Artikel

2.1: Einführung in die Funktionen

2.1: Einführung in die Funktionen



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Unsere Entwicklung des Funktionskonzeptes ist modern, aber recht schnell, zumal die heutige Definition über 300 Jahre gebraucht hat, um ihren heutigen Stand zu erreichen. Wir beginnen mit der Definition einer Relation.

Beziehungen

Wir verwenden die Notation (2, 4), um ein sogenanntes geordnetes Paar zu bezeichnen. Denkt man an die Positionen der geordneten Paare (4, 2) und (2, 4) in der Koordinatenebene (siehe Abbildung (PageIndex{1})), dann wird sofort klar, warum Ordnung wichtig ist. Das geordnete Paar (4, 2) ist einfach nicht dasselbe wie das geordnete Paar (2, 4).

Das erste Element eines geordneten Paares wird als Abszisse bezeichnet. Das zweite Element eines geordneten Paares wird seine Ordinate genannt. So ist beispielsweise die Abszisse von (4, 2) 4, während die Ordinate von (4, 2) 2 ist.

Definition: Beziehung

Eine Sammlung geordneter Paare heißt a Beziehung.

Zum Beispiel ist die Sammlung geordneter Paare [R={(0,1),(0,2),(3,4)}] eine Relation.

Definition: Domäne

Das Domain einer Relation ist die Sammlung aller Abszissen jedes geordneten Paares.

Somit ist der Definitionsbereich der Relation R in (2) [ ext { Domain}={0,3}]

Beachten Sie, dass wir jede Abszisse nur einmal auflisten.

Definition: Reichweite

Das Angebot einer Relation ist die Sammlung aller Ordinaten jedes geordneten Paares.

Somit ist die Reichweite der Relation R in (2) [ ext { Range}={1,2,4}]

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{1})

Betrachten Sie die Beziehung T definiert durch [T={(1,2),(3,2),(4,5)}]

Was sind der Bereich und die Reichweite dieser Beziehung?

Lösung

Die Domäne ist die Sammlung von Abszissen jedes geordneten Paares. Daher ist der Definitionsbereich von (T)

[ ext { Domäne }={1,3,4}]

Der Bereich ist die Sammlung von Ordinaten jedes geordneten Paares. Daher ist der Bereich von (T)

[ ext { Bereich }={2,5}]

Beachten Sie, dass wir jede Ordinate im Bereich nur einmal auflisten.

In Beispiel (PageIndex{1}) wird die Beziehung durch Auflisten der geordneten Paare beschrieben. Dies ist nicht die einzige Möglichkeit, eine Beziehung zu beschreiben. Zum Beispiel repräsentiert ein Graph sicherlich eine Sammlung von geordneten Paaren.

Beispiel (PageIndex{2})

Betrachten Sie den Graphen der Relation (S) in Abbildung (PageIndex{2}).

Welchen Bereich und Umfang hat die Relation (S)?

Lösung

In Abbildung (PageIndex{2}) sind fünf geordnete Paare (Punkte) aufgetragen. Sie sind

[S={(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,4)} onumber]

Daher hat die Relation S Domain = {1, 2, 3, 4} und Range = {1, 2, 3, 4}. Beachten Sie im Fall des Bereichs, wie wir die Ordinaten jedes geordneten Paares in aufsteigender Reihenfolge sortiert haben, und achten Sie darauf, keine Ordinate mehr als einmal aufzulisten.

Funktionen

Eine Funktion ist eine ganz besondere Art von Relation. Wir beginnen mit einer formalen Definition.

Definition: Funktion

Eine Relation ist genau dann eine Funktion, wenn jedes Objekt in ihrer Domäne mit einem und nur einem Objekt in ihrem Bereich gepaart ist.

Dies ist keine einfache Definition, also nehmen wir uns die Zeit und betrachten einige Beispiele. Betrachten Sie, wenn Sie so wollen, die Beziehung R in (2), die hier der Einfachheit halber noch einmal wiederholt wird.

[R={(0,1),(0,2),(3,4)}]

Die Domäne ist {0, 3} und der Bereich ist {1, 2, 4}. Beachten Sie, dass die Zahl 0 im Bereich von R mit zwei Zahlen aus dem Bereich gepaart ist, nämlich 1 und 2. Daher ist R keine Funktion.

Es gibt ein Konstrukt, das als Mapping-Diagramm bezeichnet wird und bei der Bestimmung, ob eine Relation eine Funktion ist, hilfreich sein kann. Um ein Mapping-Diagramm zu erstellen, listen Sie zuerst die Domäne links auf, dann den Bereich rechts, und verwenden Sie dann die Pfeile, um die geordneten Paare in Ihrer Beziehung anzuzeigen, wie in Abbildung (PageIndex{3}) gezeigt.

Aus dem Abbildungsdiagramm in Abbildung (PageIndex{3}) ist klar, dass die Zahl 0 in der Domäne mit zwei verschiedenen Bereichsobjekten, nämlich 1 und 2, gepaart (gemappt) wird. Somit ist R keine Funktion.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{3})

Ist die in Beispiel (PageIndex{1}) beschriebene Relation eine Funktion?

Lösung

Zur Vereinfachung wiederholen wir hier zunächst die Auflistung der Relation T.

[T={(1,2),(3,2),(4,5)} onumber]

Konstruieren Sie als Nächstes ein Abbildungsdiagramm für die Relation T. Listen Sie links den Bereich auf, rechts den Bereich, und verwenden Sie dann die Pfeile, um die Paarungen anzuzeigen, wie in Abbildung (PageIndex{4}) gezeigt.

Aus dem Abbildungsdiagramm in Abbildung (PageIndex{4}) können wir sehen, dass jedes Domänenobjekt auf der linken Seite mit genau einem Bereichsobjekt auf der rechten Seite gepaart (zugeordnet) ist. Daher ist die Relation T eine Funktion.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{4})

Ist die Beziehung von Beispiel (PageIndex{2}), dargestellt in Abbildung (PageIndex{2}), eine Funktion?

Lösung

Zuerst wiederholen wir hier der Einfachheit halber den Graphen der Relation aus Beispiel (PageIndex{2}). Dies ist in Abbildung (PageIndex{5})(a) dargestellt. Als nächstes listen wir die geordneten Paare der Relation S auf.

[S={(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,4)} onumber]

Dann erstellen wir ein Mapping-Diagramm, indem wir zuerst die Domäne links, den Bereich rechts auflisten und dann die Paarungen mit Pfeilen angeben, wie in Abbildung (PageIndex{5})(b) gezeigt.

Jedes Objekt in der Domäne von S wird mit einer Ausnahme auf genau ein Bereichsobjekt abgebildet. Das Domänenobjekt 2 ist mit zwei Entfernungsobjekten gepaart, nämlich 1 und 4. Folglich ist S keine Funktion.

Dies ist ein guter Punkt, um zusammenzufassen, was wir bisher über Funktionen gelernt haben.

Zusammenfassung

Eine Funktion besteht aus drei Teilen:

  1. eine Menge von Objekten, die Mathematiker die Domain,
  2. eine zweite Menge von Objekten, die Mathematiker die Angebot,
  3. und ein Regel das beschreibt, wie jedem Objekt in der Domäne ein eindeutiges Bereichsobjekt zugewiesen wird.

Die Regel kann viele Formen annehmen. Beispielsweise können wir Sätze geordneter Paare, Graphen und Abbildungsdiagramme verwenden, um die Funktion zu beschreiben. In den folgenden Abschnitten werden wir andere Möglichkeiten zur Beschreibung einer Funktion untersuchen, beispielsweise durch die Verwendung von Gleichungen und einfachen Wortbeschreibungen.

Funktionsnotation

Wir haben das Wort „Mapping“ in den vorherigen Beispielen mehrmals verwendet. Dieses Wort sollte nicht auf die leichte Schulter genommen werden; Es ist ein wichtiges Konzept. Im Fall des Abbildungsdiagramms in Abbildung (PageIndex{5})(b) würden wir sagen, dass die Zahl 1 im Bereich von S auf die Zahl 2 in der „abgebildet“ (oder „gesendet“) wird Sortiment von S.

