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16.4: Satz von Green - Mathematik


Wir werden nun eine Möglichkeit sehen, das Linienintegral von a . auszuwerten glatt Vektorfeld um eine einfache geschlossene Kurve. Ein Vektorfeld ( extbf{f}(x, y) = P(x, y) extbf{i} + Q(x, y) extbf{j}) ist glatt wenn seine Komponentenfunktionen (P(x, y)) und (Q(x, y)) glatt sind. Wir werden verwenden Satz von Green (manchmal auch genannt Satz von Green in der Ebene) um die zu beziehen Linie Integral um eine geschlossene Kurve mit a doppelt Integral über den Bereich innerhalb der Kurve:

Satz 4.7: Satz von Green

Sei (R) eine Region in (mathbb{R}^2), deren Rand eine einfache geschlossene Kurve (C) ist, die stückweise glatt ist. Sei ( extbf{f}(x, y) = P(x, y) extbf{i}+Q(x, y) extbf{j}) ein auf beiden (R ) und C). Dann

[oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = iintlimits_R left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} - dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) ,dA, label{Gl.4.21}]

wobei (C) so durchlaufen wird, dass (R) immer auf der linken Seite von (C) liegt.

Beweis: Wir beweisen den Satz im Fall für a einfach Region (R), d. h. wo die Randkurve (C) auf zwei verschiedene Arten als (C = C_1 cup C_2) geschrieben werden kann:

[egin{align} C_1 &= ext{ die Kurve }y = y_1(x) ext{ vom Punkt }X_1 ext{ zum Punkt }X_2 label{Gl4.22} [4pt] C_2 &= ext{ die Kurve }y = y_2(x) ext{ vom Punkt }X_2 ext{ zum Punkt } X_1 , label{Gl4.23} [4pt] end{align} ]

wobei (X_1) und (X_2) die Punkte auf (C) am weitesten links bzw. rechts sind; und

[egin{align} C_1 &= ext{ die Kurve }x = x_1(y) ext{ vom Punkt }Y_2 ext{ zum Punkt } Y_1 label{Gl4.24} [4pt] C_2 &= ext{ die Kurve } x = x_2(y) ext{ vom Punkt } Y_1 ext{ zum Punkt }Y_2,label{Gl4.25} [4pt] end{align} ]

wobei (Y_1) und (Y_2) die niedrigsten bzw. höchsten Punkte auf (C) sind. Siehe Abbildung 4.3.1.

Integriere (P(x, y)) um (C) unter Verwendung der Darstellung (C = C_1 cup C_2) gegeben durch Gleichung ef{Gl.4.23} und Gleichung ef{Gl.4.24}.

Da (y = y_1(x) ext{ entlang }C_1) (da (x) von (a ext{ nach }b) geht) und (y = y_2(x) ext{ entlang }C_2) (da (x) von (b ext{ nach }a) geht), wie wir aus Abbildung 4.3.1 sehen, dann gilt

[ onumber egin{align} oint_C P(x, y),dx&=int_{C_1}P(x, y),dx+int_{C_2}P(x, y),dx [4pt] onumber &=int_a^b P(x, y_1(x)),dx+int_b^a P(x, y_2(x)),dx [4pt] onumber &= int_a^b P(x, y_1(x)),dx - int_a^b P(x, y_2(x)),dx [4pt] onumber &=-int_a^b (P(x , y_2(x)) - P(x, y_1(x))), dx [4pt] onumber &=-int_a^b left ( P(x, y) Big |_{y= y_1(x)}^{y=y_2(x)} ight ),dx [4pt] onumber &=-int_a^b int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dfrac{∂P(x, y)}{ ∂y},dy,dx ext{ (nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung)} [4pt] &=-iintlimits_R dfrac{∂P} { ∂y},dA. [4pt] label{Gl4.26} end{align}]

Integriere ebenfalls (Q(x, y)) um (C) unter Verwendung der Darstellung (C = C_1 cup C_2) gegeben durch Gleichung ef{Gl.4.25} und Gleichung ef{Gl.4.26 }. Da (x = x_1(y) ext{ entlang }C_1) (da (y) von (d) nach (c) geht) und (x = x_2(y) ext{ entlang }C_2) (da (y) von (c) nach (d) geht), wie wir aus Abbildung 4.3.1 sehen, dann gilt

[ onumber egin{align} oint_C Q(x, y),dy&=int_{C_1}Q(x, y),dy+int_{C_2}Q(x, y),dy [4pt] onumber &=int_d^c Q(x_1(y), y),dy+int_c^d Q(x_2(y), y),dy [4pt] onumber &=- int_c^d Q(x_1(y), y),dy + int_c^d Q(x_2(y), y),dy [4pt] onumber &=int_c^d (Q(x_2 (y), y) - Q(x_1(y), y)), dy [4pt] onumber &=int_c^d left ( Q(x, y) Big |_{x=x_1 (y)}^{x=x_2(y)} ight ),dy [4pt] onumber &=int_c^d int_{x_1(y)}^{x_2(y)} dfrac{ ∂Q(x, y)}{ ∂x},dx,dy ext{ (nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung)} [4pt] onumber &=iintlimits_R dfrac{∂Q}{ ∂x},dA, ext{ und so} [4pt] end{align}]

