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13.8: Geometrie in Kunst und Wissenschaft


Tessellationen

EIN tessellieren[1] ist ein Design mit einer oder mehreren geometrischen Formen ohne Überlappungen und ohne Lücken. Die Idee ist, dass das Design unendlich weit fortgesetzt werden könnte, um die gesamte Ebene abzudecken (obwohl wir natürlich nur einen kleinen Teil davon zeichnen können).

Viele Tessellationen haben Translationssymmetrie, aber das ist nicht unbedingt notwendig. Das Penrose-Fliesen unten gezeigt[2] hat keine Translationssymmetrie.

Es ist tatsächlich viel schwieriger, diese „aperiodischen“ Tessellationen zu finden, als solche mit Translationssymmetrie. Wir konzentrieren uns also darauf, wie man symmetrische Tessellationen erstellt.

Die ersten beiden Tessellationen oben wurden mit einer einzigen geometrischen Form (genannt a Fliese) so gestaltet, dass sie ohne Lücken oder Überlappungen zusammenpassen. Das dritte Design verwendet zwei Grundfliesen. Tessellationen werden oft genannt Fliesen, und daran sollten Sie denken: Wenn ich Fliesen in dieser Form hätte, könnte ich damit meinen Küchenboden verfliesen? Oder wäre es unmöglich?

Allein

Arbeiten Sie an diesen Übungen alleine oder mit einem Partner. Sie benötigen viele Kopien (vielleicht jeweils 10-15) von jeder Form unten. Konzentrieren Sie sich bei jedem Problem auf nur eine einzige Kachel, um Ihre Tessellation zu erstellen.

  1. Beginnen Sie mit der quadratischen Kachel. Können Sie die Quadrate zu einem Muster zusammenfügen, das endlos fortgesetzt werden könnte, ohne Lücken und ohne Überlappungen? Können Sie es auf mehr als eine Weise tun?
  2. Probieren Sie nun eine der dreieckigen Kacheln aus. Können Sie viele Kopien eines einzelnen Dreiecks verwenden, um die Ebene zu tessellieren?
  3. Wiederholen Sie diesen Vorgang mit jeder der anderen Kacheln. Behalten Sie Ihre Ergebnisse im Auge.

Denken / Paaren / Teilen

  • Welche der oben angegebenen Kacheln sind tesselliert und welche nicht?
  • Haben Sie aufgrund dieser Erfahrung Vermutungen darüber, welche Formen tesselieren werden und welche nicht?

Escher-Zeichnungen

Der Künstler M. C. Escher schuf viele von der Mathematik inspirierte Kunstwerke, darunter einige sehr schöne Mosaike. Unten sehen Sie einige Bilder[3] inspiriert von seiner Arbeit. Sie können das echte Ding sehen unter http://www.mcescher.com/ in der Galerie „Symmetrie“.

Sie können Ihre eigenen Escher-ähnlichen Zeichnungen mit einigen Fakten erstellen, die Sie beim Studium von Tessellationen gelernt haben.

Satz: Tessellationen

Jedes Dreieck wird tessellieren. Ebenso jedes Viereck.

Die Erklärung dafür beruht auf dem, was Sie über die Winkelsummen wissen. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180°.

Wenn Sie also sechs Kopien eines einzelnen Dreiecks anfertigen und an einem Punkt so zusammenfügen, dass jeder Winkel zweimal erscheint, ergeben sich insgesamt 360 ° um den Punkt herum, dh die Dreiecke passen perfekt ohne Lücken und Überlappungen zusammen.

Sie können dies dann an jedem Scheitelpunkt wiederholen, indem Sie immer mehr Kopien derselben Dreiecke verwenden.

Denken / Paaren / Teilen

  • Verwenden Sie die Tatsache, dass die Summe der Winkel in jedem Viereck 360° beträgt, um zu erklären, warum jedes Viereck tesselliert.
  • Verwenden Sie Winkel, um zu erklären, warum regelmäßige Sechsecke tessellieren.
  • Erklären Sie, warum normale Fünfecke nicht tessellieren.

Allein

Bearbeite die folgenden Übungen alleine oder mit einem Partner. So können Sie Ihre eigenen Escher-ähnlichen Zeichnungen erstellen.

