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4.2: Modellierung mit linearen Funktionen

4.2: Modellierung mit linearen Funktionen



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Lernziele

  • Erstellen Sie lineare Modelle aus verbalen Beschreibungen.
  • Modellieren Sie einen Datensatz mit einer linearen Funktion.

Emily ist eine College-Studentin, die einen Sommer in Seattle verbringen möchte. Sie hat 3.500 US-Dollar für ihre Reise gespart und rechnet damit, jede Woche 400 US-Dollar für Miete, Essen und Aktivitäten auszugeben. Wie können wir ein lineares Modell schreiben, um ihre Situation darzustellen? Was wäre der x-Achsenabschnitt und was kann sie daraus lernen? Um diese und verwandte Fragen zu beantworten, können wir ein Modell mit einer linearen Funktion erstellen. Modelle wie dieses können äußerst nützlich sein, um Beziehungen zu analysieren und Vorhersagen auf der Grundlage dieser Beziehungen zu treffen. In diesem Abschnitt werden wir Beispiele für lineare Funktion Modelle.

Identifizieren von Schritten zum Modellieren und Lösen von Problemen

Wann Modellieren Szenarien mit linearen Funktionen und Lösen von Problemen mit Mengen mit a konstante Änderungsrate, folgen wir normalerweise den gleichen Problemstrategien, die wir für jede Art von Funktion verwenden würden. Lassen Sie uns sie kurz Revue passieren lassen:

Identifizieren Sie sich ändernde Mengen und definieren Sie dann beschreibende Variablen, um diese Mengen darzustellen. Skizzieren Sie gegebenenfalls ein Bild oder definieren Sie ein Koordinatensystem.
Lesen Sie das Problem sorgfältig durch, um wichtige Informationen zu identifizieren. Suchen Sie nach Informationen, die Werte für die Variablen oder Werte für Teile des Funktionsmodells bereitstellen, z. B. Steigung und Anfangswert.
Lesen Sie das Problem sorgfältig durch, um festzustellen, was wir zu finden, zu identifizieren, zu lösen oder zu interpretieren versuchen.
Identifizieren Sie einen Lösungsweg von den bereitgestellten Informationen zu dem, was wir suchen. Dies beinhaltet häufig das Überprüfen und Verfolgen von Einheiten, das Erstellen einer Tabelle oder sogar das Finden einer Formel für die Funktion, die zum Modellieren des Problems verwendet wird.
Schreiben Sie bei Bedarf eine Formel für die Funktion.
Lösen oder bewerten Sie die Funktion mit der Formel.
Überlegen Sie, ob Ihre Antwort für die gegebene Situation angemessen und mathematisch sinnvoll ist.
Geben Sie Ihr Ergebnis in geeigneten Einheiten deutlich wieder und antworten Sie bei Bedarf in ganzen Sätzen.

Erstellen linearer Modelle

Schauen wir uns nun den Studenten in Seattle an. In ihrer Situation gibt es zwei wechselnde Größen: Zeit und Geld. Wie viel Geld sie im Urlaub noch hat, hängt davon ab, wie lange sie bleibt. Wir können diese Informationen verwenden, um unsere Variablen, einschließlich Einheiten, zu definieren.

  • Ausgabe: (M), verbleibendes Geld, in Dollar
  • Eingabe: (t), Zeit, in Wochen

Der verbleibende Geldbetrag hängt also von der Anzahl der Wochen ab: (M(t))

Wir können auch den Anfangswert und die Änderungsrate identifizieren.

  • Anfangswert: Sie hat 3.500 US-Dollar gespart, also sind 3.500 US-Dollar der Anfangswert für M.
  • Veränderungsrate: Sie rechnet damit, dass sie jede Woche 400 US-Dollar ausgibt, also -400 US-Dollar pro Woche ist die Veränderungsrate oder Steigung.

Beachten Sie, dass die Einheit Dollar pro Woche der Einheit unserer Ausgabevariablen dividiert durch unsere Eingabevariable entspricht. Da die Steigung negativ ist, nimmt auch die lineare Funktion ab. Dies sollte sinnvoll sein, da sie jede Woche Geld ausgibt.

Das Änderungsrate ist konstant, also können wir mit dem linearen Modell (M(t)=mt+b) beginnen. Dann können wir den Achsenabschnitt und die Steigung ersetzen.

Um den x-Achsenabschnitt zu finden, setzen wir die Ausgabe auf Null und lösen nach der Eingabe auf.

[egin{align*} 0&=−400t+3500 t&=dfrac{3500}{400} &=8,75 end{align*}]

Der x-Achsenabschnitt beträgt 8,75 Wochen. Da dies den Eingabewert darstellt, wenn die Ausgabe Null ist, könnten wir sagen, dass Emily nach 8,75 Wochen kein Geld mehr hat.

Bei der Modellierung eines realen Szenarios mit Funktionen gibt es normalerweise einen begrenzten Bereich, für den dieses Modell gültig ist – fast kein Trend setzt sich auf unbestimmte Zeit fort. Hier bezieht sich die Domain auf die Anzahl der Wochen. In diesem Fall macht es keinen Sinn, von Eingabewerten kleiner Null zu sprechen. Ein negativer Eingabewert könnte sich auf eine Anzahl von Wochen beziehen, bevor sie 3.500 USD gespart hat, aber das diskutierte Szenario wirft die Frage auf, sobald sie 3.500 USD gespart hat, da dies der Zeitpunkt ist, an dem ihre Reise und die nachfolgenden Ausgaben beginnen. Es ist auch wahrscheinlich, dass dieses Modell nach dem x-Intercept nicht mehr gültig ist, es sei denn, Emily verwendet eine Kreditkarte und verschuldet sich. Der Bereich stellt die Menge der Eingabewerte dar, daher ist der sinnvolle Bereich für diese Funktion (0{leq}t{leq}8.75).

Im obigen Beispiel wurde uns eine schriftliche Beschreibung der Situation gegeben. Wir folgten den Schritten der Modellierung eines Problems, um die Informationen zu analysieren. Die bereitgestellten Informationen sind jedoch möglicherweise nicht immer gleich. Manchmal werden wir mit einem Abfangen versorgt. Zu anderen Zeiten können wir einen Ausgabewert erhalten. Wir müssen vorsichtig sein, um die uns gegebenen Informationen zu analysieren und sie angemessen zu verwenden, um ein lineares Modell zu erstellen.

Verwenden eines bestimmten Abschnitts zum Erstellen eines Modells

Einige Probleme der realen Welt liefern den y-Achsenabschnitt, der die Konstante oder der Anfangswert ist. Sobald der y-Achsenabschnitt bekannt ist, kann der x-Achsenabschnitt berechnet werden. Nehmen wir zum Beispiel an, Hannah plant, ein zinsloses Darlehen ihrer Eltern abzubezahlen. Ihr Kreditsaldo beträgt 1.000 US-Dollar. Sie plant, 250 US-Dollar pro Monat zu zahlen, bis ihr Guthaben 0 US-Dollar beträgt. Der y-Achsenabschnitt ist der anfängliche Betrag ihrer Schulden oder 1.000 USD. Die Änderungsrate oder Steigung beträgt -250 USD pro Monat. Wir können dann die Steigungsabschnittsform und die gegebenen Informationen verwenden, um ein lineares Modell zu entwickeln.

[egin{align*} f(x)&=mx+b &=-250x+1000 end{align*}]

Jetzt können wir die Funktion gleich 0 setzen und nach (x) auflösen, um den x-Achsenabschnitt zu finden.

[egin{align*} 0&=-250+1000 1000&=250x 4&=x x&=4 end{align*}]

Der x-Achsenabschnitt ist die Anzahl der Monate, die sie braucht, um einen Saldo von 0 $ zu erreichen. Der x-Schnitt beträgt 4 Monate, also wird Hannah vier Monate brauchen, um ihren Kredit abzubezahlen.

Verwenden einer gegebenen Eingabe und Ausgabe zum Erstellen eines Modells

Viele Anwendungen in der realen Welt sind nicht so direkt wie die, die wir gerade betrachtet haben. Stattdessen verlangen sie von uns, einen Aspekt einer linearen Funktion zu identifizieren. Manchmal werden wir stattdessen möglicherweise aufgefordert, das lineare Modell an einer bestimmten Eingabe auszuwerten oder die Gleichung des linearen Modells einer bestimmten Ausgabe gleichzusetzen.

Verwenden Sie bei einer Wortaufgabe, die zwei Paare von Eingabe- und Ausgabewerten enthält, die lineare Funktion, um ein Problem zu lösen.

  1. Identifizieren Sie die Eingabe- und Ausgabewerte.
  2. Wandeln Sie die Daten in zwei Koordinatenpaare um.
  3. Finden Sie die Steigung.
  4. Schreiben Sie das lineare Modell.
  5. Verwenden Sie das Modell, um eine Vorhersage zu treffen, indem Sie die Funktion bei einem bestimmten x-Wert auswerten.
  6. Verwenden Sie das Modell, um einen x-Wert zu identifizieren, der zu einem bestimmten y-Wert führt.
  7. Beantworten Sie die gestellte Frage.

Beispiel (PageIndex{1}): Verwendung eines linearen Modells zur Untersuchung der Bevölkerung einer Stadt

Die Einwohnerzahl einer Stadt wächst linear. Im Jahr 2004 betrug die Einwohnerzahl 6.200. Bis 2009 war die Einwohnerzahl auf 8.100 angewachsen. Angenommen, dieser Trend hält an.

  1. Vorhersage der Bevölkerung im Jahr 2013.
  2. Bestimmen Sie das Jahr, in dem die Bevölkerung 15.000 erreichen wird.

Lösung

Die beiden sich ändernden Größen sind die Populationsgröße und die Zeit. Wir könnten zwar den tatsächlichen Jahreswert als Eingangsgröße verwenden, dies führt jedoch zu sehr umständlichen Gleichungen, da der y-Achsenabschnitt dem Jahr 0 vor mehr als 2000 Jahren entsprechen würde!

Um die Berechnung etwas angenehmer zu machen, definieren wir unsere Eingabe als die Anzahl der Jahre seit 2004:

  • Eingabe: (t), Jahre seit 2004
  • Ausgabe: (P(t)), Einwohnerzahl der Stadt

Um die Bevölkerung im Jahr 2013 ((t=9)) vorherzusagen, benötigen wir zunächst eine Gleichung für die Bevölkerung. Um herauszufinden, wann die Bevölkerung 15.000 erreichen würde, müssten wir ebenfalls nach der Eingabe auflösen, die eine Ausgabe von 15.000 ergeben würde. Um eine Gleichung zu schreiben, benötigen wir den Anfangswert und die Änderungsrate oder Steigung.

Um die Änderungsrate zu bestimmen, verwenden wir die Änderung des Outputs pro Änderung des Inputs.

[m=dfrac{ ext{Änderung der Ausgabe}}{ ext{Änderung der Eingabe}}]

Das Problem liefert uns zwei Input-Output-Paare. Umgerechnet, damit sie mit unseren definierten Variablen übereinstimmen, würde das Jahr 2004 (t=0) entsprechen, was den Punkt ((0,6200)) ergibt. Beachten Sie, dass wir uns durch unsere geschickte Wahl der Variablendefinition den y-Achsenabschnitt der Funktion „gegeben“ haben. Das Jahr 2009 würde (t=5) entsprechen, was den Punkt ((5,8100)) ergibt.

Die beiden Koordinatenpaare sind ((0.6200)) und ((5.8100)). Denken Sie daran, dass wir auf Beispiele gestoßen sind, in denen uns zwei Punkte weiter oben in diesem Kapitel mitgeteilt wurden. Wir können diese Werte verwenden, um die Steigung zu berechnen.

[egin{align*} m&=dfrac{8100-6200}{5-0} &=dfrac{1900}{5} &=380 ext{ Personen pro Jahr} end{align *}]

Wir kennen bereits den y-Achsenabschnitt der Geraden, also können wir sofort die Gleichung schreiben:

[P(t)=380t+6200]

Um die Population im Jahr 2013 vorherzusagen, bewerten wir unsere Funktion bei (t=9).

[egin{align*} P(9)&=380(9)+6.200 &=9.620 end{align*}]

Wenn der Trend anhält, sagt unser Modell für 2013 eine Bevölkerung von 9.620 voraus.

Um herauszufinden, wann die Bevölkerung 15.000 erreicht, können wir (P(t)=15.000) setzen und nach (t) auflösen.

[egin{align*} 15000&=380t+6200 8800&=380t t&{approx}23.158 end{align*}]

Unser Modell sagt voraus, dass die Bevölkerung in etwas mehr als 23 Jahren nach 2004 oder ungefähr im Jahr 2027 15.000 erreichen wird.

Übung (PageIndex{1A})

Ein Unternehmen verkauft Donuts. Für Miete, Versicherung und andere Ausgaben fallen Fixkosten von 25.000 US-Dollar an. Die Herstellung jedes Donuts kostet 0,25 US-Dollar.

  1. Schreiben Sie ein lineares Modell, um die Kosten C des Unternehmens als Funktion von (x), der Anzahl der produzierten Donuts, darzustellen.
  2. Finden und interpretieren Sie den y-Achsenabschnitt.

Lösung

ein. (C(x)=0,25x+25.000) b. Der y-Achsenabschnitt ist ((0,25.000)). Wenn das Unternehmen keinen einzigen Donut herstellt, entstehen dennoch Kosten in Höhe von 25.000 US-Dollar.

Übung (PageIndex{1B})

Die Bevölkerung einer Stadt wächst linear. Im Jahr 2008 betrug die Einwohnerzahl 28.200. Im Jahr 2012 betrug die Einwohnerzahl 36.800. Angenommen, dieser Trend hält an.

  1. Vorhersage der Bevölkerung im Jahr 2014.
  2. Geben Sie das Jahr an, in dem die Bevölkerung 54.000 erreichen wird.

Lösung

ein. 41.100 geb. 2020

Verwenden eines Diagramms zur Modellierung eines Problems

Für viele praktische Anwendungen ist es nützlich, ein Bild zu zeichnen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie die Variablen, die die Eingabe und Ausgabe darstellen, verwendet werden können, um eine Frage zu beantworten. Um das Bild zu zeichnen, überlegen Sie zuerst, wonach das Problem verlangt. Bestimmen Sie dann den Input und den Output. Das Diagramm sollte die Variablen in Beziehung setzen. Oft werden geometrische Formen oder Figuren gezeichnet. Entfernungen werden oft nachgezeichnet. Wenn ein rechtwinkliges Dreieck skizziert wird, bezieht der Satz des Pythagoras die Seiten in Beziehung. Wenn ein Rechteck skizziert wird, ist die Beschriftung von Breite und Höhe hilfreich.

Beispiel (PageIndex{2}): Verwenden eines Diagramms zum Modellieren der zurückgelegten Strecke

Anna und Emanuel starten an derselben Kreuzung. Anna läuft mit 4 Meilen pro Stunde nach Osten, während Emanuel mit 5 Meilen pro Stunde nach Süden geht. Sie kommunizieren mit einem Funkgerät mit einer Reichweite von 2 Meilen. Wie lange, nachdem sie angefangen haben zu laufen, werden sie den Funkkontakt verlieren?

Lösung

Im Wesentlichen können wir diese Frage teilweise beantworten, indem wir sagen, dass sie den Funkkontakt verlieren, wenn sie 2 Meilen voneinander entfernt sind, was uns zu einer neuen Frage führt:

"Wie lange dauert es, bis sie 2 Meilen voneinander entfernt sind?"

Bei diesem Problem sind unsere sich ändernden Größen Zeit und Position, aber letztendlich müssen wir wissen, wie lange es dauert, bis sie 2 Meilen voneinander entfernt sind. Wir können sehen, dass die Zeit unsere Eingabevariable ist, also definieren wir unsere Eingabe- und Ausgabevariablen.

  • Eingabe: (t), Zeit in Stunden.
  • Ausgabe: (A(t)), Distanz in Meilen und (E(t)), Distanz in Meilen

Da es nicht offensichtlich ist, wie wir unsere Ausgabevariable definieren, zeichnen wir zunächst ein Bild wie Abbildung (PageIndex{3}).

