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7.5: Kegelschnitte - Mathematik


Lernziele

  • Identifizieren Sie die Gleichung einer Parabel in Standardform mit gegebenem Fokus und Leitlinie.
  • Identifizieren Sie die Gleichung einer Ellipse in Standardform mit gegebenen Brennpunkten.
  • Identifizieren Sie die Gleichung einer Hyperbel in Standardform mit gegebenen Brennpunkten.
  • Erkennen Sie eine Parabel, Ellipse oder Hyperbel an ihrem Exzentrizitätswert.
  • Schreiben Sie die Polargleichung eines Kegelschnitts mit Exzentrizität (e).
  • Identifizieren Sie, wann eine allgemeine Gleichung zweiten Grades eine Parabel, Ellipse oder Hyperbel ist.

Kegelschnitte wurden seit der Zeit der alten Griechen untersucht und galten als ein wichtiges mathematisches Konzept. Bereits 320 v. Chr. waren griechische Mathematiker wie Menaechmus, Appollonius und Archimedes von diesen Kurven fasziniert. Appollonius verfasste eine ganze achtbändige Abhandlung über Kegelschnitte, in der er beispielsweise eine spezifische Methode zur Identifizierung eines Kegelschnitts durch die Verwendung der Geometrie herleiten konnte. Seitdem haben sich wichtige Anwendungen von Kegelschnitten ergeben (z. B. in der Astronomie), und die Eigenschaften von Kegelschnitten werden in Radioteleskopen, Satellitenschüsseln und sogar in der Architektur genutzt. In diesem Abschnitt besprechen wir die drei grundlegenden Kegelschnitte, einige ihrer Eigenschaften und ihre Gleichungen.

Kegelschnitte haben ihren Namen, weil sie durch das Schneiden einer Ebene mit einem Kegel erzeugt werden können. Ein Kegel hat zwei gleich geformte Teile, genannt Nickerchen. Eine Decke ist das, was die meisten Leute mit "Kegel" meinen, der die Form eines Partyhutes hat. Ein rechter Kreiskegel kann erzeugt werden, indem eine Linie, die durch den Ursprung geht, um die ja-Achse wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt.

Kegelschnitte werden durch den Schnitt einer Ebene mit einem Kegel erzeugt (Abbildung (PageIndex{2})). Ist die Ebene parallel zur Rotationsachse (die ja-Achse), dann die Kegelschnitt ist eine Hyperbel. Wenn die Ebene parallel zur Mantellinie verläuft, ist der Kegelschnitt eine Parabel. Steht die Ebene senkrecht zur Rotationsachse, ist der Kegelschnitt ein Kreis. Wenn die Ebene eine Decke in einem Winkel zur Achse schneidet (anders als 90°), dann ist der Kegelschnitt eine Ellipse.

Parabeln

Eine Parabel entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel parallel zur Mantellinie schneidet. In diesem Fall schneidet die Ebene nur eine der Decken. Eine Parabel kann auch durch Abstände definiert werden.

Definitionen: Focus, Directrix und Vertex

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Fixpunkt, genannt Fokus, ist gleich der Entfernung von einer festen Linie, genannt Direktion. Der Punkt auf halbem Weg zwischen Fokus und Leitlinie wird als bezeichnet Scheitel der Parabel.

Ein Diagramm einer typischen Parabel erscheint in Abbildung (PageIndex{3}). Mit diesem Diagramm in Verbindung mit der Abstandsformel können wir eine Gleichung für eine Parabel herleiten. Erinnern Sie sich an die Distanzformel: Gegebener Punkt P mit Koordinaten ((x_1,y_1)) und Punkt Q mit den Koordinaten ((x_2,y_2),) ergibt sich der Abstand zwischen ihnen durch die Formel

[d(P,Q)=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}.]

Dann erhalten wir aus der Definition einer Parabel und Abbildung (PageIndex{3})

[d(F,P)=d(P,Q)]

[sqrt{(0−x)^2+(p−y)^2}=sqrt{(x−x)^2+(−p−y)^2}.]

Beide Seiten quadrieren und Erträge vereinfachen

[ egin{align} x^2+(p−y)^2 = 0^2+(−p−y)^2 x^2+p^2−2py+y^2 = p^2 +2py+y^2 x^2−2py =2py x^2 =4py. end{ausrichten}]

Angenommen, wir möchten den Scheitelpunkt verschieben. Wir verwenden die Variablen ((h,k)), um die Koordinaten des Scheitelpunkts zu bezeichnen. Wenn sich der Fokus dann direkt über dem Scheitel befindet, hat er die Koordinaten ((h,k+p)) und die Leitlinie hat die Gleichung (y=k−p). Durch die gleiche Ableitung erhält man die Formel ((x−h)^2=4p(y−k)). Das Auflösen dieser Gleichung nach (y) führt zu folgendem Satz.

Gleichungen für Parabeln: Standardform

Gegeben eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei ((h,k)) und Fokus bei ((h,k+p)), wobei (p) eine Konstante ist, lautet die Parabelgleichung para gegeben von

[y=dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k.]

Dies ist das Standardform einer Parabel.

Wir können auch die Fälle untersuchen, in denen sich die Parabel nach unten oder nach links oder rechts öffnet. Die Gleichung für jeden dieser Fälle kann auch in Standardform geschrieben werden, wie in den folgenden Grafiken gezeigt.

Darüber hinaus kann die Gleichung einer Parabel geschrieben werden in generelle Form, obwohl in dieser Form die Werte von (h), (k) und (p) nicht sofort erkennbar sind. Die allgemeine Form einer Parabel wird geschrieben als

[ax^2+bx+cy+d=0 label{para1}]

oder

[ay^2+bx+cy+d=0.label{para2}]

Gleichung ef{para1} stellt eine Parabel dar, die sich entweder nach oben oder nach unten öffnet. Gleichung ef{para2} stellt eine Parabel dar, die sich entweder nach links oder nach rechts öffnet. Um die Gleichung in die Standardform zu bringen, verwenden Sie die Methode der Quadratvervollständigung.

Beispiel (PageIndex{1}): Umwandeln der Gleichung einer Parabel vom Allgemeinen in die Standardform

Setze die Gleichung

[x^2−4x−8y+12=0]

in Standardform und zeichnen Sie die resultierende Parabel.

Lösung

Da y in dieser Gleichung nicht quadriert ist, wissen wir, dass sich die Parabel entweder nach oben oder nach unten öffnet. Daher müssen wir diese Gleichung nach y auflösen, wodurch die Gleichung in Standardform gebracht wird. Fügen Sie dazu zunächst (8y) zu beiden Seiten der Gleichung hinzu:

[8y=x^2−4x+12.]

Der nächste Schritt besteht darin, das Quadrat auf der rechten Seite zu vervollständigen. Beginnen Sie mit der Gruppierung der ersten beiden Begriffe auf der rechten Seite mit Klammern:

[8y=(x^2−4x)+12.]

Als nächstes bestimmen Sie die Konstante, die, wenn sie innerhalb der Klammern addiert wird, die Menge innerhalb der Klammern zu einem perfekten quadratischen Trinom macht. Nehmen Sie dazu den halben Koeffizienten von x und quadrieren Sie ihn. Dies ergibt ((dfrac{−4}{2})^2=4.) Addiere 4 innerhalb der Klammern und subtrahiere 4 außerhalb der Klammern, sodass der Wert der Gleichung nicht geändert wird:

[8y=(x^2−4x+4)+12−4.]

Kombiniere nun ähnliche Terme und faktoriere die Menge in Klammern:

[8y=(x−2)^2+8.]

Zum Schluss durch 8 teilen:

[y=dfrac{1}{8}(x−2)^2+1.]

Diese Gleichung ist jetzt in Standardform. Vergleicht man dies mit Gleichung, erhält man (h=2, k=1) und (p=2). Die Parabel öffnet sich mit Scheitelpunkt ((2,1)), Fokus ((2,3)) und Leitlinie (y=−1). Der Graph dieser Parabel sieht wie folgt aus.

Übung (PageIndex{1})

Bringen Sie die Gleichung (2y^2−x+12y+16=0) in die Standardform und zeichnen Sie die resultierende Parabel.

Hinweis

Löse nach (x) auf. Prüfen Sie, in welche Richtung sich die Parabel öffnet.

