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2.7: Ganzzahlen multiplizieren und dividieren (Teil 1) - Mathematik


Fähigkeiten zum Entwickeln

  • Ganzzahlen multiplizieren
  • Dividiere ganze Zahlen
  • Vereinfache Ausdrücke mit ganzen Zahlen
  • Variablenausdrücke mit ganzen Zahlen auswerten
  • Übersetzen Sie Wortphrasen in algebraische Ausdrücke

sei vorbereitet!

Bevor Sie beginnen, nehmen Sie an diesem Bereitschaftsquiz teil.

  1. Übersetzen Sie den Quotienten von (20) und (13) in einen algebraischen Ausdruck. Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 1.5.12.
  2. Addiere: (−5 + (−5) + (−5)). Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 3.2.8.
  3. Werte (n + 4) aus, wenn (n = −7). Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 3.2.10.

Ganzzahlen multiplizieren

Da Multiplikation eine mathematische Abkürzung für wiederholte Addition ist, kann unser Zählermodell leicht angewendet werden, um die Multiplikation ganzer Zahlen zu zeigen. Schauen wir uns dieses konkrete Modell an, um zu sehen, welche Muster wir bemerken. Wir werden die gleichen Beispiele verwenden, die wir für die Addition und Subtraktion verwendet haben.

Wir erinnern uns, dass (a • b) bedeutet, (a), (b) mal addieren. Hier verwenden wir das in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigte Modell, um das Muster zu erkennen.

Abbildung (PageIndex{1})

Betrachten Sie nun, was es bedeutet, (5) mit (−3) zu multiplizieren. Es bedeutet, (5), (3) mal subtrahieren. Betrachtet man Subtraktion als Wegnehmen, bedeutet dies, (5), (3) mal wegzunehmen. Aber es gibt nichts wegzunehmen, also beginnen wir damit, neutrale Paare hinzuzufügen, wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt.

Abbildung (PageIndex{2})

In beiden Fällen haben wir mit (15) neutralen Paaren begonnen. Im linken Fall haben wir (5), (3) mal weggenommen und das Ergebnis war (−15). Um ((−5)(−3) zu multiplizieren, haben wir (−5), (3) mal weggenommen und das Ergebnis war (15). Also haben wir das gefunden

5(3) = 15-5(3) = -15
5(-3) = -15(-5)(-3) = 15

Beachten Sie, dass bei der Multiplikation zweier vorzeichenbehafteter Zahlen das Produkt positiv ist, wenn die Vorzeichen gleich sind, und wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind, ist das Produkt negativ.

Definition: Multiplikation von Zahlen mit Vorzeichen

Das Vorzeichen des Produkts zweier Zahlen hängt von ihren Vorzeichen ab.

Gleiche ZeichenProdukt
Zwei PluspunktePositiv
Zwei NegativePositiv
Verschiedene ZeichenProdukt
Positiv negativNegativ
Negativ positivNegativ

Beispiel (PageIndex{1}):multiplizieren

Multiplizieren Sie jeden der folgenden Punkte:

  1. (−9 • 3)
  2. (−2(−5))
  3. (4(−8))
  4. (7 • 6)

Lösung

    Multiplizieren Sie und beachten Sie, dass die Vorzeichen unterschiedlich sind und das Produkt daher negativ ist.–9 • 3 = –27
      Multiplizieren Sie und beachten Sie, dass die Vorzeichen gleich sind und das Produkt positiv ist.–2(–5) = 10
        Multiplizieren Sie und beachten Sie, dass die Vorzeichen unterschiedlich sind und das Produkt daher negativ ist.4(–8) = –32
          Die Vorzeichen sind die gleichen, daher ist das Produkt positiv.7 • 6 = 42

          Übung (PageIndex{1})

          Multiplizieren:

          1. (−6 • 8)
          2. (−4(−7))
          3. (9(−7))
          4. (5 • 12)
          Antworte a

          (-48)

          Antwort b

          (28)

          Antwort c

          (-63)

          Antwort d

          (60)

          Übung (PageIndex{2})

          Multiplizieren:

          1. (−8 • 7)
          2. (−6(−9))
          3. (7(−4))
          4. (3 • 13)
          Antworte a

          (-56)

          Antwort b

          (54)

          Antwort c

          (-28)

          Antwort d

          (39)

          Wenn wir eine Zahl mit (1) multiplizieren, ist das Ergebnis dieselbe Zahl. Was passiert, wenn wir eine Zahl mit (−1) multiplizieren? Lassen Sie uns eine positive Zahl und dann eine negative Zahl mit (−1) multiplizieren, um zu sehen, was wir erhalten.

          −1 • 4−1(−3)
          −43
          −4 ist das Gegenteil von 43 ist das Gegenteil von −3

          Jedes Mal, wenn wir eine Zahl mit (−1) multiplizieren, erhalten wir das Gegenteil.

          Definition: Multiplikation mit (−1)

          Die Multiplikation einer Zahl mit (−1) ergibt das Gegenteil.

          [-1 cdot a = -a ]

          Beispiel (PageIndex{2}): multiplizieren

          Multiplizieren Sie jeden der folgenden Punkte:

          1. (−1 • 7)
          2. (−1(−11))

          Lösung

            Die Vorzeichen sind unterschiedlich, daher wird das Produkt negativ sein.−1 • 7
            Beachten Sie, dass -7 das Gegenteil von 7 ist.−7
              Die Vorzeichen sind die gleichen, daher wird das Produkt positiv sein.−1(−11)
              Beachten Sie, dass 11 das Gegenteil von −11 ist.11

              Übung (PageIndex{3})

              Multiplizieren.

              1. (−1 • 9)
              2. (−1 • (−17))
              Antworte a

              (-9)

              Antwort b

              (17)

              Übung (PageIndex{4})

              Multiplizieren.

              1. (−1 • 8)
              2. (−1 • (−16))
              Antworte a

              (-8)

              Antwort b

              (16)

              Ganzzahlen dividieren

              Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. Also, (15 ÷ 3 = 5) weil (5 • 3 = 15) In Worten besagt dieser Ausdruck, dass (15) in (3) Gruppen von (5) unterteilt werden kann denn dreimaliges Addieren von fünf ergibt (15). Wenn wir uns einige Beispiele für die Multiplikation ganzer Zahlen ansehen, können wir die Regeln zum Dividieren ganzer Zahlen herausfinden.

              5 • 3 = 15 also 15 ÷ 3 = 5−5(3) = −15 also −15 ÷ 3 = −5
              (−5)(−3) = 15 also 15 ÷ (−3) = −55(−3) = −15 also −15 ÷ −3 = 5

              Die Division von Zahlen mit Vorzeichen folgt den gleichen Regeln wie die Multiplikation. Bei gleichen Vorzeichen ist der Quotient positiv, bei unterschiedlichen Vorzeichen ist der Quotient negativ.

              Definition: Division von Zahlen mit Vorzeichen

              Das Vorzeichen des Quotienten zweier Zahlen hängt von ihren Vorzeichen ab.

              Gleiche ZeichenQuotient
              Zwei PluspunktePositiv
              Zwei NegativePositiv
              Verschiedene ZeichenQuotient
              Positiv negativNegativ
              Negativ positivNegativ

              Denken Sie daran, dass Sie die Antwort auf eine Divisionsaufgabe jederzeit durch Multiplizieren überprüfen können.

              Beispiel (PageIndex{3}): dividieren

              Teilen Sie jeden der folgenden Punkte auf:

              1. (−27 ÷ 3)
              2. (−100 ÷ (−4))

              Lösung

                Dividiere und beachte, dass die Vorzeichen unterschiedlich sind und der Quotient daher negativ ist.–27 ÷ 3 = –9
                  Dividiere und beachte, dass die Vorzeichen gleich sind und der Quotient also positiv ist.–100 ÷ (–4) = 25

                  Übung (PageIndex{5})

                  Teilen:

                  1. (−42 ÷ 6)
                  2. (−117 ÷ (−3))
                  Antworte a

                  (-7)

                  Antwort b

                  (39)

                  Übung (PageIndex{6})

                  Teilen:

                  1. (−63 ÷ 7)
                  2. (−115 ÷ (−5))
                  Antworte a

                  (-9)

                  Antwort b

                  (23)

                  Wie wir bei der Multiplikation gesehen haben, ist das Ergebnis dieselbe Zahl, wenn wir eine Zahl durch (1) teilen. Was passiert, wenn wir eine Zahl durch (−1) teilen? Teilen wir eine positive Zahl und dann eine negative Zahl durch (−1), um zu sehen, was wir erhalten.

                  8 ÷ (−1)−9 ÷ (−1)
                  −89
                  −8 ist das Gegenteil von 89 ist das Gegenteil von -9

                  Wenn wir eine Zahl durch (−1) teilen, erhalten wir das Gegenteil.

                  Definition: Division durch (−1)

                  Die Division einer Zahl durch (−1) ergibt das Gegenteil.

                  [a div (-1) = -a]

                  Beispiel (PageIndex{4}): dividieren

                  Teilen Sie jeden der folgenden Punkte auf:

                  1. (16 ÷ (−1))
                  2. (−20 ÷ (−1))

                  Lösung

                    Die Dividende, 16, wird durch -1 geteilt.16 ÷ (–1)
                    Die Division einer Zahl durch -1 ergibt das Gegenteil.–16

                    Beachten Sie, dass die Vorzeichen unterschiedlich waren, sodass das Ergebnis negativ war.

                      Die Dividende, -20, wird durch -1 geteilt.–20 ÷ (–1)
                      Die Division einer Zahl durch -1 ergibt das Gegenteil.20

                      Beachten Sie, dass die Vorzeichen gleich waren, sodass der Quotient positiv war.

                      Übung (PageIndex{7})

                      Teilen:

                      1. (6 ÷ (−1))
                      2. (−36 ÷ (−1))
                      Antworte a

                      (-6)

                      Antwort b

                      (36)

                      Übung (PageIndex{8})

                      Teilen:

                      1. (28 ÷ (−1))
                      2. (−52 ÷ (−1))
                      Antworte a

                      (-28)

                      Antwort b

                      (52)

                      Ausdrücke mit ganzen Zahlen vereinfachen

                      Jetzt vereinfachen wir Ausdrücke, die alle vier Operationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – mit ganzen Zahlen verwenden. Denken Sie daran, die Reihenfolge der Operationen einzuhalten.

                      Beispiel (PageIndex{5}): vereinfachen

                      Vereinfachen Sie: (7(−2) + 4(−7) − 6).

                      Lösung

                      Wir verwenden die Reihenfolge der Operationen. Zuerst multiplizieren und dann von links nach rechts addieren und subtrahieren.

                      Zuerst multiplizieren.−14 + (−28)−6
                      Hinzufügen.−42 − 6
                      Subtrahieren.−48

                      Übung (PageIndex{9})

                      Vereinfachen: (8(−3) + 5(−7)−4)

                      Antworten

                      (-63)

                      Übung (PageIndex{10})

                      Vereinfachen: (9(−3) + 7(−8) − 1)

                      Antworten

                      (-84)

                      Beispiel (PageIndex{6}): vereinfachen

                      Vereinfachen:

                      1. ((−2)^4)
                      2. (−2^4)

                      Lösung

                      Der Exponent gibt an, wie oft die Basis multipliziert werden soll.

                      1. Der Exponent ist (4) und die Basis (−2). Wir erhöhen (−2) in die vierte Potenz.
                      Schreiben Sie in erweiterter Form.(−2)(−2)(−2)(−2)
                      Multiplizieren.4(−2)(−2)
                      Multiplizieren.−8(−2)
                      Multiplizieren.16
                      1. Der Exponent ist (4) und die Basis ist (2). Wir erhöhen (2) in die vierte Potenz und nehmen dann das Gegenteil.
                      Schreiben Sie in erweiterter Form.−(2 • 2 • 2 • 2)
                      Multiplizieren.−(4 • 2 • 2)
                      Multiplizieren.−(8 • 2)
                      Multiplizieren.−16

                      Übung (PageIndex{11})

                      Vereinfachen:

                      1. ((−3)^4)
                      2. (−3^4)
                      Antworte a

                      (81)

                      Antwort b

                      (-81)

                      Übung (PageIndex{12})

                      Vereinfachen:

                      1. ((−7)^2)
                      2. (−7^2)
                      Antworte a

                      (49)

                      Antwort b

                      (-49)

                      Beispiel (PageIndex{7}): vereinfachen

                      Vereinfachen Sie: (12 − ​​3(9 − 12)).

                      Lösung

                      Entsprechend der Reihenfolge der Operationen vereinfachen wir zuerst in Klammern. Dann werden wir multiplizieren und schließlich subtrahieren.

                      Ziehen Sie zuerst die Klammern ab.12 − 3(−3)
                      Multiplizieren.12 − (−9)
                      Subtrahieren.21

                      Übung (PageIndex{13})

                      Vereinfachen Sie: (17 − 4(8 − 11))

                      Antworten

                      (29)

                      Übung (PageIndex{14})

                      Vereinfachen Sie: (16 − 6(7 − 13))

                      Antworten

                      (52)

                      Beispiel (PageIndex{8}): vereinfachen

                      Vereinfachen Sie: (8(−9) ÷ (−2)^3).

                      Lösung

                      Wir vereinfachen zuerst den Exponenten, multiplizieren und dividieren dann.

                      Vereinfachen Sie den Exponenten.8(−9) ÷ (−8)
                      Multiplizieren.−72 ÷ (−8)
                      Teilen.9

                      Übung (PageIndex{15})

                      Vereinfachen Sie: (12(−9) ÷ (−3)^3)

                      Antworten

                      (4)

                      Übung (PageIndex{16})

                      Vereinfachen Sie: (18(−4) ÷ (−2)^3)

                      Antworten

                      (9)

                      Beispiel (PageIndex{9}): vereinfachen

                      Vereinfachen Sie: (−30 ÷ 2 + (−3)(−7)).

                      Lösung

                      Zuerst multiplizieren und dividieren wir von links nach rechts. Dann werden wir hinzufügen.

                      Teilen.−15 + (−3)(−7)
                      Multiplizieren.−15 + 21
                      Hinzufügen.6

                      Übung (PageIndex{17})

                      Vereinfachen Sie: (−27 ÷ 3 + (−5)(−6))

                      Antworten

                      (21)

                      Übung (PageIndex{18})

                      Vereinfachen: (−32 ÷ 4 + (−2)(−7))

                      Antworten

                      (6)


                      7.1 Rationale Ausdrücke multiplizieren und dividieren

                      Wir haben zuvor die Eigenschaften von Brüchen und ihre Operationen untersucht. Wir haben rationale Zahlen eingeführt, die nur Brüche sind, bei denen Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. In diesem Kapitel werden wir mit Brüchen arbeiten, deren Zähler und Nenner Polynome sind. Wir nennen diese Art von Ausdruck einen rationalen Ausdruck.

                      Rationaler Ausdruck

                      Ein rationaler Ausdruck ist ein Ausdruck der Form p q , p q , wobei p und q sind Polynome und q ≠ 0 . q ≠ 0 .

                      Hier einige Beispiele für rationale Ausdrücke:

                      Wir werden die gleichen Operationen mit rationalen Ausdrücken durchführen wie mit Brüchen. Wir werden sie vereinfachen, addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und in Anwendungen verwenden.

                      Bestimmen Sie die Werte, für die ein rationaler Ausdruck undefiniert ist

                      Wenn der Nenner null ist, ist der rationale Ausdruck undefiniert. Der Zähler eines rationalen Ausdrucks kann 0 sein, aber nicht der Nenner.

                      Wenn wir mit einem numerischen Bruch arbeiten, ist es leicht, die Division durch Null zu vermeiden, da wir die Zahl im Nenner sehen können. Um eine Division durch Null in einem rationalen Ausdruck zu vermeiden, dürfen wir keine Werte der Variablen zulassen, die den Nenner zu Null machen.

                      Bevor wir also eine Operation mit einem rationalen Ausdruck beginnen, untersuchen wir ihn zuerst, um die Werte zu finden, die den Nenner zu Null machen würden. Auf diese Weise wissen wir, wenn wir beispielsweise eine rationale Gleichung lösen, ob die gefundenen algebraischen Lösungen zulässig sind oder nicht.

                      Wie man

                      Bestimmen Sie die Werte, für die ein rationaler Ausdruck undefiniert ist.

                      Beispiel 7.1

                      Bestimmen Sie den Wert, für den jeder rationale Ausdruck undefiniert ist:

                      Lösung

                      Der Ausdruck ist undefiniert, wenn der Nenner null ist.


                      8 a 2 b 3 c Setzen Sie den Nenner gleich Null und lösen Sie nach der Variablen auf. 3 c = 0 c = 0 8 a 2 b 3 c ist undefiniert für c = 0 . 8 a 2 b 3 c Setzen Sie den Nenner gleich Null und lösen Sie nach der Variablen auf. 3 c = 0 c = 0 8 a 2 b 3 c ist undefiniert für c = 0 .


