Artikel

3.1: Mengenlehre - Mathematik


Es ist für uns selbstverständlich, Elemente in Gruppen oder Sets zu klassifizieren und zu berücksichtigen, wie sich diese Sets überschneiden. Wir können diese Sets verwenden, um Beziehungen zwischen Gruppen zu verstehen und Umfragedaten zu analysieren.

Grundlagen

Ein Kunstsammler kann eine Sammlung von Gemälden besitzen, während ein Musikliebhaber eine Sammlung von CDs besitzt. Jede Sammlung von Gegenständen kann eine bilden einstellen.

Satz

EIN einstellen ist eine Sammlung verschiedener Objekte, genannt Elemente des Sets

Ein Set kann definiert werden, indem der Inhalt beschrieben wird oder indem die Elemente des Sets in geschweiften Klammern aufgelistet werden.

Beispiel 1

Einige Beispiele für Sets, die durch die Beschreibung des Inhalts definiert werden:

  1. Die Menge aller geraden Zahlen
  2. Das Set aller Bücher, die über Reisen nach Chile geschrieben wurden

Antworten

Einige Beispiele für Mengen, die durch Auflisten der Elemente der Menge definiert werden:

  1. {1, 3, 9, 12}
  2. {rot, orange, gelb, grün, blau, indigo, lila}

Eine Menge spezifiziert einfach den Inhalt; Reihenfolge ist nicht wichtig. Die durch {1, 2, 3} dargestellte Menge entspricht der Menge {3, 1, 2}.

Notation

Normalerweise verwenden wir eine Variable, um eine Menge darzustellen, damit später leichter auf diese Menge Bezug genommen werden kann.

Das Symbol ∈ bedeutet „ist ein Element von“.

Eine Menge, die keine Elemente enthält, { }, heißt die leeres Set und ist notiert ∅

Beispiel 2

Lassen EIN = {1, 2, 3, 4}

Um zu notieren, dass 2 ein Element der Menge ist, schreiben wir 2 . EIN

Manchmal enthält eine Sammlung möglicherweise nicht alle Elemente einer Menge. Chris besitzt beispielsweise drei Madonna-Alben. Während Chris' Kollektion ein Set ist, können wir auch sagen, dass es ein ist Teilmenge des größeren Sets aller Madonna-Alben.

Teilmenge

EIN Teilmenge eines Satzes EIN ist eine weitere Menge, die nur Elemente aus der Menge enthält EIN, enthält aber möglicherweise nicht alle Elemente von EIN.

Ob B ist eine Teilmenge von EIN, wir schreiben BEIN

EIN echte Teilmenge ist eine Teilmenge, die nicht mit der ursprünglichen Menge identisch ist – sie enthält weniger Elemente.

Ob B ist eine richtige Teilmenge von EIN, wir schreiben BEIN

Beispiel 3

Betrachten Sie diese drei Sätze:

EIN = die Menge aller geraden Zahlen
B = {2, 4, 6}
C = {2, 3, 4, 6}

Hier BEIN da jedes Element von B ist auch eine gerade Zahl, also ein Element von EIN.

Formaler könnten wir sagen BEIN seit wenn x B, dann x EIN.

Das stimmt auch BC.

C ist keine Untermenge von EIN, da C ein Element enthält, 3, das nicht in enthalten ist EIN

Beispiel 4

Angenommen, ein Set enthält die Stücke „Viel Lärm um nichts“, „MacBeth“ und „Ein Sommernachtstraum“. Was ist eine größere Menge, von der dies eine Teilmenge sein könnte?

Hier gibt es viele mögliche Antworten. Eine davon wäre die Reihe von Theaterstücken von Shakespeare. Dies ist auch eine Teilmenge der Menge aller jemals geschriebenen Stücke. Es ist auch eine Teilmenge der gesamten britischen Literatur.

Versuchen Sie es jetzt

Der Satz EIN = {1, 3, 5}. Was ist eine größere Menge, von der dies eine Teilmenge sein könnte?

Vereinigung, Schnittmenge und Komplement

Üblicherweise interagieren Sets. Zum Beispiel beschließen Sie und ein neuer Mitbewohner, eine Hausparty zu veranstalten, und Sie laden beide Ihren Freundeskreis ein. Bei dieser Party werden zwei Sets kombiniert, obwohl sich herausstellen könnte, dass einige Freunde in beiden Sets waren.

Vereinigung, Schnittmenge und Komplement

Das Union von zwei Mengen enthält alle Elemente, die in einer der Mengen (oder in beiden Mengen) enthalten sind. Die Vereinigung ist notiert EIN B. Formeller, x EIN B Wenn x EIN oder x B (oder beides)

Das Überschneidung von zwei Mengen enthält nur die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Der Schnittpunkt ist notiert EIN B. Formeller, x EIN B Wenn x EIN und x B.

Das ergänzen eines Satzes EIN enthält alles was ist nicht im Set EIN. Das Komplement wird notiert EIN', oder EINC, oder manchmal ~EIN.

Beispiel 5

Betrachten Sie die Sätze:

EIN = {rot, grün, blau}
B = {rot, gelb, orange}
C = {rot, orange, gelb, grün, blau, lila}

Finde das Folgende:

  1. Finden EIN B
  2. Finden EIN B
  3. Finden EINCC

Antworten

  1. Die Vereinigung enthält alle Elemente in beiden Mengen: EIN B = {red, green, blue, yellow, orange} Beachten Sie, dass wir Rot nur einmal auflisten.
  2. Der Schnittpunkt enthält alle Elemente in beiden Mengen: EIN B = {rot}
  3. Hier suchen wir nach allen Elementen, die es gibt nicht im Satz EIN und sind auch dabei C. EINCC = {orange, gelb, lila}

Versuchen Sie es jetzt

Verwenden Sie die Sets aus dem vorherigen Beispiel und finden Sie EIN C und BCEIN

Beachten Sie, dass es im obigen Beispiel schwierig wäre, einfach danach zu fragen EINC, da von der Farbe Fuchsia über Welpen bis hin zu Erdnussbutter alles im Set enthalten ist. Aus diesem Grund werden Komplemente normalerweise nur bei Schnittmengen verwendet, oder wenn wir eine universelle Menge haben.

