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4.10: Satz von Stokes - Mathematik

4.10: Satz von Stokes - Mathematik


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In diesem Abschnitt sehen wir die Verallgemeinerung eines bekannten Satzes, des Satzes von Green. Nach wie vor interessieren wir uns für eine Gleichheit, die es uns erlaubt, vom Integral auf einer geschlossenen Kurve zum Doppelintegral einer Fläche zu gelangen. Einige wichtige Definitionen, die Sie kennen sollten, bevor Sie fortfahren, sind: einfache geschlossene Kurve, Divergenz, Fluss, Curl und Normalenvektor. Zu wissen, wie man die Determinante von 2x2- und 3x3-Matrizen berechnet, wird auch dazu beitragen, Ihr Verständnis von Divergenz und Curl zu vertiefen.

Theoretische Diskussion

Locke: Sei (mathbf{F} = M(x,y,z)hat{i} + N(x,y,z)hat{j} + P(x,y,z)hat{ k} ) und ( abla = hat{i} frac{partial }{partial x} + hat{j} frac{partial}{partial y} + hat{k} frac{partial }{partial z}) dann ist die Krümmung von (mathbf{F}) einfach die Determinante der 3x3-Matrix ( abla imesmathbf{F}). Es gibt viele Möglichkeiten, die Determinante zu bestimmen, aber das Folgende ist ein Beispiel für die Cofaktor-Erweiterung.

[egin{align} abla imes mathbf{F} &= egin{vmatrix} hat{i} & hat{j} & hat{k} frac{partial}{ partiell x} & frac{partial }{partial y} & frac{partial }{partial z} M & N & P end{vmatrix} &= hat{i} begin{vmatrix} frac{partial }{partial y} & frac{partial }{partial z} N & P end{vmatrix} - hat{j} egin{vmatrix} frac{partial }{partial x} & frac{partial }{partial z} M & P end{vmatrix} + hat{k} egin{vmatrix} frac{partial} {partial x} & frac{partial }{partial y} M & N end{vmatrix} &= hat{i}(frac{partial P}{partial y} - frac{partial N}{partial z}) - hat{j}(frac{partial P}{partial x} - frac{partial M}{partial z}) + hat {k}(frac{partial N}{partial x} - frac{partial M}{partial y}) &= hat{i}(frac{partial P}{partial y} - frac{partial N}{partial z}) + hat{j}(frac{partial M}{partial z} - frac{partial P}{partial x}) + hat{k}(frac{partial N}{partial x} - frac{partial M}{partial y}) &= curl mathbf{F} end{align} ]

Satz von Stokes

Sei (mathbf{n}) ein Normalenvektor (orthogonal, senkrecht) auf die Fläche S mit dem Vektorfeld (mathbf{F}), dann ist die einfache geschlossene Kurve C gegen den Uhrzeigersinn definiert um (mathbf{n}). Die Zirkulation auf C ist gleich dem Flächenintegral der Windung von (mathbf{F}= abla imesmathbf{F}) gepunktet mit (mathbf{n}).

[oint_Cmathbf{F}cdot dmathbf{r} = iint_{S} abla imesmathbf{Fcdot n}dsigma]

Dieser Satz versagt, wenn eine Funktion, ein Vektorfeld oder eine Ableitung nicht stetig ist.

Satz von Green aus Stokes

Wenn die Zirkulation C im Gegenuhrzeigersinn nur in der x-y-Ebene liegt und eine Region definiert, nennen wir sie R, mit dem Vektorfeld (mathbf{F}) dann ist die z-Richtung senkrecht zur Ebene. So

[egin{align} oint_C mathbf{F} cdot dmathbf{r} &= iint_{S} abla imes mathbf{F cdot n} dsigma & = iint_{R} abla imes mathbf{F cdot k} dx dy & = iint_{R} frac{partial N}{partial x} - frac{partial M} {partial y} dx dy end{ausrichten}]

Als Anmerkung,

[frac{partial N}{partial x} - frac{partial M}{partial y}]

ist die Determinante der 2x2-Matrix

[egin{vmatrix} frac{partial }{partial x} & frac{partial }{partial y} M & N end{vmatrix}.]

Beispiel (PageIndex{1})

Bewerte die Gleichung für den Satz von Stokes für die Hemisphäre (S: x^2+y^2+z^2=9, z geq 0), ihren Begrenzungskreis (C:x^2+y^2= 0, z=0) und den Körper ( extbf{F}=yhat{ extbf{i}}-xhat{ extbf{j}}).