  1. Wählen Sie Ihre Basiskachel aus. Wenn Sie dies zum ersten Mal tun, ist es am einfachsten, mit einer einfachen Form zu beginnen, von der Sie wissen, dass sie tesselliert, wie ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat oder ein regelmäßiges Sechseck.
  2. Zeichne auf eine Seite deines Grundplättchens eine „Kringel“.

  1. Schneide die Schnörkel aus und verschiebe sie auf eine andere Seite deiner Form. Sie können es entweder gerade übersetzen oder drehen.

oder

  1. Es ist wichtig, dass der Ausschnitt entlang der neuen Kante an derselben Stelle ausgerichtet ist, an der er an der ursprünglichen Kante erschienen ist.
  2. Kleben Sie den Kringel an seine neue Position. Dies ist Ihre Basiskachel. Zeichne auf einem großen Blatt Papier um deine Fliese herum. Verschieben Sie es dann auf die gleiche Weise, wie Sie die Kringel bewegt haben (übersetzen oder drehen), damit die Kringel genau dort hineinpasst, wo Sie sie ausgeschnitten haben.

  1. Die Form wird immer noch tessellieren, also mach weiter und fülle dein Papier aus.
  2. Jetzt kreativ werden. Malen Sie Ihre Grundform so aus, dass sie wie etwas aussieht – ein Tier? eine Blume? ein bunter Fleck? Fügen Sie der Tessellation Farbe und Design hinzu, um sie in Ihre eigene Escher-ähnliche Zeichnung zu verwandeln.
  3. Wenn Sie eine kompliziertere Version ausprobieren möchten, schneiden Sie zwei verschiedene Kringel aus zwei verschiedenen Seiten und bewegen Sie sie beide.

Türme bauen

Für diese Aktivität benötigen Sie einige Baumaterialien:

  • Du wirst viele Zahnstocher brauchen.
  • Sie benötigen auch etwas, um die Zahnstocher miteinander zu verbinden. Das beste Material dafür sind Mini-Marshmallows; Sie können die Enden der Zahnstocher in die Marshmallows stecken, um sie zu verbinden. Du kannst auch Tonstücke, Stückchen von Gummibonbons oder ähnliches (klebriges) Material verwenden.

Aufgabe 16

Versuchen Sie dies als Aufwärmaktivität. Nimm genau sechs Zahnstocher. Ihre Aufgabe ist es, mit allen sechs Zahnstochern vier Dreiecke zu machen. Sie können keinen der Zahnstocher zerbrechen oder andere Materialien außer den Marshmallow-Anschlüssen hinzufügen.

Aufgabe 17

Jetzt kommt die größte Herausforderung. Sie haben zehn Minuten Zeit, um das zu bauen höchste freistehende Struktur die du machen kannst. „Freistehend“ bedeutet, dass es von selbst aufsteht. Sie können es nicht hochhalten oder gegen etwas lehnen. Wenn die zehn Minuten um sind, geh von deinem Turm zurück und messe seine Höhe.

Denken / Paaren / Teilen

Schauen Sie sich Ihren eigenen Turm und die Türme anderer Schüler an. Sprechen Sie über diese Fragen:

  • Welche Designentscheidungen führten zu höheren frei verseilten Strukturen? Warum denkst Du, das ist?
  • Wenn Sie noch einmal zehn Minuten Zeit hätten, diese Aktivität erneut auszuprobieren, was würden Sie anders machen und warum?

  1. Dreieckige Tessellation von pixababy [CC0]. Sechseckige und rhombische Tessellationen aus Wikimedia Commons [Public domain].
  2. Bild über Wikimedia Commons [Public Donmain].
  3. Bilder von flickr [CC BY-NC-SA 2.0]. Vögel von Sharon Drummond. Eidechsenfliesen von Ben Lawson.

Ein Zuhause zum Entdecken und Entdecken

Unsere Forschungsaktivitäten und akademischen Programme sind bemerkenswert breit gefächert, haben jedoch eines gemeinsam: Alle sind neugierig. Die Erforschung des Unbekannten ist von zentraler Bedeutung für unsere Mission, der Nexus von Entdeckung und Wirkung zu sein.

