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4: Polynomiale und rationale Funktionen


  • 4.1: Auftakt zu polynomialen und rationalen Funktionen
    Die digitale Fotografie hat die Natur der Fotografie dramatisch verändert. Auf einer Filmrolle wird kein Bild mehr in die Emulsion geätzt. Stattdessen wird heute fast jeder Aspekt der Aufnahme und Manipulation von Bildern von der Mathematik beherrscht. Ein Bild wird zu einer Reihe von Zahlen, die die Eigenschaften von Licht darstellen, das auf einen Bildsensor trifft. Wenn wir eine Bilddatei öffnen, interpretiert eine Software auf einer Kamera oder einem Computer die Zahlen und wandelt sie in ein visuelles Bild um.
  • 4.2: Quadratische Funktionen
    In diesem Abschnitt werden wir quadratische Funktionen untersuchen, die häufig Probleme mit Flächen- und Projektilbewegung modellieren. Das Arbeiten mit quadratischen Funktionen kann weniger komplex sein als das Arbeiten mit Funktionen höheren Grades, daher bieten sie eine gute Gelegenheit für eine detaillierte Untersuchung des Funktionsverhaltens.
  • 4.3: Potenzfunktionen und Polynomfunktionen
    Angenommen, eine bestimmte Vogelart gedeiht auf einer kleinen Insel. Die Grundgesamtheit kann mit einer Polynomfunktion geschätzt werden. Mit diesem Modell können wir die maximale Vogelpopulation und den Zeitpunkt ihres Auftretens abschätzen. Wir können dieses Modell auch verwenden, um vorherzusagen, wann die Vogelpopulation von der Insel verschwinden wird. In diesem Abschnitt werden wir Funktionen untersuchen, mit denen wir diese Arten von Änderungen schätzen und vorhersagen können.
  • 4.4: Graphen von Polynomfunktionen
    Die Einnahmen in Millionen Dollar für eine fiktive Kabelgesellschaft können durch die Polynomfunktion modelliert werden. Aus dem Modell könnte man interessieren, in welchen Intervallen die Einnahmen für die Gesellschaft steigen oder sinken? Diese und viele andere Fragen können durch die Untersuchung des Graphen der Polynomfunktion beantwortet werden. Das lokale Verhalten von Quadraten, einem Spezialfall von Polynomen, haben wir bereits untersucht. In diesem Abschnitt werden wir das lokale Verhalten von Polynomen im Allgemeinen untersuchen.
  • 4.5: Dividieren von Polynomen
    Wir kennen den langen Divisionsalgorithmus für gewöhnliche Arithmetik. Wir beginnen mit der Division in die Ziffern der Dividende mit dem höchsten Stellenwert. Wir dividieren, multiplizieren, subtrahieren, nehmen die Ziffer an der nächsten Stellenwertposition auf. Die Division von Polynomen, die mehr als einen Term enthalten, hat Ähnlichkeiten mit der langen Division ganzer Zahlen. Wir können einen polynomiellen Dividenden als Produkt des Divisors und des zum Rest addierten Quotienten schreiben.
  • 4.6: Nullstellen von Polynomfunktionen
    Im letzten Abschnitt haben wir gelernt, wie man Polynome teilt. Wir können jetzt Polynomdivision verwenden, um Polynome mit dem Restsatz auszuwerten. Wenn das Polynom durch (x–k) geteilt wird, kann der Rest schnell gefunden werden, indem man die Polynomfunktion bei (k) auswertet, dh (f(k)).
  • 4.7: Rationale Funktionen
    In den letzten Abschnitten haben wir mit Polynomfunktionen gearbeitet, also Funktionen mit nicht-negativen ganzen Zahlen für Exponenten. In diesem Abschnitt untersuchen wir rationale Funktionen, die Variablen im Nenner haben.
  • 4.8: Inverse und radikale Funktionen
    In diesem Abschnitt werden wir die Inversen polynomialer und rationaler Funktionen und insbesondere die dabei auftretenden Radikalfunktionen untersuchen.
  • 4.9: Modellieren mit Variation
    Ein Gebrauchtwagenunternehmen hat seiner besten Kandidatin, Nicole, gerade eine Stelle im Vertrieb angeboten. Die Position bietet 16% Provision auf ihre Verkäufe. Ihr Verdienst hängt von der Höhe ihres Umsatzes ab. Wenn sie beispielsweise ein Fahrzeug für 4.600 US-Dollar verkauft, verdient sie 736 US-Dollar. Sie möchte das Angebot bewerten, weiß aber nicht wie. In diesem Abschnitt werden wir uns Beziehungen wie diese zwischen Einnahmen, Verkäufen und Provisionssatz ansehen.

Miniaturbild: Identifizieren des Verhaltens des Graphen an einem x-Achsenabschnitt durch Untersuchung der Multiplizität der Nullstelle.


