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15.4: Anwendungen von Doppelintegralen


Lernziele

  • Erkennen Sie, wann eine Funktion von zwei Variablen über einen rechteckigen Bereich integrierbar ist.
  • Erkenne und verwende einige der Eigenschaften von Doppelintegralen.
  • Bewerten Sie ein Doppelintegral über einen rechteckigen Bereich, indem Sie es als iteriertes Integral schreiben.
  • Verwenden Sie ein Doppelintegral, um die Fläche einer Region, das Volumen unter einer Oberfläche oder den Durchschnittswert einer Funktion über einer ebenen Region zu berechnen.

In diesem Abschnitt untersuchen wir Doppelintegrale und zeigen, wie wir sie verwenden können, um das Volumen eines Festkörpers über einem rechteckigen Bereich in der xy-Ebene zu bestimmen. Viele der Eigenschaften von Doppelintegralen ähneln denen, die wir bereits für Einfachintegrale besprochen haben.

Volumen und Doppelintegrale

Wir betrachten zunächst den Raum über einem rechteckigen Gebiet (R). Betrachten Sie eine stetige Funktion (f(x,y)≥0) von zwei Variablen, die auf dem geschlossenen Rechteck (R) definiert sind:

[R=[a,b] imes [c,d]= left{(x,y) ∈ mathbb{R}^2| , a ≤ x ≤ b, , c ≤ y ≤ d ight} onumber]

Dabei bezeichnet ([a,b] imes [c,d]) das kartesische Produkt der beiden abgeschlossenen Intervalle ([a,b]) und ([c,d]). Es besteht aus rechteckigen Paaren ((x,y)) mit (a≤x≤b) und (c≤y≤d). Der Graph von (f) stellt eine Fläche über der (xy)-Ebene mit der Gleichung (z = f(x,y)) dar, wobei (z) die Höhe der Fläche im Punkt ((x,y)). Sei (S) der Körper, der über (R) und unter dem Graphen von (f) liegt (Abbildung (PageIndex{1})). Die Basis des Festkörpers ist das Rechteck (R) in der (xy)-Ebene. Wir wollen das Volumen (V) des Festkörpers (S) finden.

Wir unterteilen den Bereich (R) in kleine Rechtecke (R_{ij}), jeweils mit Fläche (ΔA) und mit Seiten (Δx) und (Δy) (Abbildung (PageIndex{ 2})). Dazu teilen wir das Intervall ([a,b]) in (m)-Teilintervalle und das Intervall ([c,d]) in (n)-Teilintervalle ein. Daher (Updelta x = frac{b - a}{m}), (Updelta y = frac{d - c}{n}), und (Updelta A = Updelta x Delta y).

Das Volumen einer dünnen rechteckigen Box über (R_{ij}) ist (f(x_{ij}^*, , y_{ij}^*),Delta A), wobei ((x_ {ij}^*, , y_{ij}^*)) ist ein beliebiger Abtastpunkt in jedem (R_{ij}) wie in der folgenden Abbildung gezeigt, (f(x_{ij}^*, , y_{ij}^*)) ist die Höhe der entsprechenden dünnen rechteckigen Box und (Delta A) ist die Fläche jedes Rechtecks ​​(R_{ij}).

Unter Verwendung der gleichen Idee für alle Unterrechtecke erhalten wir ein ungefähres Volumen des Festkörpers S als

[V approx sum_{i=1}^m sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*, , y_{ij}^*)Delta A. onumber]

Diese Summe ist als a . bekannt doppelte Riemann-Summe und kann verwendet werden, um den Wert des Volumens des Feststoffs anzunähern. Die doppelte Summe bedeutet hier, dass wir für jedes Unterrechteck die Funktion am gewählten Punkt auswerten, mit der Fläche jedes Rechtecks ​​multiplizieren und dann alle Ergebnisse addieren.

Wie wir im einvariablen Fall gesehen haben, erhalten wir eine bessere Annäherung an das tatsächliche Volumen, wenn (m) und (n) größer werden.

[V = lim_{m,n ightarrow infty} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*, , y_{ij}^*) Delta A keineZahl]

oder

[V=lim_{Updelta x,,Updelta y ightarrow 0} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*, ,y_{ ij}^*)Delta A. onumber]

Beachten Sie, dass sich die Summe in beiden Fällen einem Grenzwert nähert und der Grenzwert das Volumen des Festkörpers mit der Basis (R) ist. Jetzt können wir das Doppelintegral definieren.

Definition

Das Doppelintegral der Funktion (f(x, , y)) über den rechteckigen Bereich (R) in der (xy)-Ebene ist definiert als

[iint_R f(x, , y) dA = lim_{m,n ightarrow infty} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(x_{ij}^* , , y_{ij}^*)Delta A.]

Wenn (f(x,y)geq 0), dann das Volumen (V) des Festkörpers (S), das über (R) in der (xy)-Ebene liegt und unter dem Graphen von (f) liegt das Doppelintegral der Funktion (f(x,y)) über dem Rechteck (R). Wenn die Funktion jemals negativ ist, kann das Doppelintegral auf ähnliche Weise als mit Vorzeichen versehenes Volumen betrachtet werden, wie wir die Nettofläche mit Vorzeichen in The Definite Integral definiert haben.

Beispiel (PageIndex{1}): Bildung eines Doppelintegrals und Approximation durch Doppelsummen

Betrachten Sie die Funktion (z = f(x, , y) = 3x^2 - y) über dem rechteckigen Bereich (R = [0, 2] imes [0, 2]) (Abbildung ( Seitenindex{4})).

  1. Bilden Sie ein Doppelintegral, um den Wert des vorzeichenbehafteten Volumens des Festkörpers (S) zu finden, das über (R) und „unter“ dem Graphen von (f) liegt.
  2. Teile (R) in vier Quadrate mit (m = n = 2) und wähle den Abtastpunkt als oberen rechten Eckpunkt jedes Quadrats (1,1),(2,1),(1,2 ), und (2,2) (Abbildung (PageIndex{4})) um das vorzeichenbehaftete Volumen des Festkörpers (S) anzunähern, das über (R) und „unter“ dem Graphen von ( f).
  3. Teile (R) in vier Quadrate mit (m = n = 2) und wähle den Abtastpunkt als Mittelpunkt jedes Quadrats: (1/2, 1/2), (3/2, 1/2 ), (1/2,3/2) und (3/2, 3/2), um das vorzeichenbehaftete Volumen anzunähern.

Lösung

  1. Wie wir sehen, liegt die Funktion (z = f(x,y) = 3x^2 - y) über der Ebene. Um das vorzeichenbehaftete Volumen von (S) zu finden, müssen wir den Bereich (R) in kleine Rechtecke (R_{ij}) mit Fläche (ΔA) und mit Seiten (Δx ) und (Δy), und wählen Sie ((x_{ij}^*, y_{ij}^*)) als Abtastpunkte in jedem (R_{ij}). Somit wird ein Doppelintegral aufgestellt als

    [V = iint_R (3x^2 - y) dA = lim_{m,n→∞} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^n [3(x_{ij}^ *)^2 - y_{ij}^*] Delta A. onumber]

  2. Nähert man das vorzeichenbehaftete Volumen mit einer Riemann-Summe mit (m = n = 2) an, so erhält man (Updelta A = Updelta x Updelta y = 1 imes 1 = 1). Außerdem sind die Abtastpunkte (1, 1), (2, 1), (1, 2) und (2, 2), wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Daher,

[egin{align*} V &approx sum_{i=1}^2 sum_{j=1}^2 f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)Delta A [4pt]
&= sum_{i=1}^2 (f (x_{i1}^*, y_{i1}^*) + f (x_{i2}^*, y_{i2}^*))Delta A [4pt]
&=f(x_{11}^*, y_{11}^*)Updelta A + f(x_{21}^*, y_{21}^*)Updelta A + f(x_{12}^* , y_{12}^*)Delta A + f(x_{22}^*, y_{22}^*)Delta A [4pt]
&= f(1,1)(1) + f(2,1)(1) + f(1,2)(1) + f(2,2)(1) [4pt]
&= (3 - 1)(1) + (12 - 1)(1) + (3 - 2)(1) + (12 - 2)(1) [4pt]
&= 2 + 11 + 1 + 10 = 24. end{align*}]