  • Anfangswert: Beide beginnen am selben Schnittpunkt, so dass bei (t=0) die von jeder Person zurückgelegte Entfernung ebenfalls 0 sein sollte. Daher ist der Anfangswert für jede Person 0.
  • Änderungsrate: Anna läuft 4 Meilen pro Stunde und Emanuel geht 5 Meilen pro Stunde, beides Änderungsraten. Die Steigung für (A) ist 4 und die Steigung für (E) ist 3.

Mit diesen Werten können wir Formeln für die Distanz schreiben, die jede Person zurückgelegt hat.

[A(t)=4t]

[E(t)=3t]

Für dieses Problem sind die Abstände vom Startpunkt wichtig. Um diese zu notieren, können wir ein Koordinatensystem definieren, das den „Startpunkt“ an der Kreuzung identifiziert, an der beide begonnen haben. Dann können wir die oben eingeführte Variable (A) verwenden, um Annas Position darzustellen, und sie als Messung vom Startpunkt in östlicher Richtung definieren. Ebenso kann die Variable (E) verwendet werden, um Emanuels Position darzustellen, gemessen vom Startpunkt in Richtung Süden. Beachten Sie, dass wir beim Definieren des Koordinatensystems sowohl den Startpunkt der Messung als auch die Messrichtung angegeben haben.

Wir können dann eine dritte Variable, (D), als Maß für den Abstand zwischen Anna und Emanuel definieren. Die Darstellung der Variablen im Diagramm ist oft hilfreich, wie wir in Abbildung (PageIndex{4}) sehen können.

Denken Sie daran, dass wir wissen müssen, wie lange es dauert, bis (D), der Abstand zwischen ihnen, 2 Meilen beträgt. Beachten Sie, dass für jede gegebene Eingabe (t) die Ausgaben (A(t)), (E(t)) und (D(t)) Distanzen darstellen.

Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir:

[egin{ausrichten*} d(t)^2&=A(t)^2+E(t)^2 &=(4t)^2+(3t)^2 &=16t^2 +9t^2 &=25t^2 D(t)&=pmsqrt{25t^2} & ext{Auflösen nach $D(t)$ mit der Quadratwurzel} &= uhr 17|t| end{ausrichten*}]

In diesem Szenario betrachten wir nur positive Werte von (t), daher wird unser Abstand (D(t)) immer positiv sein. Wir können diese Antwort auf (D(t)=5t) vereinfachen. Das bedeutet, dass auch der Abstand zwischen Anna und Emanuel eine lineare Funktion ist. Da D eine lineare Funktion ist, können wir jetzt die Frage beantworten, wann die Entfernung zwischen ihnen 2 Meilen beträgt. Wir setzen die Ausgabe (D(t)=2) und lösen nach (t) auf.

[egin{align*} D(t)&=2 5t&=2 t&=dfrac{2}{5}=0,4 end{align*}]

Sie werden in 0,4 Stunden oder 24 Minuten den Funkkontakt verlieren.

Soll ich Diagramme zeichnen, wenn ich Informationen basierend auf einer geometrischen Form erhalten habe?

Ja. Skizziere die Figur und beschrifte die Mengen und Unbekannten auf der Skizze.

Beispiel (PageIndex{3}): Verwenden eines Diagramms zur Modellierung der Entfernung zwischen Städten

Es gibt eine gerade Straße, die von der Stadt Westborough nach Agritown 30 Meilen östlich und 10 Meilen nördlich führt. Auf halbem Weg diese Straße entlang, mündet sie in eine zweite, senkrecht zur ersten Straße, die zur Stadt Eastborough führt. Wenn die Stadt Eastborough 32 km östlich der Stadt Westborough liegt, wie weit ist die Straßenkreuzung von Westborough entfernt?

Lösung

Hier kann es hilfreich sein, ein Bild der Situation zu zeichnen. Siehe Abbildung (PageIndex{5}). Dann wäre es hilfreich, ein Koordinatensystem einzuführen. Obwohl wir den Ursprung überall platzieren könnten, erscheint es praktisch, ihn in Westborough zu platzieren. Damit liegt Agritown bei den Koordinaten ((30, 10)) und Eastborough bei ((20,0)).

Mit diesem Punkt zusammen mit dem Ursprung können wir die Steigung der Linie von Westborough nach Agritown finden:

[m=dfrac{10-0}{30-0}=dfrac{1}{3}]

Die Straßengleichung von Westborough nach Agritown wäre

[W(x)=dfrac{1}{3}x]

Daraus können wir bestimmen, dass die senkrechte Straße nach Eastborough die Steigung (m=–3) hat. Da die Stadt Eastborough am Punkt ((20, 0)) liegt, können wir die Gleichung finden:

[egin{align*} E(x)&=−3x+b 0&=−3(20)+b & ext{Ersetzen in $(20, 0)$} b&=60 E(x)&=−3x+60 end{align*}]

Wir können nun die Koordinaten der Kreuzung der Straßen finden, indem wir den Schnittpunkt dieser Linien finden. Gleich setzen,

[egin{align*} dfrac{1}{3}x&=−3x+60 dfrac{10}{3}x&=60 10x&=180 x&=18 & ext{Ersetzen das wieder in $W(x)$} y&=W(18) &= dfrac{1}{3}(18) &=6 end{align*}]

Die Straßen kreuzen sich im Punkt ((18,6)). Mit der Entfernungsformel können wir nun die Entfernung von Westborough bis zur Kreuzung ermitteln.

[egin{ausrichten*} ext{abstand}&=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} &=sqrt{(18-0)^2+( 6-0)^2} &ca. 18,743 ext{Meilen} end{align*}]

Analyse

Eine nette Verwendung linearer Modelle besteht darin, sich die Tatsache zunutze zu machen, dass die Graphen dieser Funktionen Linien sind. Dies bedeutet, dass reale Anwendungen, die Karten diskutieren, lineare Funktionen benötigen, um die Abstände zwischen Referenzpunkten zu modellieren.

Übung (PageIndex{2})

Es gibt eine gerade Straße, die von der Stadt Timpson nach Ashburn 60 Meilen östlich und 12 Meilen nördlich führt. Auf halbem Weg die Straße hinunter mündet sie in eine zweite, senkrecht zur ersten Straße, die zur Stadt Garrison führt. Wenn die Stadt Garrison 22 Meilen direkt östlich der Stadt Timpson liegt, wie weit ist die Straßenkreuzung von Timpson entfernt?

Lösung

21,15 Meilen

Bausysteme aus linearen Modellen

Reale Situationen mit zwei oder mehr linearen Funktionen können mit a . modelliert werden lineares Gleichungssystem. Denken Sie daran, dass wir beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach Punkten suchen, die die beiden Geraden gemeinsam haben. Typischerweise sind drei Arten von Antworten möglich, wie in Abbildung (PageIndex{6}) gezeigt.

Geben Sie in einer Situation, die ein lineares Gleichungssystem darstellt, das Gleichungssystem auf und identifizieren Sie die Lösung.

  1. Identifizieren Sie die Eingabe und Ausgabe jedes linearen Modells.
  2. Identifizieren Sie die Steigung und den y-Achsenabschnitt jedes linearen Modells.
  3. Finden Sie die Lösung, indem Sie die beiden linearen Funktionen gleichsetzen und nach (x) auflösen, oder suchen Sie den Schnittpunkt auf einem Graphen.

Beispiel (PageIndex{4}): Aufbau eines Systems linearer Modelle zur Auswahl eines LKW-Vermieters

Jamal wählt zwischen zwei LKW-Vermietern. Die erste, Keep on Trucking, Inc., erhebt eine Vorabgebühr von 20 US-Dollar, dann 59 Cent pro Meile[1]. Die zweite, Move It Your Way, erhebt eine Vorabgebühr von 16 US-Dollar, dann 63 Cent pro Meile. Wann wird Keep on Trucking, Inc. die bessere Wahl für Jamal sein?

Lösung

Die beiden wichtigen Größen bei diesem Problem sind die Kosten und die Anzahl der gefahrenen Kilometer. Da wir zwei Unternehmen zu berücksichtigen haben, werden wir zwei Funktionen definieren.

  • Eingabe: (d), gefahrene Strecke in Meilen
  • Ausgaben: (K(d):) Kosten in Dollar für die Anmietung bei Keep on Trucking

(M(d):) Kosten in Dollar für die Anmietung bei Move It Your Way

  • Anfangswert: Vorauszahlung: (K(0)=20) und (M(0)=16)
  • Änderungsrate: (K(d)=dfrac{$0,59}{ ext{Meilen}}) und (P(d)=dfrac{$0,63}{ ext{Meilen}})

Eine lineare Funktion hat die Form (f(x)=mx+b). Mit den Änderungsraten und Ausgabeaufschlägen können wir die Gleichungen schreiben

[K(d)=0.59d+20 keineZahl]

[M(d)=0,63d+16 keineZahl]

Anhand dieser Gleichungen können wir feststellen, wann Keep on Trucking, Inc. die bessere Wahl ist. Da wir diese Entscheidung nur aufgrund der Kosten treffen müssen, suchen wir danach, wann Move It Your Way weniger kostet oder wann (K(d)

Diese Graphen sind in Abbildung (PageIndex{7}) skizziert, mit (K(d)) in Blau.

Um den Schnittpunkt zu finden, setzen wir die Gleichungen gleich und lösen:

[egin{ausrichten*} K(d)&=M(d) 0,59d+20&=0,63d+16 4&=0,04d 100&=d d&=100 end{ausrichten* }]

Dies sagt uns, dass die Kosten der beiden Unternehmen gleich sind, wenn 100 Meilen gefahren werden. Wenn wir uns entweder die Grafik ansehen oder feststellen, dass (K(d)) langsamer wächst, können wir schlussfolgern, dass Keep on Trucking, Inc. der günstigere Preis ist, wenn mehr als 100 Meilen gefahren werden, d (d>100).

Schlüssel Konzepte

  • Wir können die gleichen Problemstrategien verwenden, die wir für jede Art von Funktion verwenden würden.
  • Identifizieren Sie beim Modellieren und Lösen eines Problems die Variablen und suchen Sie nach Schlüsselwerten, einschließlich Steigung und y-Achsenabschnitt.
  • Zeichnen Sie ggf. ein Diagramm.
  • Prüfen Sie die Angemessenheit der Antwort.
  • Lineare Modelle können erstellt werden, indem die Steigung identifiziert oder berechnet wird und der y-Achsenabschnitt verwendet wird.
  • Der x-Achsenabschnitt kann gefunden werden, indem (y=0) gesetzt wird, was bedeutet, dass der Ausdruck (mx+b) gleich 0 ist.
  • Der Schnittpunkt eines linearen Gleichungssystems ist der Punkt, an dem die x- und y-Werte gleich sind.
  • Ein Graph des Systems kann verwendet werden, um die Punkte zu identifizieren, an denen eine Linie unter (oder über) die andere Linie fällt.

4.2 Lineare stationäre Modelle für Zeitreihen

Ein stochastischer Prozess ist ein Modell, das die Wahrscheinlichkeitsstruktur einer Folge von Beobachtungen über die Zeit beschreibt. Eine Zeitreihe ist eine beispielhafte Realisierung eines stochastischen Prozesses, der nur für eine endliche Anzahl von Perioden beobachtet wird, indiziert durch .

Jeder stochastische Prozess kann teilweise durch das erste und zweite Moment der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung charakterisiert werden: die Menge der Mittelwerte, und die Menge der Varianzen und Kovarianzen. Um konsistente Prognosemethoden zu erhalten, benötigen wir, dass die zugrunde liegende probabilistische Struktur über die Zeit stabil ist. Ein stochastischer Prozess heißt also schwach stationär oder Kovarianzstationär, wenn der Mittelwert, die Varianz und die Kovarianzstruktur des Prozesses über die Zeit stabil sind, d. h.:

Unter Bedingung (4.3) hängt die Kovarianz zwischen und nur von der Verschiebung ab und wird als Autokovarianz bei lag , bezeichnet. Die Menge der Autokovarianzen , , wird als Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses bezeichnet.

Das allgemeine Modell des Autoregressiven gleitenden Durchschnitts ist ein lineares stochastisches Modell, bei dem die Variable in Bezug auf ihre eigenen Vergangenheitswerte und eine Störung modelliert wird. Es ist wie folgt definiert:

wobei die Zufallsvariable Innovation genannt wird, weil sie den Teil der beobachteten Variablen darstellt, der angesichts der vergangenen Werte unvorhersehbar ist.

Das allgemeine Modell (4.4) geht davon aus, dass es sich um die Ausgabe eines linearen Filters handelt, der die vergangenen Innovationen transformiert, also ein linearer Prozess ist. Diese Linearitätsannahme basiert auf dem Zerlegungssatz von Wold (Wold 1938), der besagt, dass jeder diskrete stationäre Kovarianzprozess als Summe zweier unkorrelierter Prozesse ausgedrückt werden kann,

wobei rein deterministisch und ein rein indeterministischer Prozess ist, der als lineare Summe des Innovationsprozesses geschrieben werden kann:

wobei eine Folge von seriell unkorrelierten Zufallsvariablen mit Nullmittelwert und gemeinsamer Varianz ist. Voraussetzung für die Stationarität ist die Bedingung.

Die Formulierung (4.4) ist eine endliche Umparametrierung der unendlichen Darstellung (4.5)-(4.6) mit Konstante. Es wird normalerweise in Form des Lag-Operators geschrieben, der durch definiert wird, der einen kürzeren Ausdruck ergibt:

wobei die Lag-Operator-Polynome und das Polynom bzw. das Polynom genannt werden. Um Parameterredundanz zu vermeiden, gehen wir davon aus, dass es keine gemeinsamen Faktoren zwischen den und den Komponenten gibt.

Als nächstes werden wir den Plot einiger Zeitreihen untersuchen, die von stationären Modellen generiert wurden, mit dem Ziel, die Hauptmuster ihrer zeitlichen Entwicklung zu bestimmen. Abbildung 4.2 enthält zwei Reihen, die aus den folgenden stationären Prozessen generiert wurden, die mit dem Genarma-Quantlet berechnet wurden:

Erwartungsgemäß bewegen sich beide Zeitreihen um ein konstantes Niveau, ohne dass sich die Varianz aufgrund der stationären Eigenschaft ändert. Darüber hinaus liegt dieses Niveau nahe am theoretischen Mittelwert des Prozesses, und der Abstand jedes Punktes zu diesem Wert liegt sehr selten außerhalb der Grenzen . Darüber hinaus zeigt die Entwicklung der Reihe lokale Abweichungen vom Mittelwert des Prozesses, was als mittleres Reversionsverhalten bekannt ist, das die stationären Zeitreihen charakterisiert.

Lassen Sie uns die Eigenschaften der verschiedenen Prozesse genauer untersuchen, insbesondere die Autokovarianzfunktion, die die dynamischen Eigenschaften eines stochastischen stationären Prozesses erfasst. Diese Funktion hängt von den Maßeinheiten ab, daher ist das übliche Maß für den Linearitätsgrad zwischen Variablen der Korrelationskoeffizient. Bei stationären Prozessen ist der Autokorrelationskoeffizient bei lag , bezeichnet mit , als Korrelation zwischen und definiert:

Somit ist die Autokorrelationsfunktion (ACF) die durch die Varianz standardisierte Autokovarianzfunktion. Die Eigenschaften des ACF sind:

Aufgrund der Symmetrieeigenschaft (4.10) wird der ACF normalerweise durch ein Balkendiagramm an den nichtnegativen Verzögerungen dargestellt, das als einfaches Korrelogramm bezeichnet wird.

Ein weiteres nützliches Werkzeug zur Beschreibung der Dynamik eines stationären Prozesses ist die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF). Der partielle Autokorrelationskoeffizient bei Lag misst die lineare Assoziation zwischen und bereinigt um die Auswirkungen der Zwischenwerte. Daher ist es nur der Koeffizient im linearen Regressionsmodell:

Die Eigenschaften des PACF sind denen des ACF (4.8)-(4.10) äquivalent und das lässt sich leicht beweisen (Box und Jenkins 1976). Wie der ACF ist die partielle Autokorrelationsfunktion nicht von den Maßeinheiten abhängig und wird durch ein Balkendiagramm an den nichtnegativen Verzögerungen dargestellt, das als partielles Korrelogramm bezeichnet wird.

