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1.5: Funktionsarithmetik - Mathematik


Im vorherigen Abschnitt haben wir die neu definierte Funktionsnotation verwendet, um Ausdrücke wie '(f(x) + 2)' und '(2f(x))' für eine gegebene Funktion (f) zu verstehen. . Es erscheint daher natürlich, dass Funktionen ihre eigene Arithmetik haben sollten, die mit der Arithmetik der reellen Zahlen konsistent ist. Die folgenden Definitionen ermöglichen es uns, Funktionen mit der Arithmetik zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, die wir bereits für reelle Zahlen kennen.

Funktion Arithmetik

Angenommen (f) und (g) sind Funktionen und (x) liegt sowohl im Bereich von (f) als auch im Bereich von (g).footnote{Also (x) ist ein Element der Schnittmenge der beiden Domänen.}

  • Das Summe von (f) und (g), bezeichnet mit (f+g), ist die Funktion, die durch die Formel [(f+g)(x) = f(x) + g(x) ]
  • Das Unterschied von (f) und (g), bezeichnet mit (f-g), ist die durch die Formel [(f-g)(x) = f(x) - g(x)] definierte Funktion
  • Das Produkt von (f) und (g), bezeichnet mit (fg), ist die durch die Formel [(fg)(x) = f(x)g(x)] definierte Funktion
  • Das Quotient von (f) und (g), bezeichnet mit (dfrac{f}{g}), ist die durch die Formel [left(dfrac{f}{g} ight) definierte Funktion (x) = dfrac{f(x)}{g(x)},] vorausgesetzt (g(x) eq 0).

Mit anderen Worten, um zwei Funktionen hinzuzufügen, fügen wir ihre Ausgaben hinzu; um zwei Funktionen zu subtrahieren, subtrahieren wir ihre Ausgaben und so weiter. Beachten Sie, dass die Formel ((f+g)(x) = f(x) + g(x)) zwar verdächtig nach einer Art Verteilungseigenschaft aussieht, aber nichts dergleichen ist; die Addition auf der linken Seite der Gleichung ist Funktion Addition, und wir verwenden diese Gleichung, um definieren die Ausgabe der neuen Funktion (f+g) als Summe der reellen Zahlenausgaben von (f) und (g).

Beispiel (PageIndex{1}):

Sei (f(x) = 6x^2 - 2x) und (g(x) = 3-dfrac{1}{x}).

  1. Suche ((f+g)(-1))
  2. Suche ((fg)(2))
  3. Bestimme den Definitionsbereich von (g-f), dann finde und vereinfache eine Formel für ((g-f)(x)).
  4. label{quotdomainex} Finden Sie den Definitionsbereich von (left(frac{g}{f} ight)), dann finden und vereinfachen Sie eine Formel für (left(frac{g}{f} ight) (x)).

Lösung

  1. Um ((f+g)(-1)) zu finden, finden wir zuerst (f(-1) = 8) und (g(-1) = 4). Per Definition gilt ((f+g)(-1) = f(-1) + g(-1) = 8+4 = 12).
  2. Um ((fg)(2) zu finden, brauchen wir zuerst (f(2)) und (g(2)). Da (f(2) = 20) und (g(2) = frac{5}{2}), ergibt unsere Formel ((fg)(2) = f(2) g(2) = (20)left(frac{5}{2} ight) = 50).
  3. Eine Methode, um den Bereich von (g-f) zu finden, besteht darin, den Bereich von (g) und von (f) getrennt zu finden und dann den Schnittpunkt dieser beiden Mengen zu finden. Wegen des Nenners im Ausdruck (g(x) = 3 - frac{1}{x} erhalten wir, dass der Definitionsbereich von (g) ((-infty, 0) cup (0, infty)). Da (f(x) = 6x^2-2x) für alle reellen Zahlen gilt, haben wir keine weiteren Einschränkungen. Somit stimmt der Definitionsbereich von (g-f) mit dem Definitionsbereich von (g) überein, nämlich ((-infty, 0) cup (0, infty)).

Eine zweite Methode besteht darin, die Formel für ((g-f)(x)) extit{vor der Vereinfachung} zu analysieren und nach den üblichen Domänenproblemen zu suchen. In diesem Fall,

[ (g-f)(x) = g(x) - f(x) = left(3-dfrac{1}{x} ight) - left(6x^2 - 2x ight),]

also finden wir, wie zuvor, die Domäne ist ((-infty, 0) cup (0, infty)).

Im weiteren Verlauf müssen wir eine Formel für ((g-f)(x)) vereinfachen. In diesem Fall erhalten wir einen gemeinsamen Nenner und versuchen, den resultierenden Bruch zu reduzieren. Dabei bekommen wir

[ egin{array}{rclr} (gf)(x) & = & g(x) - f(x) & [5pt] & = & left(3-dfrac{1}{x} ight) - left(6x^2 - 2x ight) & & = & 3 - dfrac{1}{x} - 6x^2 + 2x & [10pt] & = & dfrac{3x }{x} - dfrac{1}{x} - dfrac{6x^3}{x} + dfrac{2x^2}{x} & ext{gemeinsamen Nenner erhalten} & = & dfrac {3x - 1 - 6x^3 - 2x^2}{x} & & = & dfrac{-6x^3-2x^2+3x-1}{x} & end{array} ]

4. item Wie im vorherigen Beispiel haben wir zwei Möglichkeiten, den Definitionsbereich von (frac{g}{f}) zu finden. Zuerst können wir den Definitionsbereich von (g) und (f) getrennt ermitteln und den Schnittpunkt dieser beiden Mengen ermitteln. Da (left(frac{g}{f} ight)(x) = frac{g(x)}{f(x)}), führen wir außerdem einen neuen Nenner ein, nämlich (f(x)), also müssen wir uns auch davor schützen, dass (0) ist. Unsere bisherige Arbeit sagt uns, dass der Definitionsbereich von (g) ((-infty, 0) cup (0, infty)) und der Definitionsbereich von (f) ((-infty , infty)). Die Einstellung (f(x) = 0) ergibt (6x^2 - 2x = 0) oder (x = 0, frac{1}{3}). Als Ergebnis ist der Definitionsbereich von (frac{g}{f}) alle reellen Zahlen außer (x = 0) und (x = frac{1}{3}), oder ( (-infty, 0) cup left(0, frac{1}{3} ight) cup left(frac{1}{3}, infty ight)).

Alternativ können wir wie oben vorgehen und den Ausdruck (left(frac{g}{f} ight)(x) = frac{g(x)}{f(x)}) extit{ vor} Vereinfachung. In diesem Fall ist [ left(dfrac{g}{f} ight)(x) = dfrac{g(x)}{f(x)} = dfrac{3-dfrac{1}{ x}vphantom{left(dfrac{1}{x} ight)}}{6x^2 - 2x}]

Wir sehen sofort aus dem 'kleinen' Nenner, dass (x eq 0). Um den 'großen' Nenner von (0) fernzuhalten, lösen wir (6x^2 - 2x = 0) und erhalten (x = 0) oder (x = frac{1}{3} ). Daher finden wir nach wie vor den Definitionsbereich von (frac{g}{f}) zu ((-infty, 0) cup left(0, frac{1}{3} ight ) cup left(frac{1}{3}, infty ight)).

Als nächstes finden und vereinfachen wir eine Formel für (left(frac{g}{f} ight)(x)).

Bitte beachten Sie, wie wichtig es ist, den Definitionsbereich einer Funktion ( extit{before}) zu finden, um ihren Ausdruck zu vereinfachen. Hätten wir in Nummer 4 in Beispiel 1.5.1 oben gewartet, um den Definitionsbereich von (frac{g}{f}) zu finden, bis ext{after} vereinfacht, hätten wir nur die Formel (frac{ 1}{2x^2}), und wir würden (fälschlicherweise!) die Domäne als ((-infty, 0) cup (0,infty)) angeben, da die andere lästige Zahl, (x = frac{1}{3}), wurde weggestrichen.footnote{Was das geometrisch bedeutet, werden wir in Kapitel 4 sehen.}

Als nächstes wenden wir uns dem ( extbf{Differenzquotient}) einer Funktion zu.

