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1.2: Newton-Mechanik - Freier Fall

1.2: Newton-Mechanik - Freier Fall


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Dimensionen sind nicht nur nützlich, um falsche Argumente zu entlarven, sondern auch um richtige zu generieren. Als gegenteiliges Beispiel, das zeigt, was man nicht tun sollte, hier ist, wie viele Analysis-Lehrbücher ein klassisches Problem in Bewegung einführen:

Ein zunächst ruhender Ball fällt aus einer Höhe von h Füße und trifft mit einer Geschwindigkeit von v . auf den Boden Fuß pro Sekunde. Finden Sie v unter der Annahme einer Erdbeschleunigung von g Fuß pro Sekunde zum Quadrat und vernachlässigt den Luftwiderstand.

Die Einheiten wie Fuß oder Fuß pro Sekunde sind in Fettdruck hervorgehoben, weil ihre Einbeziehung so häufig vorkommt, dass sie ansonsten nicht bemerkt wird, und ihre Einbeziehung ein erhebliches Problem schafft. Da die Höhe h Fuß beträgt, enthält die Variable h keine Höheneinheiten: h ist also dimensionslos. (Damit h Dimensionen hätte, würde das Problem stattdessen einfach sagen, dass der Ball aus einer Höhe h fällt; dann würde die Längendimension zu h gehören.) Eine ähnliche explizite Angabe von Einheiten bedeutet, dass auch die Variablen g und v dimensionslos sind. Da g, h und v dimensionslos sind, ist jeder Vergleich von v mit aus g und h abgeleiteten Größen ein Vergleich zwischen dimensionslosen Größen. Sie ist daher immer maßlich gültig, daher kann uns die Dimensionsanalyse nicht helfen, die Aufprallgeschwindigkeit zu erraten.

Das wertvolle Werkzeug der Dimensionen aufzugeben ist wie ein Kampf mit einer auf dem Rücken gefesselten Hand. Dadurch eingeschränkt müssen wir stattdessen die folgende Differentialgleichung mit Anfangsbedingungen lösen:

[frac{d^{2}y}{dt^{2}} = -g, ext{ mit } y(0) = h ext{ und } dy/dt = 0 ext{ at } t = 0, label{1.1}]

wobei y(t) die Höhe des Balls ist, dy/dt die Geschwindigkeit des Balls und g die Erdbeschleunigung ist.

Aufgabe 1.3 Calculus-Lösung

Zeigen Sie mit Infinitesimalrechnung, dass die Differentialgleichung (d^{2}y/dt^{2}) = −g mit den Anfangsbedingungen y(0) = h und dy/dt = 0 bei t = 0 hat folgende Lösung:

[frac{dy}{dt} = -gt ext{ und } y = -frac{1}{2}gt^{2} + h. label{1.2}]

Frage

Wie groß ist die Aufprallgeschwindigkeit, wenn man die Lösungen für die Position und Geschwindigkeit des Balls in Aufgabe 1.3 verwendet?

Bei y(t) = 0 trifft der Ball auf den Boden. Somit ist die Aufprallzeit t (sqrt{2h/g}). Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt −gt(_{0}) oder −(sqrt{2gh}). Daher ist die Aufprallgeschwindigkeit (die vorzeichenlose Geschwindigkeit) (sqrt{2gh}).

Diese Analyse lädt zu mehreren algebraischen Fehlern ein: Vergessen, beim Auflösen nach (t_{0}) eine Quadratwurzel zu ziehen, oder beim Ermitteln der Aufprallgeschwindigkeit zu dividieren statt mit g zu multiplizieren. Üben Sie mit anderen Worten, viele Fehler zu machen und zu korrigieren verringert ihre Prävalenz bei einfachen Problemen, aber komplexe Probleme mit vielen Schritten bleiben Minenfelder. Wir möchten weniger fehleranfällige Methoden.

Eine robuste Alternative ist die Methode der Dimensionsanalyse. Dieses Tool erfordert jedoch, dass mindestens eine Größe unter v, g und h Dimensionen hat. Ansonsten entspricht jede noch so absurde Kandidaten-Aufprallgeschwindigkeit dimensionslosen Größen und hat daher gültige Dimensionen.

Lassen Sie uns daher das Problem des freien Falls neu formulieren, damit die Mengen ihre Dimensionen behalten:

  • Ein zunächst ruhender Ball fällt aus einer Höhe h und trifft mit der Geschwindigkeit v auf den Boden. Finden Sie v unter Annahme einer Erdbeschleunigung g und unter Vernachlässigung des Luftwiderstands.

Die Neuformulierung ist erstens kürzer und knackiger als die ursprüngliche Phrasierung:

  • Ein anfangs ruhender Ball fällt aus einer Höhe von h Fuß und trifft mit einer Geschwindigkeit von v Fuß pro Sekunde auf den Boden. Finden Sie v unter der Annahme einer Gravitationsbeschleunigung von g Fuß pro Sekunde zum Quadrat und vernachlässigen den Luftwiderstand.

Zweitens ist das Restatement allgemeiner. Es macht keine Annahmen über das Einheitensystem und ist daher auch dann nützlich, wenn Meter, Ellen oder Furlongs die Längeneinheit sind. Am wichtigsten ist, dass die Neuformulierung h, g und v Dimensionen gibt. Ihre Dimensionen bestimmen fast eindeutig die Aufprallgeschwindigkeit – ohne dass wir eine Differentialgleichung lösen müssen.

Die Dimensionen der Höhe h sind einfach Länge oder kurz L. Die Dimensionen der Erdbeschleunigung g sind Länge pro Zeit im Quadrat oder (LT^{−2}), wobei T die Dimension der Zeit darstellt. Eine Geschwindigkeit hat Dimensionen von (LT^{-1}), also ist v eine Funktion von g und h mit Dimensionen von (LT^{-1}).

Aufgabe 1.4 Dimensionen bekannter Größen

In Bezug auf die Grunddimensionen Länge L, Masse M und Zeit T, was sind die Dimensionen von Energie, Leistung und Drehmoment?

Frage

Welche Kombination aus G und ha hat Dimensionen der Geschwindigkeit?

Die Kombination (sqrt{gh}) hat Geschwindigkeitsdimensionen.

((underbrace{ extrm{LT}^{-2}}_{ extrm{g}} imes underbrace{ extrm{L}}_{ extrm{h}})^{1 / 2 }=sqrt{mathrm{L}^{2} mathrm{~T}^{-2}}=underbrace{mathrm{LT}^{-1}}_{ ext {Geschwindigkeit}} . ) [label{1.3}]

Frage

Ist (sqrt{gh}) die einzige Kombination aus G und ha mit Dimensionen der Geschwindigkeit?

Um zu entscheiden, ob (sqrt{gh}) die einzige Möglichkeit ist, verwenden Sie die Beschränkungspropagation [43]. Die stärkste Einschränkung besteht darin, dass die Kombination von g und h als Geschwindigkeit Dimensionen der inversen Zeit ((T^{−1})) haben sollte. Da h keine Zeitdimensionen enthält, kann es nicht helfen, (T^{-1}) zu konstruieren.

Da g (T^{-2}) enthält, muss (T^{-1}) von (sqrt{g}) kommen. Die zweite Einschränkung besteht darin, dass die Kombination (L^{1}) enthält. Das (sqrt{g}) trägt bereits (L^{1/2}) bei, also muss das fehlende (L^{1/2}) von (sqrt{h}) kommen . Die beiden Nebenbedingungen bestimmen dabei eindeutig, wie g und h in der Aufprallgeschwindigkeit v erscheinen.

Der genaue Ausdruck für v ist jedoch nicht eindeutig. Es könnte (sqrt{gh}), (sqrt{2gh}) oder allgemein (sqrt{gh}) × dimensionslose Konstante sein. Das Idiom der Multiplikation mit einer dimensionslosen Konstanten kommt häufig vor und verdient eine kompakte Schreibweise ähnlich dem Gleichheitszeichen:

[v∼ sqrt{gh} label{1.4}]

Einschließlich dieser ∼-Notation haben wir mehrere Arten von Gleichheit:

∝ Gleichheit mit Ausnahme eines Faktors mit Dimensionen,

∼ Gleichheit mit Ausnahme eines Faktors ohne Dimensionen,

≈ Gleichheit, außer vielleicht für einen Faktor nahe 1.

