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4.8: Kontinuität bei Kompaktsets. Gleichmäßige Kontinuität


ICH. Einige weitere wichtige Sätze gelten für Funktionen, die auf einer kompakten Menge stetig sind (siehe §6).

Satz (PageIndex{1})

Ist eine Funktion (f : A ightarrowleft(T, ho^{prime} ight), Asubseteq(S, ho),) relativ stetig auf einer kompakten Menge (Bsubseteq A,) dann ist (f[B]) eine kompakte Menge in (left(T, ho^{prime} ight) .)

[ ext{das stetige Bild einer kompakten Menge ist kompakt.}]

Beweis

Um zu zeigen, dass (f[B]) kompakt ist, nehmen wir eine beliebige Folge (left{y_{m} ight} subseteq f[B]) und beweisen, dass sie in einem (q auf Facebook]).

Da (y_{m}in f[B], y_{m}=fleft(x_{m} ight)) für ein (x_{m}) in (B .) We wähle ein solches (x_{m}in B) für jedes (y_{m},) und erhalte damit eine Folge (left{x_{m} ight} subseteq B) mit

[fleft(x_{m} ight)=y_{m}, quad m=1,2, ldots]

Nun muss nach der angenommenen Kompaktheit von (B,) die Folge (left{x_{m} ight}) an einem (pin B .) Cluster bilden. Sie hat also eine Teilfolge ( x_{m_{k}} ightarrow p .) Da (pin B,) die Funktion (f) relativ stetig an (p) über (B) ist (nach Annahme). Also folgt nach dem sequentiellen Kriterium ((§ 2), x_{m_{k}} ightarrow p) (fleft(x_{m_{k}} ight) ightarrow f(p) ;) dh,

[y_{m_{k}} ightarrow f(p) in f[B].]

Somit ist (q=f(p)) der gesuchte Clusterpunkt von (left{y_{m} ight} . square)

Mit diesem Satz lässt sich die Kompaktheit verschiedener Mengen beweisen.

Beispiel (PageIndex{1})

(1) Ein abgeschlossenes Liniensegment (L[overline{a}, overline{b}]) in (E^{n}left(^{*} ext { und in anderen normierten Räumen } right)) ist kompakt, denn per Definition ist

[L[overline{a}, overline{b}]={overline{a}+t vec{u} | 0 leq t leq 1}, ext{ wobei } vec{u}=overline{b}-overline{a}.]

Somit ist (L[overline{a}, overline{b}]) das Bild des kompakten Intervalls ([0,1] subseteq E^{1}) unter der (operatorname{map } f : E^{1} ightarrow E^{n},) gegeben durch (f(t)=overline{a}+t vec{u},), das nach Satz 3 von § stetig ist 3. (Warum?)

(2) Das geschlossene feste Ellipsoid in (E^{3},)

[links{(x, y, z) | frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}+frac{z^{2}}{c^{2}} leq 1 echts},]

ist kompakt, da es sich um das Bild eines kompakten Globus unter einer geeigneten fortlaufenden Karte handelt. Die Details werden dem Leser als Übung überlassen.

Lemma (PageIndex{1})

Jede nichtleere kompakte Menge (Fsubseteq E^{1}) hat ein Maximum und ein Minimum.

Beweis

Nach den Sätzen 2 und 3 von §6 ist (F) abgeschlossen und beschränkt. Also hat (F) ein Infimum und ein Supremum in (E^{1}) (nach dem Vollständigkeitsaxiom), sagen wir (p=inf F) und (q=sup F . ) Es bleibt zu zeigen, dass (p, q in F .)

Nehmen wir das Gegenteil an, sagen wir, (q otin F .) Dann enthält nach Eigenschaften von suprema jede Kugel (G_{q}(delta)=(q-delta, q+delta)) einige ( x in B) (insbesondere (q-delta

[(foralldelta>0) quad F cap G_{ eg q}(delta) eq emptyset;]

h. (F) Cluster bei (q) und müssen daher (q) enthalten (abgeschlossen). Da jedoch (q otin F,) der gewünschte Widerspruch ist, ist das Lemma bewiesen. (Quadrat)

Der nächste Satz hat viele wichtige Anwendungen in der Analysis.

Satz (PageIndex{2})

(Weierstraße).

(i) Ist eine Funktion (f : A ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) relativ stetig auf einer kompakten Menge (B subseteq A,), dann gilt (f ) ist auf (B ;) beschränkt, dh (f[B]) ist beschränkt.

(ii) Ist zusätzlich (B eqemptyset) und (f) reell (left(f : A ightarrow E^{1} ight),), dann ist (f [B]) hat ein Maximum und ein Minimum; d.h. f nimmt an einigen Stellen von (B) einen größten und einen kleinsten Wert an.

Beweis

Tatsächlich ist nach Satz (1, f[B]) kompakt, also beschränkt, wie in ((i)) behauptet.

