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5: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit - Mathematik -

5: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit - Mathematik -


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Kursziele und erwartete Ergebnisse für dieses Kapitel:

Entwickeln Sie die Schüler:

  • Fähigkeit zum Zählen
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung

Laut denken

Was meinen wir, wenn wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Münze zu werfen und einen Kopf zu sehen, etwa 0,5 (50% oder die Quoten sind 50/50) beträgt?

Eine mögliche Antwort: Wir behaupten, dass, wenn Sie die fragliche Münze viele Male werfen, ungefähr die Hälfte der Zeit Köpfe erscheinen sollten.

Laut denken

Was meinen die Leute, wenn sie von einer "100-jährigen" Flut sprechen?

Eine mögliche Antwort: Sie behaupten, dass die Wahrscheinlichkeit eines Hochwassers dieser Größenordnung in einem bestimmten Jahr 0,01 (1 % oder die Wahrscheinlichkeit 1/100) beträgt.


Grundlegende Wahrscheinlichkeitskonzepte

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl, die die Wahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeit widerspiegelt, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Wahrscheinlichkeiten können als Anteile im Bereich von 0 bis 1 ausgedrückt werden, und sie können auch als Prozentsätze im Bereich von 0 % bis 100 % ausgedrückt werden. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, dass ein bestimmtes Ereignis nicht eintritt, während eine Wahrscheinlichkeit von 1 bedeutet, dass ein Ereignis mit Sicherheit eintreten wird. Eine Wahrscheinlichkeit von 0,45 (45%) bedeutet, dass 45 von 100 Chancen für das Eintreten des Ereignisses bestehen.

Das Konzept der Wahrscheinlichkeit lässt sich am Beispiel einer Studie zur Adipositas bei Kindern im Alter von 5 bis 10 Jahren illustrieren, die in einer bestimmten Kinderarztpraxis ärztliche Hilfe suchen. Die Grundgesamtheit (Stichprobenrahmen) umfasst alle Kinder, die in den letzten 12 Monaten in der Praxis behandelt wurden und ist nachfolgend zusammengefasst.


Einen gewöhnlichen sechsseitigen Würfel zu würfeln ist ein bekanntes Beispiel für a Zufallsexperiment, eine Aktion, für die alle möglichen Ergebnisse aufgelistet werden können, für die jedoch das tatsächliche Ergebnis eines bestimmten Versuchs des Experiments nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. In einer solchen Situation möchten wir jedem Ergebnis, z. B. dem Würfeln einer Zwei, eine Zahl zuordnen, die als . bezeichnet wird Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, der angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ergebnis eintritt. Ebenso möchten wir jedem eine Wahrscheinlichkeit zuweisen Veranstaltung, oder eine Sammlung von Ergebnissen, z. B. das Rollen einer geraden Zahl, die angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ereignis eintritt, wenn das Experiment durchgeführt wird. Dieser Abschnitt bietet einen Rahmen für die Diskussion von Wahrscheinlichkeitsproblemen unter Verwendung der gerade erwähnten Begriffe.

Definition

EIN Zufallsexperiment ist ein Mechanismus, der zu einem definitiven Ergebnis führt, das nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Das Stichprobenraum Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. einem Zufallsexperiment zugeordnet ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Ein Ereignis Beliebiger Satz von Ergebnissen. ist eine Teilmenge des Probenraums.

Definition

Eine Veranstaltung E heißt es auftreten bei einem bestimmten Versuch des Experiments, wenn das beobachtete Ergebnis ein Element der Menge ist E.

Beispiel 1

Konstruieren Sie einen Beispielraum für das Experiment, das darin besteht, eine einzelne Münze zu werfen.

Die Ergebnisse könnten beschriftet werden ha für Köpfe und t für Schwänze. Dann ist der Abtastraum die Menge S = < h , t >.

Beispiel 2

Konstruieren Sie einen Musterraum für das Experiment, der aus einem einzelnen Würfel besteht. Finden Sie die Ereignisse, die den Ausdrücken „eine gerade Zahl wird gewürfelt“ und „eine Zahl größer als zwei wird gewürfelt“ entsprechen.

Die Ergebnisse könnten entsprechend der Anzahl der Punkte auf der Oberseite des Würfels gekennzeichnet werden. Dann ist der Probenraum die Menge S = < 1,2,3,4,5,6 >.

Die Ergebnisse, die gerade sind, sind 2, 4 und 6, so dass das Ereignis, das dem Ausdruck „eine gerade Zahl wird gewürfelt“ entspricht, die Menge <2,4,6> ist, die natürlich mit dem Buchstaben bezeichnet wird E. Wir schreiben E = < 2,4,6 >.

In ähnlicher Weise ist das Ereignis, das der Phrase „eine Zahl größer als zwei wird gewürfelt“ entspricht, die Menge T = < 3,4,5,6 >, die wir bezeichnet haben T.

Eine grafische Darstellung eines Beispielraums und von Ereignissen ist a Venn-Diagramm, wie in Abbildung 3.1 „Venn-Diagramme für zwei Beispielräume“ für Anmerkung 3.6 „Beispiel 1“ und Anmerkung 3.7 „Beispiel 2“ gezeigt. Im Allgemeinen ist der Probenraum S wird durch ein Rechteck, Ergebnisse durch Punkte innerhalb des Rechtecks ​​und Ereignisse durch Ovale dargestellt, die die Ergebnisse einschließen, aus denen sie bestehen.

Abbildung 3.1 Venn-Diagramme für zwei Sample Spaces

Beispiel 3

Ein Zufallsexperiment besteht darin, zwei Münzen zu werfen.

  1. Konstruieren Sie einen Musterraum für den Fall, dass die Münzen nicht zu unterscheiden sind, z. B. zwei brandneue Pfennige.
  2. Konstruieren Sie einen Musterraum für die Situation, dass die Münzen unterscheidbar sind, z. B. eine ein Penny und die andere ein Nickel.
  1. Nachdem die Münzen geworfen wurden, sieht man entweder zwei Köpfe, die mit 2 h beschriftet werden könnten, zwei Schwänze, die mit 2 t bezeichnet werden könnten, oder unterschiedliche Münzen, die beschriftet werden könnten d. Somit ist ein Abtastraum S = < 2 h , 2 t , d >.
  2. Da wir die Münzen unterscheiden können, gibt es nun zwei Möglichkeiten für die Münzen, sich zu unterscheiden: die Pfennigköpfe und die Nickelschwänze oder die Pfennigschwänze und die Nickelköpfe. Wir können jedes Ergebnis als ein Paar Buchstaben bezeichnen, von denen der erste angibt, wie der Penny gelandet ist und der zweite angibt, wie der Nickel gelandet ist. Ein Abtastraum ist dann S ′ = < h h , ht , th , t t >.

Ein Gerät, das bei der Identifizierung aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments hilfreich sein kann, insbesondere eines, das als schrittweise ablaufend angesehen werden kann, ist das sogenannte a Baum diagramm. Es wird im folgenden Beispiel beschrieben.

Beispiel 4

Konstruieren Sie einen Beispielraum, der alle Drei-Kind-Familien nach Geschlecht der Kinder in Bezug auf die Geburtsreihenfolge beschreibt.

Zwei der Ergebnisse sind „zwei Jungen, dann ein Mädchen“, was wir als b b g bezeichnen könnten, und „ein Mädchen, dann zwei Jungen“, was wir als g b b bezeichnen würden. Natürlich gibt es viele Ergebnisse, und wenn wir versuchen, alle aufzulisten, kann es schwierig sein, sicher zu sein, dass wir sie alle gefunden haben, wenn wir nicht systematisch vorgehen. Das Baumdiagramm in Abbildung 3.2 „Baumdiagramm für Familien mit drei Kindern“ gibt einen systematischen Ansatz.

Abbildung 3.2 Baumdiagramm für Familien mit drei Kindern

Das Diagramm wurde wie folgt aufgebaut. Es gibt zwei Möglichkeiten für das erste Kind, Junge oder Mädchen, also zeichnen wir zwei Liniensegmente, die von einem Startpunkt ausgehen, eines endet in a b für „Junge“ und die andere Endung in a G für Mädchen." Für jede dieser beiden Möglichkeiten für das erste Kind gibt es zwei Möglichkeiten für das zweite Kind, „Junge“ oder „Mädchen“, also von jedem der b und G wir zeichnen zwei Liniensegmente, ein Segment endet auf a b und einer in a G. Für jeden der vier Endpunkte im Diagramm gibt es jetzt zwei Möglichkeiten für das dritte Kind, also wiederholen wir den Vorgang noch einmal.

Die Liniensegmente heißen Geäst des Baumes. Der rechte Endpunkt jeder Verzweigung heißt a Knoten. Die Knoten ganz rechts sind die letzte Knoten jedem entspricht ein Ergebnis, wie in der Abbildung gezeigt.

Aus dem Baum lassen sich die acht Ergebnisse des Experiments leicht ablesen, so dass der Probenraum von oben nach unten der letzten Knoten im Baum gelesen wird,


Experimente, Probenraum, Ereignisse und ebenso wahrscheinliche Wahrscheinlichkeiten

Der grundlegende Bestandteil der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Experiment, das zumindest hypothetisch unter im Wesentlichen identischen Bedingungen wiederholt werden kann und das bei verschiedenen Versuchen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen kann. Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments wird als „Probenraum“ bezeichnet. Das Experiment, eine Münze einmal zu werfen, führt zu einem Musterraum mit zwei möglichen Ergebnissen, „Kopf“ und „Zahl“. Das Werfen von zwei Würfeln hat einen Musterraum mit 36 ​​möglichen Ergebnissen, von denen jedes mit einem geordneten Paar identifiziert werden kann (ich, j), wo ich und j Nehmen Sie einen der Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 an und bezeichnen Sie die Gesichter der einzelnen Würfel. Es ist wichtig, sich die Würfel als identifizierbar vorzustellen (z. B. durch einen Farbunterschied), damit das Ergebnis (1, 2) anders ist als (2, 1). Ein „Ereignis“ ist eine wohldefinierte Teilmenge des Probenraums. Zum Beispiel besteht das Ereignis „die Summe der Gesichter auf den beiden Würfeln ist gleich sechs“ aus den fünf Ergebnissen (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) und ( 5, 1).

Ein drittes Beispiel ist das Zeichnen nein Kugeln aus einer Urne mit Kugeln in verschiedenen Farben. Ein allgemeines Ergebnis dieses Experiments ist ein nein-Tupel, wo die ichEintrag gibt die Farbe der Kugel an, die auf dem ichZiehung (ich = 1, 2,…, nein). Trotz der Einfachheit dieses Experiments bildet ein gründliches Verständnis die theoretische Grundlage für Meinungsumfragen und Stichprobenerhebungen. Zum Beispiel können Individuen in einer Population, die einen bestimmten Kandidaten bei einer Wahl bevorzugen, mit Kugeln einer bestimmten Farbe identifiziert werden, diejenigen, die einen anderen Kandidaten bevorzugen, können mit einer anderen Farbe identifiziert werden, und so weiter. Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert die Grundlage, um aus der Stichprobe der aus der Urne gezogenen Kugeln den Inhalt der Urne zu erfahren. Eine Anwendung besteht darin, die Wahlpräferenzen einer Bevölkerung auf der Grundlage einer Stichprobe dieser Bevölkerung zu erfahren.

Eine weitere Anwendung einfacher Urnenmodelle ist der Einsatz klinischer Studien, mit denen festgestellt werden soll, ob eine neue Behandlung einer Krankheit, ein neues Medikament oder ein neuer chirurgischer Eingriff besser ist als eine Standardbehandlung. In dem einfachen Fall, in dem eine Behandlung als Erfolg oder Misserfolg angesehen werden kann, ist das Ziel der klinischen Studie herauszufinden, ob die neue Behandlung häufiger zum Erfolg führt als die Standardbehandlung. Patienten mit der Krankheit können mit Kugeln in einer Urne identifiziert werden. Die roten Kugeln sind diejenigen Patienten, die durch die neue Behandlung geheilt wurden, und die schwarzen Kugeln sind diejenigen, die nicht geheilt wurden. In der Regel gibt es eine Kontrollgruppe, die die Standardbehandlung erhält. Sie werden durch eine zweite Urne mit einem möglicherweise anderen Anteil roter Kugeln repräsentiert. Das Ziel des Experiments, eine bestimmte Anzahl von Kugeln aus jeder Urne zu ziehen, besteht darin, anhand der Probe herauszufinden, welche Urne den größeren Anteil an roten Kugeln enthält. Eine Variation dieser Idee kann verwendet werden, um die Wirksamkeit eines neuen Impfstoffs zu testen. Das vielleicht größte und bekannteste Beispiel war der 1954 durchgeführte Test des Salk-Impfstoffs gegen Poliomyelitis. Er wurde vom US-amerikanischen Gesundheitsdienst organisiert und umfasste fast zwei Millionen Kinder. Sein Erfolg hat dazu geführt, dass Polio als Gesundheitsproblem in den industrialisierten Teilen der Welt fast vollständig beseitigt wurde. Genau genommen handelt es sich bei diesen Anwendungen um Probleme der Statistik, für die die Wahrscheinlichkeitstheorie die Grundlagen liefert.

Im Gegensatz zu den oben beschriebenen Experimenten haben viele Experimente unendlich viele mögliche Ergebnisse. Man kann zum Beispiel eine Münze werfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ erscheint. Die Anzahl der möglichen Würfe ist nein = 1, 2,…. Ein weiteres Beispiel ist das Drehen eines Spinners. Für einen idealisierten Spinner, der aus einem geraden Liniensegment ohne Breite besteht und in seiner Mitte geschwenkt ist, ist die Menge der möglichen Ergebnisse die Menge aller Winkel, die die Endposition des Spinners mit einer festen Richtung bildet, äquivalent alle reellen Zahlen in [0 , 2π). Viele Messungen in den Natur- und Sozialwissenschaften wie Lautstärke, Spannung, Temperatur, Reaktionszeit, Grenzeinkommen usw. erfolgen auf kontinuierlichen Skalen und beinhalten zumindest theoretisch unendlich viele mögliche Werte. Wenn wiederholte Messungen an verschiedenen Probanden oder zu unterschiedlichen Zeiten am selben Probanden zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können, ist die Wahrscheinlichkeitstheorie ein mögliches Instrument, um diese Variabilität zu untersuchen.

Wegen ihrer relativen Einfachheit werden zunächst Experimente mit endlichen Probenräumen diskutiert. In der frühen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachteten Mathematiker nur solche Experimente, für die es aufgrund von Symmetrieüberlegungen vernünftig erschien, anzunehmen, dass alle Ergebnisse des Experiments „gleich wahrscheinlich“ waren. Dann sollten in einer großen Anzahl von Studien alle Endpunkte ungefähr gleich häufig auftreten. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist definiert als das Verhältnis der Anzahl der für das Ereignis günstigen Fälle – d. h. der Anzahl der Ergebnisse in der Teilmenge des das Ereignis definierenden Stichprobenraums – zur Gesamtzahl der Fälle. Daher werden die 36 möglichen Ergebnisse beim Werfen von zwei Würfeln als gleich wahrscheinlich angenommen, und die Wahrscheinlichkeit, „sechs“ zu erhalten, ist die Anzahl der günstigen Fälle, 5 dividiert durch 36 oder 5/36.

Angenommen, eine Münze wird geworfen nein mal, und berücksichtige die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Kopf tritt nicht ein“ in der nein wirft. Ein Ergebnis des Experiments ist ein nein-Tupel, das kDer Eintrag davon identifiziert das Ergebnis der kth werfen. Da es für jeden Wurf zwei mögliche Ergebnisse gibt, beträgt die Anzahl der Elemente im Probenraum 2 nein . Von diesen entspricht nur ein Ergebnis dem Fehlen von Köpfen, daher ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit 1/2 nein .

Nur unwesentlich schwieriger ist es, die Wahrscheinlichkeit von „höchstens einem Kopf“ zu bestimmen. Neben dem Einzelfall, in dem kein Kopf auftritt, gibt es nein Fälle, in denen genau ein Kopf auftritt, weil er am ersten, zweiten,…, oder . auftreten kann neinth werfen. Daher gibt es nein + 1 Fälle günstig, um höchstens einen Kopf zu erhalten, und die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist (nein + 1)/2 nein .


Mathematik (MATH)

Der Kurs behandelt die Eigenschaften von ganzen Zahlen, Brüchen, Dezimalzahlen, Prozenten, vorzeichenbehafteten Zahlen und der Reihenfolge der Operationen. Kopfrechnen und elementares algebraisches Denken werden betont. Die Verwendung von Taschenrechnern ist nicht gestattet. Der Studiengang zählt nicht zum Abschluss.

Voraussetzung: 0-9 ALEKS Mathe-Ergebnis.

Zeitplantyp: Emporium

Öffnungszeiten: 2 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 00021 BASIC ALGEBRA I 2 Kreditstunden

Der Kurs umfasst Operationen mit ganzen Zahlen, Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentzahlen sowie Eigenschaften von reellen Zahlen. Einführung in Variablen, Gleichungen ersten Grades und Problemlösung mit Formeln. Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen, lineare Gleichungen, Änderungsrate und Steigung, grafische Darstellung in der kartesischen Ebene. Der Studiengang zählt nicht zum Abschluss.

Voraussetzung: Mindestens 10 ALEKS-Mathematikergebnisse.

Voraussetzung/Bedingung: MATH 00020 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Emporium

Öffnungszeiten: 2 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 00022 BASIC ALGEBRA II 2 Kreditstunden

Einführung in Funktionen, lineare Gleichungssysteme, Exponenten, Polynomoperationen, wissenschaftliche Notation. Faktorisieren von Polynomen, Lösen von Quadraten durch Faktorisieren, Radikale und rationale Exponenten. Der Studiengang zählt nicht zum Abschluss.

Voraussetzung: Mindestens 25 ALEKS Mathenote oder MATH 00021 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Emporium

Öffnungszeiten: 2 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 00095 SPEZIALTHEMEN IN MATHEMATIK 1-4 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Themen der Mathematik, die nicht in regulären Lehrveranstaltungen behandelt werden. Wird angeboten, wenn die Möglichkeiten und Ressourcen dies zulassen. Das Thema wird bei der Kursplanung bekannt gegeben. Der Studiengang zählt nicht zum Abschluss.

Voraussetzung: Keiner.

Zeitplantyp: Emporium

Öffnungszeiten: 1-4 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 10040 EINFÜHRENDE STATISTIK PLUS (KMCR) 5 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10041) Eine Einführung in statistisches Denken und statistische Methoden mit einem Überblick über die grundlegende Algebra. Der Schwerpunkt liegt auf statistischen Kenntnissen, konzeptionellem Verständnis und aktivem Lernen im Klassenzimmer. Dieser Kurs bietet auch eine Just-in-Time-Korrektur, damit die Schüler die gleichen Lernergebnisse wie MATH 10041 erzielen können. Für diesen Kurs werden keine Credits vergeben, wenn ein Student bereits Credits für MATH 10041 erworben hat.

Voraussetzung: ALEKS Mathe-Punkte zwischen 25 und 34 oder MATH 00021 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 5 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, TAG Mathematics, Transfermodul Mathematik

MATH 10041 EINFÜHRENDE STATISTIK (KMCR) 4 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10040) Eine Einführung in statistisches Denken und statistische Methoden. Der Schwerpunkt liegt auf statistischen Kenntnissen, konzeptionellem Verständnis und aktivem Lernen im Klassenzimmer. Für diesen Kurs werden keine Credits vergeben, wenn ein Student bereits Credits für MATH 10040 erworben hat.

Voraussetzung: Mindestens 22 ACT-Mathe-Ergebnisse oder mindestens 530 SAT-Mathe-Ergebnisse oder mindestens 35 ALEKS-Mathe-Ergebnisse oder MATH 00022 mit einer Mindestnote C oder einem höheren MATH-Kurs.

Zeitplantyp: Emporium

Öffnungszeiten: 4 andere

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, Transfermodul Mathematik

MATH 10050 QUANTITATIVE REASONING PLUS (KMCR) 5 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10051) Im weitesten Sinne sollte Mathematik den Studierenden die erforderlichen quantitativen Werkzeuge, logischen Argumentations- und Problemlösungsfähigkeiten sowie das Gefühl vermitteln, dass quantitative Modellierung verwendet werden kann, um Entwicklungen in vielen Bereichen des täglichen Lebens zu beschreiben und zu verstehen. Da kritisches Denken das primäre Ziel und Ergebnis unseres Kurses ist, müssen die Studierenden in jedem Schwerpunktbereich (Rechnen, mathematische Modellierung sowie Wahrscheinlichkeit und Statistik) Informationen aus der Problemsituation lesen und sammeln, die Informationen in eine brauchbare Form umwandeln, Führen Sie alle erforderlichen Routineberechnungen durch, ziehen oder ziehen Sie Schlussfolgerungen und kommunizieren Sie dann das Ergebnis durch Erklärung mit quantitativer Begründung, indem Sie zusammenhängende Aussagen und Absätze schreiben. Dieser Kurs bietet auch eine Just-in-Time-Korrektur, damit die Schüler die gleichen Lernergebnisse wie MATH 10051 erzielen können.

Voraussetzung: ALEKS Mathe-Punkte zwischen 25 und 34 oder MATH 00021 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 5 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, TAG Mathematics, Transfermodul Mathematik

MATH 10051 QUANTITATIVE REASONING (KMCR) 4 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10050) Im weitesten Sinne sollte Mathematik den Studierenden die erforderlichen quantitativen Werkzeuge, logischen Argumentations- und Problemlösungsfähigkeiten sowie das Gefühl vermitteln, dass quantitative Modellierung verwendet werden kann, um Entwicklungen in vielen Bereichen des täglichen Lebens zu beschreiben und zu verstehen.Da kritisches Denken das primäre Ziel und Ergebnis dieses Kurses ist, werden die Studierenden in jedem Schwerpunktbereich (Rechnen, mathematische Modellierung sowie Wahrscheinlichkeit und Statistik) Informationen aus der Problemsituation lesen und sammeln, die Informationen in eine verwendbare Form umwandeln und beliebige Aufgaben ausführen benötigte Routineberechnungen, ziehe oder ziehe eine Schlussfolgerung und kommuniziere dann das Ergebnis durch Erklärung mit quantitativen Argumenten, indem du zusammenhängende Aussagen und Absätze verfassst.

Voraussetzung: Mindestens 22 ACT-Mathe-Ergebnisse oder mindestens 530 SAT-Mathe-Ergebnisse oder mindestens 35 ALEKS-Mathe-Ergebnisse oder MATH 00022 mit einer Mindestnote C oder einem höheren MATH-Kurs.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 10675 ALGEBRA FÜR CALCULUS BOOST (KMCR) 5 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10775 oder MATH 11010) Der Kurs beinhaltet ein umfangreiches und reichhaltiges Eintauchen in die Struktur von Funktionen. Die Routineanalyse umfasst die Diskussion von Bereich, Bereich, Nullstellen, allgemeinem Funktionsverhalten (zunehmend, abnehmend, Extrema usw.). Operationen mit Funktionen, einschließlich Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Komposition und Umkehrung. Funktionen werden als Werkzeug zur Analyse von Änderungsraten in realen Szenarien untersucht. Der Schwerpunkt liegt auf linearen, polynomialen, exponentiellen und rationalen Funktionen mit einer umfangreichen Problemlösungskomponente. Eine zweiwöchige Wiederholung der Algebra-Kenntnisse der Mittelstufe ist ebenso im Kurs enthalten wie zusätzliche Zeit zum Erlernen quadratischer Funktionen, Absolutwertfunktionen, Gleichungssysteme und längere Zeit mit Logarithmen.

Voraussetzung: Mindestens 22 ACT-Mathe-Score oder mindestens 530 SAT-Mathe-Score oder ALEKS-Mathe-Score zwischen 35-44 oder MATH 00022 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 5 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 10771 MATHEMATISCHE GRUNDKONZEPTE I PLUS (KMCR) 5 Kreditstunden)

(Äquivalent zu MATH 14001) Der Kurs behandelt die Entwicklung des reellen Zahlensystems und seiner Teilsysteme, offene Sätze, Zahlensysteme, modulare Arithmetik und einige Konzepte der Zahlentheorie. Zu den weiteren behandelten Konzepten gehören Stellenwert, Logik, Gleichheit, Eigenschaften der reellen Zahlen, Mehrfachdarstellungen von Operationen mit Zahlen und Problemlösung.

Voraussetzung: Mindestens 35 ALEKS-Mathe-Score oder mindestens 22 ACT-Mathe-Score oder mindestens 530 SAT-Mathe-Score oder MATH 00022 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 5 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 10772 MODELLING ALGEBRA PLUS (KMCR) 5 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 11009) Studium der Algebra, die im Kontext von realen Anwendungen entsteht, einschließlich linearer, polynomischer, exponentieller und logarithmischer Modelle. Enthält eine Überprüfung des Factorings und der Funktionen. Der Kurs richtet sich an Studenten, die nicht planen, Mathematik zu lernen. Keine Anrechnung für einen Abschluss für diesen Kurs, wenn der Student bereits Anrechnung für MATH 11010 erworben hat.

Voraussetzung: Mindestens 35 ALEKS-Mathe-Score oder mindestens 22 ACT-Mathe-Score oder mindestens 530 SAT-Mathe-Score oder MATH 00022 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 5 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 10775 ALGEBRA FÜR CALCULUS PLUS (KMCR) 4 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10675 oder MATH 10775 oder MATH 11010) Der Kurs beinhaltet ein umfangreiches und reichhaltiges Eintauchen in die Struktur von Funktionen. Die Routineanalyse umfasst die Diskussion von Bereich, Bereich, Nullstellen, allgemeinem Funktionsverhalten (zunehmend, abnehmend, Extrema usw.). Operationen mit Funktionen, einschließlich Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Komposition und Umkehrung. Funktionen werden als Werkzeug zur Analyse von Änderungsraten in realen Szenarien untersucht. Der Schwerpunkt liegt auf linearen, polynomialen, exponentiellen und rationalen Funktionen mit einer umfangreichen Problemlösungskomponente. Die Überprüfung der Fähigkeiten ist ebenso im Kurs enthalten wie das Studium quadratischer Funktionen, Absolutwertfunktionen, Gleichungssysteme und längere Zeit mit Logarithmen.