9C. Polynome und rationale Funktionen

Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten, Ableitungen, Integrale und Zusammensetzungen von Polynomen können als Funktionen ihrer Koeffizienten ausgedrückt werden. Beispielsweise:

Die Polynomfunktion s. und verwandte Einrichtungen wie die Taylor-Koeffizienten t. sind alle in aufsteigenden Potenzen definiert, wie es für Potenzreihen angemessen ist. Die Definition in Bezug auf absteigende Potenzen, die üblicherweise in der High-School-Algebra verwendet wird, wird am Ende des Abschnitts diskutiert.

d0=: Summe=: +/@,: Polynomsumme. Versuchen 1 2 Summe 1 3 3 1
d1=: dif=: -/@,: "Unterschied
d2=: ppr=: +//[email protected](*/) " Produkt
m3=: pdi=: 1: >. ] * [email protected]# " Derivat
d4=: pin=: , ] % >:@[email protected]# " Integral (linkes Arg ergibt Konstante)
m5=: piz=: 0&in " integral 0 Integrationskonstante
m6=: atop=: [ +/ .* 1 0"_ ,ppr/@(<:@#@[# ,:@]) Komposition: (c über d)&p. ist äquivalent zu (c&p.) @ (d&p.)

Binomialkoeffizienten haben eine wichtige Eigenschaft, die wie folgt veranschaulicht wird:

Dieses Verhalten wird auf die Koeffizienten eines Polynoms wie folgt erweitert:

Ein Polynom mit Koeffizienten c kann auch als Produkt über seinen Wurzeln multipliziert mit dem Koeffizienten des Termes höchster Ordnung ausgedrückt werden, d.h. <:c. Die selbstinverse Monade s. liefert die Transformationen zwischen Koeffizienten und Wurzeln. Beispielsweise:

m7=: p. Transformation zwischen Wurzeln und Koeffizienten
d8=: p. Polynom in Bezug auf Wurzeln oder Koeffizienten
c9=: FIT=: 2 :'x %. ]^/(i.y)"_' f FIT d gibt Koeffizienten der pn-Gradanpassung an d-1

Die fallende Faktorfunktion ff=: ^!._1, und das entsprechende fallende Polynom fp=: p. _1 sind in der endlichen Kalkül nützlich:

Wir definieren eine lineare Funktion, um die Koeffizienten eines Polynoms in die Koeffizienten eines äquivalenten fallenden Polynoms zu transformieren, d.h. (c S. x)-:(fcFc fp x) :

d10=: ff=: ^!._1 Fallende Fakultät (_1-stope)
d11=: fp=: p. _1 " 1 0 Fallendes faktorielles Polynom
a12=: VM=: ((/

)(@ich.))(@#)

Vandermonde-Adverb
m13=: fcFc=:]+/ .*

^VM%.ff VM

Fallende Koeffizienten Von gewöhnlichen Koeffizienten
m14=: cFfc=: fcFc^:_1 Gewöhnliche Koeffizienten Von fallenden Koeffizienten
d15=: straff=: p. -: [email protected][ fp ] Tautologie
d16=: rf=: ^!.1 Steigende Fakultät
a17=: S=: 1 : '^!.x.' Stope-Adverb (1 S ist rf Versuchen Sie 0,1 S)
d18=: mtn=:<[email protected][+/ .*]*/ .^>[email protected][ Multinomial z.B. (c,E) mtn x,y,z

Wenn c ist eine Liste von Koeffizienten, deren Anzahl den Spalten einer dreireihigen Exponententabelle entspricht E, und wenn v=: x,y,z, dann c +/ . *v*/ . ^ E ist ein Multinom, eine gewichtete Summe von Potenzen von x, ja, und z. Beispielsweise:

Wenn f und G Polynome sind, dann ist die Funktion f % g heißt rationale Funktion. Die Konjunktion R=: 2 : 'x&p. % y&p.' erzeugt eine rationale Funktion, die durch ihre Koeffizientenargumente definiert ist:

Die Taylor-Koeffizienten rationaler Funktionen können interessante Ergebnisse liefern. Beispielsweise:

c19=: R=: 2 : 'x&p. % y&p.' Rationale Konjunktion
c20=: TR=: 2 : '(x&p. % y&p.) t.' Taylorreihe der rationalen Funktion

Die High-School-Definition eines Polynoms in Bezug auf absteigende Potenzen kann durch Umkehren der Reihenfolge der Koeffizienten wie folgt definiert werden:

Entsprechende Definitionen einiger anderer Funktionen wie Summe, Produkt und Ableitung sind im Folgenden zusammengestellt:

d21=: dp=: (|[email protected][ S. ])"1 1 0 Polynom in absteigender Potenz
d22=: dsum=: Summe&.|. Polynomsumme in absteigender Potenz
d23=: ddif=: dif&.|. Polynomdifferenz in absteigenden Potenzen
d24=: dppr=: ppr Polynomprodukt in absteigenden Potenzen
m25=: dpdi=: pdi&.|. Polynomiale Ableitung in absteigenden Potenzen
m26=: ".&> 'a=:2&<' 'b=:1&<' 'c=:0&<' Koeffizienten a, b und c von quadratisch
m27=: dsc=: (b^2:) - 4:*a*c Diskriminante von quadratisch
m28=: r=:([email protected](+,-)%:@dsc)%+:@a Wurzeln des quadratischen
d29=: [email protected](1: , ,) b d29 c gibt Wurzeln von 1,b,c
m30=: ] d29"0 [email protected][email protected](*: % 4:) Argumente beschränkt auf reale Ergebnisse