Die genaue Aufprallgeschwindigkeit ist (sqrt{2gh}), das Dimensionsergebnis (sqrt{gh}) enthält also die gesamte funktionale Abhängigkeit! Es fehlt nur der dimensionslose Faktor (sqrt{2}), und diese Faktoren sind oft unwichtig. In diesem Beispiel kann die Höhe von wenigen Zentimetern (ein Flohhüpfen) bis zu einigen Metern (eine Katze springt von einem Felsvorsprung) variieren. Die Variation der Höhe um den Faktor 100 trägt zu einer Variation der Aufprallgeschwindigkeit um den Faktor 10 bei. Ebenso kann die Gravitationsbeschleunigung von 0,27 m(s^{−2})(auf dem Asteroiden Ceres) bis 25 m(s^{−2})(auf dem Jupiter) variieren. Die Faktor-von-100-Variation in g trägt zu einer weiteren Faktor-von-10-Variation der Aufprallgeschwindigkeit bei. Viele Variationen in der Aufprallgeschwindigkeit stammen daher nicht vom dimensionslosen Faktor (sqrt{2}), sondern von den symbolischen Faktoren, die durch Dimensionsanalyse genau berechnet werden. Außerdem kann es von Vorteil sein, die genaue Antwort nicht zu berechnen. Exakte Antworten haben alle Faktoren und Terme und erlauben weniger wichtige Informationen, wie den dimensionslosen Faktor wie (sqrt{gh}). Wie William James riet: „Die Kunst, weise zu sein, ist die Kunst zu wissen, was zu übersehen ist“ [19, Kapitel 22].

Aufgabe 1.5 Vertikaler Wurf

Du wirfst einen Ball mit Geschwindigkeit v0 direkt nach oben. Verwenden Sie die Dimensionsanalyse, um abzuschätzen, wie lange der Ball braucht, um in Ihre Hand zurückzukehren (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands). Bestimmen Sie dann die genaue Zeit, indem Sie die Differentialgleichung im freien Fall lösen. Welcher dimensionslose Faktor fehlte im Ergebnis der Dimensionsanalyse?


2.1: Einführung in die Newtonsche Mechanik

  • Beigetragen von Douglas Cline
  • Professor (Physik) an der University of Rochester

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser in die Newtonsche Mechanik eingeführt wurde, die auf ein oder zwei Punktobjekte angewendet wird. Dieses Kapitel gibt einen Überblick über die Newtonsche Mechanik für die Bewegung von Vielteilchensystemen sowie für Körper von makroskopischer Größe. Das Gravitationsgesetz von Newton wird ebenfalls überprüft. Der Zweck dieses Aufsatzes besteht darin, sicherzustellen, dass der Leser über eine solide Grundlage der elementaren Newtonschen Mechanik verfügt, auf der er die leistungsfähigen analytischen Lagrange- und Hamilton-Ansätze zur klassischen Dynamik aufbauen kann.

Die Newtonsche Mechanik basiert auf der Anwendung der Newtonschen Bewegungsgesetze, die davon ausgehen, dass die Begriffe Abstand, Zeit und Masse absolut sind, d. h. die Bewegung befindet sich in einem Inertialsystem. Die Newtonsche Idee der vollständigen Trennung von Raum und Zeit und das Konzept der Absolutheit der Zeit werden durch die Relativitätstheorie verletzt, wie sie in Kapitel (17) diskutiert wurde. Für die meisten praktischen Anwendungen sind relativistische Effekte jedoch vernachlässigbar und die Newtonsche Mechanik ist bei niedrigen Geschwindigkeiten eine angemessene Beschreibung. Daher werden in den Kapiteln (2-16) Geschwindigkeiten angenommen, für die Newtons Bewegungsgesetze gelten.


Definition des freien Falls

Der alltägliche Gebrauch des Begriffs "freier Fall" entspricht nicht der wissenschaftlichen Definition. Im allgemeinen Sprachgebrauch wird davon ausgegangen, dass sich ein Fallschirmspringer im freien Fall befindet, wenn er die Endgeschwindigkeit ohne Fallschirm erreicht. Tatsächlich wird das Gewicht des Fallschirmspringers von einem Luftkissen getragen.

Der freie Fall wird entweder nach der Newtonschen (klassischen) Physik oder im Sinne der Allgemeinen Relativitätstheorie definiert. In der klassischen Mechanik beschreibt der freie Fall die Bewegung eines Körpers, wenn die einzige Kraft, die auf ihn einwirkt, die Schwerkraft ist. Die Bewegungsrichtung (oben, unten usw.) ist unwichtig. Wenn das Gravitationsfeld gleichförmig ist, wirkt es auf alle Körperteile gleich und macht ihn „schwerelos“ oder erfährt „0 g“. Obwohl es seltsam erscheinen mag, kann sich ein Objekt im freien Fall befinden, selbst wenn es sich nach oben oder am Höhepunkt seiner Bewegung bewegt. Ein Fallschirmspringer, der von außerhalb der Atmosphäre springt (wie ein HALO-Sprung), erreicht fast die wahre Endgeschwindigkeit und den freien Fall.

Im Allgemeinen kann ein freier Fall erreicht werden, solange der Luftwiderstand in Bezug auf das Gewicht eines Objekts vernachlässigbar ist. Beispiele beinhalten:

  • Ein Raumschiff im Weltraum ohne eingeschaltetes Antriebssystem
  • Ein nach oben geworfener Gegenstand
  • Ein von einem Fallturm oder in ein Fallrohr fallengelassener Gegenstand
  • Eine Person springt auf

Im Gegensatz dazu sind Objekte nicht im freien Fall sind:

  • Ein fliegender Vogel
  • Ein fliegendes Flugzeug (weil die Flügel für Auftrieb sorgen)
  • Verwenden eines Fallschirms (da er der Schwerkraft mit Widerstand entgegenwirkt und in einigen Fällen Auftrieb bieten kann)
  • Ein Fallschirmspringer, der keinen Fallschirm benutzt (weil die Widerstandskraft seinem Gewicht bei Endgeschwindigkeit entspricht)

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird der freie Fall als die Bewegung eines Körpers entlang einer Geodäte definiert, wobei die Schwerkraft als Raum-Zeit-Krümmung bezeichnet wird.


Lineare Rückstellkraft

Eine wichtige Klasse von Problemen beinhaltet eine lineare Rückstellkraft, das heißt, sie gehorchen Hookes Gesetz. Die Bewegungsgleichung für diesen Fall lautet

Dann kann die Bewegungsgleichung geschrieben werden als

[ Etikette ddot + omega_0^2 x = 0 ]

das ist die Gleichung des harmonischen Oszillators. Beispiele sind kleine Schwingungen einer Masse an einer Feder, Schwingungen einer gespannten Klaviersaite usw.

Die Lösung dieser Gleichung zweiter Ordnung ist

[ Etikette x(t) = Asin(omega_0t -delta)]

Dies ist das bekannte sinusförmige Verhalten der Verschiebung für den einfachen harmonischen Oszillator. Die Kreisfrequenz (omega_0)

Beachten Sie, dass für dieses lineare System ohne dissipative Kräfte die Gesamtenergie eine Bewegungskonstante ist, wie zuvor diskutiert. Das heißt, es ist ein konservatives System mit einer Gesamtenergie (E) gegeben durch

Der erste Term ist die kinetische Energie und der zweite Term ist die potentielle Energie. Der Virialsatz besagt, dass für die lineare Rückstellkraft die durchschnittliche kinetische Energie gleich der durchschnittlichen potentiellen Energie ist.


1.2: Newton-Mechanik - Freier Fall

Nach Angaben des National Institute of Standards and Technology (NIST) – der US-Regierungsbehörde, die die Zerstörung des World Trade Centers untersucht hat – stürzten die Zwillingstürme „im Wesentlichen im freien Fall“ ein. 1

Die Theorie des Einsturzes von NIST beruht auf der Idee, dass der obere Abschnitt jedes Turms kontinuierlich mit nahezu der Schwerkraft durch die unteren Stockwerke beschleunigt werden könnte, während er dabei die Stahlrahmen vollständig zerlegt und fast den gesamten Beton zu einem feinen Pulver pulverisiert .

