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15.5E: Divergenz und Curl (Übungen) - Mathematik


Bestimmen Sie für die folgenden Übungen, ob die Aussage Wahr oder Falsch.

1. Wenn die Koordinatenfunktionen von (vecs F : mathbb{R}^3 ightarrowmathbb{R}^3) stetige zweite partielle Ableitungen haben, dann gilt ( ext{curl},( ext{div } ,vecs F)) gleich Null.

2. (vecs ablacdot (x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k} ) = 1).

Antworten:
Falsch

3. Alle Vektorfelder der Form (vecs F(x,y,z) = f(x),mathbf{hat i} + g(y),mathbf{hat j} + h(z ),mathbf{hat k}) sind konservativ.

4. Wenn ( ext{curl}, vecs F = vecs 0), dann ist (vecs F) konservativ.

Antworten:
Wahr

5. Wenn (vecs F) ein konstantes Vektorfeld ist, dann ist ( ext{div},vecs F = 0).

6. Wenn (vecs F) ein konstantes Vektorfeld ist, dann ist ( ext{curl},vecs F =vecs 0).

Antworten:
Wahr

Bestimmen Sie für die folgenden Übungen die Krümmung von (vecs F).

7. (vecs F(x,y,z) = xy^2z^4,mathbf{hat i} + (2x^2y + z),mathbf{hat j} + y^3 z^ 2,mathbf{hatk})

8. (vecs F(x,y,z) = x^2 z,mathbf{hat i} + y^2 x,mathbf{hat j} + (y + 2z),mathbf {hat k})

Antworten:
( ext{curl},vecs F = ,mathbf{hat i} + x^2,mathbf{hat j} + y^2,mathbf{hat k})

9. (vecs F(x,y,z) = 3xyz^2,mathbf{hat i} + y^2 sin z,mathbf{hat j} + xe^{2z}, mathbf{hat k})

10. (vecs F(x,y,z) = x^2 yz,mathbf{hat i} + xy^2 z,mathbf{hat j} + xyz^2,mathbf{ Hut k})

Antworten:
( ext{curl},vecs F = (xz^2 - xy^2),mathbf{hat i} + (x^2 y - yz^2),mathbf{hat j } + (y^2z - x^2z),mathbf{hat k})

11. (vecs F(x,y,z) = (x,cosy),mathbf{hat i} + xy^2,mathbf{hat j})

12. (vecs F(x,y,z) = (x - y),mathbf{hat i} + (y - z),mathbf{hat j} + (z - x), mathbf{hatk})

Antworten:
( ext{curl},vecs F = ,mathbf{hat i} + ,mathbf{hat j} + ,mathbf{hat k})

13. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + x^2y^2z^2 ,mathbf{hat j} + y^2z^3 ,mathbf {hat k})

14. (vecs F(x,y,z) = xy,mathbf{hat i} + yz,mathbf{hat j} + xz,mathbf{hat k})

Antworten:
( ext{curl},vecs F = - y,mathbf{hat i} - z,mathbf{hat j} - x,mathbf{hat k})

15. (vecs F(x,y,z) = x^2,mathbf{hat i} + y^2 ,mathbf{hat j} + z^2 ,mathbf{hat k })

16. (vecs F(x,y,z) = ax,mathbf{hat i} + durch ,mathbf{hat j} + c,mathbf{hat k}) für Konstanten (a, ,b, ,c).

Antworten:
( ext{curl}, vecs F = vecs 0)

Bestimmen Sie für die folgenden Aufgaben die Divergenz von (vecs F).

17. (vecs F(x,y,z) = x^2 z,mathbf{hat i} + y^2 x,mathbf{hat j} + (y + 2z) ,mathbf {hat k})

18. (vecs F(x,y,z) = 3xyz^2,mathbf{hat i} + y^2 sin z,mathbf{hat j} + xe^2 ,mathbf{ hat k})

Antworten:
( ext{div},vecs F = 3yz^2 + 2y, sin z + 2xe^{2z})

19. (vecs{F}(x,y) = (sin x),mathbf{hat i} + (cos y) ,mathbf{hat j})

20. (vecs F(x,y,z) = x^2,mathbf{hat i} + y^2 ,mathbf{hat j} + z^2 ,mathbf{hat k })

Antworten:
( ext{div},vecs F = 2(x + y + z))

21. (vecs F(x,y,z) = (x - y),mathbf{hat i} + (y - z) ,mathbf{hat j} + (z - x), mathbf{hatk})

22. (vecs{F}(x,y) = dfrac{x}{sqrt{x^2+y^2}},mathbf{hat i} + dfrac{y}{sqrt{ x^2+y^2}},mathbf{hat j})

Antworten:
( ext{div},vecs F = dfrac{1}{sqrt{x^2+y^2}})

23. (vecs{F}(x,y) = x,mathbf{hat i} - y,mathbf{hat j})

24. (vecs F(x,y,z) = ax,mathbf{hat i} + durch ,mathbf{hat j} + c,mathbf{hat k}) für Konstanten (a, ,b, ,c).

