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1.5: Operationsreihenfolge - Mathematik

1.5: Operationsreihenfolge - Mathematik


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Die Reihenfolge, in der wir Ausdrücke auswerten, kann mehrdeutig sein. Wenn wir zuerst die Addition machen, dann

4+3 · 2=7 · 2

= 14.

Auf der anderen Seite, wenn wir zuerst die Multiplikation durchführen, dann

4+3 · 2=4+6

= 10.

Was sollen wir also tun? Natürlich kann das Gruppieren von Symbolen die Mehrdeutigkeit beseitigen

Gruppierungssymbole

Klammern, Klammern oder geschweifte Klammern können verwendet werden, um Teile eines Ausdrucks zu gruppieren. Jede der folgenden ist äquivalent:

(4 + 3) · 2 oder [4 + 3] · 2 oder {4+3} · 2

In jedem Fall lautet die Regel „Bewerten Sie zuerst den Ausdruck innerhalb der Gruppierungssymbole“. Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, werten Sie zuerst den Ausdruck im innersten Paar von Gruppierungssymbolen aus.

So ist zum Beispiel

(4 + 3) · 2=7 · 2

= 14.

Beachten Sie, wie der in Klammern enthaltene Ausdruck zuerst ausgewertet wurde. Eine andere Möglichkeit, Mehrdeutigkeiten bei der Auswertung von Ausdrücken zu vermeiden, besteht darin, eine Reihenfolge festzulegen, in der Operationen ausgeführt werden sollen. Die folgenden Richtlinien sollten bei der Auswertung von Ausdrücken immer strikt eingehalten werden.

Regeln für die Reihenfolge der Operationen

Gehen Sie beim Auswerten von Ausdrücken in der folgenden Reihenfolge vor.

  1. Werten Sie zuerst Ausdrücke aus, die in Gruppierungssymbolen enthalten sind. Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, werten Sie zuerst den Ausdruck im innersten Paar von Gruppierungssymbolen aus.
  2. Werten Sie alle Exponenten aus, die im Ausdruck vorkommen.
  3. Führen Sie alle Multiplikationen und Divisionen in der Reihenfolge durch, in der sie im Ausdruck erscheinen, von links nach rechts.
  4. Führen Sie alle Additionen und Subtraktionen in . durch

Beispiel 1

Werten Sie 4 + 3 · 2 aus.

Lösung

Wegen der etablierten Regeln für die Reihenfolge der Operationen, ist dieser Ausdruck nicht mehr mehrdeutig. Es gibt keine Gruppierungssymbole oder Exponenten, also gehen wir sofort zu Regel drei über, werten alle Multiplikationen und Divisionen in der Reihenfolge aus, in der sie erscheinen, von links nach rechts. Danach rufen wir Regel 4 auf und führen alle Additionen und Subtraktionen in der Reihenfolge ihres Auftretens von links nach rechts durch.

[ egin{aligned} 4+3 dot 2=4+6 = 10 end{aligned} onumber ]

Also 4 + 3 · 2 = 10.

Übung

Vereinfachen: 8 + 2 · 5.

Antworten

18

Beispiel 2

Werten Sie 18 − 2 + 3 aus.

Lösung

Folge dem Regeln für die Reihenfolge der Operationen. Addition hat weder Vorrang vor Subtraktion noch hat Subtraktion Vorrang vor Addition. Wir müssen Additionen und Subtraktionen ausführen, sobald sie auftreten, von links nach rechts.

[ egin{aligned} 18 − 2 + 3 = 16 + 3 & extcolor{red}{ ext{ Subtrahieren: 18 − 2 = 16.}} = 19 & extcolor{red}{ ext{ Addiere: 16 + 3 = 19. }} end{aligned} onumber ]

Also 18 − 2 + 3 = 19.

Übung

Vereinfachen: 17 − 8 + 2.

Antworten

11

Beispiel 3

Bewerte 54 ÷ 9 · 2.

Lösung

Folge dem Regeln für die Reihenfolge der Operationen. Division hat keinen Vorrang vor Multiplikation, und Multiplikation hat keinen Vorrang vor Division. Wir müssen Divisionen und Multiplikationen durchführen, wenn sie auftreten, von links nach rechts.

[ egin{aligned} 54 div 9 cdot 2=6 dot 2 & extcolor{red}{ ext{ Divide: 54 } div ext{ 9 = 6. }} = 12 & textcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: 6 } cdot ext{ 2 = 12. }} end{aligned} onumber ]

Somit ist 54 ÷ 9 · 2 = 12.

Übung

Vereinfachen: 72 ÷ 9 · 2.

Antworten

16

Beispiel 4

Auswerten 2 · 32 − 12.

Lösung

Folge dem Regeln für die Reihenfolge der Operationen, Exponenten zuerst, dann Multiplikation, dann Subtraktion.

[ egin{aligned} 2 cdot 3^2 - 12 = 2 dot 9 - 12 & extcolor{red}{ ext{ Berechne den Exponenten: 3^2 = 9. }} = 18 - 12 & extcolor{red}{ ext{ Führe die Multiplikation durch: } 2 cdot 9 = 18. } = 6 & extcolor{red}{ ext{ Führe die Subtraktion durch: } 18 - 12 = 6.} end{ausgerichtet} onumber]

Also 2 · 32 − 12 = 6.

Übung

Vereinfachen: 14 + 3 · 42

Antworten

62

Beispiel 5

Bewerten 12 + 2(3 + 2 · 5)2.

