Artikel

8.4: Winkelhalbierende

8.4: Winkelhalbierende


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Wenn (measuredangle ABX equiv - measuredangle CBX), dann sagen wir, dass die Gerade ((BX)) (angle ABC) halbiert, oder die Gerade ((BX)) eine Winkelhalbierende ist von (Winkel ABC). Ist (gemessener Winkel ABX equivpi - gemessener Winkel CBX), dann heißt die Gerade ((BX)) die äußere Winkelhalbierende von (angle ABC).

Wenn (gemessener Winkel ABA' = pi); liegt also (B) zwischen (A) und (A'), dann ist die Winkelhalbierende von (angle ABC) die externe Winkelhalbierende von (angle A'BC) und umgekehrt.

Beachten Sie, dass die Winkelhalbierende und die externe Winkelhalbierende eindeutig durch den Winkel definiert sind.

Übung (PageIndex{1})

Zeigen Sie, dass für jeden Winkel seine Winkelhalbierende und externe Winkelhalbierende senkrecht sind.

Hinweis

Seien ((BX)) und ((BY)) die innere und die äußere Winkelhalbierende von (angle ABC). Dann

(2 cdot measuredangle XBY equiv 2 cdot measuredangle XBA + 2 cdot measuredangle ABY equiv measuredangle CBA + pi + 2 cdot measuredangle ABC equiv pi + measuredangle CBC = pi )

und damit das Ergebnis.

Die Winkelhalbierenden von (angle ABC), (angle BCA) und (angle CAB) eines nicht entarteten Dreiecks (ABC) heißen Winkelhalbierende des Dreiecks (ABC) an den Ecken (A, B) bzw. (C).

Lemma (PageIndex{1})

Sei ( riangle ABC) ein nicht entartetes Dreieck. Angenommen, die Winkelhalbierende im Scheitel (A) schneidet die Seite ([BC]) im Punkt (D). Dann

[dfrac{AB}{AC} = dfrac{DB}{DC}.]

Nachweisen

Sei (ell) eine Linie, die durch (C) verläuft und parallel zu ((AB)) ist. Beachten Sie, dass (ell parallel (AD)); einstellen

(E = ell cap (AD)).

Beachten Sie auch, dass (B) und (C) auf gegenüberliegenden Seiten von ((AD)) liegen. Daher gilt nach der transversalen Eigenschaft (Satz 7.3.1)

[measuredangle BAD = measuredangle CED.]

Außerdem sind die Winkel (ADB) und (EDC) vertikal; insbesondere nach Satz 2.5.1

(gemessener Winkel ADB = gemessener Winkel EDC.)

Nach der AA-Ähnlichkeitsbedingung ( riangle ABD sim riangle ECD). Bestimmtes,

[dfrac{AB}{EC} = dfrac{DB}{DC}.]

Da ((AD)) (angle BAC) halbiert, erhalten wir (measuredangle BAD = measuredangle DAC). Zusammen mit 8.4.2 folgt daraus (measuredangle CEA = measuredangle EAC). Nach Satz 4.3.1 ist ( riangle ACE) gleichschenklig; das ist,

(EC = AC.)

Zusammen mit 8.4.3 impliziert es 8.4.1.

Übung (PageIndex{2})

Formulieren und beweisen Sie ein Analogon von Lemma (PageIndex{1}) für die externe Winkelhalbierende.

Hinweis

Ist (E) der Schnittpunkt von ((BC)) mit der äußeren Winkelhalbierenden von (angle BAC), dann gilt (dfrac{AB}{AC} = dfrac{EB}{ EG}). Es kann in der gleichen Weise wie Lemma (PageIndex{1}) bewiesen werden.


Winkelhalbierendes Theorem: Beweise und gelöste Beispiele

Winkelhalbierendes Theorem ist einer der fundamentalen Sätze der Mathematik, insbesondere der Geometrie. Der Winkelhalbierende Satz besagt, dass eine Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite in zwei proportionale Segmente zu den anderen beiden Seiten des Dreiecks teilt.

Der Satz der Winkelhalbierenden gilt für alle Arten von Dreiecken, wie gleichseitige Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke und rechtwinklige Dreiecke usw.


Wie haben wir dieses Dreieck berechnet?