Definition 1.8

Gegeben eine Funktion (f), die Differenz Quotient von (f) ist der Ausdruck [ dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} ]

Wir werden dieses Konzept in Abschnitt 2.1 noch einmal aufgreifen, aber vorerst verwenden wir es, um die Funktionsnotation und die Funktionsarithmetik zu üben. Aus Gründen, die in der Infinitesimalrechnung klar werden werden, bedeutet „Vereinfachen“ eines Differenzenquotienten, ihn in eine Form umzuschreiben, in der das „(h)“ in der Definition des Differenzenquotienten vom Nenner wegfällt. Wenn das passiert, betrachten wir unsere Arbeit als erledigt.

Beispiel (PageIndex{2}): Differenzquotient

Finden und vereinfachen Sie die Differenzenquotienten für die folgenden Funktionen

  1. (f(x) = x^2-x-2)
  2. (g(x) = dfrac{3}{2x+1})
  3. (r(x) = sqrt{x})

Lösung

  1. Um (f(x+h)) zu finden, ersetzen wir jedes Vorkommen von (x) in der Formel (f(x) = x^2-x-2) durch die Größe ((x+ h)) zu bekommen

[ egin{array}{rclr} f(x+h) & = & (x+h)^2 - (x+h) -2 & & = & x^2 + 2xh + h^2 - x - h - 2. end{array} ]

Der Differenzenquotient ist also

2.Um (g(x+h)) zu finden, ersetzen wir jedes Vorkommen von (x) in der Formel (g(x) = frac{3}{2x+1}) durch die Größe ((x+h)) um zu erhalten

[ egin{array}{rclr} g(x+h) & = & dfrac{3}{2(x+h)+1} & & = & dfrac{3}{2x+2h+ 1}, end{array} ]

was ergibt

Da es uns gelungen ist, das ursprüngliche '(h)' vom Nenner zu entfernen, sind wir fertig.

3. Für (r(x) = sqrt{x}) erhalten wir (r(x+h) = sqrt{x+h}), also ist der Differenzenquotient

[ dfrac{r(x+h) - r(x)}{h} = dfrac{sqrt{x+h} - sqrt{x}}{h} ]

Um das '(h)' vom Nenner zu streichen, rationalisieren wir den ( extit{Zähler}) durch Multiplizieren mit seinem Konjugierten.footnote{Rationalisierung des ( extit{Zähler})!? Wie ist das für eine Wendung!}

Da wir das ursprüngliche ')h)' vom Nenner entfernt haben, sind wir fertig. (Box)

Wie bereits erwähnt, werden wir in Abschnitt 2.1 auf Differenzenquotienten zurückgreifen und sie geometrisch erklären. Wir wollen vorerst zu einigen klassischen Anwendungen der Funktionsarithmetik aus der Volkswirtschaftslehre übergehen und dafür müssen wir wie ein Unternehmer denken.

Angenommen, Sie sind ein Hersteller, der ein bestimmtes Produkt herstellt.footnote{Schlecht gestaltete Sasquatch-Statuen aus Harz zum Beispiel. Fühlen Sie sich frei, Ihre eigene unternehmerische Fantasie zu wählen.} Sei (x) die extbf{Produktionsstufe}, dh die Anzahl der in einem bestimmten Zeitraum produzierten Artikel. Es ist üblich, (C(x)) die Funktion zu bezeichnen, die die gesamten extbf{Kosten} der Produktion der (x)-Elemente berechnet. Die Menge (C(0)), die die Produktionskosten ohne Artikel darstellt, wird ( extbf{fixed})-Kosten genannt und stellt den Geldbetrag dar, der erforderlich ist, um mit der Produktion zu beginnen. Verbunden mit den Gesamtkosten (C(x)) sind die Kosten pro Artikel oder ( extbf{durchschnittliche Kosten}), bezeichnet mit (overline{C}(x)) und gelesen '(C )-Balken' von (x). Um (overline{C}(x)) zu berechnen, nehmen wir die Gesamtkosten (C(x)) und dividieren durch die Anzahl der produzierten Artikel (x), um zu erhalten

[ overline{C}(x) = dfrac{C(x)}{x}]

Auf der Einzelhandelsseite haben wir den ( extbf{Preis}) (p) pro Artikel berechnet. Um den Dialog und die Berechnungen in diesem Text zu vereinfachen, nehmen wir an, dass ( extit{die Anzahl der verkauften Artikel entspricht der Anzahl der produzierten Artikel}). Aus Sicht des Einzelhandels erscheint es naheliegend, sich die Anzahl der verkauften Artikel (x) als Funktion des berechneten Preises (p) vorzustellen. Schließlich kann der Händler den Preis leicht anpassen, um mehr Produkte zu verkaufen. In der Sprache der Funktionen wäre (x) die Variable ( extit{abhängig}) und (p) wäre die Variable ( extit{unabhängig}) oder in der Funktionsnotation wir haben eine Funktion (x(p)). Während wir diese Konvention später im Text übernehmen werden,footnote{Siehe Beispiel 5.2.4 in Abschnitt 5.2.} werden wir an dieser Stelle an der Tradition festhalten und den Preis (p) als Funktion der Anzahl der verkauften Artikel betrachten , (x). Das heißt, wir betrachten (x) als unabhängige Variable und (p) als abhängige Variable und sprechen von der extbf{Preis-Nachfrage}-Funktion (p(x)). Daher gibt (p(x)) den Preis zurück, der pro Artikel berechnet wird, wenn (x) Artikel produziert und verkauft werden. Unsere nächste zu betrachtende Funktion ist die Funktion extbf{Revenue}, (R(x)). Die Funktion (R(x)) berechnet den Geldbetrag, der durch den Verkauf von (x) Gegenständen eingenommen wird. Da (p(x)) der Preis pro Artikel ist, gilt (R(x)= x p(x)). Schließlich berechnet die Funktion extbf{profit}, (P(x)), wie viel Geld nach Zahlung der Kosten verdient wird. Das heißt, (P(x) = (R-C)(x) = R(x) - C(x)). All diese Funktionen fassen wir im Folgenden zusammen.

Hinweis: Zusammenfassung der gemeinsamen wirtschaftlichen Funktionen

Angenommen, (x) repräsentiert die Menge der produzierten und verkauften Artikel.

  1. Die Preis-Nachfrage-Funktion (p(x)) berechnet den Preis pro Artikel.
  2. Die Erlösfunktion (R(x)) berechnet den Gesamtbetrag, der durch den Verkauf von (x) Artikeln zu einem Preis (p(x)), (R(x) = x, p(x) ).
  3. Die Kostenfunktion (C(x)) berechnet die Kosten zur Herstellung von (x) Artikeln. Der Wert (C(0)) wird Fixkosten oder Anlaufkosten genannt.
  4. Die Durchschnittskostenfunktion (overline{C}(x) = frac{C(x)}{x}) berechnet die Kosten pro Artikel bei der Herstellung von (x) Artikeln. Hier nehmen wir notwendigerweise (x > 0) an.
  5. Die Gewinnfunktion (P(x)) berechnet das Geld, das nach Zahlung der Kosten verdient wird, wenn (x) Artikel produziert und verkauft werden, (P(x) = (RC)(x) = R(x) - C(x)).

Es ist höchste Zeit für ein Beispiel.

Beispiel (PageIndex{1}): Cost Revenue Profitex

Lassen Sie (x) die Anzahl der dOpi-Mediaplayer ('dOpis'footnote{Ausgesprochen 'dopeys' ldots}) darstellen, die in einer typischen Woche produziert und verkauft werden. Angenommen, die Kosten in Dollar zur Herstellung von (x) dOpis sind gegeben durch (C(x) = 100x + 2000), für (x geq 0), und der Preis in Dollar pro dOpis, ist gegeben durch (p(x) = 450-15x) für (0 leq x leq 30).

