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11.5: Positive Operatoren - Mathematik


Denken Sie daran, dass selbstadjungierte Operatoren das Operatoranalogon für reelle Zahlen sind. Definieren wir nun den Operator analog für positive (oder genauer nicht negative) reelle Zahlen.

Definition 11.5.1. Ein Operator (Tin mathcal{L}(V)) heißt positiv (bezeichnet mit (Tge 0)) falls (T=T^*) und (inner{Tv}{v} ge 0) für alle (vin V).

Ist (V) ein komplexer Vektorraum, so folgt aus der Bedingung (inner{Tv}{v}ge 0) die Bedingung der Selbstadjungation und kann daher entfallen.

Beispiel 11.5.2. Beachte, dass für alle (Tinmathcal{L}(V)) (T^*Tge 0) gilt, da (T^*T) selbstadjungiert ist und ( inner{T^*Tv}{v}=inner{Tv}{Tv} ge 0).

Beispiel 11.5.3. Sei (Usubset V) ein Unterraum von (V) und (P_U) die orthogonale Projektion auf (U).

Dann ist (P_Uge 0). Um dies zu sehen, schreiben Sie (V=U oplus U^ot) und (v=u_v+u_v^ot) für jedes (vin V), wobei (u_v in U ) und (u_v^otin U^ot). Dann (inner{P_U v}{w} = inner{u_v}{u_w+u_w^ot} = inner{u_v}{u_w} = inner{u_v+u_v^ot}{u_w} = inner{v}{P_U w}), so dass (P_U^*=P_U). Wenn wir (v=w) in die obige Gleichungskette setzen, erhalten wir (inner{P_U v}{v}=inner{u_v}{u_v} ge 0), für alle (v in V). Daher (P_Uge 0).

Ist (lambda) Eigenwert eines positiven Operators (T) und (vin V) ein zugehöriger Eigenvektor, dann gilt (inner{Tv}{v} = inner{lambda v}{v} = lambda inner{v}{v} ge 0). Da (inner{v}{v}ge 0) für alle Vektoren (vin V) gilt, folgt (lambdage 0). Diese Tatsache kann verwendet werden, um (sqrt{T}) zu definieren, indem man

egin{Gleichung*}
sqrt{T} e_i = sqrt{lambda_i} e_i,
end{gleichung*}

wobei (lambda_i) die Eigenwerte von (T) bezüglich der Orthonormalbasis (e=(e_1,ldots,e_n)) sind. Wir wissen, dass diese existieren durch die Spektralsatz.


Eine Einladung zur Operator-Theorie

Dieses Buch bietet eine umfassende und leserfreundliche Darstellung der Theorie der linearen Operatoren auf Banach-Räumen und Banach-Gittern. Abramovich und Aliprantis halten eine einzigartige Präsentation, die viele neue Entwicklungen in der Operatortheorie beinhaltet und auch Ergebnisse zusammenfasst, die über die umfangreiche Literatur verteilt sind. Beispielsweise werden invariante Unterräume positiver Operatoren und die Daugavet-Gleichung erstmals in Monographieform präsentiert.

Die Autoren halten die Diskussion in sich geschlossen und verwenden Übungen, um dieses Ziel zu erreichen. Das Buch enthält über 600 Übungen, die den Schülern helfen, den im Text entwickelten Stoff zu meistern. Die Übungen haben unterschiedliche Schwierigkeitsgrade und spielen eine wichtige und nützliche Rolle in der Exposition. Sie helfen dabei, die Beweise für die wichtigsten Ergebnisse einiger technischer Details freizugeben, bieten den Schülern jedoch genaue und vollständige Darstellungen darüber, wie solche Details ausgearbeitet werden sollten. Die Übungen enthalten auch eine beträchtliche Menge an zusätzlichem Material, das viele bekannte Ergebnisse enthält, deren Beweise anderswo nicht ohne weiteres verfügbar sind.

Der Begleitband Problems in Operator Theory , ebenfalls von Abramovich und Aliprantis, ist beim AMS als Band 51 in der Reihe Graduate Studies in Mathematics erhältlich und enthält vollständige Lösungen zu allen Übungen in An Invitation to Operator Theory .

Die Lösungen demonstrieren explizit technische Details in den Beweisen vieler Ergebnisse der Operatortheorie und bieten dem Leser eine strenge und vollständige Darstellung dieser Details. Schließlich bietet das Buch eine beträchtliche Menge an zusätzlichem Material und Weiterentwicklungen. Durch das Hinzufügen von zusätzlichem Material zu vielen Übungen ist es den Autoren gelungen, die Präsentation so in sich geschlossen wie möglich zu halten. Der beste Weg, Mathematik zu lernen, ist Mathematik, und das Buch Problems in Operator Theory wird dabei helfen, dieses Ziel zu erreichen.

Voraussetzung für jedes Buch sind die Standard-Einführungskurse in Real Analysis, Allgemeine Topologie, Maßtheorie und Funktionalanalysis. Eine Einladung zur Operatortheorie eignet sich für Aufbau- oder Vertiefungskurse in Operatortheorie, Realanalyse, Integrationstheorie, Maßtheorie, Funktionstheorie und Funktionsanalyse. Probleme in der Operatortheorie ist ein sehr nützlicher ergänzender Text in den oben genannten Bereichen. Beide Bücher werden für Forscher und Studenten der Mathematik sowie der Physik, der Wirtschaftswissenschaften, der Finanzwirtschaft, der Ingenieurwissenschaften und anderer verwandter Gebiete von großem Interesse sein und ein unverzichtbares Nachschlagewerk darstellen.