Lösung

Befolgen Sie die Regeln für die Reihenfolge der Operationen, werten Sie zuerst den Ausdruck in den Klammern aus, dann die Exponenten, dann die Multiplikation und dann die Addition.

[ egin{aligned} 12 + 2(3 + 5 cdot 5 )^2 = 12 + 2(3 + 10)^2 ~ & extcolor{red}{ ext{ In Klammern multiplizieren: 2 } cdot 5 = 10.} = 12 + 2(13)^2 ~ & extcolor{red}{ ext{ In Klammern einfügen: } 3 + 10 = 13.} = 12 + 2(169) ~ & extcolor{red}{ ext{ Exponenten sind als nächstes: } (13)^2 = 169.} = 12 + 338 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplikation ist als nächstes: } 2(169) = 338.} = 350 ~ & extcolor{red}{ ext{ Zeit zum Hinzufügen: } 12 + 338 = 350.} end{aligned} onumber ]

Somit ist 12 + 2(3 + 2 · 5) 2 = 350.

Übung

Vereinfachen: 3(2 + 3 · 4)2 − 11.

Antworten

577

Beispiel 6

Werten Sie 2{2 + 2[2 + 2]} aus.

Lösung

Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, werten Sie zuerst den Ausdruck zwischen dem Paar der innersten Gruppierungssymbole aus.

[ egin{aligned} 2( 2 + 2[2 + 2]) = 2(2 + 2[4]) ~ & extcolor{red}{ ext{ Innerste Gruppierung zuerst: } 2 + 2 = 4. } = 2(2+8) ~ & extcolor{red}{ ext{ Als nächstes multiplizieren: } 2[4] = 8.} = 2(10) ~ & extcolor{red}{ ext { Fügen Sie innere Klammern hinzu: } 2 + 8 = 10.} = 20 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: } 2(10) = 20} end{aligned} onumber ]

Somit ist 2(2 + 2[2 + 2]) = 20.

Übung

Vereinfachen: 2{3 + 2[3 + 2]}.

Antworten

26

Bruchstriche

Betrachten Sie den Ausdruck

[ frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}} onumber ]

Da ein Bruchstrich eine Division bedeutet, ist der obige Ausdruck äquivalent zu

[left(6^{2}+8^{2} ight) div(2+3)^{2} onumber]

Die Position der Gruppierungssymbole signalisiert, wie wir vorgehen sollen. Wir sollten den Zähler vereinfachen, dann den Nenner und dann dividieren.

Bruchausdrücke

Wenn ein gebrochener Ausdruck vorhanden ist, werten Sie zuerst den Zähler und den Nenner aus und dividieren Sie dann.

Beispiel 7

Werten Sie den Ausdruck aus

[ frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}. onumber ]

Lösung

Vereinfachen Sie zuerst Zähler und Nenner und dividieren Sie dann.

[ egin{ausgerichtet} frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=frac{6^{2}+8^{2}}{ (5)^{2}} ~ & extcolor{red}{ ext{ Klammern im Nenner zuerst: } 2 + 3 = 5} = frac{36+64}{25} ~ & extcolor{red }{ ext{Exponenten sind als nächstes: } 6^2 = 36,~ 8^2 = 64,~ 5^2 = 25.} = frac{100}{25} ~ & extcolor{red}{ ext{ Addiere im Zähler: } 36 + 64 = 100} = 4 ~ & extcolor{red}{ ext{ Divide: } 100 div 25 = 4.} end{aligned} onumber ]

Somit ist (frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=4).

Übung

Vereinfachen: (frac{12+3 cdot 2}{6})Antworten

3

Das Verteilungsvermögen

Betrachten Sie den Ausdruck 2 · (3 + 4). Wenn wir die „Regeln für die Reihenfolge der Operationen“ befolgen, würden wir zuerst den Ausdruck in Klammern auswerten. 2 · (3 + 4) = 2 · 7 Klammern zuerst: 3 + 4 = 7. = 14 Multiplizieren: 2 · 7 = 14.

Wir könnten uns jedoch auch dafür entscheiden, die 2 zu „verteilen“, indem wir zuerst jeden Summanden in den Klammern mit 2 mal multiplizieren.

[ egin{aligned} 2 cdot (3 + 4) = 2 cdot 3 + 2 cdot 4 ~ & extcolor{red}{ ext{ 2 mal 3 und 4 multiplizieren}} = 6 + 8 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: } 2 cdot 3 = 6 ext{ und } 2 cdot 4 = 8.} = 14 ~ & extcolor{red}{ ext{ Addiere: } 6 + 8 = 14.} end{aligned} onumber ]

Die Tatsache, dass wir im zweiten Ansatz dieselbe Antwort erhalten, veranschaulicht eine wichtige Eigenschaft ganzer Zahlen.1

Das Verteilungsvermögen

Lassen ein, b, und c beliebige ganze Zahlen sein. Dann,

ein · (b + c) = ein · b + ein · c.

Wir sagen, dass „Multiplikation bezüglich Addition distributiv ist“.

Die Multiplikation ist bezüglich der Addition distributiv. Wenn Sie nicht das Produkt einer Zahl und einer Summe von Zahlen berechnen, gilt die Verteilungseigenschaft nicht.

Vorsicht! Falsche Antwort voraus!

Wenn Sie das Produkt einer Zahl und das Produkt zweier Zahlen berechnen, darf die Verteilungseigenschaft nicht verwendet werden. Hier ist zum Beispiel eine häufige Fehlanwendung der Verteilungseigenschaft.

