstum und Verfall
3.8 Newtonsches Abkühlungsgesetz
3.9 Verwandte Preise
3.10 Lineare Approximationen und Differentiale
3.11 Hyperbolische Funktionen (optional)

Kapitel 4 - Anwendungen der Differenzierung
4.1 Maximal- und Minimalwerte
4.2 Der Mittelwertsatz
4.3 Wie Ableitungen die Form eines Graphen beeinflussen
4.4 Unbestimmte Formen und die Regel von L'Hospital
4.5 Zusammenfassung der Kurvenskizze
4.7 Optimierungsprobleme
4.8 Newton-Methode

Kapitel 10 - Parametrische Gleichungen und Polarkoordinaten
10.1 Kurven definiert durch parametrische Gleichungen
10.2 Calculus mit parametrischen Kurven
10.3 Polarkoordinaten


4.5: Zusammenfassung der Kurvenskizze - Mathematik

Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, wie die Ableitung verwendet wird, um die absoluten Minimal- und Maximalwerte einer Funktion zu bestimmen. Es gibt jedoch noch viel mehr Informationen über einen Graphen, die aus der ersten Ableitung einer Funktion bestimmt werden können. Wir werden uns diese Informationen in diesem Abschnitt ansehen. Die Hauptidee, die wir uns in diesem Abschnitt ansehen, werden wir alle relativen Extrema einer Funktion identifizieren.

Beginnen wir diesen Abschnitt damit, dass wir ein bekanntes Thema aus dem vorherigen Kapitel noch einmal aufgreifen. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion (fleft( x ight)). Aus unserer Arbeit im vorigen Kapitel wissen wir, dass die erste Ableitung (f'left( x ight)) die Änderungsgeschwindigkeit der Funktion ist. Wir haben diese Idee verwendet, um zu identifizieren, wo eine Funktion zunimmt, abnimmt oder sich nicht ändert.

Bevor wir diese Idee überprüfen, schreiben wir zunächst die mathematische Definition von Zunehmen und Abnehmen auf. Wir alle wissen, wie der Graph einer steigenden/fallenden Funktion aussieht, aber manchmal ist es auch schön, eine mathematische Definition zu haben. Hier ist es.

Definition

  1. Gegeben ein beliebiges () und () aus einem Intervall (I) mit ( < ) wenn (flinks( <> ight) < fleft( <> ight)), dann ist (fleft( x ight)) zunehmend auf (I).

Diese Definition wird tatsächlich im Beweis der nächsten Tatsache in diesem Abschnitt verwendet.

Denken Sie daran, dass wir im vorherigen Kapitel ständig die Idee verwendet haben, dass, wenn die Ableitung einer Funktion an einem Punkt positiv ist, die Funktion an diesem Punkt ansteigt, und wenn die Ableitung an einem Punkt negativ ist, dann die Funktion an diesem Punkt abnimmt . Wir haben auch die Tatsache genutzt, dass, wenn die Ableitung einer Funktion an einem Punkt Null war, sich die Funktion an diesem Punkt nicht änderte. Wir haben diese Ideen verwendet, um die Intervalle zu identifizieren, in denen eine Funktion zu- und abnimmt.

Die folgende Tatsache fasst zusammen, was wir im vorherigen Kapitel gemacht haben.

  1. Wenn (f'left( x ight) > 0) für jedes (x) in einem Intervall (I) gilt, dann wächst (fleft( x ight)) auf dem Intervall .

Der Beweis für diese Tatsache ist im Abschnitt Beweise aus derivativen Anwendungen des Kapitels Extras zu finden.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Dieses Beispiel hat zwei Zwecke. Erstens wird es uns an die zunehmende/abnehmende Art von Problemen erinnern, die wir im vorherigen Kapitel gemacht haben. Zweitens, und vielleicht noch wichtiger, werden nun kritische Punkte in die Lösung einfließen. Wir wussten im vorherigen Kapitel nichts über kritische Punkte, aber wenn Sie sich diese Beispiele ansehen, besteht der erste Schritt bei fast jedem zunehmenden/fallenden Problem darin, die kritischen Punkte der Funktion zu finden, und so werden wir den Prozess Verwendung im folgenden Beispiel sollte bekannt sein.

Um zu bestimmen, ob die Funktion steigt oder fällt, benötigen wir die Ableitung.

Beachten Sie, dass wir bei der Faktorisierung des Derivats zuerst eine „-1“ herausgerechnet haben, um den Rest der Faktorisierung etwas einfacher zu machen.

Aus der faktorisierten Form der Ableitung sehen wir, dass wir drei kritische Punkte haben: (x = - 2), (x = 0) und (x = 4). Wir werden diese in Kürze brauchen.

Wir müssen nun bestimmen, wo die Ableitung positiv und wo negativ ist. Wir haben dies jetzt sowohl im Review-Kapitel als auch im vorherigen Kapitel mehrmals getan. Da die Ableitung ein Polynom ist, ist sie stetig und wir wissen, dass die einzige Möglichkeit, das Vorzeichen zu ändern, darin besteht, zuerst durch Null zu gehen.

Mit anderen Worten, der einzige Ort, an dem die Ableitung kann Wechselzeichen ist an den kritischen Stellen der Funktion. Wir haben jetzt eine andere Verwendung für kritische Punkte. Wir erstellen also eine Zahlenlinie, stellen die kritischen Punkte grafisch dar und wählen Testpunkte aus jeder Region aus, um zu sehen, ob die Ableitung in jeder Region positiv oder negativ ist.

Hier ist der Zahlenstrahl und die Testpunkte für die Ableitung.

Stellen Sie sicher, dass Sie Ihre Punkte in der Ableitung testen. Einer der häufigsten Fehler hier ist, stattdessen die Punkte in der Funktion zu testen! Denken Sie daran, dass wir wissen, dass die Ableitung in jeder Region das gleiche Vorzeichen hat. Die einzige Stelle, an der die Ableitung das Vorzeichen ändern kann, sind die kritischen Punkte, und wir haben die einzigen kritischen Punkte auf dem Zahlenstrahl markiert.

Es sieht also so aus, als hätten wir die folgenden Intervalle von Zunahme und Abnahme.

In diesem Beispiel haben wir uns die Tatsache zunutze gemacht, dass eine Ableitung nur an den kritischen Stellen das Vorzeichen ändern kann. Außerdem waren die kritischen Punkte für diese Funktion diejenigen, für die die Ableitung Null war. Dasselbe gilt jedoch für kritische Punkte, an denen die Ableitung nicht existiert. Das ist schön zu wissen. Eine Funktion kann das Vorzeichen ändern, wenn sie null ist oder nicht existiert. Im vorigen Kapitel hatten alle unsere Beispiele dieser Art nur kritische Punkte, an denen die Ableitung Null war. Da wir nun mehr über kritische Punkte wissen, werden wir später auch ein oder zwei Beispiele mit kritischen Punkten sehen, bei denen die Ableitung nicht existiert.

