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3.1: Was sind dynamische Systeme? - Mathematik

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Die dynamische Systemtheorie ist die Grundlage fast jeder Art von regelbasierten Modellen komplexer Systeme. Es berücksichtigt, dass sich Showsysteme im Laufe der Zeit ändern, nicht nur statische Eigenschaften von Beobachtungen. Ein dynamisches System kann informell wie folgt definiert werden1:

Definition: Dynamisches System

EIN dynamisches System ist ein System, dessen Zustand durch eine Menge von Variablen eindeutig spezifiziert ist und dessen Verhalten durch vordefinierte Regeln beschrieben wird.

Beispiele für dynamische Systeme sind das Bevölkerungswachstum, ein schwingendes Pendel, die Bewegungen von Himmelskörpern und das Verhalten „rationaler“ Individuen, die ein Verhandlungsspiel spielen, um nur einige zu nennen. Die ersten drei Beispiele klingen legitim, da es sich um Systeme handelt, die typischerweise in Physiklehrbüchern vorkommen. Aber was ist mit dem letzten Beispiel? Könnte menschliches Verhalten als deterministisches dynamisches System modelliert werden? Die Antwort hängt davon ab, wie Sie das Modell unter Verwendung relevanter Annahmen formulieren. Wenn Sie davon ausgehen, dass Individuen Entscheidungen immer vollkommen rational treffen, dann wird der Entscheidungsprozess deterministisch, und daher können die Interaktionen zwischen ihnen als deterministisches dynamisches System modelliert werden. Dies garantiert natürlich nicht, ob es sich um ein gutes Modell handelt oder nicht; die Annahme muss anhand der im vorigen Kapitel diskutierten Kriterien kritisch bewertet werden.

Jedenfalls können dynamische Systeme entweder über diskrete Zeitschritte oder eine kontinuierliche Zeitlinie beschrieben werden. Ihre allgemeinen mathematischen Formulierungen sind wie folgt:

Definition: Zeitdiskretes dynamisches System

[x_t = F(x_{t−1},t) label{3.1}]

Diese Art von Modell wird als Differenzengleichung bezeichnet, a Wiederholungsgleichung, oder ein iterative Karte (wenn auf der rechten Seite kein (t) steht).

Definition: Zeitkontinuierliches dynamisches System

[dfrac{dx}{dt}= F(x,t) label{3.2}]

Diese Art von Modell wird als Differentialgleichung bezeichnet.

In beiden Fällen ist (x_t) oder (x) die Zustandsvariable des Systems zum Zeitpunkt (t), die einen Skalar- oder Vektorwert annehmen kann. (F) ist eine Funktion, die die Regeln bestimmt, nach denen das System seinen Zustand im Laufe der Zeit ändert. Die oben angegebenen Formeln sind Versionen erster Ordnung dynamischer Systeme (dh die Gleichungen beinhalten nicht (x_{t−2}), (x_{t−3}), ... oder ( d^2x/dt^2), (d^3x/dt^3), ...). Aber diese Formen erster Ordnung sind allgemein genug, um alle Arten von Dynamiken abzudecken, die in dynamischen Systemen möglich sind, wie wir später besprechen werden.

Übung (PageIndex{1})

Kennen Sie Modelle in den Natur- oder Sozialwissenschaften, die wie oben gezeigt entweder als zeitdiskrete oder zeitkontinuierliche dynamische Systeme formuliert sind? Wenn ja, was sind sie? Welche Annahmen stehen hinter diesen Modellen?

Übung (PageIndex{2})

Was sind einige geeignete Auswahlmöglichkeiten für Zustandsvariablen in den folgenden Systemen?

  • Bevölkerungswachstum
  • schwingendes Pendel
  • Bewegungen von Himmelskörpern
  • Verhalten „rationaler“ Individuen, die ein Verhandlungsspiel spielen

1Eine traditionelle Definition dynamischer Systeme berücksichtigt nur deterministische Systeme, aber auch stochastische (d. h. probabilistische) Verhaltensweisen können in einem dynamischen System modelliert werden, indem beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Systemzustände als Meta-Level-Zustand dargestellt wird.