  1. Finden und interpretieren Sie (C(0)).
  2. Finden und interpretieren Sie (overline{C}(10)).
  3. Finden und interpretieren Sie (p(0)) und (p(20)).
  4. Löse (p(x) = 0) und interpretiere das Ergebnis.
  5. Finden und vereinfachen Sie Ausdrücke für die Erlösfunktion (R(x)) und die Gewinnfunktion (P(x)).
  6. Finden und interpretieren Sie (R(0)) und (P(0)).
  7. Löse (P(x) = 0) und interpretiere das Ergebnis.

Lösung

  1. Wir setzen (x=0) in die Formel für (C(x)) ein und erhalten (C(0) = 100(0) + 2000 = 2000). Das heißt, um (0) dOpis zu produzieren, kostet es ()2000). Mit anderen Worten, die Fixkosten (oder Startkosten) betragen ()2000). Der Leser wird ermutigt, darüber nachzudenken, welche Art von Ausgaben dies sein könnten.
  2. Da (overline{C}(x) = frac{C(x)}{x}), (overline{C}(10) = frac{C(10)}{10} = frac{3000}{10} = 300). Das heißt, wenn (10) dOpis produziert werden, betragen die Herstellungskosten () 300) pro dOpis.
  3. Setzt man (x=0) in den Ausdruck für (p(x)) ein, erhält man (p(0) = 450 - 15(0) = 450). Dies bedeutet, dass keine dOpis verkauft werden, wenn der Preis ()450) pro dOpis beträgt. Auf der anderen Seite, (p(20) = 450-15(20) = 150), was bedeutet, (20) dOpis in einer typischen Woche zu verkaufen, sollte der Preis auf ()150 festgelegt werden. ) pro dOpi.
  4. Die Einstellung (p(x) = 0) ergibt (450-15x = 0). Auflösen ergibt (x = 30). Das heißt, um (30) dOpis in einer typischen Woche zu verkaufen, muss der Preis auf () 0) gesetzt werden. Darüber hinaus bedeutet dies, dass der Händler selbst bei einer kostenlosen Abgabe von dOpis nur (30) davon bewegen könnte.footnote{Stellen Sie sich das vor! Etwas kostenlos verschenken und kaum jemand nutzt es aus ldots}
  5. Um den Umsatz zu ermitteln, berechnen wir (R(x) = x p(x) = x (450 - 15x) = 450x - 15x^2). Da die Formel für (p(x)) nur für (0leq x leq 30) gilt, ist auch unsere Formel (R(x)) auf (0 leq x leq 30). Für den Gewinn gilt (P(x) = (R-C)(x) = R(x) - C(x)). Unter Verwendung der angegebenen Formel für (C(x)) und der abgeleiteten Formel für (R(x)) erhalten wir (P(x) = left(450x - 15x^2 ight) -(100x +2000) = -15x^2+350x-2000). Nach wie vor gilt diese Formel nur für (0 leq x leq 30).
  6. Wir finden (R(0) = 0), was bedeutet, dass wir keine Einnahmen haben, wenn keine dOpis verkauft werden, was sinnvoll ist. Wenden wir uns dem Gewinn zu, (P(0) = -2000), da (P(x) = R(x) - C(x)) und (P(0) = R(0) - C(0 .) ) = -2000). Das heißt, wenn keine dOpis verkauft werden, wurde mehr Geld ())2000) um genau zu sein!) in die Produktion der dOpis gesteckt als durch den Verkauf eingenommen wurde. In Nummer 1 haben wir festgestellt, dass die Fixkosten ()2000 sind. Wenn wir also keine dOpis verkaufen, ist es sinnvoll, dass wir diese Anlaufkosten nicht haben.
  7. Die Einstellung (P(x) = 0) ergibt (-15x^2+350x-2000 = 0). Faktorisieren ergibt (-5(x-10)(3x-40) = 0), also (x = 10) oder (x = frac{40}{3}). Was bedeuten diese Werte im Kontext des Problems? Da (P(x) = R(x) - C(x)) ist, ist das Lösen von (P(x) = 0) dasselbe wie das Lösen von (R(x) = C(x)). Dies bedeutet, dass die Lösungen zu (P(x) = 0) die Produktions- (und Verkaufs-)Zahlen sind, bei denen der Verkaufserlös die gesamten Produktionskosten genau ausgleicht. Dies sind die sogenannten ' extbf{Break Even}'-Punkte. Die Lösung (x=10) bedeutet, dass (10) dOpis während der Woche produziert (und verkauft) werden sollten, um die Produktionskosten zu amortisieren. Für (x = frac{40}{3} = 13.overline{3}) ist die Sache etwas komplizierter. Obwohl (x = 13.overline{3}) (0 leq x leq 30) erfüllt und somit im Bereich von (P) liegt, macht es im Kontext keinen Sinn sense dieses Problems, um einen Bruchteil eines dOpi zu erzeugen.footnote{So etwas haben wir schon in Abschnitt 1.4 gesehen.} Auswerten von (P(13) = 15) und (P(14) = -40 ), sehen wir, dass die Produktion und der Verkauf von (13) dOpis pro Woche einen (leichten) Gewinn bringt, während die Produktion von nur einem weiteren dOpis uns wieder in die roten Zahlen schreibt. Obwohl die Gewinnschwelle schön ist, möchten wir letztendlich herausfinden, welches Produktionsniveau (und welcher Preis) den größten Gewinn ergibt, und genau das werden wir (ldots) in Abschnitt 2.3 tun. (Box)

Oracle Datumsmathematik-Manipulation

Vollständige Beispiele für die Verwendung von Oracle-Datenfunktionen für die Planung finden Sie in Dr. Halls Buch " Oracle Job Scheduling ":

Autor Jeff Hunter hat auch Beispiele für die Terminplanung von Oracle Date Math:

Statspack-Snapshot alle 5 Minuten ausführen, beginnend mit dem nächsten 5-Minuten-Intervall

variable Jobnr.
Variable Instno-Nummer
START
SELECT instance_number INTO :instno FROM v$instance
DBMS_JOB.SUBMIT(:jobnr,
'statspack.snap',
trunc(sysdate,'HH24')+
((floor(to_number(to_char(sysdate,'MI'))/5)+1)*5)/(24*60),
'trunc(sysdate,''HH24'')+
((floor(to_number(to_char(sysdate,''MI''))/5)+1)*5)/(24*60)',
WAHR, :instno)
VERPFLICHTEN
ENDE
/

Statspack-Snapshot alle 15 Minuten ausführen, beginnend mit dem nächsten 15-Minuten-Intervall

variable Jobnr.
Variable Instno-Nummer

START
SELECT instance_number INTO :instno FROM v$instance
DBMS_JOB.SUBMIT(:jobno, 'statspack.snap', trunc(sysdate,'HH24')+((floor(to_number(to_char(sysdate,'MI'))/15)+1)*15)/(24* 60), 'trunc(sysdate,''HH24'')+((floor(to_number(to_char(sysdate,''MI''))/15)+1)*15)/(24*60)', TRUE , :instnr)
VERPFLICHTEN
ENDE
/

Statspack-Snapshot alle 30 Minuten ausführen, beginnend mit dem nächsten 30-Minuten-Intervall

variable Jobnr.
Variable Instno-Nummer
START
SELECT instance_number INTO :instno FROM v$instance
DBMS_JOB.SUBMIT(:jobno, 'statspack.snap', trunc(sysdate,'HH24')+((floor(to_number(to_char(sysdate,'MI'))/30)+1)*30)/(24* 60), 'trunc(sysdate,''HH24'')+((floor(to_number(to_char(sysdate,''MI''))/30)+1)*30)/(24*60)', TRUE , :instnr)
VERPFLICHTEN
ENDE
/

Statspack-Snapshot alle 1 Stunde ausführen

variable Jobnr.
Variable Instno-Nummer
START
SELECT instance_number INTO :instno FROM v$instance
DBMS_JOB.SUBMIT(:jobno, 'statspack.snap', TRUNC(sysdate+1/24,'HH'), 'TRUNC(SYSDATE+1/24,''HH'')', TRUE, :instno)
VERPFLICHTEN
ENDE
/

DBMS_JOB / Alle 15 Minuten von Montag bis Freitag, zwischen 6 und 18 Uhr

SQL> ALTER SESSION SET nls_date_format = '(DY) MON TT, JJJJ HH24:MI'
Sitzung geändert.

