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10.3E: Grundlegende Theorie homogener linearer Systeme (Übungen) - Mathematik

10.3E: Grundlegende Theorie homogener linearer Systeme (Übungen) - Mathematik



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Q10.3.1

1. Beweisen Sie: Falls ({f y}_1), ({f y}_2), …, ({f y}_n) Lösungen von ({f y}' =A(t){f y}) auf ((a,b)), dann jede Linearkombination von ({f y}_1), ({f y}_2), …, ({f y}_n) ist auch eine Lösung von ({f y}'=A(t){f y}) auf ((a,b)).

2. In Abschnitt 5.1 die Wronski-Funktion zweier Lösungen (y_1) und (y_2) der skalaren Gleichung zweiter Ordnung

[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0 ag{A}]

wurde definiert als

[W=left|egin{array}{cc} y_1&y_2 y'_1&y'_2end{array} ight|. onumber ]

  1. Schreiben Sie (A) in ein Gleichungssystem erster Ordnung um und zeigen Sie, dass (W) die Wronski-Funktion (wie in diesem Abschnitt definiert) zweier Lösungen dieses Systems ist.
  2. Wenden Sie Gleichung 10.3.6 auf das in (a) abgeleitete System an und zeigen Sie, dass [W(x)=W(x_0)expleft{-int^x_{x_0}{P_1(s)over P_0 (s)}, ds ight}, onumber] was die Form von Abels Formel in Satz 9.1.3 ist.

3. In Abschnitt 9.1 die Wronski-Funktion von (n) Lösungen (y_1), (y_2), …, (y_n) der Gleichung (n-)-ter Ordnung

[P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+cdots+P_n(x)y=0 ag{A}]

wurde definiert als

[W=left|egin{array}{cccc} y_1&y_2&cdots&y_n y'_1&y'_2&cdots&y_n' vdots&vdots&ddots&vdots y_1^{(n-1)}&y_2 ^{(n-1)}&cdots&y_n^{(n-1)} end{array} ight|. onumber]

  1. Schreiben Sie (A) in ein System von Gleichungen erster Ordnung um und zeigen Sie, dass (W) die Wronskische (wie in diesem Abschnitt definiert) von (n) Lösungen dieses Systems ist.
  2. Wenden Sie Gleichung 10.3.6 auf das in (a) abgeleitete System an und zeigen Sie, dass [W(x)=W(x_0)expleft{-int^x_{x_0}{P_1(s)over P_0 (s)}, ds ight}, onumber] was die Form von Abels Formel in Satz 9.1.3 ist.

4. Angenommen

[{f y}_1=left[egin{array}{c}{y_{11}}{y_{21}}end{array} ight]quad ext{and} quad {f y}_2=left[egin{array}{c}{y_{12}}{y_{22}}end{array} ight] onumber]

sind Lösungen des (2 imes 2) Systems ({f y}'=A{f y}) auf ((a,b)), und sei

[Y=left[egin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}{y_{21}}&{y_{22}}end{array} ight ]quad ext{und}quad W=left|egin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}{y_{21}}&{y_{22} }end{array} ight| onumber]

somit ist (W) der Wronski-Ansatz von ({{f y}_1,{f y}_2}).

  1. Leiten Sie aus der Definition der Determinante ab, dass [W'=left|egin{array}{cc} {y'_{11}}&{y'_{12}} {y_{21}}& { y_{22}}end{array} ight| +left|egin{array}{cc} {y_{11}}&{y_{12}} {y'_{21}}&{y'_{22}}end{array} rechts|. onumber ]
  2. Verwenden Sie die Gleichung (Y'=A(t)Y) und die Definition der Matrixmultiplikation, um zu zeigen, dass [[y'_{11}quad y'_{12}]=a_{11} [y_{ 11}quad y_{12}]+a_{12} [y_{21} quad y_{22}] onumber] und [[y'_{21}quad y'_{22}]= a_{21} [y_{11}quad y_{12}]+a_{22} [y_{21}quad y_{22}]. onumber ]
  3. Verwenden Sie Eigenschaften von Determinanten, um aus (a) und (a) abzuleiten, dass [left|egin{array}{cc} {y'_{11}}&{y'_{12}} {y_{ 21}}& {y_{22}}end{array} ight|=a_{11}Wquad ext{und} quad left|egin{array}{cc} {y_{11}} &{y_{12}} {y'_{21}}&{y'_{22}}end{array} ight|=a_{22}W. onumber ]
  4. Folge aus (c) dass [W'=(a_{11}+a_{22})W, onumber] und benutze dies, um zu zeigen, dass wenn (a

5. Angenommen, die (n imes n)-Matrix (A=A(t)) ist auf ((a,b)) stetig. Lassen

[Y= left[egin{array}{cccc} y_{11}&y_{12}&cdots&y_{1n} y_{21}&y_{22}&cdots&y_{2n} vdots& vdots&ddots&vdots y_{n1}&y_{n2}&cdots&y_{nn} end{array} ight], onumber]

wobei die Spalten von (Y) Lösungen von ({f y}'=A(t){f y}) sind. Lassen

[r_i=[y_{i1}, y_{i2}, dots, y_{in}] onumber]

sei die (i)-te Zeile von (Y) und sei (W) die Determinante von (Y).

  1. Leiten Sie aus der Definition der Determinante ab, dass [W'=W_1+W_2+cdots+W_n, onumber] wobei für (1le m le n) die (i)-te Zeile von ( W_m) ist (r_i), falls (i e m), und (r'_m), falls (i=m).
  2. Verwenden Sie die Gleichung (Y'=A Y) und die Definition der Matrixmultiplikation, um zu zeigen, dass [r'_m=a_{m1}r_1+a_{m2} r_2+cdots+a_{mn}r_n. onumber]
  3. Verwenden Sie Eigenschaften von Determinanten, um aus (b) abzuleiten, dass [det (W_m)=a_{mm}W. onumber]
  4. Folge aus (a) und (c), dass [W'=(a_{11}+a_{22}+cdots+a_{nn})W, onumber] und verwende dies, um zu zeigen, dass wenn (a

6. Angenommen, die (n imes n)-Matrix (A) ist stetig auf ((a,b)) und (t_0) ist ein Punkt in ((a,b)). Sei (Y) eine Fundamentalmatrix für ({f y}'=A(t){f y}) auf ((a,b)).

  1. Zeigen Sie, dass (Y(t_0)) invertierbar ist.
  2. Zeigen Sie, dass wenn ({f k}) ein beliebiger (n)-Vektor ist, dann die Lösung des Anfangswertproblems [{f y}'=A(t){f y} quad {f y}(t_0)={f k} onumber] ist [{f y}=Y(t)Y^{-1}(t_0){f k}. onumber ]

7. Lass

[A=left[egin{array}{cc}{2}&{4}{4}&{2}end{array} ight], quad {f y}_1= left[egin{array}{c} e^{6t} e^{6t} end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{r } e^{-2t} -e^{-2t}end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r}-3 9 end{array} ight]. onumber ]

  1. Verifizieren Sie, dass ({{f y}_1,{f y}_2}) eine fundamentale Menge von Lösungen für ({f y}'=A{f y}) ist.
  2. Löse das Anfangswertproblem [{f y}'=A{f y},quad {f y}(0)={f k}. ag{A}]
  3. Verwenden Sie das Ergebnis von Übung 10.3.6 (b) eine Formel für die Lösung von (A) für einen beliebigen Anfangsvektor ({fk}) zu finden.

8. Wiederholen Übung 10.3.7 mit

[A=left[egin{array}{cc}{-2}&{-2}{-5}&{1}end{array} ight], quad {f y} _1=left[egin{array}{r} e^{-4t} e^{-4t}end{array} ight], quad {f y}_2=left[ egin {array}{r}-2e^{3t} 5e^{3t}end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r} 10 -4end{array} ight]. onumber ]

9. Wiederholen Übung 10.3.7 mit

[A=left[egin{array}{cc}{-4}&{-10}{3}&{7}end{array} ight], quad {f y}_1 =left[egin{array}{r}-5e^{2t} 3e^{2t} end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array }{r} 2e^t -e^t end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r}-19 11end{array } ight ]. onumber ]

10. Wiederholen Übung 10.3.7 mit

[A=left[egin{array}{cc}{2}&{1}{1}&{2}end{array} ight], quad {f y}_1= left[egin{array}{r} e^{3t} e^{3t} end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{r }e^t -e^tend{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r} 2 8 end{array} ight] .keine Nummer ]

11. Lass

[egin{aligned} A&= left[egin{array}{ccc}{3}&{-1}&{-1}{-2}&{3}&{2}{ 4}&{-1}&{-2}end{array} ight] , {f y}_1&=left[egin{array}{c} e^{2t} 0 e^{2t}end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{c} e^{3t} -e^{3t} e^{3t}end{array} ight], quad {f y}_3=left[egin{array}{c} e^{-t} -3e^{-t} 7e^{-t} end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r} 2 -7 20end{array} ight ].end{ausgerichtet} onumber ]

  1. Verifizieren Sie, dass ({{f y}_1,{f y}_2,{f y}_3}) eine fundamentale Menge von Lösungen für ({f y}'=A{f j}).
  2. Löse das Anfangswertproblem [{f y}'=A{f y}, quad {f y}(0)={f k}. ag{A}]
  3. Verwenden Sie das Ergebnis von Übung 10.3.6 (b) eine Formel für die Lösung von (A) für einen beliebigen Anfangsvektor ({fk}) zu finden.

12. Wiederholen Aufgabe 10.3.11 mit

[egin{aligned} A&=left[egin{array}{ccc}{0}&{2}&{2}{2}&{0}&{2}{2}& {2}&{0}end{array} ight], {f y}_1&=left[egin{array}{c}-e^{-2t} 0 e^ {-2t} end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{c}-e^{-2t} e^{-2t} 0end{array} ight], quad {f y}_3=left[egin{array}{c} e^{4t} e^{4t} e^{4t} end{array} ight], quad {f k}=left[egin{array}{r} 0 -9 12end{array} ight].end{ausgerichtet} keine Nummer ]

13. Wiederholen Aufgabe 10.3.11 mit

[egin{aligned} A&=left[egin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}{0}&{1}&{6}{0} &{0}&{-2}end{array} ight], {f y}_1&=left[egin{array}{c} e^t e^t 0 end{array} ight], quad {f y}_2=left[egin{array}{c} e^{-t} 0 0end{array} ight], quad {f y}_3=left[egin{array}{c} e^{-2t} -2e^{-2t} e^{-2t}end{array} ight] , quad {f k}=left[egin{array}{r} 5 5 -1 end{array} ight].end{aligned} onumber]

14. Angenommen (Y) und (Z) sind Fundamentalmatrizen für das (n imes n)-System ({f y}'=A(t){f y}). Dann einige der vier Matrizen (YZ^{-1}), (Y^{-1}Z), (Z^{-1}Y), (ZY^{-1} ) sind notwendigerweise konstant. Identifizieren Sie sie und beweisen Sie, dass sie konstant sind.

15. Angenommen, die Spalten einer (n imes n) Matrix (Y) sind Lösungen des (n imes n) Systems ({f y}'=A{f y} ) und (C) ist eine konstante (n imes n)-Matrix.

  1. Zeigen Sie, dass die Matrix (Z=YC) die Differentialgleichung (Z'=AZ) erfüllt.
  2. Zeigen Sie, dass (Z) genau dann eine Fundamentalmatrix für ({f y}'=A(t){f y}) ist, wenn (C) invertierbar und (Y) . ist eine Fundamentalmatrix für ({f y}'=A(t){f y}).