NIST lieferte jedoch keine Modellierung oder Berechnungen, um zu zeigen, dass ein solches Verhalten möglich war. Stattdessen stoppte NIST willkürlich seine Analyse im Moment der „Einleitung des Zusammenbruchs“ und behauptete, dass der totale Zusammenbruch „unvermeidlich“ sei, sobald die Zusammenbrüche eingeleitet wurden. 2

Erstaunlicherweise beschränkt sich die gesamte Erklärung von NIST, warum die unteren Abschnitte den Abstieg der oberen Abschnitte nicht stoppten oder sogar verlangsamten, auf eine halbe Seite seines 10.000-seitigen Berichts in einem Abschnitt mit dem Titel „Ereignisse nach der Einleitung des Zusammenbruchs“ 3, in dem behauptet wird:

„Die Struktur unterhalb der Einsturzeinleitungsebene bot der fallenden Gebäudemasse an und über der Aufprallzone einen minimalen Widerstand. Die durch die Abwärtsbewegung der großen Gebäudemasse freigesetzte potentielle Energie überstieg bei weitem die Kapazität der darunter liegenden intakten Struktur, diese durch Verformungsenergie aufzunehmen.

„Da die Stockwerke unterhalb der Einsturzschwelle der enormen Energie, die durch die fallende Gebäudemasse freigesetzt wurde, wenig Widerstand leisteten, stürzte der darüber liegende Gebäudeabschnitt im Wesentlichen im freien Fall ab, wie in Videos zu sehen ist.“ — s. 146, NIST NCSTAR 1

Im Jahr 2007 reichten eine Gruppe von Wissenschaftlern, ein Architekt und zwei 9/11-Familienmitglieder einen „Request for Correction“ zum NIST-Bericht gemäß dem Information Quality Act ein. Sie argumentierten, dass NIST unter anderem die wahrscheinliche technische Ursache des Gebäudeversagens nicht feststellen konnte, weil es nicht erkläre, warum es nach der Einleitung des Einsturzes zum totalen Einsturz gekommen sei. 4 Sie schrieben:

„Hier hat NIST keine Erklärung dafür geliefert, warum (d. h. die technische Ursache) das Stockwerk unterhalb der Einsturzzone die Abwärtsbewegung der oberen Stockwerke nicht aufhalten konnte. Die Aussage „wie die Videos aus mehreren Blickwinkeln belegen“ ist nur eine Erklärung dessen, was passiert ist, gibt dem Leser jedoch absolut keine Ahnung, warum es passiert ist. Grundprinzipien der Ingenieurskunst (zum Beispiel das Impulserhaltungsprinzip) würden vorschreiben, dass die unbeschädigte Stahlkonstruktion unterhalb der Einsturzzone zumindest der Abwärtsbewegung der darüber liegenden Stockwerke widerstehen und sie verlangsamen würde…. Die Familien der Feuerwehrleute und WTC-Mitarbeiter, die in den Treppenhäusern eingeschlossen waren, als die gesamten WTC-Türme über ihnen einstürzten, würden sich sicherlich über eine angemessene Erklärung freuen, warum das untere Gebäude den Einsturz der oberen Stockwerke nicht aufhalten oder sogar widerstehen konnte. ” — s. 20, Antrag auf Berichtigung

NIST antwortete auf den Antrag auf Berichtigung mit dem bemerkenswerten Eingeständnis, dass es keine vollständige Erklärung für den totalen Zusammenbruch liefern konnte: 5

„NIST führte seine Analyse bis zu dem Punkt durch, an dem die Gebäude eine globale Instabilität erreichten. An diesem Punkt sind die Computermodelle aufgrund der Größe der Durchbiegungen und der Anzahl der auftretenden Fehler nicht in der Lage, auf eine Lösung zu konvergieren…. [W]e sind nicht in der Lage, eine vollständige Erklärung für den totalen Zusammenbruch zu liefern.“ — s. 3-4, NIST-Antwort auf Berichtigungsanfrage

Totaler Zusammenbruch erklärt

Während das NIST keine Erklärung für den totalen Einsturz der Zwillingstürme liefern konnte, haben sich mehrere unabhängige Forscher dieser Herausforderung gestellt.

Der obere Teil des Nordturms.

Im Mittelpunkt ihrer Analyse stand die Messung der Abwärtsbewegung des oberen Teils von WTC 1 (dem Nordturm). Insbesondere zwei Arbeiten haben ergeben, dass in den vier Sekunden, bevor der obere Teil aus dem Blickfeld verschwand, die Beschleunigung konstant bei etwa 64 Prozent des freien Falls blieb 6 und es nie eine beobachtbare Verzögerung gab. 7

Basierend auf Newtons drittem Bewegungsgesetz, das besagt, dass es für jede Aktion eine gleiche und entgegengesetzte Reaktion gibt, wissen wir, dass der obere Teil von WTC 1 verlangsamt worden wäre, wenn er die intakte Struktur darunter aufgeprallt und zerquetscht hätte. Das Fehlen einer Verzögerung ist ein unwiderlegbarer Beweis dafür, dass eine andere Kraft (z. B. Sprengstoff) für die Zerstörung der unteren Struktur verantwortlich gewesen sein muss, bevor der obere Teil sie erreicht hat.

Abbildung 1: Diese Grafik aus David Chandlers „Destruction of the World Trade Center North Tower and Fundamental Physics“ (Journal of 9/11 Studies, Februar 2010) zeigt, dass der obere Teil des Nordturms mit einer nahezu gleichmäßigen Abwärtsbeschleunigung von -6,31 m/s 2 ( mit einem R 2 -Wert von 0,997) oder 64% des freien Falls.

Im Jahr 2011 hat die ASCE Zeitschrift für Technische Mechanik veröffentlichte ein Papier von Dr. Zdeněk Bažant und Jia-Liang Le mit dem Titel „Why the Observed Motion History of the World Trade Center Towers Is Smooth“, 8 in dem die Autoren versuchten zu argumentieren, dass die Verzögerung des oberen Abschnitts „viel zu klein war, um zu sein“ wahrnehmbar“, wodurch erklärt wird, warum die beobachtete Bewegung „glatt“ ist. Konkret, berechneten sie, war die Verzögerung „drei Größenordnungen kleiner als der Fehler eines Amateurvideos und somit nicht nachweisbar“.

Als Reaktion darauf legten die Forscher Tony Szamboti und Richard Johns ein Diskussionspapier an die Zeitschrift für Technische Mechanik im Mai 2011. 9 Ihr Papier argumentierte, dass Bažant und Le falsche Werte für (1) den Widerstand der Stützen, (2) die Bodenmasse der unteren Struktur und (3) die Gesamtmasse des oberen Abschnitts verwendet hatten. Szamboti und Johns zeigten, dass die Analyse von Bažant und Le bei Anwendung der korrekten Werte tatsächlich beweist, dass die Verzögerung des oberen Abschnitts signifikant und nachweisbar gewesen wäre (wenn es sich um einen echten feuerinduzierten progressiven Einsturz handelte) und dass der Einsturz innerhalb von drei Sekunden festgenommen.

Leider ist die Zeitschrift für Technische Mechanik das Diskussionspapier von Szamboti und Johns wurde unerklärlicherweise als „außerhalb des Geltungsbereichs“ zurückgewiesen, nachdem es 27 Monate lang überprüft worden war. So schrieben Szamboti und Johns zusammen mit Dr. Gregory Szuladziński, einem weltweit anerkannten Experten für Strukturmechanik, ein weiteres Papier, das die Analyse von Bažant und Le widerlegte, und reichte es bei der Internationale Zeitschrift für Schutzbauten. Dieses Papier mit dem Titel „Some Misunderstandings Related to the WTC Collapse Analysis“ 10 wurde im Juni 2013 veröffentlicht.