Es gibt verschiedene Notationen, die wir verwenden könnten, um anzuzeigen, dass die Nummer 1 in der Domäne der Nummer 2 im Bereich „abgebildet“ oder „gesendet“ wird. Eine mögliche Schreibweise ist

[S : 1 longrightarrow 2]

die wir wie folgt lesen würden: „Die Relation S bildet (sendet) 1 auf 2 ab.“ In ähnlicher Weise sehen wir in Abbildung (PageIndex{5})(b), dass die Domänenobjekte 3 und 4 auf die Bereichsobjekte 3 bzw. 4 abgebildet (gesendet) werden. In Symbolen würden wir schreiben

[egin{array}{l}{S : 3 longrightarrow 3, ext { und }} {S : 4 longrightarrow 4}end{array}]

Eine Schwierigkeit entsteht, wenn wir untersuchen, was mit dem Domänenobjekt 2 passiert. Es gibt zwei Möglichkeiten, entweder

[S : 2 longrightarrow 1] oder [S : 2 longrightarrow 4]

Welche sollen wir wählen? Die 1? Oder die 4? Somit ist S nicht wohldefiniert und keine Funktion, da wir nicht wissen, welches Bereichsobjekt mit dem Domänenobjekt 1 gepaart werden soll.

Die Idee des Mappings bietet uns eine alternative Möglichkeit, eine Funktion zu beschreiben. Wir könnten sagen, dass eine Funktion eine Regel ist, die jedem Objekt in ihrem Bereich ein eindeutiges Objekt in ihrem Bereich zuweist. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion, die jede reelle Zahl ihrem Quadrat zuordnet. Benennen wir die Funktion f, dann bildet f 5 auf 25, 6 auf 36, -7 auf 49 usw. ab. In Symbolen würden wir schreiben

[f : 5 longrightarrow 25, quad f : 6 longrightarrow 36, quad ext { und } quad f :-7 longrightarrow 49]

Im Allgemeinen könnten wir schreiben

[f : x longrightarrow x^{2}]

Beachten Sie, dass jede reelle Zahl x auf eine eindeutige Zahl im Bereich von f abgebildet wird, nämlich (x^{2}). Folglich ist die Funktion f wohldefiniert. Es ist uns gelungen, eine Regel zu schreiben, die die Funktion f vollständig definiert.

Als weiteres Beispiel definieren wir eine Funktion, die eine reelle Zahl nimmt, sie verdoppelt und dann 3 addiert. Wenn wir die Funktion g nennen, dann würde g die Zahl 7 nehmen, verdoppeln und dann 3 addieren.

[g : 7 longrightarrow 2(7)+3]

Vereinfachend, (g : 7 longrightarrow 17). In ähnlicher Weise würde g die Zahl 9 nehmen, verdoppeln und dann 3 addieren. Das heißt,

[g : 9 longrightarrow 2(9)+3]

Vereinfachend, (g : 9 longrightarrow 21). Im Allgemeinen nimmt g eine reelle Zahl x, verdoppelt sie und addiert dann drei. In Symbolen würden wir schreiben

[g : x longrightarrow 2 x+3]

Beachten Sie, dass jede reelle Zahl x von g auf eine eindeutige Zahl in ihrem Bereich abgebildet wird. Daher haben wir wieder eine Regel definiert, die die Funktion g vollständig definiert.

Es ist hilfreich, sich eine Funktion als Maschine vorzustellen. Die Maschine empfängt Eingaben, verarbeitet sie nach einer Regel und gibt dann ein Ergebnis aus. Etwas geht rein (Input), dann kommt etwas raus (Output). Im Fall der durch die Regel (f : x longrightarrow x^{2}) beschriebenen Funktion erhält die „f-Maschine“ die Eingabe x, wendet dann ihre „Quadratregel“ auf die Eingabe und die Ausgabe (x ^{2}), wie in Abbildung (PageIndex{6})(a) gezeigt. Im Fall der durch die Regel (g : x longrightarrow 2 x+3) beschriebenen Funktion erhält die „g-Maschine“ die Eingabe x, wendet dann die Regeln „double“ an, dann „add 3“, indem Ordnung, dann gibt (2x + 3) aus, wie in Abbildung (PageIndex{6})(b) gezeigt.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{5})

Angenommen, f ist durch die folgende Regel definiert. Für jede reelle Zahl x gilt

[f : x longrightarrow x^{2}-2 x-3]

Wo bildet f die Zahl −3 ab? Ist f eine Funktion?

Lösung

Wir ersetzen x in der Regel für f durch −3 und erhalten

[f :-3 longrightarrow(-3)^{2}-2(-3)-3]

Vereinfachen,

[f :-3 longrightarrow 9+6-3]

oder,

[f :-3 longrightarrow 12]

Somit bildet (sendet) f die Zahl −3 auf die Zahl 12. Es sollte klar sein, dass jede reelle Zahl x auf eine eindeutige reelle Zahl abgebildet (gesendet) wird, wie durch die Regel (f : x longrightarrow x ^{2}-2 x-3). Daher ist f eine Funktion.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{6})

Angenommen, g ist durch die folgende Regel definiert. Für jede reelle Zahl x, die größer oder gleich Null ist,

[g : x longrightarrow pm sqrt{x}]

Wo bildet g die Zahl 4 ab? Ist g eine Funktion?

Lösung

Wieder setzen wir x in der Regel für g durch 4 ein und erhalten

[g : 4 longrightarrow pm sqrt{4}]

Vereinfachen,

[g : 4 longrightarrow pm 2]

Somit bildet (sendet) g die Zahl 4 auf zwei verschiedene Objekte in seinem Bereich ab, nämlich 2 und −2. Folglich ist g nicht wohldefiniert und keine Funktion.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an

Beispiel (PageIndex{7})

Angenommen, wir haben Funktionen f und g, definiert durch

[f : x longrightarrow x^{4}+11 quad ext { und } quad g : x longrightarrow(x+2)^{2}]

Wohin sendet g 5?

Lösung

In diesem Beispiel sehen wir einen klaren Vorteil der Funktionsnotation. Da unsere Funktionen unterschiedliche Namen haben, können wir einfach auf den Namen der Funktion verweisen, die unsere Leser verwenden sollen. In diesem Fall werden wir gefragt, wohin die Funktion g die Zahl 5 schickt, also ersetzen wir x durch 5 in

[g : x longrightarrow(x+2)^{2}]

Das ist,

[g : 5 longrightarrow(5+2)^{2}]

Vereinfachend, (g : 5 longrightarrow 49).

Moderne Notation

Die Notation von Funktionen ist relativ neu, wobei einige der frühesten Symboliken erstmals im 17. Jahrhundert auftraten. In einem Brief an Leibniz (1698) schrieb Johann Bernoulli: „Um eine Funktion einer variablen Größe x zu bezeichnen, verwende ich lieber den gleichnamigen Großbuchstaben X oder das griechische (xi), denn es erscheint bei einmal von welcher Variablen es eine Funktion ist; das entlastet die Erinnerung.“

Mathematiker lieben die Schreibweise [f : x longrightarrow x^{2}-2 x]

weil es ein Gefühl dafür vermittelt, was eine Funktion tut; nämlich „bildet“ oder „sendet“ die Zahl x auf die Zahl (x^{2}-2 x). Dies ist, was Funktionen tun, sie paaren jedes Objekt in ihrer Domäne mit einem einzigartigen Objekt in ihrer Reichweite. Entsprechend „senden“ Funktionen jedes Objekt in ihrer Domäne an ein einzigartiges Objekt in ihrem Bereich.

In gängigen Rechensituationen kann die „Pfeil“-Notation jedoch etwas ungeschickt sein, sodass Mathematiker dazu neigen, eine etwas andere Notation zu bevorzugen. Anstatt zu schreiben

[f : x longrightarrow x^{2}-2 x]

Mathematiker bevorzugen die Notation not

[f(x)=x^{2}-2x]

Es ist wichtig, von Anfang an zu verstehen, dass diese beiden unterschiedlichen Notationen äquivalent sind; sie stellen dieselbe Funktion f dar, die jede reelle Zahl x in ihrem Bereich mit der reellen Zahl (x^{2}-2 x) in ihrem Bereich paart.

Die erste Notation, (f : x longrightarrow x^{2}-2 x), vermittelt den Eindruck, dass die Funktion f eine Abbildung ist. Wenn wir diese Notation laut lesen, sollten wir sie als „f sendet (oder bildet) x an (x^{2}-2 x)“ aussprechen. Die zweite Notation, (f(x) = x^{2}-2 x), wird ausgesprochen „f von x ist gleich (x^{2}-2 x).“

Hinweis

Der Ausdruck „f von x“ ist unglücklich, da sich unsere Leser vielleicht daran erinnern, dass sie von klein auf trainiert wurden, das Wort „von“ mit der Operation der Multiplikation zu verbinden. Zum Beispiel ist 1/2 von 12 6, wie in (1 / 2 imes 12=6). Im Kontext der Funktionsnotation wird f(x) zwar als „f von x“ vorgelesen, es tut es jedoch nicht bedeuten "f mal x". Wenn wir uns daran erinnern, dass die Notation (f(x)=x^{2}-2 x) der Notation (f : x longrightarrow x^{2}-2 x) entspricht, dann Auch wenn wir „f von x“ sagen könnten, sollten wir denken, „f sendet x“ oder „f bildet x ab“. Wir sollten nicht denke „f mal x“.