Universelles Set

EIN universelles Set ist eine Menge, die alle Elemente enthält, an denen wir interessiert sind. Dies müsste durch den Kontext definiert werden.

Ein Komplement ist relativ zur universellen Menge, also EINC enthält alle Elemente der universellen Menge, die nicht in . sind EIN.

Beispiel 6

  1. Wenn wir über die Suche nach Büchern sprechen würden, könnte das universelle Set alle Bücher in der Bibliothek sein.
  2. Wenn wir Ihre Facebook-Freunde gruppieren würden, wären das universelle Set alle Ihre Facebook-Freunde.
  3. Wenn Sie mit Zahlenmengen arbeiten, könnte die universelle Menge alle ganzen Zahlen, alle ganzen Zahlen oder alle reellen Zahlen sein

Beispiel 7

Angenommen, die universelle Menge ist U = alle ganzen Zahlen von 1 bis 9. Wenn EIN = {1, 2, 4}, dann EINC= {3, 5, 6, 7, 8, 9}.

Wie wir früher mit dem Ausdruck gesehen haben EINCC, Mengenoperationen können zusammen gruppiert werden. Gruppierungssymbole können wie bei der Arithmetik verwendet werden – um eine Reihenfolge von Operationen zu erzwingen.

Beispiel 8

Annehmen h = {Katze, Hund, Kaninchen, Maus}, F = {Hund, Kuh, Ente, Schwein, Kaninchen}, und W = {Ente, Hase, Hirsch, Frosch, Maus}

  1. Finden (h F) ⋃ W
  2. Finden h ⋂ (FW)
  3. Finden (h F)CW

Lösungen

  1. Wir beginnen mit der Kreuzung: h F = {Hund, Kaninchen}. Jetzt verbinden wir dieses Ergebnis mit W: (h F) ⋃ W = {Hund, Ente, Kaninchen, Hirsch, Frosch, Maus}
  2. Wir beginnen mit der Gewerkschaft: FW = {Hund, Kuh, Hase, Ente, Schwein, Hirsch, Frosch, Maus}. Jetzt schneiden wir dieses Ergebnis mit h: h ⋂ (FW) = {Hund, Hase, Maus}
  3. Wir beginnen mit der Kreuzung: h F = {Hund, Kaninchen}. Jetzt wollen wir die Elemente von finden W das sind nicht In h F. (h F)CW = {Ente, Hirsch, Frosch, Maus}

Venn-Diagramme

Um die Interaktion von Mengen zu visualisieren, dachte John Venn 1880 daran, überlappende Kreise zu verwenden, aufbauend auf einer ähnlichen Idee, die Leonhard Euler im 18. Jahrhundert verwendet hatte. Diese Illustrationen heißen jetzt Venn-Diagramme.

Venn-Diagramm

Ein Venn-Diagramm stellt jede Menge durch einen Kreis dar, der normalerweise in eine enthaltende Box gezeichnet wird, die die universelle Menge darstellt. Überlappende Bereiche zeigen Elemente an, die beiden Sätzen gemeinsam sind.

Einfache Venn-Diagramme können die Interaktion von zwei oder drei Sätzen veranschaulichen.

Beispiel 9

Erstellen Sie Venn-Diagramme zur Veranschaulichung EIN B, EIN B, und EINCB

EIN B enthält alle Elemente in entweder einstellen.

EIN B enthält nur die Elemente in beiden Mengen – in der Überlappung der Kreise.

EINCenthält alle Elemente nicht im Set EIN. EINCB enthält die Elemente in set B die nicht im Set sind EIN.

Beispiel 10

Verwenden Sie ein Venn-Diagramm, um (h F)CW

Wir beginnen damit, alles im Set zu identifizieren identifying h F

Jetzt, (h F)CW wird alles enthalten nicht in der oben identifizierten Menge, die auch in der Menge enthalten ist W.

Beispiel 11

Erstellen Sie einen Ausdruck, um den umrissenen Teil des gezeigten Venn-Diagramms darzustellen.

Die Elemente im skizzierten Set sind in Sätzen h und F, sind aber nicht im Set W. Also könnten wir dieses Set darstellen als h FWC

Versuchen Sie es jetzt

Erstellen Sie einen Ausdruck, um den umrissenen Teil des gezeigten Venn-Diagramms darzustellen

Kardinalität

Oftmals interessieren wir uns für die Anzahl der Elemente in einer Menge oder Untermenge. Dies wird als Kardinalität der Menge bezeichnet.

Kardinalität

Die Anzahl der Elemente in einer Menge ist die Kardinalität dieser Menge.

Die Kardinalität der Menge EIN wird oft als | . notiertEIN| oder n(EIN)

Beispiel 12

Lassen EIN = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und B = {2, 4, 6, 8}.

Was ist die Kardinalität von B? EINB, EIN B?

Antworten

Die Kardinalität von B ist 4, da es 4 Elemente in der Menge gibt.

Die Kardinalität von EINB ist 7, da EINB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, die 7 Elemente enthält.

Die Kardinalität von EIN B ist 3, da EIN B = {2, 4, 6}, die 3 Elemente enthält.

Beispiel 13

Was ist die Kardinalität von P = die Menge der englischen Namen für die Monate des Jahres?

Antworten

Die Kardinalität dieses Sets ist 12, da das Jahr 12 Monate hat.

Manchmal interessieren wir uns vielleicht für die Kardinalität der Vereinigung oder der Schnittmenge von Mengen, kennen aber die tatsächlichen Elemente jeder Menge nicht. Dies ist in der Vermessung üblich.

Beispiel 14

Eine Umfrage fragt 200 Personen „Welches Getränk trinken Sie morgens“ und bietet folgende Auswahlmöglichkeiten:

  • Nur Tee
  • Nur Kaffee
  • Sowohl Kaffee als auch Tee

Angenommen, 20 melden nur Tee, 80 melden nur Kaffee, 40 melden beides. Wie viele Menschen trinken morgens Tee? Wie viele Menschen trinken weder Tee noch Kaffee?