Hinweise: Denken Sie daran, dass eine einfache Möglichkeit zum Parametrisieren eines Kreises ist, wenn ( x^2+y^2=r^2) dann ( r ( heta) = r cos heta + r sin heta ) für ( hetain [0, 2pi]). Versuchen Sie auch, ein Bild der Hemisphäre und ihres Begrenzungskreises zu zeichnen, um die Theorie hinter dem Problem zu verstehen. Sollte wissen, wie man einen Vektor normalisiert und was (| abla f|) bedeutet. Bestimmen Sie die Zirkulation gegen den Uhrzeigersinn, indem Sie die linke Seite des Stokes-Theorems verwenden, dann finden Sie das Curl-Integral mithilfe der rechten Seite des Stokes-Theorems und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse.

Lösung

Die Halbkugel sieht ähnlich aus wie im Bild unten, wobei der Umfang des rosa Bodens der Begrenzungskreis (C) in der (xy)-Ebene ist. Wir können die Zirkulation gegen den Uhrzeigersinn um ( C ) (von oben gesehen) mit der Parametrisierung ( r ( heta ) = ( 3 cos heta ) hat{ extbf{i}} + (3 sin theta)hat{ extbf{j}}, 0leq hetaleq 2pi):

[ d extbf{r} = (-3sin heta d heta) hat{ extbf{i}} + (3cos heta d heta) hat{ extbf{j}} ]

[ extbf{F} = yhat{ extbf{i}} - xhat{ extbf{j}} = (3sin heta)hat{ extbf{i}} - (3 cos heta)hat{ extbf{j}}]

[ extbf{F} cdot d extbf{r} = -9 sin^2 heta d heta - 9 cos^2 heta d heta = -9 d heta]

[ oint_C extbf{F} cdot d extbf{r} = int_0^2pi -9 d heta = -18 heta. ]

Dies ist die ausgewertete linke Seite des Satzes von Stokes. Nun wollen wir zeigen, dass die rechte Seite gleich ist, indem wir das Curl-Integral auswerten.

Für das Curl-Integral von ( extbf{F}) gilt

[ abla imes extbf{F} = left( frac{partial P}{partial y} - frac{partial N}{partial z} ight) hat{ extbf{i }} + left( frac{partial M}{partial z} - frac{partial P}{partial x} ight) hat{ extbf{j}}+left( frac{ partial N}{partial x} - frac{partial M}{partial y} ight) hat{ extbf{k}} ]

aus der Bestimmung der 3X3-Matrix der Locke (in der theoretischen Diskussion erklärt). Wenn wir uns diese 3X3-Matrix ansehen:

[ egin{vmatrix} hat{ extbf{i}} & hat{ extbf{j}} & hat{ extbf{k}} frac{partial }{partial x} & frac{partial }{partial y} & frac{partial }{partial z} y & -x & 0 end{vmatrix} ]

beim Auswerten der Locke sehen wir das

[ abla imes extbf{F} = (0-0)hat{ extbf{i}}+(0-0)hat{ extbf{j}}+(-1-1)hat { extbf{k}} = -2hat{ extbf{k}} .]

Unser äußerer Einheitsnormalenvektor ist

[ egin{align} extbf{n} &= frac{ x hat{ extbf{i}} + y hat{ extbf{j}} + z hat{ extbf{k}}} {|xhat{ extbf{i}} + yhat{ extbf{j}} + zhat{ extbf{k}}|} &=frac{xhat{ extbf{ i}} + y hat{ extbf{j}} + zhat{ extbf{k}}}{sqrt{x^2+y^2+z^2}} &=frac{ xhat{ extbf{i}}+yhat{ extbf{j}}+zhat{ extbf{k}}}{sqrt{9 cos^2 heta + 9 sin^2 heta}} &= frac{xhat{ extbf{i}}+yhat{ extbf{j}}+zhat{ extbf{k}}}{3}. end{ausrichten}]

Dann

[dsigma = frac{| abla f |}{| abla fcdot extbf{k}|} dA = frac{3}{z} dA.]

Schließlich können wir alles zusammenstellen, um das zu finden:

[ abla imes extbf{F} cdot extbf{n} d sigma = - frac{2z}{3} frac{3}{z} dA = -2dA ]

und

[ int int_S abla imes extbf{F} cdot extbf{n} d sigma = int int_{x^2+y^2 leq 9} -2dA=-18 pi ]

und wir sehen, dass die Zirkulation um den Kreis dem Integral der Kräuselung über der Halbkugel entspricht, wie es sollte.


