Artikel

6.2: Einführung in das Factoring


Lernziele

  • Verwenden Sie das Prinzip der Nullprodukte, um Gleichungen zu lösen
  • Bestimmen Sie, für welche Art von Gleichungen das Prinzip der Nullprodukte verwendet werden kann
  • Erklären Sie, warum einige Techniken zum Lösen linearer Gleichungen nicht zum Lösen polynomialer Gleichungen funktionieren

Betrachten Sie die Gewinngleichung für einen Mobiltelefonhersteller:

(P=-0,09x^2+5000x-750.000)

Mit einem Online-Grafikrechner haben wir dieses Diagramm der Gewinngleichung erstellt.

Ein Manager möchte vielleicht wissen, für welche Menge an hergestellten und verkauften Telefonen ein Gewinn erzielt wird. Indem wir x durch 100 ersetzten, stellten wir fest, dass das Unternehmen bei der Herstellung und dem Verkauf von 100 Telefonen keinen Gewinn erzielte.

Ersatz x = 100

(egin{array}{c}P=-0,09x^2+5000x-750.000=-0,09left(100 ight)^2+5000left(100 ight)-750.000=- 900+500.000-750.000=-250.900end{array})

Das Finden der Punkte, an denen der Gewinn größer oder gleich Null ist, wird die Entscheidungen des Managements leiten und dem Unternehmen helfen, genügend Arbeitskräfte und Materialien zur Verfügung zu haben. Zu wissen, wo der Gewinn gleich Null ist, gibt dem Unternehmen eine Basis für die Planung. In der Grafik ist der Gewinn null, wenn die Parabel die x-Achse schneidet. Algebraisch bedeutet dies, herauszufinden, wo die Gewinngleichung gleich Null ist:

(egin{array}{c}P=-0,09x^2+5000x-750.000=-0,09x^2+5000x-750.000<-0,09x^2+5000x-750.000end{ Array})

Wir wissen, wie man lineare Gleichungen wie folgt löst: (x-4>0). Aber wie löst man eine Polynomgleichung wie diese: (0<-0,09x^2+5000x-750.000)?

In diesem Abschnitt lernen wir einige sehr nützliche Werkzeuge zum Lösen bestimmter Arten von Polynomgleichungen kennen, und in späteren Mathematikkursen werden Sie wahrscheinlich lernen, wie Sie diese Ideen auf die Lösung polynomialer Ungleichungen ausweiten können. Das erste Konzept, das wir untersuchen werden, ist das der Nullprodukteigenschaft, dann werden wir diskutieren, wie dieses verwendet werden kann, um polynomielle Gleichungen zu lösen.

Das Prinzip der Nullprodukte

Null

Was wäre, wenn wir Ihnen sagen würden, dass wir zwei Zahlen miteinander multiplizieren und eine Antwort von Null erhalten? Was können Sie zu den beiden Zahlen sagen? Könnten das 2 und 5 sein? Könnten es 9 und 1 sein? Nein! Wenn das Ergebnis (Antwort) der Multiplikation zweier Zahlen Null ist, bedeutet dies, dass eine von ihnen hätten Null zu sein. Diese Idee wird als Nullproduktprinzip bezeichnet und ist nützlich, um bestimmte Arten von Gleichungen zu lösen, wie wir es im Beispiel des Mobiltelefonherstellers beschrieben haben.

Prinzip der Nullprodukte

Das Prinzip der Nullprodukte besagt, dass, wenn das Produkt zweier Zahlen 0 ist, mindestens einer der Faktoren 0 ist. Wenn (a=0) oder (b=0) oder beides ein und b sind 0.

Beispiel

Verwenden Sie zum Lösen das Prinzip der Nullprodukte. (5y=0)
[reveal-answer q=”547123″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[versteckte Antwort a="547123″]

Nach dem Nullprodukt-Prinzip ist, wenn zwei Faktoren multipliziert werden und das Ergebnis Null ist, mindestens einer von ihnen gleich Null. Daher entweder (y=0).

In diesem Fall wissen wir, dass 5 ungleich Null ist, also muss (y) gleich Null sein.

Wir können dies mit Algebra überprüfen.

(egin{array}{c}5y=0 ext{}frac{5y}{5}=frac{0}{5} ext{}y=0 Ende{Array})

Antworten

Sowohl nach dem Nullproduktprinzip als auch mit Algebra haben wir gezeigt, dass (y=0).

[/versteckte-Antwort]

Wir können diese Idee auf Produkte mit mehr als nur zwei Nummern erweitern. Im nächsten Beispiel zeigen wir, dass wir das Prinzip der Nullprodukte verwenden können, um eine Gleichung zu lösen, die das Produkt einer Zahl und eines Binomials enthält.

Beispiel

Verwenden Sie das Prinzip der Nullprodukte, um zu lösen:

(7links(y-2 echts)=0)
[reveal-answer q=”726832″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[versteckte Antwort a=”726832″]

Nach dem Nullprodukt-Prinzip ist entweder (left(y-2 ight)=0). Wir wissen, dass (left(y-2 ight)=0). Wir wissen, wie man solche Gleichungen löst!

Wir können die Klammern entfernen, da sie zum Lösen nicht benötigt werden.

(egin{array}{c}y-2=0,,,,,,,,,underline{+2},,,, ,,underline{+2} ext{},,,,,,,,,,y=2end{array})

Wir können überprüfen, ob dies richtig ist, indem wir 2 für y in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

(egin{array}{c}7left(2-2 ight)=07left(0 ight)=0=0end{array})

Diese Aussage ist wahr, also haben wir den richtigen Wert für y gefunden.

Antworten

(y=2)

[/versteckte-Antwort]

Wir hätten die Verteilungseigenschaft und die Additions- und Multiplikationseigenschaften der Gleichheit verwenden können, um die Gleichung im vorherigen Beispiel zu lösen. Es würde ungefähr so ​​aussehen:

Löse (7left(y-2 ight)=0) mit der Verteilungseigenschaft.

(egin{array}{c}7left(y-2 ight)=07y-14=0,,,,,,,,, unterstreichen{+14},,,,,,unterstreichen{+14} ext{}7y=14 ext{}frac{7y}{7} =frac{14}{7} ext{}y=2end{array})

Wir haben die gleiche Antwort, die wir im Beispiel überprüft haben, aber wir haben verschiedene algebraische Prinzipien verwendet, um sie zu finden.

Im nächsten Beispiel fügen wir der Idee, dass wir das Prinzip der Nullprodukte verwenden können, um Gleichungen zu lösen, eine weitere Ebene hinzu. Wir lösen eine Gleichung, die das Produkt einer Variablen und eines Binomials enthält.

Beispiel

Verwenden Sie das Prinzip der Nullprodukte, um zu lösen:

(tlinks(5-t echts)=0)

[reveal-answer q=”649695″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[versteckte Antwort a=”649695″]

Nach dem Nullprodukt-Prinzip ist entweder (left(5-t ight)=0)

(displaystyleegin{array}{c}t=0,,,,,,,,, ext{OR},,,,,, ,,5-t=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,unterstreichen{-5}, ,,,,,,,,,,,,,,unterstreichen{-5},,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-t=-5,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,frac{-t} {-1}=frac{-5}{-1},,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,t=5 ext{} =0,,,,,,,, ,,,, ext{ODER},,,,,,,,,,,,,,,t=5end{array} )

Wow, zwei Antworten! Lassen Sie uns überprüfen, ob beide richtig sind.

Ersatz (t=0)

(egin{array}{c}tleft(5-t ight)=0left(5-0 ight)=0,,,,,, ,,,,0left(5 ight)=0,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,0=0end{array})

(t=5)

Ersatz (t=5)

(egin{array}{c}5left(5-5 ight)=0,,,,,,,,,,,5left( 0 echts)=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0= 0end{array})

(t=5) prüft auch. Auf diese Gleichung gibt es zwei Antworten.

Antworten

(t=0 ext{ ODER }t=5)

[/versteckte-Antwort]

Warum verwenden wir nicht einfach die Verteilungseigenschaft, um diese Art von Gleichungen zu lösen? Versuchen wir, die distributive Eigenschaft des vorherigen Beispiels zu verwenden, um zu erklären, warum dies nicht immer funktioniert.

(egin{array}{c}tleft(5-t ight)=0 ext{}5t-t^2=0underline{-5t},, ,,,,,,,,underline{-5t} ^2=-5t ext{} cdot{t}=-5t ext {}frac{tcdot{t}}{t}=frac{-5t}{t} ext{} =-5end{array})

Warten Sie, im Beispiel war unsere Lösung (t=0 ext{ OR }t=5). Lassen Sie uns diese neue Antwort überprüfen, um zu sehen, ob sie richtig ist.

Ersatz (t=-5)

(egin{array}{c}-5left(5-left(-5 ight) ight)=0-5left(5+5 ight)=0-5 links(10 echts)=0-50 eq{0}end{array})

Das ist nicht einmal die richtige Antwort!

Wenn wir polynomielle Gleichungen lösen, müssen wir einige andere Methoden verwenden als wir, um lineare Gleichungen zu lösen, um sicherzustellen, dass wir we alle des richtig Antworten. Das Prinzip der Nullprodukte ist ein Werkzeug, das uns dies ermöglicht.

Vorsicht! Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass das Prinzip der Nullprodukte nur funktioniert, wenn wir eine Gleichung mit Null auf der einen Seite und nur ein Produkt auf der anderen Seite haben. Die folgende Tabelle enthält Beispiele für Gleichungen, für die Sie das Prinzip der Nullprodukte anwenden können und nicht.

YES Zero Products arbeitet an der LösungNO Zero Products funktioniert nicht zu lösenWARUM NICHT?
(frac{1}{2}left(x-2 ight)=28)Links steht ein Produkt, das aber nicht gleich Null ist.
(s^2+9s=0)Es gibt eine Summe gleich Null, aber kein Produkt gleich Null.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an, wie das Nullproduktprinzip verwendet werden kann, um Gleichungen zu lösen, die binomiale Produkte enthalten.

Beispiel

Verwenden Sie das Prinzip der Nullprodukte, um zu lösen:

(left(s+1 ight)left(s-5 ight)=0)
[reveal-answer q=”499648″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[versteckte Antwort a="499648″]

Setze beide Produkte gleich Null und löse dann die linearen Gleichungen.

(egin{array}{c}left(s+1 ight)=0s+1=0unterstrichen{-1},,,,,,, underline{-1}s=-1end{array})

(egin{array}{c}left(s-5 ight)=0s-5=0,,,,,,,,,, ,unterstreichen{+5},,,,,unterstreichen{+5},,,,,,,,,s=5end{ Array})

Antworten

(s=-1 ext{ ODER }s=5)

[/versteckte-Antwort]

Die letzten beiden Beispiele, die wir gezeigt haben, waren beides Polynomgleichungen vom Grad zwei. Denken Sie daran, dass Grad den größten Exponenten im Polynom bedeutet. Polynome zweiten Grades werden oft als quadratisch bezeichnet. Wenn Sie die Produkte im letzten Beispiel mit der Distributiveigenschaft multiplizieren, können Sie erkennen, dass es sich um ein Polynom zweiten Grades handelt.

Verwenden Sie eine Tabelle:

(+1)
(s^2)(-5)(-5)

Begriffe kombinieren und vereinfachen:

(egin{array}{c}s^2+s-5s-5=s^2-4s-5end{array})

Wenn das Polynom vereinfacht wird, können Sie erkennen, dass es sich um ein Polynom zweiten Grades oder um ein quadratisches Polynom handelt. Am Anfang dieser Seite haben wir vorgeschlagen, dass ein Unternehmen daran interessiert wäre, wo das quadratische Polynom, das den Gewinn repräsentiert, gleich oder größer als Null ist. Wir haben einen Weg vorgestellt, um herauszufinden, wo ein quadratisches Polynom gleich Null ist, solange es die Form eines Produkts zweier Binome hat und nicht ausmultipliziert wurde.

Im folgenden Video präsentieren wir weitere Beispiele, wie das Nullproduktprinzip zur Lösung polynomialer Gleichungen in faktorisierter Form verwendet werden kann.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=114

Was würden Sie tun, wenn Sie aufgefordert würden, eine quadratische Gleichung wie (y^2+2y=0) als Produkt eines Monoms und eines Binomials zu lösen, damit Sie das Nullproduktprinzip verwenden können, um sie zu lösen.


Inhaltsvorschau

Nachdem wir die experimentelle Einheit und die Anzahl der zu verwendenden Replikationen identifiziert haben, müssen wir nun evaluieren, wie Behandlungsstufen oder Behandlungskombinationen experimentellen Einheiten zugeordnet werden.

Bei einem vollständig randomisierten Design werden den Versuchseinheiten zufällig Behandlungsstufen oder Kombinationen zugewiesen. Dies geschieht typischerweise durch Auflisten der Behandlungsstufen oder Behandlungskombinationen und Zuweisen einer Zufallszahl zu jedem. Durch Sortieren nach der Zufallszahl erzeugen wir eine zufällige Reihenfolge für die Anwendung der Behandlungen auf Versuchseinheiten.

In Minitab können Sie dazu die Behandlungsstufen (beliebige Reihenfolge) auflisten, die Einheiten auflisten und dann eine zufällige Stichprobe der Größe erhalten obtaining Nein von dem Nein Einheiten (Bemusterung ohne Ersatz). Dies erzeugt dasselbe: eine zufällige Reihenfolge, um die Behandlungen physisch zu installieren.

Für das Gewächshausexperiment, das wir zuerst betrachteten, hatten wir mit einem einzigen Faktor (Dünger) mit 4 Stufen sechs Wiederholungen und insgesamt 24 Versuchseinheiten (eine Topfpflanze) (Lesson1-Daten). Wir können ein Studiendiagramm erstellen:

Gewächshaus Grundriss und Versuchsbank (von oben gesehen).

Wir müssen in der Lage sein, jede der Behandlungsstufen zufällig 6 Standorten (mit einer Topfpflanze) zuzuordnen. Vergeben Sie dazu physikalische Positionsnummern auf der Bank zum Aufstellen der Töpfe.


6.2: Einführung in das Factoring

Nach dem Studium dieses Abschnitts können Sie:

1. Faktorpolynome, die in jedem Term einen gemeinsamen Faktor enthalten.

Übliche Faktoren

Denken Sie daran, dass, wenn zwei oder mehr Zahlen, Variablen oder algebraische Ausdrücke multipliziert werden, jede als a . bezeichnet wird Faktor.

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Wenn Sie aufgefordert werden, eine Zahl oder einen algebraischen Ausdruck zu faktorisieren, werden Sie gefragt: "Was ergibt bei Multiplikation diese Zahl oder diesen Ausdruck?&rsquo&rsquo Zum Beispiel können Sie 6 als 3*2 faktorisieren, da 3*2 = 6 . Sie können 15x^5 als 3x^2*5x^3 faktorisieren, da 3x^2*5x^3 = 15x^5 . Faktorisieren ist einfach die Umkehrung des Multiplizierens. 6 und 15x^5 sind einfache Ausdrücke zum Faktorisieren und können eingerechnet werden Die Faktoren des Polynoms 2x^2 + x -12 sind nicht so einfach zu erkennen.In diesem Kapitel lernen wir Techniken zum Ermitteln der Faktoren eines Polynoms.Wir beginnen mit gemeinsamen Faktoren.

BEISPIEL 1 Faktor. (a) 3x-6y &emsp&emsp (b) 9x + 2xy

Beginnen Sie mit der Suche nach einem gemeinsamen Faktor, dem Faktor, den beide Begriffe gemeinsam haben. Dann schreiben Sie den Ausdruck als Produkt um.

(a) 3x-6y = 3(x-2y) &emsp&emsp Dies ist wahr, weil 3(x-2y) = 3x-6y .