Die dynamischen Eigenschaften jedes stationären Modells bestimmen eine bestimmte Form der Korrelogramme. Darüber hinaus kann gezeigt werden, dass für jeden stationären Prozess beide Funktionen, ACF und PACF, gegen Null gehen, wenn die Verzögerung gegen unendlich geht. Da es sich bei den Modellen nicht immer um stationäre Prozesse handelt, müssen zunächst die Bedingungen für die Stationarität ermittelt werden. Es gibt Unterklassen von Modellen, die besondere Eigenschaften haben, daher werden wir sie separat untersuchen. Also, wann und, ist es ein weißes Rauschen, wann ist es ein reiner Ordnungsprozess mit gleitendem Durchschnitt, und wenn es ein reiner autoregressiver Ordnungsprozess ist, .

4.2.1 Weißrauschen-Prozess

Das einfachste Modell ist ein weißes Rauschen, bei dem es sich um eine Folge von unkorrelierten Null-Mittelwert-Variablen mit konstanter Varianz handelt. Es wird mit bezeichnet. Dieser Prozess ist stationär, wenn seine Varianz endlich ist, da gegeben ist:

überprüft die Bedingungen (4.1)-(4.3). Darüber hinaus ist sie im Zeitverlauf nicht korreliert, daher lautet ihre Autokovarianzfunktion:

Und seine ACF und PACF sind wie folgt:

Um das Verhalten eines weißen Rauschens zu verstehen, werden wir eine Zeitreihe der Größe 150 aus einem Gaußschen Prozess des weißen Rauschens generieren. Abbildung 4.3 zeigt die simulierte Reihe, die sich zufällig um ein konstantes Niveau bewegt, ohne irgendein Muster, was der zeitlichen Unkorrelation entspricht. Die ökonomischen Zeitreihen werden sehr selten weißen Rauschmustern folgen, aber dieser Prozess ist der Schlüssel für die Formulierung komplexerer Modelle. Tatsächlich ist es der Ausgangspunkt für die Herleitung der Eigenschaften von Prozessen, da wir annehmen, dass die Innovation des Modells ein weißes Rauschen ist.

4.2.2 Modell des gleitenden Durchschnitts

Das allgemeine Modell des gleitenden Durchschnitts der Ordnung (endlich endlicher Ordnung) ist:

Es kann leicht gezeigt werden, dass Prozesse immer stationär sind, da die Parameter aller endlichen Prozesse immer die Bedingung (4.6) bestätigen. Außerdem interessieren wir uns für invertierbare Prozesse. Wenn ein Prozess invertierbar ist, ist es möglich, den Prozess umzukehren, d. h. den aktuellen Wert der Variablen in Form eines aktuellen Schocks und seiner beobachtbaren Vergangenheitswerte auszudrücken. Dann sagen wir, dass das Modell eine autoregressive Darstellung hat. Diese Anforderung bietet eine sinnvolle Möglichkeit, gegenwärtige Ereignisse mit vergangenen Ereignissen zu verknüpfen. Ein Modell ist invertierbar, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung außerhalb des Einheitskreises liegen. Wenn die Wurzel reell ist, bedeutet diese Bedingung, dass der Absolutwert größer als Eins sein muss, . Wenn es ein Paar komplexer Wurzeln gibt, können sie geschrieben werden als , wo sind reelle Zahlen und , und dann bedeutet die Invertibilitätsbedingung, dass ihre Moduli größer als Eins sein müssen, 1$ --> .

Betrachten wir den gleitenden Durchschnitt erster Ordnung:

Sie ist invertierbar, wenn die Wurzel von außerhalb des Einheitskreises liegt, also 1$ --> . Diese Bedingung impliziert die Einschränkung der Invertibilität des Parameters .

Lassen Sie uns diesen einfachen Vorgang im Detail studieren. Abbildung 4.4 zeigt simulierte Reihen der Länge 150 aus zwei Prozessen, wobei die Parameter die Werte (0, 0,8) im ersten Modell und (4, -0,5) im zweiten Modell annehmen. Es kann festgestellt werden, dass die Serien die allgemeinen Muster zeigen, die mit stationären und mittleren Reversionsprozessen verbunden sind. Da nur eine vergangene Innovation den aktuellen Wert der Serie beeinflusst (positiv für und negativ für ), wird der Prozess als sehr kurzer Gedächtnisprozess bezeichnet und daher gibt es kein „starkes“ dynamisches Muster in der Serie. Dennoch kann beobachtet werden, dass die Zeitentwicklung für den positiven Wert von glatter ist.

Der ACF für Modelle wird aus den folgenden Momenten abgeleitet: 1 end Ende -->

da die Innovationen für alle und für alle unkorreliert sind mit . Die Autokorrelationsfunktion lautet dann:

Das heißt, es gibt einen Cutoff im ACF beim ersten Lag. Schließlich zeigt die partielle Autokorrelationsfunktion einen exponentiellen Abfall. Abbildung 4.5 zeigt typische Profile dieser ACF gemeinsam mit der PACF.

    Der Mittelwert ist gleich und die Varianz ist gegeben durch .

Abbildung 4.6 zeigt die einfachen und partiellen Korrelogramme für zwei verschiedene Prozesse. Beide ACF weisen einen Cutoff bei Lag 2 auf. Die Wurzeln des Polynoms der ersten Reihe sind reell, so dass die PACF exponentiell abfällt, während für die zweite Reihe mit komplexen Wurzeln die PACF als dämpfende Sinus-Cosinus-Welle zerfällt.

4.2.3 Autoregressives Modell

Das allgemeine autoregressive Modell der Ordnung (endlich endlicher Ordnung) ist:

Beginnen wir mit dem einfachsten Prozess, dem autoregressiven Prozess erster Ordnung, der definiert ist als:

Abbildung 4.7 zeigt zwei simulierte Zeitreihen, die aus Prozessen mit Nullmittelwert und Parametern bzw. -0,7 generiert wurden. Der autoregressive Parameter misst die Persistenz vergangener Ereignisse in den aktuellen Werten. Wenn beispielsweise , wirkt sich ein positiver (oder negativer) Schock für einen längeren Zeitraum positiv (oder negativ) aus, je größer der Wert von ist. Wenn sich die Reihe aufgrund des Wechsels in Richtung der Wirkung von , dh ein Schock, der im Moment positiv wirkt, negativ auf , positiv in , auswirkt, bewegt sich die Reihe grober um den Mittelwert.

Der Prozess ist immer invertierbar und stationär, wenn der Parameter des Modells darauf beschränkt ist, in der Region zu liegen. Um die stationäre Bedingung zu beweisen, schreiben wir zuerst die in der gleitenden Mittelwertform durch rekursive Substitution von in (4.14):

Das heißt, ist eine gewichtete Summe vergangener Innovationen. Die Gewichtungen hängen vom Wert des Parameters ab: wenn , (oder ), nimmt der Einfluss einer bestimmten Innovation im Laufe der Zeit zu (oder ab). Nehmen wir die Erwartungen nach (4.15), um den Mittelwert des Prozesses zu berechnen, erhalten wir:

Angesichts dessen ist das Ergebnis eine Summe unendlicher Terme, die für alle Werte von nur dann konvergieren, wenn in diesem Fall. Ein ähnliches Problem tritt auf, wenn wir das zweite Moment berechnen. Der Beweis kann vereinfacht werden unter der Annahme, dass . Dann ist die Varianz:

Auch hier geht die Varianz ins Unendliche, außer bei , in diesem Fall . Es ist leicht zu überprüfen, dass sowohl der Mittelwert als auch die Varianz explodieren, wenn diese Bedingung nicht zutrifft.

Die Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses ist 0 end -->

Daher lautet die Autokorrelationsfunktion für das stationäre Modell:

Das heißt, das Korrelogramm zeigt einen exponentiellen Abfall mit positiven Werten immer, wenn er positiv ist und mit negativ-positiven Schwingungen, wenn er negativ ist (siehe Abbildung 4.8). Darüber hinaus nimmt die Abklingrate mit zunehmendem Wert ab, so dass die dynamische Korrelation im Prozess umso stärker ist, je größer der Wert ist. Schließlich gibt es einen Cutoff in der partiellen Autokorrelationsfunktion bei der ersten Verzögerung.

    Ist nur dann stationär, wenn die Nullstellen der charakteristischen Gleichung des Polynoms außerhalb des Einheitskreises liegen. Der Mittelwert eines stationären Modells ist .

Einige Beispiele für Korrelogramme für komplexere Modelle, wie z. B. , sind in Abbildung 4.9 zu sehen. Sie sind den Mustern sehr ähnlich, wenn die Prozesse echte Wurzeln haben, nehmen jedoch eine ganz andere Form an, wenn die Wurzeln komplex sind (siehe das erste Grafikpaar in Abbildung 4.9).

4.2.4 Modell des autoregressiven gleitenden Durchschnitts

Das allgemeine (finite-Order) autoregressive Modell des gleitenden Durchschnitts von Orders , , ist:

    Ist stationär, wenn die Komponente stationär ist, dh die Wurzeln der charakteristischen Gleichung liegen außerhalb des Einheitskreises. Der Mittelwert eines stationären Modells ist

Eine notwendige Bedingung, um Stationarität zu halten, ist die folgende, die einen endlichen Mittelwertprozess sicherstellt:

Der Prozess ist beispielsweise wie folgt definiert:

Dieses Modell ist stationär, wenn und invertierbar, wenn . Der Mittelwert des stationären Prozesses kann wie folgt abgeleitet werden:

Die Autovarianzfunktion für einen stationären Prozess (angenommen) lautet wie folgt: 1 end Ende -->

Die Autokorrelationsfunktion für das stationäre Modell lautet: 1 endRecht. Ende -->

Abbildung 4.10 zeigt typische Profile der ACF und PACF für stationäre und invertierbare Prozesse.


4.2: Modellierung mit linearen Funktionen

оличество арегистрированных учащихся: 150 тыс.

Wie können Sie Daten für sich arbeiten lassen? Wie können uns Zahlen in einer Kalkulationstabelle insbesondere über aktuelle und vergangene Geschäftsaktivitäten informieren und wie können wir sie verwenden, um die Zukunft vorherzusagen? Die Antwort liegt in der Erstellung quantitativer Modelle. Dieser Kurs soll Ihnen helfen, die Grundlagen dieser wichtigen, grundlegenden Geschäftsfähigkeiten zu verstehen. Durch eine Reihe von kurzen Vorträgen, Demonstrationen und Aufgaben lernen Sie die wichtigsten Ideen und den Prozess der quantitativen Modellierung kennen, damit Sie damit beginnen können, Ihre eigenen Modelle für Ihr eigenes Geschäft oder Unternehmen zu erstellen. Am Ende dieses Kurses haben Sie eine Vielzahl von in der Praxis häufig verwendeten quantitativen Modellen sowie die Bausteine ​​kennengelernt, mit denen Sie mit der Strukturierung eigener Modelle beginnen können. Diese Bausteine ​​werden in den anderen Kursen dieser Vertiefung verwendet.

Олучаемые навыки

Modellierung, Lineare Regression, Wahrscheinlichkeitsmodelle, Regressionsanalyse

Ецензии

Sehr schöner Kurs für Anfänger, das mathematische Niveau ist nicht hoch (um das französische Abitur), also für jeden verfügbar. Mir hat dieser Kurs sehr gut gefallen, der zeigt, wie einfache Mathematik im wirklichen Leben angewendet werden kann.

Ich glaube wirklich, dass dieser Kurs mir geholfen hat, die Grundlagen zu legen, um Modelle zu erstellen, die der Realität nachempfunden sind. Der Inhalt ist gut erklärt und der Professor macht es einfach, aber wichtig.

Modul 4: Regressionsmodelle

Dieses Modul untersucht Regressionsmodelle, die es Ihnen ermöglichen, mit Daten zu beginnen und einen zugrunde liegenden Prozess zu entdecken. Regressionsmodelle sind die wichtigsten Werkzeuge in der Predictive Analytics und werden auch verwendet, wenn Sie Unsicherheit explizit in die zugrunde liegenden Daten einbeziehen müssen. Sie erfahren mehr darüber, was Regressionsmodelle sind, was sie können und was nicht und welche Fragen Regressionsmodelle beantworten können. Sie untersuchen Korrelation und lineare Assoziation, Methodik zur Anpassung der besten Linie an die Daten, Interpretation von Regressionskoeffizienten, multiple Regression und logistische Regression. Sie werden auch sehen, wie Sie mit der logistischen Regression Erfolgswahrscheinlichkeiten abschätzen können. Am Ende dieses Moduls sind Sie in der Lage, Regressionsmodelle und ihre Schlüsselkomponenten zu identifizieren, zu verstehen, wann sie verwendet werden, und in der Lage zu sein, sie zu interpretieren, damit Sie Ihr Modell diskutieren und andere davon überzeugen können, dass Ihr Modell sinnvoll ist, mit das ultimative Ziel der Umsetzung.