4.9: Satz von Stokes

  • Beigetragen von Steven W. Ellingson
  • Associate Professor (Elektro- und Computertechnik) am Virginia Polytechnic Institute and State University and
  • Aus der Open Education Initiative der Virginia Tech Libraries

Satz von Stokes&rsquo bezieht ein Integral über eine offene Fläche mit einem Integral über die diese Fläche begrenzende Kurve in Beziehung. Diese Beziehung hat eine Reihe von Anwendungen in der elektromagnetischen Theorie. Hier ist der Satz:

wobei (mathcal) ist die offene Fläche, die durch den geschlossenen Pfad (mathcal). Die Richtung der Flächennormalen (d<f s>=hat<f n>ds) ist mit der Integrationsrichtung entlang () durch Rechte-Hand-Regel, dargestellt in Abbildung (PageIndex<1>). In diesem Fall besagt die Rechte-Hand-Regel, dass die richtige Normale diejenige ist, die durch die Oberfläche in die gleiche Richtung wie die Finger der rechten Hand zeigt, wenn der Daumen der rechten Hand entlang ( ) in Richtung der Integration.

Abbildung (PageIndex<1>): Die relativen Orientierungen von Integrationsrichtung (mathcal C) und Flächennormale (vec>) im Satz von Stokes&rsquo. (CC BY SA 3.0 Cronholm144).

Der Satz von Stokes ist ein rein mathematisches Ergebnis und kein Prinzip der Elektromagnetik an sich. Die Relevanz des Theorems für die elektromagnetische Theorie besteht in erster Linie als Werkzeug in der zugehörigen mathematischen Analyse. Normalerweise wird das Theorem verwendet, um ein Problem, das in Form einer Integration über eine Fläche ausgedrückt wird, in eine Integration über einen geschlossenen Weg oder umgekehrt umzuwandeln. Weitere Informationen zum Theorem und seiner Herleitung finden Sie unter &ldquoAdditional Reading&rdquo am Ende dieses Abschnitts.


4.9: Satz von Stokes

  • Beigetragen von Steven W. Ellingson
  • Associate Professor (Elektro- und Computertechnik) an der Virginia Polytechnic & State University
  • Aus der Open Education Initiative der Virginia Tech Librariesbr

Satz von Stokes&rsquo bezieht ein Integral über eine offene Fläche mit einem Integral über die diese Fläche begrenzende Kurve in Beziehung. Diese Beziehung hat eine Reihe von Anwendungen in der elektromagnetischen Theorie. Hier ist der Satz:

wobei (mathcal) ist die offene Fläche, die durch den geschlossenen Pfad (mathcal). Die Richtung der Flächennormalen (d<f s>=hat<f n>ds) ist mit der Integrationsrichtung entlang () durch Rechte-Hand-Regel, dargestellt in Abbildung (PageIndex<1>). In diesem Fall besagt die Rechte-Hand-Regel, dass die richtige Normale diejenige ist, die durch die Oberfläche in die gleiche Richtung zeigt wie die Finger der rechten Hand, wenn der Daumen der rechten Hand entlang ( ) in Richtung der Integration.

Abbildung (PageIndex<1>): Die relativen Orientierungen von Integrationsrichtung (mathcal C) und Flächennormale (vec>) im Satz von Stokes&rsquo. (CC BY SA 3.0 Cronholm144).

Der Satz von Stokes ist ein rein mathematisches Ergebnis und kein Prinzip der Elektromagnetik an sich. Die Relevanz des Theorems für die elektromagnetische Theorie besteht in erster Linie als Werkzeug in der zugehörigen mathematischen Analyse. Normalerweise wird das Theorem verwendet, um ein Problem, das in Form einer Integration über eine Fläche ausgedrückt wird, in eine Integration über einen geschlossenen Weg oder umgekehrt umzuwandeln. Weitere Informationen zum Theorem und seiner Herleitung finden Sie unter &ldquoAdditional Reading&rdquo am Ende dieses Abschnitts.


4.10: Satz von Stokes - Mathematik

MATH 439-001 55949 ST: Einführung in Differenzialverteiler und Einführung in differenzierbare Verteiler – 51950 – MATH 536 – 001

Unterrichtszeit 11:00-12:15 Uhr Ort SMLC 352.

