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13.5: Platonische Körper - Mathematik


Natürlich leben wir (zumindest!) in einer dreidimensionalen Welt, daher macht es wenig Sinn, nur flache Geometrie zu studieren. Warum nicht auch an dreidimensionale Objekte denken?

Definition

EIN Polyeder ist eine feste (3-dimensionale) Figur, die von Polygonen begrenzt wird. Ein Polyeder hat Gesichter das sind flache Polygone, gerade Kanten wo sich die Gesichter paarweise treffen, und Scheitelpunkte wo sich drei oder mehr Kanten treffen.

Der Plural von Polyeder ist Polyeder.

Denken Sie daran, dass a regelmäßiges Vieleck hat alle Seiten die gleiche Länge und alle Winkel das gleiche Maß. Es gibt eine ähnliche (wenn auch etwas kompliziertere) Vorstellung von regulär für solide Figuren.

Definition

Ein rgleichförmiges Polyeder hat Gesichter, die alle sind identische (kongruente) regelmäßige Vielecke. Alle Scheitelpunkte sind ebenfalls identisch (an jedem Scheitelpunkt trifft die gleiche Anzahl von Flächen aufeinander).

Regelmäßige Polyeder werden auch . genannt Platonische Körper (benannt nach Platon).

Wenn Sie die Anzahl der Seiten und deren Länge festlegen, gibt es ein und nur ein regelmäßiges Vieleck mit dieser Anzahl von Seiten. Das heißt, jedes regelmäßige Viereck ist ein Quadrat, aber es kann auch Quadrate unterschiedlicher Größe geben. Jedes reguläre Achteck sieht aus wie ein Stoppschild, kann aber nach oben oder unten skaliert werden. Ihre Aufgabe in diesem Abschnitt besteht darin, herauszufinden, was wir über reguläre Polyeder sagen können.

Allein

Bearbeite die folgenden Übungen alleine oder mit einem Partner. Sie müssen viele Kopien der folgenden regelmäßigen Polygone erstellen. Mindestens kopieren und ausschneiden:

  • 40 Kopien des gleichseitigen Dreiecks,
  • 15 Exemplare des Quadrats,
  • 20 Exemplare des regulären Fünfecks und
  • Je 10 Kopien des Sechsecks, Heptagons und Achtecks.

Sie benötigen auch etwas Klebeband.

  1. In jedem Polyeder treffen sich an jedem Scheitelpunkt mindestens drei Polygone. Beginnen Sie mit den gleichseitigen Dreiecken: Put drei von ihnen treffen sich an einem Scheitelpunkt und kleben sie zusammen. Dann schließen Sie sie, so dass sie eine feste Form bilden. Können Sie diese Form zu einem platonischen Körper vervollständigen? Stellen Sie sicher, dass Sie dies an jedem Scheitelpunkt überprüfen, den Sie haben genau drei Dreiecke treffen.
  2. Wiederholen Sie nun diesen Vorgang, aber beginnen Sie mit vier gleichseitige Dreiecke um einen einzelnen Scheitelpunkt. Können Sie dies zu einem platonischen Körper vervollständigen? Stellen Sie sicher, dass Sie das an jedem Scheitelpunkt überprüfen, den Sie haben genau vier Dreiecke treffen.
  3. Wiederholen Sie diesen Vorgang mit fünf gleichseitige Dreiecke, dann sechs, dann sieben und so weiter. Fahren Sie fort, bis Sie überzeugt sind, dass Sie verstehen, was mit platonischen Körpern mit dreieckigen Flächen passiert.
  4. Wenn Sie mit dreieckigen Flächen fertig sind, fahren Sie mit quadratischen Flächen fort. Arbeiten Sie systematisch: Versuchen Sie, einen platonischen Körper mit drei Quadraten an jedem Scheitelpunkt zu bauen, dann vier, dann fünf usw. Fahren Sie fort, bis Sie eine endgültige Aussage über platonische Körper mit quadratischen Flächen treffen können.
  5. Wiederholen Sie diesen Vorgang mit den anderen ausgeschnittenen regelmäßigen Polygonen: Fünf-, Sechs-, Siebe- und Achtecke.

Sie müssen bemerkt haben, dass die Situation bei platonischen Körpern ganz anders ist als bei regulären Polygonen. Es gibt unendlich viele regelmäßige Polygone (auch wenn Sie die Größe nicht berücksichtigen). Es gibt ein regelmäßiges Vieleck mit nein Seiten für jeden Wert von nein größer als 2. Aber für Feststoffe haben wir das folgende (vielleicht überraschende) Ergebnis.

Satz

Es gibt genau fünf platonische Körper.

Die entscheidende Tatsache ist, dass ein dreidimensionaler Körper, um sich zu schließen und ein Polyeder zu bilden, weniger als 360° um jeden Scheitelpunkt herum sein muss. Ansonsten liegt es entweder flach (bei exakt 360°) oder faltet sich auf sich selbst (bei mehr als 360°).

Aufgabe 9

Basierend auf Ihrer Arbeit in den Übungen sollten Sie in der Lage sein, eine überzeugende Begründung des obigen Satzes zu verfassen. Hier ist eine Skizze, und Sie sollten die Erklärungen ausfüllen.

  1. Wenn ein platonischer Körper Flächen hat, die gleichseitige Dreiecke sind, müssen sich an jedem Scheitelpunkt weniger als 6 Flächen treffen. Warum?
  2. Wenn ein platonischer Körper quadratische Flächen hat, können sich an jedem Scheitelpunkt drei Flächen treffen, aber nicht mehr. Warum?
  3. Wenn ein platonischer Körper Flächen hat, die regelmäßige Fünfecke sind, können sich an jedem Scheitelpunkt drei Flächen treffen, aber nicht mehr. Warum?
  4. Regelmäßige Sechsecke können nicht als Flächen für einen platonischen Körper verwendet werden. Warum?
  5. Ebenso regelmäßig nein-gons für nein größer als 6 können nicht als Flächen für einen platonischen Körper verwendet werden. Warum?

  1. Bild von Tom Ruen [Public domain], über Wikimedia Commons
  2. Bild über pixababy.com, CC0 Creative Commons-Lizenz.
  3. Bild von Aldoaldoz (Eigene Arbeit) [CC BY-SA 3.0, über Wikimedia Commons.
  4. Bild von By Thinkingarena (Eigene Arbeit) [CC BY-SA 4.0], über Wikimedia Commons
  5. Bild von Robert Webbs Stella-Software: http://www.software3d.com/Stella.php, über Wikimedia Commons.
  6. Bild-DTR CC-BY-SA-3.0], über Wikimedia Commons
  7. Bilder von Stephen.G.McAteer (Eigenes Werk) [CC BY-SA 3.0], über Wikimedia Commons.
  8. Bilder über Wikimedia Commons [Public domain].
  9. Bild selbst [CC BY-SA 3.0], über Wikimedia Commons.

Beweisen, dass es nur fünf platonische Körper gibt, mit sphärischer Geometrie

In 100 Great Problems of Elementary Mathematics von Dorrie wird bewiesen, dass es mit kongruenten regelmäßigen (sphärischen) Polygonen nur fünf mögliche Tessellationen der Kugel gibt: $4$ reguläre Dreiecke, $6$ reguläre Quadrate, $8$ reguläre Dreiecke, $20$ reguläre Dreiecke , und $12$ reguläre Fünfecke.