SQL> AUSWAHL
sysdate
, FALL
WHEN ( TO_CHAR(SYSDATE, 'HH24') ZWISCHEN 6 UND 17
UND
TO_CHAR(SYSDATE, 'DY') NICHT IN ('SAT','SUN')
)
DANN TRUNC(sysdate) +
(TRUNC(TO_CHAR(sysdate,'sssss')/900)+1)*15/24/60
WHEN (TO_CHAR(sysdate, 'DY') NOT IN ('FRI','SAT','SUN'))
DANN TRUNC(sysdate)+1+6/24
ELSE next_day(trunc(sysdate), 'Mon') + 24.06
END interval_date
VON dual

Burleson ist das amerikanische Team

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Geld und Finanzen

25 $/Stunde verdienen? Das sind ungefähr 50.000/Jahr.

200k/Jahr verdienen? Das sind ungefähr 100 $/Stunde. Dies geht von einer 40-Stunden-Woche aus.

$20/Woche bei Starbucks ausgeben? Das ist ein cooles Jahr.

72-Regel: Verdoppelung der Jahre = 72/Zinssatz (Ableitung)

  • Haben Sie eine Investition, die mit 10 % Zinsen wächst? Sie wird sich in 7,2 Jahren verdoppeln.
  • Möchten Sie, dass sich Ihre Investition in 5 Jahren verdoppelt? Sie benötigen 72/5 oder etwa 15% Zinsen.
  • Mit 2% pro Woche wachsen? Sie werden sich in 72/2 oder 36 Wochen verdoppeln. Sie können diese Regel für einen beliebigen Zeitraum verwenden, nicht nur für Jahre.
  • Inflation bei 4%? Es wird Ihr Geld in 72/4 oder 18 Jahren halbieren.

Open Math Notes Advisory Board:

  • Karen Vogtmann, Vorsitzende | Universität Warwick
  • Tom Halferson | Macalester College
  • Andrew Hwang | Kolleg des Heiligen Kreuzes
  • Robert Lazarsfeld | Stony Brook University Brook
  • Mary Pugh | Universität von Toronto

Dieser Satz von Notizen zu Lügengruppen ist eine Aktualisierung meiner "Vorträge über Lügengruppen". Die aktuelle Version ist jetzt in Kapitel gegliedert, von denen die ersten 7 das Originalmaterial behandeln, von einem ersten Blick auf Lügengruppen bis hin zu grundlegendem Material zu Darstellungen von on kompakte Gruppen, mit Schwerpunkt auf den unitären, orthogonalen und Spingruppen. Neue Kapitel nehmen Kontakt mit der harmonischen Analyse auf. Das letzte Kapitel stellt G2 vor. Anhänge bieten Hintergrundinformationen und ergänzende Ergebnisse.

Michael Taylor · UNC Chapel Hill · Veröffentlichungsdatum: 26. Juni 2021 · Datum überarbeitet: 27. Juni 2021

Erweitertes Skript zum Halbjahreskurs MAT334 "Complex Variables" für Studierende ohne Fachmathematik.

Victor Ivrii · Universität Toronto · Veröffentlichungsdatum: 25. Juni 2021 · Datum überarbeitet: 28. Juni 2021

Dieser Kurs ist eine Einführung in die Infinitesimalrechnung, die in den Jahren 2011-2014 und 2020-2021 an der
Harvard-College. Die ersten 150 Seiten enthalten 36 Vorlesungen mit Hausaufgaben. Dann kommen 4 Datenprojekte im Jahr 2021 und dann weitere 150 Seiten mit Prüfungsfragen, alle aktuellen Prüfungen.

Oliver Knill · Harvard-Universität · Veröffentlichungsdatum: 8. Juni 2021

Das Buch behandelt grundlegende Strukturen der realen Analyse: geordnete Mengen, Maß und Integral, polnische Räume und messbare Standardräume, Funktionsräume und topologische Räume. Zu den Anwendungsthemen gehören Wahrscheinlichkeit und ein Fourier-Analyseansatz zur Wellenbewegung. Das Buch behandelt Maß und Integral parallel. Es gibt eine abstrakte Definition von Integral auf einer Sigma-Algebra reeller Funktionen. Diese Konstruktionen führen natürlich zu Darstellungssätzen.

William Faris · Universität von Arizona · Veröffentlichungsdatum: 8. Juni 2021

Dieses Skript soll eine Einführung in das zweidimensionale Kontinuum des Gaußschen freien Feldes, die Liouville-Quantengravitation und die allgemeine Theorie des Gaußschen multiplikativen Chaos sein.

Nathanaël Berestycki · Universität Wien · Ellen Powell · Durham University · Veröffentlichungsdatum: 25. März 2021 · Datum überarbeitet: 8. April 2021


Mathematiker stehen kurz davor, dieses 82-jährige Rätsel zu lösen

Diese Woche haben wir die lang erwartete Antwort auf ein jahrzehntealtes mathematisches Problem gefeiert und sind nun einem noch älteren Zahlenrätsel, das die klügsten Köpfe der Welt verblüfft hat, einen Schritt näher gekommen. Aber viele Mathematiker, darunter auch der Verantwortliche für diesen neuesten Durchbruch, glauben, dass eine vollständige Antwort auf das 82-jährige Rätsel noch in weiter Ferne liegt.

Terence Tao ist einer der größten Mathematiker unserer Zeit. Im Alter von 21 Jahren erhielt er seinen Ph.D. in Princeton. Mit 24 wurde er der jüngste Mathematikprofessor an der UCLA⁠&mdashever. Und 2006 gewann er im Alter von 31 Jahren die Fields-Medaille, den Nobelpreis für Mathematik.

Eines der besten Dinge an Tao ist, dass er Ja wirklich liefert Inhalte und teilt sie offen mit der Welt. Seine Blog ist wie ein modernes da Vinci&rsquos-Notebook. Nennen Sie ein Fach in fortgeschrittener Mathematik, und er hat darüber geschrieben.

Diese Woche führt uns Tao zur Collatz-Vermutung. Die 1937 vom deutschen Mathematiker Lothar Collatz vorgeschlagene Collatz-Vermutung ist ziemlich einfach zu beschreiben, also los geht's.

Nimm eine beliebige natürliche Zahl. Es gibt eine Regel oder Funktion, die wir auf diese Zahl anwenden, um die nächste Zahl zu erhalten. Wir wenden diese Regel dann immer wieder an und sehen, wohin sie uns führt. Die Regel lautet: Wenn die Zahl gerade ist, dividiere sie durch 2, und ist die Zahl ungerade, dann multipliziere mit 3 und addiere 1.

In geschlossener Form sieht das so aus:

Lass &rsquos zum Beispiel 10 verwenden. Es ist gerade, also dividiere die Regel durch 2, was uns zu 5 bringt. Nun, das ist ungerade, also multiplizieren wir 5 mit 3 und addieren dann 1, was uns auf 16 bringt. Jetzt ist 16 gerade, also wir halbieren es, um 8 zu erhalten. Nochmals, also halbieren wir 4. Jetzt ist 4 gerade, also nehmen wir die Hälfte, erhalten 2, was gerade ist, und halbieren auf 1.

Beginnen Sie mit anderen Zahlen als 10, und Sie enden immer noch unweigerlich bei 1 &hellip, denken wir. Das ist die Collatz-Vermutung.

Dies gilt definitiv für alle Zahlen mit weniger als 19 Ziffern, sodass dies alles abdeckt, was Sie wahrscheinlich im Sinn hatten. Aber selbst wenn Computer bis zu 100 oder 1.000 Stellen prüfen, ist das noch lange kein Beweis für alle natürlichen Zahlen.