                      4 b − 3 2 b + 5 Den Nenner gleich Null setzen und nach der Variablen auflösen. 2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = − 5 2 4 b − 3 2 b + 5 ist undefiniert für b = − 5 2 . 4 b − 3 2 b + 5 Den Nenner gleich Null setzen und nach der Variablen auflösen. 2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = − 5 2 4 b − 3 2 b + 5 ist undefiniert für b = − 5 2 .


                      x + 4 x 2 + 5 x + 6 Setze den Nenner gleich Null und löse nach der Variablen auf. x 2 + 5 x + 6 = 0 ( x + 2 ) ( x + 3 ) = 0 x + 2 = 0 oder x + 3 = 0 x = −2 oder x = −3 x + 4 x 2 + 5 x + 6 ist für x = −2 oder x = −3 undefiniert. x + 4 x 2 + 5 x + 6 Setze den Nenner gleich Null und löse nach der Variablen auf. x 2 + 5 x + 6 = 0 ( x + 2 ) ( x + 3 ) = 0 x + 2 = 0 oder x + 3 = 0 x = −2 oder x = −3 x + 4 x 2 + 5 x + 6 ist für x = −2 oder x = −3 undefiniert.

                      Bestimmen Sie den Wert, für den jeder rationale Ausdruck undefiniert ist.

                      Bestimmen Sie den Wert, für den jeder rationale Ausdruck undefiniert ist.

                      Vereinfachen Sie rationale Ausdrücke

                      Ein Bruch gilt als vereinfacht, wenn in Zähler und Nenner außer 1 keine gemeinsamen Faktoren vorhanden sind. Ebenso hat ein vereinfachter rationaler Ausdruck keine gemeinsamen Faktoren außer 1 in seinem Zähler und Nenner.

                      Vereinfachter rationaler Ausdruck

                      Ein rationaler Ausdruck gilt als vereinfacht, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren aufweisen.

                      Wir verwenden die Eigenschaft Äquivalente Brüche, um numerische Brüche zu vereinfachen. Wir formulieren es hier neu, da wir es auch verwenden werden, um rationale Ausdrücke zu vereinfachen.

                      Äquivalente Brucheigenschaft

                      Wenn ein, b, und c sind Zahlen mit b ≠ 0 , c ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 ,

                      Beachten Sie, dass in der Eigenschaft Äquivalente Brüche die Werte, die den Nenner zu Null machen würden, ausdrücklich verboten sind. Wir sehen b ≠ 0 , c ≠ 0 b ≠ 0 , c ≠ 0 klar formuliert.

                      Um rationale Ausdrücke zu vereinfachen, schreiben wir zunächst Zähler und Nenner in faktorisierter Form. Dann entfernen wir die gemeinsamen Faktoren mit der Eigenschaft Äquivalente Brüche.

                      Seien Sie sehr vorsichtig, wenn Sie gemeinsame Faktoren entfernen. Faktoren werden multipliziert, um ein Produkt zu machen. Sie können einen Faktor aus einem Produkt entfernen. Sie können einen Begriff nicht aus einer Summe entfernen.

                      Beispiel 7.2

                      So vereinfachen Sie einen rationalen Ausdruck

                      Vereinfachen: x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 .

                      Lösung

                      Vereinfachen: x 2 − x − 2 x 2 − 3 x + 2 . x 2 − x − 2 x 2 − 3 x + 2 .

                      Vereinfachen: x 2 − 3 x − 10 x 2 + x − 2 . x 2 − 3 x − 10 x 2 + x − 2 .

                      Wir fassen nun die Schritte zusammen, die Sie befolgen sollten, um rationale Ausdrücke zu vereinfachen.

                      Wie man

                      Vereinfachen Sie einen rationalen Ausdruck.

                      1. Schritt 1. Faktorisieren Sie Zähler und Nenner vollständig.
                      2. Schritt 2. Vereinfachen Sie, indem Sie gemeinsame Faktoren aufteilen.

                      Normalerweise belassen wir den vereinfachten rationalen Ausdruck in faktorisierter Form. Auf diese Weise können Sie leicht überprüfen, ob wir entfernt haben alle die gemeinsamen Faktoren.

                      Wir verwenden die erlernten Methoden, um die Polynome in den Zählern und Nennern in den folgenden Beispielen zu faktorisieren.

                      Jedes Mal, wenn wir einen rationalen Ausdruck schreiben, sollten wir eine Aussage treffen, die Werte verbietet, die einen Nenner zu Null machen würden. Damit wir uns jedoch auf die vorliegende Arbeit konzentrieren können, verzichten wir darauf, sie in den Beispielen zu schreiben.

                      Beispiel 7.3

                      Vereinfachen Sie: 3 a 2 − 12 a b + 12 b 2 6 a 2 − 24 b 2 3 a 2 − 12 a b + 12 b 2 6 a 2 − 24 b 2 .

                      Lösung

                      3 a 2 − 12 a b + 12 b 2 6 a 2 − 24 b 2 Faktorisieren Sie Zähler und Nenner, wobei zuerst der GCF herausgerechnet wird. 3 ( a 2 − 4 ab + 4 b 2 ) 6 ( a 2 − 4 b 2 ) 3 ( a − 2 b ) ( a − 2 b ) 6 ( a + 2 b ) ( a − 2 b ) Entfernen Sie die gemeinsame Faktoren von a − 2 b und 3 . 3 ( a − 2 b ) ( a − 2 b ) 3 · 2 ( a + 2 b ) ( a − 2 b ) a − 2 b 2 ( a + 2 b ) 3 a 2 − 12 ab + 12 b 2 6 a 2 − 24 b 2 Faktorisieren Sie Zähler und Nenner, wobei zuerst der GCF herausgerechnet wird. 3 ( a 2 − 4 ab + 4 b 2 ) 6 ( a 2 − 4 b 2 ) 3 ( a − 2 b ) ( a − 2 b ) 6 ( a + 2 b ) ( a − 2 b ) Entfernen Sie die gemeinsame Faktoren von a − 2 b und 3 . 3 ( a − 2 b ) ( a − 2 b ) 3 · 2 ( a + 2 b ) ( a − 2 b ) a − 2 b 2 ( a + 2 b )

                      Vereinfachen: 2 x 2 − 12 x y + 18 y 2 3 x 2 − 27 y 2 2 x 2 − 12 x y + 18 y 2 3 x 2 − 27 y 2 .

                      Vereinfachen: 5 x 2 − 30 x y + 25 y 2 2 x 2 − 50 y 2 5 x 2 − 30 x y + 25 y 2 2 x 2 − 50 y 2 .

                      Jetzt werden wir sehen, wie man einen rationalen Ausdruck vereinfacht, dessen Zähler und Nenner entgegengesetzte Faktoren haben. Wir haben zuvor die entgegengesetzte Notation eingeführt: das Gegenteil von ein ist − a − a und − a = −1 · a . − a = −1 · a .

                      Gegensätze in einem rationalen Ausdruck

                      Ein Ausdruck und sein Gegenteil dividieren durch −1 . −1 .

                      Wir verwenden diese Eigenschaft, um rationale Ausdrücke zu vereinfachen, deren Zähler und Nenner Gegensätze enthalten. Achten Sie darauf, a + b a + b und b + a b + a nicht als Gegensätze zu behandeln. Denken Sie daran, dass die Reihenfolge außerdem keine Rolle spielt, also a + b = b + a a + b = b + a . Wenn also a ≠ − b a ≠ − b , dann ist a + b b + a = 1 . a + b b + a = 1 .

                      Beispiel 7.4

                      Vereinfachen: x 2 − 4 x − 32 64 − x 2 . x 2 − 4 x − 32 64 − x 2 .

                      Lösung

                      Vereinfachen: x 2 − 4 x − 5 25 − x 2 . x 2 − 4 x − 5 25 − x 2 .

                      Vereinfachen: x 2 + x − 2 1 − x 2 . x 2 + x − 2 1 − x 2 .

                      Rationale Ausdrücke multiplizieren

                      Um rationale Ausdrücke zu multiplizieren, machen wir dasselbe mit numerischen Brüchen. Wir multiplizieren die Zähler und multiplizieren die Nenner. Wenn es dann gemeinsame Faktoren gibt, entfernen wir diese, um das Ergebnis zu vereinfachen.

                      Multiplikation rationaler Ausdrücke

                      Wenn p, q, r, und so sind Polynome mit q 0 , s ≠ 0 , q ≠ 0 , s 0 , dann

                      Um rationale Ausdrücke zu multiplizieren, multiplizieren Sie die Zähler und multiplizieren Sie die Nenner.

                      Denken Sie daran, dass wir in diesem Kapitel davon ausgehen, dass alle numerischen Werte, die den Nenner zu Null machen würden, ausgeschlossen sind. Wir werden die Einschränkungen nicht für jeden rationalen Ausdruck schreiben, aber bedenken Sie, dass der Nenner niemals Null sein kann. Im nächsten Beispiel gilt also x ≠ 0 , x 0 , x 3 , x 3 und x ≠ 4 . x 4 .

                      Beispiel 7.5

                      Wie man rationale Ausdrücke multipliziert

                      Vereinfachen: 2 x x 2 − 7 x + 12 · x 2 − 9 6 x 2 . 2 x x 2 − 7 x + 12 · x 2 − 9 6 x 2 .

                      Lösung

                      Vereinfachen: 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 − 4 10 x . 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 − 4 10 x .

                      Vereinfachen: 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 − 36 3 x 2 . 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 − 36 3 x 2 .

                      Wie man

                      Multiplizieren Sie rationale Ausdrücke.

                      1. Schritt 1. Faktorisieren Sie jeden Zähler und Nenner vollständig.
                      2. Schritt 2. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner.
                      3. Schritt 3. Vereinfachen Sie, indem Sie gemeinsame Faktoren aufteilen.

                      Beispiel 7.6

                      Multiplizieren: 3 a 2 − 8 a − 3 a 2 − 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 − 14 a − 5 . 3 a 2 − 8 a − 3 a 2 − 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 − 14 a − 5 .

                      Lösung

                      3 a 2 − 8 a − 3 a 2 − 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 − 14 a − 5 Faktorisieren Sie die Zähler und Nenner und multiplizieren Sie dann. ( 3 a + 1 ) ( a − 3 ) ( a + 5 ) ( a + 5 ) ( a − 5 ) ( a + 5 ) ( 3 a + 1 ) ( a − 5 ) Vereinfachen Sie durch Heraustrennen gemeinsamer Faktoren. ( 3 a + 1 ) ( a − 3 ) ( a + 5 ) ( a + 5 ) ( a - 5 ) ( a + 5 ) ( 3 a + 1 ) ( a - 5 ) Vereinfachen. ( a − 3 ) ( a + 5 ) ( a − 5 ) ( a − 5 ) Schreiben Sie ( a − 5 ) ( a − 5 ) mit einem Exponenten um. ( a − 3 ) ( a + 5 ) ( a − 5 ) 2 3 a 2 − 8 a − 3 a 2 − 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 − 14 a − 5 Faktorisieren Sie die Zähler und Nenner und dann multiplizieren. ( 3 a + 1 ) ( a − 3 ) ( a + 5 ) ( a + 5 ) ( a − 5 ) ( a + 5 ) ( 3 a + 1 ) ( a − 5 ) Vereinfachen Sie durch Heraustrennen gemeinsamer Faktoren. ( 3 a + 1 ) ( a − 3 ) ( a + 5 ) ( a + 5 ) ( a - 5 ) ( a + 5 ) ( 3 a + 1 ) ( a - 5 ) Vereinfachen. ( a − 3 ) ( a + 5 ) ( a − 5 ) ( a − 5 ) Schreiben Sie ( a − 5 ) ( a − 5 ) mit einem Exponenten um. ( a − 3 ) ( a + 5 ) ( a − 5 ) 2

                      Vereinfachen: 2 x 2 + 5 x − 12 x 2 − 16 · x 2 − 8 x + 16 2 x 2 − 13 x + 15 . 2 x 2 + 5 x − 12 x 2 − 16 · x 2 − 8 x + 16 2 x 2 − 13 x + 15 .

                      Vereinfachen Sie: 4 b 2 + 7 b − 2 1 − b 2 · b 2 − 2 b + 1 4 b 2 + 15 b − 4 . 4 b 2 + 7 b − 2 1 − b 2 · b 2 − 2 b + 1 4 b 2 + 15 b − 4 .

                      Rationale Ausdrücke teilen

                      Genau wie bei numerischen Brüchen multiplizieren wir zur Division rationaler Ausdrücke den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten.

                      Division rationaler Ausdrücke Expression

                      Wenn p, q, r, und so sind Polynome mit q 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 , q ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 , dann

                      Um rationale Ausdrücke zu dividieren, multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten.

                      Sobald wir die Division als Multiplikation des ersten Ausdrucks mit dem Kehrwert des zweiten umschreiben, faktorisieren wir alles und suchen nach gemeinsamen Faktoren.

                      Beispiel 7.7

                      So teilen Sie rationale Ausdrücke

                      Dividiere: p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 − q 2 6 . p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 − q 2 6 .

                      Lösung

                      Vereinfachen: x 3 − 8 3 x 2 − 6 x + 12 ÷ x 2 − 4 6 . x 3 − 8 3 x 2 − 6 x + 12 x 2 − 4 6 .

                      Vereinfachen Sie: 2 z 2 z 2 − 1 ÷ z 3 − z 2 + z z 3 + 1 . 2 z 2 z 2 − 1 ÷ z 3 − z 2 + z z 3 + 1 .

                      Wie man

                      Teilen Sie rationale Ausdrücke.

                      1. Schritt 1. Schreiben Sie die Division um als das Produkt des ersten rationalen Ausdrucks und des Kehrwerts des zweiten.
                      2. Schritt 2. Faktorisieren Sie die Zähler und Nenner vollständig.
                      3. Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner miteinander.
                      4. Schritt 4. Vereinfachen Sie, indem Sie gemeinsame Faktoren aufteilen.

                      Erinnern Sie sich aus Use the Language of Algebra daran, dass ein komplexer Bruch ein Bruch ist, der einen Bruch im Zähler, Nenner oder beidem enthält. Denken Sie auch daran, dass ein Bruchstrich eine Division bedeutet. Ein komplexer Bruch ist eine andere Schreibweise für die Division von zwei Brüchen.

                      Beispiel 7.8

                      Teilen: 6 x 2 − 7 x + 2 4 x − 8 2 x 2 − 7 x + 3 x 2 − 5 x + 6 . 6 x 2 − 7 x + 2 4 x − 8 2 x 2 − 7 x + 3 x 2 − 5 x + 6 .

                      Lösung

                      6 x 2 − 7 x + 2 4 x − 8 2 x 2 − 7 x + 3 x 2 − 5 x + 6 Mit Divisionszeichen umschreiben. 6 x 2 − 7 x + 2 4 x − 8 ÷ 2 x 2 − 7 x + 3 x 2 − 5 x + 6 Umschreiben als Produkt des ersten mal Kehrwerts des zweiten. 6 x 2 − 7 x + 2 4 x − 8 · x 2 − 5 x + 6 2 x 2 − 7 x + 3 Zähler und Nenner faktorisieren und dann multiplizieren. ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) 4 ( x − 2 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 ) Vereinfachen Sie durch Heraustrennen gemeinsamer Faktoren. ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) 4 ( x − 2 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 ) Vereinfachen. 3 x − 2 4 6 x 2 − 7 x + 2 4 x − 8 2 x 2 − 7 x + 3 x 2 − 5 x + 6 Mit Divisionszeichen umschreiben. 6 x 2 − 7 x + 2 4 x − 8 ÷ 2 x 2 − 7 x + 3 x 2 − 5 x + 6 Umschreiben als Produkt des ersten mal Kehrwerts des zweiten. 6 x 2 − 7 x + 2 4 x − 8 · x 2 − 5 x + 6 2 x 2 − 7 x + 3 Zähler und Nenner faktorisieren und dann multiplizieren. ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) 4 ( x − 2 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 ) Vereinfachen Sie durch Heraustrennen gemeinsamer Faktoren. ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) 4 ( x − 2 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 ) Vereinfachen. 3 x − 2 4

                      Vereinfachen: 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2 − 14 x − 5 x 2 + x − 30 . 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2 − 14 x − 5 x 2 + x − 30 .

                      Vereinfachen Sie: y 2 − 36 2 y 2 + 11 y − 6 2 y 2 − 2 y − 60 8 y − 4 . J 2 – 36 2 J 2 + 11 J – 6 2 J 2 – 2 J – 60 8 J – 4 .

                      Wenn wir mehr als zwei rationale Ausdrücke haben, mit denen wir arbeiten können, folgen wir immer noch dem gleichen Verfahren. Der erste Schritt besteht darin, jede Division als Multiplikation mit dem Kehrwert umzuschreiben. Dann faktorisieren und multiplizieren wir.

                      Beispiel 7.9

                      Führen Sie die angegebenen Operationen durch: 3 x − 6 4 x − 4 · x 2 + 2 x − 3 x 2 − 3 x − 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16 . 3 x − 6 4 x − 4 · x 2 + 2 x − 3 x 2 − 3 x − 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16 .

                      Lösung

                      Schreibe die Division als Multiplikation um
                      durch die Gegenseitigkeit.
                      Faktorisieren Sie die Zähler und Nenner.
                      Multiplizieren Sie die Brüche. Bringen Sie die Konstanten zu
                      die Vorderseite hilft beim Entfernen gemeinsamer Faktoren.
                      Vereinfachen Sie, indem Sie gemeinsame Faktoren heraustrennen.
                      Vereinfachen.