Sehen wir uns nun an, wie jede dieser Notationen mit der Zahl 5 operiert. Im ersten Fall, mit der "Pfeil"-Notation,

[f : x longrightarrow x^{2}-2 x]

Um herauszufinden, wo f 5 sendet, ersetzen wir x wie folgt durch 5.

[f : 5 longrightarrow(5)^{2}-2(5)]

Vereinfachend,(f : 5 longrightarrow 15). Da nun beide Notationen äquivalent sind, ersetzen wir zur Berechnung von f(5) wieder 5 für x in

[f(x)=x^{2}-2x]

So,

[f(5)=(5)^{2}-2(5)]

Vereinfachend, (f(5)=15). Dieses Ergebnis wird als „f von 5 gleich 15“ vorgelesen, aber wir möchten denken, „f sendet 5 zu 15“.

Schauen wir uns Beispiele an, die diese moderne Notation verwenden.

Beispiel (PageIndex{8})

Gegeben (f(x)=x^{3}+3 x^{2}-5,) bestimme (f(-2))

Lösung

Ersetzen Sie x einfach durch −2. Das ist,

[egin{ausgerichtet} f(-2) &=(-2)^{3}+3(-2)^{2}-5 &=-8+3(4)-5 & =-8+12-5 &=-1 end{ausgerichtet}]

Somit ist (f(−2) = −1). Auch wenn dies „f of −2 equals −1“ ausgesprochen wird, sollten wir immer noch denken „f sends −2 to −1“.

Beispiel (PageIndex{9})

Gegeben [f(x)=frac{x+3}{2 x-5}] bestimme f(6).

Lösung

Ersetzen Sie einfach 6 für x. Das heißt, [egin{ausgerichtet} f(6) &=frac{6+3}{2(6)-5} &=frac{9}{12-5} &= frac{9}{7} end{ausgerichtet}]

Somit ist (f(6) = 9/7). Auch wenn dies „f von 6 gleich 9/7“ ausgesprochen wird, sollten wir immer noch denken „f sendet 6 an 9/7“.

Beispiel (PageIndex{10})

Gegeben (f(x)=5 x-3,) bestimme (f(a+2)).

Lösung

Wenn wir in der Mapping-Notation denken, dann ist [f : x longrightarrow 5 x-3]

Stellen Sie sich dieses Mapping als eine „Maschine“ vor. Was auch immer wir in die Maschine stecken, es wird zuerst mit 5 multipliziert, dann wird 3 vom Ergebnis abgezogen, wie in Abbildung (PageIndex{7}) gezeigt. Wenn wir beispielsweise eine 4 in den Automaten eingeben, erfordert die Funktionsregel, dass wir die Eingabe 4 mit 5 multiplizieren und dann 3 vom Ergebnis subtrahieren. Das ist,

[f : 4 longrightarrow 5(4)-3]

Vereinfachend, (f : 4 longrightarrow 17)

Wenn wir a + 2 in die Maschine eingeben, erfordert die Funktionsregel, dass wir die Eingabe a + 2 mit 5 multiplizieren und dann 3 vom Ergebnis subtrahieren. Das ist,

[f : a+2 longrightarrow 5(a+2)-3]

Mit moderner Funktionsnotation würden wir schreiben:

[f(a+2)=5(a+2)-3]

Beachten Sie, dass dies wiederum eine einfache Substitution ist, bei der wir jedes Vorkommen von x in der Formel (f(x) = 5x − 3) durch den Ausdruck a + 2 ersetzen. Verwenden Sie schließlich die distributive Eigenschaft, um zuerst mit 5 zu multiplizieren, dann subtrahiere 3.

[egin{ausgerichtet} f(a+2) &=5 a+10-3 &=5 a+7 end{ausgerichtet}]

Wir werden oft das Ergebnis einer Funktionsauswertung durch eine zweite Auswertungsfunktion ersetzen müssen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{11})

Gegeben zwei Funktionen definiert durch (f(x) = 3x + 2) und (g(x) = 5 − 4x), bestimme f(g(2)).

Lösung

Die verschachtelten Klammern im Ausdruck f(g(2)) funktionieren genauso wie bei verschachtelten Ausdrücken. Die Regel ist, zuerst die innersten Gruppierungssymbole zu bearbeiten und während der Arbeit nach außen fortzufahren. Wir werden zuerst g(2) auswerten und dann f am Ergebnis auswerten.

Wir beginnen. Bewerten Sie zunächst g(2), indem Sie x in der Definitionsgleichung (g(x) = 5 − 4x) durch 2 ersetzen. Beachten Sie, dass (g(2) = 5 − 4(2)), dann vereinfachen Sie.

[f(g(2))=f(5-4(2))=f(5-8)=f(-3)]

Um die Auswertung abzuschließen, ersetzen wir x in der Definitionsgleichung (f(x) = 3x + 2) durch −3 und vereinfachen dann.

[f(-3)=3(-3)+2=-9+2=-7]

Daher (f(g(2))=-7).

Es ist üblich, das Werk wie folgt in einem zusammenhängenden Block anzuordnen.

[egin{ausgerichtet} f(g(2)) &=f(5-4(2)) &=f(-3) &=3(-3)+2 &=- 7 end{ausgerichtet}]

Sie können die Aufgabe noch weiter verkürzen, wenn Sie bereit sind, die Funktionsersetzung und -vereinfachung im Kopf zu machen. Bewerte zuerst g als 2, dann f als Ergebnis.

[f(g(2))=f(-3)=-7]

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel für diese einzigartige Art der Kombination von Funktionen an.

Beispiel (PageIndex{12})

Gegeben (f(x) = 5x + 2) und (g(x) = 3 − 2x), bewerte (g(f(a))) und vereinfache das Ergebnis.

Lösung

Wir bearbeiten zunächst die innere Funktionsauswertung im Ausdruck (g(f(a))). Um f(a) auszuwerten, ersetzen wir x in der Definition (f(x) = 5x + 2) durch a, um

[g(f(a))=g(5a+2)]

Jetzt müssen wir (g(5a + 2)) auswerten. Dazu ersetzen wir x in der Definition (g(x) = 3 − 2x) durch (5a + 2) und erhalten

[g(5 a+2)=3-2(5 a+2)]

Wir können dieses letzte Ergebnis erweitern und vereinfachen. So,

[g(f(a))=3-10 a-4=-10 a-1]

Auch hier ist es üblich, das Werkstück wie folgt in einem kontinuierlichen Block anzuordnen.

[egin{ausgerichtet} g(f(a)) &=g(5 a+2) &=3-2(5 a+2) &=3-10 a-4 &= -10 a-1 end{ausgerichtet}]

Daher (g(f(a))=-10 a-1).

Extrahieren der Domäne einer Funktion

Wir haben gesehen, dass der Definitionsbereich einer Relation oder Funktion die Menge aller ersten Koordinaten ihrer geordneten Paare ist. Wenn jedoch eine funktionale Beziehung durch eine Gleichung wie (f(x) = 3x − 4) definiert wird, ist es nicht praktikabel, alle durch diese Beziehung definierten geordneten Paare aufzulisten. Für jeden reellen x-Wert erhalten Sie ein geordnetes Paar. Wenn zum Beispiel x = 5, dann ist (f(5) = 3(5) − 4 = 11), was zum geordneten Paar (5, f(5)) oder (5, 11) führt. Wie Sie sehen, ist die Anzahl solcher geordneter Paare unendlich. Für jeden neuen x-Wert erhalten wir einen anderen Funktionswert und ein weiteres geordnetes Paar.

Daher ist es einfacher, unsere Aufmerksamkeit auf die Werte von x zu richten, die reelle Zahlenantworten in der Gleichung (f(x) = 3x − 4) ergeben. Dies führt zu folgendem Leitgedanken.

Definition

Wenn eine Funktion durch eine Gleichung definiert ist, ist der Funktionsbereich die Menge der „zulässigen x-Werte“, die Werte, die eine durch die Gleichung definierte reelle Zahl erzeugen.