Antworten

[x=2(y+3)^2−2]

Die Symmetrieachse einer vertikalen (nach oben oder unten öffnenden) Parabel ist eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt geht. Die Parabel hat eine interessante reflektierende Eigenschaft. Angenommen, wir haben eine Satellitenschüssel mit parabolischem Querschnitt. Wenn ein Strahl elektromagnetischer Wellen wie Licht- oder Radiowellen von einem Satelliten geradlinig (parallel zur Symmetrieachse) in die Schüssel einfällt, werden die Wellen an der Schüssel reflektiert und sammeln sich im Brennpunkt der Parabel als gezeigt.

Stellen Sie sich eine Parabolschüssel vor, die Signale von einem Satelliten im Weltraum sammeln soll. Die Schüssel ist direkt auf den Satelliten ausgerichtet und ein Empfänger befindet sich im Fokus der Parabel. Vom Satelliten eintreffende Funkwellen werden von der Oberfläche der Parabel zum Empfänger reflektiert, der die digitalen Signale sammelt und decodiert. Dies ermöglicht es einem kleinen Empfänger, Signale aus einem weiten Himmelswinkel zu sammeln. Taschenlampen und Scheinwerfer im Auto funktionieren nach dem gleichen Prinzip, jedoch umgekehrt: Die Lichtquelle (also die Glühbirne) befindet sich im Brennpunkt und die reflektierende Fläche am Parabolspiegel fokussiert den Strahl geradeaus. Dadurch kann eine kleine Glühbirne einen weiten Raum vor der Taschenlampe oder dem Auto ausleuchten.

Ellipsen

Eine Ellipse kann auch in Bezug auf Abstände definiert werden. Bei einer Ellipse gibt es zwei Brennpunkte (Plural von Fokus) und zwei Richtungen (Plural von Directrix). Wir sehen uns die Direktiven später in diesem Abschnitt genauer an.

Definition: Ellipse

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, bei denen die Summe ihrer Abstände von zwei Fixpunkten (den Brennpunkten) konstant ist.

Ein Diagramm einer typischen Ellipse ist in Abbildung (PageIndex{6}) gezeigt. In dieser Abbildung sind die Brennpunkte mit (F) und (F′) bezeichnet. Beide haben denselben festen Abstand vom Ursprung, und dieser Abstand wird durch die Variable (c) dargestellt. Daher sind die Koordinaten von (F) ((c,0)) und die Koordinaten von (F′) ((−c,0).) Die Punkte (P) und (P′) befinden sich an den Enden der Hauptachse der Ellipse und haben die Koordinaten ((a,0)) bzw. ((−a,0)). Die Hauptachse ist immer die längste Distanz über die Ellipse und kann horizontal oder vertikal verlaufen. Somit ist die Länge der Hauptachse dieser Ellipse (2a). Außerdem heißen (P) und (P′) die Ecken der Ellipse. Die Punkte (Q) und (Q′) befinden sich an den Enden der Nebenachse der Ellipse und haben die Koordinaten ((0,b)) bzw. ((0,−b),). Die Nebenachse ist der kürzeste Abstand über die Ellipse. Die Nebenachse steht senkrecht zur Hauptachse.

Gemäß der Definition der Ellipse können wir jeden beliebigen Punkt auf der Ellipse wählen und die Summe der Abstände von diesem Punkt zu den beiden Brennpunkten ist konstant. Angenommen, wir wählen den Punkt (P). Da die Koordinaten des Punktes (P) ((a,0),) sind, ist die Summe der Entfernungen

[d(P,F)+d(P,F′)=(a−c)+(a+c)=2a.]

Daher ist auch die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt A mit den Koordinaten ((x,y)) gleich (2a). Mit der Distanzformel erhalten wir

[d(A,F)+d(A,F′)=2a.]

[sqrt{(x−c)^2+y^2}+sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a]

Subtrahiere das zweite Radikal von beiden Seiten und quadriere beide Seiten:

[sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a−sqrt{(x+c)^2+y^2}]

[(x−c)^2+y^2=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2]

[x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 ]

[−2cx=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx.]

Isolieren Sie nun das Radikal auf der rechten Seite und quadrieren Sie erneut:

[−2cx=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx]

[4asqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4cx]

[sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+dfrac{cx}{a}]

[(x+c)^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2}]

[x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2}]

[x^2+c^2+y^2=a^2+dfrac{c^2x^2}{a^2}.]

Isolieren Sie die Variablen auf der linken Seite der Gleichung und die Konstanten auf der rechten Seite:

[x^2−dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2]

[dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2.]

Teilen Sie beide Seiten durch (a^2−c^2). Dies ergibt die Gleichung

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1.]

Wenn wir auf Abbildung (PageIndex{6}) zurückgreifen, dann ist die Länge jedes der beiden grünen Liniensegmente gleich (a). Dies ist wahr, weil die Summe der Abstände vom Punkt (Q) zu den Brennpunkten (F) und (F′) gleich (2a) ist und die Längen dieser beiden Liniensegmente gleich. Dieses Liniensegment bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge (a) und Schenkellängen (b) und (c). Aus dem Satz des Pythagoras gilt (b^2+c^2=a^2) und (b^2=a^2−c^2). Daher wird die Ellipsengleichung

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1.]

Wenn schließlich der Mittelpunkt der Ellipse vom Ursprung zu einem Punkt ((h,k)) verschoben wird, haben wir die folgende Standardform einer Ellipse.

Gleichung einer Ellipse in Standardform

Betrachten Sie die Ellipse mit Mittelpunkt ((h,k)), eine horizontale Hauptachse mit der Länge (2a) und eine vertikale Nebenachse mit der Länge (2b). Dann lautet die Gleichung dieser Ellipse in Standardform

[dfrac{(x−h)^2}{a^2}+dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 label{HorEllipse}]

und die Brennpunkte befinden sich bei ((h±c,k)), wobei (c^2=a^2−b^2). Die Gleichungen der Richtungen lauten (x=h±dfrac{a^2}{c}).

Wenn die Hauptachse vertikal ist, wird die Ellipsengleichung

[dfrac{(x−h)^2}{b^2}+dfrac{(y−k)^2}{a^2}=1 label{VertEllipse}]

und die Brennpunkte befinden sich bei ((h,k±c)), wobei (c^2=a^2−b^2). Die Gleichungen der Richtungen lauten in diesem Fall (y=k±dfrac{a^2}{c}).

Wenn die Hauptachse horizontal ist, wird die Ellipse als horizontal bezeichnet, und wenn die Hauptachse vertikal ist, wird die Ellipse als vertikal bezeichnet. Die Gleichung einer Ellipse ist in allgemeiner Form, wenn sie in der Form

[Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,]

wo EIN und B entweder beide positiv oder beide negativ sind. Um die Gleichung von der allgemeinen in die Standardform umzuwandeln, verwenden Sie die Methode von das Quadrat vervollständigen.

Beispiel (PageIndex{2}): Finden der Standardform einer Ellipse

Setze die Gleichung

[9x^2+4y^2−36x+24y+36=0]

in Standardform und zeichnen Sie die resultierende Ellipse.

Lösung

Ziehe zuerst 36 von beiden Seiten der Gleichung ab:

[9x^2+4y^2−36x+24y=−36.]

Als nächstes gruppieren Sie die (x)-Terme und die (y)-Terme zusammen und rechnen Sie den gemeinsamen Faktor heraus:

[(9x^2−36x)+(4y^2+24y)=−36]

[9(x^2−4x)+4(y^2+6y)=−36.]

Wir müssen die Konstante bestimmen, die, wenn sie innerhalb jedes Klammersatzes addiert wird, ein perfektes Quadrat ergibt. Nehmen Sie im ersten Satz von Klammern den halben Koeffizienten von x und quadrieren es. Dies ergibt ((dfrac{−4}{2})^2=4.) Nehmen Sie im zweiten Satz von Klammern den halben Koeffizienten von ja und quadrieren es. Dies ergibt ((dfrac{6}{2})^2=9.) Fügen Sie diese in jedes Klammerpaar ein. Da der erste Satz von Klammern eine 9 vorangestellt hat, fügen wir tatsächlich 36 auf der linken Seite hinzu. Ebenso fügen wir 36 zum zweiten Satz hinzu. Daher wird die Gleichung

[9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=−36+36+36]

[9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=36.]