Taos bahnbrechender Beitrag trägt den Titel &ldquoFast alle Collatz-Orbits erreichen fast begrenzte Werte.&rdquo Lassen Sie uns dies etwas aufschlüsseln. Collatz Orbits sind nur die kleinen Sequenzen, die Sie mit dem Prozess erhalten, den wir gerade durchgeführt haben. Der Collatz-Orbit von 10 ist also (10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, &hellip). Da die Hälfte von 4 2 ist, die Hälfte von 2 1 ist und 3*1+1 4 ist, durchlaufen Collatz-Orbits für immer 4, 2 und 1.

Das große Detail in Taos Verkündigung ist, dass zuerst &ldquofast.&rdquo dieses Wort das letzte Hindernis für eine vollständige Lösung darstellt und in verschiedenen mathematischen Kontexten unterschiedliche Bedeutungen hat. Was bedeutet es hier also?

Der Fachbegriff ist in diesem Fall logarithmische Dichte. Es beschreibt, wie selten die Gegenbeispiele zur Collatz-Vermutung sind, wenn sie überhaupt existieren. Sie könnten existieren, aber ihre Häufigkeit nähert sich 0, wenn Sie weiter auf der Zahlenlinie nach unten gehen. Das Ziel bleibt, zu beweisen, dass sie überhaupt nicht existieren.

Im Wesentlichen sagen die Ergebnisse von Taos aus, dass Gegenbeispiele zur Collatz-Vermutung unglaublich selten sein werden. Es hat eine tiefe Bedeutung, wie selten wir hier reden, aber es unterscheidet sich immer noch sehr von nicht vorhanden.

Nun, da wir wissen, dass seine Gegenbeispiele seltener denn je sind, wo bleibt das Problem? Sind wir nur einen Schritt von einer Komplettlösung entfernt? Nun, sogar Tao sagt nein.

In den Kommentaren zum Blogbeitrag sagt er, &ldquor kann positive durchschnittliche Fallergebnisse normalerweise nicht rigoros in positive Worst-Case-Ergebnisse umwandeln, und wenn das Worst-Case-Ergebnis schließlich bewiesen wird, geschieht dies oft durch ganz andere Techniken Worten, diese coole neue Methode kann uns eine Beinahe-Lösung liefern, aber die vollständige Lösung könnte einen ganz anderen Ansatz verfolgen.

Mathematiker werden also die neuesten Innovationen von Tao verwenden, um andere große Probleme zu lösen (oder fast zu lösen), aber es sieht so aus, als ob die Collatz-Vermutung selbst noch unvollendet bleibt. Nach allem, was wir wissen, wird es Jahrzehnte und völlig neue Zweige der Mathematik dauern, bis sie endlich zur Ruhe kommen. Aber wenigstens etwas unmögliche mathematische Probleme wurden schließlich gelöst.


Eine Einführung in arithmetische und geometrische Folgen

Diese Lektion soll die Schüler in die arithmetischen und geometrischen Folgen einführen.

Ziele

  • wurden in Sequenzen eingeführt
  • die Terminologie verstehen, die mit Sequenzen verwendet wird
  • verstehen, wie man eine Sequenz variiert, indem man die Startnummer, den Multiplikator und die Add-On-Werte ändert, die verwendet werden, um die Sequenz zu erzeugen
  • in der Lage sein, die Startwerte zu bestimmen, die verwendet werden sollen, um eine gewünschte Sequenz zu erzeugen.

Angesprochene Normen:

  • Funktionen und Beziehungen
    • Der Student demonstriert konzeptionelles Verständnis von Funktionen, Mustern oder Sequenzen.
    • Der Schüler demonstriert algebraisches Denken.
    • Funktionen und Beziehungen
      • Der Student demonstriert konzeptionelles Verständnis von Funktionen, Mustern oder Sequenzen, einschließlich derer, die in realen Situationen dargestellt werden.
      • Der Schüler demonstriert algebraisches Denken.
      • Funktionen und Beziehungen
        • Der Student demonstriert konzeptionelles Verständnis von Funktionen, Mustern oder Sequenzen, einschließlich derer, die in realen Situationen dargestellt werden.
        • Der Schüler demonstriert algebraisches Denken.
        • Operationen und algebraisches Denken
          • Verwenden Sie die vier Operationen mit ganzen Zahlen, um Probleme zu lösen.
          • Lineare, quadratische und exponentielle Modelle
            • Konstruieren und vergleichen Sie lineare, quadratische und exponentielle Modelle und lösen Sie Probleme
            • Algebra
              • Mathematische Situationen und Strukturen mit algebraischen Symbolen darstellen und analysieren
              • Muster, Beziehungen und Funktionen verstehen
              • Verwenden Sie mathematische Modelle, um quantitative Zusammenhänge darzustellen und zu verstehen
              • Verstehen Sie die Bedeutungen von Operationen und wie sie sich aufeinander beziehen

              Erweiterte Funktionen und Modellierung

              • Algebra
                • Kompetenzziel 4: Der Lernende verwendet Beziehungen und Funktionen, um Probleme zu lösen.
                • Algebra
                  • Kompetenzziel 4: Der Lernende verwendet Beziehungen und Funktionen, um Probleme zu lösen.
                  • Algebra
                    • Kompetenzziel 3: Der Lernende beschreibt und verwendet rekursiv definierte Zusammenhänge, um Probleme zu lösen.
                    • Algebra
                      • Der Student demonstriert durch die mathematischen Prozesse ein Verständnis des Schreibens, Interpretierens und Verwendens von mathematischen Ausdrücken, Gleichungen und Ungleichungen.
                      • Algebra
                        • Der Student wird durch die mathematischen Verfahren ein Verständnis für proportionale Beziehungen demonstrieren.
                        • Geometrie
                          • Standard G-2: Der Student demonstriert durch die mathematischen Verfahren ein Verständnis der Eigenschaften von geometrischen Grundfiguren und der Beziehungen zwischen und zwischen ihnen.
                          • Algebra
                            • Der Student demonstriert durch die mathematischen Verfahren ein Verständnis von Folgen und Reihen.
                            • Muster, Beziehungen und algebraisches Denken
                              • 6. Der Schüler verwendet Muster, um Probleme zu lösen.
                              • 7. Der Schüler verwendet Listen, Tabellen und Diagramme, um Muster und Beziehungen auszudrücken.
                              • Muster, Funktionen und Algebra
                                • 7.19 Der Student wird eine Vielzahl von Mustern, einschließlich arithmetischer Folgen und geometrischer Folgen, mit Tabellen, Grafiken, Regeln und Wörtern darstellen, analysieren und verallgemeinern, um funktionale Zusammenhänge zu untersuchen und zu beschreiben.
                                • 7.20 Der Schüler schreibt verbale Ausdrücke als algebraische Ausdrücke und Sätze als Gleichungen.
                                • Algebra II
                                  • AII.01 Der Student identifiziert Körpereigenschaften, Gleichheitsaxiome und Ungleichheitsaxiome sowie Ordnungseigenschaften, die für die Menge der reellen Zahlen und ihrer Teilmengen, komplexen Zahlen und Matrizen gelten.
                                  • AII.02 Der Schüler wird rationale Ausdrücke, einschließlich komplexer Brüche, addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und vereinfachen.
                                  • AII.03a Der Student wird radikale Ausdrücke mit positiven rationalen Zahlen und Variablen sowie Ausdrücke mit rationalen Exponenten addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und vereinfachen.
                                  • AII.03b Der Schüler schreibt radikale Ausdrücke als Ausdrücke mit rationalen Exponenten und umgekehrt.
                                  • AII.16 Der Student untersucht und wendet die Eigenschaften arithmetischer und geometrischer Folgen und Reihen an, um praktische Probleme zu lösen, einschließlich Schreiben der ersten n Terme, Finden des n-ten Termes und Auswerten von Summenformeln. Die Notation enthält &Sigma und ein n .
                                  • AII.1
                                  • AII.2
                                  • AII.3.a
                                  • AII.3.b
                                  • AII.16

                                  Lehrbücher ausgerichtet:

                                  • 6.
                                    • [ Modul 1 - Muster und Problemlösung ] Abschnitt 2: Muster und Sequenzen
                                    • [ Modul 2 - Helle Ideen ] Abschnitt 3: Sequenzen und äquivalente Gleichungen
                                      • Grund für die Ausrichtung: Die Lektion „Einführung in Sequenzen“ begleitet die Sequenzer-Aktivität. Es sollte einen guten Hintergrund und die notwendigen Schritte bieten, um die Aktivität bei der Untersuchung einiger arithmetischer Sequenzen zu verwenden.
                                      • [ Modul 8 - MATH-Thematical Mix ] Abschnitt 1: Muster und Sequenzen
                                        • Grund für die Ausrichtung: Dies ist auf der einführenden Ebene für beide Arten von Sequenzen, die Diskussionen enthalten, zusammen mit der Einbeziehung von Vokabularbegriffen.