Es wurde so wenig Forschung darüber veröffentlicht, warum die Zwillingstürme untergegangen sind gesamt Zusammenbruch, dass das Papier von Bažant und Le aus dem Jahr 2011 und die drei früheren Arbeiten von Bažant zu diesem Thema die einzige Analyse sind, die die offizielle Erklärung eines durch Feuer verursachten progressiven Zusammenbruchs unterstützt. Diese Analyse wurde nun von Szamboti, Johns, Szuladziński und anderen unbestreitbar entlarvt.

Endnoten

[1] NIST: Abschlussbericht des Nationalen Bausicherheitsteams zu den Einstürzen der World Trade Center Towers Center (1. Dezember 2005), S.146. (NIST NCSTAR 1)

[2] NIST NCSTAR 1, p.xxxvii, p. 82.

[8] Bažant, Zdeněk und Le, Jia-Liang: „Why the Observed Motion History of the World Trade Center Towers is Smooth“ Zeitschrift für Technische Mechanik (Januar 2011).

[10] Szuladziński, Gregory und Szamboti, Tony und Johns, Richard: „Einige Missverständnisse im Zusammenhang mit der WTC-Zusammenbruchsanalyse“, Internationale Zeitschrift für Schutzbauten (Juni 2013).


ANSHS Physik-Klassenzimmer-Xanmechanik

Wie schnell?
Dinge fallen aufgrund der Schwerkraft. Wenn ein fallendes Objekt frei von allen Beschränkungen ist – keine Reibung, Luft oder sonstiges – und allein unter dem Einfluss der Schwerkraft fällt, befindet es sich im freien Fall.
Erfasste Geschwindigkeit = Beschleunigung x Zeit
Für ein aus der Ruhe fallendes Objekt kann die Momentangeschwindigkeit v zu einem beliebigen Zeitpunkt t in Kurzschreibweise als v= gt ausgedrückt werden.
Der Buchstabe v symbolisiert sowohl Geschwindigkeit als auch Geschwindigkeit.
Wie weit?
Die Strecke, die das gleichmäßig beschleunigende Objekt aus der Ruhe zurücklegt, beträgt
Entfernung = 1/2gt2. Dabei ist d die Fallstrecke des Objekts, g die Beschleunigung und t die Fallzeit in Sekunden.
Beispielprobleme
1.
ein. Wie lange braucht ein Ball, um 7,0 m tiefer vom Dach auf den Boden zu fallen?
b. Mit welcher Geschwindigkeit trifft es auf den Boden?
ANTWORTEN:
Beginnen Sie bei Kinematikproblemen mit einer Davfvit-Tabelle. Verwenden Sie dieses Format, um die angegebenen Informationen aufzulisten und die zu lösende Größe zu identifizieren. Identifizieren Sie dann die Beziehung zwischen der gegebenen und der unbekannten Größe, setzen Sie die Werte in die Beziehung ein und lösen Sie nach der Unbekannten auf.

1.
d 7,0 m [unten]
a 9,8 m/s2 [unten]
vf
vi 0
t?
WURZPROBLEME
Aufwerfprobleme beziehen sich auf Situationen, in denen die Anfangsgeschwindigkeit eines Objekts seiner Beschleunigung entgegengesetzt ist. Der Schlüssel ist, einen Bezugsrahmen zu wählen. Wenn beispielsweise “up” + ist, dann ist “down” -. Der Bezugsrahmen muss während des gesamten Lösungsprozesses konsistent verwendet werden.
ANTWORTEN:
2. Bezugsrahmen: down = +
d 7,0 m
a 9,8 m/s2
vf
vi – 2,0 m/s *
t?
Jetzt können wir sehen, dass wir eine Beziehung zwischen d, a, vi und t brauchen

(7,0 m) = (-2,00)t + (0,5)(9,8)t2
t = <1.42, -1.01>
Da t < 0 keine Bedeutung hat,
t = 1,42 s

Bei Aufholproblemen landen zwei Objekte mit unterschiedlichen Bewegungen gleichzeitig am selben Ort. Manchmal haben diese Probleme den Anschein, dass nicht genügend Informationen vorhanden sind, um sie zu lösen. In der Physik vertrauen wir jedoch.


Diese Probleme sind komplex, weil sie zwei verschiedene Bewegungen beschreiben. Der verwendete Ansatz besteht darin, das Problem zu vereinfachen, indem es in einfache Probleme zerlegt wird. Dies wird durch die Verwendung von zwei Spalten in der davfvit-Tabelle verringert: eine Spalte für jeden Antrag.


BEISPIEL
3. Ein Ball wird von einem Dach 8,0 m tiefer auf den Boden fallen gelassen. 0,600 s später wird ein Stein vom Dach geworfen. Wenn beide gleichzeitig auf dem Boden aufschlagen, wie hoch war die Anfangsgeschwindigkeit des Felsens?

ANTWORTEN:
3.
Kugelfelsen
d 8,0 m [unten] 8,0 m [unten]
a 9,8 m/s2 [unten] 9,8 m/s2 [unten]
vf
vi 0 ?
t? ?

Wir brauchen Zeit, um Geschwindigkeit zu finden. Da wir mehr Informationen über den Ball haben, beginnen wir mit der Suche nach Zeit für den Ball.
Jetzt können wir sehen, dass wir eine Beziehung zwischen d, a, vi und t brauchen

d = vit + (0.5)at2
8,0 = (0)t + (0,5)(9,8 m/s2)t2

t=1,28s
Die Verfahrzeit des Felsens ist 0,600 s kürzer als die der Kugel. Nun sieht unsere Tabelle so aus:
Kugelfelsen
d 8,0 m [unten] 8,0 m [unten]
a 9,8 m/s2 [unten] 9,8 m/s2 [unten]
vf
vi 0 ?
t 1,28 s 0,68 s

Für das Gestein brauchen wir eine Beziehung zwischen d, a, vi und t

d = vit + (0.5)at2
8,0 = vi(0,68 s) + (0,5)(9,8 m/s2)(0,68 s)2
vi = 8,43 m/s


6 Antworten 6

es liegt daran, dass die hier wirkende Kraft (Schwerkraft) auch von der Masse abhängt

die Schwerkraft wirkt auf einen Körper der Masse m mit

Sie werden dies in $F=ma$ einstecken und Sie erhalten

und dies gilt für alle Körper, unabhängig von der Masse. Da sie gleich beschleunigt werden und mit den gleichen Anfangsbedingungen starten (in Ruhe und Fallen aus einer Höhe h), treffen sie gleichzeitig auf den Boden.

Dies ist ein eigentümlicher Aspekt der Gravitation und dahinter liegt die Gleichheit von Trägheitsmasse und Gravitationsmasse (hier muss nur das Verhältnis gleich sein, damit dies wahr ist, aber Einstein zeigte später, dass sie wirklich gleich sind, dh das Verhältnis ist 1 )

Newtons Gravitationskraft ist proportional zur Masse eines Körpers, $F=frac imes m$, wobei in dem Fall, in dem Sie an $M$ denkt, die Masse der Erde, $R$ der Erdradius und $G$ die Newtonsche Gravitationskonstante ist.

Folglich ist die Beschleunigung $a=frac=frac$, das unabhängig von der Masse des Objekts ist. Daher fallen zwei Objekte, die nur der Schwerkraft unterliegen, mit der gleichen Beschleunigung und treffen daher gleichzeitig auf den Boden.

Was ich glaube, dass Sie übersehen haben, ist, dass die Kraft $F$ auf die beiden Körper nicht gleich ist, sondern die Beschleunigungen sind das gleiche.

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie die Masse die Zeit des Aufpralls beeinflussen kann:

(1) Ein sehr massives Objekt hat eine stärkere Anziehungskraft auf die Erde. Logischerweise kann dies dazu führen, dass das Objekt schneller fällt und so früher den Boden erreicht.

(2) Ein sehr massives Objekt ist schwer zu bewegen. (D.h. es hat eine sehr hohe Trägheit.) Daher könnte man logischerweise erwarten, dass das sehr massive Objekt schwieriger in Bewegung zu kommen ist und so das Rennen verliert.

