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11.3: Das Kosinusgesetz - Mathematik

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In Abschnitt 11.2 haben wir das Sinusgesetz (Satz ef{lawofsines}) entwickelt, um Dreiecke in der 'Winkel-Winkel-Seite' (AAS), dem 'Winkel-Seiten-Winkel' (ASA) und der mehrdeutige 'Angle-Side-Side' (ASS)-Fälle. In diesem Abschnitt entwickeln wir den Kosinussatz, der das Lösen von Dreiecken im index{Seiten-Winkel-Seiten-Dreieck} 'Seiten-Winkel-Seite' (SAS) und index{Seiten-Seiten-Seiten-Dreieck} 'Seiten- Side-Side' (SSS)-Fälle.footnote{Hier bedeutet 'Side-Winkel-Side', dass uns zwei Seiten und der 'eingeschlossene' Winkel gegeben sind, dh der gegebene Winkel grenzt an beide gegebenen Seiten an. } Wir formulieren und beweisen den folgenden Satz.

Satz (PageIndex{1}): Kosinussatz

Gegeben ein Dreieck mit winkelseitig gegenüberliegenden Paaren ((alpha, a)), ((eta, b)) und ((gamma, c)), gelten die folgenden Gleichungen

[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(alpha) qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos(eta) qquad c^2 = a^ 2 + b^2 - 2ab cos(gamma)label{lawofcosines}]

oder nach dem Kosinus in jeder Gleichung auflösen, haben wir

[ cos(alpha) = dfrac{b^2+c^2 - a^2}{2bc} qquad cos(eta) = dfrac{a^2+c^2 - b^2 }{2ac} qquad cos(gamma) = dfrac{a^2+b^2 - c^2}{2ab} ]

Um den Satz zu beweisen, betrachten wir ein generisches Dreieck mit der Ecke des Winkels (alpha) im Ursprung, wobei die Seite (b) entlang der positiven (x)-Achse liegt.

Aus dieser Aufstellung finden wir sofort, dass die Koordinaten von (A) und (C) (A(0,0)) und (C(b,0)) sind. Aus Satz ef{cosinesinecircle} wissen wir, dass, da der Punkt (B(x,y)) auf einem Kreis mit Radius (c) liegt, die Koordinaten von (B) (B(x ,y) = B(ccos(alpha), csin(alpha))). (Dies wäre selbst dann wahr, wenn (alpha) ein stumpfer oder rechter Winkel wäre. Obwohl wir also den Fall gezeichnet haben, dass (alpha) spitz ist, gelten die folgenden Berechnungen für jeden gezeichneten Winkel (alpha) in Standardposition mit (0 < alpha < 180^{circ}).) Wir bemerken, dass der Abstand zwischen den Punkten (B) und (C) nichts anderes ist als die Länge der Seite ( ein). Mit der Distanzformel Gleichung ef{distanceformula} erhalten wir we

[egin{array}{rclr} a & = & sqrt{(c cos(alpha) - b)^{2} + (c sin(alpha) - 0)^2} & a^{2} & = & left(sqrt{(c cos(alpha) - b)^{2} + c^2 sin^2(alpha)} ight)^2 & a^2 & = & (c cos(alpha) - b)^{2} + c^2 sin^2(alpha) & a^2 & = & c^2 cos^2( alpha) - 2bc cos(alpha) + b^2 + c^2 sin^2(alpha) & a^2 & = & c^2left(cos^2(alpha) + sin^2(alpha) ight) + b^2 - 2bc cos(alpha) & a^2 & = & c^2(1) + b^2 - 2bc cos(alpha ) & ext{Da (cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = 1)} a^2 & = & c^2 + b^2 - 2bc cos( alpha) & end{array} ]

Die restlichen Formeln in Satz (PageIndex{1}) können gezeigt werden, indem einfach das Dreieck neu ausgerichtet wird, um einen anderen Scheitelpunkt am Ursprung zu platzieren. Diese Details überlassen wir dem Leser. Wichtig an (a) und (alpha) im obigen Beweis ist, dass ((alpha,a)) ein winkelseitiges Gegenpaar ist und (b) und (c) sind die Seiten benachbart zu (alpha) -- dasselbe kann von jedem anderen Winkel-Seiten-Gegenpaar im Dreieck gesagt werden. Beachten Sie, dass der Beweis des Kosinussatzes auf der Distanzformel beruht, die ihre Wurzeln im Satz des Pythagoras hat. Abgesehen davon kann man sich das Kosinusgesetz als eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras vorstellen. Wenn wir ein Dreieck haben, in dem (gamma = 90^{circ}), dann (cos(gamma) = cosleft(90^{circ} ight) = 0) also wir erhalten die bekannte Beziehung (c^2 = a^2 + b^2). Dies bedeutet, dass das Kosinusgesetz und der Satz des Pythagoras im größeren mathematischen Sinne ziemlich auf dasselbe hinauslaufen.footnote{Dies sollte kein allzu großer Schock sein. Alle Sätze der Trigonometrie lassen sich letztendlich auf die Definition der Kreisfunktionen zusammen mit der Abstandsformel und damit auf den Satz des Pythagoras zurückführen.}

Beispiel (PageIndex{1}):

Löse die folgenden Dreiecke. Geben Sie genaue Antworten und dezimale Näherungen (auf Hundertstel gerundet) an und skizzieren Sie das Dreieck.