Wir sagen manchmal gerne, dass der Bereich einer Funktion der Satz von „OK x-Werten zur Verwendung in der Gleichung“ ist. Definieren wir beispielsweise eine Funktion mit der Regel (f(x) = 3x − 4), ist sofort klar, dass wir jeden beliebigen Wert für x in der Regel (f(x) = 3x − 4). Somit sind der Definitionsbereich von f alle reellen Zahlen. Wir können schreiben, dass die Domäne (D=mathbb{R}) ist, oder wir können die Intervallschreibweise verwenden und schreiben, dass die Domäne (D=(-infty, infty)) ist.

In der durch die Regel (f(x)=sqrt{x}) definierten Funktion kann x keine reelle Zahl sein. Es ist nicht möglich, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu ziehen.2 Daher muss x entweder Null oder eine positive reelle Zahl sein. In der Set-Builder-Notation können wir die Domäne mit (D={x : x geq 0}) beschreiben. In Intervallnotation schreiben wir (D=[0, infty)).

Wir müssen uns auch der Tatsache bewusst sein, dass wir nicht durch Null teilen können. Wenn wir eine Funktion mit der Regel (f(x)=x /(x-3)) definieren, sehen wir sofort, dass x = 3 eine Null in den Nenner setzt. Die Division durch Null ist nicht definiert. Daher liegt 3 nicht im Bereich von f. Kein anderer x-Wert verursacht ein Problem. Der Definitionsbereich von f lässt sich am besten mit der Set-Builder-Notation als (D={x : x eq 3}) beschreiben.

Funktionen ohne Formeln

Im vorigen Abschnitt haben wir Funktionen mittels einer Formel definiert, zum Beispiel wie in

[f(x)=frac{x+3}{2-3 x}]

Euler würde sich über diese Definition freuen, denn wie bereits erwähnt, dachte Euler an Funktionen als analytische Ausdrücke.

Es ist jedoch nicht wirklich notwendig, einen Ausdruck oder eine Formel bereitzustellen, um eine Funktion zu definieren. Es gibt andere Formen, die wir verwenden können, um eine funktionale Beziehung auszudrücken: ein Diagramm, eine Tabelle oder sogar eine narrative Beschreibung. Das einzige, was wirklich wichtig ist, ist die Anforderung, dass die Funktion wohldefiniert ist, und mit „wohldefiniert“ meinen wir, dass jedes Objekt in der Domäne der Funktion mit einem und nur einem Objekt in seinem Bereich gepaart ist.

Betrachten wir als Beispiel eine spezielle Funktion (pi) für die natürlichen Zahlen3, die die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich einer gegebenen natürlichen Zahl zurückgibt. Zum Beispiel sind die Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl 23 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23, insgesamt neun Zahlen. Daher ist die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich 23 neun. In Symbolen würden wir schreiben

[pi(23)=9]

Beachten Sie das Fehlen einer Formel in der Definition dieser Funktion. Tatsächlich ist die Definition beschreibender Natur, also könnten wir schreiben

[pi(n)= ext { Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich } n]

Wichtig ist nicht, wie wir diese spezielle Funktion π definieren, sondern die Tatsache, dass sie wohldefiniert ist; das heißt, für jede natürliche Zahl n gibt es eine feste Anzahl von Primzahlen kleiner oder gleich n. Somit ist jede natürliche Zahl im Bereich von π mit einer und nur einer Zahl in ihrem Bereich gepaart.

Nur weil unsere Funktion keinen Ausdruck zur Berechnung der Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich einer gegebenen natürlichen Zahl n bereitstellt, hält sie Mathematiker nicht davon ab, nach einer solchen Formel zu suchen. Euklid von Alexandria (325-265 v. Chr.), ein griechischer Mathematiker, bewies, dass die Zahl der Primzahlen unendlich ist, aber es war der deutsche Mathematiker und Wissenschaftler Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), der als erster vorschlug, dass die Zahl der Primzahlen kleiner oder gleich n kann durch die Formel angenähert werden

[pi(n) approx frac{n}{ln n}]

wobei ln n der „natürliche Logarithmus“ von n ist (wird in Kapitel 9 erklärt). Diese Näherung wird mit immer größeren Werten von n immer besser. Die Formel wurde von Gauß verfeinert, der keinen Beweis lieferte, und das Problem wurde als Primzahlsatz bekannt. Erst 1896 lieferten Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) und Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin (1866-1962) unabhängig voneinander einen Beweis des Primzahlensatzes.


2.1: Einführung in die Funktionen

оличество арегистрированных учащихсяя: 18 тыс.

Kunst- und Kulturführer haben eine schwierige, aber lohnende Aufgabe: nachhaltige Organisationen zu schaffen und zu führen, die einen echten sozialen Wert liefern. Es gibt viel Konkurrenz da draußen. Eine effektive Führungskraft zu sein bedeutet, sich ständig anzupassen und die besten Tools geschickt einzusetzen, um so viele Menschen wie möglich zu erreichen. Dieser Kurs soll Führungskräften auf allen Ebenen dabei helfen, genau das zu tun.

Ецензии

Ein ausgezeichneter Kurs mit tollen Präsentationen und sehr nützlichen und interessanten Aufgaben! Danke!

Auf jeden Fall ein angenehmer Kurs! Ich habe viel gelernt und Selbstvertrauen für zukünftige Arbeitstätigkeiten gewonnen.

Form Follows Function: Zweckorientierte Organisationsstrukturen

Wie liefern wir Wert? Diese Woche beschäftigt sich mit Form und Funktion von Organisationen. Am Ende der Einheit werden Sie Organisationsstrukturen klar verstehen – historische und verhaltensbezogene Vorurteile, die uns davon abhalten, aktuelle Strukturen, Rahmenbedingungen und Logiken zu ändern, die bessere Strukturen aufbauen. Und Sie werden Risiken besser verstehen – wie Sie sie am besten erkennen und managen.


Dieser Kurs richtet sich an verschiedene Benutzererfahrungsstufen. Je nachdem, in welche Kategorie Sie sich einordnen, können Sie mit unterschiedlichen Kursergebnissen rechnen. Jede Kategorie enthält Informationen, die für die nächste wichtig sind, daher ist es wichtig, alle Übungen durchzuführen, die Ihrem Erfahrungsniveau entsprechen oder darunter liegen.

2.1.2.1. Basic¶

In dieser Kategorie geht der Kurs davon aus, dass Sie keine oder nur geringe Vorkenntnisse mit theoretischen GIS-Kenntnissen oder der Bedienung eines GIS-Programms haben.

Es wird ein begrenzter theoretischer Hintergrund gegeben, um den Zweck einer Aktion zu erklären, die Sie im Programm durchführen werden, aber der Schwerpunkt liegt auf dem Lernen durch Handeln.

Wenn Sie den Kurs abschließen, haben Sie ein besseres Verständnis der Möglichkeiten von GIS und wie Sie ihre Leistungsfähigkeit über QGIS nutzen können.

2.1.2.2. Dazwischenliegend¶

In dieser Kategorie wird davon ausgegangen, dass Sie über praktische Kenntnisse und Erfahrungen mit der alltäglichen Verwendung von GIS verfügen.

Das Befolgen der Anweisungen für Anfänger wird Ihnen vertrautes Terrain vermitteln und Sie auf die Fälle aufmerksam machen, in denen QGIS Dinge etwas anders macht als andere Software, an die Sie möglicherweise gewöhnt sind. Außerdem erfahren Sie, wie Sie Analysefunktionen in QGIS verwenden.

Wenn Sie den Kurs abgeschlossen haben, sollten Sie mit der Verwendung von QGIS für alle Funktionen vertraut sein, die Sie normalerweise von einem GIS für den täglichen Gebrauch benötigen.

2.1.2.3. Fortschrittlich¶

In dieser Kategorie wird davon ausgegangen, dass Sie Erfahrung mit GIS haben, Kenntnisse und Erfahrungen mit räumlichen Datenbanken haben, Daten auf einem Remote-Server verwenden, möglicherweise Skripte zu Analysezwecken schreiben usw.

Wenn Sie die Anweisungen für die anderen beiden Ebenen befolgen, werden Sie mit dem Ansatz der QGIS-Schnittstelle vertraut gemacht und stellen sicher, dass Sie wissen, wie Sie auf die grundlegenden Funktionen zugreifen, die Sie benötigen. Ihnen wird auch gezeigt, wie Sie das QGIS’-Plugin-System, das Datenbankzugriffssystem usw. verwenden.