Das ist großartig, aber der Autor fährt fort zu sagen, dass wir fünf regelmäßige Körper erhalten, wenn wir alle Ecken der sphärischen Polygone mit geraden Linien verbinden: Tetraeder, Oktaeder, Würfel, Ikosaeder, und Dodekaeder. Daher gibt es nur $5$ platonische Körper. $Q.E.D$

Ich fühle mich bei dieser Behauptung ziemlich unwohl. Übersehe ich hier etwas? Woher wissen wir, dass die Kugeltessellationen notwendigerweise den platonischen Körpern entsprechen? Wie können wir sicher beweisen, dass es keinen platonischen Körper gibt, der nicht konstruiert werden kann, indem man die Ecken aller möglichen Kugeltessellationen verbindet?


Ich &herz Mathematik O ooh….es ist schon eine Weile her, seit ich das letzte Mal gepostet habe. Wir hatten ein tolles Weihnachts- und Neujahrsfest. Hoffe ihr alle auch! Mein Computer starb kurz vor Weihnachten und mein Mann und ich brauchten eine Weile, um ihn wieder zum Leben zu erwecken, weshalb es ein bisschen ruhig war. Ich habe 3 Monate Arbeit verloren (Neujahrsauflösung Nr. 33 = regelmäßiger Backup-Dateien!). Jetzt scheint ein guter Zeitpunkt zu sein, um Ihnen allen für Ihren Besuch bei minieco in den letzten Jahren zu danken. Ich bin immer wieder erstaunt über die steigende Zahl von Menschen, die sich einschalten! Mir ist auch klar, dass ich, was Blogger anbelangt, ziemlich träge bin – nur alle ein oder zwei Wochen einen Beitrag zu veröffentlichen. Ich möchte sagen, dass sich dies verbessern wird……! Danke, dass du mir trotzdem durch die ruhigen Zeiten treu geblieben bist! Zwischen den Beiträgen benutze ich regelmäßig Pinterest, also schau vorbei und schau es dir an, wenn du es noch nicht getan hast. Es ist eine großartige Seite, um all Ihre Lieblingsaugenschmaus zusammenzustellen! Es scheint im Moment ein bisschen Polyhedra-Wahn zu geben. Mir scheint, Mathematik war noch nie so cool. Ich habe einige Vorlagen für eine Girlande mit ‘platonischen Körpern‘ zusammengestellt. Perfekt, um den Ort aufzuheitern, nachdem alle festlichen Dekorationen abgenommen wurden. Einfach hacken, einritzen und zusammenkleben. Vergessen Sie nicht, Ihre Baumwolle einzufädeln, während Sie die Teile zusammenkleben. (Ich habe es geschafft, die Baumwolle danach durchzufädeln, aber es war ziemlich knifflig und dauerte länger, als es hätte tun sollen). Ich werde versuchen, ein besseres Foto davon vor Ort zu machen, unser Wintergarten ist wirklich hell und sonnig, aber der Rest des Hauses ist ziemlich dunkel (besonders bei diesem miserablen Wetter). Wenn Sie es etwas subtiler mögen, können Sie die Polyeder mit etwas Neon- / Goldfaden weiß machen! Wenn Sie Lust haben, es auszuprobieren, können Sie hier Vorlagen herunterladen. (Auf jeder Seite befinden sich zwei Vorlagen!) Würfel Ikosaeder Tetraeder Oktaeder Dodekaeder Auf dieser Website finden Sie eine atemberaubende Sammlung von Polyeder-Vorlagen. Tolles Zeug! Für 2D-Zeug

Die Euler-Kennlinie gilt auch für 2D-Geometrie. Versuchen Sie das für mich:

Zeichne eine Linie. Es hat 2 Scheitelpunkte und 1 Kante und 0 Flächen. Also, V — E + F = 1.

Angenommen, die beiden Scheitelpunkte sind A und B. Legen Sie einen Scheitelpunkt C irgendwo auf die Ebene (nicht auf die Kante AB). Zeichnen Sie die Kante BC. Jetzt haben wir 3 Scheitelpunkte, 2 Kanten und 0 Flächen. Wieder V — E + F = 1. Verbinden Sie nun C und A mit einer Kante. Jetzt haben wir 3 Ecken, 3 Kanten und 1 Fläche V — E + F = 1.

Die Euler-Charakteristik bleibt in all diesen Fällen bestehen! Wenn wir nun das gesamte Papier, außer dem gerade erhaltenen Dreieck, als Fläche annehmen, erhalten wir V — E + F = 2.

In Ordung. Ich denke, das ist genug mathematisches Kauderwelsch für Sie. Sie können sich das Video von Zach Star ansehen, in dem noch viel mehr erklärt wird.


13.5: Platonische Körper - Mathematik

"Lass niemanden ohne Geometrie meine Türen betreten."

Folie 6-1: RAPHAEL: Schule von Athen
Amerikanischer Katalog, S. 126, #21061. Fresko, Vatikan, Stanza della Signurata, die Privatbibliothek des Papstes

Wir bewegen uns jetzt ungefähr 150 Jahre in der Zeit vorwärts, immer noch in Griechenland, von Pythagoras bis Platon, selbst ein Pythagoräer.

In unserer letzten Einheit haben wir einige Polygone studiert, und ich sagte, dass eines davon, das Dreieck, von Platon als der Baustein des Universums angesehen wurde. Er präsentierte diese Idee und andere über die Schöpfung, wie das Universum, das einer geometrischen Progression ähnelt, in einem seiner Bücher, dem Timaios.

Im Timaios werden wir sehen, wie Platon beschreibt, wie Dreiecke fünf Körper bilden, die jetzt als platonische Körper bezeichnet werden, und wie diese Körper die vier Elemente und den Himmel bilden. Wir werden uns regelmäßige Polyeder im Allgemeinen ansehen und sehen, warum nur fünf möglich sind.

Schließlich werden wir sehen, wie die platonischen Körper schon vor Platon als Kunstmotive verwendet wurden, wie sie später verwendet wurden und wie sie dazu dienten, drei Mathematiker und Künstler der Renaissance, Piero della Francesca, Luca Pacioli und Leonardo da Vinci, miteinander zu verbinden.

Plato

Folie 6-2: RAPHAEL: Schule von Athen. Mittelteil

Profil: Platon (ca. 427-347 v. u. Z.) wurde in Athen als Sohn einer aristokratischen Familie geboren. Als junger Mann hatte Platon politische Ambitionen, wurde jedoch von der politischen Führung in Athen desillusioniert. Er wurde schließlich ein Schüler von Sokrates und akzeptierte seine grundlegende Philosophie und seinen dialektischen Debattenstil, das Streben nach Wahrheit durch Fragen, Antworten und zusätzliche Fragen. Platon erlebte 399 v. Chr. den Tod von Sokrates durch die athenische Demokratie. In Raphaels Schule von Athen sehen wir Sokrates liegend, mit einer Tasse in der Nähe.

Platons prominentester Schüler war Aristoteles, hier mit Plato in Raphaels Schule von Athen, Aristoteles mit seiner Ethik und Platon mit seinem Timaios.