Faktorisieren Sie nun beide Klammern und dividieren Sie durch 36:

[9(x−2)^2+4(y+3)^2=36]

[dfrac{9(x−2)^2}{36}+dfrac{4(y+3)^2}{36}=1]

[dfrac{(x−2)^2}{4}+dfrac{(y+3)^2}{9}=1.]

Die Gleichung ist jetzt in Standardform. Vergleicht man dies mit Gleichung ef{VertEllipse}, erhält man (h=2, k=−3, a=3,) und (b=2). Dies ist eine vertikale Ellipse mit Mittelpunkt bei ((2,−3)), Hauptachse 6 und Nebenachse 4. Der Graph dieser Ellipse sieht wie folgt aus.

Übung (PageIndex{2})

Setze die Gleichung

[9x^2+16y^2+18x−64y−71=0]

in Standardform und zeichnen Sie die resultierende Ellipse.

Hinweis

Verschiebe die Konstante und vervollständige das Quadrat.

Antworten

[dfrac{(x+1)^2}{16}+dfrac{(y−2)^2}{9}=1]

Nach Keplers erstem Gesetz der Planetenbewegung ist die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne eine Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte, wie in Abbildung (PageIndex{8A}) gezeigt. Da die Umlaufbahn der Erde eine Ellipse ist, variiert die Entfernung von der Sonne im Laufe des Jahres. Ein weit verbreiteter Irrglaube ist, dass die Erde im Sommer näher an der Sonne ist. Tatsächlich ist die Erde im Sommer auf der Nordhalbkugel weiter von der Sonne entfernt als im Winter. Der Jahreszeitenunterschied wird durch die Neigung der Erdachse in der Orbitalebene verursacht. Kometen, die die Sonne umkreisen, wie der Halleysche Komet, haben ebenfalls elliptische Umlaufbahnen, ebenso wie Monde, die die Planeten umkreisen, und Satelliten, die die Erde umkreisen.

Auch Ellipsen haben interessante Reflexionseigenschaften: Ein von einem Brennpunkt ausgehender Lichtstrahl durchläuft nach Spiegelung in der Ellipse den anderen Brennpunkt. Das gleiche passiert auch mit einer Schallwelle. Die National Statuary Hall im US-Kapitol in Washington, DC, ist ein berühmter Raum in elliptischer Form, wie in Abbildung (PageIndex{8B}) gezeigt. Dieser Saal diente fast fünfzig Jahre lang als Treffpunkt des US-Repräsentantenhauses. Die Lage der beiden Brennpunkte dieses halbelliptischen Raumes ist durch Markierungen auf dem Boden deutlich gekennzeichnet, und selbst wenn der Raum voller Besucher ist, können sich zwei Personen, die auf diesen Stellen stehen und miteinander sprechen, viel hören deutlicher, als sie jemanden in der Nähe hören können. Die Legende besagt, dass John Quincy Adams seinen Schreibtisch auf einem der Brennpunkte hatte und alle anderen im Haus belauschen konnte, ohne jemals stehen zu müssen. Das ist zwar eine gute Geschichte, aber es ist unwahrscheinlich, dass dies der Fall ist, da die ursprüngliche Decke so viele Echos erzeugte, dass der gesamte Raum mit Teppichen aufgehängt werden musste, um den Lärm zu dämpfen. Die Decke wurde 1902 neu aufgebaut und erst dann entstand der heute berühmte Flüstereffekt. Eine weitere berühmte Flüstergalerie – der Ort vieler Heiratsanträge – befindet sich in der Grand Central Station in New York City.

Hyperbeln

Eine Hyperbel kann auch durch Entfernungen definiert werden. Bei einer Hyperbel gibt es zwei Brennpunkte und zwei Richtungen. Hyperbeln haben auch zwei Asymptoten.

Definition: Hyperbel

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, bei denen die Differenz zwischen ihren Abständen von zwei Fixpunkten (den Brennpunkten) konstant ist.

Ein Diagramm einer typischen Hyperbel sieht wie folgt aus.

Die Herleitung der Hyperbelgleichung in Standardform ist praktisch identisch mit der einer Ellipse. Ein kleiner Haken liegt in der Definition: Die Differenz zwischen zwei Zahlen ist immer positiv. Sei (P) ein Punkt auf der Hyperbel mit den Koordinaten ((x,y)). Dann ergibt die Definition der Hyperbel (|d(P,F_1)−d(P,F_2)|=Konstante). Um die Ableitung zu vereinfachen, nehmen wir an, dass (P) auf dem rechten Ast der Hyperbel liegt, sodass die Absolutwertbalken fallen. Wenn es auf dem linken Ast liegt, wird die Subtraktion umgekehrt. Die Ecke des rechten Zweiges hat die Koordinaten ((a,0),) also

[d(P,F_1)−d(P,F_2)=(c+a)−(c−a)=2a.]

Diese Gleichung gilt daher für jeden Punkt der Hyperbel. Zurück zu den Koordinaten ((x,y)) für (P):

[d(P,F_1)−d(P,F_2)=2a]

[sqrt{(x+c)^2+y^2}−sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a.]

Isolieren Sie das zweite Radikal und quadrieren Sie beide Seiten:

[sqrt{(x−c)^2+y^2}=-2a+sqrt{(x+c)^2+y^2}]

[(x−c)^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2]

[x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 ]

[−2cx=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx.]

Isolieren Sie nun das Radikal auf der rechten Seite und quadrieren Sie erneut:

(−2cx=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx)

(-4asqrt{(x+c)^2+y^2}=−4a^2−4cx)

(-sqrt{(x+c)^2+y^2}=−a−dfrac{cx}{a})

((x+c)^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2})

(x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2})

(x^2+c^2+y^2=a^2+dfrac{c^2x^2}{a^2}).

Isolieren Sie die Variablen auf der linken Seite der Gleichung und die Konstanten auf der rechten Seite:

[x^2−dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2]

[dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2.]

Zum Schluss dividiere beide Seiten durch (a^2−c^2). Dies ergibt die Gleichung

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1.]

Wir definieren jetzt b so dass (b^2=c^2−a^2). Dies ist möglich, weil (c>a). Daher wird die Gleichung der Hyperbel

[dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1.]

Wenn schließlich der Mittelpunkt der Hyperbel vom Ursprung zum Punkt ((h,k),) verschoben wird, haben wir die folgende Standardform einer Hyperbel.

Gleichung einer Hyperbel in Standardform

Betrachten Sie die Hyperbel mit Mittelpunkt ((h,k)), einer horizontalen Hauptachse und einer vertikalen Nebenachse. Dann lautet die Gleichung dieser Hyperbel

[dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 label{HorHyperbola}]

und die Brennpunkte befinden sich bei ((h±c,k),) mit (c^2=a^2+b^2). Die Gleichungen der Asymptoten sind gegeben durch (y=k±dfrac{b}{a}(x−h).) Die Gleichungen der Richtungen lauten

[x=h±dfrac{a^2}{sqrt{a^2+b^2}}=h±dfrac{a^2}{c}]

Wenn die Hauptachse vertikal ist, wird die Hyperbelgleichung

[dfrac{(y−k)^2}{a^2}−dfrac{(x−h)^2}{b^2}=1]

und die Brennpunkte befinden sich bei ((h,k±c),) mit (c^2=a^2+b^2). Die Gleichungen der Asymptoten sind gegeben durch (y=k±dfrac{a}{b}(x−h)). Die Gleichungen der Richtungen lauten

[y=k±dfrac{a^2}{sqrt{a^2+b^2}}=k±dfrac{a^2}{c}.]

Wenn die Hauptachse (Querachse) horizontal ist, wird die Hyperbel horizontal genannt, und wenn die Hauptachse vertikal ist, wird die Hyperbel vertikal genannt. Die Gleichung einer Hyperbel hat die allgemeine Form, wenn sie in der Form

[Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,]

wobei A und B entgegengesetzte Vorzeichen haben. Um die Gleichung von der allgemeinen in die Standardform umzuwandeln, verwenden Sie die Methode der Quadratvervollständigung.

Beispiel (PageIndex{3}): Finden der Standardform einer Hyperbel

Bringen Sie die Gleichung (9x^2−16y^2+36x+32y−124=0) in die Standardform und zeichnen Sie die resultierende Hyperbel. Wie lauten die Gleichungen der Asymptoten?