Ausbilder: Dimiter Vassilev Büro: SMLC, Büro 326 E-Mail: [email protected] Telefonnummer : 505 277 2136

Sprechzeiten: Mittwoch 13:30-14:30 Uhr, Dienstag & Donnerstag 14:00 Uhr. Gerne können Sie auch jederzeit vorbeischauen.

Abschlussprüfung: 10. Mai, 12:30 - 14:30 Uhr, überprüfen Sie den Zeitplan für die Abschlussprüfung.

Studierende, die diesem Prüfungsplan widersprechen, müssen sich bis zum 5. April 2016 bei der zuständigen Lehrkraft melden. Studierende, die an einem Tag mehr als drei Prüfungen angesetzt haben, können der Lehrkraft die zuletzt aufgeführte Prüfung mitteilen. Bei Bekanntgabe vor dem 5. April 2016 hat die Lehrkraft eine Sonderprüfung zu veranlassen. Konflikte, die sich aus der Planung außerhalb des normalen Stunden- oder Tagesablaufs ergeben, müssen von den Lehrenden der Kurse außerhalb des Musters gelöst werden. Änderungen dieses Prüfungsplans sind nur mit formeller Genehmigung des Dekans des Dozentenkollegiums zulässig.

Erforderliches Lehrbuch : An Introduction to Differential Manifolds (2015), Autoren: Jacques Lafontaine

Thema des Kurses : Kapitel 1-6 von Lafontaines Buch. Beschreibung: Konzept einer Mannigfaltigkeit, Differentialstrukturen, Tangenten- und Cotangensbündel, Einbettung, Immersion und Submersion, Transversalität, Differentialformen und Integration, Satz von Stokes, Lie-Gruppen.

Andere Lehrbücher, die Sie nützlich finden könnten:

Lee J. M., Einführung in glatte Verteiler (Springer, Abschlusstexte Mathematik)

Morita S., Geometrie der Differentialformen (Übersetzungen mathematischer Monographien, Bd. 201) .

Standby, W., Eine Einführung in differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Geometrie.

Tu, L., Eine Einführung in die Mannigfaltigkeiten.

Bitte beachten Sie die folgenden Richtlinien für den Kurs:

Voraussetzungen : Lineare Algebra (MATH321), Analysis III (MATH264) und mindestens zwei der folgenden Kurse: Topologie (MATH431), Analysis (MATH401) , Analysis (MATH402).

Noten: Die Gesamtnote ergibt sich aus der Hausarbeit (100 Pkt.), zwei Zwischenprüfungen (100 Pkt.) und einer Abschlussprüfung (200 Pkt.) . Alle Noten werden auf UNM Learn veröffentlicht.

Hausaufgaben: Sie können gemeinsam an den Hausaufgaben arbeiten, müssen jedoch Ihre eigenen Lösungen in eigenen Worten aufschreiben. Um dem Sortierer zu helfen, bitte schreiben deine Lösungen ordentlich und klar und die Blätter heften. Jede Hausaufgabe hat 5 Aufgaben (je 4 Punkte) für insgesamt 20 Punkte. Die Extra-Credit-Probleme sind nicht fällig und sind wirklich zusätzliche Credits (jeweils 8 Punkte). Am besten arbeitest du zusammen und besprichst die Probleme mit mir, wenn Fragen auftauchen. Die höchsten 10 Hausaufgaben werden gezählt.

Verpasste Prüfungen: Nachholprüfungen können für aus GÜLTIGKEIT (Krankheit, familiärer Notfall, aktive Teilnahme an wissenschaftlichen oder sportlichen Aktivitäten) versäumte Prüfungen und NUR nach Voranmeldung vereinbart werden.

Erklärung zur Behinderung: Wir werden Schüler mit dokumentierten Behinderungen aufnehmen. Während der ersten zwei Wochen des Semesters sollten diese Studierenden den Dozenten über ihre besonderen Bedürfnisse informieren und sich auch an die Barrierefreiheitsdienste in der Mesa Vista Hall, Raum 2021, Telefon 277-3506 wenden. Darüber hinaus sollten sie sich an das CATS-Beratungs- und Therapieservice Student Health Center (277-4537) wenden. (Sie können helfen, wenn Sie unter Prüfungsangst leiden).

Hausaufgaben werden gehostet auf UNM-Lernen

(Bitte nach dem Unterricht nachschauen, da sich die Vorabbuchungen der Hausaufgaben ändern können)

Hausaufgabenbetreuung Donnerstag der folgenden Woche zu Unterrichtsbeginn.

