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4.6: Vektorfelder und Linienintegrale: Arbeit, Zirkulation und Fluss - Mathematik


Stellen Sie sich vor, Sie legen ein Boot in einen See mit zufälligen Strömungen. Die Strömung an einem bestimmten Punkt würde das Boot an dieser Stelle mit einer Kraft treffen. An einem anderen Punkt ist die Strömung anders, so dass sie das Boot mit einer anderen Kraft treffen würde. Ein Gitter all dieser Kräfte, die auf das Boot wirken, wird als Vektorfeld bezeichnet. Mit dem Vektorfeld können wir die Arbeit (das gesamte Wasser, das auf das Boot trifft), die Zirkulation (die Wassermenge, die in die gleiche Richtung wie das Boot fließt) und den Fluss (die Wassermenge, die auf das Boot trifft) bestimmen.

Vektoren

Ein Vektor ist ein Strahl, der in einem Punkt((x,y,z)) beginnt und in die Richtung (xhat{ extbf{i}}+yhat{ extbf{j}} + zhat{ extbf{k}}). Ein Vektorfeld ist die Zusammenstellung dieser Vektoren an jedem Punkt. Wir zeichnen ein Vektorfeld mit gleichmäßig verteilten Punkten für visuelle Zwecke, aber Sie sollten sich das Feld als Kontinuum vorstellen.

Ein Vektorfeld an sich hat keine Bedeutung, aber in diesem Abschnitt nennen wir das Feld (F), da Kraft eine übliche Verwendung des Vektorfeldes ist. Es gibt einige Methoden, mit denen Sie herausfinden können, wie ein Vektorfeld bei einer gegebenen Gleichung aussieht

  1. wissen, wie das Vektorfeld aussieht
  2. finde ein Programm, das Vektorfelder grafisch darstellt
  3. Zeichnen Sie Vektoren an einer Reihe von Punkten auf, bis Sie ein Gefühl dafür bekommen, wie der Graph aussieht.
  4. Verwenden Sie fortgeschrittenere Mathematik, die Sie noch nicht gelernt haben

Wenn Sie keine Ahnung haben, wie ein Vektorfeld aussieht, müssen Sie es auf die harte Tour machen, indem Sie Punkte einfügen. Dies ist eine Zeitverschwendung, daher kann es von Vorteil sein, sich die gängigen zu merken. Sehr selten müssen Sie wissen, wie ein Vektorfeld aussieht, solange Sie das gegebene Problem lösen können. Wenn Sie jedoch wissen, wie das Vektorfeld aussieht, können Sie feststellen, ob eine Antwort vernünftig ist.

Arbeit

In diesem Abschnitt wird davon ausgegangen, dass Sie wissen, was Arbeit ist, die die Summe aller Kräfte auf der Linie ist over

[Arbeit=int_C F ds. keine Nummer ]

Dieser Ausdruck und die in den folgenden Abschnitten können mit einem Linienintegral gelöst werden. Dies ist die allgemeine Gleichung, aber wir können sie ein wenig weiter herleiten, beginnen Sie mit einer beliebigen Kraft in parametrischer Form ( vec{F}(x,y,z) ) und dem zweiten Newtonschen Gesetz ( vec{F}= mvec{a} ) können wir ( vec{F} (x,y,z) ) in die Vektorform ( vec{F}(vec{r})) umwandeln, um die Gleichung zu vereinfachen .

Um Arbeit über eine Linie zu erhalten, sollte das Endergebnis (int_C vec{F} dr) sein, die Summe der Kräfte über der Linie (r(t)).