Falls weiterhin (B eqemptyset) und (f) reell ist, dann ist (f[B]) eine nichtleere kompakte Menge in (E^{1},) also nach Lemma ( 1,) es hat ein Maximum und ein Minimum in (E^{1} .) Damit ist alles bewiesen. (Quadrat)

Anmerkung 1. Dieser und die anderen Sätze dieses Abschnitts gelten insbesondere dann, wenn (B) ein abgeschlossenes Intervall in (E^{n}) oder ein abgeschlossener Globus in (E^{n}left(^{ *} ext { oder } C^{n} ight)) (weil diese Mengen kompakt sind - siehe die Beispiele in §6). Dies kann jedoch fehlschlagen, wenn (B) nicht kompakt ist, zB wenn (B=(overline{a}, overline{b}) .) Für ein Gegenbeispiel siehe Aufgabe 11 in Kapitel 3, §13.

Satz (PageIndex{3})

Ist eine Funktion (f : A ightarrowleft(T, ho^{prime} ight), Asubseteq(S, ho)), relativ stetig auf einer kompakten Menge (Bsubseteq A) und ist eins zu eins auf (B) (dh wenn es auf (B) beschränkt ist), dann ist seine Inverse (f^{-1}) auf (f[B ]).

Beweis

Um zu zeigen, dass (f^{-1}) in jedem Punkt (qin f[B]) stetig ist, wenden wir das sequentielle Kriterium an (Satz 1 in §2). Also fixieren wir eine Folge (left{y_{m} ight} subseteq f[B], y_{m} ightarrow qin f[B]) und beweisen, dass (f^{ -1}left(y_{m} ight) ightarrow f^{-1}(q)).

Sei (f^{-1}left(y_{m} ight)=x_{m}) und (f^{-1}(q)=p), so dass

[y_{m}=fleft(x_{m} ight), q=f(p), ext{ und } x_{m}, pin B.]

Wir müssen zeigen, dass (x_{m} ightarrow p), d. h. dass

[(forall varepsilon>0)(exists k)(forall m>k) quad holeft(x_{m}, p ight)

Wenn Sie einen Widerspruch suchen, nehmen Sie an, dass dies fehlschlägt, d. h. seine Negation gilt. Dann (siehe Kapitel 1, §§1–3) gibt es ein (epsilon > 0) mit

[(forall k)left(exists m_{k}>k ight) quad holeft(x_{m_{k}}, p ight) geq varepsilon,]

wobei wir „(m_{k})“ für „(m)“ schreiben, um zu betonen, dass (m_{k}) für verschiedene (k) unterschiedlich sein kann. Somit legen wir nach (1) einige (m_{k}) für jedes (k) fest, so dass (1) gilt, indem wir Schritt für Schritt wählen,

[m_{k+1}>m_{k}, quad k=1,2, ldots]

Dann bilden die (x_{m_{k}}) eine Teilfolge von ({x_{m}}), und die entsprechenden (y_{m_{k}}=f(x_{m_{k }})) bilden eine Teilfolge von (left{y_{m} ight}). Der Kürze halber bezeichnen nun (left{x_{m} ight}) und (left{y_{m} ight}) selbst diese beiden Teilfolgen. Dann gilt nach wie vor (x_{m}in B, y_{m}=fleft(x_{m} ight)in f[B]), und (y_{m} ightarrow q, q=f(p)). Auch durch(1),

[(forall m) quad holeft(x_{m}, p ight) geq varepsilonleft(x_{m} ext { steht für } x_{m_{k}} ight) .]

Da nun (left{x_{m} ight}subseteq B) und (B) kompakt ist, hat (left{x_{m} ight}) a (sub )Teilsequenz

[x_{m_{i}} ightarrow p^{prime} ext { für einige } p^{prime} in B.]

Da (f) auf (B) relativ stetig ist, impliziert dies

[fleft(x_{m_{i}} ight)=y_{m_{i}} ightarrow fleft(p^{prime} ight)]

Allerdings muss die Teilfolge (left{y_{m_{i}} ight}) denselben Grenzwert haben wie (left{y_{m} ight}), dh ( f(p)). Also (fleft(p^{prime} ight)=f(p)), woraus (p=p^{prime}) (für (f) ist eins zu eins auf ( B)), also (x_{m_{i}} ightarrow p^{prime}=p).

Dies widerspricht jedoch (2), und damit ist der Beweis vollständig. (Quadrat)

Beispiel (PageIndex{2})

(3) Für ein festes (nin N,) definiere (f :[0,+infty) ightarrow E^{1}) durch

[f(x)=x^{n}.]

Dann ist (f) eins zu eins (streng steigend) und stetig (als Monom; siehe §3). Somit ist nach Satz 3 (f^{−1}) (die n-te Wurzelfunktion) auf jedem Intervall . relativ stetig

[f=[a^{n}, b^{n}].]

daher auf ([0,+infty).)

Siehe auch Beispiel (a) in §6 und Problem 1 unten.

