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1.5: Die Kettenregel - Mathematik


Nach dem bisher Besprochenen mag es verlockend sein zu glauben, dass die Ableitung einer Funktion wie (sin,2x) einfach (cos,2x) ist, da die Ableitung von (sin ,x) ist (cos,x). Es stellt sich heraus, dass das nicht richtig ist:

[egin{ausgerichtet} ddx,(sin,2x) ~&=~ ddx,(2;sin,x;cos,x) quad ext{(by die Doppelwinkelformel für Sinus)}

[4pt] &=~ 2;ddx,(sin,x;cos,x) quad ext{(nach der Konstanten-Vielfach-Regel)}

[4pt] &=~ 2;left(sin,x cdot ddx,(cos,x) ~+~ cos,x cdot ddx,(sin, x) ight) quad ext{(nach der Produktregel)}

[4pt] &=~ 2;left(sin,x cdot (-sin,x) ~+~ cos,x cdot cos,x ight)

[4pt] &=~ 2;left(cos^2 x ~-~ sin^2 x ight)

[4pt] &=~ 2;cos,2x quad ext{(nach der Doppelwinkelformel für Kosinus)}end{ausgerichtet}] Also die Ableitung von (sin,2x ) ist (2,cos,2x), nicht (cos,2x).

Mit anderen Worten, Sie können (x) nicht einfach durch (2x) in der Ableitungsformel für (sin,x) ersetzen. Betrachte stattdessen (sin,2x) als a Komposition von zwei Funktionen: der Sinusfunktion und der (2x)-Funktion. Das heißt, es sei (f(u) = sin,u), wobei die Variable (u) selbst eine Funktion einer anderen Variablen (x) darstellt, nämlich (u(x) = 2x ). Da also (f) eine Funktion von (u) und (u) eine Funktion von (x) ist, dann ist (f) eine Funktion von (x), nämlich : (f(x) = sin,2x). Da (f) eine differenzierbare Funktion von (u) und (u) eine differenzierbare Funktion von (x) ist, dann existieren (dfdu) und (dudx) beide (mit (dfdu = cos,u) und (dudx = 2)), und die Multiplikation der Ableitungen zeigt, dass (f) eine differenzierbare Funktion von (x) ist:

[egin{ausgerichtet} frac{df}{cancel{du}} cdot frac{cancel{du}}{dx} ~&=~ dfdx quad ext{seit dem infinitesimals $du$ abbrechen, also}

[4pt] (cos,u) cdot 2 ~&=~ dfdx quadRightarrowquad dfdx ~=~ 2;cos,u ~=~ 2;cos,2x end{aligned}] Das obige Argument gilt allgemein und ist als Kettenregel: Beachten Sie, wie einfach der Beweis ist – die Infinitesimalen (du) heben sich auf.24

Die Kettenregel sollte intuitiv Sinn machen. Wenn zum Beispiel (dfdu = 4) bedeutet, dass (f) 4-mal so schnell wie (u) zunimmt, und wenn (dudx = 3) dann (u) ist 3 mal so schnell wie (x), also insgesamt (f) sollte (12 = 4 cdot 3) mal so schnell wie (x) ansteigen, genau wie die Kettenregel sagt.

Beispiel (PageIndex{1}): sinx2pxp1deriv

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Lösung

Finden Sie die Ableitung von (f(x) = sin,(x^2 + x + 1)).

Lösung: Die Idee ist, ein Auswechslung (u = x^2 + x + 1), so dass (f(x) = sin,u). Nach der Kettenregel,

[egin{ausgerichtet} dfdx ~&=~ dfdu cdot dudx

[4pt] &=~ ddu,(sin,u) ;cdot; ddx,(x^2 + x + 1)

[4pt] &=~ (cos,u) cdot (2x + 1)

[4pt] &=~ (2x + 1),cos,(x^2 + x + 1) end{aligned}] nachdem (u) durch seine Definition als Funktion von ( x) im letzten Schritt; die endgültige Antwort für die Ableitung sollte in (x) und nicht in (u) erfolgen.

In der Kettenregel können Sie sich die betreffende Funktion als Zusammensetzung einer „äußeren“ Funktion (f) und einer „inneren“ Funktion (u) vorstellen; Nehmen Sie zuerst die Ableitung der „äußeren“ Funktion, dann multiplizieren Sie sie mit der Ableitung der „inneren“ Funktion. Stellen Sie sich die „innere“ Funktion als eine Box vor, in die Sie jede Funktion von (x) einfügen können, und die „äußere“ Funktion ist eine Funktion dieser leeren Box.