(b) 9x + 2xy = x(9 + 2y) &emsp&emsp Dies ist wahr, weil x(9 + 2y) = 9x + 2xy ist.

&emsp&emspManche Leute finden es hilfreich, sich Factoring als umgekehrte Verteilungseigenschaft vorzustellen. Wenn wir 3x-6y = 3(x-2y) schreiben, &lsquo&lsquoundverteilen&rsquo&rsquo die 3 .

&emsp&emspWenn wir faktorisieren, suchen wir nach dem größten gemeinsamen Faktor. Im Polynom 48x-16y ist beispielsweise ein gemeinsamer Faktor 2 . Wir könnten 48-16 Jahre als 2 (24-8 Jahre) faktorisieren. Dies ist jedoch nicht vollständig. Um 48-16y vollständig zu faktorisieren, suchen wir nach dem größten gemeinsamen Faktor von 48 und 16 .

BEISPIEL 2 Faktor. 24xy + 12x^2 + 36x^3

Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor von 24, 12 und 36. Sie können jede Zahl faktorisieren oder feststellen, dass 12 ein gemeinsamer Faktor ist. 12 ist der größte gemeinsame Faktor. Beachten Sie auch, dass x ein Faktor jedes Termes ist.

Gemeinsame Faktoren eines Polynoms

&emsp&emsp1. Sie können den numerischen gemeinsamen Faktor bestimmen, indem Sie fragen: &lsquo&lsquoWas ist die größte ganze Zahl, die durch den Koeffizienten jedes Termes geteilt wird?&rsquo&rsquo

&emsp&emsp2. Sie können den gemeinsamen Faktor der Variablen bestimmen, indem Sie fragen: &lsquo&lsquoWelche Variablen sind jedem Term gemeinsam und was ist der größte gemeinsame Exponent dieser Variablen?&rdquo

BEISPIEL 3 Faktor. (a) 12x^2 + 18y^2 &emsp&emsp (b) x^2y^2 + 3xy^2 + y^3

(a) Beachten Sie, dass die größte ganze Zahl, die beiden Termen gemeinsam ist, 6 ist (nicht 3 oder 2 ).

(b) Obwohl y allen Termen gemeinsam ist, rechnen wir y^2 heraus, da 2 der größte Exponent von y ist, der allen Termen gemeinsam ist. Wir rechnen x nicht aus, da x nicht allen Termen gemeinsam ist.

BEISPIEL 4 Faktor. 9a^3b^2 + 9a^2b^2

Wir stellen fest, dass beide Terme einen gemeinsamen Faktor von 9 enthalten. Wir können a^2 und b^2 aus jedem Term entfernen.

WARNUNG Vergessen Sie im obigen Beispiel nicht, die 1 in die Klammern einzufügen. Ohne ist die Lösung falsch. Sie werden sehen, warum, wenn Sie versuchen, ein Ergebnis zu überprüfen, das ohne die 1 geschrieben wurde.

BEISPIEL 5 Faktor. 3x(x-4y) + 2(x-4y)

Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, was Begriffe und Faktoren in diesem Beispiel sind. Es gibt zwei Begriffe. Der Ausdruck 3x(x-4y) ist ein Term. Der Ausdruck 2(x-4y) ist der zweite Term. Jeder Begriff setzt sich aus zwei Faktoren zusammen. Beachten Sie, dass das Binomial (x-4y) in jedem Term ein gemeinsamer Faktor ist. Ein gemeinsamer Faktor kann ein Satz von Klammern sein, der jede Art von Polynom enthält. Somit können wir den gemeinsamen Faktor (x-4y) entfernen.

BEISPIEL 6 Faktor. 7x^2(2x-3y)-(2x-3y)

Der gemeinsame Faktor für jeden Begriff ist (2x-3y) . Was passiert, wenn wir (2x-3y) herausrechnen? Was bleibt uns in der zweiten Amtszeit? Denken Sie daran, dass (2x-3y) = 1(2x-3y) . So

7x^2(2x-3y)-(2x-3y) = 7x^2(2x-3y)-1(2x-3y) &emsp&emsp Schreiben Sie den ursprünglichen Ausdruck neu.

Faktor nach Gruppierung

Nach dem Studium dieses Abschnitts können Sie:

1. Zerlegen Sie Probleme mit vier Termen durch Gruppierung

Factoring nach Gruppierung

Ein gemeinsamer Faktor kann eine Zahl, eine Variable oder ein algebraischer Ausdruck sein. Manchmal wird das Polynom so geschrieben, dass der gemeinsame Faktor leicht zu erkennen ist. Dies gilt insbesondere, wenn der gemeinsame Faktor in Klammern eingeschlossen ist.

BEISPIEL 1 Faktor. x(x-3) + 2(x-3)

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Der gemeinsame Faktor für den ersten und zweiten Term ist die Menge (x-3) , also gilt
&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp x(x-3) + 2(x-3) = (x-3)(x + 2)

&emsp&emspIn vielen Fällen haben diese Arten von Problemen keine Klammern und wir werden gebeten, das Polynom zu faktorisieren. In solchen Fällen entfernen wir einen gemeinsamen Faktor aus den ersten beiden Termen und einen anderen gemeinsamen Faktor aus den zweiten beiden Termen. Wenn die beiden Klammern in diesem Schritt die gleichen Ausdrücke enthalten, kann das Problem wie in Beispiel 1 abgeschlossen werden. Dieses Verfahren der Faktorisierung wird oft als Faktorisieren durch Gruppieren bezeichnet.

BEISPIEL 2 Faktor. 2x^2 + 3x + 6x +9


Jetzt schließen wir das Factoring ab.

BEISPIEL 3 Faktor. 4x + 8y + Axt + 2y

Beide Klammern enthalten denselben Ausdruck.Der gemeinsame Faktor jedes Termes ist der Ausdruck in Klammern (x + 2y).

Bei einigen Problemen sind die Bedingungen nicht in Ordnung. Wir müssen zuerst die Reihenfolge der Terme ändern, damit die ersten beiden Terme einen gemeinsamen Faktor haben.

BEISPIEL 5 Faktor. bx + 4y + 4b + xy

= bx + 4b + xy + 4y &emsp&emsp &emsp Ordne die Terme so um, dass die ersten Terme einen gemeinsamen Faktor haben.

= b(x+4)+ y(x+4) &emsp&emsp Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor von b aus den ersten beiden Termen. Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor von y aus &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp den zweiten beiden Termen.

= (x + 4)(b + y) &emsp&emsp&emsp &emspDa die beiden Sätze von Klammern oben denselben Ausdruck enthalten, können wir die &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp Faktorisierung durchführen.

Manchmal müssen Sie einen negativen gemeinsamen Faktor aus den zweiten beiden Termen entfernen, um zwei Klammern zu erhalten, die denselben Ausdruck enthalten.

BEISPIEL 6 Faktor. 2x^2 + 5x -4x -10

Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor von x aus den ersten beiden Termen und einen gemeinsamen Faktor von -2 aus den zweiten beiden Termen.

Da die beiden obigen Klammern denselben Ausdruck enthalten, können wir die Faktorisierung abschließen.

Beachten Sie, dass die beiden Klammern nicht denselben Ausdruck enthalten würden, wenn Sie im ersten Schritt einen gemeinsamen Faktor von +2 entfernt hätten. Wenn die Ausdrücke innerhalb der beiden Klammern nicht genau gleich sind, können Sie das Polynom nicht als Produkt zweier Faktoren ausdrücken!

Zerlegen von Trinomen der Form x^2 + bx + c

Nach dem Studium dieses Abschnitts können Sie:

1. Faktorpolynome der Form x^2 + bx +c .

2. Faktorpolynome, die einen gemeinsamen Faktor und einen Faktor der Form x^2 + bx +c haben.

Faktorisieren von Polynomen der Form x^2 + bx +c

Angenommen, Sie möchten x^2 + 5x + 6 faktorisieren. Nach einigem Ausprobieren hast du Macht erhalten (x + 2) (x + 3) oder Sie könnten entmutigt werden und keine Antwort erhalten. Wenn Sie diese Faktoren erhalten haben, können Sie diese Antwort mit der FOIL-Methode überprüfen.

Aber Versuch und Irrtum kann ein langer Prozess sein. Es geht auch anders.

&emsp&emspSchauen Sie sich das ursprüngliche Polynom x^2 + 5x + 6 an. Wir wissen sofort, dass die Antwort die Form ( )( ) haben wird. Da der erste Term des Polynoms x^2 ist, können wir in jede der Klammern ein x setzen, ( x )( x ). Betrachten Sie als nächstes das Zeichen des letzten Termes. Das Vorzeichen ist positiv. Das bedeutet, dass das Vorzeichen jedes Faktors gleich sein muss. Da das Vorzeichen des Mittelterms positiv ist, muss das Vorzeichen jedes Faktors positiv sein, und wir können ( x + )( x + ) schreiben. Schauen Sie sich noch einmal den letzten Begriff an. Denken Sie an Faktoren von 6. Versuchen Sie 2 und 3, da 2 + 3 = 5 , der Koeffizient des Mittelterms. Wir schreiben (x + 2) (x + 3) und unser Factoring ist abgeschlossen. Wir können dies mit FOIL wie oben gezeigt überprüfen. Zusammenfassen:

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Schreiben Sie das von uns beobachtete Verfahren auf und probieren Sie einige Beispiele aus.

Faktorisieren von Trinomen der Form x^2 + bx +c

1. Die Antwort hat die Form ( x + __)( x + __).

2. Die beiden Zahlen am Ende jedes Klammersatzes sind Zahlen, so dass:

&emsp&emsp(a) Wenn Sie sie multiplizieren, erhalten Sie den letzten Term, der c ist.

&emsp&emsp(b) Wenn Sie sie addieren, erhalten Sie den Koeffizienten von x, der b ist.

BEISPIEL 1 Faktor. x^2 + 7x + 12

Die Antwort hat die Form ( x + __)( x + __). Wir wollen die beiden Zahlen finden, die wir multiplizieren können, um 12 zu erhalten, aber addieren, um 7 zu erhalten. Die Zahlen sind 3 und 4.

BEISPIEL 2 Faktor. x^2 + 12x + 20

Wir wollen zwei Zahlen mit einem Produkt von 20, aber einer Summe von 12. Die Zahlen sind 10 und 2 .

Hinweis: Wenn Ihnen die Zahlen nicht einfallen, schreiben Sie die möglichen Faktoren auf, deren Produkt 20 ist.

&emsp&emspBisher haben wir nur Trinome der Form x^2 + bx + c faktorisiert, wobei b und c positive Zahlen sind. Das gleiche Verfahren gilt, wenn b eine negative Zahl und c positiv ist.

Denken Sie daran, wenn c positiv ist, wird das Vorzeichen beider Faktoren gleich sein.

BEISPIEL 3 Faktor. x^2 - 8x + 15

Wir wollen zwei Zahlen, die ein Produkt von +15, aber eine Summe von -8 haben. Sie müssen negative Zahlen sein, da das Vorzeichen des Mittelterms negativ ist.

Multiplizieren Sie mit FOIL, um zu überprüfen.

BEISPIEL 4 Faktor. x^2 - 9x + 14

Wir wollen zwei Zahlen, deren Produkt 14 ist, aber deren Summe -9 ist. Die Zahlen sind -7 und -2 . So

&emsp&emspAlle bisherigen Beispiele hatten einen positiven letzten Ausdruck. Was passiert, wenn der letzte Term negativ ist? Wenn der letzte Term negativ ist, benötigen wir eine positive Zahl und eine negative Zahl. Warum? Das Produkt einer positiven und einer negativen Zahl ist negativ.

BEISPIEL 5 Faktor. x^2 + 2x -8

Wir wollen zwei Zahlen, deren Produkt -8 ist, aber deren Summe +2 ist.

x^2 +2x-8 =(x + 4)(x - 2) &emsp&emsp Denke: (+4)(-2) = -8 und +4 + (-2) = +2 .

BEISPIEL 6 Faktor. x^2- 3x -10

Wir wollen zwei Zahlen, deren Produkt -10 ist, aber deren Summe -3 ist. Die beiden Zahlen sind -5 und +2.

Was ist, wenn wir einen Zeichenfehler gemacht haben und falsch das Trinom x^2-3x-10 als (x + 5)(x-2) faktorisiert? Wir konnten den Fehler sofort erkennen, da die Summe von +5 und -2 3 ist. Wir brauchen eine Summe von -3 !

WARNUNG Es ist sehr einfach, bei diesen Problemen einen Vorzeichenfehler zu machen. Stellen Sie sicher, dass Sie Ihre Antwort gedanklich zurückmultiplizieren, um den ursprünglichen Ausdruck zu erhalten. Überprüfen Sie jedes Schild sorgfältig.

Prüfen: (x-5)(x + 2)=x^2+2x-5x-10=x^2-3x-10 &emsp&emsp✔

BEISPIEL 7 Faktor. x^2-16x -36

Wir wollen zwei Zahlen, deren Produkt -36 und deren Summe -16 ist.

Listen Sie alle möglichen Faktoren von 36 auf (ohne Berücksichtigung des Vorzeichens). Finden Sie das Paar mit einer Differenz von 16 . Wir suchen nach einem Unterschied, weil die Vorzeichen der Faktoren unterschiedlich sind.

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Sobald wir das Zahlenpaar ( 18 und 2 ) ausgewählt haben, ist es leicht, die Schilder zu finden. Damit der Koeffizient des Mittelterms -16 beträgt, müssen wir die Zahlen -18 und +2 addieren.

Fühlen Sie sich ein wenig verwirrt über die Zeichen? Wenn Sie dies tun, können diese Fakten hilfreich sein.

Merken Sie sich diese Fakten nicht auswendig, sondern versuchen Sie, das Muster zu verstehen.

Manchmal ist der Exponent des ersten Termes größer als 2. Wenn der Exponent eine gerade Potenz ist, ist er ein Quadrat. Beispiel: x^4 = (x^2)(x^2) . Ebenso gilt x^6 = (x^3)(x^3) .

BEISPIEL 8 Faktor. y^4-2y^2-35

Faktorisieren von Polynomen, die einen gemeinsamen Faktor haben

Einige Factoring-Probleme erfordern zwei Schritte. Oft müssen wir zuerst einen gemeinsamen Faktor aus jedem Term des Polynoms entfernen. Sobald dies erledigt ist, können wir feststellen, dass der andere Faktor ein Trinom ist, das mit den zuvor in diesem Abschnitt besprochenen Methoden faktorisiert werden kann.

BEISPIEL 9 Faktor. 2x^2 + 36x + 160

Entfernen Sie zuerst den gemeinsamen Faktor 2 aus jedem Term des Polynoms.

Dann faktoriere das verbleibende Polynom.

Die endgültige Antwort ist 2(x + 8)(x + 10) . &emsp&emspAchten Sie darauf, alle Teile der Antwort aufzulisten.

Prüfen: 2(x + 8)(x + 10) = 2(x^2 + 18x + 80) = 2x^2 + 36x + 160

Somit sind wir sicher, dass die Antwort 2(x + 8)(x + 10)

BEISPIEL 10 Faktor. 3x^2 + 9x-162

Entfernen Sie zuerst den gemeinsamen Faktor 3 aus jedem Term des Polynoms.

Dann faktoriere das verbleibende Polynom.

Die endgültige Antwort lautet 3(x-6)(x + 9).

Prüfen: 3(x-6)(x + 9) = 3(x^2 + 3x-54) = 3x^2 + 9x-162

Somit sind wir sicher, dass die Antwort 3(x-6)(x + 9) lautet.