II. Einheitliche Kontinuität. Wenn (f) auf (B) relativ stetig ist, dann gilt per Definition

[(forallvarepsilon>0)(forall pin B)(exists delta>0)left(forall xin Bcap G_{p}(delta) ight) quad ho^{prime}(f(x), f(p))

Hier hängt im Allgemeinen (delta) sowohl von (epsilon) als auch von (p) ab (siehe Problem 4 in §1); das heißt, gegeben (epsilon > 0), können einige Werte von (delta) zu einem gegebenen p passen, aber (3) für andere Punkte versagen.

Es kann jedoch vorkommen, dass ein und dasselbe (delta) (nur abhängig von (epsilon)) (3) für alle (pin B) gleichzeitig erfüllt, so dass wir das stärkere Formel

[(forall varepsilon>0)(exists delta>0)(forall p, x in B | ho(x, p)

Definition

Falls (4) wahr ist, sagen wir, dass (f) auf (B) gleichmäßig stetig ist.

Dies impliziert eindeutig (3), aber die Umkehrung schlägt fehl.

Satz (PageIndex{4})

Ist eine Funktion (f : A ightarrowleft(T, ho^{prime} ight), A subseteq(S, ho)), relativ stetig auf einer kompakten Menge (B subset A), dann ist (f) auch auf (B) gleichmäßig stetig.

Beweis

(durch Widerspruch). Angenommen (f) ist auf (B) relativ stetig, aber (4) schlägt fehl. Dann gibt es ein (epsilon > 0) mit

[(forall delta>0)(exists p, x in B) quad ho(x, p)

hier (p) und (x) auf (delta). Wir fixieren ein solches (epsilon) und lassen

[delta=1, frac{1}{2}, ldots, frac{1}{m}, dots]

Dann erhalten wir für jedes (delta) (d.h. jedes (m)) zwei Punkte (x_{m}, p_{m}in B) mit

[ holeft(x_{m}, p_{m} ight)

und

[ ho^{prime}left(fleft(x_{m} ight), fleft(p_{m} ight) ight) geqvarepsilon, quad m=1,2 , ldots]

Damit erhalten wir zwei Folgen (left{x_{m} ight}) und (left{p_{m} ight}), in (B). Da (B) kompakt ist, hat (left{x_{m} ight}) eine Teilfolge (x_{m_{k}} ightarrow q(qin B)). Der Einfachheit halber sei es (left{x_{m} ight}) selbst; so

[x_{m} ightarrow q, quad q in B.]

Daraus folgt nach (5) leicht, dass auch (p_{m} ightarrow q) (weil ( holeft(x_{m}, p_{m} ight) ightarrow 0) gilt der angenommenen relativen Stetigkeit von (f) auf (B), folgt

[fleft(x_{m} ight) ightarrow f(q) ext { und } fleft(p_{m} ight) ightarrow f(q) ext { in }left(T , ho^{prime} ight).]

Dies wiederum impliziert, dass ( ho^{prime}left(fleft(x_{m} ight), fleft(p_{m} ight) ight) ightarrow 0) , was im Hinblick auf (6) unmöglich ist. Dieser Widerspruch vervollständigt den Beweis. (Quadrat)

Beispiel (PageIndex{1})

(a) Eine Funktion (f : A ightarrow left( T , ho ^ { prime } ight) , A subseteq ( S , ho )), ic heißt Kontraktionsabbildung (auf (A )) wenn

[ ho ( x , y ) geq ho ^ { prime } ( f ( x ), f ( y ) ) ext { für alle } x , y in A.]

Jede solche Abbildung ist auf A gleichmäßig stetig. Tatsächlich nehmen wir für (varepsilon > 0) einfach (delta = varepsilon). Dann ( forall x , p in A )

[ ho ( x , p ) < delta ext { impliziert } ho ^ { prime } ( f ( x ), f ( p ) ) leq ho ( x , p ) < delta = varepsilon ,]

wie in (3) gefordert.

(b) Betrachten Sie als Sonderfall die Betragsabbildung (Normabbildung) gegeben durch

[f ( overline { x } ) = | overline {x} | ext { on } E ^ { n } left( ^ { * } ext { oder ein anderer normierter Raum } ight).]

Sie ist auf(E^{n}) gleichmäßig stetig, weil

[| | overline {x} | - | overline { p } | | leq | overline { x } - overline { p } | , ext { dh } ho ^ { prime } ( f(overline{x}), f(overline{p}))leq ho(overline{x},overline{p}) ,]

was zeigt, dass (f) eine Kontraktionsabbildung ist, also gilt Beispiel (a).

(c) Andere Beispiele für Kontraktionskarten sind

(1) konstante Abbildungen (siehe §1, Beispiel (a)) und

(2) Projektionskarten (siehe Beweis von Satz 3 in §3).

Überprüfen!