Leserschaft

Doktoranden und Forscher mit Interesse an Mathematik, Physik, Wirtschaft, Finanzen, Ingenieurwesen und anderen verwandten Bereichen.

Bewertungen & Vermerke

Das Buch ist eine gute Einführung in diesen speziellen Teil der Operatortheorie &hellip Neben der Materialauswahl und der guten Schreibweise des Buches, wie man es normalerweise von diesen Autoren erwartet &hellip, gibt es zwei Besonderheiten, die dieses Buch von anderen unterscheiden. Das erste ist die große Sorgfalt, die die Autoren auf die korrekte Zuordnung der Originalergebnisse legen &hellip und das zweite sind die enthaltenen Übungen &hellip es gibt über 600 Übungen &hellip Die Autoren gehen bei der Zuordnung dieser Übungen genauso sorgfältig vor wie bei den ergibt den Textkörper &hellip Einen besseren Text als diesen kann man sich kaum wünschen.


Die vier grundlegenden mathematischen Operationen

--Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division -- finden sogar in den fortschrittlichsten mathematischen Theorien Anwendung. Daher ist deren Beherrschung einer der Schlüssel zum besseren Verständnis der Mathematik und insbesondere der Algebra. Elektronische Taschenrechner haben die Durchführung dieser (und anderer) Operationen vereinfacht, aber diese Geräte können auch eine Abhängigkeit erzeugen, die das Verständnis der Mathematik ziemlich schwierig macht. Taschenrechner können ein praktisches Werkzeug sein, um Antworten zu überprüfen, aber wenn Sie sich zu sehr darauf verlassen, können Sie sich der Art von rigorosen mentalen Übungen entziehen, die Ihnen nicht nur helfen, Mathe zu machen, sondern auch vollständig zu verstehen, was Sie tun.

Addition und Subtraktion sind zwei komplementäre Operationen – wir können die Subtraktion tatsächlich als Addition definieren. Addition ist einfach die Kombination verschiedener Mengen ähnlicher Entitäten (und wir müssen das Wort betonen mögen). Wenn wir also einen Satz von vier Quadraten zu einem anderen Satz von fünf Quadraten hinzufügen, erhalten wir insgesamt neun Quadrate. (Oder, wenn Sie es vorziehen, ersetzen Sie "Quadrate" durch alles, was Sie möchten - Hunde, Bananen, Menschen, Steine ​​oder irgendetwas anderes.)

Das obige Diagramm ist eine Illustration des Zugabeprozesses. Beachten Sie, dass das Pluszeichen (+) die Operation angibt, die an den beiden ausgeführt wird Begriffe. In diesem Fall sind die Summanden vier Quadrate und fünf Quadrate. Das Gleichheitszeichen (=) zeigt an, dass das, was sich links davon befindet und was rechts davon äquivalent (oder gleich) ist. Auf der rechten Seite ist die Summe, was das Ergebnis der Addition der Summanden ist. Natürlich wäre es sehr ärgerlich (und in einigen Fällen unmöglich), jedes Mal Bilder zu zeichnen, wenn wir eine Ergänzung darstellen wollten. Anstatt beispielsweise über eine bestimmte Anzahl von Quadraten, Äpfeln, Personen, Zoll oder Dollar zu sprechen, können wir uns einfach mit den Zahlen befassen.

Beachten Sie außerdem, dass die Reihenfolge, in der wir die Quadrate hinzufügen, keinen Unterschied macht. Ob wir vier Quadrate zu fünf Quadraten addieren oder umgekehrt, das Ergebnis sind immer neun Quadrate.

Im mathematischen Sprachgebrauch ist die Addition kommutativ wir können zwei Summanden in beliebiger Reihenfolge addieren und erhalten immer das gleiche Ergebnis. Nach unserem Beispiel,

Subtraktion ist das Gegenteil von Addition. Anstatt zwei Mengen (Zahlen) zu addieren, entfernen wir eine Menge aus einer anderen. Wenn wir also neun Quadrate haben und fünf wegnehmen (subtrahieren), bleiben uns vier Quadrate. Verwenden Sie nur die Zahlen, wobei das Minuszeichen (–) die Subtraktionsoperation darstellt,

Hier sind 9 und 5 die Terme der Operation und 4 ist der Unterschied. Im Gegensatz zur Addition ist die Subtraktion nicht kommutativ. Das heißt, 9 – 5 und 5 – 9 sind nicht das gleiche - tatsächlich liefern sie ganz unterschiedliche Ergebnisse! (Das Symbol ≠ unten bedeutet einfach "ist nicht gleich".)