Zuerst ändere (vec{a}) in (dfrac{dv}{dt}) (die Definition der Beschleunigung)

[ vec{F}=mdfrac{dv}{dt} onumber]

wir multiplizieren beide Seiten mit (vec{v}). Beachten Sie, dass (vec{v}) dasselbe wie (dfrac{dr}{dt}) ist, also können wir dies für diesen Beweis verwenden

[vec{F} cdot dfrac{dr}{dt} = m dfrac{dv}{dt} cdot vec{v} . keine Nummer ]

Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung, um die Form zu ändern

[egin{align} dfrac{dv}{dt}cdotvec{v} &= dfrac{d}{dt} int vec{v}dfrac{dv}{dt} onumber [4pt] &=dfrac{d}{dt} left ( dfrac{vec{v}cdotvec{v}}{2} ight) onumber [4pt] &=dfrac {1}{2}dfrac{d}{dt}left ( left | vec v ight |^2 ight ) end{align}. keine Nummer ]

Setzen Sie dies nun wieder in die Gleichung ein und wir erhalten

[ vec{F}cdotdfrac{dr}{dt}=dfrac{m}{2}dfrac{d}{dt}left | vec v ight |^2. keine Nummer ]

Integrieren Sie beide Seiten bezüglich der Zeit von Zeitpunkt (0) bis Zeitpunkt (T)

[ int_0^Tvec{F}cdotdfrac{dr}{dt}dt=dfrac{m}{2}int_0^Tdfrac{d}{dt}left | vec v ight |^2dt onumber]

[ int_0^Tvec{F}cdot dr=dfrac{m}{2}dint_0^Tleft | vec v ight |^2 . keine Nummer ]

Beachten Sie, dass (int_0^Tvec{F}cdot dr) das Linienintegral ist, das die Vektorgleichung für den Pfad verwendet. das Lösen dieser Gleichung ergibt

[ int_0^Tvec{F}cdot dr=dfrac{m}{2}left | vec v(T) ight |^2-dfrac{m}{2}left | vec v(0) ight |^2 onumber]

Dies ist die Gleichung, die im Physikunterricht gelehrt wird. Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie

Fluss

Fluss ist definiert als die Menge an "Zeug", die durch eine Kurve oder eine Oberfläche fließt, und wir können den Fluss an einem bestimmten Punkt erhalten, indem wir die Kraft nehmen und sehen, wie viel der Kraft senkrecht zur Kurve ist. Dazu können wir den Normalenvektor ermitteln und dann das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Kraftvektor nehmen, um zu sehen, wie viel des Kraftvektors in Normalenrichtung wirkt. Dann können wir alle diese Punkte addieren, um den Gesamtfluss zu erhalten.

Somit lautet die Gleichung

[int_C vec{F}cdothat{n} ,ds. keine Nummer ]

Dies ist die allgemeine Gleichung, aber wir können dies noch ein wenig aufschlüsseln, der Normalenvektor steht senkrecht zum Tangentenvektor und liegt in der Ebene (hat{n}=hat{T} imeshat{k} ) indem wir (k) in das Kreuzprodukt einbeziehen, stellen wir sicher, dass (hat{n}) auf der Ebene liegt.

[hat{T}=dfrac{dfrac{dr}{dt}}{left | dfrac{dr}{dt} ight |} onumber]

[ds=links | dfrac{dr}{dt} ight | dt onumber ]

Diese Ersetzung ist nützlich zu wissen, wird aber nicht zum Aufschlüsseln dieser Gleichung verwendet, sodass wir diese Gleichung umschreiben können als

[int_{t=a}^{t=b} vec{F}cdot left(dfrac{dfrac{dr}{dt}}{left | dfrac{dr}{dt} rechts |} imes hat{ extbf{k}} ight)ds onumber]

[int_{t=a}^{t=b} vec{F}cdot left(dfrac{dfrac{dr}{dt}}{left | dfrac{dr}{dt} rechts |} imes hat{ extbf{k}} ight)ds. keine Nummer ]

Wir können tatsächlich (left(dfrac{dfrac{dr}{dt}}{left | dfrac{dr}{dt} ight |} imes hat{ extbf{k}} rechts)) noch weiter:

[hat{T}=left(dfrac{dfrac{dr}{dt}}{left | dfrac{dr}{dt} ight |} ight)=dfrac{dr}{ds } keine Nummer ]

[dfrac{dr}{ds}=dfrac{dx}{ds} hat{ extbf{i}} +dfrac{dy}{ds} hat{ extbf{j}} . keine Nummer ]