  1. (eta = 50^{circ} label{locsas}), (a = 7) Einheiten, (c=2) Einheiten
  2. (a=4 label{locsss}) Einheiten, (b=7) Einheiten, (c = 5) Einheiten

Lösung

  1. Wir erhalten die Längen von zwei Seiten (a=7) und (c = 2) und das Maß des eingeschlossenen Winkels (eta = 50^{circ}). Da kein gegenüberliegendes Paar der Winkelseite verwendet werden soll, wenden wir das Kosinusgesetz an. Wir erhalten (b^2 = 7^2 + 2^2 - 2(7)(2)cosleft(50^{circ} ight)), was (b = sqrt{53- 28cosleft(50^{circ} ight)} approx 5,92) Einheiten. Um die Maße der restlichen Winkel (alpha) und (gamma) zu bestimmen, müssen wir den abgeleiteten Wert für (b) verwenden. Es gibt zwei Möglichkeiten, an dieser Stelle vorzugehen. Wir könnten wieder den Kosinussatz verwenden oder, da wir das winkelseitige Gegenpaar ((eta, b)) haben, den Sinussatz verwenden. Der Vorteil der Verwendung des Kosinusgesetzes gegenüber dem Sinusgesetz in solchen Fällen besteht darin, dass die Kosinusfunktion im Gegensatz zur Sinusfunktion zwischen spitzen und stumpfen Winkeln unterscheidet. Der Kosinus eines spitzen Winkels ist positiv, während der Kosinus eines stumpfen Winkels negativ ist. Da der Sinus sowohl des spitzen als auch des stumpfen Winkels positiv ist, reicht der Sinus eines Winkels allein nicht aus, um zu bestimmen, ob der fragliche Winkel spitz oder stumpf ist. Da beide Autoren des Lehrbuchs das Kosinusgesetz bevorzugen, fahren wir zunächst mit dieser Methode fort. Bei der Verwendung des Kosinussatzes ist es immer am besten, zuerst das Maß des größten unbekannten Winkels zu finden, da wir dadurch den stumpfen Winkel des Dreiecks erhalten, falls es einen gibt. Da der größte Winkel der längsten Seite gegenüberliegt, wählen wir zuerst (alpha). Dazu verwenden wir die Formel (cos(alpha) = frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}) und ersetzen (a = 7), (b = sqrt{53-28cosleft(50^{circ} ight)}) und (c = 2). Wir erhaltenfootnote{nach der Vereinfachung von ldots} [cos(alpha) = frac{2-7cosleft(50^{circ} ight)}{sqrt{53-28cos left(50^{circ} ight)}}] Da (alpha) ein Winkel in einem Dreieck ist, wissen wir, dass das Bogenmaß von (alpha) zwischen (0) und liegen muss (pi) Radiant. Dies entspricht dem Bereich der Arkuskosinusfunktion, also haben wir [alpha = arccosleft(frac{2-7cosleft(50^{circ} ight)}{sqrt{53-28 cosleft(50^{circ} ight)}} ight), ext{radians}, approx 114,99^{circ}] An dieser Stelle könnten wir (gamma ) unter Verwendung von (gamma = 180^{circ} - alpha - eta approx 180^{circ} - 114,99^{circ} - 50^{circ} = 15,01^{circ}) , das heißt, wenn wir unserer Näherung für (alpha) vertrauen. Um die Fehlerausbreitung zu minimieren, könnten wir jedoch wieder das Kosinusgesetz verwenden,footnote{Ihr Lehrer wird Sie wissen lassen, welches Verfahren zu verwenden ist. Alles läuft darauf hinaus, wie sehr Sie Ihrem Taschenrechner vertrauen.} in diesem Fall mit (cos(gamma) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}). Setzen wir (a = 7), (b = sqrt{53-28cosleft(50^{circ} ight)}) und (c=2) ein, erhalten wir ( gamma = arccosleft(frac{7-2cosleft(50^{circ} ight)}{sqrt{53-28cosleft(50^{circ} ight) }} ight)) Radiant (approx 15.01^{circ}). Wir skizzieren das Dreieck unten.

Wie bereits erwähnt, ist es möglich, nach der Bestimmung von (b) den Sinussatz zu verwenden, um die verbleibenden Winkel zu finden. Hier müssen wir jedoch mit Vorsicht vorgehen, wie wir es im mehrdeutigen (ASS)-Fall tun. Es ist ratsam, zuerst den extit{kleinsten} der unbekannten Winkel zu finden, da dieser garantiert spitz ist.footnote{Es kann nur einen extit{stumpfen} Winkel im Dreieck geben, und wenn es einen gibt, er muss der größte sein.} In diesem Fall würden wir (gamma) finden, da die gegenüberliegende Seite von (gamma) kleiner ist als die gegenüberliegende Seite des anderen unbekannten Winkels, (alpha). Mit dem winkelseitigen Gegenpaar ((eta, b)) erhalten wir (frac{sin(gamma)}{2} = frac{sin(50^{circ})} {sqrt{53-28cosleft(50^{circ} ight)}}). Die üblichen Berechnungen ergeben (gammaapprox 15,01^{circ}) und (alpha = 180^{circ} - eta - gamma approx 180^{circ} - 50^{circ } - 15.01^{circ} = 114.99^{circ}).