                      Führen Sie die angegebenen Operationen durch: 4 m + 4 3 m − 15 · m 2 − 3 m − 10 m 2 − 4 m − 32 ÷ 12 m − 36 6 m − 48 . 4 m + 4 3 m − 15 · m 2 − 3 m − 10 m 2 − 4 m − 32 ÷ 12 m − 36 6 m − 48 .

                      Führen Sie die angegebenen Operationen aus: 2 n 2 + 10 n n − 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n − 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n . 2 n 2 + 10 n n − 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n − 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n .

                      Rationale Funktionen multiplizieren und dividieren

                      Rationale Funktion

                      Eine rationale Funktion ist eine Funktion der Form

                      Der Definitionsbereich einer rationalen Funktion umfasst alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Werte, die eine Division durch Null verursachen würden. Wir müssen alle Werte eliminieren, die q(x) = 0 machen. q(x) = 0.

                      Wie man

                      Bestimmen Sie den Definitionsbereich einer rationalen Funktion.

                      1. Schritt 1. Setzen Sie den Nenner gleich Null.
                      2. Schritt 2. Lösen Sie die Gleichung.
                      3. Schritt 3. Die Domäne besteht aus allen reellen Zahlen mit Ausnahme der in Schritt 2 gefundenen Werte.

                      Beispiel 7.10

                      Finden Sie den Bereich von R ( x ) = 2 x 2 − 14 x 4 x 2 − 16 x − 48 . R ( x ) = 2 x 2 − 14 x 4 x 2 − 16 x − 48 .

                      Lösung

                      Die Domäne besteht aus allen reellen Zahlen mit Ausnahme der Werte, die den Nenner zu Null machen. Wir werden den Nenner gleich Null setzen, diese Gleichung lösen und dann diese Werte aus dem Bereich ausschließen.

                      Setzen Sie den Nenner auf Null. 4 x 2 − 16 x − 48 = 0 Faktor, zuerst den GCF herausrechnen. 4 ( x 2 − 4 x − 12 ) = 0 4 ( x − 6 ) ( x + 2 ) = 0 Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft. 4 ≠ 0 x − 6 = 0 x + 2 = 0 Löse. x = 6 x = −2 Der Definitionsbereich von R ( x ) besteht aus allen reellen Zahlen mit x ≠ 6 und x ≠ − 2 . Setzen Sie den Nenner auf Null. 4 x 2 − 16 x − 48 = 0 Faktor, zuerst den GCF herausrechnen. 4 ( x 2 − 4 x − 12 ) = 0 4 ( x − 6 ) ( x + 2 ) = 0 Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft. 4 ≠ 0 x − 6 = 0 x + 2 = 0 Löse. x = 6 x = −2 Der Definitionsbereich von R ( x ) besteht aus allen reellen Zahlen mit x ≠ 6 und x ≠ − 2 .

                      Finden Sie den Bereich von R ( x ) = 2 x 2 − 10 x 4 x 2 − 16 x − 20 . R ( x ) = 2 x 2 − 10 x 4 x 2 − 16 x − 20 .

                      Finden Sie den Bereich von R ( x ) = 4 x 2 − 16 x 8 x 2 − 16 x − 64 . R(x) = 4 x 2 − 16 x 8 x 2 − 16 x − 64 .

                      Um rationale Funktionen zu multiplizieren, multiplizieren wir die resultierenden rationalen Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichung mit den gleichen Techniken wie bei der Multiplikation rationaler Ausdrücke.

                      Beispiel 7.11

                      Lösung

                      R ( x ) = f ( x ) · g ( x ) R ( x ) = 2 x − 6 x 2 − 8 x + 15 · x 2 − 25 2 x + 10 Faktorisieren Sie jeden Zähler und Nenner. R ( x ) = 2 ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x − 5 ) · ( x − 5 ) ( x + 5 ) 2 ( x + 5 ) Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner. R ( x ) = 2 ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) 2 ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Entfernen Sie gemeinsame Faktoren. R ( x ) = 2 ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) 2 ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Vereinfachen. R ( x ) = 1 R ( x ) = f ( x ) · g ( x ) R ( x ) = 2 x − 6 x 2 − 8 x + 15 · x 2 − 25 2 x + 10 Faktor jeder Zähler und Nenner . R ( x ) = 2 ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x − 5 ) · ( x − 5 ) ( x + 5 ) 2 ( x + 5 ) Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner. R ( x ) = 2 ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) 2 ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Entfernen Sie gemeinsame Faktoren. R ( x ) = 2 ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) 2 ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Vereinfachen. R(x) = 1

                      Um rationale Funktionen zu teilen, teilen wir die resultierenden rationalen Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichung mit den gleichen Techniken wie bei der Division rationaler Ausdrücke.

                      Beispiel 7.12

                      Lösung

                      R ( x ) = f ( x ) g ( x ) Ersetze die Funktionen f ( x ) , g ( x ) . R ( x ) = 3 x 2 x 2 − 4 x 9 x 2 − 45 x x 2 − 7 x + 10 Schreiben Sie die Division als Produkt von f ( x ) und dem Kehrwert von g ( x ) um . R ( x ) = 3 x 2 x 2 − 4 x · x 2 − 7 x + 10 9 x 2 − 45 x Faktorisieren Sie die Zähler und Nenner und multiplizieren Sie dann. R ( x ) = 3 · x · x · ( x - 5 ) ( x - 2 ) x ( x - 4 ) · 3 · 3 · x · ( x - 5 ) Vereinfachen Sie durch Heraustrennen gemeinsamer Faktoren. R ( x ) = 3 · x · x ( x - 5 ) ( x - 2 ) x ( x - 4 ) · 3 · 3 · x ( x - 5 ) R ( x ) = x - 2 3 ( x - 4 ) R ( x ) = f ( x ) g ( x ) Ersetze in den Funktionen f ( x ) , g ( x ) . R ( x ) = 3 x 2 x 2 − 4 x 9 x 2 − 45 x x 2 − 7 x + 10 Schreiben Sie die Division als Produkt von f ( x ) und dem Kehrwert von g ( x ) um . R ( x ) = 3 x 2 x 2 − 4 x · x 2 − 7 x + 10 9 x 2 − 45 x Faktorisieren Sie die Zähler und Nenner und multiplizieren Sie dann. R ( x ) = 3 · x · x · ( x - 5 ) ( x - 2 ) x ( x - 4 ) · 3 · 3 · x · ( x - 5 ) Vereinfachen Sie durch Heraustrennen gemeinsamer Faktoren. R ( x ) = 3 · x · x ( x - 5 ) ( x - 2 ) x ( x - 4 ) · 3 · 3 · x ( x - 5 ) R ( x ) = x - 2 3 ( x - 4 )

                      Abschnitt 7.1 Übungen

                      Übung macht den Meister

                      Bestimmen Sie die Werte, für die ein rationaler Ausdruck undefiniert ist

                      Bestimmen Sie in den folgenden Übungen die Werte, für die der rationale Ausdruck undefiniert ist.

                      Vereinfachen Sie rationale Ausdrücke

                      Vereinfachen Sie in den folgenden Übungen jeden rationalen Ausdruck.

                      p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p − 6 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p − 6

                      x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25 x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25

                      8 b 2 – 32 b 2 b 2 – 6 b – 80 8 b 2 – 32 b 2 b 2 – 6 b – 80

                      −5 c 2 − 10 c −10 c 2 + 30 c + 100 −5 c 2 − 10 c −10 c 2 + 30 c + 100

                      3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2 − 100 n 2 3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2 − 100 n 2

                      5 r 2 + 30 r s − 35 s 2 r 2 − 49 s 2 5 r 2 + 30 r s − 35 s 2 r 2 − 49 s 2

                      Rationale Ausdrücke multiplizieren

                      Multiplizieren Sie in den folgenden Übungen die rationalen Ausdrücke.

                      5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2 5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2

                      12 a 3 b b 2 · 2 a b 2 9 b 3 12 a 3 b b 2 · 2 a b 2 9 b 3

                      5 p 2 p 2 − 5 p − 36 · p 2 − 16 10 p 5 p 2 p 2 − 5 p − 36 · p 2 − 16 10 p

                      3 q 2 q 2 + q − 6 · q 2 − 9 9 q 3 q 2 q 2 + q − 6 · q 2 − 9 9 q

                      2 Jahre 2 − 10 Jahre 2 + 10 Jahre + 25 · Jahre + 5 6 Jahre 2 Jahre 2 − 10 Jahre 2 Jahre + 10 Jahre + 25 · Jahre + 5 6 Jahre

                      z 2 + 3 z z 2 − 3 z − 4 · z − 4 z 2 z 2 + 3 z z 2 − 3 z − 4 · z − 4 z 2

                      28 − 4 b 3 b − 3 · b 2 + 8 b − 9 b 2 − 49 28 − 4 b 3 b − 3 · b 2 + 8 b − 9 b 2 − 49

                      72 m − 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2 − 36 72 m − 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2 − 36

                      c 2 − 10 c + 25 c 2 − 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 − 14 c − 5 c 2 − 10 c + 25 c 2 − 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 − 14 c − 5

                      2 d 2 + d − 3 d 2 − 16 · d 2 − 8 d + 16 2 d 2 − 9 d − 18 2 d 2 + d − 3 d 2 − 16 · d 2 − 8 d + 16 2 d 2 − 9 Tage − 18

                      2 m 2 − 3 m − 2 2 m 2 + 7 m + 3 · 3 m 2 − 14 m + 15 3 m 2 + 17 m − 20 2 m 2 − 3 m − 2 2 m 2 + 7 m + 3 · 3 m 2 − 14 m + 15 3 m 2 + 17 m − 20

                      2 n 2 − 3 n − 14 25 − n 2 · n 2 − 10 n + 25 2 n 2 − 13 n + 21 2 n 2 − 3 n − 14 25 − n 2 · n 2 − 10 n + 25 2 n 2 − 13 n + 21

                      Rationale Ausdrücke teilen

                      Teilen Sie in den folgenden Übungen die rationalen Ausdrücke.

                      v − 5 11 − v ÷ v 2 − 25 v − 11 v − 5 11 − v ÷ v 2 − 25 v − 11

                      10 + w w − 8 ÷ 100 − w 2 8 − w 10 + w w − 8 ÷ 100 − w 2 8 − w

                      3 s 2 s 2 − 16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3 − 64 3 s 2 s 2 − 16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3 − 64

                      r 2 − 9 15 r 3 − 27 5 r 2 + 15 r + 45 r 2 − 9 15 ÷ r 3 − 27 5 r 2 + 15 r + 45

                      p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 − q 2 12 p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 − q 2 12

                      v 3 − 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 v 2 − 4 w 2 4 v 3 − 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 − 4 w 2 4

                      x 2 + 3 x − 10 4 x ( 2 x 2 + 20 x + 50 ) x 2 + 3 x − 10 4 x ÷ ( 2 x 2 + 20 x + 50 )

                      2 y 2 − 10 y z − 48 z 2 2 y − 1 ÷ ( 4 y 2 − 32 y z ) 2 y 2 − 10 y z − 48 z 2 2 y − 1 ÷ ( 4 y 2 − 32 y z )

                      2 a 2 − a − 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16 2 a 2 − a − 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16

                      3 b 2 + 2 b − 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b − 8 2 b 2 − 7 b − 15 3 b 2 + 2 b − 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b − 8 2 b 2 − 7 b − 15

                      12 c 2 − 12 2 c 2 − 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 − 13 c + 5 12 c 2 − 12 2 c 2 − 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 − 13 c + 5

                      4 d 2 + 7 d − 2 35 d + 10 d 2 − 4 7 d 2 − 12 d − 4 4 d 2 + 7 d − 2 35 d + 10 d 2 − 4 7 d 2 − 12 d − 4

                      Führen Sie für die folgenden Übungen die angegebenen Vorgänge aus.

                      10 m 2 + 80 m 3 m − 9 · m 2 + 4 m − 21 m 2 − 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m − 10 10 m 2 + 80 m 3 m − 9 · m 2 + 4 m − 21 m 2 − 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m − 10

                      4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 − n − 2 n 2 + n − 30 ÷ 108 n 2 − 24 nn + 6 4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 − n − 2 n 2 + n − 30 ÷ 108 n 2 − 24 nn + 6

                      12 p 2 + 3 pp + 3 ÷ p 2 + 2 p − 63 p 2 − p − 12 · p − 7 9 p 3 − 9 p 2 12 p 2 + 3 pp + 3 ÷ p 2 + 2 p − 63 p 2 − p − 12 · p − 7 9 p 3 − 9 p 2

                      6 q + 3 9 q 2 − 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q − 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6 6 q + 3 9 q 2 − 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q − 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6

                      Rationale Funktionen multiplizieren und dividieren

                      Finden Sie in den folgenden Übungen den Bereich jeder Funktion.

                      R ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25 R ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25

                      R ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x 2 − 4 R ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x 2 − 4

                      R ( x ) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x - 36 R ( x ) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x - 36

                      R ( x ) = 8 x 2 - 32 x 2 x 2 - 6 x - 80 R ( x ) = 8 x 2 - 32 x 2 x 2 - 6 x - 80

                      Für die folgenden Übungen finden Sie R ( x ) = f ( x ) · g ( x ) R ( x ) = f ( x ) · g ( x ) wobei f ( x ) f ( x ) und g ( x ) g ( x) gegeben.

                      Finden Sie für die folgenden Übungen R ( x ) = f ( x ) g ( x ) R ( x ) = f ( x ) g ( x ) wobei f ( x ) f ( x ) und g ( x ) g ( x ) sind gegeben.

                      Schreibübungen

                      Erklären Sie, wie Sie die Werte von finden x für die der rationale Ausdruck x 2 − x − 20 x 2 − 4 x 2 − x − 20 x 2 − 4 undefiniert ist.

                      Erklären Sie alle Schritte, die Sie unternehmen, um den rationalen Ausdruck p 2 + 4 p − 21 9 − p 2 zu vereinfachen. p 2 + 4 p − 21 9 − p 2 .

                      Selbstüberprüfung

                      ⓐ Verwenden Sie nach Abschluss der Übungen diese Checkliste, um Ihre Beherrschung der Ziele dieses Abschnitts zu bewerten.

                      ⓑ Wenn die meisten Ihrer Kontrollen:

                      …selbstbewusst. Herzliche Glückwünsche! Sie haben Ihre Ziele in diesem Abschnitt erreicht! Denken Sie über die Lernfähigkeiten nach, die Sie verwendet haben, damit Sie sie weiterhin anwenden können. Was haben Sie getan, um sich Ihrer Fähigkeit, diese Dinge zu tun, sicher zu sein? Sei präzise!

                      …mit etwas Hilfe. Dies muss schnell angegangen werden, da Themen, die Sie nicht beherrschen, zu Schlaglöchern auf Ihrem Weg zum Erfolg werden. Mathematik ist sequentiell - jedes Thema baut auf vorheriger Arbeit auf. Es ist wichtig, sicherzustellen, dass Sie ein starkes Fundament haben, bevor Sie weitermachen. Wen können Sie um Hilfe bitten? Ihre Kommilitonen und der Lehrer sind gute Ressourcen. Gibt es auf dem Campus einen Ort, an dem Mathe-Tutoren zur Verfügung stehen? Können Ihre Lernfähigkeiten verbessert werden?

                      … nein – ich verstehe es nicht! Dies ist kritisch und Sie dürfen es nicht ignorieren. Sie müssen sofort Hilfe holen, sonst sind Sie schnell überfordert. Suchen Sie so schnell wie möglich Ihren Lehrer auf, um Ihre Situation zu besprechen. Gemeinsam können Sie einen Plan entwickeln, um Ihnen die Hilfe zu geben, die Sie benötigen.

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                        • Autoren: Lynn Marecek
                        • Herausgeber/Website: OpenStax
                        • Buchtitel: Intermediate Algebra
                        • Erscheinungsdatum: 14.03.2017
                        • Ort: Houston, Texas
                        • Buch-URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra/pages/1-introduction
                        • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra/pages/7-1-multiply-and-divide-rational-expressions

                        © 16.09.2020 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


                        Maharashtra Board Klasse 7 Mathe-Lösungen Kapitel 2 Multiplikation und Division von ganzen Zahlen Übungsset 9

                        Frage 1.
                        Lösen
                        ich. (-96) 16
                        ii. 98 ÷ (-28)
                        iii. (-51) 68
                        iv. 38 ÷ (-57)
                        V. (-85) 20
                        vi. (-150) (-25)
                        vii. 100 60
                        viii. 9 ÷ (-54)
                        ix. 78 65
                        x. (-5) (-315)
                        Lösung:
                        ich. (-96) 16

                        ii. 98 ÷ (-28)

                        iii. (-51) 68

                        iv. 38 ÷ (-57)

                        V. (-85) 20

                        vi. (-150) (-25)

                        vii. 100 60

                        viii. 9 ÷ (-54)

                        ix. 78 65

                        x. (-5) (-315)

                        Frage 2.
                        Schreiben Sie drei Divisionen von ganzen Zahlen, so dass die Bruchform von jeder (frac < 24 >< 5 >) ist.
                        Lösung:

                        Frage 3.
                        Schreiben Sie drei Divisionen von ganzen Zahlen, so dass die Bruchform von jeder (frac < -5 >< 7 >) ist.
                        Lösung:

                        Frage 4.
                        Die Fische im Teich unten tragen einige Nummern. (Wählen Sie 4 beliebige Paare und führen Sie vier Multiplikationen mit diesen Zahlen durch. Wählen Sie nun vier andere Paare aus und führen Sie Divisionen mit diesen Zahlen durch.
                        Beispiele:
                        ich. (-13) × (-15) = 195
                        ii. (-24) ÷ 9 = (frac<-24><9>=frac<-8><3>)

                        Lösung:

                        1. (-13) × 9 = -117
                        2. 12 × 13 = 156
                        3. 9 × (-37) = -333
                        4. (-15) × (-8) = 120
                        5. ((-28) div 12=frac<-28><12>=frac<(-1) imes(28)><12>=frac<-7><3>)
                        6. (12 div 9=frac<12><9>=frac<4><3>)
                        7. (9 div(-24)=frac<9><-24>=frac<9><(-1) imes 24>=frac<-3><8>)
                        8. ((-18) div(-27)=frac<-18><-27>=frac<(-1) imes 18><(-1) imes 27>=frac<2> <3>)

                        Hinweis: Die Aufgaben 2, 3 und 4 haben viele Antworten. Die Schüler können andere als die angegebenen Antworten schreiben.