Sätze m33-m35 Verwenden Sie den bekannten Ausdruck aus der elementaren Algebra, um die Wurzeln eines Quadrats als Funktionen einer dreielementigen Liste von Koeffizienten für ein Polynom mit Exponenten in aufsteigender Reihenfolge zu erzeugen. Beispielsweise:

Der Ausdruck b d36 c gibt die Wurzeln des "monischen" Polynoms mit Koeffizienten 1,b,c, und m36 wendet es auf Paare von nicht-negativen ganzen Zahlen an, die reelle Wurzeln ergeben. Beispielsweise:


Grenzwert der polynomischen und rationalen Funktion

Sei p eine Polynomfunktion von x und c eine reelle Zahl, der Grenzwert von p (x), wenn x sich c nähert, hängt nicht vom Wert von f bei x = c ab. Es kann jedoch vorkommen, dass der Grenzwert genau p (c) ist. In solchen Fällen kann der Grenzwert durch direkte Substitution berechnet werden und die Funktion ist bei c stetig.

Lösung: Das Muster von f(x) = x 2 -3x+4 nahe x=1 kann der folgenden Tabelle entnommen werden:

x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1
f(x) 2.6 2.96 2.996 1.003 1.03 1.3

f(x) nähert sich 3, wenn sich x von der linken Seite her 2 nähert,

f(x) nähert sich 1, wenn sich x von der rechten Seite 2 nähert.

Sei r eine rationale Funktion von x, wobei r(x) =p(x)/q(x) und c eine reelle Zahl mit q(c)≠ ist, dann gilt:

Eine Funktion kann sich einem asymptotischen Wert nähern, wenn sich x in die +ive oder -ive Richtung bewegt.

Lösung: Zuerst Zähler und Nenner faktorisieren

Lösung: Dividiere Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x in der rationalen Funktion, x 2 .

Abschließend werden die Eigenschaften von Grenzwerten unten angegeben. Seien b und c reelle Zahlen und n eine positive ganze Zahl, wobei f und g Funktionen von x mit Grenzwerten sind:

Beispiel 7: Find

Der Grenzwert (als x → 2 ) der Polynomfunktion p(x) = 4x 2 + 3 ist einfach der Wert von p bei x = 2.

Diese direkte Substitutionseigenschaft gilt für alle polynomiellen und rationalen Funktionen mit Nennern ungleich null.

Beispiel 8: Finde $lim _frac+x-6>$

Die direkte Substitution schlägt fehl, weil –3 eine Null des Nenners ist. Bei Verwendung einer Tabelle scheint es jedoch, dass die Grenze der Funktion, wenn x sich –3 nähert, –5 beträgt.

Zerlegen Sie zuerst den Zähler und streichen Sie alle gemeinsamen Faktoren aus.

Das oben gezeigte Verfahren zur Bewertung eines Grenzwerts wird als Aufteilungstechnik bezeichnet. Die Gültigkeit dieser Technik ergibt sich aus der Tatsache, dass, wenn zwei Funktionen bis auf eine einzige Zahl c übereinstimmen, sie bei x = c identisches Grenzverhalten aufweisen müssen. Diese Technik sollte nur angewendet werden, wenn die direkte Substitution sowohl im Zähler als auch im Nenner 0 ergibt. Ein Ausdruck wie 0/0 ist als reelle Zahl bedeutungslos. Es wird als unbestimmte Form bezeichnet, weil Sie die Grenze nicht allein aus der Form bestimmen können. Um einen Grenzwert einer rationalen Funktion durch direkte Substitution auszuwerten und dieser Form zu begegnen, müssen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben.


Rationale Kurven

Parametrische Darstellungen mit Polynomen sind einfach nicht leistungsfähig genug, da viele Kurven (z. B. Kreise, Ellipsen und Hyperbeln) auf diese Weise nicht erhalten werden können. Eine Möglichkeit, diesen Nachteil zu überwinden, besteht darin, homogene Koordinaten zu verwenden. Zum Beispiel wird eine Kurve im Raum (bzw. Ebene) mit vier (bzw. drei) Funktionen statt mit drei (bzw. zwei) wie folgt dargestellt:

Eine parametrische Kurve in homogener Form wird als rationale Kurve bezeichnet. Zur Unterscheidung nennen wir eine Kurve in Polynomform eine Polynomkurve.

Ein Beispiel

Sei der Definitionsbereich von u die reelle Gerade. Lassen Sie uns nun von negativer Unendlichkeit zu positiver Unendlichkeit laufen. Die Werte von x und y gehen beide ins Unendliche, positiv oder negativ. Mit anderen Worten, die durch die obige parametrische Form beschriebene Kurve enthält mindestens einen Punkt im Unendlichen. Da alle Punkte eines Kreises im endlichen Bereich liegen, ist es unmöglich, einen Kreis aus der obigen parametrischen Form zu erhalten. Dies zeigt also eine Schwäche der parametrischen Form.