(d) Definiere (f : E ^ { 1 } ightarrow E ^ { 1 }) durch

[f(x) = sinx]

Nach elementarer Trigonometrie ist (|sin x | leq | x |). Also (left(forall x, pin E^{ 1} ight))

[egin{ausgerichtet} | f(x) – f(p) | & = | sin x - sin p | & = 2 links| sin frac { 1 } { 2 } ( x - p ) cdot cos frac { 1 } { 2 } ( x + p ) ight| & leq 2 links| sin frac { 1 } { 2 } ( x - p ) ight| & leq 2 cdot frac { 1 } { 2 } | x - p | = | x - p | end{ausgerichtet},]

und (f) ist wieder eine Kontraktionsabbildung. Daher ist die Sinusfunktion auf (E^{1}) gleichmäßig stetig; ähnlich für die Kosinusfunktion.

(e) Gegeben ( emptyset eq A subseteq ( S , ho ), ) definiere ( f : S ightarrow E ^ { 1 } ) durch

[
f ( x ) = ho ( x , A ) ext { wobei } ho ( x , A ) = inf _ { y in A } ho ( x , y )
]

Das kann man leicht zeigen

[
( forall x , p in S ) quad ho ( x , A ) leq ho ( x , p ) + ho ( p , A )
]

d.h.,

[
f ( x ) leq ho ( p , x ) + f ( p ) , ext { oder } f ( x ) - f ( p ) leq ho ( p , x )
]

In ähnlicher Weise gilt ( f ( p ) - f ( x ) leq ho ( p , x ) . ) Also

[
| f(x) – f(p) | leq ho ( p , x )
]

d.h. (f) ist gleichmäßig stetig (da es sich um eine Kontraktionsabbildung handelt).

(f) Die Identitätsabbildung ( f : ( S , ho ) ightarrow ( S , ho ) , ) gegeben durch

[
f ( x ) = x
]

ist auf ( S ) gleichmäßig stetig, da

[
ho ( f ( x ) , f ( p ) ) = ho ( x , p ) ext { (eine Kontraktionskarte!) }
]

Allerdings könnte sogar die relative Stetigkeit scheitern, wenn die Metrik im Domänenraum ( S ) nicht dieselbe wäre wie in ( S ), wenn man sie als Bereichsraum betrachtet (zB make ( ho ^ { prime } ) diskret!)

(g) Definiere ( f : E ^ { 1 } ightarrow E ^ { 1 } ) durch

[
f ( x ) = a + b x quad ( b eq 0 ).
]

Dann

[
left( forall x , p in E ^ { 1 } ight) quad | f(x) – f(p) | = | b | | x - p |;
]

d.h.,

[
ho(f(x), f(p)) = | b | ho ( x , p ).
]

Gegeben ( varepsilon > 0 , ) sei also ( delta = varepsilon / | b | . ) Dann

[
ho ( x , p ) < delta Longrightarrow ho ( f ( x ), f ( p ) ) = | b | ho ( x , p ) < | b | delta = varepsilon,
]

eine einheitliche Kontinuität beweisen.

(h) Lass

[
f ( x ) = frac { 1 } { x } quad ext { on } B = ( 0 , + infty ).
]

Dann ist ( f ) auf ( B , ) stetig, aber nicht gleichmäßig. Tatsächlich können wir die Negation von ( ( 4 ) , ) beweisen, d.h.

[
( exists varepsilon > 0 ) ( forall delta > 0 ) ( exists x , p in B ) quad ho ( x , p ) < delta ext { und } ho ^ { prime } ( f ( x ), f ( p ) ) geq varepsilon.
]

Nehmen wir ( varepsilon = 1 ) und beliebige( delta > 0 . ) Wir suchen nach ( x , p ) mit

[
| x - p | < delta ext { und } | f(x) – f(p) | geq varepsilon,
]

d.h.,

[
links| frac { 1 } { x } - frac { 1 } { p } ight| geq 1,
]

Dies wird durch die Einnahme erreicht

[
p = min left( delta , frac { 1 } { 2 } ight) , x = frac { p } { 2 } . quad ( ext { Verifizieren! } )
]

Somit scheitert ( ( 4 ) ) auf ( B = ( 0 , + infty ), ), aber es gilt auf ( [ a , + infty ) ) für jedes ( a > 0 ) .
(Überprüfen!)


Topologie Frühjahr 2020

Die Inhalte der Erstsemester im Bachelor-Studiengang Mathematik. Insbesondere wird von jedem Studierenden erwartet, dass er mit dem Begriff der Stetigkeit für Funktionen aus/zu euklidischen Räumen und mit den Inhalten der entsprechenden Grundsätze (Bozen, Weierstrass etc.) vertraut ist. Darüber hinaus ist ein gewisses Maß an wissenschaftlicher Reife im Verfassen strenger Beweise (und deren Befolgung im Unterricht) unbedingt erforderlich.

Inhalt

Eine Einführung in die Topologie, d.

Zu den behandelten Themen gehören: Topologische und metrische Räume, Stetigkeit, Zusammenhang, Kompaktheit, Produkträume, Trennungsaxiome, Quotientenräume, Homotopie, Fundamentalgruppe, Überdeckungsräume.