Wenn Sie sich nicht sicher sind, dass Funktionen (natürlich müssen sie keine Ableitungen sein) das Vorzeichen ändern können, wenn sie nicht existieren, betrachten Sie (fleft( x ight) = frac<1>) . Diese Funktion existiert offensichtlich nicht bei (x = 0) und ist negativ, wenn (x < 0) und positiv ist, wenn (x > 0) und ändert auch das Vorzeichen an der Stelle, an der sie nicht existiert. Gehen Sie jedoch nicht davon aus, dass dies immer der Fall sein wird. Nimm (fleft( x ight) = frac<1><<>>) zum Beispiel. Auch dies existiert eindeutig nicht bei (x = 0) und ist dennoch auf beiden Seiten von (x = 0) positiv.

Also, um es noch einmal zu wiederholen. Funktionen, unabhängig davon, ob sie Ableitungen sind oder nicht, können (aber nicht garantiert) das Vorzeichen ändern, wenn sie entweder Null sind oder nicht existieren.

Nun, da wir das vorherige „Erinnerungsbeispiel“ aus dem Weg geräumt haben, gehen wir zu etwas neuem Material über. Sobald wir die Intervalle des Zunehmens und Abnehmens für eine Funktion haben, können wir diese Informationen verwenden, um eine Skizze des Graphen zu erhalten. Beachten Sie, dass die Skizze an dieser Stelle in Bezug auf die Krümmung des Diagramms möglicherweise nicht sehr genau ist, aber zumindest die Grundform korrekt ist. Um die Krümmung des Graphen richtig zu machen, benötigen wir die Informationen aus dem nächsten Abschnitt.

Versuchen wir, eine Skizze des Graphen der Funktion zu erstellen, die wir im vorherigen Beispiel verwendet haben.

An diesem Beispiel ist wirklich nicht viel dran. Immer wenn wir einen Graphen skizzieren, ist es schön, ein paar Punkte auf dem Graphen zu haben, um uns einen Ausgangspunkt zu geben. Wir beginnen also mit der Funktion an den kritischen Stellen. Diese geben uns einige Anhaltspunkte, wenn wir den Graphen skizzieren. Diese Punkte sind,

[fleft( < - 2> ight) = - frac<89> <3>= - 29.67hspace<0.25in>fleft( 0 ight) = 5hspace<0.5in>f left( 4 ight) = frac<1423> <3>= 474,33]

Sobald diese Punkte grafisch dargestellt sind, gehen wir zu den zunehmenden und abnehmenden Informationen und beginnen mit dem Skizzieren. Zu Referenzzwecken sind hier die steigenden/fallenden Informationen.

Beachten Sie, dass wir nur nach einer Skizze des Graphen sind. Wie bereits erwähnt, bevor wir mit diesem Beispiel begonnen haben, können wir die Krümmung des Graphen an dieser Stelle nicht genau vorhersagen. Aber auch ohne diese Informationen können wir uns eine grundlegende Vorstellung davon machen, wie die Grafik aussehen sollte.

Um diese Skizze zu erhalten, beginnen wir ganz links vom Graphen und wissen, dass der Graph abnehmen muss und weiter abnehmen wird, bis wir (x = - 2) erreichen. An diesem Punkt wird die Funktion weiter ansteigen, bis sie (x = 4) erreicht. Beachten Sie jedoch, dass es während der ansteigenden Phase durch den Punkt bei (x = 0) gehen muss und an diesem Punkt wissen wir auch, dass die Ableitung hier Null ist und der Graph daher durch (x = 0) geht. horizontal. Sobald wir schließlich (x = 4) treffen, beginnt der Graph und nimmt weiter ab. Beachten Sie auch, dass der Graph genau wie bei (x = 0) horizontal sein muss, wenn er auch durch die anderen beiden kritischen Punkte geht.

Hier ist der Graph der Funktion. Wir haben natürlich ein grafisches Programm verwendet, um diesen Graphen zu erstellen, aber abgesehen von einigen potenziellen Krümmungsproblemen, wenn Sie den zunehmenden / abnehmenden Informationen gefolgt sind und alle kritischen Punkte zuerst gezeichnet haben, sollten Sie etwas Ähnliches haben.

Lassen Sie uns die Skizze aus diesem Beispiel verwenden, um uns einen sehr schönen Test zu geben, um kritische Punkte als relative Maxima, relative Minima oder weder Minima noch Maxima zu klassifizieren.

Erinnern Sie sich an den Abschnitt Minimal- und Maximalwerte, dass alle relativen Extrema einer Funktion aus der Liste der kritischen Punkte stammen. Der Graph im vorherigen Beispiel hat zwei relative Extrema und beide treten an kritischen Punkten auf, wie wir in diesem Abschnitt vorhergesagt haben. Beachten Sie auch, dass wir einen kritischen Punkt haben, der kein relatives Extrema ist ((x = 0)). Dies ist in Ordnung, da es keinen Grund zu der Annahme gibt, dass alle kritischen Punkte relative Extrema sind. Wir wissen nur, dass relative Extrema aus der Liste der kritischen Punkte kommen.

In der Skizze des Graphen aus dem vorherigen Beispiel können wir sehen, dass links von (x = - 2) der Graph abnimmt und rechts von (x = - 2) der Graph ansteigt und ( x = - 2) ist ein relatives Minimum. Mit anderen Worten, der Graph verhält sich um das Minimum herum genau so, wie es sein müsste, damit (x = - 2) ein Minimum ist. Das gleiche gilt für das relative Maximum bei (x = 4). Der Graph nimmt links zu und rechts ab, genau so, wie es sein muss, damit (x = 4) ein Maximum ist. Schließlich nimmt der Graph auf beiden Seiten von (x = 0) zu und daher kann dieser kritische Punkt kein Minimum oder Maximum sein.

Diese Ideen können verallgemeinert werden, um einen guten Weg zu finden, um zu testen, ob ein kritischer Punkt ein relatives Minimum, ein relatives Maximum oder keines von beiden ist. Wenn (x = c) ein kritischer Punkt ist und die Funktion links von (x = c) abnimmt und nach rechts zunimmt, dann muss (x = c) ein relatives Minimum der Funktion sein . Wenn die Funktion links von (x = c) ansteigt und nach rechts abfällt, dann muss (x = c) ein relatives Maximum der Funktion sein. Schließlich, wenn die Funktion auf beiden Seiten von (x = c) zunimmt oder auf beiden Seiten von (x = c) abnimmt, dann kann (x = c) weder ein relatives Minimum noch ein relatives Maximum sein.

