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6.1: Probleme - Mathematik

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  1. (a) Legen Sie alle abstrakten Gruppen fest, die eine Ordnung (2 le N le 6) haben. Berechnen Sie typische Produkte. Welche Gruppen sind Abelianer? Geben Sie für jede Gruppe mindestens zwei isomorphe Realisierungen an.

    (b) Identifizieren Sie die Untergruppen. Welche sind unveränderlich?

  2. Schreiben Sie die Permutationen der (n = 3)- und (n = 4)-Objekte auf. Ordnen Sie das Ergebnis kompakt an. Betrachten Sie zunächst die Untergruppe der geraden Permutationen (die alternierende Gruppe). Nutzen Sie Zyklen.
  3. Finden Sie die gemeinsame Wirkung zweier Spiegelebenen (siehe Abbildung B.1). Betrachten Sie auch Parallelspiegel.

  1. Ein Kugelwellenpuls weicht vom Raumzeitpunkt (0, 0, 0, 0) im Inertialsystem (sum) ab. Betrachten Sie ein System (sum'), das sich entlang der z-Richtung mit der Geschwindigkeit (eta = anhmu) bewegt. Der Beobachter in (sum') sieht auch sphärische Wellenfronten. Die Raum-Zeit-Punkte, die eine Fläche (r' = ct' = const) bilden, sehen jedoch nicht synchron aus, also sphärisch in (sum). Zeigen Sie, dass die Flächen Rotationsellipsoide mit einem gemeinsamen Fokus sind. Bestimmen Sie die Haupt- und Nebenachsen a, b und die Exzentrizität in Bezug auf (r') und (eta). Finden Sie auch die Längen des Perihels und des Aphels. Verwenden Sie Polarkoordinaten.
  2. Betrachten Sie die Zusammensetzung der Rotationen im (mathcal{SU}(2))-Formalismus: (U'' =U'U) wobei (U = l_{0} = -i vec{l} cdot vec{sigma}), mit

[egin{array}{cc} {l_{0} = cosfrac{phi}{2},}&{vec{l} = sinfrac{phi}{2} hat {u}} onumber end{array}]

(a) Drücken Sie ({l_{0}'', vec{l}''}) aus durch ({l_{0}', vec{l}'}) und ({l_{0}, vec{l}}).

(b) Beziehen Sie sich auf den Satz von Rodriues-Hamilton (Abbildung 2.1) und erhalten Sie das Kosinusgesetz der sphärischen Trigonometrie.

(c) Erhalten Sie das Sinusgesetz.

6. Überprüfen Sie Ihre allgemeinen Ausdrücke, indem Sie die Sonderfälle anwenden:

(a) (U'' = UU = U^{2})

(b) (hat{u} = frac{1}{sqrt{3}} (1, 1, 1),}&{phi = frac{2 pi}{3})

(hat{u} = frac{1}{sqrt{3}} (1, 0, 0)}&{phi = frac{pi}{2})

Beachten Sie, dass U und U' Symmetrieoperationen auf dem Würfel erzeugen.

7. Betrachten Sie die eindimensionale Bewegung eines Teilchens der Ruhemasse m unter dem Einfluss einer Kraft (eE_{z}). Bei (t = 0) ruht das Teilchen. Zeigen Sie, dass die Trajektorie in der z,ct-Ebene als Hyperbel dargestellt wird und bestimmen Sie den Halbdurchmesser. Entwickeln Sie die Analogie zum Zyklotronproblem so weit wie möglich. Diskutieren Sie die Bedeutung der Näherung

[egin{array}{c} {gamma^{-1} = sqrt{1-eta^2} simeq 1} onumber end{array}]

8. Betrachten Sie ein elektromagnetisches Feld

[egin{array}{c} {vec{f} = vec{E}+i vec{B}} onumber end{array}]

in einem kleinen Raum-Zeit-Bereich. Die Lorentz-Invariante des Feldes ist:

[egin{array}{c} {f^{2} = E^{2}-B^{2}+2i E cdot B = I_{1}+i I_{2} = g^{2 } exp(2i psi)} onumber end{array}]

(a) Betrachten Sie den Fall (f^{2} e 0). In diesem Fall existiert ein kanonischer Rahmen, in dem (E_{can} parallel B_{can}) und (zeta = B_{can}/E_{can}), die Tonhöhe, eine reelle Zahl ist ( das könnte 0 oder (infty) sein). Diskutieren Sie die möglichen Werte von (zeta) nach den Vorzeichen von (I_{1}) und (I_{2}). Fassen Sie Ihre Schlussfolgerungen in einer Tabelle wie der in Tabelle B.1 gezeigten zusammen.

Tabelle B.1: Tabelle für Problem 8

(b) Drücken Sie (E_{can}, B_{can}, zeta) durch (I_{1}, I_{2}) und (g, psi) aus.