Die Addition (und jede andere der Grundoperationen) kann das Zählen von Zahlen (1, 2, 3, 4, 5 usw.), die Zahl Null (0) und jede Zahl dazwischen (Bruchwerte wie z , beispielsweise). Außerdem können wir begegnen Negativ Zahlen, das sind Mengen, die kleiner als Null sind. Wenn wir uns positive Zahlen als Mengen von etwas vorstellen, das wir besitzen (sagen wir zum Beispiel, dass wir 10 Orangen haben), dann wäre eine negative Zahl eine Menge von etwas, das wir schulden (wenn wir jemandem 10 Orangen schulden, dann könnten wir sagen wir, dass wir minus 10 Orangen haben). Negative Zahlen werden normalerweise mit einem Minuszeichen (–) ausgedrückt, sodass negative 10 als -10 geschrieben werden können. Die Verwendung des Minuszeichens ist kein Zufall – die Subtraktion ist nichts anderes als eine Addition mit einer negativen Zahl! Stellen Sie sich vor, Sie besitzen neun Äpfel (positiv neun), aber Sie schulden einem Freund vier Äpfel (negative vier). Sie nehmen also vier Äpfel von den neun, die Sie haben, und lassen fünf übrig.

Multiplikation und Division

Nehmen wir an, wir möchten eine bestimmte Zahl, z. B. sechs, mehrmals zu sich selbst hinzufügen. Beispielsweise möchte ein Arbeiter in einer Fabrik möglicherweise die Anzahl der in mehreren Kartons gelieferten Teile zählen. Jede Box enthält sechs Teile und es gibt insgesamt fünf Boxen. Um herauszufinden, wie viele Teile er hat, muss der Arbeiter die Zahl sechs fünfmal zu sich selbst addieren.

Wir können die Summe einfach finden, indem wir die Addition mehrmals durchführen. Eine Abkürzung ist jedoch die Multiplikation. Stellen Sie sich die Teile in jedem der fünf Kästchen in Reihen an, wie unten gezeigt (wir verwenden ein Quadrat, um ein Teil darzustellen).

Jede Reihe oben stellt eine Box dar, jede Reihe besteht aus sechs Teilen. Wir haben insgesamt fünf Reihen. Anstatt also fünf Additionen von sechs durchzuführen, multiplizieren wir einfach sechs mit fünf, um insgesamt 30 zu erhalten. Die Multiplikation wird normalerweise durch ein repräsentiert, obwohl manchmal stattdessen ein · verwendet wird. Die beiden Zahlen, die multipliziert werden, heißen Faktoren, und das Ergebnis heißt Produkt.

Wie die Addition ist auch die Multiplikation kommutativ. Stellen Sie sich vor, Sie drehen die oben gezeigte Anordnung der Quadrate um, sodass es anstelle von fünf Reihen mit jeweils sechs Quadraten sechs Reihen mit jeweils fünf Quadraten gibt. Wir haben die Gesamtzahl der Quadrate nicht geändert, aber nach der von uns verwendeten Logik können wir sagen, dass die Gesamtzahl der Quadrate jetzt sechs mal (oder mal) fünf beträgt.

Die Multiplikation negativer Zahlen bringt einige zusätzliche Feinheiten mit sich. Nehmen wir an, jemand schuldet einem Freund in gewisser Weise fünf Äpfel, er hat dann 𔃃 Äpfel. Wir können diese Situation auch so betrachten, dass diese Person ihrem Freund einen fünffachen Apfel schuldet, was 𔂿 multipliziert mit 5 ist. Wir wissen bereits, dass er 𔃃 Äpfel hat, also muss das Produkt von 𔂿 und 5 sein 𔃃.

Wenn also ein Faktor positiv und der andere negativ ist, ist ihr Produkt negativ. Was ist mit dem Produkt zweier negativer Zahlen? Wir können dies als "Negation einer Negation" oder als doppelt negativ ansehen - das Ergebnis ist eine positive Zahl. (Stellen Sie sich vor, Sie schulden einem Freund eine negative Anzahl von Äpfeln – das wäre dasselbe, als hätten Sie diese Äpfel überhaupt!)

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, der oben erwähnte Fabrikarbeiter hat 30 Teile und möchte sie auf fünf Kartons verteilen. Er muss 30 durch 5 teilen. Dieser Vorgang wird mit dem Divisionssymbol () angezeigt.

Mit anderen Worten, unter den 30 Teilen können wir 5 Teile insgesamt 6-mal zählen. (Anders ausgedrückt: 5 geht sechsmal in 30.) Die geteilte Zahl (30 in diesem Fall) wird als bezeichnet Dividende, die Zahl, durch die es geteilt wird (in diesem Fall 5), heißt Divisor, und das Ergebnis heißt Quotient. Denken Sie daran, dass wir das folgende Produkt geschrieben haben:

Beachten Sie also, dass der Quotient gleich dem anderen Faktor ist, wenn das Produkt zweier Faktoren durch einen der Faktoren geteilt wird.

Die Division ist im Gegensatz zur Multiplikation nicht kommutativ.

Die Regeln für die Division negativer Zahlen sind die gleichen wie für die Multiplikation: Wenn Dividende und Divisor beide positiv oder beide negativ sind, ist der Quotient positiv, und wenn einer positiv und der andere negativ ist, ist der Quotient negativ. Die folgenden Übungsaufgaben geben Ihnen die Möglichkeit, einige der in diesem Artikel besprochenen Konzepte zu üben.

