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7.1: Einführung in die Kegelschnitte


In diesem Kapitel untersuchen wir die Konische Abschnitte - wörtlich "Abschnitte eines Kegels". Stellen Sie sich vor, wie unten ein doppelter Kegel von einem Flugzeug "geschnitten" wird.

Wenn wir den Kegel mit einer horizontalen Ebene schneiden, ist die resultierende Kurve a Kreis.

Das leichte Neigen des Flugzeugs erzeugt eine Ellipse.

Wenn die Ebene parallel zum Kegel schneidet, erhalten wir a Parabel.

Wenn wir den Kegel mit einer vertikalen Ebene schneiden, erhalten wir a Hyperbel.

Wenn die Schnittebene den Scheitelpunkt des Kegels enthält, erhalten wir die sogenannten „entarteten“ Kegelschnitte: einen Punkt, eine Gerade oder zwei sich schneidende Geraden.

Wir werden die Diskussion auf die nicht entarteten Fälle konzentrieren: Kreise, Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln, in dieser Reihenfolge. Um Gleichungen zu bestimmen, die diese Kurven beschreiben, verwenden wir ihre Definitionen in Bezug auf die Entfernungen.


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    • Überprüfung von Grafiken und Funktionen
    • Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekan
    • Inverse trigonometrische Funktionen
    • Trigonometrische Identitäten
    • Sinusgesetz und Kosinusgesetz
    • Vektoren und Einheitsvektoren
    • Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
    • Exponentielle und logarithmische Funktionen
    • Kegelschnitte: Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln

    Inhaltsverzeichnis

    • 1.1 Grundlagen der grafischen Darstellung
      • 1.1.1 Verwenden des kartesischen Systems
      • 1.1.2 Visuell denken
      • 1.2 Beziehungen zwischen zwei Punkten
        • 1.2.1 Den Abstand zwischen zwei Punkten ermitteln
        • 1.2.2 Finden des zweiten Endpunkts eines Segments
        • 1.3 Beziehungen zwischen drei Punkten
          • 1.3.1 Kollinearität und Distanz
          • 1.3.2 Dreiecke
          • 1.4 Kreise
            • 1.4.1 Ermitteln der Mittelpunkt-Radius-Form der Kreisgleichung
            • 1.4.2 Dekodierung der Kreisformel
            • 1.4.3 Ermitteln von Mittelpunkt und Radius eines Kreises
            • 1.4.4 Lösen von Wortproblemen mit Kreisen
            • 1.5 Gleichungen grafisch darstellen
              • 1.5.1 Graphische Darstellung von Gleichungen durch Lokalisieren von Punkten
              • 1.5.2 Ermitteln der x- und y-Achsenabschnitte einer Gleichung
              • 1.6 Funktionsgrundlagen
                • 1.6.1 Funktionen und der Vertikallinientest
                • 1.6.2 Funktionen identifizieren
                • 1.6.3 Funktionsnotation und Finden von Funktionswerten
                • 1.7 Arbeiten mit Funktionen
                  • 1.7.1 Intervalle bestimmen, über die eine Funktion zunimmt
                  • 1.7.2 Auswerten stückweise definierter Funktionen für gegebene Werte
                  • 1.7.3 Wortprobleme mit Funktionen lösen
                  • 1.8 Funktionsbereich und -bereich
                    • 1.8.1 Bestimmung der Domäne und des Umfangs einer Funktion
                    • 1.8.2 Domain und Range: Ein explizites Beispiel
                    • 1.8.3 Den Bereich einer Funktion erfüllen
                    • 1.9 Lineare Funktionen: Steigung
                      • 1.9.1 Eine Einführung in die Neigung
                      • 1.9.2 Ermitteln der Steigung einer Geraden mit zwei Punkten
                      • 1.9.3 Steigung aus einem Graphen interpretieren
                      • 1.9.4 Zeichnen einer Linie mit Punkt und Steigung
                      • 1.10 Geradengleichungen
                        • 1.10.1 Schreiben einer Gleichung in Slope-Intercept-Form
                        • 1.10.2 Schreiben einer Gleichung mit zwei Punkten
                        • 1.10.3 Schreiben einer Gleichung in Punkt-Steigungs-Form
                        • 1.10.4 Abgleich einer Steigungs-Schnittpunkt-Gleichung mit ihrem Graphen
                        • 1.10.5 Neigung für parallele und senkrechte Linien
                        • 1.11 Graphische Funktionen
                          • 1.11.1 Einige wichtige Funktionen grafisch darstellen
                          • 1.11.2 Graphische Darstellung stückweise definierter Funktionen
                          • 1.11.3 Gleichungen mit ihren Graphen abgleichen
                          • 1.12 Graphen manipulieren: Verschiebungen und Dehnungen
                            • 1.12.1 Kurven entlang der Achsen verschieben
                            • 1.12.2 Kurven entlang von Achsen verschieben oder verschieben
                            • 1.12.3 Dehnen eines Graphen
                            • 1.12.4 Quadratische Darstellung mit Mustern
                            • 1.13 Graphen manipulieren: Symmetrie und Spiegelungen
                              • 1.13.1 Symmetrie bestimmen
                              • 1.13.2 Reflexionen
                              • 1.13.3 Spezifische Funktionen widerspiegeln
                              • 1.14 Quadratische Funktionen: Grundlagen
                                • 1.14.1 Dekonstruktion des Graphen einer quadratischen Funktion
                                • 1.14.2 Schön aussehende Parabeln
                                • 1.14.3 Verwendung von Diskriminanten zur Darstellung von Parabeln
                                • 1.14.4 Maximale Höhe in der realen Welt
                                • 1.15 Quadratische Funktionen: Der Scheitelpunkt
                                  • 1.15.1 Ermitteln des Scheitelpunkts durch Vervollständigung des Quadrats
                                  • 1.15.2 Verwenden des Scheitelpunkts zum Schreiben der quadratischen Gleichung
                                  • 1.15.3 Ermitteln des Maximums oder Minimums einer quadratischen
                                  • 1.15.4 Parabeln grafisch darstellen
                                  • 1.16 Zusammengesetzte Funktionen
                                    • 1.16.1 Verwenden von Operationen für Funktionen
                                    • 1.16.2 Zusammengesetzte Funktionen
                                    • 1.16.3 Komponenten zusammengesetzter Funktionen
                                    • 1.16.4 Finden von Funktionen, die eine gegebene Zusammensetzung bilden
                                    • 1.16.5 Den Differenzenquotienten einer Funktion ermitteln
                                    • 1.16.6 Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate
                                    • 1.17 Rationale Funktionen
                                      • 1.17.1 Rationale Funktionen verstehen
                                      • 1.17.2 Grundlegende rationale Funktionen
                                      • 1.18 Rationale Funktionen grafisch darstellen
                                        • 1.18.1 Vertikale Asymptoten
                                        • 1.18.2 Horizontale Asymptoten
                                        • 1.18.3 Rationale Funktionen grafisch darstellen
                                        • 1.18.4 Rationale Funktionen grafisch darstellen: Weitere Beispiele
                                        • 1.18.5 Schräge Asymptoten
                                        • 1.18.6 Schräge Asymptoten: Ein weiteres Beispiel
                                        • 1.19 Funktionsumkehrungen
                                          • 1.19.1 Inverse Funktionen verstehen
                                          • 1.19.2 Der horizontale Linientest
                                          • 1.19.3 Sind zwei Funktionen invers zueinander?
                                          • 1.19.4 Die Umkehrung grafisch darstellen
                                          • 1.20 Finden von Funktionsinversen
                                            • 1.20.1 Auffinden der Inversen einer Funktion
                                            • 1.20.2 Finden der Inversen einer Funktion mit höheren Potenzen