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Künstler finden einen Weg

„Unsere vertrauten Arbeitsplätze, Materialien und Kollegen sind nicht mehr in der Nähe. Wie alle anderen sind wir noch dabei, diese Sache herauszufinden. Aber wir sind nicht weg. Wir haben nicht aufgehört. Wir haben nicht einmal innegehalten.“

- Michael Mercil, Fakultätsstipendiat für Geisteswissenschaften und Kunstprofessor

Westervillevon Lexis Vanhecke, Studio Art Major, virtuell im Rahmen der Senior Projects Exhibition des Department of Art Bachelor of Fine Arts (BFA) ausgestellt.


Das STEAM-Journal

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Diese Publikation zeigt die Brücken zwischen Wissenschaft, Technologie, Ingenieurmathematik (MINT) und den Künsten. In diesem Zusammenhang fungiert die Zeitschrift als Forum für den offenen Dialog von STEAM sowie als Erweiterung des transdisziplinären Wissens. Das STEAM Journal ist eine Drehscheibe für Wissenschaftler und Praktiker vieler Disziplinen, die Kommentare abgeben, Ideen austauschen und die Politik und Praxis von STEAM informieren möchten.

Obwohl die Interaktion der Wissenschaften mit den Künsten eine lange Geschichte hat, ist STEAM ein neues Akronym, das im letzten Jahrzehnt entstanden ist und eine Vielzahl von Definitionen und Ansätzen hat. Einige der Hauptthemen von STEAM sind die Förderung von Innovation, der Bedarf an Fähigkeiten des 21. Jahrhunderts und divergentes und konvergentes Denken. Das STEAM Journal begrüßt einen vielfältigen Dialog zu den vielen Aspekten von STEAM.

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Akademische Anforderungen

Jedes College/jede Schule innerhalb von Carnegie Mellon hat seinen eigenen High-School-Kurs und standardisierte Testanforderungen.

Wenn Sie sich für unsere akademischen Programme bewerben, ist Ihre Schulleistung einer der Hauptfaktoren bei unserer Zulassungsentscheidung. Wir achten genau auf Ihren Lehrplan, Ihre Noten und Ihre erbrachten Leistungen.

Wenn Sie sich für einen unserer Studiengänge in Bildender Kunst bewerben, ist Ihre künstlerische Leistung der Hauptfaktor oder ein wesentlicher Faktor bei unserer Zulassungsentscheidung.

Im Folgenden sind die spezifischen akademischen Anforderungen von Carnegie Mellon nach Schule oder Hochschule aufgeführt. Bitte lesen Sie diese Informationen sorgfältig durch und planen Sie Ihren High-School-Lehrplan entsprechend.

Anforderungen an den High School-Kurs

  • 4 Jahre Englisch
  • 4 Jahre Mathematik*
  • 1 Jahr Chemie
  • 1 Jahr Physik
  • 1 Jahr Biologie
  • 2 Jahre Fremdsprache
  • 3 Wahlfächer

*Vier Jahre Mathematik sollten mindestens Algebra, Geometrie, Trigonometrie, Analytische Geometrie, Elementarfunktionen (Vorkalkül) und vorzugsweise Analysis beinhalten. Fortgeschrittene Mathematikkurse werden gefördert, insbesondere ein Kurs in Infinitesimalrechnung.


Hochschule für Künste und Wissenschaften

Das College of Arts and Sciences der University of Colorado Boulder ist der intellektuelle Kern der Universität und betreibt Forschung, Wissenschaft, kreative Arbeit und Bildung in mehr als 60 Bereichen. Unsere Forschung generiert neues Wissen und löst einige der kritischsten Probleme der Welt.

Das College ist bundesweit führend in der Bachelor- und Masterausbildung in der Naturwissenschaften, Sozialwissenschaften und Kunst und Geisteswissenschaften, um unseren Schülern erstklassige Forschung und Stipendien zu bieten, sowohl innerhalb als auch außerhalb des Klassenzimmers.


13.8: Geometrie in Kunst und Wissenschaft

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Förderung eines inklusiven Klimas in Penn Arts & Sciences.

