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6.2: Volumen durch Slicing bestimmen


Lernziele

  • Bestimmen Sie das Volumen eines Festkörpers, indem Sie einen Querschnitt integrieren (Schnittmethode).
  • Ermitteln Sie das Volumen eines Rotationskörpers mit der Scheibenmethode.
  • Bestimmen Sie das Volumen eines Rotationskörpers mit einer Kavität mit der Unterlegscheibenmethode.

Im vorherigen Abschnitt haben wir bestimmte Integrale verwendet, um die Fläche zwischen zwei Kurven zu bestimmen. In diesem Abschnitt verwenden wir bestimmte Integrale, um Volumina dreidimensionaler Körper zu finden. Wir betrachten drei Ansätze – Slicen, Scheiben und Unterlegscheiben – um diese Volumen zu finden, abhängig von den Eigenschaften des Festkörpers.

Volumen und die Slicing-Methode

So wie die Fläche das numerische Maß einer zweidimensionalen Region ist, ist das Volumen das numerische Maß eines dreidimensionalen Festkörpers. Die meisten von uns haben Volumen von Festkörpern mit einfachen geometrischen Formeln berechnet. Das Volumen eines rechteckigen Festkörpers kann zum Beispiel durch Multiplikation von Länge, Breite und Höhe berechnet werden: (V=lwh.) Die Formeln für die Volumina von:

  • eine Sphäre

[V_{Kugel}=dfrac{4}{3}πr^3,]

  • ein Kegel

[V_{Kegel}=dfrac{1}{3}πr^2h]

  • und eine Pyramide

[V_{Pyramide}=dfrac{1}{3}Ah]

wurden ebenfalls eingeführt. Obwohl einige dieser Formeln allein aus Geometrie abgeleitet wurden, können alle diese Formeln durch Integration erhalten werden.

Wir können auch das Volumen eines Zylinders berechnen. Obwohl die meisten von uns an einen Zylinder mit kreisförmiger Basis denken, wie etwa eine Suppendose oder einen Metallstab, hat das Wort Zylinder in der Mathematik eine allgemeinere Bedeutung. Um Zylinder in diesem allgemeineren Kontext zu diskutieren, müssen wir zunächst ein Vokabular definieren.

Wir definieren die Querschnitt eines Festkörpers als Schnittpunkt einer Ebene mit dem Festkörper. Ein Zylinder ist definiert als ein beliebiger Festkörper, der durch Verschieben einer ebenen Region entlang einer Linie senkrecht zu der Region, der sogenannten Zylinderachse, erzeugt werden kann. Somit sind alle Querschnitte senkrecht zur Achse eines Zylinders identisch. Der in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigte Volumenkörper ist ein Beispiel für einen Zylinder mit einer nicht kreisförmigen Grundfläche. Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, multiplizieren wir dann einfach die Querschnittsfläche mit der Höhe des Zylinders: (V=A⋅h.) Bei einem geraden Kreiszylinder (Suppendose) daraus wird (V=πr^2h.)

Wenn ein Festkörper keinen konstanten Querschnitt hat (und er nicht zu den anderen Grundkörpern gehört), haben wir möglicherweise keine Formel für sein Volumen. In diesem Fall können wir ein bestimmtes Integral verwenden, um das Volumen des Festkörpers zu berechnen. Wir tun dies, indem wir den Festkörper in Stücke schneiden, das Volumen jeder Scheibe schätzen und dann diese geschätzten Volumen addieren. Die Scheiben sollten alle parallel zueinander sein, und wenn wir alle Scheiben zusammenfügen, sollten wir den ganzen Körper erhalten. Betrachten Sie zum Beispiel den in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigten Körper S, der sich entlang der (x)-Achse.