1. Differentiale, Rangsatz - Diffeomorphismen.

2. Der Rangsatz, Immersionen, Untertauchen. Glatte Untermannigfaltigkeiten von Rn.

3 . Level-Sets, Graphen und Parametrisierungen. Beispiele.

4. Der Tangentialraum. Sätze von Maß Null und ihre Bilder unter glatten Karten. Kritische Punkte und Werte.

5. Satz von Sard. Transversalität. Topologische und glatte Mannigfaltigkeiten.

6. Bau von Verteilern. Smooth Maps - nicht äquivalente glatte Strukturen, diffeomorphe glatte Strukturen. Beispiele - Projektive Räume.

7. Fibrationen, die Hopf-Fibration. Der Fundamentalsatz der Algebra.

29. Februar Hausaufgabensitzung SMLC 352 9:45-10:45

8. Tangentialer Raum. Lokale Diffeomorphismen, Immersion, Submersion, Untermannigfaltigkeiten.


Stokes Theorem Problem richtig formulieren

Ich interessiere mich für die Anwendung des Stokes-Theorems auf ein Geschwindigkeitsfeld, das aus der Strömung von unendlich vielen Helixen resultiert, wobei jede Helix in der horizontalen $x$-Richtung fließt, den gleichen Umlaufdurchmesser hat und jede Helix-Mittellinie auf dem $y$-Bezug liegt , und die Helixgeschwindigkeiten sind proportional zum Abstand ihrer Mittellinie vom Boden. Meine Hauptannahme ist, dass die Helixgeschwindigkeit proportional zur Helixmittellinie $z_0$ ist, also ist die Geschwindigkeit $c z_0$, wobei $c$ eine Konstante gleich $frac<1> . ist

Ich habe dies mit parametrischen Gleichungen versucht und zuerst die Position $P$ beschrieben:

$P(t, z_0) = c z_0 t hat + cos(c z_0 t) hat + (z_0 + sin(c z_0 t)) hat$

$frac

= c z_0 hat - z_0 sin(c z_0 t) hat + (z_0 cos(c z_0 t)) hat$

wobei $z_0$ die Helix-Mittellinie und $c$ eine Konstante ist, die die Partikelgeschwindigkeit zur Helix-Mittellinienhöhe in Beziehung setzt, mit Einheiten von $frac<1>

Ich nenne das Geschwindigkeitsfeld $V$, vorausgesetzt, es ist gleich $frac

$. Jetzt kann ich über $z_0$ integrieren, um das Geschwindigkeitsfeld zu finden, das sich aus unendlich vielen Helixen ergibt:

$V(t) = int ( c z_0 hat - z_0 sin(c z_0 t) hat + (z_0 cos(c z_0 t)) hat) dz_0 = c frac<2> hat - frac hat + frac hat $

Etwas an meiner Formulierung scheint falsch zu sein. Habe ich das richtig gemacht? Ich möchte das Stokes-Theorem darauf anwenden, was die Erstellung eines Kontrollvolumens im selben Koordinatensystem erfordert. Ich bin mir nicht sicher, wie ich das Kontrollvolumen mit meiner parametrischen Formulierung der Helixformen erstellen soll.

BEARBEITEN Hier ist ein Schema, das einige der Helixe zeigt. Die röteren Farben stehen für höhere Windgeschwindigkeiten und die violetteren Farben stehen für geringere Windgeschwindigkeiten.


4.10: Satz von Stokes - Mathematik

Lehrer: Dr. Gantumur Tsogtgerel

Voraussetzung: MATH 580 (PDE1), MATH 355 (Honours Analysis 4) oder gleichwertig

Hinweis: Wenn Sie planen, diesen Kurs ohne MATH 580 zu belegen, wenden Sie sich bitte an den Kursleiter.

Kalenderbeschreibung: Systeme von Erhaltungssätzen und Riemann-Invarianten. Cauchy-Kowalevskaya-Theorem, macht Reihenlösungen. Verteilungen und Transformationen. Einführung von schwachen Lösungen in Sobolev-Räume mit Anwendungen. Elliptische Gleichungen, Fredholm-Theorie und Spektren elliptischer Operatoren. Parabolische und hyperbolische Gleichungen zweiter Ordnung. Weitere weiterführende Themen können aufgenommen werden.

Hausaufgaben: Wird ungefähr jede zweite Woche vergeben und benotet.

Schwache Seminare: Wir veranstalten wöchentliche Seminare zu Standardergebnissen aus Analysis und Geometrie und anderen kursbezogenen Themen.