[ onumber egin{align} oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} &= oint_C P(x, y),dx + oint_C Q(x, y),dy [4pt] onumber &= -iint_R dfrac{∂P}{ ∂y},dA + iint_R dfrac{∂Q}{∂x},dA [4pt] onumber &= iint_R left ( dfrac{∂Q}{ ∂x}-dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) ,dA. [4pt] end{ausrichten}]

( ag{( extbf{QED})})

Obwohl wir den Satz von Green nur für ein einfaches Gebiet (R) bewiesen haben, kann das Theorem auch für allgemeinere Gebiete (z. B. eine Vereinigung einfacher Gebiete) bewiesen werden.

Beispiel 4.7

Berechne (oint_C (x^2 + y^2 ),dx+2x y, dy), wobei (C) die Grenze (gegen den Uhrzeigersinn durchquert) der Region (R = {(x, y) : 0 x 1, 2x^2 ≤ y ≤ 2x}).

(R) ist der schattierte Bereich in Abbildung 4.3.2. Nach dem Satz von Green gilt für (P(x, y) = x^2 + y^2 ext{ und }Q(x, y) = 2x y)

[ onumber egin{align} oint_C (x^2+y^2),dx+2x y ,dy &=iint_R left ( dfrac{∂Q}{ ∂x}-dfrac{ ∂P}{ ∂y} ight ) ,dA [4pt] onumber &=iint_R (2y−2y),d A = iint_R 0,dA = 0. [4pt] end {ausrichten}]

Wir wussten eigentlich schon, dass die Antwort null war. Erinnern Sie sich aus Beispiel 4.5 in Abschnitt 4.2, dass das Vektorfeld ( extbf{f}(x, y) = (x^2 + y^2 ) extbf{i}+2x y extbf{j}) a . hat Potentialfunktion (F(x, y) = dfrac{1}{3} x^3 + xy^2), also (oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = 0 ) nach Korollar 4.6.

Beispiel 4.8

Sei ( extbf{f}(x, y) = P(x, y) extbf{i}+Q(x, y) extbf{j}), wobei

[ onumber P(x, y) =dfrac{-y}{x^2+y^2} ext{ und }Q(x, y) =dfrac{x}{x^2+y^ 2},]

und sei (R = {(x, y) : 0 < x^2 + y^2 ≤ 1}). Für die gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Randkurve (C : x^2 + y^2 = 1) wurde in Aufgabe 9(b) in Abschnitt 4.2 gezeigt, dass (oint_C extbf{f}cdot d extbf {r} = 2π). Aber

[ onumber dfrac{∂Q }{∂x} = dfrac{y^2+x^2}{(x^2+y^2)^2} = dfrac{∂P }{∂y} Rightarrow iintlimits_R left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} - dfrac{ ∂P}{ ∂y} ight ),dA= iintlimits_R 0,dA = 0]

Dies scheint dem Satz von Green zu widersprechen. Beachten Sie jedoch, dass (R) nicht die gesamte von (C) eingeschlossene Region ist, da der Punkt ((0,0)) nicht in (R) enthalten ist. Das heißt, (R) hat im Ursprung ein „Loch“, daher gilt der Satz von Green nicht.

Modifizieren wir den Bereich (R) zum Kreisring (R = {(x, y) : 1/4 ≤ x^2 ​​+ y^2 ≤ 1}) (siehe Abbildung 4.3.3), und sei die „Grenze“ (C ext{ von }R ext{ }C = C_1 cup C_2), wobei (C_1) der Einheitskreis (x^2 + y^2 = 1 . ist) ) gegen den Uhrzeigersinn durchfahren und (C_2) ist der durchfahrene Kreis (x^2 + y^2 = 1/4) im Uhrzeigersinn, dann kann gezeigt werden (siehe Aufgabe 8), dass

[ onumber oint_C extbf{f} cdot d extbf{r} = 0 ]

Wir hätten immer noch (iintlimits_Rleft ( dfrac{∂Q}{∂x} − dfrac{∂P}{ ∂y} ight ),d A = 0), also für dieses (R) wir hätten

[ onumber oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = iintlimits_R left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} - dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) , dA,]

was zeigt, dass der Satz von Green für den ringförmigen Bereich (R) gilt.

