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4.3: Problemlösung

4.3: Problemlösung


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In früheren Mathematikkursen sind Sie zweifellos auf die berüchtigten „Wortprobleme“ gestoßen. Leider ähneln diese Probleme selten den Problemen, denen wir im Alltag tatsächlich begegnen. Im wirklichen Leben erfordert die Problemlösung die Identifizierung einer geeigneten Formel oder eines geeigneten Verfahrens und die Bestimmung, welche Informationen Sie benötigen (und nicht benötigen), um die Frage zu beantworten.

In diesem Kapitel werden wir einige grundlegende, aber wirkungsvolle algebraische Ideen besprechen: Prozentsätze, Raten und Proportionen. Wir werden uns dann auf den Problemlösungsprozess konzentrieren und untersuchen, wie wir diese Ideen nutzen können, um Probleme zu lösen, bei denen wir keine perfekten Informationen haben.

Prozente

In den Debatten um die Vizepräsidentschaft von 2004 behauptete Edwards, dass die US-Streitkräfte „90% der Opfer der Koalition“ im Irak erlitten hätten. Cheney bestritt dies und sagte, dass irakische Sicherheitskräfte und Verbündete der Koalition „fast 50 Prozent“ der Opfer belastet hätten.[1] Wer hat Recht? Wie können wir diese Zahlen verstehen?

Prozent bedeutet wörtlich „pro 100“ oder „Teile pro Hundert“. Wenn wir 40% schreiben, entspricht dies dem Bruch oder die Dezimalzahl 0,40. Beachten Sie, dass 80 von 200 und 10 von 25 ebenfalls 40 % sind, da .

Beispiel 1

243 von 400 Menschen geben an, dass sie Hunde mögen. Wie viel Prozent ist das?

Lösung

. Dies sind 60,75 %.

Beachten Sie, dass der Prozentwert aus der entsprechenden Dezimalstelle ermittelt werden kann, indem Sie den Dezimalpunkt um zwei Stellen nach rechts verschieben.

Beispiel 2

Schreiben Sie jeweils in Prozent:

  1. 0.02
  2. 2.35

Lösungen

  1. = 25%
  2. 0.02 = 2%
  3. 2.35 = 235%

Prozent

Wenn wir eine haben Teil das ist etwas Prozent von a ganze, dann , oder gleichwertig,.

Um die Berechnungen durchzuführen, schreiben wir den Prozentsatz als Dezimalzahl.

Beispiel 3

Die Umsatzsteuer in einer Stadt beträgt 9,4%. Wie viel Steuern zahlen Sie bei einem Kauf von 140 US-Dollar?

Lösung

Hier sind 140 $ das Ganze, und wir möchten 9,4 % finden. von 140 $. Wir beginnen damit, den Prozentsatz als Dezimalzahl zu schreiben, indem wir den Dezimalpunkt um zwei Stellen nach links verschieben (was einer Division durch 100 entspricht). Wir können dann berechnen: Steuer = 0,094(140) = 13,16 $ Steuer.

Beispiel 4

In den Nachrichten heißt es: „Die Studiengebühren sollen nächstes Jahr um 7 % steigen“. Wenn die Studiengebühren in diesem Jahr 1200 US-Dollar pro Quartal betragen würden, was werden sie im nächsten Jahr sein?

Lösung

Die Studiengebühren im nächsten Jahr sind die aktuellen Studiengebühren plus 7% zusätzlich, also 107% der diesjährigen Studiengebühren: 1200 USD (1,07) = 1284 USD.

Alternativ hätten wir zuerst 7% von 1200 US-Dollar berechnen können: 1200 US-Dollar (0,07) = 84 US-Dollar.

Beachten Sie, dass dies nicht die voraussichtlichen Studiengebühren für nächstes Jahr (können wir uns nur wünschen). Stattdessen ist dies die erwartete erhöhen, ansteigen, um die erwarteten Studiengebühren zu berechnen, müssen wir diese Änderung zu den Studiengebühren des Vorjahres hinzufügen: 1200 USD + 84 USD = 1284 USD.

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Ein Fernseher mit einem ursprünglichen Preis von 799 US-Dollar wird mit einem Rabatt von 30 % angeboten. Es fallen dann 9,2 % Umsatzsteuer an. Finden Sie den Preis nach Berücksichtigung des Rabatts und der Umsatzsteuer.

Beispiel 5

Der Wert eines Autos ist im letzten Jahr von 7400 auf 6800 Dollar gefallen. Um wie viel Prozent sinkt das?

Lösung

Um die prozentuale Änderung zu berechnen, müssen wir zuerst die Dollarwertänderung ermitteln: 6800 $ – 7400 $ = – 600 $. Oft nehmen wir den absoluten Wert dieses Betrags, der als bezeichnet wird absolute Veränderung: |–600| = 600.

Da wir die Abnahme relativ zum Startwert berechnen, berechnen wir diesen Prozentsatz aus 7400 $:

8,1% Rückgang. Dies nennt man a relative Änderung.

Absolute und relative Veränderung

Bei zwei Mengen,

Absolute Änderung =

Relative Veränderung:

Die absolute Änderung hat die gleichen Einheiten wie die ursprüngliche Menge.

Die relative Änderung ergibt eine prozentuale Änderung.

Die Startmenge heißt Base der prozentualen Änderung.

Die Basis eines Prozents ist sehr wichtig. Während Nixon Präsident war, wurde beispielsweise argumentiert, dass Marihuana eine „Einstiegsdroge“ sei, und behauptete, dass 80% der Marihuanaraucher härtere Drogen wie Kokain konsumierten. Das Problem ist, das stimmt nicht. Die wahre Behauptung ist, dass 80% der härteren Drogenkonsumenten zuerst Marihuana geraucht haben. Der Unterschied ist ein grundlegender: 80 % der Marihuanaraucher konsumieren harte Drogen, im Vergleich zu 80 % der Konsumenten harter Drogen haben Marihuana geraucht. Diese Zahlen sind nicht äquivalent. Wie sich herausstellt, nimmt nur einer von 2.400 Marihuanakonsumenten tatsächlich härtere Drogen.[2]

Beispiel 6

In den USA gibt es etwa 75 QFC-Supermärkte. Albertsons hat etwa 215 Geschäfte. Vergleichen Sie die Größe der beiden Unternehmen.

Lösung

Wenn wir Vergleiche anstellen, müssen wir zuerst fragen, ob es sich um einen absoluten oder einen relativen Vergleich handelt. Die absolute Differenz beträgt 215 – 75 = 140. Daraus könnten wir sagen: „Albertsons hat 140 Geschäfte mehr als QFC.“ Wenn Sie dies jedoch in einem Artikel oder einer Zeitung geschrieben haben, bedeutet diese Zahl nicht viel. Der relative Unterschied kann aussagekräftiger sein. Es gibt zwei verschiedene relative Änderungen, die wir berechnen könnten, je nachdem, welches Geschäft wir als Basis verwenden:

Mit QFC als Basis, .

Dies sagt uns, dass Albertsons 186,7% größer ist als QFC.

Mit Albertsons als Basis,.

Dies sagt uns, dass QFC 65,1% kleiner ist als Albertsons.

Beachten Sie, dass beide Prozentsätze anzeigen Unterschiede. Wir könnten auch die Größe von Albertsons relativ zu QFC berechnen:, was uns sagt, dass Albertsons 2,867 mal so groß ist wie QFC. Ebenso könnten wir die Größe von QFC relativ zu Albertsons berechnen:, was uns sagt, dass QFC 34,9% der Größe von Albertsons beträgt.

Beispiel 7

Angenommen, eine Aktie verliert in einer Woche um 60 % an Wert und steigt dann in der nächsten Woche um 75 %. Ist der Wert höher oder niedriger als am Anfang?

Lösung

Um diese Frage zu beantworten, nehmen wir an, dass der Wert bei 100 $ beginnt. Nach einer Woche fiel der Wert um 60 %: 100 $ – 100 $ (0,60) = 100 $ – 60 $ = 40 $.

Beachten Sie in der nächsten Woche, dass sich die Basis des Prozents auf den neuen Wert von $40 geändert hat. Berechnung der 75%igen Steigerung: 40 $ + 40 $ (0,75) = 40 $ + 30 $ = 70 $.

Am Ende ist die Aktie immer noch 30 $ niedriger, oder, = 30% niedriger, bewertet als zu Beginn.

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Die US-Bundesverschuldung betrug Ende 2001 5,77 Billionen US-Dollar und wuchs bis Ende 2002 auf 6,20 Billionen US-Dollar. Ende 2005 betrug sie 7,91 Billionen US-Dollar und stieg bis Ende 2006 auf 8,45 Billionen US-Dollar.[3] Berechnen Sie den absoluten und relativen Anstieg für 2001–2002 und 2005–2006. In welchem ​​Jahr stieg die Staatsverschuldung stärker an?

Beispiel 8

Ein Artikel der Seattle Times über High-School-Abschlussquoten berichtete: „Die Zahl der Schulen mit 60 Prozent oder weniger Absolventen in vier Jahren – manchmal auch als „Abbrecherfabriken“ bezeichnet – ist in diesem Zeitraum um 17 zurückgegangen. Die Zahl der Kinder, die Schulen mit so niedrigen Abschlussquoten besuchen, wurde halbiert.“

  1. Ist die Zahl „Abnahme um 17“ ein sinnvoller Vergleich?
  2. Können wir aus dem letzten Satz schließen, dass die Zahl der „Aussteigerfabriken“ ursprünglich 34 betrug?

Lösung

  1. Diese Zahl ist schwer zu bewerten, da wir keine Grundlage haben, um zu beurteilen, ob es sich um eine größere oder kleine Änderung handelt. Wenn die Zahl der „Aussteigerfabriken“ von 20 auf 3 sinken würde, wäre das eine sehr bedeutende Veränderung, aber wenn die Zahl von 217 auf 200 sinken würde, wäre das weniger eine Verbesserung.
  2. Der letzte Satz bietet eine relative Änderung, die hilft, den ersten Satz in die richtige Perspektive zu rücken. Wir können schätzen, dass die Zahl der „Abbrecherfabriken“ früher wahrscheinlich bei 34 lag. Es ist jedoch möglich, dass die Schüler einfach die Schule wechselten, anstatt die Schule zu verbessern, sodass diese Schätzung möglicherweise nicht ganz korrekt ist.

Beispiel 9

In den Debatten um die Vizepräsidentschaft von 2004 behauptete Edwards, dass die US-Streitkräfte „90% der Opfer der Koalition“ im Irak erlitten hätten. Cheney bestritt dies und sagte, dass irakische Sicherheitskräfte und Verbündete der Koalition „fast 50 Prozent“ der Opfer belastet hätten. Wer hat Recht?

Lösung

Ohne weitere Informationen ist es für uns schwer zu beurteilen, wer Recht hat, aber wir können leicht den Schluss ziehen, dass diese zwei Prozent über verschiedene Dinge sprechen, sodass das eine nicht unbedingt dem anderen widerspricht. Edwards Behauptung war ein Prozent mit Koalitionskräften als Basis des Prozents, während Cheneys Behauptung ein Prozent war, wobei sowohl die Koalition als auch die irakischen Sicherheitskräfte als Basis des Prozents verwendet wurden. Es stellt sich heraus, dass beide Statistiken tatsächlich ziemlich genau sind.

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Bei den Präsidentschaftswahlen 2012 argumentierte ein Kandidat, dass „der Plan des Präsidenten Medicare um 716 Milliarden US-Dollar kürzen wird, was zu weniger Dienstleistungen für Senioren führt“, während der andere Kandidat widerlegt, dass „unser Plan die laufenden Ausgaben nicht kürzt und tatsächlich die Vorteile für Senioren erweitert. bei der Umsetzung von Kosteneinsparungsmaßnahmen.“ Sind diese Behauptungen widersprüchlich, übereinstimmend oder nicht vergleichbar, weil sie über verschiedene Dinge sprechen?

Wir schließen unsere Überprüfung der Prozentsätze mit ein paar Vorsichtsmaßnahmen ab. Wenn wir zunächst von einer Änderung von Größen sprechen, die bereits in Prozent gemessen werden, müssen wir vorsichtig sein, wie wir die Änderung beschreiben.

Beispiel 10

Die Unterstützung eines Politikers steigt von 40 % der Wähler auf 50 % der Wähler. Beschreiben Sie die Änderung.

Lösung

Wir könnten dies mit einer absoluten Änderung beschreiben: . Beachten Sie, dass diese Änderung auch die Einheiten Prozent enthält, da die ursprünglichen Mengen Prozent waren. In diesem Fall ist es am besten, dies als eine Zunahme von 10 . zu beschreiben Prozentpunkte.

Im Gegensatz dazu könnten wir die prozentuale Änderung berechnen: erhöhen, ansteigen. Dies ist die relative Veränderung, und wir würden sagen, dass die Unterstützung der Politiker um 25 % zugenommen hat.

Zuletzt noch eine Warnung vor der Mittelwertbildung.

Beispiel 11

Ein Basketballspieler erzielt bei 40% der 2-Punkte-Field-Goal-Versuche und bei 30% der 3-Punkte-Field-Goal-Versuche. Ermitteln Sie den gesamten Field Goal-Prozentsatz des Spielers.

Lösung

Es ist sehr verlockend, diese Werte zu mitteln und zu behaupten, dass der Gesamtdurchschnitt 35% beträgt, aber dies ist wahrscheinlich nicht richtig, da die meisten Spieler viel mehr 2-Punkte-Versuche als 3-Punkte-Versuche machen. Wir haben nicht genug Informationen, um die Frage zu beantworten. Angenommen, der Spieler hat 200 2-Punkte-Field Goals und 100 3-Punkte-Field Goals versucht. Dann machten sie 200 (0,40) = 80 2-Punkte-Schüsse und 100 (0,30) = 30 3-Punkte-Schüsse. Insgesamt machten sie 110 von 300 Schüssen, für a der gesamte Field Goal-Prozentsatz.

Proportionen und Preise

Wenn Sie die Stadt Seattle mit Windkraft versorgen möchten, wie viele Windmühlen müssten Sie installieren? Fragen wie diese können mit Raten und Proportionen beantwortet werden.

Preise

Eine Rate ist das Verhältnis (Bruchteil) zweier Größen.

EIN Gebührensatz ist ein Kurs mit dem Nenner eins.

Beispiel 12

Ihr Auto kann mit einem Tank von 15 Gallonen 300 Meilen fahren. Drücken Sie dies als Preis aus.

Lösung

Ausgedrückt als Preis, . Wir können dividieren, um einen Einheitssatz zu finden:, was wir auch schreiben könnten als, oder nur 20 Meilen pro Gallone.

Verhältnisgleichung

Eine Proportionsgleichung ist eine Gleichung, die die Äquivalenz zweier Raten oder Verhältnisse zeigt.

Beispiel 13

Löse den Anteil für den unbekannten Wert x.

Lösung

Dieser Anteil fordert uns auf, einen Bruch mit Nenner 6 zu finden, der dem Bruch entspricht. Wir können dies lösen, indem wir beide Seiten der Gleichung mit 6 multiplizieren, was .

Beispiel 14

Ein Kartenmaßstab gibt an, dass ½ Zoll auf der Karte 3 echten Meilen entspricht. Wie viele Meilen sind zwei Städte voneinander entfernt? Zoll auseinander auf der Karte?

Lösung

Wir können einen Anteil aufstellen, indem wir gleich zwei setzen und Einführung einer variablen, x, um die unbekannte Größe darzustellen – die Meilenentfernung zwischen den Städten.

Viele Proportionsprobleme können auch mit gelöst werden Dimensionsanalyse, der Vorgang, bei dem eine Menge mit Raten multipliziert wird, um die Einheiten zu ändern.

Beispiel 15

Ihr Auto kann mit einem Tank von 15 Gallonen 300 Meilen fahren. Wie weit kann es mit 40 Gallonen fahren?

Lösung

Diese Frage könnten wir sicherlich mit einer Proportion beantworten: .

Wir haben jedoch früher festgestellt, dass 300 Meilen auf 15 Gallonen eine Rate von 20 Meilen pro Gallone ergeben. Wenn wir die gegebene 40-Gallonen-Menge mit dieser Rate multiplizieren, ist die Gallonen Einheit "storniert" und wir haben eine Anzahl von Meilen:

Beachten Sie, ob wir stattdessen gefragt wurden: "Wie viele Gallonen werden benötigt, um 80 Meilen zu fahren?" Wir könnten diese Frage beantworten, indem wir die 20-Meilen-pro-Gallonen-Rate so umkehren, dass die Meilen Einheit bricht ab und wir haben Gallonen:

Dimensionsanalyse kann auch verwendet werden, um Einheitenumrechnungen durchzuführen. Hier sind einige Einheitenumrechnungen als Referenz.

Einheitenumrechnungen

Länge

1 Fuß (ft) = 12 Zoll (Zoll)1 Yard (yd) = 3 Fuß (ft)
1 Meile = 5.280 Fuß
1000 Millimeter (mm) = 1 Meter (m)100 Zentimeter (cm) = 1 Meter
1000 Meter (m) = 1 Kilometer (km)2,54 Zentimeter (cm) = 1 Zoll

Gewicht und Masse

1 Pfund (lb) = 16 Unzen (oz)1 Tonne = 2000 Pfund
1000 Milligramm (mg) = 1 Gramm (g)1000 Gramm = 1 Kilogramm (kg)
1 Kilogramm = 2,2 Pfund (auf der Erde)

Kapazität

1 Tasse = 8 Flüssigunzen (fl oz)[4]1 Pint = 2 Tassen
1 Liter = 2 Pints ​​= 4 Tassen cup1 Gallone = 4 Liter = 16 Tassen
1000 Milliliter (ml) = 1 Liter (L)

Beispiel 16

Ein Fahrrad fährt mit 15 Meilen pro Stunde. Wie viele Meter legt er in 20 Sekunden zurück?

Lösung

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir 20 Sekunden in Fuß umrechnen. Wenn wir die Geschwindigkeit des Fahrrads in Fuß pro Sekunde kennen, wäre diese Frage einfacher. Da dies nicht der Fall ist, müssen wir zusätzliche Einheitenumrechnungen durchführen. Wir müssen wissen, dass 5280 ft = 1 Meile sind. Wir könnten damit beginnen, die 20 Sekunden in Stunden umzuwandeln:

Jetzt können wir mit den 15 Meilen/h multiplizieren

Jetzt können wir in Füße umwandeln

Wir hätten diese gesamte Berechnung auch in einem langen Satz von Produkten durchführen können:

Versuchen Sie es jetzt

Eine 1000-Fuß-Spule aus blankem 12-Gauge-Kupferdraht wiegt 19,8 Pfund. Wie viel werden 18 Zoll des Drahtes in Unzen wiegen?

Beachten Sie, dass bei dem Beispiel für Meilen pro Gallone, wenn wir die gefahrenen Meilen verdoppeln, wir das Benzin verdoppeln. Ebenso verdoppelt sich im Beispiel der Kartenentfernung die reale Entfernung, wenn sich die Kartenentfernung verdoppelt. Dies ist ein wesentliches Merkmal proportionaler Beziehungen, das wir bestätigen müssen, bevor wir annehmen, dass zwei Dinge proportional miteinander zusammenhängen.

