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5.3: 5.3 Spinnwebendiagramme für eindimensionale iterative Karten - Mathematik

5.3: 5.3 Spinnwebendiagramme für eindimensionale iterative Karten - Mathematik


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Eine Möglichkeit, den überfüllten Phasenraum eines zeitdiskreten Systems zu lösen, besteht darin, zwei Phasenräume zu erstellen, einen für die Zeit (t−1) und einen für (t), und dann Trajektorien des Systemzustands in zu zeichnen ein Meta-Phasenraum, der erhalten wird, indem diese beiden Phasenräume orthogonal zueinander platziert werden. Auf diese Weise würden Sie möglicherweise die verwickelten Flugbahnen entwirren, um sie visuell verständlich zu machen.

Diese scheinbar brillante Idee hat jedoch ein grundlegendes Problem. Es funktioniert nur für eindimensionale Systeme, da zwei- oder höherdimensionale Systeme vier oder mehr Dimensionen benötigen, um den Metaphasenraum zu visualisieren, was in der dreidimensionalen physikalischen Welt, in der wir uns befinden, nicht visualisiert werden kann.

Diese Metaphasenraum-Idee ist immer noch effektiv und mächtig, um die Dynamik eindimensionaler iterativer Karten zu visualisieren. Die resultierende Visualisierung heißt a Spinnennetz-Plot, das als intuitives Analysewerkzeug eine wichtige Rolle spielt, um die nichtlineare Dynamik eindimensionaler Systeme zu verstehen.

So zeichnen Sie manuell ein Spinnennetzdiagramm einer eindimensionalen iterativen Karte (x_{t} = f(x_{t−1})), wobei der Bereich von (x_{t}) ist ([x_{min},x_{max}]). Holen Sie sich ein Blatt Papier und einen Stift und gehen Sie wie folgt vor:

1. Zeichnen Sie ein Quadrat auf Ihr Papier. Bezeichne die untere Kante als Achse für (x_{t−1}) und die linke Kante als Achse für (x_{t}). Beschriften Sie den Bereich ihrer Werte auf den Achsen (Abb. 5.3.1).

2. Zeichnen Sie eine Kurve (x_{t} = f(x_{t−1})) und eine Diagonallinie (x_{t} = x_{t−1}) innerhalb des Quadrats (Abb. 5.3). 2). Beachten Sie, dass die Gleichgewichtspunkte des Systems in diesem Diagramm als die Punkte erscheinen, an denen sich die Kurve und die Linie schneiden.

3. Zeichnen Sie eine Trajektorie von (x_{t−1}) nach (x_{t}). Dies kann mit der Kurve (x_{t} = f(x_{t−1)}) erfolgen (Abb. 5.3.3). Beginnen Sie mit einem aktuellen Zustandswert auf der unteren Achse (zunächst ist dies der Anfangswert (x_{0}), wie in Abb. 5.3.3 gezeigt) und bewegen Sie sich vertikal, bis Sie die Kurve erreichen. Schalten Sie dann die Bewegungsrichtung auf horizontal um und erreichen Sie die linke Achse. Sie landen beim nächsten Wert des Systemzustands ((x_{1}) in Abb. Die beiden roten Pfeile, die die beiden Achsen verbinden, repräsentieren die Trajektorie zwischen den beiden aufeinanderfolgenden Zeitpunkten.

4. Reektieren Sie den neuen Zustandswert wieder auf die horizontale Achse. Dies kann als einfache Spiegelung mit der Diagonallinie (Abb. 5.3.4). Damit ist ein Schritt der „manuellen Simulation“ auf dem Spinnennetz-Plot abgeschlossen.

5. Wiederholen Sie die obigen Schritte, um zu sehen, wohin das System schließlich geht (Abb. 5.3.5).
6. Sobald Sie sich an diesen Vorgang gewöhnt haben, werden Sie feststellen, dass Sie keine der beiden Achsen wirklich berühren müssen. Alles, was Sie tun müssen, um ein Spinnennetzdiagramm zu zeichnen, ist, zwischen der Kurve und der Linie hin und her zu hüpfen (Abb. 5.3.6).—senkrecht zur Kurve bewegen, waagerecht zur Linie und wiederholen.

Übung (PageIndex{1})

Zeichnen Sie für jedes der folgenden Modelle ein Spinnennetz-Plot:

Übung (PageIndex{2})

Zeichnen Sie ein Spinnennetz-Plot des folgenden logistischen Wachstumsmodells mit (r = 1),(K=1), (N_{0} =0.1):

[N_{t} =N_{t-1} +rN_{t-1}(1-frac{N_{t-1}}{K})label{ (5.17)}]

Spinnwebendiagramme können auch mit Python gezeichnet werden. Code 5.4 ist ein Beispiel für das Zeichnen eines Spinnennetzes des exponentiellen Wachstumsmodells (Code 4.9). Seine Ausgabe ist in Abb. 5.4.1 dargestellt.

Übung (PageIndex{3})

Zeichnen Sie mit Python ein Spinnennetz-Plot des logistischen Wachstumsmodells mit (r = 2.5), (K = 1), (N_{0} = 0.1).


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