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1.5: Ersetzung

1.5: Ersetzung



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Genau wie beim Lösen von Integralen besteht eine Methode darin, Variablen zu ändern, um am Ende eine einfachere zu lösende Gleichung zu erhalten.

Auswechslung

Die gleichung

[ y' = (x-y + 1)^2 label{1.5.1}]

ist weder trennbar noch linear. Was können wir tun? Wie wäre es, wenn Sie versuchen, Variablen zu ändern, damit die Gleichung in den neuen Variablen einfacher ist. Wir verwenden eine andere Variable (v), die wir als Funktion von (x) behandeln. Lass es uns versuchen

[v=x-y+1. label{1.5.2}]

Wir müssen (y') in Bezug auf (v'), (v) und (x) berechnen. Wir differenzieren (in (x) ), um (v' = 1 -y') zu erhalten. Also ( y' = 1 - v' ). Wir setzen dies in die Gleichung ein, um zu erhalten

[ 1 - v' = v^2 label{1.5.3}]

Mit anderen Worten,

[ v' = 1 - v^2 . label{1.5.4}]

Eine solche Gleichung können wir durch Trennen von Variablen lösen:

[ dfrac {1}{1 -v^2} dv = dx label{1.5.5}]

So

[ dfrac {1}{2} ln left vert {dfrac {v + 1}{v -1}} ight vert = x + C label{1.5.6}]

[ left vert {dfrac {v + 1}{v -1}} ight vert = e^{2x +2C} label{1.5.7}]

oder (dfrac {v + 1}{v - 1} = De^{2x} ) für eine Konstante (D). Beachten Sie, dass ( ​​v = 1) und ( v = -1) ebenfalls Lösungen sind.

Jetzt müssen wir die Substitution aufheben, um zu erhalten

[ dfrac {x - y + 2}{x -y} = De^{2x} label{1.5.8}]

und auch die beiden Lösungen ( x - y + 1 = 1) oder (y = x), und ( x - y + 1 = -1) oder ( y = x + 2). Wir lösen die erste Gleichung nach (y).

[ x - y + 2 = left ( x - y ight ) De^{2x}, label{1.5.9}]

[ x - y + 2 = Dxe^{2x} - yDe^{2x},label{1.5.10}]

[-y + yDe^{2x} = Dxe^{2x} - x - 2,label{1.5.11}]

[ y( -1 + De^{2x}) = Dxe^{2x} - x - 2,label{1.5.12}]

[ y = dfrac {Dxe^{2x} - x - 2}{De^{2x} - 1}.label{1.5.13}]

Beachten Sie, dass (D = 0) ( y = x + 2) ergibt, aber kein Wert von (D) die Lösung (y = x) ergibt.

Die Substitution in Differentialgleichungen wird ähnlich angewendet wie in der Analysis. Sie erraten. Mehrere verschiedene Ersetzungen können funktionieren. Es gibt einige allgemeine Dinge zu suchen. Einige davon fassen wir in einer Tabelle zusammen.

Wenn du siehstVersuchen Sie es zu ersetzen
(yy')(v = y^2)
(y^2y')(v = y^3)
((cos y )y')( v = sin y )
((sin y )y')(v = cosy)
( du^y)( v = e^y )

Normalerweise versucht man, den „kompliziertesten“ Teil der Gleichung einzufügen, in der Hoffnung, ihn zu vereinfachen. Die obige Tabelle ist nur eine Faustregel. Möglicherweise müssen Sie Ihre Vermutungen ändern. Wenn eine Substitution nicht funktioniert (die Gleichung wird dadurch nicht einfacher), versuchen Sie es mit einer anderen.


Bernoulli-Gleichungen

Es gibt einige Formen von Gleichungen, bei denen es eine allgemeine Regel für die Substitution gibt, die immer funktioniert. Ein solches Beispiel ist die sogenannte Bernoulli-Gleichung.2

[y' + p(x)y = q(x)y^n label{1.5.14}]

[ y' + p(x),y = q(x), y^n label{1.5.15}]

Diese Gleichung sieht einer linearen Gleichung sehr ähnlich, mit Ausnahme von (y^n). Wenn (n = 0) oder (n = 1) ist, dann ist die Gleichung linear und wir können sie lösen. Andernfalls wandelt die Substitution (v = y^{1 - n}) die Bernoulli-Gleichung in eine lineare Gleichung um. Beachten Sie, dass (n) keine ganze Zahl sein muss.

Beispiel 1.5.1: Bernoulli-Gleichung

Lösen

[xy' + y(x+1) + xy^5 = 0, ~~ y(1) = 1]

Lösung

Erstens lautet die Gleichung Bernoulli (p(x) = dfrac{x + 1}{x}) ( und (q(x) = -1) ). Wir ersetzen

[v = y^{1 - 5} = y^{-4}, ~~ v' = -4y^{-5}y']

Mit anderen Worten, ( left ( dfrac {-1}{4} ight ) y^5 v' = y' ). So

[ xy' + y(x + 1) + xy^5 = 0,]

[ dfrac {-xy^5}{4} v' + y(x + 1) + xy^5 = 0,]

[ dfrac {-x}{4} v' + y^{-4} (x + 1) + x = 0,]

[ dfrac {-x}{4} v' + v(x + 1) + x = 0,]

und schlussendlich

[ v' - dfrac {4(x + 1)}{x} v = 4 ]

Nun ist die Gleichung linear. Wir können die integrierende Faktormethode verwenden. Insbesondere verwenden wir die Formel (( ef{1.4.2})). Nehmen wir an, dass (x > 0 ) also ( left vert x ight vert = x ). Diese Annahme ist in Ordnung, da unsere Anfangsbedingung ( x = 1) ist. Wir berechnen den integrierenden Faktor. Hier ist ( p(s)) aus Formel (1.4.2) ( dfrac {-4(s + 1)}{s}).

[ e^{int _1^xp(s) ds} = ext {exp} left ( int ^x_1 dfrac {-4(s + 1)}{s} ds ight ) = e^{ -4x - 4ln(x) + 4} = e^{-4x + 4} x^{-4} = dfrac {e^{-4x + 4}}{x^4} ]

[ e^{- int_1^x p(s) ds} = e^{4x + 4ln(x) - 4} = e^{4x - 4} x^4]

Wir stecken nun in (1.4.2)

[ v(x) = e^{- int_1^x p(s)ds} left ( int_1^x e^{int_1^t p(s)ds} 4 dt + 1 ight)]

[ = e^{4x - 4} x^4 left ( int_1^x 4 dfrac {e^{-4t+4}}{t^4} dt + 1 ight ) ]

Beachten Sie, dass das Integral in diesem Ausdruck nicht in geschlossener Form gefunden werden kann. Wie bereits erwähnt, ist es völlig in Ordnung, ein bestimmtes Integral in unserer Lösung zu haben. Jetzt „unverwechselbar“

[ y^{-4} = e^{4x - 4} x^{4} left ( 4 int_1^x dfrac {e^{-4t + 4}}{t^4} dt + 1 Recht ) ]

[ y = dfrac {e^{-x+1}}{x left (4 int_1^x dfrac {e^{-4t+4}}{t^4} dt + 1 ight)^ {1/4}} ]

Eine andere Art von Gleichungen, die wir durch Substitution lösen können, sind die sogenannten homogenen Gleichungen. Angenommen, wir können die Differentialgleichung schreiben als

[ y' = F left ( dfrac {y}{x} ight ) label{1.5.16}]

Hier versuchen wir die Substitutionen

[ v = dfrac {y}{x} { m{~und ~daher~}} y' = v + xv' label{1.5.17}]

Wir bemerken, dass die Gleichung umgewandelt wird in

[ v + xv' = F(v) ~ { m{~oder~}}~ xv' = F(v) - v ~ { m{~oder~}}~ dfrac {v'}{F (v) - v} = dfrac {1}{x} label{1.5.18}]

Eine implizite Lösung ist also

[ int dfrac {1}{F(v) - v} dv = ln left vert x ight vert + C label{1.5.19}]

Beispiel 1.5.2

Lösen

[ x^2y' = y^2 + xy ~~~ y(1) = 1]

Lösung

Wir setzen die Gleichung in die Form (y' = {(dfrac {y}{x}})^2 + dfrac {y}{x} ). Wir ersetzen ( v = dfrac {y}{x}), um die separierbare Gleichung

[ xv' = v^2 + v - v = v^2]

was hat eine lösung

[ int dfrac {1}{v^2} dv = ln left vert x ight vert + C ]

[ dfrac{-1}{v} = ln left vert x ight vert + C ]

[ v = dfrac {-1}{ ln left vert x ight vert + C} ]

Wir ersetzen

[ dfrac {y}{x} = dfrac {-1}{ ln left vert x ight vert + C }]

[ y = dfrac {-x}{ln left vert x ight vert + C }]

Wir wollen ( y(1) = 1), also

[ 1 = y(1) = dfrac {-1}{ln left vert 1 ight vert + C} = dfrac {-1}{C} ]

Also ( C = -1 ) und die gesuchte Lösung ist

[ y = dfrac {-x}{ ln left vert x ight vert - 1} ]


Was ist die Substitutionslehre?