Реподаватели

Richard Waterman

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Was ist mit den Fragen, die wir beantworten können, wenn wir eine Regression durchgeführt haben? Nun, der vielleicht am häufigsten verwendete Aspekt eines Regressionsmodells ist die Methodik für prädiktive Analysen. Daher haben Unternehmen in den letzten Jahren wirklich Predictive Analytics angenommen. Versuche immer, Ergebnisse vorherzusagen. Vorhersagen zum Beispiel eines Produkts, das eine Person auf einer Website kaufen könnte. Wir möchten vielleicht die Bewertung vorhersagen, die jemand einem Film gibt, den er auf einem Streaming-Dienst ansieht. Wir könnten versuchen, morgen den Kurs einer Aktie vorherzusagen. Vorhersagen sind also eine sehr häufige Aufgabe, mit der wir in der Wirtschaft konfrontiert sind. Wir nennen unsere Ansätze zur Vorhersage Predictive Analytics im Allgemeinen. Und wenn Sie eine Regression haben, haben Sie sicherlich ein Werkzeug zur Vorhersage. Denn sobald Sie diese Regressionslinie dort haben, ist die Vorhersage ziemlich einfach. Es nimmt den Wert x an, geht bis zur Zeile und liest den Wert in y-Richtung ab. Eine Beispielfrage wäre also, basierend auf unserem Regressionsmodell für den Diamanten-Datensatz, welchen Preis erwarten Sie für einen Diamanten mit einem Gewicht von 0,3 Karat? Die Antwort wäre, 0,3 auf der x-Achse nehmen, bis zur Linie gehen und den Wert ablesen. Alternativ können Sie 0,3 in die Regressionsgleichung einsetzen, um diesen erwarteten Wert zu berechnen. Nun, eines der anderen Dinge, die diese Regression für Sie tun wird. Es gibt Ihnen nicht nur eine Vorhersage. Mit geeigneten Annahmen, die wir uns in diesem Modul gleich anschauen werden, können wir mit geeigneten Annahmen auch ein Vorhersageintervall erhalten. Und dieses Vorhersageintervall gibt uns eine Reihe machbarer Werte dafür, wo wir glauben, dass das Ergebnis oder die Vorhersage liegen wird. Und das ist in der Praxis tendenziell viel realistischer, als nur zu versuchen, eine einzige beste Schätzung abzugeben. Eine andere Sache, die wir mit diesen Regressionsmodellen machen, ist die Interpretation von Koeffizienten, die aus dem Modell kommen. Die Koeffizienten selbst können uns Dinge sagen. Sie können uns Informationen geben. Und deshalb könnte ich eine Frage stellen.Wie viel zahlen Sie im Durchschnitt außer für Diamanten mit einem Gewicht von 0,3 Karat im Vergleich zu Diamanten mit einem Gewicht von 0,2 Karat? Nun, das ist eine Änderung von x von 0,1. Und bei einer linearen Regression mit einer Steigung von 3.720 im Grunde können wir sagen. Nun, wenn wir uns Diamanten mit einem Gewicht von 0,3 Karat gegenüber 0,2 Karat ansehen, können wir angesichts der zugrunde liegenden Regressionsgleichung davon ausgehen, dass wir zusätzliche 372 US-Dollar dafür zahlen müssen. Wir interpretieren also im Wesentlichen die Steigung in der Regression. Ebenso haben Intercepts manchmal Interpretationen. Ein Intercept kann als Fixkosten interpretiert werden, es könnte als Startzeit interpretiert werden. Daher wollen wir oft Koeffizienten interpretieren. Eine andere Sache, die eine Regression für uns tun kann, besteht darin, ein numerisches Maß für die Variabilität des Ergebnisses, hier den Preis, bereitzustellen, die durch die Prädiktorvariablen erklärt wird. Wie viel Variabilität in den Ergebnissen können wir also mit dem Modell erklären? Normalerweise erklären wir gerne viel Variabilität, aber dies zu quantifizieren kann an sich schon eine nützliche Aktivität sein. Wir werden also zu gegebener Zeit ein numerisches Maß sehen, das uns den Anteil der Variabilität angibt, der durch das Regressionsmodell erklärt wird. Aber Vorhersage, Interpretation und Erklärung von Variabilitätsberechnungen sind die wichtigsten Dinge, die ein Regressionsmodell für uns tun kann. Lassen Sie uns diese Vorhersageidee ein wenig näher erläutern und sehen Sie sich eine der Möglichkeiten an, wie Sie sofort eine Regression ausführen können. Und dies erinnert an eine Diskussion, die wir in einem anderen Modul über die Suche nach Möglichkeiten hatten. In diesem speziellen Beispiel, in dem ich Diamanten betrachte, stelle ich mir vor, dass ich ein Diamantenhändler oder ein Diamantenspekulant bin. Ich meine, die gleichen Ideen könnten leicht für die Suche nach neuen Kunden und für die Suche nach neuen Investitionsmöglichkeiten funktionieren. Aber nehmen wir an, wir haben einige Daten gesammelt. Wir haben unser lineares Regressionsmodell angepasst. So finden Sie die am besten zu den Daten passende Linie. Und dann stoßen wir auf einen Diamanten, und dieser Diamant wiegt 0,25 Karat und wird für 500 US-Dollar verkauft. Also habe ich diesen Punkt zum Diagramm hier hinzugefügt, und es ist der große rote Punkt. Wenn ich nun einen Punkt wie diesen sehe, der weit, weit unter der Regressionslinie liegt, dann ist er möglicherweise von großem Interesse für mich. Denn wenn ich meinem Modell glaube, ist das hier ein großer Vorbehalt. Da ich meinem Modell glaube, ist mit diesem speziellen Diamanten etwas los. Jetzt ist eine der Möglichkeiten, dass es vom Markt falsch bewertet wurde. Und wenn es vom Markt falsch bewertet wurde, dann ist es möglicherweise eine großartige Investitionsmöglichkeit. Es gibt jedoch noch eine andere Erklärung: Vielleicht ist mit diesem Diamanten ein gewisser Boden verbunden und deshalb wird er zu einem so niedrigen Preis angeboten. Ich weiß nicht, welche von beiden eine mögliche Erklärung ist, bis ich mir den Diamanten angesehen habe. Der Punkt, den ich hier anspreche, ist, dass diese Aktivität, zu sehen, wie weit die Punkte von der Regressionslinie entfernt sind, eine Technik zum Ranking potenzieller Kandidaten ist. Und manche Leute verwenden das Wort Triage, um eine Reihe von Kandidaten zu finden, die für mich am interessantesten aussehen. Dies ist eine der Verwendungsmöglichkeiten für ein Regressionsmodell. Zusammenfassend können Punkte, die weit von der Linie entfernt sind, von großem Interesse sein. Ich habe Ihnen einige Regressionslinien gezeigt, aber ich habe Ihnen noch nicht gesagt, wie sie berechnet werden. Also, woher kommt diese Regressionsgerade, die manchmal auch als die Linie der besten Anpassung bezeichnet wird? Nun, es gibt eine Methodik, und diese Methodik wird die Methode der kleinsten Quadrate genannt. Dies ist die am häufigsten verwendete Methode, um diese am besten passenden Linien zu berechnen. Dies ist also nicht die einzige Methode zur Berechnung der Linie, die durch die Daten geht, aber sie wird sehr häufig verwendet. Und wenn Sie ein typisches Tabellenkalkulationsprogramm verwenden, wird es implementiert, wenn Sie Ihre Regressionen dort ausführen. Das Optimalitätskriterium, da wir die beste Linie anpassen werden, ist also als Methode der kleinsten Quadrate bekannt. Und in Worten, die kleinste Quadrate-Linie macht die Linie zwischen all der unendlichen Anzahl von Linien, die Sie möglicherweise durch die Daten ziehen könnten. Es wird die Linie gefunden, die die Summe der Quadrate des vertikalen Abstands von den Punkten zur Linie minimiert. Und ich habe diese Idee veranschaulicht, indem ich die Daten der Rauten angestrahlt habe, ich habe einen kleinen Bereich genommen und dort eine Linie gezogen. Ich habe die Punkte darum herum gezeichnet. Und die roten Linien nehmen den vertikalen Abstand vom Punkt zur Linie auf. Und was wir tun wollen, ist eine Linie zu finden, die die Summe der Quadrate dieser vertikalen Abstände minimiert. Und wir nennen eine solche Linie die Linie der kleinsten Quadrate oder die Linie der besten Anpassung. Im Grunde versuchen Sie also, die Linie zu finden, die den Daten am nächsten kommt. Das ist eine andere Denkweise. Aber es gibt ein formales Kriterium. Dieses Kriterium ist in Software implementiert, und Sie werden diese Software verwenden, um tatsächlich eine Linie der kleinsten Quadrate zu berechnen, eine Regression für einen bestimmten Datensatz, den Sie möglicherweise haben. Das Kleinste-Quadrate-Kriterium ist also unser Linienanpassungskriterium. Wir haben jetzt also gesehen, wie sich diese Linien der besten Anpassung ableiten, sie leiten sich nach den Kriterien der kleinsten Quadrate ab. Mit diesen Zeilen können wir die Daten in zwei Teile zerlegen. Das ist eine der wichtigsten Erkenntnisse einer Regression. So kann eine Regressionslinie verwendet werden, um die Daten, in unserem Fall, wenn wir Diamanten, die Preise, betrachten, in zwei Komponenten zu zerlegen. Eine Komponente wird als angepasste Werte bezeichnet. Das sind die Vorhersagen. Und die andere Komponente werden als Residuen bezeichnet. In Bezug auf das Bild auf der vorherigen Folie, wenn wir hier einen Blick darauf werfen, würde der angepasste Wert für jeden gegebenen Wert von x bis zur blauen Linie gehen. Und dann ist der Rest der vertikale Abstand von der blauen Linie zum Punkt, sodass Sie sehen können, dass Sie letztendlich in zwei Schritten zu einem dieser Punkte gelangen können. Du nimmst deinen x-Wert darunter. Zuerst gehen Sie einen Schritt zur Linie hinauf, und sobald Sie auf der Linie sind, fügen Sie die kleine rote Linie, das Residuum, hinzu, und Sie gelangen zum Datenpunkt. Das sagt also, dass der Datenpunkt in zwei Komponenten ausgedrückt werden kann. Eins, die Linie. Und zweitens, der Rest dieser Linie. Diese Zerlegung der Daten in zwei Teile spiegelt also eine Grundidee wider, die wir zur Anpassung dieser Regressionsmodelle verwenden. Und diese Idee ist, dass die Daten, die wir sehen, aus zwei Teilen bestehen. Wir nennen das oft das Signal und das Rauschen. Und die Regressionsgerade ist unser Modell für das Signal. Und die Residuen codieren das Rauschen im Problem. Beide Komponenten, die aus der Regression stammen, sowohl die angepassten Werte als auch die Residuen, sind nützlich. Die angepassten Werte werden zu unseren vollen Kosten. Wenn Sie mir einen neuen Diamanten für ein bestimmtes Gewicht bringen, sagen wir 0,25 einer Karotte, wie hoch wird dann meiner Meinung nach der Preis sein? Ich gehe einfach auf die Regressionsgerade, die sogenannten angepassten Werte, und lese den Wert von y, den Preis, ab. Nun sind auch die Residuen nützlich, da sie es mir ermöglichen, die Anpassungsqualität des Regressionsmodells zu beurteilen. Idealerweise wären alle unsere Residuen null. Das würde bedeuten, dass die Linie durch alle Punkte ging. In der Praxis wird dies einfach nicht passieren, aber wir werden oft die Residuen einer Regression untersuchen, da wir durch die Untersuchung der Residuen potenziell einen Einblick in diese Regression gewinnen können. Wenn ich eine Regression durchführe, nehme ich normalerweise als erstes alle Residuen aus der Regression heraus. Ich werde diese Liste der Residuen sortieren. Und ich werde mir die extremsten Residuen ansehen. Die Punkte mit den größten Residuen sind per Definition die Punkte, die von der aktuellen Regression nicht gut angepasst werden. Wenn ich in der Lage bin, mir diese Punkte anzusehen und zu erklären, warum sie nicht gut passen, habe ich normalerweise etwas gelernt, das ich in eine spätere Iteration des Regressionsmodells einbeziehen kann. Wenn das alles ein bisschen abstrakt klang, habe ich jetzt ein Beispiel, das ich Ihnen zeigen kann. Hier ist also ein weiterer Datensatz, der sich für eine Regressionsanalyse eignet. Und in diesem Datensatz habe ich zwei Variablen. Die Ergebnisvariable oder die y-Variable ist der Kraftstoffverbrauch eines Autos. Und um genauer zu sein, es ist der Kraftstoffverbrauch in Gallonen pro tausend Meilen in der Stadt. Nehmen wir an, Sie leben in der Stadt und fahren nur in der Stadt, wie viel Liter müssen Sie in den Tank füllen, um Ihr Auto im Laufe der Zeit 1.000 Meilen fahren zu können? Das ist die Ergebnisvariable. Je mehr Gallonen Sie in den Tank füllen müssen, desto weniger Kraftstoff verbraucht das Fahrzeug. Das ist die Idee. Jetzt möchten wir vielleicht ein Vorhersagemodell für den Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit vom Gewicht des Autos erstellen. Also habe ich hier eine X-Variable als Gewicht. Und ich werde nach dem Zusammenhang zwischen dem Gewicht eines Autos und seinem Kraftstoffverbrauch suchen. Wir erheben den Datensatz. Das sehen Sie im Streudiagramm. Die untere linke Grafik auf dieser Folie. Und jeder Punkt ist ein Auto. Und für jedes Auto haben wir das Gewicht und den Kraftstoffverbrauch ermittelt und die Variablen gegeneinander aufgetragen. Und wir führen eine Regression durch diese Punkte durch die Methode der kleinsten Quadrate. Und diese Regression gibt uns eine Möglichkeit, den Kraftstoffverbrauch eines Fahrzeugs jeden beliebigen Gewichts vorherzusagen. Warum willst du das jetzt tun? Nun, eines der Dinge, über die viele Fahrzeughersteller heutzutage nachdenken, ist die Entwicklung kraftstoffeffizienterer Fahrzeuge. Und ein Ansatz dazu besteht darin, die Materialien, aus denen Fahrzeuge hergestellt werden, tatsächlich zu ändern. So könnten sie beispielsweise von Stahl zu Aluminium wechseln. Nun, das wird das Gewicht des Fahrzeugs reduzieren. Nun, wenn das Gewicht des Fahrzeugs reduziert wird, frage ich mich, wie sich das auf den Kraftstoffverbrauch auswirkt. Und das ist eine Frage, die wir mit einem solchen Modell beantworten können. Das ist also ein Setup für dieses Problem, aber ich möchte Ihnen zeigen, warum das Betrachten der Residuen so nützlich sein kann. Wenn ich mir also die Residuen dieser speziellen Regression ansehe, kenne ich eines der Residuen, tatsächlich habe ich das größte Residuum im gesamten Datensatz gefunden. Und das ist der Punkt, den ich im Streudiagramm rot gekennzeichnet habe. Und es ist das größte Residuum, es ist ein großes positives Residuum. Dies bedeutet, dass dieses spezielle Fahrzeug in der Realität viel mehr Benzin benötigt, als das Regressionsmodell vorhersagen würde. Das Regressionsmodell würde den Wert auf der Linie vorhersagen. Der rote Datenpunkt ist der tatsächlich beobachtete Wert. Es liegt über der Linie, ist also weniger kraftstoffsparend als das Modell vorhersagt. Es braucht mehr Benzin, um in den Tank zu gehen, als das Modell vorhersagt. Gibt es etwas Besonderes an diesem Fahrzeug? Nun, an diesem Punkt gehe ich zurück zum zugrunde liegenden Datensatz und führe einen Drilldown aus. Wenn ich also große Residuen sehe, werde ich diese Residuen aufschlüsseln. Und bei diesem Rest wird das Fahrzeug tatsächlich identifiziert. Und das Fahrzeug entpuppt sich als Mazda RX-7. Und dieses spezielle Fahrzeug ist etwas ungewöhnlich, da es einen sogenannten Wankelmotor hatte, der eine andere Art von Motor ist als jedes andere einzelne Fahrzeug in diesem Datensatz. Jedes andere Fahrzeug hatte einen Standardmotor, aber der Mazda RX-7 hatte einen Wankelmotor. Und das erklärt eigentlich, warum der Kraftstoffverbrauch in der Stadt schlecht ist. Durch einen Drilldown auf den Punkt und durch Betrachten der Residuen habe ich ein Merkmal identifiziert, das ich ursprünglich nicht in das Modell integriert hatte. Und das wäre der Motortyp. Das Residuum und das Erkunden des Residuums hat für mich eine neue Frage aufgeworfen, die ich vor der Analyse nicht hatte. Und diese Frage ist, ich frage mich, wie sich der Motortyp auch auf den Kraftstoffverbrauch auswirkt? Das ist also eines der Ergebnisse einer Regression, die sehr, sehr nützlich sein kann. Es ist nicht das Regressionsmodell, das direkt mit Ihnen spricht. Es sind die Abweichungen vom zugrunde liegenden Modell, die manchmal der aufschlussreichste Teil des Modells selbst oder des Modellierungsprozesses sein können. Erinnern Sie sich also in einem der anderen Module, über die ich gesprochen habe, was sind die Vorteile der Modellierung? Und eines davon sind zufällige Ergebnisse, Dinge, mit denen Sie am Anfang nicht gerechnet hatten, und ich würde dies als Beispiel dafür anführen. Durch die sorgfältige Untersuchung der Residuen habe ich etwas Neues gelernt, etwas, mit dem ich nicht gerechnet hatte. Und vielleicht kann ich mein Modell nachträglich verbessern, indem ich diese Idee des Motortyps in das Modell selbst einbaue. Die Residuen sind also ein wichtiger Bestandteil eines Regressionsmodells.


Ein sehr kurzer Kurs zur Zeitreihenanalyse

die Sammlung von (<eta_j>) heißt a linearer Filter. (y_t) ist offensichtlich eine lineare Funktion von (x_t) und eine gefilterte Version von (x_t) . Lineares Filtern, wobei (eta_j) eine bekannte Sammlung von Zahlen ist, wird häufig verwendet, um Muster und Signale in einer verrauschten Zeitreihe (in diesem Fall (x_t) ) zu identifizieren.

Das Filtern beinhaltet a Faltung zwischen zwei Reihen (x_t) und (eta_j) . Die gefaltete Reihe heißt dann (y_t) . Zum Zeitpunkt (t) ist die Faltung (in Worten) die Summe des Produkts zwischen der (eta_j)-Reihe vorwärts und der (x_t)-Reihe rückwärts.

Wir nehmen durchweg an, dass die (eta_j) s die Bedingung

4.2.1 Fourier-Transformationen von Faltungen

Angesichts der gefilterten Zeitreihen (y_t) angegeben als [ y_t=sum_^infty eta_j x_ ]

Was ist seine Fourier-Transformation?

[Start y_omega & = & sum_^infty sum_^infty eta_j x_exp(-2pi iomega t) & = & sum_^infty sum_^infty eta_j x_exp(-2pi iomega (t - j + j)) & = & sum_^infty sum_^infty eta_jexp(-2pi iomega, j) x_exp(-2pi iomega (t - j)) & = & sum_^infty eta_jexp(-2pi iomega, j) sum_^infty x_exp(-2pi iomega (t - j)) & = & sum_^infty eta_jexp(-2pi iomega, j) sum_^infty x_exp(-2pi iomega ,t) & = & eta_omega x_omega end]

Hier heißt die Menge (eta_omega) als Funktion von (omega) die Übertragungsfunktion und es ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwortfunktion (eta_j) .