Lösung

Addiere zunächst 124 zu beiden Seiten der Gleichung:

(9x^2−16y^2+36x+32y=124.)

Nächste Gruppe die x Begriffe zusammen und die ja Begriffe zusammen, dann rechnen Sie die gemeinsamen Faktoren heraus:

((9x^2+36x)−(16y^2−32y)=124)

(9(x^2+4x)−16(y^2−2y)=124).

Wir müssen die Konstante bestimmen, die, wenn sie innerhalb jedes Klammersatzes addiert wird, ein perfektes Quadrat ergibt. Nehmen Sie im ersten Satz von Klammern den halben Koeffizienten von x und quadrieren Sie ihn. Dies ergibt ((dfrac{4}{2})^2=4). Nehmen Sie im zweiten Satz von Klammern den halben Koeffizienten von y und quadrieren Sie ihn. Dies ergibt ((dfrac{−2}{2})^2=1.) Fügen Sie diese in jedes Klammerpaar ein. In ähnlicher Weise subtrahieren wir 16 vom zweiten Satz von Klammern. Daher wird die Gleichung

(9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=124+36−16)

(9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=144.)

Als nächstes faktoriere beide Klammern und dividiere durch 144:

(9(x+2)^2−16(y−1)^2=144)

(dfrac{9(x+2)^2}{144}−dfrac{16(y−1)^2}{144}=1)

(dfrac{(x+2)^2}{16}−dfrac{(y−1)^2}{9}=1.)

Die Gleichung ist jetzt in Standardform. Vergleicht man dies mit Gleichung ef{HorHyperbola}, erhält man (h=−2, k=1, a=4,) und (b=3). Dies ist eine horizontale Hyperbel mit Mittelpunkt bei ((−2,1)) und Asymptoten gegeben durch die Gleichungen (y=1±dfrac{3}{4}(x+2)). Der Graph dieser Hyperbel erscheint in Abbildung (PageIndex{10}).

Übung (PageIndex{3})

Bringen Sie die Gleichung (4y^2−9x^2+16y+18x−29=0) in die Standardform und zeichnen Sie die resultierende Hyperbel. Wie lauten die Gleichungen der Asymptoten?

Hinweis

Verschiebe die Konstante und vervollständige das Quadrat. Überprüfen Sie, in welche Richtung sich die Hyperbel öffnet

Antworten

(dfrac{(y+2)^2}{9}−dfrac{(x−1)^2}{4}=1.) Dies ist eine vertikale Hyperbel. Asymptoten (y=−2±dfrac{3}{2}(x−1).)

Hyperbeln haben auch interessante reflektierende Eigenschaften. Ein auf einen Brennpunkt einer Hyperbel gerichteter Strahl wird von einem hyperbolischen Spiegel zum anderen Brennpunkt reflektiert. Dieses Konzept ist in Abbildung (PageIndex{11}) dargestellt.

Diese Eigenschaft der Hyperbel hat wichtige Anwendungen. Es wird bei der Funkpeilung (da die Differenz der Signale von zwei Türmen entlang von Hyperbeln konstant ist) und beim Bau von Spiegeln in Teleskopen (um das vom Parabolspiegel zum Okular kommende Licht zu reflektieren) verwendet. Eine weitere interessante Tatsache über Hyperbeln ist, dass für einen Kometen, der in das Sonnensystem eindringt, die Geschwindigkeit groß genug ist, um der Anziehungskraft der Sonne zu entkommen, der Weg, den der Komet nimmt, wenn er das Sonnensystem durchquert, hyperbolisch ist.

Exzentrizität und Directrix

Eine alternative Möglichkeit, einen Kegelschnitt zu beschreiben, umfasst die Richtungen, die Brennpunkte und eine neue Eigenschaft namens Exzentrizität. Wir werden sehen, dass der Wert der Exzentrizität eines Kegelschnitts diesen Kegelschnitt eindeutig definieren kann.

Definition: Exzentrizität und Richtungen

Das Exzentrizität (e) eines Kegelschnitts ist definiert als der Abstand von einem beliebigen Punkt auf dem Kegelschnitt zu seinem Brennpunkt, geteilt durch den senkrechten Abstand von diesem Punkt zur nächsten Leitlinie. Dieser Wert ist für jeden Kegelschnitt konstant und kann auch den Kegelschnitt definieren:

  1. Falls (e=1), ist der Kegelschnitt eine Parabel.
  2. Wenn (e<1), ist es eine Ellipse.
  3. Wenn (e>1,) ist es eine Hyperbel.

Die Exzentrizität eines Kreises ist Null. Das Direktion eines Kegelschnitts ist die Linie, die zusammen mit dem sogenannten Brennpunkt dazu dient, einen Kegelschnitt zu definieren. Hyperbeln und nicht kreisförmige Ellipsen haben zwei Brennpunkte und zwei zugehörige Richtungen. Parabeln haben einen Fokus und eine Leitlinie.

Die drei Kegelschnitte mit ihren Richtungen erscheinen in Abbildung (PageIndex{12}).

Erinnern Sie sich an die Definition einer Parabel, dass der Abstand von jedem Punkt auf der Parabel zum Brennpunkt gleich dem Abstand von demselben Punkt zur Leitlinie ist. Daher muss per Definition die Exzentrizität einer Parabel 1 sein. Die Gleichungen der Richtungen einer horizontalen Ellipse sind (x=±dfrac{a^2}{c}). Der rechte Scheitelpunkt der Ellipse liegt bei ((a,0)) und der rechte Fokus ist ((c,0)). Daher ist der Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokus (a−c) und der Abstand vom Scheitelpunkt zur rechten Leitlinie ist (dfrac{a^2}{c}−c.) Daraus ergibt sich die Exzentrizität als

[e=dfrac{a−c}{dfrac{a^2}{c}−a}=dfrac{c(a−c)}{a^2−ac}=dfrac{c(a −c)}{a(a−c)}=dfrac{c}{a}.]

Wegen (ca), sodass die Exzentrizität einer Hyperbel größer als 1 ist.

Beispiel (PageIndex{4}): Bestimmung der Exzentrizität eines Kegelschnitts

Bestimmen Sie die Exzentrizität der Ellipse beschrieben durch die Gleichung

(dfrac{(x−3)^2}{16}+dfrac{(y+2)^2}{25}=1.)

Lösung

Aus der Gleichung sehen wir, dass (a=5) und (b=4) sind. Der Wert von c kann mit der Gleichung (a^2=b^2+c^2) für eine Ellipse berechnet werden. Ersetzen der Werte von ein und b und lösen für c ergibt (c=3). Daher ist die Exzentrizität der Ellipse (e=dfrac{c}{a}=dfrac{3}{5}=0.6.)

Übung (PageIndex{4})

Bestimmen Sie die Exzentrizität der Hyperbel beschrieben durch die Gleichung

(dfrac{(y−3)^2}{49}−dfrac{(x+2)^2}{25}=1.)

Hinweis

Finden Sie zuerst die Werte von a und b, dann bestimmen Sie c mit der Gleichung (c^2=a^2+b^2).

Antworten

(e=dfrac{c}{a}=dfrac{sqrt{74}}{7}≈1.229)

Polargleichungen von Kegelschnitten

Manchmal ist es nützlich, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarform zu schreiben oder zu identifizieren. Dazu benötigen wir das Konzept des Fokusparameters. Das Fokusparameter eines Kegelschnitts p ist definiert als die Entfernung von einem Fokus zur nächsten Leitlinie. Die folgende Tabelle gibt die Fokusparameter für die verschiedenen Kegelschnitttypen an, wobei ein ist die Länge der großen Halbachse (d. h. die halbe Länge der Hauptachse), c der Abstand vom Ursprung zum Fokus ist und e ist die Exzentrizität. Bei einer Parabel steht a für den Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokus.

Tabelle (PageIndex{1}): Exzentrizitäten und Brennpunktparameter der Kegelschnitte
Konisch(e)(p)
Ellipse(0(dfrac{a^2−c^2}{c}=dfrac{a(1−e^2)}{c})
Parabel(e=1)(2a)
Hyperbel(e>1)(dfrac{c^2−a^2}{c}=dfrac{a(e^2−1)}{c})

Unter Verwendung der Definitionen des Fokusparameters und der Exzentrizität des Kegelschnitts können wir eine Gleichung für jeden Kegelschnitt in Polarkoordinaten herleiten. Insbesondere nehmen wir an, dass einer der Brennpunkte eines gegebenen Kegelschnitts am Pol liegt. Mit der Definition der verschiedenen Kegelschnitte in Bezug auf die Abstände kann dann der folgende Satz bewiesen werden.