Voraussetzung: ALEKS Mathepunktzahl zwischen 45 und 54 oder MATH 10772 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 11008 EXPLORATIONS IN MODERN MATHEMATICS (KMCR) 3 Kreditstunden

Es werden Themen aus verschiedenen Zweigen der Mathematik ausgewählt, um die Studierenden in die vielfältigen Auswirkungen der Mathematik auf den Alltag einzuführen.

Voraussetzung: Mindestens 35 ALEKS-Mathe-Score oder mindestens 22 ACT-Mathe-Score oder MATH 00022 oder ein höherer MATH-Kurs mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 11009 MODELLING ALGEBRA (KMCR) 4 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10772) Studium der Algebra, die im Kontext von realen Anwendungen entsteht, einschließlich linearer, polynomischer, exponentieller und logarithmischer Modelle. Für Schüler gedacht, die nicht rechnen möchten. Keine Anrechnung auf einen Abschluss für diesen Studiengang, wenn der Studierende bereits MATH 11010 angerechnet hat.

Voraussetzung: Mindestens 45 ALEKS-Mathematikergebnisse.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 11010 ALGEBRA FOR CALCULUS (KMCR) 3 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10675 oder MATH 10775) Der Kurs beinhaltet ein umfangreiches und reichhaltiges Eintauchen in die Struktur von Funktionen. Die Routineanalyse umfasst die Diskussion von Bereich, Bereich, Nullstellen, allgemeinem Funktionsverhalten (zunehmend, abnehmend, Extrema usw.). Operationen mit Funktionen, einschließlich Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Komposition und Umkehrung. Funktionen werden als Werkzeug zur Analyse von Änderungsraten in realen Szenarien untersucht. Der Schwerpunkt liegt auf linearen, polynomialen, exponentiellen und rationalen Funktionen mit einer umfangreichen Problemlösungskomponente.

Voraussetzung: Mindestens 55 ALEKS-Mathe-Score oder MATH 10772 oder MATH 11009 mit einer Mindestnote B.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, Transfermodul Mathematik

MATH 11012 INTUITIVE CALCULUS (KMCR) 3 Kreditstunden

Der Kurs soll einen Überblick über die Differential- und Integralrechnung für Wirtschafts- und Lebenswissenschaften geben. Kurs enthält keine trigonometrischen Funktionen. Keine Anrechnung auf einen Abschluss für diesen Studiengang, wenn der Studierende bereits MATH 12002 angerechnet hat.

Voraussetzung: Mindestens 67 ALEKS-Mathenote oder mindestens C-Note in MATH 10675 oder MATH 10775 oder MATH 11010.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, Transfermodul Mathematik

MATH 11022 TRIGONOMETRIE (KMCR) 3 Kreditstunden

Lösung von Dreiecken, trigonometrischen Gleichungen und Identitäten.

Voraussetzung: Mindestens 67 ALEKS-Mathenote oder mindestens C-Note in MATH 10675 oder MATH 10775 oder MATH 11010.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, Transfermodul Mathematik

MATH 12002 ANALYTISCHE GEOMETRIE UND CALCULUS I (KMCR) 5 Kreditstunden

Konzepte von Grenzwert, Stetigkeit und Ableitung sowie das unbestimmte und bestimmte Integral für Funktionen einer reellen Variablen. Maximierung, verwandte Raten, Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung. Keine Anrechnung auf einen Abschluss für diesen Studiengang, wenn der Studierende bereits Anrechnungen für MATH 12011 und MATH 12012 erworben hat.

Voraussetzung: Mindestens 78 ALEKS Mathenote oder MATH 11022 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 5 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, Transfermodul Mathematik

MATH 12003 ANALYTISCHE GEOMETRIE UND CALCULUS II 5 Kreditstunden

Kontinuierliches Studium von Techniken und Anwendungen der Integration trigonometrische, logarithmische und exponentielle Funktionen Polarkoordinaten Vektoren parametrische Gleichungen Folgen und Reihen.

Voraussetzung: MATH 12002 oder MATH 12012 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 5 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Transfermodul Mathematik

MATH 12011 CALCULUS MIT PRECALCULUS I (KMCR) 3 Kreditstunden

Einführung in die Differentialrechnung mit einem Überblick über Algebra und Trigonometrie. Beinhaltet Exponenten, Faktorisierung, Funktionen, Graphen, Tangentiallinien, Grenzen, Kontinuität, Ableitungen und zugehörige Sätze. Keine Anrechnung auf einen Abschluss für diesen Studiengang, wenn der Studierende bereits MATH 12002 angerechnet hat.

Voraussetzung: Mindestens 67 ALEKS-Mathe-Punkte.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, Transfermodul Mathematik

MATH 12012 CALCULUS MIT PRECALCULUS II (KMCR) 3 Kreditstunden

Entwicklung der Integralrechnung und kontinuierliches Studium der Differentialrechnung. Beinhaltet das Fundamentaltheorem zur Optimierung der Kurvenskizze der Berechnungsflächen zwischen Kurven, exponentielle und logarithmische Funktionen. Keine Anrechnung auf einen Abschluss für diesen Studiengang, wenn der Student bereits Anrechnung für MATH 12002 erworben hat.

Voraussetzung: MATH 12011 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematics and Critical Reasoning, Transfermodul Mathematik

MATH 12013 KURZRECHNUNG II 3 Kreditstunden

Dies ist eine komprimierte Version von MATH 12003, um die Anforderungen von Studiengängen zu erfüllen, die nicht die volle Kraft von MATH 12003 benötigen. Der Kurs beginnt mit partieller Integration, Approximation von Integralen und Anwendungen von Integralen. Es folgt eine kurze Einführung in Reihen, parametrische Gleichungen und Polarkoordinaten und endet mit Vektoren und Raumgeometrie. Keine Anrechnung für einen Abschluss für diesen Studiengang, wenn der Student bereits Anrechnung für MATH 12003 erworben hat.

Voraussetzung: Mindestnote C in MATH 12002 oder MATH 12012 oder MATH 12021.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 12021 CALCULUS FOR LIFE SCIENCES 4 Kreditstunden

Differential- und Integralrechnung anhand von Beispielen und Problemen aus den Lebenswissenschaften.

Voraussetzung: Mindestens 78 ALEKS Mathenote oder MATH 11022 oder MATH 12011 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 12022 WAHRSCHEINLICHKEIT UND STATISTIK FÜR BIOWISSENSCHAFTEN 3 Kreditstunden

Wahrscheinlichkeit und Statistik mit Anwendungen in den medizinischen und biologischen Wissenschaften.

Voraussetzung: Mindestnote C in MATH 12002 oder MATH 12012 oder MATH 12021.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 14001 MATHEMATISCHE GRUNDKONZEPTE I (KMCR) 4 Kreditstunden

(Äquivalent zu MATH 10771) Entwicklung des reellen Zahlensystems und seiner Teilsysteme, offene Sätze, Zahlensysteme, modulare Arithmetik und einige zahlentheoretische Konzepte.

Voraussetzung: Mindestens 45 ALEKS-Mathenote oder mindestens C-Note in MATH 00023 oder einem höheren MATH-Kurs (außer MATH 10041, MATH 10051 oder MATH 11008).

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 14002 MATHEMATISCHE GRUNDKONZEPTE II (KMCR) 4 Kreditstunden

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit, Statistik und Geometrie.

Voraussetzung: MATH 10771 oder MATH 14001 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Kent Core Mathematik und kritisches Denken

MATH 19002 TECHNISCHE MATHEMATIK II 4 Kreditstunden

Betont fortgeschrittene Themen in Algebra und Trigonometrie, analytischer Geometrie, Ableitungen und Integralen.

Voraussetzung: Keiner.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 19099 FELDERFAHRUNG IM MATHEMATIKUNTERRICHT (ELR) 1 Kreditstunde

(Wiederholbar für Credits) Lernen durch Nachhilfe. Eine beaufsichtigte Laborerfahrung bei der Erklärung mathematischer Konzepte.

Voraussetzung: Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Anforderung an erfahrungsorientiertes Lernen

MATH 20011 ENTSCHEIDUNGSFINDUNG UNTER UNSICHERHEIT 3 Kreditstunden

Ein Einführungskurs in die angewandte Statistik. Der Kurs bietet einen praktischen Ansatz zum Verstehen, Quantifizieren und Treffen von Entscheidungen unter verschiedenen Formen von Unsicherheit. Zu den Hauptthemen gehören die Visualisierung von Unsicherheit, probabilistische Quantifizierung von Unsicherheit, Bayes'sche und nicht-Bayes'sche Arten der Entscheidungsfindung unter Unsicherheit. Die Unterrichtsaktivitäten umfassen aktive Lernelemente, einschließlich Berechnungen im Klassenzimmer mit professioneller Software für statistische Analysen und Simulationen.

Voraussetzung: MATH 12002 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 20095 SPEZIALTHEMEN MATHEMATIK 1-5 Kreditstunden

(Wiederholbar für Anrechnung) Verschiedene Spezialkurse werden im Stundenplan unter dieser Kursnummer mit unterschiedlichen Abschnittsnummern bekannt gegeben.

Voraussetzung: Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-5 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 21001 LINEARE ALGEBRA 3 Kreditstunden

Lineare Gleichungssysteme und die dazugehörigen Matrixoperationen, lineare Transformationen, Vektorräume, Basen, Eigenvektoren.

Voraussetzung: Mindestnote C in MATH 11012 oder MATH 12002 oder MATH 12012 oder MATH 12021.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: TAG Mathematik

MATH 21002 ANGEWENDETE LINEARE ALGEBRA 3 Kreditstunden

Dies ist ein Einführungskurs in die Lineare Algebra. Ziel des Kurses ist es, die mathematischen Grundlagen der Linearen Algebra anwendungsorientierter zu vermitteln. Die Themen umfassen lineare Gleichungssysteme, Matrixoperationen, Vektorräume, Eigenwerte und Eigenvektoren, Singulärwertzerlegungen und deren Anwendungen.

Voraussetzung: Mindestnote C in MATH 12002 oder MATH 11012 oder MATH 12012 oder MATH 12021.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 21092 COMPUTER PRACTICUM (ELR) 2 Kreditstunden

(Wiederholbar für Gutschrift) Beaufsichtigte Berufserfahrung in einer Computerinstallation.

Voraussetzung: Keiner.

Zeitplantyp: Praktische Erfahrung

Öffnungszeiten: 2 andere

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Anforderung an erfahrungsorientiertes Lernen

MATH 22005 ANALYTISCHE GEOMETRIE UND CALCULUS III 4 Kreditstunden

Studium der Funktionen mehrerer Variablen, einschließlich partieller Ableitungen und multipler Integrale.

Voraussetzung: MATH 12003 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: TAG Mathematik

MATH 23022 DISKRETE STRUKTUREN FÜR INFORMATIONEN 3 Kreditstunden

(Cross-listed mit CS 23022) Diskrete Strukturen für Informatiker mit den Schwerpunkten: mathematisches Denken, kombinatorische Analyse, diskrete Strukturen, algorithmisches Denken, Anwendungen und Modellierung. Zu den spezifischen Themen gehören Logik, Mengen, Funktionen, Beziehungen, Algorithmen, Beweistechniken, Zählen, Graphen, Bäume, Boolesche Algebra, Grammatiken und Sprachen.

Voraussetzung: Mindestnote C in MATH 11009 oder MATH 11010 oder Math 11022 oder ALEKS-Punktzahl von 78.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 30011 GRUNDLEGENDE WAHRSCHEINHEITEN UND STATISTIK 3 Kreditstunden

Analyse und Darstellung von Daten. Kontrollierte Experimente und Beobachtungen. Messfehler. Korrelation und Regression. Probenahme. Wahrscheinlichkeitsmodelle und Tests von Modellen. Inferenz. Dieser Kurs kann nicht verwendet werden, um die mathematischen Voraussetzungen für einen BA in Mathematik oder einen BS in Angewandter Mathematik oder Mathematik zu erfüllen.

Voraussetzung: Mindestens 67 ALEKS-Mathenote oder mindestens C-Note in MATH 10675 oder MATH 10775 oder MATH 11010 oder einem beliebigen Kurs MATH 11012 bis MATH 12022 oder einem beliebigen Kurs MATH 20000 bis MATH 49999.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 30055 MATHEMATISCHE THEORIE VON INTERESSE 3 Kreditstunden

Eine rechnungsbasierte Einführung in die Finanzmathematik. Beschränkt auf die deterministische Analyse von Annuitätenanleihen und Immunisierung. Betont die mathematische Theorie des Themas.

Voraussetzung: MATH 12003 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 31011 BEWEISE IN DISKRETER MATHEMATIK 3 Kreditstunden

Das Studium diskreter mathematischer Strukturen einschließlich Mengen, Funktionen und Beziehungen. Der Kurs beinhaltet eine Einführung in logisches Denken mit Schwerpunkt auf Beweistechniken. Der Kurs betont auch kombinatorische Themen wie Rekursion und Zählen.

Voraussetzung: MATH 12002 mit mindestens C-Note.

Voraussetzung/Bedingung: MATH 21001 oder MATH 32051 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 32044 GEWÖHNLICHE DIFFERENZGLEICHUNGEN 3 Kreditstunden

Eine Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen und Anwendungen. Themen sind Lösungsmethoden, Reihenlösungen und singuläre Punkte. Laplace-Transformationen und lineare Systeme. Zu den Anwendungen gehören Populationsdynamik, erzwungene Schwingungen und Resonanz.

Voraussetzung: MATH 21001 und MATH 22005 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: TAG Mathematik

MATH 32051 MATHEMATISCHE METHODEN IN DEN PHYSIKALISCHEN WISSENSCHAFTEN I 4 SWS

Mathematischer Hintergrund jenseits von Infinitesimalrechnung I und II für Oberstufenstudiengänge in den Naturwissenschaften. Themen sind komplexe Zahlen und Arithmetik, lineare Algebra, partielle Differentiation und multiple Integrale.

Voraussetzung: MATH 12003 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 32052 MATHEMATISCHE METHODEN IN DEN PHYSIKALISCHEN WISSENSCHAFTEN II 4 SWS

Zusätzlicher mathematischer Hintergrund für Oberstufenstudiengänge in den Naturwissenschaften.Zu den Themen gehören Vektoranalyse, Fourier-Reihen und Transformationen gewöhnlicher Differentialgleichungen und partieller Differentialgleichungen.

Voraussetzung: MATH 32051 mit Mindestnote C oder MATH 21001 und MATH 22005 mit Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 34001 GRUNDLEGENDE KONZEPTE DER ALGEBRA 3 Kreditstunden

Professionalisierter Algebrakurs für angehende Sekundarschullehrer. Postulative Entwicklung des Zahlensystems der Algebra Andere Systeme, verwandte Themen, Anwendungen. Dieser Kurs kann nicht dazu verwendet werden, die mathematischen Voraussetzungen für einen BA in Mathematik oder einen BS in Angewandter Mathematik oder Mathematik zu erfüllen. Keine Anrechnung auf einen Abschluss für diesen Studiengang, wenn ein Student bereits MATH 41001 angerechnet hat.

Voraussetzung: MATH 12002 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 34002 GRUNDLEGENDE KONZEPTE DER GEOMETRIE 3 Kreditstunden

Professioneller Geometriekurs für Sekundarschullehrer. Entstehung und Entwicklung der Geometrie von Euklid mit modernen Verfeinerungen, Themen, Ansätzen. Andere Geometrien, Anwendungen. Dies kann nicht verwendet werden, um die Mathematikanforderungen für einen BA in Mathematik oder einen BS in Angewandter Mathematik oder Mathematik zu erfüllen.

Voraussetzung: MATH 12002 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 38001 HANDS-ON MATHEMATICS 3 Kreditstunden

Die Schüler lernen abwechselnd ein Thema und bringen dieses Thema dann der Klasse bei. Es ist kein Text erforderlich, die Schüler verwenden Webressourcen und Materialien, die vom Lehrer bereitgestellt werden. Viele der Themen haben eine praktische Komponente. Einige Beispiele sind zwei- und dreidimensionale Kachelprobleme, die Türme von Hanoi und andere Probleme mit induktiver Lösung und „Zaubertricks“ mit einer Basis in Algebra, Parität oder modularer Arithmetik.

Voraussetzung: MATH 12003 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40011 WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND ANWENDUNGEN 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 50011) Permutationen und Kombinationen, diskrete und stetige Verteilungen, Zufallsvariablen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Bayesche Formel, mathematischer Erwartungswert, Gesetz der großen Zahlen, normale Approximationen, grundlegende Grenzwertsätze.

Voraussetzung: MATH 22005 oder MATH 32051 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40012 THEORIE DER STATISTIK 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 50012) Stichprobenräume, kontinuierliche Verteilungen, Stichprobenverteilungen, Punkt- und Intervallschätzung, Hypothesentests, Fehlerarten, Niveau und Trennschärfe von Tests, sequentielle und nichtparametrische Methoden.

Voraussetzung: MATH 40011 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40015 ANGEWANDTE STATISTIK 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 50015) Der Kurs basiert auf klassischen linearen Regressionstechniken mit Schwerpunkt auf realen Daten unter Verwendung der Prinzipien der soliden Datenanalyse. Besonderes Augenmerk wird auf Fragen der Interpretation, Diagnostik, Ausreißer und Einflusspunkte, Anpassungsgüte und Modellauswahl gelegt. Die Themen umfassen einfache und multiple lineare Regression, Transformation und Modifikation von Kovariaten und Antworten, Designmatrizen, Variablenauswahl und logistische Regression. Studierende mit Statistik-Studiengängen anderer Fachrichtungen sollten sich wegen möglicher Voraussetzungsüberschreibungen an das Institut für Mathematik wenden.

Voraussetzung: (MATH 21001 mit Mindestnote C ODER MATH 21002 mit Mindestnote C) UND (MATH 12022 mit Mindestnote B ODER MATH 20011 mit Mindestnote C ODER MATH 30011 mit Mindestnote B ODER MATH 40012 mit Mindestnote C ).

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40024 COMPUTATIONAL STATISTICS 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 50024) In diesem Kurs geht es um die Verwendung von Computerwerkzeugen zum Verwalten, Erkunden, Zusammenfassen und Visualisieren von Daten sowie um die rechnerischen Grundlagen passender statistischer Modelle. Es verwendet hauptsächlich die statistische Berechnungssprache R, aber auch andere Sprachen wie Python und Matlab. Es umfasst auch: Simulation und Zufallszahlengenerierung, rechenintensive Methoden wie Bootstrap- und Permutationstests, Expectation-Maximization und verwandte Algorithmen sowie Dimensionsreduktion durch Matrixzerlegung. Studierende mit Statistik-Studiengängen anderer Fachrichtungen sollten sich wegen möglicher Voraussetzungsüberschreibungen an das Institut für Mathematik wenden.

Voraussetzung: (MATH 21001 mit Mindestnote C ODER MATH 21002 mit Mindestnote C) UND (MATH 12022 mit Mindestnote B ODER MATH 20011 mit Mindestnote C ODER MATH 30011 mit Mindestnote B ODER MATH 40012 mit Mindestnote C ).

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40028 STATISTISCHES LERNEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 50028) In diesem Kurs geht es um die statistischen Grundlagen moderner maschineller Lerntechniken. Der Schwerpunkt liegt auf der Klassifizierung und Vorhersage mit regressionsbasierten, baumbasierten und Kernel-basierten Methoden. Spezifische Methoden umfassen logistische Regression, Klassifizierungs- und Regressionsbäume, Random Forests und Support Vector Machines. Der Kurs beinhaltet auch eine Einführung in das unüberwachte und teilüberwachte Lernen.

Voraussetzung: MATH 40015 und MATH 40024 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40051 THEMEN DER PROBABILITÄTSTHEORIE UND DER STOCHASTISCHEN PROZESSE 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 50051) Themen aus bedingten Erwartungen, Markov-Ketten, Markov-Prozesse, Brownsche Bewegung und Martingale und ihre Anwendungen auf die stochastische Analysis.

Voraussetzung: MATH 40011 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40055 AKTUARISCHE MATHEMATIK I (ELR) (WIC) 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 50055) Themen aus Überlebensmodellen, stochastische Analysen von Renten und Lebensversicherungs- und Unfallmodellen. .

Voraussetzung: MATH 30055 und MATH 40011 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Erfahrungsorientiertes Lernen, Schreibintensivkurs

MATH 40056 AKTUARISCHE MATHEMATIK II 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 50056) Leistungsprämien, Leistungsreserven und deren Analyse, Dekrementmodelle, gemeinsame Hinterbliebenenschaft, Risikomodelle.

Voraussetzung: MATH 40055 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40059 STOCHASTISCHE VERSICHERUNGSMODELLE 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 50059) Themen aus Anlagerisiko, mittlere Varianzanalyse, CAPM, Finanzderivate, binomiales Preismodell, stochastisches Kalkül, Black-Scholes-Preismodell und Griechen.

Voraussetzung: Mindestnote C in MATH 30055 und MATH 40011.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 40093 VARIABLER TITEL-WORKSHOP IN MATHEMATIK 1-6 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Studiert spezielle Themen in der Mathematik. Nicht akzeptabel für die Anrechnung auf ein Haupt- oder Nebenfach in Mathematik ohne Zustimmung des Studienberaters.

Voraussetzung: Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Werkstatt

Öffnungszeiten: 1-6 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend

MATH 41001 MODERN ALGEBRA I (ELR) (WIC) 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 51001) Grundlegende Eigenschaften von Gruppen, Untergruppen, Faktorgruppen. Grundeigenschaften von Ringen, Integralbereichen und Homomorphismen.

Voraussetzung: MATH 22005 oder MATH 32051 mit einer Mindestnote C und MATH 31011 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Erfahrungsorientiertes Lernen, Schreibintensivkurs

MATH 41002 MODERN ALGEBRA II (ELR) (WIC) 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 51002) Eine Fortsetzung von MATH 41001, die die Eigenschaften von Ringen, ihre Ideale, polynomiale Ringerweiterungen, Körper, endliche Erweiterungen, Wurzeln von Polynomen, Konstruierbarkeit hervorhebt.

Voraussetzung: Mindestnote C in MATH 41001.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Erfahrungsorientiertes Lernen, Schreibintensivkurs

MATH 41021 THEORIE DER MATRIZEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 51021) Eine gründliche Untersuchung der in der Matrixalgebra eingeführten Themen. Eingeschlossene Themen sind Vektorraum-Vorbereitungen, kanonische Matrizenformen, Diagonalisierungskriterien.

Voraussetzung: MATH 21001 und MATH 22005 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 41038 ZWISCHENLOGIK 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 51038) (Cross-listed with CS 41038 and PHIL 41038 and PHIL 51038) Eine detaillierte, systematische Studie der symbolischen Logik für Philosophie-, Mathematik- und Informatik-Hauptfächer und alle anderen, die an einem fortgeschrittenen Studium der Logik interessiert sind. Das Ziel des Kurses ist zweierlei: erstens eine Fähigkeit zu entwickeln, symbolische Logik für verschiedene Zwecke zu verstehen und zu verwenden, und zweitens, symbolische Logik als ein eigenständiges Studiengebiet zu verstehen und zu würdigen. Zu den Themen gehören die Unterscheidung zwischen syntaktischen Beweisen auf Objektebene und semantischen Beweisen auf Metaebene, die Unterscheidung zwischen axiomatischen Systemen und natürlichen Deduktionssystemen von Beweisen auf Objektebene, verschiedene Systeme der Modallogik und einige nichtklassische Logiken. A oder B.S.) Hauptfach oder Mathematik Nebenfach.

Voraussetzung: Nachwuchs- und Versicherungsmathematik Major, Angewandte Mathematik Major, Angewandte Mathematik Minor, Angewandte Statistik Minor, Mathematik (B.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 41045 METALOGIC 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 51045 Cross-listed with CS 41045 and CS 51045 and PHIL 41045 and PHIL 51045) Eine detaillierte, systematische Studie der Metalogik für Philosophie-, Mathematik-, Informatik-Majors und alle anderen, die an fortgeschrittenen Studien in Logik interessiert sind. Themen sind unter anderem die Richtigkeit und Vollständigkeit der Aussagen- und Prädikatenkalküle, die Entscheidbarkeit der Aussagenkalküle, die Unentscheidbarkeit der Prädikatenkalküle, Gödels Unvollständigkeitsbeweis für arithmetisch ausdrückende Sprachen, die Ko-Erweiterbarkeit der Menge allgemeiner rekursiver Funktionen, Abakus-berechenbare Funktionen , und Turing-berechenbare Funktionen und die philosophischen Motivationen für die ChurchTuring-These, dass alle berechenbaren Funktionen Turing-berechenbar sind.

Voraussetzung: PHIL 41038.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42001 ANALYSE I (ELR) (WIC) 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52001) Themen sind Grundstruktur der reellen Zahlen, Cauchy-Folgen, Konvergenz, Vollständigkeit der reellen Zahlen, Stetigkeit, Differentiation und Riemann-Integration.

Voraussetzung: MATH 22005 oder MATH 32051 mit einer Mindestnote C und MATH 31011 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Erfahrungsorientiertes Lernen, Schreibintensivkurs

MATH 42002 ANALYSE II (ELR) (WIC) 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52002) Themen sind die Weiterentwicklung der Integrationstheorie, unendliche Reihen, gleichförmige Konvergenz, mehrere Variablenkalküle und metrische Räume.

Voraussetzung: MATH 42001 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

Attribute: Erfahrungsorientiertes Lernen, Schreibintensivkurs

MATH 42011 MATHEMATISCHE OPTIMIERUNG 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52011) Analytische und numerische Techniken zur Lokalisierung von Extrempunkten von Funktionen und Variationsrechnung. Es werden sowohl eingeschränkte als auch nicht eingeschränkte Probleme berücksichtigt.

Voraussetzung: Mindestnote C in MATH 21001 und MATH 22005 oder MATH 32051.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42021 GRAFIKTHEORIE UND KOMBINATORIK 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52021) Grundlagen und Anwendungen der kombinatorischen Mathematik. Zu den Themen gehören Überquerbarkeit, Einfärbbarkeit, Netzwerke, Ein- und Ausschluss, Matching und Designs.

Voraussetzung: MATH 12003 und MATH 21001 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42024 ZAHLEN UND SPIELE 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52024) Das Studium parteiischer und unparteiischer kombinatorischer Spiele als Zahlentheorie Grundy-Sprague.

