Artikel

4.2: Die Ableitung von 1/sin x


Was ist mit der Ableitung der Sinusfunktion? Die Regeln für Ableitungen, die wir haben, sind keine Hilfe, da (sin x) keine algebraische Funktion ist. Wir müssen zur Definition der Ableitung zurückkehren, einen Grenzwert aufstellen und versuchen, ihn zu berechnen. Hier ist die Definition:

[{düber dx}sin x = lim_{Updelta x o0} {sin(x+Updelta x)-sinxoverUpdelta x}.]

Mit einigen trigonometrischen Identitäten können wir einen kleinen Fortschritt beim Quotienten machen:

[eqalign{ {sin(x+Updelta x)-sinxoverUpdelta x}&={sinxcosUpdelta x + sinUpdelta x cosx - sinxover Updelta x}cr& =sinUpdelta x{cosUpdelta x - 1over Updelta x}+cosx{sinUpdelta xoverUpdelta x}.cr}]

Dies isoliert die schwierigen Bits in den beiden Grenzen

[lim_{Updelta x o0}{cosUpdelta x - 1over Updelta x}quadhbox{und}quadlim_{Updelta x o0} {sinUpdelta x über Delta x}.]

Hier haben wir ein bisschen Glück: Es stellt sich heraus, dass wenn wir das zweite Limit kennen, das erste ziemlich einfach ist. Der zweite ist jedoch ziemlich knifflig. Tatsächlich ist dies die schwierigste Grenze, die wir tatsächlich berechnen werden, und wir widmen ihr einen Abschnitt.


Verwenden Sie unseren Online-Produktregel-Ableitungsrechner, um die gegebene Funktion basierend auf der Produktregel von Ableitungen zu differenzieren. Geben Sie eine Funktion ein und senden Sie sie ab, um das Ergebnis zu erfahren.

Obenstehendes Online-Rechner für Produktregelderivate berechnet eine Ableitung einer gegebenen Funktion in Bezug auf eine Variable x unter Verwendung einer analytischen Differentiation. Die Regel wird auf die Funktionen angewendet, die als Produkt zweier anderer Funktionen ausgedrückt werden.

Produktregel von Derivaten:
In der Infinitesimalrechnung ist die Produktregel bei der Differentiation eine Methode, um die Ableitung einer Funktion zu finden, die die Multiplikation zweier anderer Funktionen ist, für die Ableitungen existieren. Diese Regel wurde von Gottfried Leibniz, einem deutschen Mathematiker, entdeckt. Die Regel in Derivaten ist eine direkte Folge der Differentiation.

Produktregel in der Differenzierung:
Die Produktregel von Derivaten gilt für die Multiplikation von mehr als zwei Funktionen. Ein Spezialfall der Produktregel ist die Regel der konstanten Vielfachen, die besagt, dass wenn c eine Zahl und f(x) eine Differentialfunktion ist, dann ist cf(x) auch differentiell und seine Ableitung ist (cf)'(x )=cf'(x). Die Regel für die partielle Integration leitet sich aus der Produktregel ab. Nutzen Sie unseren kostenlosen Online-Produktregel im Differenzierungsrechner, der Sie dynamisch bei der Berechnung der Differenzialgleichung unterstützt.


Differenzierung von Unterschieden

Das Differenzierungsrechner kann viele Berechnungen online durchführen: to Berechnen Sie online die Ableitung von a Unterschied, geben Sie einfach den mathematischen Ausdruck ein, der die Differenz enthält, geben Sie die Variable an und wenden Sie die Funktion derivative_calculator an.

Um beispielsweise online die Ableitung der Differenz der folgenden Funktionen `cos(x)-2x` zu berechnen, geben Sie derivative_calculator(`cos(x)-2xx`) ein, nachdem das Ergebnis `-sin(x)-2` is . berechnet wurde ist zurückgekommen.

Es wird darauf hingewiesen, dass die Funktion auch eine Beschreibung und Schrittberechnungen der Ableitung anzeigt.


  1. In den letzten beiden Tutorials haben wir Anwendungsbeispiele für Faltungen gesehen. Eine der wichtigsten Faltungen ist die Berechnung von Ableitungen in einem Bild (oder einer Annäherung an sie).

