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5.5E: Satz von Green (Aufgaben) - Mathematik


Bewerten Sie für die folgenden Übungen die Linienintegrale, indem Sie den Satz von Green anwenden.

1. (displaystyle int_C 2xy,dx+(x+y),dy), wobei (C) der Pfad von ((0, 0)) nach ((1, 1)) ist entlang des Graphen von (y=x^3) und von ((1, 1)) nach ((0, 0)) entlang des Graphen von (y=x) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

2. (displaystyle int_C 2xy,dx+(x+y),dy), wobei (C) die Grenze der Region ist, die zwischen den Graphen von (y=0) und (y= .) liegt 4−x^2) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

Antworten:
(displaystyle int_C2xy,dx+(x+y),dy=frac{32}{3}) Arbeitseinheiten

3. (displaystyle int_C 2arctanleft(frac{y}{x} ight),dx+ln(x^2+y^2),dy), wobei (C) ist definiert durch (x=4+2cos θ,;y=4sin θ) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

4. (displaystyle int_C sin xcos y,dx+(xy+cos xsin y),dy), wobei (C) die Grenze der Region zwischen den Graphen von (y =x) und (y=sqrt{x}) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

Antworten:
(displaystyle int_Csin xcos y,dx+(xy+cos xsin y),dy=frac{1}{12}) Arbeitseinheiten

5. (displaystyle int_C xy,dx+(x+y),dy), wobei (C) die Grenze der Region ist, die zwischen den Graphen von (x^2+y^2=1) liegt ) und (x^2+y^2=9) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

6. (displaystyle ∮_C (−y,dx+x,dy)), wobei (C) aus dem Liniensegment (C_1) von ((−1,0)) nach ( (1, 0)), gefolgt vom Halbkreisbogen (C_2) von ((1, 0)) zurück nach ((1, 0))

Antworten:
(displaystyle ∮_C (−y,,dx+x,,dy)=π) Arbeitseinheiten

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Green.

7. Sei (C) die Kurve bestehend aus Liniensegmenten von ((0, 0)) nach ((1, 1)) nach ((0, 1)) und zurück nach ((0 , 0)). Finden Sie den Wert von (displaystyle int_C xy,dx+sqrt{y^2+1},dy).

8. Berechne das Linienintegral (displaystyle int_C xe^{−2x},dx+(x^4+2x^2y^2),dy), wobei (C) die Grenze der Region zwischen Kreisen (x^2+y^2=1) und (x^2+y^2=4) und ist eine positiv orientierte Kurve.

Antworten:
(displaystyle int_C xe^{−2x},dx+(x^4+2x^2y^2),dy=0) Arbeitseinheiten

9. Bestimme die Zirkulation des Körpers (vecs F(x,y)=xy,mathbf{hat i}+y^2,mathbf{hat j}) gegen den Uhrzeigersinn um und über den Rand der Region eingeschlossen von Kurven (y=x^2) und (y=x) im ersten Quadranten und gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

10. Berechne (displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3y^2,dy), wobei (C) der positiv orientierte Kreis mit Radius (2) ist, der im Ursprung zentriert ist.

Antworten:
(displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3y^2,dy=−24π) Arbeitseinheiten

11. Berechne (displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3,dy), wobei (C) die beiden Kreise mit Radius (2) und Radius (1) um die Ursprung, beide mit positiver Orientierung.

12. Berechnen Sie (displaystyle ∮_C −x^2y,dx+xy^2,dy), wobei (C) ein Kreis mit Radius (2) ist, der im Ursprung zentriert und gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet ist .

Antworten:
(displaystyle ∮_C −x^2y,dx+xy^2,dy=8π) Arbeitseinheiten

13. Berechnen Sie das Integral (displaystyle ∮_C 2[y+xsin(y)],dx+[x^2cos(y)−3y^2],dy) entlang des Dreiecks (C) mit Ecken ((0, 0), ,(1, 0)) und ((1, 1)), gegen den Uhrzeigersinn orientiert, nach dem Greenschen Theorem.

14. Bewerte das Integral (displaystyle ∮_C (x^2+y^2),dx+2xy,dy), wobei (C) die Kurve ist, die der Parabel (y=x^2) von . folgt ((0,0), ,(2,4),) dann die Linie von ((2, 4)) nach ((2, 0)), und schließlich die Linie von (( 2, 0)) bis ((0, 0)).

Antworten:
(displaystyle ∮_C (x^2+y^2),dx+2xy,dy=0) Arbeitseinheiten

15. Berechne das Linienintegral (displaystyle ∮_C (y−sin(y)cos(y)),dx+2xsin^2(y),dy), wobei (C) in orientiert ist ein Weg gegen den Uhrzeigersinn um die Region begrenzt durch (x=−1, ,x=2, ,y=4−x^2) und (y=x−2.)