                        1.4 Ganzzahlen multiplizieren und dividieren

                        Eine ausführlichere Einführung in die in diesem Abschnitt behandelten Themen finden Sie im Präalgebra Kapitel, Ganzzahlen.

                        Ganzzahlen multiplizieren

                        Da Multiplikation eine mathematische Abkürzung für wiederholte Addition ist, kann unser Modell leicht angewendet werden, um die Multiplikation ganzer Zahlen zu zeigen. Schauen wir uns dieses konkrete Modell an, um zu sehen, welche Muster wir bemerken. Wir werden die gleichen Beispiele verwenden, die wir für die Addition und Subtraktion verwendet haben. Hier verwenden wir das Modell nur, um uns zu helfen, das Muster zu entdecken.

                        Die nächsten beiden Beispiele sind interessanter.

                        Beachten Sie, dass bei der Multiplikation von zwei vorzeichenbehafteten Zahlen:

                        • Zeichen sind die gleich, das Produkt ist positiv.
                        • Zeichen sind anders, das Produkt ist Negativ.

                        Wir werden dies alles in der folgenden Tabelle zusammenfassen.

                        Multiplikation von Zahlen mit Vorzeichen

                        Zur Multiplikation zweier vorzeichenbehafteter Zahlen:

                        Verschiedene Zeichen Produkt Beispiel
                        Positiv negativ
                        Negativ positiv
                        Negativ
                        Negativ
                        7 ( −9 ) = −63 −5 · 10 = −50 7 ( −9 ) = −63 −5 · 10 = −50

                        Beispiel 1.46

                        Lösung

                        Wenn wir eine Zahl mit 1 multiplizieren, ist das Ergebnis dieselbe Zahl. Was passiert, wenn wir eine Zahl mit −1 multiplizieren? -1 ? Lassen Sie uns eine positive Zahl und dann eine negative Zahl mit −1 −1 multiplizieren, um zu sehen, was wir erhalten.

                        Jedes Mal, wenn wir eine Zahl mit −1 , −1 multiplizieren, erhalten wir das Gegenteil!

                        Multiplikation mit −1 −1

                        Die Multiplikation einer Zahl mit −1 −1 ergibt das Gegenteil.

                        Beispiel 1.47

                        Lösung


                        Multiplizieren Sie und beachten Sie, dass die Vorzeichen unterschiedlich sind, sodass das Produkt negativ ist.
                        −1 · 7 −7 −7 ist das Gegenteil von 7 . −1 · 7 −7 −7 ist das Gegenteil von 7 .

                        Multiplizieren Sie und beachten Sie, dass die Vorzeichen gleich sind, damit das Produkt positiv ist.
                        −1 ( −11 ) 11 11 ist das Gegenteil von −11 . −1 ( −11 ) 11 11 ist das Gegenteil von −11 .

                        Ganzzahlen dividieren

                        Die Division folgt den gleichen Regeln wie die Multiplikation!

                        Zur Division von zwei vorzeichenbehafteten Zahlen, wenn:

                        • Zeichen sind die gleich, der Quotient ist positiv.
                        • Zeichen sind anders, der Quotient ist Negativ.

                        Und denken Sie daran, dass wir die Antwort einer Divisionsaufgabe immer durch Multiplizieren überprüfen können.

                        Multiplikation und Division von Zahlen mit Vorzeichen

                        Zur Multiplikation und Division von zwei vorzeichenbehafteten Zahlen:

                        • Bei gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis positiv.
                        • Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Ergebnis negativ.
                        Gleiche Zeichen Ergebnis
                        Zwei Pluspunkte
                        Zwei Negative
                        Positiv
                        Positiv
                        Bei gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis positiv.
                        Verschiedene Zeichen Ergebnis
                        Positiv und negativ
                        Negativ und positiv
                        Negativ
                        Negativ
                        Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Ergebnis negativ.

                        Beispiel 1.48

                        Lösung

                        Ausdrücke mit ganzen Zahlen vereinfachen

                        Was passiert, wenn ein Ausdruck mehr als zwei Zahlen enthält? Die Reihenfolge der Operationen gilt weiterhin, wenn Negative enthalten sind. Erinnerst du dich an meine liebe Tante Sally?

                        Versuchen wir einige Beispiele. Wir vereinfachen Ausdrücke, die alle vier Operationen mit ganzen Zahlen verwenden – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Denken Sie daran, die Reihenfolge der Operationen einzuhalten.

                        Beispiel 1.49

                        Lösung

                        Beispiel 1,50

                        Lösung

                        Beachten Sie den Unterschied in den Teilen ⓐ und ⓑ . In Teil ⓐ bedeutet der Exponent, die Klammern ( −2 ) ( −2 ) in die 4. 4. Potenz zu erheben. In Teil ⓑ bedeutet der Exponent, nur die 2 zur 4. 4. Potenz zu erhöhen und dann das Gegenteil zu nehmen.

                        Das nächste Beispiel erinnert uns daran, zuerst in Klammern zu vereinfachen.

                        Beispiel 1.51

                        Lösung

                        Beispiel 1.52

                        Lösung

                        Beispiel 1.53

                        Lösung

                        Variablenausdrücke mit ganzen Zahlen auswerten

                        Denken Sie daran, dass das Auswerten eines Ausdrucks bedeutet, die Variable im Ausdruck durch eine Zahl zu ersetzen. Jetzt können wir sowohl negative als auch positive Zahlen verwenden.

                        Beispiel 1,54

                        Lösung

                        Beispiel 1.55

                        Lösung

                        Beispiel 1.56

                        Lösung

                        Beispiel 1.57

                        Lösung

                        Übersetzen Sie Phrasen in Ausdrücke mit ganzen Zahlen

                        Unsere frühere Arbeit, Englisch in Algebra zu übersetzen, gilt auch für Phrasen, die sowohl positive als auch negative Zahlen enthalten.

                        Beispiel 1,58

                        Übersetzen und vereinfachen: die Summe von 8 und −12 , −12 , erhöht um 3.

                        Lösung

                        Übersetze und vereinfache die Summe von 9 und −16 , −16 , erhöht um 4.

                        Übersetze und vereinfache die Summe von −8 −8 und −12 , −12 , erhöht um 7.

                        Als wir die Operationssymbole zum ersten Mal eingeführt haben, haben wir gesehen, dass der Ausdruck auf verschiedene Weise gelesen werden kann. Sie sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

                        Seien Sie vorsichtig, um zu bekommen ein und b in der richtigen Reihenfolge!

                        Beispiel 1,59

                        Übersetze und vereinfache dann ⓐ die Differenz von 13 und −21 −21 ⓑ subtrahiere 24 von −19 . −19 .

                        Lösung

                        Übersetze und vereinfache ⓐ die Differenz von 14 und −23 −23 ⓑ subtrahiere 21 von −17 . −17 .

                        Übersetze und vereinfache ⓐ die Differenz von 11 und −19 −19 ⓑ subtrahiere 18 von −11 . −11 .

                        Noch einmal, unsere frühere Arbeit, Englisch in Algebra zu übersetzen, überträgt sich auf Phrasen, die sowohl das Multiplizieren als auch das Dividieren von ganzen Zahlen beinhalten. Denken Sie daran, dass das Schlüsselwort für Multiplikation „Produkt“ und für Division „Quotient“ ist.

                        Beispiel 1.60

                        Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich: das Produkt von −2 −2 und 14.

                        Lösung

                        Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich: das Produkt von −5 −5 und 12.

                        Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich: das Produkt von 8 und −13 . −13 .

                        Beispiel 1.61

                        Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich: den Quotienten von −56 −56 und −7 . −7 .

                        Lösung

                        Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich: den Quotienten von −63 −63 und −9 . −9 .

                        Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich: den Quotienten von −72 −72 und −9 . −9 .

                        Verwenden von ganzen Zahlen in Anwendungen

                        Wir werden einen Plan zur Lösung von Anwendungen skizzieren. Es ist schwer, etwas zu finden, wenn wir nicht wissen, wonach wir suchen oder wie wir es nennen sollen! Wenn wir also eine Anwendung lösen, müssen wir zunächst feststellen, was das Problem uns zu suchen auffordert. Dann schreiben wir einen Satz, der die Informationen enthält, um ihn zu finden. Wir übersetzen den Ausdruck in einen Ausdruck und vereinfachen dann den Ausdruck, um die Antwort zu erhalten. Abschließend fassen wir die Antwort in einem Satz zusammen, um sicherzustellen, dass sie Sinn macht.

                        Beispiel 1.62

                        So wenden Sie eine Strategie zum Lösen von Anwendungen mit Ganzzahlen an

                        Am Morgen betrug die Temperatur in Urbana, Illinois, 11 Grad. Am Nachmittag war die Temperatur auf -9 -9 Grad gefallen. Was war der Unterschied zwischen den Morgen- und Nachmittagstemperaturen?

                        Lösung

                        Am Morgen betrug die Temperatur in Anchorage, Alaska, 15 Grad. Am Nachmittag war die Temperatur auf 30 Grad unter Null gefallen. Was war der Unterschied zwischen den Morgen- und Nachmittagstemperaturen?

                        Wie man

                        Wenden Sie eine Strategie an, um Anwendungen mit ganzen Zahlen zu lösen.

                        1. Schritt 1. Lesen Sie das Problem. Stellen Sie sicher, dass alle Wörter und Ideen verstanden werden
                        2. Schritt 2. Identifizieren Sie, was wir finden sollen.
                        3. Schritt 3. Schreiben Sie einen Satz, der die Informationen enthält, um ihn zu finden.
                        4. Schritt 4. Übersetzen Sie den Satz in einen Ausdruck.
                        5. Schritt 5. Vereinfachen Sie den Ausdruck.
                        6. Schritt 6. Beantworten Sie die Frage mit einem vollständigen Satz.

                        Beispiel 1.63

                        Die Mustangs-Fußballmannschaft erhielt im dritten Viertel drei Strafen. Jeder Elfmeter gab ihnen einen Verlust von fünfzehn Yards. Wie viele Meter sind verloren?

                        Lösung

                        Schritt 1. Lesen Sie das Problem. Stellen Sie sicher, dass alle Wörter und Ideen verstanden werden.
                        Schritt 2. Identifizieren Sie, was wir finden sollen. die Anzahl der verlorenen Yards
                        Schritt 3. Schreiben Sie einen Satz, der die Informationen enthält, um ihn zu finden. dreimal eine 15-Yard-Strafe
                        Schritt 4. Übersetzen Sie den Satz in einen Ausdruck. 3 ( −15 ) 3 ( −15 )
                        Schritt 5. Den Ausdruck vereinfachen. −45 −45
                        Schritt 6. Beantworten Sie die Frage mit einem vollständigen Satz. Das Team verlor 45 Meter.

                        Die Bears spielten schlecht und hatten sieben Elfmeter im Spiel. Jeder Elfmeter führte zu einem Verlust von 15 Yards. Wie viele Yards werden durch Strafen verloren?

                        Bill benutzt den Geldautomaten auf dem Campus, weil es praktisch ist. Jedes Mal, wenn er es benutzt, wird ihm jedoch eine Gebühr von 2 USD berechnet. Letzten Monat hat er den Geldautomaten acht Mal benutzt. Wie hoch war seine Gesamtgebühr für die Nutzung des Geldautomaten?

                        Abschnitt 1.4 Übungen

                        Übung macht den Meister

                        Ganzzahlen multiplizieren

                        Multiplizieren Sie in den folgenden Übungen.

                        Ganzzahlen dividieren

                        Teilen Sie in den folgenden Übungen.

                        Ausdrücke mit ganzen Zahlen vereinfachen

                        Vereinfachen Sie in den folgenden Übungen jeden Ausdruck.

                        Variablenausdrücke mit ganzen Zahlen auswerten

                        Bewerten Sie in den folgenden Übungen jeden Ausdruck.

                        Übersetzen Sie englische Ausdrücke in algebraische Ausdrücke

                        Übersetzen Sie in den folgenden Übungen in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich.

                        die Differenz von 10 und −18 −18

                        Verwenden von ganzen Zahlen in Anwendungen

                        Lösen Sie in den folgenden Übungen.

                        Fußball Beim ersten Down hatten die Chargers den Ball auf ihrer 25-Yard-Linie. Sie verloren 6 Yards beim First-Down-Spiel, gewannen 10 Yards beim Second-Down-Spiel und verloren 8 Yards beim Third-Down-Spiel. Was war die Yard-Linie am Ende des Third-Down-Spiels?

                        Fußball Beim First Down hatten die Steelers den Ball auf ihrer 30-Yard-Linie. Sie gewannen 9 Yards beim First-Down-Spiel, verloren 14 Yards beim Second-Down-Spiel und verloren 2 Yards beim Third-Down-Spiel. Was war die Yard-Linie am Ende des Third-Down-Spiels?

                        Girokonto Mayra hat 124 Dollar auf ihrem Girokonto. Sie stellt einen Scheck über 152 Dollar aus. Wie hoch ist der neue Saldo auf ihrem Girokonto?

                        Girokonto Selina hat 165 Dollar auf ihrem Girokonto. Sie stellt einen Scheck über 207 Dollar aus. Wie hoch ist der neue Saldo auf ihrem Girokonto?

                        Mathe im Alltag

                        Aktienmarkt Javier besitzt 300 Aktien eines Unternehmens. Am Dienstag fiel der Aktienkurs um 12 US-Dollar pro Aktie. Wie war der Gesamteffekt auf Javiers Portfolio?

                        Gewichtsverlust In der ersten Woche eines Diätprogramms verloren acht Frauen durchschnittlich 3 Pfund pro Person. Wie hoch war die Gesamtgewichtsveränderung bei den acht Frauen?

                        Schreibübungen

                        Geben Sie in eigenen Worten die Regeln für die Multiplikation von ganzen Zahlen an.

                        Geben Sie in eigenen Worten die Regeln für die Division von ganzen Zahlen an.

                        Selbstüberprüfung

                        ⓐ Verwenden Sie nach Abschluss der Übungen diese Checkliste, um Ihre Beherrschung der Ziele dieses Abschnitts zu bewerten.

                        ⓑ Auf einer Skala von 1 bis 10, wie würden Sie Ihre Beherrschung dieses Abschnitts angesichts Ihrer Antworten auf der Checkliste bewerten? Wie können Sie dies verbessern?

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                          • Autoren: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
                          • Herausgeber/Website: OpenStax
                          • Buchtitel: Elementare Algebra 2e
                          • Erscheinungsdatum: 22.04.2020
                          • Ort: Houston, Texas
                          • Buch-URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
                          • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-4-multiply-and-divide-integers

                          © 22.01.2021 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


                          Unterrichtssynthese

                          Unterrichtssynthese

                          Der Zweck der Diskussion besteht darin, zu überprüfen, ob die Schüler verstehen, warum (10^n oldcdot 10^m = 10^) . Erwägen Sie, die Antworten der Schüler aufzuzeichnen und für alle sichtbar anzuzeigen.

                          Hier einige Fragen zur Diskussion:

                          • „Wie könnte man (10^ <15>oldcdot 10^<5>) mit einem einzigen Exponenten schreiben, ohne alle Faktoren zu erweitern?“ (Der erste Teil besteht aus 15 Faktoren, die 10 sind, und der zweite besteht aus 5 Faktoren, die 10 sind.Dies ergibt insgesamt 20 Faktoren, die 10 sind.)
                          • „Im Allgemeinen, was ist eine Regel, um zwei Zehnerpotenzen zu einer einzigen Zehnerpotenz zu multiplizieren?“ (Die Exponenten der beiden Zehnerpotenzen werden addiert.)

                          Definition von ganzen Zahlen

                          Ganzzahlen sind die natürlichen Zahlen, die Negativen dieser Zahlen oder Null. Eine ganze Zahl ist eine vollständige Entität. Ganzzahlen sind die Zahlen, die positiv, negativ oder null sein können, Zahlen ohne Nachkommastellen (keine Dezimalstellen).