387 v. Chr. gründete Platon in Athen eine Akademie, die oft als die erste Universität bezeichnet wird. Es bot einen umfassenden Lehrplan, einschließlich Astronomie, Biologie, Mathematik, politische Theorie und Philosophie.

Platons letzte Jahre verbrachte er damit, an seiner Akademie zu unterrichten und zu schreiben. Er starb 348 oder 347 im Alter von 80 Jahren in Athen.

Über den Türen seiner Akademie waren die Worte

was bedeutet: "Lass niemanden ohne Geometrie meine Türen betreten."

Platon über Kunst und Geometrie

Obwohl Platon Geometrie liebte, wäre er nicht gut darin gewesen, einen Kurs in Kunst und Geometrie zu unterrichten, weil er eine geringe Meinung von Kunst hatte. Er lehrte, dass, da die Welt eine Kopie oder ein Abbild des Realen ist, ein Kunstwerk eine Kopie einer Kopie ist, und drittens von der Realität entfernt.

Er schreibt in seiner Republik (S. 603),
". Malerei [und] . die ganze Kunst der Nachahmung beschäftigt sich mit einem Werk, das weit von der Wahrheit entfernt ist. und ist seine Geliebte und Freundin für keinen heilsamen oder wahren Zweck. . [es] ist die wertlose Geliebte eines wertlosen Freundes , und der Elternteil einer wertlosen Nachkommenschaft."

Aber über Geometrie schrieb er in seiner Republik (S. 527):

„[Geometrie ist] . . . um der Erkenntnis dessen willen, was ewig existiert, und nicht von dem, was für einen Moment ins Dasein kommt und dann vergeht, .
[es] muss die Seele zur Wahrheit ziehen und dem philosophischen Geist den letzten Schliff geben."

Platon hat viele Schriften hinterlassen. Wir haben seine Republik in unserer Einheit über Zahlensymbolik erwähnt, in der er die vier Kardinaltugenden angab, aber seine Liebe zur Geometrie wird im Timaios besonders deutlich.

Geschrieben gegen Ende von Platons Leben, c. 355 v. Chr. beschreibt der Timaios ein Gespräch zwischen Sokrates, Platons Lehrer, Kritias, Platons Urgroßvater, Hermokrates, einem sizilianischen Staatsmann und Soldaten, und Timaeus, Pythagoräer, Philosoph, Wissenschaftler, General, Zeitgenosse von Platon und Erfinder der Riemenscheibe. Er war der erste, der zwischen harmonischen, arithmetischen und geometrischen Verläufen unterschied.

In diesem Buch spricht Timaeus am meisten, mit viel Hommage an Pythagoras und Echos der Harmonie der Sphären, wie er die geometrische Erschaffung der Welt beschreibt.

Platon sagt durch Timaeus, dass der Schöpfer die Weltseele aus verschiedenen Zutaten gemacht und sie zu einem langen Streifen geformt hat. Der Streifen wurde dann in Intervalle markiert.

Zuerst nahm [der Schöpfer] einen Teil vom Ganzen (1 Einheit)
und als nächstes eine Portion doppelt so viel wie die erste (2 Stück)
eine dritte Portion noch einmal halb so viel wie die zweite (3 Einheiten)
die vierte Portion verdoppelt die zweite (4 Stück)
das fünfte dreimal das dritte (9 Stück)
das sechste achtmal das erste (8 Stück)
und der siebte 27 mal der erste (27 Stück)

Sie geben die sieben ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27. Diese enthalten die Monade, die Quelle aller Zahlen, die erste gerade und die erste ungerade und ihre Quadrate und Würfel.

Folie 8-72 : Arithmetik in Person einer Frau

Lawlor, Robert. Heilige Geometrie. NY: Thames &. Hudson, 1982. p. 7.

Diese sieben Zahlen können als zwei Progressionen arrangiert werden

Dies wird Platons Lambda genannt, weil es wie der griechische Buchstabe Lambda geformt ist.

Teilungen der Weltseele als musikalische Intervalle

In Bezug auf die Musik: Wenn wir bei niedrigem C beginnen und diese Intervalle weglassen, erhalten wir 4 Oktaven plus eine Sexte. Es sieht noch nicht wie eine Tonleiter aus. Aber Platon fährt fort, jedes Intervall mit einem arithmetischen Mittel und einem harmonischen Mittel auszufüllen. Nimmt man das erste Intervall, zum Beispiel von 1 bis 2,

Das harmonische Mittel zweier Zahlen ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels ihrer Kehrwerte.

Für 1 und 2 sind die Kehrwerte 1 und 1/2, deren arithmetisches Mittel 1+ 1/2 ÷ 2 oder 3/4 ist. So,

So erhalten wir die Quarte oder 4/3 und die Quinte oder 3/2, die gleichen Intervalle, die von den Pythagoräern als angenehm empfunden wurden. Außerdem bestehen sie aus den ersten vier Zahlen 1, 2, 3, 4 der Tetraktys.

Das Intervall zwischen der Quarte und der Quinte nahm er als Vollton. Es ist

Platon lässt dann seinen Schöpfer die Tonleiter mit Intervallen von 9/8, dem Ton, auffüllen. Dadurch bleiben Intervalle von 256/243 als Rest übrig, gleich dem Halbton.

So hat Platon die Tonleiter allein aus arithmetischen Berechnungen konstruiert und nicht, wie die Pythagoräer, mit gestreckten Saiten experimentiert, um herauszufinden, was am besten klang.

Projekt: Wiederholen Sie Platons Berechnungen und sehen Sie, ob Sie tatsächlich eine Tonleiter erhalten.

Die Himmelskreise bilden

Nach dem Markieren des Streifens in diese Intervalle schneidet der Schöpfer ihn dann der Länge nach in zwei Streifen, die schräg zueinander angeordnet und zu Kreisen geformt werden. Diese entsprechen dem Himmelsäquator und der Ekliptik, dem Beginn einer Armillarsphäre.

Folie 10-121: Armillarsphäre

Turner, Gerhard. Antike wissenschaftliche Instrumente. Dorset: Blandford, 1980. p. 61

Erinnern Sie sich an unser Zitat aus Platons Republik, wo er im Myth of Er schrieb:

"... Auf jedem seiner Kreise stand eine Sirene, die von ihren Bewegungen umhergetragen wurde und die Einstimmigkeiten einer einzigen Tonleiter ausstieß." [Republik p. 354]

Dies ist der Ursprung des Ausdrucks Musik der Sphären.

Die Idee, dass alle Dinge aus vier Urelementen bestehen: Erde, Luft, Feuer und Wasser, wird Empedokles (ca. 493-433 v. Chr.), griechischer Philosoph, Staatsmann und Dichter, zugeschrieben. Er wurde in Agrigentum (heute Agrigento), Sizilien, geboren und war ein Schüler von Pythagoras und Parmenides.

Erinnern Sie sich an die entgegengesetzten Kräfte, Yin und Yang, männlich und weiblich, deren Interaktion alles im Universum erschaffen hat? Empedokles glaubte, dass aktive und gegensätzliche Kräfte, Liebe und Hass oder Affinität und Antipathie auf diese Elemente einwirken und sie in unendlich unterschiedliche Formen vereinen und trennen.