Voraussetzung: MATH 21001 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42031 MATHEMATISCHE MODELLE UND DYNAMISCHE SYSTEME 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52031) Formulierung und Analyse mathematischer Modelle für eine Vielzahl von Phänomenen. Mathematische Methoden aus der Optimierung dynamischer Systeme und Wahrscheinlichkeit werden entwickelt und angewendet. Es kommen moderne Softwaretools zum Einsatz.

Voraussetzung: MATH 32044 oder MATH 32052 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42039 MODELLING PROJECTS (ELR) (WIC) 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52039) Einzel- und Kleingruppenprojekte zur Formulierung und Analyse mathematischer Modelle in verschiedenen Bereichen. Es sind schriftliche und mündliche Berichte erforderlich.

Voraussetzung: MATH 42031 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 3 andere

Notenmodus: Standard Letter-IP

Attribute: Erfahrungsorientiertes Lernen, Schreibintensivkurs

MATH 42041 FORTGESCHRITTENE CALCULUS 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52041) Die Berechnung und Anwendung von Skalar- und Vektorfunktionen mehrerer Variablen. Vektordifferential- und Integralrechnung. Anwendungen auf Feldtheorien, Elektrizität und Magnetismus und Flüssigkeitsströmung.

Voraussetzung: MATH 21001 mit mindestens C-Note und MATH 22005 oder MATH 32051.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42045 TEILWEISE DIFFERENZGLEICHUNGEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52045) Eine Einführung in Fourier-Reihen, Fourier-Transformationen und partielle Differentialgleichungen. Wellen-, Wärme- und Potentialgleichungen der mathematischen Physik. Weitere Themen sind Greensche Funktionen und die Methode der Charakteristiken für Wellengleichungen.

Voraussetzung: MATH 32044 oder MATH 32052 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42048 KOMPLEXE VARIABLEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 52048) Algebra komplexer Zahlen, analytische Funktionen, Abbildungen, Cauchy-Integraltheorie, Residuentheorie und Anwendungen.

Voraussetzung: MATH 22005 oder MATH 32051 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42201 NUMERISCHES COMPUTING I 3 Kreditstunden

(Kreuzliste mit CS 42201 und CS 52201 gekürzt mit MATH 52201). Eine Einführung in numerische Methoden und Software zur Lösung vieler gängiger wissenschaftlicher Rechenprobleme. Lineare Systeme, Datenanpassung nach der Methode der kleinsten Quadrate, nichtlineare Gleichungen und Systeme sowie Optimierungsprobleme.

Voraussetzung: Mindestnote C in allen folgenden MATH 12003 und MATH 21001 oder MATH 32051 und CS 13001 oder (CS 13011 und CS 13012).

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 42202 NUMERISCHES COMPUTING II 3 Kreditstunden

(Quergelistet mit CS 42202 und CS 52202) (Slashed mit MATH 52202) Eine Fortsetzung von MATH 42201. Themen sind Interpolation, numerische Differentiation und Integration sowie numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Voraussetzung: MATH 42201 mit einer Mindestnote C und MATH 32044 oder MATH 32052 mit einer Mindestnote C.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 45011 DIFFERENTIALGEOMETRIE 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 55011) Analytische und metrische Differentialgeometrie von Kurven und Flächen.

Voraussetzung: MATH 22005 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 45021 EUKLIDISCHE GEOMETRIE 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 55021) Geometrie von Euklid erweitert auf fortgeschrittene Themen des Dreiecks, der Vierecke und der Kreise: Kreuzverhältnis, Gruppen, Konstruktionen, geometrische Verallgemeinerungen Inversion.

Voraussetzung: MATH 21001 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 45022 LINEARE GEOMETRIE 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 55022) Verwenden von Transformationen als Werkzeug, um Geometrie zu studieren und zwischen verschiedenen Arten von Geometrie zu unterscheiden. Methoden der linearen Algebra, die auf die Geometrie angewendet werden.

Voraussetzung: MATH 21001 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 46001 ELEMENTARE TOPOLOGIE 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 56001) Metrische Räume, Einführung in topologische Räume, Trennungsaxiome.

Voraussetzung: MATH 22005 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 47011 THEORIE DER ZAHLEN 3 Kreditstunden

(Gestrichelt mit MATH 57011) Teilbarkeitseigenschaften der ganzen Zahlen, Primzahlen, Kongruenzen, quadratische Reziprozität, diophantische Gleichungen, zahlentheoretische Funktionen, einfache Kettenbrüche, rationale Approximationen.

Voraussetzung: MATH 12003 mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 47021 GESCHICHTE DER MATHEMATIK 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 57021) Überblick über die babylonische und ägyptische Mathematik bis zur Mathematik des 20. Jahrhunderts mit Schwerpunkt auf der Entwicklung von Algebra, Geometrie, Infinitesimalrechnung und Zahlentheorie.

Voraussetzung: MATH 23022 oder höher mit mindestens C-Note.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 49992 PRAKTIKUM IN MATHEMATIK (ELR) 1-3 Kreditstunden

Betreute Berufserfahrung und Ausbildung in den mathematischen Wissenschaften.Da diese Arbeit außerhalb der Abteilung stattfindet, ist ein Bericht und eine Abschlusspräsentation erforderlich.

Voraussetzung: Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Praktische Erfahrung

Öffnungszeiten: 0 Vorlesung, 0 Labor, 3-9 Sonstiges

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend-IP

Attribute: Anforderung an erfahrungsorientiertes Lernen

MATH 49995 AUSGEWÄHLTE THEMEN DER MATHEMATIK UND IHRE ANWENDUNGEN 1-4 Kreditstunden

(Wiederholbar für Anrechnung) Verschiedene Spezialkurse werden im Stundenplan unter dieser Kursnummer mit unterschiedlichen Abschnittsnummern bekannt gegeben.

Voraussetzung: Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 49996 EINZELSTUDIE 1-4 Kreditstunden

(Wiederholbar für Kredit) Individuelle Untersuchung in Mathematik.

Voraussetzung: Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Individuelle Untersuchung

Öffnungszeiten: 1-4 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 49998 FORSCHUNG (ELR) 1-15 Kreditstunden

(Wiederholbar für Kredit) Forschung in Mathematik.

Voraussetzung: Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Forschung

Öffnungszeiten: 1-15 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend-IP

Attribute: Anforderung an erfahrungsorientiertes Lernen

MATH 50011 WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND ANWENDUNGEN 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 40011) Permutationen und Kombinationen, diskrete und stetige Verteilungen, Zufallsvariablen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Bayesche Formel, mathematischer Erwartungswert, Gesetz der großen Zahlen, normale Approximationen, grundlegende Grenzwertsätze.

Voraussetzung: Absolvent stehend.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 50012 THEORIE DER STATISTIK 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 40012) Stichprobenräume, kontinuierliche Verteilungen, Stichprobenverteilungen, Punkt- und Intervallschätzung, Hypothesentests, Fehlerarten, Niveau und Trennschärfe von Tests, sequentielle und nichtparametrische Methoden.

Voraussetzung: MATH 40011 oder MATH 50011 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 50015 ANGEWANDTE STATISTIK 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 40015) Der Kurs basiert auf klassischen linearen Regressionstechniken mit Schwerpunkt auf realen Daten unter Verwendung der Prinzipien der soliden Datenanalyse. Besonderes Augenmerk wird auf Fragen der Interpretation, Diagnostik, Ausreißer und Einflusspunkte, Anpassungsgüte und Modellauswahl gelegt. Die Themen umfassen einfache und multiple lineare Regression, Transformation und Modifikation von Kovariaten und Antworten, Designmatrizen, Variablenauswahl und logistische Regression.

Voraussetzung: Angewandte Mathematik oder reine Mathematik als Hauptfach und Absolvent.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 50024 COMPUTATIONAL STATISTICS 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 40024) In diesem Kurs geht es um die Verwendung von Computerwerkzeugen zum Verwalten, Erkunden, Zusammenfassen und Visualisieren von Daten sowie um die rechnerischen Grundlagen passender statistischer Modelle. Es verwendet hauptsächlich die statistische Berechnungssprache R, aber auch andere Sprachen wie Python und Matlab. Es umfasst auch: Simulation und Zufallszahlengenerierung, rechenintensive Methoden wie Bootstrap- und Permutationstests, Expectation-Maximization und verwandte Algorithmen sowie Dimensionsreduktion durch Matrixzerlegung.

Voraussetzung: Angewandte Mathematik oder reine Mathematik im Haupt- und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 50028 STATISTISCHES LERNEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 40028)In diesem Kurs geht es um die statistischen Grundlagen moderner maschineller Lerntechniken. Der Schwerpunkt liegt auf der Klassifizierung und Vorhersage mit regressionsbasierten, baumbasierten und Kernel-basierten Methoden. Spezifische Methoden umfassen logistische Regression, Klassifizierungs- und Regressionsbäume, Random Forests und Support Vector Machines. Der Kurs beinhaltet auch eine Einführung in das unüberwachte und teilüberwachte Lernen.

Voraussetzung: MATH 40015 oder 50015 und MATH 40024 oder 50024 und Angewandte Mathematik oder Reine Mathematik als Haupt- und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 50051 THEMEN DER PROBABILITÄTSTHEORIE UND STOCHASTISCHE PROZESSE 3 Kreditstunden Credit

(Slashed with MATH 40051) Themen aus bedingten Erwartungen, Markov-Ketten, Markov-Prozesse, Brownsche Bewegung und Martingale und deren Anwendungen auf die stochastische Berechnung.

Voraussetzung: MATH 50011 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 50055 AKTUARISCHE MATHEMATIK I 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 40055) Themen aus Überlebensmodellen, stochastische Analysen von Renten und Lebensversicherungs- und Unfallmodellen.

Voraussetzung: MATH 30055 und MATH 50011 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 50056 AKTUARISCHE MATHEMATIK II 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 40056) Leistungsprämien, Leistungsreserven und deren Analyse Dekrementmodelle, gemeinsame Hinterbliebenenschaft, Risikomodelle.

Voraussetzung: MATH 50055 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 50059 STOCHASTISCHE VERSICHERUNGSMODELLE 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 40059) Themen aus Anlagerisiko, mittlere Varianzanalyse, CAPM, Finanzderivate, binomiales Preismodell, stochastisches Kalkül, Black-Scholes-Preismodell und Griechen.

Voraussetzung: MATH 40011 oder 50011 und Graduate stehend.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 51001 MODERN ALGEBRA I 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 41001) Grundlegende Eigenschaften von Gruppen, Untergruppen, Faktorgruppen. Grundeigenschaften von Ringen, Integralbereichen und Homomorphismen.

Voraussetzung: MATH 21001 und MATH 22005 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 51002 MODERN ALGEBRA II 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 41002) Eine Fortsetzung von MATH 51001, die die Eigenschaften von Ringen, ihre Ideale, polynomiale Ringerweiterungen, Körper, endliche Erweiterungen, Wurzeln von Polynomen, Konstruierbarkeit hervorhebt.

Voraussetzung: MATH 41001 oder MATH 51001 und Angewandte Mathematik oder Reine Mathematik als Haupt- und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 51021 THEORIE DER MATRIZEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 41021) Eine gründliche Untersuchung der in der Matrixalgebra eingeführten Themen. Eingeschlossene Themen sind: kanonische Matrizenformen, Diagonalisierungskriterien.

Voraussetzung: MATH 21001 und MATH 22005 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 51038 ZWISCHENLOGIK 3 Kreditstunden

(Quergelistet mit CS 41038 und PHIL 41038 und PHIL 51038) (Slashed mit MATH 41038) Eine detaillierte, systematische Studie der symbolischen Logik für Philosophie-, Mathematik- und Informatik-Hauptfächer und alle anderen, die an einem fortgeschrittenen Studium der Logik interessiert sind. Das Ziel des Kurses ist zweierlei: erstens eine Fähigkeit zu entwickeln, symbolische Logik für verschiedene Zwecke zu verstehen und zu verwenden, und zweitens, symbolische Logik als ein eigenständiges Studiengebiet zu verstehen und zu würdigen. Zu den Themen gehören die Unterscheidung zwischen syntaktischen Beweisen auf Objektebene und semantischen Beweisen auf Metaebene, die Unterscheidung zwischen axiomatischen Systemen und natürlichen Deduktionssystemen von Beweisen auf Objektebene, verschiedene Systeme der Modallogik und einige nichtklassische Logiken.

Voraussetzung: Absolvent stehend.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 51045 METALOGIC 3 Kreditstunden

(Quergelistet mit CS 41045 und CS 51045 und PHIL 41045 und PHIL 51045) (Slashed with MATH 41045) Eine detaillierte, systematische Studie der Metalogik für Philosophie-, Mathematik-, Informatik-Majors und alle anderen, die an einem fortgeschrittenen Studium in Logik interessiert sind . Themen sind unter anderem die Richtigkeit und Vollständigkeit der Aussagen- und Prädikatenkalküle, die Entscheidbarkeit der Aussagenkalküle, die Unentscheidbarkeit der Prädikatenkalküle, Gödels Unvollständigkeitsbeweis für arithmetisch ausdrückende Sprachen, die Ko-Erweiterbarkeit der Menge allgemeiner rekursiver Funktionen, Abakus-berechenbare Funktionen , und Turing-berechenbare Funktionen und die philosophischen Motivationen für die ChurchTuring-These, dass alle berechenbaren Funktionen Turing-berechenbar sind

Voraussetzung: Absolvent stehend.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52001 ANALYSE I 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42001) Themen sind Grundstruktur der reellen Zahlen, Cauchy-Folgen, Konvergenz, Vollständigkeit der reellen Zahlen, Stetigkeit, Differentiation und Riemann-Integration.

Voraussetzung: Angewandte Mathematik oder reine Mathematik im Haupt- und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52002 ANALYSE II 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42002) Zu den Themen gehören die Weiterentwicklung der Integrationstheorie unendliche Reihen, gleichförmige Konvergenz, mehrere Variablenrechnung und metrische Räume.

Voraussetzung: MATH 42001 oder MATH 52001 und Angewandte Mathematik oder Reine Mathematik als Haupt- und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52011 MATHEMATISCHE OPTIMIERUNG 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42011) Analytische und numerische Techniken zur Lokalisierung von Extrempunkten von Funktionen und Variationsrechnung. Es werden sowohl eingeschränkte als auch nicht eingeschränkte Probleme berücksichtigt.

Voraussetzung: MATH 21001 und MATH 22005 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52021 GRAFIKTHEORIE UND KOMBINATORIK 3 Kreditstunden

(MATH 42021) Grundlagen und Anwendungen der kombinatorischen Mathematik. Themen sind Transversibilität, Einfärbbarkeit, Netzwerke, Inklusion und Exklusion, Matching und Design.

Voraussetzung: MATH 12003 und MATH 21001 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52024 ZAHLEN UND SPIELE 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42024) Das Studium parteiischer und unparteiischer kombinatorischer Spiele als Zahlentheorie Grundy-Sprague.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52031 MATHEMATISCHE MODELLE UND DYNAMISCHE SYSTEME 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42031) Formulierung und Analyse mathematischer Modelle für eine Vielzahl von Phänomenen. Mathematische Methoden aus den Bereichen Optimierung, dynamische Systeme und Wahrscheinlichkeit werden entwickelt und angewendet. Es kommen moderne Softwaretools zum Einsatz.

Voraussetzung: MATH 32044 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52039 MODELLIERUNG VON PROJEKTEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42039) Einzel- und Kleingruppenprojekte zur Formulierung und Analyse mathematischer Modelle in verschiedenen Bereichen. Schriftliche und mündliche Berichte erforderlich.

Voraussetzung: MATH 52031 mit mindestens C-Note und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52041 FORTGESCHRITTENE CALCULUS 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42041) Die Berechnung und Anwendung von Skalar- und Vektorfunktionen mehrerer Variablen. Vektordifferential- und Integralrechnung. Anwendungen auf Feldtheorien, Elektrizität und Magnetismus und Flüssigkeitsströmung.

Voraussetzung: MATH 21001 und MATH 22005.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52045 TEILWEISE DIFFERENZGLEICHUNGEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42045) Einführung in Fourier-Reihen, Fourier-Transformationen und partielle Differentialgleichungen. Wellen-, Wärme- und Potentialgleichungen der mathematischen Physik. Weitere Themen sind Greensche Funktionen und die Methode der Charakteristiken für Wellengleichungen.

Voraussetzung: Angewandte Mathematik oder reine Mathematik im Haupt- und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52048 KOMPLEXE VARIABLEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 42048) Algebra komplexer Zahlen, analytische Funktionen, Abbildungen, Cauchy-Integraltheorie, Residuentheorie und Anwendungen.

Voraussetzung: Angewandte Mathematik oder reine Mathematik im Haupt- und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52201 NUMERISCHES COMPUTING I 3 Kreditstunden

(Quergelistet mit CS 42201 und CS 52201) (Slashed mit MATH 42201) Eine Einführung in numerische Methoden und Software zur Lösung vieler gängiger wissenschaftlicher Rechenprobleme. Lineare Systeme, Least-Square-Datenanpassung, nichtlineare Gleichungen und Systeme sowie Optimierungsprobleme.

Voraussetzung: Angewandte Mathematik oder reine Mathematik als Hauptfach und Absolvent.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 52202 NUMERISCHES COMPUTING II 3 Kreditstunden

(Quergelistet mit CS 42202 und CS 52202) (Slashed mit MATH 42202) Eine Fortsetzung von MATH 52201. Themen sind Interpolation, numerische Differentiation und Integration sowie numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Voraussetzung: MATH 42201 oder 52201 und Angewandte Mathematik oder Reine Mathematik als Haupt- und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 55011 DIFFERENTIALGEOMETRIE 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 45011) Analytische und metrische Differentialgeometrie von Kurven und Flächen.

Voraussetzung: MATH 22005 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 55021 EUKLIDISCHE GEOMETRIE 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 45021) Geometrie von Euklid erweitert auf fortgeschrittene Themen des Dreiecks, Vierecke und Kreise: Kreuzverhältnis, Gruppen, Konstruktionen, geometrische Verallgemeinerungen Inversion.

Voraussetzung: MATH 21001 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 55022 LINEARE GEOMETRIE 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 45022) Verwendung von Transformationen als Werkzeug, um Geometrie zu studieren und zwischen verschiedenen Arten von Geometrie zu unterscheiden. Methoden der linearen Algebra, die auf die Geometrie angewendet werden.

Voraussetzung: MATH 21001 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 56001 ELEMENTARE TOPOLOGIE 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 46001) Metrische Räume, Einführung in topologische Räume, Trennungsaxiome.

Voraussetzung: MATH 22005 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 57011 THEORIE DER ZAHLEN 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 47011) Teilbarkeitseigenschaften der ganzen Zahlen, Primzahlen, Kongruenzen, quadratische Reziprozität, diophantische Gleichungen, zahlentheoretische Funktionen, einfache Kettenbrüche, rationale Approximationen.

Voraussetzung: MATH 12003 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 57021 GESCHICHTE DER MATHEMATIK 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 47021) Überblick über die babylonische und ägyptische Mathematik bis zur Mathematik des 20. Jahrhunderts mit Schwerpunkt auf der Entwicklung von Algebra, Geometrie, Infinitesimalrechnung und Zahlentheorie.

Voraussetzung: Ein Kurs MATH 23022 oder höher und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 57091 AUSGEWÄHLTE THEMEN DER MATHEMATIK UND IHRE ANWENDUNGEN 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Anrechnung) Verschiedene Spezialkurse werden im Stundenplan unter dieser Kursnummer mit unterschiedlichen Abschnittsnummern bekannt gegeben.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 59893 VARIABLER TITEL-WORKSHOP IN MATHEMATIK 1-6 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Studium zu speziellen Themen der reinen und angewandten Mathematik.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Werkstatt

Öffnungszeiten: 1-6 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend

MATH 60051 WAHRSCHEINLICHKEIT I 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 70051) Verteilungsfunktionen, Maßtheorie, Zufallsvariablen, Erwartung, Unabhängigkeit, Konvergenz, Konzepte, Gesetz der großen Zahlen.

Voraussetzung: MATH 40011 oder MATH 42002 oder MATH 50011 oder MATH 52002 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 60052 WAHRSCHEINLICHKEIT II 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 70052) Charakteristische Funktionen, das zentrale Grenzwertproblem, bedingte Erwartungen, Martingale-Theorie, Brownsche Bewegung.

Voraussetzung: MATH 60051 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 60061 MATHEMATISCHE STATISTIK I 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 70061) Statistiken, Verteilungen von Statistiken. Stichprobenverteilungen. Entscheidungsräume und Verlustfunktionen. Angemessenheit und Vollständigkeit. Schätzungstheorie. Rao Blackwell und die Cramer-Rao-Theoreme.

Voraussetzung: MATH 42002 oder MATH 52002 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 60062 MATHEMATISCHE STATISTIK II 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 70062) Tests der statistischen Hypothese. Neyman Pearson Lemma. Exponentielle Familien und Invarianz. Sequentielle Tests. Nicht parametrische Verfahren.

Voraussetzung: MATH 60061 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 60070 FINANZMATHEMATIK 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 70070) Themen aus der Replikation von Handelsstrategien, Arbitrage, Vollständigkeit, Martingale-Darstellungstheorem, Fundamentaltheorem der Finanzen, Stochastische Differentialgleichungen, Black and Scholes Formel der Optionspreisbildung.

Voraussetzung: MATH 50051 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 60091 SEMINAR IN STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT 1-3 Credit Hours

(Wiederholbar für Credits) Seminar zur aktuellen Forschung in Statistik und Wahrscheinlichkeit.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 60093 VARIABLER TITEL WORKSHOP IN MATHEMATIK 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Studium besonderer Themen der Mathematik. Ohne Zustimmung des Studienberaters ist die Anrechnung auf einen Abschluss in Mathematik nicht zulässig.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Werkstatt

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend

MATH 60094 HOCHSCHULUNTERRICHT MATHEMATIK 1 Kreditstunde

(Wiederholbar für Credits) Techniken und Probleme im Mathematikunterricht auf College-Niveau. Es werden studentische Präsentationen von mathematischen Arbeiten und Kolloquien angeboten.

Voraussetzung: Absolvent stehend.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 61051 ABSTRAKTE ALGEBRA I 4 Kreditstunden

(Slashed with MATH 71051) Fortgeschrittene Themen der Gruppentheorie, einschließlich Sylow-Theoreme, endliche abelsche Gruppen, teilbare Gruppen und verwandte Konzepte. Beinhaltet jede Woche eine Stunde Problemsitzung.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 61052 ABSTRACT ALGEBRA II 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 71052) Fortgeschrittene Themen, kommutative Ringtheorie und Feldtheorie, einschließlich Polynomringe, einzigartige Faktorisierungsdomänen, Matrixringe, Galoistheorie.

Voraussetzung: MATH 61051 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 61091 SEMINAR IN ALGEBRA 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Seminar zur aktuellen Forschung in der Algebra.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend

MATH 62041 METHODEN DER ANGEWANDTEN MATHEMATIK I 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 72041) Analyse und Anwendungen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen und verwandte Themen. Dimensionsanalyse (Buckingham Pi Theorem). Störungsmethoden (singuläre Störungen, angepasste asymptotische Entwicklungen, WKB-Approximation). Variationsmethoden (Euler-Lagrange-Gleichungen).

Voraussetzung: MATH 51021 und MATH 52041 und MATH 52045 und MATH 52048 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62042 METHODEN DER ANGEWANDTEN MATHEMATIK II 3 Kreditstunden

(Gestrichelt mit MATH 72042) Fortsetzung von MATH 62041. Integrale Gleichungen und Greensche Funktionen (Fredholm-Alternative, kompakte Operatoren, Verteilungen, schwache Lösungen). Wellenphänomene (Dispersion, KdV-Gleichung). Stabilität und Bifurkation (linearisierte Stabilitätsanalyse, Wendepunkte, Hopf-Bifurkation).

Voraussetzung: MATH 62041 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62051 FUNKTIONEN EINER REALEN VARIABLEN I 4 Kreditstunden

(Slashed with MATH 72051) Einführung in moderne Konzepte der reellen Analyse, einschließlich metrischer Räume, Maß- und Integrationstheorie.

Voraussetzung: MATH 42002 oder MATH 52002 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62052 FUNKTIONEN EINER REALEN VARIABLE II 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 72052) Eine Fortsetzung von MATH 62051. Enthalten sind grundlegende Themen der Funktionalanalysis und Hilbert-Raumtheorie.

Voraussetzung: MATH 62051 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62151 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXE VARIABLE I 4 Kreditstunden Credit

(Slashed with MATH 72151) Topologische Eigenschaften der komplexen Ebene analytische, vollständige, meromorphe Funktionen analytische Fortsetzung konforme Abbildungen Picards Satz Riemann-Flächen.

Voraussetzung: MATH 52002 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62152 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXE VARIABLE II 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 72152) Topologische Eigenschaften der komplexen Ebene analytische, vollständige, meromorphe Funktionen analytische Fortsetzung konforme Abbildungen Picards Satz Riemann-Flächen.

Voraussetzung: MATH 62151 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62203 COMPUTATIONAL FINANCE 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 72203) Grundlegende numerische Methoden, (numerische lineare Algebra, nichtlineare Gleichungen, Kurvenanpassung, ODEs, Integration, Monte-Carlo-Methoden), numerische Lösung von PDEs (Stabilität, Konvergenz, Black-Scholes, amerikanische Optionen, SDEs) probabilistisch Methoden.

Voraussetzung: MATH 22005 und MATH 21001 und MATH 32044 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62251 NUMERISCHE ANALYSE I 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 72251) Gleitkommaberechnung, Rundungsfehleranalyse, Konditionierung, Interpolation (Polynom, Trigonometrie, Spline). Numerische Quadratur (Newton-Cotes, Gauss), Extrapolation, Romberg-Integration.

Voraussetzung: MATH 42002 oder MATH 52002 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62252 NUMERISCHE ANALYSE II 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 72252) Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme (LU-Faktorisierung, Fehleranalyse). Kleinste Quadrate, Orthogonalisierungsmethoden. Algebraische Eigenwertprobleme, QR-Algorithmus, Singulärwertzerlegung.

Voraussetzung: MATH 41021 oder MATH 51021 und MATH 62251 oder MATH 72251 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62261 NUMERISCHE LÖSUNG GEWÖHNLICHER DIFFERENZGLEICHUNGEN 3 Kreditstunden Credit

(Slashed with MATH 72261) Diskretisierungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen und -systeme. Anfangswert- und Randwertprobleme. Numerische Implementierungssoftware und Analyse.