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Green, um die Fläche zu finden.

16. Finden Sie die Fläche zwischen Ellipse (frac{x^2}{9}+frac{y^2}{4}=1) und Kreis (x^2+y^2=25).

Antworten:
(A=19π; ext{Einheiten}^2)

17. Finden Sie die Fläche der Region, die von der parametrischen Gleichung eingeschlossen ist

(vecs p(θ)=(cos(θ)−cos^2(θ)),mathbf{hat i}+(sin(θ)−cos(θ)sin(θ) )),mathbf{hat j}) für (0≤θ≤2π.)

18. Bestimme die Fläche der durch die Hypozykloide (vecs r(t)=cos^3(t),mathbf{hat i}+sin^3(t),mathbf{hat j . begrenzten Fläche }). Die Kurve wird parametrisiert durch (t∈[0,2π].)

Antworten:
(A=frac{3}{8π}; ext{Einheiten}^2)

19. Bestimme die Fläche eines Fünfecks mit den Ecken ((0,4), ,(4,1), ,(3,0), ,(−1,−1),) und ((−2 ,2)).

20. Verwenden Sie den Satz von Green, um (displaystyle int_{C^+}(y^2+x^3),dx+x^4,dy) auszuwerten, wobei (C^+) der Umfang von . ist Quadrat ([0,1]×[0,1]) gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

Antworten:
(displaystyle int_{C^+} (y^2+x^3),dx+x^4,dy=0)

21. Verwenden Sie den Satz von Green, um zu beweisen, dass die Fläche einer Scheibe mit Radius (a) (A=πa^2; ext{Einheiten}^2) ist.

22. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Fläche einer Schleife einer vierblättrigen Rose (r=3sin 2θ) zu bestimmen. (Hinweis: (x,dy−y,dx=r^2,dθ)).

Antworten:
(A=frac{9π}{8}; ext{Einheiten}^2)

23. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Fläche unter einem Bogen der Zykloide zu bestimmen, die durch die parametrischen Gleichungen gegeben ist: (x=t−sin t,;y=1−cos t,;t≥0.)

24. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Fläche der von der Kurve eingeschlossenen Region zu bestimmen

(vecs r(t)=t^2,mathbf{hat i}+left(frac{t^3}{3}−t ight),mathbf{hat j}, ) für (−sqrt{3}≤t≤sqrt{3}).

Antworten:
(A=frac{8sqrt{3}}{5}; ext{Einheiten}^2)

25. [T] Bewerten Sie den Satz von Green unter Verwendung eines Computeralgebrasystems, um das Integral (displaystyle int_C xe^y,dx+e^x,dy) auszuwerten, wobei (C) der Kreis ist, der durch (x^2 +y^2=4) und ist gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

26. Berechne (displaystyle int_C(x^2y−2xy+y^2),ds), wobei (C) der Rand des Einheitsquadrats (0≤x≤1,;0≤y . ist ≤1), gegen den Uhrzeigersinn verfahren.

Antworten:
(displaystyle int_C (x^2y−2xy+y^2),ds=3)

27. Bewerte (displaystyle int_C frac{−(y+2),dx+(x−1),dy}{(x−1)^2+(y+2)^2}), wobei (C) ist eine einfache geschlossene Kurve, deren Inneres keinen Punkt ((1,−2)) enthält, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

28. Bewerte (displaystyle int_Cfrac{x,dx+y,dy}{x^2+y^2}), wobei (C) eine stückweise, glatte, einfache geschlossene Kurve ist, die den Ursprung umschließt, gegen den Uhrzeigersinn gefahren.

Antworten:
(displaystyle int_C frac{x,dx+y,dy}{x^2+y^2}=2π)

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Green, um die Kraftarbeit zu berechnen (vecs F) auf einem Teilchen, das sich gegen den Uhrzeigersinn um die geschlossene Bahn (C) bewegt.

29. (vecs F(x,y)=xy,mathbf{hat i}+(x+y),mathbf{hat j}, quad C:x^2+y^2=4 )

30. (vecs F(x,y)=(x^{3/2}−3y),mathbf{hat i}+(6x+5sqrt{y}),mathbf{hat j }, quad C): Rand eines Dreiecks mit Ecken ((0, 0), ,(5, 0),) und ((0, 5))

Antworten:
(W=frac{225}{2}) Arbeitseinheiten

31. Berechne (displaystyle int_C (2x^3−y^3),dx+(x^3+y^3),dy), wobei (C) ein gegen den Uhrzeigersinn ausgerichteter Einheitskreis ist.

32. Ein Teilchen beginnt am Punkt ((−2,0), bewegt sich entlang der (x)-Achse zu ((2, 0)) und wandert dann entlang des Halbkreises (y=sqrt{4 −x^2}) zum Startpunkt. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Arbeit zu finden, die an diesem Teilchen durch das Kraftfeld (vecs F(x,y)=x,mathbf{hat i}+(x^3+3xy^2),mathbf{ hatj}).