[ egin{aligned} 2 cdot (3 cdot 4) = (2 cdot 3) cdot (2 cdot 4) = 6 cdot 8 = 48 end{aligned} onumber ]

Dieses Ergebnis ist ziemlich weit von der richtigen Antwort entfernt, die durch Berechnung des Produkts in den Klammern zuerst gefunden wird.

[ egin{aligned} 2 cdot (3 cdot 4) = 2 cdot 12 = 24. end{aligned} onumber ]

Um die Verteilungseigenschaft anzuwenden, müssen Sie mit einer Summe multiplizieren.

Beispiel 8

Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft, um 4 · (5 + 11) zu berechnen.

Lösung

Dies ist das Produkt einer Zahl und einer Summe, daher kann die Verteilungseigenschaft angewendet werden.

[ egin{aligned} 4 cdot (5 + 11) = 4 cdot 5 + 4 cdot 11 ~ & extcolor{red}{ ext{ Verteile den 4-fachen Summanden in der Summe.}} = 20 + 44 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: } 4 cdot 5 = 20 ext{ und } 4 cdot 11 = 44.} = 64 ~ & extcolor{red}{ ext { Addieren: } 20 + 44 = 64.} end{aligned} onumber ]

Die Leser sollten überprüfen, ob die gleiche Antwort gefunden wird, indem sie zuerst die Summe innerhalb der Klammern berechnen.

Übung

Verteilen: 5 · (11 + 8).

Antworten

95

Die Verteilungseigenschaft ist die Grundlage des Multiplikationsalgorithmus, den wir in unseren Kindheitsjahren gelernt haben.

Beispiel 9

Multiplizieren: 6 · 43.

Lösung

Wir drücken 43 als Summe aus und verwenden dann die Verteilungseigenschaft.

[ egin{aligned} 6 cdot 43 = 6 cdot (40 + 3) ~ & extcolor{red}{ ext{ 43 als Summe ausdrücken: } 43 = 40 + 3} = 6 cdot 40 + 6 cdot 3 ~ & extcolor{red}{ ext{ Verteile die 6.}} = 240 + 18 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multipliziere: } 6 cdot 40 = 240 text{ und } 6 cdot 3 = 18.} = 258 ~ & extcolor{red}{ ext{ Add: } 240 + 18 = 258.} end{aligned} onumber ]

Die Leser sollten diese Anwendung der Verteilungseigenschaft in der bekannteren algorithmischen Form sehen können:

( egin{array}{r}{43} { imes 6} hline 18 {frac{240}{258}}end{array})

Oder noch komprimierter mit „tragen:“

( egin{array}{r}{^{1} 43} {frac{ imes 6}{258}}end{array})

Übung

Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft, um 8 · 92 auszuwerten.

Antworten

736

Die Multiplikation ist auch bezüglich der Subtraktion distributiv.

Die Verteilungseigenschaft (Subtraktion)

Lassen ein, b, und c beliebige ganze Zahlen sein. Dann,

ein · (bc) = ein · bein · c.

Wir sagen, die Multiplikation sei „distributiv in Bezug auf die Subtraktion“.

Beispiel 10

Vereinfachen Sie mit der Verteilungseigenschaft: 3 · (12 − ​​8).

Lösung

Dies ist das Produkt einer Zahl und einer Differenz, daher kann die Verteilungseigenschaft angewendet werden.

[ egin{aligned} 3 cdot (12 - 8) = 3 cdot 12 - 3 cdot 8 ~ & extcolor{red}{ ext{ Verteile jeden Term 3 mal in der Differenz.}} = 36 - 24 ~ & extcolor{red}{ ext{Multiplizieren: } 3 cdot 12 = 36 ext{ und } 3 cdot 8 = 24.} = 12 ~ & extcolor{red}{ text{Subtrahieren: } 36 - 24 = 12.} end{aligned} onumber ]

Alternative Lösung

Beachten Sie, was passiert, wenn wir zur Auswertung des Ausdrucks die übliche „Reihenfolge der Operationen“ verwenden.

[ egin{aligned} 3 cdot (12 - 8) = 3 cdot 4 ~ & extcolor{red}{ ext{ Klammern zuerst: } 12 - 8 = 4.} = 12 ~ & extcolor {red}{ ext{ Multiplizieren: } 3 cdot 4 = 12.} end{aligned} onumber ]

Gleiche Antwort.

Übung

Verteilen: 8 · (9 − 2).

Antworten

56

Übungen

Vereinfachen Sie in den Übungen 1-12 den gegebenen Ausdruck.

1. 5+2 · 2

2. 5+2 · 8

3. 23 − 7 · 2

4. 37 − 3 · 7

5. 4 · 3+2 · 5

6. 2 · 5+9 · 7

7. 6 · 5+4 · 3

8. 5 · 2+9 · 8

9. 9+2 · 3

10. 3+6 · 6

11. 32 − 8 · 2

12. 24 − 2 · 5


Vereinfachen Sie in den Übungen 13-28 den gegebenen Ausdruck.

13. 45 ÷ 3 · 5

14. 20 ÷ 1 · 4

15. 2 · 9 ÷ 3 · 18

16. 19 · 20 ÷ 4 · 16

17. 30 ÷ 2 · 3

18. 27 ÷ 3 · 3

19. 8 − 6+1

20. 15 − 5 + 10

21. 14 · 16 ÷ 16 · 19

22. 20 · 17 ÷ 17 · 14

23. 15 · 17 + 10 ÷ 10 − 12 · 4

24. 14 · 18 + 9 ÷ 3 − 7 · 13

25. 22 − 10 + 7

26. 29 − 11 + 1

27. 20 · 10 + 15 ÷ 5 − 7 · 6

28. 18 · 19 + 18 ÷ 18 − 6 · 7


Vereinfachen Sie in den Übungen 29-40 den gegebenen Ausdruck.