                                            2. Die trigonometrischen Funktionen

                                            • 2.1 Winkel und Bogenmaß
                                              • 2.1.1 Den Quadranten finden, in dem ein Winkel liegt
                                              • 2.1.2 Koterminale Winkel finden
                                              • 2.1.3 Komplement und Ergänzung eines Winkels finden
                                              • 2.1.4 Umrechnung zwischen Grad und Bogenmaß
                                              • 2.1.5 Verwenden der Bogenlängenformel
                                              • 2.2 Rechtwinklige Trigonometrie
                                                • 2.2.1 Eine Einführung in die trigonometrischen Funktionen
                                                • 2.2.2 Auswertung trigonometrischer Funktionen für einen Winkel in einem rechten Dreieck
                                                • 2.2.3 Finden eines Winkels mit dem Wert einer trigonometrischen Funktion
                                                • 2.2.4 Verwenden von trigonometrischen Funktionen zum Auffinden unbekannter Seiten rechter Dreiecke
                                                • 2.2.5 Ermitteln der Höhe eines Gebäudes
                                                • 2.3 Die trigonometrischen Funktionen
                                                  • 2.3.1 Auswertung trigonometrischer Funktionen für einen Winkel in der Koordinatenebene
                                                  • 2.3.2 Auswertung trigonometrischer Funktionen anhand des Referenzwinkels
                                                  • 2.3.3 Ermitteln des Wertes trigonometrischer Funktionen mit Informationen über die Werte anderer trigonometrischer Funktionen
                                                  • 2.3.4 Trigonometrische Funktionen wichtiger Winkel
                                                  • 2.4 Grafische Darstellung von Sinus- und Kosinusfunktionen
                                                    • 2.4.1 Eine Einführung in die Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen
                                                    • 2.4.2 Grafische Darstellung von Sinus- oder Kosinusfunktionen mit unterschiedlichen Koeffizienten
                                                    • 2.4.3 Ermitteln von Maximal- und Minimalwerten und Nullstellen von Sinus und Cosinus
                                                    • 2.4.4 Lösen von Wortproblemen mit Sinus- oder Kosinusfunktionen
                                                    • 2.5 Grafische Darstellung von Sinus- und Kosinusfunktionen mit vertikalen und horizontalen Verschiebungen
                                                      • 2.5.1 Grafische Darstellung von Sinus- und Kosinusfunktionen mit Phasenverschiebungen
                                                      • 2.5.2 Fancy Graphing: Änderungen in Periode, Amplitude, vertikaler Verschiebung und Phasenverschiebung
                                                      • 2.6 Andere trigonometrische Funktionen grafisch darstellen
                                                        • 2.6.1 Graphische Darstellung der Tangens-, Sekanten-, Kosekanten- und Kotangensfunktionen
                                                        • 2.6.2 Fancy Graphing: Tangente, Sekante, Kosekans und Cotangens
                                                        • 2.6.3 Identifizieren einer trigonometrischen Funktion aus ihrem Graphen
                                                        • 2.7 Inverse trigonometrische Funktionen
                                                          • 2.7.1 Eine Einführung in inverse trigonometrische Funktionen
                                                          • 2.7.2 Auswertung inverser trigonometrischer Funktionen
                                                          • 2.7.3 Lösen einer Gleichung mit einer inversen trigonometrischen Funktion
                                                          • 2.7.4 Bewertung der Zusammensetzung einer trigonometrischen Funktion und ihrer Umkehrung
                                                          • 2.7.5 Trigonometrische Funktionen anwenden: Beschleunigt er?