                          Die Beispiele für ganze Zahlen sind 1, -2, 7, -8, 9, -12 usw.

                          Die Sammlung aller ganzen Zahlen wird durch das Symbol &ldquo . dargestelltZ&rdquo.

                          Einige weitere Beispiele:
                          Wenn jemand übergewichtig als normal ist, wird dies als positiv dargestellt, und wenn jemand untergewichtig als normal ist, wird es als negativ dargestellt.

                          Beispielsweise, (–2) ist eine ganze Zahl.
                          (–2) wird als &lsquonegative 2&rsquo gelesen.
                          Dies kann auch als (–2) oder ((​​-2)) geschrieben werden.
                          Es ist 2 weniger als 0.
                          (0 – 2 = –2) .
                          So natürliche Zahlen (die auf der rechten Seite von Null liegen) sind positiv, ihre Gegenstücke (negative natürliche Zahlen) sind Negativ.

                          Wir können den Zahlenstrahl verwenden, um zwei ganze Zahlen zu vergleichen.

                          Wir sagen, dass &ndash3 &ndash3 größer ist als&rsquo &ndash6, weil &ndash3 entlang der Linie rechts von &ndash6 liegt.
                          Ebenso ist &ndash5 &lsquo kleiner als&rsquo 2, da &ndash5 links von 2 liegt.

                          Daraus schließen wir, dass eine Zahl, die auf der linken Seite liegt, kleiner ist als die Zahl, die auf der rechten Seite liegt.

                          Beispiel: Welche der folgenden Optionen trifft in Bezug auf einen gegebenen Zahlenstrahl nicht zu?

                          (a) B ist größer als &ndash10
                          (b) A ist größer als 0
                          (c) A ist größer als B
                          (d) B ist größer als 0

                          Antworten: Die ersten drei Optionen sind richtig, aber B liegt auf der linken Seite von 0, ist also nicht größer als 0. Also ist Option (D) eindeutig nicht wahr.

                          Antworten: Auf dem Zahlenstrahl sehen wir, dass die Zahl umso kleiner ist, je größer der negative Wert ist. Damit können wir sagen, dass Option (C) richtig ist.

                          (C) &ndash79°C, &ndash70°C, &ndash58°C, &ndash53°C, &ndash52°C, &ndash40°C


                          Zahlen dividieren

                          Nehmen wir an, Sie möchten herausfinden, wie viele Personenstunden für die Fertigstellung eines Projekts benötigt wurden (Gesamtprojektstunden ÷ Gesamtzahl der Personen im Projekt) oder die tatsächliche Meilen pro Gallone für Ihre letzte Überlandfahrt (Gesamtkilometer ÷ Gesamtgallonen). Es gibt mehrere Möglichkeiten, Zahlen zu teilen.

                          Zahlen in einer Zelle teilen

                          Verwenden Sie für diese Aufgabe die / (Schrägstrich) arithmetischer Operator.

                          Wenn Sie beispielsweise you eingeben =10/5 in einer Zelle wird die Zelle angezeigt 2.

                          Wichtig: Achten Sie darauf, ein Gleichheitszeichen (=) in die Zelle, bevor Sie die Zahlen eingeben und die type / Andernfalls interpretiert Excel Ihre Eingabe als Datum. Wenn Sie beispielsweise 7/30 eingeben, zeigt Excel möglicherweise 30-Jul in der Zelle an. Wenn Sie 12/36 eingeben, konvertiert Excel diesen Wert zuerst in den 01.12.1936 und zeigt 1-Dez in der Zelle an.

                          Hinweis: Es gibt kein TEILEN Funktion in Excel.

                          Teilen Sie Zahlen mit Zellbezügen

                          Anstatt Zahlen direkt in eine Formel einzugeben, können Sie Zellbezüge wie A2 und A3 verwenden, um auf die Zahlen zu verweisen, durch die Sie dividieren und teilen möchten.

                          Das Beispiel ist möglicherweise leichter zu verstehen, wenn Sie es in ein leeres Arbeitsblatt kopieren.

                          So kopieren Sie ein Beispiel

                          Erstellen Sie eine leere Arbeitsmappe oder ein Arbeitsblatt.

                          Wählen Sie das Beispiel im Hilfethema aus.

                          Hinweis: Wählen Sie nicht die Zeilen- oder Spaltenüberschriften aus.

                          Auswählen eines Beispiels aus der Hilfe

                          Wählen Sie im Arbeitsblatt Zelle A1 aus und drücken Sie STRG+V.

                          Um zwischen der Anzeige der Ergebnisse und der Anzeige der Formeln zu wechseln, die die Ergebnisse zurückgeben, drücken Sie STRG+` (schwerer Akzent) oder auf der Formeln Klicken Sie auf die Registerkarte Formeln anzeigen Taste.


                          NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 7 Kapitel 1 - Integers

                          Der folgende Zahlenstrahl zeigt die Temperatur in Grad Celsius (°C) an verschiedenen Orten an einem bestimmten Tag.

                          (a) Beobachte diesen Zahlenstrahl und schreibe die Temperatur der darauf markierten Stellen.

                          (b) Wie groß ist der Temperaturunterschied zwischen den wärmsten und den kältesten Orten?

                          (c) Wie groß ist der Temperaturunterschied zwischen Lahulspiti und Srinagar?

                          (d) Können wir sagen, dass die Temperatur von Srinagar und Shimla zusammengenommen niedriger ist als die Temperatur von Shimla? Ist es auch niedriger als die Temperatur in Srinagar?

                          Antworten:

                          (a) Bei Beobachtung der gegebenen Daten sind die Temperaturen dieser Städte wie folgt.

                          (b) Temperatur am heißesten Ort, d. h. Bangalore = 22°C

                          Temperatur am kältesten Ort, d. h. Lahulspiti = &minus8°C

                          Temperaturdifferenz = 22°C &minus (&minus8°C)

                          Daher beträgt der Temperaturunterschied zwischen den heißesten und den kältesten Orten 30 °C.

                          (c) Temperatur bei Lahulspiti = &minus8°C

                          Temperatur in Srinagar = &minus2°C

                          Daher beträgt der Temperaturunterschied zwischen Lahulspiti und Srinagar 6°C.

                          (d) Temperatur bei Srinagar = &minus2°C

                          Temperatur bei Shimla = 5°C

                          Temperatur von Srinagar und Shimla zusammen = &minus2°C + 5°C

                          3°C < Temperatur von Shimla

                          Ja, die Temperatur von Srinagar und Shimla zusammengenommen ist niedriger als die Temperatur von Shimla.

                          Daher ist die Temperatur von Srinagar und Shimla zusammengenommen nicht niedriger als die Temperatur von Srinagar.

                          Seite Nr. 4:

                          Frage 2:

                          Bei einem Quiz werden richtige Antworten positiv und falsche Antworten negativ bewertet. Wenn Jack&rsquos Punkte in fünf aufeinanderfolgenden Runden 25, &minus 5, &minus 10, 15 und 10 waren, wie hoch war dann seine Gesamtpunktzahl am Ende?

                          Antworten:

                          Jack&rsquos Punkte in fünf aufeinanderfolgenden Runden sind 25, &minus5, &minus10, 15 und 10. Die Gesamtpunktzahl von Jack am Ende ist die Summe dieser Punkte.

                          Daher Jack&rsquos Gesamtpunktzahl am Ende = 25 &minus 5 &minus 10 + 15 + 10 = 35

                          Seite Nr. 4:

                          Frage 3:

                          In Srinagar betrug die Temperatur am Montag minus 5 °C und fiel dann am Dienstag um 2 °C. Wie war die Temperatur in Srinagar am Dienstag? Am Mittwoch stieg sie um 4°C. Wie war die Temperatur an diesem Tag?

                          Antworten:

                          Temperatur am Montag = &minus5°C

                          Temperatur am Dienstag = Temperatur am Montag &minus2°C

                          Temperatur am Mittwoch = Temperatur am Dienstag + 4°C

                          Daher betrug die Temperatur am Dienstag und Mittwoch &minus7ºC bzw. &minus3ºC.

                          Seite Nr. 4:

                          Frage 4:

                          Ein Flugzeug fliegt in einer Höhe von 5000 m über dem Meeresspiegel. An einer bestimmten Stelle befindet es sich genau über einem U-Boot, das 1200 m unter dem Meeresspiegel schwimmt. Wie groß ist der vertikale Abstand zwischen ihnen?

                          Antworten:

                          Tiefe des U-Bootes = &minus1200 m

                          Entfernung zwischen Flugzeug und U-Boot = 5000 m &minus (&minus1200) m

                          Video Lösung für ganze Zahlen (Seite: 4 , Q.Nr.: 4)

                          NCERT-Lösung für Mathematik der Klasse 7 - ganze Zahlen 4 , Frage 4

                          Seite Nr. 4:

                          Frage 5:

                          Mohan zahlt Rs 2.000 auf sein Bankkonto ein und hebt am nächsten Tag Rs 1.642 davon ab. Wenn eine Auszahlung vom Konto durch eine negative ganze Zahl dargestellt wird, wie stellen Sie dann den eingezahlten Betrag dar? Finden Sie das Guthaben auf dem Konto von Mohan nach der Auszahlung.

                          Antworten:

                          Da der abgehobene Betrag durch eine negative ganze Zahl dargestellt wird, wird der eingezahlte Betrag durch eine positive ganze Zahl dargestellt.

                          Eingezahlter Betrag = Rs 2000

                          Abgehobener Betrag = &minusRs 1642

                          Guthaben auf dem Konto von Mohan = Geld eingezahlt + Geld abgehoben

                          = 2000 + (&minus1642) = 2000 &minus 1642 = 358

                          Daher beträgt der Saldo auf Mohans Konto nach der Auszahlung Rs 358.

                          Seite Nr. 4:

                          Frage 6:

                          Rita fährt 20 km nach Osten von einem Punkt A zum Punkt B. Von B fährt sie 30 km nach Westen entlang derselben Straße. Wenn die Entfernung nach Osten durch eine positive ganze Zahl dargestellt wird, wie stellen Sie dann die zurückgelegte Entfernung nach Westen dar? Durch welche ganze Zahl werden Sie ihre endgültige Position von A aus darstellen?

                          Antworten:

                          Da die Entfernung nach Osten durch eine positive ganze Zahl dargestellt wird, wird die zurückgelegte Entfernung nach Westen durch eine negative ganze Zahl dargestellt.

                          Zurückgelegte Strecke in östlicher Richtung = 20 km

                          Zurückgelegte Entfernung in Richtung Westen = &minus30 km

                          Zurückgelegte Entfernung von A = 20 + (&minus30) = &minus10 km

                          Daher werden wir die von Rita von Punkt A zurückgelegte Entfernung durch eine negative ganze Zahl darstellen, d. h. &minus 10 km (d. h. Rita befindet sich jetzt in westlicher Richtung).

                          Seite Nr. 5:

                          Frage 7:

                          In einem magischen Quadrat haben jede Reihe, Spalte und Diagonale die gleiche Summe. Überprüfe, welches der folgenden ein magisches Quadrat ist.

                          Antworten:

                          Es kann beobachtet werden, dass im Quadrat (i) jede Reihe und Spalte sich zu 0 addieren. Die Summe einer ihrer Diagonalen ist jedoch nicht 0.

                          Daher ist (i) kein magisches Quadrat.

                          Ebenso addieren sich im Quadrat (ii) jede Reihe, Spalte und Diagonale zu &minus9. Daher ist (ii) ein magisches Quadrat.

                          Seite Nr. 5:

                          Frage 8:

                          Überprüfen ein &minus (&minusb) = ein + b für die folgenden Werte von ein und b.

                          (ich) ein = 21, b = 18

                          (ii) ein = 118, b = 125

                          (iii) ein = 75, b = 84

                          (iv) ein = 28, b = 11

                          Antworten:

                          (ich) ein = 21, b = 18

                          ein &minus (&minusb) = 21 &minus (&minus18) = 21 + 18 = 39

                          ein + b = 21 + 18 = 39

                          &dort4ein &minus (&minusb) = ein + b = 39

                          (ii) ein = 118, b = 125

                          ein &minus (&minusb) = 118 &minus (&minus125) = 118 + 125 = 243

                          ein + b = 118 + 125 = 243

                          &dort4ein &minus (&minusb) = ein + b = 243

                          (iii) ein = 75, b = 84

                          ein &minus (&minusb) = 75 &minus (&minus84) = 75 + 84 = 159

                          ein + b = 75 + 84 = 159

                          &dort4 ein &minus (&minusb) = ein + b = 159

                          (iv) ein = 28, b = 11

                          ein &minus (&minusb) = 28 &minus (&minus11) = 28 + 11 = 39

                          ein + b = 28 + 11 = 39

                          &dort4 ein &minus (&minusb) = ein + b = 39

                          Seite Nr. 5:

                          Frage 9:

                          Verwenden Sie das Vorzeichen von >, < oder = im Kästchen, um die Aussagen wahr zu machen.

                          Antworten:

                          Seite Nr. 5:

                          Frage 10:

                          Ein Wassertank hat Stufen im Inneren. Auf der obersten Stufe (also der ersten Stufe) sitzt ein Affe. Der Wasserstand ist auf der neunten Stufe.

                          (i) Er springt 3 Schritte nach unten und springt dann 2 Schritte nach oben zurück. In wie vielen Sprüngen wird er den Wasserspiegel erreichen?

                          (ii) Nachdem er Wasser getrunken hat, möchte er zurück. Dazu springt er 4 Schritte nach oben und springt dann in jeder Bewegung 2 Schritte nach unten zurück. In wie vielen Sprüngen wird er die oberste Stufe wieder erreichen?

                          (iii) Wenn die Anzahl der nach unten verschobenen Schritte durch negative ganze Zahlen und die Anzahl der nach oben verschobenen Schritte durch positive ganze Zahlen dargestellt wird, stellen Sie seine Züge in Teil (i) und (ii) dar, indem Sie Folgendes vervollständigen (a) &minus 3 + 2 &minus &hellip = &minus 8 (b) 4 &minus 2 + &hellip = 8. In (a) repräsentiert die Summe (&minus 8) das Abwärtsgehen um acht Schritte. Was stellt die Summe 8 in (b) dar?

                          Antworten:

                          Lassen Sie die nach unten verschobenen Schritte durch positive ganze Zahlen und die nach oben verschobenen Schritte durch negative ganze Zahlen dargestellt werden.

                          (i) Anfangs war der Affe bei Schritt = 1

                          Nach dem 1. Sprung ist der Affe bei Schritt = 1 + 3 = 4

                          Nach dem 2. Sprung ist der Affe bei Schritt = 4 + (&minus2) = 2

                          Nach dem 3. Sprung ist der Affe bei Schritt = 2 + 3 = 5

                          Nach dem 4. Sprung ist der Affe bei Schritt = 5 + (&minus2) = 3

                          Nach dem 5. Sprung ist der Affe bei Schritt = 3 + 3 = 6

                          Nach dem 6. Sprung ist der Affe bei Schritt = 6 + (&minus2) = 4

                          Nach dem 7. Sprung ist der Affe bei Schritt = 4 + 3 = 7

                          Nach dem 8. Sprung ist der Affe bei Schritt = 7 + (&minus2) = 5

                          Nach dem 9. Sprung ist der Affe bei Schritt = 5 + 3 = 8

                          Nach dem 10. Sprung ist der Affe bei Schritt = 8 + (&minus2) = 6

                          Nach dem 11. Sprung ist der Affe bei Schritt = 6 + 3 = 9

                          Nach 11 Sprüngen befindet sich der Affe eindeutig auf Wasserniveau (d. h. im 9. Schritt).

                          (ii) Anfangs war der Affe bei Stufe = 9

                          Nach dem 1. Sprung ist der Affe bei Schritt = 9 + (&minus4) = 5

                          Nach dem 2. Sprung ist der Affe bei Schritt = 5 + 2 = 7

                          Nach dem 3. Sprung ist der Affe bei Schritt = 7 + (&minus 4) = 3

                          Nach dem 4. Sprung ist der Affe bei Schritt = 3 + 2 = 5

                          Nach dem 5. Sprung ist der Affe bei Schritt = 5 + (&minus 4) = 1

                          Offensichtlich wird der Affe nach 5 Sprüngen wieder an der obersten Stufe zurückgreifen.

                          (iii) Wenn nach unten verschobene Schritte durch negative ganze Zahlen dargestellt werden und nach oben verschobene Schritte durch positive ganze Zahlen dargestellt werden, dann werden seine Züge wie folgt sein.


                          Zahlen darstellen und vergleichen (N)

                          Teil A (Lektionen 1–7)
                          Zu den Themen gehören das Darstellen und Vergleichen positiver rationaler Zahlen (Ganzzahlen, Brüche und Dezimalzahlen), das Finden von Vielfachen und Faktoren positiver Ganzzahlen sowie das Bestimmen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) und des größten gemeinsamen Faktors (GCF) eines Paares positiver Ganzzahlen.

                          Teil B (Lektionen 8-12)
                          Zu den Themen gehören die Darstellung negativer Brüche und negativer Dezimalzahlen, das Vergleichen der Werte von zwei beliebigen rationalen Zahlen, die exponentielle Notation und die Verwendung von Faktorbäumen und Primfaktorzerlegungen, um den LCM oder den GCF eines Paares positiver Ganzzahlen zu ermitteln.