Theorie dynamischer Systeme

Theorie dynamischer Systeme ist ein Gebiet der Mathematik, das verwendet wird, um das Verhalten komplexer dynamischer Systeme zu beschreiben, normalerweise durch den Einsatz von Differentialgleichungen oder Differenzengleichungen. Wenn Differentialgleichungen verwendet werden, heißt die Theorie kontinuierliche dynamische Systeme. Wenn Differenzengleichungen verwendet werden, heißt die Theorie diskrete dynamische Systeme. Wenn die Zeitvariable über eine Menge läuft, die über einige Intervalle diskret und über andere Intervalle kontinuierlich ist oder eine beliebige Zeitmenge wie eine Cantor-Menge ist, erhält man dynamische Gleichungen auf Zeitskalen. Einige Situationen können auch durch gemischte Operatoren modelliert werden, wie beispielsweise Differenzial-Differenz-Gleichungen.

Diese Theorie befasst sich mit dem langfristigen qualitativen Verhalten dynamischer Systeme und untersucht die Lösungen der Bewegungsgleichungen von Systemen, die primär mechanischer Natur sind, obwohl dies sowohl Planetenbahnen als auch das Verhalten elektronischer Schaltungen und die Lösungen von partiellen Differentialgleichungen, die in der Biologie auftauchen. Ein Großteil der modernen Forschung konzentriert sich auf das Studium chaotischer Systeme.

Dieses Studienfach wird auch nur genannt Dynamische Systeme, Mathematische dynamische Systemtheorie und Mathematische Theorie dynamischer Systeme.


Inhalt

Die Theorie dynamischer Systeme und die Chaostheorie befassen sich mit dem langfristigen qualitativen Verhalten dynamischer Systeme. Hier geht es nicht darum, präzise Lösungen für die Gleichungen zu finden, die das dynamische System definieren (was oft aussichtslos ist), sondern um die Beantwortung von Fragen wie "Wird sich das System langfristig in einen stationären Zustand einpendeln und wenn ja, was? sind die möglichen stationären Zustände?" oder "Hängt das Langzeitverhalten des Systems von seinem Anfangszustand ab?"

Ein wichtiges Ziel ist es, die Fixpunkte oder stationären Zustände eines gegebenen dynamischen Systems zu beschreiben. Dies sind Werte der Variablen, die sich im Laufe der Zeit nicht ändern. Einige dieser Fixpunkte sind attraktiv, was bedeutet, dass das System, wenn es in einem nahegelegenen Zustand startet, zum Fixpunkt konvergiert.

Ebenso interessiert man sich für periodische Punkte, Zustände des Systems, die sich nach mehreren Zeitschritten wiederholen. Auch periodische Punkte können attraktiv sein. Der Satz von Sarkovskii ist eine interessante Aussage über die Anzahl der periodischen Punkte eines eindimensionalen diskreten dynamischen Systems.

Selbst einfache nichtlineare dynamische Systeme zeigen oft ein fast zufälliges, völlig unvorhersehbares Verhalten, das als Chaos. Der Zweig der dynamischen Systeme, der sich mit der sauberen Definition und Untersuchung von Chaos beschäftigt, wird Chaostheorie genannt.


Mathematik Math21b Frühjahr 2001

Dieser Kurs wird vollständig in Abschnitten unterrichtet (von Teaching Fellows [TF]), mit einer zusätzlichen wöchentlichen Problemsitzung (durchgeführt von einem Course Assistant [CA]). Das Schneiden muss bis Donnerstag, 1. Februar, 12.00 Uhr am Computer erfolgen. Sie werden am Freitag, 2. Februar, über Ihren zugewiesenen Abschnitt benachrichtigt. Der Unterricht beginnt am Montag, 5. Februar.

Kursleiter:

Richard Taylor, Büro: SC 539, Tel: 495-5487, E-Mail: [email protected]
Kurs-Website: http://www.courses.harvard.edu/

mathe21b
Hier finden Sie Lösungen für Hausaufgaben, Prüfungsaufgaben und -lösungen sowie Ergänzungen zu den Kursen.

Prüfungen: Es gibt zwei Zwischenprüfungen und eine Abschlussprüfung.

Änderungen der folgenden Prüfungstermine werden hier und in der Klasse bekannt gegeben.