Zu diesem Schluss können wir auch rechnerisch kommen. Beginnen wir mit folgendem Formular:

Angenommen, a und p sind beide nicht Null. Dividiert man die erste und zweite Gleichung durch a bzw. p , so erhält man

Ziehen Sie nun den zweiten vom ersten ab, um den Term u 2 zu eliminieren. Auflösen nach u ergibt dann:

Wenn man dieses u schließlich wieder in die erste Gleichung (der parametrischen Form) einsetzt, erhält man

Das Löschen der Nenner und das Umordnen der Terme ergibt

Denken Sie daran, dass wir zur Bestimmung des Typs dieser quadratischen Kurve die Werte von D , E und F nicht benötigen. Da B 2 - A × C = 0 ist (siehe Einfache Kurven und Flächen für die Details), ist diese Kurve eine Parabel. Ein Problem im Abschnitt Probleme behebt einige der kleineren Fehler in der obigen Berechnung.

Rationale Formen gemeinsamer Kurven

Das obige zeigt einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1. Sei u ein Parameter für diesen Kreis. Der Einfachheit halber verwenden wir die x-Achse für den Wert von u, und als Ergebnis gibt es für jeden bestimmten Wert von u einen Punkt (u,0) auf der x-Achse. Verbinden Sie eine Linie zwischen ( u ,0) und dem Südpol des Kreises (0,-1). Da eine Gerade einen Kreis in zwei Punkten schneidet, sei der andere Punkt, der nicht der Südpol ist, ( x ( u ), y ( u )). Wenn sich u auf der x-Achse bewegt, bewegt sich der entsprechende Punkt auf dem Kreis. Jedes endliche u hat einen solchen entsprechenden Punkt. Das unendliche u entspricht dem Südpol. Andererseits entspricht jeder Punkt auf dem Kreis, der nicht der Südpol ist, einem u auf der x-Achse.

Die Verbindungslinie zwischen Südpol und ( u ,0) ist x = u y + u . Die Kreisgleichung ist x 2 + y 2 = 1. Das Einsetzen der Geradengleichung in die Kreisgleichung und Auflösen nach y ergibt zwei Wurzeln für y . Eine davon muss y = -1 sein, da diese Linie durch den Südpol geht. Die andere Wurzel ist y = (1 – u 2 )/(1 + u 2 ). Das Einsetzen dieses y in die Liniengleichung ergibt x = (2 u ) / (1 + u 2 ). Daher ist für jedes u der entsprechende Punkt auf dem Kreis

Als Ergebnis hat ein Kreis eine rationale Parametrisierung. Wenn u ins Unendliche geht, nähert sich x 0, während sich y -1 nähert (verwenden Sie die Regel von L'Hospital).

Tatsächlich sagt uns diese Berechnung mehr. Dieser Kreis hat eine trigonometrische parametrische Form (cos(t), sin(t)), wobei t im Bereich von 0 und 2PI liegt. Daher kann ein Punkt auf dem Kreis zwei verschiedene Darstellungen haben, aber ihre Werte sind gleich. Das heißt, (cos(t), sin(t)) = ((2 u) / (1 + u 2 ), (1 - u 2 ) / (1 + u 2 )) für einige u. Somit lassen sich die trigonometrischen Funktionen cos(t) und sin(t) wie folgt parametrisieren:

Mit einer Parametrisierung für cos( t ) und sin( t ) können Sie leicht eine rationale Parametrisierung für eine Ellipse und eine Hyperbel finden. Lassen Sie uns den Hyperbelteil machen und die Ellipse als Übung belassen. Eine Hyperbel in ihrer Normalform hat eine Gleichung wie folgt:

wobei a und b die Längen der großen Halbachse und der kleinen Halbachse sind. Es ist leicht zu überprüfen, ob die folgende Parametrisierung für die Hyperbel korrekt ist:

Da tan(t) = sin(t) / cos(t) und sec(t) = 1 / cos(t) sind, werden sie durch Einsetzen der rationalen Parametrisierung für sin(t) und cos(t) in die obigen Gleichungen von eine trigonometrische parametrische Form zu einer rationalen wie folgt:

Uniformisierungssätze

Die Frage ist: Ist es möglich, bei einer Kurve in einer impliziten Polynomform eine parametrische Form zu finden, polynomiell oder rational, die dieselbe Kurve beschreibt? Leider ist die Antwort negativ. Das heißt, es gibt Kurven, die keine polynomischen oder rationalen parametrischen Formen haben (z. B. die elliptische Kurve y 2 = x 3 + a x + c). Dies ist das Ergebnis von Uniformisierungssätzen.

Aufgrund dieser Tatsache können implizite Polynome mehr Kurven beschreiben als polynomielle und rationale parametrische Formen. Warum verwenden wir keine impliziten Polynome? Der Grund ist einfach. Parametrische Kurven sind einfach zu verwenden. Während implizite Polynomkurven leistungsfähig sind und mehr Kurven beschreiben können, sind viele ihrer wichtigen Eigenschaften schwer zu berechnen und implizite Kurven sind im Allgemeinen schwer zu verwenden. Implizite Kurven und Flächen werden wir später behandeln.