                          In dieser Lektion werden drei verschiedene Zahlensysteme untersucht: ganze Zahlen, ganze Zahlen und rationale Zahlen. Verbindungen zwischen verschiedenen Zahlensystemen werden hervorgehoben, um die Grundlage für Vergleiche und Operationen zu schaffen.

                          Mathematiker verwenden häufig den Zahlenstrahl, um Probleme zu lösen. In dieser Lektion überprüfen wir den Zahlenstrahl und konzentrieren uns auf das Zeichnen von Brüchen.

                          In der Mathematik sind Symbole für die Kommunikation wichtig. In dieser Lektion gehen wir auf die Symbole „größer als“ und „kleiner als“ ein. Darüber hinaus stellen wir zwei Techniken vor, die zum Vergleich von Brüchen verwendet werden.

                          Rationale Zahlen können als Brüche oder Dezimalzahlen geschrieben werden. In dieser Lektion besprechen wir die Zusammenhänge zwischen Bruchdarstellungen und Dezimaldarstellungen, insbesondere beim Zeichnen von Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

                          In dieser Lektion sehen wir uns an, wie eine Liste von Vielfachen einer ganzen Zahl erstellt wird. Mit unseren Listen identifizieren wir gemeinsame Vielfache von zwei ganzen Zahlen und achten dabei besonders auf das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM).

                          Faktoren, wie Vielfache, haben mit Multiplikation zu tun. In dieser Lektion lösen wir Probleme, indem wir Faktoren von positiven ganzen Zahlen identifizieren.

                          Als Erweiterung der Lektion zu den Faktoren vergleichen wir die Faktoren von zwei positiven ganzen Zahlen, um insbesondere gemeinsame Faktoren zu finden. Wir sind oft daran interessiert, den größten gemeinsamen Faktor (GCF) zu identifizieren. Wir schließen mit der Lösung von Textaufgaben, bei denen wir Faktoren auf verschiedene Kontexte anwenden müssen.

                          Bruchteile können positiv oder negativ sein. Ähnlich wie negative ganze Zahlen liegen negative Brüche links von Null auf dem Zahlenstrahl. In dieser Lektion zeichnen wir negative Brüche auf dem Zahlenstrahl auf, um uns zu helfen, die Werte dieser Zahlen zu verstehen und zu vergleichen.

                          Rationale Zahlen können als Brüche oder Dezimalzahlen geschrieben werden. In dieser Lektion vergleichen wir negative Dezimalzahlen, indem wir sie auf dem Zahlenstrahl darstellen. Wir vergleichen dann negative Brüche mit negativen Dezimalzahlen. Die dezimalen Äquivalente gängiger Brüche werden ermittelt und Strategien zur Umrechnung eines Bruchs in eine Dezimalzahl aufgezeigt. Schließlich lernen wir, wie man zwei beliebige rationale Zahlen vergleicht.

                          In dieser Lektion lernen wir, wiederholte Multiplikationen in exponentieller Notation darzustellen. Die Exponentialschreibweise wird dann verwendet, um ganze Zahlen in erweiterter Form mit Zehnerpotenzen darzustellen. Quadratzahlen und Würfelzahlen werden untersucht.

                          In dieser Lektion betrachten wir Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. Wir lernen, eine zusammengesetzte Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren mit einem Faktorbaum darzustellen.

                          Primfaktorzerlegungen können verwendet werden, um den größten gemeinsamen Faktor (GCF) und das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) eines Paares von positiven ganzen Zahlen zu bestimmen. Wir untersuchen, wie dies möglich ist, und verwenden diese Strategien, um Textaufgaben zu lösen.

                          Operationen (N)

                          Teil A (Lektionen 1-1)
                          Zu den Themen gehören das Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen, das Multiplizieren und Dividieren einer ganzen Zahl mit einer positiven rationalen Zahl sowie das Auswerten von Ausdrücken anhand der Reihenfolge der Operationen.

                          Teil B (Lektionen 12–19)
                          Zu den Themen gehören das Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen, Brüchen und Dezimalzahlen, das Approximieren von Quadratwurzeln positiver Ganzzahlen und das Auswerten von Ausdrücken, die Exponenten enthalten, unter Verwendung der Reihenfolge der Operationen.

                          Wir beginnen unsere Diskussion über die Addition damit, dass wir untersuchen, wie Zahlenlinien verwendet werden können, um die Addition darzustellen. In dieser Lektion konzentrieren wir uns auf die Addition von ganzen Zahlen, insbesondere darauf, wie positive und negative Zahlen mithilfe eines Zahlenstrahls addiert werden können.

                          Wir können ganze Zahlen addieren, ohne einen Taschenrechner oder einen Zahlenstrahl zu verwenden. In dieser Lektion erweitern wir unsere vorherige Diskussion über die ganzzahlige Addition und untersuchen Strategien zur mentalen Durchführung ganzer Additionen.

                          In dieser Lektion werden äquivalente Brüche untersucht, um darauf vorzubereiten, wann wir Brüche addieren und subtrahieren müssen. Bei der Suche nach äquivalenten Brüchen haben Sie die Möglichkeit, das Finden gemeinsamer Vielfacher, die Verwendung von unechten Brüchen und gemischten Zahlen, das Zeichnen auf der Zahlengeraden und den Vergleich rationaler Zahlen zu üben.

                          In dieser Lektion bauen wir auf unserem Verständnis der Addition auf, um rationale Zahlen einzubeziehen. Dazu besuchen wir die Zahlengerade und integrieren unsere Strategien zum Zeichnen rationaler Zahlen, um ihre Summe zu finden.

                          In dieser Lektion werden Strategien für die Addition von Brüchen ohne Verwendung eines Zahlenstrahls vorgestellt. Wir verwenden Zahlengeraden als Motivation, um einen gemeinsamen Nenner zu finden, dann gehen wir dazu über, Brüche ohne visuelle Hilfsmittel zu addieren.

                          Wir beginnen unsere Diskussion der Subtraktion, indem wir uns auf die ganzen Zahlen konzentrieren. In dieser Lektion überprüfen wir die Operation der Subtraktion, zeigen die Subtraktion auf dem Zahlenstrahl und lernen, wie man ganze Zahlen mit und ohne Zahlenstrahl subtrahiert.

                          In Fortsetzung unserer Diskussion über die Subtraktion untersuchen wir in dieser Lektion Strategien zum Subtrahieren von Brüchen. Unser Ziel ist es, äquivalente Brüche zu verwenden, um Subtraktionsprobleme ohne die Verwendung eines Taschenrechners oder des Zahlenstrahls zu lösen.

                          In dieser Lektion werden Strategien zum Multiplizieren ganzer Zahlen mit Brüchen und Dezimalzahlen untersucht. Wir lösen Beispiele und heben Regeln hervor, um Berechnungen ohne Taschenrechner durchzuführen.

                          Multiplikation ist die Operation, die zum Skalieren oder Ändern der Größe einer Menge verwendet wird. In dieser Lektion untersuchen wir Skalierungsfaktoren und diskutieren, warum wir über Multiplikation in Bezug auf Skalierung nachdenken müssen.

                          In dieser Lektion lernen wir, wie man Berechnungen löst, bei denen ganze Zahlen durch Brüche und Dezimalzahlen geteilt werden. Anhand von Beispielen zeigen wir Regeln für die Durchführung dieser Berechnungen ohne Taschenrechner auf.

                          Die Reihenfolge der Operationen wird überprüft und verwendet, um Berechnungen mit ganzen Zahlen, Brüchen und Dezimalzahlen durchzuführen. Darüber hinaus untersuchen wir die Bedeutung von Klammern, wenn sie benötigt werden und wann sie aus einem Ausdruck entfernt werden können. Wir schließen mit der Verwendung der Verteilungseigenschaft, um die Berechnungen zu vereinfachen.

                          In dieser Lektion lernen wir, wie man ganze Zahlen im Kopf multipliziert. Insbesondere untersuchen wir, wie sich das Vorzeichen jeder ganzen Zahl in einem Produkt auf das Vorzeichen des Produkts auswirkt.

                          Die Division ist die entgegengesetzte Operation der Multiplikation, und daher werden die Strategien, die wir zum Dividieren ganzer Zahlen lernen, denen ähnlich sein, die wir bei der Multiplikation ganzer Zahlen verwendet haben. In dieser Lektion untersuchen wir, wie sich die Vorzeichen von Dividende und Divisor auf das Vorzeichen des Quotienten auswirken.

                          Wir beginnen diese Lektion, indem wir uns ansehen, wie man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert. Dann erweitern wir unser Verständnis um die Multiplikation von zwei beliebigen Brüchen. Darüber hinaus liegt ein gewisser Schwerpunkt auf der Schätzung der Werte von Produkten.

                          In dieser Lektion lernen wir, wie man eine ganze Zahl durch einen Bruch teilt. Wir untersuchen dann, wie wir diese Strategie anpassen können, um einen Bruch durch einen anderen Bruch zu dividieren, ohne einen Taschenrechner zu verwenden.

                          Wir beginnen diese Lektion, indem wir die Multiplikation von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen untersuchen, einschließlich einer Diskussion der wissenschaftlichen Notation. Anschließend lernen wir, wie man zwei Dezimalzahlen multipliziert, indem man erstens die Zahlen in Brüche umwandelt und zweitens mit den Dezimalzahlen selbst arbeitet.

                          In dieser Lektion entwickeln wir Strategien zur Auswertung von Divisionsausdrücken, die ganze Zahlen und Dezimalzahlen beinhalten. Wir erweitern diese Strategien auch, um die Division mit zwei Dezimalzahlen zu diskutieren.

                          Diese Lektion konzentriert sich auf die Beziehung zwischen dem Quadrieren einer Zahl und dem Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl. Wir diskutieren perfekte Quadrate und untersuchen, wie man die Quadratwurzel einer positiven ganzen Zahl, die kein perfektes Quadrat ist, approximiert.

                          In dieser Lektion gehen wir noch einmal auf die Reihenfolge der Operationen für die Arithmetik ein. Wir lösen Probleme mit ganzen Zahlen, Brüchen und Dezimalzahlen, wobei wir den Exponenten besondere Aufmerksamkeit schenken.

                          Verhältnisse, Raten und Proportionen (N)

                          Teil A (Lektionen 1–5)
                          Zu den Themen gehören das Schreiben und Interpretieren von Verhältnissen, das Finden äquivalenter Verhältnisse, die Umrechnung zwischen Brüchen, Dezimalzahlen und Prozenten, die Umrechnung zwischen Maßeinheiten und das Lösen von Problemen mit Einheitsraten.

                          Teil B (Lektionen 6–10)
                          Zu den Themen gehören das Erkennen proportionaler Situationen in Textaufgaben, Tabellen und Grafiken verbindende Einheiten beziehen sich auf proportionale Beziehungen und deren Darstellungen in Tabellen, Grafiken und Gleichungen sowie gebrochene Prozentsätze und Prozentsätze größer als 100 Prozent.

                          In dieser Lektion wird die Bedeutung eines Verhältnisses besprochen und erklärt, wie man Verhältniswerte schreibt und interpretiert. Wir schließen mit der Lösung von Problemen, bei denen ein Verhältnis auf große Mengen angewendet werden muss.

                          Wir beginnen unsere Diskussion über äquivalente Verhältnisse mit Diagrammen und untersuchen, wie zwei Verhältnisse die gleiche Beziehung zwischen zwei Größen darstellen können. Dann entwickeln wir Strategien, um äquivalente Verhältnisse numerisch zu finden. Diese Lektion endet mit der Lösung von Verhältnisproblemen.

                          In dieser Lektion definieren wir einen Prozentwert und untersuchen die Beziehungen zwischen Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentzahlen. Wir schließen mit der Lösung einiger Wortaufgaben mit Prozentangaben.

                          In dieser Lektion werden Strategien zum Umrechnen zwischen verschiedenen metrischen Einheiten für Länge, Masse und Kapazität untersucht. Anschließend wenden wir diese Strategien an, um zwischen Zeit- und Flächeneinheiten umzurechnen.

                          In dieser Lektion lernen wir Raten kennen, bei denen es sich um Vergleiche zweier Messungen mit unterschiedlichen Einheiten handelt. Wir konzentrieren uns darauf, wie Einheitssätze geschrieben werden und wie Einheitssätze verwendet werden können, um Wortprobleme zu lösen. Ebenfalls enthalten sind einige Beispiele zur Umrechnung eines Kurses in verschiedene Einheiten.

                          In dieser Lektion untersuchen wir den Begriff der Proportionalität anhand von Beispielen wie Bildvergrößerung und Farbmischung. Wir erforschen proportionale Beziehungen zwischen zwei Größen und lernen, zu erkennen, wann eine Situation proportional ist und wann nicht.

                          In dieser Lektion untersuchen wir, wie man eine proportionale Beziehung zwischen zwei Größen erkennt, wenn die Daten in einer Tabelle oder einem Diagramm angezeigt werden.

                          Das Verhältnis zwischen anteiligen Mengen wird oft in Form eines Einheitssatzes angegeben. In dieser Lektion untersuchen wir, wie sich diese Einheitsrate in einer Gleichung, einer Tabelle oder einem Diagramm manifestiert, das die Beziehung zwischen den beiden Größen darstellt.

                          In dieser Lektion besprechen wir Bruchteile von Prozent und Prozente größer als 100 Prozent. Ein gewisser Fokus wird darauf gelegt, wo Prozentsätze im Alltag vorkommen und wie Schätzungen bei der Arbeit mit Prozentsätzen hilfreich sein können.

                          Proportionale Situationen können auf viele Arten dargestellt werden, einschließlich: Einheitssätze, Tabellen, Grafiken oder Gleichungen. In dieser Lektion üben wir den Vergleich proportionaler Beziehungen, die auf unterschiedliche Weise dargestellt werden.

                          Halbierende und Eigenschaften von Formen (G)

                          Teil A (Lektionen 1–6)
                          Zu den Themen gehören Konstruktionen von Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten sowie die verschiedenen Eigenschaften von Dreiecken, Vierecken und allgemeineren Polygonen. Insbesondere werden verschiedene Polygone basierend auf ihren Seitenlängen und Winkelmaßen klassifiziert.

                          Teil B (Lektionen 7–10)
                          Zu den Themen gehören vierseitige Diagonalen, Kreisterminologie und -konstruktion sowie Anwendungen von Kreisen in der realen Welt.

                          Diese Lektion führt in die Terminologie und Notation grundlegender geometrischer Objekte ein, wobei der Schwerpunkt auf der schriftlichen und mündlichen Kommunikation liegt.

                          Wir überprüfen, wie Dreiecke nach Seitenlängen und Winkelmaßen klassifiziert werden. Anschließend untersuchen wir die Seitenwinkelbeziehung in Dreiecken. Diese Lektion endet mit einer Anwendung von Dreieckseigenschaften, um einen 60-Grad-Winkel mit einem Kompass zu konstruieren.

                          Ein Zirkel und ein Lineal können verwendet werden, um einen Winkel perfekt zu halbieren, ohne jemals eine Messung durchzuführen. In dieser Lektion besprechen wir die Eigenschaften von Winkelhalbierenden und wie man diese Eigenschaften verwendet, um eine Winkelhalbierende eines bestimmten Winkels nur mit einem Zirkel und einem Lineal zu konstruieren. Wir erweitern unsere Diskussion auf Dreiecke und untersuchen die Beziehung der drei Winkelhalbierenden in jedem Dreieck.

                          Wir setzen unsere Diskussion über Konstruktionen fort und betrachten die Eigenschaften von Mittelsenkrechten und wie man diese Eigenschaften verwendet, um eine Mittelsenkrechte eines gegebenen Liniensegments nur mit einem Zirkel und einem Lineal zu konstruieren. Wir erweitern unsere Diskussion auf Dreiecke und untersuchen die Beziehung der drei Mittelsenkrechten in jedem Dreieck.

                          In dieser Lektion betrachten wir die Eigenschaften von sechs speziellen Vierecken. Wir untersuchen die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen beiden und verwenden ein Diagramm, um alle von uns diskutierten Beziehungen darzustellen.

                          In Erweiterung auf Vierecke diskutieren wir in dieser Lektion die Eigenschaften von allgemeinen Polygonen. Insbesondere untersuchen wir die Summe der Innenwinkel in einem Polygon und wie Polygone mit Prismen verbunden sind. Diese Lektion endet mit einer Erweiterung, die untersucht, wie Prismen geschnitten werden können, um verschiedene polygonale Flächen zu erzeugen.

                          In dieser Lektion untersuchen wir verschiedene Eigenschaften der Diagonalen in Vierecken. Insbesondere betrachten wir, wann sich die Diagonalen halbieren, senkrecht aufeinander stehen oder gleich lang sind. Diese Eigenschaften verwenden wir dann, um Vierecke zu klassifizieren.

                          Diese Lektion beginnt mit einer Diskussion darüber, wie man einen Kreis beschreibt. Da sich Kreise stark von Polygonen unterscheiden, führen wir eine neue Terminologie für das Studium von Kreisen ein. Insbesondere definieren wir Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Umfang eines Kreises. Wir untersuchen auch, wie man Polygone verwendet, um den Umfang und die von einem Kreis eingeschlossene Fläche abzuschätzen.