                                                          3. Trigonometrische Identitäten

                                                          • 3.1 Grundlegende trigonometrische Identitäten
                                                            • 3.1.1 Grundlegende trigonometrische Identitäten
                                                            • 3.1.2 Finden aller Funktionswerte
                                                            • 3.2 Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke
                                                              • 3.2.1 Vereinfachung eines trigonometrischen Ausdrucks mit trigonometrischen Identitäten
                                                              • 3.2.2 Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke mit Brüchen
                                                              • 3.2.3 Vereinfachen von Binomialprodukten mit trigonometrischen Funktionen
                                                              • 3.2.4 Faktorisieren trigonometrischer Ausdrücke
                                                              • 3.2.5 Bestimmen, ob eine trigonometrische Funktion ungerade, gerade oder keines ist
                                                              • 3.3 Nachweis trigonometrischer Identitäten
                                                                • 3.3.1 Identitätsnachweis
                                                                • 3.3.2 Identitätsnachweis: Weitere Beispiele
                                                                • 3.4 Trigonometrische Gleichungen lösen
                                                                  • 3.4.1 Trigonometrische Gleichungen lösen
                                                                  • 3.4.2 Lösen trigonometrischer Gleichungen durch Faktorisieren
                                                                  • 3.4.3 Trigonometrische Gleichungen mit Koeffizienten im Argument lösen
                                                                  • 3.4.4 Lösen trigonometrischer Gleichungen mit der quadratischen Formel
                                                                  • 3.4.5 Lösen von Wortproblemen mit trigonometrischen Gleichungen
                                                                  • 3.5 Die Summen- und Differenzidentitäten
                                                                    • 3.5.1 Identitäten für Summen und Winkeldifferenzen
                                                                    • 3.5.2 Verwenden von Summen- und Differenzidentitäten
                                                                    • 3.5.3 Verwenden von Summen- und Differenzidentitäten zur Vereinfachung eines Ausdrucks
                                                                    • 3.6 Doppelwinkel-Identitäten
                                                                      • 3.6.1 Bestätigen einer Doppelwinkel-Identität
                                                                      • 3.6.2 Verwenden von Doppelwinkel-Identitäten
                                                                      • 3.6.3 Lösen von Wortproblemen mit Mehrfach-Winkel-Identitäten
                                                                      • 3.7 Andere erweiterte Identitäten
                                                                        • 3.7.1 Verwenden einer Kofunktionsidentität
                                                                        • 3.7.2 Verwenden einer leistungsreduzierenden Identität
                                                                        • 3.7.3 Verwenden von Halbwinkelidentitäten zum Lösen einer trigonometrischen Gleichung

                                                                        4. Anwendungen der Trigonometrie

                                                                        • 4.1 Das Sinusgesetz
                                                                          • 4.1.1 Das Sinusgesetz
                                                                          • 4.1.2 Lösen eines Dreiecks mit zwei Seiten und einem Winkel
                                                                          • 4.1.3 Lösen eines Dreiecks (SAS): Ein weiteres Beispiel
                                                                          • 4.1.4 Das Sinusgesetz: Eine Anwendung
                                                                          • 4.2 Das Kosinusgesetz
                                                                            • 4.2.1 Das Kosinusgesetz
                                                                            • 4.2.2 Das Kosinusgesetz (SSS)
                                                                            • 4.2.3 Das Kosinusgesetz (SAS): Eine Anwendung
                                                                            • 4.2.4 Reiherformel
                                                                            • 4.3 Vektor-Grundlagen
                                                                              • 4.3.1 Eine Einführung in Vektoren
                                                                              • 4.3.2 Größe und Richtung eines Vektors ermitteln
                                                                              • 4.3.3 Vektoraddition und Skalarmultiplikation
                                                                              • 4.4 Komponenten von Vektoren und Einheitsvektoren
                                                                                • 4.4.1 Finden der Komponenten eines Vektors
                                                                                • 4.4.2 Finden eines Einheitsvektors
                                                                                • 4.4.3 Wortprobleme mit Geschwindigkeit oder Kräften lösen