Warum kann die Berechnung der Ableitungen in einem Bild wichtig sein? Stellen wir uns vor, wir wollen das erkennen Kanten im Bild vorhanden. Beispielsweise:

Das merkt man leicht in einem Kante, die Pixelintensität Änderungen auf notorische Weise. Eine gute Möglichkeit, sich auszudrücken Änderungen ist durch die Verwendung Derivate. Eine starke Änderung des Gradienten weist auf eine starke Änderung im Bild hin.

Um es grafischer zu machen, nehmen wir an, wir haben ein 1D-Bild. Eine Kante wird durch den "Sprung" in der Intensität im folgenden Diagramm angezeigt:

Der Kanten-"Sprung" ist leichter zu erkennen, wenn wir die erste Ableitung nehmen (eigentlich erscheint hier als Maximum)

Sobel-Betreiber

  1. Der Sobel-Operator ist ein diskreter Differenzierungsoperator. Es berechnet eine Näherung des Gradienten einer Bildintensitätsfunktion.
  2. Der Sobel-Operator kombiniert Gaußsche Glättung und Differenzierung.

Formulierung

Angenommen, das zu bearbeitende Bild ist (I):

Wir berechnen zwei Ableitungen:

  1. Horizontale Änderungen: Dies wird berechnet, indem (I) mit einem Kernel (G_) mit ungerader Größe. Zum Beispiel für eine Kernelgröße von 3, (G_) würde wie folgt berechnet:
  1. Vertikale Änderungen: Dies wird berechnet, indem (I) mit einem Kernel (G_) mit ungerader Größe. Zum Beispiel für eine Kernelgröße von 3, (G_) würde wie folgt berechnet:

An jedem Punkt des Bildes berechnen wir eine Näherung des Gradient in diesem Punkt durch Kombination der beiden obigen Ergebnisse:

Obwohl manchmal die folgende einfachere Gleichung verwendet wird:

Weitere Informationen zu dieser Funktion finden Sie in der OpenCV-Referenz - Scharr() . Außerdem werden Sie im folgenden Beispielcode feststellen, dass über dem Code für Sobel() Funktion gibt es auch Code für die Scharr() Funktion kommentiert. Das Entkommentieren (und natürlich das Kommentieren des Sobel-Zeugs) sollte Ihnen eine Vorstellung davon geben, wie diese Funktion funktioniert.


Finden Sie eine abgeleitete Hilfe

Der Differentiation-Befehl führt eine gewöhnliche oder partielle Differenzierung für praktisch jeden Ausdruck durch.

Standardmäßig behandelt der Differentiation-Befehl alle Variablen im Ausdruck, mit Ausnahme derer, nach denen Sie differenzieren, als Konstanten. Sie können eine Variable n-mal differenzieren, indem Sie im Textbereich der Variablen ein Komma und die Zahl n hinter der Variablen einfügen. Um beispielsweise einen Ausdruck dreimal nach x zu differenzieren, geben Sie x,3 in den Variablentextbereich ein.

Mit dem erweiterten Differentiation-Befehl können Sie in Bezug auf eine beliebige Anzahl von Variablen beliebig oft differenzieren. Geben Sie einfach jede Variable in eine separate Zeile ein. Wie zuvor werden mehrere Ableitungen gekennzeichnet, indem der Variablen ein Komma und eine Zahl folgen. Mit dem erweiterten Differentiation-Befehl können Sie auch alle Abhängigkeiten von Funktionen angeben, die in Ihrem Ausdruck erscheinen. Der Different-Befehl behandelt beliebige funktionale Abhängigkeiten richtig unter Verwendung der Kettenregel.

Beispiele

Grundlegender Differenzierungsbefehl

Ausdruck Variablen) Ergebnis
x^2 x 2 x
x^3 x
5x^3 - 7x^2 + 2x - 1 x
5x^3 - 7x^2 + 2x - 1 x,2 -14 + 30 x
5x^3 - 7x^2 + 2x - 1 x,3 30
Sünde(t) t Kosten)
sin(t) cos(t) t
ln(x)y + 3x^2y^3 x

Optionen (nur erweiterte Seite)

Werte : aktiviert oder nicht markiert + leere Zeichenfolge oder Liste von Funktionen mit ihren Abhängigkeiten
Standard: nicht markiert + leerer String

Mit der Option Funktionen können Sie die Abhängigkeiten beliebiger Funktionen angeben, die in dem zu differenzierenden Ausdruck vorkommen.