Antworten:
( ext{div},vecs F = a + b)

25. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + x^2y^2z^2,mathbf{hat j} + y^2z^3,mathbf {hat k})

26. (vecs F(x,y,z) = xy,mathbf{hat i} + yz,mathbf{hat j} + xz,mathbf{hat k})

Antworten:
( ext{div},vecs F = x + y + z)

Bestimmen Sie für die Aufgaben 27 und 28, ob jede der angegebenen Skalarfunktionen harmonisch ist.

27. (u(x,y,z) = e^{-x} (cos y - sin y))

28. (w(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2})

Antworten:
Harmonisch

29. Wenn (vecs F(x,y,z) = 2,mathbf{hat i} + 2x j + 3y k) und (vecs G(x,y,z) = x, mathbf{hat i} - y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}), finde ( ext{curl}, (vecs F imes vecs G )).

30. Wenn (vecs F(x,y,z) = 2,mathbf{hat i} + 2x j + 3y k) und (vecs G(x,y,z) = x, mathbf{hat i} - y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}), finde ( ext{div}, (vecs F imes vecs G )).

Antworten:
( ext{div}, (vecs F imes vecs G) = 2z + 3x)

31. Finden Sie ( ext{div},vecs F), vorausgesetzt (vecs F = vecs abla f), wobei (f(x,y,z) = xy^3z^2 ).

32. Bestimme die Divergenz von (vecs F) für das Vektorfeld (vecs F(x,y,z) = (y^2 + z^2) (x + y) ,mathbf{hat i} + (z^2 + x^2)(y + z) ,mathbf{hat j} + (x^2 + y^2)(z + x) ,mathbf{hat k}) .

Antworten:
( ext{div},vecs F = 2r^2)

33. Bestimme die Divergenz von (vecs F) für das Vektorfeld (vecs F(x,y,z) = f_1(y,z),mathbf{hat i} + f_2(x,z) ,mathbf{hat j} + f_3 (x,y),mathbf{hat k}).

Verwenden Sie für die Aufgaben 34 - 36 (r = |vecs r|) und (vecs r(x,y,z) = langle x,y,z angle).

34. Finde die ( ext{curl}, vecs r)

Antworten:
( ext{curl}, vecs r = vecs 0)

35. Finden Sie die ( ext{curl}, dfrac{vecs r}{r}).

36. Finden Sie ( ext{curl}, dfrac{vecs r}{r^3}).

Antworten:
( ext{curl}, dfrac{vecs r}{r^3} = vecs 0)

37. Sei (vecs{F}(x,y) = dfrac{-y,mathbf{hat i}+x,mathbf{hat j}}{x^2+y^2} ), wobei (vecs F) auf (ig{(x,y)inmathbb{R}|(x,y) eq (0,0)ig}) definiert ist . Finde ( ext{curl}, vecs F).

Verwenden Sie für die folgenden Übungen ein Computeralgebrasystem, um die Kräuselung der gegebenen Vektorfelder zu finden.

38. [T] (vecs F(x,y,z) = arctanleft(dfrac{x}{y} ight),mathbf{hat i} + lnsqrt{x^2 + y^2} ,mathbf{hat j}+ ,mathbf{hat k})

Antworten:
( ext{curl}, vecs F = dfrac{2x}{x^2+y^2},mathbf{hat k})

39. [T] (vecs F(x,y,z) = sin (x - y),mathbf{hat i} + sin (y - z) ,mathbf{hat j} + sin(z - x),mathbf{hatk})

Bestimmen Sie für die folgenden Aufgaben die Divergenz von (vecs F) an dem gegebenen Punkt.

40. (vecs F(x,y,z) = ,mathbf{hat i} + ,mathbf{hat j} + ,mathbf{hat k}) bei ((2, -1, 3))

Antworten:
( ext{div},vecs F = 0)

41. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) bei ( (1, 2, 3))

42. (vecs F(x,y,z) = e^{-xy},mathbf{hat i} + e^{xz},mathbf{hat j} + e^{yz} ,mathbf{hatk}) bei ((3, 2, 0))

Antworten:
( ext{div},vecs F = 2 - 2e^{-6})

43. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) bei ( (1, 2, 1))

44. (vecs F(x,y,z) = e^x sin y,mathbf{hat i} - e^x cos y,mathbf{hat j}) bei (( 0, 0, 3))

Antworten:
( ext{div},vecs F = 0)

Finden Sie für die Übungen 45-49 die Curl von (vecs F) an der gegebenen Stelle.