1. Eingabedaten eingegeben: Seite a, b und c.

2. Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der Längen seiner drei Seiten

3. Halbumfang des Dreiecks

Der Halbumfang des Dreiecks ist der halbe Umfang. Der Semiperimeter taucht häufig in Formeln für Dreiecke auf, die ihm einen eigenen Namen geben. Nach der Dreiecksungleichung ist die längste Seitenlänge eines Dreiecks kleiner als der Semiperimeter.

4. Die Dreiecksfläche mit der Formel von Heron

Die Reiherformel gibt die Fläche eines Dreiecks an, wenn die Länge aller drei Seiten bekannt ist. Es ist nicht erforderlich, zuerst Winkel oder andere Abstände im Dreieck zu berechnen. Die Formel von Heron funktioniert in allen Fällen und Arten von Dreiecken gleich gut.

5. Berechnen Sie die Höhen des Dreiecks aus seiner Fläche.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Höhe des Dreiecks zu ermitteln. Am einfachsten geht es von der Fläche und Basislänge. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus Länge und Höhe der Basis. Jede Seite des Dreiecks kann eine Basis sein, es gibt drei Basen und drei Höhen (Höhen). Die Dreieckshöhe ist das senkrechte Liniensegment von einem Scheitelpunkt zu einer Linie, die die Basis enthält.

6. Berechnung der Innenwinkel des Dreiecks nach einem Kosinussatz

Der Kosinussatz ist nützlich, um die Winkel eines Dreiecks zu bestimmen, wenn wir alle drei Seiten kennen. Die Kosinusregel, auch bekannt als Kosinussatz, bezieht alle drei Seiten eines Dreiecks mit einem Winkel eines Dreiecks in Beziehung. Der Kosinussatz ist die Extrapolation des Satzes des Pythagoras für jedes Dreieck. Der Satz des Pythagoras funktioniert nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes und kann daraus abgeleitet werden, da der Kosinus von 90° gleich 0 ist. Am besten findet man zuerst den Winkel gegenüber der längsten Seite. Mit dem Kosinussatz gibt es auch bei stumpfen Winkeln kein Problem wie beim Sinussatz, da die Kosinusfunktion für stumpfe Winkel negativ, für rechte Null und für spitze Winkel positiv ist. Wir verwenden auch den inversen Kosinus, den Arkuskosinus, um den Winkel aus dem Kosinuswert zu bestimmen.

7. Inradius

Ein Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der jede Seite tangiert. Ein Inkreiszentrum wird Incenter genannt und hat einen Radius namens Inradius. Alle Dreiecke haben einen Mittelpunkt, und dieser liegt immer innerhalb des Dreiecks. Die Mitte ist der Schnittpunkt der Dreiwinkelhalbierenden. Das Produkt aus Innenradius und Halbumfang (halber Umfang) eines Dreiecks ist seine Fläche.

8. Umkreisradius

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks geht, und der Umkreis eines Dreiecks ist der Radius des Umkreises des Dreiecks. Circumcenter (Zentrum des Umkreises) ist der Punkt, an dem sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden.

9. Berechnung der Mediane

Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich alle im Schwerpunkt des Dreiecks schneiden. Der Schwerpunkt teilt jeden Median im Verhältnis 2:1 in Teile, wobei der Schwerpunkt doppelt so nah am Mittelpunkt einer Seite liegt wie am gegenüberliegenden Scheitelpunkt. Wir verwenden den Satz von Apollonius, um die Länge eines Medians aus den Längen seiner Seiten zu berechnen.


Wie finde ich die Mittelsenkrechte?

Beispiel:
Finden wir die Winkelhalbierende Gleichung mit den Punkten P(3,4), Q(6,6).

Betrachten Sie die Koordinaten der Punkte P und Q als x1,y1 bzw. x2,y2. Wir müssen die Mittelpunkte der Linie PQ, die F ist, und die Steigung berechnen, um die Gleichung der Mittelsenkrechten zu finden.