Er glaubte auch, dass keine Änderung durch die Schaffung neuer Materie möglich ist, nur Änderungen in der Kombination der vier bestehenden Elemente können auftreten.

Empedokles starb etwa 6 Jahre vor Platons Geburt.

Das Universum als geometrischer Fortschritt

Platon leitet die Notwendigkeit der vier Elemente ab. Timaios, 31B-32C

1. Zuerst müssen wir Feuer haben, um die Welt sichtbar zu machen, und Erde, um sie widerstandsfähig gegen Berührungen zu machen. Dies sind die beiden extremen Elemente, das Feuer gehört zum Himmel und die Erde zur Erde. Er schreibt,

. . . Natur muss sichtbar und greifbar sein.
und nichts kann ohne Feuer sichtbar oder ohne Erde greifbar sein.

2. Aber zwei können nicht ohne ein drittes Band zusammenhalten. [wie Leim]

. . . Aber es ist unmöglich, dass zwei Dinge ohne das Eingreifen eines Dritten zusammenhängen.

3. Und die perfekteste Verbindung ist die fortgesetzte geometrische Proportion.

. [und] die schönste Analogie ist, wenn in drei Zahlen,
die Mitte ist bis zum letzten wie die erste bis zur Mitte , . . . sie werden im Verhältnis zueinander gleich.

4. Aber die Primärkörper sind Körper und müssen durch solide Zahlen (Würfel) dargestellt werden.
Um zwei ebene Zahlen (Quadrate) zu verbinden, reicht ein Mittelwert,
aber um zwei feste Zahlen zu verbinden, werden zwei Mittel benötigt.

Aber wenn das Universum keine Tiefe hätte, würde ein Medium ausreichen, um alle darin enthaltenen Naturen zu binden. Aber . . . die Welt soll ein Festkörper sein, und Festkörper werden nie von einem, sondern immer von zwei Medien harmonisiert.

Daher hat die Göttlichkeit Wasser und Luft in die Mitte von Feuer und Erde gestellt und sie im gleichen Verhältnis zueinander hergestellt, so dass Feuer zu Luft wie Luft zu Wasser und Wasser zur Erde sein könnte.

Feuer/Luft = Luft/Wasser = Wasser/Erde

Somit ist das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Elementen konstant, was eine geometrische Progression ergibt.

Die Platonischen Körper gehören zur Gruppe der geometrischen Figuren, die Polyeder genannt werden.

Ein Polyeder ist ein Volumenkörper, der von ebenen Polygonen begrenzt wird. Die Polygone werden Flächen genannt, die sie in Kanten schneiden, die Punkte, an denen sich drei oder mehr Kanten schneiden, werden Scheitelpunkte genannt.

Ein regelmäßiges Polyeder ist eines, dessen Flächen identische regelmäßige Vielecke sind. Es sind nur fünf reguläre Feststoffe möglich

Würfel Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Dodekaeder

Diese sind als die Platonischen Körper bekannt geworden

Die mit den platonischen Körpern verbundenen Elemente

Platon verbindet vier der platonischen Körper mit den vier Elementen. Er schreibt,

Wir müssen fortfahren, die soeben beschriebenen Figuren [die Festkörper] zwischen Feuer, Erde, Wasser und Luft zu verteilen. . .

Ordnen wir den Würfel der Erde zu, denn er ist der unbeweglichste der vier Körper und die beständigste Form

die am wenigsten bewegliche der verbleibenden Figuren (Ikosaeder) zu Wasser
das beweglichste (Tetraeder) zum Feuern
das Zwischenprodukt (Oktaeder) zu Luft

Beachten Sie, dass die Erde mit dem Würfel mit seinen sechs quadratischen Flächen verbunden ist. Dies unterstützte die Vorstellung von der Vierkantigkeit der Erde.

Aber es gibt fünf regelmäßige Polyeder und nur vier Elemente. Platon schreibt,

"Es blieb noch eine fünfte Konstruktion übrig, die der Gott benutzte, um die Konstellationen am ganzen Himmel zu sticken."

Platons Aussage ist vage, und er gibt keine weitere Erklärung. Spätere griechische Philosophen ordnen das Dodekaeder dem Äther oder dem Himmel oder dem Kosmos zu.

Das Dodekaeder hat 12 Gesichter und unsere Zahlensymbolik verbindet 12 mit dem Tierkreis.

Dies könnte Platons Bedeutung sein, wenn er vom "Sticken der Konstellationen" auf dem Dodekaeder schreibt.

Beachten Sie, dass die 12 Seiten des Dodekaeders Fünfecke sind. Denken Sie daran, dass das Fünfeck den Goldenen Schnitt enthält. Vielleicht hat das etwas damit zu tun, dass diese Figur mit dem Kosmos gleichgesetzt wird.

Folie 6-4: Archimedische Körper
Wenniger, Magnus J. Polyhedron Modelle für das Klassenzimmer. NCTM 1966. p. 7

Andere Sätze von Körpern können von den Platonischen Körpern erhalten werden. Wir können eine Menge erhalten, indem wir die Ecken der platonischen Körper abschneiden und abgeschnittene Polyeder erhalten.

Sie sind nicht mehr regelmäßig, sondern werden halbregulär genannt. Alle Flächen sind regelmäßige Polygone, aber es gibt mehr als ein Polygon in einem bestimmten Volumenkörper und alle Scheitelpunkte sind identisch.

Diese werden auch Archimedische Körper genannt, benannt nach Archimedes (287-212), dem griechischen Mathematiker, der in Syrakus in der unteren rechten Ecke Siziliens lebte.

Mini-Projekt: Machen Sie einige Archimedische Körper.

Folie 6-5: Die vier Kepler-Poinsot-Festkörper
Wenniger, Magnus J. Polyhedron Modelle für das Klassenzimmer. NCTM 1966. p. 11

Folie 6-6: Gravur aus Harmonices Mundi, 1619.
Emmer, Michele, Ed. Der visuelle Geist: Kunst und Mathematik. Cambridge: MIT Press, 1993. p. 218

Der zweite offensichtliche Weg, um einen weiteren Satz von Körpern zu erhalten, besteht darin, die Gesichter jedes einzelnen zu einem Stern zu erweitern, wodurch die sogenannten Sternpolyeder entstehen.

Zwei Sternpolyeder wurden 1809 von Poinsot entdeckt. Die anderen wurden etwa 200 Jahre zuvor von Johannes Kepler (1571-1630) entdeckt, dem deutschen Astronomen und Naturphilosophen, der für die Formulierung der drei Gesetze der Planetenbewegung bekannt ist, die heute als Keplersche Gesetze bekannt sind. einschließlich des Gesetzes, dass Himmelskörper elliptische und keine kreisförmigen Bahnen haben.

Mini-Projekt: Machen Sie einige Sternpolyeder.

Polyeder in Kunst und Architektur

Polyeder sind nichts Neues

Polyeder dienen als Kunstmotive von der Urgeschichte bis in die Gegenwart.

Tompkins, Peter. Geheimnisse der Großen Pyramide. NY: Harper, 1971. Titelbild

Die Ägypter kannten natürlich das Tetraeder, aber auch das Oktaeder und den Würfel. Und es gibt ikosaedrische Würfel aus der Ptolomäischen Dynastie im British Museum, London.

