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5.1: Homogene lineare Gleichungen


Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung heißt linear wenn es geschrieben werden kann als

[label{eq:5.1.1} y''+p(x)y'+q(x)y=f(x).]

Wir nennen die Funktion (f) rechts a Zwangsfunktion, da es sich in physikalischen Anwendungen oft auf eine Kraft bezieht, die auf ein durch die Differentialgleichung modelliertes System einwirkt. Wir sagen, dass Gleichung ef{eq:5.1.1} ist homogen wenn (fequiv0) oder inhomogen if (f otequiv0). Da diese Definitionen wie die entsprechenden Definitionen in Abschnitt 2.1 für die lineare Gleichung erster Ordnung

[label{eq:5.1.2} y'+p(x)y=f(x),]

es ist natürlich, Ähnlichkeiten zwischen den Methoden zur Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.1} und Gleichung ef{eq:5.1.2} zu erwarten. Allerdings ist das Lösen von Gleichung ef{eq:5.1.1} schwieriger als das Lösen von Gleichung ef{eq:5.1.2}. Während beispielsweise Satz (PageIndex{1}) eine Formel für die allgemeine Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.2} angibt, wenn (fequiv0) und Satz (PageIndex{ 2}) gibt eine Formel für den Fall (f otequiv0) an, in beiden Fällen gibt es keine Formeln für die allgemeine Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.1}. Daher müssen wir uns damit begnügen, lineare Gleichungen zweiter Ordnung von Sonderformen zu lösen.

In Abschnitt 2.1 haben wir zuerst die homogene Gleichung (y'+p(x)y=0) betrachtet und dann eine nichttriviale Lösung dieser Gleichung verwendet, um die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (y'+p(x )y=f(x)). Obwohl der Übergang vom homogenen zum inhomogenen Fall für die lineare Gleichung zweiter Ordnung nicht so einfach ist, ist es dennoch notwendig, die homogene Gleichung zu lösen

[label{eq:5.1.3} y''+p(x)y'+q(x)y=0]

um die inhomogene Gleichung Gleichung ef{eq:5.1.1} zu lösen. Dieser Abschnitt ist der Gleichung ef{eq:5.1.3} gewidmet.

Der nächste Satz liefert hinreichende Bedingungen für Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Anfangswertproblemen für Gleichung ef{eq:5.1.3}. Wir verzichten auf den Beweis.

Satz (PageIndex{1})

Angenommen (p) und (q) seien stetig auf einem offenen Intervall ((a,b),) sei (x_0) ein beliebiger Punkt in ((a,b),) und sei (k_0) und (k_1) seien beliebige reelle Zahlen(.) Dann ist das Anfangswertproblem

[y''+p(x)y'+q(x)y=0, y(x_0)=k_0, y'(x_0)=k_1 onumber]

hat eine eindeutige Lösung auf ((a,b).)

Da (yequiv0) offensichtlich eine Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.3} ist, nennen wir sie trivial Lösung. Jede andere Lösung ist nicht trivial. Unter den Annahmen des Satzes (PageIndex{1}), die einzige Lösung des Anfangswertproblems

[y''+p(x)y'+q(x)y=0, y(x_0)=0, y'(x_0)=0 onumber]

auf ((a,b)) ist die triviale Lösung (Übung 5.1.24).

Die nächsten drei Beispiele veranschaulichen Konzepte, die wir später in diesem Abschnitt entwickeln werden. Sie sollten sich nicht darum kümmern, wie es geht finden die angegebenen Lösungen der Gleichungen in diesen Beispielen. Dies wird in späteren Abschnitten erläutert.

Beispiel (PageIndex{1})

Die Koeffizienten von (y') und (y) in

[label{eq:5.1.4} y''-y=0]

sind die konstanten Funktionen (pequiv0) und (qequiv-1), die auf ((-infty,infty)) stetig sind. Daher impliziert Satz (PageIndex{1}), dass jedes Anfangswertproblem für Gleichung ef{eq:5.1.4} eine eindeutige Lösung auf ((-infty,infty)) hat.

  1. Überprüfen Sie, dass (y_1=e^x) und (y_2=e^{-x}) Lösungen der Gleichung ef{eq:5.1.4} auf ((-infty,infty)) sind. .
  2. Überprüfen Sie, dass, wenn (c_1) und (c_2) beliebige Konstanten sind, (y=c_1e^x+c_2e^{-x}) eine Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.4} auf ((-infty,infty)).
  3. Löse das Anfangswertproblem [label{eq:5.1.5} y''-y=0,quad y(0)=1,quad y'(0)=3.]