                                        Voraussetzungen für Studierende

                                        • Arithmetik: Der Schüler muss in der Lage sein:
                                          • Führe ganzzahlige und gebrochene Arithmetik durch
                                          • Ausführen grundlegender Mausmanipulationen wie Zeigen, Klicken und Ziehen
                                          • Verwenden Sie einen Browser, um mit den Aktivitäten zu experimentieren

                                          Lehrervorbereitung

                                          • Zugriff auf einen Browser
                                          • Bleistift und Papier
                                          • Kopien von ergänzenden Materialien für die Aktivitäten:
                                            • Erstellen von Sequenzen-Arbeitsblättern

                                            Schlüsselbegriffe

                                            WiederholungWiederholen einer Reihe von Regeln oder Schritten immer und immer wieder. Ein Schritt wird als Iteration bezeichnet
                                            RekursionNach einigen Startinformationen und einer Regel, wie man sie verwendet, um neue Informationen zu erhalten, wird die Regel dann mit den neuen Informationen wiederholt
                                            ReihenfolgeEine geordnete Menge, deren Elemente normalerweise anhand einer Funktion der Zählzahlen bestimmt werden determined

                                            Lektionsübersicht

                                            Erinnern Sie die Schüler daran, was in früheren Lektionen gelernt wurde, die für diese Lektion relevant sind, und/oder lassen Sie sie über die Wörter und Ideen dieser Lektion nachdenken:

                                            • Gehen Sie die Diskussion zur Rekursion durch.
                                            • Präsentieren Sie den Schülern einige Elemente einer Sequenz und lassen Sie sie bestimmen, was als nächstes kommen soll. Fragen Sie die Klasse: "Wenn ich die folgenden Zahlen aufzähle, was würde als nächstes kommen: 5, 10, 15, 20. ?"
                                            • Wenn ein Schüler "25" antwortet, dann lassen Sie ihn vorschlagen, warum er wusste, dass dies die nächste Zahl war.
                                            • Ask the students what is being added or multiplied to get each new number. Assist the students in understanding that each number is obtained by adding 5 to the previous number.
                                            • Ask the students similar questions for a sequence such as 2, 4, 8, 16, 32. Help the students understand that each number is obtained by multiplying the previous number by 2.

                                            Let the students know what it is they will be doing and learning today. Say something like this:

                                            • Today, class, we will be talking about sequences. These lists of numbers that we have been discussing are sequences. A sequence is a list of numbers in which each number depends on the one before it. If we add a number to get from one element to the next, we call it an arithmetic sequence. If we multiply, it is a geometric sequence.
                                            • We are going to use the computers to learn about sequences and to create our own sequences.

                                            In this part of the lesson you will explain to the students how to do the assignment. You should model or demonstrate it for the students, especially if they are not familiar with how to use our computer applets.

                                            • Open your browser to The Sequencer Activity . You may need to instruct students not to open their browsers until told to do so.
                                            • Show the students how to input the initial values for the starting number, multiplier, and add-on and how to obtain the new sequence. Explain to students that if they wish to see a sequence that is strictly arithmetic, they may enter "1" in the multiplier box. Similarly, if they wish to see only a geometric sequence, they may enter a "0" in the add-on box.
                                            • Pass out the Sequences Exploration Questions

                                            Your students may be ready to move along on their own, or they may need a little more instruction:

                                            • If your class seems to understand the process for doing this assignment, simply ask, "Can anyone tell me what I need to do to complete this worksheet?" or ask, "How do I run this applet?"
                                            • If your class seems to be having a little trouble with this process, do another example together, but let the students direct your actions.
                                            • You may choose to do the first problem on the worksheet together. Let the students suggest possible values for the starting number, multiplier, and add-on. If the answer is not correct, have the students talk about how to change the numbers to correct the mistake.
                                            • After practicing together, ask if there are any more questions before proceeding to let the class work on the worksheet individually or in groups.
                                            • Allow the students to work on their own to complete the rest of the worksheet. Monitor the room for questions and to be sure that the students are on the correct web site.

                                            It is important to verify that all of the students made progress toward understanding the concepts presented in this lesson. You may do this in one of several ways:

                                            • Bring the class together and share some of the answers that the students obtained for each item on the worksheet. Students may be surprised to find that there are several ways to obtain a sequence in which all the elements end in 3, for example.
                                            • Let the students write a breif definition of a sequence on paper and provide an example to ensure that they have understood the lesson.

                                            Alternate Outline

                                            • You may choose not to pass out the worksheet, but rather to dictate the problems to the students and have groups working on the same problem and the same time. Students make make a note of their findings on notebook paper.
                                            • You may choose to allow students to design their own sequences and make a statement about what makes it special.

                                            Suggested Follow-Up

                                            The next lesson, Patterns in Fractals will teach students to identify patterns in fractals.

                                            Another lesson, Patterns In Pascal's Triangle helps students identify patters in Pascal's Triangle.


                                            In MySQL, we can find several built-in command functions that include functions for string, date, numeric, and also other advanced type of MySQL functions. MySQL Math Functions are the MySQL built-in functions which refer the numeric type functions and commands to operate the mathematical logics. The Math functions in MySQL are the numeric functions used in the SQL query commands mainly for the mathematical calculations and produce the numeric literals as results. These Math Functions perform numeric handling but if receives an error event during query implementation then, it returns the NULL value as output. With the various MySQL Math Functions, we use arguments for executing different logical operations and displaying the numeric values in MySQL server.

                                            Various MySQL Math Functions with Examples

                                            Given below are the various math functions along with their respective details for references and describing their utilities and function roles for the mathematical operations:

                                            Hadoop, Data Science, Statistics & others

                                            1. ABS() Function

                                            This Math function is useful to return the universal or fixed value of a numeric expression provided as arguments.

                                            2. ACOS() Function

                                            It returns the arccosine of a numeric value but if the value is not provided in the range -1 to 1 then, returns NULL.

                                            3. ASIN() Function

                                            It gives arcsine of a numeric value but if the value is not provided in the range -1 to 1 then, returns NULL.

                                            4. ATAN() Function

                                            It gives arctangent of numeric value.

                                            5. ATAN2() Function

                                            It gives arctangent of the given two variables.

                                            6. BIT_AND() Function

                                            It outputs the bitwise AND all the bits in given expression.

                                            SELECT BookName, BIT_AND(Price) BITS FROM Books GROUP BY BookName

                                            7. BIT_COUNT Function

                                            It displays the string illustration of the specified binary value.

                                            SELECT BIT_COUNT(3) AS Three, BIT_COUNT(5) AS FIVE

                                            8. BIT_OR() Function

                                            It gives the bitwise OR of every bits provided in the expressions passed.

                                            SELECT BookName, BIT_OR(Price) BITS FROM Books GROUP BY BookName

                                            9. CEIL() Function

                                            It results the minimum integer value that is not small than the provided numeric argument.

                                            10. CEILING() Function

                                            It results the minimum integer value that is not small than the provided numeric argument.

                                            11. CONV() Function

                                            It is helpful to change numeric value from one base to the other one.

                                            12. COS() Function

                                            It provides the cosine of specified numeric value which need to be in radians.