Nach Abschluss des Kurses sollten Sie mit der täglichen Bedienung von QGIS sowie seinen erweiterten Funktionen vertraut sein.


2.3 Funktionsaufrufe

Schauen wir uns die Syntax von R-Funktionsaufrufen genauer an.

Die unten gezeigte Funktion besteht aus einem Namen function_name und zwei Argumenten, arg1 und arg2 . Die Argumente können Standardwerte haben. In diesem Beispiel hat arg1 keinen Standardwert, aber arg2 hat den Standardwert val2 . Argumente ohne Standardwert sind erforderlich, Argumente mit einem Standardwert hingegen nicht. Diese nehmen einfach ihren Standardwert an, wenn der a-Wert nicht explizit angegeben wird.

Eine Funktion kann viele Argumente haben.

= vs. <- für Funktionsargumente.

Der ==-Operator wird verwendet, um die Äquivalenz zu testen.

Verwenden der Tabulatorvervollständigung für Funktionsargumente:

Geben Sie an der Eingabeaufforderung R scale( ein und drücken Sie TAB .

Was sind die Argumente der Funktion round() ? Gibt es Standardwerte?

Suchen Sie die Funktion rnorm() in der Hilfe Zuschauer. Welche Argumente? Irgendwelche Standardwerte?

Machen Sie dasselbe für die Funktion seq().

2.3.1 Verschachtelte Funktionsaufrufe

Funktionsaufrufe können verschachtelt werden. Dies bedeutet, dass die Ausgabe einer Funktion als Eingabe an die nächste Funktion übergeben wird.

Zum Beispiel: Lassen Sie uns einen Vektor definieren, seinen Mittelwert berechnen und dann auf zwei Dezimalstellen runden:

Funktionsaufrufe werden immer in der gleichen Reihenfolge ausgeführt: von innen nach außen, z.B. zuerst mean() und dann round() .


Lane ORCCA (2020–2021): Offene Ressourcen für Community College Algebra

In der Mathematik verwenden wir Funktionen, um reale Daten zu modellieren. In diesem Abschnitt lernen wir die Definition einer Funktion und verwandte Konzepte kennen.

Unterabschnitt 8.1.1 Einführung in die Funktionen

Bei der Arbeit mit zwei Variablen interessiert uns die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen. Betrachten Sie zum Beispiel die beiden Variablen Hasenpopulation und Luchspopulation in einem kanadischen Wald. Wenn wir den Wert einer Variablen kennen, können wir dann den Wert der zweiten Variablen bestimmen? Wenn wir wissen, dass eine Variable im Laufe der Zeit zunimmt, wissen wir dann, ob die andere zu- oder abnimmt?

Definition 8.1.2 . Beziehung.

A ist eine sehr allgemeine Situation zwischen zwei Variablen, in der ein wenig Informationen über eine Variable etwas über die andere Variable sagen können. Wenn Sie beispielsweise wissen, dass die Hasenpopulation in diesem Jahr hoch ist, können Sie sagen, dass die Luchspopulation wahrscheinlich zunimmt. „Hasenpopulation“ und „Luchspopulation“ stellen also eine Beziehung her. Wenn eine der Variablen als die „erste“ Variable identifiziert wird, ist die Relation die Menge aller Werte, die die Variable annehmen kann. Ebenso ist die Relation die Menge aller Werte, die die zweite Variable annehmen kann.

Wir beschäftigen uns in diesem Buch nicht so sehr mit Beziehungen. Aber wir interessieren uns für eine spezielle Art von Beziehung, die als Funktion bezeichnet wird. Informell ist a ein Gerät, das Eingabewerte für eine Variable nacheinander nimmt, über sie nachdenkt und die jeweiligen Ausgabewerte nacheinander für die andere Variable ausgibt.

Beispiel 8.1.3 .

Mariana hat (5) Hühner: Hazel, Yvonne, Georgia, Isabella und Emma. Für die Beziehung „Hühnchen zu Eifarbe“ ist die erste Variable (die Eingabe) der Name des Huhns und die zweite Variable (die Ausgabe) die Farbe der Hühnereier. Die Domäne der Beziehung ist die Menge aller Hühnernamen von Mariana, und ihr Bereich ist die Menge der Farben ihrer Hühnereier. Abbildung 8.1.4 zeigt zwei Eingänge und ihre entsprechenden Ausgänge.

Es wäre nicht bequem, Diagramme wie die in Abbildung 8.1.4 für alle fünf Hühner zu erstellen. Es gibt zu viele Eingaben. Stattdessen stellt Abbildung 8.1.5 die Funktion prägnanter grafisch dar. Die Eingabevariable der Funktion ist „Hühnername“ und ihre Ausgabevariable ist „Eifarbe“. Beachten Sie, dass wir das Wort „variabel“ verwenden, da die Hühnernamen und die Eierfarben je nach gewähltem Huhn variieren.

Wir können auch einen Satz geordneter Paare verwenden, um diese Funktion darzustellen:

wobei Sie das geordnete Paar von links nach rechts lesen, mit dem ersten Wert als Eingabe und dem zweiten Wert als Ausgabe.

Definition 8.1.6 . Funktion.

In der Mathematik ist eine Funktion eine Beziehung zwischen einer Menge von Eingaben und einer Menge von Ausgaben mit der Eigenschaft, dass sich jede Eingabe auf genau eine Ausgabe bezieht.

In Abbildung 8.1.5 sehen wir, dass sich der Name jedes Huhns (Eingabe) auf genau eine Ausgabe bezieht, so dass die Beziehung „Hühnchen zu Eifarbe“ als Funktion qualifiziert ist. Beachten Sie, dass es irrelevant ist, dass sich mehrere Eingaben auf dieselbe Ausgabe beziehen können, wie in (( ext, ext)) und (( ext, ext) ext<.>) Der Punkt ist, an welches Huhn Sie auch immer denken, Sie wissen genau, welche Eifarbe es legt.

Unterabschnitt 8.1.2 Algebraische Funktionen und Funktionsnotation

Viele Funktionen haben spezielle algebraische Formeln, um eine Eingabezahl in eine Ausgabezahl umzuwandeln. Zum Beispiel wissen wir, dass die Gleichung (y=5x+3) (y) als Funktion von (x ext<,>) darstellt, denn für jeden (x)-Wert (Eingabe) , gibt es nur einen (y)-Wert (Ausgabe). Wenn wir den Wert der Ausgabe bestimmen möchten, wenn die Eingabe (2 ext<,>) ist, ersetzen wir (x) durch (2) und finden den Wert von (y ext< :>)

Unser Endergebnis ist, dass (y=13 ext<.>) Nun, (y) ist (13 ext<,>), aber nur in der Situation, wenn (x) (2 ext<.>) ist. Im Allgemeinen ist (y) für andere Eingaben nicht (13 ext<.>) Die Gleichung (y=13) fehlt also in dem Sinne, dass sie nicht alles mitteilt, was wir sagen wollen. Es kommuniziert nicht den Wert von (x), den wir verwendet haben. erlaubt uns zu kommunizieren beide die Eingabe und gleichzeitig die Ausgabe. Es ermöglicht uns auch, jeder Funktion einen Namen zu geben, was hilfreich ist, wenn wir mehrere Funktionen haben.

Funktionen können wie Variablen Namen haben. Der häufigste Funktionsname ist (f ext<,>), da „f“ für „Funktion“ steht. Ein Buchstabe wie (f) steht jedoch nicht für eine einzelne Zahl. Stattdessen stellt es eine Eingabe-Ausgabe-Beziehung dar, wie wir in diesem Abschnitt besprochen haben.

We will write equations like (y=f(x) ext<,>) and what we mean is:

the parentheses following the (f) surround the input they do nicht indicate multiplication

Remark 8.1.7 .

Parentheses have a lot of uses in mathematics. Their use with functions is very specific, and it's important to note that (f) is nicht being multiplied by anything when we write (f(x) ext<.>) With function notation, the parentheses specifically are just meant to indicate the input by surrounding the input.

Example 8.1.8 .

The expression (f(x)) is read as “(f) of (x ext<,>)” and the expression (f(2)) is read as “(f) of (2 ext<.>)” Be sure to practice saying this correctly while reading.

The expression (f(2)) means that (2) is being treated as an input, and the function (f) is turning it into an output. And then (f(2)) represents that actual output number.

Remark 8.1.9 .

