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5.4E: Dividieren von Polynomen (Übungen) - Mathematik

5.4E: Dividieren von Polynomen (Übungen) - Mathematik


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Verwenden Sie für die folgenden Übungen die lange Division, um den Quotienten und den Rest zu finden.

19. (frac{x^{3}-2 x^{2}+4 x+4}{x-2})

20. (frac{3 x^{4}-4 x^{2}+4 x+8}{x+1})

Verwenden Sie für die folgenden Übungen die synthetische Division, um den Quotienten zu ermitteln. Wenn der Divisor ein Faktor ist, dann schreibe die faktorisierte Form.

21. (frac{x^{3}-2 x^{2}+5 x-1}{x+3})

22. (frac{x^{3}+4 x+10}{x-3})

23. (frac{2 x^{3}+6 x^{2}-11 x-12}{x+4})

24. (frac{3 x^{4}+3 x^{3}+2 x+2}{x+1})


Arbeitsblätter zur Division von Polynomen

Integrieren Sie diese umfangreiche Palette von Arbeitsblatt-PDFs zum Dividieren von Polynomen mit Übungen zum Dividieren von Monomen durch Monome, Polynomen durch Monome und Polynomen durch Polynome unter Verwendung von Methoden wie Faktorisierung, synthetische Division, lange Division und Box-Methode. Für Gymnasiasten sind Übungen im Wortformat enthalten, um das Konzept der Polynomdivision anzuwenden, um die Fläche und das Volumen zu finden. Tippen Sie kostenlos auf einige dieser Arbeitsblätter!

Holen Sie sich mit diesem Satz druckbarer Arbeitsblätter reichlich Übung in der Aufteilung von Monomen. Sie können auch die Exponentengesetze anwenden, um die Probleme zu lösen.

Verfeinern Sie Ihre Fähigkeiten beim Dividieren von Polynomen durch Monome, indem Sie den Polynomausdruck Term für Term teilen und jeden Term durch das Monom dividieren. Verwenden Sie die Exponentenregel, um die einzelnen Terme zu vereinfachen.

Verwenden Sie diese alternative Methode, um Polynome zu dividieren, indem Sie sie faktorisieren. Ziehe die gemeinsamen Faktoren aus Zähler und Nenner heraus und streiche sie dann, um die Polynome zu vereinfachen.

Rüsten Sie sich mit der Methode der synthetischen Division aus, die praktisch ist, wenn Sie ein Polynom durch ein lineares Binomial dividieren. Ziehen Sie die Wurzel aus dem gegebenen Faktor, dividieren Sie das Polynom und bestimmen Sie den Quotienten.

Verbessern Sie Ihre Fähigkeiten zum Dividieren von Polynomen durch synthetische Division mit diesen druckbaren Arbeitsblättern! Ordne die Koeffizienten in der passenden Reihenfolge an und führe den üblichen Prozess durch, um den Quotienten und den Rest ungleich Null zu erhalten.

Stellen Sie die Divisionssumme auf, indem Sie die Terme in absteigender Reihenfolge der Exponenten anordnen und fehlende Terme durch Nullkoeffizienten ersetzen, dividieren Sie, bis Sie als Rest Null erhalten.

Erweitern Sie Ihre Praxis mit diesem Satz von PDF-Arbeitsblättern mit Polynomen, die bei der Division Reste belassen. Wenden Sie die lange Divisionsmethode an und berechnen Sie hier den Quotienten und den Rest der Polynome.

Machen Sie Gymnasiasten mit der Box- oder Gittermethode zum Dividieren von Polynomen vertraut. Bestimmen Sie den Quotienten einfach, indem Sie den Divisor im Raster anordnen, die Terme schrittweise teilen und die Raster entsprechend ausfüllen.

Gewinnen Sie mit diesem Satz druckbarer Tabellenmethodenressourcen detaillierte Kenntnisse über die Prozesspolynom-Gitterteilung! Folgen Sie den Schritten, setzen Sie die passenden Werte in die Gitter ein und finden Sie den Quotienten und den Rest der Polynome.

Wenden Sie das Konzept der Division von Polynomen in diesen interessanten PDF-Arbeitsblättern mit Übungen im Word-Format an. Finden Sie die Fläche, Diagonallängen, fehlende Parameter oder das Volumen der gegebenen Formen.