  1. Da alle drei Seiten und keine Winkel angegeben sind, sind wir gezwungen, das Kosinusgesetz anzuwenden. Im Anschluss an unsere Diskussion im vorherigen Problem finden wir zuerst (eta), da es der längsten Seite (b) gegenüberliegt. Wir erhalten (cos(eta) = frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = -frac{1}{5}), also erhalten wir (eta = arccosleft(-frac{1}{5} ight)) Radiant (approx 101,54^{circ}). Wie im vorherigen Problem können wir nun, da wir ein winkelseitiges Gegenpaar ((eta, b)) erhalten haben, mit dem Sinusgesetz fortfahren. Das Kosinusgesetz bietet uns jedoch eine seltene Gelegenheit, die verbleibenden Winkel nur mit extit{nur} den uns in der Problemstellung gegebenen Daten zu finden. Damit erhalten wir (gamma = arccosleft(frac{5}{7} ight)) Radiant (approx 44,42^{circ}) und (alpha = arccos left(frac{29}{35} ight)) Radiant (approx 34,05^{circ}).

Wir weisen darauf hin, dass die ungefähren Antworten, die Sie erhalten, je nachdem, wie viele Nachkommastellen durch aufeinanderfolgende Berechnungen verwendet werden und je nachdem, welcher Ansatz zur Lösung des Problems verwendet wird, geringfügig von denen abweichen können, die die Autoren in den Beispielen und den Übungen erhalten. Ein gutes Beispiel dafür ist die Zahl ef{locsss} im Beispiel ef{locex}, wo die extit{approximate}-Werte, die wir für die Winkelmaße aufzeichnen, sich zu (180.01^{circ}) summieren, was ist geometrisch unmöglich. Als nächstes haben wir eine Anwendung des Kosinusgesetzes.

Beispiel (PageIndex{2}): Locapplication

Ein Forscher möchte die Breite eines Frühlingsteichs wie unten gezeichnet bestimmen. Von einem Punkt (P) aus findet er die Entfernung zum östlichsten Punkt des Teichs zu (950) Fuß, während die Entfernung zum westlichsten Punkt des Teichs von (P) . ist (1000) Fuß. Wenn der Winkel zwischen den beiden Sichtlinien (60^{circ}) beträgt, ermitteln Sie die Breite des Teiches.

Lösung

Wir erhalten die Längen von zwei Seiten und das Maß eines eingeschlossenen Winkels, also können wir den Kosinussatz anwenden, um die Länge der fehlenden Seite gegenüber dem gegebenen Winkel zu finden. Nennen wir diese Länge (w) (für extit{width}), erhalten wir (w^2 = 950^2 + 1000^2 - 2(950)(1000)cosleft(60^{circ } ight) = 952500), woraus wir (w = sqrt{952500} approx 976) Fuß erhalten.

In Abschnitt 11.2 haben wir den Beweis des Sinusgesetzes verwendet, um Satz ef{areaformulasine} als alternative Formel für die von einem Dreieck eingeschlossene Fläche zu entwickeln. In diesem Abschnitt verwenden wir das Kosinusgesetz, um eine weitere solche Formel abzuleiten – die Heronsche Formel.

Hinweis: Reiherformel

Angenommen (a), (b) und (c) bezeichnen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks. Sei (s) der Halbumfang des Dreiecks, also (s = frac{1}{2}(a + b + c)). Dann ist die vom Dreieck eingeschlossene Fläche (A) gegeben durch

[ A = sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)} label{HeronsFormula}]

Wir beweisen Satz ef{HeronsFormula} mit Satz ef{areaformulasine}. Unter Verwendung der Konvention, dass der Winkel (gamma) der Seite (c) gegenüberliegt, gilt (A = frac{1}{2} ab sin(gamma)) aus Satz ef{ Flächenformeln}. Um die Berechnungen zu vereinfachen, manipulieren wir zunächst den Ausdruck für (A^2).

[ egin{array}{rclr} A^2 & = & left(dfrac{1}{2} ab sin(gamma) ight)^2 & & = & dfrac{1} {4} a^2 b^2 sin^{2}(gamma) & & = & dfrac{a^2b^2}{4} left(1 - cos^{2}( gamma) ight) & ext{seit (sin^2(gamma) = 1 - cos^{2}(gamma)).} end{array}]

Das Kosinusgesetz sagt uns (cos(gamma) = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}), also setzen wir dies in unsere Gleichung für (A^2) ein. gibt

[ egin{array}{rclr} A^2 & = & dfrac{a^2b^2}{4} left(1 - cos^{2}(gamma) ight) & ext{ hphantom{perfekte quadratische Trinome.}} & = & dfrac{a^2b^2}{4} left[1 - left( dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{ 2ab} ight)^2 ight] & & = & dfrac{a^2b^2}{4} left[1 - dfrac{left(a^2 + b^2 - c^2 ight)^2}{4a^2b^2} ight] & & = & dfrac{a^2b^2}{4} left[dfrac{4a^2 b^2 - left( a^2 + b^2 - c^2 ight)^2}{4a^2b^2} ight] & & = & dfrac{4a^2 b^2 - left(a^2 + b^2 - c^2 ight)^2}{16} & & = & dfrac{(2ab)^2 - left(a^2 + b^2 - c^2 ight)^2 }{16} & & = & dfrac{left( 2ab - left[a^2+b^2 - c^2 ight] ight) left( 2ab + left[a^2+ b^2 - c^2 ight] ight)}{16} & ext{Differenz der Quadrate.} & = & dfrac{left(c^2 - a^2 + 2ab - b^2 ight)left( a^2 + 2ab + b^2- c^2 ight)}{16} & end{array} ]