The most common letters used to represent functions are (f,g ext<,>) and (h ext<.>) The most common variables we use are (x ext<,>) (y ext<,>) and (z ext<.>) But we can use any function name and any input and output variable. When dealing with functions in context, it often makes sense to use meaningful function names and variables. For example, if we are modeling temperature of a cup of coffee as a function of time with a function (C ext<,>) we could use (T=C(t) ext<,>) where (T) is the temperature (in degrees Fahrenheit) after (t) minutes.

Subsection 8.1.3 Evaluating Functions

When we determine a function's value for a specific input, this is known as evaluating a function. To do so, we replace the input with the numerical value given and determine the associated output.

When using function notation, instead of writing (5x+3) or (y=5x+3 ext<,>) we often write something like (f(x)=5x+3 ext<.>) We are saying that the rule for function (f) is to use the expression (5x+3 ext<.>) To find (f(2) ext<,>) wherever you see (x) in the formula (f(x)=5x+3 ext<,>) substitute in (2 ext<:>)

Our end result is that (f(2)=13 ext<,>) which tells us that (f) turns (2) into (13 ext<.>) In other words, when the input is (2 ext<,>) the output will be (13 ext<.>)

Let's look at a few more examples.

Example 8.1.10 . Evaluating Functions with Algebraic Formulas.

Find the given function values for a function (f) where (f(x)=2x^2-5x+9 ext<.>)

We find (f(-2)) by replacing all the (x)'s in the formula for (f) with (-2) and then, using the order of operations, simplifying the right side as much as possible.

We find (f(0)) by replacing all the (x)'s in the formula for (f) with (0) and then, using the order of operations, simplifying the right side as much as possible.

We find (f(4)) by replacing all the (x)'s in the formula for (f) with (4) and then, using the order of operations, simplifying the right side as much as possible.

Checkpoint 8.1.11 . Evaluating a Function.

A function may also be described by explicitly listing many inputs and their corresponding outputs in a table.

Example 8.1.12 . Functions given in Table Form.

Temperature readings for Portland, OR, on a given day are recorded in Table 8.1.13. Let (f(x)) be the temperature in degrees Fahrenheit (x) hours after midnight.

Table 8.1.13 . Recorded Temperatures in Portland, OR, on a certain day

(x ext<,>) hours after midnight (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
(f(x) ext<,>) temperature in °F (45) (44) (42) (42) (43) (44) (45) (48) (49) (50) (53)

What was the temperature at midnight?

Find (f(9) ext<.>) Explain what this function value represents in the context of the problem.

To determine the temperature at midnight, we look in the table where (x=0) and see that the output is (45 ext<.>) Using function notation, we would write:

Thus, at midnight the temperature was 45 °F .

To determine the value of (f(9) ext<,>) we look in the table where (x=9) and read the output:

In context, this means that at 9AM the temperature was 50 °F .

Subsection 8.1.4 Domain and Range

Earlier we defined the domain and range of a relation. We repeat those definitions more formally here, specifically for functions.

Definition 8.1.14 . Domain and Range.

Given a function (f ext<,>) the of (f) is the collection of all valid input values for (f ext<.>) The of (f) is the collection of all possible output values of (f ext<.>)

When working with functions, a common necessary task is to determine the function's domain and range. Also, the ability to identify domain and range is strong evidence that a person really understands the concepts of domain and range.

Example 8.1.15 . Functions Defined by Ordered Pairs.

The function (f) is defined by the ordered pairs

Determine the domain and range of (f ext<.>)

The ordered pairs tell us that (f(1)=2 ext<,>) (f(3)=-2 ext<,>) etc. So the valid input values are (1 ext<,>) (3 ext<,>) (5 ext<,>) (7 ext<,>) and (9 ext<.>) This means the domain is the set (<1,3,5,7,9> ext<.>)

Similarly, the ordered pairs tell us that (2 ext<,>) (-2 ext<,>) (-4 ext<,>) and (6) are possible output values. Notice that the output (2) happened twice, but it only needs to be listed in this collection once. The range of (f) is (<2,-2,-4,6> ext<.>)


Function Notation and Linear Functions

With the definition of a function comes special notation. If we consider each x-value to be the input that produces exactly one output, then we can use the notation

The notation f ( x ) reads “f von x” and should not be confused with multiplication. Most of our study of algebra involves functions, so the notation becomes very useful when performing common tasks. Functions can be named with different letters some common names for functions are g(x), h(x), C(x), und R(x). First, consider nonvertical lines that we know can be expressed using slope-intercept form, y = m x + b . For any real numbers m und B, the equation defines a function, and we can replace ja with the new notation f ( x ) as follows:

Therefore, a linear function Any function that can be written in the form f(x) = mx + B. is any function that can be written in the form f ( x ) = m x + b . In particular, we can write the following:

The notation also shows values to evaluate in the equation. If the value for x is given as 8, then we know that we can find the corresponding ja-value by substituting 8 in for x and simplifying. Using function notation, this is denoted f ( 8 ) and can be interpreted as follows:

We have f ( 8 ) = 4 . This notation tells us that when x = 8 (the input), the function results in 4 (the output).

Example 4: Given the linear function f ( x ) = − 5 x + 7 , find f ( − 2 ) .

Lösung: In this case, f ( − 2 ) indicates that we should evaluate when x = − 2 .

Example 5: Given the linear function f ( x ) = − 5 x + 7 , find x when f ( x ) = 10 .

Lösung: In this case, f ( x ) = 10 indicates that the function should be set equal to 10.

Answer: Here x = − 3 5 , and we can write f ( − 3 5 ) = 10 .

Example 6: Given the graph of a linear function g ( x ) ,

A. The notation g ( 2 ) implies that x = 2. Use the graph to determine the corresponding ja-value.

B. The notation g ( x ) = 3 implies that the ja-value is given as 3. Use the graph to determine the corresponding x-value.

Example 7: Graph the linear function f ( x ) = − 5 3 x + 6 and state the domain and range.

Lösung: From the function, we see that B = 6 and thus the ja-intercept is (0, 6). Also, we can see that the slope is m = − 5 3 = − 5 3 = r i s e r u n . Starting from the ja-intercept, mark a second point down 5 units and right 3 units.

Given any coordinate on the x-axis, we can find a corresponding point on the graph the domain consists of all real numbers. Also, for any coordinate on the ja-axis, we can find a point on the graph the range consists of all real numbers.

Answer: Both the domain and range consist of all real numbers R.

Try this! Given the linear function g ( x ) = − x + 5 ,

Video Solution

Die zentralen Thesen

  • A relation is any set of ordered pairs. However, in the context of this course, we will be working with sets of ordered pairs (x, ja) in the rectangular coordinate system. Der Satz von x-values defines the domain and the set of ja-values defines the range.
  • Special relations where every x-value (input) corresponds to exactly one ja-value (output) are called functions.
  • We can easily determine whether an equation represents a function by performing the vertical line test on its graph. If any vertical line intersects the graph more than once, then the graph does not represent a function. In this case, there will be more than one point with the same x-value.

Any nonvertical or nonhorizontal line is a function and can be written using function notation f ( x ) = m x + b . Both the domain and range consist of all real numbers.

  • If asked to find f ( a ) , we substitute ein in for the variable and then simplify.
  • If asked to find x when f ( x ) = a , we set the function equal to a and then solve for x .

Topic Exercises

For each problem below, does the correspondence represent a function?

1. Algebra students to their scores on the first exam.

2. Family members to their ages.

3. Lab computers to their users.

4. Students to the schools they have attended.

5. People to their citizenships.

6. Local businesses to their number of employees.

Determine the domain and range and state whether the relation is a function or not.


2.1: An Overview of Functional Groups

  • Contributed by Layne Morsch
  • Professor (Chemistry) at University of Illinois Springfield

Functional groups are atoms or small groups of atoms (two to four) that exhibit a characteristic reactivity. A particular functional group will almost always display its characteristic chemical behavior when it is present in a compound. Because of their importance in understanding organic chemistry, functional groups have characteristic names that often carry over in the naming of individual compounds incorporating specific groups

As we progress in our study of organic chemistry, it will become extremely important to be able to quickly recognize the most common functional groups, because they are the key structural elements that define how organic molecules react. For now, we will only worry about drawing and recognizing each functional group, as depicted by Lewis and line structures. Much of the remainder of your study of organic chemistry will be taken up with learning about how the different functional groups tend to behave in organic reactions.

Hydrocarbons and halides

We have already seen some examples of very common functional groups: ethene, for example, contains a carbon-carbon double bond. This double bond is referred to, in the functional group terminology, as an alkene.

The carbon-carbon triple bond in ethyne is the simplest example of an alkyne function group.