Beispiel 17

Angenommen, Sie verlegen den Boden eines 3 m mal 3 m großen Raums und stellen fest, dass 100 Fliesen benötigt werden. Wie viele Fliesen werden benötigt, um den Boden eines 20 x 20 Fuß großen Raums zu fliesen?

Lösung

In diesem Fall hat sich die Raumbreite verdoppelt, während sich die Fläche vervierfacht hat. Da die Anzahl der benötigten Fliesen der Bodenfläche und nicht der Breite entspricht, werden 400 Fliesen benötigt. Dies konnten wir anhand eines Anteils basierend auf den Flächen der Räume ermitteln:

Andere Größen skalieren einfach nicht proportional.

Beispiel 18

Angenommen, ein kleines Unternehmen gibt 1000 US-Dollar für eine Werbekampagne aus und gewinnt damit 100 neue Kunden. Wie viele Neukunden sollten sie erwarten, wenn sie 10.000 US-Dollar ausgeben?

Lösung

Obwohl es verlockend ist zu sagen, dass sie 1000 neue Kunden gewinnen werden, ist es wahrscheinlich, dass zusätzliche Werbung weniger effektiv ist als die anfängliche Werbung. Wenn das Unternehmen beispielsweise ein Whirlpool-Geschäft ist, gibt es wahrscheinlich nur eine feste Anzahl von Personen, die am Kauf eines Whirlpools interessiert sind, sodass möglicherweise nicht einmal 1000 Personen in der Stadt potenzielle Kunden sind.

Bei der Arbeit mit Raten, Proportionen und Prozentsätzen kann der Prozess manchmal durch die Größe der beteiligten Zahlen erschwert werden. Manchmal sind große Zahlen einfach nur schwer zu verstehen.

Beispiel 19

Vergleichen Sie das US-Militärbudget 2010 von 683,7 Milliarden US-Dollar mit anderen Beträgen.

Lösung

Hier haben wir eine sehr große Zahl, etwa $683.700.000.000 ausgeschrieben. Natürlich ist es sehr schwierig, sich eine Milliarde Dollar vorzustellen, daher kann es hilfreich sein, sie mit anderen Größen zu vergleichen.

Wenn dieser Geldbetrag verwendet würde, um die Gehälter der 1,4 Millionen Walmart-Mitarbeiter in den USA zu bezahlen, würde jeder über 488.000 US-Dollar verdienen.

In den USA leben etwa 300 Millionen Menschen, das Militärbudget beträgt etwa 2.200 US-Dollar pro Person.

Wenn Sie 683,7 Milliarden US-Dollar in 100-Dollar-Scheine stecken und 1 pro Sekunde zählen würden, würde es 216 Jahre dauern, bis die Zählung abgeschlossen ist.

Beispiel 20

Vergleichen Sie den Stromverbrauch pro Kopf in China mit dem in Japan.

Lösung

Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir zunächst Daten. Von der CIA[5] Website können wir feststellen, dass der Stromverbrauch in China im Jahr 2011 4.693.000.000.000 KWh (Kilowattstunden) oder 4.693 Billionen KWH betrug, während der Verbrauch für Japan 859.700.000.000 oder 859,7 Milliarden KWh betrug. Um die Rate pro Kopf (pro Person) zu ermitteln, benötigen wir auch die Bevölkerung der beiden Länder. Von der Weltbank,[6] Wir können feststellen, dass die Bevölkerung Chinas 1.344.130.000 oder 1,344 Milliarden beträgt, und die Bevölkerung Japans 127.817.277 oder 127,8 Millionen.

Berechnung des Pro-Kopf-Verbrauchs für jedes Land:

China: ≈ 3491,5 kWh pro Person

Japan: ≈ 6726 KWH pro Person

Während China insgesamt mehr als fünfmal so viel Strom verbraucht wie Japan, weil die Bevölkerung Japans so viel kleiner ist, verbraucht Japan im Vergleich zu China fast doppelt so viel Strom pro Person.

Geometrie

Geometrische Formen sowie Flächen und Volumen können bei der Problemlösung oft wichtig sein.

Beispiel 21

Sie sind neugierig, wie hoch ein Baum ist, haben aber keine Möglichkeit, darauf zu klettern. Beschreiben Sie eine Methode zur Bestimmung der Höhe.

Lösung

Es gibt mehrere Ansätze, die wir verfolgen könnten. Wir verwenden eines, das auf Dreiecken basiert, was voraussetzt, dass es ein sonniger Tag ist. Angenommen, der Baum wirft einen Schatten, sagen wir 15 Fuß lang. Dann kann mir ein Freund helfen, meinen eigenen Schatten zu messen. Angenommen, ich bin 1,80 m groß und werfe einen Schatten von 1,5 m. Da das vom Baum und seinem Schatten gebildete Dreieck die gleichen Winkel hat wie das von mir und meinem Schatten gebildete Dreieck, heißen diese Dreiecke ähnliche Dreiecke und ihre Seiten werden proportional skalieren. Mit anderen Worten, das Verhältnis von Höhe zu Breite ist in beiden Dreiecken gleich. Damit können wir die Höhe des Baumes ermitteln, die wir mit bezeichnen ha:

Wenn wir beide Seiten mit 15 multiplizieren, erhalten wir ha = 60. Der Baum ist etwa 60 Fuß hoch.

Es kann hilfreich sein, sich einige Formeln für Flächen und Volumen einiger Grundformen zu merken.

Bereiche

Rechteck

Bereich: L · W

Umfang: 2L + 2W

Kreis

Radius: r

Gebiet: πr2

Umfang: 2πr

Volumen

Rechteckige Box

Volumen: L·B·H

Zylinder

Lautstärke:r2H

Beispiel 22

Wenn eine Pizza mit einem Durchmesser von 12 Zoll 10 Unzen Teig erfordert, wie viel Teig wird dann für eine Pizza mit 16 Zoll benötigt?

Lösung

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns überlegen, wie das Gewicht des Teigs skaliert. Das Gewicht richtet sich nach dem Teigvolumen. Da jedoch beide Pizzen ungefähr die gleiche Dicke haben, skaliert das Gewicht mit der Fläche der Pizzaoberseite. Wir können die Fläche jeder Pizza mit der Formel für die Fläche eines Kreises ermitteln, :

Eine 12-Zoll-Pizza hat einen Radius von 6 Zoll, also wird die Fläche = ungefähr 113 Quadratzoll.

Eine 16″ Pizza hat einen Radius von 8 Zoll, also ist die Fläche = ungefähr 201 Quadratzoll.

Beachten Sie, dass, wenn beide Pizzen 1 Zoll dick wären, das Volumen 113 Zoll betragen würde3 und 201 Zoll3 die im gleichen Verhältnis wie die Flächen stehen. Da die Dicke für beide Pizzen gleich ist, können wir sie, wie bereits erwähnt, getrost ignorieren.

Wir können jetzt ein Verhältnis einrichten, um das Gewicht des Teigs für eine 16-Zoll-Pizza zu ermitteln:

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 201

= ungefähr 17,8 Unzen Teig für eine 16″ Pizza.

Es ist interessant festzustellen, dass der Durchmesser zwar = 1,33-mal größer, der erforderliche Teig, der mit der Fläche skaliert, beträgt 1,332 = 1,78 mal größer.

Beispiel 23

Ein Unternehmen stellt normale und Jumbo-Marshmallows her. Der normale Marshmallow hat 25 Kalorien. Wie viele Kalorien hat der Jumbo-Marshmallow?

Lösung

Wir würden erwarten, dass die Kalorien mit dem Volumen skalieren. Da die Marshmallows zylindrische Formen haben, können wir diese Formel verwenden, um das Volumen zu ermitteln. Aus dem Raster im Bild können wir den Radius und die Höhe jedes Marshmallows schätzen.

Der normale Marshmallow scheint einen Durchmesser von etwa 3,5 Einheiten zu haben, was einen Radius von 1,75 Einheiten und eine Höhe von etwa 3,5 Einheiten ergibt. Das Volumen beträgt ungefähr π(1.75)2(3,5) = 33,7 Einheiten3.

Der Jumbo-Marshmallow scheint einen Durchmesser von etwa 5,5 Einheiten zu haben, was einen Radius von 2,75 Einheiten und eine Höhe von etwa 5 Einheiten ergibt. Das Volumen beträgt etwa π(2.75)2(5) = 118,8 Einheiten3.

Wir könnten jetzt einen Anteil einrichten oder Raten verwenden. Der normale Marshmallow hat 25 Kalorien für 33,7 Kubikeinheiten Volumen. Der Jumbo-Marshmallow enthält:

Es ist interessant festzustellen, dass der Durchmesser und die Höhe beim Jumbo-Marshmallow zwar etwa 1,5-mal größer sind, das Volumen und die Kalorien jedoch etwa 1,5 Zoll betragen3 = 3,375 mal größer.

Versuchen Sie es jetzt

Eine Website sagt, dass Sie 48 Fünfzig-Pfund-Säcke Sand benötigen, um einen Sandkasten zu füllen, der 2,40 x 2,70 Meter misst. Wie viele Taschen würden Sie für einen Sandkasten von 1,80 x 1,20 m benötigen?

Problemlösung und Schätzung

Schließlich werden wir die von uns besprochenen mathematischen Werkzeuge zusammenführen und sie verwenden, um komplexere Probleme anzugehen. Bei vielen Problemen ist es verlockend, die gegebenen Informationen in beliebige Formeln einzufügen, die Sie zur Hand haben, und zu hoffen, dass das Ergebnis das ist, was Sie finden sollten. Die Chancen stehen gut, dass Ihnen dieser Ansatz in anderen Mathematikklassen gute Dienste geleistet hat.

Dieser Ansatz funktioniert bei realen Problemen nicht gut. Stattdessen beginnt man am besten mit der Problemlösung, indem man am Ende beginnt: genau zu identifizieren, wonach man sucht. Von dort arbeiten Sie dann rückwärts und fragen: „Welche Informationen und Verfahren brauche ich, um das zu finden?“ Nur sehr wenige interessante Fragen lassen sich in einem mathematischen Schritt beantworten; Oft müssen Sie einen Lösungsweg verketten, eine Reihe von Schritten, die es Ihnen ermöglichen, die Frage zu beantworten.

Problemlösungsprozess

  1. Identifizieren Sie die Frage, die Sie beantworten möchten.
  2. Arbeiten Sie rückwärts und identifizieren Sie die Informationen, die Sie benötigen, und die Beziehungen, die Sie verwenden, um diese Frage zu beantworten.
  3. Arbeiten Sie weiter rückwärts und erstellen Sie einen Lösungsweg.
  4. Wenn Ihnen notwendige Informationen fehlen, schlagen Sie sie nach oder schätzen Sie sie. Wenn Sie unnötige Informationen haben, ignorieren Sie sie.
  5. Lösen Sie das Problem, indem Sie Ihrem Lösungsweg folgen.

Bei den meisten Problemen, die wir bearbeiten, nähern wir uns einer Lösung, weil wir keine perfekten Informationen haben. Wir beginnen mit einigen Beispielen, bei denen wir die Lösung anhand von Grundkenntnissen aus unserem Leben annähern können.

Beispiel 24

Wie oft schlägt dein Herz im Jahr?

Lösung

Diese Frage fragt nach der Herzfrequenz pro Jahr. Da ein Jahr für die Messung von Herzschlägen eine lange Zeit ist, könnten wir, wenn wir die Herzfrequenz pro Minute kennen würden, diese Menge auf ein Jahr hochskalieren. Die Informationen, die wir zur Beantwortung dieser Frage benötigen, sind also Herzschläge pro Minute. Dies ist etwas, das Sie leicht messen können, indem Sie Ihren Puls zählen, während Sie eine Minute lang auf eine Uhr schauen.

Angenommen, Sie zählen 80 Schläge in einer Minute. Um diese Schläge pro Jahr umzurechnen:

Beispiel 25

Wie dick ist ein einzelnes Blatt Papier? Wie viel wiegt es?

Lösung

Während Sie vielleicht ein Blatt Papier zur Hand haben, wäre es schwierig, es zu messen. Stattdessen könnten wir uns einen Papierstapel vorstellen und dann die Dicke und das Gewicht auf ein einzelnes Blatt skalieren. Wenn Sie jemals Papier für einen Drucker oder Kopierer gekauft haben, haben Sie wahrscheinlich ein Ries gekauft, das 500 Blatt enthält. Wir könnten schätzen, dass ein Ries Papier etwa 2 Zoll dick ist und etwa 5 Pfund wiegt. Verkleinere diese,

Beispiel 26

Ein Rezept für Zucchini-Muffins besagt, dass es 12 Muffins mit 250 Kalorien pro Muffin ergibt. Sie entscheiden sich stattdessen für Mini-Muffins und das Rezept ergibt 20 Muffins. Wenn Sie 4 essen, wie viele Kalorien werden Sie verbrauchen?

Lösung

Zur Beantwortung dieser Frage gibt es mehrere mögliche Lösungswege. Wir werden einen erkunden.

Um die Frage zu beantworten, wie viele Kalorien 4 Mini-Muffins enthalten, möchten wir die Anzahl der Kalorien in jedem Mini-Muffin wissen. Um die Kalorien in jedem Mini-Muffin zu ermitteln, könnten wir zuerst die Gesamtkalorien für das gesamte Rezept ermitteln und dann durch die Anzahl der produzierten Mini-Muffins dividieren. Um die Gesamtkalorien für das Rezept zu ermitteln, könnten wir die Kalorien pro Standardmuffin mit der Zahl pro Muffin multiplizieren. Beachten Sie, dass dies zu einem mehrstufigen Lösungspfad führt. Es ist oft einfacher, ein Problem in kleinen Schritten zu lösen, als einen Weg zu finden, direkt von den gegebenen Informationen zur Lösung zu springen.

Jetzt können wir unseren Plan ausführen:

Beispiel 27

Sie müssen die Bretter auf Ihrem Deck ersetzen. Wie viel werden die Materialien ungefähr kosten?

Lösung

Es gibt zwei Ansätze, um dieses Problem zu lösen: 1) Schätzen Sie die Anzahl der benötigten Bretter und ermitteln Sie die Kosten pro Brett, oder 2) schätzen Sie die Fläche des Decks und ermitteln Sie die ungefähren Kosten pro Quadratmeter für Terrassenbretter. Wir werden den letzteren Ansatz wählen.

Für diesen Lösungsweg können wir die Frage beantworten, wenn wir die Kosten pro Quadratmeter für Terrassendielen und die Quadratmeterzahl der Terrasse kennen. Um die Kosten pro Quadratmeter für Terrassendielen zu ermitteln, könnten wir die Fläche einer einzelnen Diele berechnen und in die Kosten für diese Diele teilen. Wir können die Quadratmeterzahl des Decks mit geometrischen Formeln berechnen. Zuerst benötigen wir also Informationen: die Abmessungen des Decks sowie die Kosten und Abmessungen eines einzelnen Decksbretts.

Nehmen wir an, das Deck ist rechteckig und misst 4 x 24 Fuß bei einer Gesamtfläche von 384 Fuß .2.

Bei einem Besuch im örtlichen Heimgeschäft stellen Sie fest, dass ein 8 Fuß mal 4 Zoll großes Deckbrett aus Zedernholz etwa 7,50 US-Dollar kostet. Die Fläche dieses Boards, die die notwendige Umrechnung von Zoll in Fuß durchführt, ist:

Die Kosten pro Quadratmeter betragen dann

Dies ermöglicht es uns, die Materialkosten für die gesamten 384 ft . abzuschätzen2 Deck

Natürlich geht diese Kostenschätzung davon aus, dass kein Abfall entsteht, was selten der Fall ist. Es ist üblich, dem Kostenvoranschlag mindestens 10 % hinzuzufügen, um den Abfall zu berücksichtigen.

Beispiel 28

Lohnt es sich, anstelle des regulären Hyundai Sonata einen Hyundai Sonata Hybrid zu kaufen?

Lösung

Um diese Entscheidung zu treffen, müssen wir zunächst entscheiden, was unsere Vergleichsbasis sein soll. In diesem Beispiel konzentrieren wir uns auf Kraftstoff- und Anschaffungskosten, aber Umweltauswirkungen und Wartungskosten sind andere Faktoren, die ein Käufer berücksichtigen könnte.

Es könnte interessant sein, die Benzinkosten für den Betrieb beider Autos für ein Jahr zu vergleichen. Um dies zu bestimmen, müssen wir die Meilen pro Gallone, die beide Autos erhalten, sowie die Anzahl der Meilen kennen, die wir voraussichtlich in einem Jahr fahren werden. Aus diesen Informationen können wir die Anzahl der Gallonen ermitteln, die für ein Jahr benötigt werden. Anhand des Gaspreises pro Gallone können wir die Betriebskosten ermitteln.

Von der Hyundai-Website wird die Sonata 2013 in der Stadt 24 Meilen pro Gallone (mpg) und auf der Autobahn 35 mpg erhalten. Der Hybrid wird 35 mpg in der Stadt und 40 mpg auf der Autobahn bekommen.

Ein durchschnittlicher Autofahrer fährt etwa 12.000 Meilen im Jahr. Angenommen, Sie erwarten, dass Sie etwa 75 % davon in der Stadt fahren, also 9.000 Stadtmeilen pro Jahr und 3.000 Autobahnmeilen pro Jahr.

Wir können dann die Anzahl der Gallonen ermitteln, die jedes Auto für das Jahr benötigen würde.

Sonate:

Hybrid:

Wenn Gas in Ihrer Nähe durchschnittlich etwa 3,50 USD pro Gallone kostet, können wir dies verwenden, um die Betriebskosten zu ermitteln:

Sonate:

Hybrid:

Der Hybrid spart 450,10 US-Dollar pro Jahr. Die Benzinkosten für den Hybrid betragen ca = 0,279 = 27,9 % niedriger als die Kosten für die Standardsonate.

Sowohl der absolute als auch der relative Vergleich sind hier zwar nützlich, erschweren jedoch die Beantwortung der ursprünglichen Frage, da „ist es das wert“ impliziert, dass es einen gewissen Kompromiss für die Gaseinsparungen gibt. Tatsächlich kostet die Hybrid-Sonate etwa 25.850 US-Dollar, verglichen mit dem Basismodell der regulären Sonata mit 20.895 US-Dollar.

Um die Frage „Ist es das wert“ besser zu beantworten, könnten wir untersuchen, wie lange es dauert, bis die Gaseinsparungen die zusätzlichen Anschaffungskosten ausgleichen. Der Hybrid kostet 4965 US-Dollar mehr. Bei Gaseinsparungen von 451,10 USD pro Jahr wird es etwa 11 Jahre dauern, bis die Gaseinsparungen die höheren Anschaffungskosten ausgleichen.

Wir können daraus schließen, dass sich der Hybrid in der Tat lohnt, wenn Sie erwarten, das Auto 11 Jahre zu besitzen. Wenn Sie planen, das Auto für weniger als 11 Jahre zu besitzen, kann es sich dennoch lohnen, da der Wiederverkaufswert des Hybrids höher sein kann oder aus anderen nicht monetären Gründen. Dies ist ein Fall, in dem Mathematik bei Ihrer Entscheidung helfen kann, aber nicht für Sie.