Angenommen, Sie haben zwei Polynome und wollen ein Polynom durch ein anderes dividieren. Eine Methode ist die lange Division, ein Prozess, der der langen Division zweier ganzer Zahlen ähnelt. Ich werde ein Beispiel verwenden, um jeden Schritt auf dem Weg zu erklären.

Angenommen, wir wollen x 2 + 3x + 5 durch x + 1 teilen. Richten Sie die lange Division so ein, wie Sie es mit ganzen Zahlen machen würden, mit dem ersten Polynom (Dividende genannt) unter der langen Teilungslinie und dem Polynom, durch das wir dividieren (genannt der Divisor) auf der linken Seite:

Stellen Sie sicher, dass Sie die Begriffe sowohl für den Dividenden als auch für den Divisor von links nach rechts vom höchsten zum niedrigsten Grad schreiben.

Der lange Divisionsprozess läuft wie folgt ab: Stellen Sie sich vor, Sie nehmen nur den Term höchsten Grades des Dividenden (in unserem Beispiel x2) und dividieren ihn durch den Term höchsten Grades des Divisors (in unserem Beispiel x). Das Ergebnis ist der erste Term unseres "Quotienten". In unserem Beispiel ist das Ergebnis x. Normalerweise sollten Sie die Antwort über den Begriff des gleichen Grades wie das Ergebnis schreiben:

Nehmen Sie nun das Ergebnis und multiplizieren Sie es mit dem gesamten Divisor:

Schreiben Sie dieses Ergebnis unter die Dividende und stellen Sie sicher, dass Sie jeden Term des Ergebnisses unter dem Term in der Dividende mit dem gleichen Grad anordnen:

Nun müssen wir unser Ergebnis x 2 + x vom Dividenden abziehen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ohne den Überblick über die Vorzeichen zu verlieren, besteht darin, alle Vorzeichen der Terme unseres Ergebnisses umzukehren und ähnliche Terme hinzuzufügen:

Beachten Sie, dass der erste Term immer aufgehoben wird (und möglicherweise auch andere). Nachdem Sie aufgeschrieben haben, was übrig bleibt, streichen Sie den nächsten Term in der Dividende, den wir noch nicht verwendet haben:

Jetzt wiederholen wir den Prozess der langen Division, indem wir den höchsten Grad unseres neuen Polynoms (der 2x ist) nehmen und ihn durch den höchsten Grad des Divisors (wieder x) dividieren. Das Ergebnis ist 2. Das ist unser zweiter Term von unseren Quotienten und schreiben ihn wie folgt:

Multipliziere wie zuvor 2 mit x + 1 und schreibe das Ergebnis unter 2x + 5 (wie Terme aneinanderreihen), vertausche die Vorzeichen und füge hinzu:

Wir hören auf, sobald wir keine Bedingungen mehr zu brechen haben. Das Ergebnis aus dem letzten Schritt ist der Rest. Der Quotient ist also x + 2 und unser Rest ist 3.

Es ist typisch, die Antwort wie folgt zu schreiben:

Dividiere die Polynome x 4 + 3x 2 - 5 und x 2 + 4x .

Wir schreiben zuerst in langer Divisionsform

Entscheiden Sie als nächstes, was wir mit x 2 multiplizieren müssen, um x 4 zu erhalten. Da x 2 * x 2 = x 4 ist, können wir schreiben

Als nächstes multiplizieren wir x 2 + 7x und x 2 .

Jetzt subtrahiere um zu bekommen und bringe die 3x 2 runter um zu bekommen

Wir wiederholen diesen Vorgang, bis der Grad des Restes kleiner ist als der Grad des Nenners.


Verwenden der langen Division zum Dividieren von Polynomen

Wir kennen den Algorithmus für gewöhnliche Arithmetik. Wir beginnen mit der Division in die Ziffern der Dividende mit dem höchsten Stellenwert. Wir dividieren, multiplizieren, subtrahieren, nehmen die Ziffer an der nächsten Stellenwertposition auf und wiederholen den Vorgang. Lassen Sie uns zum Beispiel 178 durch 3 teilen, indem wir eine lange Division verwenden.

Eine andere Möglichkeit, die Lösung zu betrachten, ist die Summe von Teilen. Dies sollte bekannt vorkommen, da es sich um die gleiche Methode handelt, mit der die Division in der Elementararithmetik überprüft wird.

Wir nennen das die Divisionsalgorithmus und wird es nach einem Beispiel formaler besprechen.

