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7: Regelmäßige Polygone und Kreise - Mathematik


Ein Polygon ist traditionell eine ebene Figur, die von einer endlichen Kette von geraden Liniensegmenten begrenzt wird, die sich in einer Schleife schließen, um eine geschlossene Kette zu bilden. Diese Segmente werden als Kanten oder Seiten bezeichnet, und die Punkte, an denen sich zwei Kanten treffen, sind die Eckpunkte oder Ecken des Polygons.

  • 7.1: Regelmäßige Polygone
    Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, bei dem alle Seiten gleich sind und alle Winkel gleich sind. Beispiele für ein regelmäßiges Vieleck sind das gleichseitige Dreieck (3 Seiten), das Quadrat (4 Seiten), das regelmäßige Fünfeck (5 Seiten) und das regelmäßige Sechseck (6 Seiten).
  • 7.2: Kreise
    Der Kreis ist eine der am häufigsten anzutreffenden geometrischen Figuren. Räder, Ringe, Schallplatten, Uhren, Münzen sind nur einige Beispiele für gängige Gegenstände mit Kreisform. Der Kreis hat viele Anwendungen im Maschinenbau und im architektonischen und dekorativen Design.
  • 7.3: Tangenten an den Kreis
    Eine Tangente an einen Kreis ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt schneidet.
  • 7.4: Grad in einem Bogen
    Die Gradzahl in einem Bogen ist definiert als die Gradzahl des Zentralwinkels, der den Bogen schneidet.
  • 7.5: Umfang eines Kreises
    Der Umfang eines Kreises ist der Umfang des Kreises, die Länge der Linie, die durch Schneiden des Kreises und "Begradigen der Kurven" erhalten wird.
  • 7.6: Fläche eines Kreises

Miniaturansicht: Regelmäßiges Sechseck mit Anmerkung. (CC0; László Németh über Wikipedia)


Fläche eines Kreises oder regelmäßigen Polygons

Es ist eine schöne Möglichkeit zu sehen, warum die Formel für die Fläche eines Kreises mit Radius R lautet: Pi * R 2 .
Es hat eine interessante Beziehung zu der Formel für den Umfang eines Kreises, die 2 * Pi * R ist (und das ist eine Folge der Definition von Pi, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist .)

Betrachten Sie also a regelmäßiges Vieleck, die eine N-seitige Figur mit gleichen Seitenlängen S und gleichen Winkeln an jeder Ecke ist. Da ist ein eingeschriebener Kreis zu dem Polygon, das den Mittelpunkt C hat und den Mittelpunkt jeder Seite gerade noch berührt. Eine Linie von C zum Mittelpunkt einer Seite heißt Apothema, und nehmen an, dieses Apothem hat die Länge R.

Wenn Sie das Polygon entlang von Linien von jeder Ecke des Polygons zum Mittelpunkt C schneiden, erhalten Sie eine Reihe von Dreiecken, jedes mit der Fläche (1/2) * (Basis) * (Höhe). Beachten Sie, dass jede (Basis) die Länge S hat und die (Höhe) die Länge R des Apothems ist, und es gibt N solcher Dreiecke. Somit ist die Gesamtfläche des Polygons N*(1/2)*S*R, was anders ausgedrückt ist:
(1/2) (Umfang des Polygons) * R

Beachten Sie nun, dass, wenn Sie N, die Anzahl der Seiten des Polygons, immer größer werden lassen, die Fläche des Polygons sich der Fläche eines Kreises mit Radius R annähert. Andererseits nähert sich der Umfang dem Umfang eines Kreises, Wenn N gegen unendlich geht, nähert sich die obige Formel:
(1/2) (2 * Pi * R) * R

das ist nur Pi*R 2 , die Fläche eines Kreises!

Präsentationsvorschläge:
Zeichnen Sie einen Kreis und schneiden Sie ihn in dünne Tortenstücke. Dann helfen Sie den Schülern zu sehen, dass jeder Tortenkeil durch ein sehr dünnes Dreieck angenähert wird, und wenn wir den Tortenkuchen in immer mehr Keile schneiden, wird diese Näherung immer besser und im Grenzfall wird die Näherung gleich.

Die Mathematik hinter der Tatsache:
Der Prozess der Näherung der Kreisfläche durch Aufschneiden in dünne Keile ist analog zum Prozess der Integration (in der Infinitesimalrechnung), um eine Fläche zu finden. Im Grenzfall wird diese Näherung immer besser. Um die Beziehung zwischen Umfang und Fläche umgekehrt zu sehen, wobei Ableitungen eine Rolle spielen, siehe Oberfläche einer Kugel. Weitere Verbindungen zwischen Polygonen und Kreisen finden Sie unter Rollende Polygone.