Das Wunder ist, dass sich in der Welt, in der wir leben, diese beiden Effekte genau ausgleichen und so die schwerere Masse gleichzeitig den Boden erreicht.

Lassen Sie mich nun eine einfache Erklärung dafür geben, warum es natürlich ist, dass dies geschieht. Angenommen, wir haben zwei sehr schwere Massen. Wenn wir sie getrennt fallen lassen, brauchen sie einige Zeit T, um zu fallen. Auf der anderen Seite, wenn wir sie zusammenfügen, werden sie dann genauso lange dauern? Stellen Sie sich eine Kugel vor, die in zwei Hälften geteilt ist:

Zwei zwei Hälften der Kugel würden mit der gleichen Geschwindigkeit fallen. Wenn Sie sie also nebeneinander fallen lassen, fallen sie zusammen. Und sie nebeneinander fallen zu lassen, wird nicht anders sein, als sie zusammenzuschrauben und zusammenzuwerfen. Das heißt, es wird keine Kraft auf die Schrauben ausgeübt. Die kombinierte (oder zusammengeschraubte) Kugel muss also mit der gleichen Geschwindigkeit fallen wie die geteilte Kugel.


Freier Fall mit Beispielen

Der freie Fall ist eine Art von Bewegung, die jeder im täglichen Leben beobachten kann. Wir lassen etwas versehentlich oder absichtlich fallen und sehen seine Bewegung. Am Anfang hat es eine niedrige Geschwindigkeit und bis zum Ende gewinnt es an Geschwindigkeit und erreicht vor dem Crash seine maximale Geschwindigkeit. Welche Faktoren beeinflussen die Geschwindigkeit des Objekts im freien Fall? Wie können wir die Distanz berechnen, die es braucht, die Zeit, die es während des freien Falls braucht? Mit diesen Themen beschäftigen wir uns in diesem Abschnitt. Lassen Sie mich zunächst mit der Ursache für die Zunahme der Geschwindigkeit im Herbst beginnen. Wie Sie sich vorstellen können, fallen die Dinge aufgrund der Schwerkraft. So gewinnen unsere Objekte aufgrund der Gravitation beim Fallen in einer Sekunde etwa 10 m/s an Geschwindigkeit. Wir nennen diese Beschleunigung in der Physik Schwerkraftbeschleunigung und mit &ldquog&rdquo anzeigen. Der Wert von g beträgt 9,8m/s², in unseren Beispielen gehen wir jedoch für einfache Berechnungen von 10 m/s² aus. Jetzt ist es an der Zeit, das oben Gesagte zu formulieren. Wir haben über die Geschwindigkeitszunahme gesprochen, die der Menge an g in einer Sekunde entspricht. Somit kann unsere Geschwindigkeit durch die Formel ermittelt werden

V=g.t wobei g die Erdbeschleunigung und t die Zeit ist.

Schauen Sie sich das folgende Beispiel an und versuchen Sie zu verstehen, was ich oben zu erklären versucht habe.

Beispiel Der Junge lässt den Ball von einem Dach des Hauses fallen, der 3 Sekunden braucht, um den Boden zu berühren. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, bevor der Ball auf den Boden fällt. (g=10m/s²)


V=10m/s²,3s=30m/s

Wir haben gelernt, die Geschwindigkeit des Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen. Jetzt werden wir lernen, wie man die während der Bewegung zurückgelegte Distanz findet. Ich gebe einige Gleichungen an, um Entfernungen und andere Größen zu berechnen. Galilei hat aus seinen Experimenten eine Gleichung für die Entfernung gefunden.

Mit dieser Gleichung können wir die Höhe des Hauses im obigen Beispiel ermitteln. Let&rsquos gefunden, wie hoch der Ball gefallen ist? Wir verwenden 10 m/s ² für g.

Ich finde die Formel jetzt etwas klarer im Kopf. Wir werden weitere Probleme zu diesem Thema lösen. Stellen Sie sich das jetzt vor, wenn ich den Ball mit einer Anfangsgeschwindigkeit gerade nach oben werfe. Wenn es stoppt und auf den Boden zurückfällt? Diese Fragen beantworten wir jetzt.


Das Bild zeigt die Größen der Geschwindigkeit unten und oben. Wie Sie sehen, wird der Ball mit einer anfänglichen v-Geschwindigkeit nach oben geworfen, oben wird seine Geschwindigkeit Null und er ändert seine Richtung und beginnt nach unten zu fallen, was freier Fall ist. Unten vor dem Crash erreicht es schließlich seine Höchstgeschwindigkeit, die als V&rsquo angezeigt wird. Wir haben über den Betrag der Geschwindigkeitszunahme im freien Fall gesprochen. Aufgrund der Erdbeschleunigung erhöht sie sich in jeder Sekunde um 9,8 m/s. In diesem Fall gibt es auch g, aber die Kugelrichtung ist nach oben, sodass das Vorzeichen von g negativ ist. Somit nimmt unsere Geschwindigkeit in jeder Sekunde um 9,8 m/s ab, bis die Geschwindigkeit Null wird. Oben ändert der Ball wegen der Nullgeschwindigkeit seine Richtung und beginnt im freien Fall. Bevor ich Probleme löst, möchte ich die Graphen der freien Fallbewegung geben.

Wie Sie in den Diagrammen sehen, nimmt unsere Geschwindigkeit linear mit einer Beschleunigung &ldquog&rdquo zu, das zweite Diagramm sagt uns, dass die Beschleunigung konstant bei 9,8m/s² ist, und schließlich ist das dritte Diagramm die Darstellung der Änderung unserer Position. Am Anfang haben wir eine positive Verschiebung und im Laufe der Zeit nimmt sie ab und wird schließlich null. Jetzt können wir Probleme mit diesen Grafiken und Erklärungen lösen.

Beispiel John wirft den Ball gerade nach oben und erreicht nach 1 Sekunde seine maximale Höhe, dann führt er eine Freifallbewegung aus, die 2 Sekunden dauert. Berechnen Sie die maximale Höhe und Geschwindigkeit des Balls, bevor er auf den Boden prallt. (g=10m/s²)

Beispiel Ein Objekt führt eine freie Fallbewegung aus. Es schlägt nach 4 Sekunden auf dem Boden auf. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Objekts nach 3 Sekunden und bevor es den Boden berührt. Wie hoch kann es geworfen werden?

Zwei oben aufgeführte Beispiele versuchen zu zeigen, wie man Freifallgleichungen verwendet. Aus den angegebenen Daten können wir Geschwindigkeit, Entfernung und Zeit ermitteln. Jetzt werde ich drei weitere Gleichungen geben und das Thema 1D-Kinematik beenden. Die Gleichungen sind


Die erste Gleichung wird verwendet, um die Geschwindigkeit des Objekts mit der Anfangsgeschwindigkeit und -beschleunigung zu ermitteln. Der zweite wird verwendet, um den Abstand des Objekts mit der Anfangsgeschwindigkeit und -beschleunigung zu berechnen. Die dritte und letzte Gleichung ist eine zeitlose Geschwindigkeitsgleichung. Wenn Abstand, Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung des Objekts bekannt sind, können Sie die Endgeschwindigkeit des Objekts ermitteln. Lassen Sie uns nun einige Probleme mit diesen Gleichungen lösen, um das Thema im Detail zu verstehen.

Beispiel Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Autos mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 24 m/s und einer Beschleunigung von 3 m/s² nach 15 Sekunden.

Wir verwenden die erste Gleichung, um diese Frage zu lösen.

Beispiel Das anfangs stehende Auto hat eine Beschleunigung von 7m/s² und fährt 20 Sekunden. Ermitteln Sie die Entfernung, die es während dieser Zeit zurücklegt.


Freier Fall

In jedem dieser Beispiele war die Beschleunigung das Ergebnis der Schwerkraft. Ihr Objekt beschleunigte, weil die Schwerkraft es nach unten zog. Sogar das gerade nach oben geworfene Objekt fällt – und es beginnt zu fallen, sobald es Ihre Hand verlässt. Wenn dies nicht der Fall wäre, hätte es sich weiterhin geradlinig von Ihnen entfernt. Dies ist das .