Faktorisieren von Trinomen der Form ax^2 + bx+c

Nach dem Studium dieses Abschnitts können Sie:

1. Zerlege ein Trinom der Form ax^2 + bx + c nach der Trial-and-Error-Methode.

2. Zerlegen Sie ein Trinom der Form ax^2 + bx + c nach der Gruppierungszahlmethode.

3. Zerlegen Sie ein Trinom der Form ax^2 + bx + c, nachdem für jeden Term ein gemeinsamer Faktor entfernt wurde.

Verwenden der Trial-and-Error-Methode zum Faktorisieren

Wenn der Koeffizient des x^2-Terms nicht 1 ist, ist das Trinom schwieriger zu faktorisieren. Mehrere Möglichkeiten müssen in Betracht gezogen werden.

BEISPIEL 1 Faktor. 2x^2 + 5x + 3

Um den Koeffizienten des ersten Terms auf 2 zu setzen, wären die Faktoren 2 und 1. 2x^2 +5x+3 = ( 2x )(x).

Damit der letzte Term 3 ist, wären die Faktoren 3 und 1.

Da alle Vorzeichen positiv sind, wissen wir, dass jeder Klammersatz nur
positive Zeichen. Wir haben jedoch noch zwei Möglichkeiten. Sie sind

Wir überprüfen sie, indem wir mit der FOIL-Methode multiplizieren:

Die richtige Antwort lautet also

Manche Probleme haben viel mehr Möglichkeiten.

BEISPIEL 2 Faktor. 4x^2-13x + 3

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Lassen Sie uns die möglichen Factoring-Kombinationen auflisten und den Mittelterm nach der FOIL-Methode berechnen. Beachten Sie, dass beide Vorzeichen negativ sind. Warum?

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Die richtige Antwort ist (4x-1)(x-3) oder (x-3)(4x-1)

Diese Methode heißt die Trial-and-Error-Methode.

BEISPIEL 3 Faktor. 6x^2 +x -5

Betrachten wir die letzte Zahl in jedem Klammersatz. Da -5 negativ ist, haben die beiden Zahlen entgegengesetzte Vorzeichen. Da die letzte Zahl entweder positiv oder negativ sein kann, haben wir mehr Möglichkeiten. In diesem Fall:

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Schauen Sie zurück zu Beispiel 3. Lassen Sie uns sehen, ob wir unsere Arbeit verkürzen können. Beachten Sie, dass es vier Paare möglicher Faktoren gibt. Der einzige Unterschied zwischen den beiden Klammern im Paar besteht darin, dass die letzten Vorzeichen in jedem Klammersatz umgekehrt sind. Dies legt nahe, dass wir nur halb so viele Möglichkeiten auflisten. Wenn dann der Koeffizient des Mittelterms das entgegengesetzte Vorzeichen von dem hat, was wir wollen, können wir einfach die Vorzeichen umkehren. Lassen Sie uns diese kürzere Methode ausprobieren.

BEISPIEL 4 Faktor. 3x^2-2x-8

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Lassen Sie uns nur die Hälfte der Möglichkeiten aufzählen. Der letzte Term dieses ersten Satzes von Klammern ist immer positiv.

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Also wir einfach umkehren die Vorzeichen des letzten Termes in jeder Klammer.

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Verwenden der Gruppierungsnummernmethode für das Factoring

Eine Möglichkeit, ein Trinom der Form ax^2 + bx + c zu zerlegen, besteht darin, es mit vier Termen zu schreiben und durch Gruppierung zu faktorisieren, wie wir es zuvor getan haben. Zum Beispiel kann das Trinom 2x^2 + 13x + 20 als 2x^2 + 5x + 8x + 20 geschrieben werden. Mit den vorherigen Methoden faktorisieren wir

2x^2 + 5x + 8x + 20 = x(2x + 5) + 4(2x + 5)

Auf diese Weise können wir alle faktorierbaren Trinome der Form ax^2 + bx + c faktorisieren. Wir werden das folgende Verfahren verwenden:

Versuchen wir dasselbe Problem wie in Beispiel 1.

BEISPIEL 5 Faktor nach Gruppierung. 2x^2 + 5x + 3

1. Die Gruppierungsnummer ist (2)(3) = 6 .

2. Die Faktoren von 6 sind 6*1 und 3*2. Wir haben die Faktoren gewählt, deren Summe 5 beträgt.

3. Wir schreiben 5x als Summe 3x + 2x .

BEISPIEL 6 Faktor nach Gruppierung. 4x^2 -13x + 3

1. Die Gruppierungsnummer ist (4)(3) = 12 .

2. Die Faktoren von 12 sind (12)(1) oder (4)(3) oder (6)(2) . Wir wählen die Faktoren, deren Summe 13 ist. Beide Faktoren erhalten im Trinom das Vorzeichen des Mittelterms.

3. Wir schreiben -13x als Summe -12x + (-1) .

Denken Sie daran, eine -1 aus den letzten beiden Termen herauszurechnen, damit beide Klammern denselben Ausdruck enthalten.

BEISPIEL 7 Faktor nach Gruppierung. 3x^2-2x-8

1. Die Gruppierungsnummer ist (3)(-8) = -24 .

2. Da das letzte Vorzeichen negativ ist, wollen wir zwei Zahlen, deren Produkt 24 ist, aber deren Differenz 2 ist. Sie sind 6, 4. Der Größte bekommt das mittlere Zeichen, also haben wir -6 und +4.

3. Wir schreiben -2x als Summe -6x + 4x .

Faktorisieren von Polynomen, die einen gemeinsamen Faktor haben

Einige Probleme erfordern es, zuerst einen gemeinsamen Faktor zu entfernen und dann das Trinom mit einer der beiden Methoden dieses Abschnitts zu faktorisieren.

BEISPIEL 8 Faktor. 9x^2 + 3x -30

Wir entfernen zunächst den gemeinsamen Faktor 3 aus jedem Term des Trinoms.

Dann faktorisieren wir das Trinom nach der Gruppierungsmethode oder nach der Trial-and-Error-Methode.

Sonderfälle des Factorings

Nach dem Studium dieses Abschnitts können Sie:

1. Probleme vom Typ a^2-b^2 erkennen und faktorisieren.

2. Probleme vom Typ a^2 + 2ab + b^2 erkennen und faktorisieren.

3. Faktoraufgaben, bei denen ein gemeinsamer Faktor entfernt und dann die Sonderfallformel verwendet werden muss.

Wenn wir in diesem Abschnitt fortfahren, können Sie die Zeit, die Sie zum Faktorisieren eines Problems benötigen, verkürzen, indem Sie zwei spezielle Typen von Faktorisierungsproblemen schnell erkennen und faktorisieren. Wenn Sie sich mit der entsprechenden Formel vertraut machen, können Sie die Differenz zweier Quadrate und perfekter Quadrattrinome faktorisieren.

Faktorisieren der Differenz zweier Quadrate

Erinnern Sie sich an die Formel aus dem vorherigen Abschnitt:

In umgekehrter Form können wir es für das Factoring verwenden.

Wir können es so in Worten ausdrücken: &lsquo&lsquoDie Differenz zweier Quadrate kann in die Summe und Differenz der quadrierten Werte eingerechnet werden.&rdquo

BEISPIEL 1 Faktor. 9x^2-1

Wir sehen, dass das Problem in Form der Differenz zweier Quadrate vorliegt. 9x^2 ist ein Quadrat und 1 ist ein Quadrat. Mit der Formel können wir also schreiben

9x^2-1 = (3x+1)(3x-1) &emsp&emsp Weil 9x^2 = (3x)^2 und 1 = (1)^2 .

Manchmal enthält das Problem zwei Variablen.

BEISPIEL 2 Faktor. 4x^2-49y^2

Einige Probleme können mehr als einen Schritt umfassen.

BEISPIEL 3 Faktor. 81x^4-1

81x^4-1 = (9x^2 +1)(9x^2-1) &emsp&emspWeil 81x^4 = (9x)^2 und 1 = (1)^2 .

Ist das Factoring abgeschlossen? Wir können 9x^2-1 faktorisieren.

81x^4-1 = (9x^2 + 1)(3x+1)(3x-1) &emsp&emsp Weil (9x^2-1) = (3x +1)(3x - 1)]].

Faktorisieren von perfekten quadratischen Trinomen

Es gibt eine Formel, die uns hilft, bestimmte Trinome sehr schnell zu faktorisieren, genannt perfekte quadratische Trinome. Erinnern Sie sich an die Formel für ein Binomialquadrat aus dem vorherigen Abschnitt:

In umgekehrter Form können wir diese beiden Gleichungen zum Faktorisieren verwenden.

Ein perfektes quadratisches Trinom ist ein Trinom, das das Ergebnis der Quadrierung eines Binomials ist. Wie erkennt man ein perfektes quadratisches Trinom?

1. Der erste und der letzte Term sind perfekte Quadrate.

2. Der mittlere Term ist das Doppelte des Produkts der Werte, deren Quadrate der erste und der letzte Term sind.

BEISPIEL 4 Faktor. x^2 + 6x + 9

Dies ist ein perfektes quadratisches Trinom.

1. Der erste und der letzte Term sind perfekte Quadrate, denn x^2 = (x)^2 und 9 = (3)^2 .

2. Der mittlere Term ist das Doppelte des Produkts von x und 3 .

Da x^2 + 6x + 9 ein perfektes quadratisches Trinom ist, können wir die Formel

BEISPIEL 5 Faktor. 4x^2-20x + 25

Dies ist ein perfektes quadratisches Trinom. 20x = 2(2x*5) Beachten Sie das negative Vorzeichen. Wir haben

4x^2-20x + 25 = (2x-5)^2 Da a^2-2ab + b^2 = (a-b)^2 .

Es können mehr als eine Variable beteiligt sein und die Exponenten können höher als 2 sein. Es gelten die gleichen Grundsätze.

BEISPIEL 6 Faktor. (a) 49x^2+42xy+9y^2 &emsp&emsp (b) 36x^4 -12x^2 + 1

(a) Dies ist ein perfektes quadratisches Trinom. Warum?

Denn 49x^2 = (7x)^2 und 9y^2 = (3y)^2 . Außerdem 42xy = 2(7x*3y)

(b) Dies ist ein perfektes quadratisches Trinom. Warum?
36x^4-12x^2 + 1 = (6x^2-1)^2 Weil 36x^4 = (6x^2)^2 und 1 = (1)^2 . Außerdem gilt 12x^2 = 2(6x^2*1) .

Einige Probleme scheinen perfekte quadratische Trinome zu sein, sind es aber nicht. Sie wurden im vorherigen Abschnitt als andere Trinome faktorisiert.

BEISPIEL 7 Faktor. 49x^2 + 35x + 4

Das ist nicht ein perfektes quadratisches Trinom! Obwohl der erste und der letzte Term wegen (7x)^2 = 49x^2 und (2)^2 = 4 perfekte Quadrate sind, ist der mittlere Term nicht das Doppelte des Produkts von 2 und 7x ! 35x != 28x ! Wir müssen also durch Versuch und Irrtum oder durch Gruppierung faktorisieren, um zu erhalten

Faktorisieren von Polynomen, indem zuerst ein gemeinsamer Faktor entfernt und dann eine der speziellen Faktorisierungsformeln verwendet wird

In einigen Fällen werden wir zuerst einen gemeinsamen Faktor entfernen. Dann werden wir eine Möglichkeit finden, die Differenz zweier Quadrate oder eine der perfekten Quadrattrinomformeln zu verwenden.

BEISPIEL 8 Faktor. 12x^2-48

12x^2-48 = 12(x^2-4) &emsp&emsp Zuerst entfernen wir den größten gemeinsamen Faktor 12 .

= 12(x + 2)(x-2) &emsp&emspDann verwenden wir die Differenz zweier Quadrate Formel: a^2- b^2 = (a + b)(a-b) .

BEISPIEL 9 Faktor. 24x^2 + 72x +54

Zuerst entfernen wir den größten gemeinsamen Faktor 6 .

24x^2 + 72x + 54 = 6(4x^2 + 12x + 9)

Dann verwenden wir die perfekte quadratische Trinomialformel: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 .

Ein kurzer Überblick über Factoring

Nach dem Studium dieses Abschnitts können Sie:

1. Identifizieren und faktorisieren Sie ein beliebiges Polynom, das faktorisiert werden kann. 1 , :

2. Bestimmen Sie, ob ein Polynom eine Primzahl ist.

Überprüfung des Factorings

Oft werden die verschiedenen Arten von Factoring-Problemen alle miteinander vermischt. Wir müssen in der Lage sein, jede Art von Factoring-Problem schnell zu identifizieren. Die folgende Tabelle kann hilfreich sein, um Ihr Wissen über Factoring zusammenzufassen.

Viele Probleme umfassen beim Factoring mehr als einen Schritt. Wenn Sie aufgefordert werden, ein Polynom zu faktorisieren, wird erwartet, dass Sie es vollständig faktorisieren. Normalerweise besteht der erste Schritt beim Factoring darin, den gemeinsamen Faktor zu entfernen, dann wird der nächste Schritt deutlicher.

BEISPIEL 1 Faktor.

(a) 25x^3-10x^2 + x &emsp&emsp(b) 20x^2y^2-45y^2

(a) Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor von x . Der andere Faktor ist ein perfektes quadratisches Trinom.

(b) Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor von 5y^2 . Der andere Faktor ist die Differenz der Quadrate.

Bestimmen, ob ein Polynom eine Primzahl ist

Nicht alle Polynome können mit den Methoden in dieser Lektion faktorisiert werden . Wenn wir nicht können
ein Polynom mit elementaren Methoden faktorisieren, identifizieren wir es als a prim Polynom.

BEISPIEL 2 Faktor, wenn möglich. x^2 + 6x + 12

Da wir nur rationale Zahlen verwenden, finden wir, dass dieses Polynom eine Primzahl ist. Die rationalen Faktoren von 12 sind (1)(12) oder (2)(6) oder (3)(4)

Keines dieser Paare addiert sich zu 6 , dem Koeffizienten des Mittelterms. Somit kann das Problem mit den Methoden dieser Lektion nicht faktorisiert werden. Es ist primitiv.

BEISPIEL 3 Faktor, wenn möglich. 25x^2 + 4

Wir haben eine Formel, um die Differenz zweier Quadrate zu faktorisieren. Es gibt keine Möglichkeit, die Summe zweier Quadrate zu faktorisieren. Das heißt, a^2 + b^2 können nicht faktorisiert werden. Somit ist 25x^2 + 4 eine Primzahl.

Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Nach dem Studium dieses Abschnitts können Sie:

1. Lösen Sie eine quadratische Gleichung durch Faktorisieren.

2. Lösen Sie eine Vielzahl von angewandten Problemen, indem Sie eine quadratische Gleichung verwenden.

Lösen einer quadratischen Gleichung durch Faktorisieren

In einem früheren Tutorial haben wir gelernt, wie man lineare Gleichungen wie 3x + 5 = 0 löst, um die Wurzel (oder den Wert von x ) zu finden, die die Gleichung erfüllt. Nun wenden wir uns der Frage zu, wie man Gleichungen wie 3x^2 + 5x + 2 = 0 löst. Solche Gleichungen heißen quadratische Gleichungen. Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung, die die Potenz 2 einer Variablen als höchste Potenz in der Gleichung enthält.

In dieser Lektion werden wir quadratische Gleichungen in Standardform studieren, wobei a , b und c ganze Zahlen sind.

Normalerweise können wir zwei reelle Nullstellen finden, die eine quadratische Gleichung erfüllen. Aber wie können wir sie finden? Der direkteste Ansatz ist die Factoring-Methode. Diese Methode hängt von einer sehr mächtigen Eigenschaft ab.

Wenn wir in der Mathematik eine Aussage mit dem Wort statement machen oder, wir meinen damit das eine oder das andere oder beides. Deshalb, beide a und b können gleich null sein, wenn das Produkt null ist. Wir können dieses Prinzip verwenden, um eine quadratische Gleichung zu lösen. Bevor Sie beginnen, stellen Sie sicher, dass die Gleichung in Standardform vorliegt.