Warum ist das nützlich? Für den Anfang bietet dieses Ergebnis eine effiziente Möglichkeit, die Faltung zwischen zwei Reihen zu berechnen, was genau das ist, was bei der linearen Filterung erforderlich ist. Wenn wir die gefilterten Werte (y_1,y_2,dots, y_n) berechnen möchten, erfordert die naive Formel, dass wir die Faltungsformel (n) mal berechnen, die (O(n^2)) hat. Komplexität. Aber stattdessen können wir

Berechnen Sie die Fourier-Transformation (x_omega) über die FFT für Frequenzen (omega = 0/n, 1/n, dots, 1/2) .

Berechnen Sie die FFT (eta_omega) für Frequenzen (omega = 0/n, 1/n, dots, 1/2) .

Berechne (y_omega = eta_omega x_omega) für Frequenzen (omega = 0/n, 1/n, dots, 1/2) .

Berechnen Sie die inverse FFT für alle (y_omega), um die gefilterten Werte (y_t) zu erhalten.

4.2.2 Tiefpassfilter

Betrachten Sie die folgende einfache (simulierte) Zeitreihe, die einen einfachen linearen Trend plus etwas Gaußsches Rauschen darstellt.

Wie sieht die Ausgabereihe aus, wenn wir die Originaldaten mit dem folgenden linearen Filter falten?

Die Antwort ist in der Grafik unten in blau. Die blaue Linie zeigt die gefilterte Serie, die eine glattere Version der Originaldaten darstellt. Der oben gezeigte Filter ist ein Tiefpassfilter, der höhere Frequenzen in den Daten dämpft und niedrigere Frequenzen durchlässt.

Wir können die Tiefpassnatur des Filters erkennen, indem wir die Übertragungsfunktion unten untersuchen. Hier sehen wir, dass die niedrigeren Frequenzen (nahe (f=0) ) stärker gewichtet werden als die höheren Frequenzen.

4.2.3 Hochpassfilter

Das Folgende ist ein Beispiel für einen linearen Filter, der niedrige Frequenzen dämpft und hohe Frequenzen durchlässt.

Hier ist die gefilterte Version der Originaldaten mit dem Hochpassfilter. Sie können sehen, dass es wie eine Reihe von Residuen aussieht, bei denen der Trend entfernt wurde.

Unten ist die Übertragungsfunktion, die dem zuvor gezeigten linearen Filter entspricht. Hier wird deutlich, dass die höheren Frequenzen (nahe (f=1/2) ) stärker gewichtet werden als die niedrigeren Frequenzen.

4.2.4 Anpassungsfilter

Die folgende simulierte Reihe ist ein Beispiel für eine Zeitreihe, die zu einem bestimmten Zeitpunkt einen deutlichen Sprung hat.

Bei einigen Anwendungen ist es erwünscht, zu erkennen, wann der Sprung in der Reihe stattfindet. Wir können dies tun, indem wir einen passenden Filter verwenden, der den Sprung in den Daten widerspiegelt.

Wenn wir den passenden Filter mit den Daten falten, erhalten wir die folgende Ausgabe. Wir können sehen, dass die gefilterte Reihe am Sprungpunkt sehr hoch wird und ähnlich sehr negativ wird, wenn die Daten wieder nach unten springen.

Die Übertragungsfunktion für den passenden Filter ist unten dargestellt. Wir können sehen, dass die Sinus- und Cosinus-Werte in der Fourier-Transformation Schwierigkeiten haben, sich der diskontinuierlichen Natur dieses linearen Filters anzunähern. Daher die Oszillation in der Übertragungsfunktion.


4.2.2 Wirtschaftlicher Versand mit linearen Grenzkosten

Ein realistischeres Kostenmodell für ein elektrisches Kraftwerk (das wir jedoch seltener verwenden, da es schwierig sein kann, genügend Daten für die Verwendung dieses Modells zu finden) besteht darin, dass die Gesamtkosten der Erzeugung quadratisch zur erzeugten Strommenge sind.

wobei TC die Gesamtkosten ( $ ), Q die Gesamtleistung (MWh) und a, b und c Konstanten sind, dann werden die Grenzkosten der Stromerzeugung durch Ableitung der Gesamtkostenfunktion ermittelt:

die in der Gesamtleistung Q linear ist.

Da die Grenzkostenfunktionen hier linear sind, können wir Kalkül verwenden, um die Lösung des ökonomischen Dispatch-Problems zu finden. In der hier vorgestellten Lösung gehen wir davon aus, dass es nur zwei Generatoren gibt. Die Lösung des wirtschaftlichen Versandproblems, die wir finden, gilt jedoch auch für Fälle, in denen mehr als zwei Generatoren vorhanden sind.

Bevor wir darauf eingehen, definieren wir einige Variablen.

  • g1 und g2 sind die elektrischen Energieleistungen (MWh) unserer beiden Kraftwerke.
  • C1(g1) und C2(g2) sind die Gesamtkostenfunktionen für die beiden Kraftwerke einzeln.
  • TC(g1 + g2) ist die Gesamtkostenfunktion für das elektrische System als Ganzes. Wir können dies auch schreiben als TC(g1 + g2) = C1(g1) + C2(g2).
  • D ist die Gesamtnachfrage (in MWh).

Der wirtschaftliche Dispatch ist eine Art Optimierungsproblem. Der Stromversorger möchte die Stufen g1 und g2 wählen, um die Gesamtkosten zur Deckung des gesamten Strombedarfs zu minimieren. Der Versorger ist dadurch eingeschränkt, dass er den gesamten Strombedarf decken muss. Sie kann sich nicht einfach dafür entscheiden, einige Häuser oder Geschäfte zu verdunkeln, weil sie zu teuer sind, um sie zu bedienen.

Mathematisch formulieren wir dieses Optimierungsproblem als:

min g 1 , g 2 TC ( g1 + g2 ) s .t . g1 +g2 = D

In der Infinitesimalrechnung haben Sie vielleicht gesehen, dass Sie das Maximum oder Minimum einer Funktion finden können, indem Sie ihre Ableitung nehmen und diese gleich Null setzen. Wir werden hier im Grunde dasselbe tun. Beachten Sie zunächst, dass wir wegen g1 + g2 = D g2 = D - g1 erhalten. Außerdem hängt die Kostenfunktion jedes Generators nur von der Leistung dieses Generators ab. Wir können dies also zu einem viel einfacheren Problem vereinfachen, das nur von g1 abhängt:

min g 1 TC ( g1 ) = [ C 1 ( g1 ) + C 2 ( D - g1 ) ]

Wir nehmen nun die Ableitung dieser Funktion und setzen sie gleich Null. Dies wird als "Bedingung erster Ordnung" des Optimierungsproblems oder FOC bezeichnet.

min g 1 TC ( g1 ) = [ C 1 ( g1 ) + C 2 ( D - g1 ) ] FOC : dTC dg1 = dC 1 dg1 - dC 2 dg1 = 0 ⇒ dC 1 dg1 = dC 2 dg1

Beachten Sie, dass die Lösung des ökonomischen Dispatch-Problems darin besteht, g1 und g2 so zu setzen, dass ihre Grenzkosten identisch sind. Wir nennen diese optimalen Energieausbeute g1* und g2*.

Dieses Ergebnis gilt auch, wenn wir mehr als zwei Kraftwerke haben. In diesem Fall können wir das System-Lambda finden, indem wir die Grenzkosten für einen der Generatoren auf dem optimalen Niveau (g1* oder g2*) berechnen.

Eine Art Rezept zur Lösung wirtschaftlicher Versandprobleme mit quadratischen Gesamtkosten (lineare Grenzkosten) lautet:

  1. Berechnen Sie Grenzkostenfunktionen für jeden Generator.
  2. Setze g2 = D - g1 und setze g2 in die Grenzkostenfunktion ein.
  3. Setze die Grenzkostenfunktionen gleich, löse nach g1* (optimaler Wert von g1) auf.
  4. Finde g2* = D - g1*

Beispiel

In diesem Beispiel lassen wir C1(g1) = 50g1+1,5g1 2 und C2(g2) = 100g2 + g2 2 . Wir setzen auch D = 50 MWh. Beachten Sie, dass wir zumindest vorerst keine Kapazitätsgrenzen für die beiden Generatoren festlegen. Diese stellen wir später im Kurs vor.

Zuerst berechnen wir Grenzkostenfunktionen für jeden Generator:

  • MC(g1) = 50+3g1 = 50+3(50-g2). Beachten Sie, dass wir hier die Substitution g1 = D - g2 vorgenommen haben.
  • MC(g2) = 100+2g2

Als nächstes setzen wir MC(g1) = MC(g2) und lösen nach g2 auf.

  • 50+3(50-g2) = 100+2g2
  • Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir g2* = 20MWh
  • Schließlich lösen wir nach G1* auf als: g1* = 50 g2* = 30MWh

Somit beträgt unser wirtschaftlicher Dispatch g1* = 30 MWh und g2* = 20 MWh.

Um das System-Lambda zu berechnen, nehmen wir entweder g1* oder g2* und setzen es wieder in die jeweilige Grenzkostenfunktion ein. Beachten Sie, dass wir dies entweder mit einer Grenzkostenfunktion tun können, oder wir könnten es mit beiden als eine Art Überprüfung tun.

MC ( g1 ) = MC ( g2 ) = 50 + 3 g 1 * = 100 +2 g 2 * = $ 140 / MWh = λ sys

Schließlich kehren wir zu den Gesamtkostenfunktionen für die beiden Generatoren zurück, um die Gesamtsystemkosten für die Versorgung von 50 MWh Strombedarf zu erhalten:

Hier ist ein weiteres Beispiel, das Sie selbst ausprobieren können.

Die Gesamtkostenfunktionen für die beiden Generatoren sind C1(g1) = 5 + 4g1+ g1 2 und C2(g2) = 5 + 2g2 + 2g2 2 . Der Gesamtstrombedarf beträgt 30 MWh. Lösen Sie das wirtschaftliche Versandproblem. Du solltest bekommen:


Einführung in die Ökonometrie mit R

In der Praxis sind der Achsenabschnitt (eta_0) und die Steigung (eta_1) der Populationsregressionsgerade unbekannt. Daher müssen wir Daten verwenden, um beide unbekannten Parameter zu schätzen. Im Folgenden wird anhand eines realen Beispiels demonstriert, wie dies erreicht wird. Wir möchten die Testergebnisse mit dem Schüler-Lehrer-Verhältnis in Beziehung setzen, das an kalifornischen Schulen gemessen wird. Das Testergebnis ist der bezirksweite Durchschnitt der Lese- und Mathematikergebnisse für Fünftklässler. Auch hier wird die Klassengröße gemessen als die Anzahl der Schüler geteilt durch die Zahl der Lehrer (das Schüler-Lehrer-Verhältnis). Was die Daten betrifft, so ist der Datensatz der California School (CASschulen) kommt mit einem R Paket namens AER, ein Akronym für Applied Econometrics mit R (Kleiber und Zeileis 2020) . Nach der Installation des Pakets mit install.packages("AER") und befestigen mit Bibliothek (VRE) der Datensatz kann über die Funktion geladen werden Daten().

Sobald ein Paket installiert wurde, kann es bei weiteren Gelegenheiten verwendet werden, wenn es mit aufgerufen wird Bibliothek() – es ist nicht nötig zu laufen install.packages() nochmal!

Es ist interessant zu wissen, mit welcher Art von Objekt wir es zu tun haben. Klasse() gibt die Klasse eines Objekts zurück. Abhängig von der Klasse eines Objekts sind einige Funktionen (zum Beispiel Handlung() und Zusammenfassung()) verhalten sich anders.

Lassen Sie uns die Klasse des Objekts überprüfen CASschulen.

Es stellt sich heraus, dass CASschulen ist klasse data.frame Dies ist ein bequemes Format für die Arbeit, insbesondere für die Durchführung von Regressionsanalysen.

Mit Hilfe von Kopf() erhalten wir einen ersten Überblick über unsere Daten. Diese Funktion zeigt nur die ersten 6 Zeilen des Datensatzes an, was eine überfüllte Konsolenausgabe verhindert.

Wir stellen fest, dass der Datensatz aus vielen Variablen besteht und die meisten davon numerisch sind.

Übrigens: eine Alternative zu Klasse() und Kopf() ist str() die aus „Struktur“ abgeleitet wird und einen umfassenden Überblick über das Objekt gibt. Versuchen!

Zurück zu CASschulen, sind die beiden Variablen, an denen wir interessiert sind (d. h. die durchschnittliche Testnote und das Schüler-Lehrer-Verhältnis) nicht inbegriffen. Es ist jedoch möglich, beides aus den bereitgestellten Daten zu berechnen. Um das Schüler-Lehrer-Verhältnis zu erhalten, teilen wir einfach die Zahl der Schüler durch die Zahl der Lehrer. Das durchschnittliche Testergebnis ist das arithmetische Mittel aus dem Testergebnis für das Lesen und dem Ergebnis des Mathematiktests. Der nächste Codeabschnitt zeigt, wie die beiden Variablen als Vektoren konstruiert werden können und wie sie angehängt werden CASschulen.

Wenn wir rannten Kopf (CASchulen) wieder würden wir die beiden interessierenden Variablen als zusätzliche Spalten mit dem Namen finden STR und Ergebnis (Überprüfen Sie dies!).

Tabelle 4.1 aus dem Lehrbuch fasst die Verteilung der Testergebnisse und des Schüler-Lehrer-Verhältnisses zusammen. Es gibt mehrere Funktionen, mit denen ähnliche Ergebnisse erzielt werden können, z.

bedeuten() (berechnet das arithmetische Mittel der angegebenen Zahlen),

sd() (berechnet die Standardabweichung der Stichprobe),

Quantil() (gibt einen Vektor der angegebenen Abtastquantile für die Daten zurück).

Der nächste Codeabschnitt zeigt, wie dies erreicht wird. Zuerst berechnen wir zusammenfassende Statistiken für die Spalten STR und Ergebnis von CASschulen. Um eine schöne Ausgabe zu erhalten, sammeln wir die Maßnahmen in a data.frame genannt VerteilungZusammenfassung.

Was die Beispieldaten betrifft, verwenden wir Handlung(). Auf diese Weise können wir Merkmale unserer Daten erkennen, beispielsweise Ausreißer, die mit bloßen Zahlen schwerer zu entdecken sind. Dieses Mal fügen wir dem Aufruf von einige zusätzliche Argumente hinzu Handlung().

Das erste Argument in unserem Aufruf von Handlung(), Ergebnis

STR, ist wieder eine Formel, die Variablen auf der y- und der x-Achse angibt. Diesmal werden die beiden Variablen jedoch nicht in separaten Vektoren gespeichert, sondern sind Spalten von CASschulen. Deshalb, R würde sie ohne das Argument nicht finden Daten richtig angegeben werden. Daten muss mit dem Namen des data.frame zu der die Variablen gehören, in diesem Fall CASschulen. Weitere Argumente werden verwendet, um das Erscheinungsbild des Plots zu ändern: while Main fügt einen Titel hinzu, xlab und ylab Fügen Sie beiden Achsen benutzerdefinierte Beschriftungen hinzu.

Das Diagramm (Abbildung 4.2 im Buch) zeigt das Streudiagramm aller Beobachtungen zum Schüler-Lehrer-Verhältnis und zum Testergebnis. Wir sehen, dass die Punkte stark gestreut sind und die Variablen negativ korreliert sind. Das heißt, wir erwarten in größeren Klassen niedrigere Testergebnisse.

Die Funktion cor() (sehen ?kor? für weitere Informationen) kann verwendet werden, um die Korrelation zwischen zwei numerisch Vektoren.

Wie das Streudiagramm bereits vermuten lässt, ist die Korrelation zwar negativ, aber eher schwach.

Unsere Aufgabe besteht nun darin, eine Linie zu finden, die am besten zu den Daten passt. Natürlich könnten wir einfach bei der grafischen Inspektion und Korrelationsanalyse bleiben und dann die am besten passende Linie durch Anschauen auswählen. Dies wäre jedoch eher subjektiv: Unterschiedliche Beobachter würden unterschiedliche Regressionslinien ziehen. Aus diesem Grund sind wir an weniger willkürlichen Techniken interessiert. Eine solche Technik wird durch die Schätzung der gewöhnlichen kleinsten Quadrate (OLS) gegeben.