Substitution ist eines der Hauptthemen der Bibel. Gott hat im Garten Eden das Prinzip der Ersetzung eingeführt, als Adam und Eva sündigten. Indem Gott ein Tier tötete, um seine Nacktheit zu bedecken (1. Mose 3:21), begann Gott ein Bild davon zu malen, was nötig wäre, um die Menschheit wieder in eine richtige Beziehung zu Ihm zu bringen. Er setzte dieses Thema mit seinem auserwählten Volk Israel fort. Indem er ihnen das Gesetz gab, zeigte Gott ihnen seine Heiligkeit und demonstrierte ihre Unfähigkeit, diese Heiligkeit zu erlangen. Gott gewährte ihnen dann einen Ersatz, um den Preis für ihre Sünden zu bezahlen, in Form von Blutopfern (2. Mose 29:41-42 34:19 Numeri 29:2). Durch das Opfern eines unschuldigen Tieres gemäß den Vorgaben Gottes könnten den Menschen ihre Sünden vergeben werden und sie in die Gegenwart Gottes treten. Das Tier starb an der Stelle des Sünders, wodurch der Sünder freigelassen und bestätigt wurde. 3. Mose 16 erzählt vom Sündenbock, auf den die Ältesten Israels ihre Hände legten, um symbolisch die Sünden des Volkes auf den Bock zu übertragen. Die Ziege wurde dann in die Wüste freigelassen und trug die Sünden des weit entfernten Volkes.

Das Thema der Ersetzung findet sich im gesamten Alten Testament als Vorläufer des Kommens Jesu Christi. Das Passahfest zeigte auffällig einen Ersatz. In Exodus 12 gibt Gott seinem Volk die Anweisung, sich auf den kommenden Zerstörer vorzubereiten, der den erstgeborenen Mann jeder Familie als Gericht über Ägypten niederstrecken würde. Der einzige Weg, dieser Plage zu entkommen, bestand darin, ein perfektes männliches Lamm zu nehmen, es zu töten und das Blut auf die Stürze und Türpfosten ihrer Häuser zu streichen. Gott sagte ihnen: „Das Blut wird ein Zeichen für euch sein an den Häusern, in denen ihr seid, und wenn ich das Blut sehe, werde ich an euch vorbeigehen. Keine zerstörerische Plage wird dich berühren, wenn ich Ägypten schlage“ (2. Mose 12,13). Dieses Passah-Lamm war ein Ersatz für jeden männlichen Erstgeborenen, der es akzeptierte.

Gott hat dieses Thema der Ersetzung mit dem Kommen Jesu in das Neue Testament übertragen. Er hatte die Bühne geschaffen, damit die Menschheit genau versteht, wozu Jesus gekommen ist. 2. Korinther 5:21 sagt: „Er hat den, der keine Sünde kannte, für uns zur Sünde gemacht, damit wir in ihm die Gerechtigkeit Gottes würden.“ Gottes perfektes Lamm nahm die Sünden der Welt auf sich, legte sein Leben hin und starb an unserer Stelle (Johannes 1:29, 1. Petrus 3:18). Das einzige annehmbare Opfer für die Sünde ist ein vollkommenes Opfer. Wenn wir für unsere eigenen Sünden sterben würden, wäre dies keine ausreichende Bezahlung. Wir sind nicht perfekt. Nur Jesus, der vollkommene Gott-Mensch, erfüllt die Anforderungen, und Er hat sein Leben bereitwillig für unsers hingegeben (Joh 10,18). Es gab nichts, was wir tun konnten, um uns selbst zu retten, also tat Gott es für uns. Die messianische Prophezeiung von Jesaja 53 macht den stellvertretenden Tod Christi überdeutlich: „Er wurde für unsere Übertretungen durchbohrt, er wurde für unsere Sünden zerschmettert, die Strafe, die uns Frieden brachte, war auf ihm, und durch seine Wunden sind wir geheilt“ (Vers 5). ).

Jesu Ersatz für uns war perfekt, im Gegensatz zu den Tieropfern des Alten Testaments. Hebräer 10:4 sagt: "Denn es ist unmöglich, dass das Blut von Bullen und Ziegen Sünden wegnimmt." Jemand könnte sagen: "Sie meinen, all diese Opfer, die die Juden gebracht haben, waren umsonst?" Der Autor stellt klar, dass Tierblut selbst keinen Wert hatte. Es war das, was dieses Blut symbolisierte, das den Unterschied ausmachte. Der Wert der alten Opfer bestand darin, dass das Tier ein Ersatz für die Sünde eines Menschen war und auf das ultimative Opfer Christi hinwies (Hebräer 9,22).

Manche Leute machen den Fehler zu glauben, dass, da Jesus für die Sünden der Welt gestorben ist, jeder eines Tages in den Himmel kommen wird. Das ist falsch. Der stellvertretende Tod Christi muss auf jedes Herz persönlich aufgetragen werden, ähnlich wie das Blut des Passahs persönlich auf die Tür aufgetragen werden musste (Johannes 1,12, 3,16-18, Apostelgeschichte 2,38). Bevor wir „die Gerechtigkeit Gottes in Ihm“ werden können, müssen wir unsere alte Sündennatur gegen Seine Heilige eintauschen. Gott bietet den Stellvertreter an, aber wir müssen diesen Stellvertreter persönlich annehmen, indem wir Christus im Glauben annehmen (Epheser 2,8-9).


1.5: Ersetzung

Nach dem letzten Abschnitt wissen wir nun, wie man die folgenden Integrale macht.

Alle Integrale, die wir bis jetzt gemacht haben, erforderten, dass wir nur ein (x) oder ein (t) oder ein (w) hatten. usw. und nicht kompliziertere Begriffe wie,

All dies sieht erheblich schwieriger aus als der erste Satz. Sie sind jedoch nicht so schlecht, wenn Sie einmal gesehen haben, wie sie gemacht werden. Beginnen wir mit dem ersten.

Beachten wir in diesem Fall, dass, wenn wir

und wir berechnen das Differential (erinnern Sie sich, wie man diese berechnet, richtig?), dafür erhalten wir,

Kehren wir nun zu unserem Integral zurück und bemerken, dass wir jedes im Integral vorhandene (x) eliminieren und das Integral vollständig in Bezug auf (u) schreiben können, indem wir sowohl die Definition von (u) als auch seine verwenden Differential.

Dabei haben wir ein Integral genommen, das sehr schwierig aussah, und mit einer schnellen Substitution konnten wir das Integral in ein sehr einfaches Integral umschreiben, das wir machen können.

Die Auswertung des Integrals ergibt,

Wie immer können wir unsere Antwort mit einer schnellen Ableitung überprüfen, wenn wir möchten, und vergessen Sie nicht, „zurück zu ersetzen“ und das Integral wieder in die ursprüngliche Variable zu bringen.

Was wir in der obigen Arbeit gemacht haben, wird als bezeichnet Ersetzungsregel. Hier ist die Substitutionsregel im Allgemeinen.

Ersetzungsregel

Eine natürliche Frage in dieser Phase ist, wie man die richtige Substitution identifiziert. Leider ist die Antwort, dass es vom Integral abhängt. Es gibt jedoch eine allgemeine Faustregel, die für viele der Integrale funktioniert, auf die wir stoßen werden.

Wenn wir mit einem Integral konfrontiert werden, werden wir uns fragen, was wir zu integrieren wissen. Mit dem obigen Integral können wir schnell erkennen, dass wir wissen, wie man integriert

Wir hatten jedoch nicht nur die Wurzel, wir hatten auch Sachen vor der Wurzel und (in diesem Fall noch wichtiger) Sachen unter der Wurzel. Da wir Wurzeln nur dann integrieren können, wenn nur ein (x) unter der Wurzel steht, ist eine gute erste Vermutung für die Ersetzung, dass (u) das Zeug unter der Wurzel ist.

Eine andere Möglichkeit, sich das vorzustellen, ist, sich zu fragen, ob es eine Kettenregel gibt und was die innere Funktion für die Kettenregel ist, wenn Sie den Integranden differenzieren (das sind wir natürlich nicht, aber nur zum zweiten Mal so, als ob wir es wären) . Wenn es eine Kettenregel (für eine Ableitung) gibt, besteht eine ziemlich gute Chance, dass die innere Funktion die Ersetzung ist, die es uns ermöglicht, das Integral zu erstellen.