Vergleich zwischen regelmäßigen Polygonen

In diesem Experiment addiere ich den Innenradius (nennen wir es $A$ ) und den Umkreisradius (nennen wir es $B$ ) verschiedener Polygone mit gleichen Seiten gleich $1$ (beginnend mit einem Quadrat und Hinzufügen einer Seite jedes Mal). Das Ergebnis ist $A+B=C$, wenn die Seite des Polygons = 1 ist.

Beim Vergleich von $C$ eines Polygons mit $C$ eines Polygons mit einer Seite mehr scheint der Unterschied kleiner zu werden, als ob man sich einer Version von $pi$ Zahl mit .$ zuvor nähert (möglicherweise wie 0.314159265359. ).

Kann das jemand bestätigen oder näher erläutern?

Ich kann in meiner Rechenleistung nicht über ein Polygon mit 1000 Seiten gehen und möchte wissen, was mich erwartet, wenn ich auf ein Polygon mit unendlichen Seiten zusteuere.

4-seitiges Polygon: .5 + 0.707106781 = 1.207106781$

5-seitiges Polygon: 0,68819096 + 0,850650808 = 1,5388417680000002$ (Differenz von 0.33173498700000015 aus dem vorherigen Ergebnis)

6-seitiges Polygon: .866025404 +1 = 1.866025404$ (Differenz von 0.3271836359999998 aus dem vorherigen Ergebnis)

7-seitiges Polygon: $1.0382607 + 1.15238244 = 2.1906431399999997$ (Differenz von 0.32461773599999977 aus dem vorherigen Ergebnis)

8-seitiges Polygon: $1.20710678 + 1.30656296 = 2.51366974$ (Differenz von 0.3230266000000004 aus dem vorherigen Ergebnis)

9-seitiges Polygon: $1,37373871 + 1,4619022 = 2,83564091$ (Differenz von 0.32197116999999986 aus dem vorherigen Ergebnis)

10-seitiges Polygon: $1.53884177 + 1.61803399 = 3.15687576$ (Differenz von 0.3212348500000002 aus dem vorherigen Ergebnis)

11-seitiges Polygon: $1,70284362+ 1,77473277 = 3,47757639$ (Differenz von 0.3207006299999997 aus dem vorherigen Ergebnis)

12-seitiges Polygon: $1.8660254+ 1.93185165 = 3.79787705$ (Differenz von 0.32030066 aus dem vorherigen Ergebnis)

13-seitiges Polygon: $2.02857974+ 2.08929073 = 4.11787047$ (Differenz von 0.31999341999999986 aus dem vorherigen Ergebnis)

14-seitiges Polygon: $2,19064313 + 2,2469796 = 4,43762273$ (Differenz von 0.31975226000000045 aus dem vorherigen Ergebnis)

15-seitiges Polygon: $2.35231505+ 2.40486717 = 4.757182220000001$ (Differenz von 0.3195594899999996 aus dem vorherigen Ergebnis)

999-seitiges Polygon: 158,995264 $ + 158,99605 = 317.991314 $

1000-seitiges Polygon: $ 159,154419 + 159,155205 = 318,309624 $ (Differenz von 0.31830999999999676 aus dem vorherigen Ergebnis)


Was ist ein Kreis?

  • Der Radius eines Kreises ist ein Liniensegment, das den Mittelpunkt des Kreises mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis verbindet. In jedem Kreis gibt es viele gleich lange Radien.
  • Der Durchmesser jedes Kreises ist doppelt so lang wie der Radius.
  • Eine Linie, die zwei beliebige Punkte auf dem Kreis verbindet, wird als Sehne bezeichnet. Die größte Sehne geht durch den Mittelpunkt des Kreises und wird als Durchmesser des Kreises bezeichnet.

Abb. 2: Beispiele für Kreise

Fliesen mit Fünfecken

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Am 14. August 2015 gaben Casey Mann, Jennifer McLoud und David Von Derau von der University of Washington Bothell bekannt, dass sie ein neues unregelmäßiges Fünfeck entdeckt haben, das das Flugzeug kacheln würde. Vor dieser Ankündigung gab es nur vierzehn bekannte Fünfecke, die das Flugzeug kacheln. 1918 entdeckte Karl Reinhardt die ersten fünf, 1968 entdeckte Richard Kerschner drei weitere. 1975 fand Richard E. James III einen Neunten. Die Amateurmathematikerin Marjorie Rice entdeckte 1976 und 1977 vier neue Typen. 1985 entdeckte Rolf Stein den vierzehnten. Dann, im Jahr 2015, erschien die Veröffentlichung des fünfzehnten Fünfecks. (Interessanterweise hat Michaël Rao 2017 bewiesen, dass es nicht mehr als diese fünfzehn gibt.)