Der gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzer

Der OLS-Schätzer wählt die Regressionskoeffizienten so, dass die geschätzte Regressionslinie möglichst „nahe“ an den beobachteten Datenpunkten liegt. Hier wird die Nähe durch die Summe der quadrierten Fehler gemessen, die bei der Vorhersage von (Y) bei gegebenem (X) gemacht wurden. Seien (b_0) und (b_1) einige Schätzer von (eta_0) und (eta_1) . Dann kann die Summe der quadrierten Schätzfehler ausgedrückt werden als

Der OLS-Schätzer im einfachen Regressionsmodell ist das Paar von Schätzern für Achsenabschnitt und Steigung, das den obigen Ausdruck minimiert. Die Herleitung der OLS-Schätzer für beide Parameter ist in Anhang 4.1 des Buches dargestellt. Die Ergebnisse sind im Schlüsselkonzept 4.2 zusammengefasst.

Schlüsselkonzept 4.2

Der OLS-Schätzer, vorhergesagte Werte und Residuen

Die OLS-Schätzer der Steigung (eta_1) und des Achsenabschnitts (eta_0) im einfachen linearen Regressionsmodell sind [egin hateta_1 & = frac< sum_^n (X_i - overline)(Y_i - overline) > < sum_^n (X_i - overline)^2>, hateta_0 & = overline - hateta_1 overline. Ende] Die von OLS vorhergesagten Werte (widehat_i) und Residuen (hat_i) sind [egin widehat_i & = hateta_0 + hateta_1 X_i, hat_i & = Y_i - widehat_ich. Ende]

Der geschätzte Achsenabschnitt (hat<eta>_0) , der Steigungsparameter (hat<eta>_1) und die Residuen (left(hat_i ight)) werden aus einer Stichprobe von (n) Beobachtungen von (X_i) und (Y_i) , (i) , (.) , (n) berechnet. Diese sind Schätzungen des unbekannten Populationsabschnitts (left(eta_0 ight)) , Steigung (left(eta_1 ight)) und Fehlerterm ((u_i)) .

Die oben vorgestellten Formeln mögen auf den ersten Blick nicht sehr intuitiv sein. Die folgende interaktive Anwendung soll Ihnen helfen, die Mechanismen von OLS zu verstehen. Sie können Beobachtungen hinzufügen, indem Sie in das Koordinatensystem klicken, in dem die Daten durch Punkte dargestellt werden. Sobald zwei oder mehr Beobachtungen verfügbar sind, berechnet die Anwendung eine Regressionslinie mit OLS und einigen Statistiken, die im rechten Bereich angezeigt werden. Die Ergebnisse werden aktualisiert, wenn Sie dem linken Feld weitere Beobachtungen hinzufügen. Ein Doppelklick setzt die Anwendung zurück, d. h. alle Daten werden entfernt.

Es gibt viele Möglichkeiten, (hat<eta>_0) und (hat<eta>_1) in . zu berechnen R. Zum Beispiel könnten wir die in Key Concept 4.2 vorgestellten Formeln mit zwei von Rdie grundlegendsten Funktionen: bedeuten() und Summe(). Vorher wir anfügen das CASschulen Datensatz.

Berufung anhängen(CASchulen) ermöglicht es uns, eine in variable enthaltene Variable anzusprechen CASschulen beim Namen: Es ist nicht mehr notwendig, die $ Operator in Verbindung mit dem Datensatz: R kann den Variablennamen direkt auswerten.

R verwendet das Objekt in der Benutzerumgebung, wenn dieses Objekt den Namen einer Variablen teilt, die in einer angehängten Datenbank enthalten ist. Es ist jedoch besser, immer eindeutige Namen zu verwenden, um solche (scheinbaren) Ambivalenzen zu vermeiden!

Beachten Sie, dass wir Variablen adressieren, die im angehängten Datensatz enthalten sind CASschulen direkt für den Rest dieses Kapitels!

Natürlich gibt es noch mehr manuelle Möglichkeiten, diese Aufgaben auszuführen. Da OLS eine der am weitesten verbreiteten Schätztechniken ist, R enthält natürlich bereits eine eingebaute Funktion namens lm() (lim Ohr ichodel), mit dem eine Regressionsanalyse durchgeführt werden kann.

Das erste Argument der anzugebenden Funktion ist ähnlich wie Handlung(), die Regressionsformel mit der grundlegenden Syntax ja

x wo ja ist die abhängige Variable und x die erklärende Variable. Das Argument Daten bestimmt den in der Regression zu verwendenden Datensatz. Wir greifen nun das Beispiel aus dem Buch noch einmal auf, in dem die Beziehung zwischen den Testergebnissen und den Klassengrößen analysiert wird. Der folgende Code verwendet lm() um die in Abbildung 4.3 des Buches dargestellten Ergebnisse zu replizieren.

Fügen wir dem Diagramm die geschätzte Regressionsgerade hinzu. Diesmal vergrößern wir auch die Bereiche beider Achsen, indem wir die Argumente setzen xlim und ylim.

Ist Ihnen aufgefallen, dass wir diesmal die Parameter Intercept und Slope nicht an pass übergeben haben? abline? Wenn du anrufst abline() auf einem Objekt der Klasse lm die nur einen einzigen Regressor enthält, R zeichnet die Regressionsgerade automatisch!


Verweise

Fox, J. (1987). Effektanzeigen für verallgemeinerte lineare Modelle. Soziologische Methodik 17, 347--361.

Fox, J. (2003)Effektanzeigen in R für verallgemeinerte lineare Modelle. Zeitschrift für Statistiksoftware 8:15, 1-27, <https://www.jstatsoft.org/article/view/v008i15>.

Fox, J. und R. Andersen (2006). Effektanzeigen für Multinomial- und Proportional-Odds-Logit-Modelle. Soziologische Methodik 36, 225--255.

Fox, J. und J. Hong (2009). Effektanzeigen in R für Multinomial- und Proportional-Odds-Logit-Modelle:? Erweiterungen des Effektpakets. Zeitschrift für Statistiksoftware 32:1, 1-24, <https://www.jstatsoft.org/article/view/v032i01>.

Fox, J. und S. Weisberg (2019). Ein R Companion to Applied Regression, dritte Auflage, Tausend Eichen: Salbei.

Fox, J. und S. Weisberg (2018). Visualisieren von Anpassung und fehlender Anpassung in komplexen Regressionsmodellen mit Prädiktoreffekt-Diagrammen mit partiellen Residuen. Zeitschrift für Statistiksoftware 87:9, 1-27, <https://www.jstatsoft.org/article/view/v087i09>

Hastie, T.J. (1992). Verallgemeinerte additive Modelle. In Chambers, J. M. und Hastie, T. J. (Hrsg.) Statistische Modelle in S, Wadsworth.


3.2 Paar linearer Gleichungen in zwei Variablen

Erinnern Sie sich an Klasse IX, dass die folgenden Beispiele für lineare Gleichungen in zwei Variablen sind:

Sie wissen auch, dass eine Gleichung, die in die Form ax + by + c = 0 gebracht werden kann, wobei a, b und c reelle Zahlen sind, und a und b sind nicht beide null, heißt eine lineare Gleichung in zwei Variablen x und y. (Die Bedingung a und b sind nicht beide null, bezeichnen wir oft mit a 2 + b 2 ≠ 0). Sie haben auch untersucht, dass eine Lösung einer solchen Gleichung ein Wertepaar ist, einer für x und der andere für y, wodurch die beiden Seiten der Gleichung gleich werden.

Setzen wir zum Beispiel x = 1 und y = 1 in die linke Seite (LHS) der Gleichung 2x + 3y = 5 ein. Dann

was gleich der rechten Seite (RHS) der Gleichung ist.

Daher ist x = 1 und y = 1 eine Lösung der Gleichung 2x + 3y = 5.

Setzen wir nun x = 1 und y = 7 in die Gleichung 2x + 3y = 5 ein. Dann gilt:

was nicht gleich dem RHS ist.

Daher ist x = 1 und y = 7 nicht eine Lösung der Gleichung.

Was bedeutet das geometrisch? Das bedeutet, dass der Punkt (1, 1) auf der Linie liegt, die die Gleichung 2x + 3y = 5 darstellt, und der Punkt (1, 7) nicht darauf liegt. So, jede Lösung der Gleichung ist ein Punkt auf der Linie, die sie repräsentiert.

Tatsächlich gilt dies für jede lineare Gleichung, d.h. jede Lösung (x, y) einer linearen Gleichung in zwei Variablen, ax + x + c = 0, entspricht einem Punkt auf der Linie, die die Gleichung darstellt, und umgekehrt.

Betrachten Sie nun die oben angegebenen Gleichungen (1) und (2). Diese Gleichungen zusammengenommen stellen die Informationen dar, die wir auf der Messe über Akhila haben.

Diese beiden linearen Gleichungen befinden sich in denselben zwei Variablen x und y. Gleichungen wie diese werden als Paar linearer Gleichungen in zwei Variablen bezeichnet.

Sehen wir uns an, wie solche Paare algebraisch aussehen.

Die allgemeine Form für ein Paar linearer Gleichungen in zwei Variablen x und y ist

Einige Beispiele für lineare Gleichungspaare in zwei Variablen sind:

2x + 3y – 7 = 0 und 9x – 2y + 8 = 0

Weißt du, wie sie geometrisch aussehen?

Denken Sie daran, dass Sie in Klasse IX gelernt haben, dass die geometrische (d. h. grafische) Darstellung einer linearen Gleichung in zwei Variablen eine Gerade ist. Können Sie nun vorschlagen, wie ein Paar linearer Gleichungen in zwei Variablen geometrisch aussehen wird? Es gibt zwei gerade Linien, die beide zusammen betrachtet werden müssen.

Sie haben in Klasse IX auch gelernt, dass bei zwei Linien in einer Ebene nur eine der folgenden drei Möglichkeiten eintreten kann:

  • Die beiden Linien schneiden sich an einem Punkt.
  • Die beiden Linien schneiden sich nicht, d. h. sie sind parallel.
  • Die beiden Linien werden zusammenfallen.

Alle diese Möglichkeiten zeigen wir in Abb. 3.1:

In Abb. 3.1 (a) schneiden sie sich.

In Abb. 3.1 (b) sind sie parallel.

In Abb. 3.1 (c) fallen sie zusammen.

Beide Arten, ein Paar linearer Gleichungen darzustellen, gehen Hand in Hand – der algebraische und der geometrische Weg. Betrachten wir einige Beispiele.

Nehmen wir das Beispiel aus Abschnitt 3.1. Akhila geht mit Rs 20 zu einem Jahrmarkt und möchte mit dem Riesenrad fahren und Hoopla spielen. Stellen Sie diese Situation algebraisch und grafisch (geometrisch) dar.

Das gebildete Gleichungspaar lautet:

Lassen Sie uns diese Gleichungen grafisch darstellen. Dazu benötigen wir für jede Gleichung mindestens zwei Lösungen. Diese Lösungen geben wir in Tabelle 3.1 an.

Tabelle 3.1

x 0 20/3 4
y = (20-3x)/4 5 0 2

Erinnern Sie sich an Klasse IX, dass es unendlich viele Lösungen jeder linearen Gleichung gibt. Jeder von Ihnen kann also zwei beliebige Werte auswählen, die möglicherweise nicht die von uns gewählten sind. Können Sie sich vorstellen, warum wir in der ersten Gleichung und in der zweiten Gleichung x = 0 gewählt haben? Wenn eine der Variablen null ist, reduziert sich die Gleichung auf eine lineare Gleichung in einer Variablen, die leicht gelöst werden kann. Setzen wir zum Beispiel x = 0 in Gleichung (2) ein, erhalten wir 4y = 20, dh y = 5. In ähnlicher Weise erhalten wir, wenn y = 0 in Gleichung (2) gesetzt wird, 3x = 20, dh x = 20/3 . Aber da 20/3 keine ganze Zahl ist, wird es nicht einfach sein, genau auf dem Millimeterpapier zu zeichnen. Wir wählen also y = 2, was x = 4, einen ganzzahligen Wert, ergibt.

Zeichnen Sie die Punkte A(0, 0), B(2, 1) und P(0, 5), Q(4, 2) entsprechend den Lösungen in Tabelle 3.1. Zeichnen Sie nun die Linien AB und PQ, die die Gleichungen x – 2y = 0 und 3x + 4y = 20 darstellen, wie in Abb. 3.2 gezeigt.

Beachten Sie in Abb. 3.2, dass sich die beiden Geraden, die die beiden Gleichungen darstellen, im Punkt (4, 2) schneiden. Was das bedeutet, werden wir im nächsten Abschnitt diskutieren.

Romila ging in einen Schreibwarenladen und kaufte 2 Bleistifte und 3 Radiergummis für 9 Rupien. Ihre Freundin Sonali sah mit Romila die neue Vielfalt an Bleistiften und Radiergummis und sie kaufte auch 4 Bleistifte und 6 Radiergummis der gleichen Art für 18 Rupien Situation algebraisch und grafisch.

Lassen Sie uns die Kosten von 1 Bleistift mit Rs x und einem Radiergummi mit Rs y bezeichnen. Dann ist die algebraische Darstellung durch die folgenden Gleichungen gegeben:

Um die äquivalente geometrische Darstellung zu erhalten, finden wir zwei Punkte auf der Linie, die jede Gleichung darstellt. Das heißt, wir finden zwei Lösungen jeder Gleichung.

Diese Lösungen sind unten in Tabelle 3.2 aufgeführt.

Wir tragen diese Punkte in ein Millimeterpapier ein und zeichnen die Linien. Wir finden, dass beide Linien zusammenfallen (siehe Abb. 3.3). Dies liegt daran, dass beide Gleichungen äquivalent sind, d. h. die eine kann aus der anderen abgeleitet werden.

Zwei Schienen werden durch die Gleichungen x + 2y – 4 = 0 und 2x + 4y – 12 = 0 dargestellt. Stellen Sie diese Situation geometrisch dar.

Zwei Lösungen jeder der Gleichungen:

Tabelle 3.3

Um die Gleichungen grafisch darzustellen, zeichnen wir die Punkte R(0, 2) und S(4, 0) ein, um die Linie RS und die Punkte P(0, 3) und Q(6, 0) zu erhalten, um die Linie PQ . zu erhalten .

Wir beobachten in Abb. 3.4, dass sich die Geraden nirgendwo schneiden, d. h. parallel sind.

Wir haben also mehrere Situationen gesehen, die durch ein Paar linearer Gleichungen dargestellt werden können. Wir haben ihre algebraischen und geometrischen Darstellungen gesehen. In den nächsten Abschnitten werden wir diskutieren, wie diese Darstellungen verwendet werden können, um nach Lösungen des Paares linearer Gleichungen zu suchen.

  1. Aftab sagt zu seiner Tochter: "Vor sieben Jahren war ich siebenmal so alt wie du damals. Außerdem werde ich in drei Jahren dreimal so alt sein wie du." (Ist das nicht interessant?) Stellen Sie diese Situation algebraisch und grafisch dar.
  2. Der Trainer einer Cricket-Mannschaft kauft 3 Schläger und 6 Bälle für Rs 3900. Später kauft sie einen weiteren Schläger und 2 weitere Bälle der gleichen Art für Rs 1300. Stellen Sie diese Situation algebraisch und geometrisch dar.
  3. Die Kosten für 2 kg Äpfel und 1 kg Trauben an einem Tag wurden mit 160 Rupien ermittelt. Nach einem Monat kosten 4 kg Äpfel und 2 kg Trauben 300 Rupien. Stellen Sie die Situation algebraisch und geometrisch dar.

Angewandte Zeitreihenanalyse für Fischerei und Umweltwissenschaften

Das Plotten von Zeitreihendaten ist ein wichtiger erster Schritt bei der Analyse ihrer verschiedenen Komponenten. Darüber hinaus benötigen wir jedoch ein formaleres Mittel, um Merkmale wie einen Trend oder eine saisonale Variation zu identifizieren und zu entfernen. Wie in der Vorlesung besprochen, reduziert das Dekompositionsmodell eine Zeitreihe in 3 Komponenten: Trend, saisonale Effekte und zufällige Fehler. Unser Ziel ist es wiederum, die zufälligen Fehler als eine Form eines stationären Prozesses zu modellieren.