Antworten

Diese Frage lässt sich am einfachsten beantworten, indem man ein Venn-Diagramm erstellt. Wir können sehen, dass wir die Menschen finden, die Tee trinken, indem wir diejenigen, die nur Tee trinken, zu denen hinzufügen, die beide trinken: 60 Menschen.

Wir können auch sehen, dass diejenigen, die weder trinken, noch in einer der drei anderen Gruppierungen enthalten sind, also können wir diese zählen, indem wir von der Kardinalität der universellen Menge 200 abziehen.

200 – 20 – 80 – 40 = 60 Personen, die weder trinken.

Beispiel 15

In einer Umfrage wird gefragt: „Welche Online-Dienste haben Sie im letzten Monat genutzt?“

  • Twitter
  • Facebook
  • Habe beides benutzt

Die Ergebnisse zeigen, dass 40 % der Befragten Twitter, 70 % Facebook und 20 % beides genutzt haben. Wie viele Leute haben weder Twitter noch Facebook genutzt?

Antworten

Lassen T die Gruppe aller Personen sein, die Twitter verwendet haben, und F die Menge aller Personen sein, die Facebook verwendet haben. Beachten Sie, dass die Kardinalität von F beträgt 70% und die Kardinalität von T beträgt 40%, die Kardinalität von FT beträgt nicht einfach 70 % + 40 %, da dies diejenigen zählen würde, die beide Dienste zweimal nutzen. Um die Kardinalität von zu finden FT, wir können die Kardinalität von hinzufügen F und die Kardinalität von T, dann subtrahieren Sie diejenigen im Schnittpunkt, die wir zweimal gezählt haben. Bei Symbolen,

n(FT) = n(F) + n(T) - n(FT)
n(FT) = 70% + 40% – 20% = 90%

Um nun herauszufinden, wie viele Personen keinen der Dienste genutzt haben, suchen wir nach der Kardinalität von (FT)C . Da das universelle Set 100 % der Personen enthält und die Kardinalität von FT = 90%, die Kardinalität von (FT)C müssen die anderen 10 % sein.

Das vorherige Beispiel veranschaulichte zwei wichtige Eigenschaften

Kardinalitätseigenschaften

n(EINB) = n(EIN) + n(B) - n(EINB)

n(Ac) = n(U) - n(EIN)

Beachten Sie, dass die erste Eigenschaft auch in äquivalenter Form geschrieben werden kann, indem nach der Kardinalität des Schnitts aufgelöst wird:

n(EINB) = n(EIN) + n(B) - n(EINB)

Beispiel 16

Fünfzig Studierende wurden befragt und gefragt, ob sie im nächsten Quartal einen sozialwissenschaftlichen (SS), einen geisteswissenschaftlichen (HM) oder einen naturwissenschaftlichen (NS) Studiengang belegen.

21 machten einen SS-Kurs26 nahmen an einem HM-Kurs
19 machten einen NS-Kurs9 nahmen SS und HM
7 nahmen SS und NS10 nahmen HM und NS
3 nahmen alle drei7 nahmen keine

Wie viele Studierende belegen nur einen SS-Kurs?

Antworten

Es kann hilfreich sein, sich ein Venn-Diagramm anzusehen. Aus den angegebenen Daten wissen wir, dass es 3 Studenten in der Region gibt e und 7 Studenten in der Region ha.

Da 7 Studenten einen SS- und NS-Kurs besuchten, wissen wir, dass n(d) + n(e) = 7. Da wir wissen, dass es 3 Studenten in Region 3 gibt, müssen es 7 – 3 = 4 Studenten in Region sein d.

Da es 10 Studenten gibt, die HM und NS belegen, einschließlich der Regionen e und f, es müssen 10 – 3 = 7 Studenten in der Region sein f.

Da 9 Studenten SS und HM belegten, müssen 9 – 3 = 6 Studenten in der Region sein b.

Jetzt wissen wir, dass 21 Schüler einen SS-Kurs belegten. Dazu gehören auch Studierende aus Regionen a, b, d, und e. Da wir die Schülerzahlen in allen außer der Region kennen ein, können wir feststellen, dass 21 – 6 – 4 – 3 = 8 Schüler in der Region sind ein.

8 Studenten belegen nur einen SS-Kurs.

Versuchen Sie es jetzt

Einhundertfünfzig Menschen wurden befragt und gefragt, ob sie an UFOs, Geister und Bigfoot glaubten.

43 glaubten an UFOs44 glaubte an Geister
25 glaubten an Bigfoot10 glaubten an UFOs und Geister
8 glaubte an Geister und Bigfoot5 glaubten an UFOs und Bigfoot
2 glaubte an alle drei

Wie viele der Befragten glaubten an mindestens eines dieser Dinge?


Eine Menge ist eine ungeordnete Sammlung verschiedener Elemente. Eine Menge kann explizit geschrieben werden, indem ihre Elemente in einer Mengenklammer aufgelistet werden. Wenn die Reihenfolge der Elemente geändert wird oder ein Element einer Menge wiederholt wird, werden keine Änderungen in der Menge vorgenommen.

Einige Beispiele für Sets

  • Eine Menge aller positiven ganzen Zahlen
  • Ein Satz aller Planeten des Sonnensystems
  • Eine Reihe aller Bundesstaaten in Indien
  • Ein Satz aller Kleinbuchstaben des Alphabets

Prinzipien der Mathematik: Eine Einführung

Es gibt zahlreiche Bücher, die Studenten in die höhere Mathematik einführen. Eine häufige Beschwerde gegen einen erheblichen Teil von ihnen ist, dass sie viel darüber reden, wie man Theoreme beweist, ohne tatsächlich etwas Interessantes zu beweisen. Es ist, als ob ein Gastgeber beim Abendessen die Details eines guten Essens besprechen würde, aber nur Pommes und Wasser serviert.