Es stellt sich heraus, dass der Satz von Green erweitert werden kann auf multiplizieren in Verbindung gebracht Regionen, d. h. Regionen wie der Kreisring in Beispiel 4.8, die ein oder mehrere Regionen aus dem Inneren herausgeschnitten, im Gegensatz zu diskreten Punkten, die ausgeschnitten werden. Für solche Regionen werden die „äußere“ und die „innere“ Grenze durchlaufen, sodass (R) immer auf der linken Seite liegt.

Die intuitive Idee, warum der Satz von Green für mehrfach zusammenhängende Gebiete gilt, ist in Abbildung 4.3.4 oben gezeigt. Die Idee ist, „Schlitze“ zwischen den Grenzen einer mehrfach zusammenhängenden Region (R) zu schneiden, sodass (R) in Unterregionen unterteilt wird, die keine „Löcher“ haben. Zum Beispiel ist in Abbildung 4.3.4(a) die Region (R) die Vereinigung der Regionen (R_1 ext{ und }R_2), die durch die durch die gestrichelten Linien gekennzeichneten Schlitze geteilt werden. Diese Schlitze sind Teil der Grenze von beiden (R_1 ext{ und }R_2), und wir durchlaufen sie dann in der durch die Pfeile angezeigten Weise. Beachten Sie, dass entlang jedes Schlitzes die Grenze von (R_1) in die entgegengesetzte Richtung wie die von (R_2) durchlaufen wird, was bedeutet, dass sich die Linienintegrale von extbf{f} entlang dieser Schlitze gegenseitig aufheben. Da (R_1 ext{ und }R_2) keine Löcher enthalten, gilt der Satz von Green in jeder Unterregion, so dass

[ onumber oint_{bdy,of,R_1} extbf{f} cdot d extbf{r} = iintlimits_{R_1}left (dfrac{ ∂Q }{∂x} - dfrac{∂P }{∂y} ight),dA ext{ und }oint_{bdy,of,R_2} extbf{f}cdot d extbf{r} = iintlimits {R_2} left ( dfrac{∂Q }{∂x} - dfrac{∂P}{ ∂y} ight ),dA.]

Aber da sich die Linienintegrale entlang der Schlitze aufheben, haben wir

[ onumber oint_{C_1 cup C_2} extbf{f}cdot d extbf{r} = oint_{bdy,of,R_1} extbf{f} cdot d extbf{r} +oint_{bdy,of,R_2} extbf{f}cdot d extbf{r},]

und so

[ onumber oint_{C_1 cup C_2} extbf{f}cdot d extbf{r} = iintlimits_{R_1} left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} − dfrac{ ∂P}{ y} ight ) ,dA + iintlimits_{R_2} left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} − dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) , dA = iintlimits_R left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} - dfrac{∂P }{∂y} ight ) ,dA,]

was zeigt, dass der Satz von Green im Bereich (R) gilt. Ein ähnliches Argument zeigt, dass der Satz im Bereich mit zwei Löchern in Abbildung 4.3.4(b) gilt.

Aus Korollar 4.6 wissen wir, dass wenn ein glattes Vektorfeld ( extbf{f}(x, y) = P(x, y) extbf{i}+Q(x, y) extbf{j}) auf ein Gebiet (R) (dessen Rand eine stückweise glatte, einfache geschlossene Kurve (C) ist) ein Potential in (R) hat, dann (oint_C extbf{f}cdot d extbf{ r} = 0). Und wenn das Potential (F(x, y)) in (R) glatt ist, dann gilt (dfrac{∂F}{ ∂x} = P ext{ und }dfrac{∂F}{ ∂y} = Q), und damit wissen wir, dass

[ onumber dfrac{∂^2F }{∂y∂x} = dfrac{∂^2F}{ ∂x∂y} Rightarrow dfrac{∂P}{ ∂y} = dfrac{∂Q } {∂x} ext{ in }R]

Umgekehrt gilt, wenn (dfrac{∂P}{ ∂y} = dfrac{∂Q}{ ∂x}) in (R) dann

[ onumber oint_C extbf{f} cdot d extbf{r} = iintlimits_R left ( dfrac{∂Q }{∂x}-dfrac{∂P }{∂y} ight ) ,dA iintlimits_R 0,dA = 0 ]

Für ein einfach verbunden Region (R)(d. h. eine Region ohne Löcher), kann Folgendes gezeigt werden:

Die folgenden Aussagen sind äquivalent für einen einfach zusammenhängenden Bereich (R) in (mathbb{R}^2) :

  1. ( extbf{f}(x, y) = P(x, y) extbf{i}+Q(x, y) extbf{j} ) hat ein glattes Potential (F(x, y) ) in (R)
  2. (int_C extbf{f}cdot d extbf{r}) ist unabhängig vom Weg für jede Kurve (C) in (R)
  3. (oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = 0) für jede einfache geschlossene Kurve (C) in (R)
  4. (dfrac{ ∂P}{ ∂y} = dfrac{∂Q }{∂x} ) in (R) (in diesem Fall ist die Differentialform (P dx+Q dy) exakt )