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3.8: Übungen (Exploration) - Mathematik


  1. In den USA wird das Electoral College bei Präsidentschaftswahlen eingesetzt. Jeder Staat erhält eine Anzahl von Wählern, die der Anzahl der Abgeordneten (bezogen auf die Bevölkerung) und Senatoren (2 pro Staat) im Kongress entspricht. Da die meisten Bundesstaaten dem Gewinner der Volksabstimmung in ihrem Bundesstaat alle Wahlstimmen ihres Bundesstaates zuerkennen, fungiert das Wahlkollegium als gewichtetes Wahlsystem. Um zu erkunden, wie das Electoral College funktioniert, betrachten wir ein Mini-Land mit nur 4 Bundesstaaten. Hier ist das Ergebnis einer hypothetischen Wahl:

(egin{array}{|l|l|l|l|l|}
hline extbf { State } & extbf { Smalota } & extbf { Medigan } & extbf { Bigonia } & extbf { Hugodo }
hline ext { Bevölkerung } & 50.000 & 70.000 & 100.000 & 240.000
hline ext { Stimmen für A} & 40.000 & 50.000 & 80.000 & 50.000
hline ext { Stimmen für B} & 10.000 & 20.000 & 20.000 & 190.000
hline
end{array})

  1. Wenn dieses Land kein Wahlkollegium verwenden würde, welcher Kandidat würde die Wahl gewinnen?
  2. Angenommen, jeder Staat erhält 1 Wahlstimme pro 10.000 Einwohner. Richten Sie ein gewichtetes Wahlsystem für dieses Szenario ein, berechnen Sie den Banzhaf-Machtindex für jeden Bundesstaat und berechnen Sie dann den Gewinner, wenn jeder Bundesstaat alle seine Wahlstimmen an den Gewinner der Wahl in seinem Bundesstaat vergibt.
  3. Angenommen, jeder Staat erhält 1 Wahlstimme pro 10.000 Einwohner plus 2 zusätzliche Stimmen. Richten Sie ein gewichtetes Wahlsystem für dieses Szenario ein, berechnen Sie den Banzhaf-Machtindex für jeden Bundesstaat und berechnen Sie dann den Gewinner, wenn jeder Bundesstaat alle seine Wahlstimmen an den Gewinner der Wahl in seinem Bundesstaat vergibt.
  4. Angenommen, jeder Staat erhält 1 Wahlstimme pro 10.000 Einwohner und vergibt sie basierend auf der Anzahl der Personen, die für jeden Kandidaten gestimmt haben. Zusätzlich erhalten sie 2 Stimmen, die an den Mehrheitsgewinner des Staates vergeben werden. Berechnen Sie den Gewinner unter diesen Bedingungen.
  5. Sieht es so aus, als ob ein einzelner Staat mehr Macht im Wahlkollegium hat, wenn die Stimmenverteilung aus Teil c oder Teil d besteht?
  6. Recherchieren Sie die Geschichte des Wahlkollegiums, um herauszufinden, warum das System eingeführt wurde, anstatt eine Volksabstimmung zu verwenden. Begründen und verteidigen Sie auf Grundlage Ihrer Recherchen und Erfahrungen Ihre Meinung dazu, ob das Wahlkollegiums-System fair ist oder nicht.
  1. Der Wert des Wahlkollegiums (siehe vorheriges Problem für einen Überblick) bei modernen Wahlen wird oft diskutiert. Finden Sie einen Artikel oder ein Papier, das Argumente für oder gegen das Wahlkollegium enthält. Bewerten Sie die Quelle und fassen Sie den Artikel zusammen. Geben Sie dann Ihre Meinung dazu, warum Sie dem Standpunkt des Autors zustimmen oder nicht. Wenn es im Unterricht gemacht wird, bilden Sie Gruppen und führen Sie eine Debatte.

Übung 3.8: Ermitteln der Quadratwurzel eines Polynoms durch Divisionsmethode


2. Finden Sie die Quadratwurzel des Ausdrucks


3. Finden Sie die Werte von ein und b wenn die folgenden Polynome perfekte Quadrate sind

(i) 4x 4 − 12x 3 + 37x 2 + bx +ein

(ii) Axt 4 + bx 3 + 361x 2 + 220x + 100


4. Finden Sie die Werte von ich und nein wenn die folgenden Ausdrücke perfekte Quadrate sind

(ich)

(ii) x 4 − 8x 3 + mx 2 + nx + 16


Antworten:

1.(i) | x 2 − 6x + 3| (ii) | 2x 2 - 7x – 3| (iii) | 4x 2 + 1| (iv) | 11x 2 - 9x - 12 |


Erklärung der Lösung

Das geordnete Paar ( 2 , 6 ) ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems < x + y = 8 3 x − y = 0 genau dann, wenn es beide Gleichungen erfüllt.