Welche Faktoren beeinflussen diese Erdbeschleunigung? Wenn Sie dies von einer typischen Person fragen würden, würde sie höchstwahrscheinlich "Gewicht" sagen, womit sie eigentlich "Masse" meint (dazu später mehr). Das heißt, schwere Gegenstände fallen schnell und leichte Gegenstände fallen langsam. Obwohl dies auf den ersten Blick wahr erscheinen mag, beantwortet es nicht meine ursprüngliche Frage. "Welche Faktoren beeinflussen die Beschleunigung? aufgrund der Schwerkraft?" Masse beeinflusst die Erdbeschleunigung in keiner messbaren Weise. Die beiden Größen sind unabhängig voneinander. Leichte Gegenstände beschleunigen nur dann langsamer als schwere Gegenstände, wenn auch andere Kräfte als die Schwerkraft wirken. In diesem Fall kann ein Objekt fallen, aber es befindet sich nicht im freien Fall. tritt immer dann auf, wenn auf ein Objekt allein die Schwerkraft einwirkt.

  • Besorge dir ein Blatt Papier und einen Bleistift. Halten Sie sie auf gleicher Höhe über einer ebenen Fläche und lassen Sie sie gleichzeitig fallen. Die Beschleunigung des Bleistifts ist merklich größer als die Beschleunigung des Papiers, das auf seinem Weg nach unten flattert und herumtreibt.

Etwas anderes steht hier im Weg – und das ist der Luftwiderstand (auch bekannt als Luftwiderstand). Wenn wir diesen Widerstand irgendwie reduzieren könnten, hätten wir ein echtes Experiment. Kein Problem.

  • Wiederholen Sie das Experiment, aber bevor Sie beginnen, knüllen Sie das Blatt Papier so eng wie möglich zusammen. Now when the paper and pencil are released, it should be obvious that their accelerations are identical (or at least more similar than before).

We're getting closer to the essence of this problem. If only somehow we could eliminate air resistance altogether. The only way to do that is to drop the objects in a vacuum. It is possible to do this in the classroom with a vacuum pump and a sealed column of air. Under such conditions, a coin and a feather can be shown to accelerate at the same rate. (In the olden days in Great Britain, a coin called a guinea was used and so this demonstration is sometimes called the "guinea and feather".) A more dramatic demonstration was done on the surface of the moon — which is as close to a true vacuum as humans are likely to experience any time soon. Astronaut David Scott released a rock hammer and a falcon feather at the same time during the Apollo 15 lunar mission in 1971. In accordance with the theory I am about to present, the two objects landed on the lunar surface simultaneously (or nearly so). Only an object in free fall will experience a pure acceleration due to gravity.

The leaning tower of Pisa

Let's jump back in time for a bit. In the Western world prior to the 16th century, it was generally assumed that the acceleration of a falling body would be proportional to its mass — that is, a 10 kg object was expected to accelerate ten times faster than a 1 kg object. The ancient Greek philosopher Aristotle of Stagira (384–322 BCE), included this rule in what was perhaps the first book on mechanics. It was an immensely popular work among academicians and over the centuries it had acquired a certain devotion verging on the religious. It wasn't until the Italian scientist Galileo Galilei (1564–1642) came along that anyone put Aristotle's theories to the test. Unlike everyone else up to that point, Galileo actually tried to verify his own theories through experimentation and careful observation. He then combined the results of these experiments with mathematical analysis in a method that was totally new at the time, but is now generally recognized as the way science gets done. For the invention of this method, Galileo is generally regarded as the world's first scientist.

In a tale that may be apocryphal, Galileo (or an assistant, more likely) dropped two objects of unequal mass from the Leaning Tower of Pisa. Quite contrary to the teachings of Aristotle, the two objects struck the ground simultaneously (or very nearly so). Given the speed at which such a fall would occur, it is doubtful that Galileo could have extracted much information from this experiment. Most of his observations of falling bodies were really of round objects rolling down ramps. This slowed things down enough to the point where he was able to measure the time intervals with water clocks and his own pulse (stopwatches and photogates having not yet been invented). This he repeated "a full hundred times" until he had achieved "an accuracy such that the deviation between two observations never exceeded one-tenth of a pulse beat."

With results like that, you'd think the universities of Europe would have conferred upon Galileo their highest honor, but such was not the case. Professors at the time were appalled by Galileo's comparatively vulgar methods even going so far as to refuse to acknowledge that which anyone could see with their own eyes. In a move that any thinking person would now find ridiculous, Galileo's method of controlled observation was considered inferior to pure reason. Stell dir das vor! I could say the sky was green and as long as I presented a better argument than anyone else, it would be accepted as fact contrary to the observation of nearly every sighted person on the planet.

Galileo called his method "new" and wrote a book called Discourses on Two New Sciences wherein he used the combination of experimental observation and mathematical reasoning to explain such things as one dimensional motion with constant acceleration, the acceleration due to gravity, the behavior of projectiles, the speed of light, the nature of infinity, the physics of music, and the strength of materials. His conclusions on the acceleration due to gravity were that…

the variation of speed in air between balls of gold, lead, copper, porphyry, and other heavy materials is so slight that in a fall of 100 cubits a ball of gold would surely not outstrip one of copper by as much as four fingers. Having observed this I came to the conclusion that in a medium totally devoid of resistance all bodies would fall with the same speed.

For I think no one believes that swimming or flying can be accomplished in a manner simpler or easier than that instinctively employed by fishes and birds. When, therefore, I observe a stone initially at rest falling from an elevated position and continually acquiring new increments of speed, why should I not believe that such increases take place in a manner which is exceedingly simple and rather obvious to everybody?

I greatly doubt that Aristotle ever tested by experiment.

Galileo Galilei, 1638

Despite that last quote, Galileo was not immune to using reason as a means to validate his hypothesis. In essence, his argument ran as follows. Imagine two rocks, one large and one small. Since they are of unequal mass they will accelerate at different rates — the large rock will accelerate faster than the small rock. Now place the small rock on top of the large rock. Was wird passieren? According to Aristotle, the large rock will rush away from the small rock. What if we reverse the order and place the small rock below the large rock? It seems we should reason that two objects together should have a lower acceleration. The small rock would get in the way and slow the large rock down. But two objects together are heavier than either by itself and so we should also reason that they will have a greater acceleration. This is a contradiction.

Here's another thought problem. Take two objects of equal mass. According to Aristotle, they should accelerate at the same rate. Now tie them together with a light piece of string. Together, they should have twice their original acceleration. But how do they know to do this? How do inanimate objects know that they are connected? Let's extend the problem. Isn't every heavy object merely an assembly of lighter parts stuck together? How can a collection of light parts, each moving with a small acceleration, suddenly accelerate rapidly once joined? We've argued Aristotle into a corner. The acceleration due to gravity is independent of mass.

Galileo made plenty of measurements related to the acceleration due to gravity but never once calculated its value (or if he did, I have never seen it reported anywhere). Instead he stated his findings as a set of proportions and geometric relationships — lots of them. His description of constant speed required one definition, four axioms, and six theorems. All of these relationships can now be written as the single equation in modern notation.

Algebraic symbols can contain as much information as several sentences of text, which is why they are used. Contrary to the common wisdom, mathematics makes life easier.

Location, location, location

The generally accepted value for the acceleration due to gravity on and near the surface of the Earth is…

g = 35 kph/s = 22 mph/s = 32 feet/s 2

It is useful to memorize this number (as millions of people around the globe already have), however, it should also be pointed out that this number is not a constant. Although mass has no effect on the acceleration due to gravity, there are three factors that do. They are location, location, location.

Everyone reading this should be familiar with the images of the astronauts hopping about on the moon and should know that the gravity there is weaker than it is on the Earth — about one sixth as strong or 1.6 m/s 2 . That's why the astronauts were able to hop around on the surface easily despite the weight of their space suits. In contrast, gravity on Jupiter is stronger than it is on Earth — about two and a half times stronger or 25 m/s 2 . Astronauts cruising through the top of Jupiter's thick atmosphere would find themselves struggling to stand up inside their space ship.

