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14.6: Momente und Massenschwerpunkte - Mathematik


Mit einem einzelnen Integral konnten wir den Massenschwerpunkt für ein eindimensionales Objekt mit variabler Dichte und ein zweidimensionales Objekt mit konstanter Dichte berechnen. Mit einem Doppelintegral können wir zwei Dimensionen und variable Dichte verarbeiten.

Nach wie vor lauten die Koordinaten des Massenschwerpunkts

[ar x={M_yüber M} qquad ar y={M_xüber M},]

wobei (M) die Gesamtmasse, (M_y) das Moment um die (y)-Achse und (M_x) das Moment um die (x)-Achse ist. (Sie können sich die Konzepte in Abschnitt 9.6 ansehen.)

Der Schlüssel zur Berechnung ist nach wie vor die Approximation der Masse. Im zweidimensionalen Fall behandeln wir die Dichte (sigma) als Masse pro Quadratfläche, also ist bei konstanter Dichte die Masse ((hbox{Dichte})(hbox{Fläche})). Wenn wir ein zweidimensionales Gebiet mit unterschiedlicher Dichte haben, das durch (sigma(x,y)) gegeben ist, und wir das Gebiet in kleine Untergebiete mit der Fläche (Delta A) unterteilen, dann ist die Masse eines Untergebiets ungefähr (sigma(x_i,y_j)Delta A), ist die Gesamtmasse ungefähr die Summe vieler davon, und wie üblich wird die Summe im Limes zu einem Integral:

[M=int_{x_0}^{x_1}int_{y_0}^{y_1} sigma(x,y),dy,dx,]

und ähnlich für Berechnungen in Zylinderkoordinaten. Dann wie zuvor

[eqalign{
M_x &= int_{x_0}^{x_1}int_{y_0}^{y_1} ysigma(x,y),dy,dxcr
M_y &= int_{x_0}^{x_1}int_{y_0}^{y_1} xsigma(x,y),dy,dx.cr
}]

Beispiel (PageIndex{1})

Bestimme den Massenmittelpunkt einer dünnen, gleichmäßigen Platte, deren Form der Bereich zwischen (y=cos x) und der (x)-Achse zwischen (x=-pi/2) und ( x=pi/2). Da die Dichte konstant ist, können wir (sigma(x,y)=1) nehmen.

Es ist klar, dass (ar x=0), aber zum Üben berechnen wir es trotzdem. Zuerst berechnen wir die Masse:

[egin{align*} M&=int_{-pi/2}^{pi/2} int_0^{cos x} 1,dy,dx [4pt]&=int_ {-pi/2}^{pi/2} cos x,dx [4pt]&=left.sin x ight|_{-pi/2}^{pi/2 }=2.end{ausrichten*}]

Nächster,

[egin{align*} M_x&=int_{-pi/2}^{pi/2} int_0^{cos x} y,dy,dx [4pt]&=int_ {-pi/2}^{pi/2} {1over2}cos^2 x,dx[4pt]&={piover4}.end{align*}]

Schließlich,

[egin{align*} M_y&=int_{-pi/2}^{pi/2} int_0^{cos x} x,dy,dx [4pt]&=int_ {-pi/2}^{pi/2} xcos x,dx[4pt]&=0.end{align*}]

Also (ar x=0) wie erwartet und (ar y=pi/4/2=pi/8). Dies ist das gleiche Problem wie in Beispiel 9.6.4; Es kann hilfreich sein, die beiden Lösungen zu vergleichen.

Beispiel (PageIndex{2})

Finden Sie den Massenmittelpunkt einer zweidimensionalen Platte, die den Viertelkreis (x^2+y^2le1) im ersten Quadranten einnimmt und die Dichte (k(x^2+y^2)) hat. . Es scheint klar, dass wegen der Symmetrie sowohl der Region als auch der Dichtefunktion (beide sind wichtig!) (ar x=ar y). Wir werden beides tun, um unsere Arbeit zu überprüfen.

Direkt reinspringen:

[egin{align*} M&=int_0^1 int_0^{sqrt{1-x^2}} k(x^2+y^2),dy,dx [4pt]& =kint_0^1 x^2sqrt{1-x^2}+{(1-x^2)^{3/2}over3},dx. end{ausrichten*}]

Dieses Integral ist etwas, was wir tun können, aber es ist ein bisschen unangenehm. Da sich alles in Sichtweite auf einen Kreis bezieht, gehen wir zurück und probieren Polarkoordinaten aus. Dann (x^2+y^2=r^2) und

[egin{align*} M&=int_0^{pi/2} int_0^{1} k(r^2),r,dr,d heta [4pt]&=k int_0^{pi/2}left.{r^4over4} ight|_0^1,d heta [4pt]&=kint_0^{pi/2} {1 over4},d heta [4pt]&=k{piover8}.end{align*}]

Viel besser. Da (y=rsin heta)

[egin{align*} M_x&=kint_0^{pi/2} int_0^{1} r^4sin heta,dr,d heta
[4pt]&=kint_0^{pi/2} {1over5}sin heta,d heta
[4pt]&=kleft.-{1over5}cos heta ight|_0^{pi/2}={kover5}.end{align*}]

Ähnlich,

[egin{align*} M_y&=kint_0^{pi/2} int_0^{1} r^4cos heta,dr,d heta
[4pt]&=kint_0^{pi/2} {1over5}cos heta,d heta
[4pt]&=kleft.{1over5}sin heta ight|_0^{pi/2}={kover5}.end{align*}]

Schließlich (ar x = ar y = {8over5pi}).


Schau das Video: Massenmittelpunkt 1 (Januar 2022).