What about ethane? All we see in this molecule is carbon-hydrogen and carbon-carbon single bonds, so in a sense we can think of ethane as lacking a functional group entirely. However, we do have a general name for this &lsquodefault&rsquo carbon bonding pattern: molecules or parts of molecules containing only carbon-hydrogen and carbon-carbon single bonds are referred to as alkanes.

If the carbon of an alkane is bonded to a halogen, the group is now referred to as a haloalkane (fluoroalkane, chloroalkane, etc.). Chloroform, CHCl3, is an example of a simple haloalkane.

Alcohols and Thiols

We have already seen the simplest possible example of an alcohol functional group in methanol. In the alcohol functional group, a carbon is single-bonded to an OH group (this OH group, by itself, is referred to as a hydroxyl). If the central carbon in an alcohol is bonded to only one other carbon, we call the group a primary alcohol. In secondary alcohols and tertiary alcohols, the central carbon is bonded to two and three carbons, respectively. Methanol, of course, is in class by itself in this respect.

The sulfur analog of an alcohol is called a thiol (the prefix thio, derived from the Greek, refers to sulfur).

In an ether functional group, a central oxygen is bonded to two carbons. Below are the line and Lewis structures of diethyl ether, a common laboratory solvent and also one of the first medical anaesthesia agents.

Im sulfides, the oxygen atom of an ether has been replaced by a sulfur atom.

Amines and Phosphates

Ammonia is the simplest example of a functional group called amines. Just as there are primary, secondary, and tertiary alcohols, there are primary, secondary, and tertiary amines.

One of the most important properties of amines is that they are basic, and are readily protonated to form ammonium cations.

Phosphorus is a very important element in biological organic chemistry, and is found as the central atom in the phosphate group. Many biological organic molecules contain phosphate, diphosphate, and triphosphate groups, which are linked to a carbon atom by the phosphate ester functionality.

Because phosphates are so abundant in biological organic chemistry, it is convenient to depict them with the abbreviation 'P'. Notice that this 'P' abbreviation includes the oxygen atoms and negative charges associated with the phosphate groups.

Carbonyl Containing Functional Groups

Aldehydes and Ketones

There are a number of functional groups that contain a carbon-oxygen double bond, which is commonly referred to as a carbonyl. Ketones und aldehydes are two closely related carbonyl-based functional groups that react in very similar ways. In a ketone, the carbon atom of a carbonyl is bonded to two other carbons. In an aldehyde, the carbonyl carbon is bonded on one side to a hydrogen, and on the other side to a carbon. The exception to this definition is formaldehyde, in which the carbonyl carbon has bonds to two hydrogens.

Molecules with carbon-nitrogen double bonds are called imines, or Schiff bases.

Carboxylic acids and acid derivatives

If a carbonyl carbon is bonded on one side to a carbon (or hydrogen) and on the other side to a heteroatom (in organic chemistry, this term generally refers to oxygen, nitrogen, sulfur, or one of the halogens), the functional group is considered to be one of the &lsquocarboxylic acid derivatives&rsquo, a designation that describes a grouping of several functional groups. The eponymous member of this grouping is the carboxylic acid functional group, in which the carbonyl is bonded to a hydroxyl (OH) group.

As the name implies, carboxylic acids are acidic, meaning that they are readily deprotonated to form the conjugate base form, called a carboxylate (much more about carboxylic acids in the acid-base chapter!).

Im amides, the carbonyl carbon is bonded to a nitrogen. The nitrogen in an amide can be bonded either to hydrogens, to carbons, or to both. Another way of thinking of an amide is that it is a carbonyl bonded to an amine.

Im esters, the carbonyl carbon is bonded to an oxygen which is itself bonded to another carbon. Another way of thinking of an ester is that it is a carbonyl bonded to an alcohol. Thioesters are similar to esters, except a sulfur is in place of the oxygen.

In an acyl phosphate, the carbonyl carbon is bonded to the oxygen of a phosphate, and in an acid chloride, the carbonyl carbon is bonded to a chlorine.

Finally, in a nitrile group, a carbon is triple-bonded to a nitrogen. Nitriles are also often referred to as cyano groups.

A single compound often contains several functional groups. The six-carbon sugar molecules glucose and fructose, for example, contain aldehyde and ketone groups, respectively, and both contain five alcohol groups (a compound with several alcohol groups is often referred to as a &lsquopolyol&rsquo).

Capsaicin, the compound responsible for the heat in hot peppers, contains phenol, ether, amide, and alkene functional groups.

The male sex hormone testosterone contains ketone, alkene, and secondary alcohol groups, while acetylsalicylic acid (aspirin) contains aromatic, carboxylic acid, and ester groups.

While not in any way a complete list, this section has covered most of the important functional groups that we will encounter in biological and laboratory organic chemistry. The table on the inside back cover provides a summary of all of the groups listed in this section, plus a few more that will be introduced later in the text.

Probleme

1: Identify the functional groups in the following organic compounds. State whether alcohols and amines are primary, secondary, or tertiary.

2: Draw one example each (there are many possible correct answers) of compounds fitting the descriptions below, using line structures. Be sure to designate the location of all non-zero formal charges. All atoms should have complete octets (phosphorus may exceed the octet rule).

a) a compound with molecular formula C6H11NO that includes alkene, secondary amine, and primary alcohol functional groups

b) an ion with molecular formula C3H5O6P 2- that includes aldehyde, secondary alcohol, and phosphate functional groups.

c) A compound with molecular formula C6H9NO that has an amide functional group, and does nicht have an alkene group.


2.1: System Poles and Zeros

  • Contributed by Kamran Iqbal
  • Professor (Systems Engineering) at University of Arkansas at Little Rock

System Poles and Zeros

The transfer function, (G(s)), is a rational function in the Laplace transform variable, (s). It is expressed as the ratio of the numerator and the denominator polynomials, i.e., (G(s)=frac).

Definition: Transfer Function Zeros

The roots of the numerator polynomial, (n(s)), define system zeros, i.e., those frequencies at which the system response is zero. Thus, (z_0) is a zero of the transfer function if (Gleft(z_0 ight)=0.)

Definition: Transfer Function Poles

The roots of the denominator polynomial, (d(s)), define system poles, i.e., those frequencies at which the system response is infinite. Thus, (p_0) is a pole of the transfer function if (Gleft(p_0 ight)=infty .)

The poles and zeros of first and second-order system models are described below.

First-Order System

A first-order system has a generic ODE description: ( au dotleft(t ight)+yleft(t ight)=u(t)), where (uleft(t ight)) and (yleft(t ight)) denote the input and the output, and ( au) is the system time constant. By applying the Laplace transform, a first-order transfer function is obtained as: [G(s)=frac< au s+1>]

The transfer function has no finite zeros and a single pole located at (s=-frac<1>< au >) in the complex plane.

The reduced-order model of a DC motor with voltage input and angular velocity output (Example 1.4.3) is described by the differential equation: ( au dotomega (t) + omega(t) = V_a(t)).

The DC motor has a transfer function: (G(s)=frac< au_m s+1>) where ( au_m) is the motor time constant.

For the following parameter values: (R=1Omega , L=0.01H, J=0.01 kgm^ <2>, b=0.1 frac , and k_ =k_ =0.05), the motor transfer function evaluates as:

The transfer function has a single pole located at: (s=-10.25) with associated time constant of (0.098 sec).

Second-Order System with an Integrator

A first-order system with an integrator is described by the transfer function:

The system has no finite zeros and has two poles located at (s=0) and (s=-frac<1>< au >) in the complex plane.

The DC motor modeled in Example 2.1.1 above is used in a position control system where the objective is to maintain a certain shaft angle ( heta(t)). The motor equation is given as: ( au ddot heta(t) + dot heta(t) = V_a(t)) its transfer function is given as: (Gleft(s ight)=frac).

Using the above parameter values in the reduced-order DC motor model, the system transfer function is given as:

The transfer function has no finite zeros and poles are located at: (s=0,-10.25).

Second-Order System with Real Poles

A second-order system with poles located at (s=-_1, -_2) is described by the transfer function:

From Section 1.4, the DC motor transfer function is described as: [G(s)=frac <(s+1/ au _)(s+1/ au _ )>]

Then, system poles are located at: (s_ <1>=-frac<1> < au _>) and (s_ <2>=-frac<1> < au _>), where ( au_e) and ( au_) represent the electrical and mechanical time constants of the motor.