On the Earth, gravity varies with latitude and altitude (to be discussed in a later chapter). The acceleration due to gravity is greater at the poles than at the equator and greater at sea level than atop Mount Everest. There are also local variations that depend upon geology. The value of 9.8 m/s 2 — with only two significant digits — is true for all places on the surface of the Earth and holds for altitudes up to +10 km (the altitude of commercial jet airplanes) and depths down to 󔼜 km (far below the deepest mines).

How crazy are you for accuracy? For most applications, the value of 9.8 m/s 2 is more than sufficient. If you're in a hurry, or don't have access to a calculator, or just don't need to be that accurate rounding g on Earth to 10 m/s 2 is often acceptable. During a multiple choice exam where calculators aren't allowed, this is often the way to go. If you need greater accuracy, consult a comprehensive reference work to find the accepted value for your latitude and altitude.

If that's not good enough, then obtain the required instruments and measure the local value to as many significant digits as you can. You may learn something interesting about your location. I once met a geologist whose job it was to measure g across a portion of West Africa. When I asked him who he worked for and why he was doing this, he basically refused to answer other than to say that one could infer the interior structure of the Earth from a prepared from his findings. Knowing this, one might then be able to identify structures where valuable minerals or petroleum might be found.

Like all professions, those in the gravity measuring business () have their own special jargon. The SI unit of acceleration is the meter per second squared [m/s 2 ]. Split that into a hundred parts and you get the centimeter per second squared [cm/s 2 ] also known as the [Gal] in honor of Galileo. Note that the word for the unit is all lowercase, but the symbol is capitalized. The gal is an example of a Gaussian unit.

00 1 Gal = 1 cm/s 2 = 0.01 m/s 2
100 Gal = 100 cm/s 2 = 1 m/s 2 .

Split a gal into a thousand parts and you get a [mGal].

1 mGal = 0.001 Gal = 10 𕒹 m/s 2

Since Earth's gravity produces a surface acceleration of about 10 m/s 2 , a milligal is about 1 millionth of the value we're all used to.

1 g ≈ 10 m/s 2 = 1,000 Gal = 1,000,000 mGal

Measurements with this precision can be used to study changes in the Earth's crust, sea levels, ocean currents, polar ice, and groundwater. Push it a little bit further and it's even possible to measure changes in the distribution of mass in the atmosphere. Gravity is a weighty subject that will be discussed in more detail later in this book.

Gee, Wally

Don't confuse the phenomenon of acceleration due to gravity with the unit of a similar name. Das quantity g has a value that depends on location and is approximately

almost everywhere on the surface of the Earth. Das unit g has the exact value of…

They also use slightly different symbols. The defined unit uses the roman or upright g while the natural phenomenon that varies with location uses the kursiv or oblique g. Don't confuse g with g.

As mentioned earlier, the value of 9.8 m/s 2 with only two significant digits is valid for most of the surface of the Earth up to the altitude of commercial jet airliners, which is why it is used throughout this book. The value of 9.80665 m/s 2 with six significant digits is the so called or . It's a value that works for latitudes around 45° and altitudes not too far above sea level. It's approximately the value for the acceleration due to gravity in Paris, France — the hometown of the International Bureau of Weights and Measures. The original idea was to establish a standard value for gravity so that units of mass, weight, and pressure could be related — a set of definitions that are now obsolete. The Bureau chose to make this definition work for where their laboratory was located. The old unit definitions died out, but the value of standard gravity lives on. Now it's just an agreed upon value for making comparisons. It's a value close to what we experience in our everyday lives — just with way too much precision.

Some books recommend a compromise precision of 9.81 m/s 2 with three significant digits for calculations, but this book does not. At my location in New York City, the acceleration due to gravity is 9.80 m/s 2 . Rounding standard gravity to 9.81 m/s 2 is wrong for my location. The same is true all the way south to the equator where gravity is 9.780 m/s 2 at sea level — 9.81 m/s 2 is just too big. Head north of NYC and gravity gets closer and closer to 9.81 m/s 2 until eventually it is. This is great for Canadians in southern Quebec, but gravity keeps keeps increasing as you head further north. At the North Pole (and the South Pole too) gravity is a whopping 9.832 m/s 2 . The value 9.806 m/s 2 is midway between these two extremes, so it's sort of true to say that…

This is not the same thing as an average, however. For that, use this value that someone else derived…

Here are my suggestions. Use the value of 9.8 m/s 2 with two significant digits for calculations on the surface of the Earth unless a value of gravity is otherwise specified. That seems reasonable. Use the value of 9.80665 m/s 2 with six significant digits only when you want to convert m/s 2 to g. That is the law.

The unit g is often used to measure the acceleration of a reference frame. This is technical language that will be elaborated upon later in another section of this book, but I will explain it with examples for now. As I write this, I'm sitting in front of my computer in my home office. Gravity is drawing my body down into my office chair, my arms toward the desk, and my fingers toward the keyboard. This is the normal 1 g (one gee) world we're all accustomed to. I could take a laptop computer with me to an amusement park, get on a roller coaster, and try to get some writing done there. Gravity works on a roller coaster just as it does at home, but since the roller coaster is accelerating up and down (not to mention side to side) the sensation of normal Earth gravity is lost. There will be times when I feel heavier than normal and times when I fell lighter than normal. These correspond to periods of more than one g and less than one g. I could also take my laptop with me on a trip to outer space. After a brief period of 2 or 3 g (two or three gees) accelerating away from the surface of the Earth, most space journeys are spent in conditions of apparent weightlessness or 0 g (zero gee). This happens not because gravity stops working (gravity has infinite range and is never repulsive), but because a spacecraft is an accelerating reference frame. As I said earlier, this concept will be discussed more thoroughly in a later section of this book.


A motion is said to be uniformly accelerated when, starting from rest, it acquires during equal time intervals, equal increments of speed.

Let us first look more closely at Galileo's proposed definition.

Is this the only possible way of defining uniform acceleration? Not at all! Galileo says that at one time he thought a more useful definition would be to use the term uniform acceleration for motion in which speed increased in proportion to the distance traveled, D d, rather than to the time fit. Notice that both definitions met Galileo's requirement of simplicity. (In fact, both definitions had been discussed since early in the fourteenth century.)
Furthermore, both definitions seem to match our common sense idea of acceleration about equally well. When we say that a body is "accelerating," we seem to imply "the farther it goes, the faster it goes," and also "the longer time it goes, the faster it goes." How should we choose between these two ways of putting it? Which definition will be more useful in the description of nature? This is where experimentation becomes important. Galileo chose to define uniform acceleration as the motion in which the change of speed v is proportional to elapsed time D t, and then demonstrate that this matches the behavior of real moving bodies, in laboratory situations as well as in ordinary, "un-arranged," experience. As you will see later, he made the right choice. But he was not able to prove his case by direct or obvious means, as you shall also see.

Describe uniform speed without referring to dry-ice pucks and strobe photography or to arty particular object or technique of measurement.

Express Galileo's definition of uniformly accelerated motion in words and in the form of an equation.

What two conditions did Galileo want his definition of uniform acceleration to meet?

Galileo cannot test his hypothesis directly

After Galileo defined uniform acceleration so that it would match the way he believed freely falling objects behaved, his next task was to devise a way of showing that the definition for uniform acceleration was useful for describing observed motions.

Suppose we drop a heavy object from several different heights say, from windows on different floors of a building. We want to check whether the final speed increases in proportion to the time it takes to fall-that is, whether D v is "proportional to" D t, or what amounts to the same thing, whether D v/ D t is constant. In each trial we must observe the time of fall and the speed just before the object strikes the ground.

But there's the rub. Practically, even today, it would be very difficult to make a direct measurement of the speed reached by an object just before striking the ground. Furthermore, the entire time intervals of fall (less than 3 seconds even from the top of a 10-story building) are shorter than Galileo could have measured accurately with the clocks available to him. So a direct test of whether D v/ D t is constant was not possible for Galileo.

Which of these are valid reasons why Galileo could not test directly whether the final speed reached by a freely falling object is proportional to the time of fall?
(a) His definition was wrong.
(b) He could not measure the speed attained by an object just before it hit the ground.
(c) There existed no instruments for measuring time.
(d) He could not measure ordinary distances accurately enough.
(e) Experimentation was not permitted in Italy.