Inhalt des Lehrbuchs

1. Umfang der Toxikologie
2. Risikobewertung
3. Ziele und Biotransformation
4. Toxikokinetik
5. Hämato- und vaskuläre Toxizität
6. Dermatotoxizität
7. Neurotoxizität
8. Hepatotoxizität
9. Nephrotoxizität
10. Techniken in vivo und in vitro
11. Lungentoxizität
12. Reproduktionstoxizität
13. Genotoxizität
14. Karzinogenität

*Fotoquelle: (CC BY-SA 2.5 http://en.wikipedia.org/wiki/Hep_G2#mediaviewer/File:HepG2.jpg)


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Kapitel 34: Tierernährung und das Verdauungssystem
Kapitel 35: Das Nervensystem
Kapitel 36: Sensorische Systeme
Kapitel 37: Das endokrine System
Kapitel 38: Der Bewegungsapparat
Kapitel 39: Das Atmungssystem
Kapitel 40: Das Kreislaufsystem
Kapitel 41: Osmotische Regulation und Ausscheidung
Kapitel 42: Das Immunsystem
Kapitel 43: Tierreproduktion und -entwicklung
Kapitel 44: Ökologie und Biosphäre
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Terminologie und einige Hilfsergebnisse

Notation

Alle betrachteten topologischen Räume werden als Tikhonov angenommen.

Wir sagen, dass eine Familie (mathcal ) von Mengen hat Auftrag (le n) wenn jede Unterfamilie (mathcal subset mathcal ) der Kardinalität (n+2) hat eine leere Schnittmenge (in anderer Terminologie ist die Familie (mathcal ) ist Punkt- ((n+1)) ). Die Familie (mathcal ) hast endliche Ordnung wenn es die Ordnung (le n) für einige (nin omega) hat.

Die Familie (mathcal ) von Teilmengen eines Raumes X ist (T_0) -trennend, wenn für jedes Paar unterschiedlicher Punkte x, ja von X, gibt es (Uin mathcal ) enthält genau einen der Punkte x, ja.

Für einen lokal kompakten Raum X, (alpha(X)) bezeichnet die Einpunktkompaktifizierung von X. Den Punkt im Unendlichen dieser Kompaktifizierung bezeichnen wir mit (infty_X) .

Funktionsräume

Gegeben einen kompakten Raum K, durch C(K) bezeichnen wir den Banachraum stetiger reellwertiger Funktionen auf K, ausgestattet mit der Standard-Supremum-Norm.

Verstreute Räume

Ein Leerzeichen X ist verstreut wenn keine nichtleere Teilmenge (Asubseteq X) an sich dicht ist.

Für einen verstreuten Raum K, durch Cantor-Bendixson-Höhe ht(X) von K wir meinen die minimale Ordinalzahl (alpha) mit der Cantor-Bendixson-Ableitung (K^<(alpha)>) des Raumes K ist leer. Die Cantor-Bendixson-Höhe eines kompakten Streuraums ist immer eine unbeschränkte Ordinalzahl.

Eine surjektive Abbildung (f:X ightarrow Y) zwischen topologischen Räumen heißt irreduzibel wenn keine richtige abgeschlossene Teilmenge von X Karten auf Ja. Wenn X kompakt ist, nach Kuratowski–Zorn Lemma, für jede surjektive Abbildung (f:X ightarrow Y) gibt es eine abgeschlossene Teilmenge (Csubseteq X) mit der Einschränkung (fupharpoonright C) ist irreduzibel.

Die folgenden Tatsachen bezüglich stetiger Abbildungen gestreuter kompakter Räume sind bekannt, vgl. den Beweis von Satz 8.5.3 und Aufgabe 8.5.10(C) in [16].

Vorschlag 2.1

Lassen K sei ein gestreuter kompakter Raum und sei (varphi : K ightarrow L) eine stetige Surjektion. Dann gilt für jede Ordinalzahl (alpha) (L^ <(alpha)>subseteq varphi (K^<(alpha)>)) . Insbesondere (ht(L) le ht(K)) .

Vorschlag 2.2

Lassen K sei ein gestreuter kompakter Raum und sei (varphi : K ightarrow L) eine stetige irreduzible Surjektion. Dann ist (L' = varphi (K')) und (varphi upharpoonright (K K')) eine Bijektion auf (L L') .

Eberlein und Corson kompakte Räume

Ein Leerzeichen K ist ein Eberlein kompakter Raum, wenn K ist homöomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines Banachraums. Entsprechend kompakter Raum K ist ein Eberlein-Compactum, wenn K kann in den folgenden Unterraum des Produkts (mathbb ^Gamma) :

Wenn K zu einer schwach kompakten Teilmenge eines Hilbertraums homöomorph ist, dann sagen wir, dass K ist ein Uniform Eberlein kompakter Raum. Alle metrisierbaren Compacta sind einheitliche Eberlein.