Schritt 1:
Lassen Sie uns den Mittelpunkt der Linie berechnen, der der Durchschnitt der x- und y-Koordinaten ist.
Mittelpunkt einer Linie = x1+x2/2, y1+y2/2
Mittelpunkt von PQ = 3+6/2, 4+6/2 = (9/2, 10/2)

Schritt 2:
Als nächstes müssen wir die Steigung der Geraden PQ mit der Formel y2-y1/x2-x1 ermitteln. Bitte beachten Sie, dass die Steigung durch den Buchstaben "m" dargestellt wird.
Steigung von PQ (m) = 6-7/6-5 = -1 = 6-4 /6-3 = 2/3 = 0,4
Schritt 3:
Berechnen wir nun die Steigung der Mittelsenkrechten (AB) der Linie PQ. Die Steigung der Mittelsenkrechten = -1/Steigung der Geraden.
Daher für AB = -1/0,4 = -2,5
Schritt 4:
Sobald wir die Steigung wie oben gefunden haben, können wir die Gleichung mit der Steigung und den Mittelpunkten finden.
Finden wir die Gleichung des AB mit Mittelpunkten (9/2,10/2) und der Steigung -2,5. Formel zum Ermitteln der Gleichung: y-y1 = m(x-x1) y-10/2 = -2,5(x-9/2)

Durch Lösen der obigen Gleichung erhalten wir die Gleichung y-5 = -2,5 (x-9/2).


4.21: Winkelhalbierende in Dreiecken

Konstruktion und Eigenschaften von Winkelhalbierenden, die Winkel halbieren.

Winkelhalbierendes Theorem

Ein Winkelhalbierende schneidet einen Winkel genau in zwei Hälften. Eine wichtige Eigenschaft von Winkelhalbierenden ist, dass, wenn ein Punkt auf der Winkelhalbierenden liegt, der Punkt gleich weit von den Seiten des Winkels entfernt ist. Das nennt man Winkelhalbierendes Theorem.

Mit anderen Worten, wenn (overrightarrow) Halbiert (angle ABC), (overrightarrowperp FDoverline), und (overrightarrowperp overline) dann (FD=DG).

Abbildung (PageIndex<1>)

Auch die Umkehrung dieses Satzes gilt.

Winkelhalbierende Satz Umkehrung: Wenn ein Punkt im Inneren eines Winkels liegt und von den Seiten gleich weit entfernt ist, liegt er auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels.

Wenn wir Winkelhalbierende für die Winkel eines Dreiecks konstruieren, treffen sie sich in einem Punkt. Dieser Punkt heißt der Im zentrum des Dreiecks.

Abbildung (PageIndex<2>)

Was wäre, wenn Ihnen gesagt würde, dass (overrightarrow) ist die Winkelhalbierende von (angle FGH)? Wie würden Sie die Länge von (FJ) bei gegebener Länge von (HJ) finden?

Gibt es genügend Informationen, um festzustellen, ob (overrightarrow) ist die Winkelhalbierende von (angle CAD)? Warum oder warum nicht?

Abbildung (PageIndex<3>)

Nein, da (B) nicht unbedingt gleich weit von (overline) und (overline). Wir wissen nicht, ob die Winkel im Diagramm rechte Winkel sind.

Ein (108^)-Winkel wird halbiert. Welche Maße haben die resultierenden Winkel?

Wir wissen, dass halbieren bedeutet halbieren, sodass jeder der resultierenden Winkel die Hälfte von 108 beträgt. Das Maß jedes resultierenden Winkels ist (54^).

Liegt (Y) auf der Winkelhalbierenden von (angle XWZ)?

Abbildung (PageIndex<4>)

Wenn (Y) auf der Winkelhalbierenden liegt, dann müssen (XY=YZ) und beide Segmente senkrecht zu den Seiten des Winkels stehen. Aus den Markierungen wissen wir (overlineperp overrightarrow) und (overlineperp overrightarrow). Zweitens (XY=YZ=6). Also, ja, (Y) liegt auf der Winkelhalbierenden von (angle XWZ).

(overrightarrow) ist die Winkelhalbierende von (angle LMN). Finden Sie das Maß von (x).

Abbildung (PageIndex<5>)

(LO=ON) nach dem Satz zur Winkelhalbierenden.

(overrightarrow) ist die Winkelhalbierende von (angle CAD). Lösen Sie nach der fehlenden Variablen auf.

Abbildung (PageIndex<6>)

(CB=BD) nach dem Winkelhalbierenden-Theorem, sodass wir eine Gleichung für (x) aufstellen und lösen können.

Überprüfung

Für die Fragen 1-4 gilt (overrightarrow) ist die Winkelhalbierende von (angle CAD). Lösen Sie nach der fehlenden Variablen auf.

  1. Abbildung (PageIndex<7>)
  2. Abbildung (PageIndex<8>)
  3. Abbildung (PageIndex<9>)
  4. Abbildung (PageIndex<10>)

Gibt es genügend Informationen, um festzustellen, ob (overrightarrow) ist die Winkelhalbierende von angle CAD? Warum oder warum nicht?