16. Angenommen, die (n imes n)-Matrix (A=A(t)) sei stetig auf ((a,b)) und (t_0) sei in ((a,b) ). Für (i=1), (2), …, (n), sei ({f y}_i) die Lösung des Anfangswertproblems ({f y}_i '=A(t){f y}_i,; {f y}_i(t_0)={f e}_i), wobei

[{f e}_1=left[egin{array}{c} 1 vdotsend{array} ight],quad {f e}_2= left[egin{array}{c} 01 vdotsend{array} ight],quadcdotsquad {f e}_n=left[egin{array }{c} 0 vdots1end{array} ight]; onumber ]

das heißt, die (j)-te Komponente von ({f e}_i) ist (1), falls (j=i), oder (0), falls (j e i ).

  1. Zeigen Sie, dass ({{f y}_1,{f y}_2,dots,{f y}_n}) eine fundamentale Menge von Lösungen von ({f y}'=A (t){f y}) auf ((a,b)).
  2. Schluss aus (a) und Übung 10.3.15 dass ({f y}'= A(t){f y}) unendlich viele fundamentale Lösungsmengen auf ((a,b)) hat.

17. Zeigen Sie, dass (Y) genau dann eine Fundamentalmatrix für das System ({f y}'=A(t){f y}) ist, wenn (Y^{-1}) ist eine Fundamentalmatrix für ({f y}'=- A^T(t){f y}), wobei (A^T) die Transponierte von (A) bezeichnet. HINWEIS: Siehe Übung 10.3.11.

18. Sei (Z) die Fundamentalmatrix für das Konstantkoeffizientensystem ({f y}'=A{f y}) mit (Z(0)=I).

  1. Zeigen Sie, dass (Z(t)Z(s)=Z(t+s)) für alle (s) und (t) gilt. HINWEIS: Für feste (S) Lassen (Gamma_{1}(t)=Z(t)Z(s)) und (Gamma_{2}(t)=Z(t+s)). Zeige, dass (Gamma_{1}) und (Gamma_{2}) sind beide Lösungen des Matrixanfangswertproblems (Gamma '=AGamma , :Gamma (0)=Z(s)). Dann folgern Sie aus Satz 10.2.1, dass (Gamma_{1}=Gamma_{2}).
  2. Zeigen Sie, dass ((Z(t))^{-1}=Z(-t)).
  3. Die oben definierte Matrix (Z) wird manchmal mit (e^{tA}) bezeichnet. Diskutieren Sie die Motivation für diese Notation.

Zweifel in Aufgabe 8.2 in Linearer Algebra von Hoffman und Kunze

Betrachten Sie $R^4$ mit dem inneren Standardprodukt. Sei $W$ der Unterraum von $R^4$ bestehend aus allen Vektoren, die orthogonal zu $alpha = (1, 0, -1, 1)$ und $eta = (2, 3, -1, 2)$. Finden Sie eine Basis für $W$ .

Ich versuche, dieses Problem mit dem Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess zu lösen, aber es funktioniert nicht. Ist es möglich, dies mit dem Gram-Schmidt-Verfahren zu lösen oder gibt es einen anderen Weg? Bitte helfen Sie mir in jedem Fall, da ich das Buch alleine lese.


MATHEMATIK (MATHEMATIK)

Dieses Seminar ermöglicht es den Schülern, praktische Erfahrungen mit physikalischen und Computerexperimenten zu sammeln, die ihre Intuition herausfordern, wie Bewegung in der Natur erreicht wird. Honors-Version verfügbar
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 52. Erstsemester-Seminar: Fraktale: Die Geometrie der Natur. 3 Kreditpunkte.

Viele natürliche Objekte haben komplexe, unendlich detaillierte Formen, in denen kleinere Versionen der gesamten Form überall zu sehen sind. Eine solche Form ist ein Fraktal, das Thema des Studiums. Honors-Version verfügbar
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 53. Erstsemester-Seminar: Symmetrie und Kacheln. 3 Kreditpunkte.

Durch Projekte mit Softwareprogrammen, Websites und Lesungen entdecken die Studierenden die geometrische Struktur von Fliesen, lernen, eigene Muster zu entwerfen und erkunden die vielen interdisziplinären Verbindungen.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 54. Seminar im ersten Jahr: Die Wissenschaft der Vermutung: Seine Mathematik, Philosophie und Geschichte. 3 Kreditpunkte.

Das Seminar behandelt die Geschichte und Philosophie der Wahrscheinlichkeit, Beweise und Vermutungen, betrachtet die Entwicklung des Bereichs der Wahrscheinlichkeit und befasst sich mit aktuellen und zukünftigen Anwendungen der Wahrscheinlichkeit. Honors-Version verfügbar
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 55. Erstsemester-Seminar: Geometrie und Symmetrie in der Natur. 3 Kreditpunkte.

Die Natur des Raums erlegt organischen und anorganischen Objekten auffallende Beschränkungen auf. Dieses Seminar untersucht solche Einschränkungen sowohl für biologische Organismen als auch für reguläre Festkörper in der Geometrie.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 56. Erstsemester-Seminar: Information und Codierung. 3 Kreditpunkte.

Können diese Informationen angesichts der Zunahme der verfügbaren Informationen über fast alles zuverlässig komprimiert, geschützt und über einen verrauschten Kanal übertragen werden? Die Studierenden werden einen mathematischen Blick auf die Kryptographie im Laufe der Geschichte und den Umgang mit Informationen im modernen Leben erhalten. Honors-Version verfügbar
Gen. Ed: QI.
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MATH 57. Erstsemester-Seminar: Die vierte Dimension. 3 Kreditpunkte.

Die Idee einer vierten Dimension hat eine reiche und wechselvolle Geschichte. Dieses Seminar untersucht das Konzept der vierten (und höheren) Dimension sowohl mathematisch als auch im weiteren Sinne des menschlichen Denkens.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 58. Seminar im ersten Jahr: Mathematik, Kunst und die menschliche Erfahrung. 3 Kreditpunkte.

Die Studierenden werden die Relevanz mathematischer Ideen für Bereiche untersuchen, die typischerweise als "nicht mathematisch" wahrgenommen werden (z. B. Kunst, Musik, Film, Literatur) und wie diese "nicht mathematischen" Bereiche das mathematische Denken beeinflussen.Honors-Version verfügbar
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 59. Erstsemester-Seminar: Das Geheimnis und die Majestät der gewöhnlichen Zahlen. 3 Kreditpunkte.

Probleme, die sich aus der Arithmetik gewöhnlicher Zählzahlen ergeben, faszinieren seit Jahrhunderten sowohl Mathematiker als auch Nichtmathematiker. Dieses Seminar wird einige dieser Probleme (sowohl gelöste als auch ungelöste) betrachten.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 60. Erstsemester-Seminar: Simuliertes Leben. 3 Kreditpunkte.

Dieses Seminar führt die Studierenden in den Denkprozess ein, der zur Entwicklung von Computermodellen biologischer Systeme führt. Es wird den Schülern auch Techniken zur Simulation und Analyse dieser Modelle näher bringen. Honors-Version verfügbar
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 61. Erstsemesterseminar: Die Sprache der Mathematik: Das Unsichtbare sichtbar machen. 3 Kreditpunkte.

Dieser Kurs wird Mathematik als die Wissenschaft der Muster betrachten und einige der verschiedenen Arten von Mustern diskutieren, die zu verschiedenen Zweigen der Mathematik führen.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 62. Erstsemester-Seminar: Kombinatorik. 3 Kreditpunkte.

Die Studierenden werden die tiefen Wurzeln der Kombinatorik in der Geschichte, ihre Verbindungen mit der Zahlentheorie und ihre grundlegende Rolle für die Naturwissenschaften sowie verschiedene Anwendungen, einschließlich Kryptographie und Börse, diskutieren. Honors-Version verfügbar
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 63. Erstsemester-Seminar: Von "The Sound of Music" bis "The Perfect Storm". 3 Kreditpunkte.

Die Studierenden entwickeln den konzeptionellen Rahmen, der notwendig ist, um Wellen jeglicher Art zu verstehen, ausgehend von Laborbeobachtungen. Honors-Version verfügbar
Gen. Ed: PL, QI.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: MASC 57.

MATH 64. Seminar im ersten Jahr: Ein Blick auf das Meer: Die Zirkulation des Ozeans und seine Auswirkungen auf das Küstenwasser. 3 Kreditpunkte.

Warum ist der Golfstrom so stark, warum fließt er im Uhrzeigersinn und warum trennt er sich bei Cape Hatteras von der Küste der Vereinigten Staaten? Die Studenten werden die Zirkulation des Ozeans und seinen Einfluss auf die Küstenumgebung untersuchen, indem sie das Buch A View of the Sea des bedeutenden Ozeanographen Hank Stommel lesen und Satelliten- und Vor-Ort-Beobachtungen untersuchen.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

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Die Schüler werden der intellektuellen Reise der Atomhypothese von Leukipp und Demokrit bis in die Neuzeit folgen und die Geschichte, die Anwendungen in der Wissenschaft und die Mathematik kombinieren, die entwickelt wurde, um Teilchen und ihre Wechselwirkungen zu untersuchen.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

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Das Seminar wird die nichteuklidische Geometrie (hyperbolisch und sphärisch) aus historischer, mathematischer und praktischer Perspektive untersuchen. Der Ansatz wird im Gegensatz zur traditionellen axiomatischen Methode weitgehend algebraisch sein.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 67. Die Mathematik des Klimawandels: Können wir die Zukunft unseres Planeten vorhersagen?. 3 Kreditpunkte.

Erwärmt sich die Erde? Vorhersagen basieren weitgehend auf mathematischen Modellen. Wir werden die Grenzen von Modellen in Bezug auf Vorhersagen betrachten. Es werden Beispiele für chaotisches Verhalten vorgestellt.
Gen. Ed: CI, QI.
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MATH 68. Erstsemester-Seminar: Die Mathematik des Wählens. 3 Kreditpunkte.

Welche Eigenschaften sollte eine faire Wahl haben und sind diese Eigenschaften in Theorie und Praxis erreichbar? Wie können Mathematik und Statistik eingesetzt werden, um Wahlbetrug und Gerrymandering aufzudecken? Die Studierenden werden sich diesen Fragen stellen, während sie verschiedene Wahlsysteme vergleichen, ihre Stärken, Schwächen und Missbräuche bewerten und Verbesserungen an aktuellen Strukturen entwerfen. Zu den Themen gehören Gerrymandering, Ranglisten-Abstimmungen, Genehmigungsabstimmungen und das Impossibility-Theorem von Arrow.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 69. Seminar im ersten Jahr: Unfolding Infinity: Mathematical Origami and Fractal Symmetry. 3 Kreditpunkte.

Dieses Seminar beschäftigt die Studierenden mit einer Erforschung des Zusammenspiels zwischen Mathematik, Origami und fraktaler Symmetrie. Zu den Lernzielen gehören das Beherrschen grundlegender Origami-Falttechniken, das Identifizieren und Anwenden grundlegender Symmetrieoperationen, das Erkennen und Analysieren von fraktalen Symmetrien und das Erstellen geometrischer Tessellationen. Die Schüler werden Bildbearbeitungssoftware (Illustrator und Photoshop), mathematische Bildgebungssoftware (Ultra Fractal) und den Laserschneider im BeAM-Raum der UNC verwenden, um modulare Origami- und fraktale Tessellationsgrafiken zu entwerfen und zu erstellen.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 70. Erstsemesterseminar: Topologie und Symmetrie. 3 Kreditpunkte.

In diesem Seminar werden die Studierenden Ideen aus Topologie und Geometrie und deren Anwendung auf Symmetriemuster untersuchen. Die Studierenden lernen, zweidimensionale Symmetriemuster zu erkennen und zu klassifizieren und eigene Designs zu erstellen. Die Studierenden werden Symmetriemuster mit ihren gefalteten Gegenstücken, den sogenannten Orbifolds, in Beziehung setzen und mit Werkzeugen aus Topologie und Geometrie bestimmen, welche Muster möglich sind und welche nie erreicht werden können.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 89. Erstsemester-Seminar: Spezielle Themen. 3 Kreditpunkte.