                                                                                5. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten

                                                                                • 5.1 Komplexe Zahlen
                                                                                  • 5.1.1 Komplexe Zahlen einführen und schreiben
                                                                                  • 5.1.2 Potenzen von i . umschreiben
                                                                                  • 5.1.3 Komplexe Zahlen addieren und subtrahieren
                                                                                  • 5.1.4 Komplexe Zahlen multiplizieren
                                                                                  • 5.1.5 Komplexe Zahlen dividieren
                                                                                  • 5.2 Komplexe Zahlen in trigonometrischer Form
                                                                                    • 5.2.1 Eine komplexe Zahl grafisch darstellen und ihren Absolutwert ermitteln Find
                                                                                    • 5.2.2 Eine komplexe Zahl in trigonometrischer oder polarer Form ausdrücken
                                                                                    • 5.2.3 Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in trigonometrischer oder polarer Form
                                                                                    • 5.3 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
                                                                                      • 5.3.1 Den Satz von DeMoivre verwenden, um eine komplexe Zahl zu potenzieren
                                                                                      • 5.3.2 Wurzeln komplexer Zahlen
                                                                                      • 5.3.3 Weitere Wurzeln komplexer Zahlen
                                                                                      • 5.3.4 Wurzeln der Einheit
                                                                                      • 5.4 Polarkoordinaten
                                                                                        • 5.4.1 Eine Einführung in Polarkoordinaten
                                                                                        • 5.4.2 Umrechnung zwischen Polar- und Rechteckkoordinaten
                                                                                        • 5.4.3 Umrechnung zwischen Polar- und Rechteckgleichungen
                                                                                        • 5.4.4 Grafische Darstellung einfacher Polargleichungen
                                                                                        • 5.4.5 Spezielle Polargleichungen grafisch darstellen

                                                                                        6. Exponentielle und logarithmische Funktionen

                                                                                        • 6.1 Exponentialfunktionen
                                                                                          • 6.1.1 Eine Einführung in Exponentialfunktionen
                                                                                          • 6.1.2 Exponentialfunktionen grafisch darstellen: nützliche Muster
                                                                                          • 6.1.3 Exponentialfunktionen grafisch darstellen: Weitere Beispiele
                                                                                          • 6.2 Exponentialfunktionen anwenden
                                                                                            • 6.2.1 Verwenden von Eigenschaften von Exponenten zum Lösen von Exponentialgleichungen
                                                                                            • 6.2.2 Ermitteln des gegenwärtigen und zukünftigen Werts
                                                                                            • 6.2.3 Einen Zinssatz finden, der den vorgegebenen Zielen entspricht
                                                                                            • 6.3 Die Zahl e
                                                                                              • 6.3.1 e
                                                                                              • 6.3.2 Anwenden von Exponentialfunktionen
                                                                                              • 6.4 Logarithmische Funktionen
                                                                                                • 6.4.1 Eine Einführung in logarithmische Funktionen
                                                                                                • 6.4.2 Umrechnung zwischen Exponential- und Logarithmusfunktionen
                                                                                                • 6.5 Logarithmische Funktionen lösen
                                                                                                  • 6.5.1 Ermitteln des Wertes einer logarithmischen Funktion
                                                                                                  • 6.5.2 Auflösen nach x in logarithmischen Gleichungen
                                                                                                  • 6.5.3 Logarithmische Funktionen grafisch darstellen
                                                                                                  • 6.5.4 Logarithmische Funktionen mit ihren Graphen abgleichen
                                                                                                  • 6.6 Eigenschaften von Logarithmen
                                                                                                    • 6.6.1 Eigenschaften von Logarithmen
                                                                                                    • 6.6.2 Erweitern eines logarithmischen Ausdrucks mithilfe von Eigenschaften
                                                                                                    • 6.6.3 Kombinieren von logarithmischen Ausdrücken
                                                                                                    • 6.7 Logarithmen auswerten
                                                                                                      • 6.7.1 Logarithmische Funktionen mit einem Taschenrechner auswerten
                                                                                                      • 6.7.2 Verwenden der Änderung der Basisformel
                                                                                                      • 6.8 Logarithmische Funktionen anwenden
                                                                                                        • 6.8.1 Die Richterskala
                                                                                                        • 6.8.2 Die Distanzmodulformel
                                                                                                        • 6.9 Lösen von exponentiellen und logarithmischen Gleichungen
                                                                                                          • 6.9.1 Exponentialgleichungen lösen
                                                                                                          • 6.9.2 Logarithmische Gleichungen lösen
                                                                                                          • 6.9.3 Gleichungen mit logarithmischen Exponenten lösen
                                                                                                          • 6.10 Exponenten und Logarithmen anwenden
                                                                                                            • 6.10.1 Zinseszins
                                                                                                            • 6.10.2 Änderungen vorhersagen
                                                                                                            • 6.11 Wortprobleme mit exponentiellem Wachstum und Verfall
                                                                                                              • 6.11.1 Eine Einführung in exponentielles Wachstum und Verfall
                                                                                                              • 6.11.2 Halbwertszeit
                                                                                                              • 6.11.3 Newtonsches Abkühlungsgesetz
                                                                                                              • 6.11.4 Fortlaufender Zinseszins

                                                                                                              7. Konische Abschnitte

                                                                                                              • 7.1 Kegelschnitte: Parabeln
                                                                                                                • 7.1.1 Eine Einführung in Kegelschnitte
                                                                                                                • 7.1.2 Eine Einführung in Parabeln
                                                                                                                • 7.1.3 Informationen über eine Parabel aus ihrer Gleichung bestimmen
                                                                                                                • 7.1.4 Schreiben einer Gleichung für eine Parabel
                                                                                                                • 7.2 Kegelschnitte: Ellipsen
                                                                                                                  • 7.2.1 Eine Einführung in Ellipsen
                                                                                                                  • 7.2.2 Finden der Gleichung für eine Ellipse
                                                                                                                  • 7.2.3 Ellipsen anwenden: Satelliten
                                                                                                                  • 7.2.4 Die Exzentrizität einer Ellipse
                                                                                                                  • 7.3 Kegelschnitte: Hyperbeln
                                                                                                                    • 7.3.1 Eine Einführung in Hyperbeln
                                                                                                                    • 7.3.2 Finden der Gleichung für eine Hyperbel
                                                                                                                    • 7.3.3 Hyperbeln anwenden: Navigation
                                                                                                                    • 7.4 Kegelschnitte
                                                                                                                      • 7.4.1 Identifizieren eines Kegelschnitts
                                                                                                                      • 7.4.2 Nennen Sie diesen Kegel That
                                                                                                                      • 7.4.3 Drehung der Achsen
                                                                                                                      • 7.4.4 Rotierende Kegelschnitte