  1. Abbildung (PageIndex<11>)
  2. Abbildung (PageIndex<12>)
  1. In welcher Art von Dreieck gehen alle Winkelhalbierenden durch Eckpunkte des Dreiecks?
  2. Wie nennt man die Winkelhalbierenden der Eckpunkte eines Quadrats?
  3. Zeichnen Sie die Winkelhalbierenden der Eckpunkte eines Quadrats ein. Wie viele Dreiecke hast du? Was sind das für Dreiecke?
  4. Füllen Sie die Lücken im Winkelhalbierenden Theorem Converse aus. Abbildung (PageIndex<13>)

Gegeben: (overlinecong overline), so dass (AD) und (DC) die kürzesten Abstände zu (overrightarrow) und (overrightarrow)


Einzelheiten

Wenn sich die Geraden schneiden, ist der Schnittpunkt

.

Die Gleichungen der Winkelhalbierenden erhält man durch Lösen von

.

Die Steigung der Winkelhalbierenden bezogen auf die Steigung der beiden Geraden und ist

.

Die Steigung der Senkrechten zur Winkelhalbierenden ist

.

Beachten Sie, dass .

Die Gleichung der Winkelhalbierenden in Punkt-Neigungs-Form lautet

und die Gleichung der Senkrechten auf die Winkelhalbierende im Schnittpunkt ist

.


Inhalt

Eine Liniensegmenthalbierende verläuft durch den Mittelpunkt des Segments. Besonders wichtig ist die Mittelsenkrechte eines Segments, die dem Namen nach rechtwinklig auf das Segment trifft. Die Mittelsenkrechte eines Segments hat auch die Eigenschaft, dass jeder seiner Punkte gleich weit von den Endpunkten des Segments entfernt ist. Daher bestehen Voronoi-Diagrammgrenzen aus Segmenten solcher Linien oder Ebenen.

In der klassischen Geometrie ist die Halbierung eine einfache Zirkel- und Linealkonstruktion, deren Möglichkeit von der Fähigkeit abhängt, Kreise mit gleichen Radien und unterschiedlichen Mittelpunkten zu zeichnen. Das Segment wird halbiert, indem man sich schneidende Kreise mit gleichem Radius zeichnet, deren Mittelpunkte die Endpunkte des Segments sind und so dass jeder Kreis durch einen Endpunkt geht. Die durch die Schnittpunkte der beiden Kreise bestimmte Gerade ist die Mittelsenkrechte des Segments, da sie das Segment in seiner Mitte schneidet. Diese Konstruktion wird in der Tat verwendet, wenn eine Linie senkrecht zu einer bestimmten Linie an einem bestimmten Punkt konstruiert wird: Zeichnen eines beliebigen Kreises, dessen Mittelpunkt dieser Punkt ist, schneidet er die Linie in zwei weiteren Punkten, und die zu konstruierende Senkrechte ist diejenige, die die Segment, das durch diese beiden Punkte definiert wird.

Der Satz von Brahmagupta besagt, dass, wenn ein zyklisches Viereck orthodiagonale ist (d. h. senkrechte Diagonalen hat), die Senkrechte zu einer Seite vom Schnittpunkt der Diagonalen immer die gegenüberliegende Seite halbiert.

Eine Winkelhalbierende teilt den Winkel mit gleichen Maßen in zwei Winkel. Ein Winkel hat nur eine Winkelhalbierende. Jeder Punkt einer Winkelhalbierenden ist von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt.

Das Innere oder innere Halbierung eines Winkels ist die Linie, Halblinie oder das Liniensegment, das einen Winkel von weniger als 180° in zwei gleiche Winkel teilt. Das Außen oder Außenhalbierende ist die Linie, die den ergänzenden Winkel (von 180° minus dem ursprünglichen Winkel), der durch eine Seite, die den ursprünglichen Winkel bildet, und die Verlängerung der anderen Seite gebildet wird, in zwei gleiche Winkel teilt. [1]

Um einen Winkel mit Lineal und Zirkel zu halbieren, zeichnet man einen Kreis, dessen Mittelpunkt der Scheitel ist. Der Kreis trifft den Winkel an zwei Punkten: einer an jedem Bein. Zeichnen Sie mit jedem dieser Punkte als Mittelpunkt zwei gleichgroße Kreise. Der Schnittpunkt der Kreise (zwei Punkte) bestimmt eine Linie, die die Winkelhalbierende ist.