Kurs zu speziellen Themen. Die Inhalte variieren jedes Semester. Honors-Version verfügbar
Wiederholungsregeln: Kann für Credits wiederholt werden Kann im selben Semester für verschiedene Themen wiederholt werden 6 Credits insgesamt. 2 Gesamtabschlüsse.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 110. Algebra. 3 Kreditpunkte.

Bietet einen einsemestrigen Überblick über die Grundlagen der Algebra. Grundlegende algebraische Ausdrücke, Funktionen, Exponenten und Logarithmen sind enthalten, wobei der Schwerpunkt auf der Problemlösung liegt. Dieser Studiengang erfüllt keine allgemeinbildenden Anforderungen. Es ist für Schüler gedacht, die es als Voraussetzung für andere Klassen benötigen.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 110L. Algebra Voraussetzung. 1 Kredit.

Dieser Kurs bietet Just-in-Time-Unterricht und -Übungen in grundlegender Algebra, um Schüler in Algebra zu unterstützen. Es bietet auch zusätzliche Übungen zu einigen der schwierigeren Themen aus MATH 110. Dieser Kurs ist für Studenten gedacht, die derzeit in MATH 110 eingeschrieben sind und eine zusätzliche Überprüfung der Algebra benötigen.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 110.
Benotungsstatus: Bestanden/Nicht bestanden.

MATH 115. Argumentation mit Daten: Navigieren in einer quantitativen Welt. 3 Kreditpunkte.

Die Studierenden wenden mathematische und statistische Methoden an, um gesellschaftliche Probleme anzugehen, persönliche Entscheidungen zu treffen und kritisch über die Welt nachzudenken. Authentische Kontexte können Abstimmungen, Gesundheit und Risiko, Digital Humanities, Finanzen und menschliches Verhalten umfassen. Dieser Kurs wird nicht als Anrechnung auf die Studiengänge Psychologie oder Neurowissenschaften angerechnet.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: BIOL 115, PSYC 115, STOR 115.

MATH 116. Intuitiver Kalkül. 3 Kreditpunkte.

Bietet eine Einführung in die Grundkonzepte der Infinitesimalrechnung in einer möglichst untechnischen Umgebung. Der Kurs richtet sich an den nichtwissenschaftlichen Studiengang. Ein Student kann diesen Kurs nicht anrechnen, nachdem er MATH 152 oder 231 erhalten hat.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 117. Aspekte der endlichen Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Einführung in grundlegende Konzepte der endlichen Mathematik, einschließlich Themen wie Zählmethoden, endliche Wahrscheinlichkeitsprobleme und Netzwerke. Der Kurs richtet sich an den nichtwissenschaftlichen Studiengang.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 118. Aspekte der modernen Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Einführung in mathematische Themen von aktuellem Interesse in Gesellschaft und Wissenschaft, wie die Mathematik der Wahl, des Wachstums, der Finanzen und der Form. Der Kurs richtet sich an den nichtwissenschaftlichen Studiengang.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 119. Einführung in die mathematische Modellierung. 3 Kreditpunkte.

Bietet eine Einführung in die Verwendung von Mathematik zur Modellierung von Phänomenen der realen Welt in einer nichttechnischen Umgebung. Modelle verwenden algebraische, grafische und numerische Eigenschaften elementarer Funktionen, um Daten zu interpretieren. Dieser Kurs ist für den nichtwissenschaftlichen Studiengang gedacht.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 129P. Vorkalkulation Mathematik. 0 Credits.

Wird als Einstufungsguthaben basierend auf Testergebnissen vergeben. Erfüllt keine Abschlussvoraussetzung.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 130. Vorkalkül Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Behandelt die grundlegenden mathematischen Fähigkeiten, die zum Erlernen der Analysis erforderlich sind. Themen sind das Berechnen und Arbeiten mit Funktionen und Daten, Einführung in die Trigonometrie, parametrische Gleichungen und die Kegelschnitte. Ein Student kann diesen Kurs nicht anrechnen, nachdem er MATH 231 angerechnet hat.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 110 ist eine Note von C- oder besser.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 152. Infinitesimalrechnung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. 3 Kreditpunkte.

Eine einführende Übersicht der Differential- und Integralrechnung mit Schwerpunkt auf Techniken und Anwendungen, die für die Wirtschafts- und Sozialwissenschaften von Interesse sind. Dies ist ein Terminalkurs und keine ausreichende Vorbereitung auf MATH 232. Ein Student kann diesen Kurs nicht anrechnen, nachdem er MATH 231 oder 241 erhalten hat.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 110.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 190. Spezielle Themen in der Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Ein Bachelor-Seminarkurs, der als partizipatives intellektuelles Abenteuer zu einem fortgeschrittenen, aufstrebenden und anregenden Thema innerhalb einer ausgewählten Disziplin der Mathematik konzipiert ist. Dieser Kurs wird nicht als Anrechnung auf das Hauptfach Mathematik angerechnet.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 210. Mathematische Werkzeuge für die Datenwissenschaft. 3 Kreditpunkte.

Dieser Kurs führt die Studierenden in die Werkzeuge der linearen Algebra und Optimierung ein, einschließlich der Lösung linearer Systeme, Matrizen als lineare Transformationen, Eigenwerte und Eigenvektoren, Näherungen, Wurzelfindung, Ableitungen und Optimierung in mehreren Dimensionen. Dieser Kurs betont multidimensionales Denken und Anwendungen in der Datenwissenschaft.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 110 oder 110P.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 231. Funktionsrechnung einer Variablen I. 4 Credits.

Grenzen, Ableitungen und Integrale von Funktionen einer Variablen. Studenten werden möglicherweise nicht sowohl für MATH 231 als auch für MATH 241 angerechnet. Honours-Version verfügbar
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 110 und 130 Erfordert eine Note von C- oder besser in MATH 130 oder Einstufung durch den Fachbereich.
Gen. Ed: QR.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATHE 231L. Kalkül I Voraussetzung. 1 Kredit.

Dieser Kurs bietet Just-in-Time-Unterricht und Wiederholungen zu Algebra und Trigonometrie, um Studenten in MATH 231 zu unterstützen. Er bietet auch zusätzliche Übungen zu einigen der schwierigeren Themen aus Infinitesimalrechnung 1. Dieser Kurs ist für Studenten gedacht, die derzeit eingeschrieben sind MATH 231, die eine Überprüfung der Algebra und Trigonometrie benötigen.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 110 und 130 erfordert eine Note von C- oder besser in MATH 130 oder eine Einstufung durch die Abteilung Corequisite, MATH 231.
Benotungsstatus: Bestanden/Nicht bestanden.

MATH 232. Funktionsrechnung einer Variablen II. 4 Kreditpunkte.

Berechnung der elementaren transzendentalen Funktionen, Integrationstechniken, unbestimmte Formen, Taylorsche Formel, unendliche Reihe. Honors-Version verfügbar
Voraussetzungen: Voraussetzung, Note C- oder besser in MATH 231 oder Einstufung durch den Fachbereich.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 233. Funktionsrechnung mehrerer Variablen. 4 Kreditpunkte.

Vektoralgebra, analytische Festkörpergeometrie, partielle Ableitungen, multiple Integrale. Honors-Version verfügbar
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 232.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 290. Spezielle Themen in der Mathematik. 1-3 Kreditpunkte.

Erlaubnis des Ausbilders. Wahlfächer in Mathematik. Dieser Kurs hat variable Inhalte und kann mehrmals zur Anrechnung belegt werden.
Wiederholungsregeln: Kann für Credits wiederholt werden Kann im selben Semester für verschiedene Themen wiederholt werden 6 Credits insgesamt. 6 Gesamtabschlüsse.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 294. Grundseminar in Mathematik. 1-3 Kreditpunkte.

Erlaubnis des Ausbilders. Ein Seminar zu einem gewählten Thema der Mathematik, an dem die Studierenden aktiver teilnehmen als an üblichen Lehrveranstaltungen.
Wiederholungsregeln: Kann für Kredit wiederholt werden. Insgesamt 6 Credits. 2 Gesamtabschlüsse.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 296. Gezielte Exploration in der Mathematik. 1-3 Kreditpunkte.

Mit Genehmigung der Studiengangsleitung. Experimentieren oder vertiefende Untersuchung unter Anleitung eines Fakultätsmitglieds zu Themen der Mathematik, die mit einer bestehenden Lehrveranstaltung verbunden sein können, aber nicht. Für diesen Studiengang darf niemand mehr als sieben Semesterwochenstunden anrechnen lassen. Früher als MATH 290 angeboten.
Gen. Ed: EE-Mentorierte Forschung.
Wiederholungsregeln: Kann für Credits wiederholt werden Kann im selben Semester für verschiedene Themen wiederholt werden 7 Credits insgesamt. 7 Gesamtabschlüsse.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 307. Wiederbetrachtung der reellen Zahlen und der Algebra. 3 Kreditpunkte.

Im Mittelpunkt des Mathematikunterrichts vor dem College steht ein tiefes Verständnis der reellen Zahlen und der Algebra. In diesem Kurs werden diese Inhalte untersucht, wobei der Schwerpunkt auf Problemlösung und mathematischem Denken liegt.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 347. Lineare Algebra für Anwendungen. 3 Kreditpunkte.

Matrizenalgebra mit Anwendungen: Determinanten, Lösung linearer Systeme durch Gaußsche Elimination, Gram-Schmidt-Verfahren und Eigenwerte. Zuvor als MATH 547 angeboten.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 232.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 381. Diskrete Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Dieser Kurs dient als Übergang von der Computer- in die theoretischere Mathematik. Themen sind aus den Grundlagen der Mathematik: Logik, Mengenlehre, Beziehungen und Funktionen, Induktion, Permutationen und Kombinationen, Rekursion. Honors-Version verfügbar
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 232.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 383. Erster Kurs in Differentialgleichungen. 3 Kreditpunkte.

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen, Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit Anwendungen, lineare Gleichungen höherer Ordnung, lineare Gleichungssysteme erster Ordnung (bei Bedarf Einführung der linearen Algebra). Honors-Version verfügbar
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 233.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATHE 383L. Erster Kurs im Labor für Differentialgleichungen. 1 Kredit.

Der Kurs ist eine Computerlaborkomponente, die den Schülern hilft, ODE-Lösungen in Matlab zu visualisieren. Der Schwerpunkt liegt auf durch angewandte Wissenschaften motivierten Differentialgleichungen. Einige angewandte lineare Algebra werden nach Bedarf für Berechnungs- und Modellierungszwecke angezeigt.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 233 Vor- oder Nebenvoraussetzung, MATH 383.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 396. Grundstudium Lesen und Forschung in Mathematik. 1-3 Kreditpunkte.

Erlaubnis der Studiengangsleitung. Dieser Kurs richtet sich hauptsächlich an Studierende, die an Honours-Projekten arbeiten. Für diesen Studiengang darf niemand mehr als drei Semesterwochenstunden anrechnen lassen.
Gen. Ed: EE-Mentorierte Forschung.
Wiederholungsregeln: Kann für Credits wiederholt werden Kann im selben Semester für verschiedene Themen wiederholt werden 6 Credits insgesamt. 6 Gesamtabschlüsse.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 406. Mathematische Methoden in der Biostatistik. 1 Kredit.