(c) Angenommen (zeta e 0, infty). Nehmen Sie (hat{x}) entlang (E_{can}). Betrachten Sie eine passive Lorentz-Transformation in (hat{z})-Richtung in ein System der Geschwindigkeit (v(eta = v/c = anhmu)) in Bezug auf das kanonische System. Finden Sie ( an heta E, an heta B, an( heta_{E}- heta_{B})) in Bezug auf (eta, zeta) und auch (mu , psi), wobei ( heta_{E}) und ( heta_{B}) die Winkel sind, um die sich die elektrischen und magnetischen Felder unter der Lorentz-Transformation drehen, wie in Abbildung B.2 gezeigt.

Abbildung B.2: Aufgabe 8 Koordinatensystem und Winkel.

(d) Betrachten Sie nun die Fälle (zeta = 0; zeta = infty). Nehme (hat{x}) in Richtung des nicht verschwindenden kanonischen Feldes. Diskutieren Sie den Effekt einer Lorentz-Transformation ähnlich der in (c) betrachteten. Geben Sie das Verhältnis der Beträge des elektrischen und magnetischen Feldes nach der Lorentz-Transformation an.

9. (a) Finden Sie die polare Zerlegung der Matrix

[egin{array}{c} {egin{pmatrix} {1}&{zeta} {0}&{1} end{pmatrix}} onumber end{array}]

Überprüfe die Beziehung (11b) auf S. II-53. Betrachten Sie die Fälle (delta = 1) und (delta << 1).

(b) Finde

[egin{array}{c} {mathcal{P}_{hat{a}} (vec{p} cdot vec{sigma}) mathcal{P}_{hat{a }}} onumber end{array}]

wo

[egin{array}{c} {mathcal{P}_{hat{a}} = frac{1}{2} (1+hat{a} cdot vec{sigma}) } onumber end{array}]

10. Überprüfe die Gleichungen (23) - (26) auf II-42, 43.

11. Zeigen Sie, dass sich die Körpermatrix (F = (vec{E}+i vec{B}) cdot vec{sigma}) aus dem Matrixäquivalent des Viererpotentials ableiten lässt. Welche Bedingungen sind gegebenenfalls an letztere zu stellen?

12. (a) Drücken Sie die Spiegelung eines Vierervektors (K = k_{0}1+vec{k}cdotvec{sigma}) in einer bewegten Ebene aus. Die Normale der Ebene ist (hat{a}). Seine Geschwindigkeit ist (v = v hat{a}) mit (v/c = anhmu). (Hinweis: in den Restrahmen des Spiegels verwandeln.)

(b) Zeigen Sie, dass die Kombination zweier Spiegel (vec{v}_{1} = v_{1} hat{a}_{1}) und (vec{v}_{2} = v_{2} hat{a}_{2}) ergibt eine Lorentz-Transformation.

13. Überprüfen Sie die Äquivalenz der Gleichungen (4) und (5) in Abschnitt 4.2, indem Sie jeden Faktor vom Raum- in den Körperrahmen umwandeln.

14. Zeigen Sie, dass die Beziehung

[egin{array}{c} {|xi anglelanglexi |=frac{1}{2} (1+hat{k}cdotvec{sigma})} end {array}]

kann durch stereographische Projektion gewonnen werden.

Hinweis: Projizieren Sie die Kugel (k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2} = 1) vom Südpol auf die Äquatorebene, interpretiert als Komplex z -Flugzeug. Drücken Sie (k_{1}, k_{2}, k_{3}) durch (z, z∗) aus und setzen Sie (z = xi_{1}/xi_{0}) mit (|xi_{0}|^{2}+|xi_{1}|^{2} = 1).

15. Finden Sie die unitäre Matrix U, die zwei gegebene Spinorenmengen miteinander verbindet:

[egin{array}{c} {(|eta angle, |ar{eta} angle) = (|xi angle, |ar{xi} angle)U} end {array}]

Drücken Sie zuerst seine Elemente, dann seine Komponenten durch (xi_{0}, xi_{1}, eta_{0}, eta_{1}) aus.

16. Die Pauli-Algebra kann als Verallgemeinerung der elementaren Vektoralgebra betrachtet werden, und deren Kenntnis ist bei der Matrixmanipulation hilfreich.

Man kann sich dem Problem aber auch umgekehrt nähern und die Vektorrelationen durch Matrixoperationen herleiten. Definieren

[egin{array}{ccc} {A= vec{a} cdot vec{sigma},}&{B = vec{b} cdot vec{sigma},}&{C = vec{c} cdot vec{sigma}} onumber end{array}]

und assoziiert

[egin{array}{ccc} {vec{a} cdot vec{b}}&{with}&{frac{1}{2} {A, B} = frac{1 }{2} (AB+BA)} end{array}]

[egin{array}{ccc} {vec{a} imes vec{b}}&{with}&{frac{1}{2i} {A, B} = frac{1 }{2i} (AB-BA)} end{array}]

Betrachten Sie die Jacobi-Identität

[egin{array}{c} {[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0} end{array}]

und die Bedingung für Assoziativität:

[egin{array}{c} {A (BC)-(AB) C = 0} end{array}]

(Gleichung B.1.5 lässt sich für Kommutatoren leicht verifizieren. Zur Bedeutung siehe [Hal74] .)