Lösung:

ein. Wenn (y_1=e^x) dann (y_1'=e^x) und (y_1''=e^x=y_1), also (y_1''-y_1=0). Wenn (y_2=e^{-x}), dann (y_2'=-e^{-x}) und (y_2''=e^{-x}=y_2), also ( y_2''-y_2=0).

b. Wenn [label{eq:5.1.6} y=c_1e^x+c_2e^{-x}] dann [label{eq:5.1.7} y'=c_1e^x-c_2e^{-x }] und [y''=c_1e^x+c_2e^{-x}, onumber]

also [egin{ausgerichtet} y''-y&=(c_1e^x+c_2e^{-x})-(c_1e^x+c_2e^{-x}) &=c_1(e^xe^x )+c_2(e^{-x}-e^{-x})=0end{ausgerichtet} onumber] für alle (x). Daher ist (y=c_1e^x+c_2e^{-x}) eine Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.4} auf ((-infty,infty)).

c.

Wir können Gleichung ef{eq:5.1.5} lösen, indem wir (c_1) und (c_2) in Gleichung ef{eq:5.1.6} wählen, sodass (y(0)=1) und (y'(0)=3). Die Einstellung von (x=0) in Gleichung ef{eq:5.1.6} und Gleichung ef{eq:5.1.7} zeigt, dass dies äquivalent zu

[egin{aligned} c_1+c_2&=1 c_1-c_2&=3.end{aligned} onumber ]

Das Lösen dieser Gleichungen ergibt (c_1=2) und (c_2=-1). Daher ist (y=2e^x-e^{-x}) die eindeutige Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.5} auf ((-infty,infty)).

Beispiel (PageIndex{2})

Sei (omega) eine positive Konstante. Die Koeffizienten von (y') und (y) in

[label{eq:5.1.8} y''+omega^2y=0]

sind die konstanten Funktionen (pequiv0) und (qequivomega^2), die auf ((-infty,infty)) stetig sind. Daher impliziert Satz (PageIndex{1}), dass jedes Anfangswertproblem für Gleichung ef{eq:5.1.8} eine eindeutige Lösung auf ((-infty,infty)) hat.

  1. Verifizieren Sie, dass (y_1=cosomega x) und (y_2=sinomega x) Lösungen der Gleichung ef{eq:5.1.8} auf ((-infty,infty) sind ).
  2. Überprüfen Sie, dass, wenn (c_1) und (c_2) beliebige Konstanten sind, (y=c_1cosomega x+c_2sinomega x) eine Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.8 . ist } auf ((-infty,infty)).
  3. Löse das Anfangswertproblem [label{eq:5.1.9} y''+omega^2y=0,quad y(0)=1,quad y'(0)=3.]

Lösung:

ein. Wenn (y_1=cosomega x) dann (y_1'=-omegasinomega x) und (y_1''=-omega^2cosomega x=-omega^ 2y_1), also (y_1''+omega^2y_1=0). Wenn (y_2=sinomega x) dann (y_2'=omegacosomega x) und (y_2''=-omega^2sinomega x=-omega^ 2y_2), also (y_2''+omega^2y_2=0).

b. Wenn [label{eq:5.1.10} y=c_1cosomega x+c_2sinomega x] dann [label{eq:5.1.11} y'=omega(-c_1 sinomega x+c_2cosomega x)] und [y''=-omega^2(c_1cosomega x+c_2sinomega x), onumber] also [ begin{ausgerichtet} y''+omega^2y&= -omega^2(c_1cosomega x+c_2sinomega x) +omega^2(c_1cosomega x+c_2sin omega x) &=c_1omega^2(-cosomega x+cosomega x)+ c_2omega^2(-sinomega x+sinomega x)=0end{ausgerichtet } onumber ] für alle (x). Daher ist (y=c_1cosomega x+c_2sinomega x) eine Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.8} auf ((-infty,infty)).

c. Um Gleichung ef{eq:5.1.9} zu lösen, müssen wir (c_1) und (c_2) in Gleichung ef{eq:5.1.10} wählen, sodass (y(0)=1) und (y'(0)=3). Setzen von (x=0) in Gleichung ef{eq:5.1.10} und Gleichung ef{eq:5.1.11} zeigt, dass (c_1=1) und (c_2=3/omega) . Deshalb

[y=cosomega x+{3overomega}sinomega x onumber]

ist die eindeutige Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.9} auf ((-infty,infty)).