Diese Ideen lassen sich im folgenden Test zusammenfassen.

Erster Ableitungstest

Angenommen, (x = c) ist ein kritischer Punkt von (fleft( x ight)), dann gilt:

    Wenn (f'left( x ight) > 0) links von (x = c) und (f'left( x ight) < 0) rechts von (x = c), dann ist (x = c) ein relatives Maximum.

Dabei ist zu beachten, dass der Test der ersten Ableitung nur kritische Punkte als relative Extrema und nicht als absolute Extrema klassifiziert. Wie wir uns aus dem Abschnitt Absolute Extrema finden erinnern, sind absolute Extrema größte und kleinste Funktionswerte und können nicht einmal existieren oder kritische Punkte sein, wenn sie existieren.

Der Test der ersten Ableitung ist genau das, ein Test mit der ersten Ableitung. Es verwendet nie den Wert der Funktion und so können aus dem Test keine Rückschlüsse auf die relative „Größe“ der Funktion an den kritischen Punkten gezogen werden (die benötigt würde, um absolute Extrema zu identifizieren) und kann nicht einmal beginnen um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass an kritischen Punkten keine absoluten Extrema auftreten dürfen.

Nehmen wir ein anderes Beispiel.

Zuerst brauchen wir die Ableitung, damit wir die kritischen Punkte in die Finger bekommen. Beachten Sie auch, dass wir die Ableitung vereinfachen werden, um die kritischen Punkte zu finden.

Es sieht also so aus, als hätten wir hier vier kritische Punkte. Sie sind,

Das Finden der Intervalle von zunehmendem und abnehmendem Wert gibt auch die Klassifizierung der kritischen Punkte an, also lassen Sie uns diese zuerst erhalten. Hier ist ein Zahlenstrahl mit den kritischen Punkten und Testpunkten.

Es sieht also so aus, als hätten wir die folgenden Intervalle von Zunahme und Abnahme.

Daraus sieht es so aus, als ob (t = - 2) und (t = 2) weder relatives Minimum noch relatives Maximum sind, da die Funktion auf beiden Seiten zunimmt. Andererseits ist (t = - sqrt <5>> ) ein relatives Maximum und (t = sqrt <5>> ) ist ein relatives Minimum.

Der Vollständigkeit halber hier der Graph der Funktion. Beachten Sie, dass dieses Diagramm nur aufgrund der zunehmenden und abnehmenden Informationen etwas schwieriger zu skizzieren ist. Es wird hier nur als Referenz präsentiert, damit Sie sehen können, wie es aussieht.

Im vorherigen Beispiel waren die beiden kritischen Punkte, an denen die Ableitung nicht existierte, keine relativen Extrema. Lesen Sie hier nichts hinein. Sie werden oft relative Extrema sein. Sehen Sie sich Beispiel 5 im Absolute Extrema an, um ein Beispiel für einen solchen kritischen Punkt zu sehen.

Lassen Sie uns noch ein paar Beispiele arbeiten.

wobei (x) in Meilen ist. Angenommen, wenn (x) positiv ist, befinden wir uns östlich des Anfangsmesspunkts und wenn (x) negativ ist, befinden wir uns westlich des Anfangsmesspunkts.

Wenn wir 25 Meilen westlich des Anfangspunkts der Messung beginnen und fahren, bis wir 25 Meilen östlich des Anfangspunkts sind, wie viele Meilen unserer Fahrt sind wir eine Steigung hinaufgefahren?

Okay, das ist nur eine wirklich schicke Art zu fragen, was die Intervalle von ansteigen und abnehmen für die Funktion auf dem Intervall (left[ < - 25,25> ight]) sind. Wir brauchen also zuerst die Ableitung der Funktion.

Wenn Sie dies gleich Null setzen, erhalten Sie,

Die Lösungen hierfür und damit die kritischen Punkte sind:

Ich überlasse es Ihnen zu überprüfen, ob die kritischen Punkte, die in das Intervall fallen, nach dem wir suchen,

Hier ist der Zahlenstrahl mit den kritischen Punkten und Testpunkten.

Es sieht also so aus, als ob die Intervalle von zunehmendem und abnehmendem

Beachten Sie, dass wir unsere Intervalle bei -25 und 25 beenden mussten, da wir außerhalb dieser Punkte keine Arbeit geleistet haben und daher nichts über die Funktion außerhalb des Intervalls sagen können (left[ < - 25,25 > echts]).

Aus den Intervallen können wir die Frage tatsächlich beantworten. Wir fuhren während der Anstiegsintervalle auf einer Steigung und so beträgt die Gesamtkilometerzahl

Auch wenn das Problem nicht danach gefragt hat, können wir auch die kritischen Punkte klassifizieren, die im Intervall (left[ < - 25,25> ight]) liegen.

Bestimmen Sie, ob die Population in den ersten zwei Jahren jemals abnimmt.

Wir sind also wieder wirklich nach den Intervallen und im Intervall [0,2] zunehmend und abnehmend.

Wir fanden den einzigen kritischen Punkt dieser Funktion im Abschnitt Kritische Punkte:

Hier ist ein Zahlenstrahl für die Intervalle des Auf- und Absteigens.

Es sieht also so aus, als würde die Bevölkerung für kurze Zeit abnehmen und dann für immer weiter zunehmen.

Auch wenn das Problem nicht danach gefragt hat, können wir sehen, dass der einzelne kritische Punkt ein relatives Minimum ist.

In diesem Abschnitt haben wir gesehen, wie wir die erste Ableitung einer Funktion verwenden können, um uns einige Informationen über die Form eines Graphen zu geben und wie wir diese Informationen in einigen Anwendungen verwenden können.

Die Verwendung der ersten Ableitung, um uns Auskunft darüber zu geben, ob eine Funktion ansteigend oder absteigend ist, ist eine sehr wichtige Anwendung von Ableitungen und kommt in vielen Bereichen ziemlich regelmäßig vor.


Anleitung zum Skizzieren von Kurven

Die zehn Schritte der Kurvenskizze erfordern jeweils ein spezielles Werkzeug. Aber einige der Schritte hängen eng zusammen. In der folgenden Liste sehen Sie einige Schritte gruppiert, wenn sie auf ähnlichen Methoden basieren.