[ egin{array}{rclr} A^2 & = & dfrac{left(c^2 - left[a^2 - 2ab + b^2 ight] ight) left( left[ a^2 + 2ab + b^2 ight]- c^2 ight)}{16} & & = & dfrac{left(c^2 - (ab)^2 ight) left( (a+b)^2- c^2 ight)}{16} & ext{perfekte quadratische Trinome.} & = & dfrac{ (c-(ab))(c+(ab))(( a+b) -c)((a+b)+c)}{16} & ext{Differenz der Quadrate.} & = & dfrac{ (b+ca)(a+cb)(a+ bc)(a+b+c)}{16} & & = & dfrac{(b+ca)}{2} cdot dfrac{(a+cb)}{2} cdot dfrac{ (a+bc)}{2} cdot dfrac{(a+b+c)}{2} & end{array} ]

In diesem Stadium erkennen wir den letzten Faktor als den Halbumfang, (s = frac{1}{2}(a+b+c) = frac{a+b+c}{2}). Um den Beweis zu vervollständigen, stellen wir fest, dass

[ (s - a) = dfrac{a+b+c}{2} - a = dfrac{a+b+c-2a}{2} = dfrac{b+c-a}{2} ]

In ähnlicher Weise finden wir ((s-b) = frac{a+c-b}{2}) und ((s-c) = frac{a+b-c}{2}). Daher erhalten wir

[ egin{array}{rclr} A^2 & = & dfrac{(b+ca)}{2} cdot dfrac{(a+cb)}{2} cdot dfrac{(a+ .) bc)}{2} cdot dfrac{(a+b+c)}{2} & & = & (sa) (sb) (sc) s & end{array} ]

so dass (A = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}) wie erforderlich ist.

Wir schließen mit einem Beispiel der Heronschen Formel.

Beispiel (PageIndex{3}):heronex

Finden Sie die vom Dreieck eingeschlossene Fläche im Beispiel ef{locex} Zahl ef{locsss}.

Lösung

Gegeben sind (a = 4), (b=7) und (c = 5). Mit diesen Werten finden wir (s = frac{1}{2}(4+7+5) = 8), ((s - a) = 8 - 4 = 4), ((sb ) = 8-7 =1) und ((sc) = 8-5=3). Mit der Heronschen Formel erhalten wir (A = sqrt{s(sa)(sb)(sc)} = sqrt{(8)(4)(1)(3)} = sqrt{96} = 4 sqrt{6} ca. 9,80) Quadrateinheiten. qed


II.A Horizontale Messung

Die vielleicht grundlegendste Operation bei der Vermessung ist die Messung von horizontale Abstände . Neben der einfachen Messung von horizontalen Entfernungen können horizontale Winkel durch Messung von drei horizontalen Entfernungen und Anwendung des Kosinusgesetzes ausgewertet werden. Daher kann ein beträchtlicher Vermessungsumfang mit nur einem horizontalen Entfernungsmessgerät durchgeführt werden.

Wie in Abschnitt I beschrieben, werden bei der ebenen Vermessung horizontale Distanzen auf eine horizontale Ebene projiziert. Ein Grundstück, gleich welcher Reliefstruktur, wird analysiert und bewertet, als ob es auf eine horizontale Ebene projiziert würde. Wenn auf den linearen Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Erdoberfläche Bezug genommen wird, versteht sich dementsprechend, dass es sich um den horizontalen Abstand zwischen den Punkten handelt, unabhängig von den Höhen der Endpunkte der Linie, sofern nicht anders angegeben. Daher wird bei der Messung des Abstands zwischen zwei Punkten (z. B. der Länge einer Seite eines Grundstücks) entweder die Messung entlang einer horizontalen Linie zwischen den Punkten oder die Messung entlang einer geneigten Linie zwischen den Punkten durchgeführt, wobei die Horizontale Entfernung berechnet und aufgezeichnet. Bei der ersten Methode muss die Position eines oder beider Endpunkte möglicherweise vertikal nach oben auf die horizontale Messlinie projiziert werden. Dies kann in einigen Fällen mit einem Senklot erreicht werden.

Horizontale Abstände können auf verschiedene Weise bestimmt werden. Einige gängige Mittel sind Stimulation, Stadien, Taping und elektronische Messung.

Taktung ist ein grobes Mittel zum Ermitteln von horizontalen Entfernungen, kann jedoch nützlich sein, wenn grobe Entfernungswerte akzeptabel sind. Der erste Schritt bei der Stimulation besteht darin, das eigene Tempo (Schritt) zu kalibrieren. Das typische Tempo eines Erwachsenen liegt zwischen 2 1 2 und 3 Fuß. Sobald das Tempo bestimmt ist, kann eine Entfernung einfach durch Gehen entlang der Linie, Zählen der Schritte (Schritte) und Multiplizieren dieser Zahl mit der Länge geschätzt werden. des eigenen Tempos. Ein erfahrener Schrittmacher sollte in der Lage sein, den Wert einer Entfernung von ∼ 100 Fuß innerhalb von 2 oder 3 Fuß in beide Richtungen zu bestimmen.

Stadien ist ein Mittel zur Bestimmung horizontaler Distanzen, das genauer ist als die Stimulation, obwohl es für einige Zwecke nicht genau genug ist. Stadia wird durchgeführt, indem man eine Nivellierlatte durch ein Teleskop des Transits betrachtet. Zwei Fadenkreuze im Teleskop scheinen den Stab an zwei verschiedenen Punkten zu schneiden, und der Abstand zwischen diesen beiden Punkten auf dem Stab ist direkt proportional zum Abstand vom Durchgang zum Stab. Daher kann man durch Notieren, wo die beiden Fadenkreuze den Stab schneiden, den Abstand zwischen diesen Punkten bestimmen und entsprechende Berechnungen durchführen, einen horizontalen Abstand bewerten. Stadia ist im Allgemeinen auf den nächsten Fuß genau.