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Der Begriff Probleme lösen hat je nach Disziplin eine etwas andere Bedeutung. Es ist zum Beispiel ein mentaler Prozess in der Psychologie und ein computergestützter Prozess in der Informatik. Es gibt zwei verschiedene Arten von Problemen: für jedes werden schlecht definierte und wohldefinierte unterschiedliche Ansätze verwendet. Gut definierte Probleme haben spezifische Endziele und klar zu erwartende Lösungen, während schlecht definierte Probleme dies nicht tun. Gut definierte Probleme ermöglichen eine bessere anfängliche Planung als schlecht definierte Probleme. [1] Das Lösen von Problemen beinhaltet manchmal den Umgang mit Pragmatik, der Art und Weise, wie der Kontext zur Bedeutung beiträgt, und Semantik, der Interpretation des Problems. Die Fähigkeit zu verstehen, was das Endziel des Problems ist und welche Regeln angewendet werden können, ist der Schlüssel zur Lösung des Problems. Manchmal erfordert das Problem abstraktes Denken oder eine kreative Lösung.

Psychologie Bearbeiten

Problemlösen in der Psychologie bezieht sich auf den Prozess der Lösung von Problemen, die im Leben auftreten. [2] Lösungen für diese Probleme sind in der Regel situations- oder kontextspezifisch. Der Prozess beginnt mit der Problemfindung und Problemgestaltung, bei der das Problem entdeckt und vereinfacht wird. Im nächsten Schritt werden mögliche Lösungen generiert und bewertet. Schließlich wird eine Lösung ausgewählt, die implementiert und verifiziert werden soll. Probleme haben ein Ende Tor zu erreichen und wie man dorthin gelangt, hängt von der Problemorientierung (Problemlösungs-Bewältigungsstil und -fähigkeiten) und der systematischen Analyse ab. [3] Fachleute für psychische Gesundheit untersuchen die menschlichen Problemlösungsprozesse mit Methoden wie Introspektion, Behaviorismus, Simulation, Computermodellierung und Experiment. Sozialpsychologen untersuchen den Aspekt der Person-Umwelt-Beziehung des Problems und untersuchen unabhängige und voneinander abhängige Problemlösungsmethoden. [4] Problemlösung wurde als ein kognitiver Prozess und eine intellektuelle Funktion höherer Ordnung definiert, die die Modulation und Kontrolle routinemäßiger oder grundlegender Fähigkeiten erfordert. [5]

Problemlösung hat zwei Hauptbereiche: mathematische Problemlösung und persönliche Problemlösung. Beide werden in Form von Schwierigkeiten oder Hindernissen gesehen, die angetroffen werden. [6] Empirische Untersuchungen zeigen, dass viele verschiedene Strategien und Faktoren die alltägliche Problemlösung beeinflussen. [7] [8] [9] Rehabilitationspsychologen, die Personen mit Frontallappenverletzungen untersuchen, haben herausgefunden, dass Defizite in der emotionalen Kontrolle und im Denken durch eine effektive Rehabilitation behoben werden können und die Fähigkeit von Verletzten verbessern könnten, alltägliche Probleme zu lösen. [10] Zwischenmenschliche alltägliche Problemlösung hängt von den individuellen persönlichen Motivations- und Kontextkomponenten ab. Eine solche Komponente ist die emotionale Wertigkeit von Problemen der "realen Welt", die die Problemlösungsleistung entweder behindern oder unterstützen kann. Forscher haben sich auf die Rolle von Emotionen bei der Problemlösung konzentriert [11] [12] und zeigen, dass eine schlechte emotionale Kontrolle die Konzentration auf die Zielaufgabe stören und die Problemlösung behindern und wahrscheinlich zu negativen Ergebnissen wie Müdigkeit, Depression und Trägheit führen kann. [13] In der Konzeptualisierung besteht die menschliche Problemlösung aus zwei zusammenhängenden Prozessen: der Problemorientierung und dem motivationalen/einstellungsbezogenen/affektiven Zugang zu problematischen Situationen und Problemlösungskompetenzen. Studien kommen zu dem Schluss, dass die Strategien der Menschen mit ihren Zielen zusammenhängen [14] und aus dem natürlichen Prozess des Vergleichs mit anderen stammen.

Kognitionswissenschaften Bearbeiten

Die frühen experimentellen Arbeiten der Gestaltisten in Deutschland bildeten den Beginn der Problemlösungsforschung (z. B. Karl Duncker 1935 mit seinem Buch Die Psychologie des produktiven Denkens [fünfzehn] ). Später wurde diese experimentelle Arbeit in den 1960er und frühen 1970er Jahren fortgesetzt, wobei Forschungen zu relativ einfachen (aber für die Teilnehmer neuartigen) Laboraufgaben zur Problemlösung durchgeführt wurden. [16] [17] Die Verwendung einfacher, neuartiger Aufgaben wurde durch klar definierte optimale Lösungen und kurze Lösungszeiten ermöglicht, die es den Forschern ermöglichten, die Schritte der Teilnehmer im Problemlösungsprozess zu verfolgen. Die zugrunde liegende Annahme der Forscher war, dass einfache Aufgaben wie der Turm von Hanoi den Haupteigenschaften von Problemen der "realen Welt" entsprechen und daher die charakteristischen kognitiven Prozesse bei den Versuchen der Teilnehmer, einfache Probleme zu lösen, für zu einfache Probleme der "realen Welt" gleich sind Probleme wurden aus Gründen der Bequemlichkeit und in der Erwartung verwendet, dass Gedankenverallgemeinerungen auf komplexere Probleme möglich würden. Das vielleicht bekannteste und eindrucksvollste Beispiel für diese Forschungsrichtung ist die Arbeit von Allen Newell und Herbert A. Simon. [18] [ falsche Synthese? ] Andere Experten haben gezeigt, dass das Zerlegungsprinzip die Urteilsfähigkeit des Problemlösers verbessert. [19]

Informatik Bearbeiten

In der Informatik und im mit Algorithmen befassten Teil der Künstlichen Intelligenz umfasst die Problemlösung Techniken der Algorithmen, Heuristiken und Ursachenanalyse. Die zur Lösung von Problemen erforderliche Menge an Ressourcen (z. B. Zeit, Speicher, Energie) wird durch die Computational Complexity Theory beschrieben. Allgemeiner ausgedrückt, ist die Problemlösung Teil eines größeren Prozesses, der Problembestimmung, Deduplizierung, Analyse, Diagnose, Reparatur und andere Schritte umfasst.

Andere Tools zur Problemlösung sind lineare und nichtlineare Programmierung, Warteschlangensysteme und Simulation. [20]

Ein Großteil der Informatik beinhaltet das Entwerfen vollständig automatischer Systeme, die später ein bestimmtes Problem lösen – Systeme, die Eingabedaten akzeptieren und in angemessener Zeit die richtige Antwort oder eine ausreichend korrekte Näherung berechnen.

Darüber hinaus verbringen Informatiker überraschend viel Zeit damit, Probleme in ihren Programmen zu finden und zu beheben: Debugging.

Logik bearbeiten

Die formale Logik beschäftigt sich mit Fragen wie Gültigkeit, Wahrheit, Inferenz, Argumentation und Beweis. In einem Problemlösungskontext kann es verwendet werden, um ein Problem formal als zu beweisenden Satz darzustellen, und um das zur Lösung des Problems erforderliche Wissen als Prämissen darzustellen, die in einem Beweis dafür verwendet werden, dass das Problem eine Lösung hat. Der Einsatz von Computern zum Beweis mathematischer Theoreme unter Verwendung formaler Logik entstand in den 1950er Jahren als das Gebiet des automatisierten Theorembeweisens. Es umfasste den Einsatz heuristischer Methoden zur Simulation menschlicher Problemlösungen, wie in der von Allen Newell, Herbert A. Simon und JC Shaw entwickelten Logic Theory Machine, sowie algorithmischer Methoden wie dem von John Alan Robinson entwickelten Auflösungsprinzip .

Neben der Verwendung zum Finden von Beweisen für mathematische Theoreme wurde das automatisierte Theorem-Beweisen auch zur Programmverifikation in der Informatik verwendet. Doch schon 1958 schlug John McCarthy dem Ratgeber vor, Informationen in formaler Logik darzustellen und durch automatisierte Theorembeweise Antworten auf Fragen abzuleiten. Ein wichtiger Schritt in diese Richtung wurde 1969 von Cordell Green unter Verwendung eines Auflösungstheorem-Beweisers für die Beantwortung von Fragen und für andere Anwendungen in der künstlichen Intelligenz wie der Roboterplanung gemacht.

Der von Cordell Green verwendete Auflösungstheorem-Beweiser hatte wenig Ähnlichkeit mit menschlichen Problemlösungsmethoden. Als Reaktion auf Kritik an seinem Ansatz von Forschern am MIT entwickelte Robert Kowalski logische Programmierung und SLD-Auflösung, [21] die Probleme durch Problemzerlegung löst. Er hat sich für Logik sowohl für die Computer- als auch für die menschliche Problemlösung eingesetzt [22] und für Computerlogik, um das menschliche Denken zu verbessern [23]

Engineering Bearbeiten

Problemlösung wird verwendet, wenn Produkte oder Prozesse ausfallen, sodass Korrekturmaßnahmen ergriffen werden können, um weitere Ausfälle zu verhindern. Es kann auch vor einem tatsächlichen Fehlerereignis auf ein Produkt oder einen Prozess angewendet werden – wenn ein potenzielles Problem vorhergesagt und analysiert werden kann und eine Minderung angewendet werden kann, damit das Problem nie auftritt. Techniken wie die Fehlermöglichkeits- und Auswirkungsanalyse können verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Problemen proaktiv zu verringern.

Forensic Engineering ist eine wichtige Technik der Fehleranalyse, die das Aufspüren von Produktfehlern und -fehlern beinhaltet. Anschließend können Korrekturmaßnahmen ergriffen werden, um weitere Fehler zu vermeiden.

Reverse Engineering versucht, die ursprüngliche Problemlösungslogik zu entdecken, die bei der Entwicklung eines Produkts verwendet wurde, indem es auseinandergenommen wird. [24]

Militärwissenschaft Bearbeiten

In der Militärwissenschaft ist Problemlösung mit dem Konzept des "Endzustands" verbunden, der gewünschten Bedingung oder Situation, die Strategen erzeugen möchten. [25] : xiii, E-2 Die Fähigkeit, Probleme zu lösen, ist in jedem militärischen Rang wichtig, aber auf der Führungs- und Kontrollebene sehr kritisch, wo sie eng mit dem tiefen Verständnis qualitativer und quantitativer Szenarien korreliert. [ Klärung nötig ] Wirksamkeit der Problemlösung wird verwendet, um das Ergebnis der Problemlösung zu messen, das mit der Erreichung des Ziels verbunden ist. [25] : IV-24 Planung zur Problemlösung ist der Prozess der Bestimmung, wie das Ziel erreicht werden kann [25] : IV-1

Problemlösungsstrategien sind die Schritte, mit denen man die Probleme findet, die dem eigenen Ziel im Wege stehen. Manche bezeichnen dies als "Problemlösungszyklus". [26]

In diesem Zyklus wird man das Problem anerkennen, erkennen, das Problem definieren, eine Strategie zur Behebung des Problems entwickeln, das Wissen über den Problemzyklus organisieren, die Ressourcen ermitteln, die dem Benutzer zur Verfügung stehen, den eigenen Fortschritt überwachen und die Lösung auf Genauigkeit bewerten evaluate . Der Grund, warum es ein Zyklus genannt wird, ist, dass, sobald einer mit einem Problem abgeschlossen ist, normalerweise ein anderer auftaucht.

Einblick ist die plötzliche Lösung für ein langes Ärgernis Problem, das plötzliche Erkennen einer neuen Idee oder das plötzliche Verstehen einer komplexen Situation, und Aha! Moment. Lösungen gefunden durch Einblick sind oft genauer als die, die durch eine schrittweise Analyse ermittelt werden. Um mehr Probleme schneller lösen zu können, sind Erkenntnisse für die Auswahl produktiver Schritte in verschiedenen Phasen des Problemlösungszyklus erforderlich. Diese Problemlösungsstrategie bezieht sich speziell auf Probleme, die als Einsichtsproblem bezeichnet werden. Im Gegensatz zu Newells und Simons formaler Definition von Bewegungsproblemen gab es keine allgemein anerkannte Definition eines Einsichtsproblems (Ash, Jee und Wiley, 2012 [27] Chronicle, MacGregor und Ormerod, 2004 [28] Chu und MacGregor, 2011). [29]

Blanchard-Fields [30] betrachtet das Problemlösen aus einer von zwei Facetten. Der erste Blick auf Probleme, die nur eine Lösung haben (wie mathematische Probleme oder faktenbasierte Fragen), die auf psychometrischer Intelligenz basieren. Der andere ist sozial-emotionaler Natur und hat Antworten, die sich ständig ändern (wie Ihre Lieblingsfarbe oder was Sie jemandem zu Weihnachten schenken sollten).

Die folgenden Techniken werden normalerweise genannt Problemlösungsstrategien [31]

    : das Problem in einem Modell des Systems lösen, bevor es auf das reale System angewendet wird : eine Lösung verwenden, die ein analoges Problem löst : (insbesondere bei Personengruppen) eine große Anzahl von Lösungen oder Ideen vorschlagen und diese bis zum Optimum kombinieren und entwickeln Lösung gefunden : ein großes, komplexes Problem in kleinere, lösbare Probleme zerlegen : eine mögliche Erklärung des Problems annehmen und versuchen, die Annahme zu beweisen (oder in manchen Kontexten zu widerlegen) : indirekt und kreativ an Lösungen herangehen : eine Aktion auswählen bei jeder Schritt, um dem Ziel näher zu kommen : scheinbar nicht übereinstimmende Eigenschaften verschiedener Objekte zu etwas Neuem zu synthetisieren : die Ausgabe und die Interaktionen eines gesamten Systems bewerten : versuchen zu beweisen, dass das Problem nicht gelöst werden kann. Der Punkt, an dem der Beweis scheitert, ist der Ausgangspunkt für die Lösung: das Problem in ein anderes Problem umwandeln, für das es Lösungen gibt: Vorhandene Ideen anwenden oder bestehende Lösungen an ähnliche Probleme anpassen: Die Ursache eines Problems identifizieren: Mögliche Lösungen bis zum richtigen Testen einer ist gefunden

Häufige Hindernisse für die Problemlösung sind mentale Konstrukte, die unsere Fähigkeit, Probleme richtig zu lösen, behindern. Diese Barrieren hindern Menschen daran, Probleme so effizient wie möglich zu lösen. Fünf der häufigsten Prozesse und Faktoren, die Forscher als Hindernisse für die Problemlösung identifiziert haben, sind Bestätigungsfehler, mentale Einstellung, funktionale Fixierung, unnötige Einschränkungen und irrelevante Informationen.

Bestätigungsfehler Bearbeiten

Bestätigungsbias ist ein unbeabsichtigter Bias, der durch die Erhebung und Verwendung von Daten in einer Weise verursacht wird, die eine vorgefasste Meinung begünstigt. Die Überzeugungen, die von einem Bestätigungsfehler betroffen sind, müssen nicht Motivation, der Wunsch, Überzeugungen zu verteidigen oder zu begründen, die für diese Person wichtig sind. [32] Untersuchungen haben ergeben, dass auch Fachleute in wissenschaftlichen Studienbereichen einen Bestätigungsfehler erfahren. Das online durchgeführte Experiment von Andreas Hergovich, Reinhard Schott und Christoph Burger beispielsweise deutete darauf hin, dass Fachleute der psychologischen Forschung wissenschaftliche Studien, die mit ihren vorgefassten Meinungen übereinstimmen, wahrscheinlich günstiger bewerten als Studien, die mit ihren etablierten Überzeugungen kollidieren. [33] Laut Raymond Nickerson kann man die Folgen von Bestätigungsverzerrungen in realen Situationen sehen, die in ihrer Schwere von ineffizienter Regierungspolitik bis hin zu Völkermord reichen. Nickerson argumentierte, dass diejenigen, die der Hexerei beschuldigte Menschen töteten, Motivationsverzerrungen zeigten. Der Forscher Michael Allen fand bei Schulkindern, die daran arbeiteten, ihre naturwissenschaftlichen Experimente so zu manipulieren, dass sie günstige Ergebnisse lieferten, Beweise für einen Bestätigungsfehler mit Motivation. [34] Bestätigungsbias erfordert jedoch nicht unbedingt Motivation. 1960 führte Peter Cathcart Wason ein Experiment durch, bei dem die Teilnehmer zuerst drei Zahlen betrachteten und dann eine Hypothese aufstellten, die eine Regel vorschlug, die verwendet werden könnte, um dieses Zahlentriplett zu erstellen. Beim Testen ihrer Hypothesen neigten die Teilnehmer dazu, nur zusätzliche Zahlentripel zu erstellen, die ihre Hypothesen bestätigen würden, und neigten dazu, keine Tripel zu erstellen, die ihre Hypothesen negieren oder widerlegen würden. Daher zeigt die Forschung auch, dass Menschen daran arbeiten können und arbeiten, um Theorien oder Ideen zu bestätigen, die keine persönlich bedeutsamen Überzeugungen unterstützen oder einbeziehen. [35]

Mentalset Bearbeiten

Mental Set wurde erstmals in den 1940er Jahren von Abraham Luchins artikuliert und in seinen bekannten Wasserkrug-Experimenten demonstriert. [36] In diesen Experimenten wurden die Teilnehmer gebeten, einen Krug mit einer bestimmten Menge Wasser zu füllen, wobei nur andere Krüge (typischerweise drei) mit unterschiedlichem maximalem Fassungsvermögen als Werkzeug verwendet wurden. Nachdem Luchins seinen Teilnehmern eine Reihe von Wasserkrug-Problemen gegeben hatte, die alle mit einer einzigen Technik gelöst werden konnten, gab er ihnen dann ein Problem, das entweder mit derselben Technik oder einer neuartigen und einfacheren Methode gelöst werden konnte. Luchins stellte fest, dass seine Teilnehmer dazu neigten, dieselbe Technik zu verwenden, an die sie sich gewöhnt hatten, obwohl sie eine einfachere Alternative verwenden konnten. [37] Das mentale Set beschreibt also die Neigung, Probleme auf eine Weise zu lösen, die sich in früheren Erfahrungen als erfolgreich erwiesen hat. Wie die Arbeit von Luchins jedoch gezeigt hat, sind solche Methoden zur Lösungsfindung, die in der Vergangenheit funktioniert haben, für bestimmte neue, aber ähnliche Probleme möglicherweise nicht angemessen oder optimal. Daher ist es oft notwendig, dass Menschen über ihre mentalen Sets hinausgehen, um Lösungen zu finden. Dies wurde erneut in Norman Maiers Experiment von 1931 demonstriert, das die Teilnehmer herausforderte, ein Problem mit einem Haushaltsgegenstand (Zange) auf unkonventionelle Weise zu lösen. Maier beobachtete, dass die Teilnehmer das Objekt oft nicht in einer Weise sehen konnten, die von seiner typischen Verwendung abweicht, ein Phänomen, das als eine besondere Form der mentalen Setzung angesehen wird (genauer bekannt als funktionale Fixierung, die im folgenden Abschnitt behandelt wird). Wenn Menschen sich starr an ihre mentalen Sets klammern, sagt man, dass sie erleben Fixierung, eine scheinbare Besessenheit oder Beschäftigung mit versuchten Strategien, die immer wieder erfolglos bleiben. [38] In den späten 1990er Jahren arbeitete die Forscherin Jennifer Wiley daran, aufzuzeigen, dass Expertise dazu beitragen kann, bei Menschen, die als Experten auf ihrem Gebiet gelten, ein mentales Set zu schaffen, und sie gewann Beweise dafür, dass das durch Expertise geschaffene mentale Set zur Entwicklung von Fixierung. [38]