  1. Nähert man das vorzeichenbehaftete Volumen mit einer Riemann-Summe mit (m = n = 2) an, so gilt (Updelta A = Updelta x Updelta y = 1 imes 1 = 1). In diesem Fall sind die Abtastpunkte (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) und (3/2, 3/2).
    Daher,
    [egin{align*}V &approx sum_{i=1}^2 sum_{j=1}^2 f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)Delta A [4pt]
    &=f(x_{11}^*, y_{11}^*)Updelta A + f(x_{21}^*, y_{21}^*)Updelta A + f(x_{12}^* , y_{12}^*)Delta A + f(x_{22}^*, y_{22}^*)Delta A [4pt]
    &= f(1/2,1/2)(1) + f(3/2,1/2)(1) + f(1/2,3/2)(1) + f(3/2, 3/2)(1) [4pt]
    &= left(frac{3}{4} - frac{1}{4} ight) (1) + left(frac{27}{4} - frac{1}{2} rechts)(1) + left(frac{3}{4} - frac{3}{2} ight)(1) + left(frac{27}{4} - frac{3} {2} echts)(1) [4pt]
    &= frac{2}{4} + frac{25}{4} + left(-frac{3}{4} ight) + frac{21}{4} = frac{45} {4} = 11. end{align*}]

Analyse

Beachten Sie, dass sich die ungefähren Antworten aufgrund der Auswahl der Stichprobenpunkte unterscheiden. In jedem Fall führen wir einige Fehler ein, da wir nur wenige Stichprobenpunkte verwenden. Daher müssen wir untersuchen, wie wir eine genaue Antwort erhalten können.

Übung (PageIndex{1})

Verwenden Sie dieselbe Funktion (z = f(x, y) = 3x^2 - y) über dem rechteckigen Bereich (R=[0,2]×[0,2]).

Teilen Sie (R) in die gleichen vier Quadrate mit (m = n = 2) und wählen Sie die Abtastpunkte als den oberen linken Eckpunkt jedes Quadrats (0,1), (1,1), (0 ,2) und (1,2) (Abbildung (PageIndex{5})) zur Näherung des vorzeichenbehafteten Volumens des Festkörpers (S), der über (R) und „unter“ dem Graphen von . liegt (f).

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte des vorherigen Beispiels.

Antworten

[V approx sum_{i=1}^2 sum_{j=1}^2 f(x_{ij}^*, y_{ij}^*),Delta A = 0 onumber]

Beachten Sie, dass wir das Konzept des Doppelintegrals unter Verwendung eines rechteckigen Bereichs (R) entwickelt haben. Dieses Konzept kann auf jede allgemeine Region ausgeweitet werden. Wenn eine Region jedoch nicht rechteckig ist, passen möglicherweise nicht alle Unterrechtecke perfekt in (R), insbesondere wenn die Grundfläche gekrümmt ist. Wir untersuchen diese Situation im nächsten Abschnitt genauer, wo wir Regionen untersuchen, die nicht immer rechteckig sind und Teilrechtecke möglicherweise nicht perfekt in die Region (R) passen. Außerdem können die Höhen nicht exakt sein, wenn die Fläche (z=f(x,y)) gekrümmt ist. Die Fehler an den Seiten und der Höhe, bei denen die Teile nicht perfekt in den Körper (S) passen, gehen jedoch gegen 0, da (m) und (n) gegen unendlich gehen. Auch das Doppelintegral der Funktion (z=f(x,y)) existiert, sofern die Funktion (f) nicht zu unstetig ist. Ist die Funktion beschränkt und stetig über (R) außer auf einer endlichen Anzahl glatter Kurven, dann existiert das Doppelintegral und wir sagen, dass ff über (R) integrierbar ist.

Da (Updelta A = Updelta xUpdelta y = Updelta yUpdelta x) ist, können wir (dA) als (dx,dy) oder (dy,dx) ausdrücken. Dies bedeutet, dass, wenn wir rechtwinklige Koordinaten verwenden, das Doppelintegral über einen Bereich (R) mit der Bezeichnung

[iint_R f(x,y),dA onumber]

kann geschrieben werden als

[iint_R f(x,y),dx,dy onumber]

oder

[iint_R f(x,y),dy,dx. keine Nummer]

Lassen Sie uns nun einige der Eigenschaften auflisten, die bei der Berechnung von Doppelintegralen hilfreich sein können.

Eigenschaften von Doppelintegralen

Die Eigenschaften von Doppelintegralen sind sehr hilfreich, wenn Sie sie berechnen oder anderweitig damit arbeiten. Wir listen hier sechs Eigenschaften von Doppelintegralen auf. Die Eigenschaften 1 und 2 werden als Linearität des Integrals bezeichnet, Eigenschaft 3 ist die Additivität des Integrals, Eigenschaft 4 ist die Monotonie des Integrals und Eigenschaft 5 wird verwendet, um die Grenzen des Integrals zu finden. Eigenschaft 6 wird verwendet, wenn (f(x,y)) ein Produkt zweier Funktionen (g(x)) und (h(y)) ist.

Satz: Eigenschaften von Doppelintegralen

Angenommen, die Funktionen (f(x,y)) und (g(x,y)) seien über den rechteckigen Bereich (R) integrierbar; (S) und (T) sind Unterregionen von (R); und nehmen an, dass (m) und (M) reelle Zahlen sind.

  1. Die Summe (f(x,y)+g(x,y)) ist integrierbar und

[iint_R [f(x, y) + g(x, y)],dA = iint_R f(x,y), dA + iint_R g(x, y) ,dA. keine Nummer]

  1. Wenn c eine Konstante ist, dann ist (cf(x,y)) integrierbar und

[iint_R cf(x,y),dA = ciint_R f(x,y),dA. keine Nummer]

  1. Wenn (R=S∪T) und (S∩T=∅) außer einer Überlappung an den Rändern, dann

[iint_R f(x,y),dA = iint_S f(x,y) ,dA + iint_T f(x,y),dA. keine Nummer]

  1. Wenn (f(x,y)geq g(x,y)) für ((x,y)) in (R), dann

[iint_R f(x,y),dA geq iint_R g(x,y),dA. keine Nummer]

  1. Wenn (mleq f(x,y)leq M) und (A(R) = , ext{Fläche von},R), dann

[m cdot A(R) leq iint_R f(x,y),dA leq M cdot A(R). keine Nummer]

  1. Für den Fall, dass (f(x,y)) als Produkt einer Funktion (g(x)) von (x) und einer Funktion (h(y)) von nur (y), dann über den Bereich (R = ig{(x,y),|,a leq x leq b, , c leq y leq d ig} ), kann das Doppelintegral geschrieben werden als

[iint_R f(x,y),dA = left(int_a^b g(x),dx ight)left(int_c^d h(y) ,dy ight). keine Nummer]

Diese Eigenschaften werden bei der Auswertung von Doppelintegralen verwendet, wie wir später sehen werden. Wir werden mit der Verwendung dieser Eigenschaften vertraut sein, sobald wir uns mit den Berechnungswerkzeugen von Doppelintegralen vertraut gemacht haben. Kommen wir also jetzt dazu.

Iterierte Integrale

Bisher haben wir gesehen, wie man ein Doppelintegral aufstellt und einen Näherungswert dafür erhält. Wir können uns auch vorstellen, dass die Auswertung von Doppelintegralen unter Verwendung der Definition ein sehr langwieriger Prozess sein kann, wenn wir größere Werte für (m) und (n) wählen. Daher benötigen wir eine praktische und bequeme Technik zur Berechnung von Doppelintegralen. Mit anderen Worten, wir müssen lernen, Doppelintegrale zu berechnen, ohne die Definition zu verwenden, die Grenzen und Doppelsummen verwendet.

Die Grundidee ist, dass die Auswertung einfacher wird, wenn wir ein Doppelintegral in Einzelintegrale zerlegen können, indem wir zuerst in Bezug auf eine Variable und dann in Bezug auf die andere integrieren. Das Schlüsselwerkzeug, das wir brauchen, heißt iteriertes Integral.