Übungsproblem: Bestimmen Sie für jedes Paar von Ausdrücken, ob sie gleich sind.

ein. 3 + (𔃂) und (𔃂) + 3 b. 4 2 und 2 4 c. 3 – 1 und (𔂿) + 3

Lösung: Jedes obige Paar von Ausdrücken ist gleich. Schauen wir uns an, warum dies so ist. Denken Sie bei Teil a daran, dass die Addition kommutativ ist. Daher spielt es keine Rolle, welche Reihenfolge wir für die Terme verwenden, unabhängig davon, ob die Zahlen negativ oder positiv sind. Die gleiche Argumentation gilt für Teil b: Multiplikation ist kommutativ. In Teil c sind die beiden auch gleich, weil die Subtraktion gleich der Addition eines Negativen ist:

Außerdem ist die Addition kommutativ:

Trotzdem ist Vorsicht geboten, denn 3 – 1 ist nicht gleich 1 – 3!

Übungsproblem: Berechnen Sie jeden der folgenden Punkte.

Lösung: Notieren Sie sich in jedem Fall das Vorzeichen der Bedingungen, Faktoren, Dividenden und Teiler der Operationen und befolgen Sie die zuvor dargelegten Regeln. Die Teile a und b sind einfach.

Wenn Sie sich beim Dividieren nicht an die Vorzeichenregeln erinnern können, denken Sie daran, dass das Produkt aus Quotient und Divisor der Dividende ist. (In diesem Fall ist das Produkt von 𔃁 und 𔃅 21.)

Sie können Teil d auch mit Addition umschreiben: (𔃄) – (3) = (𔃄) + (𔃁). Der Rest der Teile folgt den bereits besprochenen Grundregeln oder den Strategien, die wir für dieses Problem überprüft haben.


Acu, A.M., Raşa, I.: Neue Abschätzungen für die Differenzen positiver linearer Operatoren. Nummer. Algorithmen 73, 775–789 (2016)

Agratini, O.: Eigenschaften diskreter nicht-multiplikativer Operatoren. Anal. Mathematik. Phys. (2017). https://doi.org/10.1007/s13324-017-0186-4

DeVore, R.A., Lorentz, G.G.: Konstruktive Approximation. Springer, Berlin (1993)

Gonska, H., Pitul, P., Raşa, I.: Zur Peano-Form des Taylor-Rests, dem Satz von Voronovskaja und dem Kommutator positiver linearer Operatoren. In: Agratini, O., Blaga, P. (Hrsg.) Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis and Approximation Theory, Cluj-Napoca, 2006, S. 55–80. Klausenburg-Napoca, Casa Cartii de Ştiinta (2006)

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Mazhar, S.M., Totik, V.: Approximation durch modifizierte Szász-Operatoren. Acta Sci. Mathematik. 49, 257–269 (1985)

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Szász, O.: Verallgemeinerung der S. Bernsteinschen Polynome auf das unendliche Intervall. J. Res. Natl. Bur. Stand. 45, 239–245 (1950)


Positive Operatoren, Rieszräume und Anwendungen

Es ist ein Workshop geplant, um eine Gruppe von Forschern in den Bereichen Positive Operatoren, Riesz-Räume (oder allgemeiner geordnete Vektorräume) und deren Anwendungen in Wirtschaft und Finanzen zwischen der University of the Free State, der University of Fort Hare und der University of Johannesburg aufzubauen , Universität Limpopo, Sefako Makgatho Universität und Universität Pretoria. Rekrutierung und Ausbildung von Absolventen und Teilnahme am jährlichen MASAMU-Forschungsnetzwerk in Zusammenarbeit mit der Auburn University in den USA und der Southern African Mathematical Science Association (SAMSA).

Die Theorie der Positivität in der modernen Analyse wurde in den 70er Jahren des 20. Jahrhunderts hauptsächlich von Zaanen mit seinen Mitarbeitern, aber auch von russischen und polnischen Schulen entwickelt. Dies führte zur Entwicklung der Riesz-Raum-(Vektorgitter-)Theorie, und bald darauf wurden die Anwendungen der Positivitätstheorie in der Spektraltheorie positiver Operatoren und in der Ökonomie gefunden. 1990 veranstalteten Aliprantis und sein Team von Mitarbeitern eine Mini-Konferenz über positive Operatoren, Riesz-Räume und ihre Anwendungen und luden Riesz-Weltraumtheoretiker und Ökonomen, die an Gleichgewichtsproblemen arbeiten, zum Gedanken- und Erfahrungsaustausch ein. Danach wurden viele Entdeckungen gemacht, die zur Veröffentlichung mehrerer Artikel und Bücher in diesen Bereichen führten. Einige bahnbrechende Bücher über Riesz-Räume mit Anwendungen in der Wirtschaftswissenschaft wurden von Aliprantis und seinen Mitarbeitern geschrieben, insbesondere das erweiterte Buch über lokal feste Rieszräume und Anwendungen in der Wirtschaftswissenschaft (2003). In den 2000er Jahren wurden Anwendungen von Riesz-Räumen auf stochastische Prozesse hauptsächlich von C.C.A. Labuschagne und seinem Forscherteam sowie von Troitsky und anderen. Labuschagne und seine Doktoranden entwickelten eine Idee zu stochastischen Prozessen in Riesz-Räumen, die neue und mehr Informationen über die Martingal-Konvergenz in Bochner-Räumen lieferte. Kürzlich wurden Anwendungen von Riesz-Räumen in asymmetrisch normierten Gittern gegeben und einige Fortschritte in dieser Richtung erzielt, insbesondere hinsichtlich des Begriffs der Kompaktheit in solchen Räumen. Die Hauptmotivation beim Studium dieser kommt aus ihrer Anwendung auf die theoretische Informatik. Die wichtigste Referenz zu den jüngsten Entwicklungen in diesem Bereich ist das Buch Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces (2013) von S. Cobzas.