Kursprojekt: Das Kursprojekt besteht darin, dass der Student eine Arbeit oder eine Monografie zu einem fortgeschrittenen Thema liest, Notizen abtippt und einen Vortrag hält.

Benotung: Die Abschlussnote ergibt sich aus dem gewichteten Durchschnitt der Hausaufgaben 20 %, der Take-Home-Zwischenprüfung 30 % und des Studienprojekts 50 %.


Mathematik 234

Der Kurs ist nun beendet! Danke für Ihre Teilnahme. Die Abschlussprüfung findet am kommenden Mittwoch (06.06.07) von 19 bis 21 Uhr in Lunt 105 statt.
Am kommenden Montag (6.4.07) gibt es aussergewöhnliche Sprechzeiten von 13:30 bis 15:00 Uhr. Arbeiten Sie vor diesem Tag, ruhen Sie sich am Dienstag aus! Viel Glück.

Eine Klein-Flasche sieht so aus: Klein-Flasche.

Lehrplan :

Die Hausaufgaben helfen Ihnen, den Kurs zu verstehen. Die Quizfragen werden darauf basieren.

Kapitel 11: Mehrere Integrale (ein Abschnitt pro Tag) [Hausaufgabe]

11.1 Doppelintegrale [9,11,13,17,19,26,31,33,43,47,49,51]
11.2 Fläche, Volumen und Massenschwerpunkt [Beispiel 2.2, 7, 15, 26, 28]
11.3 Doppelintegrale in Polarkoordinaten [Beispiel 3.3, Beispiel 3.5, 9, 12, 16, 26, 30]
11.4 Fläche [2, 3, 9, 17]
11.5 Dreifachintegrale [Beispiel 5.1, Beispiel 5.3, Beispiel 5.5, 22, 37]
11.6 Zylinderkoordinaten [Beispiel 6.5, 13, 17, 25, 33, 37]
11.7 Kugelkoordinaten [Beispiel 7.3, 25, 31, 33, 37, 39, 53, 57]
11.8 Änderung von Variablen in mehreren Integralen [1, 5, 11, 13, 17, 27, 29]
Bewertung : 13.04.07

Kapitel 11: Vektorrechnung (ungefähr anderthalb Tage pro Abschnitt) [Hausaufgabe]

12.1 Vektorfelder [3, 5, 9, 11, 13, 17, 27, 29, 35, 39, 47, 51]
12.2 Curl und Divergenz [1, 5, 9 , 13, 19, 27, 31, 33, 35, 41, 45, 49]
12.3 Linienintegrale [1, 7, 11, 17, Beispiel 3.7, Beispiel 3.9, 25, 27, 29, 37, 39, 41, 55 var13 -->, 57]
12.4 Unabhängigkeit von Pfad- und konservativen Vektorfeldern [1, 3, 7, 13, 15, 17, 19, 21, 27, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47]
12.5 Satz von Green [1, 3, 7, 11, 15, 25, 33, 35]
Bewertung : 09.05.07
Zwischenprüfung II : 14.05.07
12.6 Oberflächenintegrale [Beispiel 6.3 (b), Beispiel 6.5, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 21, 25, 27, 29, 33, Beispiel 6.7, 37, 39, 41]
12.7 Der Divergenzsatz [Beispiel 7.2, 1, 5, 7, 9, 17, 19, 25]
12.8 Satz von Stokes [Beispiel 8.2, Beispiel 8.3, 1, 3, 5, 7, 11, 17, 21]
12.9 Anwendungen der Vektorrechnung [Keine Hausaufgaben]

Lesewoche (Rückblick): 30.05.07 und 01.06.07

Abschlussprüfung: 06.06.07 19:00-21:00 Uhr Lunt 105

Lehrer: Bruno Vallette

Lehrassistenten:

Textbücher:

Calculus: Concepts and Connections, Kapitel 11-12, von R. Smith und R. Minton, McGraw Hill.

Quiz-Sitzungen:

Es wird 6 Quizfragen geben, aber nur die 5 besten werden berücksichtigt.
Donnerstags 13:00-13:50 Uhr, Lunt 105 (Qian Ding), Lunt 103 (Randy Qian)

Benotung:

Abschlussprüfung 200 Punkte, Zwischenprüfungen je 100 Punkte, Quizze je 20 Punkte.