Taping ist ein gängiges Mittel zur Bestimmung von horizontalen Abständen. Das allgemeine, dem Laien wohlbekannte Verfahren besteht darin, ein kalibriertes Band entlang der zu messenden Linie zu spannen und den Wert des Abstands vom Band abzulesen. Obwohl dies ein einfaches Verfahren ist, das jeder durchführen kann, müssen einige Punkte beachtet werden, um die allgemein in der Vermessung geforderte Genauigkeit zu erreichen.

Zunächst wird, wie zuvor erörtert, beim Messen des Abstands zwischen zwei Punkten entweder die Messung entlang einer horizontalen Linie zwischen den Punkten oder die Messung entlang einer geneigten Linie zwischen den Punkten durchgeführt, wobei der horizontale Abstand berechnet und aufgezeichnet wird. Wird entlang einer geraden, horizontalen Fläche gemessen, ist es kein Problem, das Band horizontal zu halten, da es entlang der horizontalen Fläche straff gespannt werden kann. In anderen Situationen kann man das Band zumindest annähernd horizontal ausrichten, indem man an einem oder beiden Enden des Bandes ein Senklot verwendet und das Band straff spannt.

Ein weiterer zu beachtender Punkt ist, dass das Band zwischen den Endpunkten der Linie in einer geraden Linie gespannt werden muss. Obwohl dies einfach erscheint, kann es in einigen Fällen schwierig sein, beispielsweise bei der Messung von Entfernungen durch starkes Unterholz. Vorsicht ist auch geboten, wenn Entfernungen größer als eine einzelne Bandlänge gemessen werden. Wenn dies auftritt, müssen temporäre Punkte markiert werden, wenn aufeinanderfolgende Endpunkte des Bandes angetroffen werden, und jede solche Markierung bietet die Möglichkeit, Fehler zu verursachen.

Wenn eine extrem genaue Messung durch Abkleben erforderlich ist, kann es erforderlich sein, Korrekturen für verschiedene Phänomene zu berechnen und diese auf eine gemessene Länge anzuwenden, um die richtige Länge zu erhalten. Beispielsweise kann ein bestimmtes Band aufgrund von mangelhafter Herstellung, Abnutzung usw. etwas zu kurz oder zu lang sein. Offensichtlich ergibt eine mit einem zu kurzen oder zu langen Band gemessene Entfernung einen falschen Wert. Außerdem unterliegt ein gemessener Abstand einem Fehler, der durch Ausdehnung und Kontraktion des Bandes infolge von Temperaturänderungen verursacht wird. Messfehler entstehen auch, wenn das Band entweder zu fest oder nicht fest genug gezogen wird. Schließlich tritt ein Messfehler auf, wenn das Band durchhängt, wenn es nur an seinen Endpunkten gestützt wird.

In jedem dieser Fälle ist der tatsächliche Fehlerbetrag eines Messwerts normalerweise recht klein und wird oft vernachlässigt. Wenn jedoch eine sehr genaue Messung erforderlich ist, stehen Formeln zur Berechnung der Korrekturen für jeden Fall zur Verfügung, und die Gesamtkorrektur kann auf die gemessene Entfernung angewendet werden, um den richtigen Wert zu bestimmen.

Neuere Geräte zur Entfernungsmessung sind bekannt als elektronische Distanzmessung (EDM) Geräte. Sie finden Längen basierend auf Phasenänderungen, die auftreten, wenn elektromagnetische Energie (ein „Signal“) von einem Punkt zu einem zweiten Punkt und zurück zum ersten Punkt gesendet wird. Bei bekannter Wellenlänge und Laufzeit kann der Abstand zwischen den Punkten berechnet werden. In der Praxis wird ein EDM-Gerät, von dem ein Beispiel in Fig. 1 gezeigt ist, über einem Punkt platziert und ein reflektierendes Ziel wird über dem anderen Punkt platziert. Das Signal wird gesendet, die Zeit aufgezeichnet und die Entfernung berechnet. (Es versteht sich, dass diese Beschreibung des Betriebs eines EDM-Geräts zu stark vereinfacht ist.)

ABBILDUNG 1 . Elektronisches Entfernungsmessgerät.

Bei den ersten EDM-Geräten war das „Signal“ ein Lichtstrahl. Anschließend kamen hochfrequente Mikrowellen und Laser zum Einsatz. Neuere Fortschritte haben die Geräte kleiner, leichter, benutzerfreundlicher und in der Lage gemacht, die Entfernung direkt abzulesen.

EDM-Geräte können verwendet werden, um sehr große Entfernungen zu messen und dabei außergewöhnlich genaue Ergebnisse zu erzielen – in der Größenordnung von 50 mi ± 2,6 ft (80 km ± 0,80 m). Sie sind äußerst nützlich bei der Messung großer Entfernungen und anderer, die sonst schwer zu messen wären (z. B. die Entfernung über einen großen See).


Kosinusgesetz: Beweis ohne Worte

Ich versuche, das Kosinusgesetz zu beweisen, indem ich das folgende Diagramm aus Thomas' Calculus 11. Auflage verwende.