Unser Ziel ist es, eine Gruppe von Forschern in den Bereichen Positive Operatoren, Rieszräume (oder allgemeiner geordnete Vektorräume) und deren Anwendungen in Wirtschaft und Finanzen zwischen der University of the Free State, der University of Fort Hare, der University of Johannesburg, Universität Limpopo, Sefako Makgatho Universität und Universität Pretoria. Rekrutierung und Ausbildung von Absolventen und Teilnahme am jährlichen MASAMU-Forschungsnetzwerk in Zusammenarbeit mit der Auburn University in den USA und der Southern African Mathematical Science Association (SAMSA).

Der Schwerpunkt liegt auf der Entwicklung und Erweiterung der Ergebnisse in Riesz-Räumen auf allgemeinere geordnete Vektorräume,

  1. Die Untersuchung von Bändern in geordneten Vektorräumen, die nicht unbedingt Rieszräume sind.
  2. Das Studium von Kegeln, Kegelbasen und ihren Anwendungen bei der Charakterisierung von Reflexivitäts- und Gleichgewichtsproblemen in der Ökonomie.
  3. Entwicklung von maßlosen Martingalen in Rieszräumen.
  4. Asymmetrische Normtheorie auf normierten Rieszräumen.
  5. Studium der Nutzenfunktionen in geordneten Vektorräumen.
  6. Fixpunkttheorie auf Riesz-Räumen (oder einem geordneten Vektorraum) und auf asymmetrischer Einstellung.
  7. Anwendungen von Riesz-Räumen in der Spektraltheorie positiver Operatoren.

Folgende Aktivitäten werden verfolgt,

  1. Organisieren Sie mindestens einen Mini-Workshop pro Jahr an der University of Pretoria, Campus Hatfield.
  2. Persönliches Forschungstreffen/Diskussion/Seminar zwischen den Mitgliedern innerhalb der Reichweite.
  3. Skype- oder Online-Forschungstreffen mit Mitgliedern, deren Universitäten vom Rest der Gruppe entfernt sind.
  4. Nehmen Sie an der Positivity Konferenz, der Topology, Algebra, Analysis and Geometry (TAAG) Konferenz, der Southern African Mathematical Science Association (SAMSA) Konferenz, der South African Mathematical Society, Topology and its application Konferenz teil.

Die Fachbereiche Mathematik, Informatik und Wirtschaftswissenschaften der folgenden Universitäten sind unsere Partner

  1. Babes Bolyai Universität, Cluj, Rumänien
  2. Öffentliche Universität Navarra, Pamplona, ​​Spanien
  3. Universität der Balearen, Palma de Mallorca, Spanien
  4. Universität Valencia, Valencia, Spanien
  5. Auburn-Universität, USA.
  1. Dr. Abdullah Aydin, The Department of Mathematics, Mus Alparslan University, Mus, Türkei, a) Multiplikative Konvergenz auf Riesz-Räumen
    b) Ordnungskonvergenz in f-Algebren.
  2. Prof. Nazife Erkusun, Fakultät für Mathematik, Hacettepe University, Ankara, Türkei
    a) Über ergodische Eigenschaften von Operatornetzen auf Von-Neumann-Algebren.
    b) Unbeschränkte p-Konvergenz in normierten Riesz-Räumen.
  3. Prof. Jacek Banasiak, Institut für Mathematik und Angewandte Mathematik, Universität Pretoria.
    a) Banach-Gitter und Anwendungen.
  4. Dr. Mokhwetha Mabula, Fakultät für Mathematik und Angewandte Mathematik, Universität Pretoria.
    a) Ordnungskonvergenz in Riesz-Räumen und ordnungsstetige Operatoren.
  5. Miss Queen Mabe, Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, Universität Johannesburg
    a) Rieszräume und Gleichgewichtsgleichungen.
  1. Prof. Stefan Cobzas, Fakultät für Mathematik und Informatik, Babes Bolyai University, Rumänien
  2. Prof. Geraldo De Souza, Fakultät für Mathematik und Statistik, Auburn University, Vereinigte Staaten von Amerika.
  3. Prof. Oscar Valero, Fakultät für Mathematik und Informatik, Universität der Balearen, Spanien
  4. Prof. Enrique Sanchez-Perez, Fakultät für Mathematik und Angewandte Mathematik, Universitat Politecnica de Valencia, Spanien
  5. Prof. Esteban Indurain, Institut für Statistik, Informatik und Mathematik, Öffentliche Universität Navare, Spanien

Historische Ereignisse:

Masamu-Programm: Themen der Funktionsanalyse - Virtueller Kurs - Herbst 2020

Lehrplan für den Kurs in Topics in Functional Analysis, der vom 5. August 2020 bis 16. Dezember 2020 an der University of Pretoria, Südafrika, gehalten werden soll. Dieser Kurs wird gesponsert vom Masamu-Programm: US-Africa Collaborative Research Network

Der Kurs findet jeden Mittwoch um 17:00 - 19:00 Uhr (17:00 - 19:00 Uhr) südafrikanischer Zeit statt.
Kursbeginn: Mittwoch, 5. August 2020
Kursende: Mittwoch, 16. Dezember 2020

Die Vorlesungen zu diesem Kurs werden gehalten von:

Geraldo Soares de Souza (PhD)
Emeritierter Professor
Abteilung für Mathematik
Auburn University
Auburn, AL USA 36849
E-Mail: [E-Mail geschützt]

Eddy Kwessi (PhD)
außerordentlicher Professor
Abteilung für Mathematik
Dreifaltigkeitsuniversität
San Antonio, TX USA 78212
E-Mail: [E-Mail geschützt]

1. Vektorräume
2. Metrische und normierte Räume
3. Banach- und Hilbert-Räume
4. Folgenräume und Kompaktheit auf Folgenräumen
5. Lineare Transformationen und Charakterisierung beschränkter linearer Funktionale
6. Satz von Hahn Banach
7. Satz für geschlossene Graphen The
8. Öffnen Sie das Abbildungstheorem
9. Schwache Topologien
10. Prinzip der einheitlichen Begrenztheit
11. Äquivalenz einiger Banach-Räume
12. Übungen

Dieser Kurs basiert auf den Vorlesungen des „Mini-Course on Functional Analysis“ von Prof. Geraldo de Souza am SAMSA Masamu Advanced Study Institute in Livingstone, Sambia, 2.-12. Dezember 2011. Kursnotizen stehen zur Verfügung für alle Schüler.

Lokaler Koordinator Südafrika:

Mokhwetha Mabula (PhD)
Lehrbeauftragter für Mathematik
Universität Pretoria
Pretoria, Südafrika
E-Mail: [E-Mail geschützt]

Overtoun Jenda (PhD)
Stellvertretender Propst für Sonderprojekte und Initiativen und Professor für Mathematik
Auburn University
Auburn, AL USA 36849
E-Mail: [E-Mail geschützt]


11.5: Positive Operatoren - Mathematik

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Inhalt

Normalerweise sind die Einträge eines Glossars nach Themen gegliedert und alphabetisch sortiert. Dies ist hier nicht möglich, da es keine natürliche Anordnung von Symbolen gibt und viele Symbole in verschiedenen Teilen der Mathematik mit unterschiedlichen Bedeutungen verwendet werden, die oft völlig unabhängig sind. Daher mussten einige willkürliche Entscheidungen getroffen werden, die im Folgenden zusammengefasst werden.

Der Artikel ist in Abschnitte unterteilt, die nach zunehmender technischer Komplexität sortiert sind. Das heißt, die ersten Abschnitte enthalten die Symbole, die in den meisten mathematischen Texten vorkommen und die auch Anfänger kennen sollten. Andererseits enthalten die letzten Abschnitte Symbole, die für bestimmte Bereiche der Mathematik spezifisch sind und außerhalb dieser Bereiche ignoriert werden. Der lange Abschnitt über Klammern wurde jedoch am Ende platziert, obwohl die meisten seiner Einträge elementar sind: Dies erleichtert die Suche nach einem Symboleintrag durch Scrollen.

Die meisten Symbole haben mehrere Bedeutungen, die sich im Allgemeinen entweder nach dem Gebiet der Mathematik, in dem sie verwendet werden, oder nach ihrer Syntax, d. h. durch ihre Position innerhalb einer Formel und die Art der anderen Teile der Formel, die ihnen nahe stehen.

Da die Leser möglicherweise nicht wissen, zu welchem ​​Bereich der Mathematik das gesuchte Symbol gehört, werden die verschiedenen Bedeutungen eines Symbols in den Abschnitten gruppiert, die ihrer gebräuchlichsten Bedeutung entsprechen.

Wenn die Bedeutung von der Syntax abhängt, kann ein Symbol je nach Syntax unterschiedliche Einträge haben. Um die Syntax im Eintragsnamen zusammenzufassen, wird das Symbol ◻ zur Darstellung der benachbarten Teile einer Formel verwendet, die das Symbol enthält. Anwendungsbeispiele finden Sie unter § Halterungen.

Die meisten Symbole haben zwei gedruckte Versionen. Sie können als Unicode-Zeichen oder im LaTeX-Format angezeigt werden. Mit der Unicode-Version ist die Verwendung von Suchmaschinen und das Kopieren und Einfügen einfacher. Andererseits ist das LaTeX-Rendering oft viel besser (ästhetisch) und gilt allgemein als Standard in der Mathematik. Daher wird in diesem Artikel (wenn möglich) die Unicode-Version der Symbole zur Kennzeichnung ihres Eintrags verwendet, und die LaTeX-Version wird in ihrer Beschreibung verwendet. Um herauszufinden, wie man ein Symbol in LaTeX eingibt, reicht es aus, sich die Quelle des Artikels anzusehen.