Satz (PageIndex{1}) impliziert, dass, wenn (k_0) und (k_1) beliebige reelle Zahlen sind, das Anfangswertproblem

[label{eq:5.1.12} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0,quad y(x_0)=k_0,quad y'(x_0) =k_1]

hat eine eindeutige Lösung auf einem Intervall ((a,b)), das (x_0) enthält, vorausgesetzt, (P_0), (P_1) und (P_2) sind stetig und (P_0 ) hat keine Nullen auf ((a,b)). Um dies zu sehen, schreiben wir die Differentialgleichung in Gleichung ef{eq:5.1.12} um als

[y''+{P_1(x)over P_0(x)}y'+{P_2(x)over P_0(x)}y=0 onumber]

und wende Satz (PageIndex{1}) mit (p=P_1/P_0) und (q=P_2/P_0) an.

Beispiel (PageIndex{3})

Die gleichung

[label{eq:5.1.13} x^2y''+xy'-4y=0]

hat die Form der Differentialgleichung in Gleichung ef{eq:5.1.12} mit (P_0(x)=x^2), (P_1(x)=x) und (P_2(x )=-4), die alle auf ((-infty,infty)) stetig sind. Da (P(0)=0) müssen wir jedoch Lösungen der Gleichung ef{eq:5.1.13} auf ((-infty,0)) und ((0,infty) ). Da (P_0) auf diesen Intervallen keine Nullen hat, impliziert Satz (PageIndex{1}), dass das Anfangswertproblem

[x^2y''+xy'-4y=0,quad y(x_0)=k_0,quad y'(x_0)=k_1 onumber]

hat eine eindeutige Lösung auf ((0,infty)), falls (x_0>0), oder auf ((-infty,0)), falls (x_0<0).

  1. Überprüfen Sie, dass (y_1=x^2) eine Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.13} auf ((-infty,infty)) und (y_2=1/x^2) ist. ist eine Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.13} auf ((-infty,0)) und ((0,infty)).
  2. Überprüfen Sie, dass, wenn (c_1) und (c_2) irgendwelche Konstanten sind, (y=c_1x^2+c_2/x^2) eine Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.13} auf ( (-infty,0)) und ((0,infty)).
  3. Löse das Anfangswertproblem [label{eq:5.1.14} x^2y''+xy'-4y=0,quad y(1)=2,quad y'(1)=0.]
  4. Löse das Anfangswertproblem [label{eq:5.1.15} x^2y''+xy'-4y=0,quad y(-1)=2,quad y'(-1)=0. ]

Lösung:

ein. Wenn (y_1=x^2) dann (y_1'=2x) und (y_1''=2), also [x^2y_1''+xy_1'-4y_1=x^2(2) +x(2x)-4x^2=0 onumber] für (x) in ((-infty,infty)). Wenn (y_2=1/x^2), dann (y_2'=-2/x^3) und (y_2''=6/x^4), also [x^2y_2'' +xy_2'-4y_2=x^2left(6over x^4 ight)-xleft(2over x^3 ight)-{4over x^2}=0 onumber] für (x) in ((-infty,0)) oder ((0,infty)).

b. Wenn [label{eq:5.1.16} y=c_1x^2+{c_2over x^2}] dann [label{eq:5.1.17} y'=2c_1x-{2c_2over x ^3}] und [y''=2c_1+{6c_2over x^4}, onumber] also [egin{aligned} x^{2}y''+xy'-4y&=x^ {2}left(2c_{1}+frac{6c_{2}}{x^{4}} ight)+xleft(2c_{1}x-frac{2c_{2}}{x ^{3}} ight)-4left(c_{1}x^{2}+frac{c_{2}}{x^{2}} ight) &=c_{1}( 2x^{2}+2x^{2}-4x^{2})+c_{2}left(frac{6}{x^{2}}-frac{2}{x^{2} }-frac{4}{x^{2}} ight) &=c_{1}cdot 0+c_{2}cdot 0 = 0 end{ausgerichtet} onumber] für ( x) in ((-infty,0)) oder ((0,infty)).

c. Um Gleichung ef{eq:5.1.14} zu lösen, wählen wir (c_1) und (c_2) in Gleichung ef{eq:5.1.16}, sodass (y(1)=2) und (y'(1)=0). Das Setzen von (x=1) in Gleichung ef{eq:5.1.16} und Gleichung ef{eq:5.1.17} zeigt, dass dies äquivalent zu

[egin{aligned} phantom{2}c_1+phantom{2}c_2&=2 2c_1-2c_2&=0.end{aligned} onumber ]

Das Lösen dieser Gleichungen ergibt (c_1=1) und (c_2=1). Daher ist (y=x^2+1/x^2) die eindeutige Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.14} auf ((0,infty)).

d. Wir können Gleichung ef{eq:5.1.15} lösen, indem wir (c_1) und (c_2) in Gleichung ef{eq:5.1.16} wählen, sodass (y(-1)=2) und (y'(-1)=0). Das Setzen von (x=-1) in Gleichung ef{eq:5.1.16} und Gleichung ef{eq:5.1.17} zeigt, dass dies äquivalent zu

[egin{aligned} phantom{-2}c_1+phantom{2}c_2&=2 -2c_1+2c_2&=0.end{aligned} onumber ]

Das Lösen dieser Gleichungen ergibt (c_1=1) und (c_2=1). Daher ist (y=x^2+1/x^2) die eindeutige Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.15} auf ((-infty,0)).