Ich habe eine Antwort, aber ich denke, es muss einen einfacheren oder besseren Weg geben. Hier ist meine Antwort:

Konstruieren Sie ein Koordinatensystem so, dass sich $(0,0)$ in der unteren rechten Ecke des abgebildeten Dreiecks befindet. Dann schneidet die rote Linie die Hypotenuse bei $(-a,0)$ und ein Bein bei $(-bcos heta,bsin heta)$ . Somit ist der quadrierte Abstand $c$ von $(-a,0)$ zu $(-bcos heta,bsin heta)$ egin c^2&=(-bcos heta-(-a))^2 + (bsin heta)^2 &=a^2-2abcos heta+b^2cos^2 heta+b^2sin^2 heta &=a^2+b^2-2abcos heta. Ende

Ich habe das Gefühl, dass es einen einfacheren Weg geben muss, da mein Beweis im Wesentlichen das rechtwinklige Dreieck, den Kreis usw. ignoriert. Wenn mir jemand einen anderen Beweis zeigen kann, wäre das großartig. Vielen Dank.

AKTUALISIEREN: Es sieht so aus, als hätte ich das Theorem der sich überschneidenden Akkorde aus der Geometrie benötigt, um $(a+c)(a-c)=(2acos heta-b)(b)$ zu schreiben.


Das Kosinusgesetz - Matheaufgaben


    Zwei Boote befinden sich aus einer Höhe von 150 m über der Seeoberfläche in einem Tiefenwinkel von 57° und 39°. Bestimmen Sie die Entfernung beider Boote, wenn sich das Visiergerät und beide Schiffe in einer Ebene senkrecht zur Seeoberfläche befinden.
    Bei △ABC a=2, b=4 und &angleC=100°. Berechnen Sie die Länge der Seite c.
    Berechnen Sie die Länge der Seiten des Dreiecks ABC, wenn vein=5 cm, vB=7 cm und Seite b ist 5 cm kürzer als Seite a.
    Aus welchem ​​Gesetz folgt direkt die Gültigkeit des Satzes des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck? .
    Berechnen Sie die fehlende Seite in einem Dreieck mit den Seiten 17 und 34 und der Fläche 275.
    Berechnen Sie die Dreiecksfläche und den Umfang, wenn die beiden Seiten 51 cm und 110 cm lang sind und der Winkel sie eingespannt ist, beträgt 130°.
    Löse das Dreieck: A = 50°, b = 13, c = 6
    Die drei Kräfte, deren Amplituden im Verhältnis 9:10:17 stehen, wirken in der Ebene an einem Punkt zum Ausgleich. Bestimmen Sie die Winkel von jeweils zwei Kräften.
    Im Trapez ist ABCD |AB| = 73,6 mm |BC| = 57 mm |CD| = 60 mm |AD| = 58,6 mm. Berechnen Sie die Größe seiner Innenwinkel.
    AC= 40cm , Winkel DAB=38 , Winkel DCB=58 , Winkel DBC=90 , DB steht senkrecht auf AC, finde BD und AD
    Die Raumsonde entdeckte ein Radargerät im Höhenwinkel alpha = 34 Grad 37 Minuten und hatte eine Entfernung von u = 615 km vom Beobachtungspunkt der Erde. Berechnen Sie den Abstand d des Raumfahrzeugs von der Erde im Moment der Beobachtung. Erde gilt als a
    Berechnen Sie Umfang, Inhalt und Größe der verbleibenden Winkel des Dreiecks ABC, gegeben: a = 8,4 β = 105° 35 ' und Median ta = 12,5.
    Von der Spitze des Kreises mit einem Durchmesser von 8 cm werden zwei identische Sehnen geführt, die einen Winkel von 60° bilden. Berechne die Länge dieser Akkorde.
    Welches Volumen hat ein vierseitiges schiefes Prisma mit Basiskanten der Länge a = 1m, b = 1,1m, c = 1,2m, d = 0,7m, wenn eine Seitenkante der Länge h = 3,9m eine Abweichung von der Basis von hat 20° 35' und die Kanten a, b bilden einen Winkel von 50,5°.
    Gegeben sei eine regelmäßige vierseitige Pyramide ABCDV mit einer Kante AB = a = 4 cm und einer Höhe v = 8 cm. Sei S das Zentrum des Lebenslaufs. Finden Sie den Abstand der Punkte A und S.
    Auf einen Massenpunkt wirken zwei gleiche Kräfte von 30 Newton. Bestimmen Sie die Größe der resultierenden Kraft, wenn diese Kräfte einen Winkel von 42° bilden.
    Gegeben sind die Vektoren u = (1 3 -4), v = (0 1 1). Bestimmen Sie die Größe dieser Vektoren, berechnen Sie den Winkel der Vektoren und den Abstand zwischen den Vektoren.
    Zwei Flugzeuge starten gleichzeitig vom Flughafen, das erste mit einem Kurs von 30° und das zweite mit einem Kurs von 86°. Beide fliegen mit 330 km/h. Wie weit werden sie in 45 Minuten Flug voneinander entfernt sein?
    Im Dreieck ABC die gegebenen Längen seiner Mediane tc = 9, ta = 6. Sei T der Schnittpunkt der Mediane (Dreiecksschwerpunkt) und Punkt ist S der Mittelpunkt der Seite BC. Die Größe des CTS-Winkels beträgt 60°. Berechnen Sie die Länge der BC-Seite zu 2 d
    Berechnen Sie im Dreieck ABC die Größen aller Höhen, Winkel, Umfänge und deren Fläche, wenn a-40cm, b-57cm, c-59cm

Kosinusgesetz und Extremum durch Quadratvervollständigung finden

In $ displaystyle Delta ABC$, $ displaystyle AB=(5-x)$ cm, $ displaystyle BC=(4+x)$ cm, $ displaystyle angle AsBC=120<>^circ $ und $ displaystyle AC=y$cm.

