Artikel

9.0: Auftakt zu trigonometrischen Identitäten und Gleichungen - Mathematik


Mathematik ist überall, sogar an Orten, die wir vielleicht nicht sofort erkennen. Das sinusförmige Diagramm in Abbildung (PageIndex{1}) modelliert Musik, die auf einem Telefon, Radio oder Computer abgespielt wird. Solche Graphen werden mit trigonometrischen Gleichungen und Funktionen beschrieben. In diesem Kapitel diskutieren wir, wie man trigonometrische Gleichungen algebraisch manipuliert, indem man verschiedene Formeln und trigonometrische Identitäten anwendet. Wir werden auch einige der Möglichkeiten untersuchen, wie trigonometrische Gleichungen verwendet werden, um reale Phänomene zu modellieren.


Betrachten Sie das bekannte Beispiel eines 45-45-90 rechtwinkligen Dreiecks, dessen Winkel 4 5 ∘ , 45^circ, 4 5 ∘ , 4 5 ∘ , 45^circ, 4 5 ∘ und 9 0 ∘ betragen. 90^circ. 9 0 . Nach dem Satz des Pythagoras muss ein solches Dreieck eine Hypotenuse haben, deren Länge 2 sqrt <2>2 . ist

​ mal so viel wie jedes der Beine:

In diesem Fall kann man relativ zu einem der spitzen Winkel des Dreiecks das Seitenverhältnis schreiben als

gegenüberliegende Seite Hypotenuse = 1 2 , benachbarte Seite Hypotenuse = 1 2 , gegenüberliegende Seite benachbarte Seite = 1. frac< ext>< ext> = frac<1>>, quad frac< ext>< ext> = frac<1>>, quad frac< ext>< ext> = 1. Hypotenuse gegenüberliegende Seite ​ = 2

​ 1​ , Hypotenuse benachbarte Seite​ = 2

​ 1​ , benachbarte Seite gegenüberliegende Seite ​ = 1 .

​ mal so lang wie das kürzere Bein, während die Hypotenuse doppelt so lang ist wie das kürzere Bein:

Hypotenuse der gegenüberliegenden Seite = 1 2 , Hypotenuse der benachbarten Seite = 3 2 , benachbarte Seite der gegenüberliegenden Seite = 1 3 . frac< ext>< ext> = frac<1><2>, quad frac< ext>< ext> = frac><2>, quad frac< ext>< ext> = frac<1>>. Hypotenuse gegenüberliegende Seite ​ = 2 1 ​ , Hypotenuse angrenzende Seite ​ = 2 3

​ , benachbarte Seite gegenüberliegende Seite ​ = 3

In beiden Fällen bestimmt die Angabe der spitzen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks die relativen Verhältnisse zwischen den einzelnen Seiten. Wenn ein Winkel kleiner und der andere größer wird, wird die dem größeren Winkel gegenüberliegende Seite größer, während die dem kleineren Winkel gegenüberliegende Seite kleiner wird.

Es gibt keinen Grund, warum die Verhältnisse nicht angegeben werden können irgendein beliebiges rechtwinkliges Dreieck. Im Prinzip ist bei einem der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks das Verhältnis zwischen jedem Seitenpaar festgelegt. Mit anderen Worten, die Verhältnisse zwischen den Seiten können berücksichtigt werden Funktionen des Maßes eines spitzen Winkels. In der Trigonometrie bilden die drei Verhältnisse die Grundlage der Definition der drei trigonometrischen Grundfunktionen, genannt Sinus, Kosinus, und Tangente.

  • Das Sinus von θ heta θ wird als sin ⁡ θ sin < heta>sin θ geschrieben und als Verhältnis sin ⁡ θ = Gegenseitenhypotenuse definiert. sin < heta>= frac< ext>< ext>. sin θ = Hypotenuse gegenüberliegende Seite ​ .

  • Das Kosinus von θ heta θ wird als cos ⁡ θ cos < heta>cos θ geschrieben und definiert als das Verhältnis cos ⁡ θ = benachbarte Seitenhypotenuse . cos< heta>=frac< ext>< ext>. cos θ = Hypotenuse benachbarte Seite ​ .