                                                                                                                      Über den Autor

                                                                                                                      Edward Burger ist ein preisgekrönter Professor mit einer Leidenschaft für den Mathematikunterricht.

                                                                                                                      Seit 2013 ist Edward Burger Präsident der Southwestern University, einer hochrangigen Hochschule für Geisteswissenschaften in Georgetown, Texas. Zuvor war er Professor für Mathematik am Williams College. Dr. Burger erwarb seinen Ph.D. an der University of Texas in Austin, mit summa cum laude mit Auszeichnung in Mathematik am Connecticut College.

                                                                                                                      Prof. Burgers einzigartiger Humor und seine Lehrkompetenz machen ihn zum idealen Moderator der unterhaltsamen und informativen Videovorträge von Thinkwell.


                                                                                                                      Eine Einführung in NURBS

                                                                                                                      Das Neueste von einem Pionier der Computergrafik, Eine Einführung in NURBS ist die ideale Ressource für alle, die ein theoretisches und praktisches Verständnis dieser sehr wichtigen Kurven und Flächen suchen. Beginnend mit Bézier-Kurven entwickelt das Buch eine anschauliche Erklärung von NURBS-Kurven, macht dann dasselbe für Oberflächen und betont konsequent wichtige Formdesign-Eigenschaften und die Fähigkeiten jeder Kurve und jedes Oberflächentyps. Durchweg stützt es sich stark auf Illustrationen und vollständig ausgearbeitete Beispiele, die Ihnen helfen, die wichtigsten NURBS-Konzepte zu verstehen und sie geschickt in Ihrer Arbeit anzuwenden. Ergänzt werden die klaren, punktuellen Anweisungen durch aufschlussreiche Berichte über die Geschichte von NURBS, geschrieben von einigen seiner prominentesten Persönlichkeiten.

                                                                                                                      Egal, ob Sie Ihren eigenen Code schreiben oder einfach tiefere Einblicke in die Funktionsweise Ihrer Computergrafikanwendung wünschen, eine Einführung in NURBS wird Ihr Wissen in einem Maße verbessern und erweitern, das mit keiner anderen Ressource erreicht wird.

                                                                                                                      Das Neueste von einem Computergrafik-Pionier, Eine Einführung in NURBS ist die ideale Ressource für alle, die ein theoretisches und praktisches Verständnis dieser sehr wichtigen Kurven und Flächen suchen. Beginnend mit Bézier-Kurven entwickelt das Buch eine anschauliche Erklärung von NURBS-Kurven, macht dasselbe für Flächen und betont konsequent wichtige Formdesign-Eigenschaften und die Fähigkeiten jeder Kurve und jedes Flächentyps. Durchweg stützt es sich stark auf Illustrationen und vollständig ausgearbeitete Beispiele, die Ihnen helfen, die wichtigsten NURBS-Konzepte zu verstehen und sie geschickt in Ihrer Arbeit anzuwenden. Ergänzt werden die klaren, punktuellen Anweisungen durch aufschlussreiche Berichte über die Geschichte von NURBS, geschrieben von einigen seiner prominentesten Persönlichkeiten.

                                                                                                                      Egal, ob Sie Ihren eigenen Code schreiben oder einfach tiefere Einblicke in die Funktionsweise Ihrer Computergrafikanwendung wünschen, eine Einführung in NURBS wird Ihr Wissen in einem Maße verbessern und erweitern, das mit keiner anderen Ressource erreicht wird.


                                                                                                                      KONISCHE ABSCHNITTE - PowerPoint PPT-Präsentation

                                                                                                                      PowerShow.com ist eine führende Website zum Teilen von Präsentationen/Diashows. Egal, ob Ihre Anwendung geschäftlich, praktisch, Bildung, Medizin, Schule, Kirche, Vertrieb, Marketing, Online-Schulung oder einfach nur zum Spaß ist, PowerShow.com ist eine großartige Ressource. Und das Beste ist, dass die meisten seiner coolen Funktionen kostenlos und einfach zu verwenden sind.

                                                                                                                      Sie können PowerShow.com verwenden, um online PowerPoint-PPT-Beispielpräsentationen zu fast jedem erdenklichen Thema zu finden und herunterzuladen. So können Sie kostenlos lernen, wie Sie Ihre eigenen Folien und Präsentationen verbessern können. Oder verwenden Sie es, um hochwertige PowerPoint-PPT-Präsentationen mit illustrierten oder animierten Folien zu finden und herunterzuladen, die Ihnen zeigen, wie Sie etwas Neues tun können, auch kostenlos. Oder verwenden Sie es, um Ihre eigenen PowerPoint-Folien hochzuladen, damit Sie sie mit Ihren Lehrern, Klassen, Schülern, Chefs, Mitarbeitern, Kunden, potenziellen Investoren oder der ganzen Welt teilen können. Oder verwenden Sie es, um wirklich coole Foto-Diashows zu erstellen – mit 2D- und 3D-Übergängen, Animationen und Ihrer Musikauswahl –, die Sie mit Ihren Facebook-Freunden oder Google+-Kreisen teilen können. Das ist auch alles kostenlos!