Eine Podcast-Serie, in der wir die komplexe Geschichte der Nation mit Rasse erkunden und herausfordernde Fragen stellen: Wer kontrolliert die Erzählung über die USA? Sind wir über unsere Geschichte der Versklavung und Jim Crow hinausgekommen? Sind wir in einem Moment der Abrechnung?

Das College, die Undergraduate-Abteilung von Penn Arts and Sciences, ist das akademische Zuhause für mehr als 6.200 Studenten und bietet eine Grundlage für freie Künste für alle Studenten von Penn. Mit mehr als 50 Hauptfächern und mehr als 2.000 Kursen bietet das College eine einzigartige Sichtweise auf die klassische Geisteswissenschaften.

Die Heimat der Doktorandenprogramme in den Künsten und Wissenschaften mit mehr als 30 Graduiertengruppen, die den Doktortitel verleihen, sowie einer Reihe von Programmen, die zu den Abschlüssen Master of Arts, Master of Science und Master of Philosophy führen ( M. Phil.).

LPS ist die Heimat des lebenslangen Lernens bei Penn, mit Optionen für High School, Undergraduate, Post-Baccalaureate, Graduate, Summer und Online-Studium sowie anpassbare Berufsausbildungen mit fachübergreifenden Kursen.


Zweidimensionale Form

Es kann definiert werden durch Linie, auf alle oben beschriebenen Weisen. Linie, entweder explizit oder implizit, liefert die Kontur von Formen.

Wert (die relative Helligkeit oder Dunkelheit einer Farbe) kann auch die Form definieren. Starke Wertkontraste innerhalb einer Komposition können die Grenzen der Formen definieren. Wertabstufungen oder Schattierungen können auch die Illusion von Kontur und Volumen erzeugen.


Auf die gleiche Weise, Farbton Kontraste und Abstufungen können auch Formen definieren. Form kann auch definiert werden durch Änderung der Textur, selbst wenn Farbton und Wert im Wesentlichen konsistent bleiben. Am typischsten ist die Form jedoch definiert durch eine Kombination dieser Faktoren, wie in diesem Druck von Max Ernst.

Form in Bezug auf positiven und negativen Raum

Formen und Formen kann man sich vorstellen als positiv oder negativ. In einer zweidimensionalen Komposition bilden die Objekte die positiven Formen, während der Hintergrund den negativen Raum darstellt. Für angehende Kunst- und Designstudenten ist die effektive Nutzung des Negativraums oft ein besonders wichtiges Konzept, das es zu beherrschen gilt. Bei dieser Übung in geschnittenem Papier musste der Schüler gleichzeitig mit derselben Komposition in Schwarz auf Weiß und Weiß auf Schwarz arbeiten. Dies macht es schwierig, den Hintergrund zu ignorieren und ihn als bloßen leeren Raum zu behandeln. Die effektive Platzierung von Objekten in Bezug auf den umgebenden negativen Raum ist für den Erfolg bei der Komposition unerlässlich.

Einige Künstler spielen mit der Umkehrung von positivem und negativem Raum, um komplexe Illusionen zu erzeugen. Die Drucke von M. C. Escher (klicken Sie auf Bildergalerie, dann Symmetrie) enthalten oft ineinandergreifende Bilder, die mit unserer Wahrnehmung von Vordergrund und Hintergrund spielen. Andere Künstler führen diese Illusionen von positiven und negativen Bildern noch weiter und verstecken Bilder in Bildern. Die Wahrnehmung von Form und Gestalt wird durch unseren tief verwurzelten „Instinkt“ bedingt, visuellen Daten Bedeutung und Ordnung zuzuschreiben. Wenn wir ein Bild betrachten und uns zunächst einen Eindruck machen, besteht die Tendenz, an dieser Schlussfolgerung über seine Bedeutung festzuhalten und dann andere mögliche Lösungen zu ignorieren. Dies kann es schwierig machen, die anderen Bilder zu sehen. Das Auge zu trainieren, um über den ersten Eindruck hinauszuschauen, ist ein entscheidender Schritt bei der Entwicklung einer echten visuellen Kompetenz.


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