(a) Zeigen Sie, dass $ displaystyle <^<2>>=<^<2>>-x+61$.

(b) Bestimme den minimalen Wert von $ displaystyle <^<2>>$, und geben Sie den Wert von $ displaystyle x$ an, für den dies auftritt.

Lösung

$ displaystyle AB=(5-x)$ cm,
$ displaystyle BC=(4+x)$cm,
$ displaystyle angle ABC=120<>^circ $
$ displaystyle AC=y$cm.

$ displaystyle also <^<2>>=<<2>> ight)>^<2>>+60,75$

Da $ displaystyle <<2>> ight)>^<2>>ge 0 $ für alle $ displaystyle xin R$,

$ displaystyle <<2>> ight)>^<2>>+60,75ge 60,75$

$ displaystyle also <^<2>>ge 60,75$.

Daher ist der Mindestwert von $displaystyle <^<2>>$ ist $ displaystyle 60.75$ und dieser Wert tritt auf, wenn $ displaystyle x=frac<1><2>$ ist.


Kosinusgesetz

In jedem Dreieck ist das Quadrat einer beliebigen Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten minus dem Doppelten des Produkts dieser beiden Seiten und des Kosinus zwischen ihnen.

Wir können das Gesetz auch in der Form schreiben:
a² = b² + c² – 2bc⋅cosA
b² = a² + c² – 2ac⋅cosB

Wir können das Kosinusgesetz verwenden, wenn wir zwei Seiten und den Winkel zwischen diesen beiden Seiten kennen, aber wir können es auch verwenden, um den Winkel zwischen zwei Seiten zu bestimmen, wenn wir alle Seiten kennen.

Auch wenn wir die Winkel finden wollen:

Beispiel 2: Wir erhalten a = 5 cm, b = 12 cm und C = 60°. Finden Sie die c.

Lösung : Da wir zwei Seitenlängen und den Winkel zwischen ihnen haben, können wir das Kosinusgesetz verwenden, um die fehlende Seite zu finden.

$ displaystyle <^<2>>=25+144-120cdot frac<1><2>$

Beispiel 3: John steht auf einem Hügel in 15m Entfernung vom Helikopter. Das Schiff beobachtet den Helikopter in einem Winkel von 60° und mit einer Entfernung von 10 Metern. Finden Sie heraus, wie weit John vom Schiff entfernt ist.

Lösung: Basierend auf der obigen Abbildung, um herauszufinden, wie weit John vom Schiff entfernt ist, können wir die Kosinusgesetz:

x² = 15² + 10² – 2 ⋅ 15 ⋅ 10 ⋅ cos60°

x² = 225 + 100 – 300 ⋅ $ displaystyle frac<1><2>$

x $ displaystyle ungefähr 13,2$

John ist ca. 13,2 m vom Schiff entfernt


Das Kosinusgesetz - Matheaufgaben


    Der Betrachter sieht einen geraden Zaun von 60 m Länge bei einem Blickwinkel von 30°. Es ist 102 m von einem Ende des Geheges entfernt. Wie weit ist der Beobachter vom anderen Ende des Gehäuses entfernt?
    Bestimmen Sie den Blickwinkel, unter dem der Beobachter einen 16 m langen Stab sieht, wenn er 18 m von einem Ende und 27 m vom anderen entfernt ist.
    Zwei Haine A, B sind durch einen Wald getrennt, beide sind vom Jagdhain C aus sichtbar, der mit beiden durch direkte Straßen verbunden ist. Wie lang ist die geplante Straße von A nach B, wenn AC = 5004 m, BC = 2600 m und der Winkel ABC = 53° 45 ’?
    Die Bahn verbindet in einem Kreisbogen die Punkte A, B und C, deren Abstände | . sind AB | = 30 km, AC = 95 km, BC | = 70km. Wie lange dauert die Strecke von A nach C?
    Eine Raute hat Seitenlängen von 10 cm und der Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten beträgt 76 Grad. Finden Sie die Länge der längeren Diagonale der Raute.
    Die Seiten des Parallelogramms sind 8 cm und 6 cm lang und der Winkel der Diagonalen beträgt 60°. Was ist seine Fläche?
    Der Spielplatz hat eine Trapezform und die parallelen Seiten haben eine Länge von 36 m und 21 m. Die restlichen zwei Seiten sind 14 m lang und 16 m lang. Finden Sie die Größe der inneren Trapezwinkel.
    Berechnen Sie den größten Winkel des Dreiecks, dessen Seiten 5,2 cm, 3,6 cm und 2,1 cm betragen
    Wir können den Teich in einem Winkel von 65°37' sehen. Seine Endpunkte sind 155 m bzw. 177 m vom Beobachter entfernt. Wie breit ist der Teich?
    Berechnen Sie den größten Winkel des Dreiecks, dessen Seiten die Größen haben: 2a, 3/2a, 3a
    Die Innenwinkel des Dreiecks betragen 30°, 45° und 105° und seine längste Seite beträgt 10 cm. Berechne die Länge der kürzesten Seite, schreibe das Ergebnis in cm bis auf zwei Dezimalstellen.
    Berechnen Sie die Größe der Winkel des Dreiecks ABC, wenn sie gegeben ist durch: a = 3 cm b = 5 cm c = 7 cm (verwenden Sie den Sinus- und Kosinussatz).
    Das gleichschenklige Dreieck hat eine Basis ABC |AB| = 16 cm und 10 cm langer Arm. Wie lang sind die Mediane?
    Das Dreieck ABC hat die Seitenlängen m-1, m-2, m-3. Was muss m sein, um Dreieck a) rechteckig b) spitzwinklig zu sein?
    In der Raute ist a = 160 cm, alpha = 60 Grad angegeben. Berechne die Länge der Diagonalen.
    Finden Sie die Fläche des Dreiecks mit den angegebenen Maßen. Runden Sie die Lösung bei Bedarf auf das nächste Hundertstel. A = 50°, b = 30 ft, c = 14 ft
    Der Betrag des Vektors u beträgt 12 und der Betrag des Vektors v ist 8. Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt 61°. Wie groß ist der Vektor u + v?
    Berechnen Sie die Länge der Diagonalen der Raute, wenn ihre Seite die Länge 5 hat und einer ihrer Innenwinkel 80° beträgt.
    Ebenenkoordinaten der Scheitelpunkte: K[11, -10] L[10, 12] M[1, 3] ergibt Dreieck KLM. Berechnen Sie seine Fläche und seine Innenwinkel.
    Berechnen Sie den größten Dreieckswinkel mit den Seiten 197, 208, 299.