Wir wollen (S) in Schichten senkrecht zu (x) aufteilen.-Achse. Wie wir später in diesem Kapitel sehen, kann es vorkommen, dass wir den Festkörper in eine andere Richtung schneiden möchten – beispielsweise mit Schnitten senkrecht zur (y)-Achse. Die Entscheidung, wie der Festkörper geschnitten werden soll, ist sehr wichtig. Wenn wir die falsche Wahl treffen, können die Berechnungen ziemlich chaotisch werden. Später in diesem Kapitel untersuchen wir einige dieser Situationen im Detail und sehen uns an, wie Sie entscheiden, wie der Volumenkörper geschnitten werden soll. Für die Zwecke dieses Abschnitts verwenden wir jedoch Schichten senkrecht zu (x)-Achse.

Da die Querschnittsfläche nicht konstant ist, sei (A(x)) die Querschnittsfläche am Punkt x. Sei nun (P={x_0,x_1…,X_n}) eine reguläre Partition von ([a,b]), und für (i=1,2,…n) sei (S_i ) stellen den Schnitt von (S) dar, der sich von (x_{i−1}) bis (x_i) erstreckt. Die folgende Abbildung zeigt den aufgeschnittenen Volumenkörper mit (n=3).

Schließlich sei für (i=1,2,…n,) (x^∗_i) ein beliebiger Punkt in ([x_{i−1},x_i]). Dann kann das Volumen der Schicht (S_i) durch (V(S_i)≈A(x^∗_i),Δx) geschätzt werden. Wenn wir diese Näherungen zusammenzählen, sehen wir, dass das Volumen des gesamten Festkörpers (S) angenähert werden kann durch

[V(S)≈sum_{i=1}^nA(x^∗_i),Δx.]

Inzwischen können wir dies als Riemann-Summe erkennen, und im nächsten Schritt nehmen wir den Grenzwert als (n→∞.) Dann gilt

[V(S)=lim_{n→∞}sum_{i=1}^nA(x^∗_i),Δx=∫_a^b A(x),dx.]

Die soeben beschriebene Technik wird als Slicing-Methode bezeichnet. Um es anzuwenden, verwenden wir die folgende Strategie.

Problemlösungsstrategie: Volumen durch die Slicing-Methode finden

  1. Untersuchen Sie den Festkörper und bestimmen Sie die Form eines Querschnitts des Festkörpers. Es ist oft hilfreich, ein Bild zu zeichnen, wenn keins vorhanden ist.
  2. Bestimmen Sie eine Formel für die Querschnittsfläche.
  3. Integrieren Sie die Flächenformel über das entsprechende Intervall, um das Volumen zu erhalten.

Denken Sie daran, dass wir in diesem Abschnitt davon ausgehen, dass die Schichten senkrecht zu (x)-Achse. Daher ist die Flächenformel in x ausgedrückt und die Integrationsgrenzen liegen auf der (x)-Achse. Die hier gezeigte Problemlösungsstrategie ist jedoch unabhängig davon gültig, wie wir den Volumenkörper schneiden.

Beispiel (PageIndex{1}): Ableitung der Formel für das Volumen einer Pyramide

Aus der Geometrie wissen wir, dass die Formel für das Volumen einer Pyramide (V=dfrac{1}{3}Ah) lautet. Wenn die Pyramide eine quadratische Grundfläche hat, wird daraus (V=dfrac{1}{3}a^2h), wobei a die Länge einer Seite der Grundfläche bezeichnet. Wir werden die Slicing-Methode verwenden, um diese Formel abzuleiten.

Lösung

Wir wollen die Slicing-Methode auf eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche anwenden. Um das Integral aufzustellen, betrachten Sie die Pyramide in Abbildung (PageIndex{4}), die entlang der (x)-Achse.

Wir wollen zunächst die Form eines Querschnitts der Pyramide bestimmen. Wir wissen, dass die Basis ein Quadrat ist, daher sind auch die Querschnitte Quadrate (Schritt 1). Nun wollen wir eine Formel für die Fläche eines dieser Querschnittsquadrate bestimmen. Betrachtet man die Abbildung (PageIndex{4}) (b) und verwendet eine Proportion, da dies ähnliche Dreiecke sind, haben wir

[dfrac{s}{a}=dfrac{x}{h}]

oder

[s=dfrac{ax}{h}.]