Definitionen: iterierte Integrale

Angenommen (a), (b), (c) und (d) seien reelle Zahlen. Wir definieren ein iteriertes Integral für eine Funktion (f(x,y)) über den rechteckigen Bereich (R =[a,b]×[c,d]) als

[int_a^bint_c^d f(x,y),dy ,dx = int_a^b left[int_c^d f(x,y),dy ight] dx]

oder

[int_c^d int_a^b f(x,y),dx ,dy = int_c^d left[int_a^b f(x,y),dx ight] dy.]

Die Notation (int_a^b left[int_c^df(x,y),dy ight] dx) bedeutet, dass wir (f(x,y)) bezüglich (y ) während (x) konstant gehalten wird. In ähnlicher Weise bedeutet die Notation (int_c^dleft[int_a^bf(x,y),dx ight] dy), dass wir (f(x,y)) bezüglich ( x) während (y) konstant gehalten wird. Die Tatsache, dass Doppelintegrale in iterierte Integrale zerlegt werden können, wird im Satz von Fubini ausgedrückt. Betrachten Sie diesen Satz als ein wesentliches Werkzeug zur Bewertung von Doppelintegralen.

Satz: FUBINIS THEOREM

Angenommen, (f(x,y)) ist eine Funktion zweier Variablen, die über einen rechteckigen Bereich stetig ist (R = ig{(x,y) ∈ mathbb{R}^2 | , a leq x leq b, , c leq y leq d ig}). Dann sehen wir aus Abbildung (PageIndex{6}), dass das Doppelintegral von (f) über die Region einem iterierten Integral entspricht,

[iint_R f(x,y),dA = iint_R f(x,y),dx, dy = int_a^b int_c^df(x,y),dy , dx = int_c^d int_a^bf(x,y),dx , dy.]

Allgemeiner gesagt ist der Satz von Fubini wahr, wenn (f) auf (R) beschränkt ist und (f) nur auf endlich vielen stetigen Kurven unstetig ist. Mit anderen Worten, (f) muss über (R) integrierbar sein.

Beispiel (PageIndex{2}): Verwendung des Satzes von Fubini

Verwenden Sie den Satz von Fubini, um das Doppelintegral (displaystyle iint_R f(x,y) ,dA) zu berechnen, wobei (f(x,y) = x) und (R = [0, 2] imes [0, 1]).

Lösung

Der Satz von Fubini bietet eine einfachere Möglichkeit, das Doppelintegral durch die Verwendung eines iterierten Integrals zu berechnen. Beachten Sie, wie die Randwerte der Region (R) zur oberen und unteren Integrationsgrenze werden.

[egin{align*} iint_R f(x,y) ,dA &= iint_R f(x,y) ,dx ,dy [4pt]
&= int_{y=0}^{y=1} int_{x=0}^{x=2} x , dx , dy[4pt]
&= int_{y=0}^{y=1} left[frac{x^2}{2}igg|_{x=0}^{x=2} ight] ,dy [4pt]
&= int_{y=0}^{y=1} 2 ,dy = 2yigg|_{y=0}^{y=1} = 2 end{align*}]

Die doppelte Integration in diesem Beispiel ist einfach genug, um den Satz von Fubini direkt zu verwenden, sodass wir ein Doppelintegral in ein iteriertes Integral umwandeln können. Folglich sind wir nun bereit, alle Doppelintegrale in iterierte Integrale umzuwandeln und zu demonstrieren, wie die oben aufgeführten Eigenschaften uns helfen können, Doppelintegrale auszuwerten, wenn die Funktion (f(x,y)) komplexer ist. Beachten Sie, dass die Integrationsreihenfolge geändert werden kann (siehe Beispiel 7).

Beispiel (PageIndex{3}): Veranschaulichen der Eigenschaften i und ii

Bewerte das Doppelintegral [iint_R (xy - 3xy^2) ,dA, , ext{where} , R = ig{(x,y) ,| , 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 2 ig}. onumber]

Lösung

Diese Funktion hat zwei Teile: ein Teil ist (xy) und das andere ist (3xy^2). Außerdem hat das zweite Stück eine Konstante 3. Beachten Sie, wie wir die Eigenschaften i und ii verwenden, um das Doppelintegral auszuwerten.

[egin{align*} iint_R (xy - 3xy^2) ,dA &= iint_R xy ,dA + iint_R (-3xy^2),dA & & ext{Eigenschaft i: Integral von eine Summe ist die Summe der Integrale.} [4pt]
&= int_{y=1}^{y=2} int_{x=0}^{x=2} xy , dx , dy - int_{y=1}^{y=2} int_{x=0}^{x=2} 3xy^2 , dx , dy & & ext{Doppelintegrale in iterierte Integrale umwandeln.} [4pt]
&=int_{y=1}^{y=2} left(frac{x^2}{2}y ight) igg|_{x=0}^{x=2} ,dy - 3int_{y=1}^{y=2}left(frac{x^2}{2}y^2 ight)igg|_{x=0}^{x=2} ,dy & & ext{Integration in Bezug auf $x$, wobei $y$ konstant gehalten wird.} [4pt]
&= int_{y=1}^{y=2}2y , dy - int_{y=1}^{y=2} 6y^2 dy & & ext{Eigenschaft ii: Platzieren der Konstanten vor dem ganzzahlig.} [4pt]
&= 2int_1^2 y , dy - 6int_1^2 y^2 , dy & & ext{Integrieren bezüglich y.} [4pt]
&= 2frac{y^2}{2} igg|_1^2 - 6frac{y^3}{3} igg|_1^2 [4pt]
&=y^2igg|_1^2 - 2y^3igg|_1^2 [4pt]
&=(4−1) − 2(8−1) = 3 − 2(7) = 3 − 14 = −11. end{ausrichten*}]

Beispiel (PageIndex{4}): Illustrating Property v.

Über der Region (R = ig{(x,y),|, 1 leq x leq 3, , 1 leq y leq 2 ig}) gilt (2 leq x^2 + y^2 leq 13). Finden Sie eine untere und eine obere Schranke für das Integral (displaystyle iint_R (x^2 + y^2),dA.)

Lösung

Für eine untere Schranke integrieren Sie die konstante Funktion 2 über den Bereich (R). Für eine obere Schranke integrieren Sie die konstante Funktion 13 über den Bereich (R).

[egin{align*} int_1^2 int_1^3 2 ,dx ,dy &= int_1^2 [2xigg|_1^3] ,dy = int_1^2 2(2) dy = 4yigg|_1^2 = 4(2 - 1) = 4 [4pt] int_1^2 int_1^3 13dx , dy &= int_1^2 [13xigg|_1^3] ,dy = int_1^2 13(2),dy = 26yigg|_1^2 = 26(2 - 1) = 26. end{align*}]

Somit erhalten wir (displaystyle 4 leq iint_R (x^2 + y^2) ,dA leq 26.)

Beispiel (PageIndex{5}): Illustrating Property vi

Berechne das Integral (displaystyle iint_R e^y cos x, dA) über den Bereich (R = ig{(x,y),|, 0 leq x leq frac{ pi}{2}, , 0 leq y leq 1 ig}).

Lösung

Dies ist ein großartiges Beispiel für die Eigenschaft vi, da die Funktion (f(x,y)) eindeutig das Produkt zweier Funktionen mit einer Variablen (e^y) und (cos x) ist. Somit können wir das Integral in zwei Teile aufspalten und dann jeden als ein Integrationsproblem mit einer Variablen integrieren.

[egin{align*} iint_R e^y cos x , dA &= int_0^1 int_0^{pi/2} e^y cos x , dx , dy [4pt ]
&= left(int_0^1 e^y dy ight)left( int_0^{pi/2} cos x, dx ight) [4pt]
&= (e^yigg|_0^1) (sin xigg|_0^{pi/2}) [4pt]
&= e - 1. end{align*}]

Übung (PageIndex{2})

ein. Verwenden Sie die Eigenschaften des Doppelintegrals und den Satz von Fubini, um das Integral zu berechnen

[int_0^1 int_{-1}^3 (3 - x + 4y) ,dy ,dx. keine Nummer ]

b. Zeigen Sie, dass (displaystyle 0leqiint_Rsinpix,cospiy,dAleqfrac{1}{32}) mit (R = left(0,frac {1}{4} ight)left(frac{1}{4}, frac{1}{2} ight)).