Einige Autoren vermeiden diese Falle, indem sie einen Teil der höheren Mathematik auswählen und diesen Teil verwenden, um den Schülern die Leistungsfähigkeit ihrer neuen Werkzeuge zum Beweisen von Theoremen zu zeigen. Das besprochene Buch geht diesen Weg und wählt die Gruppentheorie und die lineare Algebra als die Gebiete aus, in denen wesentliche Ergebnisse in den Kapiteln 5 und 6 (den letzten beiden Kapiteln des Buches) bewiesen werden. Der Autor geht tief genug in die Gruppentheorie ein, um normale Untergruppen und Isomorphiesätze zu behandeln, und tief genug in die lineare Algebra, um die Eigenwerttheorie und die allgemeine lineare Gruppe zu diskutieren.

Einige Entscheidungen, die der Autor bei der Anordnung seiner frühen Kapitel trifft, sind ziemlich überraschend. Kapitel 3, das auf Seite 183 beginnt, heißt Beweise, aber bis dahin haben wir viele Beweise gemacht, die genau so genannt wurden. Funktionen sind das Thema von Kapitel 4, aber Mengentheorie ist Kapitel 1, und in diesem ersten Kapitel beweisen wir zum Beispiel, dass die rationalen Zahlen den ganzen Zahlen gleichzahlig sind, natürlich mit bijektiven Funktionen. Wir beweisen auch, dass es keine Bijektion zwischen den reellen und den ganzen Zahlen gibt.

Diese Entscheidungen lassen sich vielleicht etwas erfunden erklären, indem man zum Beispiel sagt, dass die Schüler bereits eine Vorstellung davon haben, was eine Funktion ist, was Beweise sind, und wir werden diese Konzepte später formalisieren, aber dieser Rezensent ist der Meinung, dass ein Buch, das dies beabsichtigt, Leser in die Welt der beweisbasierten Mathematik einzuführen ist nicht der richtige Ort für diese Art der nichtlinearen Berichterstattung.

Es gibt viele Übungen und ergänzende Aufgaben, aber keine davon mit Lösungen. Viele Sätze, die auf eine mathematische Formel enden, haben am Ende keinen Punkt, was das Lesen manchmal schwieriger macht, als es sein sollte. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich das Buch sicherlich von der Konkurrenz unterscheidet, aber mehr Redaktion und vor allem eine einfachere Gliederung der Themen hätten es verbessert.

Miklós Bóna ist Professor für Mathematik an der University of Florida.

1.2 Mengentheorie &ndash Definitionen, Notation und Terminologie &ndash Was ist eine Menge?, 3


Mengenlehre & Algebra

Eine binäre Operation auf einer Menge von ganzen Zahlen ist definiert als x y = x 2 + y 2 . Über welche der folgenden Aussagen ist WAHR ? Assoziativität: Eine binäre Operation ∗ auf einer Menge S heißt assoziativ, wenn sie das Assoziativgesetz erfüllt: a ∗ (b ∗c) = (a ∗b) ∗c für alle a, b, c ∈S. Kommutativität: Eine binäre Operation ∗ auf einer Menge S heißt kommutativ, wenn sie die Bedingung a ∗b=b ∗a für alle a, b, ∈S erfüllt. In diesem Fall spielt die Reihenfolge, in der Elemente kombiniert werden, keine Rolle. Lösung: Hier ist eine binäre Operation auf einer Menge von ganzen Zahlen definiert als x⊕ y = x2 + y2. für Kommutativität: x ⊕y= y ⊕x. LHS=> x ⊕y= x^2+ y^2 RHS=> y ⊕x= y^2+x^2 LHS = RHS. also kommutativ. für Assoziativität: x ⊕ (y ⊕ z) =(x ⊕ y) ⊕ z LHS=> x ⊕ (y⊕ z) = x ⊕ ( y^2+z^2)= x^2+(y^2+ z^2)^2 RHS=> (x ⊕y) ⊕z= ( x^2+y^2) ⊕z=(x^2+y^2)^2+z^2 Also, LHS ≠ RHS, also nicht assoziativ. Referenz: http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg3.pdf Diese Lösung wird beigesteuert von Nitika Bansal Eine andere Lösung : kommutativ als xy ist immer gleich yx. ist nicht assoziativ, da (xj)z ist (x^2 + y^2)^2 + z^2, aber x(jaz) ist x^2 + (y^2 + z^2)^2.

Einführung in die naive Mengenlehre

In der naiven Mengenlehre ist eine Menge eine Sammlung von Objekten (als Mitglieder oder Elemente bezeichnet), die als ein einzelnes Objekt betrachtet werden. Um anzuzeigen, dass ein Objekt x ist ein Mitglied einer Menge EIN einer schreibt xEIN, während xEIN zeigt an, dass x ist kein Mitglied von EIN. Ein Satz kann durch eine Zugehörigkeitsregel (Formel) oder durch Auflisten seiner Mitglieder in geschweiften Klammern definiert werden. Zum Beispiel kann die durch die Regel „Primzahlen kleiner als 10“ gegebene Menge auch durch <2, 3, 5, 7> angegeben werden. Im Prinzip kann jede endliche Menge durch eine explizite Liste ihrer Mitglieder definiert werden, aber die Angabe unendlicher Mengen erfordert eine Regel oder ein Muster, um die Zugehörigkeit anzuzeigen, zum Beispiel die Ellipse in <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …>zeigt an, dass die Liste der natürlichen Zahlen ℕ ewig weitergeht. Die leere (oder void oder null) Menge, symbolisiert durch <> oder Ø, enthält überhaupt keine Elemente. Trotzdem hat es den Status eines Sets.

Ein Satz EIN heißt Teilmenge einer Menge B (symbolisiert durch EINB) wenn alle Mitglieder von EIN sind auch Mitglieder von B. Zum Beispiel ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst und Ø ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge. Wenn beides EINB und BEIN, dann EIN und B haben genau die gleichen Mitglieder. Teil des Mengenkonzepts ist, dass in diesem Fall EIN = B das ist, EIN und B sind das gleiche Set.


Herbst 2012

Bitte beachten Sie, dass Übungsprüfungen länger dauern als die eigentlichen Prüfungen. Sie sollen eine Vorstellung von dem zu behandelnden Material geben.