“Tiling with Pentagons” wurde zu einer der besten Sessions des Herbstes 2015 für den Math Teachers' Circle von North Louisiana in Shreveport, Louisiana. Die Teilnehmer liebten es, mit neu entdeckter Mathematik zu arbeiten, die sie in ihrem eigenen Klassenzimmer anwenden konnten.

Zu Beginn der Sitzung haben wir eine kurze Überprüfung der konvexen Polygone und ihrer Eigenschaften durchgeführt. Insbesondere überprüften die Teilnehmer die Namen bestimmter Polygone und arbeiteten daran, das Maß jedes Winkels eines regelmäßigen Polygons mit Seiten von drei bis zwölf zu finden. Die Lehrer erinnerten daran, dass ein regelmäßiges Vieleck Seiten gleicher Länge und Winkel gleichen Maßes hat. Ausgehend von der Tatsache, dass die Winkel eines Dreiecks eine Summe von 180 Grad haben, wurden die Lehrer ermutigt, eine Formel zu finden, die für jedes konvexe Polygon funktioniert.

Nachdem wir diese Informationen über konvexe Polygone gemeistert hatten, gingen wir zu regulären Tessellationen über. Eine regelmäßige Tessellation verwendet Kopien desselben regelmäßigen Polygons, um eine ebene Fläche (Ebene) ohne Löcher und ohne Überlappung abzudecken. Außerdem sollte die Anzahl der Polygone, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen, für alle Scheitelpunkte gleich sein. Die Lehrer verwendeten den Begriff „einen Punkt bedecken“, um die Füllung des gesamten Raums um einen Scheitelpunkt anzuzeigen. Dies bedeutete, dass die Summe der Winkel, die sich an einem Scheitelpunkt treffen, 360° betragen muss. Die Teilnehmer stellten schnell fest, dass Dreieck, Quadrat und Sechseck die einzigen regelmäßigen konvexen Polygone sind, die tessellieren. Auf die Frage nach einem Beweis für diese Tatsache teilten die Lehrer mit, dass dies die einzigen regelmäßigen Vielecke seien, deren einzelne Winkelmaße Faktoren von 360 Grad seien.

Die Diskussion wandte sich dann anderen Möglichkeiten der Tessellation zu. Die diskutierten Möglichkeiten waren: Erlauben der Verwendung von mehr als einer Form Erlauben einer unterschiedlichen Anzahl von Polygonen, die sich an einem Scheitelpunkt treffen, oder Verwenden von nicht-regulären Polygonen. Mit ein wenig Anleitung konzentrierten sich die Teilnehmer darauf, ob es nicht-reguläre konvexe Polygone gibt, die immer tessellieren. Die Entdeckung war, dass jedes Dreieck oder jedes konvexe Viereck tesselliert. Wenn Sie sechs Kopien eines Dreiecks so anordnen, dass jeder Winkel des Dreiecks an jedem Scheitelpunkt zweimal erscheint, wird die Ebene abgedeckt. Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt 180°, und wenn sich zwei Kopien jedes Winkels an einem Scheitelpunkt treffen, beträgt die Summe 360°. In ähnlicher Weise wird auch jedes konvexe Viereck die Ebene kacheln, da die Summe der Winkel in einem konvexen Viereck 360° beträgt. Wenn Sie die Vierecke so anordnen, dass sich jeder Winkel an einem Scheitelpunkt trifft, wird die Ebene abgedeckt.

Als nächstes diskutierten wir Fünfecke. Die Teilnehmer wussten, dass nicht alle Fünfecke das Flugzeug kacheln würden, da das normale Fünfeck das Flugzeug nicht kachelte. Sie fragten sich jedoch, ob es irgendwelche konvexen Fünfecke gab, die das Flugzeug kacheln würden.

Zu diesem Zeitpunkt teilten sich die Lehrer in fünf Gruppen auf. Jede Gruppe erhielt ein paar Kartonbögen eines einzigartigen Fünfecks und fragte, ob dieses Fünfeck tessellieren würde. Wir nannten die verschiedenen Fünfecke A, B, C, D und E.

Die Lehrer schnitten mehrere Kopien ihres Fünfecks aus und ordneten sie auf Tischen an. Einige der Fünfecke ließen sich leicht tesselieren. In anderen Fällen kamen die Teilnehmer zu der Entscheidung, dass die Form nicht tessellieren würde.

Als die Lehrer Schwierigkeiten hatten, einige der Formen zum Tesselieren zu bringen, gaben wir einige zusätzliche Informationen über die Größe der Winkel, in der Hoffnung, dass sie so Anordnungen von Winkeln sehen würden, die sich auf 360 Grad addieren würden. Einige der Gruppen fanden die zusätzlichen Informationen hilfreich und konnten dann eine Tessellation erstellen, aber einige Gruppen hatten immer noch Probleme mit den schwierigeren Formen.