  • Das Tangente von θ heta θ wird geschrieben als tan ⁡ θ an < heta>tan θ und definiert als das Verhältnis tan ⁡ θ = gegenüberliegende Seite benachbarte Seite = sin ⁡ θ cos θ θ . an < heta>= frac< ext>< ext> = frac>>. tan θ = benachbarte Seite gegenüberliegende Seite ​ = cos θ sin θ ​ .

Darüber hinaus haben die Kehrwerte von Sinus, Cosinus und Tangens, da sie häufig verwendet werden, auch Namen: Sie sind die Kosekans, Sekante, und Kotangens.

  • Das Kosekans von θ heta θ wird als csc ⁡ θ csc < heta>csc θ geschrieben und als csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ definiert. csc < heta>= frac<1>>. csc θ = sin θ 1 ​ .

  • Das Sekante von θ heta θ wird geschrieben als sec ⁡ θ sec < heta>sec θ und definiert als sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ . sec < heta>= frac<1>>. s θ = cos θ 1 ​ .

  • Das Kotangens von θ heta θ wird als cot ⁡ θ cot < heta>cot θ geschrieben und definiert als cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ . cot < heta>= frac<1>< an< heta>>. Kinderbett θ = tan θ 1 ​ .

Während die Werte der trigonometrischen Funktionen für bestimmte Winkel als algebraische Zahl berechnet werden können (d. h. nur durch Brüche und Wurzeln ausdrückbar), kann der Sinus oder Kosinus eines beliebigen Winkels im Allgemeinen transzendental sein. Dies wird durch den Satz von Baker bewiesen.

Berechnen Sie den Wert der sechs trigonometrischen Funktionen für θ = 3 0 ∘ heta = 30^circ θ = 3 0 ∘ .

Nach allem, was wir über das rechtwinklige Dreieck 30-60-90 wissen, haben wir

sin ⁡ 3 0 ∘ = Gegenseite Hypotenuse = 1 2 , cos ⁡ 3 0 ∘ = Nachbarseite Hypotenuse = 3 2 , tan ⁡ 3 0 ∘ = Gegenseite Nachbarseite = 1 3 . sin <30^circ>= frac< ext>< ext> = frac<1><2>, quad cos <30^circ>= frac< ext>< ext> = frac><2>, quad an <30^circ>= frac< ext>< ext> = frac<1>>. sin 3 0 ∘ = Hypotenuse gegenüberliegende Seite ​ = 2 1 ​ , cos 3 0 ∘ = Hypotenuse Nachbarseite ​ = 2 3

​ , tan 3 0 ∘ = benachbarte Seite gegenüberliegende Seite ​ = 3

​ 1 ​ .

So

csc ⁡ 3 0 ∘ = 1 sin ⁡ 3 0 ∘ = 2 , sec ⁡ 3 0 ∘ = 1 cos ⁡ 3 0 ∘ = 2 3 , cot ⁡ 3 0 ∘ = 1 tan ⁡ 3 0 ∘ = 3 . □ csc <30^circ>= frac<1>> = 2, quad sec <30^circ>= frac<1>> = frac<2>>, quad cot <30^circ>= frac<1>< an<30^circ>> = sqrt<3> . _square csc 3 0 ∘ = sin 3 0 ∘ 1 ​ = 2 , sec 3 0 ∘ = cos 3 0 ∘ 1 ​ = 3

​ 2 ​ , Kinderbett 3 0 ∘ = hellbraun 3 0 ∘ 1 ​ = 3

​ . □ ​

Denken Sie daran, dass zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen oder zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen ein eindeutiges Dreieck angeben. Letztlich erlauben die trigonometrischen Funktionen, alle unbekannten Seiten und Winkel für ein eindeutig bestimmtes Dreieck anzugeben.


9.0: Auftakt zu trigonometrischen Identitäten und Gleichungen - Mathematik

Trigonometrie stapeln sich. Wie lang ist diese Seite?