  • Kapitel 2 - Mengenlehre
      (8/30/12)
  • 2.3 - Set-Operationen (04.09.12 und 06.09.12) (11.09.12 und 13.09.12)
  • Rückblick (18.09.12)
    • 3.1 - Statements, Connectives, & Quantifiers (25.09.12)
    • 3.2 - Wahrheitstabellen (27.09.12)
    • 3.3 - Das bedingte und das bikonditionale (10/2/12)
    • 3.4 - Überprüfung von Argumenten (10/4/12)
    • 3.5 - Verwendung von Euler-Diagrammen zur Überprüfung von Syllogismen (09.10.12)
    • Rückblick (10.11.12)
    • 13.1 - Grundlegende Zählmethoden (23.10.12)
    • 13.2 - Grundlegendes Zählprinzip (25.10.12)
    • 13.3 - Permutationen und Kombinationen (30.10.12)
    • 14.1 - Grundlegende Wahrscheinlichkeitstheorie (11.1.12)
    • 14.2 - Ergänzungen und Vereinigungen von Veranstaltungen (06.11.12)
    • 14.3 - Bedingte Wahrscheinlichkeit und Schnittmengen von Ereignissen (08.11.12)
    • 14.4 - Erwarteter Wert (13.11.12)
    • Rückblick (15.11.12)
    • 15.1 - Daten organisieren und visualisieren (27.11.12)
    • 15.2 - Maßnahmen der zentralen Tendenz (29.11.12)
    • 15.3 - Ausbreitungsmaße (12/4/12)
    • 15.4 - Die Normalverteilung (06.12.12)
    • Rückblick (12.11.12)

    Diese Seite wird gepflegt von Jess Lenarz (jessie "dot" lenarz "at" mnstate "dot" edu)


    3.1: Mengenlehre - Mathematik

    Nelson Prinzipien der Mathematik
    Inhaltsverzeichnisse

    Nelson Prinzipien der Mathematik 11

    Kapitel 1 – Induktives und deduktives Denken
    Erste Schritte: Das Geheimnis der of Maria Celeste
    1.1 Vermutungen anstellen: Induktives Denken
    1.2 Untersuchung der Gültigkeit von Vermutungen
    1.3 Verwenden von Argumenten, um ein Gegenbeispiel zu einer Vermutung zu finden

    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Ein Zahlenrätsel analysieren

    1.4 Vermutungen beweisen: Deduktives Denken
    Rückblick zur Mitte des Kapitels
    1.5 Nicht gültige Beweise
    1.6 Argumentation zur Lösung von Problemen
    1.7 Rätsel und Spiele analysieren
    Kapitel Selbsttest
    Kapitelrückblick
    Kapitel Aufgabe
    Projektanbindung 1: Erstellen eines Aktionsplans

    Kapitel 2 – Eigenschaften von Winkeln und Dreiecken
    Erste Schritte: Geometrische Kunst
    2.1 Erkunden paralleler Linien
    2.2 Winkel, die durch parallele Linien gebildet werden

    Anwendung von Problemlösungsstrategien: Vierecke mit Schachbrettmuster

    Rückblick zur Mitte des Kapitels
    2.3 Winkeleigenschaften in Dreiecken
    2.4 Winkeleigenschaften in Polygonen

    2.5 Erforschen kongruenter Dreiecke

    2.6 Nachweis kongruenter Dreiecke
    Kapitel Selbsttest
    Kapitelrückblick
    Kapitel Aufgabe
    Projektanbindung 2: Auswahl Ihres Forschungsthemas
    Kumulative Bewertung 1

    Kapitel 3 – Akute Dreiecktrigonometrie
    Erste Schritte: Lacrosse-Trigonometrie
    3.1 Untersuchung von Seiten-Winkel-Beziehungen in spitzen Dreiecken
    3.2 Beweis und Anwendung des Sinusgesetzes
    Rückblick zur Mitte des Kapitels
    3.3 Beweis und Anwendung des Kosinusgesetzes
    3.4 Probleme mit spitzen Dreiecken lösen
    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Analyse eines Trigonometrie-Puzzles
    Kapitel Selbsttest
    Kapitelrückblick
    Kapitel Aufgabe
    Projektanbindung 3: Erstellen Ihrer Forschungsfrage oder -aussage

    Kapitel 4 – Radikale
    Erste Schritte: Fotografie
    4.1 Gemischte und ganze Radikale
    4.2 Addition und Subtraktion von Radikalen

    4.3 Multiplizieren und Dividieren von Radikalen

    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Definieren eines Fraktales
    Rückblick zur Mitte des Kapitels
    4.4 Vereinfachung algebraischer Ausdrücke mit Radikalen

    4.5 Darstellung radikaler Gleichungen

    4.6 Radikalgleichungen lösen
    Kapitel Selbsttest
    Kapitelrückblick
    Kapitel Aufgabe
    Projektanbindung 4: Durchführung Ihrer Recherche

    Kapitel 5 – Statistische Argumentation
    Erste Schritte: Gehälter vergleichen
    5.1 Daten untersuchen
    5.2 Häufigkeitstabellen, Histogramme und Häufigkeitspolygone

    5.4 Die Normalverteilung
    Anwendung von Problemlösungsstrategien: Vorhersage möglicher Wege Path
    5.5 Z-Werte
    5.6 Vertrauensintervalle
    Kapitel Selbsttest
    Kapitelrückblick
    Kapitel Aufgabe
    Project Connection 5: Analysieren Sie Ihre Daten
    Kumulative Bewertung 2

    Kapitel 6 – Quadratische Funktionen
    Erste Schritte: String Art

    6.1 Quadratische Beziehungen erforschen
    6.2 Eigenschaften von Graphen quadratischer Funktionen
    6.3 Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion
    Rückblick zur Mitte des Kapitels
    6.4 Eckenform einer quadratischen Funktion
    6.5 Probleme mit quadratischen Funktionsmodellen lösen
    Anwendung von Problemlösungsstrategien: Kuriose Zählrätsel