Form eins (A) B + C = 180°, A + D + E = 360°
Form fünf (B) a = b, d = e, A = 60°., D=120°.
Form Sechs (C) a = d = e, b = c, B + D = 180°, 2B = E
Form dreizehn (D) d = 2a = 2e, B = E = 90°, 2A + D = 360°
Form fünfzehn (E) a = c = e, b = 2a, A = 150°, B = 60°, C=135°, D = 105°, E = 90°

Nachdem jede Gruppe Zeit hatte, ihre Erfahrungen zu erkunden und auszutauschen, erfuhren sie, dass alle bereitgestellten Fünfecke das Flugzeug abdecken würden. Dies führte zu einer Diskussion der Geschichte des Tessellierens mit konvexen Fünfecken. An diesem Punkt wurden die Lehrer informiert, dass Shape E erst wenige Monate vor unserem Treffen entdeckt worden war und der fünfzehnte Polygontyp war, der tessellieren würde. Dies führte zu einer spannenden Diskussion über die Methoden zur Entdeckung dieses neuen Typs. Zum Abschluss des Treffens haben wir Links zu aktuellen Presseartikeln geteilt.

Ein paar Monate später, als die Lehrer über die Gestaltung eines neuen T-Shirts für die Gruppe diskutierten, wollten die Lehrer die fünfzehnte Fünfeck-Kachelung auf der Rückseite unserer Shirts mit den Worten “ Discovering New Math Every Day!” . anbringen

Die Arbeit mit neu entdeckter Mathematik war für alle eine spannende Erfahrung. Es gab keine Lehrbücher oder entmutigende Formeln, nur Beobachtungen, Muster, Diskussionen und jede Menge Nachforschungen.

Diese Sitzung könnte Teil einer größeren Reihe von Sitzungen zum Thema Kacheln sein. Siehe zum Beispiel den Artikel von White und Bennett über semi-reguläre Kacheln im Sommer/Herbst 2016 MTCircular und Rodins Artikel über Escher-ähnliche Kacheln im Sommer/Herbst 2014 MTCircular.


Regelmäßiges Vieleck und Kreise

Satz. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen umschriebenen Kreis und einen eingeschriebenen Kreis.

Beweis.

Zeichne bei einem regelmäßigen n-Eck die Winkelhalbierenden seiner Innenwinkel . Da die Innenwinkel eines regelmäßigen n-Ecks kongruent sind, erhält man n gleichschenklige Dreiecke. (Weitere Einzelheiten finden Sie unter Bestimmen aus Winkeln, dass ein Dreieck gleichschenklig ist.) Darüber hinaus haben diese gleichschenkligen Dreiecke kongruente Basen, da die Seiten des regulären n -Ecks kongruent sind. Somit sind diese Dreiecke kongruent (ASA). Daher sind die an die Scheitelwinkel angrenzenden Seiten deckungsgleich. Somit fallen die Eckpunkte zweier benachbarter Dreiecke und damit aller Dreiecke zusammen. Dieser gemeinsame Scheitelpunkt ist von allen Scheitelpunkten des Polygons und auch von allen Seiten des Polygons gleich weit entfernt, daher ist er gleichzeitig der Mittelpunkt ( http://planetmath.org/Center8 ) des umschriebenen Kreises und des eingeschriebenen Kreises. ∎

Um den Beweis zu veranschaulichen, wird das im Beweis erläuterte Verfahren für ein regelmäßiges Fünfeck und ein regelmäßiges Sechseck demonstriert. In den Bildern unten befindet sich das regelmäßige Fünfeck links und das regelmäßige Sechseck rechts.

Im ersten Bild sind die n Winkelhalbierenden blau eingezeichnet. Beachten Sie, wie sie sich alle an einem Punkt schneiden. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks.

Im zweiten Bild sind die n Winkelhalbierenden nur zur Mitte hin gezeichnet. Beachten Sie, dass sich das resultierende Bild für das regelmäßige Sechseck nicht vom vorherigen Bild unterscheidet.

Im letzten Bild ist der eingeschriebene Kreis in Grün gezeichnet und der umschriebene Kreis in Cyan.


Figuren und Polygone

Ein Polygon ist eine geschlossene Figur, die durch das Verbinden von Liniensegmenten entsteht, wobei jedes Liniensegment genau zwei andere schneidet.

Im Folgenden sind Beispiele für Polygone aufgeführt:

Die folgende Abbildung ist kein Polygon, da es sich nicht um eine geschlossene Abbildung handelt:

Die folgende Abbildung ist kein Polygon, da sie nicht aus Liniensegmenten besteht:

Die folgende Abbildung ist kein Polygon, da sich ihre Seiten nicht an jeweils genau zwei Stellen schneiden:

Regelmäßiges Vieleck

Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, dessen Seiten alle gleich lang sind und dessen Winkel alle gleich sind. Die Summe der Winkel eines Polygons mit nein Seiten, wo nein 3 oder mehr beträgt, ist 180° × ( nein - 2) Grad.