Ein kompakter Raum K ist Corson kompakt wenn für eine Menge (Gamma) K ist homöomorph zu einer Teilmenge des (Sigma) -Produkts reeller Geraden

Offensichtlich enthält die Klasse der Corson-Kompakträume alle Eberlein-Kompakten.

Leerzeichen (sigma_(X))

Gegeben eine Menge (Gamma) und (ninomega) , durch (sigma_(Gamma)) bezeichnen wir den Unterraum des Produkts (2^Gamma) bestehend aus allen charakteristischen Funktionen von Kardinalitätsmengen (le n) . Der Raum (sigma_(Gamma)) ist einheitlich Eberlein und von der Höhe (n+1) gestreut.

Für (Ain [Gamma ]^) bezeichnen wir die Standard-Clopen-Nachbarschaft ((Gamma): ATeilmenge B>) von (chi_A) in (sigma_(Gamma)) durch (V_) .

Zur Vereinfachung der Notation sagen wir, dass ein kompakter Raum K gehört zur Klasse (mathcal _n) wenn K kann in den Raum (sigma _(Gamma)) für eine Menge (Gamma) . Wir bezeichnen die Vereinigung (igcup _mathcal _n) durch (mathcal _<<omega >) . Trivialerweise, wenn ein kompakter Raum K zu einer der obigen Klassen gehört, dann ist jede abgeschlossene Teilmenge von K ist auch in der gleichen klasse. Man kann auch leicht nachweisen, dass die Klasse (mathcal _<<omega >) bleibt unter endlichen Produkten erhalten, vgl. [1, s. 148].

Vorschlag 2.3

Für einen kompakten Raum K und (nin omega ) sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

K hat einen (T_0) -Trennpunkt-nein Familie von Clopen-Untergruppen

K gehört zur Klasse (mathcal _n) .

Beweis

((ii) (Rightarrow ) (i)) Angenommen, K ist ein Unterraum des Raumes (sigma_(Gamma)) für eine Menge (Gamma) . Für (gammainGamma) sei (U_gamma = ) . Man kann leicht nachweisen, dass die Familie () ist ein (T_0) -Trennpunkt-nein Familie von Clopen-Untergruppen von K. (Quadrat )

Lemma 2.4

Lassen K sei eine unendliche kompakte Teilmenge von (sigma_(Gamma)) für eine Menge (Gamma) und (nin omega) . Dann K kann eingebettet werden in (sigma _(kappa)) , wobei (kappa) das Gewicht ist w(K) von K.

Beweis

Aus dem Beweis von Lemma 2.3 und der bekannten Tatsache folgt, dass für einen unendlich kompakten Raum die Mächtigkeit der Familie der clopen-Teilmengen von K ist begrenzt durch w(K). (Quadrat )

Lemma 2.5

Sei (Gamma) eine unendliche Menge. Dann ist für jedes (n,kinomega,kge 1) die diskrete Vereinigung von k Kopien von (sigma_(Gamma)) bettet sich in (sigma_(Gamma)) .

Beweis

Sei (X=>) eine mit (Gamma) disjunkte Menge sein. Für (finsigma_(Gamma)) und (i< k) sei (f_i: Gammacup X ightarrow 2) definiert durch

Das lässt sich leicht verifizieren, wenn wir einer Funktion zuordnen f von ich-te Kopie von (sigma_(Gamma)) , die Funktion (f_i) , dann erhalten wir eine Einbettung der diskreten Vereinigung von k Kopien von (sigma_(Gamma)) in (sigma_(Gamma cup X)) , eine Kopie von (sigma_(Gamma)) . (Quadrat )

Satz 2.6

(Argyros und Godefroy) Jedes Eberlein compactum K von Gewicht (<omega _omega) und endlicher Höhe gehört zur Klasse (mathcal _<<omega >) .

Beispiel 2.7

(Bell und Marciszewski [4]) Es existiert ein Eberlein-Compactum K von Gewicht (omega _omega) und Körpergröße 3, die nicht zu (mathcal _<<omega >) .

Luzin-Sets und ihre Varianten

Normalerweise ist eine Teilmenge L der reellen Geraden (mathbb ) heißt a Luzin-Set wenn X ist unzählbar und für jede magere Teilmenge EIN von (mathbb ) ist der Schnitt (Acap L) abzählbar. Seien (kappalelambda) unzählbare Kardinalzahlen. Wir werden sagen, dass eine Teilmenge L eines polnischen Raums X ist ein ((lambda,kappa)) -Luzin-Set wenn X hat die Kardinalität (lambda) und für jede magere Teilmenge EIN von X der Durchschnitt (Acap L) hat die Kardinalität kleiner als (kappa) . In dieser Terminologie ist die Existenz einer Luzin-Menge in (mathbb ) ist äquivalent zur Existenz einer ((omega _1,omega _1)) -Luzin-Menge.