4: Polynomiale und rationale Funktionen

In diesem Abschnitt werden wir Asymptoten rationaler Funktionen untersuchen. Insbesondere betrachten wir horizontale, vertikale und schräge Asymptoten. Denken Sie daran, dass wir eine rationale Funktion der Form untersuchen,

wo P(x) und Q(x) sind Polynome. Wir sagen das f(x) ist in den niedrigsten Ausdrücken, wenn P(x) und Q(x) haben keine gemeinsamen Faktoren.

1. Horizontale Asymptoten

EIN. Grad von P(x) < Grad von Q(x)

Die rationale Funktion f(x) = P(x) / Q(x) hat in den niedrigsten Termen eine horizontale Asymptote
ja
= 0 wenn der Grad des Zählers, P(x), kleiner als der Nennergrad ist, Q(x). In diesem Fall, f(x) &rarr 0 as x &rarr ±&infin. Ein Beispiel für eine Funktion mit horizontaler Asymptote ja = 0 ist,

B. Grad der P(x) = Grad von Q(x)

Die rationale Funktion f(x) = P(x) / Q(x) hat in den niedrigsten Termen eine horizontale Asymptote
ja = ein / b wenn der Zählergrad, P(x), ist gleich dem Nennergrad, Q(x), wo ein ist der führende Koeffizient von P(x) und b ist führender Koeffizient von Q(x). In diesem Fall, f(x) &rarr ein / b wie x &rarr ±&infin. Ein Beispiel für eine Funktion mit horizontaler Asymptote ja = 1 / 3 ist,

C. Grad von P(x) > Grad von Q(x)

Die rationale Funktion f(x) = P(x) / Q(x) hat in niedrigsten Termen keine horizontalen Asymptoten, wenn der Grad des Zählers, P(x), ist größer als der Nennergrad, Q(x).

2. Vertikale Asymptoten

3. Schräge Asymptoten

Die rationale Funktion f(x) = P(x) / Q(x) hat in niedrigsten Termen eine schräge Asymptote, wenn der Grad des Zählers, P(x), ist genau eins größer als der Grad des Nenners, Q(x). Sie können schräge Asymptoten durch Polynomdivision finden, wobei der Quotient die Gleichung der schrägen Asymptote ist. Zum Beispiel die Funktion,

hat eine durch Polynomdivision gefundene schräge Asymptote,

So haben wir festgestellt, dass

und die Gleichung der schiefen Asymptote ist der Quotient,

ja = x + 2.

Das heißt, wie |x| wird groß, f(x) nähert sich der Linie ja = x + 2 wie in der folgenden Grafik dargestellt. Beachten Sie, dass der Rest sich 0 nähert, da |x| &rarr &infin.

Asymptoten finden

Beim Auffinden von Asymptoten ist es wichtig, sich daran zu erinnern f(x) = P(x) / Q(x) muss in den niedrigsten Ausdrücken sein. Zum Beispiel, nur weil x = ein ist eine einfache Wurzel von Q(x) bedeutet nicht, dass es einer vertikalen Asymptote entspricht. Insbesondere wenn x = ein ist eine einfache Wurzel von P(x) und Q(x) hat der Graph ein Loch an der Stelle x = ein. Da ein Punkt keine Größe hat, sieht ein Graph einer solchen Funktion auf einem Taschenrechner nicht anders aus. Daher bezeichnen wir ein Loch in einem Graphen mit einem offenen Kreis. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion,

Beachten Sie, dass wir schreiben können Q(x) = x 2 &minus 1 als Q(x) = (x &minus 1)(x + 1). Beachte das x = 1 und
x
= &minus1 sind nicht im Bereich von f(x), da sie Nullstellen von sind Q(x). jedoch, wenn x &ne 1 können wir den Faktor stornieren x &minus 1 im Zähler und Nenner als,

Beachte das f(x) und stimme überall zu, außer an dem Punkt x = 1 (da x = 1 liegt nicht im Bereich von f(x), ist aber im Bereich von G(x)). Daher ist der Graph von f(x) sieht genauso aus wie der Graph von G(x) außer dass es ein Loch im Graphen von gibt f(x) beim x = 1 wie unten abgebildet.

Im nächsten Abschnitt werden wir die Graphen rationaler Funktionen untersuchen.


Polynome und rationale Funktionen

In diesem Abschnitt (Prozess) finden Sie alle Ressourcen, die Sie benötigen, um die genannten Anforderungen und Aufgaben zu erfüllen. Klicken Sie einfach auf den blauen Text, in dem ein Hyperlink programmiert ist, der Sie zu einer anderen Website führt, auf der Sie die gesuchten Informationen finden.

Klicken Sie auf die blau gefärbten Wörter oder auf ein beliebiges Thema, das Sie wissen möchten. Es ist ratsam, zuerst die genannten Links zu durchsuchen und die Websites zu studieren, die die Informationen enthalten, die zur Erfüllung der genannten Anforderungen erforderlich sind.

Nachdem Sie die Definition von Polynomen bis hin zu den rationalen Funktionen gelesen und studiert haben, werden Sie nun damit beginnen, die Anhänge am Ende dieser Website zu beantworten und sie zusammen mit den Lösungen im genannten Format auszudrucken (zu finden auf der Aufgaben-Website). .