Noten: Noten: Ihre Gesamtnote wird nach folgenden Gewichtungen ermittelt:

Hausaufgabenprobleme sind ein fester Bestandteil dieses Kurses. Es ist unmöglich, den Stoff zu verstehen und die Prüfungen gut zu bestehen, ohne die Hausaufgaben sorgfältig zu bearbeiten. Mathematik ist kein Zuschauersport. Führen Sie nicht einfach Berechnungen durch und schreiben Sie Antworten auf – denken Sie an die gestellten Probleme, Ihre Strategie, die Bedeutung der von Ihnen durchgeführten Berechnungen und die Antworten, die Sie erhalten. Nichts hindert Sie daran, in einem bestimmten Abschnitt noch ein paar weitere Probleme auszuprobieren, wenn Sie das Gefühl haben, dass es Ihnen gut tun könnte.

Wir empfehlen Ihnen, mit anderen Studierenden in der Klasse Lerngruppen zu bilden, damit Sie die Arbeit miteinander diskutieren können. Ihr Kursassistent wird auf Anfrage eine Liste mit Namen und Telefonnummern der Kursteilnehmer verteilen, um dies zu erleichtern. Obwohl wir Sie ermutigen, mit Ihren Mitschülern zu sprechen, müssen die Arbeiten eigenständig verfasst werden.

Viele der Aufgaben für die Hausaufgaben werden anders aussehen als die Probleme, die Sie in der Klasse und im Text besprochen haben. Dies ist kein Unfall. Wir möchten, dass Sie Überlegen über das Material und lernen, es in unbekannten Umgebungen anzuwenden und auf unterschiedliche Weise zu interpretieren. Nur wenn Sie das Material verstehen (anstatt es nur zu kennen), können Sie über die Informationen hinausgehen, die Ihnen gegeben werden.

Viele Mathematikstudenten scheinen die "Zehn-Minuten-Regel" zu abonnieren: Wenn Sie es nicht in zehn Minuten lösen können, können Sie es überhaupt nicht lösen. Natürlich könnte nichts weiter von der Wahrheit entfernt sein. Sie werden wahrscheinlich am meisten von den Problemen lernen, die Sie länger als zehn Minuten beschäftigen, ob Sie sie letztendlich lösen können oder nicht.

Mathe-Fragenzentrum: Neben Unterricht, Problemsitzungen und Sprechzeiten betreibt die Fakultät für Mathematik sonntags, montags, dienstags, mittwochs und donnerstags abends von 20 bis 22 Uhr ein Fragenzentrum in Loker. Das Fragenzentrum wird von Kursassistenten der Mathematik 1a, 1b, 21a und 21b sowie von Doktoranden und anderen besetzt. Sie werden ermutigt, diese Ressource bei Ihren Hausaufgaben und bei auftretenden Fragen zu verwenden. Es soll die Sprechstunde Ihres Sektionsleiters ergänzen.

Einsatz der Technik: Bei einigen Hausaufgaben werden Sie gebeten, keine Technik (Taschenrechner oder Softwarepakete) zu verwenden. Sofern keine Einschränkung erfolgt, können Sie die Technologie Ihrer Wahl verwenden, z.B. TI-85-Rechner, Matlab, Maple, Mathematica. Vielleicht möchten Sie den Zugang zu irgendeiner Form von Technologie arrangieren. Taschenrechner sind in den Prüfungen nicht zugelassen.

Ombudsperson: Wenn im Zusammenhang mit dem Unterricht etwas Wunderbares oder Beunruhigendes auftaucht, lassen Sie es Ihren TF wissen. Sie können sich auch an die Studiengangsleitung wenden. Darüber hinaus gibt es eine Ombudsperson, die Sie per E-Mail erreichen können. Dorthin gesendete Nachrichten werden von einem Mitglied des Fachbereichs Mathematik gelesen, das in diesem Semester nicht in Mathematik unterrichtet und gegebenenfalls Informationen weiterleiten oder bearbeiten kann, ohne deren Quelle preiszugeben.