29. 9+8 ÷ {4+4}

30. 10 + 20 ÷ {2+2}

31. 7 · [8 − 5] − 10

32. 11 · [12 − 4] − 10

33. (18 + 10) ÷ (2 + 2)

34. (14 + 7) ÷ (2 + 5)

35. 9 · (10 + 7) − 3 · (4 + 10)

36. 9 · (7 + 7) − 8 · (3 + 8)

37. 2 · {8 + 12} ÷ 4

38. 4 · {8+7} ÷ 3

39. 9+6 · (12 + 3)

40. 3+5 · (10 + 12)


Vereinfachen Sie in den Übungen 41-56 den gegebenen Ausdruck.

41. 2+9 · [7 + 3 · (9 + 5)]

42. 6+3 · [4 + 4 · (5 + 8)]

43. 7+3 · [8 + 8 · (5 + 9)]

44. 4+9 · [7 + 6 · (3 + 3)]

45. 6 − 5[11 − (2 + 8)]

46. 15 − 1[19 − (7 + 3)]

47. 11 − 1[19 − (2 + 15)]

48. 9 − 8[6 − (2 + 3)]

49. 4{7[9 + 3] − 2[3 + 2]}

50. 4{8[3 + 9] − 4[6 + 2]}

51. 9 · [3 + 4 · (5 + 2)]

52. 3 · [4 + 9 · (8 + 5)]

53. 3{8[6 + 5] − 8[7 + 3]}

54. 2{4[6 + 9] − 2[3 + 4]}

55. 3 · [2 + 4 · (9 + 6)]

56. 8 · [3 + 9 · (5 + 2)]


Vereinfachen Sie in den Übungen 57-68 den angegebenen Ausdruck.

57. (5 − 2)2

58. (5 − 3)4

59. (4 + 2)2

60. (3 + 5)2

61. 23 + 33

62. 54 + 24

63. 23 − 13

64. 32 − 12

65. 12 · 52 + 8 · 9+4

66. 6 · 32 + 7 · 5 + 12

67. 9 − 3 · 2 + 12 · 102

68. 11 − 2 · 3 + 12 · 42


Vereinfachen Sie in den Übungen 69-80 den gegebenen Ausdruck.

69. 42 − (13 + 2)

70. 33 − (7 + 6)

71. 33 − (7 + 12)

72. 43 − (6 + 5)

73. 19 + 3[12 − (23 + 1)]

74. 13 + 12[14 − (22 + 1)]

75. 17 + 7[13 − (22 + 6)]

76. 10 + 1[16 − (22 + 9)]

77. 43 − (12 + 1)

78. 53 − (17 + 15)

79. 5 + 7[11 − (22 + 1)]

80. 10 + 11[20 − (22 + 1)]


Vereinfachen Sie in den Übungen 81-92 den gegebenen Ausdruck.

81. ( frac{13+35}{3(4)})

82. ( frac{35+28}{7(3)})

83. ( frac{64-(8 cdot 6-3)}{4 cdot 7-9})

84. ( frac{19-(4 cdot 3-2)}{6 cdot 3-9})

85. (frac{2+13}{4-1})

86. ( frac{7+1}{8-4})

87. ( frac{17+14}{9-8})

88. ( frac{16+2}{13-11})

89. ( frac{37+27}{8(2)})

90. ( frac{16+38}{6(3)})

91. ( frac{40-(3 cdot 7-9)}{8 cdot 2-2})

92. ( frac{60-(8 cdot 6-3)}{5 cdot 4-5})


Verwenden Sie in den Übungen 93-100 die distributive Eigenschaft, um den gegebenen Ausdruck auszuwerten.

93. 5 · (8 + 4)

94. 8 · (4 + 2)

95. 7 · (8 − 3)

96. 8 · (9 − 7)

97. 6 · (7 − 2)

98. 4 · (8 − 6)

99. 4 · (3 + 2)

100. 4 · (9 + 6)


Verwenden Sie in den Übungen 101-104 die distributive Eigenschaft, um den gegebenen Ausdruck mit der in Beispiel 9 gezeigten Technik auszuwerten.

101. 9 · 62

102. 3 · 76

103. 3 · 58

104. 7 · 57

Antworten

1. 9

3. 9

5. 22

7. 42

9. 15

11. 16

13. 75

15. 108

17. 45

19. 3

21. 266

23. 208

25. 19

27. 161

29. 10

31. 11

33. 7

35. 111

37. 10

39. 99

41. 443

43. 367

45. 1

47. 9

49. 296

51. 279

53. 24

55. 186

57. 9

59. 36

61. 35

63. 7

65. 376

67. 1203

69. 1

71. 8

73. 28

75. 38

77. 51

79. 47

81. 4

83. 1

85. 5

87. 31

89. 4

91. 2

93. 60

95. 35

97. 30

99. 20

101. 558

103. 174


1Später werden wir sehen, dass diese Eigenschaft für alle Zahlen gilt, nicht nur für ganze Zahlen


1.5: Operationsreihenfolge - Mathematik

Bei mathematischen Problemen ist es wichtig, die Operationen in der richtigen Reihenfolge auszuführen. Wenn Sie dies nicht tun, erhalten Sie möglicherweise die falsche Antwort. In Mathematik kann es nur eine richtige Antwort geben, also haben sich Mathematiker Regeln ausgedacht, die wir befolgen müssen, damit wir alle die gleiche richtige Antwort finden können. Die richtige Reihenfolge in der Mathematik heißt "Reihenfolge der Operationen". Die Grundidee ist, dass man einige Dinge wie Multiplikation vor anderen wie Addition macht.