Spezielle mathematische Techniken in Theorie und Methoden der Biostatistik in Bezug auf die Biowissenschaften und das öffentliche Gesundheitswesen. Enthält einen kurzen Überblick über die Infinitesimalrechnung, ausgewählte Themen aus der Intermediate Infinitesimalrechnung und eine einführende Matrixtheorie für Anwendungen in der Biostatistik.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 232.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 410. Mathematik lehren und lernen. 4 Kreditpunkte.

Studie darüber, wie Menschen Mathematik lernen und verstehen, basierend auf Forschung in Mathematik, Mathematikdidaktik, Psychologie und Kognitionswissenschaft. Dieser Kurs wurde entwickelt, um Mathematik-Hauptfächer darauf vorzubereiten, ausgezeichnete Mathematiklehrer an Gymnasien zu werden. Es umfasst Feldarbeit sowohl in der High School als auch im College-Umfeld.
Gen. Ed: EE- Feldarbeit.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 411. Entwicklung mathematischer Konzepte. 3 Kreditpunkte.

Erlaubnis des Ausbilders. Eine Untersuchung der verschiedenen Möglichkeiten, wie elementare Konzepte der Mathematik entwickelt werden können. Anwendungen der entwickelten Mathematik werden berücksichtigt.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 418. Grundlegende Analysekonzepte für Gymnasiallehrer. 3 Kreditpunkte.

Eine Untersuchung der Hochschulmathematik aus einer fortgeschrittenen Perspektive, einschließlich Zahlensysteme und das Verhalten von Funktionen und Gleichungen. In erster Linie für angehende oder praktizierende Gymnasiallehrer konzipiert.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 233 und 381.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 515. Geschichte der Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Ein allgemeiner Überblick über die Geschichte der Mathematik mit Schwerpunkt auf der elementaren Mathematik. Einige spezielle Probleme werden eingehend behandelt.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 381.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 521. Fortgeschrittenes Rechnen I. 3 Credits.

Ein Grad von A- oder besser in STOR 215 kann MATH 381 ersetzen. Die reellen Zahlen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen einer variablen, unendlichen Reihe, Integration. Honors-Version verfügbar
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 233 und 381.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 522. Fortgeschrittenes Rechnen II. 3 Kreditpunkte.

Funktionen mehrerer Variablen, die Ableitung als lineare Transformation, inverse und implizite Funktionssätze, Mehrfachintegration. Honors-Version verfügbar
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 383 und 521.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 523. Funktionen einer komplexen Variablen mit Anwendungen. 3 Kreditpunkte.

Algebra komplexer Zahlen, elementare Funktionen und ihre Abbildungseigenschaften, komplexe Grenzwerte, Potenzreihen, analytische Funktionen, Konturintegrale, Satz und Formeln von Cauchy, Laurent-Reihe und Residuenrechnung, elementare konforme Abbildung und Randwertprobleme, Poisson-Integralformel für die Scheibe und die halbe Ebene.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 383.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 524. Elementare Differentialgleichungen. 3 Kreditpunkte.

Lineare Differentialgleichungen, Potenzreihenlösungen, Laplace-Transformationen, numerische Methoden.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 383.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 528. Mathematische Methoden für die physikalischen Wissenschaften I. 3 Credits.

Theorie und Anwendungen der Laplace-Transformation, Fourier-Reihe und -Transformation, Sturm-Liouville-Probleme. Von den Schülern wird erwartet, dass sie einige numerische Berechnungen entweder auf einem programmierbaren Taschenrechner oder einem Computer durchführen. Dieser Kurs hat eine optionale Computerlaborkomponente: MATH 528L.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 383.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATHE 528L. Laboratorium für mathematische Methoden der Physikalischen Wissenschaften I. 1 KP.

Schulung im Umgang mit symbolischen und numerischen Rechenpaketen und deren Anwendung auf die Vorlesungsthemen MATH 528. Die Schüler benötigen ein CCI-kompatibles Computergerät.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 383 Vor- oder Zusatzvoraussetzung, MATH 528.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 529. Mathematische Methoden für die physikalischen Wissenschaften II. 3 Kreditpunkte.

Einführung in Randwertprobleme der Diffusions-, Laplace- und Wellen-Partialdifferentialgleichungen. Bessel-Funktionen und Legendre-Funktionen. Einführung in komplexe Variablen einschließlich der Rückstandsrechnung. Dieser Kurs hat eine optionale Computerlaborkomponente: MATH 529L.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 521, 524 oder 528.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATHE 529L. Laboratorium für Mathematische Methoden der Physik II. 1 Kredit.

Schulung im Umgang mit symbolischen und numerischen Rechenpaketen und deren Anwendung auf die Vorlesungsthemen MATH 529. Die Schüler benötigen ein CCI-kompatibles Computergerät.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 383 Vor- oder Nebenvoraussetzung, MATH 529.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 533. Elementare Zahlentheorie. 3 Kreditpunkte.

Ein Grad von A- oder besser in STOR 215 kann MATH 381 ersetzen. Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus, Kongruenzen, Restklassen, Eulersche Funktion, primitive Wurzeln, Chinesischer Restsatz, quadratische Reste, zahlentheoretische Funktionen, Farey und Kettenbrüche, Gaussian ganze Zahlen.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 381.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 534. Elemente der modernen Algebra. 3 Kreditpunkte.

Ein Grad von A- oder besser in STOR 215 kann MATH 381 ersetzen. Binäre Operationen, Gruppen, Untergruppen, Nebenklassen, Quotientengruppen, Ringe, Polynome.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 381.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 535. Einführung in die Wahrscheinlichkeit. 3 Kreditpunkte.

Einführung in die mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie, die Zufallsvariablen Momente Binomial-, Poisson-, Normalverteilungen und verwandte Verteilungen umfasst, die Funktionen Summen und Folgen von Zufallsvariablen und statistische Anwendungen erzeugen. Studenten können nicht sowohl für STOR 435 als auch für STOR 535 angerechnet werden.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 233.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: STOR 435.

MATH 548. Kombinatorische Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Auswahlen zählen, binomiale Identitäten, Einschluss-Ausschluss, Wiederholungen, katalanische Zahlen. Ausgewählte Themen aus der algorithmischen und strukturellen Kombinatorik oder von Anwendungen bis hin zu Physik und Kryptographie.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 381.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 550. Topologie. 3 Kreditpunkte.

Einführung in Themen der Topologie, insbesondere Oberflächentopologie, einschließlich Klassifikation kompakter Oberflächen, Euler-Charakteristik, Orientierbarkeit, Vektorfelder auf Oberflächen, Tessellationen und Fundamentalgruppe.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 233 und 381.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 551. Euklidische und nichteuklidische Geometrien. 3 Kreditpunkte.

Ein Grad von A- oder besser in STOR 215 kann MATH 381 ersetzen. Kritisches Studium der grundlegenden Begriffe und Modelle euklidischer und nicht-euklidischer Geometrien: Ordnung, Kongruenz und Abstand.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 381.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 553. Mathematische und Computermodelle in der Biologie. 3 Kreditpunkte.

Dieser Kurs führt analytische, rechnerische und statistische Techniken ein, wie diskrete Modelle, numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen, um verschiedene Bereiche der Biologie zu erforschen.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, BIOL 201 und 202, MATH 231 und entweder MATH 232 oder STOR 155 Zusatzvoraussetzung, BIOL 553L/MATH 553L Erlaubnis des Dozenten für Schüler, denen die Voraussetzungen fehlen.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: BIOL 553.

MATHE 553L. Mathematische und Computermodelle im Biologielabor. 1 Kredit.

In diesem Lab werden analytische, rechnergestützte und statistische Techniken wie diskrete Modelle, numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen und Likelihood-Funktionen eingeführt, um verschiedene Bereiche der Biologie zu erforschen.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, BIOL 201 und 202, MATH 231 und entweder MATH 232 oder STOR 155 Zusatzvoraussetzung, BIOL 553/MATH 553 Erlaubnis des Dozenten für Studierende ohne die Voraussetzungen.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: BIOL 553L.

MATH 555. Einführung in die Dynamik. 3 Kreditpunkte.

Die Themen werden variieren und können die Iteration von Karten, Umlaufbahnen, periodischen Punkten, Attraktoren, symbolischer Dynamik, Bifurkationen, fraktalen Mengen, chaotischen Systemen, Systemen, die aus Differentialgleichungen entstehen, iterierten Funktionssystemen und Anwendungen umfassen.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 383.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 564. Mathematische Modellierung in den Biowissenschaften. 3 Kreditpunkte.

Erfordert einige Kenntnisse in der Computerprogrammierung. Modellvalidierung und numerische Simulationen mit gewöhnlichen, partiellen, stochastischen und Verzögerungsdifferentialgleichungen. Anwendungen in den Biowissenschaften können Muskelphysiologie, biologische Fluiddynamik, Neurobiologie, molekulare regulatorische Netzwerke und Zellbiologie umfassen.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 383 und 347.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: BIOL 534.

MATH 566. Einführung in die numerische Analyse. 3 Kreditpunkte.

Erfordert einige Kenntnisse in der Computerprogrammierung. Iterative Methoden, Interpolation, Polynom- und Spline-Approximationen, numerische Differentiation und Integration, numerische Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 383 oder 347.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 577. Lineare Algebra. 3 Kreditpunkte.

Vektorräume, lineare Transformationen, Dualität, Diagonalisierung, primäre und zyklische Zerlegung, kanonische Jordanform, innere Produkträume, orthogonale Reduktion symmetrischer Matrizen, Spektralsatz, bilineare Formen, multilineare Funktionen. Ein viel abstrakterer Kurs als MATH 347.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 381 und 383 Eine Note von A- oder besser in STOR 215 kann MATH 381 ersetzen.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 578. Algebraische Strukturen. 3 Kreditpunkte.

Permutationsgruppen, Matrixgruppen, Gruppen linearer Transformationen, Symmetriegruppen endliche abelsche Gruppen. Restklassenringe, Matrizenalgebra, lineare Abbildungen und Polynome. Reelle und komplexe Zahlen, rationale Funktionen, quadratische Körper, endliche Körper.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 347 oder 577.
Gen. Ed: QI.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 590. Themen der Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Erlaubnis des Ausbilders. Themen können sich auf Matrixtheorie, Analysis, Algebra, Geometrie oder angewandte und computergestützte Mathematik konzentrieren.
Wiederholungsregeln: Kann für Credits wiederholt werden Kann im selben Semester für verschiedene Themen wiederholt werden 12 Credits insgesamt. 4 Gesamtabschlüsse.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 594. Nichtlineare Dynamik. 3 Kreditpunkte.

Interdisziplinäre Einführung in nichtlineare Dynamik und Chaos. Fixpunkte, Bifurkationen, seltsame Attraktoren, mit Anwendungen in Physik, Biologie, Chemie, Finanzen.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 383 Erlaubnis des Dozenten für Studierende ohne die Voraussetzung.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: PHYS 594.

MATH 635. Wahrscheinlichkeit II. 3 Kreditpunkte.

Grundlagen der Wahrscheinlichkeit. Grundlegende klassische Theoreme. Modi der probabilistischen Konvergenz. Problem der zentralen Grenze. Generierende Funktionen, charakteristische Funktionen. Bedingte Wahrscheinlichkeit und Erwartung.
Voraussetzungen: Voraussetzung, STOR 634 Erlaubnis des Dozenten für Studierende ohne die Voraussetzung.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: STOR 635.

MATH 641. Aufzählende Kombinatorik. 3 Kreditpunkte.

Grundlegendes Zählen von Partitionen Rekursionen und Generierungsfunktionen Vorzeichenzählung Zählen in Bezug auf Symmetrie, Ebenenpartitionen und Tableaus.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 578.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 643. Kombinatorische Strukturen. 3 Kreditpunkte.