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                                                                                                                      Präsentationen kostenlos. Oder verwenden Sie es, um hochwertige PowerPoint-PPT-Präsentationen mit illustrierten oder animierten Folien zu finden und herunterzuladen, die Ihnen zeigen, wie Sie etwas Neues tun können, auch kostenlos. Oder verwenden Sie es, um Ihre eigenen PowerPoint-Folien hochzuladen, damit Sie sie mit Ihren Lehrern, Klassen, Schülern, Chefs, Mitarbeitern, Kunden, potenziellen Investoren oder der ganzen Welt teilen können. Oder verwenden Sie es, um wirklich coole Foto-Diashows zu erstellen – mit 2D- und 3D-Übergängen, Animationen und Ihrer Musikauswahl –, die Sie mit Ihren Facebook-Freunden oder Google+-Kreisen teilen können. Das ist auch alles kostenlos!


                                                                                                                      Kegelschnitte: Die Ellipse - PowerPoint PPT-Präsentation

                                                                                                                      PowerShow.com ist eine führende Website zum Teilen von Präsentationen/Diashows. Egal, ob Ihre Anwendung geschäftlich, praktisch, Bildung, Medizin, Schule, Kirche, Vertrieb, Marketing, Online-Schulung oder einfach nur zum Spaß ist, PowerShow.com ist eine großartige Ressource. Und das Beste ist, dass die meisten seiner coolen Funktionen kostenlos und einfach zu verwenden sind.

                                                                                                                      Sie können PowerShow.com verwenden, um online PowerPoint-PPT-Beispielpräsentationen zu fast jedem erdenklichen Thema zu finden und herunterzuladen. So können Sie kostenlos lernen, wie Sie Ihre eigenen Folien und Präsentationen verbessern können. Oder verwenden Sie es, um hochwertige PowerPoint-PPT-Präsentationen mit illustrierten oder animierten Folien zu finden und herunterzuladen, die Ihnen zeigen, wie Sie etwas Neues tun können, auch kostenlos. Oder verwenden Sie es, um Ihre eigenen PowerPoint-Folien hochzuladen, damit Sie sie mit Ihren Lehrern, Klassen, Schülern, Chefs, Mitarbeitern, Kunden, potenziellen Investoren oder der ganzen Welt teilen können. Oder verwenden Sie es, um wirklich coole Foto-Diashows zu erstellen – mit 2D- und 3D-Übergängen, Animationen und Ihrer Musikauswahl –, die Sie mit Ihren Facebook-Freunden oder Google+-Kreisen teilen können. Das ist auch alles kostenlos!

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                                                                                                                      Präsentationen kostenlos. Oder verwenden Sie es, um hochwertige PowerPoint-PPT-Präsentationen mit illustrierten oder animierten Folien zu finden und herunterzuladen, die Ihnen zeigen, wie Sie etwas Neues tun können, auch kostenlos. Oder verwenden Sie es, um Ihre eigenen PowerPoint-Folien hochzuladen, damit Sie sie mit Ihren Lehrern, Klassen, Schülern, Chefs, Mitarbeitern, Kunden, potenziellen Investoren oder der ganzen Welt teilen können. Oder verwenden Sie es, um wirklich coole Foto-Diashows zu erstellen – mit 2D- und 3D-Übergängen, Animationen und Ihrer Musikauswahl –, die Sie mit Ihren Facebook-Freunden oder Google+-Kreisen teilen können. Das ist auch alles kostenlos!


                                                                                                                      7.1 Integration nach Teilen

                                                                                                                      Einführung: In dieser Lektion lernen wir, Funktionen mithilfe der Integration-by-Parts-Technik zu integrieren. Bisher ist die einzige Integrationstechnik, die Sie gesehen haben, eine u-Substitution. Die u-Substitution funktioniert durch “Rückgängigmachen” der Kettenregel. In dieser Lektion lernen wir, dass die Technik der Integration nach Teilen das “Rückgängigmachen” der Produktregel ist.

                                                                                                                      Ziele: Nach dieser Lektion sollten Sie in der Lage sein:

                                                                                                                      Video &-Hinweise: Füllen Sie das Notizblatt für diese Lektion (7-1-Integration-by-Parts) aus, während Sie das Video ansehen. Wenn Sie es vorziehen, können Sie Abschnitt 7.1 Ihres Lehrbuchs lesen und die Aufgaben auf den Notizen als Übung selbst erarbeiten. Denken Sie daran, dass Notizen für eine Note wöchentlich an Blackboard hochgeladen werden müssen! Wenn das folgende Video aus irgendeinem Grund nicht geladen wird, können Sie hier auf YouTube darauf zugreifen.

                                                                                                                      Hausaufgaben: Gehen Sie zu WebAssign und schließen Sie die Zuweisung 𔄟.1 Integration nach Teilen” ab.