Im Folgenden sind Beispiele für regelmäßige Polygone aufgeführt:

Die folgenden Beispiele sind keine Beispiele für regelmäßige Polygone:

Scheitel

1) Der Scheitelpunkt eines Winkels ist der Punkt, an dem sich die beiden Strahlen, die den Winkel bilden, schneiden.

2) Die Eckpunkte eines Polygons sind die Punkte, an denen sich seine Seiten schneiden.

Dreieck

Ein dreiseitiges Polygon. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180 Grad.

Gleichseitiges Dreieck oder gleichseitiges Dreieck

Ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind. Die Winkel eines gleichseitigen Dreiecks betragen alle 60 Grad.

Gleichschenkligen Dreiecks

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten.

Ungleichseitiges Dreieck

Ein Dreieck mit drei unterschiedlich langen Seiten.

Spitzwinkliges Dreieck

Ein Dreieck mit drei spitzen Winkeln.

Stumpfes Dreieck

Ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel. Einer der Winkel des Dreiecks misst mehr als 90 Grad.

Rechtwinkliges Dreieck

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Einer der Winkel des Dreiecks misst 90 Grad. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die besondere Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate der Beinlängen gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Dies ist als Satz des Pythagoras bekannt.

Für das obige rechtwinklige Dreieck sind die Schenkellängen A und B und die Hypotenuse hat die Länge C. Mit dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass A 2 + B 2 = C 2 .

Im obigen rechtwinkligen Dreieck hat die Hypotenuse die Länge 5, und wir sehen 3 2 + 4 2 = 5 2 nach dem Satz des Pythagoras.

Viereck

Ein vierseitiges Polygon. Die Winkelsumme eines Vierecks beträgt 360 Grad.

Rechteck

Ein vierseitiges Polygon mit allen rechten Winkeln. Die Summe der Winkel eines Rechtecks ​​beträgt 360 Grad.

Quadrat

Ein vierseitiges Polygon mit gleich langen Seiten, die sich im rechten Winkel treffen. Die Winkelsumme eines Quadrats beträgt 360 Grad.

Parallelogramm

Parallelogramm

Ein vierseitiges Polygon mit zwei Paaren paralleler Seiten. Die Winkelsumme eines Parallelogramms beträgt 360 Grad.

Rhombus

Ein vierseitiges Polygon, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Die Summe der Winkel einer Raute beträgt 360 Grad.

Trapezoid

Ein vierseitiges Polygon mit genau einem Paar paralleler Seiten. Die beiden parallelen Seiten werden als Grundflächen des Trapezes bezeichnet. Die Winkelsumme eines Trapezes beträgt 360 Grad.

Pentagon

Ein fünfseitiges Polygon. Die Summe der Winkel eines Fünfecks beträgt 540 Grad.

Hexagon

Ein sechsseitiges Polygon. Die Winkelsumme eines Sechsecks beträgt 720 Grad.

Heptagon

Ein siebenseitiges Polygon. Die Winkelsumme eines Siebenecks beträgt 900 Grad.

Achteck

Ein achtseitiges Polygon. Die Summe der Winkel eines Achtecks ​​beträgt 1080 Grad.

Nonagon

Ein neunseitiges Polygon. Die Summe der Winkel eines Neunecks beträgt 1260 Grad.

Zehneck

Ein zehnseitiges Polygon. Die Winkelsumme eines Zehnecks beträgt 1440 Grad.

Kreis

Ein Kreis ist die Ansammlung von Punkten in einer Ebene, die alle den gleichen Abstand von einem Fixpunkt haben. Der Fixpunkt wird Zentrum genannt. Ein Liniensegment, das den Mittelpunkt mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis verbindet, wird als Radius bezeichnet.

Die blaue Linie ist der Radius r und die Ansammlung roter Punkte ist der Kreis.

Konvex

Eine Figur ist konvex, wenn jedes Liniensegment, das zwischen zwei beliebigen Punkten innerhalb der Figur gezogen wird, vollständig innerhalb der Figur liegt. Eine nicht konvexe Figur wird als konkave Figur bezeichnet.

Die folgenden Figuren sind konvex.

Die folgenden Figuren sind konkav. Beachten Sie das rote Liniensegment zwischen zwei Punkten innerhalb der Figur, das auch außerhalb der Figur verläuft.