Die Division von Polynomen, die mehr als einen Term enthalten, hat Ähnlichkeiten mit der langen Division ganzer Zahlen. Wir können einen polynomiellen Dividenden als Produkt des Divisors und des zum Rest addierten Quotienten schreiben. Die Terme der Polynomdivision entsprechen den Ziffern (und Stellenwerten) der Ganzzahldivision. Mit dieser Methode können wir zwei Polynome teilen. Wenn wir zum Beispiel 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x + 5 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x + 5 durch x + 2 x + 2 mit dem langen Divisionsalgorithmus dividieren würden, würde das so aussehen look :

Wir können die , die , die und die identifizieren.

Das Schreiben des Ergebnisses auf diese Weise veranschaulicht den Divisionsalgorithmus.

Hinweis: Der Divisionsalgorithmus:

Die besagt, dass bei einem gegebenen polynomiellen Dividenden f ( x ) f ( x ) und einem von Null verschiedenen polynomiellen Divisor d ( x ) d ( x ) der Grad von d ( x ) d ( x ) kleiner oder gleich dem Grad von f ( x ) , f ( x ) existieren eindeutige Polynome q ( x ) q ( x ) und r ( x ) r ( x ) mit

q ( ​​x ) q ( x ) ist der Quotient und r ( x ) r ( x ) ist der Rest. Der Rest ist entweder gleich Null oder hat einen Grad streng kleiner als d(x). d(x).

Wenn r ( x ) = 0 , r ( x ) = 0 , dann teilt sich d ( x ) d ( x ) gleichmäßig in f ( x ) auf . f(x). Dies bedeutet, dass in diesem Fall sowohl d ( x ) d ( x ) als auch q ( x ) q ( x ) Faktoren von f ( x ) sind. f(x).

Wie man:

  1. Stellen Sie das Divisionsproblem auf.
  2. Bestimmen Sie den ersten Term des Quotienten, indem Sie den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors dividieren.
  3. Multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem Divisor und schreiben Sie es unter die gleichen Bedingungen des Dividenden.
  4. Subtrahiere das untere vom oberen Binomial.
  5. Reduzieren Sie die nächste Laufzeit der Dividende.
  6. Wiederholen Sie die Schritte 2–5, bis die letzte Laufzeit der Dividende erreicht ist.
  7. Wenn der Rest ungleich Null ist, drücken Sie als Bruch aus, indem Sie den Divisor als Nenner verwenden.

Beispiel 1

Aufgabe 1

Verwenden der langen Division zur Division eines Polynoms zweiten Grades

Dividiere 5 x 2 + 3 x − 2 5 x 2 + 3 x − 2 durch x + 1. x + 1.

Lösung

Der Quotient ist 5 x − 2. 5 x − 2. Der Rest ist 0. Wir schreiben das Ergebnis als

Analyse

Dieses Divisionsproblem hatte einen Rest von 0. Dies sagt uns, dass der Dividenden gleichmäßig durch den Divisor geteilt wird und dass der Divisor ein Faktor des Dividenden ist.

Beispiel 2

Aufgabe 1

Verwenden der langen Division zur Division eines Polynoms dritten Grades

Dividiere 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 durch 3 x − 2. 3 x − 2.

Lösung

Es bleibt ein Rest von 1. Wir können das Ergebnis wie folgt ausdrücken:

Analyse

Wir können unsere Arbeit überprüfen, indem wir den Divisionsalgorithmus verwenden, um die Lösung neu zu schreiben. Dann multiplizieren.

Beachten Sie, während wir unser Ergebnis schreiben,

  • die Dividende beträgt 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15
  • der Teiler ist 3 x − 2 3 x − 2
  • der Quotient ist 2 x 2 + 5 x − 7 2 x 2 + 5 x − 7
  • der Rest ist 1 1

Versuch es:

Übung 1

Dividiere 16 x 3 − 12 x 2 + 20 x − 3 16 x 3 − 12 x 2 + 20 x − 3 durch 4 x + 5. 4 x + 5.