                                            13. COT() Function

                                            It provides the cotangent of specified numeric value.

                                            14. DEGREES() Function

                                            It returns the values which are transformed from radians to degrees.

                                            15. EXP() Function

                                            It provides the base of natural logarithm(i.e. ‘e’),raised to power of given argument.

                                            16. FLOOR() Function

                                            This function gives the greatest integer value which is not larger than the numeric values passed to it.

                                            17. FORMAT() Function

                                            This function returns a numeric value which is rounded to a certain digit of decimal places.

                                            18. GREATEST() Function

                                            It helps to find out the largest value among the arguments provided as inputs.

                                            19. INTERVAL() Function

                                            In this function, if we pass multiple arguments such as Expr1, Expr2, Expr3, etc. then, when Expr1 is less than Expr2 the function provides 0 as output. Similarly, if Expr1 is less than Expr3 then the output will be 1 and so on.

                                            20. LEAST() Function

                                            The LEAST() function is responsible to give the lowest valued input expression from two or more arguments passed in the function.

                                            21. LOG() Function

                                            This function provides the natural logarithm of the implemented numeric value.

                                            22. LOG10() Function

                                            This function provides the base-10 logarithm of the implemented numeric value.

                                            23. MOD() Function

                                            The MOD() function denotes the result value as remainder of one argument value by dividing by other one provided as stated in the query command.

                                            24. OCT() Function

                                            This OCT() function in MySQL is useful to return a string illustration of given octal value of the implemented numeric expression. But if we specify NULL value then, it returns NULL as output.

                                            25. PI() Function

                                            This is math function which helps to provide the value of pi expression.

                                            26. POW() Function

                                            This POW() function provides the value of one argument passed that is raised to the power of other argument with numeric values specified while executing in the server.

                                            27. POWER() Function

                                            Suppose, this POWER() is passed with two arguments Expr1 and Expr2 then, on implementation it outputs the value of Expr1 which is raised to the power of Expr2 argument.

                                            28. RADIANS() Function

                                            This Math Function is helpful to produce the result value of implemented expression transformed from degrees to the form of radians.

                                            29. ROUND() Function

                                            This ROUND() function provides a numeric value rounded to an integer or also can be applied to round any numeric expression to a certain digit of decimal points.

                                            30. SIN() Function

                                            The SIN() function is a math function in MySQL which returns output as the sine of given numeric value expressed in radians form.

                                            31. SQRT() Function

                                            To fetch a non-negative or say positive square root for a numeric value, we use this SQRT() math function in MySQL.

                                            32. STD() Function

                                            This math function provides the standard deviation value of any specific numeric expression.

                                            SELECT STD(Price)Std_Deviation FROM Books

                                            33. STDDEV() Function

                                            This is a standard deviation function as of the mathematical term and if a numeric argument is passed to it and executed the it returns the same standard deviation type value.

                                            SELECT STDDEV(Price) Std_DeviationFROM Books

                                            34. TAN() Function

                                            TAN() function is responsible to produce the tangent of given numeric value or expression represented in radians when executed in MySQL.

                                            35. TRUNCATE() Function

                                            Suppose, the TRUNCATE Math function takes two arguments Expr1 and Expr2, then on implementation the function will return numeric Expr1 shortened to Expr2 decimal places. But when the argument Expr2 value is 0, then, there will be no decimal point in the result.

                                            Fazit

                                            The Math functions are responsible to return the non-relative value for the given variable arguments performing the numeric query operations. For these numeric built-in functions, we need to consider arguments such as values from integer and float types or say decimal values to conduct the query and execute the Math function result.

                                            Recommended Articles

                                            This is a guide to MySQL Math Functions. Here we discuss the introduction to MySQL Math Functions and various math functions with respective query examples. You may also have a look at the following articles to learn more –


                                            1.5: Function Arithmetic - Mathematics

                                            SECTION 3. WHAT IS AN EXPONENT?

                                            An exponent refers to the number of times a number is multiplied by itself. For example, 2 to the 3rd (written like this: 2 3 ) means:

                                            2 3 is not the same as 2 x 3 = 6.

                                            Remember that a number raised to the power of 1 is itself. Beispielsweise,

                                            a 1 = a

                                            5 1 = 5 .

                                            There are some special cases:

                                            1. a 0 = 1

                                            When an exponent is zero, as in 6 0 , the expression is always equal to 1.

                                            a 0 = 1

                                            6 0 = 1

                                            14,356 0 = 1

                                            2. a -m = 1 / a m

                                            When an exponent is a negative number, the result is always a fraction. Fractions consist of a numerator over a denominator. In this instance, the numerator is always 1. To find the denominator, pretend that the negative exponent is positive, and raise the number to that power, like this:

                                            a -m = 1 / a m

                                            6 -3 = 1 / 6 3

                                            You can have a variable to a given power, such as a 3 , which would mean a x a x a. You can also have a number to a variable power, such as 2 m , which would mean 2 multiplied by itself m times. We will deal with that in a little while.

                                            For more information about this site contact the Distance Education Coordinator.

                                            Copyright © 2004 by the Regents of the University of Minnesota, an equal opportunity employer and educator.


                                            Fibonacci Number

                                            with . As a result of the definition (1), it is conventional to define .

                                            The Fibonacci numbers for , 2, . are 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . (OEIS A000045).

                                            Fibonacci numbers can be viewed as a particular case of the Fibonacci polynomials with .

                                            Fibonacci numbers are implemented in the Wolfram Language as Fibonacci[nein].

                                            The Fibonacci numbers are also a Lucas sequence , and are companions to the Lucas numbers (which satisfy the same recurrence equation).

                                            The above cartoon (Amend 2005) shows an unconventional sports application of the Fibonacci numbers (left two panels). (The right panel instead applies the Perrin sequence).

                                            A scrambled version 13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5 (OEIS A117540) of the first eight Fibonacci numbers appear as one of the clues left by murdered museum curator Jacque Saunière in D. Brown's novel The Da Vinci Code (Brown 2003, pp. 43, 60-61, and 189-192). In the Season 1 episode "Sabotage" (2005) of the television crime drama NUMB3RS, math genius Charlie Eppes mentions that the Fibonacci numbers are found in the structure of crystals and the spiral of galaxies and a nautilus shell. In the Season 4 episode "Masterpiece" (2008) of the CBS-TV crime drama "Criminal Minds," the agents of the FBI Behavioral Analysis Unit are confronted by a serial killer who uses the Fibonacci sequence to determine the number of victims for each of his killing episodes. In this episode, character Dr. Reid also notices that locations of the killings lie on the graph of a golden spiral, and going to the center of the spiral allows Reid to determine the location of the killer's base of operations.

                                            The plot above shows the first 511 terms of the Fibonacci sequence represented in binary, revealing an interesting pattern of hollow and filled triangles (Pegg 2003). A fractal-like series of white triangles appears on the bottom edge, due in part to the fact that the binary representation of ends in zeros. Many other similar properties exist.

                                            The Fibonacci numbers give the number of pairs of rabbits months after a single pair begins breeding (and newly born bunnies are assumed to begin breeding when they are two months old), as first described by Leonardo of Pisa (also known as Fibonacci) in his book Liber Abaci. Kepler also described the Fibonacci numbers (Kepler 1966 Wells 1986, pp. 61-62 and 65). Before Fibonacci wrote his work, the Fibonacci numbers had already been discussed by Indian scholars such as Gopāla (before 1135) and Hemachandra (c. 1150) who had long been interested in rhythmic patterns that are formed from one-beat and two-beat notes or syllables. The number of such rhythms having beats altogether is , and hence these scholars both mentioned the numbers 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . explicitly (Knuth 1997, p. 80).

                                            The numbers of Fibonacci numbers less than 10, , , . are 6, 11, 16, 20, 25, 30, 35, 39, 44, . (OEIS A072353). For , 2, . the numbers of decimal digits in are 2, 21, 209, 2090, 20899, 208988, 2089877, 20898764, . (OEIS A068070). As can be seen, the initial strings of digits settle down to produce the number 208987640249978733769. which corresponds to the decimal digits of (OEIS A097348), where is the golden ratio. This follows from the fact that for any power function , the number of decimal digits for is given by .