Lehrplan: Wir werden ungefähr einen Textabschnitt pro Klasse behandeln (MWF-Stundenplan). Ihr Abschnittsleiter wird die in jedem Abschnitt eingeführten Schlüsselkonzepte hervorheben, aber möglicherweise ist nicht genügend Zeit, um alle Themen abzudecken. Sie müssen den Text studieren, um die Details auszufüllen. Das Lesen des Textes ist ein wesentlicher Bestandteil des Kurses. Bei den Prüfungen sind Sie für alle im Text und im Unterricht besprochenen Materialien verantwortlich. Nachfolgend finden Sie den ungefähren täglichen Lehrplan für die MWF-Abschnitte des Kurses. Einige Themen können ausgelassen werden, wenn die Zeit begrenzt ist.

1: Lineare Gleichungssysteme
1.1: Einführung in Linearsysteme
1.2: Matrizen und Gauß-Jordan-Elimination
1.3: Zu den Lösungen linearer Systeme

2: Lineare Transformationen
2.1: Einführung in lineare Transformationen und ihre Umkehrungen
2.2: Lineare Transformationen in der Geometrie
2.3: Die Umkehrung einer linearen Transformation
2.4: Zusammensetzungen linearer Transformationsmatrixprodukte

3: Unterräume von R n und ihre Dimension
3.1: Bild und Kern einer linearen Transformation
3.2: Unterräume von R n Basen und lineare Unabhängigkeit
3.3: Die Dimension eines Unterraums von R n

4: Orthogonalität und kleinste Quadrate
4.1: Orthonormale Basen und orthogonale Projektionen
4.2: Gram-Schmidt-Prozess und QR-Faktorisierung
4.3: Orthogonale Transformationen und orthogonale Matrizen
4.4: Kleinste Quadrate und Datenanpassung

5: Determinanten
5.1: Einführung in die Determinanten
5.2: Eigenschaften der Determinante
5.3: Geometrische Interpretationen der Determinante, Cramersche Regel

6: Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1: Dynamische Systeme und Eigenvektoren: Ein einführendes Beispiel
6.2: Ermitteln der Eigenwerte einer Matrix
6.3: Ermittlung der Eigenvektoren einer Matrix
6.4: Komplexe Eigenwerte und Drehungen
6.5: Stabilität

Rückblick und zweite Halbzeit.

7: Koordinatensysteme
7.1: Koordinatensysteme in R n
7.3: Symmetrische Matrizen

8: Lineare Differentialgleichungssysteme
8.1: Eine Einführung in kontinuierliche dynamische Systeme
8.2: Der komplexe Fall: Eulersche Formel
'8.3': Nichtlineare Systeme (ergänzende Anmerkungen sind bereitzustellen)

9: Lineare Räume
9.1: Eine Einführung in lineare Räume

Weitere Themen zu Differentialgleichungen (ergänzende Anmerkungen)
10.1: Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
10.2: Fourier-Reihen
10.3: Partielle Differentialgleichungen I - Die Wärmegleichung
10.4: Partielle Differentialgleichungen II - Laplace-Gleichung, die Wellengleichung


Differentialgleichungen, dynamische Systeme und eine Einführung in das Chaos

Der Klassiker Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos von Hirsch, Devaney und Smale wurde von Professoren als Haupttext für Bachelor- und Master-Kurse zu Differentialgleichungen verwendet. Es bietet einen theoretischen Ansatz für dynamische Systeme und Chaos, der für eine vielfältige Studentenschaft aus den Bereichen Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwesen geschrieben wurde. Namhafte Experten vermitteln alles, was die Studierenden über dynamische Systeme wissen müssen, um ausreichende mathematische Fähigkeiten zu entwickeln, um die Arten von Differentialgleichungen zu analysieren, die in ihrem Studienbereich auftreten. Die Autoren bieten rigorose Übungen und Beispiele anschaulich und leicht, indem sie lineare Differentialgleichungssysteme langsam einführen. Infinitesimalrechnung ist erforderlich, da spezialisierte fortgeschrittene Themen enthalten sind, die normalerweise nicht in elementaren Differentialgleichungskursen zu finden sind, wie z.