BEISPIEL 1 Finde die beiden Wurzeln. 3x^2 + 5x +2 =0

3x^2 + 5x+2=0 &emsp&emsp Die Gleichung ist in Standardform.

(3x + 2)(x+1)=0 &emsp&emsp Faktoriere den quadratischen Ausdruck.

3x +2=0 &emsp&emsp x+1=0 &emsp&emsp Setzt jeden Faktor gleich 0 .

3x =-2 &emsp&emsp x=-1 &emsp&emsp Lösen Sie jede Gleichung, um die beiden Nullstellen zu finden.

Die beiden Wurzeln sind &minus 2/3 und -1 .

BEISPIEL 2 Finde die beiden Wurzeln. 2x^2 + 13x -7 =0

2x^2 + 13x -7=0 &emsp&emsp Die Gleichung ist in Standardform.

2x-1=0 &emsp&emsp x+7=0 &emsp&emsp Setzt jeden Faktor gleich 0 .

2x = 1 &emsp&emsp x=-7 &emsp&emsp Lösen Sie jede Gleichung, um die beiden Nullstellen zu finden.

Die beiden Wurzeln sind 1/2 und -7.

Prüfen. Wenn x = 1/2 , dann

Somit sind x = 1/2 und x = -7 beide Nullstellen für die Gleichung 2x^2 + 13x -7 = 0 .

Wenn die quadratische Gleichung ax^2 + bx + c = 0 keinen sichtbaren konstanten Term hat, dann ist c = 0 . Alle diese quadratischen Gleichungen können faktorisiert werden, indem ein gemeinsamer Faktor entfernt wird, um zwei Lösungen zu erhalten, die reelle Zahlen sind.

BEISPIEL 3 Finde die beiden Wurzeln. 7x^2-3x = 0

7x^2-3x =0 &emsp&emsp Die Gleichung ist in Standardform. Hier c = 0 .

x(7x-3) =0 &emsp&emsp Faktor durch Entfernen des gemeinsamen Faktors.

x=0 &emsp&emsp 7x -3=0 &emsp&emsp Setzt jeden Faktor mit der Nullfaktoreigenschaft gleich 0.

x= 3/7 &emsp&emspLöse jede Gleichung, um die beiden Nullstellen zu finden.

Die beiden Wurzeln sind x = 0 und x = 3/7 .

Wenn die quadratische Gleichung nicht in Standardform vorliegt, verwenden wir dieselben grundlegenden algebraischen Methoden, die wir zuvor studiert haben, um die Gleichung auf Null zu setzen, damit wir die Nullfaktoreigenschaft verwenden können.

BEISPIEL 4 Finde die beiden Wurzeln. x^2 = 12-x

Die Gleichung ist nicht in Standardform.

Addiere x und -12 zu beiden Seiten der Gleichung, sodass die linke Seite gleich Null ist und faktorisiert werden kann.

x-3=0 &emsp&emsp x+4=0 &emsp&emsp Setzt jeden Faktor mit der Nullfaktoreigenschaft gleich 0.

BEISPIEL 5 Lösen. (x + 3) (x-2) = 50

Seien Sie hier vorsichtig! Sie müssen auf der rechten Seite eine Null haben, um die Nullfaktor-Eigenschaft zu verwenden.

x^2 + 3x-2x-6 = 50 &emsp&emsp Entfernen Sie die Klammern.

x^2+x-56=0 &emsp&emsp In Standardform platzieren.

x+8=0 &emsp&emsp x-7=0 &emsp&emsp Setzen Sie jeden Faktor gleich Null.

x=-8 &emsp&emsp x=7 &emsp&emsp Löse jede Gleichung nach x .

Verwenden einer quadratischen Gleichung zur Lösung angewandter Probleme

Bestimmte Arten von Wortaufgaben führen zu quadratischen Gleichungen. Diese Probleme können Zahlenprobleme, Probleme mit geometrischen Figuren oder angewandte Probleme sein. In diesem Abschnitt zeigen wir die Lösung einiger Modellprobleme.

&emsp&emspEs ist besonders wichtig, die scheinbaren Lösungen der quadratischen Gleichung mit den in der Wortaufgabe angegebenen Bedingungen zu überprüfen. Oft wird eine bestimmte Lösung der quadratischen Gleichung durch die Bedingungen des Wortproblems eliminiert.

BEISPIEL 6 Die Länge eines Rechtecks ​​ist 3 Meter länger als die doppelte Breite. Die Fläche des Rechtecks ​​beträgt 44 Quadratmeter. Finden Sie die Länge und Breite des Rechtecks.

Sei w = die Breite in Metern

Dann 2w + 3 = die Länge in Metern

3. Lösen Sie die Gleichung und geben Sie die Antwort an.

44 =2w^2 + 3w &emsp&emsp Klammern entfernen.

0 = 2w^2 + 3w -44 &emsp&emsp Ziehe 44 von beiden Seiten ab.

2w+11=0 &emsp&emsp w-4=0 &emsp&emspSetze jeden Faktor gleich 0 .

Beachten Sie, dass w = &minus 5 1/2 keine gültige Lösung ist. Ein Rechteck mit einer negativen Zahl als Breite wäre nicht sinnvoll.
Da w = 4 ist die Breite des Rechtecks ​​4 Meter. Die Länge beträgt 2w + 3 , also haben wir 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 . Somit beträgt die Länge des Rechtecks ​​11 Meter.

4. Prüfen. Ist die Länge mit 3 Metern mehr als doppelt so breit?

Ist die Fläche des Rechtecks ​​44 Quadratmeter?

BEISPIEL 7 Die Fläche eines Dreiecks beträgt 49 Quadratzentimeter. Die Höhe des Dreiecks ist 7 Zentimeter länger als die Basis. Finden Sie die Höhe und die Basis des Dreiecks.

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Sei b = die Länge der Basis in Zentimetern

b + 7 = die Länge der Höhe in Zentimetern

Um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, verwenden wir

Fläche = 1/2 (Höhe)(Basis) = 1/2ab = (ab)/2

((b + 7)(b))/2=49 &emsp&emspErsetzen Sie die Ausdrücke für Höhe und Basis.

b^2 + 7b = 98 &emsp&emsp Multiplizieren Sie jede Seite der Gleichung mit 2 .

b^2 + 7b-98 =0 &emsp&emsp Platziere die quadratische Gleichung in Standardform.

b-7=0 &emsp&emsp b+ 14=0 &emsp&emsp Setzt jeden Faktor gleich Null.

b=7 &emsp&emsp b=-14 &emsp&emspLöse jede Gleichung nach b .

Wir können keine Basis von -14 Zentimetern haben, daher lehnen wir die negative Antwort ab. Die einzig mögliche Antwort ist b=7 . Die Basis ist also 7 Zentimeter. Die Höhe beträgt b+7=7+7= 14 . Die Höhe beträgt 14 Zentimeter.


Die 1940er Jahre: Technologiefortschritte

Der technologische Fortschritt in den 1940er Jahren machte es den Menschen noch einfacher, ihre Lieblingsmusik zu hören und Künstlern, sie aufzunehmen. Die Einführung des Reel-to-Reel-Tonbandgeräts ebnete den Weg für mehrere Innovationen, die die Musikindustrie verändern würden. Die ersten kommerziell erhältlichen Tonbandgeräte waren monophon, dh sie hatten nur eine Spur, auf der Ton auf Magnetband aufgezeichnet werden konnte. Dies mag heute einschränkend erscheinen, ermöglichte damals jedoch spannende Innovationen. In den 1940er und 1950er Jahren begannen einige Musiker – allen voran der Gitarrist Les Paul mit seinem Song „Lover (When You’re Near Me)“ – mit Overdubbing zu experimentieren, bei dem sie ein zuvor aufgenommenes Band über einen Mixer abspielten und überblendeten es mit einer Live-Performance und zeichnete das zusammengesetzte Signal auf einem zweiten Tonbandgerät auf. Als in den 1960er Jahren Vier- und Achtspur-Recorder auf den Markt kamen, mussten Musiker nicht mehr im selben Raum spielen, sondern konnten jeden einzelnen Teil aufnehmen und zu einer fertigen Aufnahme zusammenfügen.

Reel-to-Reel-Tonbandgeräte und Magnetbänder halfen Künstlern nicht nur beim Experimentieren mit Overdubbing, sondern waren auch eine kompakte Methode zur Wiedergabe und Erhaltung von Audio.

Während sich die Reel-to-Reel-Recorder noch in den Anfängen der Entwicklung befanden, hörten die Familien Schallplatten auf ihren Grammophonen. Die Platte mit 78 Umdrehungen pro Minute (U/min) war viele Jahre lang das akzeptierte Aufzeichnungsmedium, obwohl die Platte alle 5 Minuten gewechselt werden musste. 1948 perfektionierte Columbia Records die 12-Zoll-Long-Playing (LP)-Disc mit 33 U/min, die bis zu 25 Minuten pro Seite spielen konnte und ein geringeres Oberflächengeräusch hatte als die früheren (und sehr zerbrechlichen) Schellack-Discs (Lomax, 2003). Die 33-U/min-Discs wurden zur Standardform für vollständige Alben und dominierten die Musikindustrie bis zum Aufkommen der Compact Disc (CD).

In den 1940er Jahren bestand eine für beide Seiten vorteilhafte Allianz zwischen Tonaufnahme und Rundfunk. Künstler wie Frank Sinatra und Ella Fitzgerald profitierten von der Radioexposition. Bis zu diesem Zeitpunkt wurde Musik hauptsächlich für Erwachsene aufgenommen, aber die Popularität von Sinatra und seinen Zeitgenossen offenbarte einen völlig unerschlossenen Markt: Teenager. Der Nachkriegsboom der 1930er und frühen 1940er Jahre bescherte vielen Jugendlichen Geld für Schallplatten. Radio Airplay half, Platten und die Aufnahmekünstler selbst zu fördern und zu verkaufen, was wiederum die Plattenindustrie stabilisierte. Die Beinahe-Unruhen, die durch den Auftritt des New Jersey-Crooners Frank Sinatra im Konzert verursacht wurden, ebneten den Weg für eine Massenhysterie unter Elvis Presley- und Beatles-Fans während der Rock'n'Roll-Ära.


6.2: Herzbergs Zwei-Faktoren-Theorie

US-amerikanischer Psychologe Friedrich Herzberg gilt als einer der großen Urdenker der Management- und Motivationstheorie. Herzberg wollte den Einfluss der Einstellung auf die Motivation bestimmen, indem er einfach die Menschen bat, die Zeiten zu beschreiben, in denen sie sich in Bezug auf ihre Arbeit wirklich gut und wirklich schlecht fühlten. Er fand heraus, dass Menschen, die sich in ihrem Job wohl fühlten, ganz andere Reaktionen gaben als Menschen, die sich schlecht fühlten.

Die Ergebnisse dieser Untersuchung bilden die Grundlage von Herzbergs Motivation-Hygiene-Theorie (manchmal bekannt als Herzbergs &ldquoZwei-Faktoren-Theorie&rdquo). Die Schlussfolgerungen, die er in seinem berühmten Artikel &ldquoNochmal: Wie motivieren Sie Mitarbeiter„ veröffentlicht hat, waren außerordentlich einflussreich und bilden noch fast ein halbes Jahrhundert später die Grundlage guter Motivationspraktiken. Er ist besonders bekannt für seine Zwei-Faktoren-Theorie, die die Hypothese aufstellte, dass es sich um zwei verschiedene Gruppen von Faktoren handelt, die die Arbeitszufriedenheit und die Arbeitsunzufriedenheit bestimmen: „Hygienefaktoren&rdquo oder extrinsische Motivatoren und „Motivationsfaktoren&rdquo oder intrinsische Motivatoren.

Hygienefaktoren, oder extrinsische Motivatoren, neigen dazu, greifbarere Grundbedürfnisse darzustellen, d. h. die Arten von Bedürfnissen, die in der Existenzkategorie der Bedürfnisse in der ERG-Theorie oder in den unteren Ebenen der Maslows-Bedürfnishierarchie enthalten sind. Extrinsische Motivatoren sind Status, Arbeitsplatzsicherheit, Gehalt und Nebenleistungen. Für Manager ist es wichtig zu erkennen, dass das Fehlen der angemessenen und erwarteten extrinsischen Motivatoren Unzufriedenheit stiftet und die Motivation der Mitarbeiter verringert.

Motivationsfaktoren, oder intrinsische Motivatoren, neigen dazu, weniger greifbare, eher emotionale Bedürfnisse zu repräsentieren, d. h. die Arten von Bedürfnissen, die in den Kategorien &bdquo.Bezogenheit&rdquo und „Wachstum&rdquo von Bedürfnissen in der ERG-Theorie und in den höheren Ebenen der Maslow-Bedürfnishierarchie identifiziert wurden. Zu den intrinsischen Motivatoren gehören herausfordernde Arbeit, Anerkennung, Beziehungen und Wachstumspotenzial. Manager müssen erkennen, dass diese Bedürfnisse zwar außerhalb des traditionelleren Rahmens dessen liegen, was ein Arbeitsplatz bieten sollte, aber für eine starke individuelle und Teamleistung entscheidend sein können.

Der Faktor, der die Zwei-Faktoren-Theorie von den anderen unterscheidet, die wir besprochen haben, ist die Rolle des Mitarbeiters Erwartungen. Intrinsische Motivatoren und extrinsische Motivatoren stehen nach Herzberg in einem umgekehrten Verhältnis. Das heißt, intrinsische Motivatoren neigen dazu, die Motivation zu erhöhen, wenn sie anwesend sind, während extrinsische Motivatoren dazu neigen, die Motivation zu reduzieren, wenn sie abwesend sind. Dies ist auf die Erwartungen der Mitarbeiter zurückzuführen. Extrinsische Motivatoren (z. B. Gehalt, Zusatzleistungen) werden erwartet, sodass sie die Motivation erhöhen, wenn sie vorhanden sind, aber Unzufriedenheit verursachen, wenn sie fehlen. Intrinsische Motivatoren (z. B. herausfordernde Arbeit, Wachstumspotenzial) können hingegen eine zusätzliche Motivationsquelle sein, wenn sie verfügbar sind.

Wenn das Management die Arbeitszufriedenheit der Mitarbeiter steigern möchte, sollte es sich mit der Art der Arbeit selbst und den Möglichkeiten, die es den Mitarbeitern bietet, um Status zu gewinnen, Verantwortung zu übernehmen und Selbstverwirklichung zu erlangen, beschäftigen. Wenn das Management andererseits Unzufriedenheit abbauen möchte, muss es sich auf das Arbeitsumfeld und die Richtlinien, Verfahren, Aufsicht und Arbeitsbedingungen konzentrieren. Um eine zufriedene und produktive Belegschaft zu gewährleisten, müssen Führungskräfte auf beide Gruppen von Arbeitsplatzfaktoren achten.


Der Ausdruck x 2 + 5x + 6 hat momentan drei Terme, also müssen wir ihn mit 4 Termen schreiben, bevor wir Terme gruppieren können.

5x = 3x + 2x, also aus x 2 + 5x + 6 wird x 2 + 3x + 2x + 6.

Gruppieren Sie x 2 mit 3x und 2x mit 6 und faktorisieren Sie dann jede Gruppe.

Wir erhalten (x 2 + 3x) + (2x + 6) = x*(x + 3) + 2*(x + 3) = (x + 3) * (x + 2)

Wenn Sie in diesem Beispiel x 2 mit 2x und 3x mit 6 gruppieren, erhalten Sie dieselbe Antwort. Versuchen Sie das.

Beachten Sie, dass es mehr als eine Möglichkeit gibt, das 5-fache zu erweitern, sodass verschiedene Gruppierungen möglich sind. 5x ist auch gleich 4x + x, 6x -x, 7x-2x, 8x-3x und so weiter.