Beginnen wir mit einem einfachen additiven Zerlegungsmodell für eine Zeitreihe (x_t)

wobei zum Zeitpunkt (t) (m_t) der Trend ist, (s_t) der saisonale Effekt ist und (e_t) ein zufälliger Fehler ist, von dem wir im Allgemeinen annehmen, dass er den Mittelwert null hat und zu über die Zeit korreliert werden. Durch Schätzen und Subtrahieren der beiden () und () von () hoffen wir, eine Zeitreihe stationärer Residuen () .

4.2.1 Trends schätzen

In der Vorlesung haben wir diskutiert, wie lineare Filter eine gängige Methode sind, um Trends in Zeitreihen zu schätzen. Einer der gebräuchlichsten linearen Filter ist der gleitende Durchschnitt, der für Zeitverzögerungen von (-a) bis (a) definiert ist als

Dieses Modell funktioniert gut für das Verschieben von Fenstern mit ungeradzahligen Längen, sollte jedoch für geradzahlige Längen angepasst werden, indem nur (frac<1><2>) der beiden extremsten Verzögerungen hinzugefügt wird, sodass der gefilterte Wert zum Zeitpunkt (t) stimmt mit der ursprünglichen Beobachtung zum Zeitpunkt (t) überein. In einem Fall mit monatlichen Daten wie der atmosphärischen CO (_2)-Konzentration, bei der ein gleitender 12-Punkte-Durchschnitt eine naheliegende Wahl wäre, wäre der lineare Filter also

Es ist hier wichtig zu beachten, dass unsere Zeitreihe des geschätzten Trends (_t>) ist tatsächlich um (2a) Einheiten kürzer als die beobachtete Zeitreihe.

Praktischerweise hat R die eingebaute Funktion filter() im Statistiken Paket zum Schätzen von gleitenden Durchschnitten (und anderen) linearen Filtern. Zusätzlich zur Angabe der zu filternden Zeitreihen müssen wir die Filtergewichte übergeben (und 2 weitere Argumente, um die wir uns hier nicht kümmern – geben Sie ?filter ein, um weitere Informationen zu erhalten). Am einfachsten erstellen Sie den Filter mit der Funktion rep():

Jetzt erhalten wir unsere Schätzung des Trends (>) mit filter() > und plotten Sie es:

Der Trend ist eine mehr oder weniger gleichmäßig ansteigende Funktion über die Zeit, deren durchschnittliche Steigung tatsächlich auch über die Zeit zuzunehmen scheint (Abbildung 4.3).

Abbildung 4.3: Zeitreihe des geschätzten Trends (_t>) für die atmosphärische CO(_2)-Konzentration auf Mauna Loa, Hawaii.

4.2.2 Abschätzung saisonaler Effekte

Sobald wir eine Schätzung des Trends für die Zeit (t) ( (hat_t) ) können wir leicht eine Schätzung des saisonalen Effekts zum Zeitpunkt (t) ( (hat_t) ) durch Subtraktion

was in R ganz einfach geht:

Diese Schätzung des saisonalen Effekts für jeden Zeitpunkt (t) enthält jedoch auch den zufälligen Fehler (e_t) , der durch das Aufzeichnen der Zeitreihen und den sorgfältigen Vergleich der Gleichungen (4.1) und (4.4) sichtbar wird.

Abbildung 4.4: Zeitreihen saisonaler Effekte plus zufällige Fehler für die atmosphärische CO (_2)-Konzentration auf Mauna Loa, Hawaii, monatlich gemessen von März 1958 bis heute.

Wir können den saisonalen Gesamteffekt erhalten, indem wir die Schätzungen von (_t>) für jeden Monat und wiederholen diese Sequenz über alle Jahre.

Bevor wir die gesamte Zeitreihe der saisonalen Effekte erstellen, stellen wir sie für jeden Monat dar, um zu sehen, was innerhalb eines Jahres passiert:

Es sieht so aus, als ob die CO(_2)-Konzentration im Frühjahr (März) am höchsten und im Sommer (August) am niedrigsten ist (Abbildung 4.5). (Beiseite: Weißt du warum das so ist?)

Abbildung 4.5: Geschätzte monatliche saisonale Effekte für die atmosphärische CO (_2)-Konzentration auf Mauna Loa, Hawaii.

Lassen Sie uns schließlich die gesamte Zeitreihe der saisonalen Effekte (_t>) :

4.2.3 Modell vervollständigen

Der letzte Schritt bei der Vervollständigung unseres vollständigen Zerlegungsmodells besteht darin, die zufälligen Fehler (_t>) , die wir durch einfache Subtraktion erhalten

Auch das ist in R ganz einfach:

Nun, da wir alle drei unserer Modellkomponenten haben, wollen wir sie zusammen mit den beobachteten Daten () . Die Ergebnisse sind in Abbildung 4.6 dargestellt.

Abbildung 4.6: Zeitreihe der beobachteten atmosphärischen CO(_2)-Konzentration auf Mauna Loa, Hawaii (oben) zusammen mit dem geschätzten Trend, saisonalen Effekten und zufälligen Fehlern.

4.2.4 Verwendung von decompose() zur Zerlegung

Nachdem wir nun gesehen haben, wie die verschiedenen Komponenten eines klassischen Zerlegungsmodells stückweise geschätzt und dargestellt werden, sehen wir uns an, wie dies in einem Schritt in R mit der Funktion decompose() geht, die a . akzeptiert ts Objekt als Eingabe und gibt ein Objekt der Klasse zurück zerlegt.ts.

co2_decomp ist eine Liste mit folgenden Elementen, die Ihnen mittlerweile bekannt sein sollten:

  • x : die beobachtete Zeitreihe ()
  • saisonal : Zeitreihe der geschätzten saisonalen Komponente (_t>)
  • Abbildung : mittlerer saisonaler Effekt ( Länge (Abbildung) == Häufigkeit (x) )
  • trend : Zeitreihe des geschätzten Trends (_t>)
  • random : Zeitreihe zufälliger Fehler (_t>)
  • type : Fehlerart ( "additiv" oder "multiplikativ" )

Wir können leicht Diagramme der Ausgabe erstellen und sie mit denen in Abbildung 4.6 vergleichen:

Abbildung 4.7: Zeitreihe der beobachteten atmosphärischen CO(_2)-Konzentration auf Mauna Loa, Hawaii (oben) zusammen mit dem geschätzten Trend, saisonalen Effekten und zufälligen Fehlern, die mit der Funktion decompose() erhalten wurden.

Die mit decompose() erhaltenen Ergebnisse (Abbildung 4.7) sind identisch mit denen, die wir zuvor geschätzt haben.


LTspice: Modelle von ISO 7637-2 & ISO 16750-2 Transienten

Die Simulation der Transienten nach ISO 7637-2 und ISO 16750-2 zu einem frühen Zeitpunkt in der Designphase eines Automobilprodukts kann Probleme aufzeigen, die sonst bei Prüfungen der elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) ans Licht kommen würden. Wenn ein Produkt die EMV-Prüfung nicht besteht, sind Hardware-Änderungen erforderlich, die Projektzeitpläne leiden darunter und zusätzliche Kosten entstehen durch wiederholte Tests auf der neuen Hardware. Wenn Sie einige Minuten oder Stunden damit verbringen, die Schutzschaltungen in LTspice zu simulieren, können Sie teure Hardware-Neuanpassungen aufgrund von EMV-Ausfällen vermeiden.

ISO 7637-2 und ISO 16750-2 sind die am häufigsten verwendeten Spezifikationen von Ingenieuren, die Automobilelektronik entwickeln. Diese beiden Spezifikationen beschreiben potenziell destruktive Transienten und die empfohlenen Testverfahren, um sicherzustellen, dass die Elektronik angemessen geschützt ist. Weitere Informationen zu diesen Spezifikationen finden Sie im folgenden Artikel:

Zusätzlich zum Lesen des obigen Artikels wird jedem, der sich mit diesen Spezifikationen befasst, empfohlen, Kopien von der International Organization for Standardization (ISO) oder dem American National Standards Institute (ANSI) zu erwerben:

Für jede transiente Bedingung in den Spezifikationen ISO 16750-2 und ISO 7637-2 wird eine &ldquoClass&rdquo des Betriebs vorgeschlagen, wobei &ldquoClass A&rdquo die strengste Anforderung und &ldquoClass E&rdquo die am wenigsten strenge Anforderung ist. Die Definitionen von Klasse A bis Klasse E sind in der Spezifikation ISO 16750-1:2006 enthalten und zur leichteren Bezugnahme auch am Ende dieses Dokuments enthalten. Anhang: ISO 16750-1:2006 §6 Funktionsstatusklassifizierung.

Die Simulation der ISO 7637-2 und ISO 16750-2 Transienten zu einem frühen Zeitpunkt in der Konstruktionsphase kann potenzielle Probleme aufzeigen, bevor sie zu kostspieligen Ausfällen während der ISO 7637-2 und ISO 16750-2 Tests führen. Die ISO16750-2 und ISO7637-2 Symbole in LTspice vereinfachen diese Aufgabe, indem sie einen nahezu vollständigen Satz von ISO 7637-2 und ISO 16750-2 Transienten bereitstellen.

Wenn Sie diese Symbole in einem LTspice-Schaltplan verwenden, können Sie die Testbedingung auswählen, indem Sie mit der rechten Maustaste auf das Symbol klicken und dann auf das Feld &ldquoSpiceModel&rdquo doppelklicken, um ein Dropdown-Menü wie das unten gezeigte zu öffnen.

Da die Anforderungen für Geräte, die mit 12-V-Netzteilen und 24-V-Netzteilen betrieben werden, unterschiedlich sind, werden für jedes Gerät separate Modelle bereitgestellt. Die Modelle, die einer 12-V-Versorgung entsprechen, haben ein &ldquo_12V&rdquo im Namen, und diejenigen, die einer 24-V-Versorgung entsprechen, haben &ldquo_24V&rdquo im Namen. .

Da viele Automobilhersteller ihre eigenen Spezifikationen unabhängig von der International Organization for Standardization pflegen, wurden diese Symbole mit Parametern erstellt, die eine Anpassung über das Feld &ldquoValue&rdquo ermöglichen, wie unten gezeigt. Die Parameter für jede Wellenform werden in den folgenden Abschnitten beschrieben.

Für alle der folgenden Bedingungen gibt es einen t0-Parameter, der definiert, wann die Bedingung angewendet wird. Es ist nicht Teil der Spezifikationen von ISO 7637-2 oder ISO 16750-2, sondern wird nur für das LTspice-Modell verwendet.

Puls 1 beschreibt die negative Transiente, die von einer parallel zu einer induktiven Last geschalteten Elektronik beobachtet wird, wenn die Verbindung zur Stromversorgung unterbrochen wird.

Voraussetzung: Puls 1 muss mindestens 500 Mal wiederholt werden. Der Betrieb der Klasse A bis E wird zwischen dem Fahrzeughersteller und dem Ausrüstungslieferanten ausgehandelt. Da die Stromversorgung während des Tests effektiv unterbrochen wird, wird es normalerweise als Klasse A definiert, wenn das Gerät nach Wiedereinschalten der Stromversorgung ohne Benutzereingriff in den Normalbetrieb zurückkehrt.

Puls 2a beschreibt die positive Spannungsspitze, die auftreten kann, wenn der Strom zu einem Stromkreis parallel zur zu testenden Elektronik unterbrochen wird. Wenn sich im Kabelbaum Strom aufbaut, kann die in der Kabelbauminduktivität gespeicherte Energie, wenn ein Gerät plötzlich aufhört, Strom zu ziehen, eine Spannungsspitze verursachen. Die Energie dieser positiven Spitze wird durch den Serienwiderstand begrenzt.

Voraussetzung: Puls 2a muss mindestens 500 Mal wiederholt werden. Der Betrieb der Klasse A bis E wird zwischen dem Fahrzeughersteller und dem Ausrüstungslieferanten ausgehandelt, normalerweise Klasse A.

Puls 2b definiert eine Situation, die auftritt, wenn die Zündung ausgeschaltet ist und Gleichstrommotoren als Generatoren wirken. Läuft beispielsweise die Heizung, wenn der Fahrer das Auto abstellt, kann der Gebläsemotor das System während des Herunterdrehens kurzzeitig mit Gleichstrom versorgen.

Voraussetzung: Puls 2b muss mindestens 10 mal wiederholt werden. Der Betrieb der Klasse A bis E wird zwischen dem Fahrzeughersteller und dem Ausrüstungslieferanten ausgehandelt. Da die Stromversorgung während des Tests effektiv unterbrochen wird, wird es normalerweise als Klasse A definiert, wenn das Gerät nach Wiedereinschalten der Stromversorgung ohne Benutzereingriff in den Normalbetrieb zurückkehrt.

Puls 3a definiert die negativen Spitzen, die als Ergebnis von Schaltvorgängen einschließlich Lichtbogenbildung über Schalter und Relais auftreten können. Für diese Spezifikation wird die Energie durch einen 50&Omega Serienwiderstand begrenzt.

Anforderung: Puls 3a soll eine Stunde lang wiederholt angewendet werden. Der Betrieb der Klasse A bis E wird zwischen dem Fahrzeughersteller und dem Ausrüstungslieferanten ausgehandelt, normalerweise Klasse A.

Puls 3b definiert die positiven Spitzen, die als Ergebnis von Schaltvorgängen einschließlich Lichtbogenbildung über Schalter und Relais auftreten können. Für diese Spezifikation wird die Energie durch einen 50&Omega Serienwiderstand begrenzt.

Voraussetzung: Pulse 3b soll eine Stunde lang wiederholt angewendet werden. Der Betrieb der Klasse A bis E wird zwischen dem Fahrzeughersteller und dem Ausrüstungslieferanten ausgehandelt, normalerweise Klasse A.

ISO 16750-2: 2012 & Sect4.2 Gleichstromversorgungsspannung

Abschnitt 4.2 von ISO 16750-2 definiert die minimale und maximale Versorgungsspannung. Die Spezifikation definiert mehrere &ldquocodes&rdquo für die minimale Versorgungsspannung, und der entsprechende Code für die Versorgungsspannung wird zwischen Fahrzeughersteller und Ausrüstungslieferant ausgehandelt. Für dieses Modell wird kein LTspice-Modell bereitgestellt, da es sich lediglich um eine konstante Spannung handelt.

Anforderung: Klasse A (Dauerbetrieb).

ISO 16750-2: 2012 & sect4.3 Überspannung

Abschnitt 4.3 von ISO 16750-2 beschreibt &ldquoOvervoltage&rdquo-Anforderungen. Die erste Anforderung dauert 60 Minuten und simuliert den Zustand, bei dem der Spannungsregler ausgefallen ist. Für 12V-Systeme werden 18V angelegt, für 24V-Systeme werden 36V angelegt. Abhängig von der Anwendung ist es möglicherweise nicht erforderlich, dass das Gerät während der Durchführung des Tests normal funktioniert, es muss jedoch nach Aufheben der Testbedingung zum Normalbetrieb zurückkehren. Die zweite Testbedingung gilt nur für 12-V-Systeme und simuliert eine Starthilfe mit 24 V für 60 Sekunden angelegt. Auch hier kann es sein, dass das Gerät während des Tests nicht normal funktioniert.

Für diesen Zustand wird kein LTspice-Modell bereitgestellt, da es sich lediglich um eine Spannungsquelle handelt.

Anforderung: Siehe ISO 16750-2:2012 Spezifikation.

ISO 16750-2: 2012 & Sect4.4 Überlagerte Wechselspannung

Abschnitt 4.4 enthält Testbedingungen, um einen Restwechselstrom in der Gleichstromversorgung zu simulieren.&rdquo Während dieses Tests wird eine Wechselspannung mit einer Reihenimpedanz zwischen 50 m&Omega und 100 m&Omega mehrmals von 50 Hz auf 25 kHz gewobbelt. Die oberen Spannungsspitzen betragen 16 V für ein 12 V-System und 32 V für ein 24 V-System. Die Spitze-Spitze-Spannung wird durch den „Schweregrad&rdquo definiert, wie unten aufgeführt, und die Frequenz wird fünfmal logarithmisch, dreieckig, über 10 Minuten gewobbelt.