Fakultät für Mathematik und Statistik, University of Canterbury, Christchurch, Neuseeland

Empfangen Dezember 2003 Überarbeitet November 2004 Veröffentlicht März 2005

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Hiroshi Matano, Ken-Ichi Nakamura. Der globale Attraktor semilinearer parabolischer Gleichungen auf $S^1$. Diskrete und kontinuierliche dynamische Systeme, 1997, 3 (1): 1-24. doi: 10.3934/dcds.1997.3.1

Noriaki Kawaguchi. Topologische Stabilität und Verschattung nulldimensionaler dynamischer Systeme. Diskrete und kontinuierliche dynamische Systeme, 2019, 39 (5): 2743-2761. doi: 10.3934/dcds.2019115

SPORT. Kloeden, Desheng Li, Chengkui Zhong. Einheitliche Attraktoren periodischer und asymptotisch periodischer dynamischer Systeme. Diskrete und kontinuierliche dynamische Systeme, 2005, 12 (2): 213-232. doi: 10.3934/dcds.2005.12.213

Tohru Nakamura, Shuichi Kawashima. Viskoses Stoßprofil und singulärer Grenzwert für hyperbolische Systeme mit dem Gesetz von Cattaneo. Kinetische und verwandte Modelle, 2018, 11 (4) : 795-819. doi: 10.3934/krm.2018032

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Parametrisierte KAM-Theorie

Die KAM-Theorie befasst sich mit dem typischen Auftreten quasi-periodischer Tori in dynamischen Systemen, d. h. persistent unter hinreichend kleinen Störungen. In allen Fällen werden im Produkt aus Phasenraum und Parameterraum die quasiperiodischen Tori Whitney-weich über eine nirgendwo dichte Menge positiver Maße (mit einer Cantor-Menge) parametrisiert (Broer und Hanßmann 2008), (Broer et al.�), (Broer et al.�), (Broer und Sevryuk 2008), (Chierchia 2008), (Hasselblatt und Katok 2006), (Pöschel1982) und (Zehnder 1975, 1976).

Die KAM-Theorie begann mit Lagrange-Tori in nahezu integrierbaren Hamilton-Systemen, aber die Theorie ermöglicht einen Lie-Algebra-Ansatz, der auf äquivariante oder reversible Systeme verallgemeinert. Dies gilt auch für die Klasse der allgemeinen glatten Systeme, die als `dissipativ' bezeichnet werden. Es stellt sich heraus, dass in vielen Fällen Parameter für die Persistenz der Tori benötigt werden.

Familien quasiperiodischer Attraktoren

Betrachten Sie in der dissipativen Einstellung parametrisierte Systeme mit normalerweise hyperbolisch invariantem (n)-Tori. Nach (Hirsch et al.�) kann dieses System auf den invarianten Torus, d.h. auf den (n)-Torus (^n = 2pi ^n) >,), was dann der Phasenraum ist. Betrachten Sie hier [ ag <4>dot = omega(mu) + varepsilon f (x, mu,varepsilon) dot = 0, ]

wobei (muin ^n) ein Multiparameter ist. Die Ergebnisse des klassischen KAM-Theorems (Pöschel 1982) lassen sich weitgehend auf (4) übertragen.

Für (varepsilon = 0) ist (4) `integrierbar' (Broer et al.�) und eine offene Teilmenge von (^n imes^n) wird durch invariante (n)-tori gefoltert. Die Frage ist, inwieweit die Dynamik der resultierenden invarianten Tori quasi-periodisch ist. Die Antwort ist analog zum Hamilton-Fall. Anstelle der Kolmogorov-Nicht-Entartungsbedingung muss die Frequenzabbildung (mumapsto omega(mu)) ein (lokaler) Diffeomorphismus sein. Als Konsequenz ist (4)(_) Whitney-glatt konjugiert zu (4)(_,), vorausgesetzt, die Abbildung (omega) ist co-eingeschränkt auf die diophantische Menge (^n_< au,gamma>,) definiert durch [ ag <5>^n_ < au,gamma>= ^nmid |langle k,omega angle| ge gamma |k|^ <-1>mbox < für alle >k in setminus <0>>. ]

Hier ist (langle k, omega angle) das innere Standardprodukt und (|k| = sum_j |k_j|.) Für einen Beweis siehe (Broer et al.�).