Allerdings funktionieren nicht alle Gruppierungen!

Dies macht deutlich, dass diese Art der Faktorisierung durch Gruppierung manchmal sehr mühsam sein kann.

Obwohl es immer gut zu wissen ist, ist es nicht immer eine einfache Methode, Trinome zu faktorisieren.

Zuerst könnten Sie versucht sein zu sagen, dass -4x gleich sein kann mit: -2x + -2x oder -3x + -x, also funktioniert einer von ihnen.

Falsch! Die richtige Kombination ist -6x + 2x

Also x 2 + -4x + -12 = x 2 + -6x + 2x + -12

Gruppe x 2 mit -6x und 2x mit -12

(x 2 + -6x) + (2x + -12) = x *(x &minus 6) + 2 * (x &minus 6) = (x &minus 6)*(x + 2)

3y 2 + 14y + 8 = 3y 2 + 12y + 2y + 8 = (3y 2 + 12y) + (2y + 8) = 3y(y + 4) + 2(y + 4)

Also, 3y 2 + 14y + 8 = (y + 4)(3y + 2)

Dieses Problem ist sehr kompliziert, da Sie zu viele Optionen für Dinge haben, die Sie hinzufügen können, um -41x zu erhalten.

Es stellt sich heraus, dass die richtige Kombination - 44x + 3x . ist

Es gibt jedoch gute Nachrichten, da es eine Technik gibt, mit der man beim Faktorisieren durch Gruppieren die richtige Kombination etwas schneller finden kann.

Dann finden Sie Faktoren von -132, die sich zu -41 . addieren

11x 2 + -41x + -12 = 11x 2 + -44x + 3x + -12

11x 2 + -44x + 3x + -12 = 11x(x &minus 4) + 3(x &minus 4) = (x &minus 4)(11x + 3)

-14 + -12 = -26 und -14 * -12 = 168, also die richtige Kombination ist

6x 2 - 26x + 28 = 6x 2 + -14x + -12x + 28

6x 2 + -14x + -12x + 28 = (6x 2 + -14x) + (-12x + 28)= 2x(3x + -7) + -4(3x + -7)

6x 2 - 26x + 28 = (3x + -7) * (2x + -4)

Verwenden Sie Factoring durch Gruppierung nur, wenn Sie keine andere Wahl haben!


6.2: Einführung in das Factoring

Proteine ​​sind Polymere von Aminosäuren. Zwanzig verschiedene Arten von Aminosäuren kommen natürlicherweise in Proteinen vor. Proteine ​​unterscheiden sich nach Art, Anzahl und Sequenz der Aminosäuren, die das Polypeptid-Rückgrat bilden. Dadurch haben sie unterschiedliche molekulare Strukturen, Ernährungseigenschaften und physiochemische Eigenschaften. Proteine ​​sind aus verschiedenen Gründen wichtige Bestandteile von Lebensmitteln. Sie sind eine wichtige Energiequelle und enthalten essentielle Aminosäuren wie Lysin, Tryptophan, Methionin, Leucin, Isoleucin und Valin, die für die menschliche Gesundheit wichtig sind, die der Körper jedoch nicht synthetisieren kann. Proteine ​​sind auch die Hauptstrukturkomponenten vieler natürlicher Lebensmittel und bestimmen oft deren Gesamttextur, z. B. die Zartheit von Fleisch- oder Fischprodukten. Isolierte Proteine ​​werden aufgrund ihrer einzigartigen funktionellen Eigenschaften, d. h. ihrer Fähigkeit, ein wünschenswertes Aussehen, eine gewünschte Textur oder Stabilität bereitzustellen, häufig in Lebensmitteln als Zutaten verwendet. Typischerweise werden Proteine ​​als Geliermittel, Emulgatoren, Schaumbildner und Verdickungsmittel verwendet. Viele Nahrungsproteine ​​sind Enzyme, die die Geschwindigkeit bestimmter biochemischer Reaktionen erhöhen können. Diese Reaktionen können sich entweder günstig oder nachteilig auf die Gesamteigenschaften von Lebensmitteln auswirken. Lebensmittelanalytiker sind daran interessiert, die Gesamtkonzentration, den Typ, die molekulare Struktur und die funktionellen Eigenschaften der Proteine ​​in Lebensmitteln zu kennen.

6.2. Bestimmung der Gesamtproteinkonzentration

Die Kjeldahl-Methode wurde 1883 von einem Brauer namens Johann Kjeldahl entwickelt. Ein Lebensmittel wird mit einer starken Säure verdaut, so dass Stickstoff freigesetzt wird, der durch eine geeignete Titrationstechnik bestimmt werden kann. Die vorhandene Proteinmenge wird dann aus der Stickstoffkonzentration des Lebensmittels berechnet. Der gleiche grundlegende Ansatz wird auch heute noch verwendet, obwohl eine Reihe von Verbesserungen vorgenommen wurden, um den Prozess zu beschleunigen und genauere Messungen zu erhalten. Es wird normalerweise als die Standardmethode zur Bestimmung der Proteinkonzentration angesehen. Da die Kjeldahl-Methode den Proteingehalt nicht direkt misst, wird ein Umrechnungsfaktor (F) benötigt, um die gemessene Stickstoffkonzentration in eine Proteinkonzentration umzurechnen. Für viele Anwendungen wird ein Umrechnungsfaktor von 6,25 (entspricht 0,16 g Stickstoff pro Gramm Protein) verwendet, dies ist jedoch nur ein Durchschnittswert und jedes Protein hat je nach Aminosäurezusammensetzung einen anderen Umrechnungsfaktor. Die Kjeldahl-Methode lässt sich praktischerweise in drei Schritte unterteilen: Aufschluss, Neutralisation und Titration.

Die zu analysierende Lebensmittelprobe wird in einen Aufschlusskolben eingewogen und anschließend durch Erhitzen in Gegenwart von Schwefelsäure (ein Oxidationsmittel, das Lebensmittel verdaut), wasserfreiem Natriumsulfat (zur Beschleunigung der Reaktion durch Anheben des Siedepunkts) und ein Katalysator wie Kupfer, Selen, Titan oder Quecksilber (um die Reaktion zu beschleunigen). Bei der Verdauung wird jeglicher Stickstoff in der Nahrung (außer in Form von Nitraten oder Nitriten) in Ammoniak und andere organische Stoffe in C0 2 und H 2 0 umgewandelt. Ammoniakgas wird in einer sauren Lösung nicht freigesetzt, da das Ammoniak enthalten ist die Form des Ammonium-Ions (NH 4 + ), das an das Sulfation (SO 4 2- ) bindet und somit in Lösung bleibt:

Nach Beendigung des Aufschlusses wird der Aufschlusskolben durch ein Rohr mit einem Auffangkolben verbunden. Anschließend wird die Lösung im Aufschlusskolben durch Zugabe von Natronlauge alkalisch gestellt, wodurch das Ammoniumsulfat in Ammoniakgas umgewandelt wird:

(NH 4 ) 2 SO 4 + 2 NaOH ® 2NH 3 + 2H 2 O + Na 2 SO 4 (2)

Das entstehende Ammoniakgas wird aus der Lösung freigesetzt und gelangt aus dem Aufschlusskolben in den Vorlagekolben, der einen Überschuss an Borsäure enthält. Der niedrige pH-Wert der Lösung im Vorlagekolben wandelt das Ammoniakgas in das Ammoniumion und gleichzeitig die Borsäure in das Boration um:

NH 3 + H 3 BO 3 (Borsäure) ® NH 4 + + H 2 BO 3 - (Boration) (3)

Der Stickstoffgehalt wird dann durch Titration des gebildeten Ammoniumborats mit Standardschwefel- oder Salzsäure abgeschätzt, wobei ein geeigneter Indikator verwendet wird, um den Endpunkt der Reaktion zu bestimmen.

H 2 BO 3 - + H + ® H 3 BO 3 (4)

Die zum Erreichen des Endpunkts erforderliche Konzentration an Wasserstoffionen (in Mol) entspricht der Stickstoffkonzentration des ursprünglichen Lebensmittels (Gleichung 3). Die Stickstoffkonzentration einer Probe mit einem Gewicht von m Gramm kann mit einer x M HCl-Säurelösung für die Titration mit folgender Gleichung bestimmt werden:

Dabei sind vs und vb die Titrationsvolumina der Probe und des Blindwerts und 14 g das Molekulargewicht von Stickstoff N. Eine Blindwertprobe wird normalerweise gleichzeitig mit dem zu analysierenden Material gemessen, um eventuellen Reststickstoff zu berücksichtigen die zur Durchführung der Analyse verwendeten Reagenzien. Nachdem der Stickstoffgehalt bestimmt wurde, wird er mit dem entsprechenden Umrechnungsfaktor in einen Proteingehalt umgerechnet: %Protein = F %N.

6.2.1.4. Vorteile und Nachteile

Vorteile. Die Kjeldahl-Methode ist international weit verbreitet und ist immer noch die Standardmethode zum Vergleich mit allen anderen Methoden. Seine Universalität, hohe Präzision und gute Reproduzierbarkeit haben es zur wichtigsten Methode zur Bestimmung von Protein in Lebensmitteln gemacht.

Nachteile. Es gibt kein Maß für das wahre Protein, da nicht der gesamte Stickstoff in Lebensmitteln in Form von Protein vorliegt. Unterschiedliche Proteine ​​benötigen unterschiedliche Korrekturfaktoren, da sie unterschiedliche Aminosäuresequenzen aufweisen. Die Verwendung von konzentrierter Schwefelsäure bei hohen Temperaturen stellt eine beträchtliche Gefahr dar, ebenso wie die Verwendung einiger der möglichen Katalysatoren. Die Durchführung der Technik ist zeitaufwendig.

6.2.2. Verbesserte Dumas-Methode

Vor kurzem wurde eine automatisierte instrumentelle Technik entwickelt, die in der Lage ist, die Proteinkonzentration von Lebensmittelproben schnell zu messen. Diese Technik basiert auf einer Methode, die erstmals vor über eineinhalb Jahrhunderten von einem Wissenschaftler namens Dumas beschrieben wurde. Es beginnt aufgrund seiner Schnelligkeit, mit der Kjeldahl-Methode als Standardanalysemethode für Proteine ​​für einige Lebensmittel zu konkurrieren.

Eine Probe bekannter Masse wird in einer Hochtemperaturkammer (etwa 900 °C) in Gegenwart von Sauerstoff verbrannt. Dies führt zur Freisetzung von CO 2 , H 2 O und N 2 . Das CO 2 und H 2 O werden entfernt, indem die Gase über spezielle Säulen geleitet werden, die sie absorbieren.Der Stickstoffgehalt wird dann gemessen, indem die verbleibenden Gase durch eine Säule geleitet werden, die am Ende einen Wärmeleitfähigkeitsdetektor hat. Die Säule hilft, den Stickstoff von jeglichem restlichem CO 2 und H 2 O zu trennen, das möglicherweise im Gasstrom zurückgeblieben ist. Das Gerät wird kalibriert, indem ein Material analysiert wird, das rein ist und eine bekannte Stickstoffkonzentration aufweist, wie z. B. EDTA (= 9,59% N). Somit kann das Signal des Wärmeleitfähigkeitsdetektors in einen Stickstoffgehalt umgewandelt werden. Wie bei der Kjeldahl-Methode ist es erforderlich, die Stickstoffkonzentration in einer Probe mit geeigneten Umrechnungsfaktoren, die von der genauen Aminosäuresequenz des Proteins abhängen, auf den Proteingehalt umzurechnen.

6.2.2.2. Vorteile und Nachteile

Vorteile: Es ist viel schneller als die Kjeldahl-Methode (unter 4 Minuten pro Messung, im Vergleich zu 1-2 Stunden bei Kjeldahl). Es braucht keine giftigen Chemikalien oder Katalysatoren. Viele Proben können automatisch gemessen werden. Es ist einfach zu bedienen.

Nachteile: Hohe Anschaffungskosten. Es gibt kein Maß für das wahre Protein, da nicht der gesamte Stickstoff in Lebensmitteln in Form von Protein vorliegt. Unterschiedliche Proteine ​​benötigen unterschiedliche Korrekturfaktoren, da sie unterschiedliche Aminosäuresequenzen aufweisen. Die geringe Stichprobengröße macht es schwierig, eine repräsentative Stichprobe zu erhalten.

6.2.3. Methoden mit UV-Vis-Spektroskopie

Zur Messung der Proteinkonzentration wurden eine Reihe von Methoden entwickelt, die auf der UV-Vis-Spektroskopie basieren. Diese Verfahren nutzen entweder die natürliche Fähigkeit von Proteinen, Licht im UV-sichtbaren Bereich des elektromagnetischen Spektrums zu absorbieren (oder zu streuen), oder sie modifizieren Proteine ​​chemisch oder physikalisch, damit sie Licht in diesem Bereich absorbieren (oder streuen). Das Grundprinzip hinter jedem dieser Tests ist ähnlich. Zunächst wird eine Eichkurve der Extinktion (oder Trübung) gegen die Proteinkonzentration unter Verwendung einer Reihe von Proteinlösungen bekannter Konzentration erstellt. Die Extinktion (oder Trübung) der zu analysierenden Lösung wird dann bei der gleichen Wellenlänge gemessen und ihre Proteinkonzentration aus der Kalibrierungskurve bestimmt. Der Hauptunterschied zwischen den Tests sind die chemischen Gruppen, die für die Absorption oder Streuung von Strahlung verantwortlich sind, z. B. Peptidbindungen, aromatische Seitengruppen, basische Gruppen und aggregierte Proteine.

Eine Reihe der am häufigsten verwendeten UV-Vis-Methoden zur Bestimmung des Proteingehalts von Lebensmitteln sind im Folgenden aufgeführt:

Direkte Messung bei 280nm

Tryptophan und Tyrosin absorbieren ultraviolettes Licht bei 280 nm stark. Der Tryptophan- und Tyrosingehalt vieler Proteine ​​bleibt ziemlich konstant, und so kann die Absorption von Proteinlösungen bei 280 nm verwendet werden, um ihre Konzentration zu bestimmen. Die Vorteile dieser Methode bestehen darin, dass das Verfahren einfach durchzuführen ist, zerstörungsfrei ist und keine speziellen Reagenzien erforderlich sind. Der große Nachteil besteht darin, dass Nukleinsäuren auch bei 280 nm stark absorbieren und daher bei ausreichender Konzentration die Messung des Proteins stören könnten. Trotzdem wurden Verfahren entwickelt, um dieses Problem zu überwinden, z. B. durch Messen der Extinktion bei zwei verschiedenen Wellenlängen.

Eine violett-violette Farbe wird erzeugt, wenn Kupferionen (Cu 2+ ) unter alkalischen Bedingungen mit Peptidbindungen interagieren. Das Biuret-Reagenz, das alle zur Durchführung der Analyse erforderlichen Chemikalien enthält, kann im Handel erworben werden. Es wird mit einer Proteinlösung gemischt und dann 15-30 Minuten stehen gelassen, bevor die Extinktion bei 540 nm abgelesen wird. Der Hauptvorteil dieser Technik besteht darin, dass es keine Interferenz durch Materialien gibt, die bei niedrigeren Wellenlängen adsorbieren, und die Technik ist weniger empfindlich gegenüber dem Proteintyp, da sie die Absorption nutzt, die Peptidbindungen umfasst, die allen Proteinen gemeinsam sind, und nicht spezifische Seitengruppen. Es hat jedoch eine relativ geringe Empfindlichkeit im Vergleich zu anderen UV-Vis-Methoden.