Bei den meisten Symbolen ist der Eintragsname das entsprechende Unicode-Symbol. Um den Eintrag eines Symbols zu suchen, reicht es also aus, das Unicode-Symbol in das Suchtextfeld einzugeben oder zu kopieren. Ebenso ist der Eintragsname eines Symbols nach Möglichkeit auch ein Anker, der eine einfache Verlinkung von einem anderen Wikipedia-Artikel ermöglicht. Wenn ein Eintragsname Sonderzeichen wie [, ] und | enthält, gibt es auch einen Anker, aber man muss sich die Artikelquelle ansehen, um ihn zu kennen.

Wenn es schließlich einen Artikel zum Symbol selbst (nicht zu seiner mathematischen Bedeutung) gibt, wird dieser im Eintragsnamen verlinkt.

Mehrere logische Symbole sind in der gesamten Mathematik weit verbreitet und werden hier aufgelistet. Informationen zu Symbolen, die nur in der mathematischen Logik verwendet werden oder selten verwendet werden, finden Sie unter Liste der Logiksymbole.

Die fette Tafelschrift wird häufig zur Bezeichnung der grundlegenden Zahlensysteme verwendet. Diese Systeme werden oft auch durch den entsprechenden fetten Großbuchstaben gekennzeichnet. Ein klarer Vorteil von blackboard fett ist, dass diese Symbole nicht mit anderen verwechselt werden können. Dies ermöglicht es, sie in jedem Bereich der Mathematik zu verwenden, ohne sich an ihre Definition erinnern zu müssen. Trifft man beispielsweise auf R > in der Kombinatorik sollte man sofort wissen, dass dies die reellen Zahlen bezeichnet, obwohl die Kombinatorik die reellen Zahlen nicht untersucht (aber sie für viele Beweise verwendet).

In der Mathematik werden viele Arten von Klammern verwendet. Ihre Bedeutungen hängen nicht nur von ihren Formen ab, sondern auch von der Art und Anordnung dessen, was durch sie begrenzt wird und manchmal was dazwischen oder vor ihnen erscheint. Aus diesem Grund wird in den Eintragstiteln das Symbol □ verwendet, um die der Bedeutung zugrunde liegende Syntax zu schematisieren.

Klammern Bearbeiten

Eckige Klammern Bearbeiten

Hosenträger Bearbeiten

Andere Klammern Bearbeiten

  • die lineare Spanne in einem Vektorraum (auch oft als Spanne bezeichnet (S) ),
  • die generierte Untergruppe in einer Gruppe,
  • das erzeugte Ideal in einem Ring,
  • das generierte Untermodul in einem Modul.

In diesem Abschnitt werden die aufgeführten Symbole als Satzzeichen im mathematischen Denken oder als Abkürzungen für englische Redewendungen verwendet. Sie werden im Allgemeinen nicht innerhalb einer Formel verwendet. Einige wurden in der klassischen Logik verwendet, um die logische Abhängigkeit zwischen in Klartext geschriebenen Sätzen anzuzeigen. Abgesehen von den ersten beiden werden sie in gedruckten mathematischen Texten normalerweise nicht verwendet, da es aus Gründen der Lesbarkeit im Allgemeinen empfohlen wird, zwischen zwei Formeln mindestens ein Wort zu haben. Sie werden jedoch immer noch auf einer Tafel verwendet, um Beziehungen zwischen Formeln anzuzeigen.


11.5: Positive Operatoren - Mathematik

Wenn wir beginnen, eine Liste konvergenter und divergenter Reihen zusammenzustellen, können neue manchmal analysiert werden, indem sie mit denen verglichen werden, die wir bereits verstehen.

Beispiel 11.5.1 Ist $dssum_^infty <1über n^2ln n>$ konvergieren?

Der offensichtliche erste Ansatz, basierend auf unserem Wissen, ist der integrale Test. Leider können wir die erforderliche Stammfunktion nicht berechnen. Aber wenn man sich die Reihe ansieht, scheint es, dass sie konvergieren muss, weil die Terme, die wir hinzufügen, kleiner sind als die Terme einer $p$-Reihe, d. h. $ <1over n^2ln n>Beispiel 11.5 .2 Ist $dssum_^infty <|sin n|over n^2>$ konvergieren?

Wir können den Integraltest hier nicht anwenden, da die Terme dieser Reihe nicht abnehmen. Genau wie im vorigen Beispiel jedoch $ <|sin n|over n^2>le <1over n^2>,$ weil $|sin n|le 1$. Auch hier sind die Teilsummen nicht abnehmend und nach oben begrenzt durch $dssum 1/n^2=L$, sodass die neue Reihe konvergiert.

Wie der Integraltest kann der Vergleichstest verwendet werden, um sowohl Konvergenz als auch Divergenz zu zeigen. Im Falle des integralen Tests bestätigt eine einzelne Berechnung, was immer der Fall ist. Um den Vergleichstest zu verwenden, müssen wir zunächst eine gute Vorstellung von Konvergenz oder Divergenz haben und die Folge zum Vergleich entsprechend auswählen.

Beispiel 11.5.3 Ist $dssum_^infty <1oversqrt>$ konvergieren?