Sammeln Sie alle Informationen zur Lösung der verschiedenen Operationen auf Polynomen und erstellen Sie eine Powerpoint-Präsentation für jede Operation (Format und Anforderungen finden Sie auf der Aufgaben-Website)

Viel Spaß beim Lernen.
Um sich animieren zu lassen und zu testen, wie viel Sie gelernt haben, probieren Sie den Spielabschnitt am Ende der Seite aus.

Hinweis: Vergessen Sie nicht, das Spiel auszudrucken, während Sie es spielen, und hängen Sie es auf der letzten Seite des Anhangs an, den Sie fertig gelöst haben, und hinterlassen Sie einen Kommentar (siehe Format auf der Aufgaben-Website).


64.5 Univariate Polynome

Einige der Operationen sind tatsächlich auf dem größeren Bereich der Laurent-Polynome definiert (siehe Laurent-Polynome). Für diesen Abschnitt können Sie das Wort ``Laurent'' einfach ignorieren, wenn es in einer Beschreibung vorkommt.

konstruiert ein univariates Polynom über den Ringring im unbestimmten ind mit den durch coefs gegebenen Koeffizienten.

konstruiert ein univariates Polynom über die Koeffizientenfamilie fam und im unbestimmten ind mit den durch coefs gegebenen Koeffizienten. Diese Funktion sollte in Algorithmen verwendet werden, um Polynome zu erstellen, da sie den mit UnivariatePolynomial verbundenen Overhead vermeidet.

Der Grad eines univariaten (Laurent) Polynoms pol ist der größte Exponent nein eines Monoms x nein von pol.

Wir bemerken, dass einige Funktionen für multivariate Polynome (die in den folgenden Abschnitten definiert werden) eine andere Syntax für univariate Polynome zulassen, die die Anforderung, das Unbestimmte zu spezifizieren, entfällt. Beispiele sind Value, Discriminant, Derivative, LeadingCoefficient und LeadingMonomial:

Diese Funktion gibt eine Liste aller Wurzeln des univariaten Polynoms Upol in seinem Standardbereich zurück. Wenn Feld angegeben ist, werden die Wurzeln über Feld genommen, wenn der erste Parameter der String "split" ist, wird das Feld als Teilungsfeld des Polynoms genommen.

nimmt eine rationale Funktion f und testet, ob sie univariat oder sogar ein Laurent-Polynom ist. Es gibt eine Liste zurück [ isunivariate , indet , islaurent , cofs ] wobei indet die unbestimmte Zahl und cofs (falls zutreffend) die Koeffizientenlisten sind. Die Liste cofs ist CoefficientsOfLaurentPolynomial, wenn islaurent true ist, und CoefficientsOfUnivariateRationalFunction, wenn islaurent false und isunivariate true ist. Da es kein richtiges multivariates gcd gibt, kann es für isunivariate fehlschlagen zurückgeben.

Die Info-Klasse für univariate Polynome ist InfoPoly .


Skizzieren einer rationalen Funktion

Okay. Es ist an der Zeit, einige rationale Funktionen aufzuschlüsseln und grafisch darzustellen.

Bei rationalen Funktionen kann der Graph in "Abschnitte" unterteilt werden. Jeder Abschnitt des Graphen wird normalerweise durch seine Asymptoten definiert. Sobald wir wissen, wie sie sich dort verhalten, ist der Rest des Diagramms so einfach wie das Zeichnen einiger zusätzlicher Punkte. Das macht viel Sinn. Es sollte, wenn man bedenkt, wie rational diese Funktionen sind.

Beispielproblem

Skizzieren Sie einen groben Graphen von .

Unsere erste rationale Funktion zum Zeichnen. Machen wir es richtig, indem wir mit den Asymptoten beginnen. Die Grade der beiden Polynome sind gleich, also haben wir eine horizontale Asymptote bei ja = 1. Lassen Sie uns faktorisieren, um vertikale oder Löcher zu finden.

Ein Loch bei x = 1? Ha, vermisste uns. Nicht, dass es sich so sehr bemüht hätte, uns zu bekommen. Wir können auch bestätigen, dass es eine vertikale Asymptote bei gibt x = 4. Vielleicht wollte es uns erwischen? Oder vielleicht sind wir einfach nur paranoid.

Das ist alles asymptotische Zeug, das wir finden können. Als nächstes finden wir die x- und ja-Abfangen.

Um die zu finden x-Schnittpunkt setzen wir die ganze Gleichung gleich 0 und lösen nach x. Das hört sich für uns ziemlich schrecklich an, denn wir haben x in unserem Zähler und Nenner. Aber die Rettung ist nahe, oder zumindest ein Trick, um dies zu erleichtern.

ja kann nur null sein, wenn der Zähler null ist. Das bedeutet, dass wir den Nenner ignorieren können, wenn wir die x-abfangen.

Also haben wir ja = 0 an den Punkten x = -1 und x = 1. Wir sind fast so weit, dies zu skizzieren. Wir haben viele Punkte links von unserem vertikalen Schnittpunkt bei x = 4, also wollen wir ein paar nach rechts. Dann können wir... eine Sekunde warten.

x = 1! Wir haben ein Loch bei x = 1. ja kann dort nicht gleich Null sein, weil die Funktion dort undefiniert ist, das ist eine Diskontinuität. Wir haben uns fast in dich verliebt, x = 1, fast.