[hat{n}=hat{T} imes hat{ extbf{k}} =dfrac{dx}{ds} hat{ extbf{i}} +dfrac{dy}{ds } hat{ extbf{j}} imes hat{ extbf{k}} =-dfrac{dx}{ds} hat{ extbf{j}} +dfrac{dy}{ds} Hut{ extbf{i}} onumber]

Wenn wir (vec{F}=Mhat{ extbf{i}} + Nhat{ extbf{j}}) lassen, dann können wir die Gleichung umschreiben als:

[int_C left ( Mdfrac{dy}{ds}-Ndfrac{dx}{ds} ight )ds =int_C Mdy-Ndx. keine Nummer ]

Beispiel (PageIndex{1}): Schwerkraft

Welche Arbeit leistet die Schwerkraft?

[vec{F}=-dfrac{hat{r}}{left | vec{r} ight |^2} onumber]

über eine kreisförmige Bahn?

Lösung

Da der Radius nicht angegeben ist, verwenden wir die Variable (R) für den Radius.

  • wir kennen die Vektorgleichung für einen Kreis ( vec{r}(t)=R; cos(t) hat{ extbf{i}} +R; sin(t) hat{ extbf {j}} )
  • uns ist (F) in Bezug auf (r) gegeben (wenn wir nicht (F) in Bezug auf (r) gegeben hätten, müssten wir es umwandeln, weil wir in Bezug auf integrieren müssen (r)
  • wir haben die Arbeitsgleichung (W=int_0^Tvec{F}(r)cdot dvec{r})
  • wir wissen, dass (T=2pi) weil das eine Kreisdrehung ist

Wenn wir alles zusammensetzen, erhalten wir die Gleichung

[W=int_0^{2pi} -dfrac{hat{r}}{left | vec{r} ight |^2}cdot dfrac{dvec{r}}{dt}dt onumber]

Lassen Sie uns jede Komponente aufschlüsseln.

Vereinfachen Sie (left | vec{r} ight |^2):

[links | vec{r} ight |^2=sqrt{(Rcos(t)^2+(Rsin(t)^2)}^2=left (sqrt{R^2(sin ^2(t)+cos^2(t))} ight)^2=(sqrt{R^2(1)})^2=R^2. onumber]

(hat{r}) ist der Einheitsvektor von (vec{r}).

[egin{align} hat{r}=dfrac{vec{r}}{left | vec{r} ight |}&=dfrac{Rcos(t) hat{ extbf{i}} +Rsin(t) hat{ extbf{j}} }{sqrt{ R^2(sin^2(t)+cos^2(t))}} onumber [4pt] &= dfrac{Rcos(t) hat{ extbf{i}} + Rsin(t) hat{ extbf{j}} }{sqrt{R^2(1)}} onumber [4pt] &= dfrac{Rcos(t) hat{ textbf{i}} +Rsin(t) hat{ extbf{j}} }{R} onumber [4pt] &=cos(t) hat{ extbf{i}} + sin(t) hat{ extbf{j}} end{align} onumber]

(dfrac{dvec{r}}{dt}) ist die Ableitung von (vec{r}(t)).

[dfrac{dvec{r}}{dt}=dfrac{d}{dt}left (Rcos(t)hat{ extbf{i}} +Rsin(t) hat{ extbf{j}} ight)=-Rsin(t) hat{ extbf{i}} +Rcos(t) hat{ extbf{j}} onumber]

(R) ist eine Konstante, also können wir das einfach verschieben und in unseren Ergebnissen für (hat{r}) und (dvec{r}) einsetzen.

[W=-dfrac{1}{R^2}int_0^{2pi} (cos(t) hat{ extbf{i}} +sin(t) hat{ extbf{ j}} )cdot (-Rsin(t)hat{ extbf{i}} +Rcos(t)hat{ extbf{j}} )dt onumber]

Die Gleichung kann einfach mit Integralen gelöst werden.