Wir werden jedoch vorsichtig sein müssen. Es gibt Zeiten, in denen die Verwendung dieser allgemeinen Regel uns in Schwierigkeiten bringen oder das Problem übermäßig verkomplizieren kann. Wir werden schließlich Probleme sehen, bei denen es mehr als eine „innere Funktion“ und/oder Integrale gibt, die sehr ähnlich aussehen und dennoch völlig unterschiedliche Substitutionen verwenden. Die Realität ist, dass der einzige Weg, wirklich zu lernen, wie man Substitutionen macht, darin besteht, einfach viele Probleme zu lösen, und schließlich werden Sie ein Gefühl dafür bekommen, wie diese funktionieren, und es wird Ihnen immer leichter fallen, die richtigen Substitutionen zu identifizieren.

Nun, da wir das aus dem Weg geräumt haben, sollten wir die folgende Frage stellen. Woher wissen wir, ob wir die richtige Substitution erhalten haben? Nun, bei der Berechnung des Differentials und der tatsächlichen Durchführung der Substitution muss jedes (x) im Integral (einschließlich des (x) in (dx)) im Substitutionsprozess verschwinden und die einzigen verbleibenden Buchstaben sollten sein (u) (einschließlich a (du)) und wir sollten ein Integral haben, das wir machen können.

Wenn (x) übrig bleiben oder wir ein Integral haben, das nicht ausgewertet werden kann, dann besteht eine ziemlich gute Chance, dass wir die falsche Ersetzung gewählt haben. Leider gibt es jedoch mindestens einen Fall (wir werden im nächsten Abschnitt ein Beispiel dafür sehen), in dem die richtige Ersetzung tatsächlich einige (x) hinterlässt und wir ein wenig mehr Arbeit leisten müssen damit es funktioniert.

Auch hier kann an dieser Stelle nicht genug betont werden, dass der einzige Weg, wirklich zu lernen, wie man Substitutionen macht, darin besteht, einfach viele Probleme zu lösen. Es gibt viele verschiedene Arten von Problemen und nachdem Sie viele Probleme bearbeitet haben, werden Sie ein echtes Gefühl für diese Probleme bekommen und nachdem Sie genug davon bearbeitet haben, werden Sie den Punkt erreichen, an dem Sie in der Lage sein werden, einfache Ersetzungen in Ihrem Kopf, ohne etwas aufschreiben zu müssen.

Als letzte Anmerkung sollten wir darauf hinweisen, dass das Differential oft (tatsächlich in fast jedem Fall) nicht genau wie im obigen Beispiel im Integranden erscheint und manchmal müssen wir den Integranden manipulieren und/oder das Differential, damit alle (x) in der Substitution verschwinden.

Lassen Sie uns an einigen Beispielen arbeiten, damit wir eine bessere Vorstellung davon bekommen, wie die Ersetzungsregel funktioniert.

  1. ( displaystyle int <> echts)cos left( echts),dw>>)
  2. ( displaystyle int <<3left( <8y - 1> ight)<<f>^ <4- y>>,dy>>)
  3. ( displaystyle int <<<> ight)>^4>,dx>>)
  4. ( displaystyle int <<> >>,dx>>)

In diesem Fall sieht es so aus, als hätten wir einen Kosinus mit einer inneren Funktion und verwenden wir diesen als Ersatz.

[u = w - ln whspace<0.5in>du = left( <1 - frac<1>> echts)dw]

Also, wie beim ersten Beispiel, das wir bearbeitet haben, erscheint das Zeug vor dem Kosinus genau im Differential. Das Integral ist dann

Vergessen Sie nicht, zur ursprünglichen Variablen im Problem zurückzukehren.

Wieder sieht es so aus, als hätten wir eine Exponentialfunktion mit einer inneren Funktion (d.h. der Exponent) und es sieht so aus, als ob die Substitution sein sollte,

Mit Ausnahme der 3 erscheint jetzt das Zeug vor dem Exponential genau im Differential. Denken Sie jedoch daran, dass wir die 3 aus dem Integral herausrechnen können, sodass es keine Probleme gibt. Das Integral ist dann

In diesem Fall sieht es so aus, als ob das Folgende die Ersetzung sein sollte.

Okay, jetzt haben wir ein kleines Problem. Wir haben ein () vor der Klammer, aber wir haben kein „-30“. Dies ist nicht wirklich das Problem, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag. Wir schreiben das Differential einfach wie folgt um.

Damit können wir nun das (,dx) entfernt. Dabei nehmen wir eine Konstante auf, aber das ist kein Problem, da sie immer aus dem Integral herausgerechnet werden kann.

Wir können jetzt das Integral machen.

Beachten Sie, dass wir bei den meisten Problemen, wenn wir eine Konstante wie in diesem Beispiel aufnehmen, sie im Allgemeinen im selben Schritt, in dem wir sie einsetzen, aus dem Integral herausrechnen.

Vergessen Sie in diesem Beispiel nicht, die Wurzel bis zum Zähler zu bringen und in die Form eines gebrochenen Exponenten zu ändern. Wenn wir dies tun, können wir sehen, dass die Substitution ist,

In den vorherigen Beispielen war die Ersetzung im Allgemeinen ziemlich klar. Es gab genau einen Begriff, der eine „Innenfunktion“ hatte und so gab es nicht wirklich viele Möglichkeiten für die Substitution. Lassen Sie uns einen Blick auf einige kompliziertere Probleme werfen, um sicherzustellen, dass wir nicht erwarten, dass alle Substitutionen wie in den vorherigen Beispielen sind.

  1. ( displaystyle int < ight) < ight)> ight)>^4> ,dx>>)
  2. ( displaystyle int < ight)<^<10>>left( <3z> ight),dz>>)
  3. ( displaystyle int <<<^2>left( <4t> ight) < ight)> ight)>^ 3>,dt>>)

Bei diesem Problem gibt es zwei „innere Funktionen“. Es gibt das (1 - x), das innerhalb der beiden trigonometrischen Funktionen steht, und es gibt auch den Term, der in die 4. Potenz erhoben wird.

Es gibt zwei Möglichkeiten, mit diesem Problem fortzufahren. Die erste Idee, die viele Schüler haben, ist, (1 - x) zu ersetzen. Es ist nicht falsch, dies zu tun, aber es beseitigt nicht das Problem des Begriffs in der 4. Potenz. Das ist immer noch da, und wenn wir diese Idee anwenden würden, müssten wir eine zweite Auswechslung vornehmen, um damit umzugehen.

Der zweite (und viel einfachere) Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, sich einfach mit dem zur 4. Potenz erhobenen Zeug zu befassen und zu sehen, was wir bekommen. Die Substitution wäre in diesem Fall,

[u = 2 - cos left( <1 - x> ight)hspace<0.25in>,,,,,,,du = - sin left( <1 - x> ight)dxhspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.25in>sin left( <1 - x> ight)dx = - du]

Hier sind zwei Dinge zu beachten. Vergessen Sie zunächst nicht, mit dem „-“ richtig umzugehen. Ein häufiger Fehler an dieser Stelle ist, es zu verlieren. Zweitens stellt sich heraus, dass (1 - x) doch kein wirkliches Problem darstellt. Da das (1 - x) in der Substitution, die wir tatsächlich verwendet haben, „vergraben“ wurde, wurde es gleichzeitig auch berücksichtigt. Das Integral ist dann

Wie in diesem Beispiel zu sehen ist, scheint es manchmal zwei Ersetzungen zu geben, die durchgeführt werden müssen. Wenn jedoch eine von ihnen in einer anderen Ersetzung vergraben ist, müssen wir nur eine tun. Wenn Sie dies erkennen, können Sie bei der Bearbeitung einiger dieser Probleme viel Zeit sparen.

Dieser ist anfangs etwas knifflig. Wir können die korrekte Substitution sehen, indem wir uns daran erinnern, dass

Damit sieht es so aus, als ob die richtige Substitution lautet:

[u = sin left( <3z> ight)hspace<0.5in>du = 3cos left( <3z> ight)dzhspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in> cos left( <3z> ight)dz = frac<1><3>du]

Beachten Sie, dass wir in diesem Integral wieder zwei scheinbare Ersetzungen hatten, aber auch hier ist die 3(z) in der von uns verwendeten Ersetzung vergraben, und wir mussten uns darum keine Sorgen machen.

Beachten Sie, dass das Drittel vor dem Integral durch die Substitution des Differentials entstanden ist und wir es einfach vor dem Integral herausgerechnet haben. Dies ist, was wir normalerweise mit diesen Konstanten tun werden.

In diesem Fall haben wir ein 4(t), eine Sekante zum Quadrat sowie einen Term in Würfelform. Es sieht jedoch so aus, als würden die ersten beiden Probleme für uns erledigt, wenn wir die folgende Substitution verwenden.