ISO16750-2: 4-4 12V
Überlagert
Wechselspannung

ISO16750-2: 4-4 24V
Überlagert
Wechselspannung

ISO 16750-2: 2012 & Sect4.5 Langsame Abnahme und Zunahme der Versorgungsspannung

Abschnitt 4.5 &ldquoLangsamer Abfall und Anstieg der Versorgungsspannung&rdquo simuliert eine Batterie, die langsam entladen und dann wieder aufgeladen wird. Der Test beginnt mit der Versorgungsspannung bei Usmin, der minimalen Versorgungsspannung, bevor sie mit einer Rate von 0,5 V/Minute auf 0 V entladen wird. Nach Erreichen von 0 V wird die Versorgung mit der gleichen Rate wieder auf Usmin hochgefahren.

In ISO 16750-2 wird Usmin, die minimale Versorgungsspannung, durch Code A bis Code E in Abschnitt 4.2 der Spezifikation gekennzeichnet. Diese Codes sind unten zur leichteren Bezugnahme wiedergegeben.

Ein kontinuierlicher Betrieb ist natürlich nicht erforderlich, aber dieser Test verifiziert, dass die Hardware nicht ausfällt.

ISO16750-2: 4-5 12V
Langsamer Rückgang
und Erhöhung von
Versorgungsspannung

ISO16750-2: 4-5 24V
Langsamer Rückgang
und Erhöhung von
Versorgungsspannung

Anforderung: Siehe ISO 16750-2:2012 Spezifikation.

ISO 16750-2: 2012 & sect 4.6.1 Unterbrechungen in der Versorgungsspannung

Abschnitt 4.6.1 "Unterbrechungen der Versorgungsspannung" versucht, einen Fehler in einem anderen Stromkreis zu simulieren, der dazu führt, dass die Versorgung abfällt, bis die Sicherung des anderen Stromkreises durchbrennt. In diesem Test beginnt die Versorgung bei Usmin, der minimalen Versorgungsspannung, fällt dann für 100 ms ab und kehrt schließlich auf Usmin zurück. Die Anstiegszeit und Abfallzeit von Dip und Recovery sind schneller als 10 ms. Bei 12-V-Systemen sinkt die Versorgung auf 4,5 V und bei 24-V-Systemen auf 9 V.

In ISO 16750-2 wird Usmin, die minimale Versorgungsspannung, durch Code A bis Code E in Abschnitt 4.2 der Spezifikation gekennzeichnet. Diese Codes sind unten zur leichteren Bezugnahme wiedergegeben.

In der Simulation sinkt das Angebot zum 10-Sekunden-Zeitpunkt der Simulation.

ISO16750-2: 4-6-1 12V
Kurzfristiger Drop-In
Versorgungsspannung

ISO16750-2: 4-6-1 24V
Kurzfristiger Drop-In
Versorgungsspannung

Anforderung: Klasse B. Der Fahrzeughersteller und der Ausrüster können vereinbaren, dass ein Reset zulässig ist.

ISO 16750-2: 2012 & sect4.6.2 Reset-Verhalten bei Spannungsabfall

Abschnitt 4.6.2 &ldquoReset-Verhalten bei Spannungsabfall&rdquo spezifiziert eine Reihe von 5-Sekunden-Versorgungseinbrüchen, wobei jeder Impuls eine niedrigere Spannung als der vorherige hat. Der Zweck besteht darin, zu überprüfen, ob das Gerät nach einem Versorgungsabfall ordnungsgemäß zurückgesetzt wird. Während des Tests ist jedes 5-Sekunden-Dip um 5% niedriger als das vorherige und erholt sich zwischen jedem Dip für mindestens 10 Sekunden auf Usmin.

In ISO 16750-2 wird Usmin, die minimale Versorgungsspannung, durch Code A bis Code E in Abschnitt 4.2 der Spezifikation gekennzeichnet. Diese Codes sind unten zur leichteren Bezugnahme wiedergegeben.

ISO16750-2: 4-6-2 24V
Verhalten zurücksetzen bei
Spannungsabfall

ISO 16750-2: 2012 & Abschnitt 4.6.3 Startprofil

Abschnitt 4.6.3 spezifiziert eine Wellenform, die für ein Startprofil eines Fahrzeugs repräsentativ ist. Es wird 10 Mal auf das zu testende Gerät aufgetragen. Die genauen benötigten Spannungen und Dauern hängen von der gewünschten Stufe I, II, III oder IV ab, die durch die Anwendung bestimmt wird.

ISO16750-2: 4-6-3 24V
Tarting-Profil

Anforderung: Siehe ISO 16750-2:2012 Spezifikation.

ISO 16750-2: 2012 & sect 4.6.4 Load Dump ohne zentralisierte Load Dump Unterdrückung &ndash Test A

Abschnitt 4.6.4.2.2 &ldquoTest A &ndash ohne zentralisierte Load-Dump-Unterdrückung&rdquo spezifiziert einen Transienten, der auftritt, wenn die Lichtmaschine eine Batterie auflädt und die Batterieverbindung verloren geht. &ldquoOhne zentralisierte Load-Dump-Unterdrückung&rdquo bedeutet, dass die Lichtmaschine keine Klemmdioden enthält. Bei einer Lichtmaschine mit Klemmdioden stattdessen Test B verwenden. Wenn Sie mit dieser Unterscheidung nicht vertraut sind, lesen Sie eine detailliertere Beschreibung im Artikel:

ISO16750-2: 4-6-4 24V
Laden Dump ohne
Unterdrückung

Voraussetzung: Zehn Impulse im 1-Minuten-Takt. Klasse C.

16750-2:2012 §4.6.4 Load Dump mit zentralisierter Load Dump Unterdrückung &ndash Test B

Abschnitt 4.6.4.2.2 &ldquoTest B &ndash mit zentralisierter Load-Dump-Unterdrückung&rdquo spezifiziert einen Transienten, der auftritt, wenn die Lichtmaschine eine Batterie auflädt und die Batterieverbindung verloren geht. &ldquoMit zentralisierter Load-Dump-Unterdrückung&rdquo bedeutet, dass die Lichtmaschine Klemmdioden enthält. Bei einer Lichtmaschine ohne Klemmdioden stattdessen Test A verwenden. Wenn Sie mit dieser Unterscheidung nicht vertraut sind, lesen Sie eine detailliertere Beschreibung im Artikel:

Voraussetzung: Fünf Impulse im 1-Minuten-Takt. Klasse C.

ISO 16750-2: 2012 & sect4.7 umgekehrte Spannung

Abschnitt 4.7 von ISO 16750-2 beschreibt &ldquoReversed Voltage&rdquo oder das, was die meisten Automobilingenieure einfach als &ldquoReverse-Battery bezeichnen.&rdquo Wie zu erwarten, deckt dies das Szenario menschlicher Fehler ab, bei dem jemand eine Batterie mit umgekehrter Polarität anschließt. Hier wird &ldquoFall 2&rdquo simuliert, bei dem an allen Eingängen 60 Sekunden lang eine umgekehrte Prüfspannung angelegt werden muss, damit das System unbeschadet übersteht.

Eine alternative Testbedingung, &ldquoFall 1&rdquo, ist auch nach ISO 16750-2 für 12-V-Systeme zulässig, wenn keine Sicherung in Reihe mit der Lichtmaschine vorhanden ist und die Gleichrichterdioden der Lichtmaschine die Spannung begrenzen, indem sie den erheblichen Strom leiten, der von der umgekehrt angeschlossenen Batterie geliefert wird. Wenn Fall 1 verwendet wird, wird 60 Sekunden lang eine 4V-Sperrspannung angelegt.

Anforderung: Klasse A nach Austausch durchgebrannter Sicherungseinsätze.

ISO 16750-2: 2012 & Sect4.9 Open Circuit Tests

Abschnitt 4.9 behandelt &ldquoline-Unterbrechungstests und beschreibt Verfahren, um sicherzustellen, dass ein Gerät den normalen Betrieb wiederaufnimmt, nachdem eine Verbindung getrennt und dann wiederhergestellt wurde. Während dieses Tests wird der Stromkreis für 10 Sekunden geöffnet und dann wiederhergestellt. Abschnitt 4.9 enthält auch Anforderungen an die "mehrfache Leitungsunterbrechung", die hier nicht behandelt werden.

ISO 16750-2: 2012 §4.8, §4.10, §4.11, §4.12 und §4.13 Tests

Diese Abschnitte sind nicht in die LTspice-Simulationsmodelle integriert, da die Art der Tests den Rahmen eines einzelnen vordefinierten Modells sprengt. Besonders hervorzuheben ist §4.10 Kurzschlussschutz Tests, bei denen jeder Ein- und Ausgang 60 Sekunden lang an die maximale Versorgungsspannung und Masse angeschlossen werden muss. Diese können besonders herausfordernd sein, und es wird empfohlen, die Bedingungen ausgiebig zu simulieren und zu testen.

  • ISO 16750-2: 2012 & sect4.8 Erdungsreferenz und Versorgungsoffset
  • ISO 16750-2: 2012 & sect4.10 Kurzschlussschutz
  • ISO 16750-2: 2012 & Sect4.11 Spannungsfestigkeit
  • ISO 16750-2: 2012 & sect4.12 Isolationswiderstand
  • ISO 16750-2: 2012 & Sect4.13 Elektromagnetische Verträglichkeit

Die Symbole ISO16750-2 und ISO7637-2 in LTspice bieten Simulationsmodelle der Transienten, die in den Spezifikationen ISO 7637-2 und ISO 16750-2 beschrieben sind. Die Simulation von Schutzschaltungen während der Designphase der Produktentwicklung hilft, Fehler zu vermeiden, die sonst während der EMV-Prüfung von Hardware auftreten würden. Der Aufwand für die Simulation im Vorfeld lohnt sich natürlich, wenn man die Kosten berücksichtigt, die durch eventuelle EMV-Testfehler entstehen.

Anhang: ISO 16750-1:2006 §6 Funktionsstatusklassifizierung

Der Betrieb der Klassen A bis E ist in ISO 16750-1:2006 wie folgt definiert:

Klasse a Alle Funktionen des Geräts/Systems funktionieren während und nach dem Test wie vorgesehen.
Klasse b Alle Funktionen des Geräts/Systems werden während des Tests wie vorgesehen ausgeführt. Eine oder mehrere können jedoch über die angegebene Toleranz hinausgehen. Alle Funktionen kehren nach dem Test automatisch in die normalen Grenzen zurück. Speicherfunktionen bleiben Klasse A.
Klasse C Eine oder mehrere Funktionen eines Geräts/Systems funktionieren während des Tests nicht wie vorgesehen, sondern kehren nach dem Test automatisch in den Normalbetrieb zurück.
Klasse D Eine oder mehrere Funktionen eines Geräts/Systems funktionieren während des Tests nicht wie vorgesehen und kehren nach dem Test nicht zum normalen Betrieb zurück, bis das Gerät/System durch eine einfache &bdquo-Bediener-/Verwendungsaktion zurückgesetzt wird.
Klasse E Eine oder mehrere Funktionen eines Geräts/Systems erfüllen während und nach dem Test nicht die vorgesehene Leistung und können ohne Reparatur oder Austausch des Geräts/Systems nicht wieder ordnungsgemäß funktionieren

Autor

Dan Eddleman ist Analogingenieur mit über 15 Jahren Erfahrung bei Linear Technology als IC-Designer, Leiter des IC Design Centers in Singapur und Anwendungstechniker.

Er begann seine Karriere bei Linear Technology mit der Entwicklung der Netzteil-Tracking-Controller LTC2923 und LTC2925, des LTC4355 High Voltage Dual Ideal Diode-OR und des LTC1546 Multiprotokoll-Transceivers. Er war auch Mitglied des Teams, das den weltweit ersten Power over Ethernet (PoE) Controller, den LTC4255, entwickelte. Er hält zwei Patente für diese Produkte.

Anschließend zog er nach Singapur, um das Singapore IC Design Center von Linear Technology zu leiten und ein Team von Ingenieuren zu beaufsichtigen, das Produkte wie Hot-Swap-Controller, Überspannungsschutz-Controller, DC/DC-Schaltnetzteil-Controller, Leistungsmonitore und Superkondensator-Ladegeräte entwickelte.

Nach seiner Rückkehr als Anwendungsingenieur in die Milpitas-Zentrale schuf Dan Linduino, eine Arduino-kompatible Hardwareplattform zur Demonstration der I 2 C- und SPI-basierten Produkte von Linear Technology. Linduino bietet eine bequeme Möglichkeit, C-Firmware an Kunden zu verteilen, und bietet gleichzeitig eine einfache Rapid-Prototyping-Plattform für Kunden von Linear Technology.

Darüber hinaus konzipierte er in seiner Funktion als Anwendungstechniker den LTC2644/LTC2645 PWM to VAUS DACs und entwickelte die XOR-basierte Adressübersetzerschaltung, die in den LTC4316/LTC4317/LTC4318 I2C/SMBUS Adressübersetzern verwendet wird. Für beide Produkte hat er Patente angemeldet. Dan hat auch mehrere Referenzdesigns entwickelt, die die belastende Spezifikation MIL-STD-1275 28V für Militärfahrzeuge erfüllen.

Dan studiert weiterhin den sicheren Betriebsbereich von MOSFETs, hat Softwaretools entwickelt und führt Schulungen im Zusammenhang mit SOA innerhalb von Linear Technology durch. Sein mit LTspice vertriebenes SOAtherm-Modell ermöglicht es Kunden, MOSFET-SOA innerhalb ihrer Hot-Swap-Schaltungssimulationen mit thermischen Modellen zu simulieren, die Spirito Runaway enthalten.


Lencioni-Modell

In seinem 2005 erschienenen Buch Die fünf Dysfunktionen eines Teams, Lencioni [8] skizziert fünf häufige Probleme von Teams, die sich auf ihre Effektivität auswirken:

  1. Mangel an Vertrauen: Wenn Teammitglieder einander nicht vertrauen, ist es unwahrscheinlich, dass sie Risiken eingehen oder um Hilfe bitten. Ein Mangel an Vertrauen bedeutet einen geringen Komfort, der es schwierig macht, im Team zu kommunizieren und effektiv zu agieren
  2. Angst vor Konflikten: Konfliktvermeidung kann zu einem künstlichen „Frieden“ auf Kosten von Fortschritt und Innovation führen. Konflikte sind ein normaler Bestandteil der Teamarbeit und können sehr produktiv sein, wenn sie effektiv gemanagt werden.
  3. Fehlendes Engagement: Teammitglieder verpflichten sich nicht, die Arbeit zu erledigen, führen Entscheidungen oder Aufgaben nicht durch, halten Fristen nicht ein und lassen ihre Teamkollegen im Stich, was letztendlich den Erfolg des gesamten Projekts beeinflusst.
  4. Vermeidung von Verantwortlichkeit.
  5. Unaufmerksamkeit gegenüber Ergebnissen: Wenn sich Teammitglieder auf ihre eigenen persönlichen Ziele statt auf Projektziele konzentrieren, verlieren sie die erwarteten Ergebnisse aus den Augen, die den Erfolg des Projekts tatsächlich messen. Die Konzentration auf die Ergebnisse während des Prozesses bedeutet, dass niemand plant, wie diese Ergebnisse verbessert werden können.
    Abbildung 4.2.5 Lencioni-Modell: Fünf Dysfunktionen eines Teams

Lencioni empfiehlt, jede Dysfunktion anzugehen, die in der Pyramide in . angezeigt wird Abbildung 4.2.5, von unten nach oben. Vertrauen aufzubauen ist ein entscheidender erster Schritt, um in der Lage zu sein, Konflikte zu bewältigen, Verbindlichkeit zu erreichen, Verantwortung zu übernehmen und sich auf Ergebnisse zu konzentrieren.

ÜBUNG 4.2 Wenden Sie diese Modelle auf Ihre Erfahrung an

Wenden Sie eines oder mehrere dieser Modelle auf Ihre bisherige oder aktuelle Erfahrung in der Teamarbeit an:


Schau das Video: Klasse 8 - Lineare Funktion - Modellierung (August 2022).