Prüfungen:

Um von einer Prüfung freigestellt zu werden, außer bei plötzlicher Krankheit, müssen Sie sich mindestens 24 Stunden vor dem Prüfungstermin anmelden. Wer ohne vorherige Absprache eine Prüfung verpasst, erhält 0 Punkte. Ich gebe keine Make-up-Prüfungen.

100 Integrale :

Sie sollten in der Lage sein, 100 Integralen zu folgen. Da das Ziel dieses Kurses darin besteht, mehrere Integrale zu erlernen, werden wir alle Zeitmethoden eindimensionaler Integrale verwenden.


4.10: Satz von Stokes - Mathematik

Lehrer: Dr. Gantumur Tsogtgerel

Voraussetzung: MATH 580 (PDE1), MATH 355 (Honours Analysis 4) oder gleichwertig

Hinweis: Wenn Sie planen, diesen Kurs ohne MATH 580 zu belegen, wenden Sie sich bitte an den Kursleiter.

Themen: Der Schwerpunkt des Kurses liegt auf nichtlinearen Problemen. Sobolev-Räume, die Fourier-Transformation und funktionsanalytische Methoden werden intensiv verwendet.

Kalenderbeschreibung: Systeme von Erhaltungssätzen und Riemann-Invarianten. Cauchy-Kowalevskaya-Theorem, macht Reihenlösungen. Verteilungen und Transformationen. Einführung von schwachen Lösungen in Sobolev-Räume mit Anwendungen. Elliptische Gleichungen, Fredholm-Theorie und Spektren elliptischer Operatoren. Parabolische und hyperbolische Gleichungen zweiter Ordnung. Weitere fortgeschrittene Themen können aufgenommen werden.

Hausaufgaben: Wird ungefähr jede zweite Woche vergeben und benotet.

Schwache Seminare: Wir veranstalten wöchentliche Seminare zu Standardergebnissen aus Analysis und Geometrie und anderen kursbezogenen Themen.

Kursprojekt: Das Kursprojekt besteht darin, dass der Student eine Arbeit oder eine Monografie zu einem fortgeschrittenen Thema liest, Notizen abtippt und einen Vortrag hält.


Kalkül III:

In diesem Abschnitt werden wir die Linienintegrale bezüglich x oder y oder sowohl x als auch y bestimmen.

Beginnen wir mit einer zweidimensionalen Kurve C mit Parametrisierung:

Das Linienintegral von f bezüglich x ist:

Das Linienintegral von f bezüglich y ist:

Mit x'(t) = dx(t)/dt und y'(t) = dy(t)/dt

Beachten Sie, dass der einzige Unterschied in der Schreibweise zwischen diesen beiden und dem Linienintegral in Bezug auf die Bogenlänge das Differential ist. Diese haben ein dx oder dy, während das Linienintegral über die Bogenlänge einen ds hat.

Achten Sie bei der Auswertung von Linienintegralen also darauf, zuerst zu notieren, welches Differential Sie haben, damit Sie nicht das falsche Linienintegral verwenden.

Diese beiden Integrale erscheinen oft zusammen in der Form:

Beispiel 1

Lass uns auswerten ∫C x 2 y dx + cos (πy/2) dy wobei C das Liniensegment von (0,1) bis (2,4) ist.

Die Parametrierung der Kurve ist:

x(t) = 0(1 - t) + t(2) = 2t
y(t) = 1(1 - t) + t (4) = 3t + 1

C x 2 y dx + cos (πy/2) dy =
0 1 4t 2 (3t + 1) (2 dt) + cos ((3t + 1)π/2) (3 dt) =
8 ∫0 1 (3t 3 + t 2 ) dt + 3 ∫0 1 cos ((3t + 1)π/2) dt =
8((3/4)t 4 + (1/3)t 3 )|0 1 + 3 (2/3π) sin ((3t + 1)π/2)|0 1 =
8((3/4) + (1/3)) + (2/π) [ sin ((3 + 1)π/2) - sin ((1)π/2)] =
26/3 + (2/π) [0 - 1] =
26/3 - 2/π.

C x 2 y dx + cos (πy/2) dy = 26/3 - 2/π

Beispiel 2

Wir wissen, dass eine Änderung der Richtung der Kurve für ein Linienintegral in Bezug auf die Bogenlänge den Wert des Integrals nicht ändert. Sehen wir uns an, was mit Linienintegralen bezüglich x und/oder y passiert. Lass uns auswerten ∫C x 2 y dx + cos (πy/2) dy wobei C das Liniensegment von (2,4) nach (0,1) ist.