    Kapitel Selbsttest
    Kapitelrückblick
    Kapitel Aufgabe
    Projektverbindung 6: Identifizieren kontroverser Probleme

    Kapitel 7 – Quadratische Gleichungen
    Erste Schritte: Factoring-Design
    7.1 Quadratische Gleichungen grafisch lösen
    7.2 Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen
    7.3 Quadratische Gleichungen mithilfe der quadratischen Formel lösen
    Rückblick zur Mitte des Kapitels
    7.4 Probleme mit quadratischen Gleichungen lösen
    Anwendung von Problemlösungsstrategien: Bestimmung quadratischer Muster Pattern
    Kapitel Selbsttest
    Kapitelrückblick
    Kapitel Aufgabe
    Project Connection 7: Das Endprodukt und die Präsentation

    Kapitel 8 - Proportionale Argumentation
    Erste Schritte: Interpretation der Cold Lake Region
    8.1 Preise vergleichen und dolmetschen
    8.2 Lösen von Problemen mit Kursen
    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Analyse eines Preisrätsels

    8.3 Maßstabsdiagramme
    8.4 Skalierungsfaktoren und Flächen von 2D-Formen
    8.5 Ähnliche Objekte: Maßstabsmodelle und Maßstabsdiagramme
    8.6 Skalierungsfaktoren und 3D-Objekte
    Kapitel Selbsttest
    Kapitelrückblick
    Kapitel Aufgabe
    Projektverbindung 8: Peer-Kritik von Forschungsprojekten
    Kumulative Bewertung 3

    Nelson Prinzipien der Mathematik 12

    Kapitel 1: Mengenlehre 2
    Erste Schritte: Immobilienangebote 4
    1.1 Arten von Mengen und Mengennotation 6
    1.2 Erforschen von Beziehungen zwischen Sets 19
    1.3 Schnittpunkt und Vereinigung von zwei Sätzen 22
    History Connection: Unerwartete Unendlichkeiten 35
    Mitte-Kapitel-Rezension 36
    1.4 Anwendungen der Mengenlehre 39
    Mathematik in Aktion: Relevante Treffer 54
    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Analyse eines Logikrätsels 55
    Kapitel Selbsttest 56
    Kapitelrückblick 57
    Kapitelaufgabe: Einen Zoo planen 59
    Projektanbindung: Erstellen eines Aktionsplans 60

    Kapitel 2: Zählmethoden 62
    Erste Schritte: Der Turm von Hanoi 64
    2.1 Zählprinzipien 66
    2.2 Einführung von Permutationen und faktorielle Notation 76
    2.3 Permutationen, wenn alle Objekte unterscheidbar sind 84
    Mathematik in Aktion: Geburtstags-Permutationen 95
    Mitte-Kapitel-Rezension 96
    2.4 Permutationen bei identischen Objekten 98
    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Disk Drop 108
    2.5 Kombinationen erkunden 109
    2.6 Kombinationen 111
    2.7 Zählprobleme lösen 121
    Verlaufsverbindung: Computercodes 128
    Kapitel Selbsttest 129
    Kapitelrückblick 130
    Kapitelaufgabe: Analyse eines traditionellen Spiels 133
    Projektanbindung: Auswahl Ihres Forschungsthemas 134

    Kapitel 3: Wahrscheinlichkeit 136
    Erste Schritte: Würfelunterschiede 138
    3.1 Erkundung der Wahrscheinlichkeit 140
    3.2 Wahrscheinlichkeit und Quoten 142
    3.3 Wahrscheinlichkeiten mit Zählmethoden 151
    Geschichte Verbindung: Counter Intuition 162
    Mitte-Kapitel-Rückblick 163
    3.4 Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse 166
    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Das Monty-Hall-Puzzle 181
    3.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit 182
    3.6 Unabhängige Ereignisse 192
    Mathematik in Aktion: Modellieren mit Wahrscheinlichkeiten 201
    Kapitel Selbsttest 202
    Kapitelrückblick 203
    Kapitelaufgabe: Spiele und Wahrscheinlichkeit 207
    Projektanbindung: Erstellen Ihrer Forschungsfrage oder Aussage 208
    Kapitel 1-3 Kumulativer Rückblick 210

    Kapitel 4: Rationale Ausdrücke und Gleichungen 212
    Erste Schritte: Vergleich von Internettarifen 214
    4.1 Äquivalente rationale Ausdrücke 216
    4.2 Rationale Ausdrücke vereinfachen 225
    4.3 Multiplizieren und Dividieren von rationalen Ausdrücken 232
    Zwischenbericht zur Mitte des Kapitels 240
    4.4 Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren 244
    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Untersuchen rationaler Ausdrücke 251
    Geschichte Verbindung: Die Thin Lens Formula 252
    4.5 Rationale Gleichungen lösen 253
    Mathematik in Aktion: Das harmonische Mittel 261
    Kapitel Selbsttest 262
    Kapitelrückblick 263
    Kapitelaufgabe: Das Würfelspiel mit rationalen Ausdrücken 267
    Projektanbindung: Ihre Recherche durchführen 268

    Kapitel 5: Polynomfunktionen 270
    Erste Schritte: Inszenieren einer profitablen Produktion 272
    5.1 Untersuchen der Graphen von Polynomfunktionen 274
    5.2 Eigenschaften der Gleichungen von Polynomfunktionen 278
    Mathematik in Aktion: Bewegung aufgrund der Schwerkraft 289
    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Das Polynomial-Spiel 292
    Mitte-Kapitel-Rezension 293
    5.3 Modellieren von Daten mit einer Best-Fit-Linie von 295
    5.4 Modellieren von Daten mit einer Kurve der besten Anpassung 307
    History Connection: Primzahlen erzeugende quadratische Polynome 317
    Kapitel Selbsttest 318
    Kapitelrückblick 319
    Kapitelaufgabe: Experimentieren mit Polynommodellen 323
    Projektanbindung: Analyse Ihrer Daten 324
    Kapitel 4-5 Kumulativer Überblick 327