Lösung

4 x 2 − 8 x + 15 − 78 4 x + 5 4 x 2 − 8 x + 15 − 78 4 x + 5


Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Multiplizieren und Dividieren von Monomen

  • Wenn Sie zwei Monome teilen, müssen Sie ihre Koeffizienten und dann ihre Variablen teilen.
  • Bei Exponenten mit derselben Basis müssen Sie ihre Potenzen subtrahieren.
  • Regeln des Exponenten:
    (color< blau ><>>) , (color< blau >=x^>)
    ( color< blau >=x^<-b>>, color< blau ><(x^a)^b=x^>)
    ( color< blau ><(xy)^a= x^a× y^a >)

Monome multiplizieren und dividieren – Beispiel 1:

Ausdrücke multiplizieren. ((8x^5 )(-2x^4 )=)

Verwenden Sie die Multiplikationseigenschaft von Exponenten: (color<>> →x^5×x^4=x^9)
Dann: ((8x^5 )(-2x^4 )=-16x^9 )

Monome multiplizieren und dividieren – Beispiel 2:

Monome multiplizieren und dividieren – Beispiel 3:

Ausdrücke multiplizieren. ((-3x^7 )(4x^3 )=)

Verwenden Sie die Multiplikationseigenschaft von Exponenten: (color<>> →x^7×x^3=x^<10 >)
Dann: ((-3x^7 )(4x^3 )=-12x^<10>)


UNTERTEILUNG VON POLYNOMEN DURCH LANGE DIVISION ARBEITSBLATT

Um das gegebene Polynom durch x - 2 zu teilen, teilen wir den ersten Term des Polynoms P(x) durch den ersten Term des Polynoms g(x).

Wenn wir   2 . teilen x 3 ਋y x erhalten wir 2 x 2 . Jetzt müssen wir das   2 . multiplizieren x 2 ਋y x - 2. Daraus erhalten wir  2 x 3  - 4 x 2

Jetzt müssen wir   2 . subtrahieren x 3  - 4 x 2 ਊus dem gegebenen Polynom. Also erhalten wir -2 x 2  + 5x + 4.

Jetzt müssen wir   2 . subtrahieren x 3  - 4 x 2 ਊus dem gegebenen Polynom. Wir erhalten also -2x 2  + 5x + 4.

Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis wir den Grad von p(x)  ≥ ꃞgree  von g(x) erhalten.

Führen Sie die folgende Aufteilung durch: 

Führen Sie die folgende Aufteilung durch: 

Führen Sie die folgende Aufteilung durch: 

Schreiben wir zunächst die Terme jedes Polynoms in absteigender Reihenfolge (oder aufsteigender   -Reihenfolge).

Somit wird das gegebene Problem   (10- 4x + 3x 2 )   ÷  (x - 2)

Im ersten Schritt teilen wir den ersten Term des Dividenden durch den ersten ersten Term des Divisors.

Nach dem Ändern der Vorzeichen werden +3x 2  und -3 x 2   storniert. Durch Vereinfachen erhalten wir 2x + 10.

Im zweiten Schritt teilen wir wieder den ersten Term, der 2x ist, durch den ersten Term des Divisors, der x ist.

Wenn Sie abgesehen von den oben genannten Dingen noch andere Dinge in Mathematik benötigen, verwenden Sie bitte unsere benutzerdefinierte Google-Suche hier.

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Wir freuen uns immer über Ihr Feedback. 

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Mathematiker sind nicht die Leute, die Mathematik leicht finden, sondern die Leute, die genießen, wie mystifizierend, rätselhaft und schwer es ist. Bist du Mathematiker?

Kommentar auf der Seite „Starter of the Day“ vom 9. Oktober von Herrn Jones, Wales:

"Ich denke, dass ein Starter in den Tag dazu beiträgt, die Mathematik im Allgemeinen zu verbessern. Meine Schüler sagen, dass sie sie lieben. "

Kommentar auf der 'Starter of the Day'-Seite vom 25. Juni von [email protected] und essex.herts.sch.uk, :

"Wir alle lieben Ihre Vorspeisen. Es ist so schön, eine solche Sammlung zu haben. Wir verwenden sie für alle Altersgruppen und Fähigkeiten. Mir hat das Spiel von KIM besonders gut gefallen, da wir das noch nie für Mathematik verwendet haben. Macht weiter so und vielen Dank
Beste Grüße von Inger Kisby"

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Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Vereinfachen von Polynomen

  • Finden Sie „Gefällt mir“-Begriffe. (sie haben die gleichen Variablen mit der gleichen Potenz).
  • Addieren oder subtrahieren Sie „ähnliche“ Begriffe in der Reihenfolge der Operation

Vereinfachen von Polynomen – Beispiel 1:

Vereinfachen Sie diesen Ausdruck. (2x(2x-4)=)

Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft: (2x(2x−4)=4x^2−8x)

Vereinfachen von Polynomen – Beispiel 2:

Vereinfachen Sie diesen Ausdruck. (4x^2+6x+2x^2-4x-3=)

Finde zuerst “like” Begriffe und kombiniere sie: (4x^2+2x^2= 6x^2), (6x-4x= 2x)
Vereinfachen Sie jetzt: (4x^2+6x+2x^2-4x-3=6x^2+2x-3)

Vereinfachen von Polynomen – Beispiel 3:

Vereinfachen Sie diesen Ausdruck. (4x(6x-3)=)

Verteilungseigenschaft verwenden: (4x(6x-3)=24x^2-12x)

Vereinfachen von Polynomen – Beispiel 4:

Vereinfachen Sie diesen Ausdruck. (7x^3+2x^4+2x^3-4x^4-8x=)

Finde zuerst “like” Begriffe und kombiniere sie: (7x^3+2x^3= 10x^3 ), (2x^4-4x^4= -2x^4 )
Vereinfachen und schreiben Sie nun in Standardform: (7x^3+2x^4+2x^3-4x^4-8x=-2x^4+10x^3-8x)


NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 10 Kapitel 2: Polynome

Hier bieten wir Ihnen einen Überblick und Übungen zu Klasse 10 Mathematik Kapitel 2. Darüber hinaus besteht die NCERT-Lösung für Klasse 10 Mathematik Kapitel 2 aus Übung 2.1, Übung 2.2, Übung 2.3 und Übung 2.4. Darüber hinaus können die Schüler die übungsweisen Polynomials NCERT Solutions for Class 10 Maths von den unten angegebenen Links in tabellarischer Form herunterladen:

Übung 2.1Einführung
Übung 2.2Geometrische Bedeutung der Nullstellen eines Polynoms
Übung 2.3Beziehung zwischen Nullstellen und Koeffizienten eines Polynoms
Übung 2.4Divisionsalgorithmus für Polynome

NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 10 Kapitel 2: Polynome (gelöste Aufgaben)

Studierende können entweder die CBSE Lösungen PDF für Klasse 10 Mathematik Kapitel 2 über den folgenden Link oder setzen Sie ein Lesezeichen für diese Seite, um die Antworten bei Bedarf anzuzeigen:

Die Lösungen für Klasse 10 Mathematik Kapitel 2 in diesem Artikel enthalten die Antworten auf alle Übungsfragen auf einfache und verständliche Weise. Im Detail enthält das NCERT-Lösungen für Klasse 10 Mathematik Kapitel 2 verschiedene Übungen wie Übung 2.1, Übung 2.2, Übung 2.3 und Übung 2.4. Die Schüler können sich auf das Lösungs-PDF beziehen, um ihre Aufgaben und Hausaufgaben rechtzeitig zu lösen. Beherrschen von Polynomen NCERT-Lösungen werden den Schülern definitiv bei der Vorbereitung auf die Prüfung der Klasse 10 helfen.

CBSE Klasse 10 Mathematik Kapitel 2: Polynome

Das Studium der Polynome hier ist die Fortsetzung der in Klasse 9 studierten Themen. Polynom ist ein aus Variablen und Koeffizienten bestehender Ausdruck, der nur die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und nicht negative ganzzahlige Exponenten beinhaltet.

Polynome spielen eine wichtige Rolle bei der Beschreibung der natürlichsten Phänomene um uns herum. Von Newtonschen Gleichungen bis hin zum Entwurf einer Achterbahn – Polynome sind ein wesentlicher Bestandteil von fast allem, was man in mathematischen Begriffen ausdrücken kann.

Insbesondere ein Polynom hat ein breites Anwendungsspektrum. Um nur einige zu nennen, haben wir folgendes:

  1. Der bekannteste Newtonsche Gleichung das die Verschiebung eines Objekts beschreibt, ist ein Beispiel für ein Polynom. Die Gleichung lautet wie folgt: s = ut + ½at².
  2. Statistiker verwenden mathematische Modelle auf der Grundlage von Polynomen, um Daten zu analysieren und zu interpretieren und zu den erforderlichen Schlussfolgerungen zu gelangen. In der Finanzplanung werden Polynome verwendet, um den Zinssatz auf Basis des Kapitalbetrags und der Anzahl der Jahre zu berechnen.
  3. Polynome werden auch verwendet in Meteorologie. Von der Kartierung von Wettermustern bis hin zur Verfolgung der Bahnen von Himmelsobjekten sind Polynome nützlich.
  4. Viele Ingenieurberufe auch Polynome verwenden. Luft- und Raumfahrt-, Maschinenbau- und Elektroingenieure müssen Polynome für die Konstruktion in ihren jeweiligen Bereichen verwenden. Die Luft- und Raumfahrt kann die Konstruktion von Raketen erfordern, während der mechanische Bereich die Konstruktion verschiedener Motoren erfordert. Spannungsabfälle in der Elektrik und Elektronik werden auch als Polynome ausgedrückt.
  5. Polynome werden auch verwendet in medizinische Bereiche, um den Status der Patienten, ihre Aufnahme und den Körperzustand zu überwachen.
  6. Entwerfen von Achterbahn und seine Trajektorie verwenden auch Polynome.

Die geometrische Bedeutung der Nullstellen eines Polynoms, die Beziehung zwischen Nullstellen und Koeffizienten eines Polynoms und der Divisionsalgorithmus für Polynome sind einige der anderen Hauptthemen, die im Kapitel Mathe-Polynome der Klasse 10 behandelt werden. In diesem Kapitel lernen Sie auch Aussagen und einfache Probleme zum Divisionsalgorithmus für Polynome mit reellen Koeffizienten kennen.

NCERT-Lösungen für Klasse 10 Mathematik Kapitel 1NCERT-Lösungen für Klasse 10 Mathematik Kapitel 3 NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 10 (alle Kapitel)

Vorteile der NCERT-Lösungen von Embibe für Mathematik der Klasse 10, Kapitel 2

Einige der Vorteile der folgenden NCERT-Lösungen von Embibe sind unten angegeben:

  1. Diese NCERT-Lösungen werden aufwendig und detailliert aufbereitet, damit die Studierenden die Themen leicht verstehen können.
  2. Mit Hilfe von NCERT-Lösungen zu Polynomen können die Schüler leicht die Nullstellen und Koeffizienten eines Polynoms und den Divisionsalgorithmus für Polynome lernen.
  3. Unsere akademischen Experten haben alle NCERT-Lösungen gemäß den neuesten überarbeiteten CBSE-Lehrplänen und NCERT-Richtlinien erstellt.
  4. Die Schüler können diese NCERT-Lösungen für Wiederholungszwecke vor der Prüfung oder dem Test verwenden.
  5. Die NCERT-Lösungen von Embibe helfen Ihnen nicht nur bei der Vorbereitung auf kommissionelle Prüfungen, sondern auch auf Wettbewerbsprüfungen und Olympiaden.
  6. Die NCERT-Lösungen von Embibe für alle Themen können kostenlos abgerufen und heruntergeladen werden.

FAQs zu NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 10 Kapitel 2

Einige der häufig gestellten Fragen sind unten aufgeführt:

A. Der Grad des gegebenen Polynoms ist 5.

A. Der Wert von ‘a’ ist 0 und ‘b’ ist -6.

A. Das Produkt der anderen beiden Nullstellen ist (b – a + 1).

Übungsaufgaben in Mathematik der Klasse 10 mit Embibe

In diesem Artikel haben wir Ihnen alle notwendigen Informationen zu NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 10 Kapitel 2 – Polynome bereitgestellt. Um Ihre Beherrschung von Polynomen besser zu testen, können Sie eine kostenlose Polynom-Mock-Test auf Embibe. Mit Hilfe von Übungsfragen und Testtests zu Polynomen können die Schüler in diesem Kapitel leicht gute Noten erzielen.

Neben den NCERT-Lösungen bietet Embibe verschiedene andere Ressourcen für Schüler der Klasse 10. Bei Embibe können Sie lösen CBSE Klasse 10 Übungsfragen oder nimm Testtests der Klasse 10 kostenlos. Machen Sie das Beste aus den Lösungen, Beispielfragen und Testtests von Embibe und verbessern Sie Ihre Punktzahl.

Wir hoffen, dass dieser ausführliche Artikel über NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 10, Kapitel 2 – Polynome, Ihnen hilft.

Wenn Sie Fragen zu diesem Artikel über Polynome haben, hinterlassen Sie Ihre Fragen im Kommentarbereich unten und wir werden uns so schnell wie möglich bei Ihnen melden.