Beweis des Kosinusgesetzes

High School Math basierend auf den Themen, die für die von der NYSED durchgeführte Regents-Prüfung erforderlich sind.

Was ist das Kosinusgesetz?
Wir können den Kosinussatz verwenden, um die Länge einer Seite oder die Größe eines Winkels zu bestimmen.
Für ein Dreieck mit den Seiten a, b und c und den Winkeln A, B und C kann der Kosinussatz geschrieben werden als:
Seite finden:
[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc Cos A]
Wir können die obige Formel neu anordnen, um den Winkel zu finden:
[cos A = frac <<+ - >>><<2bc>>]

Wie leitet man das Kosinusgesetz ab?

Trigonometrie - Ableitung von Gesetzkosinus

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Engagierte Studenten: Gesetz des Kosinus

In meiner Schlusssteinklasse für zukünftige Mathematiklehrer der Sekundarstufe bitte ich meine Schüler, Ideen für einnehmend ihre Schüler mit unterschiedlichen Themen im Lehrplan der Sekundarstufe Mathematik Mit anderen Worten, es ging bei der Aufgabe nicht darum, einen vollständigen Unterrichtsplan zu diesem Thema zu entwickeln. Stattdessen habe ich meine Schüler gebeten, über drei verschiedene Wege nachzudenken, um ihre Schüler überhaupt für das Thema zu interessieren.

Ich habe vor, einige der besten dieser Ideen in diesem Blog zu teilen (natürlich nachdem ich meine Schüler um Erlaubnis gebeten habe).

Dieser studentische Beitrag stammt von meiner ehemaligen Studentin Allison Metlzler. Ihr Thema aus dem Präkalkül: das Kosinusgesetz.

Welche interessanten (d. h. ungekünstelten) Wortaufgaben zu diesem Thema können Ihre Schüler jetzt lösen?

Wortaufgaben aus der realen Welt sind ein effektives Engagement, da die Schüler sich tatsächlich auf die Ereignisse beziehen können, die in der Aufgabe auftreten. Below are two word problems where one deals with animal footprints and the other talks about trapeze artists.
1. Scientists can use a set of footprints to calculate an organism’s step angle, which is a measure of walking efficiency. The closer the step angle is to 180 degrees, the more efficiently the organism walked. Based on the diagram of dinosaur footprints, find the step angle B.
2. The diagram shows the paths of two trapeze artists who are both 5 feet tall when hanging by their knees. The “flyer” on the left bar is preparing to make hand-to-hand contact with the “catcher” on the right bar. At what angle (theta) will the two meet?
The problems were obtained from http://www.muhsd.k12.ca.us/cms/lib5/CA01001051/Centricity/Domain/547/Trig/13-6%20Law%20of%20Cosines.pdf.

How could you as a teacher create an activity or project that involves your topic?

Activities are a great way to engage students. They require the students to explore the topic and make new discoveries. It can also benefit students who learn best by doing hands-on work. The activity, http://hilbertshotel.wordpress.com/2013/01/10/law-of-sinescosines-mapquest/ involves the law of sines, the law of cosines, and MapQuest. You will need a map of your school or just one of your school’s buildings. The students will then create triangles to figure out the length of different parts of the school. In order to do this, the students will have to use the law of cosines and sines. They will be able to measure the angles of the triangles using protractors. Then they can calculate the lengths of the sides of the triangles. You can then relate this activity to the real world job of surveyors. You would also need to point out to the students that because they are rounding their calculations of the distances and angles, there is a loss of accuracy. Also, you should note that in real life, surveyors would compute the distances using a different method in order to be completely accurate. This activity is very interesting and helps the students get a good understanding of the law of cosines.

How can technology (YouTube, Khan Academy [khanacademy.org], Vi Hart, Geometers Sketchpad, graphing calculators, etc.) be used to effectively engage students with this topic?

A video is a great way to engage students because it’s visual and auditory which helps student understand concepts better. The video below uses Vanilla Ice’s song, Ice, Ice Baby, to introduce the law of cosines. I would play it from the start until1:51. At 1:51, the video starts introducing the idea of the law of sine. Besides just introducing the general idea of the law of cosines, it also shows how it’s derived from the Pythagorean Theorem. The video also clearly states that the Pythagorean Theorem only works with right triangles so that’s why we need the law of cosines- to help solve all triangles. It points out that you cannot only solve for a side of the triangle, but also the angles of the triangle. Another reason this video is engaging is that it is a well-known song that is catchy. Thus, the students will be able to remember the connection between the video and the concept of the law of cosines.