Funktionale Festigkeit Bearbeiten

Funktionelle Fixierung ist eine spezifische Form der mentalen Einstellung und Fixierung, auf die bereits früher im Maier-Experiment angespielt wurde, und darüber hinaus eine weitere Möglichkeit, in der kognitive Verzerrungen im täglichen Leben sichtbar werden. Tim German und Clark Barrett beschreiben diese Barriere als das feste Design eines Objekts, das die Fähigkeit des Individuums behindert, es als andere Funktionen erfüllend zu sehen. In technischer Hinsicht erklärten diese Forscher, dass "[s]Objekte an der Designfunktion der Objekte 'fixiert' werden und die Problemlösung unter Kontrollbedingungen leidet, unter denen die Funktion des Objekts nicht demonstriert wird." [39] Funktionale Fixierung ist definiert als nur, dass die primäre Funktion des Objekts selbst die Fähigkeit verhindert, einem anderen Zweck als seiner ursprünglichen Funktion zu dienen. In einer Forschung, die die Hauptgründe für die Immunität kleiner Kinder gegen funktionelle Fixierung hervorhob, wurde festgestellt, dass "funktionelle Fixierung. [ist, wenn] Subjekte durch ihr Wissen über die konventionelle Funktion eines Objekts daran gehindert werden, die Lösung eines Problems zu erreichen." [40] Darüber hinaus ist es wichtig anzumerken, dass funktionale Fixierung leicht in alltäglichen Situationen ausgedrückt werden kann. Stellen Sie sich zum Beispiel folgende Situation vor: Ein Mann sieht einen Käfer auf dem Boden, den er töten möchte, aber er hält im Moment nur eine Dose Lufterfrischer in der Hand. Wenn der Mann anfängt, sich im Haus nach etwas umzusehen, mit dem er den Käfer abtöten kann, anstatt zu erkennen, dass die Dose Lufterfrischer tatsächlich nicht nur als Lufterfrischer dienen könnte, wird er als funktional empfunden Festigkeit. Das Wissen des Mannes, dass die Dose als reiner Lufterfrischer diente, hinderte ihn daran zu erkennen, dass sie auch einem anderen Zweck hätte dienen können, in diesem Fall als Instrument zur Abtötung des Käfers. Funktionelle Fixierung kann bei mehreren Gelegenheiten auftreten und dazu führen, dass wir bestimmte kognitive Verzerrungen haben. Wenn die Leute ein Objekt nur als dienend sehen, dass es einem primären Fokus dient, dann erkennen sie nicht, dass das Objekt auf verschiedene Weisen verwendet werden kann, die über den beabsichtigten Zweck hinausgehen. Dies kann wiederum viele Probleme in Bezug auf die Problemlösung verursachen.

Funktionale Fixierung schränkt die Fähigkeit von Menschen ein, Probleme genau zu lösen, indem sie zu einer sehr engen Denkweise führt. Funktionale Fixierung kann auch bei anderen Arten von Lernverhalten beobachtet werden. Zum Beispiel hat die Forschung in vielen pädagogischen Fällen das Vorhandensein von funktioneller Fixierung entdeckt. Die Forscher Furio, Calatayud, Baracenas und Padilla stellten fest, dass "funktionale Fixierung sowohl in Lernkonzepten als auch bei der Lösung chemischer Probleme gefunden werden kann." [41] Es wurde mehr Wert darauf gelegt, dass diese Funktion bei dieser Art von Themen und anderen gesehen wurde.

Es gibt mehrere Hypothesen in Bezug auf die Beziehung zwischen funktionaler Fixierung und Problemlösung. [42] Es gibt auch viele Möglichkeiten, wie eine Person auf Probleme stoßen kann, wenn sie an ein bestimmtes Objekt mit dieser Funktion denkt. Wenn eine Person normalerweise auf eine Art und nicht auf mehrere Arten denkt, kann dies zu einer Einschränkung der Denkweise der Person über dieses bestimmte Objekt führen. Dies kann als engstirniges Denken angesehen werden, das als eine Art und Weise definiert wird, in der man bestimmte Ideen in einem bestimmten Kontext nicht sehen oder akzeptieren kann. Die funktionale Fixierung hängt, wie bereits erwähnt, sehr eng damit zusammen. Dies kann absichtlich und oder unabsichtlich geschehen, aber zum größten Teil scheint es, als ob dieser Prozess zur Problemlösung auf unabsichtliche Weise erfolgt.

Funktionale Fixierung kann Problemlöser in mindestens zweierlei Hinsicht beeinflussen. Die erste betrifft die Zeit, da die funktionale Fixierung dazu führt, dass Menschen mehr Zeit als nötig aufwenden, um ein bestimmtes Problem zu lösen. Zweitens führt die funktionale Fixierung oft dazu, dass Löser mehr Versuche unternehmen, ein Problem zu lösen, als sie es ohne diese kognitive Barriere getan hätten. Im schlimmsten Fall kann eine funktionale Fixierung eine Person vollständig daran hindern, eine Lösung für ein Problem zu realisieren. Funktionelle Fixierung ist ein alltägliches Phänomen, das das Leben vieler Menschen beeinflusst.

Unnötige Einschränkungen Bearbeiten

Unnötige Einschränkungen sind eine weitere sehr häufige Barriere, mit der Menschen bei der Problemlösung konfrontiert sind. Dieses besondere Phänomen tritt auf, wenn das Subjekt, das versucht, das Problem unbewusst zu lösen, der anstehenden Aufgabe Grenzen setzt, was es wiederum dazu zwingt, innovativer in seinem Denken zu sein. Der Löser stößt auf eine Barriere, wenn er sich auf nur einen Weg zur Lösung seines Problems fixiert und es immer schwieriger wird, etwas anderes als die von ihm gewählte Methode zu sehen. Typischerweise erlebt der Löser dies, wenn er versucht, eine Methode anzuwenden, mit der er bereits Erfolg hatte, und er kann nicht anders, als zu versuchen, sie auch unter den gegenwärtigen Umständen zum Laufen zu bringen, selbst wenn er sieht, dass dies kontraproduktiv ist. [43]

Gruppendenken oder die Übernahme der Denkweise der anderen Gruppenmitglieder kann auch als unnötige Einschränkung beim Versuch, Probleme zu lösen, wirken. [44] Dies liegt daran, dass alle dasselbe denken, bei denselben Schlussfolgerungen stehen bleiben und sich selbst hemmen, darüber hinaus zu denken. Dies ist sehr verbreitet, aber das bekannteste Beispiel für diese Barriere ist das berühmte Beispiel des Punktproblems. In diesem Beispiel liegen neun Punkte auf einem Raster, das drei Punkte breit ist und drei Punkte nach oben und unten laufen. Der Löser wird dann aufgefordert, nicht mehr als vier Linien zu zeichnen, ohne seinen Kugelschreiber oder Bleistift vom Papier zu nehmen. Diese Reihe von Linien sollte alle Punkte auf dem Papier verbinden. Was dann typischerweise passiert, ist, dass das Subjekt in seinem Kopf die Annahme erschafft, dass es die Punkte verbinden muss, ohne seinen Stift oder Bleistift aus dem Quadrat der Punkte herauszulassen. Standardisierte Verfahren wie diese können oft solche gedanklich erfundenen Einschränkungen mit sich bringen, [45] und Forscher haben eine 0% korrekte Lösungsrate in der für die Erledigung der Aufgabe vorgesehenen Zeit gefunden. [46] Die auferlegte Einschränkung hindert den Löser daran, über die Grenzen der Punkte hinaus zu denken. Aus diesem Phänomen leitet sich der Ausdruck "think outside the box" ab. [47]

Dieses Problem lässt sich schnell mit einer dämmernden Erkenntnis lösen, oder Einblick. Ein paar Minuten des Ringens um ein Problem können diese plötzlichen Einsichten bringen, bei denen der Löser die Lösung schnell klar sieht. Probleme wie dieses werden in der Regel durch Einsicht gelöst und können für die Versuchsperson sehr schwierig sein, je nachdem, wie sie das Problem in ihren Köpfen strukturiert haben, wie sie auf ihre früheren Erfahrungen zurückgreifen und wie viel sie mit diesen Informationen in ihrem Arbeitsgedächtnis jonglieren [47] Im Fall des Neun-Punkte-Beispiels war der Löser aufgrund der Beschränkung, die sie der Lösung auferlegten, in ihren Köpfen bereits falsch strukturiert. Darüber hinaus erleben die Menschen Schwierigkeiten, wenn sie versuchen, das Problem mit ihrem Vorwissen zu vergleichen, und sie denken, dass sie ihre Linien innerhalb der Punkte halten und nicht darüber hinausgehen müssen. Sie tun dies, weil der Versuch, sich die Punkte außerhalb des Grundquadrats vorzustellen, ihr Arbeitsgedächtnis belastet. [47]

Die Lösung des Problems wird offensichtlich, wenn die Einsicht nach inkrementellen Bewegungen zur Lösung erfolgt. Diese winzigen Bewegungen passieren, ohne dass der Löser es merkt. Dann, wenn die Einsicht vollständig realisiert ist, tritt der "Aha"-Moment für das Subjekt ein. [48] ​​Es kann lange dauern, bis sich diese Einsichtsmomente manifestieren oder zu anderen Zeiten nicht so lange, aber die Art und Weise, wie die Lösung nach dem Überwinden dieser Barrieren gefunden wird, bleibt dieselbe.

Irrelevante Informationen Bearbeiten

Irrelevante Informationen sind Informationen, die innerhalb eines Problems präsentiert werden und für das spezifische Problem nicht relevant oder unwichtig sind. [43] Im spezifischen Kontext des Problems würden irrelevante Informationen keinen Zweck erfüllen, um bei der Lösung dieses speziellen Problems zu helfen. Häufig irrelevante Informationen ist schädlich für den Problemlösungsprozess. Es ist eine häufige Barriere, die viele Menschen nur schwer überwinden können, insbesondere wenn sie sich dessen nicht bewusst sind. Irrelevante Informationen macht es viel schwieriger, ansonsten relativ einfache Probleme zu lösen. [49]

Zum Beispiel: "15 Prozent der Leute in Topeka haben nicht aufgelistete Telefonnummern. Sie wählen 200 Namen zufällig aus dem Topeka-Telefonbuch. Wie viele dieser Leute haben nicht aufgelistete Telefonnummern?" [50]

Die Personen, die nicht im Telefonbuch aufgeführt sind, gehören nicht zu den 200 ausgewählten Namen. Die Personen, die sich mit dieser Aufgabe befassen, hätten natürlich die ihnen zur Verfügung gestellten 15% für das Problem verwenden wollen. Sie sehen, dass Informationen vorhanden sind und denken sofort, dass sie verwendet werden müssen. Dies ist natürlich nicht wahr. Solche Fragen werden oft verwendet, um Schüler zu testen, die Eignungstests oder kognitive Bewertungen absolvieren. [51] Sie sollen nicht schwierig sein, aber sie sollen Denken erfordern, das nicht unbedingt üblich ist. Irrelevante Informationen wird häufig in mathematischen Aufgaben dargestellt, insbesondere in Wortaufgaben, bei denen numerische Informationen zum Zweck der Herausforderung des Einzelnen eingesetzt werden.

Ein Grund, warum irrelevante Informationen eine Person so effektiv vom Thema abhalten und von den relevanten Informationen fernhalten, liegt in der Art und Weise, wie sie dargestellt werden. [51] Die Art und Weise, wie Informationen dargestellt werden, kann einen großen Einfluss darauf haben, wie schwierig das Problem zu überwinden ist. Ob ein Problem visuell, verbal, räumlich oder mathematisch dargestellt wird, irrelevante Informationen können einen tiefgreifenden Einfluss darauf haben, wie lange eine Problemlösung dauert oder ob sie überhaupt möglich ist. Das buddhistische Mönchsproblem ist ein klassisches Beispiel für irrelevante Informationen und wie sie auf unterschiedliche Weise dargestellt werden können:

Ein buddhistischer Mönch beginnt eines Tages im Morgengrauen, einen Berg hinaufzusteigen, erreicht den Gipfel bei Sonnenuntergang, meditiert mehrere Tage lang oben, bis er eines Tages anfängt, zum Fuß des Berges zurückzukehren, den er bei Sonnenuntergang erreicht. Machen Sie keine Vermutungen über seinen Start oder Stopp oder über sein Tempo während der Fahrten, beweisen Sie, dass es einen Platz auf dem Weg gibt, den er auf den beiden getrennten Fahrten zur gleichen Tageszeit einnimmt.

Dieses Problem ist aufgrund der Darstellung der Informationen nahezu unmöglich zu lösen. Da es so geschrieben ist, dass es die Informationen verbal repräsentiert, veranlasst es uns, zu versuchen, ein mentales Bild des Absatzes zu erstellen. Dies ist oft sehr schwierig, vor allem bei all den irrelevante Informationen an der Frage beteiligt. Dieses Beispiel wird wesentlich leichter verständlich, wenn der Absatz visuell dargestellt wird. Wenn nun das gleiche Problem gestellt würde, es aber auch von einem entsprechenden Graphen begleitet wäre, wäre es viel einfacher, diese Frage zu beantworten irrelevante Informationen dient nicht mehr als Straßensperre. Durch die visuelle Darstellung des Problems sind keine schwer zu verstehenden Wörter oder Szenarien vorstellbar. Die visuelle Darstellung dieses Problems hat die Schwierigkeit seiner Lösung beseitigt.

Diese Arten von Darstellungen werden oft verwendet, um schwierige Probleme zu erleichtern. [52] Sie können bei Tests als Strategie zum Entfernen verwendet werden Irrelevante Informationen, Dies ist eine der häufigsten Formen von Barrieren bei der Diskussion von Problemen der Problemlösung. [43] Entscheidende Informationen, die in einem Problem enthalten sind, zu identifizieren und dann in der Lage zu sein, ihren Nutzen richtig zu identifizieren, ist von wesentlicher Bedeutung. Sich dem bewusst sein irrelevante Informationen ist der erste Schritt zur Überwindung dieser gemeinsamen Barriere.

Andere Barrieren für Einzelpersonen Bearbeiten

Einzelne Menschen, die sich mit Problemlösungen beschäftigen, neigen dazu, subtraktive Veränderungen zu übersehen, einschließlich solcher, die kritische Elemente effizienter Lösungen sind. Diese Tendenz zu lösen, indem zuerst, nur oder meistens Elemente erstellt oder hinzugefügt werden, anstatt Elemente oder Prozesse zu subtrahieren, verstärkt sich nachweislich bei höheren kognitiven Belastungen wie Informationsüberflutung. [53] [54]

Problemlösung kann auch ohne Wachbewusstsein erfolgen. Es gibt viele Berichte von Wissenschaftlern und Ingenieuren, die in ihren Träumen Probleme gelöst haben. Elias Howe, Erfinder der Nähmaschine, hat die Struktur der Spule aus einem Traum herausgefunden. [55]

Der Chemiker August Kekulé überlegte, wie Benzol seine sechs Kohlenstoff- und Wasserstoffatome anordnet. Als er über das Problem nachdachte, döste er ein und träumte von tanzenden Atomen, die in ein schlangenartiges Muster fielen, was ihn dazu brachte, den Benzolring zu entdecken. Wie Kekulé in sein Tagebuch schrieb:

Eine der Schlangen packte ihren eigenen Schwanz, und die Gestalt wirbelte spöttisch vor meinen Augen herum. Wie durch einen Blitz erwachte ich und verbrachte auch diesmal den Rest der Nacht damit, die Konsequenzen der Hypothese auszuarbeiten. [56]

Es gibt auch empirische Studien, wie Menschen vor dem Einschlafen bewusst über ein Problem nachdenken und das Problem dann mit einem Traumbild lösen können. Traumforscher William C. Dement erzählte seiner 500-köpfigen Grundschülerklasse, dass er möchte, dass sie über eine unendliche Reihe nachdenken, deren erste Elemente OTTFF sind, um zu sehen, ob sie das Prinzip dahinter ableiten können, und sagen, was die nächsten Elemente der Reihe sind wäre. [57] Er bat sie, jede Nacht 15 Minuten vor dem Einschlafen über dieses Problem nachzudenken und alle Träume aufzuschreiben, die sie dann hatten. Sie wurden angewiesen, beim Aufwachen am Morgen noch einmal 15 Minuten über das Problem nachzudenken.

Die Folge OTTFF sind die Anfangsbuchstaben der Zahlen: eins, zwei, drei, vier, fünf. Die nächsten fünf Elemente der Reihe sind SSENT (sechs, sieben, acht, neun, zehn). Einige der Schüler lösten das Rätsel, indem sie über ihre Träume nachdachten. Ein Beispiel war ein Student, der von folgendem Traum berichtete: [57]

Ich stand in einer Kunstgalerie und betrachtete die Gemälde an der Wand. Als ich den Flur entlangging, begann ich die Bilder zu zählen: eins, zwei, drei, vier, fünf. Als ich zum sechsten und siebten kam, waren die Bilder aus ihren Rahmen gerissen. Ich starrte die leeren Rahmen mit dem eigentümlichen Gefühl an, dass irgendein Rätsel gelöst werden würde. Plötzlich wurde mir klar, dass das sechste und siebte Leerzeichen die Lösung des Problems waren!

Bei mehr als 500 Bachelor-Studenten wurden 87 Träume als mit den den Studenten zugewiesenen Problemen in Verbindung gebracht (53 direkt und 34 indirekt). Doch von den Leuten, die Träume hatten, die das Problem anscheinend lösten, waren nur sieben in der Lage, die Lösung bewusst zu kennen. Der Rest (46 von 53) meinte, die Lösung nicht zu kennen.

Mark Blechner führte dieses Experiment durch und erzielte ähnliche Ergebnisse wie Dement. [58] Er fand heraus, dass Menschen, während sie versuchten, das Problem zu lösen, Träume hatten, in denen die Lösung aus dem Traum offensichtlich zu sein schien, aber für die Träumer war es selten, dass sie realisierten, wie ihre Träume das Rätsel gelöst hatten. Überreden oder Andeutungen brachten sie nicht dazu, es zu realisieren, obwohl sie, sobald sie die Lösung hörten, erkannten, wie ihr Traum es gelöst hatte. Zum Beispiel träumte eine Person in diesem OTTFF-Experiment: [58]

Es gibt eine große Uhr. Sie können die Bewegung sehen. Der große Zeiger der Uhr stand auf der Nummer sechs. Sie konnten sehen, wie es nach oben ging, Nummer für Nummer, sechs, sieben, acht, neun, zehn, elf, zwölf. Der Traum konzentrierte sich auf die kleinen Teile der Maschinerie. Sie konnten die Zahnräder im Inneren sehen.

Im Traum zählte die Person die nächsten Elemente der Reihe – sechs, sieben, acht, neun, zehn, elf, zwölf – aber sie erkannte nicht, dass dies die Lösung des Problems war. Sein schlafendes Gehirn löste das Problem, aber sein waches Gehirn wusste nicht wie.