Antworten:
(W=12π) Arbeitseinheiten

33. David und Sandra skaten auf einem reibungsfreien Teich im Wind. David skatet auf der Innenseite und fährt einen Kreis mit Radius (2) gegen den Uhrzeigersinn. Sandra skatet einmal um einen Kreis mit Radius (3), ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn. Angenommen, die Windstärke im Punkt ((x,y)) ist (vecs F(x,y)=(x^2y+10y),mathbf{hat i}+(x^3 +2xy^2),mathbf{hat j}). Verwenden Sie den Satz von Green, um zu bestimmen, wer mehr Arbeit leistet.

34. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Arbeit zu finden, die das Kraftfeld (vecs F(x,y)=(3y−4x),mathbf{hat i}+(4x−y),mathbf{hat j }), wenn sich ein Objekt einmal gegen den Uhrzeigersinn um die Ellipse (4x^2+y^2=4.) bewegt

Antworten:
(W=2π) Arbeitseinheiten

35. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C e^{2x}sin 2y,dx+e^{2x}cos 2y,dy) zu berechnen, wobei (C) die Ellipse (9 . ist) (x−1)^2+4(y−3)^2=36) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

36. Berechne das Linienintegral (displaystyle ∮_C y^2,dx+x^2,dy), wobei (C) die Grenze eines Dreiecks mit Ecken ((0,0), ,( 1,1)) und ((1,0)), mit der Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinn.

Antworten:
(displaystyle ∮_C y^2,dx+x^2,dy=frac{1}{3}) Arbeitseinheiten

37. Benutze den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C vecs h·dvecs r) zu berechnen, falls (vecs h(x,y)=e^y,mathbf{hat i}−sin πx,mathbf{hat j}), wobei (C) ein Dreieck mit den Ecken ((1,0), ,(0,1),) und ((−1,0 ),) gegen den Uhrzeigersinn verfahren.

38. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_Csqrt{1+x^3},dx+2xy,dy) auszuwerten, wobei (C) ein Dreieck mit Ecken ((0, 0) ist , ,(1, 0),) und ((1, 3)) im Uhrzeigersinn orientiert.

Antworten:
(displaystyle int_C sqrt{1+x^3},dx+2xy,dy=3) Arbeitseinheiten

39. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C x^2y,dx−xy^2,dy) auszuwerten, wobei (C) ein Kreis (x^2+y^2=4) ist gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

40. Benutze den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C left(3y−e^{sin x} ight),dx+left(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy . auszuwerten ) wobei (C) ein Kreis (x^2+y^2=9) ist, der gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet ist.

Antworten:
(displaystyle int_C left(3y−e^{sin x} ight),dx+left(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy=36π) Arbeitseinheiten

41. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C (3x−5y),dx+(x−6y),dy) auszuwerten, wobei (C) die Ellipse (frac{x^2}{ 4}+y^2=1) und ist gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

42. Sei (C) eine dreieckige geschlossene Kurve von ((0, 0)) über ((1, 0)) nach ((1, 1)) und schließlich zurück zu ((0, 0).) Sei (vecs F(x,y)=4y,mathbf{hat i}+6x^2,mathbf{hat j}.) Benutze den Satz von Green, um ( displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r.)

Antworten:
(displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r=2) Arbeitseinheiten

43. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C y,dx−x,dy) zu berechnen, wobei (C) ein Kreis (x^2+y^2=a^2) ist, der in . orientiert ist die Richtung im Uhrzeigersinn.

44. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C (y+x),dx+(x+sin y),dy,) auszuwerten, wobei (C) eine beliebige glatte einfache geschlossene Kurve ist, die den Ursprung mit sich selbst verbindet joining gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

Antworten:
(displaystyle ∮_C (y+x),dx+(x+sin y),dy=0) Arbeitseinheiten

45. Benutze den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C left(y−ln(x^2+y^2) ight),dx+left(2arctan frac{y}{x} rechts),dy,) wobei (C) der positiv orientierte Kreis ((x−2)^2+(y−3)^2=1.) ist

46. Benutze den Satz von Green, um (displaystyle ∮_C xy,dx+x^3y^3,dy,) auszuwerten, wobei (C) ein Dreieck mit Ecken ((0, 0) ist, ,(1 , 0),) und ((1, 2)) mit positiver Orientierung.