Voraussetzung: MATH 32044 und MATH 42202 oder MATH 52202 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62262 NUMERISCHE LÖSUNG VON TEILWEISEN DIFFERENZGLEICHUNGEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 72262) Herleitung und Analyse diskreter Methoden (finite Differenzen, finite Elemente) zur numerischen Lösung elliptischer, hyperbolischer und parabolischer partieller Differentialgleichungen.

Voraussetzung: MATH 42045 oder MATH 52045 und MATH 42202 oder MATH 52202 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62263 NUMERISCHE LÖSUNG VON GROßEN SPARSE LINEAR SYSTEMS 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 72263) (Cross-listed with CS 62263 and CS 72263) Konstruktion und Analyse iterativer Methoden für große Systeme linearer algebraischer Gleichungen. Jacobi, Gauss-Seidel, SOR. Polynomiale Beschleunigungsmethoden, konjugierte Gradienten. Multi-Grid-Methoden.

Voraussetzung: MATH 41021 oder MATH 51021 und MATH 42202 oder MATH 52202 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62264 NUMERISCHE LÖSUNG VON NICHTLINEAREN SYSTEMEN 3 Kreditstunden

(Quergelistet mit CS 62264 und CS 72264) (Slashed mit MATH 72264) Konstruktion und Analyse numerischer Methoden für Systeme nichtlinearer algebraischer Gleichungen und Optimierungsprobleme. Numerische Implementierung und Software.

Voraussetzung: MATH 42041 oder MATH 52041 und MATH 42202 oder MATH 52202 und Absolventenstand.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62291 SEMINAR IN COMPUTATIONAL UND ANGEWANDTE MATHEMATIK 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) (Slashed with MATH 72291) Seminar zur aktuellen Forschung in der Computergestützten und Angewandten Mathematik

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62391 SEMINAR IN MASS-THEORIE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Seminar zur aktuellen Forschung in der Maßtheorie.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 62491 SEMINAR IN NICHTLINEARER ANALYSE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Seminar zur aktuellen Forschung in der nichtlinearen Analysis.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 64091 SEMINAR IN MATHEMATIKAUSBILDUNG 3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Kredit) Studium der Geometrie, Algebra, Mathematik für die Mittel- und Oberstufe. Mathematikinhalte für Lehrer professionalisiert.

Voraussetzung: MATH 34001 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 66051 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE I 4 Kreditstunden

(Slashed with MATH 76051) Mengenlehre, topologische Räume, Stetigkeit, Produkträume, Quotientenräume, Trennungsaxiome, Kompaktheit und Metrisierbarkeit.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 66052 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE II 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 76052) Geometrische Topologie, einschließlich Verbundenheit, Kontinua, Homotopie, Ebene und 2 Mannigfaltigkeiten.

Voraussetzung: MATH 76051 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 67091 SEMINAR IN ZAHLENTHEORIE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) (Slashed with MATH 77091) Seminar zur aktuellen Forschung in der Zahlentheorie.

Voraussetzung: Absolventenstatus und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 67095 AUSGEWÄHLTE THEMEN DER MATHEMATIK 1-4 Kreditstunden

(Wiederholbar für Anrechnung) Verschiedene Spezialkurse werden im Stundenplan unter dieser Kursnummer mit unterschiedlichen Abschnittsnummern bekannt gegeben.

Voraussetzung: Graduate Standing und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-4 Vorlesung, 0 Labor, 0 Sonstiges

Notenmodus: Standardbrief

MATH 67098 FORSCHUNG 1-15 Kreditstunden

(Wiederholbar für Kredit) Recherche oder individuelle Untersuchung. Anrechnungspunkte werden mit Genehmigung auf die Abschlussanforderungen angerechnet, wenn die Buchstabennote "S" angegeben wird.

Voraussetzung: Absolvent stehend.

Zeitplantyp: Forschung

Öffnungszeiten: 1-15 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 67199 THESE I 2-6 Kreditstunden

Der Student der Abschlussarbeit muss sich für insgesamt 6 Stunden anmelden, auf Wunsch 2 bis 6 Stunden in einem Semester verteilt auf mehrere Semester.

Voraussetzung: Absolvent stehend.

Zeitplantyp: Masterarbeit

Öffnungszeiten: 2-6 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend-IP

MATH 67299 THESE II 2 Kreditstunden

Studierende der Abschlussarbeit müssen sich jedes Semester so lange immatrikulieren, bis alle Studienvoraussetzungen erfüllt sind.

Voraussetzung: MATH 67199 und Absolventenstatus.

Zeitplantyp: Masterarbeit

Öffnungszeiten: 2 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend-IP

MATH 70051 WAHRSCHEINLICHKEIT I 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 60051) Verteilungsfunktionen, Maßtheorie, Zufallsvariablen, Erwartungswert, Unabhängigkeit, Konvergenz, Konzepte, Gesetz der großen Zahlen.

Voraussetzung: MATH 40011 oder MATH 50011 oder MATH 42002 oder MATH 52002 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 70052 WAHRSCHEINLICHKEIT II 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 60052) Charakteristische Funktionen, das zentrale Grenzwertproblem, bedingte Erwartungen, Martingale-Theorie, Brownsche Bewegung.

Voraussetzung: MATH 60051 oder MATH 70051 und Doktortitel.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 70061 MATHEMATISCHE STATISTIK I 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 60061) Statistiken, Verteilungen von Statistiken. Stichprobenverteilungen. Entscheidungsräume und Verlustfunktionen. Angemessenheit und Vollständigkeit. Schätzungstheorie. Rao Blackwell und die Cramer-Rao-Theoreme.

Voraussetzung: MATH 42002 oder MATH 52002.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 70062 MATHEMATISCHE STATISTIK II 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 60062) Tests der statistischen Hypothese. Neyman Pearson Lemma. Exponentielle Familien und Invarianz. Sequentielle Tests. Nicht parametrische Verfahren.

Voraussetzung: MATH 60061 oder MATH 70061 und Doktortitel.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 70070 FINANZMATHEMATIK 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 60070) Themen aus der Replikation von Handelsstrategien, Arbitrage-Vollständigkeit, Martingale-Präsentationstheorem, Fundamentaltheorem der Finanzen, Stochastische Differentialgleichungen, Black und Scholes Formel der Optionspreisbildung.

Voraussetzung: MATH 50051 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 70091 SEMINAR IN STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT 1-3 Credit Hours

(Wiederholbar für Credits) Seminar zur aktuellen Forschung in Statistik und Wahrscheinlichkeit.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 70094 HOCHSCHULUNTERRICHT FÜR MATHEMATIK 1 Kreditstunde

(Wiederholbar für Credits) Techniken und Probleme im Mathematikunterricht auf College-Niveau. Es werden studentische Präsentationen von mathematischen Arbeiten und Kolloquien angeboten.

Voraussetzung: Doktortitel.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 70095 AUSGEWÄHLTE THEMEN IN STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT 1-3 Credit Hours

(Wiederholbar für Credits) Die Themen variieren je nach Angebot und ergänzen die in MATH 70051, MATH 70052, MATH 70061 und MATH 70062 behandelten Themen.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 71001 STRUKTUR VON RINGEN UND ALGEBRAEN I 3 Kreditstunden

Fortgeschrittene Themen der Ringtheorie, einschließlich Artinsche Ringe, Noethersche Ringe, fortgeschrittene kommutative Ringtheorie.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 71002 STRUKTUR VON RINGEN UND ALGEBRAEN II 3 Kreditstunden

Fortgeschrittene Themen der Ringtheorie einschließlich einer Einführung in die homologische Algebra. Beinhaltet Dedekind-Domänen, reguläre Ringe, Torsionstheorie.

Voraussetzung: MATH 71001 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 71011 FORTGESCHRITTENE GRUPPENTHEORIE 3 Kreditstunden

Fortgeschrittene Themen in der Gruppentheorie. Zu den Themen gehören Permutationsargumente, Coprime-Aktionen, Transfertheoreme, Nichteinfachheitskriterien. Eigenschaften von Gruppenfamilien: lösbar, p lösbar, nilpotent, p Gruppen.

Voraussetzung: MATH 61051 oder MATH 71051 und MATH 61052 oder MATH 71052 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 71012 ZEICHEN VON BEGRENZTEN GRUPPEN 3 Kreditstunden

Entwicklung von Charakteren endlicher Gruppen, deren Eigenschaften, Orthogonalitätsbeziehungen, Integralitätsbedingungen. Zu den Anwendungen gehören das paqb-Theorem von Burnside und die Existenz von Frobenius-Kerneln in Frobenius-Gruppen.

Voraussetzung: MATH 61051 oder MATH 71051 und MATH 61052 oder MATH 71052 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 71051 ABSTRAKTE ALGEBRA I 4 Kreditstunden

(Slashed with MATH 61051) Fortgeschrittene Themen der Gruppentheorie, einschließlich Sylow-Theoreme, endliche abelsche Gruppen, teilbare Gruppen und verwandte Konzepte. Beinhaltet jede Woche eine einstündige Problemsitzung.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 71052 ABSTRACT ALGEBRA II 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 61052) Fortgeschrittene Themen, kommutative Ringtheorie und Feldtheorie, einschließlich Polynomringe, Eindeutige Faktorisierung, Domänen, Matrixringe, Galoistheorie.

Voraussetzung: MATH 61051 oder MATH 71051 und Doktortitel.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 71091 SEMINAR IN ALGEBRA 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) (Slashed with MATH 61091) Seminar zur aktuellen Forschung in Algebra.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend

MATH 71095 AUSGEWÄHLTE THEMEN IN ALGEBRA 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Die Themen variieren je nach Angebot und ergänzen die in MATH 71002, MATH 71051 und MATH 71052 behandelten Themen.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72001 FUNKTIONSANALYSE I 3 Kreditstunden

Eine Untersuchung der Prinzipien der linearen Analysis im Rahmen normierter linearer Räume und topologischer Vektorräume.

Voraussetzung: MATH 72052 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72002 FUNKTIONSANALYSE II 3 Kreditstunden

Eine Untersuchung der Prinzipien der linearen Analysis im Rahmen normierter linearer Räume und topologischer Vektorräume.

Voraussetzung: MATH 72001 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72041 METHODEN DER ANGEWANDTEN MATHEMATIK I 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 62041) Analyse und Anwendungen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen und verwandte Themen. Dimensionsanalyse (Buckingham Pi Theorem). Störungsmethoden (singuläre Störungen, angepasste asymptotische Entwicklungen, WKB-Approximation). Variationsmethoden (Euler-Lagrange-Gleichungen).

Voraussetzung: MATH 51021 und MATH 52041 und MATH 52045 und MATH 52048 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72042 METHODEN DER ANGEWANDTEN MATHEMATIK II 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 62042) Fortsetzung von MATH 72041. Integrale Gleichungen und Greensche Funktionen (Fredholm-Alternative, kompakte Operatoren, Verteilungen, schwache Lösungen). Wellenphänomene (Dispersion, KdV-Gleichung). Stabilität und Bifurkation (linearisierte Stabilitätsanalyse, Wendepunkte, Hopf-Bifurkation).

Voraussetzung: MATH 62041 oder MATH 72041 und Doktortitel.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72051 FUNKTIONEN EINER REALEN VARIABLEN I 4 Kreditstunden

(Slashed with MATH 62051) Einführung in moderne Konzepte der reellen Analyse einschließlich metrischer Räume, Maß- und Integrationstheorie.

Voraussetzung: MATH 42002 oder MATH 52002 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72052 FUNKTIONEN EINER REALEN VARIABLE II 3 Kreditstunden

(Geschlitzt mit MATH 62052). Eine Fortsetzung von MATH 72051. Enthalten sind grundlegende Themen der Funktionalanalysis und der Hilbert-Raumtheorie.

Voraussetzung: MATH 62051 oder MATH 72051 und Doktortitel.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72095 AUSGEWÄHLTE THEMEN IN REAL ANALYSE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Die Themen variieren je nach Angebot und ergänzen die in MATH 72002, MATH 72051 und MATH 72052 behandelten Themen.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72151 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXE VARIABLE I 4 Kreditstunden Credit

(Slashed with MATH 62151) Topologische Eigenschaften der komplexen Ebene analytische, vollständige, meromorphe Funktionen analytische Fortsetzung konforme Abbildungen Picards Satz Riemann-Flächen.

Voraussetzung: MATH 52002 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72152 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXE VARIABLE II 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 62152) Topologische Eigenschaften der komplexen Ebene analytische, vollständige, meromorphe Funktionen analytische Fortsetzung konforme Abbildungen Satz von Picard Riemann-Flächen.

Voraussetzung: MATH 72151 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72195 AUSGEWÄHLTE THEMEN IN KOMPLEXER ANALYSE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Die Themen variieren je nach Angebot und ergänzen die in MATH 72151 und MATH 72152 behandelten Themen.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72203 COMPUTATIONAL FINANCE 3 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 62203) Grundlegende numerische Methoden, (numerische lineare Algebra, nichtlineare Gleichungen, Kurvenanpassung, ODEs, Integration, Monte-Carlo-Methoden) numerische Lösung von PDEs (Stabilität, Konvergenz, Black-Scholes, amerikanische Optionen, SDEs) probabilistische Methoden .

Voraussetzung: MATH 22005 und MATH 21001 und MATH 32044 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72251 NUMERISCHE ANALYSE I 4 Kreditstunden

(Slashed mit MATH 62251) Gleitkommaberechnung, Rundungsfehleranalyse, Konditionierung, Interpolation (Polynom, trigonometrischer Spline). Numerische Quadratur (Newton-Cotes, Gauss), Extrapolation, Romberg-Integration.

Voraussetzung: MATH 42002 oder MATH 52002 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72252 NUMERISCHE ANALYSE II 3 Kreditstunden

(Gestrichelt mit MATH 62252) Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme (LU-Faktorisierung, Fehleranalyse). Kleinste Quadrate, Orthogonalisierungsmethoden. Algebraische Eigenwertprobleme, QR-Algorithmus, Singulärwertzerlegung.

Voraussetzung: MATH 41021 oder MATH 51021 und MATH 62251 oder MATH 72251 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72261 NUMERISCHE LÖSUNG VON GEWÖHNLICHEN DIFFERENZGLEICHUNGEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 62261) Diskretisierungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen und -systeme. Anfangswert- und Randwertprobleme. Numerische Implementierungssoftware und Analyse.

Voraussetzung: MATH 32044 und MATH 42202 oder MATH 52202 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72262 NUMERISCHE LÖSUNG VON TEILWEISEN DIFFERENZGLEICHUNGEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 62262) Herleitung und Analyse diskreter Methoden (finite Differenzen, finite Elemente) zur numerischen Lösung elliptischer, hyperbolischer und parabolischer partieller Differentialgleichungen.

Voraussetzung: MATH 42045 oder MATH 52045 und MATH 42202 oder MATH 52202 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72263 NUMERISCHE LÖSUNG VON GROßEN SPARSE LINEAR SYSTEMS 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 62263) (Cross-listed with CS 62263 and CS 72263) Konstruktion und Analyse iterativer Methoden für große Systeme linearer algebraischer Gleichungen. Jacobi, Gauss-Seidel, SOR. Polynomiale Beschleunigungsmethoden, konjugierte Gradienten. Multi-Grid-Methoden.

Voraussetzung: MATH 41021 oder MATH 51021 und MATH 42202 oder MATH 52202 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72264 NUMERISCHE LÖSUNG VON NICHTLINEAREN SYSTEMEN 3 Kreditstunden

(Slashed with MATH 62264) (Cross-listed with CS 62264 and CS 72264) Konstruktion und Analyse numerischer Methoden für Systeme nichtlinearer algebraischer Gleichungen und Optimierungsprobleme. Numerische Implementierung und Software.

Voraussetzung: MATH 42041 oder MATH 52041 und MATH 42202 oder MATH 52202 und Promotion.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72291 SEMINAR IN COMPUTATIONAL UND ANGEWANDTE MATHEMATIK 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Kredit) (Slashed with Math 62291)Seminar über die aktuelle Forschung in der numerischen Analysis.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72295 AUSGEWÄHLTE THEMEN DER NUMERISCHEN ANALYSE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Die Themen variieren je nach Angebot und ergänzen die in MATH 72251 und MATH 72252 behandelten Themen.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72391 SEMINAR IN MASSTHEORIE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Seminar zur aktuellen Forschung in der Maßtheorie.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 72491 SEMINAR IN NICHTLINEARER ANALYSE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Kredit)Seminar über aktuelle Forschung in der nichtlinearen Analyse.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 76051 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE I 4 Kreditstunden

(Slashed with MATH 66051) Mengenlehre, topologische Räume, Stetigkeit, Produkträume, Quotientenräume Trennungsaxiome, Kompaktheit und Metrisierbarkeit.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 4 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 76052 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE II 3 Kreditstunden

Geometrische Topologie, einschließlich Verbundenheit, Kontinua, Homotopie, Ebene und 2 Mannigfaltigkeiten.

Voraussetzung: MATH 66051 oder MATH 76051 und Doktortitel.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 76095 AUSGEWÄHLTE THEMEN DER TOPOLOGIE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Die Themen variieren je nach Angebot und ergänzen die in MATH 76051 und MATH 76052 behandelten Themen.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 77011 ALGEBRAISCHE ZAHLENTHEORIE 3 Kreditstunden

Zahlenkörper und Dedekind-Gebiete konjugiert, Norm und Spur, Diskriminante, ganzzahlige Basen arithmetische oder quadratische und zyklotomische Zahlenkörpertheorie der Ideale und Klassengruppe Dirichlet-Thorem über Einheiten.

Voraussetzung: MATH 57011 und MATH 61052 oder MATH 71052 und Doktortitel.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 77012 ANALYTISCHE ZAHLENTHEORIE 3 Kreditstunden

Multiplikative Funktionen und Summenfunktionen, Riemannsche Zeta-Funktion und der Primzahlsatz, L-Funktionen und der Satz von Dirichlet über Primzahlen in artithmetischen Folgen, asymptotische Formel für Partitionen.

Voraussetzung: MATH 57011 und MATH 62151 oder MATH 72151.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 77091 SEMINAR IN ZAHLENTHEORIE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) (Slashed with MATH 67091) Seminar zur aktuellen Forschung in der Zahlentheorie.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Seminar

Öffnungszeiten: 1-3 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 77095 AUSGEWÄHLTE THEMEN DER MATHEMATIK 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Das Kursthema variiert je nach Angebot.

Voraussetzung: Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 77098 FORSCHUNG I 1-15 Kreditstunden

(Wiederholbar für Kredit) Recherche oder individuelle Untersuchung. Anrechnungspunkte werden mit Genehmigung auf die Abschlussanforderungen angerechnet, wenn die Buchstabennote "S" angegeben wird.

Voraussetzung: Doktortitel.

Zeitplantyp: Forschung

Öffnungszeiten: 1-15 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 77195 AUSGEWÄHLTE THEMEN DER ZAHLENTHEORIE 1-3 Kreditstunden

(Wiederholbar für Credits) Der Inhalt variiert je nach Angebot und ergänzt die in MATH 77011 und MATH 77012 behandelten Themen.

Voraussetzung: Promotionsberechtigung und Sondergenehmigung.

Zeitplantyp: Vorlesung

Öffnungszeiten: 1-3 Vortrag

Notenmodus: Standardbrief

MATH 77198 RESEARCH II 1-15 Kreditstunden

(Wiederholbar für Kredit) Recherche oder individuelle Untersuchung. Anrechnungspunkte werden mit Genehmigung auf die Abschlussanforderungen angerechnet, wenn die Buchstabennote "S" angegeben wird.

Voraussetzung: Doktortitel.

Zeitplantyp: Forschung

Öffnungszeiten: 1-15 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend

MATH 87098 FORSCHUNG 1-15 Kreditstunden

(Wiederholbar für Anrechnung) Recherche oder Einzeluntersuchung für Doktoranden, die ihre Kandidaturprüfung noch nicht bestanden haben. Die erworbenen Credits können auf den Abschluss angerechnet werden, wenn die Abteilung zustimmt.

Voraussetzung: Doktortitel.

Zeitplantyp: Forschung

Öffnungszeiten: 1-15 andere

Notenmodus: Standardbrief

MATH 87199 DISSERTATION I 15 Kreditstunden

(Wiederholbar für Anrechnung) Dissertation, für die eine Anmeldung in mindestens zwei Semestern erforderlich ist, wobei das erste Semester das Semester ist, in dem die Dissertation begonnen wird und bis zum Abschluss von 30 Stunden fortgesetzt wird.

Voraussetzung: Zulassung zur Promotion und Promotion.

Zeitplantyp: Dissertation

Öffnungszeiten: 15 andere

Notenmodus: Befriedigend/Unbefriedigend-IP

MATH 87299 DISSERTATION II 15 Kreditstunden

(Wiederholbar für Anrechnung) Fortsetzung der Einschreibung von Doktoranden, die die ersten 30 Stunden der Dissertation absolviert haben, und fortgesetzt, bis alle Studienvoraussetzungen erfüllt sind.


Einführung in Wahrscheinlichkeit und grundlegende Konzepte - Wahrscheinlichkeit, CBSE, Klasse 10, Mathematik Klasse 10 Anmerkungen | EduRev

EINFÜHRUNG

In unserem täglichen Gespräch verwenden wir im Allgemeinen die Sätze wie:

(Ich wahrscheinlich, Satya wird heute mein Haus besuchen.

(ii) Höchstwahrscheinlich, Megha bereitet sich auf CAT vor.

(iii) Khusboo ist ziemlich sicher ganz oben zu sein.

(iv) Chancen sind hoch, dass Regi die Organisation leiten wird.
Die Wörter "wahrscheinlich", "höchstwahrscheinlich", "ganz sicher", "Chancen" usw. beinhalten ein Element der Unsicherheit.

Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit ist die mathematische Messung der Unsicherheit.

Wahrscheinlichkeitstheorie - Es ist der Zweig der Mathematik, in dem der Grad der Unsicherheit (oder die Gewissheit des Eintretens von Ereignissen) numerisch gemessen wird.

EINIGE GRUNDLEGENDE KONZEPTE/BEDINGUNGEN

1. Experimentieren: Eine Aktion oder Operation, die zu einem gut definierten Ergebnis führen kann, wird als Experiment.

2. Deterministisches Experiment: Wenn wir ein Experiment durchführen und es unter identischen Bedingungen wiederholen, erhalten wir jedes Mal fast das gleiche Ergebnis, ein solches Experiment heißt a deterministisches Experiment.

3. Zufallsexperiment: Ein Experiment wird als Zufallsexperiment bezeichnet, wenn es die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

(i) Es hat mehr als ein mögliches Ergebnis.

(ii) Es ist nicht möglich, das Ergebnis (Ergebnis) im Voraus vorherzusagen.

Ex (i) Werfen eines Paares fairer Münzen.

(ii) Einen unvoreingenommenen Würfel werfen.

4. Ergebnisse: Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden als Ergebnisse bezeichnet.

5. Testversion: Wenn ein Experiment unter ähnlichen Bedingungen wiederholt wird und nicht jedes Mal das gleiche Ergebnis liefert, sondern eines der mehreren möglichen Ergebnisse, wird das Ergebnis als a . bezeichnet Versuch.

Ex Wenn eine Münze 100 Mal geworfen wird, wird ein Münzwurf als Versuch bezeichnet.

6. Ereignis: Die Sammlung aller oder einiger Ergebnisse eines Zufallsexperiments wird als an . bezeichnet Veranstaltung.

Ex. Angenommen, wir werfen gleichzeitig ein Paar Münzen und lassen E das Ereignis sein, bei dem wir genau einen Kopf bekommen. Dann ist die
sogar E enthält HT und TH.

Ex. Angenommen, wir würfeln und lassen E das Ereignis sein, bei dem wir eine gerade Zahl erhalten. Dann enthält das Ereignis E 2, 4 und 6.

7. Elementares oder einfaches Ereignis: Ein Ergebnis einer Studie wird als ein . bezeichnet elementares Ereignis.

HINWEIS : Ein Elementarereignis hat nur ein Element.

Ex. Lassen Sie ein Paar Münzen gleichzeitig werfen. Dann sind mögliche Ergebnisse dieses Experiments.
H H : H auf den ersten und H auf den zweiten (= E1) [H = Kopf, T = Schwanz und E = Ereignis]
HT : H als erstes und T als zweites bekommen (= E2)
TH : T zuerst und H als zweites bekommen3)
und TT : T auf den ersten und T auf den zweiten (= E4)
Hier, E1, E2, E3 und E4 sind die elementaren Ereignisse, die mit dem Zufallsexperiment des Werfens von zwei Münzen verbunden sind.

8. Zusammengesetztes Ereignis oder zusammengesetztes Ereignis oder gemischtes Ereignis: Ein Ereignis, das einem Zufallsexperiment zugeordnet ist und durch die Kombination von zwei oder mehr einfachen Ereignissen, die demselben Zufallsexperiment zugeordnet sind, erhalten wird, heißt a zusammengesetztes Ereignis.

Ein zusammengesetztes Ereignis ist ein Aggregat einiger einfacher (elementarer) Ereignisse und kann in einfache Ereignisse zerlegt werden.

Ex. Wenn wir würfeln, dann ist das Ereignis E, eine ungerade Zahl zu erhalten, ein zusammengesetztes Ereignis, da das Ereignis E die drei Elemente 1, 3 und 5 enthält, die aus drei einfachen Ereignissen E zusammengesetzt sind1, E2 und E3 mit 1, 3 und 5 bzw.

9. Gleich wahrscheinliche Ereignisse: Die Ergebnisse eines Experiments werden als gleich wahrscheinliche Ereignisse bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens weder geringer noch größer ist als bei anderen.
Mit anderen Worten, eine gegebene Anzahl von Ereignissen wird als gleich wahrscheinlich bezeichnet, wenn keines von ihnen erwartet wird
den anderen vorziehen.

Ex. Beim Werfen einer Münze sind Kopf (H) und Zahl (T) gleich wahrscheinliche Ereignisse.

EXPERIMENTELLE (ODER EMPIRISCHE) WAHRSCHEINLICHKEIT
Die experimentelle oder empirische Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses ist definiert als

HINWEIS: (i) Diese Wahrscheinlichkeiten basieren auf Ergebnissen eines tatsächlichen Experiments.
(ii) Diese Wahrscheinlichkeiten sind nur "Schätzungen", d. h. wir können in verschiedenen Experimenten unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für dasselbe Ereignis erhalten.