Folie 6-8: Etruskisches Dodekaeder

Emmer, Michele, Ed. Der visuelle Geist: Kunst und Mathematik. Cambridge: MIT Press, 1993. p. 216

In Schottland wurden neolithische Feststoffe gefunden, und Ausgrabungen in der Nähe von Padua haben ein etruskisches Dodekaeder, c. 500 v. Chr., wahrscheinlich als Spielzeug verwendet.

Folie 3-6: Keplers Modell des Universums

Im Jahr 1596 veröffentlichte Kepler ein Traktat mit dem Titel The Cosmic Mystery, in dem er sich das Universum als aus verschachtelten platonischen Körpern bestehend vorstellte, deren eingeschriebene Kugeln die Umlaufbahnen der Planeten bestimmen, die alle in einer Kugel eingeschlossen sind, die den äußeren Himmel darstellt. Natürlich passten seine Beobachtungen nicht in dieses Schema. Wir werden Kepler in unserer Einheit zu Himmlischen Themen in der Kunst wieder begegnen.

Polyeder und Plagiate in der Renaissance

Folie 14-10: JACOPO DE 'BARBERI: Luca Pacioli, c. 1499

Dieses Gemälde zeigt Fra Luca Pacioli und seinen Schüler Guidobaldo, Herzog von Urbino. Oben links ein Rhombi-Kuboktaeder und auf dem Tisch ein Dodekaeder auf einer Kopie von Euklids Elementen.

Folie 15-11 : Leonardos Illustrationen zu Lucas Buch.

Luca Pacioli schrieb ein Buch mit dem Titel Da Divina Proportione (1509), das einen Abschnitt über die Platonischen Körper und andere Körper enthielt, das 60 Platten mit Körpern von keinem Geringeren als seinem Schüler Leonardo da Vinci enthält. In unserer Einheit über Polyeder und Plagiate in der Renaissance erzählen wir die ganze Geschichte, wie dieses Material von Lucas Lehrer Piero della Francesca gestohlen wurde.

Platonische Körper als Kunstmotive

Folie 6-12: UCELLO: Mosaik aus der Kathedrale San Marco, Venedig, 1425-1430 Tafel J2

Emmer, Michele, Ed. Der visuelle Geist: Kunst und Mathematik. Cambridge: MIT Press, 1993.

Folie 16-08: DURER: Melancolia I, 1514

Albrech Dürer (1471-1528) hatte ein großes Interesse an Geometrie, wie wir in einer späteren Einheit sehen werden. Dieser berühmte Stich zeigt ein unregelmäßiges Polyeder sowie eine Kugel, ein magisches Quadrat und einen Zirkel. Leute, die dieses Polyeder analysiert haben, haben entschieden, dass es sich tatsächlich um einen Würfel mit abgeschnittenen gegenüberliegenden Ecken handelt.

Folie 6-13: NEUFCHATEL, Nicolaus: Bild von Johannes Neudorfer und seinem Sohn, 1561.

Kemp, Martin. Leonardo über Malerei. New Haven: Yale U. Press, 1989. p. 63

Folie 6-14: Vergoldeter Löwe vor dem Tor der Himmlischen Reinheit, Nahaufnahme von Ball.

Verbotene Stadt, Peking. Aus der Qing-Dynastie (1736-1796)

Diese Kugel hat Sechsecke, die mit Fünfecken durchsetzt sind.

Polyeder in der Kunst des 20. Jahrhunderts

Folien 6-15, 6-16, 6-17: Giacomettis Werke

Hohl, Reinhold. Alberto Giacometti. New York: Abrams, 1972.

Der Schweizer Künstler Alberto Giacometti (1901-1966) hat in seinen früheren surrealistischen Werken wie diesen beiden Zeichnungen und einer Skulptur häufig Polyeder eingebaut.

Wir sprechen über M.C. Escher (1902-1972) im Detail, wenn wir zum 20. Jahrhundert kommen, aber lassen Sie uns nur einen Blick auf seinen 1948er Stich Stars werfen. Beachten Sie die Ähnlichkeit zwischen diesem Polyeder und Leonardos Illustrationen für Paciolis Buch.

Folie 21-06: Escher betrachtet seine verschachtelten platonischen Körper

Escher hat eine Reihe von verschachtelten platonischen Körpern hergestellt. Als er in ein neues Studio umzog, hat er den größten Teil seines Hab und Guts weggenommen, aber sein geliebtes Modell mitgenommen.

Andere Künstler des 20. Jahrhunderts, die Polyeder verwenden, sind Harriet Brisson, Paul Calter und Lucio Saffaro.

Folie 6-18: Abgeschnittene, dicht gepackte Oktaeder, Rhombidodekaeder und Würfel. Plexiglas, Aluminiumrohre und Nylonschnur, 1976

Emmer, Michele, Ed. Der visuelle Geist: Kunst und Mathematik . Cambridge: MIT Press, 1993. Platte B3

Folien 6-19, 6-20, 6-21: Platonische Körper

Calters Zauberkreis

Folie 6-22: LUCIO SAFFARO: Platonische Formen. Computergrafik, 1989.

Emmer, Michele, Ed. Der visuelle Geist: Kunst und Mathematik. Cambridge: MIT Press, 1993. Platte A3

Projekt: Machen Sie ein Kunstwerk mit Polyedern.

Wir haben also die Ursprünge der Platonischen Körper schon vor Platon gesehen und den Einfluss der Polygone in der Kunst bis in die Gegenwart kurz nachgezeichnet.

Wir haben auch einen ersten Blick auf einige Themen geworfen, auf die wir später genauer eingehen werden.

Für mathematische Themen haben wir uns kurz Folgen und Reihen und die Geometrie der Polyeder angesehen.

Leseauftrag:

Plato, Timaeus , die Auswahl in Ihrem Reader.

Emmer, The Visual Mind , von deinem Leser

Calter, Auswahl aus Technischer Mathematik mit Infinitesimalrechnung , Handout

Zusätzliche Referenzen aus Ihrer Bibliographie:

Projekt: Wiederholen Sie Platons Berechnungen und sehen Sie, ob Sie tatsächlich eine Tonleiter erhalten.

Machen Sie einige Archimedische Körper

Machen Sie einige Sternpolyeder.

Machen Sie ein Kunstwerk mit Polyedern



Genauer gesagt ist die Polare eines Punkts in einem Kreis die Linie, die durch seinen Umkehrpunkt geht und auch senkrecht zu der Linie ist, die den ursprünglichen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises enthält. Die Abbildung rechts veranschaulicht diesen Prozess der Gegenseitigkeit. Der Punkt ist mit B bezeichnet, der Umkehrpunkt ist C und der Mittelpunkt des Kreises ist A. Die Polare von Punkt B ist die Linie, die durch den Punkt C geht.


Der Pol einer Geraden in Bezug auf einen Kreis ist der Kehrwert des Punktes auf der Geraden, der dem Kreismittelpunkt am nächsten liegt. Beachten Sie dies noch einmal in der Abbildung rechts. Der Pol der Geraden durch C ist der Punkt B.


Wenn der Punkt auf dem Kreis liegt, ist seine Polare die Linie, die an diesem Punkt tangential zum Kreis ist.