                                                                                                                      Übungsprobleme: # 5, 9, 17, 19, 23, 27, 31, 35, 37, 39

                                                                                                                      Die University of Alaska Fairbanks ist ein AA/EO-Arbeitgeber und eine Bildungseinrichtung und verbietet die illegale Diskriminierung von Einzelpersonen. Erfahren Sie mehr über die Nichtdiskriminierungserklärung von UA.


                                                                                                                      Lassen Sie sich benachrichtigen, wenn wir Neuigkeiten, Kurse oder Veranstaltungen haben, die für Sie von Interesse sind.

                                                                                                                      Durch die Eingabe Ihrer E-Mail stimmen Sie zu, Mitteilungen von Penn State Extension zu erhalten. Sehen Sie sich unsere Datenschutzerklärung an.

                                                                                                                      Vielen Dank für Ihre Einreichung!

                                                                                                                      Serbische Fichte - Picea omorika

                                                                                                                      Artikel

                                                                                                                      Obstproduktion für den Hausgärtner

                                                                                                                      Leitfäden und Veröffentlichungen

                                                                                                                      Landschaftsgestaltung des Heimgeländes

                                                                                                                      Leitfäden und Veröffentlichungen

                                                                                                                      2019 Penn State Flower Trials

                                                                                                                      Videos

                                                                                                                      Lebenszyklen von Pflanzen

                                                                                                                      Artikel

                                                                                                                      Kegelschnitte - Kreise

                                                                                                                      Eine Reihe kostenloser Online-Video-Lektionen mit Beispielen und Lösungen, die Algebra-Schülern helfen, etwas über Kreiskegelschnitte zu lernen.

                                                                                                                      Das folgende Diagramm zeigt, wie man die Kreisgleichung (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 mit dem Satz des Pythagoras und der Distanzformel herleitet. Scrollen Sie auf der Seite nach unten für Beispiele und Lösungen.

                                                                                                                      Kreiskonischer Abschnitt

                                                                                                                      Wenn wir mit Kreiskegelschnitten arbeiten, können wir die Gleichung eines Kreises mithilfe von Koordinaten und der Abstandsformel herleiten.
                                                                                                                      Die Gleichung eines Kreises ist (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 wobei r gleich dem Radius ist und die Koordinaten (x, y) gleich dem Kreismittelpunkt sind.
                                                                                                                      Die Variablen h und k repräsentieren horizontale oder vertikale Verschiebungen im Kreisdiagramm.
                                                                                                                      Beispiele:
                                                                                                                      1. Finden Sie den Mittelpunkt und den Radius
                                                                                                                      a) x 2 + (y + 2) 2 = 121
                                                                                                                      b) (x + 5) 2 + (y - 10) 2 = 9

                                                                                                                      2. Finden Sie die Gleichung des Kreises mit
                                                                                                                      a) Mittelpunkt (-11, -8) und Radius 4
                                                                                                                      b) Mittelpunkt (2, -5) und Punkt auf Kreis (-7, -1)

                                                                                                                      Wie zeichne ich einen Kreis in Standardform und allgemeiner Form?

                                                                                                                      Bestimme die Kreisgleichung.
                                                                                                                      Schreiben Sie die Standardform eines Kreises aus der allgemeinen Form.
                                                                                                                      Zeichne einen Kreis.
                                                                                                                      Ein Kreis ist die Menge von Punkten (x,y), die einen festen Abstand r, den Radius, von einem festen Punkt (h,k), dem Mittelpunkt, haben.
                                                                                                                      (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2
                                                                                                                      Beispiele:
                                                                                                                      1. Zeichnen Sie den Kreis
                                                                                                                      a) (x - 3) 2 + (y + 2) 2 = 16
                                                                                                                      b) x 2 + (y - 1) 2 = 4

                                                                                                                      2. In Standardform schreiben und dann grafisch darstellen
                                                                                                                      2x 2 + 2y 2 - 12x + 8y - 24 = 0

                                                                                                                      Konische Abschnitte

                                                                                                                      Einführung in Kreise
                                                                                                                      Verstehe die Gleichung eines Kreises

                                                                                                                      Zeichnen und schreiben Sie Gleichungen von Kreisen

                                                                                                                      Beispiel:
                                                                                                                      Zeichnen Sie die Gleichung
                                                                                                                      (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 9

                                                                                                                      Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

                                                                                                                      Wir freuen uns über Ihr Feedback, Kommentare und Fragen zu dieser Site oder Seite. Bitte senden Sie Ihr Feedback oder Ihre Anfragen über unsere Feedback-Seite.


                                                                                                                      ArcGIS (Desktop, Server) 10.7.1 Belge Lambert 1972 Äquivalenzpatch

                                                                                                                      Dieser Patch fügt die Möglichkeit hinzu, beide Versionen der projizierten Koordinatensysteme von Belge Lambert 1972 so zu behandeln, als ob sie gleichwertig wären.

                                                                                                                      Esri® kündigt den ArcGIS (Desktop, Server) 10.7.1 Belge Lambert 1972 Equivalency Patch an. Die Esri-Software verwendet eine sehr frühe Definition des projizierten Koordinatensystems von Belge Lambert 1972, EPSG:31370. Die Werte für falschen Ostwert und falschen Nordwert sind genauer als die aktuelle offizielle NGI/IGN-Definition. Die Werte unterscheiden sich um 0,44 mm und 0,2 mm. Für ArcMap 10.7.0 hat Esri die Definition korrigiert und eine zweite Definition für die vorherige Definition erstellt. Vorhandene Daten, insbesondere Webdienste, verloren ihre WKID-Informationen, was zu Problemen bei der Datenverarbeitung führte. Dieser Patch stellt sicher, dass beide Definitionen so behandelt werden, als ob sie gleich wären, jede wird als EPSG:31370 identifiziert. Dieser Patch befasst sich speziell mit dem unten unter Mit diesem Patch behobenen Problemen aufgeführten Problem.

