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14.7: Dreifachintegrale in Zylinder- und Kugelkoordinaten


Wir haben gesehen, dass manchmal Doppelintegrale vereinfacht werden, indem man sie in Polarkoordinaten macht; Es überrascht nicht, dass Tripelintegrale manchmal einfacher in Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten sind. Wir müssen hier dasselbe für dreidimensionale Regionen tun.

Das Zylinderkoordinatensystem ist das einfachste, da es nur das Polarkoordinatensystem plus eine (z)-Koordinate ist. Eine typische kleine Volumeneinheit ist die unten gezeigte Form "aufgefettet" in (z)-Richtung, ihr Volumen ist also (rDelta rDelta hetaDelta z) (r,dr,d heta,dz).

Ein Polarkoordinaten-"Gitter".

Beispiel (PageIndex{1})

Finden Sie das Volumen unter (z=sqrt{4-r^2}) über dem Viertelkreis innerhalb von (x^2+y^2=4) im ersten Quadranten.

Lösung

Wir könnten dies natürlich mit einem Doppelintegral tun, aber wir verwenden ein Dreifachintegral:

[int_0^{pi/2}int_0^2int_0^{sqrt{4-r^2}} r,dz,dr,d heta=
int_0^{pi/2}int_0^2 sqrt{4-r^2}; r,dr,d heta=
{4piover3}.]

Vergleichen Sie dies mit Beispiel 15.2.1.

Beispiel (PageIndex{2})

Ein Objekt nimmt den Raum sowohl innerhalb des Zylinders (x^2+y^2=1) als auch der Kugel (x^2+y^2+z^2=4) ein und hat die Dichte (x^ 2) bei ((x,y,z)). Finden Sie die Gesamtmasse.

Lösung

Wir stellen dies in Zylinderkoordinaten auf und erinnern uns daran, dass (x=rcos heta):

[eqalign{
int_0^{2pi}int_0^1int_{-sqrt{4-r^2}}^{sqrt{4-r^2}}
r^3cos^2( heta),dz,dr,d heta
&=int_0^{2pi}int_0^1 2sqrt{4-r^2};r^3cos^2( heta),dr,d hetacr
&=int_0^{2pi}
left({128over15}-{22over5}sqrt3 ight)cos^2( heta),d hetacr
&=left({128over15}-{22over5}sqrt3 ight)picr
}]

Kugelkoordinaten sind etwas schwieriger zu verstehen. Das kleine Volumen, das wir wollen, wird durch (Delta ho), (Deltaphi) und (Delta heta) definiert, wie in Abbildung (PageIndex{1}) dargestellt. .

Das kleine Volumen ist fast kastenförmig, mit 4 flachen Seiten und zwei Seiten, die aus konzentrischen Kugeln geformt sind. Wenn (Delta ho), (Deltaphi) und (Delta heta) alle sehr klein sind, ist das Volumen dieser kleinen Region fast das Volumen, das wir erhalten, wenn wir sie behandeln als eine Box. Eine Dimension der Box ist einfach (Delta ho), die Abstandsänderung vom Ursprung. Die anderen beiden Dimensionen sind die Längen kleiner Kreisbögen, also (rDeltaalpha) für einige geeignete (r) und (alpha), genau wie im Fall der Polarkoordinaten.

Abbildung (PageIndex{1}): Eine kleine Volumeneinheit für Kugelkoordinaten (AP)

Am einfachsten zu verstehen ist der Bogen, der einer Änderung von (phi) entspricht, der fast identisch mit der Ableitung für Polarkoordinaten ist, wie im linken Graphen in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt. In diesem Graphen schauen wir auf die Seite der Box, an der wir interessiert sind, also ist der abgebildete kleine Winkel genau (Deltaphi), die vertikale Achse ist wirklich die (z)-Achse , aber die horizontale Achse ist nicht eine reelle Achse - es ist nur eine Linie in der (x)-(y)-Ebene. Da der andere Bogen von ( heta) bestimmt wird, müssen wir uns vorstellen, gerade die (z)-Achse hinunter zu schauen, so dass der scheinbare Winkel, den wir sehen, (Delta heta) ist. In dieser Ansicht sind die Achsen wirklich die (x)- und (y)-Achsen. In diesem Diagramm ist die scheinbare Entfernung vom Ursprung nicht ( ho), sondern ( hosinphi), wie im linken Diagramm angegeben.

Abbildung (PageIndex{2}): Einrichten der Integration in Kugelkoordinaten.

Das Ergebnis ist, dass das Volumen des Kästchens ungefähr (Delta ho( hoDeltaphi)( hosinphiDelta heta) = ho^2sinphiDelta rhoDeltaphiDelta heta), oder im Grenzfall ( ho^2sinphi,d ho,dphi,d heta).

Beispiel (PageIndex{3})

Angenommen, die Temperatur bei ((x,y,z)) ist [T=dfrac{1}{1+x^2+y^2+z^2}. onumber] Berechnen Sie die Durchschnittstemperatur in die Einheitskugel im Ursprung zentriert.

Lösung

In zwei Dimensionen addieren wir die Temperatur an "jedem" Punkt und dividieren durch die Fläche; hier addieren wir die Temperaturen und dividieren durch das Volumen ((4/3)pi):

[{3over4pi}int_{-1}^1int_{-sqrt{1-x^2}}^{sqrt{1-x^2}}
int_{-sqrt{1-x^2-y^2}}^{sqrt{1-x^2-y^2}}
{1over1+x^2+y^2+z^2},dz,dy,dx onumber
]

Das sieht ziemlich chaotisch aus; Da alles in dem Problem eng mit einer Kugel zusammenhängt, konvertieren wir in Kugelkoordinaten.

[{3over4pi}int_0^{2pi}int_0^pi
int_0^1
{1over1+ ho^2}, ho^2sinphi,d ho,dphi,d heta
={3over4pi}(4pi -pi^2)=3-{3piover4}. keine Nummer
]


Schau das Video: Calculus 3 Lecture: TRIPLE Integrals Over Regions with CYLINDRICAL or SPHERICAL Coord. (Januar 2022).