Polargleichung von Kegelschnitten

Die Polargleichung eines Kegelschnitts mit Fokusparameter p wird gegeben von

(r=dfrac{ep}{1±ecos θ}) oder (r=dfrac{ep}{1±esin θ}.)

In der Gleichung links ist die Hauptachse des Kegelschnitts horizontal und in der Gleichung rechts ist die Hauptachse vertikal. Um mit einem in Polarform geschriebenen Kegelschnitt zu arbeiten, machen Sie zunächst den konstanten Term im Nenner gleich 1. Dazu dividieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch die Konstante, die vor dem Plus- oder Minuszeichen steht im Nenner. Dann ist der Koeffizient des Sinus oder Cosinus im Nenner die Exzentrizität. Dieser Wert identifiziert den Kegelschnitt. Wenn im Nenner Kosinus erscheint, ist der Kegelschnitt horizontal. Wenn Sinus erscheint, ist der Kegelschnitt vertikal. Wenn beide erscheinen, werden die Achsen gedreht. Der Mittelpunkt des Kegelschnitts liegt nicht unbedingt im Ursprung. Der Mittelpunkt liegt nur dann im Ursprung, wenn der Kegelschnitt ein Kreis ist (d. h. (e=0)).

Beispiel (PageIndex{5}): Einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten grafisch darstellen

Identifizieren und erstellen Sie einen Graphen des Kegelschnitts, der durch die Gleichung beschrieben wird

(r=dfrac{3}{1+2cos θ}).

Lösung

Der konstante Term im Nenner ist 1, also ist die Exzentrizität des Kegelschnitts 2. Dies ist eine Hyperbel. Der Fokusparameter p kann mit der Gleichung (ep=3.) berechnet werden. Da (e=2) ergibt sich (p=dfrac{3}{2}). Die Kosinusfunktion erscheint im Nenner, die Hyperbel ist also horizontal. Wählen Sie einige Werte für (θ) aus und erstellen Sie eine Wertetabelle. Dann können wir die Hyperbel grafisch darstellen (Abbildung (PageIndex{13})).

(θ)(r)(θ)(r)
01(π)−3
(dfrac{π}{4})(dfrac{3}{1+sqrt{2}}≈1.2426)(dfrac{5π}{4})(dfrac{3}{1−sqrt{2}}≈−7.2426)
(dfrac{π}{2})3(dfrac{3π}{2})3
(dfrac{3π}{4})(dfrac{3}{1−sqrt{2}}≈−7.2426)(dfrac{7π}{4})(dfrac{3}{1+sqrt{2}}≈1.2426)

Übung (PageIndex{5})

Identifizieren und erstellen Sie einen Graphen des Kegelschnitts, der durch die Gleichung beschrieben wird

(r=dfrac{4}{1−0.8sin θ}).

Hinweis

Finden Sie zuerst die Werte von e und p, und erstellen Sie dann eine Wertetabelle.

Antworten

Hier (e=0.8) und (p=5). Dieser Kegelschnitt ist eine Ellipse.

Allgemeine Gleichungen des zweiten Grades

Eine allgemeine Gleichung zweiten Grades kann in der Form . geschrieben werden

[ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.]

Der Graph einer Gleichung dieser Form ist ein Kegelschnitt. Falls (B≠0) dann werden die Koordinatenachsen gedreht. Um den Kegelschnitt zu identifizieren, verwenden wir die Diskriminante des Kegelschnitts (4AC−B^2.)

Identifizieren des konischen Abschnitts

Einer der folgenden Fälle muss zutreffen:

  1. (4AC−B^2>0). Wenn ja, ist der Graph eine Ellipse.
  2. (4AC−B^2=0). Wenn ja, ist der Graph eine Parabel.
  3. (4AC−B^2<0). Wenn ja, ist der Graph eine Hyperbel.

Das einfachste Beispiel einer Gleichung zweiten Grades mit einem Kreuzterm ist (xy=1). Diese Gleichung kann nach (y) aufgelöst werden, um (y=dfrac{1}{x}) zu erhalten. Der Graph dieser Funktion wird wie gezeigt eine rechteckige Hyperbel genannt.

Die Asymptoten dieser Hyperbel sind die Koordinatenachsen (x) und (y). Um den Drehwinkel θ des Kegelschnitts zu bestimmen, verwenden wir die Formel (cot 2θ=frac{A−C}{B}). In diesem Fall (A=C=0) und (B=1), also (cot 2θ=(0−0)/1=0) und (θ=45°). Das Verfahren zur grafischen Darstellung eines Kegelschnitts mit gedrehten Achsen beinhaltet die Bestimmung der Koeffizienten des Kegelschnitts im gedrehten Koordinatensystem. Die neuen Koeffizienten heißen (A′,B′,C′,D′,E′,) und (F′,) und werden durch die Formeln formula

[ egin{align} A′ =Acos^ 2θ+Bcos θsin θ+Csin^2 θ B′ =0 C′ =Asin^2 θ−B sin θcos θ+Ccos^2θ D′ =Dcos θ+Esin θ E′ =−Dsin θ+Ecosθ F′ =F. end{ausrichten}]

Vorgehensweise: Zeichnen eines gedrehten Kegelschnitts

Das Verfahren zur grafischen Darstellung eines gedrehten Kegelschnitts ist wie folgt:

  1. Bestimmen Sie den Kegelschnitt mit der Diskriminante (4AC−B^2).
  2. Bestimmen Sie (θ) mit der Formel [cot2θ=dfrac{A−C}{B} label{rot}.]
  3. Berechnen Sie (A′,B′,C′,D′,E′) und (F′).
  4. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung mit (A′,B′,C′,D′,E′) und (F′) um.
  5. Zeichnen Sie ein Diagramm mit der gedrehten Gleichung.

Beispiel (PageIndex{6}): Identifizieren eines gedrehten Kegels

Bestimmen Sie den Kegelschnitt und berechnen Sie den Drehwinkel der Achsen für die durch die Gleichung beschriebene Kurve

[13x^2−6sqrt{3}xy+7y^2−256=0.]

Lösung

In dieser Gleichung gilt (A=13,B=−6sqrt{3},C=7,D=0,E=0,) und (F=−256). Die Diskriminante dieser Gleichung ist

[4AC−B^2=4(13)(7)−(−6sqrt{3})^2=364−108=256.]

Daher ist dieser Kegelschnitt eine Ellipse.

Um den Drehwinkel der Achsen zu berechnen, verwenden Sie Gleichung ef{rot}

[cot 2θ=dfrac{A−C}{B}.]

Das gibt

(cot 2θ=dfrac{A−C}{B}=dfrac{13−7}{−6sqrt{3}}=−dfrac{sqrt{3}}{3}).

Daher (2θ=120^o) und (θ=60^o), was der Drehwinkel der Achsen ist.

Um die rotierten Koeffizienten zu bestimmen, verwenden Sie die oben angegebenen Formeln:

(A′=Acos^2θ+Bcos θsinθ+Csin^2θ)

(=13cos^260+(−6sqrt{3})cos 60sin 60+7sin^260)

(=13(dfrac{1}{2})^2−6sqrt{3}(dfrac{1}{2})(dfrac{sqrt{3}}{2})+7( dfrac{sqrt{3}}{2})^2)

(=4,)

(B′=0)

(C′=Asin^2θ−Bsin θcos θ+Ccos^2θ)

(=13sin^260+(6sqrt{3})sin 60 cos 60+7cos^260)

(=13(dfrac{sqrt{3}}{2})^2+6sqrt{3}(dfrac{sqrt{3}}{2})(dfrac{1}{2})+7(dfrac{1}{2})^2)

(=16,)

(D′=Dcos θ+Esin θ)

(=(0)cos 60+(0)sin 60)

(=0,)

(E′=−Dsin θ+Ecos θ)

(=−(0)sin 60+(0)cos 60)

(=0)

(F′= F)

(=−256.)