Wenn der Ausdruck beispielsweise eine Funktion f enthält, die von x abhängt, geben Sie f(x) in den Funktionstextbereich ein. Die Funktion selbst sollte innerhalb des Ausdrucks nur als f bezeichnet werden, nicht als f(x) , da QuickMath keine Möglichkeit hat zu wissen, ob f(x) in einem Ausdruck eine Funktion oder das Produkt f*x darstellt.

Funktionen können auch von anderen Funktionen abhängen. Angenommen, f hängt sowohl von x als auch von y ab, während x und y selbst von t abhängen. Dann würdest du eintreten

im Funktionstextbereich, aber beziehen Sie sich innerhalb des Ausdrucks selbst einfach auf die Funktionen f, x und y.

Wenn Sie in Ihrem Ausdruck beliebige Funktionen verwenden, kann die von QuickMath zurückgegebene Antwort Ableitungen enthalten. Zum Beispiel der Begriff

in einer Antwort gibt die erste (gewöhnliche) Ableitung der Funktion f nach x an, während die erste (partielle) Ableitung von z(x,y) nach x angibt.


Auswertung von y = sin -1 x:

Beispiel 1: Bewerte sin -1 (1/2)

Die meisten Leute sind mit den trigonometrischen Funktionen vertrauter (und komfortabler) als mit ihren Umkehrungen. Daher besteht der erste Schritt bei der Auswertung dieses Ausdrucks darin zu sagen, dass wenn y = sin -1 (1/2), dann sin y = 1/2 ist. Diese einfache trigonometrische Funktion hat unendlich viele Lösungen:

Fünf dieser Lösungen sind durch vertikale Linien im Diagramm von y = sin x unten angezeigt.

Ist also der Wert von sin -1 (1/2) durch die obigen Ausdrücke gegeben? Nein! Es ist äußerst wichtig, sich daran zu erinnern, dass die inverse Sinusfunktion eine einwertige Eins-zu-Eins-Funktion ist. Nur eine der oben angegebenen unendlich vielen Lösungen ist das gewünschte Ergebnis. Welcher? Denken Sie daran, dass der Bereich von sin -1 x ist, der in der obigen Abbildung blau angezeigt wird. Es ist Ja wirklich wichtig, den Bereich und die Reichweite der inversen trigonometrischen Funktionen zu kennen! (Warum ist dieses blaue Intervall auf der x-Achse markiert, wenn es den Bereich von sin -1 x darstellt? Da die Reichweite der Umkehrfunktion gleich der Domain der Hauptfunktion.) Die einzige Lösung von y = sin x, die in den erforderlichen Bereich fällt, ist (die durchgezogene rote Linie in der Abbildung oben). Deshalb,

Beispiel 2: Was ist

Rechts ist ein Einheitskreisdiagramm dargestellt. Beachten Sie, dass folgende Kandidaten für die Lösung Folgendes umfassen:

Allerdings liegt nur einer dieser Werte im Bereich von sin -1 x (), also:

Die Ableitung von y = sin -1 x:

Die Ableitung von y = sin -1 x ist: (Klicken Sie hier für eine Ableitung.)

Die Graphen von y = sin -1 x und seiner Ableitung sind rechts dargestellt. Der Definitionsbereich von y' ist (-1.1). Da y = sin -1 x immer zunimmt, ist y' > 0 für alle x in seinem Bereich.


Maxima und Minima aus der Infinitesimalrechnung

Eine der großen Fähigkeiten der Infinitesimalrechnung liegt in der Bestimmung des maximalen oder minimalen Wertes einer Funktion. Nehmen Sie f(x) als Funktion von x an. Dann entspricht der Wert von x, für den die Ableitung von f(x) nach x gleich Null ist, einem Maximum, einem Minimum oder einem Wendepunkt der Funktion f(x).