Wir beobachten, dass $-3$ im Vergleich zu $ds n^2$ innerhalb der Quadratwurzel wenig Einfluss haben sollte, und vermuten daher, dass die Terme wie $ds 1/sqrt . ausreichen=1/n$, dass die Reihe divergieren soll. Wir versuchen dies durch Vergleich mit der harmonischen Reihe zu zeigen. Wir beachten, dass $<1oversqrt> > <1oversqrt> = <1oversqrt>,$ so dass $ s_n=<1oversqrt<2^2-3>>+<1oversqrt<3^2-3>>+cdots+ <1 übersqrt> > <1over 2>+ <1over3>+cdots+<1over n>=t_n, $ wobei $ds t_n$ um 1 kleiner ist als die entsprechende Teilsumme der harmonischen Reihe (weil wir bei $n=2$ statt $n=1$). Seit $dslim_t_n=infty$, $dslim_s_n=infty$ ebenfalls.

Der allgemeine Ansatz lautet also: Wenn Sie glauben, dass eine neue Reihe konvergent ist, versuchen Sie, eine konvergente Reihe zu finden, deren Terme größer sind als die Terme der neuen Reihe. Wenn Sie glauben, dass eine neue Reihe divergent ist, versuchen Sie, eine divergente Reihe zu finden deren Terme kleiner sind als die Terme der neuen Reihe.

Beispiel 11.5.4 Ist $dssum_^infty <1oversqrt>$ konvergieren?

Genau wie im letzten Beispiel vermuten wir, dass dies der harmonischen Reihe sehr ähnlich ist und daher divergiert. Leider $<1oversqrt> <1oversqrt> = <1over2n>,$ Wenn also $sum 1/(2n)$ divergiert, divergiert die gegebene Reihe. Da aber $sum 1/(2n)=(1/2)sum 1/n$ impliziert, folgt aus Satz 11.2.2, dass es tatsächlich divergiert.

Als Referenz fassen wir den Vergleichstest in einem Theorem zusammen.

Satz 11.5.5 Angenommen, $ds a_n$ und $ds b_n$ sind für alle $n$ nicht-negativ und $ds a_nle b_n$ für $nge N$ für einige $N$.

Wenn $dssum_^infty b_n$ konvergiert, ebenso $dssum_^infty a_n$.

Wenn $dssum_^infty a_n$ divergiert, ebenso $dssum_^infty b_n$.


C Zuweisungsoperatoren

Ein Zuweisungsoperator wird verwendet, um einer Variablen einen Wert zuzuweisen. Der gebräuchlichste Zuweisungsoperator ist =

Operator Beispiel Gleich wie
= a = b a = b
+= a += b a = a+b
-= a -= b a = a-b
*= a *= b a = a*b
/= a /= b a = a/b
%= a %= b a = a%b

Beispiel 3: Zuweisungsoperatoren

C Relationale Operatoren

Ein relationaler Operator prüft die Beziehung zwischen zwei Operanden. Wenn die Beziehung wahr ist, wird 1 zurückgegeben, wenn die Beziehung falsch ist, wird der Wert 0 zurückgegeben.

Relationale Operatoren werden bei der Entscheidungsfindung und in Schleifen verwendet.

Operator Bedeutung von Operator Beispiel
== Gleicht 5 == 3 wird zu 0 ausgewertet
> Größer als 5 > 3 wird zu 1 ausgewertet
< Weniger als 5 < 3 wird zu 0 ausgewertet
!= Nicht gleichzusetzen mit 5 != 3 wird zu 1 . ausgewertet
>= Größer als oder gleich wie 5 >= 3 wird zu 1 evaluated ausgewertet
<= Gleich oder kleiner als 5 <= 3 wird zu 0 ausgewertet

Beispiel 4: Relationale Operatoren

C Logische Operatoren

Ein Ausdruck, der einen logischen Operator enthält, gibt entweder 0 oder 1 zurück, je nachdem, ob der Ausdruck wahr oder falsch ergibt. Logical operators are commonly used in decision making in C programming.

Operator Meaning Example
&& Logical AND. True only if all operands are true If c = 5 and d = 2 then, expression ((c==5) && (d>5)) equals to 0.
|| Logical OR. True only if either one operand is true If c = 5 and d = 2 then, expression ((c==5) || (d>5)) equals to 1.
! Logical NOT. True only if the operand is 0 If c = 5 then, expression !(c==5) equals to 0.

Example 5: Logical Operators

Explanation of logical operator program

  • (a == b) && (c > 5) evaluates to 1 because both operands (a == b) and (c > b) is 1 (true).
  • (a == b) && (c < b) evaluates to 0 because operand (c < b) is 0 (false).
  • (a == b) || (c < b) evaluates to 1 because (a = b) is 1 (true).
  • (a != b) || (c < b) evaluates to 0 because both operand (a != b) and (c < b) are 0 (false).
  • !(a != b) evaluates to 1 because operand (a != b) is 0 (false). Hence, !(a != b) is 1 (true).
  • !(a == b) evaluates to 0 because (a == b) is 1 (true). Hence, !(a == b) is 0 (false).

C Bitwise Operators

During computation, mathematical operations like: addition, subtraction, multiplication, division, etc are converted to bit-level which makes processing faster and saves power.

Bitwise operators are used in C programming to perform bit-level operations.