Bestimmen der Fläche eines konvexen regelmäßigen Vielecks

Den Umfang eines regelmäßigen Vielecks zu bestimmen ist eine relativ triviale Aufgabe. Sobald Sie die Länge einer Seite kennen, multiplizieren Sie sie einfach mit der Anzahl der Seiten, um den Umfang zu erhalten. Suche nach Bereich eines regelmäßigen Vielecks ist nicht ganz so einfach. Das einfachste regelmäßige Vieleck ist das gleichseitige Dreieck. Wenn wir die Länge jeder Seite kennen, können wir die Fläche relativ leicht bestimmen, denn die Fläche eines Dreiecks wird ermittelt, indem die Länge der Basis des Dreiecks mit seiner Höhe multipliziert und durch zwei geteilt wird. Wenn wir eine Seite als Basis des Dreiecks nehmen, können wir den Satz des Pythagoras verwenden, um die Höhe zu bestimmen. Betrachten Sie das folgende gleichseitige Dreieck:

Dreieck ABC ist ein gleichseitiges Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck ABC wird die Länge jeder Seite des Dreiecks dargestellt durch so . Die Höhe ha des Dreiecks ist die Länge der Senkrechten vom Mittelpunkt D der Basis des Dreiecks bis zum Scheitelpunkt B . Da das Dreieck ABD ein rechtwinkliges Dreieck ist, sagt uns der Satz des Pythagoras, dass die Länge der Senkrechten BD , und damit die Höhe ha des Dreiecks, kann mit der folgenden Formel ermittelt werden:

Wenn wir den Wert von kennen so Daher können wir die Höhe ( BD ) des Dreiecks und damit die Fläche des Dreiecks (die Fläche ist gleich der halben Länge der Basis multipliziert mit der Höhe). Wenn wir einen Wert für haben so von sechs ( 6 ) erhalten wir folgendes:

ha = √ (6 2 - 3 2 ) = √ (36 - 9) = √ 27 = 5.196

Wir können nun die Fläche des Dreiecks berechnen:

Fläche des Dreiecks = 6 × 5.196 = 15.588
2

Alternativ könnten wir die folgende Formel verwenden, die es uns ermöglicht, die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks zu bestimmen, ohne zuerst die Höhe des Dreiecks bestimmen zu müssen, vorausgesetzt, wir kennen die Länge so von jeder Seite:

Fläche des Dreiecks = so 2 × √ 3
4

Mit dieser Formel verwenden wir wieder einen Wert für so von sechs erhalten wir folgendes:

Fläche des Dreiecks = 36 × 1.732 = 15.588
4

Das Bestimmen der Fläche eines Quadrats ist eine triviale Aufgabe, da die Fläche einfach die Länge einer Seite multipliziert mit sich selbst (d. h. zum Quadrat) ist. Die Fläche eines regelmäßigen konvexen Polygons mit mehr als vier Seiten zu finden ist nicht ganz so einfach, obwohl es eine einfache Formel gibt, die angewendet werden kann, vorausgesetzt, wir kennen die Länge jeder Seite und die Länge der Apothema (Das Liniensegment verbindet den Mittelpunkt des Polygons mit dem Mittelpunkt einer beliebigen Seite). Die Länge des Apothems für ein gegebenes regelmäßiges Vieleck mit nein Seiten der Länge so kann mit einer Reihe verschiedener Formeln gefunden werden, aber da alle diese Formeln trigonometrische Funktionen verwenden, werden wir sie hier nicht diskutieren. Nehmen wir stattdessen an, dass wir für die Zwecke dieser Übung das Apothem durch Messung gefunden haben. Wir können die folgende Formel verwenden, um die Fläche zu finden:

Fläche des konvexen regelmäßigen Vielecks = ap
2

Betrachten Sie das folgende Achteck:

Das Achteck hat eine Seitenlänge von 6 und ein Apothem von 7,243

Das oben gezeigte Achteck hat eine Seitenlänge von sechs ( 6 ) und ein Apothem von sieben Komma zwei vier drei (7.243). Das Areal p des Achtecks ​​ist die Länge einer Seite (sechs) multipliziert mit der Gesamtzahl der Seiten (acht), was einen Wert für angibt p von Achtundvierzig (48). Wir können nun die Fläche des Achtecks ​​wie folgt berechnen:

Um dieses Ergebnis noch einmal zu überprüfen, können wir das Problem der Bestimmung der Fläche des Achtecks ​​aus einer anderen Perspektive angehen, um zu sehen, ob wir das gleiche Ergebnis erhalten. Betrachten Sie das folgende Diagramm, das das gleiche Achteck zeigt, jedoch mit einer zusätzlichen Konstruktion:

Das Achteck hat Innenwinkel von 135° und Außenwinkel von 45°

Wir wissen bereits, dass ein Achteck Innenwinkel von einhundertfünfunddreißig Grad ( 135° ) hat, und da der Innen- und Außenwinkel eines konvexen Vielecks ergänzend (d.h. sie addieren sich zu einhundertachtzig Grad) dann die extern Winkel müssen fünfundvierzig Grad (45°) betragen. Das Dreieck ABC hat daher zwei Winkel von jeweils fünfundvierzig Grad, der verbleibende Winkel muss also neunzig Grad (90°) betragen, was dieses Dreieck zu einem rechtwinkligen Dreieck macht. Außerdem muss das Dreieck ABC bei zwei gleichen Winkeln an . sein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck, was bedeutet, dass Bein AB hat die gleiche Länge wie das Bein BC . Wir können daher den Satz des Pythagoras verwenden, um die Länge von Liniensegmenten zu bestimmen AB und BC :

AB = BC = √ so 2 = √ 18 = 4.243
2

Wir können tatsächlich vier rechtwinklige Dreiecke konstruieren, wie in der Abbildung unten gezeigt, um das Achteck in ein Quadrat umzuwandeln. Die Fläche des Quadrats kann berechnet werden, indem die Gesamtlänge einer Seite mit sich selbst multipliziert wird (d. h. mit quadrieren es).

Vier kongruente Dreiecke können konstruiert werden, um das Achteck in ein Quadrat umzuwandeln

Die Fläche des Achtecks ​​kann durch Subtrahieren der Fläche der vier rechtwinkligen Dreiecke von der Fläche des Quadrats ermittelt werden. Die Berechnung wird wie folgt aussehen:

Fläche des Achtecks = (4.243 × 2 + 6) 2 - 4 × 4.243 2
2

Fläche des Achtecks = 14.486 2 - 4 × 9.001 = 209.844 - 36.004 = 173.84

Die Antwort, die wir hier erhalten, ist im Wesentlichen die gleiche Antwort, die wir zuvor erhalten haben, wobei der (sehr kleine) Unterschied auf Rundungsfehler zurückzuführen ist. Während dieser Ansatz für das Fünfeck funktioniert, funktioniert er jedoch nicht so gut für andere regelmäßige Polygone, sodass die Apothemformel eine allgemeiner anwendbare Lösung ist. Mal sehen, wie es funktioniert.

Der Winkel, der in der Mitte eines konvexen regelmäßigen Vielecks durch zwei benachbarte Radiuslinien gebildet wird, wird als bezeichnet Zentralwinkel. Für ein nein -seitiges Polygon, der Zentralwinkel beträgt dreihundertsechzig Grad geteilt durch nein ( 360° ÷ nein ). Die beiden Radiuslinien bilden zusammen mit der Seite des Polygons, an die sie aneinandergrenzen, ein gleichschenkliges Dreieck. Im Diagramm unten, eine Seite so eines Fünfecks bildet die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ABC , wobei die angrenzenden Radien die seitlichen Seiten des Dreiecks bilden. Seit apothem ein bildet die Senkrechte, die die Basis des Dreiecks mit dem Scheitelpunkt verbindet B , dann entspricht die Höhe des Dreiecks der Länge des Apothems.

Ein gleichschenkliges Dreieck wird von einer Seite und zwei benachbarten Radiuslinien gebildet formed

Jede Seite eines Polygons bildet die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, und die Fläche des Polygons kann durch Addieren der Flächen aller so gebildeten Dreiecke ermittelt werden. Die Fläche eines Dreiecks wird mit der folgenden Formel ermittelt:

Fläche des Dreiecks = Base × Höhe
2

Die Fläche eines Polygons mit nein Seiten könnte man also wie folgt ausdrücken:

Fläche des konvexen regelmäßigen Vielecks = nein × Base × Höhe
2

Wir haben bereits festgestellt, dass die Länge der Basis des Dreiecks gleich der Länge so einer der Seiten des Polygons. Wir haben auch festgestellt, dass die Länge p des Umfangs des Polygons ist gleich der Anzahl der Seiten nein multipliziert mit der Länge so jeder Seite. Vorausgesetzt, die Höhe des Dreiecks ist gleich der Länge ein des Apothems können wir die Formel umschreiben als:

Fläche des konvexen regelmäßigen Vielecks = ap
2


2 Antworten 2

Verwenden Sie die Standardformel: Die Fläche eines elementaren Dreiecks ist das halbe Apothem ( $a$ ) mal die Länge einer Seite ( $s$ ).

Wenn das regelmäßige Polygon $n$ Seiten hat, sind das Apothem und die halbe Seitenlänge $a=rcosfracpi n,qquad s=rsinfracpi n.$ Können Sie fortfahren?

Betrachten Sie dieses Bild. Ich habe deine genommen und sie ein wenig modifiziert, indem ich einige Konstruktionen hinzugefügt habe, die für den Beweis dieser Aussage nützlich sein werden. Beachten Sie, dass dieses Bild nur als Referenz verwendet werden sollte, da der Beweis für jedes regelmäßige Polygon mit n-Seiten in den Kreis gültig sein muss.