Der Beweis der Korrektheit dieser Konstruktion ist ziemlich intuitiv und beruht auf der Symmetrie des Problems. Die Dreiteilung eines Winkels (drei gleiche Teile) ist mit Zirkel und Lineal allein nicht zu bewerkstelligen (dies wurde erstmals von Pierre Wantzel nachgewiesen).

Die inneren und äußeren Winkelhalbierenden sind senkrecht. Wird der Winkel durch die beiden algebraisch gegebenen Geraden gebildet als l 1 x + m 1 y + n 1 = 0 x+m_<1>y+n_<1>=0> und l 2 x + m 2 y + n 2 = 0 , x+m_<2>y+n_<2>=0,> dann sind die innere und äußere Winkelhalbierende durch die beiden Gleichungen [2] gegeben: p .fünfzehn

Dreieck Bearbeiten

Nebenläufigkeiten und Kollinearitäten Bearbeiten

Die Innenwinkelhalbierenden eines Dreiecks fallen in einem Punkt zusammen, der als Mittelpunkt des Dreiecks bezeichnet wird, wie im Diagramm rechts zu sehen ist.

Die Winkelhalbierenden zweier Außenwinkel und die Winkelhalbierende des anderen Innenwinkels sind gleichzeitig. [3] : S.149

Drei Schnittpunkte, jeder einer äußeren Winkelhalbierenden mit der gegenüberliegenden verlängerten Seite, sind kollinear (fallen auf derselben Linie). [3] : p. 149

Drei Schnittpunkte, zwei davon zwischen einer Innenwinkelhalbierenden und der gegenüberliegenden Seite und der dritte zwischen der anderen Außenwinkelhalbierenden und der gegenüberliegenden verlängerten Seite, sind kollinear. [3] : p. 149

Winkelhalbierendes Theorem Bearbeiten

Das Winkelhalbierende-Theorem befasst sich mit den relativen Längen der beiden Segmente, in die die Seite eines Dreiecks durch eine Linie geteilt wird, die den entgegengesetzten Winkel halbiert. Es setzt ihre relativen Längen mit den relativen Längen der anderen beiden Seiten des Dreiecks gleich.

Längen Bearbeiten

oder trigonometrisch, [4]

wo b und C sind die Seitenlängen gegenüber den Eckpunkten B und C und die Seite gegenüber A wird im Verhältnis geteilt b:C.

Wenn die inneren Winkelhalbierenden der Winkel A, B und C die Längen t a , t b , ,> und tc > , dann [5]

Keine zwei nicht-kongruenten Dreiecke teilen den gleichen Satz von drei inneren Winkelhalbierenden. [6] [7]

Ganzzahlige Dreiecke Bearbeiten

Viereck Bearbeiten

Die inneren Winkelhalbierenden eines konvexen Vierecks bilden entweder ein zyklisches Viereck (dh die vier Schnittpunkte benachbarter Winkelhalbieren sind konzyklisch), [8] oder sie sind gleichzeitig. Im letzteren Fall ist das Viereck ein tangentiales Viereck.

Raute Bearbeiten

Jede Diagonale einer Raute halbiert entgegengesetzte Winkel.

Extangentiales Viereck Bearbeiten

Der Exzenter eines extangentialen Vierecks liegt im Schnittpunkt von sechs Winkelhalbierenden. Dies sind die inneren Winkelhalbierenden an zwei gegenüberliegenden Scheitelwinkeln, die äußeren Winkelhalbierenden (ergänzende Winkelhalbierende) an den anderen beiden Scheitelwinkeln und die äußeren Winkelhalbierenden an den Winkeln, die dort gebildet werden, wo sich die Verlängerungen gegenüberliegender Seiten schneiden.

Parabel Bearbeiten

Die Tangente an eine Parabel an einem beliebigen Punkt halbiert den Winkel zwischen der Linie, die den Punkt mit dem Fokus verbindet, und der Linie vom Punkt und senkrecht zur Leitlinie.