Also setze zuerst ( x , y ) = ( 2 , 6 ) in die Gleichung x + y = 8 ein,

Da die letzte Aussage wahr ist, erfüllt ( 2 , 6 ) die Gleichung x + y = 8 .

Ersetzen Sie nun ( x , y ) = ( 2 , 6 ) in die Gleichung 3 x − y = 0 ,

&emsp&emsp 3 x − y = 0 3 ( 2 ) − 6 = 0 6 − 6 = 0 0 = 0

Da die letzte Aussage wahr ist, erfüllt ( 2 , 6 ) die Gleichung 3 x − y = 0 .

Somit ist ( 2 , 6 ) eine Lösung des linearen Gleichungssystems < x + y = 8 3 x − y = 0

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Frage 1.
Zerlegen Sie jedes der folgenden Polynome durch synthetische Division:
(i) x 3 – 3x 2 – 10x + 24
(ii) 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2
(iii) -7x + 3 + 4x 3
(iv) x 3 + x 2 – 14x – 24
(v) x 3 – 7x + 6
(vi) x 3 – 10x 2 – x + 10
Lösung:
(i) x 3 – 3x 2 – 10x + 24
Sei p(x) = x 3 – 3x 2 – 10x + 24
Summe aller Koeffizienten = 1 – 3 – 10 + 24 = 25 – 13 = 12 ≠ 0
Daher ist (x – 1) kein Faktor.
Summe des Koeffizienten gerader Potenzen mit Konstante = -3 + 24 = 21
Summe der Koeffizienten ungerader Potenzen = 1 – 10 = – 9
21 ≠ -9
Daher ist (x + 1) kein Faktor.
p (2) = 2 3 – 3 (2 2 ) – 10 × 2 + 24 = 8 – 12 – 20 + 24
= 32 – 32 = 0 ∴ (x – 2) ist ein Faktor.
Jetzt verwenden wir die synthetische Division, um einen anderen Faktor zu finden

Thqs (x – 2) (x + 3) (x – 4) sind die Faktoren.
∴ x 3 – 3x 2 – 10x + 24 = (x – 2) (x + 3) (x – 4)

(ii) 2x 2 – 3x 2 – 3x + 2
Sei p (x) = 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2
Summe aller Koeffizienten sind
2 – 3 – 3 + 2 = 4 – 6 = -2 ≠ 0
∴ (x – 1) ist kein Faktor
Summe der Koeffizienten gerader Potenzen von x mit Konstante = -3 + 2 = – 1
Summe der Koeffizienten ungerader Potenzen von x = 2- 3= -1
(-1) = (-1)
∴ (x + 1) ist ein Faktor
Lassen Sie uns die anderen Faktoren mithilfe der synthetischen Division finden

Quotient ist 2x 2 – 5x + 2 = 2x – 4x – x + 2 = 2x (x – 2) – 1 (x – 2)
= (x – 2) (2x – 1)
∴ 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2 = (x + 1) (x – 2) (2x – 1)

(iii) -7x + 3 + 4x 3
Sei p(x) = 4x 3 + 0x 2 – 7x + 3
Summe der Koeffizienten ist = 4 + 0 – 7 + 3
= 7 – 7 = 0
∴ (x- 1) ist ein Faktor
Summe der Koeffizienten gerader Potenzen von x mit Konstante = 0 + 3 = 3
Summe der Koeffizienten ungerader Potenzen von x mit Konstante = 4 – 7 = -3
-3 ≠ -3
∴ (x + 1) ist kein Faktor
Lassen Sie uns mit der synthetischen Division die anderen Faktoren finden.