Hinweis

Verwenden Sie Eigenschaften i. und ii. und das iterierte Integral auswerten und dann die Eigenschaft v verwenden.

Antworten

ein. (26)

b. Antworten können variieren.

Wie bereits erwähnt, kann das Doppelintegral über einen Bereich (R), der mit (iint_R f(x,y), dA) bezeichnet wird, als (iint_R, f(x,y) , dx , dy) oder (iint_R , f(x,y) ,dy , dx.) Das nächste Beispiel zeigt, dass die Ergebnisse gleich sind, egal in welcher Reihenfolge Integration wählen wir.

Beispiel (PageIndex{6}): Auswertung eines iterierten Integrals auf zwei Arten

Kehren wir zur Funktion (f(x,y) = 3x^2 - y) aus Beispiel 1 zurück, diesmal über den rechteckigen Bereich (R = [0,2] imes [0,3]). Verwenden Sie den Satz von Fubini, um (iint_R f(x,y) ,dA) auf zwei verschiedene Arten zu berechnen:

  1. Integrieren Sie zuerst bezüglich (y) und dann bezüglich (x);
  2. Integrieren Sie zuerst nach (x) und dann nach (y).

Lösung

Abbildung (PageIndex{6}) zeigt, wie die Berechnung auf zwei verschiedene Arten funktioniert.

  1. Integriere zuerst bezüglich (y) und dann integriere bezüglich (x):

[egin{align*} iint_R f(x,y) ,dA &= int_{x=0}^{x=2} int_{y=0}^{y=3} (3x^ 2 - y) ,dy , dx [4pt]
&=int_{x=0}^{x=2}left( int_{y=0}^{y=3} (3x^2 - y) ,dy ight) , dx = int_ {x=0}^{x=2}left[3x^2y - frac{y^2}{2}igg|_{y=0}^{y=3} ight] ,dx [4pt]
&=int_{x=0}^{x=2}left(9x^2 - frac{9}{2} ight), dx = 3x^3 - frac{9}{2}x igg|_{x=0}^{x=2} = 15.end{align*}]

  1. Integrieren Sie zuerst bzgl. (x) und dann bzgl. (y):
    [egin{align*} iint_R f(x,y) ,dA &= int_{y=0}^{y=3} int_{x=0}^{x=2} (3x^ 2 - y) ,dx , dy [4pt]
    &= int_{y=0}^{y=3}left( int_{x=0}^{x=2} (3x^2 - y) ,dx ight) , dy [ 4pt]
    &= int_{y=0}^{y=3}left[x^3 - xyigg|_{x=0}^{x=2} ight]dy[4pt]
    &=int_{y=0}^{y=3}(8 - 2y) , dy = 8y - y^2 igg|_{y=0}^{y=3} = 15.end{ ausrichten*}]

Analyse

Bei beiden Integrationsreihenfolgen liefert uns das Doppelintegral eine Antwort von (15). Vielleicht möchten wir diese Antwort als Volumen in Kubikeinheiten des Festkörpers (S) unter der Funktion (f(x,y) = 3x^2 - y) über der Region (R = [0, 2] mal [0,3]). Beachten Sie jedoch, dass die Interpretation eines Doppelintegrals als (vorzeichenloses) Volumen nur funktioniert, wenn der Integrand (f) eine nichtnegative Funktion über der Basisregion (R) ist.

Übung (PageIndex{3})

Bewerten

[int_{y=-3}^{y=2} int_{x=3}^{x=5} (2 - 3x^2 + y^2) ,dx , dy. keine Nummer]

Hinweis

Verwenden Sie den Satz von Fubini.

Antworten

(-frac{1340}{3})

Im nächsten Beispiel sehen wir, dass es tatsächlich von Vorteil sein kann, die Integrationsreihenfolge zu ändern, um die Berechnung zu vereinfachen. Wir werden in diesem Kapitel mehrmals auf diese Idee zurückkommen.

Beispiel (PageIndex{7}): Umschalten der Integrationsreihenfolge

Betrachten Sie das Doppelintegral (displaystyle iint_R x , sin (xy) , dA) über den Bereich (R = ig{(x,y) ,|, 0 leq x leq pi, , 1 leq y leq 2 ig}) (Abbildung (PageIndex{7})).

  1. Drücken Sie das Doppelintegral auf zwei verschiedene Arten aus.
  2. Analysieren Sie, ob die Auswertung des Doppelintegrals auf eine Weise einfacher ist als auf die andere und warum.
  3. Werten Sie das Integral aus.
  1. Wir können (iint_R x, sin(xy),dA) auf die folgenden zwei Arten ausdrücken: zuerst durch Integrieren bezüglich (y) und dann bezüglich (x); zweitens durch Integrieren bezüglich (x) und dann bezüglich (y).
    [iint_R x, sin (xy) ,dA= int_{x=0}^{x=pi} int_{y=1}^{y=2} x, sin (xy ) ,dy , dx onumber]
    Integriere zuerst bezüglich (y).
    [= int_{y=1}^{y=2} int_{x=0}^{x=pi} x , sin (xy) ,dx , dy onumber]
    Integriere zuerst bezüglich (x).
  2. Wenn wir uns integrieren wollen in Bezug auf ja zuerst und dann in Bezug auf (x) integrieren, sehen wir, dass wir die Substitution (u = xy) verwenden können, die (du = x, dy) ergibt. Daher ist das innere Integral einfach (intsin u, du) und wir können die Grenzen in Funktionen von (x) umwandeln,

[iint_R x,sin(xy),dA = int_{x=0}^{x=pi} int_{y=1}^{y=2} x,sin (xy ) , dy , dx = int_{x=0}^{x=pi} left[int_{u=x}^{u=2x} sin(u) ,du ight] , dx. onumber]

Die Integration nach (x) und dann die Integration nach (y) erfordert jedoch eine partielle Integration für das innere Integral mit (u = x) und (dv = sin(xy) dx)

Dann ist (du = dx) und (v = - frac{cos(xy)}{y}), also

[iint_R x sin(xy) ,dA = int_{y=1}^{y=2} int_{x=0}^{x=pi} x sin(xy) ,dx , dy = int_{y=1}^{y=2} left[ - frac{x, cos(xy)}{y} igg|_{x=0}^{x= pi} + frac{1}{y} int_{x=0}^{x=pi} cos(xy),dx ight] , dy. onumber]

Da die Auswertung kompliziert wird, werden wir nur die einfachere Berechnung durchführen, die eindeutig die erste Methode ist.

  1. Bewerten Sie das Doppelintegral auf die einfachere Weise.

[egin{align*}iint_R x , sin (xy) ,dA &= int_{x=0}^{x=pi} int_{y=1}^{y=2} x , sin(xy) ,dy , dx [4pt]
&= int_{x=0}^{x=pi} left[int_{u=x}^{u=2x} sin(u),du ight] , dx = int_{ x=0}^{x=pi} left[ -cos u igg|_{u=x}^{u=2x} ight] , dx [4pt]
&= int_{x=0}^{x=pi} (-cos 2x + cos x) ,dx [4pt]
&= left(-frac{1}{2} sin 2x + sin x ight)igg|_{x=0}^{x=pi} = 0. end{align*} ]

Übung (PageIndex{4})

Berechne das Integral (displaystyle iint_R xe^{xy},dA) mit (R = [0,1] imes [0, ln 5]).

Hinweis

Integrieren Sie zuerst in Bezug auf (y).

Antworten

(frac{4 - ln 5}{ln 5})

Anwendungen von Doppelintegralen

Doppelintegrale sind sehr nützlich, um die Fläche eines durch Funktionskurven begrenzten Bereichs zu ermitteln. Diese Situation beschreiben wir im nächsten Abschnitt genauer. Wenn die Region jedoch eine rechteckige Form hat, können wir ihre Fläche finden, indem wir die konstante Funktion (f(x,y) = 1) über die Region (R) integrieren.