Obwohl die Formeln für die Lösungen von Gleichung ef{eq:5.1.14} und Gleichung ef{eq:5.1.15} sind beide (y=x^2+1/x^2), sollten Sie nicht schlussfolgern, dass diese beiden Anfangswertprobleme haben die gleiche Lösung. Denken Sie daran, dass eine Lösung eines Anfangswertproblems definiert ist auf einem Intervall, das den Anfangspunkt enthält; daher ist die Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.14} (y=x^2+1/x^2) im Intervall ((0,infty)), der den Anfangspunkt (x_0=1) enthält, während die Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.15} (y=x^2+1/x ^2) im Intervall ((-infty,0)), das den Anfangspunkt (x_0=-1) enthält.

Die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Gleichung zweiter Ordnung

Wenn (y_1) und (y_2) auf einem Intervall ((a,b)) definiert sind und (c_1) und (c_2) Konstanten sind, dann

[y=c_1y_1+c_2y_2keineZahl ]

ist ein Linearkombination von (y_1) und (y_2). Zum Beispiel ist (y=2cos x+7 sin x) eine Linearkombination von (y_1= cos x) und (y_2=sin x), mit (c_1=2 ) und (c_2=7).

Der nächste Satz besagt eine Tatsache, die wir bereits in den Beispielen (PageIndex{1}), (PageIndex{2}), (PageIndex{3}) verifiziert haben.

Satz (PageIndex{2})

Sind (y_1) und (y_2) Lösungen der homogenen Gleichung

[label{eq:5.1.18} y''+p(x)y'+q(x)y=0]

auf ((a,b),) dann jede Linearkombination

[label{eq:5.1.19} y=c_1y_1+c_2y_2]

von (y_1) und (y_2) ist auch eine Lösung von (eqref{eq:5.1.18}) auf ((a,b).)

Beweis

Wenn [y=c_1y_1+c_2y_2 onumber] dann [y'=c_1y_1'+c_2y_2'quad ext{ und} quad y''=c_1y_1''+c_2y_2''. onumber]

Deshalb

[egin{ausgerichtet} y''+p(x)y'+q(x)y&=(c_1y_1''+c_2y_2'')+p(x)(c_1y_1'+c_2y_2') +q(x) (c_1y_1+c_2y_2) &=c_1left(y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1 ight) +c_2left(y_2''+p(x)y_2'+q( x)y_2 ight) &=c_1cdot0+c_2cdot0=0,end{ausgerichtet} onumber]

da (y_1) und (y_2) Lösungen von Gleichung ef{eq:5.1.18} sind.

Wir sagen, dass ({y_1,y_2}) a . ist Fundamentalmenge von Lösungen von (eqref{eq:5.1.18}) auf ((a,b)), falls jede Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.18} auf ((a,b)) als Linearkombination von (y_1) und ( y_2) wie in Gleichung ef{eq:5.1.19}. In diesem Fall sagen wir, dass Gleichung ef{eq:5.1.19} ist allgemeine Lösung von (eqref{eq:5.1.18}) auf ((a,b)).

Lineare Unabhängigkeit

Wir brauchen einen Weg, um zu bestimmen, ob eine gegebene Menge ({y_1,y_2}) von Lösungen der Gleichung ef{eq:5.1.18} eine Fundamentalmenge ist. Die nächste Definition wird es uns ermöglichen, hierfür notwendige und hinreichende Bedingungen anzugeben.

Wir sagen, dass zwei Funktionen (y_1) und (y_2) definiert auf einem Intervall ((a,b)) sind linear unabhängig von ((a,b)), wenn keines ein konstantes Vielfaches des anderen auf ((a,b)) ist. (Das bedeutet insbesondere, dass beides nicht die triviale Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.18} sein kann, da wir beispielsweise für (y_1equiv0) (y_1=0y_2) schreiben könnten.) Wir sagen auch, dass die Menge ({y_1,y_2}) ist linear unabhängig von ((a,b)).