( 10.69-3.2=7.49 an42^o=frac<7.49> tan42^oapprox0.9\frac<7.49>=0.9 o dapprox6.74\\sin37^o=frac<6.74> sin37^oapprox0.602\frac<6.74>=0,602 o eapprox11,211,2+4,3=15,5sin53^o=frac<15.5> sin53^oapprox0.8\frac<15.5>=0.8 o fapprox12,4)

( 12,4-2,2=10.2g^2=10.2^2+1,7^2 o gapprox10,34cos21^o=frac<10.34> cos21^oapprox0,934\frac<10,34>=0,934 o h=11,0711,07+1,7=12,77sin71^o=frac<12.77> sin71^oapprox0.946\frac<12.77>=0.946 o xapprox12,1 (cm)leftarrow Antwort )



Diese Lektion zerlegt knifflige logarithmische Funktionen in ihre Grundkomponenten: die Basis (b), den festen Eingabewert (y) und die Ausgabe der Funktion x. Der Logarithmus wird daher als b x = y geschrieben. In dieser Lektion werden auch Produktidentität, Quotientenidentität, Leistungsidentität und das Ändern von Basen behandelt.

Sowohl Polar- als auch Rechteckkoordinaten beziehen sich auf einen Punkt in einem Diagramm oder einer Grafik. Oft wird der Satz des Pythagoras verwendet, um die entsprechenden Koordinaten zu finden. Lesen Sie diese Lektion für schnelle Konvertierungstipps!


Trigonometrie

Aus dem folgenden Diagramm sehen wir, dass sin(&pi -&theta) = sin &theta und cos ( -&theta) = cos &theta. Wir verwenden dies, um die Lösungen einiger trigonometrischer Gleichungen zu finden.

Fall 1: -1&leja&le 1, d. h. der Wert von ja zwischen -1 und 1 liegt, gibt es also eine Lösung.

Die Menge aller Lösungen zu Sünde(x) = ja ist

wo k kann jede ganze Zahl sein, d. h. die Lösungen für x bestehen aus Sünde -1 (ja) plus alle geraden Vielfachen von &Pi, zusammen mit Minus- Sünde -1 (ja) plus alles seltsam Vielfaches von &Pi.

Fall 2: -1 > ja oder ja > 1 , dh der Wert von y ist zu groß oder zu klein, um eine Lösung zu ermöglichen.

Fall 1: -1&leja&le 1

Die Menge aller Lösungen zu weil (x) = ja ist

wo k kann jede ganze Zahl sein

Fall 2: -1 > ja oder ja >1

Die Menge aller Lösungen zu bräunen(x) = ja ist


Ableitung der Polarform

Obwohl die Identität von Euler aus der Polarform komplexer Zahlen folgt, ist es unmöglich, die Polarform abzuleiten (insbesondere das spontane Auftreten der Zahl e) ohne Berechnung.

Wir beginnen mit der Rechteckform einer komplexen Zahl:

Aus dem Diagramm und der Trigonometrie können wir die folgenden Substitutionen vornehmen:

Von hier aus können wir ausrechnen r:

Die Funktion cis&phi stellt sich als gleich heraus eich&phi. Dies ist der Teil, der ohne Kalkül nicht zu zeigen ist. Nachfolgend sind zwei Ableitungen dargestellt:


9.0: Auftakt zu trigonometrischen Identitäten und Gleichungen - Mathematik

Frage von Aakash, einer Studentin:

die Periode der Funktion f(x)=cos3x+sin4x+tan4x

Periode einer trigonometrischen Funktion

Die Periode einer trigonometrischen Funktion t(x) ist der Abstand in x, den das Muster benötigt, um sich zu wiederholen.

Der Graph der Tangensfunktion tan(x) sieht wie folgt aus (x in Grad hier):

Die Periode beträgt in diesem Fall also 180°, da sich das Muster alle 180 x-Einheiten wiederholt. Wenn wir x durch 3x + 90° ersetzen, dann graph tan(3x + 90° ) , sieht es so aus:

Die Periode dieser Funktion beträgt also 60° . Tatsächlich sagt uns dieser Faktor vor dem x, wie die Periode aussehen wird, wenn wir wissen, wie die Periode normalerweise ist (ohne einen angegebenen Faktor). Im Fall von tan() sind es 180°. Sie multiplizieren die normale Periode mit dem Kehrwert des Faktors vor x. Sie sollten in der Lage sein, selbst zu bestimmen, was für Sinus und Cosinus normal ist.