45. (vecs F(x,y,z) = ,mathbf{hat i} + ,mathbf{hat j} + ,mathbf{hat k}) bei ((2, -1, 3))

46. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) bei ( (1, 2, 3))

Antworten:
( ext{curl}, vecs F = mathbf{hat j} - 3,mathbf{hat k})

47. (vecs F(x,y,z) = e^{-xy},mathbf{hat i} + e^{xz},mathbf{hat j} + e^{yz} ,mathbf{hatk}) bei ((3, 2, 0))

48. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) bei ( (1, 2, 1))

Antworten:
( ext{curl},vecs F = 2,mathbf{hat j} - ,mathbf{hat k})

49. (vecs F(x,y,z) = e^x sin y,mathbf{hat i} - e^x cos y,mathbf{hat j}) bei (( 0, 0, 3))

50. Sei (vecs F(x,y,z) = (3x^2 y + az) ,mathbf{hat i} + x^3,mathbf{hat j} + (3x + 3z^ 2),mathbf{hatk}). Für welchen Wert von (a) ist (vecs F) konservativ?

Antworten:
(a = 3)

51. Gegebenes Vektorfeld (vecs{F}(x,y) = dfrac{1}{x^2+y^2} langle -y,x angle) auf dem Gebiet (D = dfrac{ mathbb{R}^2}{{(0,0)}} = ig{(x,y)inmathbb{R}^2 |(x,y) eq (0,0) ig}), ist (vecs F) konservativ?

52. Gegebenes Vektorfeld (vecs{F}(x,y) = dfrac{1}{x^2+y^2} langle x,y angle) auf dem Gebiet (D = dfrac{mathbb {R}^2}{{(0,0)}}), ist (vecs F) konservativ?

Antworten:
(vecs F) ist konservativ.

53. Finden Sie die Arbeit des Kraftfeldes (vecs{F}(x,y) = e^{-y},mathbf{hat i} - xe^{-y},mathbf{hat j }) beim Verschieben eines Objekts von (P(0, 1)) nach (Q(2, 0)). Ist das Kraftfeld konservativ?

54. Berechne die Divergenz (vecs F(x,y,z) = (sinh x),mathbf{hat i} + (cosh y),mathbf{hat j} - xyz,mathbf {hatk}).

Antworten:
( ext{div},vecs F = cosh x + sinh y - xy)

55. Berechne ( ext{curl},vecs F = (sinh x),mathbf{hat i} + (cosh y),mathbf{hat j} - xyz,mathbf{ hatk}).

Betrachten Sie für die folgenden Aufgaben einen starren Körper, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (vecs omega = langle a,b,c angle) gegen den Uhrzeigersinn um die (x)-Achse dreht. Wenn (P) ein Punkt im Körper ist, der sich bei (vecs r = x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}), ist die Geschwindigkeit bei (P) durch das Vektorfeld (vecs F = vecs omega imes vecs r) gegeben.

56. Drücken Sie (vecs F) durch (,mathbf{hat i},;,mathbf{hat j},) und (,mathbf{hat k}) aus ) Vektoren.

Antworten:
(vecs F = (bz - cy),mathbf{hat i}+(cx - az),mathbf{hat j} + (ay - bx),mathbf{hat k} )

57. Finde ( ext{div}, F).

58. Suche ( ext{curl}, F)

Antworten:
( ext{curl}, vecs F = 2vecsomega)

Nehmen Sie in den folgenden Übungen an, dass (vecs abla cdot vecs F = 0) und (vecs abla cdot vecs G = 0) sind.

59. Hat (vecs F + vecs G) notwendigerweise eine Divergenz von Null?

60. Hat (vecs F imes vecs G) notwendigerweise eine Divergenz von Null?

Antworten:
(vecs F imes vecs G) hat keine Divergenz von Null.

Nehmen Sie in den folgenden Übungen an, dass ein Festkörper in (mathbb{R}^3) eine Temperaturverteilung hat, die durch (T(x,y,z)) gegeben ist. Das Vektorfeld des Wärmeflusses im Objekt ist (vecs F = - k vecs abla T), wobei (k > 0) eine Eigenschaft des Materials ist. Der Wärmestromvektor zeigt in die dem Gradienten entgegengesetzte Richtung, also die Richtung der größten Temperaturabnahme. Die Divergenz des Wärmestromvektors ist (vecs abla cdot vecs F = -k vecs abla cdot vecs abla T = -k vecs abla^2 T).

61. Berechnen Sie das Vektorfeld des Wärmeflusses.

62. Berechnen Sie die Divergenz.

Antworten:
(vecs abla cdot vecs F = -200 k [1 + 2(x^2 + y^2 + z^2)] e^{-x^2+y^2+z^2} )

63. [T] Betrachten Sie das Rotationsgeschwindigkeitsfeld (vecs v = langle 0,10z, -10y angle). Wenn ein Schaufelrad in der Ebene (x + y + z = 1) mit seiner Achse senkrecht zu dieser Ebene platziert wird, berechnen Sie mit einem Computeralgebrasystem, wie schnell sich das Schaufelrad in Umdrehungen pro Zeiteinheit dreht.

Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.