  • Dieses Ergebnis gilt für (C^infty)-Systeme, aber auch für (C^ell) mit ausreichend großen (ell) siehe obige Literaturhinweise. Die Formulierung ist hinsichtlich der (strukturellen) Stabilität auf eine geeignete Vereinigung von diophantischen quasiperiodischen Tori beschränkt, für den Anlass getauft als quasiperiodische Stabilität.
  • Die dissipative KAM-Theorie führt zu Familien von quasiperiodischen Attraktoren, die typischerweise auftreten. Dies ist von Bedeutung bei zentralen Mannigfaltigkeitsreduktionen der unendlichdimensionalen Dynamik, wie z. B. in der Strömungsmechanik (Broer und Hanßmann 2008) und Referenzen.
  • In Fällen, in denen das System degeneriert ist, zum Beispiel weil `Parameter fehlen', kann ein Pfadformalismus aufgerufen werden, bei dem der Parameter `Pfad' eine generische Unterfamilie der diophantischen Menge ( ^n_< au,gamma>.) Dies ergibt die Rüssmann-Nicht-Entartung, die immer noch ein positives Maß der Quasi-Periodizität im Parameterraum liefert, vergleiche mit (Broer et al.� 2007) und Verweise.

Unterdimensionales Tori

Der obige Ansatz erstreckt sich auf Fälle, in denen die Dynamik transversal zu den Tori berücksichtigt wird. Zur Geschichte (die mit Moser in den 1960er Jahren beginnt) und für Details siehe (Broer et al.�, 2008) sowie (Broer und Hanßmann 2008) mit allen Referenzen.

Betrachten wir den Phasenraum (^n imes ^m = 2pi ^n) ,y>) und einen Parameterraum ( = P subset mathbb^s.) Für (mu = 0 in P) das glatte `integrierbare' Vektorfeld (X = X(x,y,mu)) [ ag <6>dot = omega (mu) + f(y,mu), dot = Omega(mu), y + g(y,mu), dot = 0, ]

hat (^n imes <0>subset ^n imes ^m) als invarianten (n)-Torus, mit (f(y,0) = O(|y|)) und (g(y,0) = O(|y|^2),), so dass der invariante Torus auf die Floquet-Form reduziert wird. Auch hier stellt sich die Frage, inwieweit dieser Torus und seine Dynamik unter kleinen `nahezu integrierbaren' Störungen eines Systems ( ilde = ilde(x,y,mu) .)

  • Broer-Huitema-Takens (BHT) Nicht-Entartung (das gegenwärtige Analogon der Kolmogorov-Nicht-Entartung) erfordert, dass die Produktabbildung ( omega imes Omega : P ightarrow ^n imes < m gl>(m,)) ist eine versale Entfaltung von ((omega(0), Omega(0))) (Arnold 1983), (Broer et al.�), (Broer und Sevryuk 2008) und Referenzen. Bei einfachen Eigenwerten gibt es Normalformentwicklungen, bei denen die Eigenwerte von (Omega(mu)) die Rolle von Parametern einnehmen.
  • Die vorliegenden diophantischen Bedingungen verallgemeinern (5), einschließlich der Normalfrequenzen von (Omega(mu),), dh der Imaginärteile (eta_1,ldots,eta_N) seiner nichtreellen Eigenwerte als folgt: Gegeben ( au > n-1) und (gamma> 0,) für alle (k in ^n setminus <0>) und alle ( ell in ^) mit (|ell|le 2), dass

[ ag <7>|langle k,omega angle +langleell,eta angle| ge gamma |k|^<- au>. ]

Als Teilmenge von (P ,) definiert dies wiederum eine nirgendwo dichte Menge positiver Maße.

Die folgende parametrisierte KAM-Theorie besagt quasi-periodische Stabilität des betrachteten (n)-Tori und liefert damit typische Beispiele, wo Quasi-Periodizität ein positives Maß im Parameterraum hat. Darüber hinaus wird das normale lineare Verhalten des (n)-Tori durch glatte Whitney-Konjugationen bewahrt. Dies ist für quasiperiodische Bifurkationen von Bedeutung.