Daher ist die Fläche eines der Querschnittsquadrate

[A(x)=s^2=left(dfrac{ax}{h} ight)^2 quadquad ext{(Schritt 2)}]

Dann finden wir das Volumen der Pyramide durch Integrieren von (0) nach (h) (Schritt 3):

[V=∫_0^hA(x),dx=∫_0^hleft(dfrac{ax}{h} ight)^2,dx=dfrac{a^2}{h^2 }∫_0^hx^2,dx=left.Big[dfrac{a^2}{h^2}left(dfrac{1}{3}x^3 ight)Big] rechts|^h_0=dfrac{1}{3}a^2h.]

Das ist die Formel, nach der wir gesucht haben.

Übung (PageIndex{1})

Verwenden Sie die Schnittmethode, um die Formel [V=dfrac{1}{3}πr^2h] für das Volumen eines Kreiskegels abzuleiten.

Hinweis

Verwenden Sie ähnliche Dreiecke wie in Beispiel (PageIndex{1}).

Feststoffe der Revolution

Wenn ein Bereich in einer Ebene um eine Linie in dieser Ebene gedreht wird, heißt der resultierende Körper a solide der Revolution, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Rotationskörper sind in mechanischen Anwendungen üblich, wie zum Beispiel Maschinenteile, die von einer Drehmaschine hergestellt werden. Den Rest dieses Abschnitts verbringen wir mit der Betrachtung von Festkörpern dieses Typs. Das nächste Beispiel verwendet die Slicing-Methode, um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen.

Beispiel (PageIndex{2}): Mit der Slicing-Methode das Volumen eines Rotationskörpers ermitteln

Verwenden Sie die Slicing-Methode, um das Volumen des Rotationskörpers zu finden, der durch die Graphen von (f(x)=x^2−4x+5,x=1), und (x=4,) und rotiert . begrenzt ist um die (x)-Achse.

Lösung

Mit der Problemlösungsstrategie skizzieren wir zunächst den Graphen der quadratischen Funktion über dem Intervall ([1,4]) wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Als nächstes drehen Sie die Region um die (x)-Achse, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Da der Festkörper durch Rotation der Region um die (x)-Achse, die Querschnitte sind Kreise (Schritt 1). Die Querschnittsfläche ist dann die Fläche eines Kreises, und der Radius des Kreises ist gegeben durch (f(x).) Verwenden Sie die Formel für die Fläche des Kreises:

[A(x)=πr^2=π[f(x)]^2=π(x^2−4x+5)^2quadquad ext{(Schritt 2).}]

Das Volumen ist dann (Schritt 3)

[egin{align*} V &=∫_a^b A(x),dx &=∫^4_1π(x^2−4x+5)^2,dx &=π∫^ 4_1(x^4−8x^3+26x^2−40x+25),dx &=links. πleft(dfrac{x^5}{5}−2x^4+dfrac{26x^3}{3}−20x^2+25x ight) ight|^4_1 &=dfrac{ 78}{5}π end{align*}]

Das Volumen ist (78π/5, ext{Einheiten}^3.)

Übung (PageIndex{2})

Verwenden Sie die Methode des Schneidens, um das Volumen des Rotationskörpers zu bestimmen, der durch Rotation des Bereichs zwischen dem Graphen der Funktion (f(x)=1/x) und dem (x) gebildet wird.-Achse über das Intervall ([1,2]) um das (x)-Achse. Siehe folgende Abbildung.

Hinweis

Verwenden Sie die zuvor vorgestellte Problemlösungsstrategie und folgen Sie Beispiel (PageIndex{2}), um bei Schritt 2 zu helfen.