For the following parameter values: (R=1Omega , L=0.01H, J=0.01 kgm^ <2>, b=0.1 frac , and k_ =k_ =0.05), the transfer function from armature voltage to angular velocity is given as:

The transfer function poles are located at: (s=-10.28, -99.72).

The motor time constants are given as: ( au _ cong frac=10 ms, au _ m cong frac=100 ms).

Second-Order System with Complex Poles

A second-order model with its complex poles located at: (s=-sigma pm jomega) is described by the transfer function:

Equivalently, the second-order transfer function with complex poles is expressed in terms of the damping ratio, (zeta), and the natural frequency, (_n), of the complex poles as:

The transfer function poles are located at: (s_<1,2>=-zeta _npm j_d), where (_d=omega_nsqrt<1-^2>) (Figure 2.1.1).

As seen from the figure, (_n) equals the magnitude of the complex pole, and (zeta =frac<_n>=), where ( heta) is the angle subtended by the complex pole at the origin.

The damping ratio, (zeta), is a dimensionless quantity that characterizes the decay of the oscillations in the system&rsquos natural response. The damping ratio is bounded as: (0<zeta <1).

  1. As (zeta o 0), the complex poles are located close to the imaginary axis at: (scong pm j_n). The resulting impulse response displays persistent oscillations at system&rsquos natural frequency, (_n).
  2. As (zeta o 1), the complex poles are located close to the real axis as (s_<1,2>cong -zeta _n). The resulting impulse response has no oscillations and exponentially decays to zero resembling the response of a first-order system.

A spring&ndashmass&ndashdamper system has a transfer function:

Its characteristic equation is given as: (ms^s+bs+k=0), whose roots are characterized by the sign of the discriminant, (Delta =b^ <2>-4mk).

    For (Delta >0,) the system has real poles, located at:

Next, assume that the mass-spring-damper has the following parameter values: (m=1, b=k=2) then, its transfer function is given as: [G(s)=frac<1>=frac<1>]

The transfer function has complex poles located at: (s=-1pm j1).

Further, the complex poles have an angle: ( heta=45^circ), and (cos45^circ=frac<1>>).

Figure (PageIndex<1>): Second-order transfer function pole locations in the complex plane.


Different Is Good: FreshDirect Redefines the NYC Grocery Landscape

For an example of the relationship between technology and strategic positioning, consider FreshDirect. The New York City–based grocery firm focused on the two most pressing problems for Big Apple shoppers: selection is limited and prices are high. Both of these problems are a function of the high cost of real estate in New York. The solution? Use technology to craft an ultraefficient model that makes an end-run around stores.

The firm’s “storefront” is a Web site offering one-click menus, semiprepared specials like “meals in four minutes,” and the ability to pull up prior grocery lists for fast reorders—all features that appeal to the time-strapped Manhattanites who were the firm’s first customers. (The Web’s not the only channel to reach customers—the firm’s iPhone app was responsible for 2.5 percent of sales just weeks after launch)(Schneiderman, 2010). Next-day deliveries are from a vast warehouse the size of five football fields located in a lower-rent industrial area of Queens. At that size, the firm can offer a fresh goods selection that’s over five times larger than local supermarkets. Area shoppers—many of whom don’t have cars or are keen to avoid the traffic-snarled streets of the city—were quick to embrace the model. The service is now so popular that apartment buildings in New York have begun to redesign common areas to include secure freezers that can accept FreshDirect deliveries, even when customers aren’t there (Croghan, 2006).

Figure 2.1 The FreshDirect Web Site and the Firm’s Tech-Enabled Warehouse Operation

The FreshDirect model crushes costs that plague traditional grocers. Worker shifts are highly efficient, avoiding the downtime lulls and busy rush hour spikes of storefronts. The result? Labor costs that are 60 percent lower than at traditional grocers. FreshDirect buys and prepares what it sells, leading to less waste, an advantage that the firm claims is “worth 5 percentage points of total revenue in terms of savings” (Fox, 2009). Overall perishable inventory at FreshDirect turns 197 times a year versus 40 times a year at traditional grocers (Schonfeld, 2004). Higher inventory turns mean the firm is selling product faster, so it collects money quicker than its rivals do. And those goods are fresher since they’ve been in stock for less time, too. Consider that while the average grocer may have seven to nine days of seafood inventory, FreshDirect’s seafood stock turns each day. Stock is typically purchased direct from the docks in order to fulfill orders placed less than twenty-four hours earlier (Laseter, et. al., 2003).

Artificial intelligence software, coupled with some seven miles of fiber-optic cables linking systems and sensors, supports everything from baking the perfect baguette to verifying orders with 99.9 percent accuracy (Black, 2002 Sieber & Mitchell, 2002). Since it lacks the money-sucking open-air refrigerators of the competition, the firm even saves big on energy (instead, staff bundle up for shifts in climate-controlled cold rooms tailored to the specific needs of dairy, deli, and produce). And a new initiative uses recycled biodiesel fuel to cut down on delivery costs.

FreshDirect buys directly from suppliers, eliminating middlemen wherever possible. The firm also offers suppliers several benefits beyond traditional grocers, all in exchange for more favorable terms. These include offering to carry a greater selection of supplier products while eliminating the “slotting fees” (payments by suppliers for prime shelf space) common in traditional retail, cobranding products to help establish and strengthen supplier brand, paying partners in days rather than weeks, and sharing data to help improve supplier sales and operations. Add all these advantages together and the firm’s big, fresh selection is offered at prices that can undercut the competition by as much as 35 percent (Green, 2003). And FreshDirect does it all with margins in the range of 20 percent (to as high as 45 percent on many semiprepared meals), easily dwarfing the razor-thin 1 percent margins earned by traditional grocers.

Today, FreshDirect serves a base of some 600,000 paying customers. That’s a population roughly the size of metro-Boston, serviced by a single grocer with no physical store. The privately held firm has been solidly profitable for several years. Even in recession-plagued 2009, the firm’s CEO described 2009 earnings as “pretty spectacular,” while 2010 revenues are estimated to grow to roughly $300 million (Schneiderman, 2010).

Technology is critical to the FreshDirect model, but it’s the collective impact of the firm’s differences when compared to rivals, this tech-enabled strategic positioning, that delivers success. Operating for more than half a decade, the firm has also built up a set of strategic assets that not only address specific needs of a market but are now extremely difficult for any upstart to compete against. Traditional grocers can’t fully copy the firm’s delivery business because this would leave them straddling two markets (low-margin storefront and high-margin delivery), unable to gain optimal benefits from either. Entry costs for would-be competitors are also high (the firm spent over $75 million building infrastructure before it could serve a single customer), and the firm’s complex and highly customized software, which handles everything from delivery scheduling to orchestrating the preparation of thousands of recipes, continues to be refined and improved each year (Valerio, 2009). On top of all this comes years of customer data used to further refine processes, speed reorders, and make helpful recommendations. Competing against a firm with such a strong and tough-to-match strategic position can be brutal. Just five years after launch there were one-third fewer supermarkets in New York City than when FreshDirect first opened for business (Shulman, 2008).


Angell, James Rowland. (1906).”Character and the Will”, Chapter 22 in Psychology: An Introductory Study of the Structure and Function of Human Consciousness, Third edition, revised. New York: Henry Holt and Company, p. 376-381.

Ellis, Carolyn. (1999). Heartful Autoethnography. Qualitative Health Research, 9(53), 669-683.

Gage, F. H. (2003, September). Brain, repair yourself. Scientific American, 46–53.

James, W. (1890). The Principles of Psychology. New York, NY: Henry Holt and Co.

Jones, R.S. & Schmid, T. J. (2000). Doing Time: Prison experience and identity. Stamford, CT: JAI Press.

Kolb, B., Gibb, K., & Robinson, T. E. (2003). Brain plasticity and behavior. Current Directions in Psychological Science, 12, 1–5.

Schmitz, T.W., Cheng, F.H. & De Rosa, E. (2010). Failing to ignore: paradoxical neural effects of perceptual load on early attentional selection in normal aging. Journal of Neuroscience, 30(44), 14750 –14758.

Totsika, V., & Wulf, G. (2003). The influence of external and internal foci of attention on transfer to novel situations and skills. Research Quarterly Exercise and Sport, 74, 220–225.

Wulf, G., Höß, M., & Prinz, W. (1998). Instructions for motor learning: Differential effects of internal versus external focus of attention. Journal of Motor Behavior, 30, 169–179.


Schau das Video: Was ist eine Funktion? - Einfach erklärt Gehe auf u0026 werde #EinserSchüler (August 2022).