Graphentheorie, Matchings, Ramsey-Theorie, Extremalmengentheorie, Netzwerkflüsse, Gitter, Möbius-Inversion, q-Analoga, kombinatorische und projektive Geometrien, Codes und Designs.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 578.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 653. Einführende Analyse. 3 Kreditpunkte.

Erfordert Kenntnisse in fortgeschrittener Infinitesimalrechnung. Elementare metrische Raumtopologie, stetige Funktionen, Differentiation vektorwertiger Funktionen, implizite und inverse Funktionssätze. Themen aus dem Satz von Weierstraß, Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Differentialgleichungen, Funktionsreihen.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 656. Komplexe Analyse. 3 Kreditpunkte.

Eine rigorose Behandlung komplexer Integration, einschließlich der Cauchy-Theorie. Elementare Sonderfunktionen, Potenzreihen, lokales Verhalten analytischer Funktionen.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 653.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 657. Qualitative Theorie der Differentialgleichungen. 3 Kreditpunkte.

Erfordert Kenntnisse der Linearen Algebra. Existenz- und Eindeutigkeitssätze, lineare und nichtlineare Systeme, Differentialgleichungen in der Ebene und auf Flächen, Poincare-Bendixson-Theorie, Lyapunov-Stabilität und Strukturstabilität, Kritische-Punkt-Analyse.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 653.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 661. Wissenschaftliches Rechnen I. 3 Credits.

Erfordert Programmiererfahrung und grundlegende numerische Analyse. Rechenfehler, Lösungen nichtlinearer Gleichungen, Interpolation, Approximation von Funktionen, Fourier-Methoden, numerische Integration und Differentiation, Einführung in die numerische Lösung von ODEs, Gaußsche Elimination.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: ENVR661.

MATH 662. Wissenschaftliche Berechnung II. 3 Kreditpunkte.

Theoretische und praktische Probleme, die sich bei Problemen der linearen Algebra aus physikalischen Anwendungen ergeben, z. B. Diskretisierung von ODEs und PDEs. Lineare Systeme, lineare kleinste Quadrate, Eigenwertprobleme, Singulärwertzerlegung.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 661.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: COMP 662, ENVR 662.

MATH 668. Methoden der Angewandten Mathematik I. 3 Credits.

Erfordert ein Grundstudium in Differentialgleichungen. Konturintegration, asymptotische Expansionen, Verfahren des steilsten Abstiegs/stationäre Phase, spezielle Funktionen aus physikalischen Anwendungen, elliptische und Theta-Funktionen, elementare Bifurkationstheorie.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: ENVR668.

MATH 669. Methoden der Angewandten Mathematik II. 3 Kreditpunkte.

Störungsmethoden für ODEs und PDEs, WKBJ-Methode, Mittelung und Modulationstheorie für lineare und nichtlineare Wellengleichungen, Langzeitasymptotik von Fourier-Integraldarstellungen von PDEs, Greensche Funktionen, dynamische Systemwerkzeuge.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 668.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: ENVR 669.

MATH 676. Module, Lineare Algebra und Gruppen. 3 Kreditpunkte.

Erfordert Kenntnisse der linearen Algebra und algebraischer Strukturen. Module über Ringen, kanonische Formen für lineare Operatoren und bilineare Formen, multilineare Algebra, Gruppen und Gruppenaktionen.
Wiederholungsregeln: Kann für Kredit wiederholt werden. Insgesamt 6 Credits. 2 Gesamtabschlüsse.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 677. Gruppen, Darstellungen und Felder. 3 Kreditpunkte.

Interne Struktur von Gruppen, Sylow-Theoreme, Generatoren und Relationen, Gruppendarstellungen, Felder, Galoistheorie, Kategorientheorie.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 676.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 680. Geometrie von Kurven und Flächen. 3 Kreditpunkte.

Themen sind (Kurven) Frenet-Formeln, isoperimetrische Ungleichung, Sätze von Crofton, Fenchel, Fary-Milnor (Flächen) Fundamentalformen, Gaußsche und mittlere Krümmung, spezielle Oberflächen, Geodäten, Gauß-Bonnet-Theorem.
Voraussetzungen: Voraussetzung, fortgeschrittener Kalkül.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 681. Einführende Topologie. 3 Kreditpunkte.

Topologische Räume, Zusammenhang, Trennungsaxiome, Produkträume, Erweiterungssätze. Klassifizierung von Oberflächen, Grundgruppe, Flächen abdecken.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 653 und 680.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 690. Themen in der Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Erlaubnis der Abteilung. Gezieltes Studium eines fortgeschrittenen Themas der Mathematik. Die Themen werden variieren.
Wiederholungsregeln: Kann für Credits wiederholt werden Kann im selben Semester für verschiedene Themen wiederholt werden 12 Credits insgesamt. 4 Gesamtabschlüsse.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 691H. Honors Forschung in Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Erlaubnis der Studiengangsleitung. Lektüre in Mathematik und Beginn der gezielten Forschung zu einer Ehrenarbeit.
Gen. Ed: EE-Mentorierte Forschung.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATHE 692H. Honours Thesis in Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Erlaubnis der Studiengangsleitung. Anfertigung einer Honours Thesis unter der Leitung eines Mitglieds der Fakultät. Erforderlich für alle Kandidaten für den Abschluss mit Auszeichnung in Mathematik.
Gen. Ed: EE-Mentorierte Forschung.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 751. Einführung in partielle Differentialgleichungen. 3 Kreditpunkte.

Grundlegende Methoden in partiellen Differentialgleichungen. Themen können sein: Satz von Cauchy-Kowalewski, Eindeutigkeitssatz von Holmgren, Laplace-Gleichung, Maximumprinzip, Dirichlet-Problem, harmonische Funktionen, Wellengleichung, Wärmegleichung.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 653.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 753. Messen und Integrieren. 3 Kreditpunkte.

Lebesgue- und abstraktes Maß und Integration, Konvergenzsätze, Differentiation, Radon-Nikodym-Satz, Produktmaße, Fubini-Satz, Lebesgue-Räume, Invarianz unter Transformationen, Haar-Maß und Faltung.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 653 Erlaubnis des Dozenten für Studierende ohne die Voraussetzung.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 754. Einführende Funktionsanalyse. 3 Kreditpunkte.

Hahn-Banach und Trennungssätze. Normierte und lokal konvexe Räume, Duale von Räumen und Abbildungen, geschlossene Graphen- und offene Abbildungssätze für schwache Topologien, Satz der einheitlichen Beschränktheit, lineare Operatoren. Feder.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 753.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 755. Erweiterte komplexe Analyse. 3 Kreditpunkte.

Laurent-Reihe Mittag-Leffler und Weierstrass Theoreme Riemann-Abbildungstheorem Satz von Runge Zusatzthemen ausgewählt aus: harmonische, elliptische, univalente, ganze, meromorphe Funktionen Dirichlet-Problem Riemann-Flächen.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 656.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 756. Mehrere komplexe Variablen. 3 Kreditpunkte.

Elementare Theorie, Cousin-Probleme, Bereiche der Holomorphie, Runge-Bereiche und polynomielle Approximation, lokale Theorie, komplexe analytische Strukturen, kohärente analytische Garben und Stein-Mannigfaltigkeiten, Cartans Theoreme.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 656.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 761. Numerische ODE/PDE, I. 3 Credits.

Einstufige Methoden für ODEs: Stabilitätsbereiche, Wurzelbedingung steife Systeme, Rückwärtsdifferenzformeln Zweipunkt-BVPs Stabilitätstheorie Finite-Differenzen-Methoden für lineare Advektionsdiffusionsgleichungen.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 661 und 662.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: ENVR 761, MASC 781.

MATH 762. Numerische ODE/PDE, II. 3 Kreditpunkte.

Elliptische Gleichungsmethoden (finite Differenzen, Elemente, Integralgleichungen) Hyperbolische Erhaltungssatzmethoden (Lax-Fiedrich, Eigenschaften, Entropiebedingung, Stoßverfolgung/-erfassung) spektrale, pseudospektrale Methoden Teilchenmethoden, schnelle Summation, schnelle Multipol-/Vortex-Methoden.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 761.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: ENVR 762, MASC 782.

MATH 768. Mathematische Modellierung I. 3 Credits.

Entdimensionalisierung und Identifizierung physikalischer Effekte führender Ordnung in Bezug auf relevante Skalen und Phänomene Ableitung klassischer Modelle der Strömungsmechanik (Schmierung, schlankes Filament, dünne Filme, Stokes-Strömung) Ableitung von schwach nichtlinearen Hüllkurvengleichungen. Herbst.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 661, 662, 668 und 669.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: ENVR 763, MASC 783.

MATH 769. Mathematische Modellierung II. 3 Kreditpunkte.

Aktuelle Modelle in Wissenschaft und Technik: Themen reichen von materialwissenschaftlichen Anwendungen (z. B. Strömung von Polymeren und LCPs) bis hin zu geophysikalischen Anwendungen (z. B. Ozeanzirkulation, quasi-geostrophische Modelle, atmosphärische Wirbel).
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 661, 662, 668 und 669.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: ENVR 764, MASC 784.

MATH 771. Kommutative Algebra. 3 Kreditpunkte.

Körpererweiterungen, integrale Ringerweiterungen, Nullstellensatz und Normierungssatz, Ableitungen und Trennbarkeit, lokale Ringe, Bewertungen, Vervollständigungen, Filtrationen und gradierte Ringe, Dimensionstheorie.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 677.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 773. Lügengruppen. 3 Kreditpunkte.

Lie-Gruppen, geschlossene Untergruppen, Lie-Algebra einer Lie-Gruppe, Exponentialabbildung, kompakte Gruppen, Haar-Maß, Orthogonalitätsrelationen, Peter-Weyl-Theorem, maximaler Torus, Darstellungen, Weyl-Zeichenformel, homogene Räume.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 676 und 781.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 774. Lügen-Algebren. 3 Kreditpunkte.

Nilpotente, lösbare und halbeinfache Lie-Algebren, Struktursätze, Wurzelsysteme, Weyl-Gruppen, Gewichte, Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren und ihre endlichdimensionalen Darstellungen, Charakterformeln.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 676.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 775. Algebraische Geometrie. 3 Kreditpunkte.

Themen können sein: algebraische Varietäten, algebraische Funktionen, abelsche Varietäten, projektive und vollständige Varietäten, algebraische Gruppen, Schemata und die Grothendieck-Theorie, Riemann-Roch-Theorem.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 771.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 776. Algebraische Topologie. 3 Kreditpunkte.

Homotopie und Homologie simpliziale Komplexe und singuläre Homologie andere Themen können Kohomologie, universelle Koeffizientensätze, höhere Homotopiegruppen, Faserräume umfassen.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 676 und 681.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 781. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten. 3 Kreditpunkte.

Rechnung über Mannigfaltigkeiten, Vektorbündel, Vektorfelder und Differentialgleichungen, Lie-Gruppen, Zusammenhänge, de Rham-Kohomologie.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 653, 676 und 681.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 782. Differentialgeometrie. 3 Kreditpunkte.

Riemannsche Geometrie, erste und zweite Variation von Fläche und Anwendungen, Einfluss der Krümmung auf Homologie und Homotopie, Chern-Weil-Theorie der charakteristischen Klassen, Chern-Gauss-Bonnet-Theorem.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 781.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 853. Harmonische Analyse. 3 Kreditpunkte.

Erlaubnis des Ausbilders. Themen können topologische Gruppen, abstrakte harmonische Analyse, Fourier-Analyse, nichtkommutative harmonische Analyse und Gruppendarstellung, automorphe Formen und analytische Zahlentheorie umfassen.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 854. Erweiterte Funktionsanalyse. 3 Kreditpunkte.