Denn für jeden polnischen Raum X ohne isolierte Punkte gibt es einen Borelschen Isomorphismus (h:X ightarrowmathbb ) so dass (Asubseteq X) genau dann mager ist, wenn ha(EIN) ist mager in (mathbb ) , folgt daraus, dass die Existenz einer ((lambda ,kappa )) -Luzin-Menge in einer solchen X ist äquivalent zur Existenz einer ((lambda,kappa))-Luzin-Menge in (mathbb ) .

Es ist bekannt, dass für jedes (nge 1) die Existenz einer ((omega_n,omega_1))-Luzin-Menge in (mathbb ) stimmt mit ZFC überein, vgl. [2, Lemma 8.2.6].

Kardinalzahlen (mathfrak ) und (mathrm (mathcal ))

Denken Sie daran, dass die Vorordnung (le^*) auf (omega ^omega) definiert ist durch (fle^* g), falls (f(n)le g(n)) für alle außer endlich (nin omega) . Eine Teilmenge EIN von (omega ^omega) heißt unbegrenzt wenn sie in Bezug auf diese Vorbestellung unbegrenzt ist. In Abschn. 4 verwenden wir zwei Kardinalzahlen, die sich auf die Struktur der reellen Linie beziehen

Es ist bekannt, dass (mathfrak le mathrm (mathcal )) (vgl. [2, Kap. 2]), und für jede natürliche Zahl (nge 1) die Aussage (mathfrak = omega _n) ist konsistent mit ZFC , (vgl. [17, Satz 5.1]).

Alexanderov Duplikat ANZEIGE(K) eines kompakten Raums K

Erinnern Sie sich an den Bau des Aleksandrov-Duplikats ANZEIGE(K) eines kompakten Raums K.

(AD(K) = K imes 2) , Punkte (x, 1), für (xin K) , sind isoliert in ANZEIGE(K) und Basisumgebungen eines Punktes (x, 0) haben die Form ((U imes 2) <(x,1)>) , wobei U ist eine offene Nachbarschaft von x im K.

Die folgende Tatsache ist bekannt (vgl. [10]).

Vorschlag 2.8

Das Aleksandrov-Duplikat ANZEIGE(K) eines (gleichförmigen) Eberlein-Kompaktraums K ist (einheitlich) Eberlein-kompakt.

Beweis

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass K ist ein Unterraum von (c_0(Gamma)) ( (ell_2(Gamma)) ), ausgestattet mit der punktweisen Topologie, für eine Menge (Gamma) . Das werden wir zeigen ANZEIGE(K) kann in den Raum (c_0(Gammacup K)) ( (ell_2(Gammacup K))) eingebettet werden. Definiere für (xin K) und (i=0,1) eine Funktion (f_:Gammacup K ightarrowmathbb ) wie folgt:

Man kann leicht verifizieren, dass die Abbildung ((x,i)mapsto f_) ergibt die gewünschte Einbettung. (Quadrat )


Panjab Universität M.Sc. Mathematik Lehrplan 2020-21 : puchd.ac.in

(ii) Folgen und Reihen: Konvergente Folgen (in metrischen Räumen). Unterfolgen. Cauchy-Sequenzen. Ober- und Untergrenze einer Folge reeller Zahlen. Satz von Riemann über Umordnungen von Reihen reeller und komplexer Zahlen.

(iii) Kontinuität: Grenzen von Funktionen (in metrischen Räumen). Kontinuierliche Funktionen. Kontinuität und Kompaktheit. Kontinuität und Verbundenheit. Monotone Funktionen.

Einheit - II:
(iv) Das Riemann-Stieltjes-Integral: Definition und Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals. Eigenschaften des Integrals. Integration von vektorwertigen Funktionen. Korrigierbare Kurven.

(v) Folgen und Reihen von Funktionen: Problem der Vertauschung von Grenzprozessen für Funktionsfolgen. Gleichmäßige Konvergenz. Gleichmäßige Konvergenz und Kontinuität. Gleichmäßige Konvergenz und Integration. Gleichmäßige Konvergenz und Differenzierung. Gleichstetigste Funktionsfamilien, Theorem von Stone-Weierstrass.

Mathematik 602S: Algebra - I
Einheit - I:
Überprüfung grundlegender Konzepte von Gruppen mit Schwerpunkt auf Übungen. Permutationsgruppen, Gerade und ungerade Permutationen, Konjugationsklassen von Permutationen, Alternating groups, Simplicity of An, n > 4. Cayley’s Theorem, Direkte Produkte, Fundamental Theorem for finite abelian groups, Sylow Theorems and their applications, Finite Simple groups [Scope wie in den Kapiteln 2-4 Modern Algebra von Surjeet Singh und Qazi Zameerudin, Achte Auflage und Kapitel 11, 24, 25 von Contemporary Abstract Algebra von Gallian, Vierte Auflage]

Einheit-II:
Übersicht einiger endlicher Gruppen, Gruppen der Ordnung p2, pq (p- und q-Primzahlen). Solvable groups, Normal and subnormal series, composition series, the theorems of Schreier and Jordan Holder [Scope as in Chapters 6 of Modern Algebra by Surjeet Singh and Qazi Zameerudin, Eighth Edition and Chapter 7 of Algebra, Vol. I by Luther and Passi].