                          In dieser Lektion besprechen wir Strategien zum Zeichnen genauer Kreise. Konkret betrachten wir das Zeichnen von Kreisen mit einem Mittelpunkt und einem Radius, einem Mittelpunkt und einem Punkt, der auf dem Kreis liegen muss, und auch mit zwei oder mehr Punkten, die alle auf dem Kreis liegen müssen. Wir diskutieren, wo in der realen Welt größere Kreise auftreten und mit welchen Werkzeugen und Strategien sie erstellt werden können.

                          In dieser Lektion nehmen wir die Anwendung von Kreisen jenseits des Rads und diskutieren die Rolle von Kreisen bei der Konstruktion von Kreisverkehren, die Verwendung von Kreisen bei der Konstruktion von Strukturen und die Interaktion von Kreisen mit unterschiedlichen Durchmessern in Maschinen mit Zahnrädern.

                          Fläche, Volumen und Winkel (G)

                          Teil A (Lektionen 1–5)
                          Zu den Themen gehören die Berechnung der Fläche von Parallelogrammen, Dreiecken, Trapezen und zusammengesetzten Formen, die Berechnung der Oberfläche, des Volumens und der Kapazität von Prismen und die Darstellung von 3D-Objekten auf unterschiedliche Weise.

                          Teil B (Lektionen 6–10)
                          Zu den Themen gehören die Berechnung des Umfangs und der Fläche von Kreisen, die Berechnung des Volumens und der Oberfläche von Zylindern und die Eigenschaften von Winkeln, die durch sich schneidende Linien einschließlich paralleler Linien und Transversalen gebildet werden.

                          In dieser Lektion werden die Definition der Fläche und die Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​erläutert. Anschließend entwickeln und wenden wir die Formeln zur Bestimmung der Flächen von Parallelogrammen, Dreiecken und Trapezen an.

                          In Fortsetzung unserer Diskussion über die Fläche untersuchen wir, wie die Fläche zusammengesetzter Formen zerlegt und berechnet wird.

                          In dieser Lektion lernen wir, wie man die Oberfläche eines 3D-Volumenkörpers mit einem Netz visualisiert. Anschließend berechnen wir die Oberfläche von Prismen und lösen Wortaufgaben mit Oberflächeninhalt.

                          In dieser Lektion entwickeln und wenden wir die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Prismas an. Wir setzen Volumen und Kapazität in Beziehung und untersuchen, wie zwischen Volumeneinheiten umgerechnet werden kann.

                          Wir beenden unsere Diskussion über Prismen und zusammengesetzte Körper, indem wir lernen, wie man sie auf dreieckigem Punktpapier zeichnet. Außerdem lernen wir, verschiedene 2D-Ansichten eines 3D-Objekts zu erkennen und zu skizzieren.

                          In dieser Lektion überprüfen wir den Umfang und die Fläche von Kreisen. Wir entwickeln und wenden dann die Formeln zur Berechnung des Umfangs und der Fläche eines Kreises bei gegebenem Radius (oder Durchmesser) des Kreises an.

                          Wir beginnen unsere Diskussion über Zylinder, indem wir Zylinder mit Prismen vergleichen. Wir entwickeln und wenden die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Zylinders an und lösen Textaufgaben zum Volumen oder zum Fassungsvermögen eines Zylinders.

                          In Fortsetzung unserer Diskussion über Zylinder untersuchen wir in dieser Lektion das Netz eines Zylinders und verwenden das Netz, um eine Formel für die Oberfläche eines Zylinders zu entwickeln. Anschließend berechnen wir die Oberfläche von Zylindern und lösen Textaufgaben mit Oberflächenbereich.

                          In dieser Lektion beginnen wir unsere Diskussion über sich schneidende Linien, indem wir die Eigenschaften von Winkeln untersuchen, die von zwei sich schneidenden Linien gebildet werden. Wir definieren ergänzende, komplementäre und entgegengesetzte Winkel und verwenden Winkelbeziehungen, um unbekannte Winkel in einem Diagramm zu finden.

                          In Fortsetzung unserer Diskussion über sich schneidende Linien untersuchen wir in dieser Lektion die Winkel, die von parallelen Linien und Transversalen gebildet werden. Wir definieren entsprechende, alternative und co-innere Winkel und verwenden Winkelbeziehungen, um in einem Diagramm nach unbekannten Winkeln aufzulösen.

                          Transformationen von Formen (G)

                          Teil A (Lektionen 1–7)
                          Zu den Themen gehören die Kongruenz von Polygonen, Dreieckskongruenzregeln, das Zeichnen von Punkten auf der kartesischen Ebene, das Bild eines Polygons auf der kartesischen Ebene unter Translationen, Reflexionen und/oder Drehungen auf der kartesischen Ebene und Tessellationen.

                          Teil B (Lektionen 8-11)
                          Zu den Themen gehören Ähnlichkeit von Polygonen, Dreiecksähnlichkeitsregeln, Dehnungen von Polygonen und indirekte Messungen.

                          In dieser Lektion überprüfen wir die Definition der Kongruenz und gleichen die Seiten und Winkel von zwei kongruenten Polygonen ab. Wir werfen auch einen Blick auf Umfang und Fläche kongruenter Polygone.

                          In Fortsetzung unserer Diskussion über Kongruenz untersuchen wir in dieser Lektion Kongruenzregeln für Dreiecke. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, indem wir nur drei entsprechende Teile zusammenbringen.

                          In dieser Lektion wird die kartesische Ebene eingeführt. Wir untersuchen, wie das kartesische Koordinatensystem konstruiert wird, wie Punkte auf der kartesischen Ebene aufgetragen werden und wie die vertikalen/horizontalen Abstände zwischen zwei Punkten auf der kartesischen Ebene untersucht werden.

                          In dieser Lektion beginnen wir unsere Diskussion über Transformationen, indem wir die Übersetzungen von Polygonen untersuchen. Wir lernen, das Bild eines Polygons unter einer Übersetzung zu zeichnen und beziehen die Definition der Kongruenz auf Übersetzungen.

                          Wir setzen unsere Diskussion über Transformationen fort und untersuchen nun Reflexionen von Polygonen. In dieser Lektion lernen wir, das Bild eines Polygons unter einer Spiegelung an der kartesischen Ebene grafisch darzustellen und erklären, wie das Bild zum ursprünglichen Polygon kongruent ist.

                          In dieser Lektion lernen wir, wie man das Bild eines Polygons unter einer Drehung grafisch darstellt. Wir kombinieren auch alle drei Transformationen und zeichnen das Bild eines Polygons unter einer Translation, Reflexion und Rotation auf der kartesischen Ebene.

                          Diese Lektion beschäftigt sich mit der Kunst der Tessellationen. Wir definieren eine Tesselation und untersuchen, welche Polygone die Ebene tesselieren können. Dann untersuchen wir mithilfe von Polygonen, von denen wir wissen, dass sie die Ebene tessellieren, wie man interessante Designs erstellt, die tessellieren.

                          In der Geometrie wird das Wort „ähnlich“ verwendet, um anzuzeigen, wenn zwei Objekte die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe haben. In dieser Lektion lernen wir die genaue Definition ähnlicher Polygone, untersuchen den Skalierungsfaktor zwischen zwei ähnlichen Polygonen und lernen, wie Sie den Skalierungsfaktor verwenden, um Probleme zu lösen.

                          Jedes Dreieck hat drei Winkel und drei Seiten, aber es stellt sich heraus, dass wir nicht die Maße jedes einzelnen kennen müssen, um die Form des Dreiecks zu bestimmen. In dieser Lektion untersuchen wir die Mindestbedingungen, die erforderlich sind, um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke ähnlich sind. Wir lernen die Ähnlichkeitsregeln Winkel-Winkel, Seite-Seite-Seite und Seite-Winkel-Seite und üben die Konstruktion ähnlicher Dreiecke.

                          In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie ähnliche Polygone zeichnen, ohne Winkel zu messen. Dies kann durch Ausführen einer bestimmten Art von Transformation erfolgen: einer Dilatation.

                          Indirekte Messungen ermöglichen es uns, unbekannte Längen zu finden, ohne tatsächlich Liniensegmente zu messen. In dieser Lektion untersuchen wir, wie die Dreiecksähnlichkeitsregeln verwendet werden, um indirekte Messungen in verschiedenen Szenarien durchzuführen.

                          Muster darstellen (A)

                          Teil A (Lektionen 1–6)
                          Zu den Themen gehören die Darstellung von Sequenzen mithilfe von Tabellen, allgemeinen Begriffen und Grafiken, das Beschreiben von Mustern mithilfe von Variablen und Ausdrücken, das Erweitern von Sequenzen und das Lösen von Problemen mit unbekannten Größen.

                          Teil B (Lektionen 7-11)
                          Zu den Themen gehören äquivalente Ausdrücke für den allgemeinen Begriff einer Sequenz, das Beschreiben von Beziehungen und Mustern mithilfe von Gleichungen sowie abnehmende und natürlich vorkommende Sequenzen.

                          Wir beginnen unsere Diskussion der Musterbildung mit der Untersuchung von Zahlen- und Bildsequenzen. In dieser Lektion konzentrieren wir uns auf die Angabe der Musterregel, die beschreibt, wie der nächste Term in einer Sequenz generiert wird.

                          In dieser Lektion wird die Beziehung zwischen der Termnummer und dem Termwert untersucht, d. h. die Beziehung zwischen einem Term in einer Sequenz und seiner Position in dieser Sequenz. Wir verwenden dann den allgemeinen Term, um den Wert eines Termes in einer Folge mit seiner Termnummer zu ermitteln.

                          Wir finden weiterhin den allgemeinen Begriff der Folgen, wobei wir uns darauf konzentrieren, wie man eine Variable verwendet, um eine unbekannte Größe darzustellen. Diese Lektion endet mit einer Diskussion über die Ersetzung, in der wir Ausdrücke bewerten, indem wir eine Variable im allgemeinen Begriff durch eine Zahl ersetzen.

                          In dieser Lektion begegnen wir Sequenzen, die eine andere Art von Beziehung haben als die, die wir zuvor gesehen haben. Sie werden weiter üben, den Oberbegriff einer Sequenz zu finden und die Lektion mit einigen Anwendungsproblemen abschließen.

                          In dieser Lektion untersuchen wir, wie eine Sequenz grafisch dargestellt wird. Bei einer in einem Graphen dargestellten Folge verwenden wir dann den Graphen, um die Termzahl zu bestimmen, die einem gegebenen Term in der Folge entspricht. Schließlich üben Sie, wie Sie den allgemeinen Term einer Folge anhand ihres Graphen finden.

                          In dieser Lektion verbinden wir die verschiedenen Sequenzen, die wir bisher studiert haben. Wir verwenden weiterhin Tabellen, Grafiken und allgemeine Begriffe, um die Muster zu untersuchen, die Sequenzen darstellen.

                          In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie eine Sequenz mithilfe einer Tabelle, eines allgemeinen Begriffs oder eines Diagramms darstellen. Der Schwerpunkt liegt auf der Bestimmung, welche dieser drei Darstellungen in einer bestimmten Problemlösungssituation am besten geeignet ist.

                          In dieser Lektion analysieren wir verschiedene Muster, die dieselbe Zahlenfolge erzeugen. Wir generieren verschiedene Ausdrücke, um die unterschiedlichen Interpretationen eines Musters darzustellen, und lernen, zu bestimmen, ob zwei Ausdrücke äquivalent sind.

                          In dieser Lektion lernen wir den Unterschied zwischen einem Ausdruck und einer Gleichung kennen und untersuchen, wie jeder bei der Beschreibung von Mustern verwendet werden kann. Insbesondere verwenden wir Ausdrücke für den allgemeinen Term einer Folge, um Gleichungen zu bilden, um Beziehungen in Folgen darzustellen.

                          In dieser Lektion definieren und untersuchen wir abnehmende Sequenzen. Sie müssen sich überlegen, wie Strategien zum Finden der allgemeinen Terme ansteigender Folgen verwendet werden können, um eine Gleichung zu schreiben, die eine abnehmende Folge darstellt. Wir untersuchen auch, wie einige Zahlenfolgen, die sich aus physikalischen Situationen ergeben, aufgrund der Grenzen der realen Welt nicht ewig weiterlaufen können.

                          In dieser Lektion blicken wir über die in dieser Einheit besprochenen typischen Sequenzen hinaus und erforschen weitere natürlich vorkommende Sequenzen. Die Beispiele konzentrieren sich auf beliebte Rätsel und reale Wachstums- und Abschreibungsszenarien. Abschließend diskutieren wir anhand eines Beispiels, wie offensichtliche Muster manchmal täuschen können.

                          Gleichungen und der Satz des Pythagoras (A)

                          Teil A (Lektionen 1–5)
                          Zu den Themen gehören die Verwendung von Variablen in Ausdrücken und Gleichungen, das Identifizieren und Untersuchen linearer Beziehungen und das Lösen von Gleichungen durch Prüfung, Versuch und Irrtum sowie die Verwendung von visuellen Modellen.

                          Teil B (Lektionen 6–10)
                          Zu den Themen gehören das Lösen von Gleichungen mit algebraischen Techniken, der Vergleich der Unterschiede zwischen der Auswertung eines Ausdrucks und dem Lösen einer Gleichung, das Untersuchen von Gleichungen mit mehreren Variablen und der Satz des Pythagoras.

                          In dieser Lektion überprüfen wir Variablen und Ausdrücke. Wir diskutieren die gängige Notation für Operationen in der Algebra und üben die Übersetzung englischer Phrasen in mathematische Ausdrücke.

                          In dieser Lektion untersuchen wir lineare Beziehungen zwischen zwei Größen. Wir lernen, eine lineare Beziehung zu identifizieren, die in einem Diagramm, in einer Wertetabelle oder in einer Gleichung dargestellt wird.

                          In dieser Lektion verwenden wir Ausdrücke und Gleichungen, um reale Probleme zu modellieren und zu lösen.

                          In dieser Lektion verwenden wir Grafiken und ein visuelles Gewichtungsmodell auf einer Skala, um Gleichungen zu lösen. Wir üben auch das Lösen einfacher Gleichungen durch Inspektion.

                          In dieser Lektion üben wir das Lösen von Gleichungen durch Versuch und Irrtum. Diese Methoden werden angewendet, um Wortprobleme zu lösen und Gleichungen zu lösen, die Bruchlösungen haben.

                          In dieser Lektion visualisieren wir Gleichungen mit Gewichten und einer ausgewogenen Skala. Wir lösen Gleichungen mit einer Operation mit algebraischen Techniken und lernen, wie man eine Lösung einer Gleichung verifiziert.

                          Wir lösen weiterhin Gleichungen mit Algebra, indem wir unsere Strategien erweitern, um Gleichungen mit mehr als einer Operation zu lösen.

                          Diese Lektion untersucht die Vorwärts- und Rückwärtsbewegungen durch eine mathematische Maschine und stellt Verbindungen zu den Unterschieden zwischen dem Bewerten eines Ausdrucks und dem Lösen einer Gleichung her.

                          In dieser Lektion finden wir Lösungen für Gleichungen mit zwei oder mehr unbekannten Größen mithilfe von Versuch und Irrtum und Algebra.

                          In dieser Lektion untersuchen wir die Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Wir entwickeln den Satz des Pythagoras und verwenden ihn, um nach der fehlenden Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks aufzulösen.

                          Datensammlung und Grafiken (D)

                          Teil A (Lektionen 1–5)
                          Zu den Themen gehören verschiedene Arten von Datenpopulationen, Stichproben- und Zensus-Bias bei der Datensammlung, die sich aus der Frageformulierung, akzeptierten Antworten und der Wahl der Stichprobengruppenhäufigkeit und der relativen Häufigkeit ergeben Tabellen und Grafiken Lesen und Erstellen von Kreisgrafiken Auswahl eines geeigneten Grafiktyps für eine Datensatz-Bias in Datendarstellung, die sich aus dem gewählten Diagrammtyp, der Diagrammstruktur und -form sowie den Achsenbeschriftungen und -skalen ergibt.

                          Teil B (Lektionen 6–9)
                          Zu den Themen gehören das Organisieren kontinuierlicher Daten in Stamm-und-Blatt-Diagrammen und Häufigkeitstabellen mit Intervallen sowie das Erstellen und Lesen von Histogrammen und Streudiagrammen.

                          In dieser Lektion besprechen wir verschiedene Arten von Daten, einschließlich primärer, sekundärer, kategorialer und numerischer Daten.Wir diskutieren die Begriffe Population, Stichprobe und Volkszählung und lernen den Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen numerischen Daten kennen.

                          In dieser Lektion untersuchen wir, wie Daten durch die Formulierung von Umfragefragen, die in einer Umfrage akzeptierten Antworttypen und die Stichprobengruppe, die in der Umfrage verwendet wird, um die Bevölkerung zu repräsentieren, beeinflusst werden können.

                          In dieser Lektion lernen wir, wie Sie Daten in Häufigkeitstabellen organisieren, relative Häufigkeiten berechnen und Häufigkeits- und relative Häufigkeitsdiagramme erstellen und vergleichen.