Pole und Polare sind reziprok, d.h. wenn man sich einmal hin- und herbewegt, werden Pole zu Polaren und umgekehrt. Wenn man sich also zweimal hin- und herbewegt, gelangt man wieder an den Ausgangspunkt zurück.


Eine alternative Erklärung mit der Eulerschen Formel

Die Eulersche Formel ist ein Ergebnis, das für . funktioniert konvex Polyeder (ohne Dellen). Es besagt, dass die Zahl der Gesichter plus die Anzahl der Scheitelpunkte abzüglich der Anzahl von Kanten muss gleich (2) sein:

Die platonischen Körper sind konvexe Polyeder, also müssen sie die Eulersche Formel erfüllen.

Beispiel

Ein Tetraeder hat 4 Flächen, 4 Ecken und 6 Kanten. So:

Wir können sehen, warum die Eulersche Formel funktioniert, indem wir einem Tetraeder einen Scheitelpunkt oder eine Kante hinzufügen:

Wenn wir einen zusätzlichen Scheitelpunkt hinzufügen (etwa in der Mitte einer der Kanten), dann fügen wir auch eine zusätzliche Kante hinzu. So,

Wenn wir eine zusätzliche Kante hinzufügen (z. B. eine Fläche halbieren), fügen wir auch eine zusätzliche Fläche hinzu. So,

Egal was wir mit unserem Festkörper machen, die Eulersche Formel liefert uns weiterhin (2). Sie können mehr über die Euler-Formel im Artikel über die Euler-Formel lesen.


Die mathematische Kunst von M.C. Escher

Einführung

Maurits Cornelis Escher schuf einzigartige und faszinierende Kunstwerke, die ein breites Spektrum mathematischer Ideen erforschen und ausstellen.

Er wurde 1898 in Leeuwarden, Holland, geboren, und während seiner Schulzeit plante seine Familie, dass er die Architekturkarriere seines Vaters fortsetzte. Schlechte Noten und eine Begabung zum Zeichnen und Gestalten führten ihn jedoch schließlich zu einer Karriere in der grafischen Kunst, die sich auf Holzschnitte, Schabkunst und Lithographien spezialisierte.

Seine Arbeit blieb bis in die 1950er Jahre fast unbemerkt, aber 1956 hatte er seine erste bedeutende Ausstellung gegeben, wurde in Zeit Zeitschrift und erlangte weltweites Ansehen. Zu seinen größten Bewunderern zählten Mathematiker, die in seinen Werken eine außergewöhnliche Visualisierung mathematischer Prinzipien erkannten. Dies war umso bemerkenswerter, als Escher keine formale Mathematikausbildung über die Sekundarschule hinaus hatte.

Seine Arbeiten erschienen schließlich nicht nur in gedruckter Form, sondern auch als Auftrags- oder Nachahmungsskulpturen auf öffentlichen Gebäuden, als Dekorationen für alles, von Krawatten bis hin zu Mauspads, und in Software, die zur Automatisierung der Reproduktion und Manipulation von Mosaiken geschrieben wurde. Reproduktionen seiner Werke sind nach wie vor sehr gefragt, und er hat Tausende anderer Künstler inspiriert, mathematische Themen in ihren eigenen Arbeiten zu verfolgen. Er wird natürlich auch viel nachgeahmt.

Während sich seine Arbeit entwickelte, ließ er sich von den mathematischen Ideen inspirieren, über die er las, arbeitete oft direkt von Strukturen in der ebenen und projektiven Geometrie und erfasste schließlich die Essenz nicht-euklidischer Geometrien, wie wir weiter unten sehen werden. Er war auch fasziniert von Paradoxen und „unmöglichen“ Figuren und nutzte eine Idee von Roger Penrose, um viele faszinierende Kunstwerke zu entwickeln. Für den Mathematikstudenten umfasst Eschers Arbeit also zwei große Bereiche: die Geometrie des Raums und das, was wir die Logik Raum.

Tesselationen

Regelmäßige Teilungen der Ebene, genannt Mosaike, sind Anordnungen geschlossener Formen, die die Ebene vollständig überdecken, ohne sich zu überlappen und ohne Lücken zu hinterlassen. Typischerweise sind die Formen, aus denen eine Tesselation besteht, Polygone oder ähnliche regelmäßige Formen, wie beispielsweise die quadratischen Fliesen, die häufig auf Böden verwendet werden. Escher jedoch war fasziniert von jeder Art von Tessellation – regelmäßig und unregelmäßig – und freute sich besonders an den, wie er es nannte, „Metamorphosen“, bei denen sich die Formen veränderten, miteinander wechselwirkten und manchmal sogar aus der Ebene selbst ausbrachen.

Sein Interesse begann 1936, als er nach Spanien reiste und sich die Fliesenmuster der Alhambra ansah. Er verbrachte viele Tage damit, diese Fliesen zu skizzieren, und behauptete später, dass dies "die reichste Inspirationsquelle war, die ich je angezapft habe". 1957 schrieb er einen Aufsatz über Tessellationen, in dem er bemerkte:

In mathematischen Kreisen wurde die regelmäßige Teilung der Ebene theoretisch betrachtet... Bedeutet dies, dass es sich um eine ausschließlich mathematische Frage handelt? Meiner Meinung nach nicht.

[Mathematiker] haben das Tor zu einem ausgedehnten Gebiet geöffnet, aber sie selbst haben dieses Gebiet nicht betreten. Sie interessieren sich naturgemäß mehr für die Art und Weise, wie das Tor geöffnet wird, als für den dahinter liegenden Garten.

Ob das den Mathematikern gerecht wird oder nicht, sie hatten zwar gezeigt, dass von allen regelmäßigen Vielecken nur das Dreieck, das Quadrat und das Sechseck für eine Tessellation verwendet werden können. (Viel mehr irregulär Polygone kacheln die Ebene – insbesondere gibt es viele Tessellationen mit unregelmäßigen Fünfecken.)

Escher nutzte diese Grundmuster in seinen Tessellationen und wendete an, was Geometer nennen würden Reflexionen, Gleitreflexionen, Übersetzungen, und Drehungen um eine größere Mustervielfalt zu erhalten. Er arbeitete diese Muster auch aus, indem er die Grundformen verzerrte, um sie in Tiere, Vögel und andere Figuren zu verwandeln. These distortions had to obey the three, four, or six-fold symmetry of the underlying pattern in order to preserve the tessellation. The effect can be both startling and beautiful.

The first of the examples presented here, titled Regular Division of the Plane with Birds, uses a tesselation with triangles. (To see an overlay of the triangle pattern, click on the thumbnail image to expand the large version, and then hover over it with the mouse pointer.)

The second example, Development I, uses a square tesselation. To emphasize the nature of the underlying pattern, Escher allows us to trace the developing distortions of the tesselation that lead to the pattern at the center.

The last two examples each use a hexagonal tesselation. In the first, Cycle, the running figures emerge from an orderly world to descend into a topsy-turvey chaos, but this chaos itself gives rise to the very order from which the figures emerge. In the final example, Reptiles. the tessellating creatures playfully escape from the prison of two dimensions and go snorting about the destop, only to collapse back into the pattern again. Escher used this reptile pattern in many hexagonal tessellations.