Antworten

(dfrac{π}{2} , ext{Einheiten}^3)

Die Disk-Methode

Wenn wir die Aufteilungsmethode mit Rotationskörpern verwenden, wird sie oft als Scheibenmethode bezeichnet, da bei Rotationskörpern die Scheiben, mit denen das Volumen des Feststoffs überschätzt wird, Scheiben sind. Um dies zu sehen, betrachten wir den Rotationskörper, der durch Rotation des Bereichs zwischen dem Graphen der Funktion (f(x)=(x−1)^2+1) und dem (x)-Achse über das Intervall ([−1,3]) um das (x)-Achse. Der Graph der Funktion und eine repräsentative Scheibe sind in Abbildung (PageIndex{8}) (a) und (b) dargestellt. Der Rotationsbereich und der resultierende Festkörper sind in Abbildung (PageIndex{8}) (c) und (d) dargestellt.

Abbildung (PageIndex{8}): (e) Eine dynamische Version dieses Rotationskörpers, erzeugt mit CalcPlot3D.

Die formale Riemann-Summenentwicklung der Volumenformel haben wir bereits bei der Entwicklung der Slicing-Methode verwendet. Wir wissen, dass [∫_a^b A(x),dx. onumber]

Der einzige Unterschied zur Scheibenmethode besteht darin, dass wir die Formel für die Querschnittsfläche im Voraus kennen; es ist die Fläche eines Kreises. Daraus ergibt sich die folgende Regel.

Die Disk-Methode

Sei (f(x)) stetig und nichtnegativ. Definiere (R) als den Bereich, der oben durch den Graphen von (f(x)) begrenzt wird, unten durch den (x)-Achse, links durch die Linie (x=a) und rechts durch die Linie (x=b). Dann ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um (x) entsteht-Achse wird gegeben von

[V=∫^b_aπ[f(x)]^2,dx.]

Das Volumen des untersuchten Festkörpers (Abbildung (PageIndex{8})) ist gegeben durch

[egin{align*} V &=∫^b_aπleft[f(x) ight]^2,dx
&=∫^3_{−1}πig[(x−1)^2+1ig]^2,dx=π∫^3_{−1}ig[(x−1)^4+ 2(x−1)^2+1groß]^2,dx
&=πleft.Big[frac{1}{5}(x−1)^5+frac{2}{3}(x−1)^3+xBig] ight|^3_ {−1}
&=πleft[left(frac{32}{5}+frac{16}{3}+3 ight)−left(−frac{32}{5}−frac{16} {3}−1 echts) echts]
&=frac{412π}{15}, ext{Einheiten}^3. end{ausrichten*}]

Schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel (PageIndex{3}): Verwenden der Disk-Methode zum Ermitteln des Volumens eines Solid of Revolution 1 Find

Verwenden Sie die Scheibenmethode, um das Volumen des Rotationskörpers zu bestimmen, der durch Drehen des Bereichs zwischen dem Graphen von (f(x)=sqrt{x}) und dem (x) erzeugt wird.-Achse über das Intervall ([1,4]) um das (x)-Achse.

Lösung

Die Graphen der Funktion und des Rotationskörpers sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wir haben

[ egin{align*} V&=∫^b_aπig[f(x)ig]^2,dx
&=∫^4_1πleft[sqrt{x} ight]^2,dx=π∫^4_1x,dx
&=dfrac{π}{2}x^2igg|^4_1=dfrac{15π}{2} end{align*}]

Das Volumen ist ((15π)/2 , ext{Einheiten}^3.)

Übung (PageIndex{3})

Verwenden Sie die Scheibenmethode, um das Volumen des Rotationskörpers zu bestimmen, der durch Drehen des Bereichs zwischen dem Graphen von (f(x)=sqrt{4−x}) und dem (x)-Achse über das Intervall ([0,4]) um das (x)-Achse.

Hinweis

Verwenden Sie das Verfahren aus Beispiel (PageIndex{3}).

Antworten

(8π , ext{Einheiten}^3)

Bisher haben sich unsere Beispiele in allen betroffenen Regionen um die (x)-Achse, aber wir können einen Rotationskörper erzeugen, indem wir einen ebenen Bereich um eine beliebige horizontale oder vertikale Linie drehen. Im nächsten Beispiel betrachten wir einen Rotationskörper, der durch Rotation einer Region um die (y)-Achse. Die Mechanik der Disk-Methode ist fast die gleiche wie beim (x)-Achse ist die Rotationsachse, aber wir drücken die Funktion durch (y) aus und integrieren auch in Bezug auf y. Dies ist in der folgenden Regel zusammengefasst.