Quotient ist 4x 2 + 4x – 3
= 4x ​​2 + 6x – 2x – 3
= 2x (2x + 3) – 1 (2x + 3)
= (2x + 3) (2x – 1)
∴ Die Faktoren sind (x – 1), (2x + 3) und (2x – 1)
∴ -7x + 3 + 4x 3 = (x + 1) (2x + 3) (2x – 1)

(iv) x 3 + x 2 – 14x – 24
Sei p (x) = x 3 + x 2 – 14x – 24
Summe der Koeffizienten ist = 1 + 1 – 14 – 24 = -36 ≠ 0
∴ (x – 1) ist kein Faktor
Summe der Koeffizienten gerader Potenzen von x mit Konstante = 1 – 24 = -23
Summe der Koeffizienten ungerader Potenzen von x = 1 – 14 = -3
-23 ≠ -13
∴ (x + 1) ist auch kein Faktor
p(2) = 2 3 + 2 2 – 14 (2) – 24 = 8 + 4 – 28 – 24
= 12 – 52 ≠ 0, (x – 2) ist kein Faktor
p (-2) = (-2) 3 + (-2) 2 – 14 (-2) – 24
= -8 + 4 + 28 – 24 = 32 – 32 = 0
∴ (x + 2) ist ein Faktor
Um die anderen Faktoren zu finden, verwenden wir die synthetische Division.

∴ Die Faktoren sind (x + 2), (x + 3), (x + 4)
∴ x 3 + x 2 – 14x – 24 = (x + 2) (x + 3) (x – 4)

(v) x 3 – 7x + 6
Sei p (x) = x 3 + 0x 2 – 7x + 6
Summe der Koeffizienten ist = 1 + 0 – 7 + 6 = 7 – 7 = 0
∴(x- 1) ist ein Faktor
Summe der Koeffizienten gerader Potenzen von x mit Konstante = 0 + 6 = 6
Summe der Koeffizienten ungerader Potenzen von x = 1 – 7 = -7
6 ≠ -7
∴ (x + 1) ist kein Faktor
Um die anderen Faktoren zu finden, verwenden wir die synthetische Division.

∴ Die Faktoren sind (x – 1), (x – 2), (x + 3)
∴ x 3 + 0x 2 – 7x + 6 = (x – 1) (x – 2) (x + 3)

(vi) x 3 – 10x 2 – x + 10
Sei p (x) = x 3 – 10x 2 – x + 10
Summe der Koeffizienten = 1 – 0 – 1 + 10
= 11 – 11 = 0
∴ (x – 1) ist ein Faktor
Summe der Koeffizienten gerader Potenzen von x mit Konstante = -10 + 10 = 0
Summe der Koeffizienten ungerader Potenzen von = 1 – 1 = 0
∴(x + 1) ist ein Faktor
Synthetische Abteilung

∴ x 3 + 10x 2 – x + 10 = (x – 1) (x + 1) (x – 10)


Frage 1.
Finden Sie die Quadratwurzel der folgenden Polynome durch die Divisionsmethode
(i) x 4 – 12x 3 + 42x 2 – 36x + 9
(ii) 37x 2 – 28x 3 + 4x 4 + 42x + 9
(iii) 16x 4 + 8x 2 + 1
(iv) 121x 4 – 198x 3 – 183x 2 + 216x + 144
Lösung:
Die lange Divisionsmethode zum Ermitteln der Quadratwurzel eines Polynoms ist nützlich, wenn der Grad eines Polynoms höher ist.


Frage 2.
Finden Sie die Quadratwurzel des Ausdrucks (frac>>-10 frac+27-10 frac+frak>>)
Lösung:

Frage 3.
Bestimme die Werte von a und b, wenn die folgenden Polynome perfekte Quadrate sind
(i) 4x 4 – 12x 3 + 37x 2 + bx + a
(ii) ax 4 + bx 3 + 361 ax 2 + 220x + 100
Lösung:
(ich)

Da es sich um ein perfektes Quadrat handelt.
Rest = 0
b + 42 = 0, a – 49 = 0
b = -42, a = 49

(ii) ax 4 + bx 3 + 361 ax 2 + 220x + 100

Da Rest 0 . ist
a = 144
b = 264

Frage 4.
Finden Sie die Werte von m und n, wenn die folgenden Ausdrücke perfekte Quadrate sind
(i) (frac<1>>-frac<6>>+frac<13>>+frak+n)
(ii) x 4 – 8x 3 + mx 2 + nx + 16
Lösung:
(ich)

(ii)

Da der Rest 0 ist,
m = 24, n = -32


Was ist mathematische Untersuchung?

Mathematische Untersuchung bezieht sich auf die nachhaltige Erforschung einer mathematischen Situation. Es unterscheidet sich von der Problemlösung, weil es ergebnisoffen ist.