Satz (PageIndex{3})

Angenommen (p) und (q) seien stetig auf ((a,b).) Dann ist eine Menge ({y_1,y_2}) von Lösungen von

[label{eq:5.1.20} y''+p(x)y'+q(x)y=0]

auf ((a,b)) ist genau dann eine Fundamentalmenge, wenn ({y_1,y_2}) linear unabhängig von ((a,b)) ist.

Beweis

Wir werden den Beweis von Theorem (PageIndex{3}) in Schritten präsentieren, die als eigenständige Theoreme betrachtet werden können. Lassen Sie uns jedoch zuerst Satz (PageIndex{3}) in Bezug auf die Beispiele (PageIndex{1}), (PageIndex{2}), (PageIndex{3}) interpretieren.

Beispiel (PageIndex{4})

Da (e^x/e^{-x}=e^{2x}) nicht konstant ist, folgt aus Satz (PageIndex{3}) (y=c_1e^x+c_2e^{-x} ) ist die allgemeine Lösung von (y''-y=0) auf ((-infty,infty)).

Da (cosomega x/sinomega x=cotomega x) nicht konstant ist, folgt aus Satz (PageIndex{3}) (y=c_1cosomega x+c_2 sinomega x) ist die allgemeine Lösung von (y''+omega^2y=0) auf ((-infty,infty)).

Da (x^2/x^{-2}=x^4) nicht konstant ist, impliziert Satz (PageIndex{3}), dass (y=c_1x^2+c_2/x^2) ist die allgemeine Lösung von (x^2y''+xy'-4y=0) auf ((-infty,0)) und ((0,infty)).

Die Formel von Wronskian und Abel

Um ein Ergebnis zu motivieren, das wir zum Beweis von Satz (PageIndex{3}) benötigen, sehen wir uns an, was erforderlich ist, um zu beweisen, dass ({y_1,y_2}) eine grundlegende Menge von Lösungen von Gleichung ref{eq:5.1.20} auf ((a,b)). Sei (x_0) ein beliebiger Punkt in ((a,b)) und sei (y) eine beliebige Lösung von Gleichung ef{eq:5.1.20} auf ((a,b )). Dann ist (y) die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems

[label{eq:5.1.21} y''+p(x)y'+q(x)y=0,quad y(x_0)=k_0,quad y'(x_0)=k_1; ]

das heißt, (k_0) und (k_1) sind die Zahlen, die durch Auswertung von (y) und (y') bei (x_0) erhalten werden. Außerdem können (k_0) und (k_1) beliebige reelle Zahlen sein, da Satz (PageIndex{1}) impliziert, dass Gleichung ef{eq:5.1.21} eine Lösung hat, egal wie ( k_0) und (k_1) gewählt. Daher ist ({y_1,y_2}) eine fundamentale Menge von Lösungen der Gleichung ef{eq:5.1.20} auf ((a,b)) genau dann, wenn es möglich ist, die Lösung zu schreiben eines beliebigen Anfangswertproblems Gleichung ef{eq:5.1.21} als (y=c_1y_1+c_2y_2). Dies entspricht der Forderung, dass das System

[label{eq:5.1.22} egin{array}{rcl} c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)&=k_0 c_1y_1'(x_0)+c_2y_2'(x_0)&=k_1 end{ Array}]

hat eine Lösung ((c_1,c_2)) für jede Wahl von ((k_0,k_1)). Versuchen wir, Gleichung ef{eq:5.1.22} zu lösen.

Die Multiplikation der ersten Gleichung in Gleichung ef{eq:5.1.22} mit (y_2'(x_0)) und der zweiten mit (y_2(x_0)) ergibt

[egin{ausgerichtet} c_1y_1(x_0)y_2'(x_0)+c_2y_2(x_0)y_2'(x_0)&= y_2'(x_0)k_0 c_1y_1'(x_0)y_2(x_0)+c_2y_2'(x_0 )y_2(x_0)&= y_2(x_0)k_1,end{ausgerichtet}]

und Subtrahieren der zweiten Gleichung hier von der ersten ergibt

[label{eq:5.1.23} left(y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0) ight)c_1= y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1 .]

Die Multiplikation der ersten Gleichung in Gleichung ef{eq:5.1.22} mit (y_1'(x_0)) und der zweiten mit (y_1(x_0)) ergibt

[egin{ausgerichtet} c_1y_1(x_0)y_1'(x_0)+c_2y_2(x_0)y_1'(x_0)&= y_1'(x_0)k_0 c_1y_1'(x_0)y_1(x_0)+c_2y_2'(x_0 )y_1(x_0)&= y_1(x_0)k_1,end{ausgerichtet}]

und Subtrahieren der ersten Gleichung hier von der zweiten ergibt

[label{eq:5.1.24} left(y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0) ight)c_2= y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0 .]