  • Der obige Aufbau ermöglicht eine strukturerhaltende Formulierung, wie bereits erwähnt, und schließt dabei den Hamilton- und den volumenerhaltenden Fall sowie äquivariante und reversible Fälle ein. Vergleichen Sie mit der Diskussion in Abschnitt 2.2.
  • Parametrisierte KAM-Theorie a priori braucht viele Parameter. Oft werden die Parameter in dem Sinne „unterscheidet“, dass sie durch Aktionsvariablen usw. gegeben sind. Dies gilt z. B. für isotrope Tori in nahezu integrierbaren Hamilton-Systemen. Vergleichen Sie auch mit der Diskussion zur Rössmann-Nicht-Entartung am Ende von Abschnitt 3.1.
  • Die parametrisierte KAM-Theorie führt zu quasiperiodischen Versionen der Bifurkationstheorie für Gleichgewichte und periodische Lösungen. In der dissipativen Einstellung umfasst dies quasi-periodische Sattelknoten- und Periodenverdoppelungs-Bifurkationen sowie die quasi-periodische Hopf-Bifurkation. Im quasiperiodischen Hopf-Fall zweigen invariante ((n+1))-Tori von invarianten (n)-Tori ab, wenn letztere ihre normale Hyperbolizität verlieren. Die Bifurkation ist sogar noch komplizierter als die Hopf-Neimark-Sacker-Bifurkation, bei der ein invarianter 2-Torus von einer periodischen Lösung abzweigt (Broer et al.�, 1996). Ähnliche quasi-periodische Verzweigungsszenarien existieren im Hamilton- und im reversiblen Fall, wo beispielsweise quasi-periodische Versionen der Hopf-Verzweigung existieren, siehe (Broer und Hanßmann 2008), (Broer et al.�), (Broer und Sevryuk 2008), (Hanßmann 2007) und Referenzen.
  • Die quasiperiodische Verzweigungstheorie betrifft Verzweigungen in invariante Tori in nahezu integrierbaren Systemen, z. B. wenn die Tori ihre normale Hyperbolizität verlieren oder wenn bestimmte (starke) Resonanzen auftreten. In diesem Fall führt die dichte Menge von Resonanzen, die für die kleinen Teiler verantwortlich sind, zu einer `Kantorisierung' der klassischen Bifurkationsgeometrien aus der Singularitätstheorie (Broer und Hanßmann 2008), (Broer et al.�) (Broer und Sevryuk 2008), (Hanßmann 2007). Vergleichen Sie mit der obigen Abbildung Abbildung 2.

Inhalt

Die Erkenntnis, dass zwei Systeme die gleiche Dynamik aufweisen, kann ein mächtiges Analysewerkzeug sein, wenn Ergebnisse bekannt sind, die garantieren, dass eines der Systeme bekannte dynamische Eigenschaften aufweist (z. B. lokal stabile Dynamik, Multistationarität, Persistenz usw.). Diese Werkzeuge können daher verwendet werden, um den Anwendungsbereich der bestehenden Theorie auf Systeme auszudehnen, für die das zugrunde liegende Netzwerk ansonsten ein solches Verhalten nicht garantieren würde.

Dynamische Äquivalenz

Betrachten Sie zum Beispiel das Vier-Komplex-Netzwerk von Fritz Horn und Roy Jackson ΐ] :

Das Netzwerk ist schwach reversibel, hat aber einen Mangel von zwei, so dass das Massenwirkungssystem nicht in den Geltungsbereich des Defizienz-Null-Theorems fällt. Die Bedingungen des Allgemeinen Mangelsatzes garantieren, dass das Massenwirkungssystem genau dann komplex ausgeglichen ist, wenn ϵ = 1 ist. Außerhalb dieses Wertes schweigt die Mangeltheorie.

Betrachten wir jedoch den Reaktionsvektor der Reaktion aus dem Komplex 2 A 1 + A 2 _<1>+_<2>> . Für ϵ > 1 können wir den Massenwirkungsterm entsprechend dieser Reaktion neu skalieren und aufteilen nach


Woran arbeitest du?

Dieser wiederkehrende Thread dient der allgemeinen Diskussion über alle mathematischen Themen, an denen Sie die Woche/das Wochenende gearbeitet haben oder arbeiten werden. Dies kann alles sein, von Mathe-bezogenem Kunsthandwerk, dem, was Sie im Unterricht gelernt haben, Büchern/Aufsätzen, die Sie lesen, bis hin zur Vorbereitung auf eine Konferenz. Alle Arten und Niveaus von Mathematik sind willkommen!

Am Ende des Semesters einfach alles zusammenpacken. Ich tippe die Topologienotizen der letzten fünf Wochen ein, bringe meine Forschung in eine Position, in der ich sie über die Feiertage verlassen kann, und bereite mich darauf vor, später in dieser Woche die Abschlussprüfungen mit 120 zu benoten.