Die Parametrierung der Kurve ist:

x(t) = 2(1 - t) + t (0) = 2 - 2t
y(t) = 4(1 - t) + t(1) = 4 - 3t

C x 2 y dx + cos (πy/2) dy =
0 1 (2 - 2t) 2 (4 - 3t) (- 2 dt) + cos ((4 - 3t)π/2) (- 3 dt) =
8 ∫0 1 (t - 1) 2 (3t - 4) dt - 3 cos ((3t - 4)π/2) dt =
8 ((3/4)t 4 - (10/3)t 3 - (11/2)t 2 - 4t]|0 1 ) dt - 3 (2/3π) sin((3t - 4)π/2)|0 1 =
8((3/4)t 4 - (10/3)t 3 ) - (11/2)t 2 - 4t]|0 1 dt - 3 (2/3π) sin((3t - 4)π/2)|0 1 =
8 (- 13/12) - (2/π) [- 1 - 0] =
- 26/3 + 2/π

C x 2 y dx + cos (πy/2) dy = - 26/3 + 2/π

Das Wechseln der Kurvenrichtung führt also zum umgekehrten Vorzeichen des Wertes aus dem ersten Beispiel 1. Tatsächlich wird dies bei diesen Arten von Linienintegralen immer der Fall sein:

Mit der kombinierten Form dieser beiden Integrale haben wir:

-C P(x,y) dx + Q(x,y) dy = - ∫C P(x,y) dx + Q(x,y) dy

2. Linienintegrale über dreidimensionale Kurven

Wir können die Linienintegralformeln auf dreidimensionale Kurven erweitern

Das Linienintegral von f bezüglich x ist:

Das Linienintegral von f bezüglich y ist:

Das Linienintegral von f bezüglich z ist:

x'(t) = dx(t)/dt, y'(t) = dy(t)/dt und z'(t) = dz(t)/dt
a ≤ t ≤ b

Wie beim zweidimensionalen Raum treten diese drei oft zusammen auf und haben die Form:


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Dieser Text folgt dem typischen modernen Advanced Calculus-Protokoll der Einführung der Vektorrechnungssätze in die Sprache der Differentialformen, ohne zu weit in die Mannigfaltigkeitstheorie, traditionelle Differentialgeometrie, physikbasierte Tensornotation oder alles andere einsteigen zu müssen, das darüber hinaus einen Stapel von Voraussetzungen erfordert die üblichen Richtlinien für lineare Algebra und Reife.

Obwohl es nicht die Gründlichkeit der meisterhaften Bände von Callahan oder Bressoud zu diesem Thema besitzt, eignet sich dieses Lehrbuch gut für Studiengänge, die für diese Themen keine Tiefe in der Oberstufe benötigen und die nicht zu den obersten Prozent der Universitäten gehören, die dies können einen Steenrod oder Sternberg handhaben. Nichtsdestotrotz erfüllt dieser viel kürzere, gut geschriebene Band immer noch die Rolle des modernen fortgeschrittenen Kalküls mit einer sanfteren Einführung in Tangentialräume, Formen und alles andere "von Mengen bis Stokes".

Es ist auf einem höheren Niveau als Flanigan / Kazdans "Calculus Two", aber es ist immer noch angemessen für einen Calculus III-Kurs auf Honours-Niveau oder als Tagalong-Dessert-Text, der zusammen mit dem typischen Intro-Topologie- / Analysematerial serviert wird, das in "Intro to Proofs" angetroffen wird "Kurse tauchen heutzutage auf. Ich liebe es, dies zusammen mit Stillwells "Naive Lügentheorie" wegen des entspannten Tons und der Probleme mit der Qualität eines Schlummertrunks zu lesen, aber dieser Text ist am besten für einen Bachelor-Kurs geeignet und sollte ergänzt werden, wenn er als Einführung in die vielfältige Theorie für den unabhängigen Forscher verwendet wird (Abgesehen davon ist es mir überhaupt nicht peinlich zuzugeben, dass dies immer noch in meinem Hauptforschungsregal in meinem Arbeitszimmer steht!).

Zusammenfassend sollte dieser großartige Text von Dozenten angesprochen werden, die nach einem guten Calculus III-Text oder einer einsemestrigen Einführung in Formen und Mannigfaltigkeiten suchen (obwohl er mit Stillwells Naive Lie Theory oder Tapps ähnlichem Text ergänzt werden sollte, wenn er für diesen Zweck verwendet wird) ).


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