                                            The Fibonacci numbers , are squareful for , 12, 18, 24, 25, 30, 36, 42, 48, 50, 54, 56, 60, 66, . 372, 375, 378, 384, . (OEIS A037917) and squarefree for , 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, . (OEIS A037918). and for all , and there is at least one such that . No squareful Fibonacci numbers are known with prime.

                                            The ratios of successive Fibonacci numbers approaches the golden ratio as approaches infinity, as first proved by Scottish mathematician Robert Simson in 1753 (Wells 1986, p. 62). The ratios of alternate Fibonacci numbers are given by the convergents to , where is the golden ratio, and are said to measure the fraction of a turn between successive leaves on the stalk of a plant (phyllotaxis): for elm and linden, 1/3 for beech and hazel, 2/5 for oak and apple, 3/8 for poplar and rose, 5/13 for willow and almond, etc. (Coxeter 1969, Ball and Coxeter 1987). The Fibonacci numbers are sometimes called pine cone numbers (Pappas 1989, p. 224). The role of the Fibonacci numbers in botany is sometimes called Ludwig's law (Szymkiewicz 1928 Wells 1986, p. 66 Steinhaus 1999, p. 299). However, botanist Cooke suggests caution in making correlations between botany and the Fibonacci sequence (Peterson 2006).


                                            Basics of math functions on oscilloscopes

                                            Virtually every digital storage oscilloscope has math functionality. This goes beyond the instrument’s ability to measure, quantify and display the many waveform parameters of a signal at the input, although those properties are important too.

                                            If you push the Math button while the oscilloscope is operating in the time domain, you will instantly see these menu items (in a Tektronix MDO3000 oscilloscope):
                                            • Dual Waveform Math
                                            • FFT
                                            • Advanced Math
                                            • (M) Label
                                            We’ll take them one at a time. Dual Waveform Math, as its name suggests, requires two signals at the input. To access this fascinating function, power up the instrument and press Math. The menu appears at the bottom of the display. Press the soft key associated with Dual Waveform Math. For one of the two required waveforms, we have connected the internal AFG, outputting a 60-Hz sine wave with 5-V peak-to-peak voltage, to analog input channel one. For the other required waveform, we have connected a 9-V dc battery. The ac waveform is in yellow, the dedicated color for channel one. The dc waveform is blue, the dedicated color for channel two. The sum, difference, product and quotient for each of the operators is in red, which is not one of the dedicated analog input channel colors. For a tour of this dual waveform math function, using the soft key that is associated with the operator, cycle through the arithmetic operators: add, subtract, multiply and divide.

                                            From the top to the bottom image, add, subtract, multiply, and divide. Now, as a further exercise that will demonstrate some other math relations, reverse the polarity of the battery that is connected to the probe at the channel two analog input.

                                            Before the dual waveform operation takes place, the first and second sources are chosen by selecting the desired channels, using multipurpose knobs a and b. In addition, these same knobs can set one of the available reference waveforms, R1 – R4 as first and second sources. So it is actually possible to perform a math operation on a signal or pair of signals that exist only in the oscilloscope memory.

                                            To see this operation, press the Reference button, which is directly below the Math button. The Reference Menu appears across the bottom of the display. It consists of R1 – R4, with the date and time when each reference waveform was created and, by default, a notation that the reference signal is off. Pressing the associated soft key with, let us say, R1 that reference waveform toggles on and appears in the display along with the other dual waveform signal that has been entered and with the resultant, each in the dedicated color. (The analog channel inputs are yellow, blue, purple and green. The math resultant is red. The reference waveform is white. This color coding makes it easy to see what is going on.) Notice also that the buttons for Math, Reference, AFG and whatever analog input channels are active are all lighted. This is in contrast to the radio frequency button, RF, which when pressed toggles off Math, Reference and any analog input channels. AFG, however, remains active.

                                            The point is that in the oscilloscope some functions can co-exist while others are mutually exclusive. Seeing these relationships goes a long way in understanding the architecture of a digital storage oscilloscope and then becoming adept at signal acquisition and display.

                                            After Dual Waveform Math, the next item in the Math menu is FFT. These three innocuous sounding letters stand for fast Fourier transform. That is a set of algorithms permitting theoreticians, technicians and others to move from the time domain to a frequency domain view of any waveform of finite bandwidth. The theoretical basis for this, as stated in Joseph Fourier’s Analytic Theory of Heat (1822), is that any periodic function, regardless of its complexity, can be decomposed into the sum of a finite number of sine waves. It is possible to go back and forth between these two domains in processes known as analysis and synthesis any number of times with no loss of information. The advantage of the time domain representation as seen in an oscilloscope display is that it gives us a simple intuitive view of a complex waveform, while the frequency domain view reveals the location within the spectrum and a relative as well as an absolute measure of the ampacity in power of each constituent sine function.

                                            In a mixed-domain oscilloscope, time domain and frequency domain appear together in whole-screen format. Rather than two inputs, as required in Dual Waveform Math, a single signal connected to an analog input channel is displayed in both domains when FFT is invoked. The user has only to press FFT to access this interesting oscilloscope mode.

                                            Time and frequency domain sine wave displays. All the electrical energy appears at a single frequency. Time and frequency domain square wave displays. The electrical energy appears throughout the spectrum, diminishing at greater distance from the fundamental. Oscilloscope frequency domain displays can be matched to known system frequencies such as from system clocks, oscillators and power supplies. This technique is useful in isolating faults caused by mismatched impedance, RF interference, problematic cooling resulting from less than optimum component placement, and the like. Using the FFT-based frequency domain mode, the utility power supply can be examined for harmful harmonic content, the dc bus in a variable frequency drive can be checked, and the VFD output to a motor can be evaluated. Another important application is monitoring a broadcast transmitter to ensure that the output is FCC compliant.

                                            Pressing FFT, the relevant menu appears at the right side of the screen. Choices, all determined by Multipurpose Knob a, are:
                                            • FFT source, which can be an analog input channel or a reference source
                                            • Vertical units, which can be decibel or linear
                                            • The window, which can be Rectangular, Hanning, Hamming or Blackman-Harris
                                            • Horizontal units, which can be 62.50 MHz or 12.5 MHz per division
                                            Each of the windows has special qualities which make it better for specific frequency domain displays and measurements. The rectangular (also called boxcar) window has excellent frequency resolution but its amplitude accuracy is poor. It is at its best in measuring transients and bursts where the signal levels are nearly equal before and after the event.

                                            The Hamming window has good frequency resolution and moderate spectral leakage, with fair amplitude accuracy. It is used to look at sine, periodic and narrow-band spectral noise. It is most suitable for bursts and transients where the signal levels before and after the event are significantly different.

                                            The Hanning window has good frequency resolution, low spectral leakage, and fair amplitude accuracy. It is also used on transients and bursts where signal levels before and after the event are significantly different.

                                            The Blackman-Harris window has poor frequency resolution, low spectral leakage, and good amplitude accuracy. It is used predominantly to measure single-frequency waveforms to detect higher order harmonics, and to examine several moderately or widely spaced sinusoidal signals.

                                            Advanced Math lets users create custom math waveform expressions that incorporate active and reference waveforms, measurements and numeric constants. To access the mode, press Math and in the menu, press the soft key that corresponds to Advanced Math. Then, use the side menu to create custom expressions. Press Edit Expression and use the Multipurpose knobs and resulting menu buttons to create an expression. When done, press OK accept.

                                            For example, Edit Expression can be used to take the integral of a waveform. To do this, press Clear on the lower menu. Turn Multipurpose Knob a to select Integrate. Press Enter Selection. Turn Multipurpose Knob a to select the channel. Press Enter Selection. Select, again using Multipurpose Knob a. Press OK Accept. The signal is integrated, calculating the product of amplitude and time, the area under a curved line generated within Cartesian coordinates.


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