Review of basic concepts of rings with emphasis on exercises. Polynomial rings, formal power series rings, matrix rings, the ring of Guassian Integers. [Scope as in Chapters 7, 8 and 9 of Modern Algebra by Surjeet Singh and Qazi Zameerudin, Eighth Edition , 2006].

Math 603S: Differential Equations

Unit-I:
Differential Equations Existence and uniqueness of solution of first order equations. Boundary value problems and Strum-Liouville theory. ODE in more than 2-variables. [Scope as in Chapter V of the book ‘An introduction to Ordinary Differential Equations’ by E.A.Coddington and Chapters X & XI of the book ‘Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems’ by W.E.Boyce and R.C.Diprima.]

Unit-II:
Partial differential equations of first order. Partial differential equations of higher order with constant coefficients. Partial differential equations of second order and their classification. [Scope as in Chapters I, II & III of the book ‘Elements of Partial Differential Equations’ by I.N.Sneddon].

Math 604S: Complex Analysis-I
Unit-I:
Complex plane, geometric representation of complex numbers, joint equation of circle and straight line, stereographic projection and the spherical representation of the extended complex plane. Topology on the complex plane, connected and simply connected sets. Complex valued functions and their continuity. Curves, connectivity through polygonal lines.Analytic functions, Cauchy-Riemann equations, Harmonic functions and Harmonic conjugates.Power series, exponential and trigonometric functions, arg z, log z, az and their continuous branches. (Scope as in “Foundations of Complex Analysis” by Ponnusamy S., Chapter 1, (§1.1-§ 1.5),Chapter 2 (§ 2.2, §2.3), Chapter 3, (§3.1-§3.5), Chapter 4, (§4.9).)

Unit-II:
Complex Integration, line integral, Cauchy’s theorem for a rectangle, Cauchy’s theorem in a disc, index of a point with respect to a closed curve, Cauchy’s integral formula, Higher derivatives, Morrera’s theorem, Liouville’s theorem, fundamental theorem of Algebra. The general form of Cauchy’s theorem. (Scope as in “Foundations of Complex Analysis” by Ponnusamy S., Chapter 4, (§4.1-§ 4.8), Chapter 6 (§ 6.4, §6.6).”Complex Analysis” by L/ V. Ahlfors, Chapter 4 (§1, 2, 4.1 to 4.5and §5.1)


Duality

I have already said that, given a set X with a quasi-uniformity U, seen with the induced topology, every compact saturated subset of X is closed in X –1 . This means that the cocompact topology on X is coarser than the topology of X –1 . Wann U ist U0, the minimal compatible quasi-uniformity (see Proposition D), those two topologies coincide, as we now argue.

Proposition F. Lassen X be a locally compact topological space, and U be the minimal compatible quasi-uniformity U0. The topology induced by the dual quasi-uniformity U –1 on X coincides with the cocompact topology.

We expand the definition of R: R –1 [x] is the set of points ja such that for every ich, if jaQich dann xUich equivalently, such that for every ich, if xUich dann xQich in other words, it is the complement of Qich, wo Qich is the union of the sets Qich, ichich, und ich is the collection of indices ich so dass xUich. Qich is compact saturated, so its complement R –1 [x] is open in the cocompact topology. This complement contains x (R –1 [x] always contains x), and is included in Ö. This shows that Ö is an open neighborhood, in the cocompact topology, of each of its points, so that Ö is open in the cocompact topology.

Conversely, let Ö be any open subset of X in the cocompact topology. Its complement Q is compact saturated in X. By Lemma C, Ö is open in the topology induced by U –1 . ☐

We finally reach the result promised at the beginning of this post.

Theorem. Lassen X be a stably compact topological space. There is a unique quasi-uniformity U that induces the topology of X and such that the dual quasi-uniformity U –1 induces the cocompact topology, and this is the minimal compatible quasi-uniformity U0.

Beweis. Existence is by Proposition F. In order to show uniqueness, we fix a quasi-uniformity U that induces the topology of X and such that the dual quasi-uniformity U –1 induces the cocompact topology. By Proposition D’, U enthält U0, so we concentrate on showing the reverse inclusion.

Lassen R be any entourage of U. There is an entourage S im U so dass S o SR. For every xX, it follows that S –1 [x] × S[x] is included in R: every pair (ja,z) im S –1 [x] × S[x] is such that (ja,x) ∈ S and (x,z) ∈ S, so (ja,z) ∈ R. S –1 [x] is an open neighborhood of x im X d since U –1 induces the cocompact topology on X, und S[x] is an open neighborhood of x im X since U induces the original topology on X. Deshalb R is an open neighborhood of (x,x) im X d × X, for every xX. Mit anderen Worten, R is an open neighborhood of (=) in X d × X. By Proposition E’, R im U0, and this finishes the proof. ☐


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