Wir wollen jedoch die Punkte, über die wir gesprochen haben. Auf geht's x = 5 und 6:

Lassen Sie uns nun alles, was wir über diese Grafik gelernt haben, zu Papier bringen. Oder Ihr Bildschirm, in diesem Fall.

Die horizontalen Asymptoten sagen uns, wie sich der Graph bei sehr kleinen oder sehr großen Zahlen verhält. In unserem Fall nähern sie sich ja = 1. Die x- und ja-Achsenabschnitte zeigten uns, dass der Graph sich ihm von unterhalb der Linie näherte, an der er an der vertikalen Asymptote scharf nach unten tauchen würde. Unsere anderen beiden Punkte gaben uns die Form des Graphen auf der anderen Seite.

Und natürlich dürfen wir das Loch bei nicht vergessen x = 1. Nein, wir werden dich nicht vergessen, du schleichen.

Unser allgemeiner Angriffsplan beim Zeichnen ist:

• Finden Sie alle horizontalen, vertikalen und schrägen Asymptoten.

• Suchen Sie nach Löchern und denken Sie daran, diese grafisch darzustellen. Ein Fehler führt zum Fallen in ein Loch.

• Finden Sie die x- und ja-Abfangen. Verwenden Sie einfach den Zähler, wenn Sie an der arbeiten x-Abfangen.

• Entscheiden Sie, ob Sie mehr Punkte benötigen, um zu sehen, wie sich der Graph punktuell verhält. Holen Sie sich im Zweifelsfall mehr Punkte.

• Skizzieren Sie den Graphen. Wir müssen nicht genau sein, nur die allgemeine Bewegung richtig machen.

Und damit sind wir fertig. Riech dich später, Shmoopers.

Ach ja, das Keksrezept. Bitte schön. Jetzt werden wir dich später riechen. Vor allem, wenn Sie Kekse gebacken haben. Verurteile uns nicht.


Intellektuelle Vorbereitung

Internalisierung von Standards über das Unit Assessment

  • Nehmen Sie die Einheitenbewertung vor. Anmerkungen für:
    • Standards, an denen sich jede Frage ausrichtet
    • Zweck jeder Frage: Spirale, Grundlagen, Beherrschung, Entwicklung
    • Strategien und Darstellungen im täglichen Unterricht
    • Beziehung zu wesentlichen Einheitenverständnissen
    • Lektion(en), auf die die Bewertung hinweist

    Internalisierung der Trajektorie der Einheit

    • Lesen und kommentieren Sie "Einheitenzusammenfassung".
    • Beachten Sie den Fortschritt der Konzepte durch die Einheit, indem Sie „Einheit auf einen Blick“ verwenden.
    • Erledige alle Zielaufgaben. Kommentieren Sie die Zielaufgaben für:
      • Grundlegendes Verständnis
      • Verbindung zu Bewertungsfragen

      Grundlegende Erkenntnisse

      • Eine rationale Funktion ist ein Verhältnis von Polynomfunktionen. Wenn eine rationale Funktion keine Konstante im Nenner hat, zeigt der Graph der rationalen Funktion asymptotisches Verhalten und kann andere Diskontinuitätsmerkmale aufweisen.
      • Rationale und radikale Gleichungen mit algebraischen Zählern oder Nennern funktionieren nach denselben Regeln wie Brüche.
      • Aufgrund von Domäneneinschränkungen in rationalen oder radikalen Funktionen können sich überflüssige Lösungen ergeben.
      • Rationale Funktionen können verwendet werden, um Situationen zu modellieren, in denen zwei Polynome oder Wurzelfunktionen geteilt werden.

      Wortschatz

      Vertikale und horizontale Asymptote Umkehrbare Funktionen
      Rationale Funktion Null Produkteigenschaft
      Rationaler Ausdruck Asymptotische Diskontinuitäten (unendlich)
      Domainbeschränkung Entfernbare Diskontinuitäten
      Quadratwurzel / Kubikwurzel Verhalten beenden
      Fremdlösungen Zeichentabelle

      4: Polynomiale und rationale Funktionen

      Rationale Funktionen und Asymptoten

      Eine Funktion der Form, bei der t(x) und n(x) Polynome sind, heißt rationale Funktion.

      Die Graphen rationaler Funktionen erkennt man daran, dass sie oft in zwei oder mehr Teile zerfallen. Diese Teile verlassen das Koordinatensystem entlang einer imaginären geraden Linie, die als Asymptote bezeichnet wird.

      Schauen wir uns die Funktion an

      Dieser Graph folgt einer horizontalen Linie (rot im Diagramm), wenn er sich nach links oder rechts aus dem System herausbewegt. Dies ist eine horizontale Asymptote mit der Gleichung y = 1. Wenn x sich den Werten 1 und 1 nähert, folgt der Graph vertikalen Linien ( blau). Diese vertikalen Asymptoten treten auf, wenn der Nenner der Funktion n(x) null ist (nicht der Zähler).
      Um die Gleichungen der vertikalen Asymptoten zu finden, müssen wir die Gleichung lösen:

      In der Nähe der Werte x = 1 und x = 1 geht der Graph fast vertikal nach oben oder unten und die Funktion tendiert entweder zu +∞ oder ∞.