Wenn Sie beispielsweise 3 x 2 + 7 = ?

Dieses Problem könnte auf zwei verschiedene Arten gelöst werden. Wenn Sie zuerst die Addition machen, erhalten Sie:

Wenn Sie zuerst die Multiplikation durchführen, erhalten Sie:

Der zweite Weg ist richtig, da Sie zuerst die Multiplikation durchführen sollten.

  • Machen Sie zuerst alles innerhalb der Klammern.
  • Als nächstes alle Exponenten oder Wurzeln (wenn Sie nicht wissen, was diese sind, machen Sie sich vorerst keine Sorgen darüber).
  • Multiplikation und Division, von links nach rechts ausführen
  • Addition und Subtraktion, von links nach rechts ausführen

Machen wir ein paar Beispiele:

Jetzt machen wir die Multiplikation und Division von links nach rechts:

Nun Addition und Subtraktion von links nach rechts:

Hinweis: selbst im letzten Schritt hätten wir zuerst 35 + 1 addiert, dann hätten wir 41 - 36 = 5 gemacht. Dies ist die falsche Antwort. Also müssen wir die Operationen der Reihe nach und von links nach rechts ausführen.

Ein weiteres Beispiel für die Reihenfolge der Operationen:

6 x 12 - (12 x 7 - 10) + 2 x 30 ÷ 5

Wir machen zuerst die Mathematik innerhalb der Klammern. Wir führen zuerst die Multiplikation in den Klammern durch:

6 x 12 - (84 - 10) + 2 x 30 ÷ 5

Multiplikation und Division als nächstes:

Wie kann man sich die Bestellung merken?

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich die Reihenfolge zu merken. Eine Möglichkeit besteht darin, das Wort PEMDAS zu verwenden. Daran kann man sich mit dem Satz „Bitte entschuldigen Sie meine liebe Tante Sally“ erinnern. Was es in der Reihenfolge der Operationen bedeutet, ist "Klammern, Exponenten, Multiplikation und Division sowie Addition und Subtraktion". Wenn Sie dies verwenden, müssen Sie bedenken, dass Multiplikation und Division zusammen gehören, Multiplikation kommt nicht vor der Division. Dieselbe Regel gilt für Addition und Subtraktion.


Ähnliche Resourcen

Die verschiedenen unten aufgeführten Ressourcen sind auf denselben Standard (5OA02) ausgerichtet, der dem CCSM (Common Core Standards For Mathematics) entnommen wurde, wie das oben gezeigte Arbeitsblatt für Ausdrücke und Gleichungen.

Schreiben Sie einfache Ausdrücke, die Berechnungen mit Zahlen aufzeichnen, und interpretieren Sie numerische Ausdrücke, ohne sie auszuwerten. Drücken Sie zum Beispiel die Berechnung "addiere 8 und 7, dann multipliziere mit 2" als 2 x (8 + 7) aus. Erkenne, dass 3 x (18932 + 921) dreimal so groß ist wie 18932 + 921, ohne die angegebene Summe oder das angegebene Produkt berechnen zu müssen.

Beispiel/Anleitung

Arbeitsblatt

Ähnlich wie in der obigen Auflistung sind die folgenden Ressourcen auf verwandte Standards im Common Core For Mathematics ausgerichtet, die zusammen das folgende Lernergebnis unterstützen:


PEMDAS

PEMDAS ist ein Akronym, das für "P lease e xcuse m y dear a unt s ally" steht, ein Gedächtnisstütze, das beim Auswendiglernen der Reihenfolge von Operationen helfen soll:

Dies gibt uns die Reihenfolge an, in der wir die jeweiligen Operationen ausführen müssen. Multiplikation und Division können gruppiert werden, da sie invers sind, sodass die Reihenfolge, in der sie ausgeführt werden, keine Rolle spielt. Wenn Sie versuchen zu entscheiden, ob zuerst multipliziert oder dividiert werden soll (vorausgesetzt, alle Operationen mit höherer Priorität wurden bereits berücksichtigt), berechnen Sie die Operationen in der Reihenfolge von links nach rechts. Der gleiche Vorgang wird für die Addition und Subtraktion verwendet. In einigen Fällen wird PEMDAS als PE(MD)(AS) geschrieben, um diese Beziehung anzuzeigen.

Immer wenn eine Zahl oder eine Gruppe von Zahlen neben einer anderen Zahl oder Gruppe von Zahlen in Klammern steht und keine explizite Operation dazwischen geschrieben ist, handelt es sich um eine Multiplikation.

Dieses Problem ist etwas knifflig, denn wenn wir die 2 × 10 multipliziert hätten, anstatt die 5 ÷ 2 zu teilen, würden wir eine falsche Antwort von 0,25 erhalten.

Eine andere Möglichkeit, die Reihenfolge der Operationen zu üben, besteht darin, ein "Labyrinth" zu konstruieren, in dem der Fortschritt durch das Labyrinth an das erfolgreiche Abschließen von Problemen in der Reihenfolge der Operationen gebunden ist. Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu tun. Unten ist ein Beispiel.