THEORETISCHE (ODER KLASSISCHE) WAHRSCHEINLICHKEIT
Die theoretische oder klassische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E, geschrieben als P(E), ist definiert als

wo die Ergebnisse des Experiments gleich wahrscheinlich sind.

Bsp. 1. Ein Würfel wird einmal geworfen

(i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 4 zu erhalten?

(ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl kleiner oder gleich 4 zu erhalten?

Sol. Die möglichen Ergebnisse sind 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
Sei E = das Ereignis, eine Zahl größer als 4 . zu erhalten
und F = das Ereignis, eine Zahl kleiner oder gleich 4 zu erhalten.

(i) Die für E günstigen Ergebnisse sind 5 und 6.
die Anzahl der für E günstigen Ergebnisse beträgt 2.
Daher ist P(E) = P(Zahl größer als 4)

(ii) Die für F günstigen Ergebnisse sind 1, 2, 3, 4.
die Anzahl der für F günstigen Ergebnisse beträgt 4.
Daher ist P(E) = P(Zahl kleiner oder gleich 4)

HINWEIS : Ereignisse E und F sind keine Elementarereignisse, da Ereignis E 2 Ausgänge hat und Ereignis F 4 Ausgänge hat.

EINE WICHTIGE ANMERKUNG
Beim experimentellen oder empirischen Wahrscheinlichkeitsansatz basieren die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen auf den Ergebnissen von tatsächlichen Experimenten und adäquaten Aufzeichnungen des Ereignisses, während wir beim theoretischen Ansatz der Wahrscheinlichkeit versuchen, die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse zu finden (vorherzusagen). ohne die Experimente tatsächlich durchzuführen.

EINIGE BESONDERE VERANSTALTUNGEN

UNMÖGLICHES EREIGNIS (ODER NULL-EREIGNIS) : Ein Ereignis wird als unmögliches Ereignis bezeichnet, wenn keines der Ergebnisse für das Ereignis günstig ist.
Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses = 0 .

Beispiel 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem einzigen Würfelwurf eine Zahl 8 zu erhalten?

Sol. Die möglichen Ergebnisse sind 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Sei E = das Ereignis, bei dem mit einem einzigen Würfelwurf eine Zahl 8 erreicht wird.
Offensichtlich beträgt die Anzahl der für E günstigen Ergebnisse 0 und die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse 6.
Deshalb,
Hier ist E ein unmögliches Ereignis.

SICHERES (ODER BESTIMMTES) EREIGNIS: Ein Ereignis wird als sicheres (oder bestimmtes) Ereignis bezeichnet, wenn alle möglichen Ergebnisse für das Ereignis günstig sind.

Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1.

Beispiel 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem einzigen Würfelwurf eine Zahl kleiner als 7 zu erhalten?

Sol. Die möglichen Ergebnisse sind: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Sei F = das Ereignis, bei dem mit einem einzigen Würfelwurf eine Zahl kleiner als 7 erreicht wird. Offensichtlich ist die Anzahl der Ergebnisse
günstig für F sind 1, 2, 3, 4, 5, 6. d.h. die Anzahl der für F günstigen Ergebnisse ist 6.
Deshalb
Hier ist F ein sicheres (oder bestimmtes) Ereignis.

ERGÄNZUNG EINER VERANSTALTUNG: Entsprechend jedem Ereignis E, das mit einem Zufallsexperiment verknüpft ist, gibt es ein Ereignis "nicht E", das nur eintritt, wenn E nicht eintritt.
Das Ereignis , das 'not E' darstellt, wird als Komplement des Ereignisses E bezeichnet.
E und , werden auch komplementäre Ereignisse genannt.


EIN WICHTIGES ERGEBNIS: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1.
d.h. 0 < SPORT) < 1

BEWEIS Sei m die Anzahl der günstigen Ausgänge eines Ereignisses E und n die Gesamtzahl der Ausgänge.
Dann 0 < ich < n [m darf keine negative ganze Zahl sein und m kann nicht größer als n sein]

Somit liegt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer zwischen 0 und 1.

seien die n elementaren Ereignisse, die einem Zufallsexperiment mit genau n Ergebnissen zugeordnet sind. Dann,

Bsp. 4. Ein Beutel enthält 3 rote Kugeln, 4 weiße Kugeln und 5 grüne Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen.

Sei R = das Ereignis, eine rote Kugel zu bekommen,
W = das Ereignis, einen weißen Ball zu bekommen und

G = das Ereignis, einen grünen Ball zu bekommen.

Hier ist die Gesamtzahl der Kugeln (Ergebnisse) = 3 + 4 + 5 = 12 .
[Anzahl günstiger Ergebnisse = 3]
[Anzahl günstiger Ergebnisse = 4]

und, [Anzahl günstiger Ergebnisse = 5]
Deutlich,
d.h. P(R) + P(W) + P(G) = 1.


Oberstufenkurse

MATH 300.1: Grundbegriffe der Mathematik

Mathe 132 mit der Note 'C' oder besser

Eine Einführung in das mathematische Denken (Algebra und Zahlensysteme),
von Gilbert und Vanstone, Prentice Hall, 2005.

Ziel dieses Kurses ist es, den Schülern zu helfen, die Sprache der strengen Mathematik zu erlernen. Die Studierenden lernen, Beweise für mathematische Aussagen zu lesen, zu verstehen, zu entwerfen und zu kommunizieren. Eine Reihe von Beweistechniken (Kontrapositiv, Widerspruch und insbesondere Induktion) werden hervorgehoben. Zu diskutierende Themen sind Mengentheorie (Cantors Größenbegriff für Mengen und Unendlichkeitsabstufungen, Abbildungen zwischen Mengen, Äquivalenzrelationen, Partitionen von Mengen), Grundlogik (Wahrheitstafeln, Negation, Quantoren) und Zahlentheorie (Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus , Kongruenzen). Wenn es die Zeit erlaubt, werden weitere Themen aufgenommen. Math 300 wurde entwickelt, um Schülern den Übergang von den Mathematikkursen zu den eher theoretischen Mathematikkursen der Junior-Senior-Ebene zu erleichtern.

MATH 300.2: Grundbegriffe der Mathematik

Mathe 132 mit der Note 'C' oder besser

Eine Einführung in das mathematische Denken (Algebra und Zahlensysteme),
von Gilbert und Vanstone, Prentice Hall, 2005.

Ziel dieses Kurses ist es, den Schülern zu helfen, die Sprache der strengen Mathematik zu erlernen. Die Studierenden lernen, Beweise für mathematische Aussagen zu lesen, zu verstehen, zu entwerfen und zu kommunizieren. Eine Reihe von Beweistechniken (Kontrapositiv, Widerspruch und insbesondere Induktion) werden hervorgehoben. Zu diskutierende Themen sind Mengentheorie (Cantors Größenbegriff für Mengen und Unendlichkeitsabstufungen, Abbildungen zwischen Mengen, Äquivalenzrelationen, Partitionen von Mengen), Grundlogik (Wahrheitstafeln, Negation, Quantoren) und Zahlentheorie (Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus , Kongruenzen). Wenn es die Zeit erlaubt, werden weitere Themen aufgenommen. Math 300 wurde entwickelt, um Schülern den Übergang von den Mathematikkursen zu den eher theoretischen Mathematikkursen der Junior-Senior-Ebene zu erleichtern.

MATH 300.3: Grundbegriffe der Mathematik

Mathe 132 mit einer Note von 'C' oder besser

Jay Cummings, Beweise: Ein langes Lehrbuch der Mathematik.

Ziel dieses Kurses ist es, den Schülern zu helfen, die Sprache der strengen Mathematik zu erlernen. Die Studierenden lernen, Beweise für mathematische Aussagen zu lesen, zu verstehen, zu entwerfen und zu kommunizieren. Eine Reihe von Beweistechniken (Kontrapositiv, Widerspruch und Induktion) werden hervorgehoben. Zu diskutierende Themen sind Mengentheorie (Cantors Größenbegriff für Mengen und Unendlichkeitsabstufungen, Abbildungen zwischen Mengen, Äquivalenzrelationen, Partitionen von Mengen), Grundlogik (Wahrheitstafeln, Negation, Quantoren) und Zahlentheorie (Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus , Kongruenzen). Wenn es die Zeit erlaubt, werden weitere Themen aufgenommen. Math 300 wurde entwickelt, um Schülern den Übergang von den Mathematikkursen zu den eher theoretischen Mathematikkursen der Junior-Senior-Ebene zu erleichtern.

MATH 370.1: Schreiben in Mathematik

Math 300 oder Comp Sci 250 und Abschluss der College Writing (CW)-Anforderung.

Im Wesentlichen wird alle ernsthafte Mathematik mit einer Variante der LaTeX-Software geschrieben, und die Entwicklung von Kenntnissen mit diesem Werkzeug ist ein wichtiger Bestandteil des Kurses. Wir werden verschiedene Arten des Schreibens mit Bezug zur Mathematik behandeln, wie z.B.: Kritik an Seminarpräsentationen und schriftlichen Artikeln (Auto-)Biographie von Mathematikern Expositorium Schreiben über mathematische Themen Aspekte des Schreibens eines Forschungsartikels Meinungsartikel Präzise Kurzmitteilungen (z , Tweet, Blogbeitrag, Zeitungsschlagzeile) Essays über Aspekte der mathematischen Kultur (zB Witze, Lieder, Anekdoten, soziologische Aspekte).

Erfüllt die Anforderungen des Junior Year Writing.

MATH 370.2: Schreiben in Mathematik

MATH 300 oder CS 250 und Abschluss der College Writing (CW)-Anforderung.

Wir werden das Konzept der Dimension in Geometrie und Physik beginnend von Dimension 0 bis Dimension 3 (und vielleicht 4) studieren, was zu der Poincare-Vermutung führt, die die möglichen Formen des räumlichen dreidimensionalen Universums liefert. Die verschiedenen Ideen und Standpunkte, die die Menschheit in den letzten 2000 Jahren zu diesen Themen hatte, werden Teil unserer Erforschung sein. Es wird Vorträge des Dozenten zu diesem Thema und auf Video aufgezeichnete Vorträge/Demonstrationen von bedeutenden Mathematikern geben, die an diesen Problemen gearbeitet haben. Wir werden auch (im obigen Kontext) untersuchen, wie Mathematik und Physik interagieren, warum (ob) die Mathematik das "physikalische" Universum so genau beschreibt, wie (ob) Ästhetik, Kunst, Philosophie einen Einfluss auf die Mathematik haben und wie mathematische Ideen könnten einem nicht fachkundigen Publikum vermittelt werden. Der Kurs ist um schriftliche Aufgaben strukturiert, die vom Dozenten und dem Kurs-TA begutachtet und/oder benotet werden. Im letzten Drittel des Semesters finden Gruppenprojektpräsentationen statt.
Sämtliches Schreiben muss im Textverarbeitungssystem LaTex erfolgen, das als einziges Textverarbeitungssystem in der Lage ist, ein professionelles Layout zu erstellen. Zu Beginn des Semesters findet ein Referat des UMass Career Center Direktors statt. Wir werden keine Zeit damit verbringen, Lebensläufe und Bewerbungen zu schreiben, da es reichlich Gelegenheit gibt, fachkundige Hilfe vom Career Center zu erhalten.

MATH 370.3: Schreiben in Mathematik

MATH 300 oder CS 250 und Abschluss der College Writing (CW)-Anforderung.

Im Wesentlichen wird jede ernsthafte Mathematik mit einer Variante der LaTeX-Software geschrieben, und die Entwicklung von Kenntnissen mit diesem Werkzeug ist ein wichtiger Bestandteil des Kurses. Wir werden verschiedene Arten des Schreibens mit Bezug zur Mathematik behandeln, wie z.B.: Kritik an Seminarpräsentationen und schriftlichen Artikeln (Auto-)Biographie von Mathematikern Expositorium Schreiben über mathematische Themen Aspekte des Schreibens eines Forschungsartikels Meinungsartikel Präzise Kurzmitteilungen (z , Tweet, Blogbeitrag, Zeitungsschlagzeile) Essays über Aspekte der mathematischen Kultur (zB Witze, Lieder, Anekdoten, soziologische Aspekte).

Erfüllt die Anforderungen des Junior Year Writing.

MATH 370.4: Schreiben in Mathematik

MATH 300 oder CS 250 und Abschluss der College Writing (CW)-Anforderung

Wir werden das Konzept der Dimension in Geometrie und Physik beginnend von Dimension 0 bis Dimension 3 (und vielleicht 4) studieren, was zu der Poincare-Vermutung führt, die die möglichen Formen des räumlichen dreidimensionalen Universums liefert. Die verschiedenen Ideen und Standpunkte, die die Menschheit in den letzten 2000 Jahren zu diesen Themen hatte, werden Teil unserer Erforschung sein. Es wird Vorträge des Lehrers zu diesem Thema und auf Video aufgezeichnete Vorträge/Demonstrationen von bedeutenden Mathematikern geben, die an diesen Problemen gearbeitet haben. Wir werden auch (im obigen Kontext) untersuchen, wie Mathematik und Physik interagieren, warum (ob) die Mathematik das "physikalische" Universum so genau beschreibt, wie (ob) Ästhetik, Kunst, Philosophie einen Einfluss auf die Mathematik haben und wie mathematische Ideen könnten einem nicht fachkundigen Publikum vermittelt werden. Der Kurs ist um schriftliche Aufgaben strukturiert, die vom Dozenten und dem Kurs-TA begutachtet und/oder benotet werden. Im letzten Drittel des Semesters finden Gruppenprojektpräsentationen statt.
Sämtliches Schreiben muss im Textverarbeitungssystem LaTex erfolgen, das als einziges Textverarbeitungssystem in der Lage ist, ein professionelles Layout zu erstellen. Zu Beginn des Semesters findet ein Referat des UMass Career Center Direktors statt. Wir werden keine Zeit damit verbringen, Lebensläufe und Bewerbungen zu schreiben, da es reichlich Gelegenheit gibt, fachkundige Hilfe vom Career Center zu erhalten.

MATH 397C: ST - Mathematisches Rechnen

COMPSCI 121, MATH 235 und MATH 300

In diesem Kurs geht es darum, wie man Computercode schreibt und verwendet, um Probleme in der reinen und angewandten Mathematik zu erforschen und zu lösen. Der erste Teil des Kurses wird eine Einführung in die Programmierung in Python sein. Der Rest des Kurses (und sein Ziel) besteht darin, den Studenten zu helfen, die Fähigkeiten zu entwickeln, mathematische Probleme und Lösungstechniken in Algorithmen und Code zu übersetzen. Die Studierenden arbeiten gemeinsam an Gruppenprojekten mit einer Vielzahl von Anwendungen im gesamten Curriculum.

MATH 411.1: Einführung in die abstrakte Algebra I

Math 235 Math 300 oder CS 250.

Einführung in Gruppen, Ringe, Felder, Vektorräume und verwandte Konzepte. Der Schwerpunkt liegt auf der Entwicklung sorgfältiger mathematischer Argumentation.

MATH 411.2: Einführung in die abstrakte Algebra I

MATH 235 MATH 300 oder CS 250

"Abstrakte Algebra" von Saracino, Dan. 2. Auflage. ISBN: 9781577665366

Einführung in Gruppen, Ringe, Felder, Vektorräume und verwandte Konzepte. Der Schwerpunkt liegt auf der Entwicklung sorgfältiger mathematischer Argumentation.

MATH 411.3: Einführung in die abstrakte Algebra I

MATH 235 MATH 300 oder CS 250.

Einführung in Gruppen, Ringe, Felder, Vektorräume und verwandte Konzepte. Der Schwerpunkt liegt auf der Entwicklung sorgfältiger mathematischer Argumentation.

MATH 421: Komplexe Variablen

Complex Analysis for Mathematics and Engineering, von John H. Mathews und Russell W. Howell. (Jede Ausgabe kann verwendet werden.)

Eine Einführung in Funktionen einer komplexen Variablen. Themen sind: Komplexe Zahlen, Funktionen einer komplexen Variablen und deren Ableitungen (Cauchy-Riemann-Gleichungen). Harmonische Funktionen. Konturintegration und Cauchys Integralformel. Liouville-Theorem, Maximum-Modulus-Theorem und Fundamental Theorem of Algebra. Taylor- und Laurent-Reihe. Klassifizierung isolierter Singularitäten. Auswertung unechter Integrale über Reste. Konforme Abbildungen.

MATH 437: Versicherungsmathematische Finanzmathematik

Mathematik 131 und 132 oder gleichwertige Kurse mit C oder besser

ASM Study Manual for Exam FM Von: Cherry & Shaban Ausgabe: 14. oder spätere Ausgabe
Rechner: BA II Plus Texas Instruments

Dieser 3-Kredit-Stunden-Kurs dient als Vorbereitung auf die zweite versicherungsmathematische Prüfung der SOA in Finanzmathematik, bekannt als Exam FM oder Exam 2. Der Kurs vermittelt ein Verständnis der grundlegenden Konzepte der Finanzmathematik und wie diese Konzepte bei der Berechnung von Gegenwart und Kumulierung angewendet werden Werte für verschiedene Cashflow-Ströme als Grundlage für die zukünftige Verwendung in: Reservierung, Bewertung, Preisbildung, Aktiv-/Passiv-Management, Kapitalerträge, Kapitalplanung und Bewertung von bedingten Cashflows. Zu den Hauptthemen gehören Zeitwert des Geldes, Renten, Kredite, Anleihen, allgemeine Zahlungsströme und Portfolios, Immunisierung, Zinsswaps und Zinsdeterminanten usw. Viele Fragen aus der alten FM-Prüfung werden im Kurs geübt.

MATH 455: Einführung in diskrete Strukturen

Infinitesimalrechnung (MATH 131, 132, 233), Lineare Algebra (MATH 235) und Math 300 oder CS 250.

Combinatorics and Graph Theory, von Harris, Hirst und Mossinghoff, Zweite Auflage, Springer-Verlag.

Ein pdf dieses Buches kann kostenlos von der Universitätsbibliothek heruntergeladen werden. Ein Print-on-Demand-Softcover ist ebenfalls für 25 US-Dollar erhältlich.

Dies ist eine gründliche Einführung in einige Themen der Mathematik, die den Bereichen der Informatik und Computertechnik zugrunde liegen, darunter Graphen und Bäume, Spannbäume und Matching des Schubladenprinzips, Induktion und Rekursion, Generierungsfunktionen und diskrete Wahrscheinlichkeitsbeweise (sofern es die Zeit erlaubt). Der Kurs integriert das Erlernen mathematischer Theorien mit Anwendungen auf konkrete Probleme aus anderen Disziplinen unter Verwendung diskreter Modellierungstechniken. Schülergruppen werden gebildet, um ein Konzept oder eine Anwendung in Bezug auf die diskrete Mathematik zu untersuchen, und jede Gruppe wird ihre Ergebnisse in einer Abschlusspräsentation der Klasse vorlegen. Dieser Kurs erfüllt die Integrative Experience (IE)-Anforderung der Universität für Mathematik-Majors.

MATH 456.1: Mathematische Modellierung

Math 233 und Math 235 (und Differentialgleichungen, Math 331, wird empfohlen). Kenntnisse in einer Programmiersprache sind wünschenswert (Mathematica, Matlab o.ä.)

Wir lernen, mathematische Modelle zu erstellen, zu verwenden und zu kritisieren. Bei der Modellierung übersetzen wir wissenschaftliche Fragestellungen in mathematische Sprache und wollen damit die untersuchten wissenschaftlichen Phänomene erklären. Modelle können einfach oder sehr komplex, leicht verständlich oder extrem schwer zu analysieren sein. Wir stellen einige klassische Modelle aus verschiedenen Wissenschaftszweigen vor, die als Prototypen für alle Modelle dienen. Schülergruppen werden gebildet, um ein Modellierungsproblem selbst zu untersuchen, und jede Gruppe wird ihre Ergebnisse in einer Abschlusspräsentation der Klasse berichten. Die Wahl der Modellierungsthemen wird maßgeblich von den Interessen und dem Hintergrund der eingeschriebenen Studierenden bestimmt. Erfüllt die Integrative Experience-Anforderung für die Hauptfächer BA-Math und BS-Math. Voraussetzungen: Infinitesimalrechnung (Mathematik 131, 132, 233), erforderlich Lineare Algebra (Mathematik 235) und Differentialgleichungen (Mathematik 331), oder Erlaubnis des Lehrers erforderlich

MATH 456.2: Mathematische Modellierung

Math 235 und Math 300/CS 250. Eine gewisse Vertrautheit mit einer Programmiersprache ist sehr wünschenswert (Python, Java, Matlab, etc.).

Dieser Kurs ist eine Einführung in die mathematische Modellierung. Das Hauptziel der Klasse ist zu lernen, wie man reale Probleme in quantitative Begriffe übersetzt, um sie zu interpretieren, Verbesserungsvorschläge und zukünftige Vorhersagen zu machen. Da dies ein zu breites Thema für ein Semester ist, konzentriert sich diese Klasse auf lineare und ganzzahlige Programmierung, um Probleme der realen Welt zu untersuchen, die reale Menschen betreffen. Der Kurs gipfelt in einem abschließenden Modellierungsprojekt, bei dem verschiedene Aspekte eines Community-Partners optimiert werden. Dieser Kurs erfüllt die Anforderungen der integrativen Erfahrung für die Hauptfächer BA-Math und BS-Math.

MATH 461: Affine und projektive Geometrie

Wir werden verschiedene Ansätze zur Geometrie untersuchen: Konstruktionen mit Lineal und Zirkel, axiomatischer Ansatz von Euklid und Hilbert, analytische Geometrie über lineare Algebra und Kleins Ansatz mit Symmetrien und Transformationen. Dies wird die Türen zu vielen nicht-euklidischen Geometrien öffnen. Die projektive und sphärische Geometrie werden im Detail untersucht.

MATH 471: Zahlentheorie

Math 233 und 235. Math 300 oder CS 250 als zusätzliche Voraussetzung ist nicht zwingend erforderlich, aber sehr empfehlenswert.

Grundlegende Eigenschaften der positiven ganzen Zahlen einschließlich Kongruenzarithmetik, Primzahlentheorie, quadratische Reziprozität und Kettenbrüche. Wenn es die Zeit erlaubt, können einige zusätzliche Themen besprochen werden. Um beim Erlernen dieser Materialien zu helfen, werden den Schülern Rechenprojekte mit Computeralgebra-Software zugewiesen.

MATH 497K: ST - Knotentheorie

Math 235 Math 300 oder CS 250. Math 411 wird als zusätzliche Voraussetzung dringend empfohlen.

Das Knotenbuch von Colin Adams

Knotentheorie von Charles Livingston

Einführung in die faszinierende Theorie der Knoten, Verbindungen und Flächen in 3- und 4-dimensionalen Räumen. In diesem Kurs werden geometrische, algebraische und kombinatorische Methoden kombiniert, wobei die Studierenden lernen, wie man Visualisierung verwendet und rigoros argumentiert.

MATH 523H: Einführung in die moderne Analysis

Elementaranalyse: Theory of Calculus, von Kenneth Ross. Springer

Dieser Kurs ist eine Einführung in die mathematische Analysis. Es wird eine strenge Behandlung der in der Analysis behandelten Themen mit besonderem Schwerpunkt auf Beweisen gegeben. Themen sind: Eigenschaften reeller Zahlen, Folgen und Reihen, Stetigkeit, Riemann-Integral, Differenzierbarkeit, Folgen von Funktionen und gleichmäßige Konvergenz.

MATH 532H: Nichtlineare Dynamik

Math 235 (Lineare Algebra), Math 331 (Differentialgleichungen) und die Kalkülfolge (Math 131, 132, 233) oder äquivalenter Hintergrund in elementaren Differentialgleichungen, linearer Algebra und Analysis

Dieser Kurs bietet eine Einführung in Differentialgleichungssysteme und dynamische Systeme sowie in die chaotische Dynamik und bietet gleichzeitig eine bedeutende Reihe von Verbindungen zu Phänomenen, die durch diese Ansätze in den Ingenieurwissenschaften, der Chemie, der Biologie und den Sozialwissenschaften modelliert wurden. Aus mathematischer Sicht werden geometrische und analytische Methoden zur Beschreibung des Verhaltens von Lösungen entwickelt und im Kontext niederdimensionaler Systeme dargestellt, darunter Verhalten nahe Fixpunkten und periodischen Bahnen, Phasenporträts, Lyapunov-Stabilität, Hamiltonsche Systeme, Bifurkationsphänomene, und chaotische Dynamik. Aus Anwendungssicht werden zahlreiche spezifische Anwendungen angesprochen, die von epidemiologischen Modellen bis hin zu chemischen Reaktionen und von Lasern bis hin zur Synchronisation von Glühwürmchen reichen. Zusätzlich zu den theoretischen und modellierenden Aspekten der Klasse wird eine in sich geschlossene Komponente des maschinellen Lernens vorgestellt und entwickelt, die sowohl die Vorwärtssimulation als auch das statistische Lernen dynamischer Systeme aus Daten ermöglicht. Es werden jedoch keine Vorkenntnisse zu Machine Learning Tools vorausgesetzt.

MATH 537.1: Einführung in die Finanzmathematik

Ein-Variablen-Kalkül (Math 131, 132), Wahrscheinlichkeit mit Kalkül (Stats 515), Mehr-Variablen-Kalkül bis zum Niveau der Kettenregel für partielle Ableitungen (Math 233).

Dieser Kurs ist eine Einführung in die mathematischen Modelle, die in den Finanz- und Wirtschaftswissenschaften verwendet werden, mit besonderem Schwerpunkt auf Modellen zur Preisbildung von Finanzinstrumenten oder "Derivaten". Das zentrale Thema werden Optionen sein, die in der Black-Scholes-Formel gipfeln. Ziel ist es, die Ableitung der Modelle aus den Grundprinzipien der Ökonomie zu verstehen und die notwendigen mathematischen Werkzeuge für ihre Analyse bereitzustellen.

MATH 537.2: Einführung in die Finanzmathematik

Ein-Variablen-Kalkül (Math 131, 132), Wahrscheinlichkeit mit Kalkül (Stats 515), Mehr-Variablen-Kalkül bis zum Niveau der Kettenregel für partielle Ableitungen (Math 233).