Zum Beispiel für die Funktion (f(x) = sin,(x^2 + x + 1)) im vorherigen Beispiel, stellen Sie sich die „äußere“ Funktion als (sin,Box ), wobei (Box = x^2 + x + 1) die „innere“ Funktion ist, so dass

[egin{ausgerichtet} f(x) ~&=~ sin,(x^2 + x + 1) &=~ sin,Box dfdx ~&=~ left( cos,Box ight) ;cdot; ddx,Box

[4pt] &=~ left(cos,setlength{fboxsep}{2pt}oxed{x^2 + x + 1} ight) ;cdot; ddx,setlength{fboxsep}{2pt}oxed{x^2 + x + 1}

[4pt] &=~ (2x + 1),cos,(x^2 + x + 1)end{ausgerichtet}]

Beispiel (PageIndex{1}): Chainrulepow

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Lösung

Bestimmen Sie die Ableitung von (f(x) = (2x^4 - 3cos,x)^{10}).

Lösung: Hier ist die „äußere“ Funktion (f(Box) = Box^{10}) und die „innere“ Funktion ist (Box = u = 2x^4 - 3cos,x):

[dfdx ~=~ dfdu cdot dudx ~=~ 10,Box^9 ;cdot; ddx,(Box) ~=~ 10,(2x^4 - 3cos,x)^9 ;(8x^3 + 3sin,x)]

Denken Sie daran, dass die Zusammensetzung (f circ g) zweier Funktionen (f) und (g) definiert ist als ((f circ g)(x) = f(g(x))) . Unter Verwendung der Primschreibweise kann die Kettenregel wie folgt geschrieben werden:

Mit der Kettenregel kann die Potenzregel um Exponenten erweitert werden, die rationale Zahlen sind:25 Um dies zu beweisen, sei (r = m/n), wobei (m) und (n) ganze Zahlen mit (n e 0) sind. Dann gilt (y = x^r = x^{m/n} = left(x^m ight)^{1/n}), so dass (y^n = x^m). Die Ableitung nach (x) beider Seiten dieser Gleichung ergibt

[egin{aligned} ddx,left(y^n ight) ~&=~ ddx,left(x^m ight) quad ext{, also Auswertung der linken Seite durch Kettenregel gibt}

[4pt] n y^{n-1} ;cdot; dydx ~&=~ m x^{m-1}

[4pt] n left(x^{m/n} ight)^{n-1} ;cdot; dydx ~&=~ m x^{m-1}

[4pt] dydx ~&=~ frac{mx^{m-1}}{nx^{m - (m/n)}} ~=~ frac{m}{n},x^{ m - 1 - (m - (m/n))} ~=~ frac{m}{n},x^{(m/n) - 1} ~=~ r,x^{r-1 } quadcheckmarkend{ausgerichtet}]

Beispiel (PageIndex{1}): derivsqrtx

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Lösung

Finden Sie die Ableitung von (f(x) = sqrt{x}).

Lösung: Da (sqrt{x} = x^{1/2}) gilt dann nach der Potenzregel:

[dfdx ~=~ ddx,left(x^{1/2} ight) ~=~ frac{1}{2},x^{1/2 - 1} ~=~ frac{1}{2},x^{-1/2} ~=~ frac{1}{2,sqrt{x}}]

Beispiel (PageIndex{1}): deriv1oversqrtx

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Lösung

Bestimmen Sie die Ableitung von (f(x) = frac{2}{3sqrt{x}}).

[dfdx ~=~ ddx,left(frac{2}{3},x^{-1/2} ight) ~=~ frac{2}{3} cdot frac {-1}{2},x^{-3/2} ~=~ -frac{1}{3,x^{3/2}}]

[sec1dot5]

Bestimmen Sie für die Aufgaben 1-18 die Ableitung der gegebenen Funktion.

2

(f(x) ~=~ (1 ~-~ 5x)^4)

(f(x) ~=~ 5,(x^3 ~+~ x ~-~ 1)^4)

2

(f(x) ~=~ sqrt{1 ~-~ 2x}vphantom

ParseError: ")" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Bookshelves/Calculus/Book:_Elementary_Calculus_(Corral)/01:_The_Derivative/1.05:_The_Chain_Rule), /content/body/div/p[87]/span, line 1, Spalte 5

)

(f(x) ~=~ (1 ~-~ x^2 )^{ frac{3}{2}})

2

(f(x) ~=~ dfrac{sqrt{x}}{x ~+~ 1})

(f(x) ~=~ dfrac{sqrt{x} ~+~ 1}{sqrt{x} ~-~ 1})

2

(f(t) ~=~ left(dfrac{1 ~-~ t}{1 ~+~ t} ight)^4vphantom{left(dfrac{x^2 ~+~ 1} {x ~-~ 1} echts)^6})