Antworten:
(displaystyle ∮_C xy,dx+x^3y^3,dy=2221) Arbeitseinheiten

47. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C sin y,dx+xcos y,dy,) auszuwerten, wobei (C) die Ellipse (x^2+xy+y^2= .) ist 1) gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

48. Sei (vecs F(x,y)=left(cos(x^5)−13y^3 ight),mathbf{hat i}+13x^3,mathbf{hat j }.) Bestimme die Zirkulation gegen den Uhrzeigersinn (displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r,) wobei (C) eine Kurve ist, die aus dem Liniensegment besteht, das ((−2,0)) verbindet und ((−1,0),) Halbkreis (y=sqrt{1−x^2},) das Liniensegment, das ((1, 0)) und ((2, 0 ),) und Halbkreis (y=sqrt{4−x^2}.)

Antworten:
(displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r=15π^4) Arbeitseinheiten

49. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∫_C sin(x^3),dx+2ye^{x^2},dy,) auszuwerten, wobei (C) eine dreieckige geschlossene Kurve ist, die verbindet die Punkte ((0, 0), ,(2, 2),) und ((0, 2)) gegen den Uhrzeigersinn.

50. Sei (C) der Rand des Quadrats (0≤x≤π,;0≤y≤π,), das gegen den Uhrzeigersinn durchquert wird. Benutze den Satz von Green, um (displaystyle ∫_C sin(x+y),dx+cos(x+y),dy.) zu finden.

Antworten:
(displaystyle int_Csin(x+y),dx+cos(x+y),dy=4) Arbeitseinheiten

51. Benutze den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r,) auszuwerten, wobei (vecs F(x,y)=(y^2−x^2),mathbf{ hat i}+(x^2+y^2),mathbf{hat j},) und (C) ist ein Dreieck begrenzt durch (y=0,;x=3, ) und (y=x,) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

52. Benutze den Satz von Green, um das Integral (displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r,) auszuwerten, wobei (vecs F(x,y)=(xy^2),mathbf{hat i}+ x,mathbf{hat j},) und (C) ist ein gegen den Uhrzeigersinn orientierter Einheitskreis.

Antworten:
(displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r=π) Arbeitseinheiten

53. Verwenden Sie den Satz von Green in einer Ebene, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C (xy+y^2),dx+x^2,dy,) auszuwerten, wobei (C) eine geschlossene Kurve einer begrenzten Region ist durch (y=x) und (y=x^2) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

54. Berechnen Sie den nach außen gerichteten Fluss von (vecs F(x,y)=−x,mathbf{hat i}+2y,mathbf{hat j}) über ein Quadrat mit Ecken ((±1 ,,±1),), wobei die Einheitsnormale nach außen zeigt und gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet ist.

Antworten:
(displaystyle ∮_Cvecs F·vecs N ,ds=4)

55. [T] Sei (C) ein gegen den Uhrzeigersinn orientierter Kreis (x^2+y^2=4). Bewerte (displaystyle ∮_Cleft[left(3y−e^{arctan x}),dx+(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy ight]) mit a Computeralgebrasystem.

56. Finden Sie den Feldfluss (vecs F(x,y)=−x,mathbf{hat i}+y,mathbf{hat j}) über (x^2+y^2 =16) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

Antworten:
(displaystyle ∮_C vecs F·vecs N,ds=32π)

57. Sei (vecs F=(y^2−x^2),mathbf{hat i}+(x^2+y^2),mathbf{hat j},) und sei (C) sei ein Dreieck, das von (y=0, ,x=3,) und (y=x) gegen den Uhrzeigersinn begrenzt wird. Bestimme den nach außen gerichteten Fluss von (vecs F) durch (C).

58. [T] Sei (C) ein Einheitskreis (x^2+y^2=1), der einmal im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird. Bewerte (displaystyle ∫_C left[−y^3+sin(xy)+xycos(xy) ight],dx+left[x^3+x^2cos(xy) ight ],dy) unter Verwendung eines Computeralgebrasystems.

Antworten:
(displaystyle ∫_C left[−y^3+sin(xy)+xycos(xy) ight],dx+left[x^3+x^2cos(xy) ight] ,dy=4.7124) Arbeitseinheiten

59. [T] Bestimmen Sie den nach außen gerichteten Fluss des Vektorfeldes (vecs F(x,y)=xy^2,mathbf{hat i}+x^2y,mathbf{hat j}) über den Rand des Kreisrings (R=ig{(x,y):1≤x^2+y^2≤4ig}=ig{(r,θ):1≤r≤2,,0≤ θ≤2πig}) unter Verwendung eines Computeralgebrasystems.

60. Betrachten Sie den Bereich (R), der von den Parabeln (y=x^2) und (x=y^2) begrenzt wird. Sei (C) der gegen den Uhrzeigersinn orientierte Rand von (R). Benutze den Satz von Green, um (displaystyle ∮_C left(y+e^{sqrt{x}} ight),dx+left(2x+cos(y^2) ight),dy auszuwerten. )

Antworten:
(displaystyle ∮_C left(y+e^{sqrt{x}} ight),dx+left(2x+cos(y^2) ight),dy=13) Arbeitseinheiten

Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


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