Das Wichtigste bei Substitutionsproblemen ist, dass nach der Substitution alle ursprünglichen Variablen aus dem Integral verschwinden müssen. Nach der Substitution sollte die einzige Variable, die im Integral vorhanden sein sollte, die neue Variable aus der Substitution sein (normalerweise (u)). Beachten Sie auch, dass dies die Variablen im Differential umfasst!

Diese nächste Reihe von Beispielen ist zwar nicht besonders schwierig, kann aber Probleme bereiten, wenn wir nicht darauf achten, was wir tun.

  1. ( displaystyle int <<<5y + 4>>,dy>>)
  2. ( displaystyle int <><<5+ 4>>,dy>>)
  3. ( displaystyle int <><<<+ 4> ight)>^2>>>,dy>>)
  4. ( displaystyle int <<<5+ 4>>,dy>>)

So ein Problem haben wir noch nicht gesehen. Beachten wir, dass wir, wenn wir den Nenner nehmen und ihn differenzieren, nur eine Konstante erhalten und das einzige, was wir im Zähler haben, auch eine Konstante ist. Dies ist ein ziemlich guter Hinweis darauf, dass wir den Nenner für unsere Substitution verwenden können, also

[u = 5y + 4hspace<0.5in>du = 5,dyhspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,,,dy = frac< 1><5>du]

Denken Sie daran, dass wir die 3 im Zähler einfach aus dem Integral herausziehen können und das macht das Integral in diesem Fall etwas klarer.

Das Integral ist dem vorherigen sehr ähnlich, mit ein paar kleinen Unterschieden, aber beachten Sie, dass wir, wenn wir den Nenner differenzieren, etwas erhalten, das sich nur um eine multiplikative Konstante vom Zähler unterscheidet. Daher nehmen wir wieder den Nenner als Ersatz.

Nun, dieser ist fast identisch mit dem vorherigen Teil, außer dass wir dem Nenner eine Potenz hinzugefügt haben. Beachten Sie jedoch, dass wir, wenn wir die Potenz ignorieren und unterscheiden, was übrig bleibt, dasselbe wie im vorherigen Beispiel erhalten, also verwenden wir hier die gleiche Ersetzung.

Das Integral ist in diesem Fall

Achten Sie in diesem Fall darauf, dies nicht in einen Logarithmus umzuwandeln. Nach Arbeitsproblemen wie den ersten beiden in dieser Menge besteht ein häufiger Fehler darin, jeden rationalen Ausdruck in einen Logarithmus umzuwandeln. Wenn auf dem ganzen Nenner eine Potenz vorhanden ist, besteht eine gute Chance, dass es sich nicht um einen Logarithmus handelt.

Die Idee, die wir in den letzten drei Teilen verwendet haben, um die Substitution zu bestimmen, ist keine schlechte Idee, um sich daran zu erinnern. Wenn wir einen rationalen Ausdruck haben, versuchen Sie, den Nenner zu differenzieren (und ignorieren alle Potenzen, die auf den gesamten Nenner entfallen) und wenn das Ergebnis der Zähler ist oder sich nur durch eine multiplikative Konstante vom Zähler unterscheidet, können wir dies normalerweise als Ersatz verwenden.

Nun, dieser Teil ist völlig anders als die ersten drei und scheint ihnen dennoch ähnlich zu sein. Wenn wir in diesem Fall den Nenner differenzieren, erhalten wir ein (y), das nicht im Zähler enthalten ist, und können daher den Nenner nicht als Ersatz verwenden.

Da wir () im Nenner und kein (y) im Zähler ist ein Hinweis darauf, wie dieses Problem gelöst werden kann. Dieses Integral wird eine inverse Tangente sein, wenn wir fertig sind. Der Schlüssel dazu ist, sich die folgende Formel zu erinnern:

Wir haben eindeutig nicht genau das, aber wir haben etwas Ähnliches. Der Nenner hat einen quadrierten Term plus eine Konstante und der Zähler ist nur eine Konstante. Mit ein wenig Arbeit und der richtigen Substitution sollten wir also in der Lage sein, unser Integral in eine Form zu bringen, die es uns ermöglicht, diese Formel zu verwenden.

Es gibt einen Teil dieser Formel, der wirklich wichtig ist, und das ist die „1+“ im Nenner. Die „1+“ muss da sein und wir haben eine „4+“, aber es ist einfach genug, sich darum zu kümmern. Wir faktorisieren einfach eine 4 aus dem Nenner und gleichzeitig faktorisieren wir auch die 3 im Zähler aus dem Integral. Dies gibt,

Beachten Sie, dass wir im letzten Schritt die Dinge im Nenner ein wenig umgeschrieben haben. Dies wird uns helfen zu sehen, was die Substitution sein muss. Um dieses Integral in die obige Formel zu bekommen, müssen wir am Ende ein () im Nenner. Unsere Substitution muss dann etwas sein, das uns beim Quadrieren (frac<<5>><4>). Mit dem Umschreiben können wir sehen, was wir brauchen, um die folgende Ersetzung zu verwenden.

Seien Sie nicht aufgeregt über die Wurzel in der Substitution, diese werden gelegentlich auftauchen. Beim Einstecken unserer Substitution erhalten wir,

Nachdem wir die Substitution durchgeführt und alle Konstanten herausgerechnet haben, erhalten wir genau das Integral, das einen inversen Tangens ergibt, und wissen daher, dass wir die richtige Substitution für dieses Integral durchgeführt haben. Das Integral ist dann

In diesem letzten Satz von Integralen hatten wir vier Integrale, die sich in vielerlei Hinsicht ähnlich waren und doch alle entweder mit derselben Substitution unterschiedliche Antworten lieferten oder eine völlig andere als eine ähnliche Substitution verwendeten.

Dies ist ein ziemlich häufiges Ereignis und daher müssen Sie in der Lage sein, mit dieser Art von Problemen umzugehen. Es gibt viele Integrale, die oberflächlich sehr ähnlich aussehen und dennoch eine völlig andere Substitution verwenden oder eine völlig andere Antwort liefern, wenn dieselbe Substitution verwendet wird.

Schauen wir uns eine weitere Reihe von Beispielen an, um uns mehr Übung beim Erkennen dieser Art von Problemen zu geben. Beachten Sie jedoch, dass wir hier nicht so viele Details wie bei den vorherigen Beispielen angeben.

  1. ( displaystyle int <+ 1>><<<+ 2t> ight)>^3>>>,dt>>)
  2. ( displaystyle int <+ 1>><<+ 2t>>,dt>>)
  3. ( displaystyle int <<> >>,dx>>)
  4. ( displaystyle int <<> >>,dx>>)

Offensichtlich unterscheidet sich die Ableitung des Nenners ohne Berücksichtigung des Exponenten vom Zähler nur durch eine multiplikative Konstante, und so lautet die Substitution

[u = + 2thspace<0.25in>du = left( <4+ 2> ight)dt = 2left( <2+ 1> ight)dthspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,left( <2+ 1> ight)dt = frac<1><2>du]

Nach einer kleinen Manipulation des Differentials erhalten wir das folgende Integral.

Der einzige Unterschied zwischen diesem Problem und dem vorherigen ist der Nenner. Im vorherigen Problem wird der ganze Nenner gewürfelt und in diesem Problem hat der Nenner keine Macht darauf. Die gleiche Ersetzung wird bei diesem Problem funktionieren, aber da wir nicht mehr die Macht haben, wird das Problem ein anderes sein.

Unter Verwendung der Substitution aus dem vorherigen Beispiel lautet das Integral also

In diesem Fall erhalten wir also einen Logarithmus aus dem Integral.

Wenn wir hier die Wurzel ignorieren, können wir wieder sehen, dass sich die Ableitung des Stoffes unter dem Radikal nur um eine multiplikative Konstante vom Zähler unterscheidet und wir diese als Substitution verwenden.

[u = 1 - 4hspace<0.5in>du = - 8x,dxhspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>x,dx = - frac<1><8>du]

In diesem Fall fehlt uns das (x) im Zähler und die Ersetzung aus dem letzten Teil nützt uns hier also nichts. Dieses Integral ist ein weiteres inverses trigonometrisches Funktionsintegral, das dem letzten Teil der vorherigen Problematik ähnelt. In diesem Fall müssen wir die folgende Formel verwenden.

Das Integral in diesem Problem ist fast das. Der einzige Unterschied ist das Vorhandensein des Koeffizienten von 4 auf dem (). Mit der richtigen Substitution kann dies jedoch behandelt werden. Um zu sehen, was diese Ersetzung sein sollte, schreiben wir das Integral ein wenig um. Wir müssen herausfinden, was wir quadriert haben, um (4) und das wird unser Ersatz sein.

Mit dieser Umschreibung sieht es so aus, als könnten wir die folgende Ersetzung verwenden.