Die Lowry-Methode kombiniert das Biuret-Reagens mit einem anderen Reagens (dem Folin-Ciocalteau-Phenol-Reagens), das mit Tyrosin- und Tryptophan-Resten in Proteinen reagiert. Dies ergibt eine bläuliche Farbe, die je nach erforderlicher Empfindlichkeit zwischen 500 - 750 nm abgelesen werden kann. Es gibt einen kleinen Peak bei 500 nm, der verwendet werden kann, um hohe Proteinkonzentrationen zu bestimmen, und einen großen Peak bei etwa 750 nm, der verwendet werden kann, um niedrige Proteinkonzentrationen zu bestimmen. Dieses Verfahren ist gegenüber niedrigen Proteinkonzentrationen empfindlicher als das Biuret-Verfahren.

Ein bekannter Überschuss eines negativ geladenen (anionischen) Farbstoffs wird einer Proteinlösung zugesetzt, deren pH so eingestellt ist, dass die Proteine ​​positiv geladen sind (d. h. < dem isoelektrischen Punkt). Die Proteine ​​bilden aufgrund der elektrostatischen Anziehung zwischen den Molekülen einen unlöslichen Komplex mit dem Farbstoff, der ungebundene Farbstoff bleibt jedoch löslich. Der anionische Farbstoff bindet an kationische Gruppen der basischen Aminosäurereste (Histidin, Arganin und Lysin) und an freie Aminoendgruppen. Die Menge an ungebundenem Farbstoff, die in Lösung verbleibt, nachdem der unlösliche Protein-Farbstoff-Komplex entfernt wurde (z. B. durch Zentrifugation), wird durch Messung seiner Extinktion bestimmt. Die Menge an Protein, die in der ursprünglichen Lösung vorhanden ist, ist proportional zur Menge des daran gebundenen Farbstoffs: Farbstoff gebunden = Farbstoff-Anfangs-Farbstoff-frei.

Proteinmoleküle, die normalerweise in Lösung löslich sind, können durch Zugabe bestimmter Chemikalien, z. B. Trichloressigsäure, zum Ausfällen gebracht werden. Durch Proteinfällung trübt sich die Lösung ein. So kann die Proteinkonzentration durch Messung des Trübungsgrades bestimmt werden.

6.2.3.2. Vorteile und Nachteile

Vorteile: UV-Vis-Techniken sind relativ schnell und einfach durchzuführen und reagieren empfindlich auf niedrige Proteinkonzentrationen.

Nachteile: Für die meisten UV-Vis-Techniken ist es notwendig, verdünnte und transparente Lösungen zu verwenden, die keine kontaminierenden Substanzen enthalten, die Licht der gleichen Wellenlänge wie das zu analysierende Protein absorbieren oder streuen. Der Bedarf an transparenten Lösungen bedeutet, dass die meisten Lebensmittel vor ihrer Analyse erhebliche Mengen einer Probenvorbereitung durchlaufen müssen, z. B. Homogenisierung, Lösungsmittelextraktion, Zentrifugation, Filtration, was zeitaufwändig und mühsam sein kann. Außerdem ist es manchmal schwierig, Proteine ​​aus bestimmten Arten von Lebensmitteln quantitativ zu extrahieren, insbesondere nachdem sie verarbeitet wurden, so dass die Proteine ​​aggregieren oder mit anderen Substanzen kovalent verbunden werden. Außerdem hängt die Extinktion von der Art des analysierten Proteins ab (verschiedene Proteine ​​haben unterschiedliche Aminosäuresequenzen).

6.2.4. Andere Instrumentaltechniken

Zur Bestimmung des Gesamtproteingehalts von Lebensmittelmaterialien steht eine Vielzahl unterschiedlicher instrumenteller Methoden zur Verfügung. Diese können nach ihren physikalisch-chemischen Prinzipien in drei verschiedene Kategorien eingeteilt werden: (i) Messung der physikalischen Volumeneigenschaften, (ii) Messung der Strahlungsadsorption und (iii) Messung der Strahlungsstreuung. Jede instrumentelle Methode hat ihre eigenen Vor- und Nachteile und eine Reihe von Lebensmitteln, auf die sie angewendet werden kann.

Messung physikalischer Masseneigenschaften

  • Dichte: Die Dichte eines Proteins ist größer als die der meisten anderen Lebensmittelbestandteile, daher nimmt die Dichte eines Lebensmittels mit zunehmendem Proteingehalt zu. So kann der Proteingehalt von Lebensmitteln durch die Messung ihrer Dichte bestimmt werden.
  • Brechungsindex: Der Brechungsindex einer wässrigen Lösung steigt mit steigender Proteinkonzentration und daher können RI-Messungen zur Bestimmung des Proteingehalts verwendet werden.

Messung der Strahlungsadsorption

  • UV-sichtbar: Die Konzentration von Proteinen kann durch Messung der Absorption von ultraviolett-sichtbarer Strahlung bestimmt werden (siehe oben).
  • Infrarot: Infrarot-Techniken können verwendet werden, um die Konzentration von Proteinen in Lebensmittelproben zu bestimmen. Proteine ​​absorbieren IR auf natürliche Weise aufgrund charakteristischer Schwingungen (Streckung und Biegung) bestimmter chemischer Gruppen entlang des Polypeptidrückgrats. Messungen der Strahlungsabsorption bei bestimmten Wellenlängen können somit verwendet werden, um die Proteinkonzentration in der Probe zu quantifizieren. IR ist besonders nützlich für die schnelle Online-Analyse des Proteingehalts. Es erfordert auch wenig Probenvorbereitung und ist zerstörungsfrei. Seine Hauptnachteile sind die hohen Anschaffungskosten und die Notwendigkeit einer umfangreichen Kalibrierung.
  • Kernspinresonanz: NMR-Spektroskopie kann verwendet werden, um die Gesamtproteinkonzentration von Lebensmitteln zu bestimmen. Der Proteingehalt wird durch Messen der Fläche unter einem Peak in einem NMR-Spektren der chemischen Verschiebung bestimmt, das der Proteinfraktion entspricht.

Messung der Strahlungsstreuung

  • Lichtstreuung: Die Konzentration von Proteinaggregaten in wässriger Lösung kann mit Lichtstreutechniken bestimmt werden, da die Trübung einer Lösung direkt proportional zur Konzentration der vorhandenen Aggregate ist.
  • Ultraschallstreuung: Die Konzentration von Proteinaggregaten kann auch mit Ultraschallstreutechniken bestimmt werden, da die Ultraschallgeschwindigkeit und -absorption von Ultraschall von der Konzentration der vorhandenen Proteinaggregate abhängt.

6.2.4.2. Vorteile und Nachteile

Eine Reihe dieser instrumentellen Verfahren hat gegenüber den anderen oben erwähnten Techniken große Vorteile, da sie zerstörungsfrei sind, wenig oder keine Probenvorbereitung erfordern und die Messungen schnell und präzise sind. Ein wesentlicher Nachteil der Techniken, die auf Messungen der physikalischen Masseneigenschaften von Lebensmitteln beruhen, besteht darin, dass eine Kalibrierungskurve zwischen der interessierenden physikalischen Eigenschaft und dem Gesamtproteingehalt erstellt werden muss, und dies kann von der Art des vorhandenen Proteins und dem Lebensmittel abhängen Matrix, in der es enthalten ist. Außerdem können die auf Messungen der physikalisch-chemischen Masseneigenschaften basierenden Techniken nur verwendet werden, um Lebensmittel mit relativ einfacher Zusammensetzung zu analysieren. In einem Lebensmittel, das viele verschiedene Bestandteile enthält, deren Konzentration variieren kann, ist es schwierig, den Beitrag des Proteins zur Gesamtmessung von dem der anderen Bestandteile zu unterscheiden.

6.2.5. Methodenvergleich

Als Lebensmittelwissenschaftler sind wir oft in der Lage, eine bestimmte Technik zur Messung der Proteinkonzentration eines Lebensmittels zu wählen. Wie entscheiden wir, welche Technik für unsere spezielle Anwendung am besten geeignet ist? Als erstes muss festgelegt werden, wofür die Informationen verwendet werden sollen. Soll die Analyse für behördliche Zwecke, z.B. gesetzliche oder kennzeichnungspflichtige Zwecke, durchgeführt werden, ist es wichtig, eine amtlich anerkannte Methode zu verwenden. Die Kjeldahl-Methode und zunehmend auch die Dumas-Methode sind für eine Vielzahl von Lebensmittelanwendungen offiziell zugelassen. Im Gegensatz dazu sind nur wenige Anwendungen der UV-Vis-Spektroskopie offiziell anerkannt.

Zu Zwecken der Qualitätskontrolle ist es oft sinnvoller, schnelle und einfache Messungen des Proteingehalts zu haben, und daher sind IR-Techniken am besten geeignet. Für grundlegende Untersuchungen im Labor, wo oft reine Proteine ​​analysiert werden, werden UV-Vis-spektroskopische Techniken oft bevorzugt, da sie schnelle und zuverlässige Messungen liefern und empfindlich auf niedrige Proteinkonzentrationen reagieren.

Andere Faktoren, die möglicherweise berücksichtigt werden müssen, sind der Umfang der erforderlichen Probenvorbereitung, ihre Empfindlichkeit und ihre Geschwindigkeit. Die Kjeldahl-, Dumas- und IR-Methoden erfordern sehr wenig Probenvorbereitung. Nachdem eine repräsentative Probe des Lebensmittels ausgewählt wurde, kann dieses in der Regel direkt getestet werden. Andererseits erfordern die verschiedenen UV-Vis-Methoden vor der Analyse eine umfangreiche Probenvorbereitung. Das Protein muss aus dem Lebensmittel in eine verdünnte transparente Lösung extrahiert werden, was normalerweise zeitaufwändige Homogenisierung, Lösungsmittelextraktion, Filtration und Zentrifugation erfordert. Darüber hinaus kann es schwierig sein, einige Proteine ​​vollständig aus Lebensmitteln zu isolieren, da sie stark an andere Komponenten gebunden sind. Die verschiedenen Techniken haben auch unterschiedliche Empfindlichkeiten, d. h. die niedrigste Proteinkonzentration, die sie nachweisen können. Die UV-Vis-Methoden sind die empfindlichsten und können Proteinkonzentrationen von nur 0,001 Gew.-% nachweisen. Die Empfindlichkeit der Dumas-, Kjeldahl- und IR-Methoden liegt bei etwa 0,1 Gew.-%. Die pro Analyse benötigte Zeit und die Anzahl der Proben, die gleichzeitig durchgeführt werden können, sind ebenfalls wichtige Faktoren, die bei der Entscheidung für eine Analysetechnik zu berücksichtigen sind. IR-Techniken sind zur schnellen Analyse (< 1 Minute) der Proteinkonzentration in der Lage, sobald sie kalibriert wurden. Die moderne instrumentelle Dumas-Methode ist vollständig automatisiert und kann die Proteinkonzentration einer Probe in weniger als 5 Minuten messen, im Vergleich zur Kjeldahl-Methode, deren Durchführung zwischen 30 Minuten und 2 Stunden dauert. Die verschiedenen UV-Vis-Methoden reichen von wenigen Minuten bis zu einer Stunde (je nach verwendetem Farbstoff und Reaktionszeit), haben jedoch den Vorteil, dass viele Proben gleichzeitig durchgeführt werden können. Dennoch ist in der Regel eine umfangreiche Probenvorbereitung vor der Analyse erforderlich, um eine transparente Lösung zu erhalten. Andere Faktoren, die bei der Auswahl einer geeigneten Technik wichtig sein können, sind: die verfügbare Ausrüstung, die einfache Bedienung, die gewünschte Genauigkeit und ob die Technik zerstörungsfrei ist oder nicht.

6.3. Proteintrennung und Charakterisierung

In der vorangegangenen Vorlesung wurden Techniken zur Bestimmung der Gesamtproteinkonzentration in einem Lebensmittel diskutiert. Lebensmittelanalysten interessieren sich auch oft für die Art der in einem Lebensmittel enthaltenen Proteine, da jedes Protein einzigartige ernährungsphysiologische und physikalisch-chemische Eigenschaften hat. Die Bestimmung des Proteintyps erfolgt üblicherweise durch Abtrennen und Isolieren der einzelnen Proteine ​​aus einem komplexen Proteingemisch, um sie anschließend identifizieren und charakterisieren zu können. Proteine ​​werden aufgrund von Unterschieden in ihren physikalisch-chemischen Eigenschaften wie Größe, Ladung, Adsorptionseigenschaften, Löslichkeit und Hitzestabilität getrennt. Die Wahl einer geeigneten Trenntechnik hängt von einer Reihe von Faktoren ab, einschließlich der Gründe für die Durchführung der Analyse, der verfügbaren Probenmenge, der gewünschten Reinheit, der verfügbaren Ausrüstung, der Art der vorhandenen Proteine ​​und der Kosten. Für rohe Isolierungen großer Proteinmengen stehen Methoden im großen Maßstab zur Verfügung, während für teure oder nur in geringen Mengen verfügbare Proteine ​​Methoden im kleinen Maßstab zur Verfügung stehen. Einer der Faktoren, die während des Trennverfahrens berücksichtigt werden müssen, ist die Möglichkeit, dass die native dreidimensionale Struktur der Proteinmoleküle verändert werden kann.

Ein Vorwissen über die Auswirkungen von Umweltbedingungen auf Proteinstruktur und -interaktionen ist bei der Auswahl der am besten geeigneten Trenntechnik äußerst nützlich. Erstens, weil es hilft, die am besten geeigneten Bedingungen zu bestimmen, um ein bestimmtes Protein aus einer Mischung von Proteinen zu isolieren (z. B. pH, Ionenstärke, Lösungsmittel, Temperatur usw .), und zweitens, weil es wichtig sein kann, Bedingungen zu wählen, die die molekulare Struktur der Proteine ​​nicht nachteilig beeinflussen.

6.3.1. Methoden basierend auf unterschiedlichen Löslichkeitsmerkmalen

Proteine ​​können durch Ausnutzung von Unterschieden in ihrer Löslichkeit in wässrigen Lösungen getrennt werden. Die Löslichkeit eines Proteinmoleküls wird durch seine Aminosäuresequenz bestimmt, da diese seine Größe, Form, Hydrophobie und elektrische Ladung bestimmt. Proteine ​​können selektiv ausgefällt oder solubilisiert werden, indem man den pH-Wert, die Ionenstärke, die Dielektrizitätskonstante oder die Temperatur einer Lösung ändert. Diese Trenntechniken sind bei großen Probenmengen am einfachsten anzuwenden, da sie relativ schnell und kostengünstig sind und nicht besonders von anderen Lebensmittelbestandteilen beeinflusst werden. Sie werden oft als erster Schritt in jedem Trennverfahren verwendet, da der Großteil der kontaminierenden Materialien leicht entfernt werden kann.

Proteine ​​werden aus wässrigen Lösungen ausgefällt, wenn die Salzkonzentration einen kritischen Wert überschreitet, was als Aussalzen bekannt ist, da das gesamte Wasser an die Salze "gebunden" ist und daher nicht zur Hydratisierung der Proteine ​​​​verfügbar ist. Ammoniumsulfat [(NH 4 ) 2 SO 4 ] wird häufig verwendet, da es eine hohe Wasserlöslichkeit besitzt, obwohl auch andere neutrale Salze verwendet werden können, z. B. NaCl oder KCl. Im Allgemeinen wird ein zweistufiges Verfahren verwendet, um die Trenneffizienz zu maximieren. Im ersten Schritt wird das Salz in einer Konzentration zugegeben, die knapp unter der zur Ausfällung des interessierenden Proteins erforderlichen Konzentration liegt. Die Lösung wird dann zentrifugiert, um alle Proteine ​​zu entfernen, die weniger löslich sind als das interessierende Protein. Die Salzkonzentration wird dann auf einen Punkt erhöht, der gerade über dem liegt, der erforderlich ist, um eine Ausfällung des Proteins zu bewirken. Dadurch fällt das interessierende Protein aus (das durch Zentrifugation abgetrennt werden kann), lässt jedoch mehr lösliche Proteine ​​in Lösung. Das Hauptproblem bei diesem Verfahren besteht darin, dass große Salzkonzentrationen die Lösung verunreinigen, die entfernt werden müssen, bevor das Protein wieder aufgelöst werden kann, z. B. durch Dialyse oder Ultrafiltration.