Betrachten Sie ein regelmäßiges Vieleck mit einer beliebigen Anzahl von Seiten ( $n$ Seiten ), die in den Kreis eingeschrieben sind.

Wir können jetzt einige Linien zeichnen, die von der Mitte aus beginnen und an jedem der Eckpunkte des Polygons enden. Diese Linien haben die gleiche Länge wie der Radius des Umfangs, den ich $R$ . nennen kann

Sie können sehen, dass das ursprüngliche Polygon jetzt in einige Dreiecke unterteilt ist. Die Idee ist, dass ich die Fläche des ursprünglichen Polygons als Summe der Flächen der Dreiecke ausdrücken kann.

Wenn wir ein Quadrat betrachten, haben wir vier dieser Dreiecke, aber wie viele haben wir, wenn wir ein allgemeines regelmäßiges Vieleck mit $n$ Seiten betrachten?

Lassen Sie uns den gleichen Vorgang wiederholen, aber auf allgemeinere Weise. Jedes Dreieck wird durch zwei dieser Linien gebildet, die von der Mitte und einer Seite des einbeschriebenen Polygons beginnen. Betrachten Sie die Seiten des einbeschriebenen Polygons als die Basis dieser Dreiecke, dh wir können höchstens $n$ mögliche Basen und somit höchstens $n$ mögliche Dreiecke für ein Polygon mit $n$ Seiten haben.

Jetzt möchte ich, dass Sie jedes Dreieck separat betrachten. Was sind die Maßnahmen seiner Seiten?

Jedes Dreieck besteht aus zwei gleichen Seiten, die dem Umfangsradius $R$ entsprechen, und die dritte Seite ist eine der Seiten des einbeschriebenen Polygons, das ich $l$ nennen kann. Da die Seiten des gleichen regelmäßigen Vielecks gleich sind, sind alle $n$-Dreiecke kongruent, weil sie 3 gleiche Seiten haben.

Fragen Sie sich jetzt, was bedeutet Kongruenz? Eine Kongruenzbeziehung zwischen zwei Polygonen bedeutet, dass sich die Polygone überlappen können. Wir haben $n$ Dreiecke und sie sind kongruent, also können sie überlappt werden. Wenn Sie alle diese sechs Dreiecke überlappen können, muss jedes die gleiche Fläche einnehmen, also haben alle diese $n$-Dreiecke die gleiche Fläche.

Lassen Sie uns nun eines dieser Dreiecke separat analysieren und versuchen, seine Fläche zu berechnen.

die Fläche eines Dreiecks ist $frac<1><2>bh$ und da die Basis die Seite des regelmäßigen Vielecks ist, kann ich es als $frac<1><2>lh$ schreiben.

Ich beginne damit, die Höhe $h$ des Dreiecks zu zeichnen, die das ursprüngliche Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Das ursprüngliche Dreieck hat zwei Seiten gleich dem Umfangsradius, daher ist seine Höhe auch der mittlere Punkt der Basis. Das bedeutet, dass jedes der beiden rechtwinkligen Dreiecke $frac<2>$ als Basis und $h$ als Höhe.

Betrachten Sie nun die Höhe $h$ des Dreiecks. Sie können den Satz des Pythagoras auf eines der beiden rechtwinkligen Dreiecke anwenden und erhalten:

$ipotenuse^2 = Seite1^2 + Seite2^2$

Durch Ersetzen der Werte:

Dies impliziert, dass $h^2 = R^2 - frac <4>= frac<4R^2-l^2><4>$

Nehmen wir die Quadratwurzel von beiden Seiten:

Jetzt können wir die Fläche des Dreiecks berechnen, indem wir den Wert, den ich für $h$ gefunden habe, in die Formel einsetzen:

Schließlich können wir die Fläche des regelmäßig eingeschriebenen Polygons berechnen. Wir haben $n$ Dreiecke mit gleicher Fläche, also ist die Gesamtfläche n multipliziert mit der Fläche eines einzelnen Dreiecks

Machen wir einige Beobachtungen, um die Formel zu vereinfachen. Zunächst einmal hat ein regelmäßiges Vieleck n gleiche Seiten, sein Umfang ist also n multipliziert mit l, $nl = p$ , also wird die Formel

Dies ist die Formel, die mit dem Radius ausgedrückt wird, aber sie ist ziemlich lang. Sie können die Tatsache verwenden, dass die Höhe jedes Dreiecks der Radius des Kreises ist, der in das regelmäßige Polygon eingeschrieben ist, sodass die Formel zu wird

$Atot = frac<1><2>pr$ wobei r der Radius des in das Polygon eingeschriebenen Kreises ist.

Da Sie auch nach dem Verhältnis in Bezug auf den um das regelmäßige Vieleck umschriebenen Kreis gefragt haben:


Schau das Video: Konstruktion siebeneck (Januar 2022).