    Algebra und Vorkalkül

Erste Ableitung

Zweite Ableitung

Einige Bücher beschreiben diese Schritte anders und kombinieren manchmal Elemente miteinander. Daher ist es nicht ungewöhnlich, “Die acht Schritte zum Kurvenskizzieren,” usw. zu sehen.

Sehen wir uns kurz an, was die einzelnen Begriffe bedeuten. Weitere Details finden Sie beispielsweise unter AP Calculus Exam Review: Analysis of Graphs.

Schritt 1. Bestimmen Sie die Domäne und den Bereich

Das Domain einer Funktion f(x) ist die Menge aller Eingabewerte (x-Werte) für die Funktion.

Das Reichweite einer Funktion f(x) ist die Menge aller Ausgabewerte (ja-Werte) für die Funktion.

Die Methoden zum Auffinden der Domäne und des Bereichs variieren von Problem zu Problem. Hier ist eine gute Rezension.

Schritt 2. Finden Sie die ja-Abfangen

Das ja-abfangen einer Funktion f(x) ist der Punkt, an dem der Graph die ja-Achse.

Dies ist leicht zu finden. Einfach 0 einstecken ja-Abfangen ist: (0, f(0)).

Schritt 3. Finden Sie die x-Abfangen (s)

Ein x-abfangen einer Funktion f(x) ist jeder Punkt, an dem der Graph die x-Achse.

Um die zu finden x-Abfangen, lösen f(x) = 0.

Schritt 4. Suchen Sie nach Symmetrie

Ein Graph kann verschiedene Arten von Symmetrie anzeigen. Drei Hauptsymmetrien sind besonders wichtig: sogar, seltsam, und periodisch Symmetrie.

  • Sogar Symmetrie. Eine Funktion ist sogar wenn sein Graph symmetrisch ist durch Spiegelung am ja-Achse.
  • Seltsame Symmetrie. Eine Funktion ist seltsam wenn sein Graph durch eine 180-Grad-Drehung um den Ursprung symmetrisch ist.
  • Periodizität. Eine Funktion ist periodisch if a nur, wenn sich seine Werte regelmäßig wiederholen. Das heißt, wenn es einen Wert gibt p > 0 so dass f(x + p) = f(x) für alle x in seiner Domäne.

Der algebraische Test für gerade/ungerade besteht darin, (-x) in die Funktion.

Bei den AP Calculus-Prüfungen tritt Periodizität nur bei trigonometrischen Funktionen auf.

Schritt 5. Finden Sie eine oder mehrere vertikale Asymptote(n)

EIN vertikale Asymptote für eine Funktion ist eine vertikale Linie x = k zeigt, wo die Funktion unbegrenzt wird.

Schritt 6. Horizontale und/oder schräge Asymptote(n) finden

EIN horizontale Asymptote für eine Funktion ist eine horizontale Linie, der sich der Graph der Funktion nähert als x nähert sich &infin oder -&infin.

Ein schräge Asymptote für eine Funktion ist eine schräge Linie, der sich die Funktion nähert als x nähert sich &infin oder -&infin.

Sowohl horizontale als auch schräge Asymptoten messen die Verhalten beenden einer Funktion. Weitere Informationen finden Sie unter Wie finden Sie die horizontalen Asymptoten einer Funktion? und Wie findet man die schrägen Asymptoten einer Funktion?.

Schritt 7. Bestimmen Sie die Intervalle der Zunahme und Abnahme

Eine Funktion ist zunehmend auf einem Intervall, wenn der Graph von links nach rechts ansteigt.

Eine Funktion ist abnehmend auf einem Intervall, wenn der Graph fällt, wenn Sie ihn von links nach rechts verfolgen.

Die erste Ableitung misst die Zunahme/Abnahme wie folgt:

  • Wenn f '(x) > 0 auf einem Intervall, dann f nimmt in diesem Intervall zu.
  • Wenn f '(x) < 0 auf einem Intervall, dann f nimmt in diesem Intervall ab.

Schritt 8. Lokalisieren Sie das relative Extrema

Der Begriff relative Extrema bezieht sich sowohl auf relative minimale als auch relative maximale Punkte in einem Diagramm.

Ein Graph hat a relatives Maximum beim x = c wenn f(c) > f(x) für alle x in einer ausreichend kleinen Nachbarschaft von c.

Ein Graph hat a relatives Minimum beim x = c wenn f(c) < f(x) für alle x in einer ausreichend kleinen Nachbarschaft von c.

Die relativen Maxima (Plural von Maximum) und minimal (Plural von Minimum) sind die “Spitzen und Täler” des Diagramms. Es kann viele relative Maxima und Minima in jedem gegebenen Graphen geben.

Relative Extrema treten an Punkten auf, an denen f '(x) = 0 oder f '(x) ist nicht vorhanden. Verwenden Sie den ersten Ableitungstest, um sie zu klassifizieren.

Dieser Graph nimmt zu, erreicht ein relatives Maximum, fällt dann in das relative Minimum ab und steigt schließlich danach an.

Schritt 9. Bestimmen Sie die Intervalle der Konkavität

Die Konkavität ist ein Maß dafür, wie gekrümmt der Funktionsgraph an verschiedenen Punkten ist. Zum Beispiel a linear Funktion hat an allen Punkten keine Konkavität, weil eine Linie einfach nicht krümmt.

Ein Graph ist nach oben konkav auf einem Intervall, wenn die Tangente an jedem Punkt des Intervalls unter die Kurve fällt. Mit anderen Worten, der Graph krümmt sich “aufwärts,” von seinen Tangentiallinien weg.

Ein Graph ist nach unten konkav auf einem Intervall, wenn die Tangente an jedem Punkt des Intervalls über die Kurve fällt. Mit anderen Worten, der Graph krümmt sich “abwärts,” von seinen Tangenten.

So erinnern Sie sich an die Definitionen: “ Oben konkav sieht aus wie eine Tasse, und unten sieht wie ein Stirnrunzeln aus.”

Die zweite Ableitung misst die Konkavität:

  • Wenn f ''(x) > 0 auf einem Intervall, dann f ist in diesem Intervall nach oben konkav.
  • Wenn f ''(x) < 0 auf einem Intervall, dann f ist in diesem Intervall nach unten konkav.

Schritt 10. Suchen Sie die Wendepunkte

Jeder Punkt, an dem sich die Konkavität ändert (von oben nach unten oder von unten nach oben) heißt a Wendepunkt.

Jeder Punkt, an dem f ''(x) = 0 oder f ''(x) nicht existiert, ist ein möglicher Wendepunkt. Suchen Sie nach Änderungen der Konkavität, um festzustellen, ob es sich um tatsächliche Wendepunkte handelt.