Da dieses Dokument auch im Web präsentiert wird, werden wir die restlichen Beispiele für Ersetzungsregeln im nächsten Abschnitt einfügen. Mit all den Beispielen in einem Abschnitt wurde der Abschnitt für eine Webpräsentation zu groß.


Beispiele

Beispiel 1

Zuvor wurden Sie gefragt, wie Sie feststellen können, ob Sie eine Substitution verwenden sollten, um ein Limit zu lösen. Um zu entscheiden, ob eine Substitution ein geeigneter erster Schritt ist, können Sie es jederzeit einfach ausprobieren. Sie wissen, dass es funktioniert, wenn Sie am Ende versuchen, einen Ausdruck mit einem Nenner gleich Null auszuwerten. Wenn dies passiert, gehen Sie zurück und versuchen Sie, zu faktorisieren und zu stornieren, und versuchen Sie dann erneut, zu ersetzen.

Beispiel 2

Bewerten Sie die folgende Grenze, indem Sie zuerst aufheben und dann die Ersetzung verwenden.


Was ist die Lehre von der Strafsubstitution?

Einfach ausgedrückt, besagt die biblische Lehre vom Strafersatz, dass Jesu Opfer am Kreuz die Strafe ersetzt, die wir für unsere Sünden erleiden sollten. Als Ergebnis wird Gottes Gerechtigkeit befriedigt und denen, die Christus annehmen, kann vergeben und mit Gott versöhnt werden.

Das Wort bestrafen bedeutet „im Zusammenhang mit der Bestrafung von Straftaten“ und Auswechslung bedeutet „die Handlung einer Person, die den Platz einer anderen einnimmt“. So, Strafauswechslung ist die Handlung einer Person, die die Strafe für die Vergehen einer anderen Person auf sich nimmt. In der christlichen Theologie ist Jesus Christus der Stellvertreter, und die Strafe, die er (am Kreuz) auf sich nahm, war unsere, basierend auf unserer Sünde (1. Petrus 2,24).

Gemäß der Lehre vom Strafersatz verlangt Gottes vollkommene Gerechtigkeit eine Form der Sühne für die Sünde. Die Menschheit ist so verdorben, dass wir geistlich tot und unfähig sind, Sünden in irgendeiner Weise zu sühnen (Epheser 2,1). Strafersatz bedeutet, dass der Tod Jesu am Kreuz Gottes Forderung nach Gerechtigkeit versöhnt oder erfüllt hat. Gottes Barmherzigkeit erlaubt es Jesus, die Strafe auf sich zu nehmen, die wir für unsere Sünden verdienen. Infolgedessen dient das Opfer Jesu als Ersatz für jeden, der es annimmt. In einem sehr direkten Sinne wird Jesus für uns als Empfänger der Sündenstrafe eingetauscht.

Strafvollzug wird in der Bibel eindeutig gelehrt. Tatsächlich war vieles von dem, was Gott vor Jesu Dienst tat, dieses Konzept vorwegzunehmen und es als den Zweck des Messias darzustellen. In Genesis 3:21 verwendet Gott Tierhäute, um den nackten Adam und Eva zu bedecken. Dies ist der erste Hinweis darauf, dass ein Tod (in diesem Fall der eines Tieres) verwendet wird, um die Sünde zu bedecken (zu sühnen). In Exodus 12:13 „geht Gottes Geist über“ die Häuser, die mit dem Blut des Opfers bedeckt (gesühnt) sind. In Exodus 29:41&ndash42 verlangt Gott Blut zur Sühne. Die Beschreibung des Messias in Jesaja 53:4&ndash6 besagt, dass sein Leiden dazu bestimmt ist, unsere Wunden zu heilen. Die Tatsache, dass der Messias „für unsere Sünden zermalmt“ werden sollte (Vers 5), ist ein direkter Hinweis auf die Strafersetzung.

Während und nach Jesu Dienst wird die Strafersetzung weiter geklärt. Jesus behauptet, der „gute Hirte“ zu sein, der in Johannes 10:10 sein Leben für die Schafe hingibt. Paulus erklärt in Römer 3:25&ndash26, dass wir die Gerechtigkeit Christi aufgrund des Opfers Christi haben. In 2. Korinther 5:21 sagt er, dass der sündlose Christus unsere Sünden auf sich genommen hat. Hebräer 9,26 sagt, dass unsere Sünden durch das Opfer Christi beseitigt wurden. 1. Petrus 3:18 lehrt eindeutig, dass die Ungerechten durch die Gerechten ersetzt wurden.

Es gibt einige verschiedene Theorien darüber, wie genau das Opfer Christi uns von der Strafe der Sünde befreit. Strafvollzug ist die logischste und biblischste Sichtweise.


1.5: Ersetzung

Beginnen wir wie in den letzten Abschnitten mit ein paar Integralen, die wir mit einer Standardsubstitution bereits durchführen können sollten.

Beide verwendeten die Substitution (u = 25 - 4) und an dieser Stelle sollte es für Sie ziemlich einfach sein. Schauen wir uns jedoch das folgende Integral an.

In diesem Fall ist die Substitution (u = 25 - 4) will not work (we don’t have the (x,dx) in the numerator the substitution needs) and so we’re going to have to do something different for this integral.

It would be nice if we could reduce the two terms in the root down to a single term somehow. The following substitution will do that for us.

Do not worry about where this came from at this point. As we work the problem you will see that it works and that if we have a similar type of square root in the problem we can always use a similar substitution.

Before we actually do the substitution however let’s verify the claim that this will allow us to reduce the two terms in the root to a single term.

Now reduce the two terms to a single term all we need to do is recall the relationship,

Using this fact the square root becomes,

So, not only were we able to reduce the two terms to a single term in the process we were able to easily eliminate the root as well!

Note, however, the presence of the absolute value bars. These are important. Erinnere dich daran

There should always be absolute value bars at this stage. If we knew that ( an heta ) was always positive or always negative we could eliminate the absolute value bars using,

Without limits we won’t be able to determine if ( an heta ) is positive or negative, however, we will need to eliminate them in order to do the integral. Therefore, since we are doing an indefinite integral we will assume that ( an heta ) will be positive and so we can drop the absolute value bars. This gives,

So, we were able to reduce the two terms under the root to a single term with this substitution and in the process eliminate the root as well. Eliminating the root is a nice side effect of this substitution as the problem will now become somewhat easier to do.

Let’s now do the substitution and see what we get. In doing the substitution don’t forget that we’ll also need to substitute for the (dx). This is easy enough to get from the substitution.

[x = frac<2><5>sec heta hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,,dx = frac<2><5>sec heta an heta ,d heta ]

Using this substitution the integral becomes,

With this substitution we were able to reduce the given integral to an integral involving trig functions and we saw how to do these problems in the previous section. Let’s finish the integral.

So, we’ve got an answer for the integral. Unfortunately, the answer isn’t given in (x)’s as it should be. So, we need to write our answer in terms of (x). We can do this with some right triangle trig. From our original substitution we have,

This gives the following right triangle.

From this we can see that,

We can deal with the ( heta ) in one of any variety of ways. From our substitution we can see that,

While this is a perfectly acceptable method of dealing with the ( heta ) we can use any of the possible six inverse trig functions and since sine and cosine are the two trig functions most people are familiar with we will usually use the inverse sine or inverse cosine. In this case we’ll use the inverse cosine.

So, with all of this the integral becomes,

We now have the answer back in terms of (x).

Beeindruckend! That was a lot of work. Most of these won’t take as long to work however. This first one needed lots of explanation since it was the first one. The remaining examples won’t need quite as much explanation and so won’t take as long to work.

However, before we move onto more problems let’s first address the issue of definite integrals and how the process differs in these cases.

The limits here won’t change the substitution so that will remain the same.

Using this substitution the square root still reduces down to,

However, unlike the previous example we can’t just drop the absolute value bars. In this case we’ve got limits on the integral and so we can use the limits as well as the substitution to determine the range of ( heta ) that we’re in. Once we’ve got that we can determine how to drop the absolute value bars.

Here’s the limits of ( heta ) and note that if you aren’t good at solving trig equations in terms of secant you can always convert to cosine as we do below.

Now, we know from solving trig equations, that there are in fact an infinite number of possible answers we could use. In fact, the more “correct” answer for the above work is,

[ heta = 0 + 2pi n = 2pi nhspace<0.25in>& hspace <0.25in> heta = frac <3>+ 2pi nhspace <0.25in>n = 0, pm 1, pm 2, pm 3, ldots ]

So, which ones should we use? The answer is simple. When using a secant trig substitution and converting the limits we always assume that ( heta ) is in the range of inverse secant. Or,

Note that we have to avoid ( heta = frac<2>) because secant will not exist at that point. Also note that the range of ( heta ) was given in terms secant even though we actually used inverse cosine to get the answers. This will not be a problem because even though inverse cosine can give ( heta = frac<2>) we’ll never get it in our work above because that would require that we started with the secant being undefined and that will not happen when converting the limits as that would in turn require one of the limits to also be undefined!