[egin{align} W&=-dfrac{1}{R^2}int_0^{2pi} (-Rsin(t)cos(t) hat{ extbf{i}} +Rcos(t)sin(t) hat{ extbf{j}} )dt onumber [4pt] &= -dfrac{1}{R^2}left [ left(- Rdfrac{sin^2(t)}{2} ight)hat{ extbf{i}} +left(Rdfrac{sin^2(t)}{2} ight) Hut{ extbf{j}} ight ]_0^{2pi} onumber [4pt] &= -dfrac{1}{R^2} left(-Rdfrac{sin^2 (2pi)}{2} ight) hat{ extbf{i}} +left(Rdfrac{sin^2(2pi)}{2} ight) hat{ extbf {j}} - left(-Rdfrac{sin^2(0)}{2} ight) hat{ extbf{i}} -left(Rdfrac{sin^2(0 )}{2} ight) hat{ extbf{j}} onumber [4pt] &= -dfrac{1}{R^2}(0 hat{ extbf{i}} -0 hat{ extbf{i}} +0 hat{ extbf{j}} -0 hat{ extbf{j}} ) onumber [4pt] &=0 end{align} onumber ]

Eine andere Möglichkeit, dieses Problem zu betrachten, besteht darin, zu identifizieren, dass Sie den Positionsvektor ((vec(t)) in einem Kreis erhalten. Der Geschwindigkeitsvektor ist tangential zum Positionsvektor, also das Kreuzprodukt von (d(vec{ r})) und (vec{r}) ist 0, also ist die Arbeit (0).

Beispiel (PageIndex{2}): Fluss durch ein Quadrat

Bestimme den Fluss von (F=xhat{ extbf{i}}+yhat{ extbf{j}}) durch das Quadrat mit der Seitenlänge 2.

Lösung

Zuerst müssen wir die Kurvengleichung parametrisieren. Da dies ein Quadrat ist, benötigen wir vier verschiedene Gleichungen. Einer davon ist

[r(t)=(1-t)hat{ extbf{i}} + hat{ extbf{j}} ;;;;0leq tleq 2. onumber ]

Als nächstes finden Sie (dfrac{dr}{dt}), den Einheitstangensvektor von (r)

[dfrac{dr}{dt}=dfrac{d}{dt}(1-t) hat{ extbf{i}} +dfrac{d}{dt} hat{ extbf{j} } = - hat{ extbf{i}} onumber]

[hat{T}=dfrac{dfrac{dr}{dt}}{left | dfrac{dr}{dt} ight |}=dfrac{-hat{ extbf{i}} }{1}=-hat{ hat{ extbf{i}}}. keine Nummer ]

Dann finden Sie den Einheitsnormalenvektor, der definiert ist als (hat{n}=hat{T} imeshat{ extbf{k}})

[hat{n}=- hat{ extbf{i}} imes hat{ extbf{k}} = hat{ extbf{j}} . keine Nummer ]

Jetzt haben wir alles, was wir brauchen, um nach dem Fluss (int_C Fcdothat{n} ds) aufzulösen.

[int_C (x(t) hat{ extbf{i}} dx +y(t) hat{ extbf{j}} )cdot hat{ extbf{j}} left |dfrac {dr}{dt} echts | dt onumber ]

[ int_0^2 0 hat{ extbf{i}} +y(t) hat{ extbf{j}} (1) dt = 2. onumber]

Wir fanden den Fluss auf dieser Seite zu 2. Für alle anderen Probleme müssten wir die anderen drei Linien berechnen und sie addieren. Aber für dieses spezielle Problem ist die Kraft von der Mitte nach außen gerichtet, sodass die anderen drei Seiten den gleichen Fluss haben. macht die Antwort (2 imes 4 = 8).

Beispiel (PageIndex{3}): Fluss durch einen Kreis

Bestimme den Fluss von (F=xhat{ extbf{i}}+yhat{ extbf{j}}) durch einen Kreis mit Radius = (R).