Looking for logical consequences of Galileo's hypothesis

Large distances of fall and large time intervals for fall are, of course, easier to measure than the small values of D d and D t that would be necessary to find the final speed just before the falling body hits. So Galileo tried to find, by reasoning, how total fall distance ought to increase with total fall time if objects did fall with uniform acceleration. You already know how to find total distance from total time for motion at constant speed. Now we will derive a new equation that relates total fall distance to total time of fall for motion at constant acceleration. In this we shall not be following Galileo's own derivation exactly, but the results will be the same. First, we recall the definition of average speed as the distance traversed D d divided by the elapsed time D t:

vav = D d/ D t
This is a general definition and can be used to compute the average speed from measurement of D d and D t, no matter whether D d and D t are small or large. We can rewrite the equation as
D d = vav x D t
This equation, still being really a definition of vav is always true. For the special case of motion at a constant speed v, then vav = v and therefore, D d = v x D t. When the value of v is known (as, for example, when a car is driven with a steady reading of 60 mph on the speedometer), this equation can be used to figure out how far ( D d) the car would go in any given time interval ( D t). But in uniformly accelerated motion the speed is continually changing-so what value can we use for vav?

The answer involves just a bit of algebra and some plausible assumptions. Galileo reasoned (as others had before) that for any quantity that changes uniformly, the average value is just halfway between the beginning value and the final value. For uniformly accelerated motion starting from rest (where vinitial = 0 and ending at a speed vFinale this rule tells us that the average speed is halfway. More generally the average speed would be between 0 and vFinale - that is,


vav= 1/2 vFinale.
(More generally, the average velocity would be
vav=(vinitial + vFinale)/2.
If this reasoning is correct, it follows that
D d = 1/2 vFinale x D t for uniformly accelerated motion starting from rest. This relation could not be directly tested either, because the last equation still contains a speed factor. What we are trying to arrive at is an equation relating total distance and total time, without any need to measure speed.
Now we look at Galileo's definition of uniform acceleration: a = D v/ D t. We can rewrite this relationship in the form
D v = a x D t. The value of D v is just vFinale - vinitialr and vinitial = 0 for motion that begins from rest. Therefore we can write
D v=a x D t
vFinale - vinitial = a x D t
vFinale = a x D t
Now we can substitute this expression for vFinale into the equation for D d above. Thus if the motion starts from rest, and if it is uniformly accelerated (and if the average rule is correct, as we have assumed) we can write
D d = 1/2 vFinale x D t
= 1/2 (a x D t) x D t
Or, regrouping terms.
D d = 1/2 a( D t) 2

This is the kind of relation Galileo was seeking-it relates total distance D d to total time D t, without involving any speed term.

Before finishing, though, we will simplify the symbols in the equation to make it easier to use. If we measure distance and time from the position and the instant that the motion starts (dinitial= 0 and tinitial = 0), then the intervals D d and D t have the values given by dFinale and tFinale. Because we will use the expression dFinale/ t 2 Finale , many times, it is simpler to write it as d/t 2

-it is understood that d and t mean total distance and time interval of motion, starting from rest. The equation above can therefore be written more simply as

dFinale = 1/2 a x t 2 Finale
Remember that this is a very specialized equation-it gives the total distance fallen as a function of total time of fall but only if the motion starts from rest (vinitial = 0), if the acceleration is uniform (a = constant), and if time and distance are measured from the start (tinitial = 0 and dinitial = 0).

Galileo reached the same conclusion, though he did not use algebraic forms to express it. Since we are dealing only with the special situation in which acceleration a is constant, the quantity 2a is constant also, and we can cast the conclusion in the form of a proportion: in uniform acceleration from rest, the distance traveled is proportional to the square of the time elapsed, or

dFinale / t 2 Finale
For example, if a uniformly accelerating car starting from rest moves 10 m in the first second, in twice the time it would move four times as far, or 40 m in the first two seconds. In the first 3 seconds it would move 9 times as far-or 90 m. Another way to express this relation is to say that the ratio dFinale to t 2 final has a constant value, that is, dFinale / t 2 Finale = constant . Thus a logical result of Galileo's original proposal for defining uniform acceleration can be expressed as follows: if an object accelerates uniformly from rest, the ratio d/t 2 should be constant. Conversely, any motion for which this ratio of d and t 2 is found to be constant for different distances and their corresponding times, we may well suppose to be a case of motion with uniform acceleration as defined by Galileo. Of course, we still must test the hypothesis that freely falling bodies actually do exhibit just such motion. Recall that earlier we confessed we were unable to test directly whether D v/ D t has a constant value. Galileo showed that a logical consequence of a constant value of v/ D t would be a constant ratio of dFinale to t 2 Finale. The values for total time and distance of fall would be easier to measure than the values of short intervals D d and D t needed to find D v. However, measuring the time of fall still remained a difficult task in Galileo's time. So, instead of a direct test of his hypothesis, Galileo went one step further and deduced an ingenious, indirect test.

Why was the equation d = 1/2at 2 more promising for Galileo than a = D v/ D t in testing his hypothesis?

If you simply combined the two equations D d = v x D t and D v = a x D t it looks as if one might get the result D d = a x D t 2 . What is wrong with doing this?

Realizing that a direct quantitative test with a rapidly and freely falling body would not be accurate, Galileo proposed to make the test on an object that was moving less rapidly. He proposed a new hypothesis:

if a freely falling body has an acceleration that is constant, then a perfectly round ball rolling down a perfectly smooth inclined plane will also have a constant, though smaller, acceleration.

Thus Galileo claimed that if d/t 2 is constant for a body falling freely from rest, this ratio will also be constant, although smaller, for a ball released from rest and rolling different distances down a straight inclined plane.

Here is how Salviati described Galileo's own experimental test in Two New Sciences:


This picture painted in 1841 by G. Bezzuoli, attempts to reconstruct an experiment Galileo is alleged to have made during his time as lecturer at Pisa. Off to the left and right are men of ill will: the blasé Prince Giovanni de Medici (Galileo had shown a dredging-machine invented by the prince to be unusable) and Galileo's scientific opponents. These were leading men of the universities they are shown here bending over a book of Aristotle, where it is written in black and white that bodies of unequal weight fall with different speeds. Galileo, the tallest figure left of center in the picture, is surrounded by a group of students and followers.

Angle of Incline
For each angle, the acceleration is found to be a constant. Spheres rolling down planes of increasingly steep inclination. At 90° the inclined plane situation matches free fall. (Actually, the ball will start slipping instead of rolling long before the angle has become that large.)

Free Fall-Galileo Describes Motion

In general, for each angle of incline, the value of d / t1 2 was constant. Galileo did not present his experimental data in the full detail which has become the custom since. However, his experiment has been repeated by others, and they have obtained results which parallel his. This is an experiment which you can perform yourself with the help of one or two other students.
(b) Galileo's second experimental finding relates to what happens when the angle of inclination of the plane is changed. He found that whenever the angle changed, the ratio d / t 2 took on a new value, although for any one angle it remained constant regardless of distance of roll. Galileo confirmed this by repeating the experiment "a full hundred times" for each of many different angles. After finding that the ratio d / t 2 was constant for each angle of inclination for which measurements of t could be carried out conveniently, Galileo was willing to extrapolate. He concluded that the ratio dl / t 2 is a constant even for larger angles, where the motion of the ball is too fast for accurate measurements of t to be made. Finally, Galileo reasoned that in the particular case when the angle of inclination became 90°, the ball would move straight down-and so becomes the case of a falling object. By his reasoning, d/t 2 would still be some constant in that extreme case (even though he couldn't say what the numerical value was.)

Because Galileo had deduced that a constant value of d/t 2 was characteristic of uniform acceleration, he could conclude at last that free fall was uniformly accelerated motion.

Now that you are familiar with the historical concepts of free fall, move on to the experiment. Or you can look at a spreadsheet of some actual student data. The data were collected and manipulated according to the described experiment. It definitely demonstrates that there is a constant acceleration. A good question to ask the students is why there is so much error. Then have your students modify the experiment. When it is all said and done, take the quiz.


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