Albert Einstein glaubte, dass viele Probleme unbewusst gelöst werden und die Person dann bewusst herausfinden und formulieren muss, was das Gehirn bereits gelöst hat. Er glaubte, dies sei sein Prozess bei der Formulierung der Relativitätstheorie: "Der Schöpfer des Problems besitzt die Lösung." [59] Einstein sagte, dass er seine Probleme ohne Worte löste, meist in Bildern. „Die Worte oder die Sprache, wie sie geschrieben oder gesprochen werden, scheinen in meinem Denkmechanismus keine Rolle zu spielen. Die psychischen Wesenheiten, die als Denkelemente zu dienen scheinen, sind bestimmte Zeichen und mehr oder weniger klare Bilder, die 'freiwillig' reproduziert und kombiniert." [60]

In den Kognitionswissenschaften hat sich die Erkenntnis von Forschern, dass Problemlösungsprozesse zwischen Wissensdomänen und Kompetenzniveaus unterschiedlich sind (z. B. Sternberg, 1995), und dass daher im Labor gewonnene Erkenntnisse nicht unbedingt auf Problemlösungssituationen außerhalb des Labors verallgemeinert werden können führte seit den 1990er Jahren zu einer Betonung der Problemlösung in der realen Welt. Diese Betonung wurde jedoch in Nordamerika und Europa ganz unterschiedlich ausgedrückt. Während sich die nordamerikanische Forschung typischerweise auf die Untersuchung von Problemlösungen in separaten, natürlichen Wissensdomänen konzentrierte, konzentrierte sich ein Großteil der europäischen Forschung auf neuartige, komplexe Probleme und wurde mit computergestützten Szenarien durchgeführt (siehe Funke, 1991, für einen Überblick).

Europa Bearbeiten

In Europa haben sich zwei Hauptansätze herauskristallisiert, einer von Donald Broadbent (1977 siehe Berry & Broadbent, 1995) in Großbritannien und der andere von Dietrich Dörner (1975, 1985 siehe Dörner & Wearing, 1995) in Deutschland. Die beiden Ansätze haben einen gemeinsamen Schwerpunkt auf relativ komplexen, semantisch reichen, computergestützten Laboraufgaben, die so konstruiert sind, dass sie realen Problemen ähneln. Die Ansätze unterscheiden sich jedoch etwas in ihren theoretischen Zielen und ihrer Methodik. Die von Broadbent initiierte Tradition betont die Unterscheidung zwischen kognitiven Problemlösungsprozessen, die unter Bewusstsein und außerhalb von Bewusstsein ablaufen, und verwendet typischerweise mathematisch gut definierte computergestützte Systeme. Die von Dörner initiierte Tradition hingegen interessiert sich für das Zusammenspiel der kognitiven, motivationalen und sozialen Komponenten der Problemlösung und nutzt sehr komplexe computergestützte Szenarien, die bis zu 2.000 stark vernetzte Variablen enthalten (z. B. Dörner, Kreuzig , Reither & Stäudel 1983 LOHHAUSEN Projekt Ringelband, Misiak & Kluwe, 1990). Buchner (1995) beschreibt die beiden Traditionen ausführlich.

Nordamerika Bearbeiten

In Nordamerika begannen Forscher, initiiert durch die Arbeit von Herbert A. Simon über "learning by doing" in semantisch reichen Domänen, [61] [62] die Problemlösung getrennt in verschiedenen natürlichen Wissensdomänen zu untersuchen – wie Physik, Schreiben oder Schachspiel – und gaben damit ihre Versuche auf, eine globale Theorie des Problemlösens zu extrahieren (zB Sternberg & Frensch, 1991). Stattdessen haben sich diese Forscher häufig auf die Entwicklung von Problemlösungen innerhalb eines bestimmten Bereichs konzentriert, d. h. auf die Entwicklung von Fachwissen (Chase & Simon, 1973, Chi, Feltovich & Glaser, 1981). [63]

Zu den Bereichen, die in Nordamerika ziemlich viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen haben, gehören:

  • Lesen (Stanovich & Cunningham, 1991)
  • Schreiben (Bryson, Bereiter, Scardamalia & Joram, 1991)
  • Berechnung (Sokol & McCloskey, 1991)
  • Politische Entscheidungsfindung (Voss, Wolfe, Lawrence & Engle, 1991)
  • Problemlösung im Management ( [64] )
  • Argumentation der Anwälte [65]
  • Mechanische Problemlösung (Hegarty, 1991)
  • Problemlösung in der Elektronik (Lesgold & Lajoie, 1991)
  • Computerkenntnisse (Kay, 1991)
  • Spiele spielen (Frensch & Sternberg, 1991)
  • Persönliche Problemlösung (Heppner & Krauskopf, 1987)
  • Mathematische Problemlösung (Pólya, 1945 Schoenfeld, 1985)
  • Soziale Problemlösung [11] [12]
  • Problemlösung für Innovationen und Erfindungen: TRIZ[66]

Komplexes Problemlösen (CPS) ist vom einfachen Problemlösen (SPS) zu unterscheiden. Im Umgang mit SPS steht ein einzigartiges und einfaches Hindernis im Weg. CPS umfasst jedoch ein oder mehrere Hindernisse gleichzeitig. In einem realen Beispiel hat ein Chirurg bei der Arbeit weitaus komplexere Probleme als eine Person, die entscheidet, welche Schuhe sie tragen soll. Komplexe Probleme weisen, wie von Dietrich Dörner erläutert und später von Joachim Funke erweitert, einige typische Merkmale auf: [67]

    (große Stückzahlen, Zusammenhänge und Entscheidungen) (Hierarchiebeziehung, Kommunikationsbeziehung, Zuordnungsbeziehung) (Zeitüberlegungen)
    • zeitliche Beschränkungen
    • zeitliche Empfindlichkeit
    • Phaseneffekte
    • dynamische Unberechenbarkeit
    • Anfangsopazität
    • Fortsetzung Deckkraft
    • Ausdruckslosigkeit
    • Opposition
    • Vergänglichkeit

    Problemlösung wird auf vielen verschiedenen Ebenen angewendet – vom Individuum bis hin zur Zivilisation. Kollektives Problemlösen bezieht sich auf kollektiv durchgeführte Problemlösungen.

    Soziale Probleme und globale Probleme können typischerweise nur gemeinsam gelöst werden.

    Es wurde festgestellt, dass die Komplexität heutiger Probleme die kognitiven Fähigkeiten jedes Einzelnen übersteigt und unterschiedliche, aber sich ergänzende Fachkenntnisse und kollektive Problemlösungsfähigkeiten erfordert. [69]

    Kollektive Intelligenz ist geteilte oder Gruppenintelligenz, die aus der Zusammenarbeit, kollektiven Bemühungen und dem Wettbewerb vieler Individuen hervorgeht.

    Gemeinsame Problemlösung handelt von Menschen, die von Angesicht zu Angesicht oder in Online-Workspaces zusammenarbeiten, mit dem Fokus auf der Lösung realer Probleme. Diese Gruppen bestehen aus Mitgliedern, die ein gemeinsames Anliegen, eine ähnliche Leidenschaft und/oder ein Engagement für ihre Arbeit teilen. Die Mitglieder sind bereit, Fragen zu stellen, sich zu wundern und zu versuchen, allgemeine Probleme zu verstehen. Sie teilen Fachwissen, Erfahrungen, Werkzeuge und Methoden. [70] Diese Gruppen können von den Dozenten zugewiesen werden oder können je nach den individuellen Bedürfnissen der Studierenden von den Studierenden geregelt werden. Die Gruppen oder Gruppenmitglieder können je nach Bedarf fließend sein oder können nur vorübergehend auftreten, um eine zugewiesene Aufgabe zu beenden. Sie können je nach den Bedürfnissen der Lernenden auch dauerhafter sein. Alle Mitglieder der Gruppe müssen in den Entscheidungsprozess einfließen und eine Rolle im Lernprozess spielen. Die Gruppenmitglieder sind für das Denken, Lehren und Überwachen aller Mitglieder in der Gruppe verantwortlich. Die Gruppenarbeit muss unter den Mitgliedern so koordiniert werden, dass jedes Mitglied einen gleichberechtigten Beitrag zur Gesamtarbeit leistet. Gruppenmitglieder müssen ihre individuellen Stärken erkennen und ausbauen, damit jeder einen wesentlichen Beitrag zur Aufgabe leisten kann. [71] Kollaborative Gruppen erfordern gemeinsame intellektuelle Anstrengungen der Mitglieder und beinhalten soziale Interaktionen, um Probleme gemeinsam zu lösen. Das während dieser Interaktionen geteilte Wissen wird während der Kommunikation, Verhandlung und Produktion von Materialien erworben. [72] Mitglieder suchen aktiv nach Informationen von anderen, indem sie Fragen stellen. Die Fähigkeit, Fragen zur Erlangung neuer Informationen zu nutzen, erhöht das Verständnis und die Fähigkeit, Probleme zu lösen. [73] Kollaborative Gruppenarbeit hat die Fähigkeit, kritisches Denken, Problemlösungsfähigkeiten, soziale Fähigkeiten und Selbstwertgefühl zu fördern. Durch Zusammenarbeit und Kommunikation lernen die Mitglieder oft voneinander und bauen sinnvolles Wissen auf, das oft zu besseren Lernergebnissen führt als individuelle Arbeit. [74]

    In einem Forschungsbericht aus dem Jahr 1962 verband Douglas Engelbart kollektive Intelligenz mit organisatorischer Effektivität und sagte voraus, dass eine proaktive ‚Erhöhung des menschlichen Intellekts‘ einen Multiplikatoreffekt bei der Lösung von Gruppenproblemen haben würde: mehr als dreimal so effektiv bei der Lösung eines komplexen Problems sein wie eine allein arbeitende Augmented-Person". [75]

    Henry Jenkins, ein wichtiger Theoretiker der Neuen Medien und Medienkonvergenz, stützt sich auf die Theorie, dass kollektive Intelligenz auf Medienkonvergenz und partizipative Kultur zurückgeführt werden kann. [76] Er kritisiert die zeitgenössische Bildung dafür, dass sie es versäumt, Online-Trends der kollektiven Problemlösung in den Unterricht zu integrieren, und stellt fest, "während eine kollektive Intelligenzgemeinschaft die Eigenverantwortung für die Arbeit als Gruppe fördert, Schulklassen Einzelpersonen". Jenkins argumentiert, dass die Interaktion innerhalb einer Wissensgemeinschaft wichtige Fähigkeiten junger Menschen aufbaut, und Teamarbeit durch kollektive Intelligenzgemeinschaften trägt zur Entwicklung solcher Fähigkeiten bei. [77]

    Collective Impact ist das Engagement einer Gruppe von Akteuren aus verschiedenen Sektoren für eine gemeinsame Agenda zur Lösung eines spezifischen gesellschaftlichen Problems durch eine strukturierte Form der Zusammenarbeit.

    Nach dem Zweiten Weltkrieg wurden die Vereinten Nationen, die Bretton-Woods-Organisation und die WTO geschaffen, um kollektive Problemlösungen auf internationaler Ebene zu lösen, die sich ab den 1980er Jahren um diese drei Arten von Organisationen kristallisierten. Da diese globalen Institutionen staatsähnlich oder staatszentriert bleiben, wurde es als wenig überraschend bezeichnet, dass diese eher staatsähnliche oder staatszentrierte Ansätze zur kollektiven Problemlösung als alternative Ansätze verfolgen. [78]

    Crowdsourcing ist ein Prozess, bei dem Ideen, Gedanken oder Informationen von vielen unabhängigen Teilnehmern gesammelt werden, um die beste Lösung für eine bestimmte Herausforderung zu finden. Moderne Informationstechnologien ermöglichen die Einbeziehung einer großen Anzahl von Themen sowie Systeme zur Verwaltung dieser Vorschläge, die gute Ergebnisse liefern. [79] Mit dem Internet wurde eine neue Fähigkeit zur kollektiven, auch planetarischen Problemlösung geschaffen. [80]


    4.3: Problemlösung

    Richard Perry, [email protected] - Abschnitte 1,2,3 Vorlesungen Abschnitt 2 Labor
    Sprechzeiten: Mo 12-3 Di/Do 2-4 Sa 8-10,11-4 - nach Vereinbarung oder vorbeikommen
    TA: Caroline Ross, [email protected]
    Sprechzeiten: Di 12-2 Do 10-12 - Zoom

    Xun Jiao, [email protected] - Abschnitt 1 Labor
    Sprechzeiten: Fr 3-5 - Zoom
    TA: Dongning Ma, [email protected]

    Sarvesh Kulkarni, [email protected] - Abschnitt 3 Labor
    Sprechzeiten: Mo/Mi 11:30-12:30 - zoom
    TA: Raymond Ogunjimi, [email protected]
    Sprechzeiten: Di 2:15-4:15 - Zoom

    Technische Problemlösung mit der Programmiersprache C. C Kontrollstrukturen, Datendateien, Debugging, Funktionen, Arrays, elementare Datenstrukturen und Zeiger.

    Die Kursnote basiert auf zehn Programmierprojekten. Kursaufgaben sind individuell und selbstständig zu erledigen. Die Richtlinien und Verfahren der Universität zu Anwesenheit, akademischer Integrität und Studierenden mit Behinderungen werden befolgt. Insbesondere werden verspätete Einsätze ohne eine entschuldigte Abwesenheitsgenehmigung des Dekans nicht angenommen.

    Engineering Problem Solving with C, Vierte Auflage, Delores M. Etter, Prentice Hall, 2013, ISBN: 978-0136085317 Kapitel 1: Technische Problemlösung 1.1 Engineering im 21. Jahrhundert
    1.2 Computersysteme: Hard- und Software
    1.3 Eine technische Problemlösungsmethodik Kapitel 2: Einfache C-Programme 2.1 Programmstruktur
    2.2 Konstanten und Variablen
    2.3 Abtretungserklärungen
    2.4 Standardeingabe und -ausgabe
    2.5 Angewandte Problemlösung: Schätzen der Höhe anhand der Knochenlänge Length
    2.6 Numerische Technik: Lineare Interpolation
    2.7 Angewandte Problemlösung: Gefriertemperatur von Meerwasser
    2.8 Mathematische Funktionen
    2.9 Zeichenfunktionen
    2.10 Angewandte Problemlösung: Geschwindigkeitsberechnung
    2.11 Systembeschränkungen Kapitel 3: Kontrollstrukturen und Datendateien 3.1 Entwicklung von Algorithmen
    3.2 Bedingte Ausdrücke
    3.3 Auswahlanweisungen - if/else, switch
    3.4 Angewandte Problemlösung: Gesichtserkennung
    3.5 Schleifenstrukturen
    3.6 Angewandte Problemlösung: Welleninteraktion
    3.7 Datendateien Kapitel 4: Modulare Programmierung mit Funktionen 4.1 Modularität
    4.2 Vom Programmierer definierte Funktionen
    4.3 Angewandte Problemlösung: Berechnung der Grenzen der Iris
    4.4 Angewandte Problemlösung: Eisbergverfolgung
    4.5 Zufallszahlen
    4.6 Angewandte Problemlösung: Zuverlässigkeit der Instrumentierung Kapitel 5: Arrays und Matrizen 5.1 Eindimensionale Arrays
    5.2 Angewandte Problemlösung: Hurrikan-Kategorien
    5.3 Angewandte Problemlösung: Molekulargewichte
    5.4 Statistische Messungen
    5.5 Angewandte Problemlösung: Sprachsignalanalyse
    5.6 Sortieralgorithmen
    5.7 Suchalgorithmen
    5.8 Zweidimensionale Arrays
    5.9 Angewandte Problemlösung: Geländenavigation Kapitel 6: Programmieren mit Zeigern 6.1 Adressen und Zeiger
    6.2 Zeiger auf Array-Elemente
    6.3 Angewandte Problemlösung: El Nino-Southern Oscillation Data
    6.4 Zeiger in Funktionsreferenzen
    6.5 Angewandte Problemlösung: Erkennung seismischer Ereignisse
    6.6 Zeichenketten
    6.7 Angewandte Problemlösung: DNA-Sequenzierung Kapitel 7: Programmierung mit Strukturen 7.1 Strukturen
    7.2 Funktionen mit Strukturen verwenden
    7.3 Angewandte Problemlösung: Fingerabdruckanalyse
    7.4 Anordnungen von Strukturen
    7.5 Angewandte Problemlösung: Tsunami-Analyse Anhang A: ANSI C-Standardbibliothek Anhang B: ASCII-Zeichencodes

    Sofern die Studierenden nicht anders von ihrer Hochschule benachrichtigt werden, werden Kurse, die vollständig online stattfinden oder bereits ein zuvor geplantes Online-Kurstreffen für den Schlechtwettertag haben, wie geplant fortgesetzt, auch wenn die Universität geschlossen ist.

    Wenn eine Schneeschließung angekündigt wird, werden alle Kurse - unabhängig von der Modalität (persönlich, hybrid, synchron, vollständig online) - an diesem Tag abgesagt. Diese Anpassung der Schneepolitik der Universität gilt nur für das Frühjahrssemester 2021. Die Anpassung gilt für unsere Undergraduate-Programme und für alle unsere Graduate-Programme, mit Ausnahme der CWSL, unabhängig davon, ob die Graduiertenkurse auf dem Campus oder außerhalb des Campus stattfinden. Die CWSL hat ihren eigenen Plan.


    Kognitive, metakognitive und problemlösende Kenntnisse und Fähigkeiten in der objektorientierten Programmierung

    Einführung

    Es ist nicht gut verstanden, wie Menschen lernen, ein Problem in der Informatik zu programmieren und zu lösen (Traynor & Gibson, 2004:2). Nach Deek (1999:1) ist das Erlernen des Programmierens eine komplexe kognitive Aufgabe, die das Erlernen der Programmiersprache, das Verstehen vorhandener Programme, das Modifizieren geschriebener Programme, das Verfassen neuer Programme und die Anwendung von Debugging-Techniken umfasst. Beim Erlernen der objektorientierten Programmierung (OOP) muss der Schüler wissen, welche Objekte, Verhaltensweisen und Interaktionen im Problembereich wichtig sind. Es besteht Bedarf an einer Verfeinerung der Forschung, die die Schwierigkeiten von OOP untersucht. Es besteht auch Bedarf an Leitlinien zu bestimmten Arten von Wissen und Fähigkeiten, um das Erlernen von OOP zu unterstützen (Or-Bach & Lavy, 2004: 82 Staats & Blum, 1999: 13). Effiziente Kenntnisse und Fähigkeiten des Programmierers sind während der Prozesse der Problemlösung, Entscheidungsfindung, Planung und des kritischen Denkens in OOP erforderlich. Wissen bezieht sich auf Informationen und Fähigkeiten, die durch Erfahrung oder Ausbildung erworben wurden, und bezieht sich auch auf das, was jemand weiß (Concise Oxford English Dictionary, 2004: 789 §1.3). in einer Aufgabe umgesetzt (Sternberg, 2006:229). Beide Arten von Wissen sind in OOP wichtig. Eine Fertigkeit kann als die Fähigkeit definiert werden, eine bestimmte Aufgabe zu erledigen (Concise Oxford English Dictionary, 2004:1351 §1.3). Abb. 3.1 zeigt verschiedene Arten von Wissen und Fähigkeiten, deren Anwendung in OOP in diesem Kapitel untersucht wird.Dazu gehören die kognitiven, metakognitiven und problemlösenden Kenntnisse und Fähigkeiten, die in OOP erforderlich sind. Die schattierten Blöcke in Abb. 3.1 stellen das Ziel, verschiedene Arten von Kenntnissen und Fähigkeiten und deren Anwendung in OOP dar, die in diesem Kapitel behandelt werden. Nach einer Erläuterung des Ansatzes und der Konzepte der objektorientierten Programmierung (§3.2) Kapitel konzentriert sich auf das kognitive, metakognitive und problemlösende Wissen und die Fähigkeiten, die in OOP erforderlich sind. Diese drei Themen werden in den Abschnitten 3.3, 3.4 bzw. 3.5 behandelt. Kapitel 4 baut auf Kapitel 3 auf, da es sich entsprechend auf kognitive, metakognitive und Problemlösungsstrategien in der OOP konzentriert. Darüber hinaus werden in verschiedenen Abschnitten des Kapitels verschiedene Leitlinien und praktische Hilfsmittel beim Erlernen von OOP ausführlich diskutiert.