Dieser Kurs ist eine Einführung in die mathematischen Modelle, die in den Finanz- und Wirtschaftswissenschaften verwendet werden, mit besonderem Schwerpunkt auf Modellen zur Preisbildung von Finanzinstrumenten oder "Derivaten". Das zentrale Thema werden Optionen sein, die in der Black-Scholes-Formel gipfeln. Ziel ist es, die Ableitung der Modelle aus den Grundprinzipien der Ökonomie zu verstehen und die notwendigen mathematischen Werkzeuge für ihre Analyse bereitzustellen.

MATH 545.1: Lineare Algebra für die angewandte Mathematik

Math 233 und 235 mit einer Note von C oder besser und entweder Math 300 oder CS 250

Grundbegriffe (über reelle oder komplexe Zahlen): Vektorräume, Basis, Dimension, lineare Transformationen und Matrizen, Basiswechsel, Ähnlichkeit. Studie eines einzelnen linearen Operators: minimales und charakteristisches Polynom, Eigenwerte, invariante Unterräume, Dreiecksform, Satz von Cayley-Hamilton. Innere Produkträume und spezielle Typen von linearen Operatoren (über reellen oder komplexen Körpern): orthogonal, unitär, selbstadjungiert, hermitesch. Diagonalisierung symmetrischer Matrizen, Anwendungen.

MATH 545.2: Lineare Algebra für die angewandte Mathematik

Math 233 und 235 mit einer Note von C oder besser und entweder Math 300 oder CS 250

Gilbert Strang, "Lineare Algebra und ihre Anwendungen", 4. Auflage.

Grundbegriffe (über reelle oder komplexe Zahlen): Vektorräume, Basis, Dimension, lineare Transformationen und Matrizen, Basiswechsel, Ähnlichkeit. Studie eines einzelnen linearen Operators: minimales und charakteristisches Polynom, Eigenwerte, invariante Unterräume, Dreiecksform, Satz von Cayley-Hamilton. Innere Produkträume und spezielle Typen von linearen Operatoren (über reellen oder komplexen Körpern): orthogonal, unitär, selbstadjungiert, hermitesch. Diagonalisierung symmetrischer Matrizen, Anwendungen.

MATH 545.3: Lineare Algebra für die angewandte Mathematik

Math 233 und 235 mit einer Note von C oder besser und entweder Math 300 oder CS 250

Grundbegriffe (über reelle oder komplexe Zahlen): Vektorräume, Basis, Dimension, lineare Transformationen und Matrizen, Basiswechsel, Ähnlichkeit. Studie eines einzelnen linearen Operators: minimales und charakteristisches Polynom, Eigenwerte, invariante Unterräume, Dreiecksform, Satz von Cayley-Hamilton. Innere Produkträume und spezielle Typen von linearen Operatoren (über reellen oder komplexen Körpern): orthogonal, unitär, selbstadjungiert, hermitesch. Diagonalisierung symmetrischer Matrizen, Anwendungen.

MATH 551.1: Intr. Wissenschaftliches rechnen

MATH 233 und 235 und CS 121 oder Kenntnisse einer wissenschaftlichen Programmiersprache wie Java, C, Python oder Matlab.

Einführung in Computertechniken, die in Wissenschaft und Industrie verwendet werden. Themen ausgewählt aus Wurzelfindung, Interpolation, Datenanpassung, lineare Systeme, numerische Integration, numerische Lösung von Differentialgleichungen und Fehleranalyse.

MATH 551.2: Intr. Wissenschaftliches rechnen

MATH 233 und 235 und CS 121 oder Kenntnisse einer wissenschaftlichen Programmiersprache wie Java, C, Python oder MATLAB.

Einführung in Computertechniken, die in Wissenschaft und Industrie verwendet werden. Themen ausgewählt aus Wurzelfindung, Interpolation, Datenanpassung, lineare Systeme, numerische Integration, numerische Lösung von Differentialgleichungen und Fehleranalyse.

MATH 551.3: Intr. Wissenschaftliches rechnen

MATH 233 und 235 und CS 121 oder Kenntnisse einer wissenschaftlichen Programmiersprache wie Java, C, Python oder MATLAB.

Einführung in Computertechniken, die in Wissenschaft und Industrie verwendet werden. Themen ausgewählt aus Wurzelfindung, Interpolation, Datenanpassung, lineare Systeme, numerische Integration, numerische Lösung von Differentialgleichungen und Fehleranalyse.

STAT 297F.1: ST - Grundlegende Konzepte/Statistiken

Statistical Inference via Data Science, Chester Ismay und Albert Y. Kim, 2020. Online-Ausgabe frei verfügbar: https://moderndive.com/

Dieser Kurs ist eine Einführung in die grundlegenden Prinzipien der Statistikwissenschaft. Es beruht nicht auf detaillierten Ableitungen mathematischer Konzepte, sondern erfordert mathematische Raffinesse und Argumentation. Es ist eine Einführung in statistisches Denken/Argumentieren, Datenmanagement, statistische Analyse und statistische Berechnung. Die Konzepte in diesem Kurs werden später im statistischen Curriculum mit größerer mathematischer Strenge entwickelt, einschließlich in STAT 515, 516, 525 und 535. Es soll der erste Kurs in Statistik sein, der von an Statistik interessierten Mathematik-Hauptfächern belegt wird. Zu den behandelten Konzepten gehören Punktschätzung, Intervallschätzung, Vorhersage, Testen und Regression, wobei der Schwerpunkt auf Stichprobenverteilungen und den Eigenschaften statistischer Verfahren liegt. Der Kurs wird praxisnah gelehrt, wobei leistungsstarke Statistiksoftware vorgestellt wird, die in der Praxis verwendet wird, und Methoden für deskriptive Statistik, Visualisierung und Datenmanagement umfasst.

STAT 297F.2: ST - Grundlegende Konzepte/Statistiken

Dieser Kurs ist eine Einführung in die grundlegenden Prinzipien der Statistikwissenschaft. Es beruht nicht auf detaillierten Ableitungen mathematischer Konzepte, sondern erfordert mathematische Raffinesse und Argumentation. Es ist eine Einführung in statistisches Denken/Argumentieren, Datenmanagement, statistische Analyse und statistische Berechnung. Die Konzepte in diesem Kurs werden später im statistischen Curriculum mit größerer mathematischer Strenge entwickelt, einschließlich in STAT 515, 516, 525 und 535. Es soll der erste Kurs in Statistik sein, der von an Statistik interessierten Mathematik-Hauptfächern belegt wird. Zu den behandelten Konzepten gehören Punktschätzung, Intervallschätzung, Vorhersage, Test und Regression, wobei der Schwerpunkt auf Stichprobenverteilungen und den Eigenschaften statistischer Verfahren liegt. Der Kurs wird praxisnah gelehrt, wobei leistungsstarke statistische Software vorgestellt wird, die in der Praxis verwendet wird, und Methoden für deskriptive Statistik, Visualisierung und Datenmanagement umfasst.

STAT 501: Methoden der angewandten Statistik

Kenntnisse in High School Algebra, Junior Standing oder höher.

Lehrbuch: Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik,
von Mendenhall, Beaver and Beaver, 14. Auflage, Verlag: Brooks/Cole

Für Absolventen und Studenten der Oberstufe, mit Schwerpunkt auf praktischen Aspekten statistischer Methoden. Themen sind: Datenbeschreibung und -darstellung, Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariablen, Zufallsauswahl, Schätzung und Hypothesenprüfung, Ein- und Zweistichprobenprobleme, Varianzanalyse, einfache und multiple lineare Regression, Kontingenztabellen. Beinhaltet Datenanalyse mit einem Computerpaket (R)

STAT 515.1: Einführung in die Statistik I

Mathe 131-132 mit einer Note von „C“ oder besser in Math 132. Kenntnisse der Multivariablenrechnung sind sehr nützlich, aber notwendige Konzepte werden eingeführt.

Dieser Kurs bietet eine rechnungsbasierte Einführung in die Wahrscheinlichkeit (ein Schwerpunkt auf probabilistischen Konzepten, die in der statistischen Modellierung verwendet werden) und den Beginn der statistischen Inferenz (Fortsetzung in Stat516). Die Abdeckung umfasst grundlegende Wahrscheinlichkeitsaxiome, Stichprobenräume, Zählregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen (und verschiedene zugehörige diskrete und kontinuierliche Verteilungen), Erwartung, Varianz, Kovarianz und Korrelation, Wahrscheinlichkeitsungleichungen, den zentralen Grenzwertsatz, die Poisson-Approximation und Stichprobenverteilungen. Einführung in grundlegende Konzepte der Schätzung (Bias, Standardfehler usw.) und Konfidenzintervalle.

STAT 515.2: Einführung in die Statistik I

Ausbilder TBA MWF 11:15-12:05

Mathe 131-132 mit einer Note von „C“ oder besser in Math 132. Kenntnisse der Multivariablenrechnung sind sehr nützlich, aber notwendige Konzepte werden eingeführt.

Dieser Kurs bietet eine rechnungsbasierte Einführung in die Wahrscheinlichkeit (ein Schwerpunkt auf probabilistischen Konzepten, die in der statistischen Modellierung verwendet werden) und den Beginn der statistischen Inferenz (Fortsetzung in Stat516). Die Abdeckung umfasst grundlegende Wahrscheinlichkeitsaxiome, Stichprobenräume, Zählregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen (und verschiedene zugehörige diskrete und kontinuierliche Verteilungen), Erwartung, Varianz, Kovarianz und Korrelation, Wahrscheinlichkeitsungleichungen, den zentralen Grenzwertsatz, die Poisson-Approximation und Stichprobenverteilungen. Einführung in grundlegende Konzepte der Schätzung (Bias, Standardfehler usw.) und Konfidenzintervalle.

STAT 515.3: Einführung in die Statistik I

Ausbilder TBA MWF 10:10-11:00

Mathe 131-132 mit einer Note von „C“ oder besser in Math 132. Kenntnisse der Multivariablenrechnung sind sehr nützlich, aber notwendige Konzepte werden eingeführt.

Dieser Kurs bietet eine rechnungsbasierte Einführung in die Wahrscheinlichkeit (ein Schwerpunkt auf probabilistischen Konzepten, die in der statistischen Modellierung verwendet werden) und den Beginn der statistischen Inferenz (Fortsetzung in Stat516). Die Abdeckung umfasst grundlegende Wahrscheinlichkeitsaxiome, Stichprobenräume, Zählregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen (und verschiedene zugehörige diskrete und kontinuierliche Verteilungen), Erwartung, Varianz, Kovarianz und Korrelation, Wahrscheinlichkeitsungleichungen, den zentralen Grenzwertsatz, die Poisson-Approximation und Stichprobenverteilungen. Einführung in grundlegende Konzepte der Schätzung (Bias, Standardfehler usw.) und Konfidenzintervalle.

STAT 515.4: Einführung in die Statistik I

Mathe 131-132 mit einer Note von „C“ oder besser in Math 132. Kenntnisse der Multivariablenrechnung sind sehr nützlich, aber notwendige Konzepte werden eingeführt.

Dieser Kurs bietet eine rechnungsbasierte Einführung in die Wahrscheinlichkeit (ein Schwerpunkt auf probabilistischen Konzepten, die in der statistischen Modellierung verwendet werden) und den Beginn der statistischen Inferenz (Fortsetzung in Stat516). Die Abdeckung umfasst grundlegende Wahrscheinlichkeitsaxiome, Stichprobenräume, Zählregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen (und verschiedene zugehörige diskrete und kontinuierliche Verteilungen), Erwartung, Varianz, Kovarianz und Korrelation, Wahrscheinlichkeitsungleichungen, den zentralen Grenzwertsatz, die Poisson-Approximation und Stichprobenverteilungen. Einführung in grundlegende Konzepte der Schätzung (Bias, Standardfehler usw.) und Konfidenzintervalle.

STAT 515.5: Einführung in die Statistik I

Mathe 131-132 mit einer Note von „C“ oder besser in Math 132. Kenntnisse der Multivariablenrechnung sind sehr nützlich, aber notwendige Konzepte werden eingeführt.

Mathematische Statistik mit Anwendungen, Autoren: Wackerly, Mendenhall, Schaeffer (ISBN-13: 978-0495110811), Ausgabe: 7.

Dieser Kurs bietet eine rechnungsbasierte Einführung in die Wahrscheinlichkeit (ein Schwerpunkt auf probabilistischen Konzepten, die in der statistischen Modellierung verwendet werden) und den Beginn der statistischen Inferenz (Fortsetzung in Stat516). Die Abdeckung umfasst grundlegende Wahrscheinlichkeitsaxiome, Stichprobenräume, Zählregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen (und verschiedene zugehörige diskrete und kontinuierliche Verteilungen), Erwartung, Varianz, Kovarianz und Korrelation, Wahrscheinlichkeitsungleichungen, den zentralen Grenzwertsatz, die Poisson-Approximation und Stichprobenverteilungen. Einführung in grundlegende Konzepte der Schätzung (Bias, Standardfehler usw.) und Konfidenzintervalle.

STAT 515.6: Einführung in die Statistik I

Mathe 131-132 mit einer Note von „C“ oder besser in Math 132. Kenntnisse der Multivariablenrechnung sind sehr nützlich, aber notwendige Konzepte werden eingeführt.

Dieser Kurs bietet eine rechnungsbasierte Einführung in die Wahrscheinlichkeit (ein Schwerpunkt auf probabilistischen Konzepten, die in der statistischen Modellierung verwendet werden) und den Beginn der statistischen Inferenz (Fortsetzung in Stat516). Die Abdeckung umfasst grundlegende Wahrscheinlichkeitsaxiome, Stichprobenräume, Zählregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen (und verschiedene zugehörige diskrete und kontinuierliche Verteilungen), Erwartung, Varianz, Kovarianz und Korrelation, Wahrscheinlichkeitsungleichungen, den zentralen Grenzwertsatz, die Poisson-Approximation und Stichprobenverteilungen. Einführung in grundlegende Konzepte der Schätzung (Bias, Standardfehler usw.) und Konfidenzintervalle.

STAT 516.1: Statistik II

Stat 515 oder 515H mit der Note „C“ oder besser

Fortsetzung von Stat 515. Übergeordnetes Ziel der Lehrveranstaltung ist die Entwicklung grundlegender Theorien und Methoden der statistischen Inferenz aus mathematischer und probabilistischer Perspektive. Zu den Themen gehören: Stichprobenverteilungen Punktschätzer und ihre Eigenschaften Methode der Momentenmaximum-Likelihood-Schätzung Rao-Blackwell-Theorem-Konfidenzintervalle, Hypothesentest-Kontingenztabellen und nicht-parametrische Methoden (sofern es die Zeit erlaubt).

STAT 516.2: Statistik II

Stat 515 oder 515H mit der Note „C“ oder besser

Fortsetzung von Stat 515. Übergeordnetes Ziel der Lehrveranstaltung ist die Entwicklung grundlegender Theorien und Methoden der statistischen Inferenz aus mathematischer und probabilistischer Perspektive. Zu den Themen gehören: Stichprobenverteilungen Punktschätzer und ihre Eigenschaften Methode der Momentenmaximum-Likelihood-Schätzung Rao-Blackwell-Theorem-Konfidenzintervalle, Hypothesentest-Kontingenztabellen und nicht-parametrische Methoden (sofern es die Zeit erlaubt).

STAT 516.3: Statistik II

Ausbilder TBA Di 8:30-9:45

Stat 515 oder 515H mit der Note „C“ oder besser

Fortsetzung von Stat 515. Übergeordnetes Ziel der Lehrveranstaltung ist die Entwicklung grundlegender Theorien und Methoden der statistischen Inferenz aus mathematischer und probabilistischer Perspektive. Zu den Themen gehören: Stichprobenverteilungen Punktschätzer und ihre Eigenschaften Methode der Momentenmaximum-Likelihood-Schätzung Rao-Blackwell-Theorem-Konfidenzintervalle, Hypothesentest-Kontingenztabellen und nicht-parametrische Methoden (sofern es die Zeit erlaubt).

STAT 516.4: Statistik II

Ausbilder TBA Di 2:30-3:45

Stat 515 oder 515H mit der Note „C“ oder besser

Fortsetzung von Stat 515. Übergeordnetes Ziel der Lehrveranstaltung ist die Entwicklung grundlegender Theorien und Methoden zur statistischen Inferenz aus mathematischer und probabilistischer Perspektive. Zu den Themen gehören: Stichprobenverteilungen Punktschätzer und ihre Eigenschaften Methode der Momentenmaximum-Likelihood-Schätzung Rao-Blackwell-Theorem-Konfidenzintervalle, Hypothesentest-Kontingenztabellen und nicht-parametrische Methoden (sofern es die Zeit erlaubt).

STAT 525.1: Regressionsanalyse

Stat 516 oder gleichwertig: Frühere Studienleistungen in Wahrscheinlichkeit und Statistik, einschließlich Kenntnisse in Schätzungen, Konfidenzintervallen und Hypothesentests und deren Verwendung in mindestens einer oder zwei Stichprobenproblemen Stat 515 ist NICHT ausreichend Hintergrund für diesen Kurs. Kenntnisse in der grundlegenden Matrixnotation und -operationen sind hilfreich.

Applied Linear Regression Models von Kutner, Nachsteim und Neter (4. Auflage) oder Applied Linear Statistical Models von Kutner, Nachtsteim, Neter und Li (5. Auflage). Beide erschienen bei McGraw-Hill/Irwin.

Die ersten 14 Kapitel von Applied Linear Statistical Models (ALSM) sind GENAU äquivalent zu den 14 Kapiteln von Applied Linear Regression Models, 4. Aufl., mit der gleichen Paginierung. Die zweite Hälfte von ALSM umfasst experimentelles Design und Varianzanalyse und wird in unserem STAT 526 verwendet. Wenn Sie STAT 526 nehmen möchten, sollten Sie die Applied Linear Statistical Models kaufen (aber es ist ein umfangreiches Buch).

Die Regressionsanalyse ist die am häufigsten verwendete statistische Technik mit Anwendung in fast allen erdenklichen Bereichen. Der Schwerpunkt dieses Kurses liegt auf einem sorgfältigen Verständnis von Regressionsmodellen und zugehörigen Methoden der statistischen Inferenz, Datenanalyse, Ergebnisinterpretation, statistischen Berechnung und Modellbildung. Zu den behandelten Themen gehören einfache und multiple lineare Regressionskorrelation die Verwendung von Dummy-Variablen Residuen und Diagnose Modellbildung/Variablenauswahl zum Ausdrücken von Regressionsmodellen und Methoden in Matrixform eine Einführung in die gewichtete kleinste Quadrate, Regression mit korrelierten Fehlern und nichtlineare Regression. Umfangreiche Datenanalyse mit R oder SAS (keine vorherige Computererfahrung vorausgesetzt). Erfordert vorherige Kursarbeit in Statistik, vorzugsweise ST516, und grundlegende Matrixalgebra. Erfüllt die Integrative Experience-Anforderung für BA-Math und BS-Math-Majors.

STAT 525.2: Regressionsanalyse

Stat 516 oder gleichwertig: Frühere Studienleistungen in Wahrscheinlichkeit und Statistik, einschließlich Kenntnisse in Schätzungen, Konfidenzintervallen und Hypothesentests und deren Verwendung in mindestens einer oder zwei Stichprobenproblemen. Stat 515 ist NICHT ausreichend Hintergrund für diesen Kurs. Kenntnisse in der grundlegenden Matrixnotation und -operationen sind hilfreich.

Die Regressionsanalyse ist die am häufigsten verwendete statistische Technik mit Anwendung in fast allen erdenklichen Bereichen. Der Schwerpunkt dieses Kurses liegt auf einem sorgfältigen Verständnis von Regressionsmodellen und zugehörigen Methoden der statistischen Inferenz, Datenanalyse, Ergebnisinterpretation, statistischen Berechnung und Modellbildung. Zu den behandelten Themen gehören einfache und multiple lineare Regressionskorrelation die Verwendung von Dummy-Variablen Residuen und Diagnose Modellbildung/Variablenauswahl zum Ausdrücken von Regressionsmodellen und Methoden in Matrixform eine Einführung in die gewichtete kleinste Quadrate, Regression mit korrelierten Fehlern und nichtlineare Regression. Umfangreiche Datenanalyse mit R oder SAS (keine vorherige Computererfahrung vorausgesetzt). Erfordert vorherige Kursarbeit in Statistik, vorzugsweise ST516, und grundlegende Matrixalgebra. Erfüllt die Integrative Experience-Anforderung für BA-Math und BS-Math.

STAT 535.1: Statistische Berechnungen

Dieser Kurs bietet eine Einführung in grundlegende Konzepte der Informatik, die für die statistische Analyse großer Datensätze relevant sind. Die Studierenden werden in einem Team zusammenarbeiten, um Analysen von realen Datensätzen zu entwerfen und zu implementieren und ihre Ergebnisse mit mathematischen, verbalen und visuellen Mitteln zu kommunizieren. Die Studierenden lernen, rechnerische Komplexität zu analysieren und eine geeignete Datenstruktur für ein Analyseverfahren auszuwählen. Die Studierenden lernen und verwenden die Python-Sprache, um Datenstrukturen und statistische Algorithmen zu implementieren und zu studieren.

STAT 535.2: Statistische Berechnungen

Dieser Kurs kann aus der Ferne absolviert werden. Bitte melden Sie sich an und kontaktieren Sie den Dozenten, wenn Sie den Kurs aus der Ferne belegen möchten.

Diese Klasse trifft sich auf dem Newton Campus von UMass-Amherst.

In diesem Kurs werden Computerwerkzeuge vorgestellt, die für die statistische Analyse erforderlich sind, einschließlich Datenerfassung aus Datenbanken, Datenexploration und -analyse, numerische Analyse und Ergebnispräsentation. Zu den fortgeschrittenen Themen gehören Parallel Computing, Simulation und Optimierung sowie Paketerstellung. Die Klasse wird in einer modernen statistischen Computersprache unterrichtet.

STAT 598C: Statistisches Beratungspraktikum (1 cr)

Absolventenstatus, STAT 515, 516, 525 oder gleichwertig und Zustimmung des Ausbilders.

Dieser Kurs bietet ein Forum für die Ausbildung in statistischer Beratung. Die Anwendung statistischer Methoden auf reale Problemstellungen sowie zwischenmenschliche und kommunikative Aspekte der Beratung werden im Beratungsumfeld erforscht. Studierende, die in dieser Klasse eingeschrieben sind, werden berechtigt, Beratungsprojekte als Berater in der Gruppe Statistische Beratungs- und Kooperationsdienste im Fachbereich Mathematik und Statistik durchzuführen. Während des Semesters anfallende Beratungsprojekte werden den im Studiengang eingeschriebenen Studierenden nach Vorbildung, Interessen und Verfügbarkeit zugeordnet. Die Übernahme von Beratungsprojekten ist nicht erforderlich, jedoch wird von den immatrikulierten Studierenden ein Interesse an der Beratung erwartet. Der Kurs wird einige vorgestellte Unterrichtsmaterialien enthalten. Der größte Teil des Kurses wird der Diskussion des Status und der Probleme in den laufenden Beratungsprojekten der Studenten gewidmet sein.


Addieren: Kindern helfen, Mathematik zu lernen (2001)

Kinder beginnen mit dem Mathematikunterricht lange bevor sie in die Grundschule kommen. Vom Säuglingsalter an und während der gesamten Vorschulzeit entwickeln sie eine Basis von Fähigkeiten, Konzepten und Missverständnissen über Zahlen und Mathematik. Der Stand der mathematischen Entwicklung der Kinder zu Beginn der Einschulung bestimmt, was sie lernen müssen, um mathematische Fähigkeiten zu erlangen, und weist darauf hin, wie diese Fähigkeiten erworben werden können.

In Kapitel 4 wurde ein Rahmen zur Beschreibung mathematischer Kenntnisse in Form einer Reihe von miteinander verwobenen Strängen entworfen. Dieser Rahmen ist nützlich, um über die Fähigkeiten und das Wissen nachzudenken, die Kinder in die Schule mitbringen, sowie über die Grenzen der mathematischen Kompetenz von Vorschulkindern. Die Anwendung des Rahmens auf die Erforschung des mathematischen Denkens von Vorschulkindern ist auch ein gutes Beispiel dafür, wie die Kompetenzstränge miteinander verwoben und voneinander abhängig sind. Das mathematische Denken von Vorschulkindern beruht auf einer Kombination aus konzeptionellem Verständnis, prozessualer Gewandtheit, strategischer Kompetenz, adaptivem Denken und produktiver Disposition. In den letzten 25 Jahren haben Entwicklungspsychologen und Mathematikpädagogen erhebliche Fortschritte beim Verständnis der Interaktionen dieser Stränge gemacht. In diesem Kapitel beschreiben wir den aktuellen Wissensstand über die Fähigkeiten, die Kinder in die Schule mitbringen, einige der Faktoren, die für Einschränkungen ihrer mathematischen Kompetenz verantwortlich sind, und das derzeitige Verständnis darüber, was getan werden kann, um sicherzustellen, dass alle Kinder auf die Schule vorbereitet sind mathematische Anforderungen an die formale Bildung.

Vorschulkinder&rsquo Mathematische Kenntnisse Profi

Konzeptionelles Verständnis

Das grundlegendste Konzept in der Grundschulmathematik ist das von Nummer, insbesondere ganze Zahl. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie schwierig das Konzept ist und wie viel davon als selbstverständlich angesehen wird, versuchen Sie zu definieren, was eine ganze Zahl ist.

Eine gängige Vorstellung von ganzen Zahlen besagt, dass zwei Mengen die gleiche Anzahl (gleiche Anzahl von Gliedern) genau dann haben, wenn jedes Glied einer Menge mit genau einem Glied der anderen gepaart werden kann (ohne dass von einer der Mengen Glieder übrig bleiben). Wenn ein Satz nach dieser Paarung Elemente übrig hat, dann hat dieser Satz eine größere Anzahl (mehr Elemente darin) als der andere.

Diese Definition ermöglicht es einem zu entscheiden, ob zwei Sätze die gleiche Anzahl von Elementen haben, ohne zu wissen, wie viele es in jedem Satz gibt. Der Schweizer Psychologe Jean Piaget hat eine Aufgabe entwickelt, die teilweise auf dieser Definition basiert und weit verbreitet ist, um zu beurteilen, ob Kinder die kritische Bedeutung dieser Eins-zu-Eins-Korrespondenz bei der Definition von Numerosität verstehen. 1 In dieser Aufgabe wird den Kindern ein Array wie unten gezeigt gezeigt, das Süßigkeiten darstellen könnte. Dann wird ihnen folgende Frage gestellt: Gibt es mehr helle Bonbons, gleich viele dunkle und helle Bonbons oder mehr dunkle Bonbons?