1990 hörte ich zum ersten Mal von mathematischen Untersuchungen, als ich einen Aufbaustudiengang in Australien besuchte. Ich liebe es auf Anhieb und es ist seitdem eine meiner liebsten mathematischen Aktivitäten für meine Schüler, die so stolz auf sich waren, als sie ihre erste Untersuchung beendeten.

Problemlösung ist eine konvergente Aktivität. Es hat ein klares Ziel – die Lösung des Problems. Mathematische Untersuchungen sind dagegen eher eine divergierende Tätigkeit. Bei mathematischen Untersuchungen wird von den Studierenden erwartet, dass sie nach einer ersten Auseinandersetzung mit der mathematischen Situation eigene Probleme stellen. Die Erkundung der Situation, das Formulieren von Problemen und deren Lösung bieten Gelegenheit zur Entwicklung eines eigenständigen mathematischen Denkens und zur Auseinandersetzung mit mathematischen Prozessen wie dem Organisieren und Erfassen von Daten, Mustersuchen, Vermutungen, Ableiten, Begründen und Erklären von Vermutungen und Verallgemeinerungen. Es sind diese Denkprozesse, die es dem Einzelnen ermöglichen, mehr Mathematik zu lernen, Mathematik in anderen Disziplinen und in alltäglichen Situationen anzuwenden und mathematische (und nicht-mathematische) Probleme zu lösen.

Der Unterricht durch mathematische Untersuchungen ermöglicht es den Schülern, etwas über Mathematik zu lernen, insbesondere über die Natur der mathematischen Aktivität und des mathematischen Denkens. Es macht ihnen auch klar, dass das Erlernen von Mathematik Intuition, systematische Erkundung, Vermutungen und Argumentation usw. erfordert und nicht das Auswendiglernen und Befolgen bestehender Verfahren. Das ultimative Ziel der mathematischen Untersuchung besteht darin, die mathematischen Denkgewohnheiten der Schüler zu entwickeln.

Obwohl die Schüler möglicherweise dieselbe mathematische Untersuchung durchführen, wird nicht erwartet, dass alle dasselbe Problem von einem bestimmten Ausgangspunkt aus betrachten. Die “Offenheit” vieler Untersuchungen bedeutet auch, dass die Schüler möglicherweise nicht die gesamte Situation vollständig abdecken. Zumindest für die eigene Zufriedenheit des Schülers ist es jedoch wünschenswert, bestimmte Ergebnisse für eine Untersuchung zu erzielen. Wesentlich ist, dass die Studierenden die folgenden mathematischen Prozesse erleben, die den Schwerpunkt der mathematischen Untersuchung bilden:

  • systematische Erkundung der gegebenen Situation
  • Formulierung von Problemen und Vermutungen
  • versucht, die Vermutungen mathematisch zu begründen.

Bei dieser Art von Aktivität und Unterricht wird den Schülern mehr Gelegenheit gegeben, ihre eigenen Lernerfahrungen zu gestalten. Beachten Sie, dass eine Problemlösungsaufgabe in eine Untersuchungsaufgabe umgewandelt werden kann, indem das Problem erweitert wird, indem beispielsweise eine der Bedingungen variiert wird. Um mehr über das Lösen von Problemen zu erfahren und wie sie sich von der mathematischen Untersuchung unterscheiden, lesen Sie meinen Beitrag über Übungen, Problemlösung und mathematische Untersuchung.

Einige Eltern und sogar Lehrer beschweren sich darüber, dass die Schüler bei dieser Art von Aktivität keine Mathematik lernen. In der Tat werden sie es nicht tun, wenn der Lehrer die Ergebnisse der Untersuchung nicht bespricht, die falschen Vorstellungen hervorhebt und korrigiert, die Ergebnisse der Schüler zusammenfasst und den Schülern hilft, eine Verbindung zwischen den in der Untersuchung behandelten mathematischen Konzepten herzustellen. Es versteht sich von selbst, dass Lehrer die Untersuchung zuerst ausprobieren sollten, bevor sie sie an die Schüler weitergeben.

Ich denke, mathematische Untersuchungen sind konstruktivistische Lehre vom Feinsten. Eine Beispiellektion finden Sie unter Polygone und algebraische Ausdrücke.

Das folgende Buch bietet College-Studenten eine Untersuchung zum “Start-up”.


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Wenn Sie planen, Technologie in Ihrem Unterricht einzusetzen, haben Sie immer einen Plan B!

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