                          In dieser Lektion konzentrieren wir uns auf das Lesen und Erstellen von Kreisdiagrammen (oder Tortendiagrammen). Wir besprechen auch die geeigneten Diagrammtypen (Kreis, Balken oder Linie), die verwendet werden können, um verschiedene Datensätze anzuzeigen.

                          In dieser Lektion untersuchen wir, wie Entscheidungen beim Erstellen eines Diagramms zu einer falschen Darstellung der zugrunde liegenden Daten führen können. Insbesondere diskutieren wir, wie die Art des Diagramms, die Struktur und Form des Diagramms oder die Achsenbeschriftungen und Skalen des Diagramms den Betrachter möglicherweise irreführen können.

                          In dieser Lektion konzentrieren wir uns auf die Arbeit mit kontinuierlichen Datensätzen. Wir untersuchen verschiedene Möglichkeiten, wie kontinuierliche Daten organisiert und grafisch dargestellt werden können, und diskutieren, wie gepaarte Datensätze angezeigt werden.

                          In dieser Lektion untersuchen wir verschiedene Möglichkeiten, numerische Datensätze in Intervalle zu organisieren. Wir beginnen damit, Daten mithilfe von Stamm-und-Blatt-Diagrammen zu organisieren und dann zu untersuchen, wie Häufigkeitstabellen verwendet werden können, wenn wir die Daten in Intervalle unterteilen. Wir diskutieren die Vor- und Nachteile dieser Organisationstools und üben die Auswahl geeigneter Intervalle für gegebene Datensätze.

                          Standard-Balkendiagramme sind nicht immer eine geeignete Möglichkeit, einen bestimmten numerischen Datensatz anzuzeigen. Ein Histogramm ist ein ähnlicher Diagrammtyp, bei dem numerische Daten zuerst in Bereiche gruppiert werden und dann die Häufigkeit jedes Bereichs mit einem Balken aufgetragen wird. In dieser Lektion besprechen wir die Funktionen eines Histogramms und üben das Erstellen von Histogrammen aus numerischen Datensätzen. Wir diskutieren, welche Informationen durch die Darstellung von Daten in einem Histogramm gewonnen oder verloren werden könnten, und untersuchen die Auswirkungen der Intervallwahl auf die Form des Diagramms.

                          Ein Streudiagramm ist ein Diagramm, das aus Punkten besteht, die aus den Werten zweier variabler Größen gebildet werden. Streudiagramme werden verwendet, um eine Beziehung zwischen den beiden fraglichen Variablen anzuzeigen. In dieser Lektion besprechen wir die Funktionen eines Streudiagramms und üben das Erstellen von Streudiagrammen aus gepaarten Datensätzen. Wir diskutieren die Rollen, die die beiden Variablen in einem Streudiagramm spielen, und untersuchen, welche Informationen aufgedeckt werden könnten, wenn wir die Form der Datenpunkte als Ganzes betrachten.

                          Datenanalyse (D)

                          Teil A (Lektionen 1–4)
                          Zu den Themen gehören die Bestimmung des Mittelwerts, des Medians und des Modus von Datensätzen, die Untersuchung der Auswirkungen des Hinzufügens von Daten zu einem Datensatz oder das Entfernen von Daten aus einem Datensatz aus Daten in Grafiken.

                          Teil B (Lektionen 5–8)
                          Zu den Themen gehören das Interpretieren von Daten, Histogrammen und Streudiagrammen und das Ziehen von Schlussfolgerungen aus diesen Diagrammen, die die Beziehungen zwischen den beiden Variablen in einem Streudiagramm beschreiben zentrale Tendenz, zwei Datensätze zu vergleichen.

                          Es kann hilfreich sein, einen einzelnen Wert zu verwenden, um die Informationen in einem großen Datensatz zusammenzufassen. Messungen der zentralen Tendenz, wie Mittelwert, Median und Modus, versuchen, Daten zusammenzufassen, indem sie die Mitte (oder Mitte) eines Datensatzes messen. In dieser Lektion lernen wir, wie man Mittelwert, Median und Modus verschiedener Datensätze bestimmt und wie sie zur Datenanalyse verwendet werden können.

                          In dieser Lektion besprechen wir die Auswirkungen des Hinzufügens von Daten zu (oder Entfernen von Daten aus) einem Datensatz. Wir konzentrieren uns darauf, wie sich dies auf unterschiedliche Weise auf Mittelwert, Median und Modus auswirken könnte.

                          Einige Datensätze enthalten Ausreißer, d. h. Daten, die von den übrigen Werten im Datensatz getrennt sind. In dieser Lektion diskutieren wir die Auswirkungen von Ausreißern auf Mittelwert, Median und Modus von Datensätzen und untersuchen verschiedene Kontexte, in denen ein bestimmtes Maß am besten geeignet ist, die gegebenen Daten zusammenzufassen.

                          In dieser Lektion üben wir die Interpretation der zugrunde liegenden Daten, die in verschiedenen Grafiken angezeigt werden. Wir diskutieren den Unterschied zwischen Aussagen, die anhand der Informationen in einer Grafik verifiziert werden können, und Vorhersagen, die durch die Trends in der Grafik gestützt werden, aber nicht allein anhand der Grafik verifiziert werden können.

                          In dieser Lektion üben wir, in einem Histogramm bereitgestellte Informationen zu identifizieren und zu interpretieren und Schlussfolgerungen zu ziehen, die durch das Histogramm gestützt werden. Wir untersuchen auch, wie sich die Intervallgröße eines Histogramms auf die Schlussfolgerungen auswirken kann, die von jemandem gezogen werden, der die Daten in einem Histogramm analysiert.

                          In dieser Lektion üben wir, die in einem Streudiagramm bereitgestellten Informationen zu identifizieren und zu interpretieren und Schlussfolgerungen zu ziehen, die durch das Streudiagramm gestützt werden. Wir untersuchen, wie eine allgemeine Beziehung zwischen den beiden Variablen in einem Streudiagramm identifiziert und beschrieben werden kann.

                          Streudiagramme werden häufig verwendet, um eine Beziehung zwischen zwei Variablen zu identifizieren und zu untersuchen. Wenn die Datenpunkte in einem Streudiagramm ungefähr dem Verlauf einer Linie zu folgen scheinen, können wir unser Wissen über lineare Muster nutzen, um die Daten zu untersuchen und Vorhersagen zu treffen. In dieser Lektion untersuchen wir das Zeichnen von Linien, die sich dem in einem Streudiagramm beobachteten Trend annähern, und das Schätzen von Änderungsraten, die mit Streudiagrammen verbunden sind. Wir vergleichen Änderungsraten verschiedener Streudiagramme und verwenden sie, um Vorhersagen zu treffen.

                          In dieser Lektion üben wir die Verwendung von Maßen der zentralen Tendenz, um zwei Datensätze zu vergleichen, Schlussfolgerungen zu ziehen und Faktoren zu diskutieren, die beeinflussen könnten, welches Maß der zentralen Tendenz für einen bestimmten Vergleich am besten geeignet ist. Wir untersuchen auch, wie in Histogrammen dargestellte Daten verglichen werden können.

                          Wahrscheinlichkeit (D)

                          Teil A (Lektionen 1–4)
                          Zu den Themen gehören Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse, die theoretische Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse berechnen, die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse vergleichen, unabhängige Ereignisse, experimentelle Wahrscheinlichkeiten und die Verwendung von Wahrscheinlichkeiten, um Vorhersagen zu treffen.

                          Teil B (Lektionen 5&ndash8)
                          Zu den Themen gehören der Vergleich von theoretischen Wahrscheinlichkeiten und experimentellen Wahrscheinlichkeiten, die Untersuchung, wie sich die Anzahl der Versuche auf die Wahrscheinlichkeitsschätzungen auswirkt, ergänzende Ereignisse, das Einrichten und Ausführen von Simulationen unter Verwendung von Wahrscheinlichkeitsmodellen und die Überprüfung unabhängiger Ereignisse

                          Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem die Menge möglicher Ergebnisse bekannt ist, das tatsächliche Ergebnis jedoch nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Untersuchung von Zufallsexperimenten, einschließlich verschiedener Methoden zur Messung der Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis oder Ereignis eintritt. In dieser Lektion überprüfen wir den Begriff der Wahrscheinlichkeit und üben die Berechnung theoretischer Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse in verschiedenen Experimenten.

                          Zufällige Experimente beinhalten oft mehr als ein Objekt, zum Beispiel könnte ein Experiment das Werfen einer fairen Münze und das Rollen eines Standardwürfels beinhalten. In dieser Lektion untersuchen wir, wie die Wahrscheinlichkeit berechnet wird, dass zwei unabhängige Ereignisse eintreten, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kopf geworfen und eine gerade Zahl gewürfelt wird. Wir definieren und identifizieren unabhängige Ereignisse und verwenden Tabellen und Baumdiagramme, um alle Ergebnisse eines Experiments systematisch aufzulisten, um Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse zu berechnen.

                          Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist ein Verhältnis, das beschreibt, was wir in einem Experiment erwarten, und die experimentelle Wahrscheinlichkeit ist ein Verhältnis, das beschreibt, was während der Versuche eines Experiments tatsächlich passiert ist. In dieser Lektion berechnen wir experimentelle Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse und untersuchen, wie diese mit bekannten theoretischen Wahrscheinlichkeiten verglichen werden. Wir untersuchen auch Situationen, in denen das Experimentieren unsere einzige Möglichkeit ist, Wahrscheinlichkeiten zu untersuchen.

                          Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen können, mit der ein bestimmtes Ereignis in einem Experiment auftritt, können Sie diese Informationen verwenden, um Vorhersagen zu diesem Experiment zu treffen. In dieser Lektion verwenden wir theoretische und experimentelle Wahrscheinlichkeiten, um Vorhersagen zu treffen. Wir diskutieren, wie zuverlässig oder unzuverlässig unsere Vorhersagen sein könnten, und untersuchen, wie wir Experimente so gestalten können, dass unsere Vorhersagen so zuverlässig wie möglich sind.

                          In dieser Lektion vergleichen wir theoretische Wahrscheinlichkeiten mit Wahrscheinlichkeitsschätzungen, die durch Experimente gefunden wurden, und untersuchen, wie sich die Anzahl der in einem Experiment durchgeführten Versuche auf Wahrscheinlichkeitsschätzungen auswirken kann.

                          In dieser Lektion definieren und untersuchen wir den Begriff komplementärer Ereignisse. Wir lernen, wie die Identifizierung komplementärer Ereignisse bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten hilfreich sein kann.

                          Bei vielen realen Situationen mit Wahrscheinlichkeiten kann es schwierig sein, Daten direkt durch Ausführen von realen Experimenten zu sammeln. In diesen Situationen führen Mathematiker oft Simulationen durch, die in Bezug auf die Wahrscheinlichkeiten der realen Situation ähneln. In dieser Lektion lernen wir, wie man geeignete Modelle für Simulationen auswählt und das Ausführen von Simulationen üben, um Wahrscheinlichkeitsschätzungen zu erhalten.

                          In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse mithilfe von Listen, Tabellen und Baumdiagrammen bestimmen, um alle möglichen Ergebnisse anzuzeigen. Wir untersuchen auch, wie man die Anzahl möglicher Ergebnisse und günstiger Ergebnisse zählt, ohne sie explizit aufzuschreiben. Diese Fähigkeiten können bei Experimenten mit zu vielen Ergebnissen hilfreich sein, um sie effizient aufzulisten.


                          Mathe-Übungstest

                          Verwenden Sie den 15-Punkte-Pretest, um Ihr Wissen in Mathematik zu testen. Notieren Sie Ihr Pretest-Ergebnis und studieren Sie dann die Tutorials, die auf dieser Website bereitgestellt werden. Wenn Sie glauben, dass Sie bereit sind, Ihr TSI-Assessment abzulegen, sollten Sie Ihren Test beim Testing Center planen.

                          Die Ergebnisse dieses Pretests können Ihnen einen Überblick über Ihre tatsächlichen Platzierungsergebnisse geben. Dieser Test dient nur zum Üben und die Ergebnisse werden nicht für die tatsächliche Platzierung verwendet.

                          Wählen Sie für jedes Element eine Antwort aus. Wenn Sie die Antwort nicht kennen, sollten Sie eine fundierte Vermutung anstellen. Am Ende des Tests erhalten Sie Ihre Ergebnisse.

                          Frage 1

                          Der Umfang eines Quadrats beträgt 20 Fuß. Wenn Sie die Länge des Quadrats um 2 Fuß vergrößern und die Breite um 1 Fuß verringern, wie groß ist dann die Fläche in Quadratfuß der neuen Figur?

                          Frage 2

                          Frage 3

                          Frage 4

                          Welche der folgenden Gleichungen hat sowohl 2 als auch -4 als Lösung?

                          Frage 5

                          Frage 6

                          Was ist in der xy-Ebene der y-Achsenabschnitt des Graphen der Gleichung?

                          Frage 7

                          Die Variablen x und ja umgekehrt proportional sind und ja = 2 wenn x = 3. Was ist der Wert von ja wann x = 9?

                          Frage 8

                          Ein Bauer lässt auf einem rechteckigen Grundstück 1235 Bäume pflanzen. Wenn in jeder Reihe 24 Bäume gepflanzt sind und jede Reihe vor dem Pflanzen fertig sein muss, wie viele Bäume bleiben dann nach dem Pflanzen übrig?

                          Frage 9

                          Eine Gruppe von 100 Personen, einige Studenten und einige Dozenten, nahmen an einer Museumseröffnung teil. Jeder Student zahlte 10 US-Dollar pro Person für den Eintritt in das Museum und jede Fakultät zahlte 25 US-Dollar pro Person für den Eintritt. Wenn die Gesamtsumme für alle 100 Personen 1300 US-Dollar betrug, wie viele Studenten nahmen dann an der Museumseröffnung teil?

                          Frage 10

                          Das Verhältnis von Sams Alter zu Hanks Alter beträgt 5 zu 3. Wenn die Summe ihrer Altersgruppen 24 beträgt, wie alt ist Hank?

                          Frage 11

                          Faktorisieren Sie das Polynom. Suchen Sie nach Faktoren von 36, die zu -13 addieren.

                          Faktoren von 36, die zu -13 addieren, sind -4 und -9.

                          x 4 - 13 x 2 + 36 = (x 2 - 4) (x 2 - 9)

                          Beide Faktoren sind Quadratdifferenzen und können weiter faktorisiert werden.

                          x 4 - 13 x 2 + 36 = (x 2 - 4) (x 2 - 9)

                          Frage 12

                          Ein sechsseitiger Würfel mit den Seitenzahlen 1,2, 3,4,5 und 6 wird geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl kleiner als drei zu werfen?

                          Frage 13

                          Ein Softball wird von einem Balkon im ersten Stock nach oben in die Luft geworfen. Der Abstand des Balls über dem Boden zu jedem Zeitpunkt ist durch die Funktion gegeben, , wobei ha ( t ) ist die Höhe des Softballs über dem Boden (in Fuß) und t ist die Zeit (in Sekunden). Wie hoch war die maximale Höhe (in Fuß) des Softballs über dem Boden, nachdem er geworfen wurde?

                          Frage 14

                          Die folgende Tabelle zeigt die Kosten für den Kauf eines Standard-Heftgeräts in fünf Bürobedarfsgeschäften, A bis E. Wenn die durchschnittlichen Kosten für den Kauf eines Standard-Heftgeräts für diese Geschäfte 17,99 US-Dollar betrugen, welche der folgenden Kosten hätte NICHT die Kosten für das Heftgerät sein können Geschäft A?

                          Frage 15

                          In der unten gezeigten xy-Koordinatenebene ist Punkt P hat Koordinaten (8, -6). Welche der folgenden Gleichungen ist eine Gerade, die Punkte enthält Ö und P ?

                          WICHTIG:

                          Nachdem Sie Ihre Antworten überprüft haben, verwenden Sie die unten stehende Skala, um zu sehen, wo Sie möglicherweise platziert werden, wenn Sie den tatsächlichen TSI-Test für Mathematik ablegen. Dies ist nicht Ihre tatsächliche TSI-Bewertungsplatzierung. Um dies zu erhalten, müssen Sie das TSI-Assessment selbst bei Ihrem nächstgelegenen ACC-Testzentrum abschließen.

                          Wenn Sie die folgende Anzahl von Fragen richtig beantwortet haben, kann Ihr Einstufungsniveau sein:

                          • 0-4: Grundbildungskurse für Erwachsene
                          • 5-12: Entwicklungskurse
                          • 13-15: College-Niveau

                          Wenn Sie der Meinung sind, dass Sie vor dem eigentlichen TSI-Assessment mehr Vorbereitung benötigen, sollten Sie den Abschnitt Math Review der Website besuchen, um zusätzliche Informationen und Übungen zu erhalten.

                          Wenn nicht, kehren Sie zum Abschnitt TSI-Praxistests zurück, um Ihre anderen erforderlichen Praxistests (falls erforderlich) durchzuführen und Ihr TSI-Verifizierungsformular für die Pre-Assessment-Aktivität (PAA) auszufüllen. Sie benötigen dieses ausgefüllte Formular oder eine E-Mail-Bestätigung, um sich für die TSI-Bewertung anzumelden.


                          Schau das Video: Brøker plus, minus, gange og dividere (Januar 2022).