Dieses Diagramm zeigt eine Änderung der Konkavität, von konkav nach unten zu konkav nach oben. Der Wendepunkt ist dort, wo der Übergang stattfindet.


Konkavität und die zweite Ableitung

Ich stelle mir Konkavität gerne als „Tasse nach oben“ oder „Tasse nach unten“ vor. Denk an konkav nach oben einer Tasse, die an allen Stellen Wasser aufnehmen kann, und konkav nach unten ist eine Tasse, die Wasser an jeder Stelle entleert.

Es stellt sich heraus, dass, wenn ein Graph konkav nach oben (Becher nach oben), seine Steigung (erste Ableitung) nimmt zu, also ist es zweite Ableitung ist positiv. Wenn ein Graph konkav nach unten (Tasse nach unten), seine Neigung nimmt ab, also ist es zweite Ableitung ist negativ.

EIN Wendepunkt (POI) genau dort ändert sich die Konkavität konkav nach oben zu nach unten konkav oder nach unten konkav zu nach oben konkav. Es stellt sich heraus, dass ein Graph kreuzt seine Tangente an einem POI.

Hier ist eine Illustration von Konkavität:

Das Zweiter Ableitungstest kann auch in Kurvenskizzen verwendet werden, um zu finden relative Minima und relative Maxima, und ist folgendes:

Zweiter Ableitungstest

Sei (f) eine Funktion mit (’left( c ight)=0) und die zweite Ableitung existiert in einem offenen Intervall, das (c) enthält:

  1. Wenn (<^(c)>>0), (f) hat einen Verwandten Minimum bei (x=c). (Denke "Tasse hoch")
  2. Wenn (<^(c)><0), (f) hat einen Verwandten maximal bei (x=c). (Denke "Tasse runter")

Beachten Sie, dass der Test der zweiten Ableitung nicht unbedingt funktioniert, wenn zuerst und zweite Ableitungen sind 0 oder undefiniert. Es sagt auch nicht, was an den Endpunkten einer Funktion passiert. (In diesen Situationen ist die Test der ersten Ableitung muss benutzt werden.)

Erstellen Zeichentabelle durch Testintervalle sowohl für die erste als auch für die zweite Ableitung:

Das Wendepunkt, wobei der Graph von „cup down“ (konkav unten) zu „cup up“ (konkav oben) wechselt, ist bei (displaystyle x=frac<5><3>). Wir sehen, dass der Graph nach unten konkav im Intervall (displaystyle left( <-infty ,frac<5><3>> ight)) und ist nach oben konkav im Intervall (displaystyle left( <3>,infty > ight)).

Durch das Überprüfen von Punkten in Intervallen ist der Graph konkav nach oben in den Intervallen (displaystyle left( <-infty ,-,frac<>><3>> ight)) und (displaystyle left( >><3>,infty > ight)), und ist nach unten konkav im Intervall (displaystyle left( <-frac<>><3>,frac<>><3>> ight)), mit a relatives Maximum bei (left(<0,2> ight)).

(displaystyle fleft( x ight)=cos left( <2>> ight),,,,,left[ <0,4pi > ight])

Erstellen Zeichentabelle durch Testintervalle sowohl für die erste als auch für die zweite Ableitung:

Das Wendepunkte, wobei der Graph von „cup down“ (konkav unten) zu „cup up“ (konkav oben) wechselt, bei (x=pi ,,3pi). Die Grafik ist nach unten konkav in den Intervallen (left( <0,pi > ight)) und (left( <3pi ,4pi > ight)), und ist nach oben konkav im Intervall (left( ight)).

(displaystyle fleft( x ight)=4x+frac<1>)

Notiere dass der Zweiter Ableitungstest gilt nicht , da die erste Ableitung bei (x=pm 1) nicht existiert (undefiniert) (bei diesen Werten gibt es tatsächlich vertikale Asymptoten). Daher müssen wir die zweite Ableitung nicht nehmen.

Wie lauten die (x)-Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von (f)?

Verwenden Sie zuerst die Erster Ableitungstest um die kritischen Werte (min und/oder max) der Funktion zu erhalten. Da wir bereits die erste Ableitung haben, setzen Sie sie auf 0 und löse nach (x):

Verwenden Sie jetzt die Zweite Ableitung (die Ableitung der ersten Ableitung) und setze auf 0 um mögliche Wendepunkte zu bekommen:

Notiere dass der Zweiter Ableitungstest gilt nicht bei (x=0), da die erste Ableitung an diesem Punkt 0 . Daher liegt der einzige Wendepunkt bei (x=-3).

Hier ist ein Diagramm, wie (f) aussehen könnte:


1. Kurvenskizzen: X-Achsenabschnitte finden

Eine kubische Funktion mit drei Wurzeln (an den Stellen, an denen sie die x-Achse schneidet).

X-Achsenabschnitte sind dort, wo die Funktion die x-Achse schneidet. Diese Punkte werden Nullstellen oder Nullstellen genannt. Es gibt viele Möglichkeiten, Wurzeln zu finden, einschließlich des TI-89 und der Verwendung des Satzes der rationalen Zahlen. Weitere Informationen zum Auflösen nach den Wurzeln einer Funktion finden Sie im Hauptartikel Roots/Zeros.

Sie können auch Wurzeln für das Skizzieren von Kurven mit der quadratischen Formel finden. Dies erfordert, dass Sie etwas haben starke algebraische Fähigkeiten (einschließlich der Fähigkeit zu erkennen, wann Sie die quadratische Formel verwenden können und wann nicht).

Beispielfrage: Finden Sie die Nullstellen dieser Funktion algebraisch: f(x) = x 2 – 10x + 16

  1. f(x) auf Null setzen: 0 = x 2 – 10x + 16,
  2. Identifizieren Sie a, b und c. Eine quadratische Funktion wie diese hat die Form ax 2 + bx + c = 0. Also a = 1, b = -10, c = 16.
  3. Setzen Sie die Werte a, b und c in die quadratische Formel ein:
  4. Lösen Sie mit Algebra auf, um zwei Wurzeln zu erhalten: 8 und 2.

Wenn Ihre Algebra etwas eingerostet ist, sehen Sie sich den Rechner von Symbolab an, der die Schritte für diese Lösung zeigt.


Lehrplan Mathematik 220

Lehrbuch: Stewart, Calculus: Early Transcendentals,
8. Ausgabe, mit Enhanced Webassign
, Thomson Brooks/Cole.