Die meisten Vorschulkinder erkennen, dass die Sets die gleiche Menge an Süßigkeiten enthalten, basierend auf der Eins-zu-Eins-Anordnung der einzelnen Teile. Als nächstes beobachtet das Kind, wie der Experimentator die Gegenstände in einem Set ausbreitet, wodurch die räumliche Ausrichtung der Teile verändert wird:

Wie in diesem Diagramm gezeigt, behaupten viele Kinder unter 5 Jahren, dass sich in der längeren Reihe (in diesem Beispiel die leichten Bonbons) mehr von jeder Art von Süßigkeiten befinden. Piaget argumentierte, dass ein wahres Zahlenverständnis die Fähigkeit erfordert, über die Auswirkungen von Transformationen nachzudenken, die die Fähigkeiten von Vorschulkindern übersteigen. Es war vor einigen Jahrzehnten nicht ungewöhnlich, dass Pädagogen, die Piagets Erkenntnisse und seine Behauptungen kennen, Behauptungen aufstellen wie:

Folgendes: &ldquoKinder in verschiedenen Stadien können nicht dieselben Inhalte lernen. Sie können zum Beispiel erst Zahlen lernen, wenn sie die konkrete Betriebsphase erreicht haben [ungefähr 7 bis 11 Jahre alt, laut Piaget].&rdquo 2

Vorschulkinder wissen in der Tat einiges über Zahlen, bevor sie in die Schule kommen.

Untersuchungen der letzten 25 Jahre haben jedoch ergeben, dass Kinder im Vorschulalter bereits vor dem Schuleintritt einiges über Zahlen wissen. Ein Großteil dieses Wissens ist mit ihrem Verständnis des Zählens verbunden. Selbst für Vorschulkinder ist das Zählen einer Reihe von Objekten keine reine Routineaktivität, sondern wird von ihrem mathematischen Verständnis geleitet.

Zählen und die Ursprünge des Zahlenbegriffs

Babys zeigen Zahlenkompetenz fast vom Tag der Geburt an, 3 und einige Säuglinge unter sechs Monaten haben bewiesen, dass sie eine rudimentäre Art der Addition und Subtraktion ausführen können. 4 Diese Fähigkeiten legen nahe, dass Zahlen ein grundlegender Bestandteil der Welt sind, die Kinder kennen. Ob und wie sich diese frühe Zahlensensitivität auf die spätere mathematische Entwicklung auswirkt, muss noch gezeigt werden, aber Kinder betreten die Welt bereit, die Zahl als Merkmal ihrer Umwelt wahrzunehmen.

Vieles von dem, was Kinder im Vorschulalter über Zahlen wissen, hängt mit ihrem sich entwickelnden Verständnis und ihrer Beherrschung des Zählens zusammen. Das Zählen einer Reihe von Objekten ist eine komplexe Aufgabe, die Denken, Wahrnehmung und Bewegung umfasst, wobei ein Großteil seiner Komplexität durch Vertrautheit verdeckt wird. Überlegen Sie, was Sie tun müssen, um eine Menge von Objekten zu zählen: Die zu zählenden Gegenstände müssen identifiziert und von nicht zu zählenden sowie von bereits gezählten Gegenständen unterschieden werden. Elemente werden gezählt, indem jedes Element mit einer Art verbalen Darstellung (normalerweise einem Zahlennamen) gepaart wird. Es ist ein Hinweisakt erforderlich, der jedes Objekt im Raum mit einem in der Zeit gesagten Wort paart. Schließlich müssen Sie verstehen, dass das Zählen eine Zahl ergibt, die angibt, wie viele Dinge in der gezählten Menge enthalten sind.

Kompetentes Zählen erfordert die Beherrschung eines symbolischen Systems, die Fähigkeit mit einer komplizierten Reihe von Verfahren, die es erfordern, auf Objekte zu zeigen und sie mit Symbolen zu kennzeichnen, und zu verstehen, dass einige Aspekte des Zählens nur konventionell sind, während andere im Kern seiner mathematischen Nützlichkeit liegen. Wir besprechen Fragen im Zusammenhang mit kompetentem Zählen, einschließlich des Erlernens von Zahlennamen, im folgenden Abschnitt über prozessuale Geläufigkeit. In diesem Abschnitt besprechen wir das Verständnis von Kindern für die konzeptionellen Aspekte des Zählens. Diese Trennung ist etwas künstlich, weil das Zählen ein gutes Beispiel dafür ist, wie die verschiedenen Stränge mathematischer Fähigkeiten miteinander verwoben sind.

Wenn Kinder zählen lernen, ändert sich ihr Denken in einer Weise, die ihr Zahlenkonzept prägt. Zählen ist nicht nur das Rezitieren der Zahlenwortfolge. Es müssen Elemente zum Zählen vorhanden sein, und es muss eine Prozedur geben, um jede Äußerung eines Zahlenwortes mit einem der zu zählenden Elemente korrespondieren zu lassen. 5 Diese Gegenstände sind zunächst wahrnehmungsbezogen, das können zum Beispiel Perlen, Murmeln, Finger, Taps, Schritte oder Trommelschläge sein. Das Kind muss die Gegenstände nicht nur wahrnehmen können, sondern auch als einzelne zu zählende Dinge begreifen können. Später sind Kinder in der Lage, verschiedene Dinge zu zählen (z. B. &bdquowie viele verschiedene Farben von Knöpfen gibt es?&rdquo) sowie Gegenstände, die möglicherweise nicht ohne weiteres wahrnehmbar sind. 6 Der Zähler muss immer eine mentale Repräsentation der gezählten Artikel erzeugen. Dieser Entstehungsprozess wird deutlich, wenn ein Kind bestimmte Gegenstände zu zählen scheint, in einer Situation, in der keine solchen Gegenstände sichtbar, hörbar oder greifbar sind. Das Zählen ohne wahrnehmbare Objekte ist der Höhepunkt eines ziemlich komplizierten Entwicklungsprozesses. Der Prozess beinhaltet die fortschreitende Entwicklung der Fähigkeit, zu zählende Einheitseinheiten zu bilden, zunächst auf der Grundlage der bewussten Wahrnehmung äußerer Objekte und dann auf der Grundlage innerer Repräsentationen. 7

Frühe Forschungen zum Verständnis der mathematischen Grundlagen des Zählens von Kindern konzentrierten sich auf fünf Prinzipien, denen ihr Denken folgen muss, wenn ihr Zählen mathematisch nützlich sein soll: 8

Eins zu eins: Es muss eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen dem Zählen von Wörtern und Objekten bestehen

Stabile Ordnung (der Zählwörter): Diese Zählwörter müssen in einer konsistenten, reproduzierbaren Reihenfolge vorgetragen werden

Kardinal: das letzte gesprochene Zählwort gibt an, wie viele Objekte sich insgesamt in der Menge befinden (anstatt eine Eigenschaft eines bestimmten Objekts in der Menge zu sein)

Abstraktion: Gegenstände aller Art können zu Zählzwecken gesammelt werden und

Irrelevanz der Bestellung (für die gezählten Objekte): Objekte können in beliebiger Reihenfolge gezählt werden, ohne das Ergebnis zu ändern.

Die ersten drei Prinzipien definieren Regeln für das Zählen, die letzten beiden definieren die Umstände, unter denen solche Zählverfahren gelten sollen.

Zählen verstehen und beherrschen

Die Beziehung zwischen dem konzeptionellen Verständnis des Zählens von Kindern und ihrer Beherrschung des konventionellen Zählens bleibt umstritten. Nach einem Standpunkt organisiert und motiviert 9 Kinder, die diese Zählprinzipien verstehen, ihren Erwerb konventioneller Zählverfahren. Andere Studien zeigen, dass ein Großteil des konzeptionellen Verständnisses des Zählens von Kindern einer anfänglichen Beherrschung konventioneller Zählverfahren folgt (und möglicherweise darauf basiert). 10 Eine intermediäre Sichtweise ist, dass sich konzeptionelles und prozedurales Wissen über das Zählen interaktiv entwickelt, wobei kleine Veränderungen in einem zu kleinen Veränderungen in dem anderen beitragen. 11

Ein Grund dafür, dass es schwierig war, gegensätzliche Behauptungen darüber aufzulösen, wie Kinder die konzeptionelle Grundlage des Zählens verstehen, besteht darin, dass die Leistung von Vorschulkindern beim Zählen oft sehr unterschiedlich ist, wie es bei den meisten anderen Aufgaben der Fall ist. 12 Die vielen Fehler, die Vorschulkinder beim Zählen machen, könnten darauf hindeuten, dass sie die Bedeutung der Zählprinzipien nicht verstehen. Die Variabilität ihrer Leistung macht die Aufgabe, aus ihrem Verhalten auf ihr Prinzipwissen zu schließen, grundsätzlich mehrdeutig. Die Schwierigkeit eines Kindes, die komplexen Prozesse des Zählens zu bewältigen, könnte ein echtes Verständnis seiner konzeptionellen Grundlage verschleiern.

Eine Möglichkeit, die Mehrdeutigkeit des Zählverhaltens von Kindern zu umgehen, besteht darin, sie zu bitten, die Angemessenheit der Zählung durch eine andere Person zu beurteilen, anstatt die Aktivität selbst durchzuführen. Zum Beispiel gebeten, die Genauigkeit des Zählens von einer Puppe zu beurteilen, die entweder richtig, falsch oder unkonventionell gezählt hat (z. B. ausgehend von einem ungewöhnlichen Ausgangspunkt, aber alle Elemente zählend), demonstrierten 3- bis 5-Jährige sehr gute Leistung. Die Dreijährigen zeigten eine vollkommene Akzeptanz des korrekten Zählens, 96 % der Akzeptanz des unkonventionellen, aber korrekten Zählens und 67 % der Ablehnung echter Fehler. Vierjährige waren besser als Dreijährige darin, wahre Fehler abzulehnen. 13

Mit einem größeren Satz von Zählstrategien zum Beurteilen präsentiert, schnitten Kinder in einer späteren Studie nicht ganz so gut ab. 14 Tatsächlich war die Akzeptanz des unkonventionellen korrekten Zählens bei den 3-Jährigen sogar höher als bei den 4-jährigen, was darauf hindeutet, dass ein Teil der Akzeptanz des unkonventionellen korrekten Zählens auf eine pauschale Akzeptanz der Puppenleistung zurückzuführen ist. Schließlich und am relevantesten für die Beziehung zwischen der Zählfähigkeit und der Beurteilung eines anderen Zählens, erfüllten die einzigen Kinder, die ein Kriterium von 75 % nicht erfüllten, indem sie die Zählfehler der Puppen zurückwiesen, dasselbe Kriterium auch in ihrer eigenen Zählung. Somit können die eigenen Zählaktivitäten von Kindern die Grundlage für ihre Beurteilungen bilden, was erfolgreiches Zählen ausmacht.

Es gibt auch wichtige Grenzen für die Fähigkeit von Kindern, das Zählen bei der Problemlösung zu verwenden. Mehrere Studien haben ergeben, dass Kinder unter 3 Jahren große Schwierigkeiten haben, das Zählen zu verwenden, um Sätze einer bestimmten Anzahl zu erstellen, selbst wenn diese Anzahl innerhalb ihres Zählbereichs liegt. fünfzehn

Insgesamt deuten diese Studien darauf hin, dass Variationen im Kontext, in dem Kinder gebeten werden, ein anderes Zählen zu beurteilen, einen großen Einfluss auf ihre Akzeptanz von Abweichungen vom konventionellen Zählen und von Fehlern haben können, die gegen die Zählprinzipien verstoßen. Die Fähigkeit von kleinen Vorschulkindern, beim eigenen Zählen den Zählprinzipien zu folgen und sich bei der Bewertung des Zählens anderer auf sie zu konzentrieren, ist auch sehr anfällig für situative Schwankungen. 16

Die Kontroverse über die Beziehung zwischen der Entwicklung des Verständnisses von Zählprinzipien und dem Erwerb konventioneller Zählfähigkeiten spiegelt Probleme wider, die während des späteren Mathematiklernens von Kindern auftauchen. Dennoch sind zwei Punkte klar. Erstens sind beide Aspekte des Zählens wichtige Errungenschaften der Entwicklung. Zweitens verstehen die meisten US-amerikanischen Kinder, wenn sie in den Kindergarten kommen, die Regeln, die dem Zählen zugrunde liegen, können konventionelles Zählen mit Objektmengen größer als 10 korrekt durchführen und können das Zählen verwenden, um einige einfache mathematische Probleme zu lösen.

Prozedurale Gewandtheit

Prozedurale Gewandtheit bezieht sich auf die Fähigkeit, Verfahren flexibel, genau und effizient durchzuführen. Wie wir in Kapitel 4 festgestellt haben, ermöglicht es die prozessuale Gewandtheit Kindern, Mathematik zuverlässig anzuwenden, um Probleme zu lösen und Beispiele zu generieren, um ihre mathematischen Ideen zu testen.

Verfahrensfluss und Zählen

Im Fall des Zählens sind die Schwierigkeiten kleiner Kinder, die komplexen Aktivitäten, die zum genauen Zählen einer Reihe von Objekten erforderlich sind, flüssig auszuführen, ein großes Hindernis für ihre mathematische Entwicklung. Als sie zum Beispiel aufgefordert wurden, eine immer längere Reihe von bis zu 30 Objekten zu zählen, machten 90% der />- bis />-Jährigen irgendeine Art von Verletzung der Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Zeigen und Objekten oder zwischen Zeigen und die Zahl der Wörter zu sagen, obwohl diese Fehler nur bei 6% der gezählten Objektmengen gemacht wurden. 17 Anweisungen zum „harten&ldquo oder &ldquose vorsichtig sein&rdquo verringerten Fehler erheblich. Anstrengung und Konzentration sind daher wichtige Aspekte für genaues Zählen.

Die Schwierigkeit, die Kinder im Vorschulalter haben, den Prozess der Verfolgung von Objekten und des Zählens zu koordinieren, scheint ein universelles Merkmal des Zählenlernens zu sein, wobei Kinder in verschiedenen Kulturen eine vergleichbare Rate des Nachzählens oder Überspringens von Objekten aufweisen. 18 Große Unterschiede zwischen den Sprachen wurden in einem zweiten wichtigen Aspekt der Verfahrensflüssigkeit in der Vorschulzeit festgestellt, der Beherrschung der Zahlennamen, die in der Muttersprache des Kindes verwendet werden.

Sprache und frühe mathematische Entwicklung

Ein Aspekt des Zählens, der Vorschulkindern besonders schwer fällt, ist das Erlernen der Zahlennamen. Das Erlernen einer Liste mit Zahlennamen bis 100 ist eine herausfordernde Aufgabe für kleine Kinder. Darüber hinaus hat die Struktur der Zahlennamen in einer Sprache einen großen Einfluss auf die Schwierigkeiten, die Kinder beim Erlernen des richtigen Zählens haben. Diese Schwierigkeiten haben wichtige Auswirkungen auf das anfängliche Erlernen von Mathematik in der Grundschule.

Die in einer Sprache verwendeten Zahlennamen bieten Kindern eine vorgefertigte Darstellung für Zahlen. Zählprinzipien sind universell und unterscheiden sich daher nicht zwischen den Sprachen, aber Zahlennamen unterscheiden sich in Klang und Struktur zwischen den Sprachen und beeinflussen das Zählen von Kindern.

Sprachliche Struktur von Zahlennamen. Namen für Zahlen wurden nach einer verwirrenden Vielfalt von Systemen generiert. 19 Das hindu-arabische System zur Darstellung der ganzen Zahlen ist eindeutig ein System zur Basis 10 mit 10 Grundsymbolen (die Ziffern 0&ndash9). Diese können frei kombiniert werden, wobei die Stelle einer Ziffer die Zehnerpotenz angibt, die sie darstellt. 20 Das hindu-arabische System ist aus zwei Gründen ein nützlicher Bezugspunkt bei der Beschreibung von Schemata zur Benennung von Zahlen. Erstens ist es ein weit verbreitetes System zum Schreiben von Zahlen. Zweitens ist es so konsistent und prägnant, wie es ein Basis-10-System sein könnte.

Kasten 5&ndash1 zeigt, wie gesprochene Namen für Zahlen in drei Sprachen gebildet werden: Englisch, Spanisch und Chinesisch. Alle diese Sprachen verwenden ein Basis-10-System, aber die Sprachen unterscheiden sich in der Klarheit und Konsistenz, mit der sich die Basis-10-Struktur in den Zahlennamen widerspiegelt.

Wie der erste Abschnitt der Abbildung zeigt, bestehen Darstellungen für Zahlen von 1 bis 9 aus einer unsystematisch organisierten Liste. Es gibt keine Möglichkeit, vorherzusagen, dass 5 oder fünf oder wu komm nach 4, vier, und si, jeweils im arabischen Ziffernsystem, Englisch und Chinesisch.

Kasten 5&ndash1 Nummernnamen in Chinesisch, Englisch und Spanisch

ein. Eins zu zehn

b. Elf bis zwanzig

c. Zwanzig bis neunundneunzig

Dekadenname (Einheitsname+schi)+Einheitsname

Dekadenname [(zwanzig, drei, für, fünf, sechs, sieben, acht, neun) +-ty]+Einheitsname

Dekadenname (veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa)+und (ja)+Einheitsname

Namen für Zahlen über 10 unterscheiden sich in diesen verschiedenen Sprachen auf interessante Weise, wie der zweite Teil von Kasten 5&ndash1 zeigt. Das chinesische Zahlenbenennungssystem ist direkt auf das hindu-arabische Zahlensystem abgebildet, das zum Schreiben von Zahlen verwendet wird. Zum Beispiel eine Wort-für-Wort-Übersetzung von shi qi (17) ins Englische produziert zehn-sieben. Englisch hat unvorhersehbare Namen für 11 und 12, die nur einen historischen Bezug zu haben einer und zwei. 21 Ob die Grenze zwischen 10 und 11 in irgendeiner Weise markiert ist, kann sehr wichtig sein, da diese Grenze den ersten Hinweis darauf geben kann, dass Zahlennamen nach einem System zur Basis 10 organisiert sind. Die englischen Namen für Zahlen im Teenageralter über 12 haben zwar eine interne Struktur, die jedoch durch phonetische Modifikationen vieler der in den ersten 10 Zahlen verwendeten Elemente verdeckt wird (z. zehn wird -Teenager, drei wird drei-, und fünf wird fünf-). Darüber hinaus kehrt die Reihenfolge der Wortbildung den Stellenwert um, im Gegensatz zum hindu-arabischen und chinesischen System (und dem englischen System über 20), indem der kleinere Wert vor dem größeren Wert benannt wird. Spanisch folgt dem gleichen Grundmuster für Englisch, um im Teenageralter zu beginnen, obwohl es möglicherweise eine deutlichere Parallele gibt uno, dos, tres und einmal, doce, trece als zwischen eins zwei drei und elf zwölf dreizehn. Der größte Unterschied zwischen Spanisch und Englisch besteht darin, dass die Zahlennamen im Spanischen nach 15 abrupt eine andere Struktur annehmen. So der Name für 16 auf Spanisch, diez y seis (buchstäblich zehn und sechs), folgt der gleichen Grundstruktur wie arabische Ziffern und chinesische Zahlennamen (beginnend mit dem Zehner-Wert und dann Benennen des Einer-Werts), anstatt den Strukturen der Zahlennamen im Englischen von 13 bis 19 und der Namen im Spanischen von 11 bis 15 (beginnend mit dem Einerwert und dann mit dem Zehnerwert).

Oberhalb von 20 konvergieren all diese Zahlenbenennungssysteme in der chinesischen Struktur, den größeren Wert vor dem kleineren zu benennen. Trotz dieser Konvergenz unterscheiden sich die Systeme weiterhin in der Deutlichkeit des Zusammenhangs zwischen den Dekadennamen und den entsprechenden Einheitswerten. Chinesische Zahlen sind bei der Bildung von Dekadennamen konsistent, indem sie einen Einheitswert und die Basis (zehn) kombinieren. Dekadennamen in Englisch und Spanisch können im Allgemeinen aus dem Namen für den entsprechenden Einheitswert abgeleitet werden, mit unterschiedlichem Grad an phonetischer Modifikation (z. fünf wird fünf- auf Englisch, cinco wird cincuenta auf Spanisch) und mit einigen bemerkenswerten Ausnahmen hauptsächlich der spezielle Name für 20, der auf Spanisch verwendet wird.

Psychologische Folgen von Zahlennamen. Obwohl alle überprüften Nummernbenennungssysteme im Wesentlichen Basis-10-Systeme sind, unterscheiden sie sich in der Konsistenz und Transparenz, mit der sich diese Struktur in den Nummernnamen widerspiegelt. Mehrere Studien zum Vergleich von Englisch-

und chinesischsprachige Kinder zeigen, dass die Organisation von Zahlennamen tatsächlich eine bedeutende Rolle bei der Vermittlung der Beherrschung dieses symbolischen Systems durch Kinder spielt. 22 Diese Studien haben ergeben, dass (a) Leistungsunterschiede bei zählbezogenen Aufgaben erst auftreten, wenn Kinder sowohl in den Vereinigten Staaten als auch in China anfangen, das zweite Jahrzehnt der Zahlennamen zu lernen, irgendwann im Alter zwischen 3 und 4 Jahren (b) diese Unterschiede beschränken sich im Allgemeinen auf den verbalen Aspekt des Zählens und beeinträchtigen nicht die Fähigkeit der Kinder, das Zählen bei der Problemlösung zu verwenden, oder ihr Verständnis grundlegender Zählprinzipien und (c) Unterschiede in den Fehlermustern, die Kinder beim Zählen lernen, spiegeln die Struktur von die Systeme, die sie lernen.

Untersuchungen zum Erwerb von Zahlennamen durch Kinder deuten darauf hin, dass US-amerikanische Kinder zumindest im Teenageralter lernen, die Liste der englischen Zahlennamen zu rezitieren Wörter für 13 bis 19, die teilweise durch sprachliche Modifikationen verdeckt sind. 24 Wenn amerikanische Vorschulkinder zum ersten Mal über 20 zählen, produzieren sie oft idiosynkratische Zahlennamen, was darauf hindeutet, dass sie die Basis-10-Struktur, die größeren Zahlennamen zugrunde liegt, nicht verstehen. elf, zwölfundzwanzig.&rdquo Diese Art von Fehler ist bei chinesischen Kindern äußerst selten und weist darauf hin, dass die Basis-10-Struktur von Zahlennamen für Chinesischlerner leichter zugänglich ist als für Kinder, die auf Englisch zählen lernen.

Die relative Komplexität englischer Zahlennamen hat andere kognitive Konsequenzen. Sprecher des Englischen und anderer europäischer Sprachen stehen beim Erlernen der arabischen Ziffern vor einer komplexen Aufgabe, die schwieriger ist als die für Sprecher der chinesischen Sprache. 25 (Vergleichen Sie beispielsweise die Zuordnung zwischen Name und Zahl für vierundzwanzig damit für vierzehn in den beiden Sprachen.) Sprecher von Sprachen, deren Zahlennamen dem Chinesischen (einschließlich Koreanisch und Japanisch) nachempfunden sind, sind besser als Sprecher von Englisch und anderen europäischen Sprachen in der Lage, Zahlen mit Blöcken zur Basis 10 darzustellen und andere Stellenwertaufgaben auszuführen. 26 Da Schularithmetikalgorithmen weitgehend nach dem Stellenwert strukturiert sind, hat die Feststellung eines Zusammenhangs zwischen der Komplexität von Zahlennamen und der Leichtigkeit, mit der Kinder das Zählen lernen, wichtige pädagogische Implikationen.

Beim Erlernen des Zählens müssen Kinder eine Kombination aus konventionellem Wissen über Zahlennamen, konzeptionellem Verständnis der mathematischen Prinzipien, die dem Zählen zugrunde liegen, und der Fähigkeit erwerben, dieses Wissen bei der Lösung mathematischer Probleme anzuwenden. Sprachunterschiede in der Vorschule

scheinen sich auf den ersten Aspekt des Zählens zu beschränken. In einer Studie beispielsweise unterschieden sich chinesische und amerikanische Vorschulkinder nicht darin, inwieweit sie gegen die zuvor diskutierten Zählprinzipien verstoßen oder in ihrer Fähigkeit, durch Zählen Sätze einer bestimmten Größe im Laufe eines Spiels zu produzieren. 27 Die Auswirkungen von Unterschieden in der Zahlennamenstruktur auf die frühe mathematische Entwicklung von Kindern scheinen sehr spezifisch für diejenigen Aspekte der Mathematik zu sein, die das Erlernen und Verwenden dieser Symbolsysteme erfordern. Dennoch haben diese Effekte Auswirkungen auf das Erlernen der arabischen Ziffern und damit auf das Verständnis des wichtigsten Symbolsystems der Schulmathematik.

Wie bei anderen Aspekten der Mathematik erfordert das Zählen die Kombination eines konzeptionellen Verständnisses der Natur der Zahl mit einer fließenden Beherrschung von Verfahren, die es einem ermöglichen, zu bestimmen, wie viele Objekte es gibt. Wenn Kinder ständig zählen können, um herauszufinden, wie viele Objekte es gibt, sind sie bereit, das Zählen zu verwenden, um Probleme zu lösen. Es unterstützt auch das Erlernen konventioneller arithmetischer Verfahren, wie sie zum Beispiel bei der Berechnung mit ganzen Zahlen verwendet werden.

Kinder im Vorschulalter bringen eine Vielzahl von Verfahren zum Erlernen einfacher Arithmetik mit. Die meisten dieser Verfahren beginnen mit der strategischen Anwendung des Zählens auf arithmetische Situationen und werden im nächsten Abschnitt beschrieben. Wie bei der Unterscheidung zwischen konzeptionellem Verständnis und prozeduraler Gewandtheit ist diese Kategorisierung etwas willkürlich, liefert aber ein gutes Beispiel dafür, wie Kinder auf Verfahren wie dem Zählen aufbauen können, um ihre mathematischen Kompetenzen um neue Konzepte und Verfahren zu erweitern.

Strategische Kompetenz

Strategische Kompetenz bezeichnet die Fähigkeit, mathematische Probleme zu formulieren, darzustellen und zu lösen. Ein wichtiges Merkmal der mathematischen Entwicklung ist die Art und Weise, wie Situationen mit an einer Stelle erweiterten Problemlösungen später mit bekannten Verfahren flüssig gehandhabt werden können.