Lösen Sie das Problem in dem mit "Start" gekennzeichneten Rechteck und folgen Sie dem Pfeil für die Lösung, die Sie erhalten. Wenn die Lösung, die Sie erhalten, nicht verfügbar ist, bedeutet dies, dass Ihre Lösung falsch ist. Nur weil die von Ihnen erworbene Lösung verfügbar ist, bedeutet dies jedoch nicht unbedingt, dass sie richtig ist. Lösen Sie sich durch das Labyrinth, bis Sie das Rechteck "Finish" erreichen. Wenn Sie dies getan haben, überprüfen Sie die unten stehende Lösung, um zu sehen, ob der Pfad, den Sie verfolgt haben, der richtige war.

Es ist auch möglich, kompliziertere Labyrinthe zu bauen. Es geht nur darum, Ihr Verständnis der Operationsreihenfolge zu testen, da einige der Lösungen im Labyrinth möglich sind, indem Sie bestimmte Fehler bei der Operationsreihenfolge machen.

Wenn Sie das Labyrinth richtig durchlaufen hätten, wären Sie von Rechteck eins über zwei, vier, fünf, sechs und dann zum Ziel gegangen. Die Lösungen für jedes der Probleme in den Rechtecken sind unter der Nummerierung in der Liste aufgeführt, die denen oben in jedem Rechteck entspricht.


1.5: Operationsreihenfolge - Mathematik

Die Operationsreihenfolge kommt ins Spiel, wenn ein mathematischer Ausdruck mehr als eine arithmetische Operation hat.

Die Reihenfolge der Operationen bezieht sich auf den Vorrang der Ausführung einer arithmetischen Operation vor einer anderen, während an einem mathematischen Ausdruck gearbeitet wird.

Hier sind die Regeln:

1. Werte Ausdrücke in Klammern aus.
2. Bewerten Sie alle Befugnisse
3. Führen Sie alle Multiplikationen und/oder Divisionen von links nach rechts durch
4. Führen Sie alle Additionen und/oder Subtraktionen von links nach rechts durch.

Mehr über die Reihenfolge der Operationen

Die Reihenfolge der Operationen kann, wenn sie nicht strikt befolgt wird, zu zwei verschiedenen Lösungen für denselben Ausdruck führen.
PEMDAS oder BEDMAS helfen Ihnen, sich die Reihenfolge der Operationen zu merken.
PEMDAS - Entschuldige bitte meine liebe Tante Sally
P - Klammern
E - Exponenten
M - Multiplikation
D - Abteilung
A - Zusatz
S - Subtraktion

Videobeispiele: Reihenfolge der Operationen

SCHLAFZIMMER
B - Halterungen
E - Exponenten
D - Abteilung
M - Multiplikation
A - Zusatz
S - Subtraktion

Beispiele für die Reihenfolge der Operationen

2 + (25 - 4) &mal 20 &dividiere 2
Führen Sie zuerst alle Operationen in Klammern aus
2 + (21) &mal 20 &dividiere 2
Führen Sie alle Multiplikationen und Divisionen von links nach rechts durch.
2 + 420 & 2 teilen
2 + 210
Führen Sie alle Additionen und Subtraktionen von links nach rechts durch.
212

Gelöstes Beispiel für die Reihenfolge der Operationen

Fragen: Werten Sie den Variablenausdruck aus 5x 4 + 4 wenn x = 3 unter Verwendung der Reihenfolge der Operationen.

Auswahl:

A.419
B. 404
C. 409
D.414
Richtige Antwort: C

Lösung:

Schritt 1: 5x 4 + 4[Ursprünglicher Ausdruck.]
Schritt 2: = 5 &mal (3) 4 + 4 [Ersatz x = 3.]
Schritt 3: = 5 &mal 81 + 4 [Kraft auswerten.]
Schritt 4: = 405 + 4[Multiplizieren Sie 5 mit 81.]
Schritt 5: = 409 [Add.]
Schritt 6: Also der Wert von 5x 4 + 4 für x = 3 ist 409.


Herausgegeben von

PRESH TALWALKAR

Ich betreibe den MindYourDecisions-Kanal auf YouTube, der über 1 Million Abonnenten und 200 Millionen Aufrufe hat. Ich bin auch der Autor von The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Thinking und mehreren anderen Büchern, die bei Amazon erhältlich sind.

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Zur Geschichte habe ich 2007 den Blog Mind Your Decisions gestartet, um ein wenig über Mathematik, persönliche Finanzen, persönliche Gedanken und Spieltheorie zu berichten. Es war eine ziemliche Reise! Ich danke allen, die meine Arbeit geteilt haben, und ich bin sehr dankbar für die Berichterstattung in der Presse, einschließlich der Shorty Awards, The Telegraph, Freakonomics und vielen anderen beliebten Medien.

Ich habe Wirtschaftswissenschaften und Mathematik an der Stanford University studiert.

Die Leute fragen oft, wie ich die Videos mache. Wie viele YouTuber verwende ich gängige Software, um meine Videos vorzubereiten. Sie können auf YouTube nach Tutorials für Animationssoftware suchen, um zu erfahren, wie Sie Videos erstellen. Seien Sie vorbereitet – Animationen sind zeitaufwändig und Software kann teuer sein!

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Die Reihenfolge, in der Excel Operationen in Formeln ausführt

In einigen Fällen kann sich die Reihenfolge, in der eine Berechnung ausgeführt wird, auf den Rückgabewert der Formel auswirken. Daher ist es wichtig zu verstehen, wie die Reihenfolge bestimmt wird und wie Sie die Reihenfolge ändern können, um die gewünschten Ergebnisse zu erzielen.