Dieser Lehrplan geht von MWF-Vorlesungen und Dienstag-Donnerstag-Diskussionsabschnitten mit 43 Vorlesungsstunden im Semester aus. Es umfasst 36 Vorlesungen und lässt 7 Stunden Spielraum und Prüfungen. Beachten Sie, dass für Math 220 mindestens 4 einstündige Prüfungen empfohlen werden, aber man kann 5 geben, wenn die Zeit vorhanden ist.

Math 220 ist für Schüler gedacht, die noch kein Jahr Rechnen in der High School hatten.

Dies ist in erster Linie ein Kurs über Berechnung und Problemlösungsbeweise sollten nicht betont werden. Kapitel 1 ist optional, da es Überprüfungsmaterial darstellt. Die Lehrkräfte können sich dafür entscheiden, sie zu eliminieren oder in einem schnelleren Tempo zu behandeln, als es in den 4 Vorlesungen vorgeschlagen wird. Viele Math 220-Studenten benötigen jedoch eine Überprüfung dieses Materials.

Es wird davon ausgegangen, dass die Lehrassistenten in diesem Kurs möglicherweise einige Vorträge in ihren Diskussionsabschnitten halten müssen, um den Zeitplan für den Lehrplan im Auge zu behalten.

Kapitel 1: Funktionen und Modelle (4 Vorlesungen)

1.1 Vier Möglichkeiten zur Darstellung einer Funktion
1.2 Mathematische Modelle: Ein Katalog wesentlicher Funktionen
1.3 Neue Funktionen aus alten Funktionen
1.5 Exponentialfunktionen
1.6 Umkehrfunktionen und Logarithmen

Kapitel 2: Limits und Ableitungen (5 Vorlesungen)

2.1 Das Tangenten- und Geschwindigkeitsproblem
2.2 Die Grenze einer Funktion
2.3 Berechnung von Limits mit Hilfe der Limitgesetze
2.4 Die genaue Definition eines Limits (optional)
2.5 Kontinuität
2.6 Grenzen bei unendlichen horizontalen Asymptoten
2.7 Derivate und Änderungsraten
2.8 Die Ableitung als Funktion

Kapitel 3: Differenzierungsregeln (8 Vorlesungen)

3.1 Ableitungen von Polynomen und Exponentialfunktionen
3.2 Die Produkt- und Quotientenregeln
3.3 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
3.4 Die Kettenregel
3.5 Implizite Differenzierung
3.6 Ableitungen logarithmischer Funktionen
3.7 Veränderungsraten in den Natur- und Sozialwissenschaften
3.8 Exponentielles Wachstum und Verfall
3.9 Verwandte Preise
3.10 Lineare Approximationen und Differentiale
3.11 Hyperbolische Funktionen

Kapitel 4: Anwendungen der Differenzierung (7 Vorlesungen)

4.1 Maximal- und Minimalwerte
4.2 Mittelwertsatz
4.3 Wie Ableitungen die Form eines Graphen beeinflussen
4.4 Unbestimmte Formen und die Regel von L'Hospital
4.5 Zusammenfassung der Kurvenskizze
4.7 Optimierungsprobleme
4.8 Newton-Methode
4.9 Stammfunktionen

Kapitel 5: Integrale (7 Vorlesungen)

5.1 Bereiche und Entfernungen
5.2 Das bestimmte Integral
5.3 Der Fundamentalsatz der Analysis
5.4 Unbestimmte Integrale und das Netzänderungstheorem
5.5 Die Ersetzungsregel

Kapitel 6: Anwendungen der Integration (5 Vorlesungen)

6.1 Bereiche zwischen Kurven
6.2 Bände
6.3 Volumen nach zylindrischen Schalen
6.4 Arbeit
6.5 Durchschnittswert einer Funktion


3.5 Kurvenskizzen

Wir haben gelernt, wie wir das Verhalten einer Funktion anhand ihrer ersten und zweiten Ableitungen verstehen können. Während wir die Eigenschaften einer Funktion getrennt behandelt haben (zunehmend und abnehmend, nach oben konkav und nach unten konkav usw.), kombinieren wir sie hier, um einen genauen Graphen der Funktion zu erstellen, ohne viele überflüssige Punkte zu zeichnen.

Warum die Mühe? Dienstprogramme zur grafischen Darstellung sind sehr zugänglich, sei es auf einem Computer, einem Taschenrechner oder einem Smartphone. Diese Ressourcen sind normalerweise sehr schnell und genau. Wir werden sehen, dass unsere Methode nicht besonders schnell ist – sie wird Zeit benötigen (aber sie ist nicht schwer). Also nochmal: Warum sich die Mühe machen?

f > 0 , Erhöhung von f < 0 , c. Nieder

f < 0 , abnehmend f < 0 , c. Nieder

f < 0 , abnehmend f > 0 , c. oben

f > 0 , f > 0 erhöhend, c. up Abbildung 3.5.1: Demonstrieren der 4 Arten, wie Konkavität mit Zunahme/Abnahme interagiert, zusammen mit den Beziehungen mit der ersten und zweiten Ableitung.

Wir versuchen, das Verhalten einer Funktion f anhand der Informationen ihrer Ableitungen zu verstehen. Während alle Ableitungen einer Funktion Informationen über sie weitergeben, stellt sich heraus, dass „das meiste“ des Verhaltens, das uns wichtig ist, durch f ′ und f ′′ erklärt wird. Das Verständnis der Wechselwirkungen zwischen dem Graphen von f und f und f ′′ ist wichtig und wird in Abbildung 3.5.1 veranschaulicht. Um dieses Verständnis zu erlangen, könnte man argumentieren, dass man nur viele Graphen betrachten muss. Dies ist bis zu einem gewissen Punkt richtig, ähnelt aber der Aussage, dass man versteht, wie ein Motor funktioniert, wenn man sich nur Bilder ansieht. Zwar werden die Grundgedanken vermittelt, aber der „hands-on“ Zugang erhöht das Verständnis.

Die folgende Schlüsselidee fasst das bisher Gelernte zusammen, das auf das Skizzieren von Funktionsgraphen anwendbar ist, und gibt einen Rahmen für die Zusammenstellung dieser Informationen. Es folgen mehrere Beispiele.

Schlüsselidee 3.5.1 Kurvenskizzen

Um eine genaue Skizze einer gegebenen Funktion f zu erstellen, betrachten Sie die folgenden Schritte.

Finden Sie das Gebiet von f . Im Allgemeinen gehen wir davon aus, dass der Definitionsbereich die gesamte reelle Gerade ist, dann finden Sie Einschränkungen, wie z. B. wenn ein Nenner 0 ist oder Negative unter dem Radikal erscheinen.