Die Höhe eines gerade nach oben abgefeuerten Projektils ergibt sich beispielsweise aus den Bewegungsgleichungen:

Nimm dich0 = 0, ein Diagramm der Höhe y(t) wird unten gezeigt.

Die Ableitung einer Funktion kann geometrisch als Steigung der Kurve der mathematischen Funktion y(t) als Funktion von t interpretiert werden. Die Ableitung ist positiv, wenn eine Funktion in Richtung eines Maximums ansteigt, Null (horizontal) beim Maximum und negativ direkt nach dem Maximum. Die zweite Ableitung ist die Änderungsrate der Ableitung, und sie ist für den oben beschriebenen Prozess negativ, da die erste Ableitung (Steigung) immer kleiner wird. Die zweite Ableitung ist für einen "Buckel" in der Funktion immer negativ, was einem Maximum entspricht.

Für die im Beispiel verwendete einfache Funktion gibt es nur ein Maximum. Komplexere Funktionen können mehrere Maxima und Minima haben, und die Auswertung der zweiten Ableitung bietet eine Möglichkeit, sie zu unterscheiden.


Ermitteln Sie den Wert von dy/dx mithilfe der ersten Ableitung.

Hier steht dy/dx für die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt. Um die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt zu finden, müssen wir den gegebenen Punkt in die allgemeine Steigung anwenden.

Betrachten wir den gegebenen Punkt als (x1, ja1)

Durch Anwenden des Steigungswerts anstelle der Variablen "m" und Anwenden der Werte von (x1 , ja1) in der unten angegebenen Formel finden wir die Gleichung der Tangente.

Schauen wir uns einige Beispielprobleme an, um das obige Konzept zu verstehen.

Finden Sie die Tangentengleichung an die Parabel y 2 = 12x am Punkt (3, -6).

Unterscheide nach "x",

Finden Sie die Tangentengleichung an die Parabel x 2 + 2x - 4y + 4 = 0 am Punkt (0, 1).

Gleichung der Kurve ist   x 2  + 2x - 4y + 4  =  0

Unterscheide nach "x",

Abgesehen von den Dingen, die in diesem Abschnitt angegeben sind, verwenden Sie bitte unsere benutzerdefinierte Google-Suche hier, wenn Sie andere Dinge in Mathematik benötigen.

Wenn Sie Feedback zu unseren mathematischen Inhalten haben, senden Sie uns bitte eine E-Mail: 

Wir freuen uns immer über Ihr Feedback. 

Sie können auch die folgenden Webseiten zu verschiedenen Themen in Mathematik besuchen. 


Die Ableitung von tan^-1 (sin x / 1+cos x) nach tan^-1 (cos x / 1+sin x ) ist

Personalisierter KI-Lehrer und adaptiver Stundenplan, Selbststudienmaterial, unbegrenzte Testtests und personalisierte Analyseberichte, 24x7 Zweifels-Chat-Support.

Knockout NEET 2025

Personalisierter KI-Lehrer und adaptiver Stundenplan, Selbststudienmaterial, unbegrenzte Testtests und personalisierte Analyseberichte, 24x7 Zweifels-Chat-Support.

NEET Foundation + Knockout NEET 2024

Personalisierter KI-Lehrer und adaptiver Stundenplan, Selbststudienmaterial, unbegrenzte Testtests und personalisierte Analyseberichte, 24x7 Zweifels-Chat-Support.

NEET Foundation + Knockout NEET 2024 (einfache Ratenzahlung)

Personalisierter KI-Lehrer und adaptiver Stundenplan, Selbststudienmaterial, unbegrenzte Testtests und personalisierte Analyseberichte, 24x7 Zweifels-Chat-Support.

NEET Foundation + Knockout NEET 2025 (einfache Ratenzahlung)

Personalisierter KI-Lehrer und adaptiver Stundenplan, Selbststudienmaterial, unbegrenzte Testtests und personalisierte Analyseberichte, 24x7 Zweifels-Chat-Support.


Schau das Video: Derivative of sin2x in less than a minute (Januar 2022).