Übersetzen Sie die Gleichungen B.1.5 und B.1.6 mit Hilfe der Gleichungen B.1.3 und B.1.4 und erhalten Sie die bekannten Beziehungen für Tripelvektorprodukte.

17. Geben Sie explizite Spinorialausdrücke für die folgenden Polarisationsformen an: (| x angle) (lineare Polarisation entlang der x-Achse); (| heta/2 angle) (polarisiert im Winkel ( heta/2) mit der x-Achse); (|R angle) (rechtszirkular polarisiert).

(a) Verwenden Sie das (hat{kappa}(phi, heta,psi))-Schema und weisen Sie (phi = psi = heta = 0) zu (|x angle = (1, 0)). Drücken Sie (| heta/2 angle, | heta/2 angle,|R angle,|ar{R} angle) durch (|x angle) und (| Balken{x} angle).

(b) Verwenden Sie das (hat{s}(alpha,eta,gamma))-Schema. Ordne (eta = 0, alpha = gamma = pi / 2) (|R angle) zu. Drücken Sie die oben erwähnten Spinoren durch (|R angle) und (|ar{R} angle) aus. Beachten Sie, dass die Ergebnisse von (a) und (b) miteinander konsistent sind.

18. Geben Sie die Matrixdarstellungen einer Viertelwelle, einer Platte, einer Halbwellenplatte, eines Rotators und eines ebenen Polarisators sowohl im (hat{k})- als auch im (hat{s})-Schema an.

19. (a) Von einem optischen Instrument wissen wir nur, dass es (|R angle) in (|ar{R} angle) umwandelt und umgekehrt. Finden Sie den allgemeinsten Matrixoperator, der dieser Tatsache entspricht

(b) Schärfen Sie diese Antwort, indem Sie die zusätzliche Information verwenden, dass das Instrument einen Strahl (|x angle) unverändert passiert. Wie heißt dieses Gerät?

20. Betrachten Sie eine beliebige hermitesche (2 imes 2)-Matrix: (S = s_{0}+vec{s}cdot vec{sigma}) mit (s_{0}^{2 }-vec{s}^{2} e 0) im Allgemeinen.

(a) Zeigen Sie, dass es möglich ist, S in eine Summe zweier Matrizen mit Determinante Null zu zerlegen. Das ist:

[egin{array}{c} {S = K'+K''} onumber end{array}]

wo

[egin{array}{cc} {K' = k'_{0}+vec{k}' cdot vec{sigma}}&{k_{0}^{'2}-vec {k}'^{2}} onumber end{array}]

[egin{array}{cc} {K'' = k''_{0}+vec{k}'' cdot vec{sigma}}&{k_{0}^{''2 }-vec{k}''^{2}} onumber end{array}]

(b) Zeigen Sie, dass wenn man auferlegt:

[egin{array}{c} {vec{k}' = k' hat{k}} {vec{k}'' = k'' hat{k}} { vec{k}' und vec{k}'' parallel} onumber end{array}]

die Zerlegung wird einzigartig. Finde (k_{0}', k_{0}'', k', k'', Hut{k}).

21. Betrachten Sie einen ungefähr monochromatischen Strahl unpolarisierten Lichts, es wurde vorgeschlagen, einen solchen Strahl als eine zufällige Folge von elliptisch polarisiertem Licht zu betrachten, wobei die Parameter der Elliptizität (alpha, eta) langsam im Vergleich zu ( 1/omega), aber schnell im Vergleich zum Beobachtungszeitpunkt (siehe [Hur45]). Dieser Autor zeigt, dass die durchschnittliche Elliptizität durch den Medianwert gegeben ist

[egin{array}{c} {(frac{a_{2}}{a_{1}})_{m} = an(15^{circ})} onumber end{array} ]

Dieses Ergebnis kann sehr einfach erhalten werden. Nehmen Sie an, dass alle repräsentativen Punkte der Poincare--Kugel gleich wahrscheinlich sind. Betrachten Sie die Menge:

[egin{array}{c} {S = frac{2a_{1}a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}} onumber end{ Array}]

für einen beliebigen Punkt auf der Kugel.

Bilden Sie den Durchschnitt von (|S|) über die Poincare--Kugel unter Verwendung der obigen statistischen Annahme.

Wert ableiten

[egin{array}{c} {(frac{a_{2}}{a_{1}})_{0}} onumber end{array}]

entsprechend (langle |S| angle).


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