There are a number of software applications that make it easy to explore Escher-esque tesselation designs, and you can find them easily using your browser search engine.

Polyhedra

The regular solids, known as polyhedra, held a special fascination for Escher. He made them the subject of many of his works and included them as secondary elements in a great many more.

There are only five polyhedra with exactly similar polygonal faces, and they are called the Platonic solids: the tetrahedron, with four triangular faces the cube, with six square faces the octahedron, with eight triangular faces the dodecahedron, with twelve pentagonal faces and the icosahedron, with twenty triangular faces.

In the woodcut Four Regular Solids Escher has intersected all but one of the Platonic solids in such a way that their symmetries are aligned, and he has made them translucent so that each is discernable through the others. Which one is missing?

There are many interesting solids that may be obtained from the Platonic solids by intersecting them or stellating them. Zu stellate a solid means to replace each of its faces with a pyramid, that is, with a pointed solid having triangular faces this transforms the polyhedron into a pointed, three-dimensional star. A beautiful example of a stellated dodecahedron may be found in Escher’s Contrast (Order and Chaos). Here the stellated figure rests within a crystalline sphere, and the austere beauty of the construction contrasts with the disordered flotsam of other items resting on the table. Notice that the source of light for the composition may be guessed, for the bright window above and to the left of the viewer is reflected in the sphere.

Intersecting solids are also represented in many of Escher’s works, one of the most interesting being the wood engraving Stars. Here are solids constructed of intersecting octahedra, tetrahedra, and cubes, among many others. One might pause to consider, that if Escher had simply drawn a bunch of mathematical shapes and left it at that, we probably would never have heard of him or of his work. Instead, by such devices as placing the chameleons inside the polyhedron to mock and alarm us, Escher jars us out of our comfortable perceptual habits and challenges us to look with fresh eyes upon the things he has wrought. Surely this is another source of the mathematicians' admiration for Escher’s work—for just such a perceptual freshness lies at the back of all great mathematical discovery.

The Shape of Space

Among the most important of Escher’s works from a mathematical point of view are those dealing with the nature of space itself. His woodcut Three Intersecting Planes is a good place to begin a review of these works, for it exemplifies the artist’s concern with the dimensionality of space, and with the mind’s ability to discern three-dimensionality in a two-dimensional representation. As we will see in the next section, Escher often exploited this latter feature to achieve astonishing visual effects.

Inspired by a drawing in a book by the mathematician H.S.M Coxeter, Escher created many beautiful representations of hyperbolic space, as in the woodcut Circle Limit III. This is one of the two kinds of non-Euclidean space, and the model represented in Escher’s work is actually due to the French mathematician Poincaré.

To get a sense of what this space is like, imagine that you are actually im the picture itself. As you walk from the center of the picture towards its edge, you will shrink just as the fishes in the picture do, so that to actually reach the edge you have to walk a distance that, to you, seems infinite. Indeed, to you, being inside this hyperbolic space, it would not be immediately obvious that anything was unusual about it—after all, you have to walk an infinite distance to get to the edge of ordinary Euclidean space too. However, if you were a careful observer you might begin to notice some odd things, such as that all similar triangles were the same size, and that no straight-sided figure you could draw would have four right angles—that is, this space doesn’t have any squares or rectangles. A strange place indeed!

Even more unusual is the space suggested by the woodcut Snakes. Here the space heads off to infinity both towards the rim and towards the center of the circle, as suggested by the shrinking, interlocking rings. If you occupied this sort of a space, what would it be like? Not only can you not reach the edge of this space, you can’t reach the middle…

In addition to Euclidean and non-Euclidean geometries, Escher was very interested in visual aspects of Topology, a branch of mathematics just coming into full flower during his lifetime. Topology concerns itself with those properties of a space which are unchanged by distortions which may stretch or bend it—but which do not tear or puncture it—and topologists were busy showing the world many strange objects. The Möbius strip is perhaps the prime example, and Escher made many representations of it. It has the curious property that it has only one side, and one edge. Thus, if you trace the path of the ants in Möbius Strip II, you will discover that they are not walking on opposite sides of the strip at all—they are all walking on the same side. It is easy to make a Möbius strip just cut a strip of paper with scissors, give it a half-twist, and then glue or tape the ends. What do you predict will happen if you attempt to cut such a strip in two, lengthwise?

Another very remarkable lithograph, called Print Gallery, explores both the logic and the topology of space. Here a young man in an art gallery is looking at a print of a seaside town with a shop along the docks, and in the shop is an art gallery, with a young man looking at a print of a seaside wait! What’s happened?

All of Escher’s works reward a prolonged stare, but this one does especially. Somehow, Escher has turned space back into itself, so that the young man is both inside the picture and outside of it simultaneously. The secret of its making can be rendered somewhat less obscure by examining the grid-paper sketch the artist made in preparation for this lithograph. Note how the scale of the grid grows continuously in a clockwise direction. And note especially what this trick entails: A hole in the middle. A mathematician would call this a singularity, a place where the fabric of the space no longer holds together. There is just no way to knit this bizarre space into a seamless whole, and Escher, rather than try to obscure it in some way, has put his trademark initials smack in the center of it.

The Logic of Space

By the “logic” of space we mean those spatial relations among physical objects which are notwendig, and which when violated result in visual paradoxes, sometimes called optical illusions. All artists are concerned with the logic of space, and many have explored its rules quite deliberately. Picasso, for instance.

Escher understood that the geometry of space determines its logic, and likewise the logic of space often determines its geometry. One of the features of the logic of space which he often applied is the play of light and shadow on concave and convex objects. In the lithograph Cube with Ribbons, the bumps on the bands are our visual clue to how they are intertwined with the cube. However, if we are to believe our eyes, then we cannot believe the ribbons!

Another of Escher’s chief concerns was with perspective. In any perspective drawing, vanishing points are chosen which represent for the eye the “point(s) at inifinity.” It was the study of perspective and points at infinity by Alberti, Desargues, and others during the renaissance that led directly to the modern field of projective geometry.

By introducing unusual vanishing points and forcing elements of a composition to obey them, Escher was able to render scenes in which the “up/down” and “left/right” orientations of its elements shift, depending on how the viewer’s eye takes it in. In his perspective study for High and Low, the artist has placed five vanishing points: top left and right, bottom left and right, and center. The result is that in the bottom half of the composition the viewer is looking up, but in the top half he or she is looking down. To emphasize what he has accomplished, Escher has made the top and bottom halves depictions of the same composition.

A third type of “impossible drawing” relies on the brain’s insistence upon using visual clues to construct a three-dimensional object from a two-dimensional representation, and Escher created many works which address this type of anomaly.

One of the most intriguing is based on an idea of the mathematician Roger Penrose’s—the impossible triangle. In this lithograph, Waterfall, two Penrose triangles have been combined into one impossible figure. One sees immediately one of the reasons the logic of space must preclude such a construction: the waterfall is a closed system, yet it turns the mill wheel continuously, like a perpetual motion machine, violating the law of conservation of energy. (Notice the intersecting cubes and octahedrons on the towers.)

Self-Reference

Our final consideration of Escher’s art involves its relationship to the fields of information science and artificial intelligence. This aspect of his work has been largely overlooked in previous studies, but the case for its importance to these fields was forcefully made by Douglas R. Hofstadter in his 1980 Pulitzer Prize winning book, Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid.