Regel: Die Scheibenmethode für Rotationskörper um die (y)-Achse

Sei (g(y)) stetig und nicht negativ. Definiere (Q) als den rechts durch den Graphen von (g(y)) begrenzten Bereich, links durch den (y)-Achse, unten durch die Linie (y=c) und oben durch die Linie (y=d). Dann ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (Q) um (y) entsteht-Achse wird gegeben von

[V=∫^d_cπig[g(y)ig]^2,dy.]

Das nächste Beispiel zeigt, wie diese Regel in der Praxis funktioniert.

Beispiel (PageIndex{4}): Verwenden der Disk-Methode zum Ermitteln des Volumens eines Solid of Revolution 2

Sei (R) die Region, die durch den Graphen von (g(y)=sqrt{4−y}) und die (y)-Achse über den (y)-Achse Intervall ([0,4]). Verwenden Sie die Scheibenmethode, um das Volumen des Rotationskörpers zu finden, der durch Drehen von (R) um (y) erzeugt wird.-Achse.

Lösung

Abbildung (PageIndex{10}) zeigt die Funktion und einen repräsentativen Datenträger, mit dem das Volumen geschätzt werden kann. Beachten Sie, dass, da wir die Funktion um die (y)-Achse, die Scheiben sind eher horizontal als vertikal.

Der zu drehende Bereich und der volle Rotationskörper sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Um das Volumen zu finden, integrieren wir nach (y). Wir erhalten

[V=∫^d_cπig[g(y)ig]^2,dy=∫^4_0πleft[sqrt{4−y} ight]^2,dy=π∫^4_0( 4−y),dy=πleft.left[4y−frac{y^2}{2} ight] ight|^4_0=8π.]

Das Volumen ist (8π , ext{Einheiten}^3).

Übung (PageIndex{4})

Verwenden Sie die Scheibenmethode, um das Volumen des Rotationskörpers zu finden, der durch Drehen des Bereichs zwischen dem Graphen von (g(y)=y) und dem (y) erzeugt wird.-Achse über das Intervall ([1,4]) um das (y)-Achse.

Hinweis

Verwenden Sie das Verfahren aus Beispiel (PageIndex{4}).

Antworten

(21π , ext{Einheiten}^3)

Die Waschmethode

Einige Rotationskörper haben Hohlräume in der Mitte; sie sind nicht bis zur Rotationsachse fest. Manchmal ist dies nur ein Ergebnis der Art und Weise, wie der Rotationsbereich in Bezug auf die Rotationsachse geformt ist. In anderen Fällen entstehen Hohlräume, wenn der Rotationsbereich als der Bereich zwischen den Graphen zweier Funktionen definiert ist. Ein dritter Weg, wie dies passieren kann, ist, wenn eine andere Drehachse als die (x)-Achse oder (y)-Achse ist ausgewählt.

Wenn der Rotationskörper einen Hohlraum in der Mitte hat, sind die Scheiben, die zur Annäherung des Volumens verwendet werden, keine Scheiben, sondern Unterlegscheiben (Scheiben mit Löchern in der Mitte). Betrachten wir zum Beispiel die Region, die oben durch den Graphen der Funktion (f(x)=sqrt{x}) und unten durch den Graphen der Funktion (g(x)=1) über dem Intervall ([1,4]). Wenn diese Region um die (x) gedreht wird-Achse, das Ergebnis ist ein Festkörper mit einem Hohlraum in der Mitte, und die Scheiben sind Unterlegscheiben. Der Graph der Funktion und eine repräsentative Unterlegscheibe sind in Abbildung (PageIndex{12}) (a) und (b) gezeigt. Der Rotationsbereich und der resultierende Festkörper sind in Abbildung (PageIndex{12}) (c) und (d) dargestellt.

Abbildung (PageIndex{12}): (e) Eine dynamische Version dieses Rotationskörpers, erzeugt mit CalcPlot3D.