Der isoelektrische Punkt (pI) eines Proteins ist der pH-Wert, bei dem die Nettoladung des Proteins null ist. Proteine ​​neigen dazu, bei ihrem pI zu aggregieren und auszufällen, da keine elektrostatische Abstoßung sie voneinander trennt. Proteine ​​haben aufgrund ihrer unterschiedlichen Aminosäuresequenzen (d. h. relative Anzahl anionischer und kationischer Gruppen) unterschiedliche isoelektrische Punkte und können daher durch Einstellen des pH-Werts einer Lösung getrennt werden. Wenn der pH auf den pI eines bestimmten Proteins eingestellt wird, fällt es aus und lässt die anderen Proteine ​​in Lösung.

Die Löslichkeit eines Proteins hängt von der Dielektrizitätskonstante der es umgebenden Lösung ab, da sich dadurch die Größe der elektrostatischen Wechselwirkungen zwischen geladenen Gruppen ändert. Mit abnehmender Dielektrizitätskonstante einer Lösung nimmt die Größe der elektrostatischen Wechselwirkungen zwischen geladenen Spezies zu. Dies neigt dazu, die Löslichkeit von Proteinen in Lösung zu verringern, da sie weniger ionisiert sind und daher die elektrostatische Abstoßung zwischen ihnen nicht ausreicht, um eine Aggregation zu verhindern. Die Dielektrizitätskonstante wässriger Lösungen kann durch Zugabe von wasserlöslichen organischen Lösungsmitteln wie Ethanol oder Aceton gesenkt werden. Die Menge an organischem Lösungsmittel, die zur Fällung erforderlich ist, hängt vom Protein ab und daher können Proteine ​​auf dieser Grundlage getrennt werden. Die optimale Menge an organischem Lösungsmittel, die zum Ausfällen eines Proteins erforderlich ist, variiert von etwa 5 bis 60 %. Die Lösungsmittelfraktionierung wird normalerweise bei 0 °C oder darunter durchgeführt, um eine Proteindenaturierung zu verhindern, die durch Temperaturerhöhungen verursacht wird, die auftreten, wenn organische Lösungsmittel mit Wasser gemischt werden.

Denaturierung kontaminierender Proteine

Viele Proteine ​​werden denaturiert und fallen aus der Lösung aus, wenn sie über eine bestimmte Temperatur erhitzt werden oder indem eine Lösung auf stark saure oder basische pH-Werte eingestellt wird. Proteine, die bei hohen Temperaturen oder extremen pH-Werten stabil sind, werden mit dieser Technik am einfachsten abgetrennt, da kontaminierende Proteine ​​ausgefällt werden können, während das interessierende Protein in Lösung bleibt.

6.3.2. Trennung aufgrund unterschiedlicher Adsorptionseigenschaften

Die Adsorptionschromatographie beinhaltet die Trennung von Verbindungen durch selektive Adsorptions-Desorption an einer festen Matrix, die in einer Säule enthalten ist, durch die das Gemisch hindurchgeht. Die Trennung basiert auf den unterschiedlichen Affinitäten verschiedener Proteine ​​zur festen Matrix. Affinitäts- und Ionenaustauschchromatographie sind die beiden Hauptarten der Adsorptionschromatographie, die üblicherweise zur Trennung von Proteinen verwendet werden. Die Trennung kann entweder unter Verwendung einer offenen Säule oder einer Hochdruckflüssigkeitschromatographie durchgeführt werden.

Ionenaustauschchromatographie

Die Ionenaustauschchromatographie beruht auf der reversiblen Adsorption-Desorption von Ionen in Lösung an eine geladene feste Matrix oder ein Polymernetzwerk. Diese Technik ist die am häufigsten verwendete chromatographische Technik zur Proteintrennung. Eine positiv geladene Matrix wird Anionenaustauscher genannt, weil sie negativ geladene Ionen (Anionen) bindet. Eine negativ geladene Matrix wird Kationen-Ionenaustauscher genannt, weil sie positiv geladene Ionen (Kationen) bindet. Die Pufferbedingungen (pH und Ionenstärke) werden angepasst, um eine maximale Bindung des interessierenden Proteins an die Ionenaustauschersäule zu begünstigen. Kontaminierende Proteine ​​binden weniger stark und passieren daher schneller die Säule. Das interessierende Protein wird dann unter Verwendung einer anderen Pufferlösung eluiert, die seine Desorption von der Säule begünstigt (z. B. unterschiedlicher pH oder Ionenstärke).

Die Affinitätschromatographie verwendet eine stationäre Phase, die aus einem kovalent an einen festen Träger gebundenen Liganden besteht. Der Ligand ist ein Molekül, das eine hochspezifische und einzigartige reversible Affinität für ein bestimmtes Protein aufweist. Die zu analysierende Probe wird durch die Säule geleitet und das interessierende Protein bindet an den Liganden, während die kontaminierenden Proteine ​​direkt passieren. Das interessierende Protein wird dann unter Verwendung einer Pufferlösung eluiert, die seine Desorption von der Säule begünstigt. Diese Technik ist das effizienteste Mittel, um ein einzelnes Protein aus einem Proteingemisch zu trennen, aber es ist das teuerste, da Säulen mit daran gebundenen spezifischen Liganden benötigt werden.

Sowohl die Ionenaustausch- als auch die Affinitätschromatographie werden häufig verwendet, um Proteine ​​und Aminosäuren im Labor zu trennen. Sie werden weniger häufig für kommerzielle Trennungen verwendet, da sie für die schnelle Trennung großer Volumina nicht geeignet sind und relativ teuer sind.

6.3.3. Trennung aufgrund von Größenunterschieden

Proteine ​​können auch nach ihrer Größe getrennt werden. Typischerweise variieren die Molekulargewichte von Proteinen von etwa 10.000 bis 1.000.000 Dalton. In der Praxis hängt die Trennung eher vom Stokes-Radius eines Proteins als direkt von seinem Molekulargewicht ab. Der Stokes-Radius ist der durchschnittliche Radius, den ein Protein in Lösung hat und hängt von seiner dreidimensionalen Molekülstruktur ab. Für Proteine ​​mit gleichem Molekulargewicht nimmt der Stokes-Radius in der folgenden Reihenfolge zu: kompaktes globuläres Protein < flexibles Random-Coil < stäbchenförmiges Protein.

Die Dialyse wird verwendet, um Moleküle in Lösung unter Verwendung von semipermeablen Membranen zu trennen, die den Durchgang von Molekülen, die kleiner als eine bestimmte Größe sind, erlauben, aber den Durchgang größerer Moleküle verhindern. Eine Proteinlösung wird in einen verschlossenen Dialyseschlauch gegeben und in ein großes Volumen Wasser oder Puffer gegeben, das langsam gerührt wird. Gelöste Stoffe mit niedrigem Molekulargewicht fließen durch den Beutel, aber die Proteinmoleküle mit großem Molekulargewicht verbleiben im Beutel. Die Dialyse ist eine relativ langsame Methode und dauert bis zu 12 Stunden. Es wird daher am häufigsten im Labor verwendet. Dialyse wird häufig verwendet, um Proteinlösungen nach deren Abtrennung durch Aussalzen zu entsalzen und Puffer zu wechseln.

Eine Proteinlösung wird in eine Zelle gegeben, die eine semipermeable Membran enthält, und es wird Druck ausgeübt. Kleinere Moleküle passieren die Membran, während die größeren Moleküle in der Lösung verbleiben. Das Trennprinzip dieser Technik ist daher ähnlich wie bei der Dialyse, aber durch die Anwendung von Druck erfolgt die Trennung viel schneller. Semipermeable Membranen mit Cutoff-Punkten zwischen etwa 500 bis 300.000 stehen zur Verfügung. Der von der Zelle zurückgehaltene Teil der Lösung (große Moleküle) wird als Retentat bezeichnet, während der die Membran passierende Teil (kleine Moleküle) zum Ultrafiltrat gehört. Ultrafiltration kann verwendet werden, um eine Proteinlösung aufzukonzentrieren, Salze zu entfernen, Puffer auszutauschen oder Proteine ​​anhand ihrer Größe zu fraktionieren. Ultrafiltrationsanlagen werden im Labor und im kommerziellen Maßstab eingesetzt.

Größenausschlusschromatographie

Diese Technik, die manchmal auch als Gelfiltration bezeichnet wird, trennt Proteine ​​auch nach ihrer Größe. Eine Proteinlösung wird in eine Säule gegossen, die mit porösen Kügelchen aus einem vernetzten Polymermaterial (wie Dextran oder Agarose) gepackt ist. Moleküle, die größer als die Poren in den Kügelchen sind, werden ausgeschlossen und bewegen sich schnell durch die Säule, wohingegen die Bewegung von Molekülen, die in die Poren eintreten, verzögert wird. Auf diese Weise werden Moleküle in der Reihenfolge abnehmender Größe von der Säule eluiert. Zur Trennung von Proteinen mit unterschiedlichen Molekulargewichten stehen Kügelchen mit unterschiedlicher mittlerer Porengröße zur Verfügung. Die Hersteller dieser Beads geben Auskunft über den Molekulargewichtsbereich, für den sie sich am besten abtrennen lassen. Die Molekulargewichte unbekannter Proteine ​​können durch Vergleich ihrer Elutionsvolumina Vo mit denen bestimmt werden, die unter Verwendung von Proteinen mit bekanntem Molekulargewicht bestimmt wurden: eine Auftragung des Elutionsvolumens gegen log(Molekulargewicht) sollte eine gerade Linie ergeben. Ein Problem bei diesem Verfahren besteht darin, dass das Molekulargewicht bei unterschiedlich geformten Proteinen nicht direkt mit dem Stokes-Radius zusammenhängt.

6.3.4. Trennung durch Elektrophorese

Elektrophorese beruht auf Unterschieden in der Wanderung geladener Moleküle in einer Lösung, wenn ein elektrisches Feld darüber angelegt wird. Es kann verwendet werden, um Proteine ​​auf der Grundlage ihrer Größe, Form oder Ladung zu trennen.

Bei der nicht denaturierenden Elektrophorese wird eine gepufferte Lösung nativer Proteine ​​auf ein poröses Gel (normalerweise Polyacrylamid, Stärke oder Agarose) gegossen und eine Spannung über das Gel angelegt. Die Proteine ​​bewegen sich durch das Gel in eine Richtung, die vom Vorzeichen ihrer Ladung abhängt, und mit einer Geschwindigkeit, die von der Größe der Ladung und der Reibung ihrer Bewegung abhängt:

Proteine ​​können in Lösung abhängig von ihren isoelektrischen Punkten (pI) und dem pH-Wert der Lösung positiv oder negativ geladen sein. Ein Protein ist negativ geladen, wenn der pH-Wert über dem pI liegt, und positiv geladen, wenn der pH-Wert unter dem pI liegt. Die Höhe der Ladung und die angelegte Spannung bestimmen, wie weit Proteine ​​in einer bestimmten Zeit wandern. Je höher die Spannung oder die Ladung des Proteins, desto weiter bewegt es sich. Die Reibung eines Moleküls ist ein Maß für seinen Bewegungswiderstand durch das Gel und wird weitgehend durch das Verhältnis zwischen der effektiven Größe des Moleküls und der Größe der Poren im Gel bestimmt. Je kleiner das Molekül bzw. je größer die Poren im Gel sind, desto geringer ist der Widerstand und desto schneller bewegt sich ein Molekül durch das Gel. Gele mit unterschiedlicher Porosität können von Chemikalienlieferanten bezogen oder im Labor hergestellt werden. Kleinere Porengrößen werden erhalten, indem eine höhere Konzentration an Vernetzungsreagenz verwendet wird, um das Gel zu bilden. Gele können zwischen zwei parallelen Platten oder in zylindrischen Röhrchen enthalten sein. Bei der nicht denaturierenden Elektrophorese werden die nativen Proteine ​​basierend auf einer Kombination ihrer Ladung, Größe und Form getrennt.

Bei der denaturierenden Elektrophorese werden Proteine ​​primär nach ihrem Molekulargewicht getrennt. Proteine ​​werden vor der Analyse denaturiert, indem sie mit Mercaptoethanol, das Disulfidbrücken abbaut, und Natriumdodecylsulfat (SDS), einem anionischen Tensid, das hydrophob an Proteinmoleküle bindet und diese aufgrund der Abstoßung zwischen negativ geladenen Tensiden entfaltet, gemischt werden Kopf-Gruppen. Jedes Proteinmolekül bindet ungefähr die gleiche Menge an SDS pro Längeneinheit. Daher ist die Ladung pro Längeneinheit und die molekulare Konformation für alle Proteine ​​ungefähr gleich. Während Proteine ​​durch ein Gelnetzwerk wandern, werden sie hauptsächlich nach ihrem Molekulargewicht getrennt, da ihre Bewegung von der Größe des Proteinmoleküls im Verhältnis zur Größe der Poren im Gel abhängt: kleinere Proteine ​​bewegen sich schneller durch die Matrix als größere Moleküle. Diese Art der Elektrophorese wird allgemein als Natriumdodecylsulfat-Polyacrylamid-Gelelektrophorese oder SDS-PAGE bezeichnet.

Um zu bestimmen, wie weit sich Proteine ​​​​bewegt haben, wird der Proteinlösung ein Tracking-Farbstoff zugesetzt, z. B. Bromphenolblau. Dieser Farbstoff ist ein kleines geladenes Molekül, das vor den Proteinen wandert. Nach Abschluss der Elektrophorese werden die Proteine ​​sichtbar gemacht, indem das Gel mit einem Proteinfarbstoff wie Coomassie Brilliant Blue oder Silberfärbung behandelt wird. Die relative Mobilität jeder Proteinbande wird berechnet:

Elektrophorese wird häufig verwendet, um die Proteinzusammensetzung von Lebensmitteln zu bestimmen. Das Protein wird aus der Nahrung in Lösung extrahiert, die dann mittels Elektrophorese aufgetrennt wird. SDS-PAGE wird verwendet, um das Molekulargewicht eines Proteins zu bestimmen, indem R m gemessen wird und es dann mit einer Eichkurve verglichen wird, die unter Verwendung von Proteinen mit bekanntem Molekulargewicht erstellt wurde: eine Auftragung von log (Molekulargewicht) gegen die relative Mobilität ist normalerweise linear. Die denaturierende Elektrophorese ist für die Bestimmung von Molekulargewichten nützlicher als die nicht-denaturierende Elektrophorese, da die Reibung bei der Bewegung nicht von der Form oder ursprünglichen Ladung der Proteinmoleküle abhängt.

Isoelektrische fokussierende Elektrophorese

Diese Technik ist eine Modifikation der Elektrophorese, bei der Proteine ​​durch Ladung auf einer Gelmatrix getrennt werden, die einen pH-Gradienten aufweist. Proteine ​​wandern zu der Stelle, an der der pH-Wert ihrem isoelektrischen Punkt entspricht, und hören dann auf, sich zu bewegen, weil sie nicht mehr geladen sind. Diese Methode hat eine der höchsten Auflösungen aller Techniken, die zur Trennung von Proteinen verwendet werden. Es stehen Gele zur Verfügung, die einen engen pH-Bereich (2-3 Einheiten) oder einen breiten pH-Bereich (3-10 Einheiten) abdecken und man sollte daher ein Gel auswählen, das für die aufzutrennenden Proteine ​​am besten geeignet ist.