Dreieck Bearbeiten

Mediane Bearbeiten

Jeder der drei Mediane eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das durch einen Scheitelpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite geht, also halbiert es diese Seite (allerdings nicht im Allgemeinen senkrecht). Die drei Mediane schneiden einander in einem Punkt, der als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet wird, der sein Massenmittelpunkt ist, wenn es eine gleichmäßige Dichte hat, also jede Linie durch den Schwerpunkt eines Dreiecks und einer seiner Scheitel die gegenüberliegende Seite halbiert. Der Schwerpunkt liegt doppelt so nah am Mittelpunkt einer Seite wie am gegenüberliegenden Scheitelpunkt.

Senkrechte Winkelhalbierende Bearbeiten

Die innere Mittelsenkrechte einer Seite eines Dreiecks ist das Segment, das vollständig auf und in das Dreieck fällt, der Linie, die diese Seite senkrecht halbiert. Die drei senkrechten Winkelhalbierenden der drei Seiten eines Dreiecks schneiden sich im Umkreismittelpunkt (dem Mittelpunkt des Kreises durch die drei Eckpunkte). Somit schneidet jede Linie durch den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks und senkrecht zu einer Seite diese Seite.

In einem spitzen Dreieck teilt der Umkreismittelpunkt die inneren Mittelsenkrechten der beiden kürzesten Seiten zu gleichen Teilen. In einem stumpfen Dreieck werden die senkrechten Winkelhalbierenden der beiden kürzesten Seiten (die über ihre gegenüberliegenden Dreiecksseiten zum Umkreismittelpunkt verlängert werden) zu gleichen Anteilen durch ihre jeweiligen sich schneidenden Dreiecksseiten geteilt. [9] : Folgerung 5 und 6

Viereck Bearbeiten

Die beiden Bimediane eines konvexen Vierecks sind die Liniensegmente, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbinden und somit jeweils zwei Seiten halbieren. Die beiden Bimediane und das Liniensegment, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, liegen an einem Punkt, der als "Scheitelschwerpunkt" bezeichnet wird, zusammen und werden alle durch diesen Punkt halbiert. [10] : S.125

Die vier "Höhenlagen" eines konvexen Vierecks sind die Senkrechten zu einer Seite durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, wodurch die letztere Seite halbiert wird. Wenn das Viereck zyklisch ist (in einen Kreis eingeschrieben), sind diese Höhenlagen gleichzeitig an einem gemeinsamen Punkt, der als "Antizentrum" bezeichnet wird, (alle treffen sich an) zusammen.

Der Satz von Brahmagupta besagt, dass, wenn ein zyklisches Viereck orthodiagonale ist (d. h. senkrechte Diagonalen hat), die Senkrechte zu einer Seite vom Schnittpunkt der Diagonalen immer die gegenüberliegende Seite halbiert.

Die Konstruktion der Mittelsenkrechten bildet ein Viereck aus den Mittelsenkrechten der Seiten eines anderen Vierecks.

Dreieck Bearbeiten

Es gibt unendlich viele Linien, die die Fläche eines Dreiecks halbieren. Drei von ihnen sind die Mediane des Dreiecks (die die Mittelpunkte der Seiten mit den gegenüberliegenden Scheitelpunkten verbinden), und diese liegen tatsächlich im Schwerpunkt des Dreiecks, sie sind die einzigen Flächenhalbierenden, die durch den Schwerpunkt gehen. Drei weitere Flächenhalbierende verlaufen parallel zu den Seiten des Dreiecks, wobei jede von ihnen die anderen beiden Seiten schneidet, um sie in Segmente mit den Proportionen 2 + 1 : 1 >+1:1> zu unterteilen. [11] Diese sechs Linien sind gleichzeitig drei gleichzeitig: Zusätzlich zu den drei Medianen, die gleichzeitig sind, ist jeder Median gleichzeitig mit zwei der seitenparallelen Flächenhalbierenden.

Die Einhüllende der Unendlichkeit der Flächenhalbierenden ist ein Deltamuskel (im weitesten Sinne definiert als eine Figur mit drei Scheitelpunkten, die durch Kurven verbunden sind, die konkav zum Äußeren des Deltamuskels sind, wodurch die inneren Punkte zu einer nicht konvexen Menge werden). [11] Die Scheitelpunkte des Deltamuskels befinden sich in den Mittelpunkten der Mediane, alle Punkte innerhalb des Deltamuskels liegen auf drei verschiedenen Flächenhalbierenden, während alle Punkte außerhalb davon auf nur einer liegen. [1] Die Seiten des Deltamuskels sind Hyperbelbögen, die asymptotisch zu den verlängerten Seiten des Dreiecks sind. [11] Das Verhältnis der Fläche der Einhüllenden von Flächenhalbierenden zur Fläche des Dreiecks ist für alle Dreiecke invariant und beträgt 3 4 log e ⁡ ( 2 ) − 1 2 , < 4>>log _(2)-< frac <1><2>>,> d. h. 0,019860. oder weniger als 2%.