    Objekt orientierte Programmierung

    Es gibt verschiedene Ansätze, die als Paradigmen bezeichnet werden, wie ein Programmierer ein Programm analysiert, entwirft und implementiert (Ragonis & Ben-Ari, 2005:203). Das objektorientierte Paradigma wird international an vielen Hochschulen breit vertreten (Or-Bach & Lavy, 2004: 82) und wurde vor einigen Jahren an südafrikanischen Universitäten eingeführt. In diesem Abschnitt werden das objektorientierte Paradigma, der Ursprung von OOP-Sprachen, Programmiernotationen und -modelle sowie Problem- und Entwurfsräume in OOP erläutert.

    Die Notwendigkeit, zum objektorientierten Paradigma zu wechseln

    Der Wechsel zum objektorientierten Paradigma war aufgrund vieler Probleme in der Softwareentwicklung ratsam:
    • Programmiersprachen benötigen eine bestimmte Plattform oder ein bestimmtes Betriebssystem. Die meisten Programme müssen auf der Windows-Plattform laufen, aber traditionelle Programmiersprachen wie Turbo Pascal benötigen ein DOS-basiertes Betriebssystem und viele Fehler traten auf, wenn
    solche Programme wurden in einer Windows-basierten Umgebung ausgeführt (§1.2)
    • Die Programmierung in einer DOS-Umgebung war ohne eine benutzerfreundliche grafische Oberfläche schwierig
    • Im früheren Verfahrensparadigma lag die Kontrolle über das Hauptprogramm. Da die globale Deklaration von Daten zulässig war, führte dies zu Schwierigkeiten beim Modifizieren und Testen von Programmen, da sich die Daten in jedem Verfahren ändern können (Rosson & Alpert, 1990: 356)
    • Programmierprobleme wurden komplexer und die Programme folglich schwerfällig (Yousoof et al., 2006:259).
    Der objektorientierte Ansatz adressiert einige dieser Probleme. Die objektorientierte Programmierung basiert auf diesem Ansatz, wobei Objekte Modelle realer Entitäten sind, die die Verantwortung haben, spezifische Aufgaben zur Lösung des Problems auszuführen (Garrido, 2003: 26-27). Die meisten Softwareanwendungen können auf einer Windows-Plattform laufen, haben eine benutzerfreundliche grafische Oberfläche und jedes Objekt ist für sein eigenes Verhalten verantwortlich (Shalloway & Trott, 2002: 6, 12-15).

    Titelblatt
    Abstrakt
    Danksagung
    Inhaltsverzeichnis
    Abbildungsverzeichnis
    Liste der Tabellen
    Liste der Programmsegmente
    Anhänge
    CD
    Glossar der Terminologie
    1. Theoretischer Hintergrund und reale Problemstellung
    1.1 Einleitung
    1.2 Hintergrund
    1.3 Problemstellung, Forschungsfrage und Teilfragen
    1.4 Forschungsziele
    1.5 Abgrenzung und Einschränkungen
    1.6 Forschungsrahmen und Methodik
    1.7 Zu erhebende Daten und Forschungsinstrumente
    1.8 Bedeutung der Studie
    1.9 Kurze Kapitelübersichten
    1.10 Fazit
    2. Forschungsdesign und Methodik
    2.1 Einführung
    2.2 Epistemologisches Paradigma, Forschungsdesign und Methodik
    2.3 Das interpretativistische Paradigma
    2.4 Forschungspraxis – Grounded Theory
    2.4.1 Übersicht
    2.4.2 Der Prozess der Erstellung einer Grounded Theory
    2.5 Forschungsüberlegungen zu dieser Studie
    2.5.1 Relevanz des Interpretivismus
    2.5.2 Relevanz der Grounded Theory
    2.5.3 Zuverlässigkeit, Validität und Reflexivität
    2.6 Das positivistische Paradigma
    2.6.1 Relevanz des positivistischen Paradigmas
    2.6.2 Zuverlässigkeit und Gültigkeit
    2.7 Forschungsmethoden: Datenerhebungstechniken
    2.7.1 Forschungsplan und Teilnehmer
    2.7.2 Objektorientiertes Computerprogramm
    2.7.3 Schriftliches Dokument – ​​Denkprozesse der Teilnehmer
    2.7.4 Fragebogen
    2.7.5 Ethische Aspekte
    2.8 Forschungsmethoden: Datenanalysetechniken
    2.8.1 Computerprogrammanalyse
    2.8.2 Textuelle Dokumentenanalyse – mit Unterstützung von Atlas.ti
    2.8.3 Fragebogendatenanalyse
    2.9 Software zur qualitativen Datenanalyse – Atlas.ti
    2.9.1 Anwendung von Atlas.ti
    2.9.2 Die Harmonie zwischen Grounded Theory und Atlas.ti
    2.10 Kapitelschluss
    3. Kognitives, metakognitives und problemlösendes Wissen und Kenntnisse in objektorientierter Programmierung
    3.1 Einführung
    3.2 Objektorientierte Programmierung
    3.2.1 Die Notwendigkeit, zum objektorientierten Paradigma zu wechseln
    3.2.2 Der Ursprung der objektorientierten Programmiersprachen
    3.2.3 Ein Überblick über die objektorientierte Programmierung
    3.2.3.1 Objekt
    3.2.3.2 Klasse
    3.2.3.3 Attribute und Methoden
    3.2.3.4 Konstruktoren und Destruktoren
    3.2.3.5 Abstraktionen und Assoziationen
    3.2.3.6 Polymorphismus und dynamische Bindung
    3.2.3.7 Vor- und Nachteile der objektorientierten Programmierung
    3.2.4 Notationen und Modelle programmieren
    3.2.4.1 Muster in der objektorientierten Programmierung
    3.2.4.2 UML – eine wichtige grafische Notation
    3.2.4.3 CRC-Karten
    3.2.5 Problem- und Entwurfsräume in der objektorientierten Programmierung
    3.3 Kognitive Kenntnisse und Fähigkeiten in der objektorientierten Programmierung
    3.3.1 Gedächtnis, Verständnis, Argumentation, Entscheidungsfindung, kreatives und kritisches Denken in der objektorientierten Programmierung
    3.3.1.1 Gedächtnis und kognitive Belastung
    3.3.1.2 Verständnis, Argumentation, Entscheidungsfindung, kreatives und kritisches Denken
    3.3.2 Blooms Taxonomie
    3.3.3 Einige praktische Mittel zur kognitiven Unterstützung
    3.4 Metakognitive Kenntnisse und Fähigkeiten in der objektorientierten Programmierung
    3.4.1 Metakognitives Wissen im Allgemeinen
    3.4.2 Metakognitives Wissen in der objektorientierten Programmierung
    3.4.3 Einige praktische Beispiele für metakognitive Unterstützung
    3.5 Kenntnisse und Fähigkeiten zur Problemlösung in der objektorientierten Programmierung
    3.5.1 Faktoren, die sich auf den Schwierigkeitsgrad von Problemen beziehen
    3.5.1.1 Die Strukturierung von Problemen
    3.5.1.2 Die Komplexität der Probleme
    3.5.1.3 Die Dynamik von Problemen
    3.5.1.4 Domänenspezifität oder Problemkontext
    3.5.2 Schritte zur Problemlösung
    3.5.2.1 Problemverständnis
    3.5.2.2 Programmgestaltung
    3.5.2.3 Programmcodierung
    3.5.2.4 Programmtest
    3.5.3 Kompetenzniveau und Problemlösung
    3.5.4 Einige praktische Hilfestellungen bei der Problemlösung
    3.6 Kapitelschluss
    4. Kognitive, metakognitive und Problemlösungsstrategien in Objekt orientierte Programmierung
    4.1 Einführung
    4.2 Strategische Leistungsaspekte
    4.3 Kognitive Strategien
    4.3.1 Probenstrategie in der objektorientierten Programmierung
    4.3.2 Ausarbeitungsstrategie in der objektorientierten Programmierung
    4.3.3 Die Organisations- und Integrationsstrategie in der objektorientierten Programmierung
    4.4 Metakognitive Strategien
    4.4.1 Planungsstrategie in der objektorientierten Programmierung
    4.4.2 Überwachungsstrategie in der objektorientierten Programmierung
    4.4.3 Regulierungsstrategie in der objektorientierten Programmierung
    4.4.4 Reflexion in der objektorientierten Programmierung
    4.5 Problemlösungsstrategien in der objektorientierten Programmierung
    4.5.1 Problemlösungsstrategien bei der Programmierung
    4.5.1.1 Bottom-up-Strategie
    4.5.1.2 Top-down-Strategie
    4.5.1.3 Integrierte Strategie
    4.5.1.4 Bedarfsstrategie
    4.5.1.5 Trial-and-Error-Strategie
    4.6 Kapitelschluss
    5. Empirische Forschung und Datenanalyse
    5.1 Einführung
    5.2 Analyse der Computerprogramme und Denkprozesse der Teilnehmer
    5.3 Qualitative Analyse der Denkprozesse der Teilnehmer mit der Software Atlas.ti
    5.4 Statistische Analyse – Fragebogen
    5.5 Triangulation zwischen verschiedenen Analysemethoden
    5.6 Maßnahmen zur Sicherstellung der Genauigkeit und Qualität der Daten
    5.7 Übersicht der Forschungsergebnisse
    5.8 Kapitelschluss
    6. Diskussion und Schlussfolgerung
    6.1 Einführung
    6.2 Diskussion der Ergebnisse dieser Studie
    6.3 Ein Lernrepertoire an Wissen, Fähigkeiten und Strategien für die objektorientierte Programmierung
    6.4 Anwendung dieser Studie auf Lehren und Lernen
    6.5 Empfehlungen und zukünftige Forschungsrichtungen
    6.6 Kapitelschluss
    Verweise

    ERHALTEN SIE DAS KOMPLETTE PROJEKT
    EINE UNTERSUCHUNG DER WISSEN, FÄHIGKEITEN UND STRATEGIEN DER STUDIERENDEN WÄHREND DER PROBLEMLÖSUNG IN DER OBJEKTORIENTIERTEN PROGRAMMIERUNG


    Aufgabe 5

    Viele Fernsehbildschirme sind Rechtecke, die an der Länge ihrer Diagonalen gemessen werden. Das Verhältnis der horizontalen Länge zur Höhe eines Standardfernsehbildschirms beträgt 4 : 3. Welcher der folgenden Werte entspricht die horizontale Länge eines 27-Zoll-Fernsehbildschirms in Zoll am nächsten?


    Schritt 2: Analysieren Sie das Problem

    In diesem Schritt sollte eine Gruppe das Problem und die Beziehung der Gruppe zum Problem analysieren. Während der erste Schritt darin bestand, das „Was“ des Problems zu erforschen, konzentriert sich dieser Schritt auf das „Warum“. In dieser Phase können die Gruppenmitglieder die möglichen Ursachen der Schwierigkeit diskutieren. Gruppenmitglieder möchten möglicherweise auch damit beginnen, eine Agenda oder einen Zeitplan für den Problemlösungsprozess der Gruppe festzulegen, und freuen sich auf die anderen Schritte. Um das Problem vollständig zu analysieren, kann die Gruppe die fünf zuvor besprochenen allgemeinen Problemvariablen diskutieren. Hier sind zwei Beispiele für Fragen, die sich die Gruppe stellen könnte, die sich zur Bekämpfung von Ethikverstößen gebildet hat: Warum hat unsere Stadt keinen Ethik-Berichtsmechanismus? Haben Städte ähnlicher Größe einen solchen Mechanismus? Nachdem das Problem analysiert wurde, kann die Gruppe eine Problemfrage stellen, die die Gruppe bei der Entwicklung möglicher Lösungen leitet. „Wie können Bürgerinnen und Bürger mutmaßliche ethische Verstöße von Stadtbeamten melden und wie werden solche Meldungen bearbeitet und behandelt?“ Wie Sie sehen, ist die Problemfrage komplexer als die Problemstellung, da die Gruppe in Schritt 2 zu einer eingehenderen Diskussion des Problems übergegangen ist.


    Twitter

    Problem Nr. 1
    Implementieren Sie ein Autovervollständigungssystem. Das heißt, bei einer gegebenen Abfragezeichenfolge s und einer Menge aller möglichen Abfragezeichenfolgen werden alle Zeichenfolgen in der Menge zurückgegeben, die s als Präfix haben.
    Geben Sie beispielsweise den Abfragestring de und den Satz von Strings [ dog , deer , deal ] zurück [ deer , deal ].

    Hinweis: Versuchen Sie, das Wörterbuch in eine effizientere Datenstruktur vorzuverarbeiten, um Abfragen zu beschleunigen.

    Problem #2
    Sie betreiben eine E-Commerce-Website und möchten die letzten N Bestell-IDs in einem Protokoll aufzeichnen. Implementieren Sie dazu eine Datenstruktur mit der folgenden API:

    • record(order_id): fügt die order_id zum Log hinzu
    • get_last(i): Holt das i-te letzte Element aus dem Log. i ist garantiert kleiner oder gleich N.

    Problem Nr. 1
    Dieses Problem wurde von Uber gestellt.
    Geben Sie bei einem gegebenen Array von ganzen Zahlen ein neues Array zurück, so dass jedes Element an einem Index i des neuen Arrays das Produkt aller Zahlen im ursprünglichen Array außer der an i ist. Wenn unsere Eingabe beispielsweise [1, 2, 3, 4, 5] wäre, wäre die erwartete Ausgabe [120, 60, 40, 30, 24] . Wenn unsere Eingabe [3, 2, 1] wäre, wäre die erwartete Ausgabe [2, 3, 6]


    4.3: Problemlösung

    Die Entscheidung über den Wahrheitswert mathematischer Aussagen ist ein wesentlicher Aspekt der mathematischen Praxis, mit dem sich die Studierenden selten beschäftigen. Diese Studie untersuchte die Herangehensweise von Ingenieurstudenten im ersten Jahr an mathematische Aussagen mit unbekannten Wahrheitswerten und nahm die Perspektive ein, dass die Konstruktionsbeispiele eine Aktivität zur Problemlösung sind. Aufgabenbasierte Interviews mit der Think-Aloud-Methode zeigten den Schülern Problemlösungsprozesse in der Tiefe. Die primären Datenquellen waren die Protokolle von 15 Studenten zum Fragebogen, drei falsche Aussagen betrafen grundlegende Konzepte über Ableitung und bestimmtes Integral. Durch Analyse der Daten. Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass die Teilnehmer Probleme bei der Lösung von Problemen unter anderem versäumten: mathematische Intuition und prototypisches Beispiel behinderten die Konstruktion von Gegenbeispielen, es gibt zwei Gefahren bei der Visualisierung – Zahlen können zu falschen Schlussfolgerungen führen und Zahlen können unsere Argumentation irreführen.

    Schlüsselwörter: Ingenieurstudenten, Intuition, Problemlösung, Visualisierung

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    • Chih-Hsien Huang. Mathematische Problemlösung und Verwendung von Intuition und Visualisierung durch Ingenieurstudenten. Amerikanisches Journal für Bildungsforschung. vol. 3, Nr. 12, 2015, S. 1484-1488. http://pubs.sciepub.com/education/3/12/1
    • Huang, Chih-Hsien. "Mathematische Problemlösung und Verwendung von Intuition und Visualisierung durch Ingenieurstudenten." Amerikanisches Journal für Bildungsforschung 3.12 (2015): 1484-1488.
    • Huang, C. (2015). Mathematische Problemlösung und Verwendung von Intuition und Visualisierung durch Ingenieurstudenten. Amerikanisches Journal für Bildungsforschung, 3(12), 1484-1488.
    • Huang, Chih-Hsien. "Mathematische Problemlösung und Verwendung von Intuition und Visualisierung durch Ingenieurstudenten." Amerikanisches Journal für Bildungsforschung 3, nein. 12 (2015): 1484-1488.

    Auf einen Blick: Zahlen

    1. Einleitung

    Die Bestimmung des Wahrheitswertes mathematischer Aussagen ist ein wichtiger Bestandteil des Problemlösungsprozesses. Im Umgang mit Unsicherheit versuchen Mathematiker oft, den Wahrheitswert einer Aussage mit einiger Sicherheit zu bestimmen, bevor sie Zeit in einen Beweis- oder Widerlegungsversuch investieren [5, 15] . Der Beweisprozess ist komplex und umfasst eine Vielzahl von Argumentationsaktivitäten, einschließlich intuitiver, informeller und formaler Argumentation. Formell Argumentation basiert auf Logik und Deduktion, und informell Denken umfasst Denkstrategien wie visuelles, beispielbasiertes oder musterbasiertes Denken. Diese Studie versucht hiermit den Einsatz von intuitivem und visuellem Denken bei fortgeschrittenen mathematischen Problemlösungen durch Ingenieurstudenten in einem Interview-Setting zu untersuchen. Durch eine Analyse der Problemlösungsprotokolle und -antworten von Ingenieurstudenten untersuchte ich die Beziehung zwischen Intuition und Visualisierung bei der Rechtfertigung des Wahrheitswerts mathematischer Aussagen. Diese Studie untersucht (a) die Art und Weise, wie Intuition und Visualisierung im Entscheidungsprozess zusammenwirken, (b) wie dieser Entscheidungsprozess die Konstruktionen von zugehörigen Gegenbeispielen für die Aussagen durch die Schüler beeinflusst.