So, in finding the new limits we didn’t need all possible values of ( heta ) we just need the inverse cosine answers we got when we converted the limits. Therefore, if we are in the range (frac<2> <5>le x le frac<4><5>) then ( heta ) is in the range of (0 le heta le frac<3>) and in this range of ( heta )’s tangent is positive and so we can just drop the absolute value bars.

Let’s do the substitution. Note that the work is identical to the previous example and so most of it is left out. We’ll pick up at the final integral and then do the substitution.

Note that because of the limits we didn’t need to resort to a right triangle to complete the problem.

Let’s take a look at a different set of limits for this integral.

Again, the substitution and square root are the same as the first two examples.

Let’s next see the limits ( heta ) for this problem.

Remember that in converting the limits we use the results from the inverse secant/cosine. So, for this range of (x)’s we have (frac<<2pi >> <3>le heta le pi ) and in this range of ( heta ) tangent is negative and so in this case we can drop the absolute value bars, but will need to add in a minus sign upon doing so. In other words,

So, the only change this will make in the integration process is to put a minus sign in front of the integral. The integral is then,

In the last two examples we saw that we have to be very careful with definite integrals. We need to make sure that we determine the limits on ( heta ) and whether or not this will mean that we can just drop the absolute value bars or if we need to add in a minus sign when we drop them.

Before moving on to the next example let’s get the general form for the secant trig substitution that we used in the previous set of examples and the assumed limits on ( heta ).

Let’s work a new and different type of example.

Now, the terms under the root in this problem looks to be (almost) the same as the previous ones so let’s try the same type of substitution and see if it will work here as well.

Using this substitution, the square root becomes,

So, using this substitution we will end up with a negative quantity (the tangent squared is always positive of course) under the square root and this will be trouble. Using this substitution will give complex values and we don’t want that. So, using secant for the substitution won’t work.

However, the following substitution (and differential) will work.

[x = 3sin heta hspace<0.5in>hspace<0.25in>dx = 3cos heta ,d heta ]

With this substitution the square root is,

[sqrt <9 - > = 3sqrt <1 - <^2> heta > = 3sqrt <<^2> heta > = 3left| ight| = 3cos heta ]

We were able to drop the absolute value bars because we are doing an indefinite integral and so we’ll assume that everything is positive.

In the previous section we saw how to deal with integrals in which the exponent on the secant was even and since cosecants behave an awful lot like secants we should be able to do something similar with this.

Now we need to go back to (x)’s using a right triangle. Here is the right triangle for this problem and trig functions for this problem.

We aren’t going to be doing a definite integral example with a sine trig substitution. However, if we had we would need to convert the limits and that would mean eventually needing to evaluate an inverse sine. So, much like with the secant trig substitution, the values of ( heta ) that we’ll use will be those from the inverse sine or,

Here is a summary for the sine trig substitution.

There is one final case that we need to look at. The next integral will also contain something that we need to make sure we can deal with.

First, notice that there really is a square root in this problem even though it isn’t explicitly written out. To see the root let’s rewrite things a little.

This terms under the root are not in the form we saw in the previous examples. Here we will use the substitution for this root.

With this substitution the denominator becomes,

Now, because we have limits we’ll need to convert them to ( heta ) so we can determine how to drop the absolute value bars.

As with the previous two cases when converting limits here we will use the results of the inverse tangent or,

So, in this range of ( heta ) secant is positive and so we can drop the absolute value bars.

There are several ways to proceed from this point. Normally with an odd exponent on the tangent we would strip one of them out and convert to secants. However, that would require that we also have a secant in the numerator which we don’t have. Therefore, it seems like the best way to do this one would be to convert the integrand to sines and cosines.

We can now use the substitution (u = cos heta ) and we might as well convert the limits as well.

[egin heta & = 0 & hspace <0.75in>& u = cos 0 = 1 heta & = frac<4>& hspace <0.75in>& u = cos frac <4>= frac<><2>end]

Here is a summary for this final type of trig substitution.

Before proceeding with some more examples let’s discuss just how we knew to use the substitutions that we did in the previous examples.

The main idea was to determine a substitution that would allow us to reduce the two terms under the root that was always in the problem (more on this in a bit) into a single term and in doing so we were also able to easily eliminate the root. To do this we made use of the following formulas.

[egin25 - 4 & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in> heta - 1 = < an ^2> heta 9 - & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>1 - heta = heta 36 + 1 & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>< an ^2> heta + 1 = heta end]

If we step back a bit we can notice that the terms we reduced look like the trig identities we used to reduce them in a vague way.

For instance, (25 - 4) is something squared (i.e. the (25)) minus a number (i.e. the 4) and the left side of formula we used, ( heta - 1), also follows this basic form. So, because the two look alike in a very vague way that suggests using a secant substitution for that problem. We can notice similar vague similarities in the other two cases as well.

If we keep this idea in mind we don’t need the “formulas” listed after each example to tell us which trig substitution to use and since we have to know the trig identities anyway to do the problems keeping this idea in mind doesn’t really add anything to what we need to know for the problems.

So, in the first example we needed to “turn” the 25 into a 4 through our substitution. Remembering that we are eventually going to square the substitution that means we need to divide out by a 5 so the 25 will cancel out, upon squaring. Likewise, we’ll need to add a 2 to the substitution so the coefficient will “turn” into a 4 upon squaring. In other words, we would need to use the substitution that we did in the problem.

The same idea holds for the other two trig substitutions.

Notice as well that we could have used cosecant in the first case, cosine in the second case and cotangent in the third case. So, why didn’t we? Simply because of the differential work. Had we used these trig functions instead we would have picked up a minus sign in the differential that we’d need to keep track of. So, while these could be used they generally aren’t to avoid extra minus signs that we need to keep track of.

Next, let’s quickly address the fact that a root was in all of these problems. Note that the root is not required in order to use a trig substitution. Instead, the trig substitution gave us a really nice of eliminating the root from the problem. In this section we will always be having roots in the problems, and in fact our summaries above all assumed roots, roots are not actually required in order use a trig substitution. We will be seeing an example or two of trig substitutions in integrals that do not have roots in the Integrals Involving Quadratics section.

Finally, let’s summarize up all the ideas with the trig substitutions we’ve discussed and again we will be using roots in the summary simply because all the integrals in this section will have roots and those tend to be the most likely places for using trig substitutions but again, are not required in order to use a trig substitution.

Now, we have a couple of final examples to work in this section. Not all trig substitutions will just jump right out at us. Sometimes we need to do a little work on the integrand first to get it into the correct form and that is the point of the remaining examples.

In this case the quantity under the root doesn’t obviously fit into any of the cases we looked at above and in fact isn’t in the any of the forms we saw in the previous examples. Note however that if we complete the square on the quadratic we can make it look somewhat like the above integrals.

Remember that completing the square requires a coefficient of one in front of the (). Once we have that we take half the coefficient of the (x), square it, and then add and subtract it to the quantity. Here is the completing the square for this problem.

[2left( <- 2x - frac<7><2>> ight) = 2left( <- 2x + 1 - 1 - frac<7><2>> ight) = 2left( << ight)>^2> - frac<9><2>> ight) = 2 ight)^2> - 9]

Now, this looks (very) vaguely like ( heta - 1) (i.e. something squared minus a number) except we’ve got something more complicated in the squared term. That is okay we’ll still be able to do a secant substitution and it will work in pretty much the same way.

[x - 1 = frac<3><>sec heta hspace<0.25in>x = 1 + frac<3><>sec heta hspace<0.25in>dx = frac<3><>sec heta an heta ,d heta ]

Using this substitution the root reduces to,

[sqrt <2- 4x - 7> = sqrt <2< ight)>^2> - 9> = sqrt <9<^2> heta - 9> = 3sqrt <<< an >^2> heta > = 3left| < an heta > ight| = 3 an heta ]

Note we could drop the absolute value bars since we are doing an indefinite integral. Here is the integral.

And here is the right triangle for this problem.

This doesn’t look to be anything like the other problems in this section. However it is. To see this we first need to notice that,

Upon noticing this we can use the following standard Calculus I substitution.

We do need to be a little careful with the differential work however. We don’t have just an (<<f>^x>) out in front of the root. Instead we have an (<<f>^<4x>>). So, we’ll need to strip one of those out for the differential and then use the substitution on the rest. Here is the substitution work.

This is now a fairly obvious trig substitution (hopefully). The quantity under the root looks almost exactly like (1 + < an ^2> heta ) and so we can use a tangent substitution. Here is that work.