Finden Sie die Position aller vertikalen Asymptoten von f (normalerweise in Verbindung mit dem vorherigen Schritt).

Finden Sie die x- und y-Achsenabschnitte von f und eine beliebige Symmetrie.

Betrachten Sie die Grenzen lim x → - f ⁢ ( x ) und lim x → ∞ ⁡ f ⁢ ( x ), um das Endverhalten der Funktion zu bestimmen.

Finden Sie die kritischen Punkte von f .

Finden Sie die möglichen Wendepunkte von f .

Erstellen Sie einen Zahlenstrahl, der alle kritischen Punkte, möglichen Wendepunkte und Positionen vertikaler Asymptoten enthält. Bestimmen Sie für jedes erstellte Intervall, ob f zu- oder abnimmt, nach oben oder unten konkav ist.

Bewerten Sie f an jedem kritischen Punkt und möglichen Wendepunkt. Zeichnen Sie diese Punkte auf einer Reihe von Achsen. Verbinden Sie diese Punkte mit Kurven, die die richtige Konkavität aufweisen. Skizzieren Sie gegebenenfalls Asymptoten und x- und y-Achsenabschnitte.

Schau das Video:
Zusammenfassung der Kurvenskizze – Beispiel 2, Teil 1 von 4 von https://youtu.be/DMYUsv8ZaoY

Beispiel 3.5.1 Kurvenskizzen

Verwenden Sie Schlüsselidee 3.5.1, um f (x) = 3 ⁢ x 3 – 10 ⁢ x 2 + 4 ⁢ x + 10 zu skizzieren.

Lösung Wir befolgen die in der Leitidee beschriebenen Schritte.

Der Definitionsbereich von f ist die gesamte reelle Gerade es gibt keine Werte x für die f ⁢ ( x ) nicht definiert ist.

Es gibt keine vertikalen Asymptoten.

Wir sehen, dass f ⁢ ( 0 ) = 10 , und f scheint nicht leicht zu faktorisieren (also überspringen wir das Auffinden der Wurzeln). Es hat keine Symmetrie.

Wir bestimmen das Endverhalten unter Verwendung von Grenzwerten, wenn x sich ± unendlich nähert.

lim x → -∞ ⁡ f ⁢ (x) = -∞ lim x → ∞ ⁡ f ⁢ (x) = ∞.

Wir haben keine horizontalen Asymptoten.

Finden Sie die kritischen Punkte von f . Wir berechnen f ′ ⁢ ( x ) = 9 ⁢ x 2 - 20 ⁢ x + 4 = ( 9 ⁢ x - 2 ) ( x - 2 ) , so dass x = 2 9, 2 .

Finden Sie die möglichen Wendepunkte von f . Wir sehen f ′′ ⁢ ( x ) = 18 ⁢ x - 20 , so dass

f (x) = 0 ⇒ x = 10/9 ≈ 1,111.

Wir setzen die Werte x = 2 9 , 10 9 , 2 auf einen Zahlenstrahl. Wir markieren jedes Teilintervall als zunehmend oder abnehmend, konkav nach oben oder unten, indem wir die in den Abschnitten 3.3 und 3.4 verwendeten Techniken verwenden.

y (b) Bild 3.5.2: Skizzieren von f in Beispiel 3.5.1 .

Wir zeichnen die entsprechenden Punkte auf Achsen wie in Abbildung 3.5.2 (a) gezeigt und verbinden die Punkte mit der richtigen Konkavität. Unsere Kurve schneidet die y-Achse bei y = 10 und kreuzt die x-Achse bei x = -0,75. In Abbildung 3.5.2 (b) zeigen wir einen Graphen von f, der mit einem Computerprogramm gezeichnet wurde, um die Genauigkeit unserer Skizze zu überprüfen.

Beispiel 3.5.2 Kurvenskizzen

Skizze f ⁢ ( x ) = x 2 - x - 2 x 2 - x - 6 .

Lösung Wir befolgen wieder die in Schlüsselidee 3.5.1 beschriebenen Schritte.

Bei der Bestimmung der Domäne gehen wir davon aus, dass es sich ausschließlich um reelle Zahlen handelt und suchen nach Einschränkungen. Wir finden, dass bei x = -2 und x = 3 f ⁢ ( x ) nicht definiert ist. Der Definitionsbereich von f ist also D = < reelle Zahlen ⁢ x | x - 2 , 3 >.

Die vertikalen Asymptoten von f liegen bei x = -2 und x = 3 , den Stellen, an denen f undefiniert ist. Wir sehen, dass lim x → - 2 - f ⁢ ( x ) = ∞ , lim x → - 2 + ⁡ f ⁢ ( x ) = - ∞ , lim x → 3 - ⁡ f ⁢ ( x ) = - , und lim x → 3 + f ⁢ (x) = ∞.

Wir sehen, dass f ⁢ ( 0 ) = 1 3 und dass f ⁢ ( x ) = 0 ist, wenn 0 = x 2 - x - 2 = ( x - 2 ) ( x + 1 ) ist, so dass x = - 1 , 2 ist. Es gibt keine Symmetrie.

Es gibt eine horizontale Asymptote von y = 1, da lim x → - f ⁢ (x) = 1 und lim x → ∞ ⁡ f ⁢ (x) = 1 ist.

Um die kritischen Punkte von f zu finden, finden wir zunächst f ′ ⁢ (x). Mit der Quotientenregel finden wir

f ′ (x) = –8 x + 4 (x 2 – x – 6) 2 = –8 ⁢ x + 4 (x – 3) 2 ⁢ (x + 2) 2 .

f ′ (x) = 0, wenn x = 1/2, und f ′ ist undefiniert, wenn x = –2, 3 ist. Da f ′ nur dann undefiniert ist, wenn f ist, sind dies keine kritischen Punkte. Der einzige kritische Punkt ist x = 1 / 2 .

Um die möglichen Wendepunkte zu finden, finden wir f ′′ ⁢ ( x ) , wiederum unter Anwendung der Quotientenregel:

f ⁢ ( x ) = 24 ⁢ x 2 - 24 ⁢ x + 56 ( x - 3 ) 3 ( x + 2 ) 3 .

Wir finden, dass f ′′ ⁢ ( x ) niemals 0 ist (wenn man den Zähler gleich 0 setzt und nach x auflöst, finden wir, dass die einzigen Nullstellen zu diesem Quadrat imaginär sind) und f ′′ undefiniert ist, wenn x = – 2 , 3 . Somit ändert sich die Konkavität möglicherweise nur bei x = -2 und x = 3 (obwohl dies keine Wendepunkte sind, da f dort nicht definiert ist).