Wenn

[y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)=0,keineZahl ]

es ist unmöglich, Gleichung ef{eq:5.1.23} und Gleichung ef{eq:5.1.24} (und damit Gleichung ef{eq:5.1.22} ) zu erfüllen, es sei denn, (k_0) und (k_1 ) zufällig befriedigen

[egin{ausgerichtet} y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0&=0 y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1&=0.end{ausgerichtet}]

Auf der anderen Seite, wenn

[label{eq:5.1.25} y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0) e0]

wir können Gleichung ef{eq:5.1.23} und Gleichung ef{eq:5.1.24} durch die linke Größe dividieren, um zu erhalten

[label{eq:5.1.26} egin{array}{rcl} c_1&={y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1over y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0 )y_2(x_0)} c_2&={y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0over y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)}, end{array }]

egal wie (k_0) und (k_1) gewählt werden. Dies motiviert uns, Bedingungen auf (y_1) und (y_2) zu betrachten, die Gleichung ef{eq:5.1.25} implizieren.

Satz (PageIndex{4})

Angenommen (p) und (q) seien stetig auf ((a,b),) seien (y_1) und (y_2) Lösungen von

[label{eq:5.1.27} y''+p(x)y'+q(x)y=0]

auf ((a,b)), und definiere

[label{eq:5.1.28} W=y_1y_2'-y_1'y_2.]

Sei (x_0) ein beliebiger Punkt in ((a,b).) Dann

[label{eq:5.1.29} W(x)=W(x_0) e^{-int^x_{x_0}p(t):dt}, quad a

Daher hat entweder (W) keine Nullstellen in ((a,b)) oder (Wequiv0) auf ((a,b).)

Beweis

Ableitungsgleichung ef{eq:5.1.28} ergibt

[label{eq:5.1.30} W'=y'_1y'_2+y_1y''_2-y'_1y'_2-y''_1y_2= y_1y''_2-y''_1y_2.]

Da (y_1) und (y_2) beide Gleichung ef{eq:5.1.27} erfüllen,

[y''_1 =-py'_1-qy_1quad ext{und} quad y''_2 =-py'_2-qy_2. onumber]

Einsetzen dieser in Gleichung ef{eq:5.1.30} ergibt

[egin{aligned} W'&= -y_1igl(py'_2+qy_2igr) +y_2igl(py'_1+qy_1igr) &= -p(y_1y'_2-y_2y' _1)-q(y_1y_2-y_2y_1) &= -p(y_1y'_2-y_2y'_1)=-pW.end{ausgerichtet} onumber ]

Daher (W'+p(x)W=0); dh (W) ist die Lösung des Anfangswertproblems

[y'+p(x)y=0,quad y(x_0)=W(x_0). onumber]

Wir überlassen es Ihnen, durch Trennung von Variablen zu verifizieren, dass dies Gleichung ef{eq:5.1.29} impliziert. Falls (W(x_0) e0), impliziert Gleichung ef{eq:5.1.29}, dass (W) keine Nullstellen in ((a,b)) hat, da eine Exponentialfunktion niemals Null ist. Andererseits, falls (W(x_0)=0), impliziert Gleichung ef{eq:5.1.29}, dass (W(x)=0) für alle (x) in (( a,b)).

Die in Gleichung ef{eq:5.1.28} definierte Funktion (W) ist die Wronski von ({y_1,y_2}). Formel Gleichung ef{eq:5.1.29} ist Abels Formel.

Die Wronski-Funktion von ({y_1,y_2}) wird normalerweise als Determinante geschrieben

[W=links| egin{array}{cc} y_1 & y_2 y'_1 & y'_2 end{array} ight|. onumber ]

Die Ausdrücke in Gleichung ef{eq:5.1.26} für (c_1) und (c_2) können als Determinanten geschrieben werden als

[c_1={1over W(x_0)} left| egin{array}{cc} k_0 & y_2(x_0) k_1 & y'_2(x_0) end{array} ight| quad ext{und} quad c_2={1over W(x_0)} left| egin{array}{cc} y_1(x_0) & k_0 y'_1(x_0) &k_1 end{array} ight|. onumber ]

Wenn Sie Lineare Algebra genommen haben, erkennen Sie dies möglicherweise als Cramersche Regel.

Beispiel (PageIndex{5})

Überprüfe Abels Formel für die folgenden Differentialgleichungen und die entsprechenden Lösungen aus den Beispielen (PageIndex{1}), (PageIndex{2}), (PageIndex{3}).