Ein Spalter eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das den Umfang des Dreiecks halbiert und einen Endpunkt in der Mitte einer der drei Seiten hat. Die drei Hackmesser stimmen im Zentrum des Spieker-Kreises, dem Inkreis des medialen Dreiecks, überein (alle gehen durch). Die Hackmesser sind parallel zu den Winkelhalbierenden.

Ein Teiler eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Endpunkt an einem der drei Eckpunkte des Dreiecks hat und den Umfang halbiert. Die drei Teiler stimmen am Nagelpunkt des Dreiecks überein.

Jede Linie durch ein Dreieck, die sowohl die Fläche des Dreiecks als auch seinen Umfang in zwei Hälften teilt, geht durch den Mittelpunkt des Dreiecks (den Mittelpunkt seines Innenkreises). Es gibt entweder eins, zwei oder drei davon für jedes gegebene Dreieck. Eine Linie durch den Mittelpunkt halbiert einen Bereich oder Umfang genau dann, wenn er auch den anderen halbiert. [12]

Parallelogramm bearbeiten

Jede Linie durch den Mittelpunkt eines Parallelogramms halbiert die Fläche [13] und den Umfang.

Kreis und Ellipse Bearbeiten

Alle Flächenhalbierenden und Umfangshalbierenden eines Kreises oder einer anderen Ellipse gehen durch den Mittelpunkt, und alle Sehnen durch den Mittelpunkt halbieren die Fläche und den Umfang. Bei einem Kreis sind dies die Durchmesser des Kreises.

Parallelogramm bearbeiten

Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich.

Viereck Bearbeiten

Wenn ein Liniensegment, das die Diagonalen eines Vierecks verbindet, beide Diagonalen halbiert, dann wird dieses Liniensegment (die Newton-Linie) selbst durch den Scheitelpunkt halbiert.

Eine Ebene, die zwei gegenüberliegende Kanten eines Tetraeders in einem bestimmten Verhältnis teilt, teilt auch das Volumen des Tetraeders im gleichen Verhältnis. Somit halbiert jede Ebene, die einen Bimedian (Verbinder der Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) eines Tetraeders enthält, das Volumen des Tetraeders [14] [15] : S.89–90

  1. ^Weisstein, Eric W. "Außenwinkelhalbierende." Von MathWorld – Eine Web-Ressource von Wolfram.
  2. ^ Spanien, Barry. Analytische Kegelschnitte, Dover Publications, 2007 (Orig. 1957).
  3. ^ einbCde Johnson, Roger A., Erweiterte euklidische Geometrie Ge, Dover Publ., 2007 (Orig. 1929).
  4. ^ Oxman, Viktor. „Über die Existenz von Dreiecken mit gegebener Länge einer Seite und zweier benachbarter Winkelhalbieren“, Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  5. ^ Simons, Stuart. Mathematische Zeitschrift 93, März 2009, 115-116.
  6. ^ Mironescu, P. und Panaitopol, L., "Die Existenz eines Dreiecks mit vorgeschriebenen Winkelhalbierenden", Amerikanische mathematische Monatszeitschrift 101 (1994): 58–60.
  7. ^Oxman, Victor, "Ein rein geometrischer Beweis für die Eindeutigkeit eines Dreiecks mit vorgeschriebenen Winkelhalbierenden", Forum Geometricorum 8 (2008): 197–200.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Viereck." Von MathWorld – Eine Web-Ressource von Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
  9. ^ einb Mitchell, Douglas W. (2013), "Senkrechte Winkelhalbierende von Dreiecksseiten", Forum Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf
  10. ^ Altshiller-Court, Nathan, Hochschulgeometrie, Dover Publ., 2007.
  11. ^ einbC Dunn, J. A., und Pretty, J. E., „Ein Dreieck halbieren“, Mathematische Zeitschrift 56, Mai 1972, 105-108.
  12. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Dreieck-Equalizer", Mathematik-Magazin 83, April 2010, S. 141-146.
  13. ^ Dunn, J. A. und J. E. Pretty, "Halving a Triangle", Mathematische Zeitschrift 56, Mai 1972, p. 105.
  14. ^ Weisstein, Eric W. "Tetraeder." Von MathWorld – Eine Web-Ressource von Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
  15. ^ Altshiller-Court, N. "Der Tetraeder." CH. 4 Zoll Moderne reine Festkörpergeometrie: Chelsea, 1979.
    beim Durchtrennen Mit interaktivem Applet Mit interaktivem Applet Mit interaktivem Applet und Halbieren einer Linie Mit Zirkel und Lineal
  • Weisstein, Eric W. "Linienhalbierende". MathWorld.