(f(x) ~=~ left(dfrac{x^2 ~+~ 1}{x ~-~ 1} ight)^6)

2

(f(x) ~=~ sin^2 x)

(f(x) ~=~ cos,left(sqrt{x} ight))

2

(f(x) ~=~ 3 an,(5x))

(f(x) ~=~ A,cos,(omega x ~+~ phi)) ((A), (omega), (phi) sind Konstanten )

2

(f(x) ~=~ sec,(x^2)vphantom{left(dfrac{1}{1 - x} ight)})

(f(x) ~=~ sin^2 left(dfrac{1}{1 - x} ight) ~+~ cos^2 left(dfrac{1}{1 - x} Recht))

2

(L(eta) ~=~ dfrac{1}{sqrt{1 ~-~ eta^2}}vphantom{left(1 ~+~ left(dfrac{x - l}{ s} echts)^2 echts)^{-1}})

(f(x) ~=~ dfrac{1}{pi s}left(1 ~+~ left(dfrac{x - l}{s} ight)^2 ight)^{- 1}) ((s), (l) sind Konstanten)

2

(f(x) ~=~ cos,(cos,x))

(f(x) ~=~ sqrt{1 ~+~ sqrt{x}})

[[1.]]

In einer bestimmten Art von elektronischer Schaltung26 das Gesamtgewinn (A_v) ist gegeben durch

[A_v ~=~ frac{A_o}{1 ~-~ T}] wobei die Schleifenverstärkung (T) ist eine Funktion von Open-Loop-Verstärkung (A_o).

  1. Zeige, dass

    [frac{d egmedspace A_v}{d!A_o} ~=~ frac{1}{1 ~-~ T} ~-~ frac{A_o}{(1 ~-~ T)^2} frac{d egmedspace (1 - T)}{d!A_o} ~.]

  2. In dem Fall, in dem (T) direkt proportional zu (A_o) ist, verwenden Sie Teil (a), um zu zeigen, dass

    [frac{d egmedspace A_v}{d!A_o} ~=~ frac{1}{(1 ~-~ T)^2} ~.] (Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass (;A_o cdot frac{d egmedspace (1 - T)}{d!A_o} ~=~ -T).)

Zeigen Sie, dass die Kettenregel auf 3 Funktionen erweitert werden kann: wenn (u) eine differenzierbare Funktion von (x) ist, ist (v) eine differenzierbare Funktion von (u) und (f ) eine differenzierbare Funktion von (v) ist, dann

[dfdx ~=~ dfdv ;cdot; dvdu ;cdot; dudx], sodass (f) eine differenzierbare Funktion von (x) ist. Beachten Sie, dass die 3 Ableitungen wie in einer Kette miteinander verbunden sind (daher der Name der Regel). Die Kettenregel kann mit der obigen Technik auf jede endliche Anzahl von Funktionen erweitert werden.

Wenn sich bei einem Verbrennungsmotor ein Kolben nach unten bewegt, dreht die Pleuelstange die Kurbel im Uhrzeigersinn, wie in Abbildung [Abb:Kurbel] unten gezeigt.27

Der Punkt (A) kann sich nur vertikal bewegen, was dazu führt, dass sich der Punkt (B) um einen Kreis mit dem Radius (a) bewegt, der um den Punkt (O) zentriert ist, der direkt unter dem Punkt ( A) und bewegt sich nicht. Wenn sich die Kurbel dreht, bildet sie einen Winkel ( heta) mit der Geraden (overline{OA}). Seien (l = AB) und (s = OA) wie im Bild. Nehmen Sie an, dass alle Längen in Zentimetern gemessen werden, und lassen Sie die Zeitvariable (t) in Minuten messen.

  1. Zeigen Sie, dass (s ~=~ a cos, heta ~+~ left(l^2 ~-~ a^2 sin^2 heta ight)^{1/2}~) für (0le hetalepi).
  2. Das mittlere Kolbengeschwindigkeit ist (ar{S}_p = 2LN), wobei (L = 2a) die Kolbenhub, und (N) ist das Rotationsgeschwindigkeit der Kurbel, gemessen in Umdrehungen pro Minute (U/min). Die momentane Kolbengeschwindigkeit ist (S_p = dsdt). Sei (R = l/a). Zeigen Sie, dass für (0le hetalepi)

    [ABS{frac{S_p}{ar{S}_p}} ~=~ frac{pi}{2},sin, heta left[1 ~+~ frac{ cos, heta}{left(R^2 - sin^2 heta ight)^{1/2}} ight] ~~.]


Schau das Video: Funktioner af to variable - hvad er det? (Januar 2022).