Polynome – Aufgabe 8.2 – Klasse X

Gegeben, müssen wir p(x) durch g(x) teilen, d. h. wir müssen x 2 + 4x + 4 durch x + 2 teilen.

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

⸫ Divisionsalgorithmus wird verifiziert.

(ii)p(x) = x 2 – 9x + 9, g(x) = x – 3

Gegeben, müssen wir p(x) durch g(x) teilen, d. h. wir müssen x 2 – 9x + 9 durch x – 3 teilen.

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

⸫ Divisionsalgorithmus wird verifiziert.

(iii) p(x) = x 3 + 4x 2 -5x + 6, g(x) = x + 1

Gegeben, wir müssen p(x) durch g(x) teilen, d.h. wir müssen x 3 + 4x 2 -5x + 6 durch x + 1 teilen.

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

Hier p(x) = x 3 + 4x 2 – 5x + 6

= x 3 + 3x 2 – 8x + x 2 + 3x – 8 + 14

⸫ Divisionsalgorithmus wird verifiziert.

(iv) p(x) = x 4 – 3x 2 – 4, g(x) = x + 2

Gegeben, wir müssen p(x) durch g(x) teilen, d.h. wir müssen x 4 – 3x 2 – 4 durch x + 2 teilen.

Quotient, q(x) = (x 3 – 2x 2 + x – 2)

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

⸫ p(x) = [(x + 2) * (x 3 – 2x 2 + x – 2)] + 0

= [x 4 – 2x 3 + x 2 – 2x + 2x 3 – 4x 2 + 2x – 4 ] + 0

⸫ Divisionsalgorithmus wird verifiziert.

(v) p(x) = x 3 – 1, g(x) = x – 1

Gegeben, wir müssen p(x) durch g(x) teilen, d.h. wir müssen x 3 – 1 durch x – 1 teilen.

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

= [x 3 + x 2 + x – x 2 – x – 1 ] + 0

⸫ Divisionsalgorithmus wird verifiziert.

(vi) p(x) = x 4 – 4x 2 + 12x + 9, g(x) = x 2 + 2x – 3

Gegeben, wir müssen p(x) durch g(x) teilen, d.h. wir müssen x 4 – 4x 2 + 12x + 9 durch x 2 + 2x – 3 teilen.

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

Hier gilt p(x) = x 4 – 4x 2 + 12x + 9

⸫ p(x) = [(x 2 – 2x + 3) * (x 2 + 2x – 3)] + 18

= [x 4 +2x 3 – 3x 2 – 2x 3 – 4x 2 + 6x + 3x 2 + 6x – 9 ] + 18

⸫ Divisionsalgorithmus wird verifiziert.

  1. Bestimme den Divisor g(x) , wenn das Polynom p(x) = 4x 3 + 2x 2 – 10x +2 durch g(x) dividiert wird und der Quotient und der erhaltene Rest (2x 2 +4x + 1) und 5 . sind beziehungsweise.

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

= (4x^3 + 2x^2 – 10x +2) – (5) /2x^2 +4x + 1

= 4x^3 + 2x^2 – 10x +2 – 5 /2x^2 +4x + 1

= 4x^3 + 2x^2 – 10x – 3 /2x^2 +4x + 1

  1. Beim Dividieren des Polynoms p(x) = x 3 – 3x 2 + x + 2 durch ein Polynom g(x) waren Quotient und Rest (x – 2) bzw. (-2x + 4). g(x) finden

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

  1. Ein Polynom p(x) id geteilt durch g(x), der erhaltene Quotient q(x) und der Rest sind in der Tabelle angegeben. Finden Sie jeweils p(x).

(i) Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

= x 3 – x 2 + x – 2x 2 + 2x – 2 + 4

(ii) Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = [(x + 3)*(2x 2 + x + 5)] + (3x + 1)

= 2x 3 + x 2 + 5x + 6x 2 + 3x + 15 + 3x + 1

(iii) Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = (2x + 1)(x 3 + 3x 2 – x + 1) + 0

= 2x 4 + 6x 3 – 2x 2 + 2x + x 3 + 3x 2 – x + 1

(iv) Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = (x 3 – x 2 – x – 1)*(x – 1) + (2x – 4)

= x 4 – x 3 – x 2 – x – x 3 + x 2 + x + 1 + 2x – 4

(v) Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = (x 2 + 2x + 1)( x 4 – 2x 2 + 5x – 7) + 4x + 12

= x 6 – 2x 4 + 5x 3 – 7x 2 +2x 5 – 4x 3 + 10x 2 – 14x + x 4 – 2x 2 + 5x – 7 + 4x + 12

p(x) = x 6 + 2x 5 – x 4 + x 3 + x 2 – 5x + 5

  1. Berechnen Sie den Quotienten und den Rest bei der Division von p(x) durch g(x) in jedem der folgenden Fälle, ohne tatsächliche Division

(i) p(x) = x 2 + 7x + 10 g(x) = x – 2

⸫ Quotientengrad q(x) = 2 – 1 = 1 und Restgrad r(x) ist 0.