Die Querschnittsfläche ist dann die Fläche des äußeren Kreises abzüglich der Fläche des inneren Kreises. In diesem Fall,

(A(x)=πleft(sqrt{x} ight)^2−π(1)^2=π(x−1).)

Dann ist das Volumen des Festkörpers

[V=∫^b_a A(x),dx=∫^4_1π(x−1),dx=πleft.left[frac{x^2}{2}−x ight] rechts|^4_1=frac{9}{2}π, ext{Einheiten}^3.]

Die Verallgemeinerung dieses Prozesses ergibt die Waschmaschine Methode.

Regel: Die Waschmethode

Angenommen (f(x)) und (g(x)) sind stetige, nichtnegative Funktionen mit (f(x)≥g(x)) über ([a,b]). Sei (R) die Region, die oben durch den Graphen von (f(x), unten durch den Graphen von (g(x)), links durch die Gerade (x=a ) und rechts durch die Zeile (x=b). Dann ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um (x) entsteht-Achse wird gegeben von

[V=∫^b_aπleft[(f(x))^2−(g(x))^2 ight],dx.]

Beispiel (PageIndex{5}): Verwenden der Washer-Methode

Bestimme das Volumen eines Rotationskörpers, der gebildet wird, indem der Bereich, der oben durch den Graphen von (f(x)=x) und unten durch den Graphen von (g(x)=1/x) begrenzt ist, über dem Intervall ([1,4]) um das (x)-Achse.

Lösung

Die Graphen der Funktionen und des Rotationskörpers sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wir haben

[egin{align*} V &=∫^b_aπig[(f(x))^2−(g(x))^2ig],dx=π∫^4_1left[x^ 2−left(frac{1}{x} ight)^2 ight],dx
&=πleft.left[frac{x^3}{3}+frac{1}{x} ight] ight|^4_1
&=dfrac{81π}{4}, ext{Einheiten}^3. end{ausrichten*}]

Abbildung (PageIndex{13}): (c) Eine dynamische Version dieses Rotationskörpers, erzeugt mit CalcPlot3D.

Übung (PageIndex{5})

Bestimme das Volumen eines Rotationskörpers, der gebildet wird, indem der Bereich, der durch die Graphen von (f(x)=sqrt{x}) und (g(x)=1/x) begrenzt wird, über dem Intervall ( [1,3]) um den (x)-Achse.

Hinweis

Stellen Sie die Funktionen graphisch dar, um zu bestimmen, welcher Graph die Obergrenze und welcher Graph die Untergrenze bildet, und verwenden Sie dann die Prozedur aus Beispiel (PageIndex{5}).

Antworten

(dfrac{10π}{3} , ext{Einheiten}^3)

Wie bei der Scheibenmethode können wir auch die Scheibenmethode auf Rotationskörper anwenden, die sich aus der Rotation eines Bereichs um die (y)-Achse ergeben. In diesem Fall gilt die folgende Regel.

Regel: Die Washer-Methode für Rotationskörper um die (y)-Achse

Angenommen (u(y)) und (v(y)) seien stetige, nichtnegative Funktionen mit (v(y)≤u(y)) für (y∈[c,d]) . Sei (Q) die rechts durch den Graphen von (u(y)) begrenzte Region, links durch den Graphen von (v(y)), unten durch die Gerade (y= c) und darüber durch die Zeile (y=d). Dann ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (Q) um (y) entsteht-Achse wird gegeben von

[V=∫^d_cπleft[(u(y))^2−(v(y))^2 ight],dy.]

Anstatt ein Beispiel für die Washer-Methode mit dem (y)-Achse Als Rotationsachse betrachten wir nun ein Beispiel, bei dem die Rotationsachse eine andere Linie als eine der beiden Koordinatenachsen ist. Die gleiche allgemeine Methode gilt, aber Sie müssen sich möglicherweise vorstellen, wie Sie die Querschnittsfläche des Volumens beschreiben.