Hier sind nur 60 Hausaufgaben/Prüfungen zu benoten, aber das sind alles Beweise. und ich bin die schuld daran.

Ich lese gerade den Satz von Abel in Problemen und Lösungen. Ich werde versuchen, es zu beenden, bevor das nächste Semester beginnt

Zum dritten Mal seit Freitag eine dreistündige Prüfung beaufsichtigen. Erlöse mich bitte aus meinem Elend.

Ich habe versucht, eine "yo Mama ist so fett zu machen. " Witze mit Mathe, aber die, die ich mir ausgedacht habe, haben nicht wirklich den Juckreiz gekratzt. Heute habe ich eine gemacht, die mir gefällt (beachte hier, dass die Indikatorfunktion im konvexen analytischen Sinne verwendet wird): Yo Mama ist so dick, dass die Indikatorfunktion für ihren Körper identisch 0 ist.

yo Mama so fett, kein bekanntes großes Kardinalsaxiom kann sie modellieren

yo Mama so fett, du musst sie in schlaffe Garben auflösen, um sie überhaupt zu messen

yo Mama so fett, du kannst nicht einmal die [lange Linie](https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_(topology)) um sie wickeln

Das ist dumm, aber ich habe gelacht

Habe im Oktober angefangen Wirtschaftsinformatik zu studieren, aber schon verliebt in Mathematik! Analyse I (Kalkül in Englisch oder?) und Lineare Algebra mache ich atm und ich bin fasziniert. Ich gebe mir noch ein Semester in Informatik, aber wenn sich meine Meinung nicht ändert, wechsle ich zu Mathematik!

Letzte Woche das Finale beendet, also bin ich jetzt in der Winterpause. Ich habe vor, die Teile des Buches zur Funktionsanalyse zu lesen, die wir nicht behandelt haben, und ich sollte eigentlich für die GRE studieren, da ich ein Junior bin und es nächstes Semester gerne machen würde und mir keine Sorgen um das Abschlussjahr machen würde.

Etwas, das mehr Spaß macht, ist, dass ich an einer iOS-App mit GANs arbeite. Das Ziel besteht darin, Bilder von Gesichtern von Personen in einen Anime-Avatar/-Symbol umwandeln zu können. Ich habe schon während eines Hackathons daran gearbeitet, aber mein Team war damals noch nicht fertig. Schließlich könnte ich Reinforcement Learning studieren, aber das ist vielleicht ein starkes und hat die geringste Priorität von dem, was ich bisher erwähnt habe.


Inhaltsverzeichnis

Dies ist ein einführendes Lehrbuch über die nichtlineare Dynamik von PDEs, mit einem Fokus auf Probleme über unbeschränkte Domänen und Modulationsgleichungen. Die Präsentation ist beispielorientiert, und Schritt für Schritt werden neue mathematische Werkzeuge entwickelt, die einen Einblick in einige wichtige Klassen nichtlinearer PDEs und nichtlinearer Dynamikphänomene geben, die in PDEs auftreten können.

Das Buch besteht aus vier Teilen. Die Teile I und II sind Einführungen in die endlich- und unendlichdimensionale Dynamik, die durch ODEs bzw. durch PDEs über beschränkte Domänen definiert wird, einschließlich der Grundlagen der Bifurkations- und Attraktortheorie. Teil III stellt PDEs auf der reellen Linie vor, einschließlich der Korteweg-de-Vries-Gleichung, der nichtlinearen Schrömldinger-Gleichung und der Ginzburg-Landau-Gleichung. Diese Beispiele treten oft als einfachste mögliche Modelle auf, nämlich als Amplituden- oder Modulationsgleichungen, für einige reale Phänomene wie nichtlineare Wellen und Musterbildung. In Teil IV werden die Zusammenhänge zwischen solch komplizierten physikalischen Systemen und den reduzierten Modellen genauer untersucht. Für viele Modelle ist eine mathematisch strenge Begründung durch Näherungsergebnisse gegeben.

Die Teile des Buches sind so in sich geschlossen wie möglich gehalten. Das Buch ist zum Selbststudium geeignet und es gibt verschiedene Möglichkeiten, aus dem Buch ein- oder zweisemestrige Lehrveranstaltungen aufzubauen.


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