    Kapitel 6: Exponentialfunktionen 330
    Erste Schritte: Origami 332
    6.1 Erforschung der Eigenschaften von Exponentialfunktionen 334
    6.2 Die Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit ihrer Gleichung in Beziehung setzen 338
    6.3 Exponentialgleichungen lösen 352
    Rezension zur Mitte des Kapitels 366
    6.4 Modellieren von Daten mit Exponentialfunktionen 370
    Historische Verbindung: Ernest Rutherford (1871-1937) 384
    Anwendung von Problemlösungsstrategien: Exponentieller Treffer 385
    6.5 Finanzanwendungen mit Exponentialfunktionen 386
    Mathematik in Aktion: Die Regel von 72 399
    Kapitel Selbsttest 400
    Kapitelrückblick 401
    Kapitelaufgabe: Koffeinzerfall 405
    Projektverbindung: Identifizierung kontroverser Probleme 406

    Kapitel 7: Logarithmische Funktionen 408
    Erste Schritte: Glasfaserkabel 410
    7.1 Eigenschaften logarithmischer Funktionen mit Base 10 und Base e 412
    7.2 Logarithmische Ausdrücke auswerten 426
    Rezension zur Mitte des Kapitels 439
    7.3 Logarithmengesetze 442
    Mathematik in Aktion: Einen Rechenschieber erstellen 448
    7.4 Lösen von Exponentialgleichungen mit Logarithmen 449
    Geschichte Verbindung: Eulers Nummer 459
    7.5 Modellieren von Daten mit logarithmischen Funktionen 460
    Anwenden von Problemlösungsstrategien: Erraten Sie die Zahl: Binäre Suche 472
    Kapitel Selbsttest 473
    Kapitelrückblick 474
    Kapitelaufgabe: Erste Ziffern 477
    Projektverbindung: Das Endprodukt und die Präsentation 478

    Kapitel 8: Sinusförmige Funktionen 480
    Erste Schritte: Sinus- und Cosinusmuster 482
    8.1 Winkel verstehen 484
    8.2 Untersuchen von Graphen periodischer Funktionen 491
    History Connection: Nicht so einfach wie ! 496
    8.3 Die Graphen von Sinusfunktionen 497
    Rezension zur Mitte des Kapitels 513
    8.4 Die Gleichungen von Sinusfunktionen 516
    Mathematik in Aktion: Biorhythmen 532
    8.5 Modellieren von Daten mit Sinusfunktionen 533
    Anwendung von Problemlösungsstrategien: Hidden Waves 548
    Kapitel Selbsttest 549
    Kapitelrückblick 550
    Kapitelaufgabe: Hier kommt die Sonne 553
    Projektanbindung: Peer-Kritik von Forschungsprojekten 554
    Kapitel 6-8 Kumulativer Rückblick 556


    CBSE Mathematik

    Schöne Blogs zu Grundbegriffen und Formeln der Mathematik, Matheaufgaben für den Boardunterricht, Mathe-Lernmaterial für 8., 9., 10., 11.

    Abonniere diesen Blog

    Abonnieren

    Mathe-Aufgabenklasse XI Ch -1 Mengentheorie

    • Link abrufen
    • Facebook
    • Twitter
    • Pinterest
    • Email
    • Andere Apps

    Mathematikaufgabe

    Klasse - XI / Fach Mathematik / Kapitel - 1

    Für nicht-medizinische/angewandte Mathematikstudenten

    Q1 Schreiben Sie die folgenden Mengen in Tabellenform

    F 2 Schreiben Sie Folgendes in Set-Builder-Form

    Q3 Schreiben Sie die Teilmengen der Menge A = <1, 2, <3>>

    Q4 Schreiben Sie die richtigen Teilmengen von A =

    Antwort: Außer < 5, 10, 11, 15> sind alle anderen Teilmengen von A echte Teilmengen.

    Q5 Schreiben Sie die Potenzmenge von A =

    Q6 Liste alle Teilmengen von set . auf

    Q7 Wählen Sie aus den unten angegebenen Sätzen die gleichen und äquivalenten Sätze aus

    Ans Gleiche Mengen: A und C, Äquivalente Mengen: B, E und F A und C

    dann finde n(S) + n(P) Ans 41

    Q 9 Lassen Sie A und B zwei Sätze sein, zeigen Sie A - B , A ∩ B, B - A im Venn-Diagramm.

    Q 10 Wenn A = , B = , C = überprüfe das

    (b) A - (B ∩ C) = (A - B) (A-C)

    Q11 Wenn A , B und C zwei Mengen sind, dann beweise, dass

    a) A (A ∩ B) = A

    b) (A B) – B = A - B

    Taxi) (A ∩ B = A

    d) A (B - A) = A B

    f) A B) – B = A - B

    Q 12 Wenn A = <1, 2, 3, 4, 5>, B = <1, 3, 5, 7, 9>, C = <2, 3, 4>, überprüfen Sie, dass

    A - (B C) = (A - B) ∩ (A - C)

    F 13 In einer Klasse mit 35 Schülern spielen 24 gerne Cricket und 16 spielen gerne Fußball. Außerdem spielt jeder Schüler gerne mindestens eines der beiden Spiele. Wie viele spielen gerne sowohl Cricket als auch Fußball. Antwort 5

    F 14 In einer Umfrage unter 400 Schülern der Schule nahmen 100 Apfelsaft und 150 Orangensaft. Finden Sie heraus, wie viele Schüler weder Apfelsaft noch Orangensaft konsumiert haben. Antwort 225

    F 15 Ein College vergab 38 Medaillen im Football, 15 im Basketball und 20 im Cricket. Wenn diese Medaillen an insgesamt 58 Männer gingen und nur drei Männer in allen drei Sportarten Medaillen erhielten, wie viele erhielten dann Medaillen in genau zwei der drei Sportarten? Antwort 9

    F 16 In einer Gruppe von 200 Studierenden wurde festgestellt, dass 120 Mathematik studieren, 90 Physik studieren, 70 Chemie studieren, 40 Mathematik und Physik studieren, 30 Physik und Chemie studieren, 50 Chemie und Mathematik studieren, 20 alle drei Fächer studieren. Finden Sie die Anzahl der Schüler heraus.