The equation of the conic in the rotated coordinate system becomes

(4(x′)^2+16(y′)^2=256)

(dfrac{(x′)^2}{64}+dfrac{(y′)^2}{16}=1).

A graph of this conic section appears as follows.

Übung (PageIndex{6})

Identify the conic and calculate the angle of rotation of axes for the curve described by the equation

[3x^2+5xy−2y^2−125=0.]

Hinweis

Follow steps 1 and 2 of the five-step method outlined above

Antworten

The conic is a hyperbola and the angle of rotation of the axes is (θ=22.5°.)

Schlüssel Konzepte

  • The equation of a vertical parabola in standard form with given focus and directrix is (y=dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k) where (p) is the distance from the vertex to the focus and ((h,k)) are the coordinates of the vertex.
  • The equation of a horizontal ellipse in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}+dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the major axis has length 2a, the minor axis has length 2b, and the coordinates of the foci are ((h±c,k)), where (c^2=a^2−b^2).
  • The equation of a horizontal hyperbola in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the vertices are located at ((h±a,k)), and the coordinates of the foci are ((h±c,k),) where (c^2=a^2+b^2).
  • The eccentricity of an ellipse is less than 1, the eccentricity of a parabola is equal to 1, and the eccentricity of a hyperbola is greater than 1. The eccentricity of a circle is 0.
  • The polar equation of a conic section with eccentricity e is (r=dfrac{ep}{1±ecosθ}) or (r=dfrac{ep}{1±esinθ}), where p represents the focal parameter.
  • To identify a conic generated by the equation (Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0),first calculate the discriminant (D=4AC−B^2). If (D>0) then the conic is an ellipse, if (D=0) then the conic is a parabola, and if (D<0) then the conic is a hyperbola.

Glossar

conic section
a conic section is any curve formed by the intersection of a plane with a cone of two nappes
directrix
a directrix (plural: directrices) is a line used to construct and define a conic section; a parabola has one directrix; ellipses and hyperbolas have two
diskriminierend
the value (4AC−B^2), which is used to identify a conic when the equation contains a term involving (xy), is called a discriminant
focus
a focus (plural: foci) is a point used to construct and define a conic section; a parabola has one focus; an ellipse and a hyperbola have two
eccentricity
the eccentricity is defined as the distance from any point on the conic section to its focus divided by the perpendicular distance from that point to the nearest directrix
focal parameter
the focal parameter is the distance from a focus of a conic section to the nearest directrix
general form
an equation of a conic section written as a general second-degree equation
major axis
the major axis of a conic section passes through the vertex in the case of a parabola or through the two vertices in the case of an ellipse or hyperbola; it is also an axis of symmetry of the conic; also called the transverse axis
minor axis
the minor axis is perpendicular to the major axis and intersects the major axis at the center of the conic, or at the vertex in the case of the parabola; also called the conjugate axis
nappe
a nappe is one half of a double cone
standard form
an equation of a conic section showing its properties, such as location of the vertex or lengths of major and minor axes
vertex
a vertex is an extreme point on a conic section; a parabola has one vertex at its turning point. An ellipse has two vertices, one at each end of the major axis; a hyperbola has two vertices, one at the turning point of each branch

Schlüssel Konzepte

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    • Authors: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Book title: Calculus Volume 2
    • Publication date: Mar 30, 2016
    • Ort: Houston, Texas
    • Book URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/7-key-concepts

    © Dec 21, 2020 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 license. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne die vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


    Breezy Hill Turning

    Conefluence- In this piece nine separate conic sections merge together into the form of a hemisphere. Since the width of each conic section is the the same, the inner edges of the conic sections also describe a hemisphere.----SOLD

    Conefluence- 10&rdquoH x 8&rdquoD. Hemisphere- Big Leaf Maple Burl, Dyes, Lacquer, Colored Epoxy. Stand- Maple, Dye, Acrylic Rod----SOLD

    Conefluence- This work is actually 9 separate turnings that were carefully joined together. Since the width of each conic section is the the same, the inner edges of the conic sections also describe a hemisphere.----SOLD


    The extreme points of the latus rectum of a parabola are (7,5) and (7,3). Find the equation of parabola and the points where it meets the coordinate axis .


    Since you have equation so putting x = 0 and y = 0 one by one you may calculate points where they cut coordinate axis.

    Jegannathan Anandaraman answered this

    Hello Rocky dear, with the data of extreme points of latus rectum 4a = 2
    But there are two possibilities. Parabola may face left ward or right ward
    Let us take first option right ward
    So its equation has to by (y - k)^2 = 4 a ( x- h)
    Now the focus can be found as (7,4)
    So the vertex has to be [(7-1/2) , 4] or (13/2 , 4). This establishes that h = 13/2 and k = 4
    Hence the equation of the parabola
    (y-4)^2 = 2 * (x- 13/2)
    Now to get meeting point with co-ordinate axes plug x = 0 you get meeting with y axis
    Plug y = 0 you would get the meeting point with x axis.
    Hope you would complete the work. All the best


    As we can see the angle between the two curves at point $(2+2sqrt 2,2+2sqrt2)$ is twice the angle formed by the tangent and $x$ -axis and the line $y=x$ .

    The tangent has gradient $f'(2+2sqrt 2)= sqrt<2>+1$

    Thus the angle formed with $x$ -axis is $arctan(sqrt 2+1)=67.5°$

    Less the $45°$ of the angle bisector $y=x$ we see that the curves form an angle

    In a similar way the angle formed by the two curves at the other intersection point is $135°$ .

    The two curves intersect in $Bbb R^2$ in the two points $P_pm=(2pmsqrt 2, 2pmsqrt2)$ . Both points are on the line $x=y$ . So it is enough to get the angle of the tangent of each parabola in $P_pm$ with the line $x=y$ .

    So let us consider first parabola $4(y+1)=x^2$ . Its focus is the origin. Take a look for instance at:

    It is also easy to see this algebraically. The squared distance from a point $P=(x,y)$ to the focus $F=(0,0)$ is $x^2+y^2$ , and the squared distance from $P$ to the horizontal line $(d)$ given by $y=-2$ (diretrix) is $(y+2)^2$ . So the parabola, the geometric locus of all points equally far from $F$ and $(d)$ has the equation $x^2+y^2=(y+2)^2$ . This is our parabola.

    Using the "optical properties", a ray comming verically from "infinity" to the point $P_pm$ is reflected (in the "wall of the parabola", i.e. in the tangent in that point to the "wall"), and the reflection passes through the focus. This means that the we know the angle of the tangent in $P_pm$ at the parabola.

    (Arguably, we still have to show this optical property without differential calculus. else this would be a "cheating answer", since we do not use differentiation, but an argument, that may use it. Is this an issue?)

    For the other parabola, take a "horizontal rays".

    Note: If this is not enough, i will come back with pictures and computations.


    Tests

    You are missed when you are not in class!

    If you miss a test, it is your responsibility to speak to me as soon as possible to determine whether or not your excuse is acceptable. Here is some General Guidance regarding appropriate reasons for absence from a test or examination. If you are in doubt, ask me as soon as possible. However, please note that leaving early for a holiday, making plane reservations to leave early while classes or examinations are scheduled by the University, or planning to attend a social event during University scheduled class times is nicht a legitimate excuse for missing a test.


    7.5 Strategy for Integration

    Einführung: In this lesson we will review all of the integration techniques we have learned thus far and, given a variety of integrals, discuss when to use which techniques. Often, the hardest step in computing an integral is determining which technique to apply and this lesson will focus on how you make that choice.

    Objectives: After this lesson you should be able to:

    • Integrate functions using the following techniques or a combination of these techniques:
      • Substitution
      • Integration by Parts
      • Trigonometric Integrals
      • Trigonometric Substitution
      • Partial Fractions

      Video & Notes: Fill out the note sheet for this lesson (7-5-Strategy-for-Integration) as you watch the video. If you prefer, you could read Section 7.5 of your textbook and work out the problems on the notes on your own as practice. Remember, notes must be uploaded to Blackboard weekly for a grade! If for some reason the video below does not load you can access it on YouTube here.

      Homework: Go to WebAssign and complete the 𔄟.5 Integration Strategy” assignment.

      Practice Problems: # 3, 5, 9, 11, 13, 21, 27, 37, 39, 51

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      The University of Alaska Fairbanks is an AA/EO employer and educational institution and prohibits illegal discrimination against any individual. Learn more about UA’s notice of nondiscrimination.