Beispiel (PageIndex{6}):

Bestimmen Sie das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation des Bereichs gebildet wird, der oben durch (f(x)=4−x) und unten durch (x) begrenzt ist-Achse über das Intervall ([0,4]) um die Gerade (y=−2.)

Lösung

Der Graph der Region und des Rotationskörpers sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wir können die Volumenformel nicht direkt auf dieses Problem anwenden, da die Rotationsachse keine der Koordinatenachsen ist. Wir wissen jedoch immer noch, dass die Querschnittsfläche die Fläche des Außenkreises abzüglich der Fläche des Innenkreises ist. Wenn wir uns den Graphen der Funktion ansehen, sehen wir, dass der Radius des äußeren Kreises durch (f(x)+2,) gegeben ist, was vereinfacht zu

(f(x)+2=(4−x)+2=6−x.)

Der Radius des inneren Kreises ist (g(x)=2.) Daher gilt

[egin{align*} V &=∫^4_0πleft[(6−x)^2−(2)^2 ight],dx
&=π∫^4_0(x^2−12x+32),dx=πleft.left[frac{x^3}{3}−6x^2+32x ight] ight|^4_0
&=dfrac{160π}{3}, ext{Einheiten}^3.end{align*}]

Abbildung (PageIndex{14}): (c) Eine dynamische Version dieses Rotationskörpers, erzeugt mit CalcPlot3D.

Übung (PageIndex{6})

Bestimmen Sie das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation des Bereichs gebildet wird, der oben durch den Graphen von (f(x)=x+2) und unten durch den (x) begrenzt wird.-Achse über das Intervall ([0,3]) um die Gerade (y=−1.)

Hinweis

Verwenden Sie das Verfahren aus Beispiel (PageIndex{6}).

Antworten

(60π) Einheiten3

Schlüssel Konzepte

  • Bestimmte Integrale können verwendet werden, um das Volumen von Festkörpern zu bestimmen. Mit der Slicing-Methode können wir ein Volumen finden, indem wir die Querschnittsfläche integrieren.
  • Bei Rotationskörpern sind die Volumenscheiben oft Scheiben und die Querschnitte Kreise. Die Methode der Scheiben beinhaltet die Anwendung der Methode des Schneidens in dem speziellen Fall, in dem die Querschnitte Kreise sind, und die Verwendung der Formel für die Fläche eines Kreises.
  • Wenn ein Rotationskörper eine Kavität in der Mitte hat, sind die Volumenscheiben Unterlegscheiben. Bei der Methode der Unterlegscheiben wird vor der Integration die Fläche des Innenkreises von der Fläche des Außenkreises abgezogen.

Schlüsselgleichungen

  • Disk-Methode entlang der (x)-Achse

(displaystyle V=∫^b_aπig[f(x)ig]^2,dx)

  • Disk-Methode entlang der (y)-Achse

(displaystyle V=∫^d_cπig[g(y)ig]^2,dy)

  • Waschmethode

(displaystyle V=∫^b_aπleft[(f(x))^2−(g(x))^2 ight],dx)

Glossar

Querschnitt
der Schnittpunkt einer Ebene und eines festen Objekts
Disk-Methode
ein Sonderfall des bei Rotationskörpern verwendeten Schneideverfahrens, wenn die Scheiben Scheiben sind
Aufschnittmethode
ein Verfahren zum Berechnen des Volumens eines Festkörpers, das das Zerschneiden des Festkörpers in Stücke, das Schätzen des Volumens jedes Stücks und dann das Addieren dieser Schätzungen umfasst, um eine Schätzung des Gesamtvolumens zu erhalten; Wenn die Anzahl der Slices ins Unendliche geht, wird diese Schätzung zu einem Integral, das den genauen Wert des Volumens angibt
solide der Revolution
ein Festkörper, der durch Rotieren einer Region in einer Ebene um eine Linie in dieser Ebene erzeugt wird
Waschmethode
ein Sonderfall des Schneidverfahrens, das bei Rotationskörpern verwendet wird, wenn die Scheiben Scheiben sind


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