[u = an heta hspace<0.25in>du = heta ,d heta hspace<0.5in>sqrt <1 + > = sqrt <1 + << an >^2> heta > = sqrt <<^2> heta > = left| ight|]

Because we are doing an indefinite integral we can assume secant is positive and drop the absolute value bars. Applying this substitution to the integral gives,

We’ll finish this integral off in a bit. Before we get to that there is a “quicker” (although not super obvious) way of doing the substitutions above. Let’s cover that first then we’ll come back and finish working the integral.

We can notice that the (u) in the Calculus I substitution and the trig substitution are the same (u) and so we can combine them into the following substitution.

We can then compute the differential. Just remember that all we do is differentiate both sides and then tack on (dx) or (d heta ) onto the appropriate side. Doing this gives,

With this substitution the square root becomes,

Again, we can drop the absolute value bars because we are doing an indefinite integral. The integral then becomes,

So, the same integral with less work. However, it does require that you be able to combine the two substitutions in to a single substitution. How you do this type of problem is up to you but if you don’t feel comfortable with the single substitution (and there’s nothing wrong if you don’t!) then just do the two individual substitutions. The single substitution method was given only to show you that it can be done so that those that are really comfortable with both kinds of substitutions can do the work a little quicker.

Now, let’s finish the integral work.

Here is the right triangle for this integral.

This was a messy problem, but we will be seeing some of this type of integral in later sections on occasion so we needed to make sure you’d seen at least one like it.

So, as we’ve seen in the final two examples in this section some integrals that look nothing like the first few examples can in fact be turned into a trig substitution problem with a little work.


Salted butter differs from unsalted because it’s preseasoned with (you guessed it) salt. So for 1 cup of salted butter, trade 1 cup margarine or 1 cup shortening plus ½ teaspoon salt ⅞ cup vegetable oil plus ½ teaspoon salt or ⅞ cup lard plus ½ teaspoon salt. (By the way, here’s the final answer on whether you can skip salt in a recipe if you use salted butter.)

To avoid dense, soggy, or flat baked goods, do not substitute oil for butter or shortening. Also do not substitute diet, whipped, or tub-style margarine for regular margarine. Doing so will significantly alter the texture of your treats and will likely lead to cookies that spread all over the baking pan. (Been there, done that, and mourned a few chocolate chip cookies in the process …)

That being said, if the reason you’re asking, “What is a substitute for butter?” is to lower the calorie count of your recipe or to offer healthier fats, try one of these plant-based butter replacements that do work well for baked goods. While the butter replacements below don’t work to replace all of the butter in your ingredients list, they can stand in for some if you’re running short or prefer to use alternative fat sources.

  1. Pureed Prunes. For half of the called-for butter, substitute baby food prunes ($1, Target). In other words, if your recipe calls for a stick of butter, use 4 Tbsp. butter and 4 Tbsp. (aka ½ cup) of this healthy butter replacement. Cup for cup, prunes have about 85% fewer calories than butter. Using prunes to replace half the butter cuts cholesterol (since cholesterol is found only in animal products), sodium, fat, and saturated fat. One cup of prunes has about 6 grams of fiber, whereas butter has no fiber. Prunes add natural sugars and healthy, energy-boosting carbohydrates.
  2. Mashed Tofu. For half of the called-for butter, substitute mashed tofu. Ounce per ounce, tofu has about 90% fewer calories and 88% less fat than butter. Using tofu to replace half the butter reduces calories, fat, saturated fat, cholesterol, and sodium by about half.
  3. Pureed Beans. For half of the called-for butter, substitute pureed beans (like cannellini, black beans, lentils). When estimating how much to use for your recipe, 1 cup of rinsed and drained canned beans is equal to ¾ cup mashed beans as a butter replacement. Cup for cup, beans have 84% fewer calories, 98%(!) less fat, and 70% less sodium than salted butter. Replacing half the butter with beans reduces calories, fat, cholesterol, and saturated fat. One cup of beans has about 12 grams of fiber plus folate and iron, whereas butter has none.
  4. Nonstick Spray. When baking or sautéing, a good butter substitute for 1 Tbsp. of butter to coat a pan is a ⅓-second spray of nonstick cooking spray. Using cooking spray omits virtually all added fat for cooking things like stir-fries or skillet-cooked vegetables. Just be sure to make it speedy: Adding more than one serving (a ⅓-second spray) will start adding fat since the sprays are made from oils. For example, three servings (a 1-second spray) have about 1 gram of fat.
  5. Flaxseed Meal.ਏor one-quarter of the called-for butter, substitute flaxseed meal ($3, Target). Flaxseed reduces calories added by salted butter by 90% and fat by 93%. It also omits cholesterol and virtually all saturated fat and sodium. Plus, this butter replacement has nearly twice the amount of calcium of butter plus 8 grams of fiber. However, flaxseed meal will increase carbohydrates, a good thing to keep in mind if you’re a keto diet devotee.
  6. Unsweetened Applesauce. A great substitute for unsalted butter in baked goods is another fruit. One of our fall favorites, in fact. For half of the called-for butter, substitute unsweetened applesauce. Unsweetened applesauce has about 94% fewer calories and 99% less fat than butter. It has 0 grams cholesterol and saturated fat, plus 98% less sodium than salted butter. As an added gut-healthy bonus, applesauce offers 3 grams fiber per cup. While using applesauce to replace half the butter reduces calories, fat, saturated fat, cholesterol, and sodium, it will increase carbohydrates. (A similar and also solid butter substitute for baking is canned pumpkin.)

Now that you have several suitable butter replacement ideas for sweet and savory recipes, you’ll be prepared to tackle any culinary adventures ahead.


Effects of Substitutions

These substitutes will give you the onion flavor that you’re after. At the same time, they will change the texture of your recipe and may also affect how many servings the recipe produces because dried onions take up less space than chopped onions.

If either of those factors is a concern, consider adding another ingredient to replace the lost texture and to bring the recipe back up to its intended volume. For example, if the recipe calls for one medium chopped onion, add a tablespoon of onion powder plus a cup of chopped carrots or celery.

Many recipes call for sautéing the onions in hot oil before the other ingredients are added. When using one of the dried substitutes, simply skip this step. Add the onion powder or dried onion flakes when you add the rest of the spices.


Reharmonization: Simple Substitution

If reharmonizing a tune is like painting a car, then simple substitution is like choosing a different shade of the same color—going from blue to indigo, or rose to pink. Simple substitution involves replacing a chord with another that has similar harmonic function. It allows you to change the sound of a tune while still retaining much of its original color.

In order to use simple substitution as a reharmonization technique, you must understand the division of the seven diatonic chords into three groups or families. Each of these chord families has a function. A chord’s function is its tendency to move or remain stable within a musical phrase. Let’s use the key of C as an example.

Tonic Family Analysis Symbol: (T)

Das tonic family of chords has a resting function. Chords in this group tend to sound stable. They have little sense of forward motion and are almost always found at the phrase endings of popular and standard tunes. Diatonic chords built on the first, third, and sixth degrees of a scale are the members of this group.

Tonic chords share several common tones. The chords are considered restful because they do not contain the fourth degree of the scale, which is F in the key of C. The fourth degree of any major scale is known as a tendency tone—it tends to lead to the third degree of the scale when played over IMaj7.

Subdominant Family Analysis Symbol: (SD)

Chords in the subdominant family have a moderate tendency to move ahead within the musical phrase. All chords in this family contain the restless fourth degree of the scale. Chords built on the second and fourth scale degrees make up this group. The V7sus4 is also included in this family, because it contains the fourth scale degree instead of the third. (Using a suspended fourth instead of a third eliminates the tritone that gives a dominant family chord its characteristic sound. The tritone function is described below.)

Dominant Family Analysis Symbol: (D)

Chords in the dominant family sound unresolved and have a strong tendency toward resolution. They are said to have a “moving” function. Dominant chords almost always precede phrase endings in popular and standard tunes. The chords V7, VII–7(5), and V7sus4 are in this family. (The V7sus4 chord has a dominant function when it resolves directly to IMaj7, even though it lacks the tritone interval.)

V7 and VII–7(5) share many common tones. They also contain both the fourth and seventh scale degrees. The intervallic distance between these two notes is called a tritone, also known as an augmented fourth. The tritone’s highly restless sound produces a strong sense of forward motion. The tritone formed by the third and seventh of a dominant chord creates the chord’s strong forward motion. Dominant family chords often resolve to a chord in the tonic family.


I. He Took Our Pain

“Surely he has borne our griefs
and carried our sorrows
yet we esteemed him stricken,
smitten by God, and afflicted”
(v. 4).

When Isaiah speaks of what Christ has done for us, he does not start with our sin and our guilt. That comes later. He begins instead with our infirmities. The text says that Christ has “borne” our griefs. It’s a Hebrew word that means to lift up and carry away a heavy load. It was used in Leviticus 16 for the scapegoat who carried away the sins of the nation. That’s the idea here. Jesus came to lift the heavy burden of sadness brought about by our sin and the pain of living in a sinful world. Perhaps you know the famous gospel song that starts this way:

Christ has borne our griefs

What a friend we have in Jesus,
All our sins and griefs to bear.