Erlaubnis des Ausbilders. Themen können Operatortheorie auf Hilbert-Raum, Operatoren auf Banach-Räumen, lokal konvexen Räumen, Vektormaßen, Banach-Algebren sein.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 857. Theorie dynamischer Systeme. 3 Kreditpunkte.

Erlaubnis des Ausbilders. Themen können sein: ergodische Theorie, topologische Dynamik, Stabilitätstheorie von Differentialgleichungen, klassische dynamische Systeme, differenzierbare Dynamik.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 891. Spezielle Themen. 1-3 Kreditpunkte.

Weiterführende Themen in der aktuellen Forschung in Statistik und Operations Research.
Wiederholungsregeln: Kann für Credits wiederholt werden Kann im selben Semester für verschiedene Themen wiederholt werden.
Benotungsstatus: Briefnote
Gleich wie: GNET 891, BCB 891.

MATH 892. Themen in der Computermathematik. 3 Kreditpunkte.

Themen können sein: Finite-Elemente-Methode, numerische Methoden für hyperbolische Erhaltungssätze, unendlichdimensionale Optimierungsprobleme, Variationsungleichungen, inverse Probleme.
Voraussetzungen: Voraussetzungen, MATH 661 und 662.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 893. Themen in Algebra. 3 Kreditpunkte.

Themen aus der Ringtheorie, der Bialgebrentheorie, der homologischen Algebra, der algebraischen Zahlentheorie, Kategorien und Funktionen.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 677.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 894. Themen der kombinatorischen Mathematik. 3 Kreditpunkte.

Themen können sein: kombinatorische Geometrien, Färbung und das kritische Problem, die Klammeralgebra, Algebren mit reduzierter Inzidenz und erzeugende Funktionen, binomiale Aufzählung, Designs, Bewertungsmodul eines Gitters, Gittertheorie.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 641 Erlaubnis des Dozenten für Studierende ohne die Voraussetzung.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 895. Spezielle Themen in der Geometrie. 3 Kreditpunkte.

Themen können sein: elliptische Operatoren, komplexe Mannigfaltigkeiten, äußere Differentialsysteme, homogene Räume, Integralgeometrie, Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums, geometrische Aspekte der mathematischen Physik.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 781.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 896. Themen in der algebraischen Topologie. 3 Kreditpunkte.

Themen vorwiegend aus der algebraischen oder differentiellen Topologie, wie Kohomologieoperationen, Homotopiegruppen, Faserbündel, Spektralsequenzen, K-Theorie, Kobordismus, Morsetheorie, Chirurgie, Singularitätentopologie.
Voraussetzungen: Voraussetzung, MATH 776 Erlaubnis des Dozenten für Studierende ohne die Voraussetzung.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 920. Seminar und angeleitete Lesungen. 1-3 Kreditpunkte.

MATH 921. Seminar. 3 Kreditpunkte.

MATH 925. Praktischer Lehrgang in Mathematik. 1-3 Kreditpunkte.

Erforderliche Vorbereitung, bestandener Ph.D. oder M. S. schriftliche umfassende Prüfung. Es wird eine Möglichkeit für die praktische Ausbildung eines an Mathematik interessierten Doktoranden identifiziert. In der Regel wird diese Möglichkeit in Form eines Sommerpraktikums erwartet.
Voraussetzungen: Voraussetzung, Erfolgreiche Absolvierung der schriftlichen Gesamtprüfung.
Wiederholungsregeln: Kann für Kredit wiederholt werden.
Benotungsstatus: Brief Grad.

MATH 992. Master (Nicht-Thesis). 3 Kreditpunkte.

MATH 993. Master-Forschung und Abschlussarbeit. 3 Kreditpunkte.

Dies sollte nicht von Studierenden belegt werden, die nicht-thesisbezogene Masterprojekte wählen.
Wiederholungsregeln: Kann für Kredit wiederholt werden.

MATH 994. Promotion und Dissertation. 3 Kreditpunkte.


Gewöhnliche Differentialgleichungen

Als eines der wenigen Bücher über gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) enthält dieses Buch sowohl qualitative Theorie, die es den Schülern ermöglicht, die Lösungen zu analysieren, ohne Formeln zu erhalten, als auch Methoden und Techniken zum Erhalten von Formeln. Es bietet freundliche Erklärungen der Theoreme zusätzlich zu ihren formalen Beweisen, ausgedrückt in Beispielen, Fragen, Abbildungen, Übungen, lustigen Modellen zu verschiedenen Aspekten des Lebens und sogar Math Theater, das mithilfe von ODEs den Vorteil der Optimierung durch Feedback gegenüber einem starren . erklärt planen. Übungen, sowohl einfache als auch fortgeschrittenere, finden Sie darin.

Dies ermöglicht es den Schülern, mit ODEs mit einem vollständigen Verständnis ihrer Tätigkeit umzugehen, anstatt mit Symbolen zu manipulieren, und sogar einige Theoreme und Techniken zu erweitern. Das Buch richtet sich an Studierende, Lehrende und Forschende. Es kann problemlos für einen einsemestrigen Kurs zu ODEs verwendet werden. Alternativ kann es für Lehrende lohnenswert sein, einige der Kapitel in ihren Kurs aufzunehmen.


Problem 675

Der Raum $C^ (mathbb)$ ist der Vektorraum reeller Funktionen, die unendlich differenzierbar sind. Sei $T : C^ (mathbb) ightarrow mathrm

_3$ sei die Abbildung, die $f in C^(mathbb)$ zu seinem Taylor-Polynom dritter Ordnung, speziell definiert durch
[ T(f)(x) = f(0) + f'(0) x + frac(0)> <2>x^2 + frac(0)> <6>x^3.] Hier bezeichnen $f’, f^$ und $f^$ den ersten, zweiten und dritten Derivate von $f$ bzw.

Beweisen Sie, dass $T$ eine lineare Transformation ist.


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Klappentext

Die ersten acht Kapitel des Buches behandeln allgemeine algebraische Gruppenschemata über einem Körper. Sie gipfeln in einem Beweis des Barsotti-Chevalley-Theorems, der besagt, dass jede algebraische Gruppe eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine affine algebraische Gruppe ist. Die restlichen Kapitel behandeln nur affine algebraische Gruppen. Nach einem Überblick über die Tannaksche Philosophie gibt es kurze Darstellungen von Lie-Algebren und Finite-Gruppen-Schemata. Lösbare algebraische Gruppen werden in den Kapiteln 12-16 ausführlich untersucht. Die letzten acht Kapitel behandeln die Borel-Chevaley-Strukturtheorie reduktiver algebraischer Gruppen über beliebige Körper. Drei Anhänge behandeln die erforderliche algebraische Geometrie, die Konstruktion sehr allgemeiner Quotienten algebraischer Gruppen und die Theorie der Wurzeldaten.

Die Darstellung enthält Vereinfachungen der Theorie von Springer, Steinberg und anderen. Obwohl die Theorie der algebraischen Gruppen als ein Zweig der algebraischen Geometrie betrachtet werden kann, sind die meisten, die sie verwenden, keine algebraischen Geometer. In der vorliegenden Arbeit wurden die Voraussetzungen auf ein Minimum beschränkt. Einzige Voraussetzung ist ein erster Kurs in algebraischer Geometrie einschließlich der Grundlagen der kommutativen Algebra.

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*Der einzige mir bekannte Versuch, ein solches Buch zu schreiben, war der von Demazure und Gabriel. Wie sie im Vorwort von "Groupes Algébriques (1971)" (meine Übersetzung) schrieben:


Bestimmung von Buchstabennoten

Die numerische Punktzahl bei jeder Prüfung wird in Buchstabennoten interpretiert, wobei jeder Schüler eine Buchstabennote sowie eine Zahlennote erhält, und die Summe aller erzielten Punkte wird ebenfalls in Buchstabennoten interpretiert. Die Noten in den Prüfungen geben an, wie ein Schüler abschneidet, und werden bei der Interpretation für die Summen berücksichtigt. Die Kursnote wird durch die Interpretation der Gesamtpunktzahl bestimmt. Lediglich in Grenzfällen können weitere Anpassungen aufgrund von Hausaufgaben, Unterrichtsteilnahme und Anwesenheit nach Festlegung durch die Lehrkraft vorgenommen werden. Alle Fälle von Betrug werden vom Academic Honesty Committee des Harpur College untersucht.


Frühjahr 2004

    MATH 7210: Algebra - I
  • Dozent: Prof. Perlis.
  • Voraussetzung: Math 7200 und ein guter Bachelor-Theorem beweisender abstrakter Algebrakurs.
  • Text: Hungerford, Algebra.

Dies ist in erster Linie ein Kurs über Feldtheorie und Galoistheorie. Es wird erwartet, dass die Studierenden mit der Theorie endlicher Gruppen, einschließlich der Sylow-Theoreme, vertraut sind. Wir beginnen mit Kapitel V in Hungerfords Buch. Die Galois-Theorie hat ihre Wurzeln in dem Versuch, die bekannte quadratische Formel zum Finden der komplexen Lösungen einer Polynomgleichung ax 2 + bx + c = 0 zweiten Grades auf Polynome höheren Grades zu verallgemeinern. 1798 veröffentlichte Ruffini einen unvollständigen Beweis für die Behauptung, dass es im Allgemeinen keine algebraische Formel (die nur endlich viele Summen, Produkte, Quotienten und n-te Wurzeln enthält) gibt, um eine Polynomgleichung vom Grad fünf oder höher zu lösen. 1826, im Alter von 24 Jahren, veröffentlichte Abel einen Beweis für Ruffinis Aussage. Nach heutigen Maßstäben ist Abels Beweis etwas unscharf. Die Galois-Theorie bietet eine elegante Möglichkeit, das Problem zu analysieren, und ist so mächtig, dass die zentralen Ideen, wenn nicht die Details, auf algebraische Topologie, Geometrie und sogar Teile von Differentialgleichungen übertragen wurden. Bei Fragen wenden Sie sich bitte an R. Perlis über den Link oben unter Ausbilder.

    MATH 7280: Elliptische Kurven und modulare Formen
  • Dozent: Prof. Verrill.
  • Voraussetzung: (1) Grundstudium der komplexen Analysis (Sie sollten mit meromorphen und analytischen Funktionen vertraut sein (2) Gruppen, Galois-Gruppen (Definitionen und Beispiele).
  • Text: Einführung in die arithmetische Theorie automorpher Formen, G. Shimura. (Dringend empfohlen, aber nicht zwingend erforderlich als Referenzmaterial werden wir ungefähr die ersten 4 Kapitel behandeln einige Themen, die im Text nicht behandelt werden, werden als Handouts präsentiert.)

Dieser Kurs ist in erster Linie eine Einführung in die Theorie der modularen Formen mit Anwendungen auf elliptische Kurven. Eine modulare Form ist eine analytische Funktion auf der oberen Hälfte der komplexen Ebene mit vielen Symmetrien und eine Entwicklung der Form f(z) = a0 + a1 q + a2 q 2 + a3 q3 + . wobei q=exp(2 pi iz). Eine elliptische Kurve ist (normalerweise) durch eine Gleichung y 2 = x 3 + ax + b gegeben (und hat nur einen historischen Bezug zu Ellipsen). Die Modularität elliptischer Kurven ist die überraschende Tatsache, dass es für jede elliptische Kurve (mit rationalen a, b) eine entsprechende modulare Form gibt, so dass die Anzahl der Punkte auf der Kurve, mod p, für alle außer endlich vielen Primzahlen p, ist p minus Koeffizient ap der modularen Form. Einige der Themen, die wir behandeln werden, sind: Kongruenz-Untergruppen, fundamentale Domänen für Untergruppen von PSL2(Z), Hecke-Operatoren, das Gruppengesetz einer elliptischen Kurve, p-adische Zahlen und Galois-Darstellungen im Zusammenhang mit elliptischen Kurven. Ein Ziel ist es, einen Umriss der Zutaten zu skizzieren, die darin enthalten sind, wie die Modularität elliptischer Kurven verwendet wird, um den letzten Satz von Fermat zu beweisen. Wir werden auch Berechnungsprobleme diskutieren, wie zum Beispiel die Berechnung von Hecke-Eigenmodularformen und Fundamentalbereichen. Diese werden mit dem Magma Computeralgebra Package illustriert. Fragen? Bitte kontaktieren Sie mich unter der oben mit meinem Namen verknüpften E-Mail-Adresse und besuchen Sie die https://www.math.lsu.edu/

    MATH 7290: Lineare algebraische Gruppen
  • Dozent: Prof. Morales.
  • Voraussetzung: Algebra I und II (MATH 7210, 7211) oder gleichwertig
  • Text: Vorlesungsnotizen. *Nachschlagewerke (dringend empfohlen, aber nicht zwingend erforderlich): (1) "Linear Algebraic Groups" von James E. Humphreys, Springer-Verlag 1999. (2) "Linear Algebraic Groups" von T. A. Springer, Birkhauser 1998.