Formeln berechnen Werte in einer bestimmten Reihenfolge. Eine Formel in Excel beginnt immer mit einem Gleichheitszeichen (=). Excel interpretiert die Zeichen, die dem Gleichheitszeichen folgen, als Formel. Auf das Gleichheitszeichen folgen die zu berechnenden Elemente (die Operanden), wie zB Konstanten oder Zellbezüge. Diese werden durch Berechnungsoperatoren getrennt. Excel berechnet die Formel von links nach rechts entsprechend einer bestimmten Reihenfolge für jeden Operator in der Formel.

Operatorvorrang in Excel-Formeln

Wenn Sie mehrere Operatoren in einer einzigen Formel kombinieren, führt Excel die Operationen in der in der folgenden Tabelle gezeigten Reihenfolge aus. Wenn eine Formel Operatoren mit der gleichen Priorität enthält – beispielsweise wenn eine Formel sowohl einen Multiplikations- als auch einen Divisionsoperator enthält – wertet Excel die Operatoren von links nach rechts aus.


Wahrscheinlichkeit und Statistik

Der abstrakte Zweig der Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet mathematische Konzepte, um wahrscheinlich eintretende Ereignisse vorherzusagen und eine Datensammlung zu organisieren, zu analysieren und zu interpretieren. Unter den relativ neueren Zweigen der Mathematik ist sie aufgrund ihrer Verwendung in den Natur- und Sozialwissenschaften nicht mehr wegzudenken. Der Umfang dieses Zweiges umfasst das Studium der Gesetze und Prinzipien, die numerische Daten und zufällige Ereignisse regeln. Die Präsentation einer interessanten Studie, Statistik und Wahrscheinlichkeit ist eine Branche voller Überraschungen.


Planung für Lernen und Lehren

"Einer der Lehransätze, die besonders gut zum Lernerfolg in Mathematik beitragen, ist - gut geplante Lernmöglichkeiten für Kinder und Jugendliche durch forschende, aktive Ansätze" Gemeinsam lernen: Mathematik - HMIE

Folgende Fragen können einen Diskussionsanstoß geben:

  • Welche Arten von Aktivitäten bieten den Lernenden bei der Planung von Lernen und Lehren die Möglichkeit, sowohl selbstständig als auch kollaborativ zu arbeiten?
  • Welche Schritte sind geplant, um diese Art von Aktivitäten zu überprüfen, zu verbessern und aufrechtzuerhalten? Siehe: Fähigkeiten in der Praxis - Entwicklung von Denkfähigkeiten

Gut geplante Aktivitäten, die Blooms überarbeitete Taxonomie für das Lernen einbeziehen, sind ein nützliches Werkzeug, um das Verständnis und die Fähigkeiten der Lernenden in den Bereichen Rechnen und Mathematik zu entwickeln. Die folgenden Aktivitäten wurden entwickelt, um die Mitarbeiter dabei zu unterstützen, die überarbeitete Taxonomie von Bloom bei ihrer Planung zu übernehmen:

  • Blooms überarbeitetes Taxonomie-Planungstool für Rechnen und Mathematik kann verwendet werden, um Qualitätsfragen zu unterstützen.
  • Blooms Higher Order Fans bieten: Plenarfragen zur Förderung des Denkens höherer Ordnung im Rechen- und Mathematikunterricht beispielhafte Aktivitäten, die verwendet werden können, um das Denken höherer Ordnung in Rechnen und Mathematik von der frühen bis zur vierten Ebene im Zahlen- und Zahlenprozess, Brüche, Dezimalbrüche und zu entwickeln Prozentsätze und Messung.

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Aktivitäten zur Unterstützung des Lernens und Lehrens

Dieser Abschnitt wurde entwickelt, um Mitarbeiter und Lernende zu unterstützen, indem er praktische Aktivitäten für den Rechen- und Mathematikunterricht bereitstellt:

Praktische Aktivität 1 - Scharnierfragen

Die Mathematics Excellence Group befürwortet nachdrücklich die Einplanung von Fragen in die Unterrichtsvorbereitung. Solche Fragen wurden „Scharnierfragen“ genannt. Die Idee ist, dass der Lehrer jede Unterrichtsstunde mit einem "Scharnier" plant, an dem der Lehrer das Verständnis der Schüler überprüfen und dann entscheiden kann, was als nächstes zu tun ist. „Scharnier“-Fragen sind in der Regel so konzipiert, dass sie das Verständnis der Lernenden für ein wichtiges Konzept in einer Lektion testen – eines, das für die Schüler entscheidend ist, um es zu verstehen, bevor der Lehrer mit der Lektion fortfährt.

Praktische Aktivität 2 - Starter- und eigenständige Aktivitäten

Den Unterrichtsstartern einen anderen „Dreh“ zu geben, ist eine Möglichkeit, das Denken und Problemlösen anzuregen und führt auch zu sehr interessanten Diskussionen zwischen Lernenden und Mitarbeitern. Längere Starter können als eigenständige Aktivitäten während des Unterrichts verwendet werden.

Praktische Aktivität 3 - Selbst- und Peer-Assessment

Peer Assessment stellt höhere Anforderungen an den Dialog zwischen den Lernenden. Es ermutigt die Lernenden, ihr Denken zu externalisieren und anderen ihr Verständnis zu erklären. In dem Bemühen, andere in ihrem Verständnis zu unterstützen, ist der Lernende daran beteiligt, Denkfähigkeiten höherer Ordnung zu nutzen.