Lösung

Parametrieren Sie zunächst die Kurve:

[r(t)=Rcos(t)hat{ extbf{i}} +Rsin(t)hat{ extbf{j}} ; ;;;0leq t leq 2pi;; ext{or};; x(t)=Rcos(t)hat{ extbf{i}} ;;y(t)=Rsin(t)hat{ extbf{j}}. keine Nummer ]

Dann ist der Einheitstangensvektor (hat{T}):

[dfrac{dr}{dt}=dfrac{d}{dt}Rcos(t) hat{ extbf{i}} +dfrac{d}{dt}Rsin(t) hat{ extbf{j}} = -Rsin(t) hat{ extbf{i}} + Rcos(t) hat{ extbf{j}} onumber]

[links | dfrac{dr}{dt} ight |=sqrt{left ( dfrac{dx}{dt} ight )^2 +left ( dfrac{dy}{dt} ight )^2}= sqrt{(-sin(t)^2+cos(t)^2}=sqrt{R^2cos^2(t)+R^2sin^2(t)} =R keine Nummer ]

[hat{T}=dfrac{dfrac{dr}{dt}}{left | dfrac{dr}{dt} ight |}=dfrac{R-sin(t) hat{ extbf{i}} + Rcos(t) hat{ extbf{j}} }{ R}= -sin(t)hat{ extbf{i}} + cos(t)hat{ extbf{j}}. keine Nummer ]

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor (hat{n}=hat{T} imes hat{ extbf{k}}):

[hat{n}=(-sin(t)+cos(t)) imes hat{ extbf{k}} onumber]

[hat{n}=sin(t)hat{ extbf{j}} +cos(t)hat{ extbf{i}}. keine Nummer ]

Für den Fluss (int_C Fcdothat{n} ds) auflösen:

[int_C(x(t)hat{ extbf{i}} +y(t))cdot sin(t) hat{ extbf{j}} +cos(t)hat{ textbf{i}} left |dfrac{dr}{dt} ight | dt onumber ]

[int_0^{2pi} (x(t) hat{ extbf{i}} +y(t))cdot sin(t) hat{ extbf{j}} +cos( t) hat{ extbf{i}} (R)dt onumber]

[int_0^{2pi} (x(t)cos(t) + y(t)sin(t))Rdt. keine Nummer ]

Ersetzen Sie (x(t)) und (y(t))

[egin{align} &int_0^{2pi} (Rcos(t)cos(t) + Rsin(t)sin(t))(R)dt onumber [ 4pt] &= int_0^{2pi} (R^2)dt onumber [4pt] &= R^2left [t ight ]_0^{2pi} onumber [4pt ] &=2pi R^2 . end{align} onumber ]

Beispiel (PageIndex{5}): Fluss durch eine Ellipse

Bestimme den Fluss von (F=xhat{ extbf{i}}+yhat{ extbf{j}}) durch eine Ellipse mit den Achsen (a) und (b).

Lösung

Beginnen Sie mit der Parametrierung der Kurve einer Ellipse

[vec{r}(t)=acos(t)hat{ extbf{i}} +bsin(t)hat{ extbf{j}}. keine Nummer ]

Bestimme dann den Einheitstangensvektor

[vec{T}=dfrac{dr}{dt}=-asin(t) hat{ extbf{i}} +bcos(t) hat{ extbf{j}} keine Nummer ]

[links | dfrac{dr}{dt} ight |=sqrt{(-asin(t))^2+(bcos(t))^2}=..... onumber]

Das Auflösen nach (left | dfrac{dr}{dt} ight |) könnte also zu viel Zeit in Anspruch nehmen, also lassen wir es vorerst so, wie es ist

[hat{T}=dfrac{dfrac{dr}{dt}}{left | dfrac{dr}{dt} ight |}=dfrac{-asin(t) hat{ extbf{i}} +bcos(t) hat{ extbf{j}} }{ links | dfrac{dr}{dt} ight |} onumber]

Nun nehmen wir das Kreuzprodukt mit (hat{k}) und erhalten (hat{n})