Lineare (oder affine) algebraische Gruppen sind affine algebraische Varietäten, die mit einer Gruppenstruktur ausgestattet sind, die mit der Struktur der Varietät kompatibel ist. Beispiele für solche Objekte sind die klassischen Gruppen GLn, SLn, SOn und allgemeiner die Gruppen von Automorphismen von Vektorräumen, die mit einem Tensor ausgestattet sind. Algebraische Gruppen sind das algebraische Gegenstück zu Lie-Gruppen. Wenn das Grundfeld der Körper der komplexen Zahlen C ist, haben die beiden Theorien einen großen Schnittpunkt. Das Ziel dieses Kurses ist es, einen einführenden Überblick über diese schöne Theorie zu geben. Hintergrundmaterial aus der algebraischen Geometrie wird dabei entwickelt.

  1. Einige algebraische Geometrie
  2. Lineare algebraische Gruppen
  3. Ableitungen, Differentiale, Lie-Algebren
  4. Homogene Räume
  5. Halbeinfache und unipotente Elemente
  6. Lösbare Gruppen
  7. Borel-Untergruppen
  8. Reduktionsgruppen
  9. Halbeinfache Gruppen
    MATH 7312: Messen und Integrieren
  • Dozent: Prof. Sundar
  • Voraussetzung: Mathe 7311
  • Text: Reelle und komplexe Analysis von Walter Rudin

Der Kurs ist eine Fortsetzung von Real Analysis I und führt in die Maßtheorie, Elemente von Hilbert- und Banach-Räumen und die Analyse von Funktionen mehrerer Variablen ein. Der Lehrplan lautet wie folgt:

  1. Kapitel I: Abstrakte Maße, Integration, Konvergenzsätze, L p -Räume und Ungleichungen.
  2. Kapitel II: Hilbert- und Banachräume, Konsequenzen des Satzes von Baire, Satz von Hahn-Banach und Anwendungen.
  3. Kapitel III: Vorzeichenbehaftete Maße, Radon-Nikodym-Satz, Zerlegungssätze, Dualität.
  4. Kapitel IV: Produktmaße, Fubini- und Tonelli-Theoreme.
  5. Kapitel V: Differentiation, implizite und inverse Funktionssätze, Änderung von Variablen in Integralen.
  6. Kapitel VI: Sobolev-Räume, Einbettungssätze.
    MATH 7320: Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Dozent: Prof. Estrada
  • Voraussetzung: Entweder Math 7311 oder beides Math 4031 und Math 4032.
  • Text: W. Walter, Ordinary Differential Equations, Springer, 1998.

Dies ist ein erster Aufbaukurs in gewöhnlichen Differentialgleichungen. Folgende Themen werden behandelt. Existenz- und Eindeutigkeitsergebnisse für Gleichungen und Systeme erster Ordnung sowie für Gleichungen höherer Ordnung. Lineare Gleichungen und Systeme. Komplexe lineare Systeme. Randwert- und Eigenwertprobleme. Stabilität.

    MATH 7380-1: Partielle Differentialgleichungen
  • Dozent: Prof. Shipman.
  • Voraussetzung: Ein erster Kurs in graduierter Analysis, z. B. Math 7311 elementare Auseinandersetzung mit gewöhnlichen Differentialgleichungen.
  • Text: Partielle Differentialgleichungen, von L. C. Evans (AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19)

Dieser Kurs ist eine Einführung in mathematische Theorien partieller Differentialgleichungen und wird durch physikalische Motivationen und Anwendungen ergänzt. Der Kurs ist weitgehend in sich abgeschlossen und setzt eine solide Grundlage in der grundlegenden Analysis und der Auseinandersetzung mit grundlegenden (gewöhnlichen) Differentialgleichungen voraus.

  1. Die grundlegenden linearen Gleichungen werden ebenso ausführlich behandelt wie Lösungsmethoden wie Transformationen und Fundamentallösungen. Die grundlegende nichtlineare Theorie umfasst die Methode der Eigenschaften, Erhaltungssätze und die Existenz- und Eindeutigkeitstheorie. Weitere wichtige Themen sind Variationsrechnung und elliptische PDEs.
  2. Einige Spezialthemen werden genauer untersucht, wie nichtlineare Wellen, nichtlineare Spektraltransformationen, asymptotische Methoden oder die Mathematik der Elektrodynamik.
  3. Es wird versucht, einen breiten Überblick über die Themen in PDEs zu geben, indem kurz eine Auswahl von Themen diskutiert wird. Diese können Evolutionsgleichungen, Operator- und Halbgruppenmethoden, nichtlineare hyperbolische Gleichungen, Randintegralmethoden, Energiemethoden, numerische Methoden, integrierbare Systeme, elliptische Regularitätstheorie oder pseudodifferentielle Operatoren umfassen.
    MATH 7380-2: Integrale und funktionale Gleichungen
  • Dozent: Prof. Antipov.
  • Voraussetzung: MATH 4036 Komplexe Variablen
  • Text: Skript zur Vorlesung und F.D. Gakhov, Grenzwertprobleme.

Ziele: Einführung in singuläre Integral- und Integro-Differentialgleichungen und Funktionaldifferenzengleichungen, die mit Methoden für Randwertprobleme der Theorie analytischer Funktionen angegangen werden können.

Lernziele: Die Studierenden sollen eine Reihe von analytischen Methoden zur Lösung von Modellproblemen in der angewandten Mathematik einschließlich Bruchmechanik und Beugungstheorie kennen.
Inhalt: Das Cauchy-Integral, das Riemann-Hilbert-Problem auf einer Achse und einer offenen Kurve, das Wiener-Hopf-Verfahren, das Carleman-Problem, Matrixfaktorisierung, Elemente elliptischer Funktionen und elliptischer Flächen, Modellprobleme von Bruch, Elastizität und Beugung elektromagnetischer und akustische Wellen.

    MATH 7380-3: Numerische Methoden und Anwendungen
  • Dozent: Prof. Bourdin.
  • Voraussetzung: Mathe 7311 oder gleichwertig Grundkenntnisse in harmonischer Analysis, PDE oder numerischer Analysis sind von Vorteil, aber keine Voraussetzung. Grundlegende Programmierkenntnisse in C, Fortran, Pascal oder einer anderen "niedrigen" Sprache.
  • Text: Skript zur Vorlesung, Online-Ressourcen, die während des Kurses bereitgestellt werden.

Dies ist eine Einführungsklasse in die numerische Analyse und Implementierung partieller Differentialgleichungen. Der Fokus liegt hauptsächlich auf der Finite-Elemente-Methode für elliptische Probleme.In einem ersten Teil werden wir kurz einige theoretische Ergebnisse für PDEs (Variational Formulierung, Galerkin-Methode. ) zusammenfassen. Anschließend diskutieren wir mehrdimensionale Interpolation, Differentiation und Integration, die uns zum Kern der Finite-Elemente-Methode führen. Wenn es die Zeit erlaubt, werden wir entweder die Grundlagen der Domänenzerlegung und Parallelverarbeitung behandeln und/oder iterative Methoden zum Lösen großer dünn besetzter linearer Gleichungssysteme. Numerische Projekte werden einen Großteil der Arbeit (und der Note) ausmachen. Es ist meine Absicht, diesen Kurs für Studenten mit einem theoretischen Hintergrund geeignet zu machen, die bereit sind, etwas über fortgeschrittene Numerik zu lernen, sowie für diejenigen, die bereits mit Numerik vertraut sind und an einem eher theoretischen Ansatz interessiert sind. Studierende der Mathematik, Informatik und Ingenieurwissenschaften sind hier herzlich willkommen!

    MATH 7390-1: Harmonische Analyse - II: Die klassischen Gruppen
  • Dozent: Prof. Fabec
  • Voraussetzung: Mathe 7311 und 7312.
  • Text: wird online zur Verfügung gestellt.

Dies ist der zweite in einer Reihe von Kursen zur harmonischen Analyse. Die Sequenz beginnt mit klassischen Fourier-Reihen und dem Fourier-Integral, erweitert diese Objekte auf Verteilungen und erforscht ihre Verwendung bei der Lösung von Differentialgleichungen. Als nächstes wird das Fourier-Integral verwendet, um Funktionen und Funktionsräume auf der Heisenberg-Gruppe zu untersuchen. Diese Gruppe ist von grundlegender Bedeutung sowohl für ihre Bedeutung in der Quantenmechanik, wo ihre Darstellungstheorie das Heisenbergsche Unschärfenprinzip kodiert, als auch als Beispiel für die Schwierigkeiten, die sich ergeben, wenn man versucht, harmonische Analysen an Gruppen durchzuführen, die nicht mehr kommutativ sind. Hier muss man sich mit unendlich dimensionalen Darstellungen auseinandersetzen und kann sich daher mit dieser Theorie vertraut machen. Anschließend diskutieren wir kompakte Gruppen. Diese können mit einer sehr schönen Theorie behandelt werden. Hier entwickelte Werkzeuge können verwendet werden, um Funktionen auf Kugeln oder anderen kompakten homogenen Räumen in Bezug auf Kugelfunktionen zu untersuchen. Diese Funktionen verhalten sich gut in Bezug auf Darstellungen und invariante Differentialoperatoren auf diesen Räumen. Um diesen Teil des Themas zu behandeln, stellen wir den Begriff eines Gelfand-Paares vor. Der Kurs des ersten Semesters beginnt mit einem Überblick über Fourier-Reihen periodischer Funktionen auf der Linie und geht dann zur Fourier-Analyse auf euklidischen Räumen über. Das behandelte Material umfasst die Fourier-Transformation, die Inversionsformel, das Plancherel-Theorem, das Paley-Wiener-Theorem und Erweiterungen von Verteilungen und Algebren. Die Rolle der Fourier-Transformation bei der Analyse partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wird diskutiert. Die Heisenberg-Gruppe H wird eingeführt und der enge Zusammenhang zwischen klassischer Fourieranalyse und harmonischer Analyse auf H entwickelt. Neben Gruppen- und analytischer Struktur wird die Darstellungstheorie von H vorgestellt. Dazu gehören das Stone-von-Neumann-Theorem, Verbindungen zur Quantenmechanik, das Plancherel-Theorem, das Schrödinger-Modell, die äquivalente Fock-Bargmann-Darstellung, Twisted Convolution, das starke Stone-von-Neumann-Theorem und Transformationen von Schwartz-Funktionen als Operatoren mit glatten Kernen. Die große Automorphismusgruppe von H wird verwendet, um halbdirekte Produkte, kompakte Lie-Gruppen und halbeinfache Lie-Gruppen einzuführen. Ähnlichkeiten zwischen der harmonischen Analyse für diese Gruppen und H sowie neue Feinheiten, die durch die weitere Nicht-Kommutativität dieser Gruppen eingeführt werden, werden diskutiert. Die auf diese Weise eingeführten Gruppen können SO(n), SU(n), SL(2, R ), die Poincaré-Gruppe, die euklidische Bewegungsgruppe und die symplektische Gruppe umfassen. Die Aufteilung zwischen Erst- und Zweitsemester ist fließend. Wir werden Materialien aus den in Kurs I behandelten Themen für das zweite Semester besprechen.