Ein gutes Beispiel sind einfache Rechenaufgaben. Die meisten Vorschulkinder zeigen im Alter von mindestens 3 Jahren, dass sie einfache Additionen und Subtraktionen verstehen und ausführen können, oft durch Modellieren mit realen Objekten oder durch Nachdenken über Objektgruppen. In einer Studie wurde den Kindern eine Reihe von Objekten einer bestimmten Größe präsentiert, die dann in einer Schachtel versteckt wurden, gefolgt von einer weiteren Reihe von Gegenständen, die ebenfalls in die Schachtel gelegt wurden. 28 Die Kinder wurden gebeten, eine Menge von Gegenständen zu produzieren, die der Gesamtzahl in der Schachtel entspricht. Die Mehrheit der Kinder im Alter von etwa 3 Jahren war in der Lage, solche Probleme zu lösen, wenn sie einen einzelnen Gegenstand hinzufügten und subtrahierten, obwohl ihre Leistung mit zunehmender Größe des zweiten Satzes schnell abnahm.

Vorschularithmetik: Eine Fülle von Strategien. Viele Untersuchungen haben die Vielfalt der Strategien beschrieben, die Kinder beim Ausführen einfacher Arithmetik vom Vorschulalter bis in die Grundschule zeigen. 29 Strategien zur Lösung eines Problems wie &ldquoWas ist 3+5?&rdquo umfassen das Zählen aller (&ldquo1, 2, 3,&hellip4, 5, 6, 7, 8&rdquo), das Weiterzählen vom größeren Addend (&ldquo5,&hellip6, 7, 8&rdquo ), Ableiten der Summe (&ldquo3+5 ist wie 4+4, also ist es 8&rdquo) und Rückruf. Einige Kinder modellieren das Problem mit verfügbaren Objekten oder Fingern, andere tun es verbal. (Diese Strategien werden in Kapitel 6 ausführlich besprochen.)

Kindergartenkinder verwenden alle diese Strategien, und Zweitklässler verwenden sie alle, außer dass sie alle zählen. 30 Was sich mit dem Alter ändert, ist die Verteilung von Strategien, nicht der Einsatz völlig neuer. Als 5-Jährige über 11 Wochen vier Einzelsitzungen erhielten, in denen sie mehr als 100 Additionsaufgaben lösten, entdeckten die meisten von ihnen die Strategie „Vom Größer abzählen“, die durch weniger Zählen Mühe spart. 31 Die Kinder haben diese Strategie typischerweise zuerst erkannt, wenn sie mit kleinen Zahlen arbeiteten, wo sie nicht viel Aufwand spart. Sie wendeten es dann am ehesten auf Probleme an (z. B. &bdquoWas ist 2+9?&rdquo), bei denen es einen großen Unterschied im Arbeitsaufwand ausmacht.

Die Vielfalt der Strategien, die Kinder in der frühen Arithmetik zeigen, ist auch ein Merkmal ihrer späteren mathematischen Entwicklung. Unter Umständen sagt die Anzahl der verschiedenen Strategien, die Kinder zeigen, ihr späteres Lernen voraus. 32 Die Tatsache, dass Kinder ihre eigenen unterschiedlichen Strategien für das Rechnen erfinden, schafft jedoch ihre eigenen pädagogischen Probleme, da Lehrer in der Lage sein müssen, den Kindern zu erklären, warum einige Strategien funktionieren und andere nicht, und ihnen dabei zu helfen, zu fortgeschrittenen Strategien überzugehen.

Textaufgaben lösen. Kleine Kinder sind in der Lage, die Zusammenhänge zwischen Mengen zu verstehen und geeignete Zählstrategien zu entwickeln, wenn sie aufgefordert werden, einfache Wort- oder Geschichtenprobleme zu lösen. Wortprobleme werden oft für schwieriger gehalten als einfache Zahlensätze oder Gleichungen. Kleine Kinder finden sie jedoch leichter. Wenn die Probleme einfache Zusammenhänge darstellen und klar formuliert sind, können Vorschul- und Kindergartenkinder Wortaufgaben mit Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division lösen. 33 Kleine Kinder sind jedoch äußerst sensibel für Kontexte, sodass die Art und Weise, in der das Problem gestellt wird, einen großen Einfluss auf ihre Leistung haben kann. Wenn beispielsweise Vorschulkindern ein Bild von fünf Vögeln und vier Würmern gezeigt wird, können die meisten von ihnen Folgendes beantworten: &bdquoAngenommen, die Vögel rasen alle herbei und jeder versucht, einen Wurm zu fangen. Bekommt jeder Vogel einen Wurm? Wie viele Vögel haben gewonnen&rsquot einen Wurm zu bekommen?&rdquo Aber weniger von ihnen können die Frage beantworten: &bdquoWie viele Vögel mehr als Würmer gibt es?&rdquo 34

Neben dem Zählen zur Lösung einfacher Rechenaufgaben zeigen Vorschulkinder schon früh das Verständnis dafür, dass schriftliche Noten auf Papier Informationen über Quantitäten speichern und vermitteln können. 35 Zum Beispiel können 3- und 4-Jährige informelle Markierungen auf Papier erfinden, wie z. B. Zählmarken und Diagramme, um zu zeigen, wie viele Objekte sich in einem Set befinden. Sie sind jedoch weniger in der Lage, Veränderungen in Mengen oder Beziehungen zwischen Mengen darzustellen, teilweise weil sie nicht erkennen, dass die Reihenfolge ihrer Aktionen nicht automatisch auf dem Papier festgehalten wird.

Adaptives Denken

Adaptives Denken bezieht sich auf die Fähigkeit, logisch über die Beziehungen zwischen Konzepten und Situationen nachzudenken und die Richtigkeit eines mathematischen Verfahrens oder einer mathematischen Aussage zu begründen und letztendlich zu beweisen. Adaptives Denken umfasst auch das Denken basierend auf Mustern, Analogien oder Metaphern. Die Forschung legt nahe, dass Kleinkinder in der Lage sind, logisches Denken zu zeigen, wenn sie über eine ausreichende Wissensbasis verfügen, die Aufgabe verständlich und motivierend ist und der Kontext vertraut und angenehm ist. 36 Insbesondere Vorschulkinder können Problemlösungen entwickeln und ihr Denken erklären.

Situationen, in denen Vorschulkinder ihre mathematischen Konzepte und Verfahren auf unkonventionelle Weise anwenden müssen, bereiten ihnen oft Schwierigkeiten. Wenn Kinder im Vorschulalter beispielsweise aufgefordert werden, Merkmale von Objekten (z. B. die Zinken von Gabeln) oder Teilmengen von Objekten (z. B. nur die roten Knöpfe in einem gemischten Set) zu zählen, können sie ihre Tendenz, alle einzelnen Objekte zu zählen, oft nicht überwinden . 37

Ein weiteres Beispiel für die Einschränkungen der Fähigkeit von Vorschulkindern, ihre Mathematik zu verallgemeinern, besteht darin, dass sie in Situationen besser abschneiden, in denen sie über das Hinzufügen oder Subtrahieren von tatsächlichen Objekten nachdenken müssen (auch wenn diese Objekte in einer Box verborgen sind), als wenn sie einfach danach gefragt werden entsprechende Frage (z. B. &ldquoWas&rsquos 3 und 5?&rdquo). 38 Vier- und Fünfjährige fangen an, ihr Wissen zu nutzen, um die oben vorgestellte Piagetsche Zahlenaufgabe richtig zu beantworten, die äquivalente Sätze von Bonbons beinhaltet, und später erkennen sie, ohne zu zählen, dass die Sätze die gleiche Anzahl von Bonbons enthalten. 39

Eine große Herausforderung der formalen Bildung besteht darin, auf dem anfänglichen und oft fragilen Verständnis aufzubauen, das Kinder in die Schule mitbringen, und sie zuverlässiger, flexibler und allgemeiner zu gestalten.

Die meisten Kinder im Vorschulalter kommen mit einem anfänglichen Verständnis von Verfahren (z. B. Zählen, Addition, Subtraktion) in die Schule, die die Grundlage für einen Großteil ihres späteren Mathematiklernens bilden, obwohl sie nur begrenzt in der Lage sind, dieses Wissen zu verallgemeinern und seine Bedeutung zu verstehen. Eine große Herausforderung der formalen Bildung besteht darin, auf dem anfänglichen und oft fragilen Verständnis aufzubauen, das Kinder in die Schule mitbringen, und sie zuverlässiger, flexibler und allgemeiner zu gestalten. 40

Produktive Disposition

Zusätzlich zu den Konzepten und Fähigkeiten, die mathematischen Fähigkeiten zugrunde liegen, haben Kinder, die in Mathematik erfolgreich sind, eine Reihe von Einstellungen und Überzeugungen, die ihr Lernen unterstützen. Sie sehen Mathematik als eine sinnvolle, interessante und lohnende Tätigkeit, glauben, dass sie in der Lage sind, sie zu erlernen, und sind motiviert, die zum Lernen erforderlichen Anstrengungen zu unternehmen. Berichte über die Einstellung von Vorschulkindern zum Lernen im Allgemeinen und zum Lernen von Mathematik im Besonderen deuten darauf hin, dass die meisten Kinder mit dem Wunsch in die Schule gehen, mathematisch kompetent zu werden. In einer Umfrage, die eine Reihe von Persönlichkeits- und Motivationsmerkmalen untersuchte, die für den Erfolg in Mathematik relevant sind, berichteten Lehrer und Eltern, dass Kindergartenkinder ein hohes Maß an Beharrlichkeit und Lernbereitschaft aufweisen (obwohl Lehrer sich in ihrer Wahrnehmung von Kindern aus verschiedenen ethnischen Gruppen unterscheiden, wie wir besprechen unten). 41 Kinder kommen in die Schule und betrachten Mathematik als wichtig und selbst als kompetent, sie zu beherrschen. In einer Studie bewerteten Erstklässler ihr Interesse an Mathematik im Durchschnitt mit etwa 6 auf einer Skala von 1 bis 7 (wobei 7 die höchste ist). 42 Kinder bewerteten ihre Mathematikkompetenz ähnlich, wobei Jungen ihre Mathematikkompetenz etwas höher bewerteten als Mädchen, das Gegenteil des Musters beim Lesen.

Ein wichtiger Faktor, um eine produktive Disposition für Mathematik zu erlangen und die zum Lernen erforderliche Motivation aufrechtzuerhalten, ist das Ausmaß, in dem Kinder Leistung als Produkt von Anstrengung und nicht als fixierte Fähigkeit wahrnehmen. Umfangreiche Forschungen zum Erlernen von Mathematik und anderen Bereichen haben gezeigt, dass Kinder, die Erfolg auf eine relativ feste Fähigkeit zurückführen, neue Aufgaben mit großer Wahrscheinlichkeit angehen Performance eher als ein Lernen Orientierung, was dazu führt, dass sie weniger Interesse zeigen, sich in herausfordernde Situationen zu begeben, die zu einer (zumindest anfänglichen) schlechten Leistung führen. 43 Kinder im Vorschulalter gehen in der Regel lernorientiert in die Schule, doch schon ab der ersten Klasse reagiert eine beträchtliche Minderheit auf Kritik an ihren Leistungen mit dem Schluss, dass sie nicht schlau sind, sondern nur noch härter arbeiten müssen. 44

Die meisten Vorschulkinder kommen mit Interesse an Mathematik und motiviert in die Schule. Die Herausforderung für Eltern und Pädagogen besteht darin, ihnen zu helfen, eine produktive Einstellung zur Mathematik zu bewahren, während sie die anderen Bereiche ihrer mathematischen Fähigkeiten entwickeln.

Einschränkungen der mathematischen Fähigkeiten von Vorschulkindern

Unter Umständen weisen Vorschulkinder beeindruckende mathematische Fähigkeiten auf, die die Grundlage für ihr späteres Erlernen der Schulmathematik bilden können. Diese Fähigkeiten sind jedoch in vielerlei Hinsicht eingeschränkt.

Eine der wichtigsten Einschränkungen besteht darin, dass ein Großteil des Zahlenverständnisses von Vorschulkindern auf Sätze einer bestimmten Größe beschränkt ist. Da die Algorithmen, die Vorschulkinder entwickeln, auf dem Zählen und ihrer Erfahrung mit Objektmengen basieren, lassen sie sich nicht auf größere Zahlen verallgemeinern. Zum Beispiel können Kinder im Vorschulalter die Konzepte der Addition und Subtraktion für sehr kleine Zahlen beherrschen. 45 Aber die Fähigkeit, die Ergebnisse der Addition von eins zu einer Zahl vorherzusagen, bedeutet nicht, dass Kinder die Ergebnisse der Addition von zwei zu derselben Zahl vorhersagen können. Diese Einschränkung ist ein wichtiges Merkmal des mathematischen Denkens im Vorschulalter und ein wichtiger Unterschied zwischen den mathematischen Fähigkeiten im Vorschulalter und den Fähigkeiten der Erwachsenen.

Eine weitere wichtige Einschränkung besteht darin, dass das Denken von Vorschulkindern über Arithmetik stark vom Kontext des Problems beeinflusst wird. Wie oben erwähnt, kann die Formulierung einer Textaufgabe den Unterschied zwischen Erfolg und Misserfolg ausmachen. Wenn die Kinder erfolgreich sind, ist die Strategie, die sie verwenden, ein direktes Modell der Geschichte, die sie praktisch nachspielen, um die Antwort zu finden. Sie werden einige Fortschritte in der Entwicklung machen müssen, bevor sie erkennen, dass ein paar grundlegende Zählstrategien verwendet werden können, um eine Vielzahl von Wortproblemen zu lösen, dass Geschichten durch geschriebene Zahlensätze der Form . dargestellt werden können a+b=c oder a&ndashb=c, und dass viele verschiedene Geschichten durch den gleichen Satz dargestellt werden können.

Eigenkapital und Sanierung

Die meisten Kinder in den USA kommen mit mathematischen Fähigkeiten in die Schule, die eine solide Grundlage für den formalen Mathematikunterricht bilden. Zu diesen Fähigkeiten gehören das Verständnis der Größen kleiner Zahlen, das Zählen und das Zählen zur Lösung einfacher mathematischer Probleme sowie das Verständnis vieler der grundlegenden Konzepte, die der Messung zugrunde liegen. Eine große Umfrage unter US-Kindergärtnern ergab beispielsweise, dass 94 % der Erstklässler ihren Level 1-Test (Zählen bis 10 und Erkennen von Zahlen und Formen) und 58 % den Level 2-Test (Zahlen lesen, über 10 hinaus zählen, Sequenzierung) bestanden Muster und Verwendung von nicht standardmäßigen Längeneinheiten zum Vergleichen von Objekten). 46

Eine Reihe von Kindern, insbesondere solche aus niedrigen sozioökonomischen Schichten, gehen jedoch mit besonderen Lücken in ihren mathematischen Fähigkeiten in die Schule. Die Umfrage unter Kindergartenkindern ergab beispielsweise, dass 79 % der Kinder, deren

Mutter hatte einen Bachelor-Abschluss und bestand den oben beschriebenen Level-2-Test, nur 32 % derer, deren Mutter weniger als einen High-School-Abschluss hatte, konnten dies tun. 47 Dieselbe Umfrage ergab große Unterschiede zwischen den ethnischen Gruppen bei den schwierigeren Tests (aber nicht bei den Level-1-Aufgaben), wobei 70 % der asiatischen und 66 % der nicht-hispanischen weißen Kinder die Level-2-Aufgaben bestanden, aber nur 42 % der Afrikaner Amerikaner, 44 % der Hispanoamerikaner, 48 % der hawaiianischen Ureinwohner oder pazifischen Inselbewohner und 34 % der indianischen oder alaskischen Teilnehmer tun dies. 48 Andere Untersuchungen haben gezeigt, dass Kinder aus niedrigeren sozioökonomischen Verhältnissen besondere Schwierigkeiten haben, die relativen Größen von einstelligen ganzen Zahlen zu verstehen 49 und Additions- und Subtraktionsprobleme verbal zu lösen, anstatt Gegenstände zu verwenden. 50 Insgesamt zeigt die Untersuchung, dass arme Kinder und Kinder aus Minderheiten, die zur Schule gehen, über einige informelle mathematische Fähigkeiten verfügen, sich jedoch viele dieser Fähigkeiten langsamer entwickelt haben als bei Kindern der Mittelschicht. 51 Diese Unreife ihrer mathematischen Entwicklung kann die Probleme erklären, die arme und Minderheitenkinder haben, die die Grundlage für einfache Arithmetik und das Lösen einfacher Wortaufgaben verstehen. 52

Es wurden mehrere vielversprechende Ansätze entwickelt, um mit dieser entwicklungsbedingten Unreife des mathematischen Wissens umzugehen. Das Rightstart-Programm besteht beispielsweise aus einer Reihe von Spielen und Zahlenreihenaktivitäten, die darauf abzielen, Kindern, die Hilfe benötigen, ein Verständnis für die relative Größe von Zahlen zu vermitteln. Zwanzig Minuten pro Tag über einen Zeitraum von drei bis vier Monaten im Kindergarten waren erfolgreich, um das mathematische Wissen dieser Kinder auf ein Niveau zu bringen, das dem ihrer Altersgenossen entspricht, ein Gewinn, der bis zum Ende der ersten Klasse anhielt. 53

Eine weitere Intervention zielt darauf ab, sicherzustellen, dass Latino-Kinder die Basis-10-Struktur von Zahlennamen verstehen, was, wie oben erwähnt, US-Kinder im Allgemeinen verwirrend finden. 54 Die Leistungen am Ende einer einjährigen Intervention waren vergleichbar mit denen, die für asiatische Kinder berichtet wurden, und deutlich über denen, die typischerweise für Kinder ohne Minderheiten berichtet wurden. Zusammengenommen deuten diese Ergebnisse darauf hin, dass relativ einfache Interventionen erhebliche Vorteile bringen können, um sicherzustellen, dass alle Kinder in die erste Klasse eintreten oder sie verlassen, um vom Mathematikunterricht zu profitieren.

Die oben zitierte Kindergartenbefragung ergab geringere ethnische Unterschiede bei Faktoren der produktiven Disposition (Beharrlichkeit, Lernbereitschaft und Aufmerksamkeit) als bei mathematischen Kenntnissen. Es gab jedoch einige bemerkenswerte Unterschiede zwischen den Berichten von Lehrern und Eltern für verschiedene ethnische Gruppen. Die Eltern berichteten über einen hohen Lerneifer (z. B. 93 % für nicht-hispanische Weiße, 90 % für nicht-hispanische Afroamerikaner und 90 % für Hispanoamerikaner), aber die Lehrer unterschieden sich in ihren Urteilen

von Eifer (beurteilt 78 % der nicht-hispanischen Weißen, 66 % der nicht-hispanischen Afroamerikaner und 70 % der Hispanics als lernbegierig). Lehrer und Eltern beurteilen Kinder natürlich anhand verschiedener Vergleichsgruppen, aber die Daten lassen zumindest die Möglichkeit aufkommen, dass Kindergärtnerinnen den Eifer ihrer Schüler, Mathematik zu lernen, unterschätzen.

Vorschulkinder & rsquo Kenntnisse

Bei Vorschulkindern sind die mathematischen Fähigkeiten besonders eng miteinander verwoben. Obwohl ihr konzeptionelles Verständnis begrenzt ist, werden sie mit zunehmendem Verständnis von Zahlen in der Lage, einfache Probleme zu zählen und zu lösen. Erst wenn sie über das hinausgehen, was sie informell verstehen&mdash, zum Beispiel zum Basis-10-System für Jugendliche und größere Gruppen&mdash&mdash, verlieren ihre Sprachgewandtheit und ihre strategischen Kompetenzen. Kleine Kinder zeigen auch eine bemerkenswerte Fähigkeit, einfache mathematische Probleme zu formulieren, darzustellen und zu lösen sowie ihre mathematischen Aktivitäten zu begründen und zu erklären. Der Wunsch, die Welt um sie herum zu quantifizieren, scheint für kleine Kinder ganz natürlich zu sein. Sie sind positiv geneigt, Mathematik zu tun und zu verstehen, wenn sie ihr zum ersten Mal begegnen.

Die meisten Kinder in den USA kommen mit einem grundlegenden Verständnis von Zahlen und Zahlenkonzepten in die Schule, die die Grundlage für das Erlernen der Schulmathematik bilden können, aber ihr Wissen ist in einigen sehr wichtigen Punkten begrenzt. Kinder im Vorschulalter zeigen im Allgemeinen ein viel differenzierteres Verständnis für kleine Zahlen als für größere Zahlen. Sie haben auch große Schwierigkeiten, von den Zahlennamen in Sprachen wie Englisch und Spanisch zum Verständnis der Basis-10-Struktur von Zahlennamen und der Beherrschung der in der Schulmathematik verwendeten arabischen Ziffern zu gelangen. Außerdem kommen nicht alle Kinder mit dem oben beschriebenen intuitiven Zahlenverständnis in die Schule, das im Lehrplan der Grundschule vorausgesetzt wird. Neuere Forschungen legen nahe, dass es effektive Methoden gibt, um dieses grundlegende Verständnis von Zahlen zu vermitteln.

Anmerkungen

Copeland, 1984, p. 12. In der Theorie von Piaget treten Kinder typischerweise im Alter von etwa 7 bis 11 Jahren in die konkrete operative Phase ein, wenn sie logisch über die Eigenschaften realer Objekte nachdenken können.


5: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit - Mathematik -

(Einführung in die Wahrscheinlichkeit)

(Suche nach verstellbarem Spinner)

Nationalbibliothek für virtuelle Manipulationen

(Siehe Datenanalyse und Wahrscheinlichkeit – Klasse 6-8)

Lektion 1 – Überprüfung der Wahrscheinlichkeit

Zeitschätzung: eine 50-Minuten-Periode

Dies ist eine "von einem Lehrer geführte" Lektion, die am besten mit einem Computer mit Internetzugang und einem LCD-Projektor durchgeführt wird. Der Lehrer zeigt einen BrainPop-Film und ein interaktives Quiz namens Basic Probability – derzeit als kostenloses Beispiel auf dieser Website angeboten. Dann öffnet der Lehrer eine Überprüfung der Probability Review-Website bei Math Goodies, um das bisherige Lernen der Schüler zu besprechen

Lektion 2 – Interaktive Schüleraktivitäten im Internet

Zeitschätzung: zwei 50-Minuten-Perioden

Diese beiden Aktivitäten sollten von den Schülern in einem Computerlabor durchgeführt werden. Die Studierenden können nach Möglichkeit selbstständig an einem Computer arbeiten oder bei Bedarf mit einem Partner, der sich einen Computer teilt. Vor dem Unterricht sollte der Lehrer für jeden Schüler ein Schülerarbeitsblatt ausdrucken und kopieren. Der Schüler sollte das Blatt ausfüllen und als Artefakt aufbewahren, um ihm bei der Aufgabe der Mini-Einheit zu helfen.

Alternativ kann der Lehrer die Schüler als Klasse mit einem Computer und einem LCD-Projektor durch beide Aktivitäten führen. In diesem Fall sollte jeder Schüler sein eigenes Arbeitsblatt ausfüllen, während der Lehrer die Aktivität durchgeht.

Lektion 3 – Stein, Papier, Schere

Zeitschätzung: drei 50-Minuten-Perioden

Diese Lektion beginnt im Klassenzimmer mit den Schülern, die mit einem Partner arbeiten und 25 Spiele Stein, Papier, Schere spielen. Die Schüler sollten jeweils das Aktivitätsarbeitsblatt haben oder alternativ könnte eine Overhead-Transparenz die Schüler durch die Klassenaktivität führen.

Klassendaten sollten auf dem Whiteboard aufgezeichnet werden und dienen dazu, die Anzahl der Versuche für die Aktivität zu erhöhen.

Die Schüler füllen ein Arbeitsblatt (im Lieferumfang enthalten) zu den möglichen Ergebnissen des Zwei-Spieler-Spiels aus und arbeiten dann an einem Computer, um eine Tabelle und ein Tortendiagramm ihrer Klassendaten zu erstellen.

Lektion 4 – Wahrscheinlichkeitszuordnung: Concept Map

Zeitschätzung: ein bis drei 50-Minuten-Perioden

In dieser Aufgabe demonstrieren die Schüler ihr Verständnis der experimentellen und theoretischen Wahrscheinlichkeit, indem sie eine Konzeptkarte mit der Inspiration-Software erstellen. Auch hier arbeiten die Studierenden idealerweise selbstständig an einem Computer oder mit einem Partner, der sich einen Computer teilt.

Abhängig von ihrer Erfahrung mit dem Programm möchten die Lehrer möglicherweise eine Zeit lang die Software untersuchen.


Erweiterungs- und Leistungsaufgaben

Für Erweiterungs- und Aufführungsaufgaben bleibt nicht immer Zeit, da in so kurzer Zeit so viel zu unterrichten ist. Aber es ist gut, sie griffbereit zu haben, da sie für schnelle Finisher oder wenn Sie ein paar Minuten mehr Zeit haben, verwendet werden können.

Nächste Woche haben wir zum Beispiel 25 Minuten extra mit unserem Klassenzimmer, weil die 8. Klasse Highschool-Orientierung hat. Ich liebe Bill Nye, den Wissenschaftstyp, und wir studieren Wahrscheinlichkeit, also werden wir uns während dieser Zeit sein Video ansehen. Wenn Sie kreativ sind, finden Sie oft Zeit für Erweiterungsaktivitäten oder Sie können jederzeit warten, bis der Statustest abgeschlossen ist.


Fazit

Dieser Blog hat alle Details zur Mathematik und ihren Zweigen bereitgestellt, die ein Schüler lernen muss.

Wir haben auch die Top 10 der besten Mathematikbücher aufgelistet, die sowohl für die Schüler als auch für den Mathematiker von Vorteil sind, um die Konzepte der Mathematik zu verstehen.

Diese Bücher werden auch von den Experten überprüft, die Inhalt und Methode zur Lösung der komplexen Probleme der Mathematik überprüfen.

Daher kann man diese Bücher vorziehen, um mathematische Probleme zu lösen.

Dank dieser Bücher können die Schüler ihre Noten in ihren akademischen Tests und Aufgaben verbessern, indem sie ihre Fähigkeiten und ihre mathematischen Kenntnisse verbessern.

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