A central concept Escher captured is that of self-reference, which many believe lies near the heart of the enigma of consciousness—and the brain’s ability to process information in a way that no computer has yet mimicked successfully.

The lithograph Drawing Hands and the woodcut Fish and Scales each captures this idea in a different way. In the former the self-reference is direct and conceptual the hands draw themselves much the way that consciousness considers and constructs itself, mysteriously, with both self and self-reference inseparable and coequal. Im Fish and Scales, on the other hand, the self-reference is more functional one might rather call it self-resemblence. In this way the woodcut describes not only fish but all organisms, for although we are not built, at least physically, from small copies of ourselves, in an information-theoretic sense we are indeed built in just such a way, for every cell of our bodies carries the complete information describing the entire creature, in the form of DNA.

On a deeper level, self-reference is found in the way our worlds of perception reflect and intersect one another. We are each like a character in a book who is reading his or her own story, or like a picture of a mirror reflecting its own landscape. Many of Escher’s works exhibit this theme of intersecting worlds, but we will here consider only one of the exemplars. As is common in Escher’s treatment of this idea, the lithograph Three Spheres II makes use of the reflective properties of a spherical mirror. Here, as Hofstatder noted, “every part of the world seems to contain, and be contained in, every other The spheres relfect one another, the artist, the room in which he works, and the paper upon which he draws the spheres.

And so we end where we began, with a self portrait: the work a reflection of the artist, the artist reflected in his work.


Online Help

There is extensive online help available for assisting with subjects such as:

  • handling your account(s) - for schools how to set up and use separate teacher and student personal accounts
  • setting up student classes and accounts, including importing data from external sources
  • assessment from both the student's and teacher's perpective (including, for teachers, how to create and allocate student tasks)
  • how to use o-test progress charts
  • how teachers can monitor the progress of their students
  • setting up and printing exam papers (including how to handle common printing problems).

To access the online help click or touch the ? button near the top-right of the page. This button will appear with a green background when there is help available directly related to the page currently displayed.


Let’s add some STEAM

Kunst Now that you know the fancy math behind the complex shapes you are making have some fun creating artful patterns on them! A pattern as defined in art is an organizing structure for a composition. Patterns typically repeat in an organized way in drawings and designs. If you draw designs and patterns from the dots on the template you can create connecting designs that fluidly move around the final 3D geometric shapes. Experiment with your designs and watch how they change when folded into a 3D shape.

Ingenieurwesen This is a wonderful project to illustrate how strong sheets of a material can become when that material is bent and shaped. A sheet of paper is flimsy and can’t support much, but when folded into 3d geometric shapes it becomes quite rigid, can support some modest weight, AND can be stacked to create height. Many construction materials such as sheet metal are not very strong in sheet form but when bent into tubes, squares, and other shapes, becomes very rigid and structural.


13.5: Platonic Solids - Mathematics

A platonic solid is a polyhedron all of whose faces are congruent regular polygons, and where the same number of faces meet at every vertex. The best know example is a cube (or hexahedron ) whose faces are six congruent squares.

Manipulating the shapes on this page.

There are only five!

The Greeks recognized that there are only five platonic solids. But why is this so? The key observation is that the interior angles of the polygons meeting at a vertex of a polyhedron add to less than 360 degrees. To see this note that if such polygons met in a plane, the interior angles of all the polygons meeting at a vertex would add to exactly 360 degrees. Now cut an angle out of paper, and fold another piece of paper to that angle along a line. The first piece will fit into the second piece when it is perpendicular to the fold. Think of the fold as a line coming out of our polyhedron. The faces of the polyhedron meet at the fold at angles less than 90 degrees. How can this be possible? Try wiggling your first piece of paper within the second. To be able to incline it with respect to the fold you have to decrease the angle of the first piece, or increase the angle of the second.

Next we'll consider all possibilities for the number of faces meeting at a vertex of a regular polyhedron. For each possibility we actually construct such a polyhedron, a picture of which you can see close by on this page. Here are the possibilities:

  • Triangles. The interior angle of an equilateral triangle is 60 degrees. Thus on a regular polyhedron, only 3, 4, or 5 triangles can meet a vertex. If there were more than 6 their angles would add up to at least 360 degrees which they can't. Consider the possibilities:
    • 3 triangles meet at each vertex. This gives rise to a Tetrahedron.
    • 4 triangles meet at each vertex. This gives rise to an Octahedron.
    • 5 triangles meet at each vertex. This gives rise to an Icosahedron

    But now things get a little more subtle. We have looked at all possibilities of congruent regular polygons meeting at a vertex of a polyhedron, but how do we know that there isn't another regular polyhedron for some of these cases? For example, why is the cube the only polyhedron for which three squares meet at each vertex? The rest of this page gives the answer to this question, but the going will be much harder!

    • m be the number of polygons meeting at a vertex,
    • n the number of vertices of each polygon,
    • f the number of faces of the polyhedron,
    • e the number of edges of the polyhedron, and
    • v the number of vertices of the polyhedron.

    The values of these numbers for each of the polyhedra are listed in this table:

    nein ich f e v
    Tetrahedron 3 3 4 6 4
    Octahedron 3 4 8 12 6
    Icosahedron 3 5 20 30 12
    Hexahedron 4 3 6 12 8
    Dodecahedron 5 3 12 30 20
    Table: Combinatorics of Regular Polyhedra

    Our aim now is to show that for any pair of number n and m the values of the other parameters, f , e , and v are determined uniquely.

    First we note that since two faces meet in one edge, we must have

    Next, since every vertex is shared by m faces, we must have

    It is apparent from the Table that for all five regular polyhedra

    We'll see below that this equations actually holds for all convex polyhedra. Gegeben ich und nein the above three equations determine f, e, und v uniquely, and so there are only five possible regular polyhedra.

    Euler's Polyhedron Theorem

    Now think of the remaining faces of the polyhedron as made of rubber and stretched out on a table. This will certainly change the shape of the polygons and the angles involved, but it will not alter the number of vertices, edges, and faces. Now we draw diagonals in the stretched faces out of the Polygons. Every diagonal increase the number e of edges by one, and also the number F of faces, so that our equation (*) remains valid. We continue this process until all polygons have been changed into triangles.

    In the final stage we remove triangles until we are left with only one triangle for which (*) is obviously true. How do we do that? If the removed triangle has exactly one edge on the boundary then F and e are both decreased by 1 and (*) remains true. If it has two edges on the boundary then F is reduced by 1, e is reduced by 2, and v is reduced by 1, so that (*) remains true.

    There is one final subtlety . Can we really dismantle the triangles as described? The answer is yes. But as an exercise you may wish to modify the dismantling procedure to remove all doubts in your mind. A similar dismantling procedure could be designed for a tessellation of a polyhedron by polyhedra, but in that case it is not always possible. For an illustration you may want to visit my page that describes Rudin's example of an unshellable triangulation.

    If you'd like to play with polyhedron with many more faces, here is a crude rendering of a sphere, which is of course not a platonic solid!


    Schau das Video: Die heilige allumfassende Geometrie - platonische Körper, goldener Schnitt (Januar 2022).