    MATH 7390-3: Fortgeschrittene Themen der Wahrscheinlichkeitstheorie
  • Dozent: Prof. Kuo .
  • Voraussetzung:
  • Verweise:
    1. Kuo, H.-H.: Einführung in die Stochastische Integration. (In Vorbereitung)
    2. Oksendal, B.: Stochastische Differentialgleichungen. 5. Auflage, Springer, 2000
    3. Kuo, H.-H.: Gaussian Measures in Banach Spaces, Skript zur Vorlesung Math., Vol. 2, No. 463, Springer-Verlag, 1975
    4. Kuo, H.-H.: White Noise Distribution Theory, CRC Press, 1996

Dieser Kurs besteht aus zwei Teilen: (1) grundlegende Theorie der stochastischen Integration mit Anwendungen in der Finanzmathematik (die sich an Studierende der Finanzierung und Nicht-Wahrscheinlichkeitsmathematik-Absolventen richtet), (2) fortgeschrittene Forschungsthemen für Ph.D. Studenten (die ich in einer Übersicht für das weitere eigenständige Studium skizzieren werde). Im Folgenden sind einige Punkte aufgeführt, die in diesem Kurs behandelt werden sollten:

  1. Brownsche Bewegung
  2. Konstruktion der Brownschen Bewegung
  3. Wiener Integrale
  4. Itos Integrale
  5. Stochastische Integrale für Martingale
  6. Die Ito-Formel
  7. Satz von Girsanov
  8. Stochastische Differentialgleichungen
  9. Arbitrage- und Optionspreise
  10. Black-Scholes-Analyse
  11. Wiener-Ito-Zerlegungssatz
  12. Theorie des weißen Rauschens
    MATH 7400: Graphentheorie
  • Dozent: Prof. Oporowski.
  • Voraussetzung:
  • Text:
    MATH 7512: Topologie - II
  • Dozent: Prof. Stoltzfus.
  • Voraussetzung:
  • Text:
    MATH 7520: Algebraische Topologie
  • Dozent: Prof. Litherland.
  • Voraussetzung: Math 7512 oder gleichwertig.
  • Text: Marvin J. Greenberg und John R. Harper, Algebraic Topology, A First Course, Perseus Books, 1981.

Die Grundidee der algebraischen Topologie besteht darin, einem topologischen Raum ein algebraisches Objekt (z. B. eine ganze Zahl, ein Polynom, eine Gruppe oder ein Modul über einen Ring) so zuzuordnen, dass homöomorphen Räumen äquivalente Objekte zugewiesen werden (z. B. gleiche ganze Zahlen oder isomorphe Gruppen). Das einem Raum zugewiesene Objekt ist eine Invariante des Raums und bietet ein Werkzeug zur Unterscheidung zwischen topologischen Räumen: Wenn zwei Räume inäquivalente Invarianten haben, sind sie nicht homöomorph. Eine solche Invariante eines Raumes X, die Fundamentalgruppe, wird in Math 7512 behandelt. In Math 7520 beschäftigen wir uns mit einer Familie von Invarianten, den Homologiegruppen Hn(X) (n eine nicht negative ganze Zahl). Ganz grob zählen diese Gruppen die Anzahl der Löcher unterschiedlicher Dimensionen in X. Wir sollten Teil II des Textes behandeln, der sich mit den Definitionen, Berechnungsmethoden und einigen Anwendungen dieser Invarianten befasst.

    MATH 7550: Differentialgeometrie
  • Dozent: Prof. Fabec.
  • Voraussetzung: MATH 7200 und 7510 mindestens ein grundständiges Grundstudium der Analysis.
  • Text: Foundations of Differential Manifolds and Lie Groups von Frank Warner und veröffentlichte Unterrichtsnotizen.

Der Kurstitel lautet Differentialgeometrie und Topologie, aber der Inhalt ist eine grundlegende Einführung in Mannigfaltigkeiten. Wenn man die Analyse im realen n-Raum studiert, studiert man lokale Phänomene, wenn man die Analyse der Mannigfaltigkeiten studiert, studiert man globale Phänomene. Dieses Thema wird als globale Analyse bezeichnet. Es ist besonders nützlich für Differentialtopologie, Differentialgleichungen, Differentialgeometrie, harmonische Analyse und mathematische Physik. Die Voraussetzungen sind fortgeschrittene Analysis, Punktmengentopologie, grundlegende Gruppentheorie und lineare Algebra. Die zu behandelnden Themen werden sein:

  • Verteiler
  • Vektorpakete
  • Satz von Frobenius
  • Lügenderivat
  • Differentialformen
  • Integration

Weitere interessante Bücher sind:

  1. Differentielle Geometrie Band 1 von Michael Spivak Dieses Buch ist ein ausgezeichnetes Buch und eine Reihe zum Lesen. Es gibt lange detaillierte mathematische und historische Erklärungen, ist aber kein besonders gutes Lehrbuch.
  2. Differentielle und Riemannsche Mannigfaltigkeiten> von Serge Lange Dieses Buch behandelt die unendlichdimensionale Theorie. Lange schreibt: "Es ist möglich, ohne zusätzliche Kosten die Grundlagen für Mannigfaltigkeiten zu legen, die auf Banach- oder Hilbert-Räumen modelliert sind."
  3. Calculus on Manifolds von Michael Spivak Dieses Buch wurde als Lehrbuch für Fortgeschrittene geschrieben. Es hat wenige Voraussetzungen, verwendet jedoch weniger ausgeklügelte Ideen und bietet weniger Einblick.
    MATH 7590: Invarianten endlicher Typen
  • Dozent: Prof. Dasbach.
  • Voraussetzung: Kenntnisse in Topologie oder Differentialgeometrie.
  • Text: Sergei Chmutov, Sergei Duzhin: "Einführung in die Vassiljew-Knoten-Invarianten" (vorläufige Version eines Buches, online verfügbar) und Handouts.

Die niederdimensionale Topologie im Allgemeinen und die Knotentheorie im Besonderen ist ein spannender Teilbereich der Topologie. Z.B. Anwendungen liegen im Verständnis der Struktur unseres Raumes oder im Verständnis der menschlichen DNA. Dieser Kurs befasst sich mit Invarianten auf Knoten, die erstmals Anfang der 90er Jahre von Vassiliev eingeführt wurden. Der Kurs ist weitgehend in sich abgeschlossen. Wir geben einen Überblick über den notwendigen Hintergrund aus der Topologie und anderen Bereichen. Wir beginnen mit einer kurzen Reise durch die Knotentheorie. Wir werden auf Themen wie Jones-Polynome und Quanteninvarianten eingehen, bevor wir Vassilievs Ideen und die daraus erwachsende Kombinatorik vorstellen. Wir werden auch einige Zeit damit verbringen, Algorithmen vorzustellen, die in Computerprogrammen wie KNOTSCAPE verwendet werden, die effektiv mit Knoten umgehen.

    MATH 7380: Einführung in den Hilbert- und Banach-Raum
  • Dozent: Prof. Sundar
  • Voraussetzung: Math 7311 oder Erlaubnis des Lehrers
  • Text: Vorlesungsnotizen

In der ersten Hälfte dieses Kurses werden grundlegende Hilbert-Raumtheorien behandelt. Themen sind die Besselsche Ungleichung, Orthonormalsysteme, Riesz-Darstellungssatz, Lax-Milgram-Satz, Projektionen, Operatortheorie (selbstadjungiert, normal, unitär und kompakt), Elemente der Spektraltheorie, Eigenwertprobleme und Fourier-Transformationen. In der zweiten Hälfte des Kurses werden Anwendungen der Theorie beleuchtet und an die Interessen der Studierenden angepasst. Themen könnten Integral- und Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Wavelets und Variationsrechnung sein.


5.5 Anwendungen der linearen Algebra auf die Computergrafik: Transformieren von Bildern mit Matrixoperatoren

Der Bereich der Computergrafik ist ein weites und sich ständig erweiterndes Gebiet. Im einfachsten Sinne sind Computergrafiken auf einem Computerbildschirm sichtbare Bilder. Ihre Anwendungen erstrecken sich auf Prozesse wie Engineering-Design-Programme und fast alle Arten von Medien. Bilder werden mit Computern erzeugt und von Computern manipuliert. Der Darstellung von Bildern auf einem Computerbildschirm liegt die Mathematik der linearen Algebra zugrunde. Wir werden die Grundlagen untersuchen, wie Computer lineare Algebra verwenden, um diese Bilder zu erstellen, und dann in die grundlegende Manipulation dieser Bilder einsteigen.

In Anwendungen wie der Computergrafik ist es wichtig, nicht nur zu verstehen, wie sich lineare Operatoren auf ℝ 2 und ℝ 3 auf einzelne Vektoren auswirken, sondern auch, wie sie sich auf zweidimensionale oder dreidimensionale Bereiche auswirken. Daher konzentriert sich dieser Abschnitt auf die Wirkung von Matrixoperatoren auf bestimmte Regionen.

Leseauftrag

Lesen und studieren Sie die Seiten 280-287 des Lehrbuchs (zu &bdquoÜbungssatz 4.11&rdquo). Wiederholen Sie die Lektüre so oft wie nötig, um ein solides Verständnis des Inhalts zu erlangen.

Im vorherigen Abschnitt dieses Studienführer, haben wir einige grundlegende Transformationen in ℝ 2 und ℝ 3 untersucht. Der aktuelle Abschnitt enthält Beispiele zur Wirkung dieser Matrixoperatoren in ℝ 2 auf grundlegende geometrische Objekte wie Linien und Quadrate. Die Abbildung auf Seite 280 des Lehrbuchs illustriert diesen Effekt.

Theorem 4.11.1 auf Seite 281 stellt eine Beziehung zwischen einigen grundlegenden geometrischen Objekten und ihren Bildern bereit. Die Beispiele 1, 2 und 3 veranschaulichen den Satz durch Anwendung von Matrixoperatoren auf Linien und Einheitsquadrate. Manchmal kann mehr als ein Operator auf das gegebene geometrische Objekt angewendet werden. In Beispiel 3 (Seite 282 des Lehrbuchs) können Sie die Anwendung zweier aufeinanderfolgender Transformationen auf ein Einheitsquadrat beobachten. In Tabelle 1 (Seiten 283-284) sind einige typische Matrixoperatoren zusammen mit ihrer Wirkung auf das Einheitsquadrat dargestellt.

Satz 4.11.2 und sein Beweis auf den Seiten 284-285, zusammen mit Satz 4.11.3 (Seite 285) und Ihr Wissen darüber, wie eine invertierbare Matrix als Produkt von Elementarmatrizen ausgedrückt werden kann, werden Ihnen ermöglichen, den geometrischen Effekt von zu verstehen eine Multiplikation einer 2 × 2 Matrix (siehe Beispiel 4 auf Seite 285).

Sehen Sie sich die Beispiele 5, 6 und 7 (Seiten 586-287) an, um weitere Auswirkungen der Anwendung grundlegender Matrixoperatoren auf das Einheitsquadrat zu sehen.

Übungen

Bearbeiten Sie die folgenden Lehrbuchübungen aus &ldquoÜbungsset 4.11&rdquo (S. 287-289):