  1. (y''-y=0;quad y_1=e^x,;y_2=e^{-x})
  2. (y''+omega^2y=0;quad y_1=cosomega x,;y_2=sinomega x)
  3. (x^2y''+xy'-4y=0;quad y_1=x^2,; y_2=1/x^2)

Lösung:

ein. Wegen (pequiv0) können wir Abels Formel verifizieren, indem wir zeigen, dass (W) konstant ist, was wahr ist, da

[W(x)=links| egin{array}{rr} e^x & e^{-x} e^x & -e^{-x} end{array} ight|=e^x(-e^{-x })-e^xe^{-x}=-2 onumber]

für alle (x).

b. Wegen (pequiv0) können wir Abels Formel wieder verifizieren, indem wir zeigen, dass (W) konstant ist, was wahr ist, da

[egin{ausgerichtet} W(x)&={left| egin{array}{cc} cosomega x & sinomega x -omegasinomega x &omegacosomega x end{array} ight|} &= cosomega x (omegacosomega x)-(-omegasinomega x)sinomega x &=omega(cos^2omega x+sin^2omega x)=omegaend{ausgerichtet} onumber]

für alle (x).

c. Die Berechnung des Wronskischen von (y_1=x^2) und (y_2=1/x^2) ergibt direkt

[label{eq:5.1.31} W=left| egin{array}{cc} x^2 & 1/x^2 2x & -2/x^3 end{array} ight|=x^2left(-{2over x^3 } ight)-2xleft(1over x^2 ight)=-{4over x}.]

Um Abels Formel zu überprüfen, schreiben wir die Differentialgleichung um als

[y''+{1over x}y'-{4over x^2}y=0 onumber]

um zu sehen, dass (p(x)=1/x). Wenn (x_0) und (x) entweder beide in ((-infty,0)) oder beide in ((0,infty)) sind, dann

[int_{x_0}^x p(t),dt=int_{x_0}^x {dtover t}=lnleft(xover x_0 ight), onumber]

so wird Abels Formel

[egin{ausgerichtet} W(x)&=W(x_0)e^{-ln(x/x_0)}=W(x_0){x_0über x} &=-left(4 über x_0 ight)left(x_0over x ight)quad ext{from} eqref{eq:5.1.31} &=-{4over x},end{aligned} onumber ]

was mit Gleichung ef{eq:5.1.31} übereinstimmt.

Der nächste Satz wird es uns ermöglichen, den Beweis von Satz (PageIndex{3}) zu vervollständigen.

Satz (PageIndex{5})

Angenommen (p) und (q) seien stetig auf einem offenen Intervall ((a,b),) seien (y_1) und (y_2) Lösungen von

[label{eq:5.1.32} y''+p(x)y'+q(x)y=0]

auf ((a,b),) und sei (W=y_1y_2'-y_1'y_2.) Dann sind (y_1) und (y_2) linear unabhängig von ((a,b) ) genau dann, wenn (W) keine Nullen auf ((a,b) hat.)

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass, wenn (W(x_0)=0) für ein (x_0) in ((a,b)) gilt, dann (y_1) und (y_2) linear von ((a,b)). Sei (I) ein Teilintervall von ((a,b)), auf dem (y_1) keine Nullstellen hat. (Wenn es kein solches Teilintervall gibt, (y_1equiv0) auf ((a,b)), so sind (y_1) und (y_2) linear unabhängig, und wir sind mit diesem Teil der Beweis.) Dann ist (y_2/y_1) auf (I) definiert und

[label{eq:5.1.33} left(y_2over y_1 ight)'={y_1y_2'-y_1'y_2over y_1^2}={Wover y_1^2}.]

Wenn jedoch (W(x_0)=0), impliziert Satz (PageIndex{4}), dass (Wequiv0) auf ((a,b)). Daher impliziert Gleichung ef{eq:5.1.33}, dass ((y_2/y_1)'equiv0), also (y_2/y_1=c) (konstant) auf (I). Dies zeigt, dass (y_2(x)=cy_1(x)) für alle (x) in (I) gilt. Wir wollen jedoch zeigen, dass (y_2=cy_1(x)) für alle (x) in ((a,b)) gilt. Sei (Y=y_2-cy_1). Dann ist (Y) eine Lösung der Gleichung ef{eq:5.1.32} auf ((a,b)) mit (Yequiv0) auf (I), und daher ( Y'equiv0) auf (I). Wenn also (x_0) in (I) willkürlich gewählt wird, dann ist (Y) eine Lösung des Anfangswertproblems

[y''+p(x)y'+q(x)y=0,quad y(x_0)=0,quad y'(x_0)=0,keine Zahl ]

was impliziert, dass (Yequiv0) auf ((a,b)), durch den Absatz nach Satz (PageIndex{1}). (Siehe auch Übung 5.1.24). Daher ist (y_2-cy_1equiv0) auf ((a,b)), was impliziert, dass (y_1) und (y_2) nicht linear unabhängig von ((a,b)) sind .