                                                                                                                      Mit diesem Patch behobene Probleme

                                                                                                                      • BUG-000130263 - Behandeln Sie die alten und neuen Versionen der projizierten Koordinatensysteme von Belge Lambert 1972, als ob sie gleichwertig wären.

                                                                                                                      Installieren dieses Patches unter Windows

                                                                                                                      Installationsschritte:

                                                                                                                      Das in der Tabelle aufgeführte ArcGIS-Produkt muss auf Ihrem System installiert sein, bevor Sie einen Patch installieren können. Jedes Patch-Setup ist spezifisch für das ArcGIS-Produkt in der Liste. Um festzustellen, welche Produkte auf Ihrem System installiert sind, lesen Sie den Abschnitt So ermitteln Sie, welche ArcGIS-Produkte installiert sind. Esri empfiehlt, dass Sie den Patch für jedes Produkt auf Ihrem System installieren.

                                                                                                                        Laden Sie die entsprechende Datei an einen anderen Speicherort als Ihren ArcGIS-Installationsspeicherort herunter.

                                                                                                                      HINWEIS: Wenn ein Doppelklick auf die MSP-Datei die Setup-Installation nicht startet, können Sie die Setup-Installation manuell mit dem folgenden Befehl starten:

                                                                                                                      Installieren dieses Patches unter Linux

                                                                                                                      Installationsschritte:

                                                                                                                      Führen Sie die folgenden Installationsschritte als ArcGIS-Installationsbesitzer aus. Der Installationsbesitzer ist der Besitzer des arcgis-Ordners.

                                                                                                                      Das in der Tabelle aufgeführte ArcGIS-Produkt muss auf Ihrem System installiert sein, bevor Sie einen Patch installieren können. Jedes Patch-Setup ist spezifisch für das ArcGIS-Produkt in der Liste. Um festzustellen, welche Produkte auf Ihrem System installiert sind, lesen Sie den Abschnitt So ermitteln Sie, welche ArcGIS-Produkte installiert sind. Esri empfiehlt, dass Sie den Patch für jedes Produkt auf Ihrem System installieren.

                                                                                                                        Laden Sie die entsprechende Datei an einen anderen Speicherort als Ihren ArcGIS-Installationsspeicherort herunter.

                                                                                                                      ArcGIS 10.7.1 Prüfsumme (Md5)
                                                                                                                      ArcGIS-Server ArcGIS-1071-S-BLE-Patch-linux.tar BB9642CB29AD2F683157DDBC24C287F4

                                                                                                                      Deinstallation dieses Patches unter Windows

                                                                                                                        Um diesen Patch unter Windows zu deinstallieren, öffnen Sie die Windows-Systemsteuerung und navigieren Sie zu den installierten Programmen. Stellen Sie sicher, dass "Installierte Updates anzeigen" (oben links im Dialogfeld "Programme und Funktionen") aktiv ist. Wählen Sie den Patchnamen aus der Programmliste aus und klicken Sie auf Deinstallieren, um den Patch zu entfernen.

                                                                                                                      Deinstallation dieses Patches unter Linux

                                                                                                                        Um diesen Patch in den Versionen 10.7 und höher zu entfernen, navigieren Sie zum Verzeichnis /tmp und führen Sie das folgende Skript als ArcGIS-Installationsbesitzer aus:

                                                                                                                      Mit dem Skript removepatch.sh können Sie zuvor installierte Patches oder Hotfixes deinstallieren. Verwenden Sie das Status-Flag -s, um die nach Datum sortierte Liste der installierten Patches oder Hotfixes abzurufen. Verwenden Sie das Flag -q, um Patches oder Hotfixes in umgekehrter chronologischer Reihenfolge nach Installationsdatum zu entfernen. Geben Sie removepatch -h ein, um Hilfe zur Verwendung zu erhalten.

                                                                                                                      Patch-Updates

                                                                                                                      Überprüfen Sie regelmäßig auf der Seite Esri Support Downloads, ob zusätzliche Patches verfügbar sind. Neue Informationen zu diesem Patch werden hier veröffentlicht.

                                                                                                                      So ermitteln Sie, welche ArcGIS-Produkte installiert sind

                                                                                                                      Um festzustellen, welche ArcGIS-Produkte installiert sind, wählen Sie die entsprechende Version des PatchFinder-Dienstprogramms für Ihre Umgebung aus und führen Sie es auf Ihrem lokalen Computer aus. PatchFinder listet alle Produkte, Hotfixes und Patches auf, die auf Ihrem lokalen Computer installiert sind.

                                                                                                                      Hilfe bekommen

                                                                                                                      Bei inländischen Standorten wenden Sie sich bitte an den technischen Support von Esri unter 1-888-377-4575, wenn Sie Schwierigkeiten haben, diesen Patch zu installieren. Internationale Standorte wenden Sie sich bitte an Ihren lokalen Esri Software-Händler.


                                                                                                                      Schau das Video: Kegelschnitte (Januar 2022).