Zweidimensionale Elektrophorese

Isoelektrische Fokussierung und SDS-PAGE können zusammen verwendet werden, um die Auflösung komplexer Proteingemische zu verbessern. Proteine ​​werden mit isoelektrischer Fokussierung in eine Richtung auf der Basis der Ladung und dann in einer senkrechten Richtung auf der Basis der Größe mit SDS-PAGE getrennt.


Ermächtigung

Einer der heutigen Ansätze zur Motivation von Mitarbeitern durch Arbeitsplatzgestaltung ist Empowerment. Das Konzept des Empowerments erweitert den Begriff der Autonomie. Empowerment kann als die Beseitigung von Bedingungen definiert werden, die eine Person machtlos machen (Conger & Kanugo, 1988). Die Idee hinter Empowerment ist, dass Mitarbeiter die Fähigkeit haben, Entscheidungen zu treffen und ihre Aufgaben effektiv auszuführen, wenn das Management bestimmte Barrieren beseitigt. Anstatt Rollen zu diktieren, sollten Unternehmen daher ein Umfeld schaffen, in dem Mitarbeiter gedeihen, sich motiviert fühlen und Entscheidungen über Inhalt und Kontext ihrer Arbeit treffen können. Mitarbeiter, die sich gestärkt fühlen, glauben, dass ihre Arbeit sinnvoll ist. Sie neigen dazu, zu glauben, dass sie in der Lage sind, ihre Aufgaben effektiv zu erfüllen, haben die Möglichkeit, Einfluss auf die Geschäftstätigkeit des Unternehmens zu nehmen und können ihre Aufgaben nach eigenem Ermessen und ohne strenge Überwachung und andere Eingriffe ausführen. Diese Freiheiten ermöglichen es den Mitarbeitern, sich mächtig zu fühlen (Spreitzer, 1995, Thomas & Velthouse, 1990). Bei sehr hohem Empowerment entscheiden die Mitarbeiter selbst, welche Aufgaben und wie sie diese erfüllen, gewissermaßen sich selbst verwalten.

Die Forschung hat unterschieden zwischen strukturell Elemente der Ermächtigung und fühlte Ermächtigung. Strukturelles Empowerment bezieht sich auf die Aspekte des Arbeitsumfelds, die den Mitarbeitern Diskretion, Autonomie und die Fähigkeit geben, ihre Arbeit effektiv zu erledigen. Die Idee ist, dass das Vorhandensein bestimmter struktureller Faktoren dazu beiträgt, Menschen zu stärken, aber am Ende ist Empowerment eine Wahrnehmung. Die folgende Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen struktureller und gefühlter Ermächtigung. Bei der Harley-Davidson Motor Company haben die Mitarbeiter beispielsweise die Befugnis, die Produktionslinie zu stoppen, wenn sie einen Makel am Produkt sehen (Lustgarten, 2004). Der Führungsstil ist ein weiterer Einfluss auf die erfahrene Ermächtigung (Kark, Shamir & Chen, 2003). Wenn der Manager kontrollierend, mikromanagend und herrisch ist, besteht die Möglichkeit, dass Ermächtigung nicht möglich ist. Auch die Unternehmensstruktur spielt eine Rolle bei der Bestimmung der Befähigung. Teams, die in Teams organisiert sind, wie das Saturn-Werk der General Motors Corporation, können ihre Mitarbeiter trotz einer traditionellen Hierarchie immer noch stärken (Ford & Fottler, 1995). Der Zugang zu Informationen wird oft als Schlüsselfaktor für die Befähigung der Mitarbeiter genannt. Wenn Mitarbeiter keine Informationen erhalten, um eine fundierte Entscheidung zu treffen, werden Versuche zur Ermächtigung scheitern. Daher ist die Beziehung zwischen Zugang zu Informationen und Empowerment gut etabliert. Schließlich kann die Befähigung einzelner Mitarbeiter nicht in einer Blase erfolgen, sondern hängt vielmehr davon ab, ein Klima der Befähigung in der gesamten Organisation zu schaffen (Seibert, Silver, & Randolph, 2004).

Der Ermächtigungsprozess beginnt mit einer Struktur, die zu einer gefühlten Ermächtigung führt.

Quelle: Basierend auf den Ideen in Seibert, S. E., Silver, S. R., & Randolph, W. A. ​​(2004). Empowerment auf die nächste Stufe heben: Ein mehrstufiges Modell für Empowerment, Leistung und Zufriedenheit. Zeitschrift der Akademie für Management, 47, 332–349 Spreitzer, G.M. (1995). Psychologisches Empowerment am Arbeitsplatz: Dimensionen, Messung und Validierung. Zeitschrift der Akademie für Management, 38, 1442–1465 Spreitzer, G.M. (1996). Sozialstrukturelle Merkmale psychologischen Empowerments. Zeitschrift der Akademie für Management, 39, 483–504.

Die Befähigung der Mitarbeiter ist für Unternehmen in der Regel von Vorteil, da sie mit Ergebnissen wie der Innovationskraft der Mitarbeiter, der Effektivität des Managements, dem Engagement der Mitarbeiter für die Organisation, der Kundenzufriedenheit, der Arbeitsleistung und Verhaltensweisen zusammenhängt, von denen das Unternehmen und andere Mitarbeiter profitieren (Ahearne, Mathieu, & Rapp, 2005 Alge et al., 2006 Chen et al., 2007 Liden, Wayne & Sparrowe, 2000 Spreitzer, 1995). Gleichzeitig ist Empowerment nicht unbedingt für alle Mitarbeiter geeignet. Personen mit geringer Wachstumskraft oder geringem Leistungsbedarf profitieren möglicherweise nicht so stark von Empowerment. Darüber hinaus ist die Idee der Ermächtigung nicht immer einfach umzusetzen, da sich einige Führungskräfte bedroht fühlen, wenn Untergebene ermächtigt werden. Wenn sich Mitarbeiter nicht bereit für eine Stärkung fühlen, machen sie sich möglicherweise auch Sorgen über die erhöhte Verantwortung und Rechenschaftspflicht. Daher ist es für den Erfolg von Empowerment-Maßnahmen wichtig, Mitarbeiter durch sorgfältige Auswahl und Schulung auf Empowerment vorzubereiten.

OB Toolbox: Tipps zur Stärkung der Mitarbeiter

  • Ändern Sie die Unternehmensstruktur, damit die Mitarbeiter mehr Einfluss auf ihre Arbeit haben. Wenn Arbeitsplätze stark von organisatorischen Abläufen kontrolliert werden oder jede noch so kleine Entscheidung von einem Vorgesetzten genehmigt werden muss, werden sich die Mitarbeiter kaum befähigt fühlen. Geben Sie ihnen Diskretion bei der Arbeit.
  • Geben Sie Mitarbeitern Zugang zu Informationen über Dinge, die ihre Arbeit betreffen. Wenn Mitarbeiter über die Informationen verfügen, die sie benötigen, um ihre Arbeit gut zu erledigen und die Unternehmensziele, -prioritäten und -strategien zu verstehen, können sie sich besser gestärkt fühlen.
  • Stellen Sie sicher, dass die Mitarbeiter wissen, wie sie ihre Arbeit ausführen müssen. Dazu gehört die Auswahl der richtigen Mitarbeiter sowie Investitionen in Weiterbildung und Entwicklung.
  • Nehmen Sie den Mitarbeitern nicht die Macht weg. Wenn jemand eine Entscheidung trifft, lassen Sie sie stehen, es sei denn, sie bedroht das gesamte Unternehmen. Wenn das Management regelmäßig Entscheidungen von Mitarbeitern rückgängig macht, werden die Mitarbeiter nicht an die Aufrichtigkeit der Empowerment-Initiative glauben.
  • Schaffen Sie ein Klima der Befähigung, in dem Manager nicht routinemäßig eingreifen und übernehmen. Glauben Sie stattdessen an die Macht der Mitarbeiter, die genauesten Entscheidungen zu treffen, solange sie mit den relevanten Fakten und Ressourcen ausgestattet sind.

Quellen: Nach Ideen in Forrester, R. (2000). Empowerment: Eine starke Idee verjüngen. Akademie der Management-Führungskräfte, 14, 67–79 Spreitzer, G.M. (1996). Sozialstrukturelle Merkmale psychologischen Empowerments. Zeitschrift der Akademie für Management, 39, 483–504.

Schlüssel zum Mitnehmen

Die Berufsspezialisierung ist der früheste Ansatz zur Arbeitsplatzgestaltung, der ursprünglich durch die Arbeit von Frederick Taylor beschrieben wurde. Berufliche Spezialisierung ist effizient, führt aber zu Langeweile und Monotonie. Frühe Alternativen zur Jobspezialisierung sind Jobrotation, Joberweiterung und Job Enrichment. Die Forschung zeigt, dass es fünf Jobkomponenten gibt, die das Motivationspotenzial eines Jobs erhöhen: Kompetenzvielfalt, Aufgabenidentität, Aufgabenbedeutung, Autonomie und Feedback. Empowerment schließlich ist eine zeitgemäße Art, Mitarbeiter durch Job-Design zu motivieren. Diese Ansätze erhöhen die Motivation der Mitarbeiter und haben das Potenzial, die Leistung zu steigern.


Rotation, Joberweiterung und Bereicherung

Eine der frühen Alternativen zur beruflichen Spezialisierung war die Jobrotation. Bei der Jobrotation werden Mitarbeiter in regelmäßigen Abständen von Job zu Job versetzt. Wenn Mitarbeiter periodisch in andere Jobs wechseln, können die monotonen Aspekte der Jobspezialisierung entlastet werden. Beispielsweise nutzt Maids International Inc., ein Unternehmen, das Reinigungsdienste für Haushalte und Unternehmen anbietet, Job-Rotation, so dass Dienstmädchen, die die Küche in einem Haus reinigen, das Schlafzimmer in einem anderen Haus reinigen (Denton, 1994). Unter anderem mit dieser Technik ist das Unternehmen in der Lage, seinen Umsatz zu reduzieren. In einer Supermarktstudie wurden Kassiererinnen rotiert, um in verschiedenen Abteilungen zu arbeiten. Durch die Rotation wurde der Stresslevel der Mitarbeiter, gemessen am Blutdruck, reduziert. Darüber hinaus verspürten sie weniger Schmerzen im Nacken- und Schulterbereich (Rissen et al., 2002).

Job Rotation hat eine Reihe von Vorteilen für Unternehmen. Es ist ein effektiver Weg für Mitarbeiter, neue Fähigkeiten zu erwerben, und wiederum für Unternehmen, das allgemeine Qualifikationsniveau ihrer Mitarbeiter zu erhöhen (Campion, Cheraskin, & Stevens, 1994). Wenn Mitarbeiter in andere Positionen wechseln, werden sie für die Ausführung verschiedener Aufgaben geschult, wodurch die Flexibilität der Manager erhöht wird, Mitarbeiter bei Bedarf unterschiedlichen Teilen des Unternehmens zuzuweisen. Darüber hinaus ist Jobrotation eine Möglichkeit, Wissen zwischen Abteilungen zu übertragen (Kane, Argote, & Levine, 2005). Rotation kann auch den Vorteil haben, die Langeweile der Mitarbeiter zu reduzieren, abhängig von der Art der Arbeit, die der Mitarbeiter zu einem bestimmten Zeitpunkt ausführt. Aus Sicht der Mitarbeiter ist Rotation ein Vorteil, weil sie sich neue Fähigkeiten aneignen, die sie langfristig marktfähig halten.

Wird Rotation nur auf niedrigeren Ebenen einer Organisation verwendet? Anekdotische Belege deuten darauf hin, dass Unternehmen erfolgreich hochrangige Mitarbeiter wechseln, um Manager zu schulen und die Innovation im Unternehmen zu steigern. Nokia nutzt zum Beispiel Rotation auf allen Ebenen, indem beispielsweise Anwälte als Country Manager fungieren oder Netzwerkingenieure zum Design von Mobiltelefonen verlagert werden. Dieser Ansatz soll eine neue Perspektive auf alte Probleme bringen (Wylie, 2003).Wipro Ltd., Indiens Informationstechnologieriese, der etwa 80.000 Mitarbeiter beschäftigt, verwendet einen 3-Jahres-Plan, um zukünftige Führungskräfte des Unternehmens durch Rotation durch verschiedene Jobs auszubilden (Ramamurti, 2001).

Joberweiterung bezieht sich auf die Erweiterung der Aufgaben der Mitarbeiter, um mehr Abwechslung zu schaffen. Indem sie ihren Mitarbeitern mehrere verschiedene Aufgaben übertragen, anstatt ihre Aktivitäten auf eine kleine Anzahl von Aufgaben zu beschränken, hoffen Unternehmen, Langeweile und Monotonie zu reduzieren und die Humanressourcen effektiver einzusetzen. Job-Erweiterung kann ähnliche Vorteile wie Job-Rotation haben, da sie den Mitarbeitern auch mehrere Aufgaben beibringen kann. Untersuchungen haben ergeben, dass Arbeitnehmer sich bei einer Ausweitung von Arbeitsplätzen als in der Lage sehen, ein breiteres Aufgabenspektrum zu erfüllen (Parker, 1998). Es gibt einige Belege dafür, dass eine Arbeitsplatzerweiterung von Vorteil ist, da sie positiv mit der Mitarbeiterzufriedenheit und einem hochwertigeren Kundenservice zusammenhängt und die Wahrscheinlichkeit erhöht, Fehler zu erkennen (Campion & McClelland, 1991). Gleichzeitig können die Auswirkungen der Arbeitsplatzerweiterung von der Art der Erweiterung. Beispielsweise hatte eine Arbeitsplatzerweiterung, die aus sehr einfachen Aufgaben bestand, negative Auswirkungen auf die Zufriedenheit der Mitarbeiter mit der Arbeit und führte dazu, dass weniger Fehler erkannt wurden. Alternativ schien es positivere Auswirkungen zu haben, den Mitarbeitern mehr Aufgaben zu übertragen, die von ihnen Kenntnisse in verschiedenen Bereichen erfordern (Campion & McClelland, 1993).

Job Enrichment ist eine Technik zur Neugestaltung von Arbeitsplätzen, die Mitarbeitern mehr Kontrolle darüber gibt, wie sie ihre eigenen Aufgaben ausführen. Dieser Ansatz ermöglicht den Mitarbeitern, mehr Verantwortung zu übernehmen. Als Alternative zur Arbeitsplatzspezialisierung können Unternehmen, die Arbeitsplatzanreicherung einsetzen, positive Ergebnisse wie geringere Fluktuation, höhere Produktivität und weniger Fehlzeiten erzielen (McEvoy & Cascio, 1985, Locke, Sirota, & Wolfson, 1976). Dies kann daran liegen, dass Mitarbeiter, die die Autorität und Verantwortung für ihre Arbeit haben, effizienter arbeiten, unnötige Aufgaben eliminieren, Abkürzungen nehmen und ihre Gesamtleistung steigern können. Gleichzeitig gibt es Hinweise darauf, dass die Bereicherung des Arbeitsplatzes manchmal bei bestimmten Angestellten zu Unzufriedenheit führen kann (Locke, Sirota, & Wolfson, 1976). Der Grund dafür kann sein, dass Mitarbeiter, denen zusätzliche Autonomie und Verantwortung zugesprochen wird, möglicherweise ein höheres Gehaltsniveau oder andere Arten von Vergütung erwarten, und wenn diese Erwartung nicht erfüllt wird, können sie frustriert sein. Eine weitere Sache, an die man sich erinnern sollte, ist, dass die berufliche Bereicherung nicht für jeden geeignet ist (Chherrington & Lynn, 1980 Hulin & Blood, 1968). Nicht alle Mitarbeiter möchten die Kontrolle über ihre Arbeitsweise haben, und wenn sie diesen Wunsch nicht haben, können sie von einem bereicherten Job frustriert werden.


Schau das Video: Factoring, Vor- u. Nachteile (Januar 2022).