Nehmen wir nun an, (W) hat keine Nullstellen auf ((a,b)). Dann kann (y_1) auf ((a,b)) nicht identisch Null sein (warum nicht?), und deshalb gibt es ein Teilintervall (I) von ((a,b)) auf welches (y_1) keine Nullen hat. Da Gleichung ef{eq:5.1.33} impliziert, dass (y_2/y_1) auf (I) nicht konstant ist, ist (y_2) kein konstantes Vielfaches von (y_1) auf (( a,b)). Ein ähnliches Argument zeigt, dass (y_1) kein konstantes Vielfaches von (y_2) auf ((a,b)) ist, da

[left(y_1over y_2 ight)'={y_1'y_2-y_1y_2'over y_2^2}=-{Wover y_2^2} onumber]

auf einem beliebigen Teilintervall von ((a,b)), wobei (y_2) keine Nullstellen hat.

Wir können nun den Beweis von Satz (PageIndex{3}) vervollständigen. Nach Satz (PageIndex{5}) sind zwei Lösungen (y_1) und (y_2) von Gleichung ef{eq:5.1.32} linear unabhängig von ((a,b)) falls und nur wenn (W) keine Nullen auf ((a,b)) hat. Nach Satz (PageIndex{4}) und den motivierenden Kommentaren davor ist ({y_1,y_2}) eine fundamentale Menge von Lösungen der Gleichung ef{eq:5.1.32} genau dann, wenn (W) hat keine Nullstellen auf ((a,b)). Daher ist ({y_1,y_2}) eine Fundamentalmenge für Gleichung ef{eq:5.1.32} auf ((a,b)) genau dann, wenn ({y_1,y_2} ) ist linear unabhängig von ((a,b)).

Der nächste Satz fasst die Beziehungen zwischen den in diesem Abschnitt diskutierten Konzepten zusammen.

Satz (PageIndex{6})

Angenommen (p) und (q) seien stetig auf einem offenen Intervall ((a,b)) und seien (y_1) und (y_2) Lösungen von

[label{eq:5.1.34} y''+p(x)y'+q(x)y=0]

auf ((a,b).) Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent(;), dh(,) sie sind entweder alle wahr oder alle falsch(.)

  1. Die allgemeine Lösung von (eqref{eq:5.1.34}) auf ((a,b)) ist (y=c_1y_1+c_2y_2).
  2. ({y_1,y_2}) ist eine fundamentale Menge von Lösungen von (eqref{eq:5.1.34}) auf ((a,b).)
  3. ({y_1,y_2}) ist linear unabhängig von ((a,b).)
  4. Die Wronski-Funktion von ({y_1,y_2}) ist irgendwann in ((a,b).) ungleich Null
  5. Die Wronski-Funktion von ({y_1,y_2}) ist an allen Punkten in ((a,b).) ungleich Null

Wir können diesen Satz auf eine Gleichung anwenden, die geschrieben wird als

[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0keine Zahl ]

auf einem Intervall ((a,b)), wo (P_0), (P_1) und (P_2) stetig sind und (P_0) hier keine Nullen hat.dd Beweis und es wird automatisch versteckt sein

Satz (PageIndex{7})

Angenommen (c) ist in ((a,b)) und (alpha) und (eta) sind reelle Zahlen, nicht beide Null. Unter den Annahmen des Satzes (PageIndex{7}) seien (y_{1}) und (y_{2}) Lösungen der Gleichung ef{eq:5.1.34} mit

[label{eq:5.1.35} alpha y_{1}(c)+eta y_{1}'(c)=0quad ext{und}quad alpha y_{2}(c )+eta y_{2}'(c)=0.]

Dann ist ({y_{1},y_{2}}) nicht linear unabhängig von ((a,b).)

Beweis

Da (alpha) und (eta) nicht beide Null sind, impliziert Gleichung ef{eq:5.1.35}, dass

[left|egin{array}{ccccccc} y_{1}(c)&y_{1}'(c)y_{2}(c)& y_{2}'(c) end{array } ight|=0, quad ext{so}quad left|egin{array}{cccccc} y_{1}(c)&y_{2}(c) y_{1}'(c )&y_{2}'(c) end{array} ight|=0 onumber]

und Satz (PageIndex{6}) impliziert die angegebene Schlussfolgerung.


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