Wir setzen die Werte x = 1 / 2 , x = - 2 und x = 3 auf einen Zahlenstrahl. Wir markieren in jedem Intervall, ob f auf- oder absteigend, nach oben oder unten konkav ist. Wir sehen, dass f ein relatives Maximum bei x = 1 / 2 Konkavitätsänderungen nur an den vertikalen Asymptoten hat.

In Abbildung 3.5.3 (a) tragen wir die Punkte der Zahlengeraden auf einer Reihe von Achsen auf und verbinden die Punkte mit der entsprechenden Konkavität. Wir zeigen auch, dass f die x-Achse bei x = -1 und x = 2 schneidet. Abbildung 3.5.3 (b) zeigt einen computergenerierten Graphen von f , der die Genauigkeit unserer Skizze bestätigt.

Beispiel 3.5.3 Kurvenskizzen

Skizze f ⁢ ( x ) = 5 ⁢ ( x - 2 ) ( x + 1 ) x 2 + 2 ⁢ x + 4 .

Wir nehmen an, dass der Definitionsbereich von f alle reellen Zahlen ist und betrachten Einschränkungen. Die einzigen Einschränkungen treten auf, wenn der Nenner 0 ist, aber dies tritt nie auf. Daher ist der Definitionsbereich von f alle reellen Zahlen, .

Es gibt keine vertikalen Asymptoten.

Wir sehen, dass f ( 0 ) = – 5 2 und dass f ⁢ ( x ) = 0 ist, wenn x = – 1 , 2 ist.

Wir haben eine horizontale Asymptote von y = 5 , as

lim x → ± ∞ ⁡ f ⁢ ( x ) = lim x → ± ∞ ⁡ 5 ⁢ ( 1 - 2 x ) ⁢ ( 1 + 1 x ) 1 + 2 x + 4 x 2 = 5 .

Die kritischen Punkte von f finden wir, indem wir f ′ ⁢ (x) = 0 setzen und nach x auflösen. Wir finden

f (x) = 15 ⁢ x (x + 4) (x 2 + 2 ⁢ x + 4) 2 ⇒ f ′ ⁢ (x) = 0 ⁢ wenn ⁢ x = –4, 0.

Die möglichen Wendepunkte finden wir, indem wir f ′′ ⁢ (x) = 0 nach x auflösen. Wir finden

f ′′ ⁢ (x) = -30 x 3 + 180 ⁢ x 2 - 240 (x 2 + 2 ⁢ x + 4) 3.

Der Kubik im Zähler rechnet nicht sehr „schön“. Wir nähern uns stattdessen den Wurzeln bei x = –5,759, x = –1,305 und x = 1,064 an.

Wir platzieren die kritischen Punkte und möglichen Wendepunkte auf einem Zahlenstrahl und markieren jedes Intervall als steigend/fallend, konkav nach oben/unten entsprechend.

In Abbildung 3.5.4 (a) zeichnen wir die signifikanten Punkte der Zahlengeraden sowie die beiden Wurzeln von f , x = -1 und x = 2 , und verbinden die Punkte mit der entsprechenden Konkavität. Abbildung 3.5.4 (b) zeigt einen computergenerierten Graphen von f , der unsere Ergebnisse bestätigt (oben links war jedoch leicht abweichend).

In jedem unserer Beispiele haben wir einige signifikante Punkte im Graphen von f gefunden, die Veränderungen in der Zunahme/Abnahme oder Konkavität entsprachen. Wir haben diese Punkte mit Kurven verbunden und zum Abschluss ein sehr genaues, computergeneriertes Diagramm gezeigt.

Warum ist Computergrafik so gut? Es liegt nicht daran, dass Computer „intelligenter“ sind als wir. Vielmehr liegt es vor allem daran, dass Computer viel schneller rechnen als wir. Im Allgemeinen funktionieren Computergraphiken ähnlich wie die meisten Schüler, wenn sie zum ersten Mal lernen, Graphen zu zeichnen: Sie zeichnen Punkte mit gleichen Abständen und verbinden dann die Punkte mit Linien. Durch die Verwendung vieler Punkte sind die Verbindungslinien kurz und der Graph sieht glatt aus.

Dies ist in den meisten Fällen eine gute grafische Darstellung (tatsächlich ist dies die Methode, die für viele Graphen in diesem Text verwendet wird). In Regionen, in denen der Graph sehr „kurvig“ ist, kann dies jedoch zu deutlich scharfen Kanten im Graphen führen, es sei denn, es werden viele Punkte verwendet. Hochwertige Computeralgebrasysteme wie Mathematica verwenden spezielle Algorithmen, um viele Punkte nur dort darzustellen, wo der Graph „kurvig“ ist.

In Abbildung 3.5.5 ist ein von Mathematica erzeugter Graph von y = sin ⁡ x gegeben. Die kleinen Punkte repräsentieren jeden der Orte, an denen Mathematica die Funktion abgetastet hat. Beachten Sie, dass an den „Krümmungen“ von sin x viele Punkte verwendet werden, wo sin ⁡ x relativ gerade ist, werden weniger Punkte verwendet. (Viele Punkte werden auch an den Endpunkten verwendet, um sicherzustellen, dass das „Endverhalten“ korrekt ist.)

Woher weiß Mathematica, wo der Graph „kurvig“ ist? Infinitesimalrechnung. Wenn wir die Krümmung in einem späteren Kapitel untersuchen, werden wir sehen, wie die erste und zweite Ableitung einer Funktion zusammenarbeiten, um ein Maß für die „Krümmung“ zu liefern. Mathematica verwendet Algorithmen, um Regionen mit „hoher Krümmung“ zu bestimmen und zeichnet dort zusätzliche Punkte auf.

Auch hier ist das Ziel dieses Abschnitts nicht „Wie man eine Funktion grafisch darstellt, wenn kein Computer zur Verfügung steht“. Das Ziel ist vielmehr: „Verstehen, dass die Form des Graphen einer Funktion weitgehend durch das Verständnis des Verhaltens der Funktion an einigen Schlüsselstellen bestimmt wird“. In Beispiel 3.5.3 konnten wir mit nur 5 Punkten und der Kenntnis von Asymptoten einen komplizierten Graphen genau skizzieren!

Es gibt viele Anwendungen unseres Verständnisses von Ableitungen jenseits der Kurvenskizze. Das nächste Kapitel untersucht einige dieser Anwendungen und zeigt nur einige Arten von Problemen, die mit Grundkenntnissen der Differenzierung gelöst werden können.