      Wir erhalten eine horizontale Asymptote, da Zähler und Nenner t(x) = x 2 und n(x) = x 2 1 sind fast gleich, wenn x größer und größer wird.
      Wenn zum Beispiel x = 100, dann ist x 2 = 10000 und x 2 1 = 9999 , so dass wir bei Division eines durch das andere fast 1 erhalten. Je größer der Wert von x, desto näher kommen wir an 1.

      Vertikale Asymptoten können durch Lösen der Gleichung n(x) = 0 gefunden werden, wobei n(x) der Nenner der Funktion ist ( Hinweis: Dies gilt nur, wenn der Zähler t(x) für denselben x-Wert nicht Null ist).

      Horizontale Asymptoten können gefunden werden, indem man den Grenzwert findet

      Finden Sie die Asymptoten für die Funktion .

      Um die vertikale Asymptote zu finden, lösen wir die Gleichung

      Der Graph hat eine vertikale Asymptote mit der Gleichung x = 1.

      Um die horizontale Asymptote zu finden, berechnen wir .

      Der Zähler nimmt immer den Wert 1 an. Je größer x wird, desto kleiner wird der Bruch. Zum Beispiel, wenn x = 1000 dann f(x) = 001. Wenn x größer wird, wird f(x) immer näher an Null.

      Dies sagt uns, dass y = 0 (das ist die x-Achse) eine horizontale Asymptote ist.

      Zeichnen Sie schließlich die Grafik in Ihren Taschenrechner, um zu bestätigen, was Sie gefunden haben.

      Das obige Beispiel legt die folgende einfache Regel nahe:
      Eine rationale Funktion, bei der der Grad des Nenners höher ist als der Grad des Zählers, hat die x-Achse als horizontale Asymptote.

      Wir sehen sofort, dass es keine vertikalen Asymptoten gibt, da der Nenner niemals Null sein kann.

      x 2 = 1 hat keine reelle Lösung

      Sehen Sie nun, was passiert, wenn x unendlich groß wird:

      Die Methode, die wir zuvor verwendet haben, um diese Art von Problem zu lösen, besteht darin, durch die höchste Potenz von x zu dividieren.


      Alles durch x 2 teilen und dann abbrechen
      Brüche, bei denen x im Nenner und nicht im Zähler steht, tendieren gegen 0 .

      Der Graph hat eine horizontale Asymptote y = 2.

      Lassen Sie uns nun die Grafik mit dem Taschenrechner zeichnen draw

      Wählen Sie zuerst GRAPH im Menü.

      Geben Sie dann die Formel ein und achten Sie darauf, die Klammern wie gezeigt einzuschließen

      Das zeigt uns der Rechner. Der Graph kreuzt seine Asymptote tatsächlich an einem Punkt. (Dies kann bei einer vertikalen Asymptote niemals passieren).

      Nun ein Beispiel, bei dem der Zähler einen Grad höher ist als der Nenner.

      . Der Zähler ist ein Polynom zweiten Grades, während der Nenner ersten Grades ist.

      Zuerst die vertikalen Asymptoten:

      Eine vertikale Asymptote mit der Gleichung x = 1 .

      Wir verwenden eine lange Division und teilen den Zähler durch den Nenner

      Wir wissen das, was bedeutet, dass f(x) ≈ x + 1 ist, wenn x größer wird.

      sagt uns, dass die gerade Linie y = x + 1 ist eine schräge Asymptote

      Wenn wir über weitere Möglichkeiten spekulieren wollen, können wir sehen, dass, wenn der Grad des Zählers 2 Grad größer ist als der des Nenners, der Graph das Koordinatensystem verlässt und einer parabolischen Kurve folgt und so weiter.

      Finden Sie die Asymptoten der Funktion.

      In diesem Beispiel wurde die Division bereits durchgeführt, sodass wir sehen können, dass es eine schräge Asymptote mit der Gleichung y = x.

      Um die vertikalen Asymptoten zu finden, lösen wir die Gleichung n(x) = 0.

      Die vertikalen Asymptoten sind x = 1 und x = 1.

      1) Vertikale Asymptoten können auftreten, wenn der Nenner n(x)
      ist null.
      Um sie zu finanzieren, lösen Sie die Gleichung n(x) = 0.

      2) Wenn der Nennergrad n(x) größer ist als der von
      der Zähler t(x) dann ist die x-Achse eine Asymptote.

      3) Wenn der Nennergrad n(x) gleich dem von . ist
      der Zähler t(x) dann finden wir die Asymptote durch
      rechnen.

      4) Wenn der Nennergrad n(x) um eins kleiner ist als der von
      den Zähler t(x) dann finden wir die Gleichung der
      schräge Asymptote durch Teilung.

      Üben Sie diese Methoden und probieren Sie dann Quiz 3 mit Funktionen 2 aus.
      Denken Sie daran, die Checkliste zu verwenden, um den Überblick über Ihre Arbeit zu behalten.


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