We have many griefs because we live in a fallen world.
We have many sorrows because we ourselves are fallen people.
We need someone who can bear our grief when the burden is too heavy for us.

Colin Smith (Restore Faith) explains it this way:

He took up our infirmities and carried our sorrow. That must include the division in your family, the loss of your job, the death of your husband, and the pain of your past.

In Christ we do not have some far-off God, but in him we find a God who drew near to us, who came to us, who entered our world and became one of us, that he might carry our sorrows for us.

Your pain will not have the last word

Your pain will not have the last word.
Your sorrows will not last forever.
Jesus has borne our griefs and carried our sorrows.

Os Guinness tells the following story in No God But God:

In one of their periodic efforts to eradicate religious belief in the Soviet Union, the Communist Party sent KGB agents to the nation’s churches on a Sunday morning. One agent was struck by the deep devotion of an elderly woman who was kissing the feet of a life-size carving of Christ on the cross.

“Babushka [Grandmother],” he said. “Are you also prepared to kiss the feet of the beloved general secretary of our great Communist Party?”

“Why, of course,” came the immediate reply. “But only if you crucify him first.” (p. 112)

No other God has wounds.
Where else can you find a Savior like this?

II. He Took Our Punishment

But he was pierced for our transgressions
he was crushed for our iniquities
upon him was the chastisement that brought us peace,
and with his wounds we are healed”
(v. 5).

“He was pierced” – as with a spear.
“He was crushed” – pulverized, broken, ground to pieces.
“Upon him was the chastisement”— beaten with a whip.
“By his wounds” – His body cut, bruised, his skin flayed.

No other God has wounds

It is not always understood that our Lord Jesus died in terrible pain. If you run the clock back from 3 o’clock in the afternoon—the moment of his death—to about 1 o’clock in the morning and review what had happened to Jesus as he moves through those hours—what you discover is that our Lord has just been through 14 hours of torture.

Arrested in the middle of the night.
Slapped.
Pushed around.
Mocked.
Slapped again.
Crowned with thorns that went into his scalp.
Scourged with a large strap studded with bits of bone and stone and metal.
His beard ripped out.
Beaten again and again.
Forced to carry his own cross.
Nails driven through his hands and feet.
Crucified.

At this point a strange question comes to mind. Was Jesus a failure? You could make a good case that the answer is yes. Just look at his life. He was born into an unimportant family in an unimportant village. He was ignored, he was taken for granted, he was laughed at. When he speaks, the powers that be want nothing to do with him. He faces ridicule, opposition, and misunderstanding all his life. In the end he is crucified like a criminal. His sufferings in those last few hours are unspeakable. When he dies he appears to be yet another forgotten footnote in history. Working with the facts on one level, you could make the case that our Lord was a failure.

But his death is not the end of the story.
Jesus did not fail in what he came to do.
He perfectly fulfilled the Father’s will.

His death is not the end of the story

Look what we have in return:

We have peace with God. The word means wholeness, health, the absence of war, and safety. In a messed-up world filled with broken people and broken promises, through Christ we have peace that passes all human understanding.

We are healed. We are healed from our guilt, healed from our hatred, healed from our doubt, and healed from our shame. Through Christ broken people are put back together again.

Was Jesus a failure? Nein!
He took our sin, bore our pain, and through his death on the cross, he healed us from the inside out so that we now live in peace.

III. He Took Our Place

“All we like sheep have gone astray
we have turned—every one—to his own way
and the Lord has laid on him
the iniquity of us all”
(v. 6).

Someone has said that Isaiah 53:6 is the “John 3:16 of the Old Testament” because this verse makes the way of salvation so clear that we cannot miss it.

Was Jesus a failure? Nein!

Note that “all” is the first and the last word of verse 6.

We have all sinned.
We have all gone astray.
We have all missed the mark.
We have all turned to our own way.

We’re all in the same boat, and the boat is going down.
If God doesn’t do something, we’re all going to die.

At this point we encounter the great, glorious news of the gospel.
God has done something!

He could have looked at the mess we made and said, “They deserve it. They messed up. Now let them face the consequences.” If God had said that, he would be 100% justified. God was under no obligation to rescue us when we wandered astray.

God would not leave us alone!

We said, “Leave me alone!”
But God said, “I can’t do that.”

“And the Lord has laid on him .” That’s Jesus! That’s the great Servant of the Lord who came from heaven on a divine rescue mission.

God laid our sins on Jesus.
That’s the doctrine of substitution.
That’s the heart of gospel.
He took my place when he died.
God laid my sins on him.

Let’s suppose that all your sins have been written in one massive book. That book is heavy because it records every rotten thing you’ve ever said, every unkind word you’ve ever spoken, every mean thought, every lustful fantasy, every evil imagination, and all your bad attitudes from the day of your birth till the day of your death. Picture yourself trying to hold that massive book in your hands. Now picture Jesus standing next to you. He is holy, perfect, pure and good. He has no book in his hands because he never sinned. You want to be rid of the book but you can’t seem to find a place to put it down. What will you do? Now picture Christ on the Cross, with the weight of millions of books upon his bleeding back. He bears that crushing weight as long as he can, then he dies. Look closely and you will see that each book is the personal record of someone who lived on the earth. If you look closely, you can see your book too. He took your sins–the record of all your evil and all your failings and all your shortcomings–he took it all upon himself when he died on the Cross. Truly, the Lord laid on him the iniquity of us all.

Would you like to go to heaven?
You can.

Jesus did not go unwillingly to the cross

Isaiah 53 contains the good news we all need. He was bruised–for us. He was wounded–for us. He was beaten, betrayed, mocked, scourged, crowned with thorns, crucified–all for us. Our sins drove Jesus to the cross. But he did not go unwillingly. If our sins drove him there, it was his love for us that kept him there.

If you want to go to heaven, pay attention to Isaiah 53:6. Remember that it begins and ends with the word “all.” One man gave his testimony this way: “I stooped down low and went in at the first ‘all.’ Then I stood up straight and walked out at the last ‘all.’” The first “all” tells us that we are sinners the last “all” tells us that Christ has paid the price for our sins. Go in at the first “all” and come out at the last “all” and you will discover the way of salvation.

Can an old sinner like me go to heaven?

When President Dwight Eisenhower was hospitalized for the final time before he died, Billy Graham paid him a visit. At one point President Eisenhower asked, “Can an old sinner like me ever go to heaven?” Billy Graham assured him that even “old sinners” can go to heaven by trusting in Jesus. But there is good news for “old sinners,” “young sinners,” “big sinners,” “small sinners,” and everyone in between. Jesus has paid the price in full so that you can go to heaven. It doesn’t matter who you are or what you’ve done or how bad your record might be. If you know that you are a sinner, you can be saved.

How can I be so sure about that? Because Jesus was pierced for your transgressions and crushed for your iniquities.

Hallelujah! What a Savior!

In 1875 Philip Bliss wrote a hymn based on the Isaiah 53 called Hallelujah! What a Savior! Speaking of this song, Ira Sankey (a composer and musician who served with D. L. Moody) says:

A few weeks before his death Mr. Bliss visited the State prison at Jackson, Michigan, where, after a very touching address on “The Man of Sorrows,” he sang this hymn with great effect. Many of the prisoners dated their conversion from that day.

Here are the words to that hymn:

Man of Sorrows! what a name
For the Son of God, who came
Ruined sinners to reclaim.
Hallelujah! What a Savior!

In my place condemned he stood

Bearing shame and scoffing rude,
In my place condemned He stood
Sealed my pardon with His blood.
Hallelujah! What a Savior!

Guilty, vile, and helpless we
Spotless Lamb of God was He
“Full atonement!” can it be?
Hallelujah! What a Savior!

Lifted up was He to die
“It is finished!” was His cry
Now in Heav’n exalted high.
Hallelujah! What a Savior!

Guilty, vile, and helpless we Spotless Lamb of God was He

When He comes, our glorious King,
All His ransomed home to bring,
Then anew His song we’ll sing:
Hallelujah! What a Savior!

How do we receive God’s gift of salvation? Simply by asking for it. Do you know in your heart that you want Christ in your life? You may have him today. This is the wonder of the gospel. Do not say, “I’ll do my best and come to Christ later.” That is the language of hell. You cannot be saved as long as you hold to your notions of goodness.

Run to the cross!

If you want to be saved, remember these four words:

Run to the cross and lay hold of Jesus Christ who loved you and died for you. God is fully satisfied with the work of his Son. Remember that “the Lord has laid on him the iniquity of us all.” Do you believe that? If you have any stirring in your heart, any sense of your need, any desire to be saved by grace, that desire has been placed in your heart by God. Now the rest is up to you.


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