    (i) Wer studiert alle drei Fächer? Antwort 20

    (ii) Wer studiert nur Mathematik? Antwort = 50

    (iii) Wer studiert eines der drei Fächer? Antwort 100

    (iv) Wer studiert zwei der drei Fächer? Antwort 60

    Q 17 Von 100 Schülern haben 15 in Englisch bestanden, 12 in Mathematik bestanden, 8 in Naturwissenschaften bestanden, 6 in Englisch und Mathematik, 7 in Mathematik und Naturwissenschaften, 4 in Englisch und Naturwissenschaften, 4 von allen dreien. Finde heraus, wie viele vorbeigekommen sind

    (i) Englisch und Mathematik, aber nicht in Naturwissenschaften Ans 2

    (ii) Mathematik und Naturwissenschaften, aber nicht auf Englisch Ans 3

    (iv) Nur mehr als ein Fach Ans 9

    F 18 In einer Gruppe von 50 Studenten, 17 Studenten Französisch, 13 Englisch, 15 Sanskrit, 9 Studenten Französisch und Englisch, 4 Studenten Englisch und Sanskrit, 5 Studenten Französisch und Sanskrit, 3 Studenten alle drei Fächer. Finden Sie die Anzahl der Studenten, die studieren.


    Mengenlehre und ihre geschäftlichen Anwendungen

    Die Mengenlehre spielt eine wichtige Rolle in der modernen Mathematik und wird auch in anderen Disziplinen verwendet.

    3.1 SET THEORIE

    Eine Menge S ist eine Sammlung bestimmter und wohldefinierter Objekte. Diese Objekte werden Elemente der Menge genannt.

    3.2 DARSTELLUNG VON SETS

    Die Darstellung einer Menge kann auf zwei Arten erfolgen:

    3.2.1 Tabellarische Methode

    Die einzelnen Elemente einer Menge werden aufgelistet und durch Kommas getrennt und in Klammern eingeschlossen.

    Eine Menge von natürlichen Zahlen kleiner als sieben wird dargestellt als A =

    3.2.2 Set-Builder-Formular

    Die Menge wird durch die Angabe einer gemeinsamen Eigenschaft ihres Mitglieds beschrieben.

    Die Menge der ungeraden Zahlen kleiner als .

    Erhalten Wirtschaftsmathematik jetzt mit O’Reilly Online-Lernen.

    O’Reilly-Mitglieder erleben Live-Online-Schulungen sowie Bücher, Videos und digitale Inhalte von über 200 Verlagen.


    Häufige Fragen und Scheiße, die ich vielleicht übersehen habe

    Fragen? Ja, du, mit der nassen Hose.

    „Aber Aaron. Ich habe keinen Zugriff auf das Spezialkit. Was soll ich tun?"

    Seufzen. In Ordung. Ich verstehe, dass dies ein häufiges Problem ist. Lassen Sie mich sagen, wenn Sie an einem Wettbewerb teilnehmen möchten, suchen Sie sich ein Fitnessstudio, in das Sie während Ihrer Vorbereitungszeit mindestens alle paar Wochen reisen können, und das zumindest einige der Geräte hat, die Sie benötigen.

    Spaziergänge mit Hanteln sind in Ordnung, aber es ist nicht wie der Torpedo, mit dem Sie am Wettkampftag herumlaufen. Es gibt ein Crossover, aber warum sollte man es dem Zufall überlassen? Mit einem Satz Fat Gripz, Ihren eigenen Stretchbändern zum Zusammenbinden von Hantelscheiben, um Steine ​​oder Schilde nachzuahmen, und einem Bierfass (mit Wasser oder Sand gefüllt) oder Sandsack in Ihrem Gartenhaus kann viel getan werden. Investieren Sie ein wenig. Das ist es wert. Überspringe die nächste Arbeitscurrynacht, wenn das Geld knapp ist. Scheiß auf diese Typen, sie helfen dir nicht, coole Scheiße zu heben.

    „Ich kann mir nur ein Paar Schuhe leisten. Was ist der beste Allround Strongman-Schuh?“

    „Ich habe viele starke Männer gesehen, die angeschnallt sind, als wären sie der Stay Puff Marshmallow Man auf Roids. Brauche ich Träger, Ärmel, Wickel, Gürtel usw.?“

    Kurze Antwort, ja. Aber ich habe meine ersten 18 Monate ohne Hilfsmittel mit Ausnahme von Riemen für Kreuzheben für Wiederholungen an Wettkämpfen teilgenommen und es geschafft, Großbritanniens stärkste Anfängersportlerin bei BodyPower UK zu gewinnen. Sie brauchen also nicht alles am Anfang. Wenn die Gewichte jedoch immer größer werden, wird es definitiv nützlich und sicherer, sich zu rüsten – nicht für jeden einzelnen Satz und jede Wiederholung, aber bei deinen Arbeitssätzen tut es definitiv nicht weh.

    Hahaha. Ich mag Pizza. Look, eat for your goal like you train for your goal. Good meats, tasty carbs, and Budweiser on a Friday.


    Is $ in , , 1, 2>$?

    I recently picked up Robert R. Stoll's book, 'Set Theory and Logic' and whilst reading chapter 1.3, I came into the question posted above. It's salient to note that my mathematical knowledge in general rivals that of a 2nd grader (no offense to any 2nd graders), so this question brought me some trouble.

    From what I learned in the book hitherto, a set is a collection of unique Elemente oder Mitglieder, so for example: $a in < a, b, c >$ is true because $a$ is an element within the given set. However, the brackets in the original question are throwing me off a bit because I am not too sure whether the $1$ and $2$ have to be within its own brackets e.g. $< 1, 2>.$

    In any case, I would have said that $< 1, 2 >$ is indeed within $< < 1, 2, 3 >, < 1, 3 >, 1, 2 >,$ but that answer is said with soft conviction and some confusion. Hopefully someone with more mathematical prowess can help me. Thanks in advance.


    Schau das Video: Was ist eine Menge? - Mengenlehre Einführung Gehe auf u0026 werde #EinserSchüler (November 2021).