[hat{n}=dfrac{-asin(t) hat{ extbf{i}} +bcos(t) hat{ extbf{j}} }{left | dfrac{dr}{dt} ight |} imes hat{ extbf{k}} =dfrac{bcos(t) hat{ extbf{i}} +asin(t) Hut{ extbf{j}} }{links | dfrac{dr}{dt} ight |}. keine Nummer ]

Jetzt einfach nach Flussmittel auflösen

[egin{align} & int_C vec{F}(r(t))cdot hat{n}ds onumber [4pt] &= int_0^{2pi} (x hat { extbf{i}} +y hat{ extbf{j}} )cdot left (dfrac{bcos(t) hat{ extbf{i}} +asin(t) Hut{ extbf{j}} }{left | dfrac{dr}{dt} ight |} ight ) left (left | dfrac{dr}{dt} ight | ight )dt nonumber [4pt] &= int_0^{2pi} (acos(t) hat{ extbf{i}} +b(sin(t) hat{ extbf{j}} ) cdot left (dfrac{bcos(t) hat{ extbf{i}} +asin(t) hat{ extbf{j}} }{left | dfrac{dr}{ dt} ight |} ight ) left (left | dfrac{dr}{dt} ight | ight )dt. end{align} onumber]

Beachten Sie, dass sich (left | dfrac{dr}{dt} ight|) aufhebt und wir mit

[egin{align} int_0^{2pi} a^2cos^2(t)+b^2sin^2(t) dt onumber [4pt] &= int_0^{ 2pi} a^2+b^2 dt onumber [4pt] &= 2pi(a^2+b^2). end{align} onumber ]

Verkehr

Zirkulation ist die Menge an "Zeug" parallel zur Bewegungsrichtung. Wir suchen nach der Menge an "Zeug", die in Richtung des Tangentenvektors geht und berechnen dies, indem wir das Skalarprodukt von (vec{F}) (Das Vektorfeld) und (hat T) nehmen. (die Richtung, die tangential zur Kurve ist) Wir verwenden (Gamma) als Variable für die Zirkulation

[ Gamma=int_C vec{F}cdothat{T} ds. keine Nummer ]

Beispiel (PageIndex{5}): Auflage

Gegeben sei das Vektorfeld (vec{F}(vec{r})=-yhat{ extbf{i}} +xhat{ extbf{j}}) Zirkulation über einen Kreis.

Lösung

Parametrieren Sie die Gleichung für einen Kreis

[acos(t)hat{ extbf{i}} +asin(t) hat{ extbf{j}} ;;;;x(t)=Rcos( t);; y(t)=Rsin(t) onumber]

Dann finde (hat{T})

[vec{T}=dfrac{dr}{dt}=-Rsin(t) hat{ extbf{i}} +Rcos(t) hat{ extbf{j}} keine Nummer ]

[links | vec{T} ight |=sqrt{(Rsin(t))^2+(Rcos(t))^2}=R onumber]

[hat{T}=dfrac{vec{T}}{left | vec{T} ight |}=dfrac{-Rsin(t) hat{ extbf{i}} +Rcos(t) hat{ extbf{j}} }{R}= -sin(t)hat{ extbf{i}} +cos(t)hat{ extbf{j}}. keine Nummer ]

Berechnen Sie dann für die Zirkulation

[egin{align} Gamma=int_C vec{F}cdot hat{T} ds &=int_C vec{F}cdot hat{T}left |dfrac{dr}{ dt} ight |dt onumber [4pt] &=int_C left ( -Rsin(t) hat{ extbf{i}} +Rcos(t) hat{ extbf{j }} ight )cdot left (-sin(t) hat{ extbf{i}} +cos(t) hat{ extbf{j}} ight ) (R)dt onumber [4pt] &= int_0^{2pi} left (Rsin^2(t)+Rcos^2(t) ight)Rdt onumber [4pt] &= int_0^ {2pi} R^2dt=2pi R^2 . end{align} onumber ]


Schau das Video: Potentialfunktion, Skalarpotential, Gradientenfeld - Übersicht (Januar 2022).