    2. Theoretischer Rahmen

    Die Intuition ist für die Entscheidung über den Wahrheitswert einer mathematischen Aussage besonders wichtig, weil sie das Plausible vorschlagen kann, wenn kein Beweis vorliegt [4, 12] und „begründet, aber vor der Suche nach überzeugenden Argumenten und“ , letztlich Beweis“ [3] . In der begrenzten Forschung zur Intuition im Mathematikunterricht haben Forscher eine Vielzahl von Arten des intuitiven Denkens gefunden, die von Schülern und Mathematikern verwendet werden, um mathematische Vermutungen zu bewerten. Ingliset al. [15] fanden heraus, dass die intuitive Unterstützung der Mathematiker für die Wahrheit oder Falschheit einer mathematischen Aussage entweder auf vermuteten Eigenschaften mathematischer Objekte oder auf bekannten Beziehungen zwischen mathematischen Konzepten beruht. Intuition konstruiert eine automatische mentale Repräsentation einer Aufgabe unter Berücksichtigung von Aufgabenhinweisen, Vorwissen und Erfahrung und arbeitet unabhängig vom Arbeitsgedächtnis [9, 11, 14] . In dieser Studie ist eine Intuition "eine Darstellung, eine Erklärung oder eine Interpretation, die von uns direkt als etwas Natürliches, Selbstverständliches, intrinsisches Bedeutsames akzeptiert wird, wie eine einfache, gegebene Tatsache"." [10] . Fischbein [11] bot zwei Ansätze zur Klassifikation von Intuitionen, einen nach Rollen oder Herkunft. In diesem Klassifikationssystem können Intuitionen bestätigend, mutmaßlich, antizipierend oder schlüssig sein. Bei einer affirmativen Intuition bejaht oder behauptet man. Eine mutmaßliche Intuition ist eine, in der eine Annahme über zukünftige Ereignisse ausgedrückt wird. Antizipatorische und schlüssige Intuitionen repräsentieren Phasen im Prozess der Lösung eines Problems. Antizipatorische Intuitionen drücken eine vorläufige, globale Sichtweise aus, die einer analytischen Lösung eines Problems vorausgeht. Schlüssige Intuitionen fassen in einer globalen, strukturierten Vision die Lösung eines zuvor erarbeiteten Problems zusammen. Antizipatorische Intuitionen sind die Erkenntnisse, die implizit bei einem Problemlösungsversuch entstehen, unmittelbar nach einer ernsthaften Suche nach einer Problemlösungsstrategie. Antizipatorische Intuitionen sind ganzheitlich und mit dem Gefühl der Überzeugung verbunden, das aus umfassender Argumentation oder Prüfung abgeleitet wird.

    Der zentralen Bedeutung der Visualisierung beim Lernen und Betreiben von Mathematik wird zunehmende Aufmerksamkeit geschenkt, nicht nur zu Veranschaulichungszwecken, sondern auch als Schlüsselkomponente der Argumentation [1] . Wenn man die Rolle visueller Bilder bei der Strukturierung von Intuitionen betrachtet, sollte man bedenken, dass visuelle Repräsentationen nicht selbst intuitives Wissen“ [11] . Visualisierung ist ein kritischer Aspekt des mathematischen Denkens, Verstehens und Argumentierens. Forscher argumentieren, dass visuelles Denken eine alternative und leistungsstarke Ressource für Schüler ist, um Mathematik zu machen [2, 6] , es unterscheidet sich von linguistischem, logisch-aussagendem Denken und der Manipulation von Symbolen. Nach Duval [8] kann Visualisierung in jedem Repräsentationsregister erzeugt werden, da es sich auf Prozesse bezieht, die mit der visuellen Wahrnehmung und dann mit dem Sehen verbunden sind. Zimmerman und Cunningham [21] behaupteten, dass die Verwendung des Begriffs „Visualisierung“ ein Konzept oder Problem betraf, das die Visualisierung beinhaltete. Nemirovsky und Noble definierten Visualisierung als ein Werkzeug, das zwischen äußeren Repräsentationen und den mentalen Wahrnehmungen der Lernenden eindrang oder hin und her reiste [18] . Dreyfus behauptete, dass das, was Schüler in einer Darstellung „sehen“, mit ihrer konzeptionellen Struktur verknüpft sei, und schlug weiter vor, Visualisierung als Lernwerkzeug zu betrachten [7] . Nach Arcavi spielt die Visualisierung eine wichtige Rolle bei der Förderung des Verständnisses als Unterstützung und Veranschaulichung symbolischer Ergebnisse und als Werkzeug zur Lösung von Konflikten zwischen falschen Intuitionen und richtigen Lösungen [1] . Visualisierung hilft, die verborgene Bedeutung formaler Definitionen zu erfassen. Arcavi betonte, dass Visualisierung ein Betriebsmodus ist: Für ihn wird der Prozess der Lösung eines Problems durch Visualisierung durchgeführt [1] .

    3. Methode

    Die Teilnehmer dieser Studie waren 15 Studenten im ersten Studienjahr an einer Technischen Universität in Taiwan, die zuvor Kurse in Derivaten und bestimmten Integralen absolviert hatten. Alle Schüler hatten erfolgreich Routineaufgaben gelöst. Sie erhielten einen Fragebogen, der drei mathematische Falschaussagen enthielt und der die Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler bewerten sollte, Beispiele (Gegenbeispiele) zu generieren, die sich auf grundlegende Differenzierungs- und Integrationskonzepte beziehen. Diese Studenten hatten noch nie zuvor ähnliche Probleme angegangen.

    Aussage1: Wenn , dann . Richtig oder falsch? Rechtfertige deine Antwort.

    Aussage 2: Wenn und beide differenzierbar sind und , , dann , . Richtig oder falsch? Rechtfertige deine Antwort.

    Aussage 3: Wenn und beide differenzierbar sind und dann , wahr oder falsch? Rechtfertige deine Antwort.

    Die Schülerinnen und Schüler wurden gebeten, die Richtigkeit der mathematischen Aussagen festzustellen und ihre Antworten zu begründen. Es wurden Daten zu den Beispielen (Gegenbeispielen) erhoben, die von den Teilnehmern erstellt wurden. Jeder Schüler arbeitete individuell an jedem Problem. Die Untersuchung wurde mittels klinischer Interviews durchgeführt. Bei Schwierigkeiten fungierte der Interviewer auch als Souffleur. Die Interviews wurden aufgezeichnet und die Notizen und Zahlen der Probanden wurden gesammelt.

    Die Daten, die aus (a) Transkripten der aufgabenbasierten Interviews der Teilnehmer mit der Think-Aloud-Methode und (b) der schriftlichen Arbeit der Teilnehmer zu den Aufgaben in den Interviews generiert wurden, wurden mit dem Grounded-Theory-Ansatz analysiert [13] . Das Verfahren der Datenanalyse umfasste offene, axiale und selektive Kodierungsprozesse für qualitative Daten in Anlehnung an Strauss und Corbin, um beschreibende Kategorien zu erzeugen [20] . Die Daten wurden nach der Verwendung von intuitivem und visuellem Denken während der Prozesse der Teilnehmer analysiert, um zu entscheiden, ob eine mathematische Aussage wahr oder falsch war, und um Gegenbeispiele zu konstruieren. Darüber hinaus wurden die Entscheidungs- und Konstruktionsprozesse der Studierenden analysiert, um die Entscheidungsfindung der Studierenden und die Verbindungen zwischen diesen Prozessen zu ermitteln. Ich werde die Argumentation als intuitiv klassifizieren, wenn der Schüler (a) angegeben hat, dass es sich um eine Intuition, einen Instinkt, ein Bauchgefühl oder einen ersten Gedanken handelt, (b) Ähnlichkeiten verwendet hat, um die Aufgabe zu beurteilen, oder (c) die Argumentation nicht begründen konnte. Denken wird als visuell klassifiziert, wenn der Schüler (a) Diagramme einführt (b) explizit an Bilder oder Diagramme denkt, anstatt an algebraische Darstellungen.

    4. Empirische Daten und Analysen

    Fünf Schüler, darunter S4, machten bei der Generierung unterstützender Beispiele logische Fehler.

    S4: Ein größeres Integral entspricht einer größeren Funktion. Angegebenes und ist beispielsweise größer als . Das Integral von 0 bis 1 beträgt 4/3, was ebenfalls größer ist als das Integral von , 1/3, über das gleiche Intervall.

    I: Die Bedingung ist, dass das Integral von größer als das Integral von ist, aber Sie sagten, dass die Aussage wahr ist, denn je größer das Integral ist, desto größer ist die Funktion.

    S4: (Acht Sekunden Stille) Ich mache einen Fehler. Ich sollte zwei verschiedene Integrale herausfinden, und dann… (12sof Schweigen) Ich habe keine Ahnung. Ich vergesse, wie es geht.

    Sechs Studenten verwendeten grafische Darstellungen, um Beispiele zu generieren, um ihre Behauptungen zu untermauern. Obwohl sie Integrale mit Flächen verbanden, verstanden sie die wahre Beziehung zwischen den beiden nicht. Eine typische Antwort ist wie folgt.

    S6: Das Integral repräsentiert die Fläche unter der Kurve. Ein größeres Integral entspricht einer größeren Fläche [Abbildung 1]. Hier wird das größere Integral durch den höheren Graphen repräsentiert, also ist die Funktion größer.

    I: Sie haben Funktionsgraphen über der x-Achse gezeichnet. Wenn sie sich unterhalb der x-Achse oder einer oberhalb der x-Achse und der andere unterhalb der x-Achse befinden würden, wären die Ergebnisse dann dieselben?

    S6: Das Ergebnis wäre das gleiche, solange die Grafik von oben die Grafik von ist.

    Sechs Studenten behaupteten, dass die Aussage falsch sei, lieferten aber ein Gegenbeispiel, das die Aussage nicht widerlegte, sie verstanden auch die Beziehung zwischen Integralen und Flächen nicht.

    S9: Ein Integral ist eine Fläche, also bedeutet ein größeres Integral eine größere Fläche. Die von und der x-Achse begrenzte Fläche ist größer als die von und der x-Achse begrenzte Fläche [Abbildung2]. Ist jedoch kleiner als .

    I: Der Integralwert kann negativ sein, aber die Fläche ist positiv.

    S9: (Zehn Sekunden Stille) Wenn die Fläche über der x-Achse liegt, entspricht das Integral der Fläche. Ist die Fläche unterhalb der x-Achse, dann entspricht der Absolutwert des Integrals der Fläche. (Zehn Sekunden Stille) Ich glaube, ich habe einen Fehler gemacht, die Aussage ist richtig.

    Nur ein Schüler hat den Wahrheitswert von Aussage 1 genau bestimmt. Er wählte eine Versuch-und-Irrtum-Strategie, um Beispiele zur Bewertung der Aussage zu generieren, bis er ein Gegenbeispiel konstruierte:

    S13: In der Grafik [Abbildung 3], die ich gezeichnet habe, ist die Fläche, die von und die x-Achse begrenzt wird, größer als die von und die x-Achse ist, also ist das Integral von in [a, b] größer als das Integral von in [a, b]. Der Funktionswert von im Intervall [a, c] ist jedoch kleiner als der Funktionswert von im Intervall [a, c]. Daher ist die Aussage falsch.

    Fünf Schüler stellten fest, dass Aussage 2 zutrifft, sie definierten den Bereich der Variablen nicht und konnten daher keine unterstützenden Beispiele generieren. S5 reagierte typisch.

    S5: Wenn und , dann ist größer als , , , und ist größer als .

    I: Warum ist nicht immer größer als .

    S5: Die Aussage ist offensichtlich wahr, zum Beispiel wenn x gleich 1 ist, da der Wert von 2 größer ist als der Wert von 1.

    Vier Schüler, darunter S7, gaben ähnliche Beispiele, widerlegten jedoch die Aussage.

    S7: und ist größer als , , und . Wenn x kleiner als 1/2 ist, ist größer als .

    I: Wenn x kleiner als 1/2 ist, ist f immer größer als G?

    S7: Nr. ist nicht größer als , x muss kleiner als 1/2 und muss größer als x sein. Oh! Aha. Für dieses Beispiel muss x kleiner als null sein.

    Diese Studenten konzentrierten sich auf die algebraische Manipulation, wussten jedoch nicht, wie wichtig die Domäne ist. Vier Studenten, die diese Aussage widerlegten, stellten die Auswirkungen von Konstanten im Differenzierungsprozess fest. S8 bemerkte zum Beispiel auch den Bereich der Funktionen: „Da konstante Terme nach der Differentiation Null werden und die Integrationskonstante den Wert der Funktion beeinflusst. Zum Beispiel 0≦x≦10, f ist größer als G, und , und und ist größer als .“ Zwei Studenten verwendeten grafische Darstellungen und Steigungen von Tangenten, um zu argumentieren, dass die mathematische Aussage falsch war (Abbildung 4). Interessanterweise markierten diese Schüler alle den Bereich der Funktionen in den Graphen. Beispielsweise,

    S12: Ich denke, eine größere Funktion impliziert keine größere Ableitung. Diese Aussage ist falsch. Daher möchte ich ein Gegenbeispiel finden, um seine Falschheit zu beweisen. Der Graph von liegt über dem von G. Der Graph von G ist eine Gerade mit konstanter Steigung. Die Steigung von im Intervall von (a, b) ist nicht immer größer als die von . Daher habe ich bewiesen, dass diese Aussage falsch ist.

    Aussage 3 ist die Umkehrung von Aussage 2. Allerdings schnitten die Schüler bei ihren Antworten auf diese beiden Aussagen unterschiedlich ab, was deutlich machte, dass Aussage 3 schwieriger zu bewerten war als Aussage 2. Die meisten Schüler bemerkten jedoch weder das Intervall noch generierten sie Beispiele oder Gegenbeispiele, um die Aussage zu bestätigen oder zu widerlegen. Zum Beispiel betrachtete S1 und , und behauptete, dass größer als ist, und dann bereitgestellt und , und behauptete, dass größer als . ist G. Dieser Student erkannte nicht, dass dieses Beispiel die Bedingungen der Aussage nicht erfüllte, wobei der Bereich von x und die Integrationskonstante ignoriert wurden. Im Gegensatz zu S1 sagte S11, dass die Aussage wahr ist, und verwendet die symbolische Darstellung, um ein unterstützendes Beispiel zu generieren. Sie vernachlässigte jedoch die willkürliche Konstante c. Sie überlegte und meinte, das sei größer als G ′ (x), for all is is , und ist größer als , for all .

    I: Sind diese beiden Werte von c gleich?

    S11: Sie sind gleich, weil beide c sind.

    S11: Nr. c kann eine beliebige Konstante sein.

    I: Diese beiden Konstanten c können also jede beliebige Konstante sein, oder?

    S11: Ja, aber (10 Sekunden Stille) Ich habe einen großen Fehler gemacht. c kann eine beliebige Konstante sein, also können diese beiden ‚c‘ unterschiedlich sein. Es ist mir nicht eingefallen. (Sieben Sekunden Stille) Nun behaupte ich, dass diese Aussage nicht wahr ist, die Konstante c von ist minus 100 und die Konstante c von ist 100, und x sollte zwischen null und eins liegen.

    Ein Student generierte erfolgreich Gegenbeispiele mit algebraischer Darstellung. Im Gegensatz zu S11 bemerkte S15 den Effekt der Integrationskonstante und des Wertebereichs der Variablen, die er betrachtete, und stellte fest, dass größer als ist und behauptete, dass für ist , ist und größer als G, wenn 0≦x≦10, und .” Zwei Studierende nutzten grafische Darstellungen, um Gegenbeispiele zu generieren. Zum Beispiel verband S2 die Ableitungen mit der Steigung der Tangente [Abbildung 5]: „Die Steigungen der Tangenten von sind größer als Null Die Steigungen der Tangenten von sind kleiner als Null, also größer als , aber G größer ist als im Intervall [a,c 1 ].“ Wie in ihren Antworten zu Aussage 3 markierten diese beiden Studenten beide den Bereich der Funktionen in ihren Graphen.

    5. Diskussion und Schlussfolgerung

    Aus dem Problemlösungsverhalten der Schüler in dieser Studie und aus der Beurteilung der mathematischen Aussagen geht hervor, dass die Art der Intuition, die für Schüler verwendet werden kann, die in diese Art von Übung eingeordnet werden, die bestätigende Intuition ist. Bei der Planung der Lösung versuchten die Schüler intuitiv, symbolische und grafische Darstellungen zu verwenden. Diese Intuition wird als antizipatorische Intuition klassifiziert. Bei der erfolgreichen Implementierung der Lösung wird die Intuition durch Versuch und Irrtum verwendet, die Art der Intuition, die bei dieser Art des Lernens verwendet wird, wird als antizipierende Intuition klassifiziert.

    Systematische intuitive Fehler sind Fehler des intuitiven Denkens, die falsche Darstellungen von Situationen verursachen und über Situationen und Personen hinweg bestehen bleiben. Viele Schüler machten logische Fehler bei der Entscheidung über den Wahrheitswert einer mathematischen Aussage (z. B. S4). Nach Fischbein [11] können wir behaupten, dass die (falsche) Äquivalenz zwischen einer Aussage und der Umkehrung eine Intuition ist. Darüber hinaus ist es wichtig, den Studierenden die Struktur ihrer Argumentationen bewusst zu machen, damit das Wissen um die Nicht-Äquivalenz zwischen Aussage und Umkehrung zu einem intuitiven Wissen wird. Wie Fischbein [11] schrieb:

    Die Ausbildung logischer Fähigkeiten ist eine Grundvoraussetzung für den Erfolg im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht. Wir beziehen uns nicht nur auf eine formal-algorithmische Ausbildung. Das Hauptanliegen muss die Umwandlung dieser mentalen Schemata in intuitive effiziente Werkzeuge sein, dh in Mechanismen, die organisch in die mentalen Verhaltensfähigkeiten des Individuums integriert sind.

    Die Teilnehmer dieser Studie halten auch die falsche Intuition 'Mehr A-Mehr B' [19] in der Aussage 1, zum Beispiel 'Je größer die Funktionis, desto größer die Integralis' (S4) und 'Bei einem größeren Integral, die Fläche ist größer ' (S6). Interessant ist, dass die Studierenden keine ähnliche falsche Intuition bezüglich Aussage 2 und Aussage 3 zum Begriff der Ableitung haben, sondern zum Begriff der Funktion. Zum Beispiel S10, weil 2 größer als 1 ist, also ist ' größer als weil 4 größer als 2 ist, also ist ' größer als . Differenzierung ist in der Regel einfacher als Integration, und die Darstellung der Fläche ist einfacher als die Darstellung der Tangentensteigung, je nach den Problemlösungsprozessen der Teilnehmer. Dieser Befund zeigt die Rechenkomplexität der mathematischen Aussage und die Intensität ihrer Verbindung mit der grafischen Darstellung. Diese Beobachtungen scheinen sich auf die Neigung der Schüler zu beziehen, intuitive Gesetze zu verwenden. Viele systematische intuitive Fehler können als Zugänglichkeitsfehler klassifiziert werden [14, 16] . Zugänglichkeit ist die Leichtigkeit, mit der bestimmtes Wissen evoziert oder bestimmte Aufgabenmerkmale wahrgenommen werden, und ist ein wesentlicher Bestandteil des intuitiven Denkens und Entscheidens [16] . Diese intuitiven Fehler beinhalten die Attributsubstitution [16] , wenn ein leichter zugängliches Attribut in einer Aufgabe durch ein weniger leicht zugängliches Attribut ersetzt wird. Ähnlichkeit ist beispielsweise ein Attribut, das immer zugänglich ist, weil es intuitiv verarbeitet wird [17] . Die Teilnehmer können intuitiv Ähnlichkeiten zwischen einem gegebenen Konzept (Integral, , oder ) und einem vertrauten Konzept (Bereich, 2 oder 4) bemerken und basierend auf diesen Ähnlichkeiten leichter zugängliche Attribute durch weniger zugängliche ersetzen.