Definition: Gebiet der Region

Die Fläche der Region (R) ist gegeben durch [A(R) = iint_R 1 , dA.]

Diese Definition ist sinnvoll, weil die Verwendung von (f(x,y) = 1) und die Auswertung des Integrals es zu einem Produkt aus Länge und Breite machen. Lassen Sie uns diese Formel anhand eines Beispiels überprüfen und sehen, wie dies funktioniert.

Beispiel (PageIndex{8}): Flächensuche mit einem Doppelintegral

Bestimme die Fläche der Region (R = ig{,(x,y),|,0 leq x leq 3, , 0 leq y leq 2ig}) nach unter Verwendung eines Doppelintegrals, d. h. durch Integrieren von (1) über den Bereich (R).

Lösung

Die Region ist rechteckig mit Länge (3) und Breite (2), also wissen wir, dass die Fläche (6) ist. Die gleiche Antwort erhalten wir, wenn wir ein Doppelintegral verwenden:

[A(R) = int_0^2 int_0^3 1 , dx , dy = int_0^2 left[xig|_0^3 ight] , dy = int_0^2 3 dy = 3 int_0^2 dy = 3yigg|_0^2 = 3(2) = 6 , ext{units}^2. onumber]

Wir haben bereits gesehen, wie man mit Doppelintegralen das Volumen eines oben durch eine Funktion (f(x,y) geq 0) begrenzten Festkörpers über einen Bereich (R) bestimmen kann, vorausgesetzt (f(x, y) geq 0) für alle ((x,y)) in (R). Hier ist ein weiteres Beispiel, um dieses Konzept zu veranschaulichen.

Beispiel (PageIndex{9}): Volumen eines elliptischen Paraboloids

Bestimme das Volumen (V) des Festkörpers (S), das von dem elliptischen Paraboloid (2x^2 + y^2 + z = 27), den Ebenen (x = 3) und (y = 3) und die drei Koordinatenebenen.

Lösung

Beachten Sie zunächst den Graphen der Fläche (z = 27 - 2x^2 - y^2) in Abbildung (PageIndex{8})(a) und über dem quadratischen Bereich (R_1 = [-3,3 ] mal [-3,3]). Wir benötigen jedoch das Volumen des Festkörpers begrenzt durch das elliptische Paraboloid (2x^2 + y^2 + z = 27), die Ebenen (x = 3) und (y = 3) und die drei Koordinatenebenen.

Betrachten wir nun den Graphen der Oberfläche in Abbildung (PageIndex{8})(b). Das Volumen (V) bestimmen wir durch Auswertung des Doppelintegrals über (R_2):

[egin{align*} V &= iint_R z ,dA = iint_R (27 - 2x^2 - y^2) ,dA [4pt]
&= int_{y=0}^{y=3} int_{x=0}^{x=3} (27 - 2x^2 - y^2) ,dx , dy & & ext{ In Literalintegral umwandeln.} [4pt]
&= int_{y=0}^{y=3} [27x - frac{2}{3} x^3 - y^2x] igg|_{x=0}^{x=3} ,dy & & ext{Integrieren in Bezug auf $x$.} [4pt]
&=int_{y=0}^{y=3} (63 - 3y^2) dy = 63 y - y^3igg|_{y=0}^{y=3} = 162. end {ausrichten*}]

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie das Volumen des Festkörpers, das oben durch den Graphen von (f(x,y) = xy sin(x^2y)) und unten durch die (xy)-Ebene auf dem rechteckigen Bereich (R = .) [0,1] mal [0,pi]).

Hinweis

Stellen Sie die Funktion grafisch dar, stellen Sie das Integral auf und verwenden Sie ein iteriertes Integral.

Antworten

(frac{pi}{2})

Denken Sie daran, dass wir den Mittelwert einer Funktion einer Variablen auf einem Intervall ([a,b]) definiert haben als

[f_{ave} = frac{1}{b - a} int_a^b f(x), dx.]

Auf ähnliche Weise können wir den Durchschnittswert einer Funktion zweier Variablen über eine Region definieren define (R). Der Hauptunterschied besteht darin, dass wir durch eine Fläche statt durch die Breite eines Intervalls dividieren.

Definition: DURCHSCHNITTSWERT EINER FUNKTION

Das Mittelwert einer Funktion von zwei Variablen über einer Region (R) ist

[F_{ave} = frac{1}{ ext{Fläche von}, R} iint_R f(x,y), dx , dy.]

Im nächsten Beispiel finden wir den Mittelwert einer Funktion über einen rechteckigen Bereich. Dies ist ein gutes Beispiel, um nützliche Informationen für eine Integration zu erhalten, indem man einzelne Messungen über einem Gitter durchführt, anstatt zu versuchen, einen algebraischen Ausdruck für eine Funktion zu finden.

Beispiel (PageIndex{10}): Berechnung des durchschnittlichen Sturmniederschlags

Die Wetterkarte in Abbildung (PageIndex{9}) zeigt ein ungewöhnlich feuchtes Sturmsystem im Zusammenhang mit den Überresten des Hurrikans Karl, der im September in einigen Teilen des Mittleren Westens 100–200 mm Regen abließ 22-23, 2010. Das Niederschlagsgebiet maß 300 Meilen von Ost nach West und 250 Meilen von Nord nach Süd. Schätzen Sie den durchschnittlichen Niederschlag über das gesamte Gebiet in diesen zwei Tagen.

Lösung

Platzieren Sie den Ursprung an der südwestlichen Ecke der Karte, sodass alle Werte als im ersten Quadranten liegend betrachtet werden können und somit alle positiv sind. Unterteilen Sie nun die gesamte Karte in sechs Rechtecke ((m = 2) und (n = 3)), wie in Abbildung (PageIndex{9}) gezeigt. Angenommen (f(x,y)) bezeichnet den Sturmniederschlag in Zoll an einem Punkt ungefähr (x) Meilen östlich des Ursprungs und (y) Meilen nördlich des Ursprungs. Sei (R) die gesamte Fläche von (250 imes 300 = 75000) Quadratmeilen. Dann ist die Fläche jedes Unterrechtecks

[Delta A = frac{1}{6} (75000) = 12500. onumber]

Angenommen ((x_{ij}*,y_{ij}*)) sind ungefähr die Mittelpunkte jedes Unterrechtecks ​​(R_{ij}). Beachten Sie die farbcodierten Bereiche an jedem dieser Punkte und schätzen Sie den Niederschlag. Der Niederschlag an jedem dieser Punkte kann wie folgt geschätzt werden:

  • Bei ((x_{11}, y_{11})) beträgt der Niederschlag 0,08.
  • Bei ((x_{12}, y_{12})) beträgt der Niederschlag 0,08.
  • Bei ((x_{13}, y_{13})) beträgt der Niederschlag 0,01.
  • Bei ((x_{21}, y_{21})) beträgt der Niederschlag 1,70.
  • Bei ((x_{22}, y_{22})) beträgt der Niederschlag 1,74.
  • Bei ((x_{23}, y_{23})) beträgt der Niederschlag 3,00.

Nach unserer Definition betrug der durchschnittliche Sturmniederschlag im gesamten Gebiet während dieser zwei Tage

[egin{align*} f_{ave} = frac{1}{Fläche , R} iint_R &= f(x,y) ,dx, dy = frac{1}{75000} iint_R f(x,y) ,dx ,dy [4pt]
&approx frac{1}{75000} sum_{i=1}^3 sum_{j=1}^2 f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) Delta A [4pt]
&= frac{1}{75000} [f(x_{11}^*, y_{11}^*) Updelta A + f(x_{12}^*, y_{12}^*) Updelta A + f(x_{13}^*, y_{13}^*) Updelta A + f(x_{21}^*, y_{21}^*) Updelta A + f(x_{22}^*, y_{22}^*) Updelta A + f(x_{23}^*, y_{23}^*) Updelta A] [4pt]
&approx frac{1}{75000}[0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00]Delta A[4pt]
&= frac{1}{75000}[0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3.00]12500 [4pt]
&= frac{1}{6}[0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3.00] [4pt] &approx 1,10 ; ext{in}. end{ausrichten*}]

Vom 22. bis 23. September 2010 hatte dieses Gebiet einen durchschnittlichen Sturmniederschlag von etwa 1,10 Zoll.