Praktische Aktivität 4 – Verwenden falscher Antworten

Durch den Einsatz effektiver Fragen und Diskussionen werden Lehrer falsche Vorstellungen und falsche Antworten als Gelegenheiten nutzen, um das Verständnis der Kinder für mathematische Konzepte zu verbessern und zu vertiefen.

Praktische Aktivität 5 – Die summative Beurteilung formativ nutzen

Der sinnvolle Einsatz von summativen Assessments zur Sensibilisierung der Lernenden für ihre Stärken und Entwicklungsbedürfnisse ist von entscheidender Bedeutung, um das Verständnis in Mathematik zu fördern. Hochwertige Diskussionen und Debatten aus der Analyse summativer Tests bieten den Lernenden die Möglichkeit, Denk- und Fragefähigkeiten höherer Ordnung weiterzuentwickeln.

PDF-Datei: Aufbau des Curriculums 5

Reflektierende Fragen

  • Welche Techniken und Aktivitäten sind Ihrer Meinung nach nützlich und effektiv, um den Lernfortschritt der Lernenden informell zu bewerten?
  • Welche Möglichkeiten bieten Sie den Lernenden bereits, um über ihre Fortschritte zu sprechen?

Über die Autoren)

Diese Ressource wurde vom Rechenteam von Education Scotland in Zusammenarbeit mit der schottischen Regierung erstellt.


Vier Vierer (Reihenfolge)

2017-11-26 2020-08-11 http://calc.amsi.org.au/wp-content/uploads/sites/15/2016/02/amsi-calculate.png Berechnen 200px 200px

Diese Lektion wurde für Schüler der oberen Primarstufe entwickelt. Es baut auf dem Problem “Four Goodness Sake” auf der NRICH-Website (https://nrich.maths.org/1081) auf. Es soll den Schülern helfen, ein besseres Verständnis für die Reihenfolge der Operationen zu entwickeln und wie die Verwendung von Klammern in einer Gleichung die Lösung verändern kann.

Die Unterrichtsaktivität erfordert, dass die Schüler bis zu vier Vieren und eine beliebige Operation verwenden, um die Zahlen von 0 bis 100 zu bilden. Zum Beispiel 4 + 4 + 4 + 4 = 16.

Zu Beginn verwenden die Schüler die vertrauteren Operationen +, −, ×, ÷, zusammen mit Klammern, um ihre Gleichungen zu erstellen. Zum Beispiel (4 × 4 + 4) ÷ 4 = 5. Allmählich wird es schwieriger, Lösungen für die verbleibenden Zahlen in der Liste zu finden. Hier ist es eine gute Gelegenheit, den Schülern einige andere Operationen vorzustellen, darunter √4 = 2 und 4! = 24. Meiner Erfahrung nach kennt mindestens ein Schüler in der Klasse die Quadratwurzeloperation √nein, was die Einführung erleichtert. Die andere Operation nein!, bekannt als Fakultät, wird den Schülern weniger bekannt sein.

nein! ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich n foder zum Beispiel 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 oder 3! = 3 × 2 × 1 = 6

Mit der Einführung dieser beiden weniger vertrauten Operationen steigt die Zahl der Lösungen, die die Schüler für das Ausgangsproblem finden können.

Kürzlich verstanden die Schüler in einer 5/6-Klasse in NSW das Ausgangsproblem schnell. Nachdem wir einige der offensichtlicheren Lösungen benannt hatten, bestand bald die Herausforderung, Lösungen für die Zahlen von 1 bis 10 zu finden. Wir entschieden uns, die große Klassentafel zu verwenden, um die vorgeschlagenen Lösungen aufzuzeichnen. Auf der Seite des Boards wurde ein "Workout"-Bereich eingefügt, damit Probleme, bei denen die "Reihenfolge der Operationen" ein Faktor war, getestet werden konnten, bevor sie in die Hauptliste aufgenommen wurden.

Obwohl auch mehrere Lösungen größer als 10 entdeckt wurden, wurde die Zahl 10 selbst ein kleiner Knackpunkt. Hier habe ich die Schüler dazu gebracht, über verschiedene Operationen nachzudenken. Ein Student schlug vor, stellte aber bald fest, dass dies nicht erlaubt war, da eine andere Zahl als 4 verwendet wurde. Ein anderer Student sagte, dass das Gegenteil von „quadratisch“ „Quadratwurzel“ sei und bald stand den Schülern eine neue Operation zur Verfügung. Dieses „neue“ Wissen wurde dann von den Schülern verwendet, um mehrere Lösungen für die Zahl 10 bereitzustellen, darunter:

Nach weiteren fünf bis zehn Minuten Arbeit, als sich das Teilen möglicher Lösungen wieder verlangsamt hatte, führte ich die faktorielle Operation ein (. Dies half den Schülern nicht nur, Lösungen für verschiedene Zahlen zu finden, es half ihnen auch, weniger komplizierte Lösungen für einige der vorherigen Nummern, zum Beispiel:

Mit diesen neuen Informationen konnte die Klasse während einer Stunde Lösungen für mehr als 30 Zahlen entwickeln. Als der Unterricht zu Ende ging, teilten die Schüler noch immer eifrig mögliche Lösungen.

Für weitere Informationen zeigt der beigefügte Unterrichtsplan die relevanten Links zum australischen Lehrplan und hebt die zugehörigen Inhalte und Ergebnisse hervor, die im NSW Mathematics K-10-Lehrplan aufgeführt sind.


Schau das Video: Reihenfolge von Rechenoperationen - noch ein Beispiel (Kann 2022).