Sei q(x) = ax + b (Polynom vom Grad 1) und Rest, r(x) = k

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

x 2 + 7x + 10 = (x – 2)*(ax + b) + k

x 2 + 7x + 10 = ax 2 + bx – 2ax – 2b + k

x 2 + 7x + 10 = ax 2 + x (b – 2a) – 2b + k

Vergleichen wir die Koeffizienten von x 2 , x und k, um die Werte von a, b und k . zu erhalten

⸫ a = 1 Koeffizienten von x 2 auf beiden Seiten

⸫ b – 2a = 7 Koeffizienten von x auf beiden Seiten

⸫ 10 = -2b + k Konstanten auf beiden Seiten

Wir müssen diese Gleichungen lösen, um den Wert von a, b und k . zu erhalten

k = 10 + 2b = 10 + 9ࡨ = 10 + 18 = 28

Daher Quotient = x + 9 und Rest 28.

(ii) p(x) = x 3 +4x 2 – 6x + 2 g(x) = x – 3

⸫ Quotientengrad q(x) = 3 – 1 = 2 und Restgrad r(x) ist 0.

Sei q(x) = ax 2 + bx + c (Polynom vom Grad 1) und Rest, r(x) = k

Durch Divisionsalgorithmus für Polynome, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

x 3 +4x 2 – 6x + 2= (x – 3)*(ax 2 + bx + c) + k

x 3 +4x 2 – 6x + 2 = ax 3 + bx 2 + cx – 3ax 2 – 3bx – 3c + k

x 3 +4x 2 – 6x + 2 = ax 3 +x 2 (b – 3a)+x (c – 3b) – 3c + k

Vergleichen wir die Koeffizienten von x 3 , x 2 , x und k, um die Werte von a, b, c und k . zu erhalten

⸫ a = 1 Koeffizienten von x 3 auf beiden Seiten

⸫ b – 3a = 4 Koeffizienten von x 2 auf beiden Seiten

⸫ -6 = c – 3b Koeffizienten von x auf beiden Seiten

⸫ 2 = -3c + k Konstanten auf beiden Seiten

Löse diese Gleichungen, um den Wert von a, b und k . zu erhalten

k = 2 + 3c = 2 + 3吋 = 2 + 45 = 47

Da q(x) = ax 2 + bx + c = x 2 + 7x + 15

Daher Quotient = x 2 + 7x + 15 und Rest 47.

  1. Was muss von (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) abgezogen werden, damit das resultierende Polynom exakt durch (x 2 + 3x – 2) teilbar ist?

Um herauszufinden, was von (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) abgezogen werden muss, damit das resultierende Polynom exakt durch (x 2 + 3x – 2) teilbar ist, müssen wir x 3 + 5x 2 + 5x + 8 durch x 8 dividieren 2 + 3x – 2

Wenn wir x 3 + 5x 2 + 5x + 8 durch x 2 + 3x – 2 teilen, erhalten wir den Quotienten q(x) = (x +2) und den Rest r(x) = (-x + 8).

Daher müssen wir (-x + 8) von (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) subtrahieren, damit das resultierende Polynom exakt durch (x 2 + 3x – 2) teilbar ist.

Um herauszufinden, was zu (x 4 – 1) addiert werden soll, damit es genau durch (x 2 + 2x + 1) teilbar ist, müssen wir x 4 – 1 von x 2 + 2x + 1 dividieren

Wenn wir x 4 – 1 durch x 2 + 2x + 1 teilen, erhalten wir den Quotienten q(x) = (x 2 – 2x + 3) und den Rest r(x) = (-4x – 4).

Daher müssen wir (4x + 4) aus (x 4 – 1) addieren, damit das resultierende Polynom exakt durch (x 2 + 2x + 1) teilbar ist.