Triggerfunktionen hinzufügen

Wenn Sie Triggerfunktionen zusammenfügen, wiederholt sich das Gesamtmuster, wenn eine ganze Anzahl aller Einzelperioden vorhanden ist. Angenommen, Sie hätten Perioden mit vier Triggerfunktionen: 60° , 360°, 16° und 9 0° . Sie finden das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) dieser Zahlen, um die Periode der Gesamtfunktion zu finden:

Lösen Sie Ihr Problem auf die gleiche Weise: Finden Sie zuerst die Periode jeder trigonometrischen Funktion, dann das LCM und Sie erhalten die Gesamtperiode der Summe der trigonometrischen Funktionen.


9.0: Auftakt zu trigonometrischen Identitäten und Gleichungen - Mathematik

    • Engineering, F&D
    • Finanzen, Statistik und Geschäftsanalyse
    • Bildung
    • Software und Web
      • Lernen
      • Brauchen Sie Hilfe?
      • Premium-Support
        • Über
        • Arbeite mit uns
        • Initiativen

        • Verlag: John Wiley & Sons, Inc.
        • Jahr: 2008
        • ISBN: 9780471614432 ( Taschenbuch )
        • 540 Seiten
        • Basierend auf: Version 6

        Beschreibung Dieses Buch, das von Schülern gelesen werden soll, wurde mit Mathematica 6 geschrieben und konzentriert sich auf Themen, die für den Erfolg in der Infinitesimalrechnung erforderlich sind, und bereitet die Schüler auf die Integralrechnung vor. Enthält ein Vorwort für Dozenten und Schritt-für-Schritt-Lösungen für ungerade Übungen, damit die Schüler ihre eigenen Anwendungen des Gelernten modellieren können. Darüber hinaus heben Kapiteleröffnungen und Zusammenfassungen am Ende des Kapitels das zu studierende Material hervor.

        Der Autor, Sheldon Axler, ist der Empfänger eines Preises der Mathematical Association of America für das Schreiben von Erläuterungen. Inhalt Die reellen Zahlen | Funktionen und ihre Graphen | Lineare, quadratische, polynomische und rationale Funktionen | Exponenten und Logarithmen | Bereich, e, und der natürliche Logarithmus | Trigonometrische Funktionen | Anwendungen der Trigonometrie | Folgen, Reihen und Grenzwerte Verwandte Themen Algebra, Analysis und Analysis, Geometrie


        Frage 4

        Lösung zu Frage 4
        Das unbekannte "welche Prozent" sei mit y% bezeichnet, da wir nach einem Prozentsatz suchen. "ist" wird durch gleich und "von" durch eine Multiplikation dargestellt. Daher kann die obige Frage wie folgt in eine mathematische Gleichung übersetzt werden:
        4 = y% * 32
        Wir lösen nun nach dem Unbekannten y% auf
        y% = 4 / 32 = 0,125
        Wir haben die Dezimalform zu y% gefunden, die durch Multiplikation und Division mit 100 in Prozentform umgewandelt werden kann. Daher
        y% = 0,125 = 12,5 / 100 = 12,5 %
        Überprüfen Sie als Übung, dass 12,5 % von 32 4 ergeben.


        Bearbeiten einer Gleichung im Gleichungseditor

        Wenn Sie den Gleichungseditor zum Einfügen einer Gleichung verwendet haben, können Sie diese Gleichung im Gleichungseditor bearbeiten.

        Doppelklicken Sie auf das Gleichungsobjekt, das Sie bearbeiten möchten.

        Verwenden Sie die Symbole, Vorlagen oder Frameworks auf der Gleichung Symbolleiste, um die Gleichung zu bearbeiten.

        Um in Word, Excel oder Outlook zu Ihrem Dokument zurückzukehren, klicken Sie auf eine beliebige Stelle im Dokument.

        Um in PowerPoint zur Präsentation zurückzukehren, in Gleichungseditor, auf der Datei Menü, klick Beenden und zurück zur Präsentation.

        So lernen Sie, wie Sie integrierte Gleichungen verwenden, indem Sie die Gleichung finden Sie unter Schreiben einer Gleichung oder Formel.


        Schau das Video: WORLD FIRST СВЯТИЛИЩЕ ГОСПОДСТВА, ВПЕЧАТЛЕНИЯ ОТ РЕЙДА wow shadowlands (Januar 2022).