Dieser Artikel enthält Material von Angle bisector auf PlanetMath, das unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung/Weitergabe unter gleichen Bedingungen lizenziert ist.


AD ist die Winkelhalbierende von ∠EAB. Nach x auflösen. ANTWORTEN: A)

Der Winkelhalbierende Satz besagt, dass eine Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite in zwei Segmente teilt, die proportional zu den anderen beiden Seiten des Dreiecks sind.

Wir haben ein Dreieck erhalten und sollen nach x mit dem Winkelhalbierenden-Theorem auflösen.

Das Theorem über die Winkelhalbierende besagt, dass, wenn ein Strahl einen Winkel eines Dreiecks halbiert, die gegenüberliegende Seite des Dreiecks in Segmente unterteilt wird, die proportional zu den anderen beiden Seiten sind.

Mit dem Winkelhalbierenden-Theorem können wir eine Gleichung wie folgt aufstellen:

Lassen Sie uns nach x auflösen, indem wir beide Seiten unserer Gleichung mit 5 multiplizieren.

Ziehen wir 1 von beiden Seiten unserer Gleichung ab.

Wenn wir beide Seiten unserer Gleichung durch 4 teilen, erhalten wir


Wir hoffen, es hat Ihnen Spaß gemacht, den Satz der Dreieckswinkelhalbierenden mit den Beispielen und Übungsfragen zu lernen. Jetzt werden Sie in der Lage sein, Probleme des Satzes der Winkelhalbierenden des Dreiecks leicht zu lösen.

Unser Team von Mathematikexperten bei Cuemath hat es sich zum Ziel gesetzt, unseren Lieblingslesern, den Schülern, das Lernen zum Vergnügen zu machen!

Durch einen interaktiven und ansprechenden Lern-Lehr-Lern-Ansatz erkunden die Lehrer alle Blickwinkel eines Themas.

Seien es Arbeitsblätter, Online-Kurse, Zweifelssitzungen oder jede andere Form von Beziehung, es ist das logische Denken und der intelligente Lernansatz, an den wir bei Cuemath glauben.


Gelöste Beispiele für Winkelhalbierende

Beispiel 1. In der Abbildung unten ist BD die Halbierende von ∠ABC und BE halbiert ∠ABD. Bestimmen Sie das Maß von ∠DBE, wenn ∠ABC=80° gegeben ist.

Es ist ∠ABC=80° gegeben.
∠ABD = 1/2 × ∠ABC = 1/2 × 80° = 40° (BD ist eine Winkelhalbierende, die ∠ABC in zwei gleiche Teile halbiert)
Nun, ∠DBE = 1/2 × ∠ABD = 12 × 40° = 20° (BE ist eine Winkelhalbierende und halbiert ∠ABD in zwei gleiche Teile)
∴ ∠DBE = 20°

Beispiel 2: In der Abbildung ist Ray OD die Winkelhalbierende. x finden.

Um x zu finden, verwenden wir die Eigenschaft: Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt.
Der Punkt D, der auf der Winkelhalbierenden OD liegt, ist also gleich weit von den Seiten OB und ON ⇒ DB = DN ⇒ 3x − 2 = 10
⇒ 3x = 2 + 10 ⇒ 3x = 12. ∴ x = 4

Beispiel 3: Wenn QS die Winkelhalbierende von ∠PQR ist, finde x.

Da QS ∠PQR halbiert, erhalten wir nach dem Winkelhalbierendensatz QP/QR = PS/RS ⇒ 18/24 = 12/x ⇒ x = (12 × 24)/18
⇒ (2 × 24)/3 = 2 × 8 = 16. ∴ x = 16


Schau das Video: Winkelhalbierende konstruieren (Kann 2022).