      Polynomials describing an ellipse

      A conic goes through the points $((-1,-3), (-1,1), (0,-3), (0,2), (3,0), (3,2))$ with equation $(-5, 4, -4, 7, -4, 24).(x^2, x y, y^2, x, y, 1)=0$, that happens to be an ellipse. The ellipse passes through various other rational points, such as the following:

      Here's a picture of it with various rational points connected by horizontal or vertical lines. The center is at $(5/8, -3/16)$.

      With some amount of extreme numerical hackery I found exact solutions for the major and minor axis.

      Let $A$ be 4 sols of $8125 + 7500 x - 4400 x^2 - 2560 x^3 + 1024 x^4 = 0$.
      Let $B$ be 4 sols of $-181561 - 9768 x - 23744 x^2 + 12288 x^3 + 16384 x^4 = 0$.

      The major axis is $((A_1,B_1),(A_4,B_4))$. The minor axis is $((A_2,B_3),(A_3,B_2))$.

      Warum? Where the heck did those polynomials $A$ and $B$ come from that completely solve the problem? Is there some easy and elegant method for finding them? Do they have a name?

      Partially caused by the paper Where is the Cone? I wondered if there was some easy way to find the cone for some random points.

      Here's five simple points leading to a scarier polynomial: $((4,3),(6,2),(7,-5),(-3,3),(-7,-7))$. Let $C$ be $9293912158137116224000000-381181198346659643504000 x^2+3433033712621714056671 x^4 = 0$


      Ellipse and hyperbola

      &emsp&emspWe have studied two types of second-degree relations thus far: parabolas and circles. We now look at another type, the ellipse.

      ELLIPSES &emsp&emspThe definition of an ellipse is also based on distance.

      ELLIPSES&emsp&emspAn ellipse is the set of all points in a plane the sum of whose distances from two fixed points is constant. The two fixed points are called the foci of the ellipse.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspFor example. the ellipse in Figure 3.37 has foci at points F and F '. By the definition, the ellipse is made up of all points P such that the sum d ( P , F ) + d ( R F &rsquo) is constant. The ellipse in Figure 3.37 has its center at the origin. Points V and V &rsquo are the vertices of the ellipse, and the line segment connecting V and V &rsquo is the major axis. The foci always lie on the major axis. The line segment from B to B &lsquo is the minor axis. The major axis has length 2a , and the minor axis has length 2b .

      &emsp&emspIf the foci are chosen to be on the x -axis (or y - axis), with the center of the ellipse at the origin, then the distance formula and the definition of an ellipse can be used to obtain the following result. (See Exercise 43.)

      EQUATION OF AN ELLIPSE

      &emsp&emspThe ellipse centered at the origin with x -intercepts a and -a , and y -intercepts b and -b , has equation

      &emsp&emspIn an equation of an ellipse, the coefficients of x^2 and y^2 must be different positive numbers. (What happens if the coefficients are equal?)

      &emsp&emspAn ellipse is the graph of a relation. As suggested by the graph in Figure 3.37, if the ellipse has equation (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 , the domain is [-a, a ] and the range is [-b, b ]. Notice that the ellipse in Figure 3.37 is symmetric with respect to the x -axis, the y -axis, and the origin. More generally, every ellipse is symmetric with respect to its major axis, its minor axis, and its center.

      &emsp&emspEllipses have many useful applications. As the earth makes its year-long journey around the sun, it traces an ellipse. Spacecraft travel around the earth in elliptical orbits, and planets make elliptical orbits around the sun. An interesting recent application is the use of an elliptical tub in the nonsurgical removal of kidney stones.

      GRAPHING AN ELLIPSE CENTERED AT THE ORIGIN

      &emsp&emspTo gel the form of the equation of an ellipse, divide both sides by 36 .

      &emsp&emspThis ellipse is centered at the origin, with x -intercepts 3 and -3 , and y -intercepts 2 and -2 . Additional ordered pairs that satisfy the equation of the ellipse may be found and plotted as needed (a calculator with a square root key will be helpful). The domain of this relation is -3,3 . and the range is -2,2 . The graph is shown in Figure 3.38.

      &emsp&emsp

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      FINDING THE EQUATION OF AN ELLIPSE

      &emsp&emspGive the equation of the ellipse with center at the origin, a vertex at (5,0) , and minor axis of length 6 .

      &emsp&emspThe equation will have the form (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 . One vertex is at (5,0) , so a = 5 . The minor axis has length 2b . so

      &emsp&emspRecall from Section 3.4 that the circle x^2 + y^2 = r^2 , whose center is at the origin, can be translated away from the origin so that the circle (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 has its center at (h, k) . In a similar manner, an ellipse can be translated so that its center is away from the origin.

      IN SIMPLEST TERMS

      One of the most useful properties of an ellipse is its reflexive property. if a beam is projected from one focus onto the ellipse, it will reflect to the other focus. This feature has helped scientists develop the lithographer, a machine that uses shock waves to crush kidney stones. The waves originate at one focus and are reflected to hit the kidney stone which is positioned at the second focus.

      &emsp&emspTo determine the focus of an ellipse, use the formula b^2=a^2-c^2 , where
      the distance from the center to one end of the major axis is represented by a , the distance from the center to one end of the minor axis is represented by b , and the distance from the center to each focus is represented by c . The foci will lie on the major axis. Solving this formula for c gives c=+-root(a^2-b^2) .

      In finding the foci of the ellipse x^2/25+y^2/9=1 , we see that a^2=25 , b^2=9 and c=+-root(16)=+-4 . Since the center of the ellipse is at (0, 0) , the foci are located at (-4, 0) and (4, 0) .

      GRAPHING AN ELLIPSE TRANSLATED AWAY FROM THE ORIGIN

      &emsp&emsp

      &emsp&emspwe would have an ellipse with center at (0, 0) . The terms in the numerators of the fractions on the left side, however. indicate that this relation represents an ellipse centered at (2, -1) . Graph the ellipse using the fact that a = 3 and b=4 . Stan at (2. -1) and locate two points each 3 units away from (2. -1) on a horizontal line, one to the right of (2. -1) and one to the left. Locate two other points on a vertical line through (2. -1) , one 4 units up and one 4 units down. Since b > a , the vertices are on the
      vertical line through the center. The vertices are (2. 3) and (2. -5) . Find additional points as necessary. The final graph is shown in Figure 3.39. As the graph suggests, the domain is -1,5 , and the range is -5,3 .

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      HYPERBOLAS&emsp&emspThe definition of an ellipse requires that the sum of the distances form two fixed points be constant. The definition of hyperbola involves the difference rather than the sum.

      HYPERBOLAS&emsp&emspA hyperbole is the set of all points in a plane such that the absolute value of the difference of the distances from two fixed points (called foci) is constant.

      &emsp&emspSome applications of hyperbolas are given in the exercises.

      &emsp&emspAs with ellipses, the equation of a hyperbola can be found from the distance formula and the definition of a hyperbola. (See Exercise 45.)

      EQUATIONS OF HYPERBOLAS

      &emsp&emspA hyperbola centered at the origin, with x -intercepts a and -a , has an equation of the form

      &emsp&emspwhile a hyperbola centered at the origin, with y -intercepts b and -b , has an equation of the form

      &emsp&emspSome texts use y^2/a^2-x^2/b^2=1 for this last equation. For a brief introduction such as this, the form given is commonly used.

      &emsp&emspThe x -intercepts are the vertices of a hyperbola with the equation (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 , and the y -intercepts are the vertices of a hyperbola with the equation (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 . The line segment between the vertices is the transverse axis of the hyperbola&lsquo and the midpoint of the transverse axis is the center of the hyperbola.

      GRAPHING A HYPERBOLA CENTERED AT THE ORIGIN

      &emsp&emspGraph the hyperbola x^2/16-y^2/9=1 .

      &emsp&emspBy the first equation of a hyperbola given earlier. the hyperbole is centered at the origin and has x -intercepts 4 and -4 . However, if x = 0 ,

      &emsp&emspwhich has no real solutions. For this reason, the graph has no y-intercepts. To complete the graph. find some other ordered pairs that belong to it. For example, if x=6 ,

      &emsp&emsp y^2/9=20/16 &emsp&emspMultiply by -1 and combine terms.