    5.2. Verwendung des visuellen Denkens durch Schüler Students

    Eine der wichtigsten heuristischen Strategien bei vielen Rechenaufgaben besteht darin, einen Graphen der beteiligten Funktion zu zeichnen. Die meisten Schüler hatten jedoch die starke Neigung, symbolische Darstellungen zu verwenden. Interessant ist, dass selbst wenn Schüler grafische Darstellungen verwenden, um Beispiele zu generieren, nur wenige Schüler korrekte Gegenbeispiele generieren können. Ein möglicher Grund ist, dass es in ihrem Konzeptbild der Ableitung und des bestimmten Integrals keine visuelle Komponente gibt, was es ihnen erschwert, die Aussagen zu „sehen“. Dies gilt insbesondere für Aussage 1. Es ist schwierig, ein geeignetes Gegenbeispiel zu finden, wenn man sein begrenztes Begriffsbild nicht erweitern kann. Die bedeutendste Erweiterung des evozierten Begriffsbildes der Funktion im Sinne der Assoziation mit Lernereignissen ist der Einsatz von Visualisierung im Sinne von Zimmermann und Cunningham: „Mathematische Visualisierung ist der Prozess der Bildbildung (mental oder mit Bleistift und Papier oder mit Hilfe von Technologie) und die effektive Nutzung solcher Bilder für mathematische Entdeckungen und Verständnis“ [21] . Warum ist Visualisierung wichtig? Die von den Schülern generierten Beispiele zeigen, dass diejenigen, die die symbolische Darstellung verwenden, die Bedingung nicht erfüllen konnten“ . Im Gegenteil, die Verwendung der grafischen Darstellung ermöglicht es den Schülern, gleichzeitig mehr angenommene Bedingungen zu kontrollieren und gleichzeitig ein Gegenbeispiel zu generieren. Die globale, aber nicht die lokale Idee, die der Graph hatte, könnte mit der Anweisung verknüpft werden, wodurch der Graph als eine Art allgemeines Beispiel dienen kann. Mit anderen Worten, die Visualisierung ermöglichte es den Schülern, eine größere Anzahl von Bedingungen gleichzeitig zu steuern, während die Schüler in der symbolischen Darstellung nur eine Anforderung gleichzeitig steuern können. Dieser Befund stützte Fischbeins Behauptung, dass Visualisierung „nicht nur vorhandene Daten in sinnvolle Strukturen organisiert, sondern auch ein wichtiger Leitfaktor für die analytische Entwicklung einer Lösung ist.“ [11] . Wir schlagen vor, dass Visualisierung mehr sein kann: Es kann der analytische Prozess selbst sein, der mit einer generischen Lösung endet.

    Es gibt zwei Gefahren beim Visualisieren. Die erste Gefahr beim Visualisieren ist, dass Zahlen können zu falschen Schlussfolgerungen führen. Tatsächlich ist es in diesem Fall (z. B. S8 und S9) nicht die Zahl, die falsch ist und uns zu der falschen Schlussfolgerung führt. Irreführend ist vielmehr die Argumentation „hinter“ der Figur. Diese falschen – propositional ausgedrückten – Hypothesen aktivierten eine ungenaue Zahl, und dies führt zu einer falschen Schlussfolgerung. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Zahl als Zahl falsch ist. Vielmehr ist es die Rolle dieser Figur als Aktivierung einiger falscher Hypothesen. Daher liegt der Fehler in der informellen Argumentation, die hinter der Konstruktion dieser Figuren steckt, und nicht in den Figuren selbst oder in der Möglichkeit, sie auf die Probe zu stellen. Dieser Fehler bei der Verwendung von Zahlen ist prävisuell, da er von falschen Hypothesen abhängt, die vor dem Zeichnen der Zahlen gemacht werden. Die zweite Gefahr beim Visualisieren besteht darin, dass fZahlen können irreführen Einsen Argumentation. Dies kann passieren, wenn die Argumentation an dem bestimmten Bild durchgeführt wird, das die mathematische Aussage darstellt, ohne die damit verbundenen Konsequenzen zu berücksichtigen. Was die Problemlösungsleistung von S2 und S6 betrifft, so kennen die Schüler zwar die mathematischen Konzepte der Ableitung und des bestimmten Integrals, sind aber nicht in der Lage, die mathematischen Aussagen zu lösen. Solche Fehler bei der Verwendung von Figuren sind postvisuell, da sie auf falschen Hypothesen beruhen, die auf die gezeichnete Figur gestellt werden.

    Betrachten wir Beispiele aus der mathematischen Problemlösung, so sehen wir, dass der Appell an die Visualisierung nicht direkt ist, da sie stark von der Expertise abhängt. Darüber hinaus wird die Entdeckung durch Visualisierung durch die Intuition der Allgemeinheit der damit gewonnenen Schlussfolgerungen vermittelt. Dennoch sind Intuition und Visualisierung miteinander verbundene Teile eines riesigen Wissensnetzes, das zum Lernen und zur Anwendung einer mathematischen Problemlösung führt. Es ist die Bewahrung dieser Verbindungen, die die Intuition der Allgemeinheit einiger Schlussfolgerungen und die konsequente Stabilisierung bestimmter Überzeugungen ermöglicht.

    Wissen

    Dieser Artikel ist Teil eines Projekts, das vom National Science Council of Taiwan (NSC 102-2511-S-131-001-MY3) unterstützt wird.


    4.3: Problemlösung

    4. Auswerten ( displaystyle iintlimits_ < ight),dA>>) wobei (D) die Region ist, die von (y = 1 - ) und (y = - 3).

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    Unten ist eine kurze Skizze der Region (D).

    Im Allgemeinen ist diese Skizze oft wichtig, um das Integral richtig einzustellen. Wir müssen die Reihenfolge der Integration bestimmen und oft wird die Region eine bestimmte Reihenfolge „erzwingen“. Viele Regionen können nur durch eine bestimmte Integrationsreihenfolge leicht behandelt werden, und manchmal ist die einzige Möglichkeit, dies wirklich zu sehen, eine Skizze von (D).

    Selbst wenn Sie das Integral in beliebiger Reihenfolge erstellen können, hilft die Skizze von (D) oft beim Festlegen der Grenzen für die Integrale.

    Bei diesem Problem ist die Region eigentlich nur so eingerichtet, dass sie zuerst (y) integriert. Das Integrieren von (x) zuerst würde zwei Integrale erfordern (die rechten/linken Funktionen ändern sich) und die Grenzen für die (x) wären etwas unübersichtlich.

    Hier sind also die Grenzen für dieses Integral.

    [Start - sqrt 2 le x le sqrt 2 - 3 le y le 1 - Ende]

    Die (x)-Grenzen können leicht gefunden werden, indem man die beiden Gleichungen gleich setzt und nach (x) auflöst.

    Hier ist zuerst der Integralsatz für die (y)-Integration.

    Hier ist die (y)-Integration.

    Bei diesem Problem haben wir zwei Möglichkeiten, mit der Vereinfachung des Integranden umzugehen. Der dritte und vierte Begriff müssen vereinfacht werden. Die ersten und zweiten Terme können jedoch vereinfacht werden, und sie sind nicht so schwer zu vereinfachen, oder wir könnten für jeden von ihnen eine ziemlich schnelle Substitution in Calculus I durchführen.

    Wenn Sie alles ausmultiplizieren, erhalten Sie das folgende Integral.

    Bei diesem Integranden ist eine Menge Abbruch im Gange. Es ist jedoch nicht offensichtlich, dass es auf den ersten Blick so viele Auslöschungen geben würde, und die für die Auslöschung erforderliche Multiplikation ist der Typ, bei dem es leicht ist, ein Minuszeichen zu übersehen und den falschen Integranden und dann eine falsche Antwort zu erhalten.

    Lassen Sie uns also auch den Substitutionspfad durchführen, um den Unterschied zu sehen. Das gibt,

    Also die gleiche Antwort, die nicht sehr überraschend sein sollte, aber ein etwas unordentlicherer Integrations- und Bewertungsprozess. Welchen Weg Sie gewählt haben und welcher Weg Ihrer Meinung nach der einfachere von beiden ist, hängt wahrscheinlich stark von der Person ab.Wie gezeigt, erhalten Sie jedoch die gleiche Antwort, sodass Sie sich darüber keine Sorgen machen müssen.


    4.3 Zweites Newtonsches Bewegungsgesetz: Konzept eines Systems

    Newtons zweites Bewegungsgesetz ist eng mit dem ersten Newtonschen Bewegungsgesetz verwandt. Es gibt mathematisch die Ursache-Wirkungs-Beziehung zwischen Kraft und Bewegungsänderungen an. Newtons zweites Bewegungsgesetz ist quantitativer und wird ausgiebig verwendet, um zu berechnen, was in Situationen mit einer Kraft passiert. Bevor wir das zweite Newtonsche Gesetz als einfache Gleichung aufschreiben können, die das genaue Verhältnis von Kraft, Masse und Beschleunigung angibt, müssen wir einige bereits erwähnte Ideen schärfen.

    Erstens, was verstehen wir unter einer Bewegungsänderung? Die Antwort ist, dass eine Bewegungsänderung einer Geschwindigkeitsänderung entspricht. Eine Geschwindigkeitsänderung bedeutet definitionsgemäß eine Beschleunigung. Das erste Newtonsche Gesetz besagt, dass eine äußere Nettokraft eine Bewegungsänderung verursacht, also sehen wir, dass a äußere Nettokraft verursacht Beschleunigung.

    Sofort stellt sich eine andere Frage. Was versteht man unter einer äußeren Kraft? Eine intuitive Vorstellung von extern ist richtig – eine externe Kraft wirkt von außerhalb des interessierenden Systems. In Abbildung 4.5(a) ist das interessierende System beispielsweise der Wagen plus das Kind darin. Die beiden von den anderen Kindern ausgeübten Kräfte sind äußere Kräfte. Zwischen den Elementen des Systems wirkt eine innere Kraft. Betrachtet man erneut Abbildung 4.5(a), ist die Kraft, die das Kind im Wagen ausübt, um sich am Wagen zu hängen, eine innere Kraft zwischen den Elementen des interessierenden Systems. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz beeinflussen nur äußere Kräfte die Bewegung eines Systems. (Die Schnittgrößen heben sich tatsächlich auf, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden.) Sie müssen die Grenzen des Systems definieren, bevor Sie feststellen können, welche Kräfte extern sind. Manchmal ist das System offensichtlich, während es manchmal subtiler ist, die Grenzen eines Systems zu identifizieren. Das Konzept eines Systems ist für viele Bereiche der Physik von grundlegender Bedeutung, ebenso wie die korrekte Anwendung der Newtonschen Gesetze. Dieses Konzept wird auf unserer Reise durch die Physik viele Male wiederholt.

    Nun scheint es vernünftig, dass die Beschleunigung direkt proportional und in die gleiche Richtung wie die auf ein System einwirkende Netto-(Gesamt-)Außenkraft sein sollte. Diese Annahme wurde experimentell bestätigt und ist in Abbildung 4.5 dargestellt. In Teil (a) bewirkt eine kleinere Kraft eine kleinere Beschleunigung als die in Teil (c) dargestellte größere Kraft. Der Vollständigkeit halber sind auch die vertikalen Kräfte dargestellt, von denen angenommen wird, dass sie sich aufheben, da es keine Beschleunigung in vertikaler Richtung gibt. Die vertikalen Kräfte sind das Gewicht w w Größe 12 <> und die Unterstützung des Bodens N N Größe 12 <> , und die Horizontalkraft f f Größe 12 <> steht für die Reibungskraft. Diese werden in späteren Abschnitten genauer besprochen. Vorerst definieren wir Reibung als eine Kraft, die der Bewegung von sich berührenden Objekten aneinander entgegenwirkt. Abbildung 4.5(b) zeigt, wie sich Vektoren, die die externen Kräfte darstellen, addieren, um eine Nettokraft zu erzeugen, F Netto F Nettogröße 12 > > <> .

    Um eine Gleichung für das zweite Newtonsche Gesetz zu erhalten, schreiben wir zunächst die Beziehung von Beschleunigung und äußerer Nettokraft als Proportionalität

    wobei das Symbol ∝ ∝ „proportional zu“ bedeutet und F Netto F Nettogröße 12 > > <> ist die äußere Nettokraft. (Die Nettoaußenkraft ist die Vektorsumme aller externen Kräfte und kann grafisch mit der Kopf-Schwanz-Methode oder analytisch mit Komponenten bestimmt werden. Die Techniken sind die gleichen wie bei der Addition anderer Vektoren und werden behandelt in der zweidimensionalen Kinematik.) Diese Proportionalität sagt aus, was wir in Worten gesagt haben:Beschleunigung ist direkt proportional zur äußeren Nettokraft. Sobald das interessierende System ausgewählt ist, ist es wichtig, die äußeren Kräfte zu identifizieren und die inneren zu ignorieren. Es ist eine enorme Vereinfachung, die zahlreichen inneren Kräfte, die zwischen Objekten innerhalb des Systems wirken, nicht berücksichtigen zu müssen, wie beispielsweise Muskelkräfte im Körper des Kindes, geschweige denn die unzähligen Kräfte zwischen den Atomen in den Objekten, aber dadurch können wir leicht lösen Sie einige sehr komplexe Probleme mit nur minimalen Fehlern aufgrund unserer Vereinfachung

    Nun erscheint es auch vernünftig, dass die Beschleunigung umgekehrt proportional zur Masse des Systems sein sollte. Mit anderen Worten, je größer die Masse (die Trägheit) ist, desto kleiner ist die Beschleunigung, die von einer gegebenen Kraft erzeugt wird. Und tatsächlich, wie in Abbildung 4.6 dargestellt, erzeugt dieselbe externe Nettokraft, die auf ein Auto ausgeübt wird, eine viel geringere Beschleunigung als auf einen Basketball. Die Verhältnismäßigkeit wird geschrieben als

    Es wurde festgestellt, dass die Beschleunigung eines Objekts abhängig ist nur auf die äußere Nettokraft und die Masse des Objekts. Die Kombination der beiden gerade gegebenen Proportionalitäten ergibt das zweite Bewegungsgesetz von Newton.

    Newtons zweites Bewegungsgesetz

    Die Beschleunigung eines Systems ist direkt proportional und in der gleichen Richtung wie die auf das System wirkende äußere Nettokraft und umgekehrt proportional zu seiner Masse.

    In Gleichungsform lautet das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz

    Dies wird oft in der bekannteren Form geschrieben

    Betrachtet man nur die Größe von Kraft und Beschleunigung, so lautet diese Gleichung einfach

    Obwohl diese letzten beiden Gleichungen wirklich gleich sind, gibt die erste einen besseren Einblick in die Bedeutung des zweiten Newtonschen Gesetzes. Das Gesetz ist ein Ursache-Wirkungs-Beziehung unter drei Größen, die nicht nur auf ihren Definitionen beruht. Die Gültigkeit des zweiten Hauptsatzes basiert vollständig auf experimenteller Überprüfung.

    Einheiten der Kraft

    Während fast die ganze Welt Newton als Krafteinheit verwendet, ist in den Vereinigten Staaten die bekannteste Krafteinheit das Pfund (lb), wobei 1 N = 0,225 lb ist.

    Gewicht und Gravitationskraft

    Gewicht

    Dies ist die Gleichung für Gewicht—die Gravitationskraft auf eine Masse m m Größe 12 <> :

    Wenn die äußere Nettokraft auf ein Objekt sein Gewicht ist, sagen wir, dass es sich im freien Fall befindet. Das heißt, die einzige Kraft, die auf das Objekt einwirkt, ist die Schwerkraft. Wenn Objekte in der realen Welt nach unten zur Erde fallen, befinden sie sich nie wirklich im freien Fall, da immer eine gewisse Aufwärtskraft von der Luft auf das Objekt einwirkt.

    Die umfassendste Definition von Gewicht in diesem Sinne lautet: das Gewicht eines Objekts ist die Gravitationskraft des nächsten großen Körpers, wie Erde, Mond, Sonne usw. Dies ist die gebräuchlichste und nützlichste Definition von Gewicht in der Physik. Es unterscheidet sich jedoch dramatisch von der Definition von Gewicht, die von der NASA und den populären Medien in Bezug auf Raumfahrt und Erforschung verwendet wird. Wenn sie von „Schwerelosigkeit“ und „Mikrogravitation“ sprechen, beziehen sie sich in Wirklichkeit auf das Phänomen, das wir in der Physik „freier Fall“ nennen. Wir werden die obige Definition von Gewicht verwenden und sorgfältig zwischen freiem Fall und tatsächlicher Schwerelosigkeit unterscheiden.

    Es ist wichtig zu wissen, dass Gewicht und Masse sehr unterschiedliche physikalische Größen sind, obwohl sie eng miteinander verbunden sind. Masse ist die Menge der Materie (wie viel „Stoff“) und variiert in der klassischen Physik nicht, während das Gewicht die Gravitationskraft ist und abhängig von der Schwerkraft variiert. Es ist verlockend, beides gleichzusetzen, da die meisten unserer Beispiele auf der Erde stattfinden, wo das Gewicht eines Objekts nur wenig mit der Position des Objekts variiert. Außerdem sind die Bedingungen Masse und Gewicht in der Alltagssprache synonym verwendet werden, zeigen unsere Krankenakten unser „Gewicht“ oft in Kilogramm, aber nie in der korrekten Einheit Newton.

    Häufige Missverständnisse: Masse vs. Gewicht

    Masse und Gewicht werden in der Alltagssprache oft synonym verwendet. In der Wissenschaft unterscheiden sich diese Begriffe jedoch deutlich voneinander. Die Masse ist ein Maß dafür, wie viel Materie sich in einem Objekt befindet. Das typische Maß für die Masse ist das Kilogramm (oder die „Schnecke“ in englischen Einheiten). Das Gewicht hingegen ist ein Maß für die Schwerkraft, die auf einen Gegenstand einwirkt. Das Gewicht entspricht der Masse eines Objekts ( m m Größe 12 <> ) multipliziert mit der Erdbeschleunigung ( g g Größe 12 <> ). Wie jede andere Kraft wird das Gewicht in Newton (oder Pfund in englischen Einheiten) gemessen.

    Take-Home-Experiment: Masse und Gewicht

    Was misst eine Personenwaage? Was passiert mit der Waage, wenn Sie auf einer Personenwaage stehen? Es drückt leicht. Die Waage enthält Federn, die sich proportional zu Ihrem Gewicht zusammendrücken – ähnlich wie Gummibänder, die sich beim Ziehen ausdehnen. Die Federn geben ein Maß für Ihr Gewicht (für ein Objekt, das nicht beschleunigt). Dies ist eine Kraft in Newton (oder Pfund). In den meisten Ländern wird die Messung durch 9,80 geteilt, um eine Ablesung in Masseneinheiten von Kilogramm zu erhalten. Die Waage misst das Gewicht, ist jedoch kalibriert, um Informationen über die Masse bereitzustellen. Stehen Sie auf einer Personenwaage und drücken Sie sich auf einen Tisch neben sich. Was passiert mit dem Lesen? Warum? Würde Ihre Skala auf der Erde dieselbe „Masse“ wie auf dem Mond messen?

    Beispiel 4.1

    Welche Beschleunigung kann eine Person beim Schieben eines Rasenmähers erzeugen?

    Angenommen, die auf einen Rasenmäher ausgeübte äußere Nettokraft (Druck minus Reibung) beträgt 51 N (ca. 11 lb) parallel zum Boden. Die Masse des Mähers beträgt 24 kg. Was ist seine Beschleunigung?


    Schau das Video: Multiplikation och division med bråk (Kann 2022).