Übung (PageIndex{6})

Eine Konturkarte wird für eine Funktion (f(x,y)) auf dem Rechteck (R = [-3,6] imes [-1, 4]) gezeigt.

ein. Verwenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = 3) und (n = 2), um den Wert von (displaystyle iint_R f(x,y) ,dA.) zu schätzen.

b. Schätzen Sie den Mittelwert der Funktion (f(x,y)).

Hinweis

Teilen Sie die Region in sechs Rechtecke und verwenden Sie die Höhenlinien, um die Werte für (f(x,y)) zu schätzen.

Antworten

Antworten auf beide Teile a. und B. variieren.

Schlüssel Konzepte

  • Wir können eine doppelte Riemann-Summe verwenden, um das Volumen eines nach oben begrenzten Festkörpers durch eine Funktion zweier Variablen über einen rechteckigen Bereich zu approximieren. Unter Verwendung des Grenzwerts wird dies zu einem Doppelintegral, das das Volumen des Festkörpers repräsentiert.
  • Eigenschaften des Doppelintegrals sind nützlich, um die Berechnung zu vereinfachen und Grenzen für ihre Werte zu finden.
  • Wir können den Satz von Fubini verwenden, um ein Doppelintegral als iteriertes Integral zu schreiben und auszuwerten.
  • Doppelintegrale werden verwendet, um die Fläche einer Region, das Volumen unter einer Oberfläche und den Mittelwert einer Funktion zweier Variablen über eine rechteckige Region zu berechnen.

Schlüsselgleichungen

  • [iint_R f(x,y) ,dA = lim_{m,n ightarrowinfty}sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(x_ij*,y_ij*) ,ΔAkeineZahl]
  • [int_a^b int_c^d f(x,y),dx ,dy = int_a^b left[int_c^d f(x,y) ,dy ight] dx onumber]or

    [int_c^d int_a^b f(x,y),dx ,dy = int_c^dleft[ int_a^b f(x,y) ,dx ight] dy onumber]

  • [f_{ave} = frac{1}{ ext{Fläche von}, R} iint_R f(x,y) ,dx , dy onumber]

Glossar

Doppelintegral
der Funktion (f(x,y)) über den Bereich (R) in der (xy)-Ebene ist definiert als Grenzwert einer doppelten Riemann-Summe,
[ iint_R f(x,y) ,dA = lim_{m,n ightarrow infty} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(x_{ij}^* , y_{ij}^*) ,Delta A. onumber]
doppelte Riemann-Summe
der Funktion (f(x,y)) über einem rechteckigen Gebiet (R) ist)
[sum_{i=1}^m sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) ,Delta A, onumber]
wobei (R) in kleinere Teilrechtecke (R_{ij}) unterteilt ist und ((x_{ij}^*, y_{ij}^*)) ein beliebiger Punkt in (R_{ij} ist) )
Satz von Fubini
wenn (f(x,y)) eine über einen rechteckigen Bereich stetige Funktion zweier Variablen ist (R = ig{(x,y)inmathbb{R}^2,| ,a leq x leq b, , c leq y leq dig}), dann ist das Doppelintegral von (f) über die Region gleich einem iterierten Integral,
[displaystyleiint_R f(x,y) , dA = int_a^b int_c^d f(x,y) ,dx , dy = int_c^d int_a^b f(x,y) ,dx , dy onumber]
iterated integral
for a function (f(x,y)) over the region (R) is

ein. (displaystyle int_a^b int_c^d f(x,y) ,dx , dy = int_a^b left[int_c^d f(x,y) , dy ight] , dx,)

b. (displaystyle int_c^d int_a^b f(x,y) , dx , dy = int_c^d left[int_a^b f(x,y) , dx ight] , dy,)

where (a,b,c), and (d) are any real numbers and (R = [a,b] imes [c,d])

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


15.4 Pendulums

Pendulums are in common usage. Grandfather clocks use a pendulum to keep time and a pendulum can be used to measure the acceleration due to gravity. For small displacements, a pendulum is a simple harmonic oscillator.

The Simple Pendulum

A simple pendulum is defined to have a point mass, also known as the pendulum bob , which is suspended from a string of length L with negligible mass (Figure 15.20). Here, the only forces acting on the bob are the force of gravity (i.e., the weight of the bob) and tension from the string. The mass of the string is assumed to be negligible as compared to the mass of the bob.

Consider the torque on the pendulum. The force providing the restoring torque is the component of the weight of the pendulum bob that acts along the arc length. The torque is the length of the string L times the component of the net force that is perpendicular to the radius of the arc. The minus sign indicates the torque acts in the opposite direction of the angular displacement:

Because this equation has the same form as the equation for SHM, the solution is easy to find. The angular frequency is

The period of a simple pendulum depends on its length and the acceleration due to gravity. The period is completely independent of other factors, such as mass and the maximum displacement. As with simple harmonic oscillators, the period T for a pendulum is nearly independent of amplitude, especially if θ θ is less than about 15 ° . 15 ° . Even simple pendulum clocks can be finely adjusted and remain accurate.

Note the dependence of T auf G. If the length of a pendulum is precisely known, it can actually be used to measure the acceleration due to gravity, as in the following example.

Example 15.3

Measuring Acceleration due to Gravity by the Period of a Pendulum

Strategy

Lösung

Significance

An engineer builds two simple pendulums. Both are suspended from small wires secured to the ceiling of a room. Each pendulum hovers 2 cm above the floor. Pendulum 1 has a bob with a mass of 10 kg. Pendulum 2 has a bob with a mass of 100 kg. Describe how the motion of the pendulums will differ if the bobs are both displaced by 12 ° 12 ° .

Physical Pendulum

Any object can oscillate like a pendulum. Consider a coffee mug hanging on a hook in the pantry. If the mug gets knocked, it oscillates back and forth like a pendulum until the oscillations die out. We have described a simple pendulum as a point mass and a string. A physical pendulum is any object whose oscillations are similar to those of the simple pendulum, but cannot be modeled as a point mass on a string, and the mass distribution must be included into the equation of motion.

As for the simple pendulum, the restoring force of the physical pendulum is the force of gravity. With the simple pendulum, the force of gravity acts on the center of the pendulum bob. In the case of the physical pendulum, the force of gravity acts on the center of mass (CM) of an object. The object oscillates about a point O. Consider an object of a generic shape as shown in Figure 15.21.

Using the small angle approximation and rearranging:

Once again, the equation says that the second time derivative of the position (in this case, the angle) equals minus a constant ( − m g L I ) ( − m g L I ) times the position. The solution is


Introduction

Functions with values in a (nonlinear) subset of a vector space appear in several applications of imaging and in inverse problems, e.g.,

Interferometric Synthetic Aperture Radar (InSAR) is a technique used in remote sensing and geodesy to generate, for example, digital elevation maps of the earth’s surface. InSAR images represent phase differences of waves between two or more SAR images, cf. [44, 53]. Therefore, InSAR data are functions (f:Omega ightarrow >^1subseteq >^2) . The pointwise function values are on the (>^1) , which is considered embedded into (>^2) .

EIN color image can be represented as a function in HSV space (hue, saturation, value) (see, e.g., [48]). Color images are then described as functions (f:Omega ightarrow K subseteq >^3) . Here (Omega ) is a plane in (>^2) , the image domain, and K (representing the HSV space) is a cone in three-dimensional space (>^3) .

Estimation of the foliage angle distribution has been considered, for instance, in [39, 51]. Therefore, the imaging function is from (Omega subset >^2) , a part of the Earth’s surface, into (mathbb ^2 subseteq >^3) , representing foliage angle orientation.

Estimation of functions with values in (SO(3) subseteq >^<3 imes 3>) . Such problems appear in Cryo-Electron Microscopy (see, for instance, [38, 58, 61]).