      &emsp&emsp y^2=180/16=45/4 &emsp&emspMultiply by 9 lowest terms.

      &emsp&emsp y=+-(3root(5))/(2) &asymp +-3.4 .&emsp&emspTake square roots and use a calculator.

      &emsp&emspThe graph includes the points (6,3.4) and (6, -3.4) . If x = -6 , y &asymp +-3.4 , so the points (-6, 3.4) and (-6, -3.4) also are on the graph. These points, along with other points on the graph, were used to help sketch the final graph shown in Figure 3.40. The graph suggests that the domain of this hyperbola is (-&infin,-4) (4,&infin) , while the range is (-&infin,&infin) . Using the tests for symmetry would show that this hyperbola is symmetric with respect to the x -axis, the y -axis, and the origin.

      &emsp&emsp &emsp&emsp

      &emsp&emspStarting with

      &emsp&emspIf x^2 is very large in comparison to a^2 , the difference x^2-a^2 would be very close to x^2 . If this happens, then the points satisfying equation (*) above would be very close to one of the lines

      &emsp&emspThus, as |x| gets larger and larger, the points of the hyperbola x^2/a^2-y^2/b^2=1 come closer and closer to the lines y=(+-b/a)x . These lines, called the asymptotes of the hyperbola, are very helpful when graphing the hyperbola. An asymptotes is a line that the graph of a relation approaches but never reaches as |x| gets large. Asymptotes are discussed again in Sections 5.1 and 6.6.

      USING ASYMPTOTES TO GRAPH A HYPERBOLA

      &emsp&emsp

      &emsp&emspFor this hyperbola, a = 5 and b = 7 . with these values, y = (+-b/a)x becomes y = (+-7/5)x . Use the x -intercepts: if x = 5 , then y = (+-7/5)(5) = +-7 , and if x = -5 , y = 17 . These four points, (5, 7),(5, -7), (-5, 7) , and (-5, -7) , lead to the rectangle shown in Figure 3.41. The extended diagonals of this rectangle are the asymptotes of the hyperbola. The hyperbola has x -intercepts 5 and -5 . The domain is (-&infin,-5) (5,&infin) , and the range is (-&infin,&infin) . The final graph is shown in Figure 3.41.

      &emsp&emspThe rectangle used to find the asymptotes of the hyperbola in Example 5 is called the fundamental rectangle.

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      ASYMPTOTES OF A HYPERBOLA

      &emsp&emspThe asymptotes of the hyperbola with equation

      &emsp&emspare the extended diagonals of the fundamental rectangle with vertices at (a, b),(a, -b), (-a, b) , and (-a, -b) .

      &emsp&emspBy using slopes of the diagonals of the fundamental rectangle, we can verify that the equations of the diagonals are as follows.

      EQUATIONS OF ASYMPTOTES

      &emsp&emspThe equations of the asymptotes of either of the hyperbolas (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 or (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 are

      &emsp&emspLike the relations studied earlier in this chapter, hyperbolas may be translated. The type of translation can be determined from the equation. just as it was with parabolas, circles, and ellipses.

      GRAPHING A HYPERBOLA TRANSLATED AWAY FROM THE ORIGIN&emsp

      &emsp&emsp

      &emsp&emspThis hyperbola has the same graph as

      &emsp&emspexcept that it is centered at (-3, -2) . See Figure 3.42.

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      FINDING THE EQUATION OF A HYPERBOLA

      &emsp&emspWrite the equation of the hyperbola centered at (-2, 1) , with a vertex at (-2. 3) , and with a equal to half of b .

      &emsp&emspSince both the vertex and the center are on the transverse axis, it must be the vertical line x = -2 . The equation will have the form

      &emsp&emspThe distance from the center to the given vertex at (-2, 3) gives b for this hyperbola. Using the distance formula,

      &emsp&emspFrom the information given. a = (1/2)b = (1/2)(2) = 1 , so the equation is

      3.6&emsp&emspTHE CONIC SECTIONS

      &emsp&emspThe graphs of the second degree relations studied in this chapter, parabolas, hyperbolas, ellipses, and circles, are called conic sections since each can be obtained by cutting a cone with a plane. as shown in Figure 3.43.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspAll conic sections presented in this chapter have equations of the form

      &emsp&emspwhere either A or C must be nonzero. The special characteristics of each of the conic sections are summarized below.

      EQUATIONS OF CONIC SECTIONS

      Conic Section Characteristic Beispiel
      Parabola Either A=0 or C=0 , but not both. y=x^2 x=3y^2+2y-4
      Circle A=C!=0 x^2+y^2=16
      Ellipse A!=C,AC>0 x^2/16+y^2/25=1
      Hyperbola AC<0 x^1-y^2=1

      &emsp&emspThe following chart summarizes our work with conic sections.&emsp

      &emsp&emspIn order lo recognize the type of graph that a given conic section has, it is sometimes necessary to transform the equation into a more familiar form, as shown in the next examples.

      DETERMINING THE TYPE OF A CONIC SECTION FROM ITS EQUATION

      &emsp&emspDecide on the type of conic section represented by each of the following equations, and sketch each graph.

      &emsp&emspDivide each side by 100 to get

      &emsp&emspThis is a hyperbola centered at the origin, with foci on the y -axis, and y -intercepts 2 and -2 The points (5 ,2) (5 ,-2) ,(-5 2) (-5,-2) determine the fundamental rectangle. The diagonals of the rectangle are the asymptotes, and their equations are

      &emsp&emspThe graph is shown in Figure 3.44

      &emsp&emsp

      &emsp&emspRewriting the equation as

      &emsp&emspshows that the equation represents a hyperbola centered at the origin, with asymptotes

      &emsp&emspThe x -intercepts are +-5 the graph is shown in Figure 3.45.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspSince the coefficients of the x^2 and y^2 terms are unequal and both positive, this equation might represent an ellipse. (It might also represent a single point or no points at all.) To find out, complete the square on x and y .

      &emsp&emsp 4(x^2-4x)+9(y^2+6y)=-61 &emsp&emspFactor out a 4 Factor out a 9 .

      &emsp&emsp 4(x^2-4x+4-4)+9(y^2+6y+9-9)=-61 &emsp&emspAdd and subtract the same quantity.

      &emsp&emspThis equation represents an ellipse having center at (2, -3) and graph as shown in Figure 3.46.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspComplete the square on both x and y , as follows

      &emsp&emspThis result shows that the equation is that of a circle of radius 0 that is, the point (4, -5) . Had a negative number been obtained on the right (instead of 0 ), the equation would have represented no points at all, and there would be no graph.

      &emsp&emspSince only one variable is squared ( x , and not y ), the equation represents a parabola. Rearrange the terms to get the term with y (the variable that is not squared) alone on one side. Then complete the square on the other side of the equation.

      &emsp&emspThe parabola has vertex at (3, 2) , and opens downward, as shown in Figure 3.47.

      &emsp&emsp

      DETERMINING THE TYPE OF A CONIC SECTION FROM ITS EQUATION

      &emsp&emspComplete the square on x and on y .

      &emsp&emspBecause of the -36 , it is very tempting to say that this equation does not have a graph. However, the minus sign in the middle on the left shows that the graph is that of a hyperbola. Dividing through by - -36 and rearranging terms gives

      &emsp&emspa hyperbola centered at (1 , 2) , with graph as shown in Figure 3.48.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspRelations are sometimes defined as square roots of expressions so that their graphs consist of only a portion of the graph of a complete conic section. The final example illustrates one such relation.

      GRAPHING A RELATION DEFINED BY A SQUARE ROOT

      &emsp&emspSquaring both sides gives

      &emsp&emspUse the fact that 4 = 1/(1/4) to write the equation as

      &emsp&emspthe equation of a hyperbola with y -intercepts 1 and -1 . Use the points (1/2, 1) , (1/2, -1), (-1/2, 1) , and (-l/2, -1) to sketch the asymptotes. Since the given equation y=-root(1+4x^2) restricts y to nonpositive values, the graph is the lower branch of the hyperbola, as shown in Figure 3.49. The domain of y=-root(1+4x^2) is the set of all x such that 1+4x^2>=0 . This condition is satisfied for all x in the interval (-&infin,&infin) . The range is (-&infin,-1) .

      &emsp&emsp

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