We emphasize that we are analyzing Vektor-, matrix-, tensor- valued functions, where pointwise function evaluations belong to some given (sub)set, but are always elements of the underlying vector space. This should not be confused with set-valued functions, where every function evaluation can be a set.

Inverse problems and imaging tasks, such as the ones mentioned above, might be unstable, or even worse, the solution could be ambiguous. Therefore, numerical algorithms for imaging need to be regularizing to obtain approximations of the desired solution in a stable manner. Consider the operator equation

where we assume that only (noisy) measurement data (v^delta ) of (v^0) become available. In this paper the method of choice is variational regularization which consists in calculating a minimizer of the variational regularization functional

w is an element of the set of admissible functions.

is an operator modeling the image formation process (except the noise).

(mathcal ) heißt die data oder fidelity term, which is used to compare a pair of data in the image domain, that is to quantify the difference of the two data sets.

(mathcal ) is called regularization functional, which is used to impose certain properties onto a minimizer of the regularization functional (mathcal ) .

(alpha > 0) is called regularization parameter and provides a trade off between stability and approximation properties of the minimizer of the regularization functional (mathcal ) .

(v^delta ) denotes measurement data, which we consider noisy.

(v^0) denotes the exact data, which we assume to be not necessarily available.

The main objective of this paper is to introduce a general class of regularization functionals for functions with values in a set of vectors. In order to motivate our proposed class of regularization functionals, we review a class of regularization functionals appropriate for analyzing intensity data.

Variational Regularization for Reconstruction of Intensity Data

Opposite to what we consider in the present paper, most commonly, imaging data v and admissible functions w, respectively, are considered to be representable as intensity functions. That is, they are functions from some subset (Omega ) of an Euclidean space with real values.

In such a situation, the most widely used regularization functionals use regularization terms consisting of powers of Sobolev (see [12, 15, 16]) or total variation semi-norms [54]. It is common to speak about Tikhonov regularization (see, for instance, [59]) when the data term and the regularization functional are squared Hilbert space norms, respectively. For the Rudin, Osher, Fatemi (ROF) regularization [54], also known as total variation regularization, the data term is the squared (L^2) -norm and (mathcal (w) = |w|_) is the total variation semi-norm. Nonlocal regularization operators based on the generalized nonlocal gradient are used in [35].

Other widely used regularization functionals are sparsity promoting [22, 41], Besov space norms [42, 46] and anisotropic regularization norms [47, 56]. Aside from various regularization terms, there also have been proposed different fidelity terms other than quadratic norm fidelities, like the p-th powers of (ell ^p) and (L^p) -norms of the differences of F(w) and v , [55, 57], maximum entropy [26, 28] and Kullback–Leibler divergence [52] (see [50] for some reference work).

Our work utilizes results from the seminal paper of Bourgain, Brézis and Mironescu [14], which provides an equivalent derivative-free characterization of Sobolev spaces and the space , the space of functions of bounded total variation, which consequently, in this context, was analyzed in Dávila and Ponce [23, 49], respectively. It is shown in [14, Theorems 2 and 3’] and [23, Theorem 1] that when (( ho _varepsilon )_) is a suitable sequence of nonnegative, radially symmetric, radially decreasing mollifiers, then

Hence, ( ilde<>>_varepsilon ) approximates powers of Sobolev semi-norms and the total variation semi-norm, respectively. Variational imaging, consisting in minimization of (mathcal ) from Eq. 1.2 with (>) replaced by ( ilde<>>_varepsilon ) , has been considered in [3, 11].

Regularization of Functions with Values in a Set of Vectors

In this paper we generalize the derivative-free characterization of Sobolev spaces and functions of bounded variation to functions (u:Omega ightarrow K) , where K is some set of vectors, and use these functionals for variational regularization. The applications we have in mind contain that K is a closed subset of (>^M) (for instance, HSV data) with nonzero measure, or that K is a submanifold (for instance, InSAR data).

The reconstruction of manifold-valued data with variational regularization methods has already been subject to intensive research (see, for instance, [4, 17,18,19, 40, 62]). The variational approaches mentioned above use regularization and fidelity functionals based on Sobolev and TV semi-norms: a total variation regularizer for cyclic data on (>^1) was introduced in [18, 19], see also [7, 9, 10]. In [4, 6] combined first- and second-order differences and derivatives were used for regularization to restore manifold-valued data. The later mentioned papers, however, are formulated in a finite-dimensional setting, opposed to ours, which is considered in an infinite-dimensional setting. Algorithms for total variation minimization problems, including half-quadratic minimization and nonlocal patch-based methods, are given, for example, in [4, 5, 8] as well as in [37, 43]. On the theoretical side the total variation of functions with values in a manifold was investigated by Giaquinta and Mucci using the theory of Cartesian currents in [33, 34], and earlier [32] if the manifold is (>^1) .

Content and Particular Achievements of the Paper

The contribution of this paper is to introduce and analytically analyze double integral regularization functionals for reconstructing functions with values in a set of vectors, generalizing functionals of the form Eq. 1.3. Moreover, we develop and analyze fidelity terms for comparing manifold-valued data. Summing these two terms provides a new class of regularization functionals of the form Eq. 1.2 for reconstructing manifold-valued data.

When analyzing our functionals, we encounter several differences to existing regularization theory (compare Sect. 2):

Das admissible functions, where we minimize the regularization functional on, do form only a set aber nicht ein linear space. As a consequence, well-posedness of the variational method (that is, existence of a minimizer of the energy functional) cannot directly be proven by applying standard direct methods in the Calculus of Variations [20, 21].

The regularization functionals are defined via metrics and not norms, see Sect. 3.

In general, the fidelity terms are non-convex. Stability and convergence results are proven in Sect. 4.

The model is validated in Sect. 6 where we present numerical results for denoising and inpainting of data of InSAR type.


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Display Driver Uninstaller Download version 18.0.4.1

Download Display Driver Uninstaller DDU - Display Driver Uninstaller is a driver removal utility that can help you completely uninstall AMD/NVIDIA graphics card drivers and packages from your system, without leaving leftovers behind (including registry keys, folders and files, driver store).

The AMD/NVIDIA video drivers can normally be uninstalled from the Windows Control panel, this driver uninstaller program was designed to be used in cases where the standard driver uninstall fails, or anyway when you need to thoroughly delete NVIDIA and ATI video card drivers. The current effect after you use this driver removal tool will be similar as if its the first time you install a new driver just like a fresh, clean install of Windows. As with any tool of this kind, we recommend creating a new system restore point before using it, so that you can revert your system at any time if you run into problems.

If you have a problem installing an older driver or newer one, give it a try as there are some reports that it fix those problems. DDU is an application that is programmed by Ghislain Harvey aka Wagnard in our forums, Guru3D.com is the official download partner for this handy application.

Recommended usage

  • The tool can be used in Normal mode but for absolute stability when using DDU, Safemode is always the best.
  • Make a backup or a system restore (but it should normally be pretty safe).
  • It is best to exclude the DDU folder completely from any security software to avoid issues.

Keep note that NVIDIA/AMD did not have anything to do with this, I do not work at or for NVIDIA/AMD and they should not be held responsible for anything that may go wrong with this application.


As I always use Intel C/C++ and trying to check, I found a lot of tests with only (50..80) bits of precision, that was using /fp:fast2, and /fp:fast is almost the same.
Testing with /fp:strict the results are very similar to MS-C.
A test with /fp:precise returns more bits of accuracy that MS-C, with the only exception of fma() which had 86 versus 93 with MS-C.

Debugging the code line by line shows that both the 'unsigned long long' and the 'long long' constructors rely on undefined behaviour when converting extremely large values, namely conversion of a value outside the '(unsigned) long long' range to '(unsigned) long long'. In the case of 'long long', this conversion is benign. In the case of 'unsigned long long', the conversion gives an error.

Replacing the constructors for '(unsigned) long long' with the following code will work for all values, assuming that:

1. The processor uses twos-complement arithmetic
2. The '(unsigned) long long' type has no more than twice the number of bits in a 'double'

The code separates an '(unsigned) long long' type into two parts that may be represented exactly within a 'double'. It then adds the two 'double's to give a normalized result. It has been tested with values LLONG_MIN, LLONG_MAX, and ULLONG_MAX, and gives the correct results for all three operands.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

My fix (in C# where a ulong is an unsigned long long in C++) is as follows:

This may be a kludge as perhaps normalizing can be done to speed things up a bit but I'm out of my depth there. Same is true for signed long long.
Thinking about it I suspect that the original designers of QD (Bailey, et al) intentionally created the code this way - there is simply a recognised loss of precision. But my thoughts are that since double-doubles accommodate 31 digits precision then they should accommodate long longs accurately.

Apologies for the delay I was away from my computer.

I am testing solutions for all the problems that you raised, and will have a new version (1.1.3) of the package on the website later tonight Israel time (UTC+2).

The problem with unsigned long long is mine alone Bailey et al. did not have a constructor for (unsigned) long long types. Somehow, the subtraction operation got reversed:

For |h| < 2^53, x_[1] == 0, so the order of subtraction is unimportant. I did not test my code for very large numbers, and so missed the bug.

My thanks again for bringing these bugs to my attention.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

I'm sorry my test code had an error, making me think that there was a problem. I erased my message, but it had apparently already been sent to you.

Apologies for the false alarm.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

I executed the following code (results in comments):

I've fixed the code (in C# as I'm transcoding the C++) as follows but it's not completely tested (NB. the method is a member of struct DDReal):

I can confirm the error. It is due to the fact that 9.9. 92 is converted to <10.0, > while 9.9. 91 is converted to <9.9. >.

A workaround is to use the trunc() function and cast the result to int. I will see if I can create a better fix if not, the toInt() method will be updated to call the trunc() function.

Note that similar issues exist in the toLong() und der toLongLong() methods.

My thanks for discovering this.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

No, this is not an error. The double-double type represents numbers as a sum of two doubles a+b, where b < 0.5×eps×a. There is no lower bound on b, so any number of the form 1+2^n can be represented. For example, 1+2^-300 is representative as a double-double (a=1, b=2^-300), but is not representable as a binary128.

The double-double type provides at least 106 bits of precision, so epsilon in numeric_limits is set to this value.

This "wobbling precision" is one of the differences between true ieee arithmetic and the double-double type.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

dd_real a = "123456789012345678901234567890"
a *= 1e-35
std::string s = a.to_string()
std::cout << s << " "

No, my mistake - there's no error. It seems that the double 1e-35 can,t be being represented exactly in binary (correct?) hence it's invisible trailing digits are propogated.

Doing:
dd_real a = "123456789012345678901234567890"
dd_real b = "1e-35"
a *= b
yields the correct answer.

You are correct in that 1e-35 cannot be represented exactly in binary. Your second solution (setting b = "1e-35") gave a more accurate representation - 106 bits, rather than 53 - but still did not give an infinitely accurate value.

It is this sort of problem that makes floating-point arithmetic such a joy and a challenge.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

  1. AFAIK, It's supported only on Intel processors
  2. Even on those processors, it's supported only by the old-style 80x87 instructions, not the SSE instructions

This uniformity does not exist for 'long double'. The Intel processors have limited support in hardware for an 80-bit extended type, PowerPC processors typically implement 'long double' in software as a double-double type, while some SPARC processors implement it in software as a 128-bit quadruple-precision type. These processors could use 'long double' as an alternative to 'double-double', but you then run into the same problems we had pre-IEEE 754: running the same program on different processors does not necessarily give the same result!

Until IEEE 754 binary128 is natively supported on all processors, I submit that with all its faults, 'double-double' is the best choice for portability and high accuracy.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

In your case, a == -1.32, b == 2.0, which leads to int_b == 2.0, frac_b == 0.0.

The problem is that if a < 0.0, log( a ) cannot be calculated. However, if frac_b == 0.0, this whole line should be skipped.

The code may be fixed by replacing the above with

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

Thanks for the quick reply.

Also I noticed that 0/0 gives inf. It should yield nan.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

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Best paid email clients:

1. Microsoft Outlook

Microsoft&rsquos classic email client

Reasons to buy

Microsoft&rsquos Outlook is the de facto email client for most businesses and enterprises, and has been around for decades, with its origins dating back to MS-DOS. Obviously it has tight integration with other Microsoft services, and that takes email beyond the simple exchange of messages.

Outlook has the advantage of being fully integrated with the Outlook Calendar, making it a snap to share calendars to coordinate meetings. This integration also extends to Outlook Contacts. Outlook is supported for the Windows platform, but also across the mobile platforms of iOS and Android as well.

Microsoft Outlook is available as part of the Microsoft Office suite, which can be purchased as the standalone Office 2016, or the subscription-based Microsoft 365.

2. eM Client

A full-featured alternative email client

Reasons to buy

eM Client has been around for nearly 10 years now, and throughout that long development it's evolved into the best alternative email client for Windows.

It offers a wide array of features, including a calendar, contacts and chat. Support is provided for all the major email services including Gmail, Yahoo, iCloud and Outlook.com. The latest version also offers PGP encryption, live backup, basic image editing capabilities and auto-replies for Gmail.

There is a free tier, but you need the Pro version for commercial use, and that also gives you VIP support and unlimited accounts (the free product is limited to two email accounts). The Pro version has a one-time license fee.

eM Client makes it easy to migrate your messages from Gmail, Exchange, iCloud and Outlook.com &ndash just enter your email address and the client will adjust the appropriate settings for you. eM Client can also import your contacts and calendar, and it's easy to deselect these options if you'd prefer to manage them separately.

There's an integrated chat app too, with support for common platforms including Jabber and Google Chat, and the search function is far superior to those you'll find in webmail interfaces.

3. Mailbird

The email client that bristles with app integrations

Reasons to buy
Reasons to avoid

Mailbird is an email client that promises to &ldquosave time managing multiple accounts,&rdquo and to make your email &ldquoeasy and beautiful&rdquo. It comes in two main versions: Personal and Business.

While beauty may be in the eye of the beholder, as they say, it&rsquos undeniable that Mailbird Business offers many free themes to make email a more enjoyable and customizable experience.

Unlike some more Microsoft-centric email clients, Mailbird Business supports a diverse range of integrated apps, including WhatsApp, Google Docs, Google Calendar, Facebook, Twitter, Dropbox and Slack, all making for a better streamlined workflow. However, one downside to bear in mind here is that there&rsquos no support for filters or rules to organize your inbox.

Mailbird Personal is available for free, with Mailbird Business available as a subscription or a one-time lifetime license.

4. Inky

The anti-phishing email client

Reasons to buy
Reasons to avoid

Inky is an email client that focuses on security, using AI and machine learning algorithms to block all manner of phishing attacks which might otherwise get through.

This client uses an &lsquoInky Phish Fence&rsquo that scans both internal and external emails to flag phishing attempts. The proprietary machine learning technology can literally read an email to determine if it has phishing content, and then is able to quarantine the email, or deliver it with the malicious links disabled. It also takes things a step further and offers an analytics dashboard, which allows an administrator to see patterns of attacks based on dates, or targeted users.

The Inky email client does offer a free trial, but sadly, pricing details aren&rsquot made available on the Inky website. However, the site does note that pricing is per mailbox per month on a subscription, with volume discounts available.

5. Hiri

Packed with time-saving tools that'll improve email habits

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Hiri is a paid-for premium email client that is designed primarily with business users in mind (it currently only supports Microsoft email services including Hotmail, Outlook and Exchange), but home users will also appreciate its productivity-boosting features.

If you find yourself spending too long managing, reading and replying to emails, Hiri is the email client for you. It includes a smart dashboard that lets you see how many unread messages you have at a glance and how long you should wait before checking them (after all, how many really need an instant reply?)

The Compose window is designed to save you time too, offering only the essential options (no fancy formatting) and including the subject line at the bottom so you don't have to write it until you know how to summarize the message.

These little touches make Hiri a truly exceptional client. If Microsoft is your email provider of choice, it should be well up your list. Hiri is available to buy annually or via a lifetime license for one-time fee. Both options offer a 7-day free trial.


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